ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Mάθηµα: "ΘΕΩΡΙΑ ΙΚΤΥΩΝ" ( ο εξάµηνο Ακαδ. Έτος: ιδάσκοντες: Τ. Κουσιουρής, Ν. Μαράτος, Κ. Τζαφέστας Λύση ου Θέµατος Κανονικής Εξέτασης ( Φεβρουαρίου ΘΕΜΑ ο (% (οµάδα Α R R R R C C v out Σχήµα Για το κύκλωµα του παραπάνω Σχήµατος : α. (% Να γραφούν οι εξισώσεις της τροποποιηµένης µεθόδου των κόµβων µε δύο γράφους. β. (% Να ευρεθεί η συνάρτηση µεταφοράς G(sV out (s/(s. γ. (% Να ευρεθεί η σχέση την οποία πρέπει να ικανοποιούν οι αντιστάσεις του κυκλώµατος, ώστε η συνάρτηση πλάτους να δύναται να µηδενιστεί για πεπερασµένη κυκλική συχνότητα ω. δ. (% Θέτουµε R KΩ, C C µf, και έστω επιπλέον ότι R R και. Θεωρούµε ότι το κύκλωµα διεγείρεται στην είσοδο από ηµιτονοειδές σήµα τάσης Ε(t A sin( t, και µεταβάλλουµε την αντίσταση R παρατηρώντας στην έξοδο το σήµα τάσης vout ( t (στην ηµιτονοειδή HMK µόνιµη κατάσταση. Να προσδιοριστεί η τιµή της αντίστασης R για την οποία το σήµα στην έξοδο µηδενίζεται. ε. Έστω και πάλι R KΩ και C C µf. Θέτουµε επίσης R R KΩ και R (/ΚΩ. ε. (% Να σχεδιαστεί το ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode πλάτους, εαν θέσουµε Ω, και να χαρακτηριστεί η λειτουργία του κυκλώµατος ως φίλτρου. ε. (% Έστω γενικότερα R. Να ευρεθεί η συνθήκη την οποία πρέπει να ικανοποιεί γενικά η R, ώστε το ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode πλάτους να έχει τη µορφή του προηγού µενου ερωτήµατος (ε. ΛΥΣΗ α. (% Η αρίθµηση των κόµβων και οι φορές αναφοράς των κλάδων σηµειώνονται στο σχήµα του θέµατος (Σχήµα. (Προσοχή! στα βραχυκυκλώµατα ανάδρασης, κοινοί κόµβοι και. Σελίδα από

2 Για το IΓράφο έχουµε τις ακόλουθες απλοποιήσεις κόµβων/κλάδων: Τελεστικός ενισχυτής :, ενώ οι κόµβοι και παραµένουν διαχωρισµένοι. Τελεστικός ενισχυτής :, ενώ οι κόµβοι και παραµένουν διαχωρισµένοι. Πηγή Τάσης :. Άρα στο Iγράφο έχουµε:. Ο Ιγράφος εικονίζεται στο ακόλουθο Σχήµα (ακολουθώντας τις φορές αναφοράς που έχουν σηµειωθεί στο Σχήµα του Θέµατος: R C R C R R Ιγράφος Για το VΓράφο έχουµε τις ακόλουθες απλοποιήσεις κόµβων/κλάδων: Τελεστικός ενισχυτής :, ενώ οι κόµβοι και παραµένουν διαχωρισµένοι. Τελεστικός ενισχυτής :, ενώ οι κόµβοι και παραµένουν διαχωρισµένοι. Άρα στο Vγράφο έχουµε:. Ο Vγράφος εικονίζεται στο ακόλουθο Σχήµα (ακολουθώντας και πάλι τις ίδιες φορές αναφοράς που έχουν σηµειωθεί στο Σχήµα του θέµατος: R C C R R R Vγράφος Σελίδα από

3 Οι εξισώσεις της τροποποιηµένης µεθόδου των κόµβων µε δύο γράφους θα είναι εποµένως, σε µητρική µορφή, κατά τα γνωστά: G G G G G sc sc G sc G 7 G sc G 7 G 8 G e e e e P(s e(s u(s (. β. (% Η παρατηρούµενη έξοδος του κυκλώµατος είναι: V e e out και, άρα, για τη ζητούµενη συνάρτηση µεταφοράς G(sV out (s/(s έχουµε (κανόνας Kramer για επίλυση γραµµικών συστηµάτων: V out (s G(s (s e (s (s Οι ορίζουσες (s και (s είναι: e (s e (s G G G (s (s (s G G G G sc sc G sc sc sc G7 G sc G7 G8 G sc G7 G sc G7 G8 G και G sc sc sc ( G ( G G G sc G7 G8 G sc G7 G GG ( G sc/ scg ( G/ sc G7 G8 sc( G G( sc G7 GGG scgg 8 scg ( sc G7 s ( GCC sc( GG7 GG8 GGG G G G G G G G G sc sc G ( G sc sc G sc G7 G sc G7 G8 G G sc G7 G8 G sc G G sc sc G ( G G G/ G G G G/ sc sc G G sc G G ( G G G G sc G 7 G 8 G ( ( ( ( 7 8 GGG scg sc G G sgcc scg G G GGG Εποµένως, από τις σχέσεις (.(.: (. (. (. Σελίδα από

4 G(s s GCC sc GG7 GG8 GGG s G C C sc G G G G G G 7 8 (. (γ (% Από τον παρανοµαστή της συνάρτησης µεταφοράς (. (χαρακτηριστικό πολυώνυµο: ψ(s s (G C C sg C (G 7 G 8 G G G προκύπτει ότι το δίκτυο είναι ασυµπτωτικά ευσταθές (για θετικές αγωγιµότητες και χωρητικότητες, και εποµένως ορίζεται η αρµονική απόκριση (απόκριση στην ηµιτονοειδή µόνιµη κατάσταση αυτού. Η συνάρτηση πλάτους ορίζεται ως: (jω ( GCC (jωc( GG7 GG8 GG G G(jω (jω ( GCC (jωcg( G7 G8 GG G και για να δύναται να µηδενιστεί για πεπερασµένη κυκλική συχνότητα (έστω ω < θα πρέπει ο αριθµητής να µηδενίζεται για ωω, δηλαδή: ( ( 7 8 ( (jω G C C (jω C G G G G G G G GGG ω GCC jωc GG7 GG8 GCC > ωc( GG7 GG8 GGG ω GCC ω GGG GCC (.α GGG > και και GG GG (.β Η παραπάνω σχέση (.β είναι η ζητούµενη. 7 8 (δ (% Για την απόκριση ενός κυκλώµατος στην ηµιτονοειδή µόνιµη κατάσταση (ΗΜΚ γνωρίζουµε ότι, για κάθε συχνότητα ω ηµιτονοειδούς σήµατος εισόδου, το πλάτος του ηµιτονοειδούς σήµατος απόκρισης στην έξοδο (στην ΗΜΚ ισούται µε την τιµή της συνάρτησης πλάτους G(jω επί το πλάτος του σήµατος εισόδου. Για να µηδενίζεται εποµένως το σήµα στην έξοδο αρκεί να µηδενίζεται η τιµή της συνάρτησης πλάτους για ωω. Από τα δεδοµένα του ερωτήµατος (R R και προκύπτει ότι σχέση (.β του προηγούµενου ερωτήµατος (γ ισχύει. Εποµένως, για δεδοµένη συχνότητα ω ενός ηµιτονοειδούς σήµατος στην είσοδο, το πλάτος του σήµατος στην έξοδο (στην ΗΜΚ µηδενίζεται όταν επιπλέον ισχύει και η παραπάνω σχέση (.α, απ'όπου προκύπτει η ζητούµενη τιµή για την αντίσταση R. Στην περίπτωσή µας έχουµε για το σήµα στην είσοδο: ω rad/sec, και εποµένως από τη σχέση (.α παίρνουµε: ( G G, δηλαδή R KΩ (ε (% Για τα δεδοµένα του ερωτήµατος η συνάρτηση µεταφοράς (. γίνεται: 9 s ( s G(s 9 s s s s ( Σελίδα από

5 Έχουµε εποµένως δύο µηδενικά στο φανταστικό άξονα: και δύο πραγµατικούς (στην περίπτωση αυτή πόλους: ρ και ρ z, j j ± z±, Το ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode πλάτους έχει εποµένως την ακόλουθη µορφή: db log G(jω (db. (s z db/dec ω (rad/sec G(j G(j db db db/dec db/dec (s ρ db/dec (s ρ db/dec db συνολικό Το κύκλωµα λειτουργεί εποµένως ως "ζωνοφρακτικό φίλτρο" (φίλτρο αποκοπής ζώνης, µε κεντρική συχνότητα αποκοπής ω rad/sec. n (ε (% Στην γενική περίπτωση όπου R, ή G 7 G 8 G, η συνάρτηση µεταφοράς γίνεται: s G(s s G s ( Για να έχει το διάγραµµα Bode την παραπάνω µορφή πρέπει να έχουµε δύο πραγµατικούς πόλους όπως στο προηγούµενο ερώτηµα, δηλαδή πρέπει: ( > G G G > > > ή R< KΩ Σελίδα από