(jω) ΣΧΗΜΑ 3.1 ΣΧΗΜΑ 3.2

Transcript

1 Βασικές Προσεγγίσεις Κεφάλαιο 3 3. Προδιαγραφές φίλτρων και προσεγγισεις Αναφερόµενοι στο σχήµα 3., η απόκριση πλάτους ή συνάρτηση κέρδους τάσης G(ω) ορίζεται ως το µέτρο της συνάρτησης µεταφοράς τάσης H(s) για s=jω: V G(ω) H(jω) (jω) /0 E(jω) /0 ΣΧΗΜΑ 3. Η συνάρτηση λογαριθµικού κέρδους G db (ω) ορίζεται ως G db (ω)0log G(ω) 0log *V (jω)* *E(jω)* Τόσον η G(ω) όσο και η G db (ω) είναι πραγµατικές συναρτήσεις του ω και σηµειώνεται ότι η G db (ω) έχει υπολογιστικό πρόβληµα, αν το G(ω) µηδενίζεται για κάποιες συχνότητες. Ο συνήθης τρόπος µε τον οποίο δίνονται οι προδιαγραφές φίλτρων στο πεδίο συχνοτήτων, στηρίζεται στην περιγραφή της απόκρισης πλάτους (κέρδους) του φίλτρου στις ζώνες διέλευσης και αποκοπής. Για παράδειγµα, οι προδιαγραφές ενός βαθυπερατού φίλτρου είναι δυνατόν να δίνονται όπως στο σχήµα 3.α µε σαφή ορισµό χαρακτηριστικών σηµείων της συνάρτησης κέρδους G(ω), ή ισοδύναµα, δίνοντας χαρακτηριστικά σηµεία της συνάρτησης λογαριθµικού κέρδους G db (ω), όπως στο σχήµα 3.β. (db) ΣΧΗΜΑ 3. Τα χαρακτηριστικά αυτά σηµεία φαίνονται στο σχήµα 3. και για τον προσδιορισµό τους απαιτούνται πέντε µεγέθη και συγκεκριµένα τα: H c H s ω c ω s ή G o (db) G c (db) G s (db) ω c ω s τα οποία αποτελούν τις προδιαγραφές του φίλτρου. Ανεξάρτητη µεταβλητή µπορεί να είναι η συχνότητα f αν και στη σύνθεση συνηθίζεται η χρήση της κυκλικής συχνότητα ω = πf. Παρατηρήστε στο σχήµα 3. ότι η ζώνη διέλευσης οριοθετείται από την συχνότητα αποκοπής ω C µέχρι την οποία το κέρδος είναι µεταξύ και H C, τιµή που είναι συνήθως πολύ κοντά στο. Από την συχνότητα ω S και πάνω, το κέρδος πρέπει να είναι µικρότερο από H S, µια τιµή σηµαντικά µικρότερη από την H C. Αντίστοιχη περιγραφή του φίλτρου γίνεται και στο σχήµα 3.β, όπου το λογαριθµικό κέρδος εκφράζεται σε db. Συγκεκριµένα, αν τα σχήµατα 3.α και 3.β περιγράφουν το ίδιο φίλτρο, ισχύει ότι: G o 0log, G C 0log H C, και G S 0log H S και 3 -

2 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ G o 0 0 0, H C 0 και H S 0 Με την σχηµατοποίηση αυτή των προδιαγραφών του βαθυπερατού φίλτρου, όταν συντεθεί το κύκλωµα, η γραφική παράσταση της αντίστοιχης συνάρτησής του θα πρέπει να ευρίσκεται ολόκληρη στην επιτρεπόµενη περιοχή και να µην µπαίνει στις γραµµοσκιασµένες περιοχές. Η σύνθεση ενός βαθυπερατού φίλτρου από δεδοµένες προδιαγραφές, ξεκινάει µε την εύρεση µιας ρητής και άρτιας συνάρτησης G(ω) ή G db (ω), της οποίας η γραφική παράσταση δεν παραβιάζει τις προδιαγραφές. Η διαδικασία αυτή ονοµάζεται προσέγγιση και δίνει θεωρητικά άπειρες λύσεις µερικές από τις οποίες είναι κατάλληλες και ικανοποιούν τις απαιτούµενες συνθήκες πραγµατοποιησιµότητος. Αυτό σηµαίνει ότι η εύρεση µιας οποιασδήποτε τέτοιας συνάρτησης της οποίας η γραφική παράσταση δεν παραβιάζει τις προδιαγραφές δεν εξασφαλίζει την πραγµατοποιησιµότητά της ως συνάρτησης ενός πραγµατικού κυκλώµατος. Για παράδειγµα, η συνάρτηση G(ω) ω 4 %5ω %4 ικανοποιεί τις προδιαγραφές του σχήµατος 3.α µε ω C =, ω S =3, Η ο =0.5, Η C =0.354, H S =0. αλλά δεν είναι πραγµατοποιήσιµη, αφού µπορεί κανείς να υπολογίσει ότι αντιστοιχεί στην συνάρτηση µεταφοράς H(s) s %s& (s%)(s&) η οποία έχει πόλο στο απαγορευµένο δεξί ηµιεπίπεδο. Ευτυχώς για τον σχεδιαστή φίλτρων, υπάρχουν τυποποιηµένες προσεγγίσεις των προδιαγραφών πλάτους, οι οποίες οδηγούν µε βεβαιότητα σε πραγµατοποιήσιµες συναρτήσεις. Από τις πιό δηµοφιλείς είναι οι προσεγγίσεις Butterworth, Chebyshev, αντίστροφη Chebyshev και Cauer (ή ελλειπτική). Ο τρόπος µε τον οποίο ικανοποιούν οι προσεγγίσεις αυτές τις προδιαγραφές πλάτους, φαίνονται στο επόµενο σχήµα. G C G S 0 Τελικά για την σχεδίαση φίλτρων, το πρόβληµα της προσέγγισης περιορίζεται στην επιλογή µιας από τις γνωστές προσεγγίσεις που προαναφέρθηκαν, οι οποίες θα παρουσιαστούν στο κεφάλαιο αυτό. Για να συντεθεί και να σχεδιαστεί ένα παθητικό ή ενεργό φίλτρο, απαραίτητη είναι η συνάρτηση µεταφοράς του H(s) V οut (s). Με την διαδικασία της προσέγγισης προσδιορίζεται αρχικά η συνάρτηση V i (s) 3 -

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ κέρδους G(Ω) H(s) sjω. Από αυτήν είναι δυνατόν µετά να υπολογιστεί η συνάρτηση µεταφοράς H(s), πράγµα που γίνεται µέσω του υπολογισµού των πόλων και µηδενικών της χρησιµοποιώντας την σχέση H(s)H(&s) G(Ω) Ω&js G(Ω) Ω &s και τις ιδιότητες της συνάρτησης µεταφοράς. Εποµένως, η προσέγγιση ως διαδικασία, ολοκληρώνεται µε τον υπολογισµό της συνάρτησης µεταφοράς H(s), το µέτρο της οποίας G(Ω) H(s) sjω ικανοποιεί τις προδιαγραφές. Αν οι προδιαγραφές ενός βαθυπερατού φίλτρου δεν δίνονται κανονικοποιηµένες ώστε η συχνότητα αποκοπής να είναι Ω C =, κανονικοποιούνται µε κλιµάκωση των προδιαγραφών µε µονάδα κυκλικής συχνότητος ίση µε την ω C και εποµένως η ω S παίρνει κανονικοποιηµένη τιµή Ω S ω S > ω C Αποδείξαµε στο εδάφιο.4. του κεφαλαίου, ότι οποιαδήποτε κλιµάκωση συχνότητος ή/και αντίστασης δεν µεταβάλλει τα χαρακτηριστικά κέρδους ή εξασθένησης και εποµένως οι κανονικοποιηµένες προδιαγραφές διατηρούν τα µεγέθη του κατακόρυφου άξονα αµετάβλητα (σχήµα 3.3β). ΣΧΗΜΑ 3.3 (α) Προδιαγραφές ΒΠ (β) Κανονικοποιηµένες προδιαγραφές ΒΠ Αν ένα φίλτρο σχεδιαστεί µε κανονικοποιηµένες προδιαγραφές, µπορεί µετά να αποκανονικοποιηθεί, αποκλιµακώνοντας τα στοιχεία του µε ω ο ίση µε την επιθυµητή συχνότητα αποκοπής (βλέπε εδάφιο.4.). Προτυποποιηµένες προδιαγραφές βαθυπερατού φίλτρου είναι κανονικοποιηµένες προδιαγραφές, δηλ. Ω C =, µε το επιπλέον χαρακτηριστικό ότι G()H C (σχήµα 3.4α) ή αν µιλάµε για το λογαριθµικό κέρδος σε db: G o &G db ()G o &G C db (σχήµα 3.4β) Οι προτυποποιηµένες προδιαγραφές χρησιµοποιούνται κυρίως για την πινακοποίηση των τιµών των στοιχείων των φίλτρων και αν κανείς θέλει µιαν άλλη τιµή G(), πρέπει στις τιµές των στοιχείων που παίρνει από τους σχετικούς πίνακες, να κάνει την αντίστοιχη κλιµάκωση συχνότητος. ΣΧΗΜΑ

4 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ 3. Η προσέγγιση Butterworth Με δεδοµένες τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές κέρδους ενός βαθυπερατού φίλτρου, H c H s και Ω s (Ω c = ) αναζητούµε µια συνάρτηση κέρδους G(Ω), η γραφική παράσταση της οποίας δεν θα παραβιάζει τις προδιαγραφές, µπαίνοντας σε γραµµοσκιασµένες περιοχές (σχήµα 3.5). Ο S. Butterworth [] χρησιµοποίησε την συνάρτηση G(Ω) ΣΧΗΜΑ 3.5 %β Ω µε β µε θετικό ακέραιο αριθµό, η οποία γιά Ω=0 είναι εξ ορισµού G(0) = Η ο και γιά Ω= παίρνει τιµή G() = Η C λόγω της τιµής του β, η οποία έχει επιλεγεί ακριβώς για να δίνει G() = Η C. H C & (3.) Η παράγωγος της προσέγγισης G(Ω) %β Ω ως προς Ω είναι d dω G(Ω) d dω & β Η ο Ω & %β Ω 3 %β Ω η οποία είναι µονίµως αρνητική και εποµένως η G(Ω) είναι µονοτονικά φθίνουσα. Αποδεικνύεται επίσης ότι όλες οι - παράγωγοι της G(Ω) µηδενίζονται γιά Ω=0 και εποµένως η γραφική της παράσταση είναι όσο γίνεται πιό επίπεδη για Ω=0, γεγονός στο οποίο οφείλεται η ονοµασία της προσέγγισης ως µέγιστα επίπεδης (maximally flat). Τελικώς, η συνάρτηση Butterworth G(Ω) της σχέσης 3. ικανοποιεί τις προδιαγραφές από Ω=0 έως Ω= σύµφωνα µε το σχήµα 3.6, αλλά όχι κατ ανάγκην και γιά Ω >, όπως δείχνει η διακεκοµµένη γραµµή στο ίδιο σχήµα. (3.) ΣΧΗΜΑ

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Για να ικανοποιηθούν οι προδιαγραφές και για τιµές Ω >, επειδή η G(Ω) είναι µονοτονικά φθίνουσα, αρκεί να εξασφαλιστεί ότι G(Ω S ) # Η S, δηλαδή: G(Ω s ) %β Ω S #H S ] Ω S $ H o H S & β ] ] log Ω S $log Από την σχέση αυτή προκύπτει τελικά ότι: H o H S & β ] logω S $log H o H S β & $ MIN log H o H S β & logω S log H o H S H o H C & logω S & (3.3) Επειδή το πρέπει να είναι ακέραιος αριθµός, λαµβάνεται ως ο µικρότερος ακέραιος που ικανοποιεί την $ MIN µε αποτέλεσµα G(Ω S ) # H S. Μόνον στην περίπτωση που υπολογιστεί ότι ο MIN είναι ακέραιος µπορεί να ληφθεί = MIN οπότε G(Ω S )=H S. Από την 3.3 γίνεται σαφές ότι η τάξη της προσέγγισης µεγαλώνει όσο το Ω s τείνει προς την µονάδα και απειρίζεται όταν Ω s =. Οσο δηλ. πιό στενή ζώνη µετάβασης ορίζουν οι προδιαγραφές, τόσο πιό µεγάλο είναι το. Επίσης εύκολα παρατηρεί κανείς ότι όσο το H c τείνει στο Η o ή όσο µικραίνει το Η s, µεγαλώνει και το, µε απειρισµούς όταν H c = Η o ή Η s = 0. Οι παρατηρήσεις αυτές επιβεβαιώνουν το γεγονός ότι δεν είναι εφικτή η προσέγγιση ιδανικών προδιαγραφών βαθυπερατού φίλτρου. Εποµένως η συνάρτηση G(Ω) %β Ω µε β & και $ MIN που ικανοποιεί την H C παραπάνω σχέση 3.3, ικανοποιεί τις προδιαγραφές κέρδους µε τον τρόπο που φαίνεται στο σχήµα 3.7. Αναφερόµενοι στο σχήµα αυτό, η συχνότητα Ω 3dB, στην οποία το κέρδος γίνεται ίσο µε, (δηλ. το λογαριθ- µικό κέρδος πέφτει κατά 3dB από την τιµή του γιά Ω=0), υπολογίζεται ως εξής: G(Ω 3dB ) %β Ω 3dB ) ΣΧΗΜΑ 3.7 ] βω 3dB ] Ω 3dB β ]...] Ω 3dB β (3.4) 3-5

6 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3. ΣΧΗΜΑ 3.8 Να βρεθεί η συνάρτηση κέρδους G(ω) Butterworth που ικανοποιεί τις προδιαγραφές του σχήµατος 3.8α. Αναγνωρίζουµε τις προδιαγραφές: ω C =600 rad/sec, ω S =800 rad/sec, Η ο =, Η C =.90 και H S =0.. Κανονικοποιούµε µε ω C =600 rad/sec, οπότε οι κανονικοποιηµένες προδιαγραφές θα είναι: Ω C =, Ω S =3, Η ο =, Η C =.90 και H S =0.. Οι κανονικοποιηµένες προδιαγραφές φαίνονται στο σχήµα 3.8β Για να υπολογίσουµε την G(Ω) που ικανοποιεί τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές, αρκεί να υπολογίσουµε το β και το. Από την 3. έχουµε: β Από την 3.3 παίρνουµε: H C & & log $ MIN log3 Επιλέγουµε τον µικρότερο ακέραιο που ικανοποιεί την σχέση για το, δηλ. =4 και τελικά: G(Ω) % Ω 8 Φυσικά η συνάρτηση κέρδους που ικανοποιεί τις αρχικές, µη κανονικοποιηµένες προδιαγραφές θα είναι η G(ω) % ω 8 ω C Στο σχήµα φαίνεται πως οι παραπάνω υπολογισµοί γίνονται στο Mathcad, στο οποίο ελέγχεται πολύ εύκολα και η γραφική παράσταση της G(Ω). & β Βαθυπερατά φίλτρα που συντίθενται ώστε να έχουν τέτοιου είδους µονοτονική καµπύλη απόκρισης, ονοµάζονται βαθυπερατά φίλτρα Butterworth και φυσικά η ονοµασία δεν αναφέρεται σε κάποια ιδιαίτερη δοµή, τεχνολογία ή τοπολογία τους αλλά στον τύπο της µονοτονικής τους καµπύλης απόκρισης λόγω της συγκεκριµένης προσέγγισης. Τα φίλτρα µε απόκριση Butterworth µπορούν να υλοποιηθούν σε οποιαδήποτε κατάλληλη τεχνολογία, µε παθητικά ή µε ενεργά κυκλώµατα Το σχήµα 3.9α δείχνει τις καµπύλες του κέρδους G(Ω) και του λογαριθµικού κέρδους G db (Ω) για Ω> και για διάφορες τιµές του, διατηρώντας φυσικά τις ίδιες τιµές στο Η ο και Η C (εποµένως και στο β). Το Ω παριστάνεται σε λογαριθµική κλίµακα. Είναι σαφές ότι όσο µεγαλώνει η τάξη της προσέγγισης, η 3-6

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ καµπύλη γίνεται πιό απότοµη. ΣΧΗΜΑ 3.9 Ενα χαρακτηριστικό της απόκρισης Butterworth είναι ότι στην ζώνη αποκοπής για Ω>>Ωs, εµφανίζει ρυθµό αποκοπής που εξαρτάται µόνον από την τάξη της προσέγγισης. Ο ρυθµός αποκοπής r ορίζεται στη ζώνη αποκοπής ως η διαφορά του λογαριθµικού κέρδους για µια συχνότητα Ω >>Ωs µε το λογαριθµικό κέρδος για την διπλάσια συχνότητα Ω, δηλ. r0log G(Ω ) &0log G(Ω ) 0log G(Ω G(Ω ) 0log %β Ω %β Ω.0log β Ω β Ω 0log( )0log().6 db octave Αυτό σηµαίνει ότι το λογαριθµικό κέρδος στη ζώνη αποκοπής, για Ω>>Ω s, µειώνεται κατά 6 db σε κάθε διπλασιασµό συχνότητος (octave). Η σχέση που δίνει τον ρυθµό αποκοπής φίλτρων Butterworth, ερµηνεύει το σχήµα 3.9. Πολλές φορές δίνεται ως προδιαγραφή ο ρυθµός αποκοπής, από τον οποίο υπολογίζεται η τάξη (π.χ. δίνεται r=4 db/octave που σηµαίνει =4). Στην περίπτωση αυτή περιττεύουν οι προδιαγραφές Ωs και Ηs, από τις οποίες προσδιορίζεται συνήθως η τάξη. 3.. Η συνάρτηση µεταφοράς των βαθυπερατών φίλτρων Butterworth Οταν γνωρίζουµε το κέρδος G(Ω), που είναι το µέτρο της συνάρτησης µεταφοράς για s=jω, G(Ω) H(s) sjω γιά να συνεχιστεί η σύνθεση πρέπει από αυτό να υπολογιστεί η ίδια η συνάρτηση µεταφοράς H(s), για την οποία γνωρίζουµε επιπροσθέτως ότι ο παρονοµαστής της είναι πολυώνυµο Hurwitz, δεν έχει δηλαδή πόλους στο δεξί ηµιεπίπεδο. Ο υπολογισµός της H(s) βασίζεται στη σχέση.7 του κεφαλαίου : H(s)H(&s) H(jΩ) Ω &s G(Ω) / Ω &s (Στην αντικατάσταση της µεταβλητής, χρησιµοποιείται ισοδύναµα Ω = -s ή Ω = - js) Βάζοντας G(Ω) στην παραπάνω σχέση παίρνουµε: %β Ω 3-7

8 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ H o H o %β Ω / 0 Ω &s H o %β (&s ) H(s)H(&s) β %(&s ) Ο παρονοµαστής του δεξιού σκέλους της 3.5 είναι ένα δυώνυµο της µορφής β (3.5) x % β όπου έχει χρησιµοποιηθεί x&s. Οι ρίζες του δυωνύµου, είναι φυσικά οι ρίζες της εξίσωσης x % β και εποµένως οι ρίζες είναι: x & & 0 όπου & β β jπ βe x k β e j k% π µε k0,,,...& (Βλέπε σχετικά σχέση. στο εδάφιο. του κεφαλαίου ) Επειδή έχουµε θέσει x = - s, θα έχουµε s k & β e j k% π β e j k% π%π µε k0,,,...& όπου το αρνητικό πρόσηµο απερροφήθη προσθέτοντας π στη γωνία. Τελικά βρίσκουµε ότι οι ρίζες της είναι: β %(&s ) 0 s k% β e j k% π% π και s k& β e j k% π& π µε k0,,,...& Οι ρίζες αυτές είναι πόλοι της H(s)H(-s). Σηµειώνεται ότι δεν υπάρχουν ρίζες στον jω-άξονα και ότι πραγµατική ρίζα υπάρχει µόνον για περιττά µε τιµή ±. Οι ρίζες s k+ είναι όλες στο αριστερό β ηµιεπίπεδο αφού π < k% π% π < 3π για όλα τα k0,,...& ενώ όλες οι ρίζες s k- βρίσκονται στο δεξί ηµιεπίπεδο. Αξιοποιώντας τα συµπεράσµατα αυτά, η 3.5 γράφεται H(s)H(&s) από την οποία αναγνωρίζεται η H(s) ως: H o β β %(&s ) H 0 β & k (s&s k% ) k0 πόλοι στο ΑΗ β & k (s&s k& ) k0 πόλοι στο Η (3.6α) 3-8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ H 0 H 0 β β H BUT (s) & k (s&s k% ) s&β e j π % π s&β e j 3π % π... s&β e j (&)π % π k0 H συνάρτηση µεταφοράς Butterworth H BUT (s) έχει µόνον πόλους (ολοπολική, all pole), οι οποίοι δίνονται από την σχέση: s k% και βρίσκονται όλοι σε έναν κύκλο ακτίνας β e j k% π% π µε k0,,,...& (3.6β), όπου το β δίνεται από την 3. και εξαρτάται µόνον από τις προδιαγραφές Η o και H C. Γιά k=0, παίρνουµε τον πρώτο πόλο µε γωνία π "απέχουν" από αυτόν κατά γωνία, όπως δείχνει το σχήµα 3.0. β π % π και οι επόµενοι ΣΧΗΜΑ 3.0 ΣΧΗΜΑ 3. Στο σχήµα 3. φαίνονται οι πόλοι της συνάρτησης µεταφοράς Butterworth για =3 και =4. Με µια µικρή ρύθµιση του δείκτη k ώστε να µεταβάλλεται από k=,,..., η συνάρτηση µεταφοράς Butterworth είναι: H BUT (s) H 0 β k (s&s k% ) k µε s k% 3-9 β e j k%& π για k,,.. Θα αποδείξουµε σε επόµενο κεφάλαιο ότι η ολοπολική βαθυπερατή συνάρτηση µεταφοράς Butterworth (3.7)

10 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ µπορεί να υλοποιηθεί από διπλά τερµατισµένα κλιµακωτά παθητικά δίθυρα κυκλώµατα LC, τα οποία έχουν επαγωγείς στους κλάδους σειράς και πυκνωτές στους παράλληλους κλάδους. Οι τιµές των στοιχείων, προκύπτουν από την διαδικασία της σύνθεσης. Το πλήθος των απαιτούµενων στοιχείων αποθήκευσης ενέργειας (επαγωγέων και πυκνωτών) στην περίπτωση αυτή είναι ίσο µε την τάξη της προσέγγισης. Το σχήµα δείχνει ένα τέτοιο βαθυπερατό φίλτρο µε απόκριση Butterworth µε = Συναρτήσεις µεταφοράς προτύπων βαθυπερατών φίλτρων Butterworth Αν θεωρήσουµε την περίπτωση της προσέγγισης πρωτυποποιηµένων προδιαγραφών, δηλ. G()H C, τότε β = και η συνάρτηση µεταφοράς των προτύπων φίλτρων Butterworth δίνεται από την σχέση: H 0 H BUT (s) (β) s&e j π % π s&e j 3π % π... s&e j (&)π % π από την οποία µπορούµε να πάρουµε τον πίνακα συναρτήσεων µεταφοράς πρότυπων φίλτρων Butterworth (Πίνακας 3.Ι), ο οποίος είναι ιδιαίτερα χρήσιµος στην σχεδίαση φίλτρων µε µέγιστα επίπεδη απόκριση. ΠΙΝΑΚΑΣ 3.Ι Παρονοµαστής D(s) συνάρτησης µεταφοράς προτύπων φίλτρων Butterworth H BUT (s) H G(Ω) H BUT (jω) o G() D(s) %Ω s&e j π % π s&e j 3π % π... s&e j (&)π % π s% s % s% (s%)(s %s%) s 3 %s %s% (s % s%)(s % s%) s 4 %.636s 3 %3.444s %.636s% (s%)(s % s%)(s %.68034s%) s 5 % s 4 % s 3 % s % s% (s % s%)(s % s%)(s %.9385s%) s 6 % s 5 %7.4640s 4 %9.460s 3 %7.4640s % s% (s%)(s % s%)(s %.46980s%)(s %.80938s%) s 7 % s 6 % s 5 % s 4 % % s 3 % s % s% 3-0

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ 8 9 (s %0.3908s%)(s %.4s%)(s %.66939s%)(s %.9657s%) s 8 %5.583s 7 %3.3707s 6 %.8465s 5 % s 4 % %.8465s 3 %3.3707s %5.583s% (s%)(s %s%)(s % s%)(s %.53089s%)(s % s%) s 9 % s 8 %6.5879s 7 % s 6 % s 5 % % s 4 % s 3 %6.5879s % s% Αν οι κανονικοποιηµένες προδιαγραφές απαιτούν G()H C, τότε και οι β & αντίστοιχες συναρτήσεις µεταφοράς θα είναι απλώς κλιµακωµένες ως προς την συχνότητα δηλαδή H(s)Η BUT s Ω 3dB D s Ω 3dB όπου Ω 3dB β H C ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3. Να υπολογιστεί η συνάρτηση µεταφοράς κανονικοποιηµένου βαθυπερατού φίλτρου Butterworth 3ης τάξης µε G(0)=4 και G()=3.9. Από τον πίνακα έχουµε για το πρότυπο φίλτρο Butterworth 3ης τάξης: H BUT (s) D(s) 4 s 3 %s %s% που έχει όµως G()=0.707*4=.884 ενώ εµείς θέλουµε G()=3.9. Για τα δεδοµένα G(0)=4 και G()=3.9, υπολογίζουµε ότι Ω 3dB β και εποµένως η συνάρτηση µεταφοράς θα είναι s H(s)H BUT.6373 s D Προσέγγιση Chebyshev G(0) G() & s % s.6373 % s.6373 % Τα πολυώνυµα Chebyshev, που παρουσιάστηκαν στο κεφάλαιο, µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την προσέγγιση των προδιαγραφών ενός βαθυπερατού φίλτρου. Με δεδοµένες τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές H c H s και Ω s (Ω c = ) αναζητούµε µια συνάρτηση κέρδους G(Ω), η γραφική παράσταση της οποίας δεν θα παραβιάζει τις γραµµοσκιασµένες περιοχές του σχήµατος. 3 -

12 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Η συνάρτηση Ξ (Ω)%ε C (Ω), όπου C (Ω) το πολυώνυµο Chebyshev τάξης (Κεφάλαιο, εδάφιο.0, σχέση.59), στο διάστηµα 0 έως παίρνει τιµές που κυµαίνονται µεταξύ και +ε ενώ για Ω= είναι Ξ ()=+ε, αφού C () γιά όλα τα. Η συνάρτηση εποµένως θα παίρνει στο ίδιο διάστηµα τιµές µεταξύ και ενώ Ξ (Ω) %ε C (Ω) %ε η θα κυµαίνεται µεταξύ και, και η συνάρτηση Ξ (Ω) %ε C (Ω) %ε Η ο Ξ (Ω) Η ο %ε C (Ω) Η θα κυµαίνεται µεταξύ Η ο και ο Η και για Ω= θα είναι ο. %ε %ε ΣΧΗΜΑ 3. Γιά τιµές Ω>, η Ξ (Ω) είναι θετική και µονοτονικά αύξουσα, εποµένως η µονοτονικά φθίνουσα τείνοντας στο 0. Η ο Ξ (Ω) θα είναι θετική και Αν εποµένως επιλέξουµε τον συντελεστή κυµάτωσης (ripple) ε έτσι που Η ο Η C, δηλαδή %ε 3 -

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ε H C &, η συνάρτηση G CH (Ω) Ξ (Ω) %ε C (Ω) µε ε H C & (3.) για 0<Ω< θα κυµαίνεται µεταξύ Η ο και Η C και για Ω= θα έχει τιµή ίση µε Η C, όπως δείχνει το σχήµα 3.3. Ως προς την τιµή G(0), αυτή είναι ΣΧΗΜΑ 3.3 G CH (0) = Η ο γιά περιττά και G CH (0)Η C γιά άρτια. %ε Ο συντελεστής κυµάτωσης ή απλά κυµάτωση (ripple) ε, έχει τιµή ε= µόνον όταν Η C Η ο. Τελικώς, η συνάρτηση G CH (Ω) της σχέσης 3. µε την συγκεκριµένη τιµή του συντελεστή κυµάτωσης ε, ικανοποιεί τις προδιαγραφές από Ω=0 έως Ω= για όλες τις τιµές του σύµφωνα µε το σχήµα 3.3, µε την σχετική διαφοροποίηση για Ω=0, όπου µε περιττής τάξης πολυώνυµα η G CH (Ω) γίνεται Η ο ενώ µε άρτιας τάξης πολυώνυµα γίνεται H C. Η G CH (Ω) δεν ικανοποιεί όµως κατ ανάγκην τις προδιαγραφές και γιά Ω >, όπως δείχνει η διακεκοµµένη γραµµή στο σχήµα 3.4. ΣΧΗΜΑ 3.4 Επειδή για Ω> τα πολυώνυµα C (Ω) είναι µονοτονικά αύξουσες συναρτήσεις, η G CH (Ω) της 3. είναι µονοτονικά φθίνουσα σε αυτό το πεδίο τιµών και για να ικανοποιηθούν οι προδιαγραφές για τιµές Ω >, αρκεί να εξασφαλιστεί ότι G CH (Ω S ) $Η S, δηλαδή: Η ο G CH (Ω s ) %ε C (Ω S ) #H S ] C (Ω S )$ H o H S & ε ] ] cosh & Ω S $cosh & H o H S & ε ] 3-3

14 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ $ MIN cosh & H o H S ε cosh & Ω S & cosh & H o H S H o H C cosh & Ω S & & (3.3) Από την 3.3 γίνεται σαφές ότι η τάξη της προσέγγισης µεγαλώνει όσο µικραίνει το Ω s τείνοντας στη µονάδα και απειρίζεται όταν Ω s =. Οσο δηλ. πιό στενή ζώνη µετάβασης ορίζουν οι προδιαγραφές, τόσο πιό µεγάλο είναι το. Επίσης εύκολα παρατηρεί κανείς ότι όσο το H c τείνει στο Η o ή όσο µικραίνει το Η s, µεγαλώνει και το, µε απειρισµούς όταν H c = Η o και Η s = 0. Οι παρατηρήσεις αυτές επιβεβαιώνουν το γεγονός ότι δεν είναι εφικτή η προσέγγιση ιδανικών προδιαγραφών βαθυπερατού φίλτρου, τουλάχιστον µε την προσέγγιση αυτή. Εποµένως η συνάρτηση G CH (Ω) µε ε %ε C (Ω) H C & και $ MIN που ικανοποιεί την σχέση 3.3, ικανοποιεί τις προδιαγραφές κέρδους µε τον τρόπο που φαίνεται στο σχήµα 3.5α. Επειδή το πρέπει να είναι ακέραιος αριθµός, λαµβάνεται ως ο µικρότερος ακέραιος που ικανοποιεί την $ MIN µε αποτέλεσµα G CH (Ω S ) # H S. Σηµειώνεται ο τρόπος ικανοποίησης των προδιαγραφών για άρτια ή ΣΧΗΜΑ 3.5α περιττά. Οταν το είναι πριττό, G CH (0)=Η o ενώ όταν άρτιο, G CH (0)=Η C. Και στις δύο περιπτώσεις G CH ()=Η C. Χαρακτηριστικό είναι επίσης το γεγονός ότι στο πεδίο Ω=0 έως, υπάρχουν ακρότατα προσµετρώντας φυσικά και αυτό γιά Ω=0. Η συχνότητα Ω 3dB του σχήµατος 3.5β, στην οποία το κέρδος γίνεται ίσο µε, (δηλ. το λογαριθµικό κέρδος πέφτει κατά 3dB από την τιµή του γιά Ω=0), υπολογίζεται ως εξής: G CH (Ω 3dB ) %ε C (Ω 3dB ) ] εc (Ω 3dB ) ] cosh(cosh & (Ω 3dB )) ε ]...] ΣΧΗΜΑ 3.5β Ω 3dB cosh cosh& ε (3.4) Φίλτρα που συντίθενται ώστε να έχουν τέτοιου είδους καµπύλη απόκρισης µε κυµάτωση στη ζώνη διέλευσης και µονοτονική στη ζώνη αποκοπής, ονοµάζονται φίλτρα Chebyshev και φυσικά η ονοµασία δεν αναφέρεται σε κάποια ιδιαίτερη δοµή ή τοπολογία τους αλλά στον τύπο της καµπύλης απόκρισης µε την χαρακτηριστική κυµάτωση λόγω της συγκεκριµένης προσέγγισης µε πολυώνυµα Chebyshev. Φίλτρα µε απόκριση Chebyshev, είναι δυνατόν να υλοποιηθούν σε οποιαδήποτε τεχνολογία µε ενεργά ή παθητικά κυκλώµατα. ΕΦΑΡΜΟΓΗ

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Να βρεθεί η συνάρτηση κέρδους G CH (ω) Chebyshev, που ικανοποιεί τις προδιαγραφές του σχήµατος 3.6α. ΣΧΗΜΑ 3.6α ΣΧΗΜΑ 3.6β Αναγνωρίζουµε τις προδιαγραφές: ω C =600 rad/sec, ω S =800 rad/sec, Η ο =, Η C =.90 και H S =0.. Κανονικοποιούµε µε ω C =600 rad/sec, οπότε οι κανονικοποιηµένες προδιαγραφές θα είναι: Ω C =, Ω S =3, Η ο =, Η C =.90 και H S =0.. Οι κανονικοποιηµένες προδιαγραφές φαίνονται στο σχήµα 3.6β. Για να υπολογίσουµε την G(Ω) που ικανοποιεί τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές, αρκεί να υπολογίσουµε το ε και το : Από την 3. έχουµε: ε H C &.0.90 & cosh & 0. &.0.9 & Από την 3.3 υπολογίζουµε το MIN : $ MIN.7346 cosh & 3 Επιλέγουµε τον µικρότερο ακέραιο που ικανοποιεί την σχέση για το, δηλ. =3: G CH (Ω) % C 3 (Ω) % (4Ω 3 &3Ω) % Ω (4Ω &3) Φυσικά η G CH (ω) που ικανοποιεί τις µη κανονικοποιηµένες προδιαγραφές θα είναι η G CH (ω) % ω 3 ω &3 ω 3 ω C c Οι παραπάνω υπολογισµοί γίνονται στη συνέχεια στο Mathcad µε σκοπό να ελεγχθεί και η γραφική παράσταση της Η(Ω). 3-5

16 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Το σχήµα ποπυ ακολουθεί δείχνει τις καµπύλες του κέρδους G(Ω) και του λογαριθµικού κέρδους G db (Ω) για Ω> και για =3 έως =7, διατηρώντας φυσικά τις ίδιες τιµές στο Η ο και Η C (εποµένως και στην κυµάτωση ε). Το Ω παριστάνεται σε λογαριθµική κλίµακα. Είναι σαφές ότι όσο µεγαλώνει η τάξη της προσέγγισης, η καµπύλη γίνεται πιό απότοµη. Αυτό εξηγείται παρακάτω. 3-6

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Χαρακτηριστικό και της απόκρισης Chebyshev είναι ότι στην ζώνη αποκοπής για Ω>>Ωs, εµφανίζει σταθερό ρυθµό αποκοπής που εξαρτάται µόνον από το. Ο ρυθµός αποκοπής r ορίστηκε στη ζώνη αποκοπής ως η διαφορά του λογαριθµικού κέρδους για µια συχνότητα Ω >>Ωs µε το λογαριθµικό κέρδος για Ω, δηλ. r0log G(Ω ) &0log G(Ω ) 0log G(Ω G(Ω ) 0log %ε C (Ω ) %ε C (Ω ). ε C.0log (Ω ) C 0log (Ω ) ε C (Ω ) C (Ω ) Γιά να αποδείξουµε ότι το r εξαρτάται µόνον από το, θα εκµεταλλευτούµε το γεγονός ότι Ω >>, οπότε το αντίστροφο υπερβολικό συνηµίτονο που δίνεται από την.49 ως cosh & (Ω ) l Ω %(Ω &) για Ω >> γίνεται cosh & (Ω ) l Ω. Αντίστοιχα, το υπερβολικό συνηµίτονο που ορίζεται από την.6α ως cosh(ω ) e Ω %e &Ω για œ Ω 0ú για Ω >> γίνεται cosh(ω ) e Ω Έτσι για Ω >>, C (Ω )cosh(cosh & (Ω ))cosh l(4ω )) Ω και, και εποµένως C (Ω )cosh(cosh & (Ω ))cosh l(ω )) Ω r0log C (Ω ) C (Ω ) 0log( )0log().6 db octave Εποµένως το λογαριθµικό κέρδος της απόκρισης Chebyshev στη ζώνη αποκοπής µειώνεται κατά 6 db σε κάθε διπλασιασµό συχνότητος (octave). Υπενθυµίζεται ότι όταν δίνεται ο ρυθµός αποκοπής ως προδιαγραφή, υπολογίζεται από αυτόν η τάξη και περιττεύουν οι προδιαγραφές Ωs και Ηs Η συνάρτηση µεταφοράς των βαθυπερατών φίλτρων Chebyshev Με την προσέγγιση Chebyshev, όπως και µε κάθε άλλη προσέγγιση, προσδιορίζεται απλώς το µέτρο της συνάρτησης µεταφοράς G CH (Ω) H(s) sjω αλλά γιά να συντεθεί το φίλτρο είναι απαραίτητη η ίδια η συνάρτηση µεταφοράς H CH (s) N(s), της οποίας γνωρίζουµε πλέον το µέτρο και επιπροσθέτως ότι ο D (s) παρονοµαστής της D (s) είναι πολυώνυµο Hurwitz, δεν έχει δηλαδή ρίζες στο δεξί ηµιεπίπεδο. Γιά την Η CH (s) θα ισχύει φυσικά ότι H CH (s)h CH (&s) N(s)N(&s) D (s)d (&s) G CH (jω) Ω&js δηλαδή N(s)N(&s) D (s)d (&s) Ho Ξ (Ω) Ω&js 3-7

18 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Από την σχέση αυτή είναι προφανές ότι N(s)N(&s)H o Y N(s) και για το D (s) θα πρέπει D (s)d (&s)ξ (Ω) %ε C Ω&js (Ω) / Ω&js Το %ε C (&js) είναι ένα πολυώνυµο του s µε πραγµατικούς συντελεστές της µορφής: %ε C (&js)ε c (&s ) %a(&s ) & %... D (s)d (&s) µε το c που εµφανίζεται στον συντελεστή ε c να είναι ο συντελεστής το όρου µεγαλύτερης τάξης του πολυωνύµου Chebyshev C (Ω). Με υπολογισµένον συντελεστή κυµάτωσης ε και προσδιορισµένη την τάξη του πολυωνύµου Chebyshev από τις προδιαγραφές, το πολυώνυµο Hurwitz D (s) έχει υπολογιστεί στο εδάφιο.0 του κεφαλαίου ότι έχει πόλους s k σ k %jω k στο αριστερό ηµιεπίπεδο µε σ k Re[s k ]si (k&)π Ω k Im[s k ] cos (k&)π sih sih& ε cosh sih& ε γιά k = +, +,.... Οι παραπάνω σχέσεις για να έχουµε τον δείκτη από έως, γράφονται µε δείκτη λ=,, 3,... ως: σ λ si (%λ&)π sih sih& ε (3.5α) Ω λ cos (%λ&)π cosh sih& ε και τελικά το πολυώνυµο D (s) δίνεται από την.75 του κεφαλαίου, τροποποιηµένη ως προς τον δείκτη, ως: D (s)εc k (s&s λ )εc s&(σ %jω ) s&(σ %jω )... s&(σ %jω ) λ (3.5β) µε σ λ και Ω λ που δίνονται από τις σχέσεις 3.5α. Το c είναι ο συντελεστής του όρου µεγαλύτερης τάξης του C (Ω). Στο εδάφιο.0 αποδείχτηκε µάλιστα ότι σ λ % (3.5γ) sih sih& cosh ε sih& ε που σηµαίνει ότι οι ρίζες του D (s), οι πόλοι δηλαδή της H CH (s) N(s), D (s) κείνται πάνω σε µια έλλειψη µε τον µείζονα άξονα πάνω στον jω-άξονα και τον ελάσσονα πάνω στον πραγµατικό άξονα, όπως στο σχήµα 3.7. Υπενθυµίζεται ότι στην περίπτωση της προσέγγισης Butterworth, οι αντίστοιχες ρίζες ήταν πάνω σε κύκλο. Πραγµατική ρίζα του D (s) υπάρχει µόνον όταν το είναι περιττό και δίνεται από τις 3.5α για λ ο %. Γιά περιττό και λ O % Y s λo &sih ΣΧΗΜΑ 3.7 sih& % j0 ε Σηµειώνεται ότι δεν υπάρχουν πόλοι πάνω στον jω-άξονα (µε µηδενικό δηλ. πραγµατικό µέρος), αφού αυτό θα απαιτούσε si (%λ&)π 0, δηλαδή ο θετικός ακέραιος λ να είναι λ. & Τελικώς, η συνάρτηση µεταφοράς των βαθυπερατών φίλτρων Chebyshev είναι: Ω λ 3-8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ H CH (s) εc k (s&s k ) k σ k si (%k&)π Ω k cos (%k&)π εc s&(σ %jω )... s&(σ %jω ) µε s k σ k %jω k όπου sih sih& ε cosh sih& ε µε k,,... (3.0) Το c είναι ο συντελεστής του όρου µεγαλύτερης τάξης του C (Ω) και αν δεν είναι διαθέσιµος, υπολογίζεται ως c lim Ω64 C (Ω) όπου C Ω (Ω)cosh cosh & (Ω) Οι βαθυπερατές συναρτήσεις µεταφοράς Chebyshev είναι και αυτές ολοπολικές (all pole) και σε επόµενο κεφάλαιο θα αποδείξουµε ότι όπως ακριβώς και στην περίπτωση της προσέγγισης Butterworth, µπορούν να υλοποιηθούν από διπλά τερµατισµένα κλιµακωτά παθητικά δίθυρα κυκλώµατα LC, τα οποία έχουν επαγωγείς στους κλάδους σειράς και πυκνωτές στους παράλληλους κλάδους. Το πλήθος των απαιτούµενων στοιχείων αποθήκευσης ενέργειας (επαγωγέων και πυκνωτών) είναι ίσο µε την τάξη της προσέγγισης και αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο επιδιώκουµε την µικρότερη δυνατή τιµή της. Οι τιµές των στοιχείων προκύπτουν από την διαδικασία της σύνθεσης. Το σχήµα δείχνει ένα τέτοιο βαθυπερατό φίλτρο µε = 5. Παρατηρήστε ότι τα φίλτρα Chebyshev έχουν ακριβώς την ίδια τοπολογική µορφή µε τα φίλτρα Butterworth. Οι τιµές όµως των στοιχείων καθορίζουν την θέση των πόλων και διαφοροποιούν την καµπύλη απόκρισης. Ο πίνακας 3.ΙΙ δίνει το πολυώνυµο D (s) του παρονοµαστή της συνάρτησης µεταφοράς κανονικοποιηµένων βαθυπερατών φίλτρων Chebyshev. υστυχώς απαιτείται άλλος πίνακας για κάθε τιµή του συνελεστή κυµάτωσης ε και συνήθως επιλέγονται οι τιµές εκείνες που οδηγούν σε κυµάτωση 0. db, 0.5 db,.0 db,.0 db και 3.0 db του λογαριθµικού κέρδους 0log H C 0log %ε (db) 3.3. Συναρτήσεις µεταφοράς προτύπων βαθυπερατών φίλτρων Chebyshev Μέχρι τώρα έχουµε προσεγγίσει τις προδιαγραφές µε τον τρόπο που δείχνει το σχήµα 3.8, δηλ. µε G CH ()=Η C. Στην περίπτωση αυτή, η συχνότητα Ω 3dB στην οποία το κέρδος γίνεται ίσο µε (το λογαριθµικό κέρδος πέφτει κατά 3 db από το 0logΗ o ), δίνεται από την σχέση 3.4: Ω 3dB cosh cosh& ε Οι προτυποποιηµένες προδιαγραφές βαθυπερατών ΣΧΗΜΑ 3.8 φίλτρων Chebyshev έχουν Ω 3dB = και εποµένως προκύπτουν από τις κανονικοποιηµένες του σχήµατος 3.8 µε µια κλιµάκωση συχνότητος µε Ω 3dB, όπως φαίνεται στο σχήµα

20 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Σύµφωνα µε όσα εκτέθηκαν στο εδάφιο κεφάλαιο, η κλιµάκωση συχνότητος δεν µεταβάλλει τα χαρακτηριστικά κέρδους αλλά απλά κλιµακώνει την συνάρτηση µεταφοράς, η οποία στην περίπτωση των προτύπων βαθυπερατών φίλτρων Chebyshev (Ω 3dB =) θα είναι H CH (s)h CH (Ω 3dB s) Στην περίπτωση αυτή, η συχνότητα στην οποία το κέρδος γίνεται ίσο µε H C δίνεται από την Ω HC cosh cosh& ε (3.) ΣΧΗΜΑ Η αντίστροφη προσέγγιση Chebyshev Στην αντίστροφη Chebyshev προσέγγιση, οι προδιαγραφές προσεγγίζονται όπως στο σχήµα 3.0, µε µια συνάρτηση, η οποία είναι µονοτονική στη ζώνη διέλευσης και έχει κυµατισµό µε ίσα µέγιστα στη ζώνη αποκοπής, στην οποία εµφανίζει και πραγµατικά µηδενικά µετάδοσης (κέρδος=0). Ο τρόπος µε τον οποίο κατασκευάζεται η συνάρτηση G ΙCH (Ω) της αντίστροφης Chebyshev προσέγγισης από την συνάρτηση της προσέγγισης Chebyshev G CH (Ω) και η µορφή της γραφικής της παράστασης, δικαιολογούν την ονοµασία της: ΣΧΗΜΑ 3.0 G ICH (Ω) & % ε C Ω εc Ω % ε C Ω (3.) Το έχει επιλεγεί έτσι που G ΙCH () = Η C : Επιλογή Ω o για G ICH ()H c cosh µε bcosh & b ε H o H c & (3.3) Η G ΙCH (Ω) συναρτήσει της Ξ (x)%ε C (x) του εδαφίου.0 (σχέση.58) είναι: G ICH (Ω) & Ξ Ω και εποµένως οι τιµές της εύκολα µπορούν να υπολογιστούν από τις τιµές της Ξ (x), που έχει ήδη µελετηθεί. Η παράσταση της Ξ (x)%ε C (x) φαίνεται στο σχήµα 3. γιά τις δύο περιπτώσεις του, 3-0

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ άρτιο και περιττό. ΣΧΗΜΑ 3. Χαρακτηριστικό είναι ότι η Ξ (x)%ε C (x) είναι µονοτονικά αύξουσα για x>, ενώ παρουσιάζει κυµατισµό ίσων ακροτάτων για από 0 έως. Εποµένως η Ξ (/x) θα είναι µονοτονικά φθίνουσα από 0 έως και θα έχει κυµατισµό ίσων ακροτάτωναπό x= έως άπειρο. Η κατάσταση αυτή φαίνεται στο σχήµα 3. µε x= Ω. ΣΧΗΜΑ 3. Ας δούµε όµως τώρα την συνάρτηση αντίστροφης προσέγγισης Chebyshev G ICH (Ω). Αναφερόµαστε στο σχήµα 3., όπου γίνεται σαφές ότι για 0<Ω< είναι φθίνουσα (αφού η Ξ ( είναι φθίνουσα) και για x ) µικρές τιµές του Ω, παραµένει πολύ κοντά στην τιµή Η ο. Για Ω=, δηλ. Ω, η Ξ ( είναι ίση µε, δηλ. και εποµένως Ω ) %ε Ξ ( )%ε ε G ICH (). Η G ICH (Ω) από τον ορισµό της, µηδενίζεται όταν η Ξ ( γίνεται %ε Ω )%ε C ( Ω ) ίση µε, δηλ. όταν το C (. Επειδή όµως, το Ω )0 C ( Ω )cos(cos& ( Ω) ) C ( Ω ) 3 -

22 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ µηδενίζεται όταν το cos & ( είναι περιττό πολλαπλάσιο του π/, δηλαδή, Ω ) cos& ( Ω )(k&) π από την οποία παίρνουµε τις truc % διακριτές τιµές µηδενισµού της G ICH (Ω): Οταν γιά Ω>, η Ω 0k cos k& π γιά k...truc % (3.4) Ξ παίρνει την µέγιστη τιµή της +ε (, η G ICH (Ω) παίρνει επίσης Ω )%ε C ( Ω ) µέγιστη τιµή ίση µε εη ο %ε. Εποµένως η προσέγγιση για Ω> γίνεται µέγιστη όποτε η Ξ ( µεγιστοποιείται, δηλ. όταν. Αυτό συµβαίνει όταν το είναι άρτιο Ω ) C ( Ω )± cos& ( Ω ) πολλαπλάσιο του π, δηλαδή cos & ( από την οποία παίρνουµε διακριτές τιµές Ω )kπ & truc της Ω για την οποία η προσέγγιση µεγιστοποιείται: Ω MAXk cos k π γιά k...truc & Αν θέλουµε το µέγιστο της προσέγγισης στη ζώνη αποκοπής να είναι ίσο µε το δεδοµένο από τις προδιαγραφές Η s, τότε πρέπει να επιλεγεί H s εη ο %ε H s ] ε & H s H o H o H s & (3.6) που είναι τελείως διαφορετικό από τον συντελεστή κυµάτωσης ε της απλής προσέγγισης Chebyshev (σχέση 3.). Υπολογισµός της τάξης Με δεδοµένα τα Η o, H c, Η s και Ω s έχουµε ως τώρα περάσει την καµπύλη της προσέγγισης από τα σηµεία G ICH (0) G ICH ()H c G ICH ( ) ε H s Ω o %ε Η τάξη µπορεί να υπολογιστεί από την παρατήρηση ότι για να ικανοποιούνται οι προδιαγραφές θα πρέπει #Ω Ω s ] cosh o b $Ω b s ] $ cosh & (Ω s ) Χρησιµοποιώντας τις τιµές του b και του ε από τις 3.3 και 3.6 αντίστοιχα βρίσκουµε: cosh & H c ε cosh & H o H s & $ mi & H c H o cosh & (Ω s ) H o H c cosh & Ω s & b cosh & (Ω s ) (3.7) 3 -

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Η σχέση που δίνει την τάξη της αντίστροφης Chebyshev προσέγγισης είναι η ίδια ακριβώς µε αυτήν της απλής Chebyshev προσέγγισης (σχέση 3.3). Από την 3.7 γίνεται σαφές ότι η τάξη της προσέγγισης µεγαλώνει όσο µικραίνει το Ω s τείνοντας στη µονάδα και απειρίζεται όταν Ω s =. Οσο δηλ. πιό στενή ζώνη µετάβασης ορίζουν οι προδιαγραφές, τόσο πιό µεγάλο είναι το. Επίσης εύκολα παρατηρεί κανείς ότι όσο το H c τείνει στο Η o ή όσο µικραίνει το Η s, µεγαλώνει και το, µε απειρισµούς όταν H c = Η o και Η s = 0. Οι παρατηρήσεις αυτές επιβεβαιώνουν το γεγονός ότι δεν είναι εφικτή η προσέγγιση ιδανικών προδιαγραφών βαθυπερατού φίλτρου. Οταν είναι δεδοµένα τα Η o, H c, Η s και Ω s, υπολογίζεται πρώτα το ε από την 3.6 και η τάξη της προσέγγισης από την 3.7. Στη συνέχεια, υπολογίζεται το b και το από την 3.3. Με τις τιµές ε, και, η συνάρτηση της προσέγγισης είναι πλήρως προσδιορισµένη. εc ΩΩ G ICH (Ω) & H ο o % ε C ΩΩ % ε C ο Ω Οι συναρτήσεις µεταφοράς Η αντίστροφη προσέγγιση Chebyshev της σχέσης 3. G ICH (Ω) & % ε C Ω εc Ω % ε C Ω έχει παρονοµαστή της ίδιας ακριβώς µορφής %ε C (x) µε αυτόν της προσέγγισης Chebyshev της σχέσης 3. και εποµένως οι πόλοι της H ICH z µε z θα είναι οι ίδιοι µε αυτούς της H CH (s), δηλ. s z k s ki σ k %jω k µε σ k si (%k&)π Ω k cos (%k&)π και εποµένως οι πόλοι της H ΙCH (s) θα είναι σ s ki k Ω &j k σ (σ k %Ω k ) (σ k %Ω k ) ki %jω ki Σε όλες τις παραπάνω σχέσεις, k =,,.... sih sih& ε cosh sih& ε Οι πόλοι εποµένως της H ICH (s) N i (s) D i (s) είναι 3-3

24 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ σ k s ki σ ki %jω ki µε σ ki (σ k %Ω k ) Ω k Ω ki & (σ k %Ω k ) k,,... σ k si (%k&)π και sih sih& ε (3.8) Γνωρίζοντας τους πόλους της Ω k cos (%k&)π cosh sih& ε H ICH (s) N i (s), ο παρονοµαστής D i (s) θα είναι: D i (s) D i (s)κ D k (s&s ki )Ω o s&(σ i %jω i ) s&(σ i %jω i )... s&(σ i %jω i ) k (3.9) Με τον συντελεστή K D θα ασχοληθούµε σε λίγο. Για τον αριθµητή της H ICH (s) N i (s) D i (s) γνωρίζουµε ότι N i (s)n i (&s) Η ο ε C Ω o Ω /0 Θα πρέπει εποµένως να υπολογιστούν οι ρίζες της Η ο ε C 0 Ω o Ω /0 Ω&js που είναι οι ρίζες της C cos Ω o Ω /0 cos & cos Ω Ω&js o Ω /0 cos & 0 &jsω Ω&js o Ω&js δηλαδή cos & &jsω o (k&) π ή cos k& &jsω o π ή &jcos k& sω o π j s Ω o cos k& ή sjω 0k j π Ω o cos k& π Το θ k k& ορίζει διαφορετικές γωνίες για k=,,..... π Οι γωνίες θ k και η θ -k+ έχουν ίσα συνηµίτονα και αντιστοιχούν σε ρίζες της ίδιας τιµής. εποµένως µπορεί κανείς να µιλάει για διπλές φανταστικές ρίζες που ορίζονται για k=,,... Από κάθε διπλή ρίζα, η µια αποδίδεται στο N i (s) και η άλλη στο N(-s). Γιά k=..., οι γωνίες θ k και η θ -k+ έχουν αντίθετα συνηµίτονα και εποµένως οι αντίστοιχες φανταστικές ρίζες είναι συζυγείς. Αρα οι απλές ρίζες για k=... είναι οργανωµένες σε / συζυγή ζεύγη, όταν το είναι άρτιο και σε (-)/ συζυγή ζεύγη και µια απλή ρίζα για k=(+)/. Η απλή αυτή ρίζα απορρίπτεται αφού για την τιµή αυτή του k, µηδενίζεται το συνηµίτονο και απειρίζεται η ρίζα. Εποµένως το N i (s) θα έχει / συζυγή φανταστικά ζεύγη ριζών, όταν το είναι άρτιο και (-)/ συζυγή ζεύγη φανταστικών ριζών όταν το είναι περιττό. Το κάθε ζεύγος συµβάλλει στο N i (s) µε έναν όρο της µορφής s % Ω k& o cos π και στις δύο περιπτώσεις άρτιο ή περιττό, ο αριθµός των όρων αυτών είναι ίσος µε το ακέραιο µέρος του 3-4

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ /, το it(/) ή truc(/). Εποµένως θα έχουµε N i (s)ε Κ Ν truc k k s %Ω 0k ε Κ Ν truc k k s % Ω o cos k& π (3.30) Στον συντελεστή KN θα αναφερθούµε παρακάτω. Tελικά η συνάρτηση µεταφοράς της αντίστροφης Chebyshev προσέγγισης προκύπτει συνδυάζοντας τις σχέσεις 3.9 και 3.30: H ICH (s) N i (s) D i (s) K ε k k truc( ) k k (s %Ω 0k ) s&(σ ki %jω ki ) µε K K N K D όπου K c d όταν το περιττό, µε c Ω /0 lim ο ω60 dω C (ω) K όταν το άρτιο %ε /0 (3.3) Το c, που εµφανίζεται για περιττά, είναι η απόλυτη τιµή του συντελεστή του πρωτοβάθµιου όρου του πολυωνύµου Chebyshev τάξης, του C (ω). Ο συντελεστής Κ Λαµβάνοντας υπόψη ότι C (x) c x %...c x c x %...%c x όταν περιττό C (x) c x %...± c x %...% όταν άρτιο εύκολα υπολογίζεται ότι υπολογίζεται ως c /0 lim H o c ε s & %...& c c Ω& o ε όταν περιττό ε H o C Ω Ω H ICH (s)h ICH (&s) o Ω _ o s %...&c Ω o %ε C ` s %...% c Ω o Ω H o ε Ω o όταν άρτιο %ε s %...%c ε (%ε )Ω o Από την σχέση αυτή είναι προφανές ότι K c όταν το περιττό και K όταν το άρτιο. %ε Φυσικά το c είναι ο συντελεστής του όρου µεγαλύτερης τάξης του C (x) και αν δεν είναι διαθέσιµος, d ω60 dω C (ω) /0 Στην περίπτωση της αντίστροφης προσέγγισης Chebyshev, η αντίστοιχη συνάρτηση µεταφοράς Η ICH (s) της σχέσςης 3.3 έχει truc(/) ζεύγη µηδενικών στον άξονα-jω και πόλους, οι οποίοι όµως δεν κείνται σε έλλειψη αλλά σε ένα ελλειψοειδές [3]. Θα αποδείξουµε σε επόµενο κεφάλαιο ότι η Η ICH (s), η οποία δεν είναι ολοπολική αλλά έχει και 3-5

26 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ µηδενικά, µπορεί να υλοποιηθεί µε διπλά τερµατισµένο δίθυρο κλιµακωτό κύκλωµα LC µε επαγωγείς στους truc κλάδους σειράς και πυκνωτές στους &truc παράλληλους κλάδους. ΣΧΗΜΑ 3.3 Το σχήµα 3.3 δείχνει τα βαθυπερατό φίλτρα-lc µε αντίστροφη Chebyshev απόκριση για = 3 έως 6. Για την δηµιουργία των µηδενικών, υπάρχουν στην περίπτωση αυτή πυκνωτές παράλληλα µε τους επαγωγείς στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας. Σηµειώνε- και εποµένως στα σχετικά κυκλώµατα υπάρχουν %truc ται ότι οι συχνότητες συντονισµού των παράλληλων-lc κλάδων σειράς, αντιστοιχούν στις συχνότητες Ω 0k µηδενισµού του κέρδους. 3.5 Η προσέγγιση Cauer (ελλειπτική) Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάστηκαν οι προσεγγίσεις Butterworth, Chebyshev και αντίστροφη Chebyshev, µε τις οποίες προσεγγίζονται οι προδιαγραφές πλάτους βαθυπερατών φίλτρων. Οι προσεγγίσεις αυτές οδηγούν µε βεβαιότητα σε πραγµατοποιήσιµες συναρτήσεις και µπορούν και ικανοποιούν οποιεσδήποτε προδιαγραφές βαθυπερατού φίλτρου µε τον δικό της η καθεµιά τρόπο. Φυσικά υπάρχουν και άλλες γνωστές προσεγγίσεις (π.χ Legedre και ελαχίστων τετραγώνων), οι οποίες όµως δεν οδηγούν σε φίλτρα µε κάποια πλεονεκτήµατα έναντι αυτών που σχεδιάζονται µε τις ΣΧΗΜΑ 3.4α προσεγγίσεις που παρουσιάστηκαν, είναι πολύπλοκες και απαιτούν µεγάλη σχεδιαστική προσπάθεια. Το µέγεθος, το κόστος και η καταναλισκόµενη ενέργεια ενός φίλτρου εξαρτάται από την πολυπλοκότητά του, η οποία εξαρτάται άµεσα από την τάξη της προσέγγισης που έχει χρησιµοποιηθεί για την σχεδίασή του. Εποµένως, µε δεδοµένες προδιαγραφές είναι επιθυµητό αυτές να προσεγγιστούν µε το ελάχιστο δυνατό. Το σχήµα 3.4α δείχνει την προσέγγιση των προδιαγραφών ενός βαθυπερατού φίλτρου = H c = H s =

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ µε προσεγγίσεις Butterworth, Chebyshef και αντίστροφη Chebyshev µε =5, ενώ το σχήµα 3.4β δείχνει µε λεπτοµέρεια σε µεγέθυνση τις ίδιες αποκρίσεις για συχνότητες Ω >. ΣΧΗΜΑ 3.4β Είναι προφανές ότι αν υπήρχε και η απαίτηση (προδιαγραφή) Ωs =.665 (σκοπίµως λίγο µεγαλύτερη από.663), η προσέγγιση Butterworth µε =5, δεν θα µπορούσε να την ικανοποιήσει, αφού στη συχνότητα αυτή το κέρδος Butterworth είναι πολύ µεγαλύτερο από το H s και θα χρειαζόταν µεγαλύτερη τάξη, συγκεκριµένα = 0. Το σχήµα 3.4γ δείνει και την προσέγγιση αυτή Butterworth µε =0, η οποία ικανοποιεί τις ίδιες προδιαγραφές µε Ωs =.665. ΣΧΗΜΑ 3.4γ Οι προσεγγίσεις εποµένως Chebyshev ικανοποιούν συγκεκριµένες προδιαγραφές µε τάξη µικρότερη από αυτή που απαιτείται για την ικανοποίηση των προδιαγραφών µε προσέγγιση Butterworth και εύλογα τίθεται το ερώτηµα αν υπάρχει κάποια προσέγγιση, η οποία θα ικανοποιούσε τις προδιαγραφές µε ακόµα µικρότερο από αυτό των προσεγγίσεων Chebyshev. Η απάντηση δόθηκε από τον Wilhelm Cauer την δεκαετία του 30, ο οποίος σχεδίασε φίλτρα µε µια προσέγγιση που εµπλέκει ελλειπτικές συναρτήσεις. Η ελλειπτική αυτή προσέγγιση ονοµάζεται σήµερα προσέγγιση Cauer και προσεγγίζει τις προδιαγραφές µε τον τρόπο που φαίνεται στο σχήµα 3.5, δηλ. µε κυµάτωση και στη ζώνη διέλευσης και στην ζώνη αποκοπής. ΣΧΗΜΑ

28 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΣΧΗΜΑ 3.6 Το πλεονέκτηµα της προσέγγισης Cauer είναι ότι µπορεί να ικανοποιήσει συγκεκριµένες προδιαγραφές µε µικρότερης τάξης συναρτήσεις επειδή η απόκριση στη ζώνη διέλευσης (<Ω<Ω s ) είναι πολύ απότοµη. Το χαρακτηριστικό αυτό είναι η ανταµοιβή για την µεγάλη σχεδιαστική προσπάθεια που απαιτείται. Το σχήµα 3.6 δείχνει τις αποκρίσεις Butterworth, Chebyshev και Cauer µε =5 για Ω>. Παρατηρήστε ότι µε τα ίδια χαρακτηριστικά ζώνης διέλευσης, η απόκριση Cauer µπορεί και ικανοποιεί πολύ χαµηλότερα Ω s. Συγκεκριµένα µε την προσέγγιση Cauer 5ης τάξης είναι δυνατόν να ικανοποιηθούν οι συγκεκριµένες προδιαγραφές = H c = H s = ακόµα και µε Ω s =.56. Γιά την τιµή αυτή του Ω s, οι προσεγγίσεις Chebyshev θα απαιτούσαν = 0 και η προσέγγιση Butterworth, = 33! Ας δούµε όµως τις λεπτοµέρειες της σχεδίασης φίλτρων µε την προσέγγιση Cauer. Η συνάρτηση της µορφής Ω &m (Ω p R (Ω)K &Ω )(Ω p &Ω )...(Ω pm &Ω ) mtruc (3.3) (Ω z &Ω )(Ω z &Ω )...(Ω zm &Ω ) ονοµάζεται ρητή συνάρτηση Chebyshev και έχει µόνον συζυγή φανταστικά ζεύγη ριζών στον αριθµητή και τον παρονοµαστή, εκτός από την περίπτωση που το είναι περιττό, οπότε ο αριθµητής έχει και µια ρίζα για Ω=0. Γιά παράδειγµα η ρητή συνάρτηση Chebyshev (Ω p 4ης τάξης, µε =4 είναι R 4 (Ω)K &Ω )(Ω p &Ω ) 4 (Ω z &Ω )(Ω z &Ω ) Ω(Ω p και της 5ης τάξης R 5 (Ω)K &Ω )(Ω p &Ω ) 5 (Ω z &Ω )(Ω z &Ω ) Η προσέγγιση Cauer στηρίζεται σε τέτοιου είδους συναρτήσεις και εκφράζεται ως: G Ca (Ω) %ε R (Ω) µεε H o H c & (3.33) Η R (Ω) προσδιορίζεται από τις προδιαγραφές έτσι που. R () =, που εξασφαλίζει ότι G Ca () = Η c. Οι τιµές των µεγίστων της G Ca (Ω) γιά Ω> να είναι ίσες µε L 3. Η κυµάτωση της G Ca (Ω) για Ω< να γίνεται µεταξύ Η ο και Η c H o H s H o H c & & Υπό αυτές τις προϋποθέσεις, η συνάρτηση προσεγγίζει τις προδιαγραφές µε τον τρόπο που δείχνει το σχήµα 3.5. Η ικανοποίηση των παραπάνω συνθηκών δεν είναι απλή υπόθεση. Αντίθετα αποτελεί ένα ιδιαίτερα πολύπλοκο µαθηµατικό πρόβληµα, το οποίο ο Cauer έλυσε αναλυτικά χρησιµοποιώντας ελλειπτικές συναρτήσεις, τις οποίες είχε πρωτοµελετήσει ο Jacobi το 86. Αν λάβει κανείς υπόψη του ότι 3-8

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ µετά τον προσδιορισµό της R (Ω), θα πρέπει να υπολογιστεί αναλυτικά και η συνάρτηση µεταφοράς Η Ca (s), το πρόβληµα της σύνθεσης γίνεται ακόµα πιό πολύπλοκο και αντιµετωπίζεται από τους σχεδιαστές φίλτρων Cauer µε την χρήση πινάκων που δίνουν όλες τις παραµέτρους της προσέγγισης [4]- [7]. Οι σχετικοί υπολογισµοί χωρίς την χρήση πινάκων είναι τόσο πολύπλοκοι που αναφέρεται ως σηµαντικό γεγονός [3] ακόµα και ο προγραµµατισµός µιας προγραµµατιζόµενης αριθµοµηχανής ΗΡ65 από τον Sidey Darligto (975), η οποία υπολόγιζε τις απαραίτητες παραµέτρους. Με την χρήση των σχετικών πινάκων από το βιβλίο του Aatol Zverev [4] (αποσπάσµατα υπάρχουν στο τέλος του κεφαλαίου), η διαδικασία υπολογισµού της συνάρτησης µεταφοράς φίλτρου Cauer µε την βοήθεια πινάκων έχει ως εξής:. Από τις προδιαγραφές, H c, H s και Ω s, υπολογίζουµε τους αριθµούς ρ & H c H o θsi & σε µοίρες A s &0log H s Ω s db. Επειδή δεν υπάρχει απλός τύπος προσδιορισµού της τάξης συναρτήσει των προδιαγραφών, όπως στις περιπτώσεις Butterworth και Chebyshev, προσφεύγουµε στο σχετικό νοµόγραµµα και επιλέγεται µια δοκιµαστική τιµή του. Νοµόγραµµα υπολογισµού τάξης φίλτρων Cauer 3. Για κάθε τάξη υπάρχουν πίνακες σχεδίασης για διαφορετικές τιµές του συντελεστή ανάκλασης ρ, ο οποίος ορίζεται από την σχέση ρ & H c H o και εκφράζεται ως ποσοστό %, δηλ. 5% σηµαίνει ρ Στους συγκεκριµένους πίνακες, για κάθε τάξη, υπάρχουν πίνακες για ρ =,, 3, 4, 5, 8, 0, 5, 0, 5, και 50%, που αντιστοιχούν σε τιµές του Hc σύµφωνα µε τον παρακάτω πίνακα 3-9

30 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ρ % Ηc/ -0log(Hc/ ) db Υπολογίζουµε λοιπόν από το Η c και Η ο των προδιαγραφών µας το ρ και το θεωρούµε ίσο µε την πλησιέστερη προς τα κάτω τιµή από τις διαθέσιµες στους πίνακες. 4. Εχοντας το ρ, πηγαίνουµε στον αντίστοιχο πίνακα, στον οποίο η πρώτη στήλη είναι ένα µέγεθος θ που ονοµάζεται modular agle και ορίζεται ως: θsi & /Ω s σε µοίρες. Aν η αριθµοµηχανή ή το πρόγραµµα που χρησιµοποιείτε δίνει τις γωνίες σε rad, πρέπει να χρησιµοποιήσετε τον τύπο θsi & 80. Αν δεν υπάρχει η τιµή στον πίνακα, παίρνουµε την πλησιέστερη Ω s π προς τα πάνω. 5. Στη γραµµή θ που βρισκόµαστε, στη στήλη µε την ένδειξη Α mi, η τιµή πρέπει να ικανοποιεί την H s A mi $A s &0log Αν δεν ισχύει η ανισότητα αυτή, επαναλαµβάνουµε την διαδικασία µε τάξη +, έως ότου ικανοποιηθεί η ανισότητα. Αν ισχύει η ανισότητα, υπάρχει περίπτωση να έχουµε επιλέξει υψηλή δοκιµαστική τιµή για το και για να αποφύγουµε το ενδεχόµενο αυτό, επαναλαµβάνουµε την διαδικασία µε µια µικρότερη κατά τάξη, Από τον πίνακα παίρνουµε τις τιµές που αντιστοιχούν στα πραγµατικά και φανταστικά µέρη των πόλων και τα πραγµατικά µέρη των µηδενικών της συνάρτησης µεταφοράς. Προσοχή, οι πίνακες αναφέρονται σε συναρτήσεις µετάδοσης, που είναι αντίστροφες προς τις συναρτήσεις µεταφοράς και εποµένως τα µηδενικά του πίνακα αντιστοιχούν στους δικούς µας πόλους και οι πόλοι του πίνακα στα δικά µας µηδενικά. 7. Γνωρίζοντας τους πόλους και τα µηδενικά, συγκροτούµε την συνάρτηση µεταφοράς, η οποία είναι της µορφής H Ca (s)κ s %Ω 0...s %Ω 0m (s%σ ο ) (s%σ ) %Ω... (s%σ m ) %Ω & ΠΕΡΙΤΤΟ mtruc & (3.34α) H Ca (s)κ s %Ω 0...s %Ω 0m (s%σ ) %Ω... (s%σ m ) %Ω ΑΡΤΙΟ mtruc & (3.34β) 3-30

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Η σταθερά Κ υπολογίζεται έτσι ώστε H Ca (0) αν περιττό ή αν άρτιο, αν %ε και τελικά καθορίζεται κατά το στάδιο της υλοποίησης µε κάποιο κύκλωµα. Στην περίπτωση της ελλειπτικής προσέγγισης Cauer, η αντίστοιχη συνάρτηση µεταφοράς Η Ca (s) έχει truc & ζεύγη µηδενικών στον άξονα-jω και πόλους. Σε επόµενο κεφάλαιο θα αποδείξουµε ότι η Η Ca (s) µπορεί να υλοποιηθεί µε διπλά τερµατισµένο δίθυρο κλιµακωτό κύκλωµα LC µε επαγωγείς στους truc κλάδους σειράς και πυκνωτές στους &truc παράλληλους κλάδους. Για την δηµιουργία των µηδενικών, υπάρχουν πυκνωτές παράλληλα µε τους πρώτους truc & ΣΧΗΜΑ 3.7 επαγωγείς και εποµένως στα σχετικά κυκλώµατα υπάρχουν %truc & στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας. Το σχήµα 3.7 δείχνει τα βαθυπερατά φίλτρα-lc που έχουν σχεδιαστεί µε ελλειπτική προσέγγιση Cauer για = 3 έως 7 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3.4 Να υπολογιστεί η συνάρτηση µεταφοράς φίλτρου µε τις εξής προδιαγραφές = H c =.93 H s = 0.06 Ω s =.7. Υπολογίζουµε τους απαραίτητους αριθµούς ρ & H c 0.66.% θsi & 36.03E A H s &0log H s Ω o s db. Ας δοκιµάσουµε την τιµή =5 3. Γιά =5 υπάρχουν πίνακες µε ρ=5%, εποµένως, αφού βρήκαµε ρ=6.% θα χρησιµοποιήσουµε ρ=5% που είναι το αµέσως µικρότερο διαθέσιµο. 4. Στον πίνακα γιά =5 και ρ=5%, αφού βρήκαµε θ=36.03 ο, θα πάµε στη σειρά θ=37 ο. 5. Στη σειρά αυτή βρίσκουµε Α mi =53.78 > A s = db. Εποµένως οι προδιαγραφές µας µπορούν να ικανοποιηθούν µε =5 που επιλέξαµε δοκιµαστικά. Μήπως όµως ικανοποιούνται και µε =4; Επαναλαµβάνουµε την διαδικασία για =4 και βρίσκουµε στη στήλη του Α mi =4.58, πράγµα που σηµαίνει ότι οι προδιαγραφές µας µπορούν να ικανοποιηθούν και µε =4 αφού Α mi =4.58 > A s = db. Μήπως όµως µας κάνει και =3; Με την ίδια διαδικασία οδηγούµεθα στον πίνακα =3, ρ=5%, θ=37 ο για να βρούµε τιµή Α mi =.77, πράγµα που σηµαίνει ότι µε =3 δεν ικανοποιούνται οι προδιαγραφές αφού Α mi =.77 < A s = db, και µένουµε στο =4. 6. Από τον πίνακα =3, ρ=5%, σειρά θ=37 ο παίρνουµε σ = σ 3 = Ω = Ω 3 = Ω = που αντιστοιχούν στο σχήµα. Εποµένως η συνάρτηση µεταφοράς είναι s H Ca (s)κ % (s% ) % (s% ) % Το σχήµα 3.8 δείχνει την συνάρτηση κέρδους H Ca (Ω) H Ca (s) µε ρύθµιση sjω 3-3

32 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ του συντελεστή Κ ώστε η µέγιστη τιµή στη ζώνη διέλευσης να είναι ίση µε Η ο =. Η παράσταση γίνεται σε διάφορες περιοχές του Ω, ώστε να φανούν οι λεπτοµέρειες των ζωνών διέλευσης και αποκοπής και το γεγονός ότι ικανοποιούνται οι προδιαγραφές. ΣΧΗΜΑ

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 3.IΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ CHEBYSHEV Παρονοµαστής D (s) συνάρτησης µεταφοράς Η H CH (s) ο εc D (s) κανονικοποιηµένων βαθυπερατών φίλτρων Chebyshev µε c =συντελεστής όρου µεγαλύτερης τάξης του C (Ω), Ω C και G CH ()Η C D (s) k k σ k si G CH (Ω) H CH (jω) %ε (s&s k ) s k σ k %jω k k,,..... (%k &)π Ω k cos (%k&)π Η ο sih sih& ε cosh sih& ε %ε C (Ω) Ω 3dΒ cosh cosh& ε ε (Κυµάτωση 0log %ε 0.dB) ε c Ω 3dB s% s %.37356s% (s% )(s % s% ) s 3 %.9388s %.69495s% (s %0.5833s%.33003)(s %.7546s%0.695) s 4 % s 3 %.66798s %.0550s% (s% )(s % s%.94937)(s %0.8798s%0.6359) s 5 % s 4 % s 3 % s % s% Κυµάτωση 0.5dB (ε ) ε c Ω 3dB s% s %.4565s% (s% )(s % s%.4448) s 3 %.593s % s% (s % s%.06359)(s % s%0.3564) s 4 %.97386s 3 %.76866s %.05455s% (s%0.363)(s %0.396s% )(s % s% ) s 5 %.749s 4 % s 3 % s %0.7558s% Κυµάτωση.0dB (ε ) ε c Ω 3dB s% s % s% (s%0.4947)(s %0.4947s% ) s 3 % s %.38409s% (s %0.7907s% )(s % s% ) s 4 %0.958s 3 %.45395s %0.7469s% (s% )(s %0.7897s% )(s %0.4684s%0.4998) s 5 %0.9368s 4 %.68886s 3 % s % s%

34 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Κυµάτωση.0dB (ε ) ε c Ω 3dB s% s % s% (s%0.3689)(s %0.3689s% ) s 3 %0.7378s %.09s% (s % s% )(s % s%0.568) s 4 %0.765s 3 %.5648s % s% (s%0.8308)(s %0.349s%0.9567)(s %0.3533s%0.3935) s 5 % s 4 % s 3 % s % s% Κυµάτωση 3.0dB (ε ) ε c Ω 3dB s% s %0.6449s% (s%0.986)(s %0.986s% ) s 3 %0.5974s % s% (s %0.7034s% )(s %0.439s%0.9598) s 4 %0.5858s 3 %.698s % s% (s%0.7753)(s %0.097s% )(s %0.875s% ) s 5 %0.5745s 4 %.4505s 3 % s % s%

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΧΕ ΙΑΣΗΣ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ CAUER [4] =3 ρ=5% Στο [4] υπάρχουν πίνακες για = 3 έως = 7 ρ=,, 3, 4, 5, 8, 0, 5, 0, 5, και 50% θ= έως θ=60 θ Ω s A MIN σ 0 σ Ω Ω =4 ρ=5% Στο [4] υπάρχουν πίνακες για = 3 έως = 7 ρ=,, 3, 4, 5, 8, 0, 5, 0, 5, και 50% θ= έως θ=60 θ Ω s A MIN σ σ 3 Ω Ω Ω =5 ρ=5% Στο [4] υπάρχουν πίνακες για = 3 έως = 7 ρ=,, 3, 4, 5, 8, 0, 5, 0, 5, και 50% θ= έως θ=60 θ Ω s A MIN σ 0 σ σ 3 Ω Ω Ω 3 Ω