ίου σεις Θεωρίας Ερωτήσ Επιµέλεια

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ίου σεις Θεωρίας Ερωτήσ Επιµέλεια"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυµνασί ίου Ερωτήσ σεις ς Επιµέλεια Θ Ε Μ Ε Λ Η Σ Ε Υ Ρ Ι Π Ι Η Σ

2 1 ο Κεφάλαιο Φυσικοί Αριθµοί 1.1 Φυσικοί αριθµοί ιάταξη φυσικών Στρογγυλοποίηση 1. Ποιοι φυσικοί αριθµοί ονοµάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; Άρτιοι ονοµάζονται οι φυσικοί αριθµοί που διαιρούνται µε το (π.χ., 4, 6, 8, ) Περιττοί ονοµάζονται οι φυσικοί αριθµοί που δεν διαιρούνται µε το (π.χ. 3, 5,...) 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασµός φυσικών αριθµών. Να αναφέρετε τις ιδιότητες της πρόσθεσης; - α + β = β + α (αντιµεταθετική) - α + ( β + γ) = ( α + β) + γ (προσεταιριστική) - α + 0= 0+ α = α (το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης) 3. Να αναφέρετε τις ιδιότητες του πολλαπλασιασµού; - α β = β α (αντιµεταθετική) - α ( β γ) = ( α β) γ (προσεταιριστική) - α 1= 1 α = α (το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασµού) - α ( β + γ) = α β + α γ (επιµεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού ως προς την πρόσθεση) - α ( β γ) = α β α γ (επιµεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού ως προς την αφαίρεση) 1.3 υνάµεις φυσικών αριθµών 4. Τι ονοµάζουµε δύναµη ενός φυσικού αριθµού; Το γινόµενο α α α που έχει ν παράγοντες ίσους µε το α, λέγεται δύναµη ν του α στην ν ή νιοστή δύναµη του α και συµβολίζεται µε α. Το α λέγεται βάση της δύναµης και το ν εκθέτης. 5. Να αναφέρεται τις ιδιότητες των δυνάµεων; 1 - α = α - 1 ν = υνάµεις φυσικών αριθµών 6. Τι ονοµάζουµε Ευκλείδεια ιαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθµοί και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί π και υ τέτοιοι ώστε να ισχύει η σχέση = δ π + υ. Αυτή η σχέση ονοµάζεται Ευκλείδεια ιαίρεση. Ο ονοµάζεται διαιρετέος, ο δ διαιρέτης, ο π πηλίκο και ο υ υπόλοιπο. Αν ισχύει = δ π, δηλαδή υ = 0, η διαίρεση ονοµάζεται τέλεια. Επιµέλεια: Θεµελής Ευριπίδης 1

3 1.4 Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚ ΕΚΠ Ανάλυση αριθµού σε γινόµενο πρώτων παραγόντων 7. Τι είναι το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο δύο ή περισσοτέρων φυσικών αριθµών; Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσοτέρων φυσικών αριθµών είναι το µικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια των αριθµών. 8. Τι είναι ο Μέγιστος Κοινός ιαιρέτης δύο φυσικών αριθµών; Ο µεγαλύτερος κοινός διαιρέτης δύο αριθµών ονοµάζεται Μέγιστος Κοινός ιαιρέτης (ΜΚ ) των αριθµών αυτών. 9. Ποιος αριθµός ονοµάζεται πρώτος αριθµός; Κάθε αριθµός που έχει διαιρέτες µόνο τον εαυτό του και το 1 λέγεται πρώτος. 10. Ποιοι αριθµοί ονοµάζονται πρώτοι µεταξύ τους; ύο αριθµοί α και β ονοµάζονται πρώτοι µεταξύ τους όταν ( α β) ΜΚ, = Τι είναι τα κριτήρια διαιρετότητας; Να αναφέρετε τα κριτήρια διαιρετότητας; Κριτήρια διαιρετότητας µε, 3, 4, 5, 9, 10 ή 5 λέγονται οι κανόνες µε τους οποίους µπορούµε να συµπεραίνουµε, χωρίς να κάνουµε τη διαίρεση, αν ένας φυσικός αριθµός διαιρείται µε τους αριθµούς αυτούς. - Ένας φυσικός αριθµός διαιρείται µε το 10 αν λήγει σε µηδενικό. - Ένας φυσικός αριθµός διαιρείται µε το αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0,, 4, 6, 8. - Ένας φυσικός αριθµός διαιρείται µε το 5 αν λήγει σε 0 ή 5. - Ένας φυσικός αριθµός διαιρείται µε το 3 ή το 9 αν το άθροισµα των ψηφίων του διαιρείται µε το 3 ή το 9 αντίστοιχα. - Ένας φυσικός αριθµός διαιρείται µε το 4 ή το 5, αν τα δύο τελευταία ψηφία του σχηµατίζουν αριθµό που διαιρείται µε το 4 ή το 5 αντίστοιχα. 1. Τι είναι το Κόσκινο του Ερατοσθένη; Το Κόσκινο του Ερατοσθένη είναι µία απλή διαδικασία που επινόησε ο Ερατοσθένης για να βρίσκει όλους τους πρώτους αριθµούς που είναι µικρότεροι από δοσµένο αριθµό. ο Κεφάλαιο Κλάσµατα. Ισοδύναµα κλάσµατα 13. Ποια κλάσµατα ονοµάζονται ισοδύναµα; ύο κλάσµατα α β και γ λέγονται ισοδύναµα όταν εκφράζουν το ίδιο τµήµα ενός δ µεγέθους ή ίσων µεγεθών. Επειδή ακριβώς εκφράζουν το ίδιο τµήµα ενός µεγέθους είναι και ίσα και γράφουµε α = γ. Επίσης ισχύει α δ = β γ. β δ Επιµέλεια: Θεµελής Ευριπίδης

4 14. Πως πολλαπλασιάζουµε και πως διαιρούµε δύο κλάσµατα; Για να πολλαπλασιάσουµε δύο κλάσµατα δηµιουργούµε ένα καινούριο κλάσµα που έχει ως αριθµητή το γινόµενο των αριθµητών των δύο κλασµάτων και ως παρανοµαστή το γινόµενων των δύο παρανοµαστών. α γ α γ = β δ β δ Για να διαιρέσουµε δύο κλάσµατα, αντιστρέφουµε τους όρους του δευτέρου κλάσµατος και αντί για διαίρεση κάνουµε πολλαπλασιασµό. α γ α δ α δ : = = β δ β γ β γ 15. Τι ονοµάζεται απλοποίηση κλάσµατος; Η διαδικασία κατά την οποία διαιρούµε και τον αριθµητή και τον παρανοµαστή του κλάσµατος µε τον ίδιο φυσικό αριθµό, για να προκύψει ένα ισοδύναµο κλάσµα µε µικρότερους αριθµούς ονοµάζεται απλοποίηση κλάσµατος. 16. Ποιο κλάσµα ονοµάζεται ανάγωγο; Το κλάσµα εκείνο που δεν µπορεί να απλοποιηθεί, δηλαδή δεν υπάρχει κοινός διαιρέτης αριθµητή και παρανοµαστή, λέγεται ανάγωγο. 17. Ποια κλάσµατα λέγονται ετερώνυµα και ποια οµώνυµα; Οµώνυµα ονοµάζονται τα κλάσµατα που έχουν τον ίδιο παρανοµαστή. Ετερώνυµα ονοµάζονται τα κλάσµατα που έχουν διαφορετικούς παρανοµαστές..3 Σύγκριση κλασµάτων 18. Πως συγκρίνουµε δύο κλάσµατα; - Από δύο οµώνυµα κλάσµατα εκείνο που έχει τον µεγαλύτερο αριθµητή είναι και το µεγαλύτερο. - Για να συγκρίνουµε ετερώνυµα κλάσµατα τα µετατρέπουµε σε οµώνυµα και συγκρίνουµε τους αριθµητές τους, όπως παραπάνω. - Από δύο κλάσµατα µε τον ίδιο αριθµητή µεγαλύτερο είναι εκείνο µε τον µικρότερο παρανοµαστή..4 Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων 19. Πως προσθέτουµε και πως διαιρούµε κλάσµατα; Για να προσθέσουµε ή να αφαιρέσουµε οµώνυµα κλάσµατα, προσθέτουµε ή αφαιρούµε τους αριθµητές των κλασµάτων και ως παρανοµαστή του νέου κλάσµατος µπαίνει ο κοινός παρανοµαστής. Για να προσθέσουµε ή να αφαιρέσουµε ετερώνυµα κλάσµατα, πρέπει πρώτα να τα µετατρέψουµε σε οµώνυµα. 0. Ποιος αριθµός ονοµάζεται µεικτός; Μεικτός αριθµός ονοµάζεται ο αριθµός που παριστάνει το άθροισµα ενός ακεραίου µε ένα κλάσµα µικρότερο της µονάδας..5 Πολλαπλασιασµός κλασµάτων 1. Ποια κλάσµατα λέγονται αντίστροφα; Τα κλάσµατα που έχουν γινόµενο ίσο µε τη µονάδα ονοµάζονται αντίστροφα. Επιµέλεια: Θεµελής Ευριπίδης 3

5 . Να αναφέρετε τις ιδιότητες του πολλαπλασιασµού στα κλάσµατα. α γ γ α - = αντιµεταθετική β δ δ β α γ ε α γ ε - = προσεταιριστική β δ ζ β δ ζ α γ ε α γ α ε - ± = ± επιµεριστική β δ ζ β δ β ζ α α α - 1 = 1= ουδέτερο στοιχείο β β β.6 ιαίρεση κλασµάτων 3. Τι ονοµάζουµε σύνθετο κλάσµα; Ένα κλάσµα του οποίο ένας τουλάχιστον όρος του (αριθµητής ή παρανοµαστής) είναι κλάσµα, ονοµάζεται σύνθετο κλάσµα. α β α δ = γ β γ δ Η παράγραφος.1 δεν περιέχει θεωρία. 3 ο Κεφάλαιο εκαδικοί αριθµοί 3.1 εκαδικά κλάσµατα εκαδικοί αριθµοί ιάταξη δεκαδικών αριθµών 4. Ποιο κλάσµα ονοµάζεται δεκαδικό; εκαδικό κλάσµα λέγεται το κλάσµα που έχει παρανοµαστή µία δύναµη του Ποια είναι η µορφή ενός δεκαδικού αριθµού; Σε κάθε δεκαδικό αριθµό διακρίνουµε το ακέραιο µέρος και το δεκαδικό µέρος, τα οποία χωρίζονται µε την υποδιαστολή. 3.4 Τυποποιηµένη µορφή µεγάλων αριθµών 6. Τι ονοµάζουµε τυποποιηµένη µορφή δεκαδικού αριθµού; Ένας µεγάλος αριθµός µπορεί να γραφεί στη µορφή α 10 ν, δηλαδή ως γινόµενο ενός αριθµού α επί µία δύναµη του 10. Τη µορφή αυτή την ονοµάζουµε τυποποιηµένη. Ο αριθµός α είναι ένας δεκαδικός αριθµός µε ακέραιο ψηφίο µεγαλύτερο ή ίσο του 1 και µικρότερο ή ίσο του Μονάδες µέτρησης 7. Να αναφέρετε τις µονάδες µέτρησης του µήκους. Η βασική µονάδα µέτρησης του µήκους είναι το µέτρο (συµβολίζεται µε m ) Υποδιαιρέσεις του µέτρου dm - 1 δεκατόµετρο ή παλάµη ( ) - 1 εκατοστόµετρο ή πόντος ( cm ) Επιµέλεια: Θεµελής Ευριπίδης 4

6 - 1 χιλιοστόµετρο ή χιλιοστό ( mm ) Πολλαπλάσια του µέτρου - 1 χιλιόµετρο ( km ) - 1 ναυτικό µίλι 1m= 10 dm= 100cm= 1000 mm 1dm = 10cm = 100 mm 1cm = 10mm 1km = 1000m 1ναυτικό µίλι = 185m 8. Να αναφέρετε τις µονάδες µέτρησης του εµβαδού. Η βασική µονάδα µέτρησης του εµβαδού είναι το τετραγωνικό µέτρο (συµβολίζεται µε m ) Υποδιαιρέσεις του τετραγωνικού µέτρου dm - 1 τετραγωνικό δεκατόµετρο ή τετραγωνική παλάµη ( ) - 1 τετραγωνικό εκατοστόµετρο ή τετραγωνικός πόντος ( cm ) - 1 τετραγωνικό χιλιοστόµετρο ( mm ) Πολλαπλάσια του τετραγωνικού µέτρου - 1 τετραγωνικό χιλιόµετρο ( km ) - 1 στρέµµα 1m = 100 dm = 10000cm = mm 1dm = 100cm = mm 1cm = 100 mm 1km = m 1στρέµµα = 1000 m 9. Να αναφέρετε τις µονάδες µέτρησης του όγκου. Η βασική µονάδα µέτρησης του όγκου είναι το κυβικό µέτρο (συµβολίζεται µε 3 m ), που είναι ο όγκος ενός κύβου πλευράς ενός µέτρου. Υποδιαιρέσεις του κυβικού µέτρου lt 3-1 κυβικό δεκατόµετρο ( ) 3-1 κυβικό εκατοστόµετρο ( ) 3-1 κυβικό χιλιοστόµετρο ( mm ) dm ή λίτρο ( ) cm ή χιλιοστόλιτρο ( ml ) 1m = 1000 dm = cm = mm 3 1dm = cm = mm 3 1cm = mm lt = 1dm = 0, 001m 1ml = 1cm = 0, m Να αναφέρετε τις µονάδες µέτρησης του χρόνου. Η βασική µονάδα µέτρησης του χρόνου είναι το δευτερόλεπτο (συµβολίζεται µε s ) Πολλαπλάσια του δευτερολέπτου min - 1 λεπτό ( ) - 1 ώρα ( h ) Επιµέλεια: Θεµελής Ευριπίδης 5

7 - 1 ηµέρα ( d ) 1min = 60s 1h= 60 min = 3600 s 1d = 4 h= 1440 min = s 31. Να αναφέρετε τις µονάδες µέτρησης της µάζας. Η βασική µονάδα µέτρησης της µάζας είναι το χιλιόγραµµο ή κιλό (συµβολίζεται µε kg ) Υποδιαιρέσεις του κιλού g - 1 γραµµάριο ( ) - 1 χιλιοστόγραµµο ( mg ) Πολλαπλάσια του κιλού - 1 τόνος ( t ) 1kg = 1000 g = mg 1g = 1000 mg 1t = 1000kg Οι παράγραφοι 3. και 3.3 δεν περιέχουν θεωρία. 4 ο Κεφάλαιο Εξισώσεις και προβλήµατα 4.1 Η έννοια της εξίσωσης 3. Τι ονοµάζουµε εξίσωση µε έναν άγνωστο; Εξίσωση µε έναν άγνωστο ονοµάζουµε µια ισότητα που περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα (άγνωστος). 33. Τι ονοµάζουµε λύση ή ρίζα της εξίσωσης και τι επίλυση αυτής; Λύση ή ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθµός που όταν αντικαταστήσει τον άγνωστο, επαληθεύει την εξίσωση. Η διαδικασία µέσω της οποίας βρίσκουµε τη λύση της εξίσωσης ονοµάζεται επίλυση. 34. Πότε µια εξίσωση λέγεται ταυτότητα ή αόριστη και πότε αδύνατη; Μια εξίσωση λέγεται ταυτότητα ή αόριστη όταν όλοι οι αριθµοί είναι λύσεις της και αδύνατη όταν κανένας αριθµός δεν την επαληθεύει. Οι παράγραφοι 4. και 4.3 δεν περιέχουν θεωρία. Επιµέλεια: Θεµελής Ευριπίδης 6

8 5 ο Κεφάλαιο Ποσοστά 5.1 Ποσοστά 35. Τι είναι το ποσοστό; α Το ποσοστό συµβολίζεται µε α % και ισούται µε το πηλίκο. Το σύµβολο % 100 α διαβάζεται ποσοστό επί τις εκατό. Το ποσοστό α % του β ισούται µε β Προβλήµατα µε ποσοστά 36. Με τι ισούται η τιµή ενός προϊόντος µετά την έκπτωση; Τι είναι ο τόκος; τιµή προϊόντος µετά την έκπτωση = τιµή πριν την έκπτωση ποσό της έκπτωσης τόκος = κεφάλαιο επιτόκιο 6 ο Κεφάλαιο Ανάλογα & αντιστρόφως ανάλογα ποσά 6.1 Παράσταση σηµείων στο επίπεδο 37. Τι ονοµάζουµε διατεταγµένο ζεύγος ενός σηµείου Α; Το ζεύγος ( α, β ) του οποίο ο πρώτος αριθµός α ονοµάζεται τετµηµένη του σηµείου Α και ο δεύτερος αριθµός β ονοµάζεται τεταγµένη του σηµείου Α, ονοµάζεται διατεταγµένο ζεύγος, επειδή έχει σηµασία η διάταξη, δηλαδή η σειρά, µε την οποία γράφονται οι αριθµοί α και β που το αποτελούν. 6. Λόγος δύο αριθµών - Αναλογία 38. Τι ονοµάζουµε λόγο δύο οµοειδών µεγεθών; Λόγος δύο οµοειδών µεγεθών, που εκφράζονται µε την ίδια µονάδα µέτρησης είναι το πηλίκο των µέτρων τους. 39. Τι ονοµάζουµε αναλογία; Αναλογία ονοµάζεται η ισότητα λόγων. 40. Τι ονοµάζουµε κλίµακα; Ο λόγος της απόστασης δύο σηµείων µιας εικόνας ενός αντικειµένου προς τη πραγµατική απόσταση των δύο αντιστοίχων σηµείων του αντικειµένου ονοµάζεται κλίµακα. φανταστική απόσταση κλίµακα = πραγµατική απόσταση 41. Αν οι λόγοι των αντίστοιχων πλευρών δύο παραλληλογράµµων είναι ίσοι, τι ισχύει για το λόγο των περιµέτρων τους; Αν οι λόγοι των αντίστοιχων πλευρών δύο παραλληλογράµµων είναι ίσοι, τότε αυτοί θα είναι ίσοι και µε το λόγο των περιµέτρων τους. Επιµέλεια: Θεµελής Ευριπίδης 7

9 6.3 Ανάλογα ποσά Ιδιότητες αναλόγων ποσών 4. Ποια ποσά ονοµάζονται ανάλογα; ύο ποσά λέγονται ανάλογα εάν µεταβάλλονται µε τον ίδιο τρόπο, που όταν οι τιµές του ενός πολλαπλασιάζονται µε έναν αριθµό, τότε και οι αντίστοιχες τιµές του άλλου να πολλαπλασιάζονται µε τον ίδιο αριθµό. 43. Τι ονοµάζουµε συντελεστή αναλογίας και ποια σχέση συνδέει τα ανάλογα ποσά; ύο ποσά x και y είναι ανάλογα, όταν οι αντίστοιχες τιµές τους δίνουν πάντα ίδιο πηλίκο y = α. Το πηλίκο α λέγεται συντελεστής αναλογίας. Τα ανάλογα x ποσά συνδέονται µε τη σχέση y = α x. 6.6 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 44. Τι γνωρίζεται για τα ανάλογα ποσά; Τα σηµεία που παριστάνουν τα ζεύγη (, ) όλα σε µία ευθεία γραµµή, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο ( 0, 0). x y των ανάλογων ποσών, βρίσκονται 6.6 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 45. Ποια ποσά ονοµάζονται αντιστρόφως ανάλογα; ύο µεγέθη είναι αντιστρόφως ανάλογα στην περίπτωση, που η µεταβολή τους είναι τέτοια ώστε όταν το ένα µέγεθος πολλαπλασιάζεται επί έναν αριθµό, το άλλο διαιρείται µε τον ίδιο αριθµό. 46. Τι γνωρίζεται για τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά; Όταν δύο ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα, το γινόµενο των αντίστοιχων τιµών τους παραµένει σταθερό, δηλαδή y x = α. Τα σηµεία που παριστάνουν τα ζεύγη ( x, y ) βρίσκονται σε µία καµπύλη γραµµή, η οποία ονοµάζεται υπερβολή. Η παράγραφος 6.5 δεν περιέχει θεωρία. 7 ο Κεφάλαιο Θετικοί και Αρνητικοί αριθµοί 7.1 Θετικοί και αρνητικοί αριθµοί Η ευθεία των ρητών Τετµηµένη σηµείου 47. Ποιοι αριθµοί ονοµάζονται οµόσηµοι και ποιοι ετερόσηµοι; Οµόσηµοι ονοµάζονται οι αριθµοί που έχουν το ίδιο πρόσηµο. Ετερόσηµοι είναι οι αριθµοί που έχουν διαφορετικό πρόσηµο. 48. Ποιοι αριθµοί ονοµάζονται ρητοί; Ρητοί αριθµοί είναι όλοι οι γνωστοί µας έως τώρα αριθµοί, φυσικοί, κλάσµατα και δεκαδικοί µαζί µε τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθµούς. Επιµέλεια: Θεµελής Ευριπίδης 8

10 7. Απόλυτη τιµή ρητού Αντίθετοι ρητοί Σύγκριση ρητών 49. Τι είναι η απόλυτη τιµή ενός αριθµού; Η απόλυτη τιµή ενός ρητού αριθµού α εκφράζει την απόσταση του σηµείου µε τετµηµένη α από την αρχή των αξόνων και συµβολίζεται µε α. 50. Τι γνωρίζετε για την απόλυτη τιµή; Η απόλυτη τιµή ενός θετικού αριθµού είναι ο ίδιος ο αριθµός. Η απόλυτη τιµή ενός αρνητικού αριθµού είναι ο αντίθετός του. Η απόλυτη τιµή του µηδενός είναι το µηδέν. Οι αντίθετοι αριθµοί έχουν ίσες απόλυτες τιµές, µιας και είναι ίση η απόσταση τους από το µηδέν. 51. Πως συγκρίνουµε τους ρητούς αριθµούς; - Το µηδέν είναι µικρότερο από κάθε θετικό αριθµό και µεγαλύτερο από κάθε αρνητικό αριθµό. - Ο µεγαλύτερος από δύο θετικούς ρητούς είναι εκείνος που έχει την µεγαλύτερη απόλυτη τιµή, δηλαδή αυτός που βρίσκεται δεξιότερα από τον άλλον πάνω στον άξονα. - Ο µεγαλύτερος από δύο αρνητικούς ρητούς είναι εκείνος που έχει τη µικρότερη απόλυτη τιµή, δηλαδή αυτός που βρίσκεται δεξιότερα από τον άλλον πάνω στον άξονα. 7.3 Πρόσθεση ρητών αριθµών 5. Να αναφέρετε τους κανόνες προσήµων για την πρόσθεση ρητών; - Για να προσθέσουµε δύο οµόσηµους ρητούς αριθµούς, προσθέτουµε τις απόλυτες τιµές τους και στο άθροισµα βάζουµε το κοινό τους πρόσηµο. - Για να προσθέσουµε δύο ετερόσηµους ρητούς αριθµούς, αφαιρούµε από τη µεγαλύτερη τη µικρότερη απόλυτη τιµή και στη διαφορά βάζουµε το πρόσηµο του ρητού µε τη µεγαλύτερη απόλυτη τιµή. 53. Να γράψετε τις ιδιότητες της πρόσθεσης; - α + β = β + α αντιµεταθετική - α + ( β + γ) = ( α + β) + γ προσεταιριστική - α + 0= 0+ α = α ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης - α + ( α) = ( α) + α = 0 το άθροισµα δύο αντίθετων αριθµών είναι πάντα µηδέν. 7.4 Αφαίρεση ρητών αριθµών 54. Πως γίνεται η αφαίρεση δύο ρητών; Για να αφαιρέσουµε από τον αριθµό α τον αριθµό β, προσθέτουµε στον α τον αντίθετο του β, δηλαδή α β = α + ( β). 7.5 Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών 55. Να αναφέρετε τους κανόνες προσήµων για τον πολλαπλασιασµό ρητών; - Το γινόµενο δύο θετικών ρητών είναι θετικός ρητός. - Το γινόµενο δύο αρνητικών ρητών είναι θετικός ρητός. - Το γινόµενο ενός θετικού και ενός αρνητικού ρητού είναι αρνητικός ρητός. Γενικά αν πολλαπλασιάσουµε δύο οµόσηµους ρητούς αριθµούς θα πάρουµε ως αποτέλεσµα έναν θετικό ρητό αριθµό, ενώ αν πολλαπλασιάσουµε δύο Επιµέλεια: Θεµελής Ευριπίδης 9

11 ετερόσηµους ρητούς αριθµούς θα πάρουµε ως αποτέλεσµα έναν αρνητικό ρητό αριθµό. + +=+ + = =+ += 56. Να αναφέρετε τις ιδιότητες του πολλαπλασιασµού; - α β = β α αντιµεταθετική - α ( β γ) = ( α β) γ προσεταιριστική - 1 α = α 1= α ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασµού - α ( β + γ) = α β + α γ α ( β γ) = α β α γ επιµεριστική - α β = 1 το α και το β ονοµάζονται αντίστροφη - 0 α = α 0= 0 οτιδήποτε πολλαπλασιάζεται µε 0, µηδενίζεται 57. Πως εργαζόµαστε όταν έχουµε να υπολογίσουµε ένα γινόµενο µε περισσότερους από δύο παράγοντες; Γνωρίζουµε ότι το γινόµενο θετικών ρητών είναι πάντα θετικό. Αν υπάρχει ένας παράγοντας που είναι αρνητικός, µετατρέπει το γινόµενο σε αρνητικό. Γενικά αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι άρτιο (ζυγό), τότε το γινόµενο έχει θετικό πρόσηµο, ενώ αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι περιττό (µονό), τότε το γινόµενο έχει αρνητικό πρόσηµο. 7.6 ιαίρεση ρητών αριθµών 58. Να αναφέρετε τους κανόνες προσήµων για τη διαίρεση; Αν διαιρέσουµε δύο οµόσηµους ρητούς αριθµούς θα πάρουµε ως αποτέλεσµα έναν θετικό ρητό αριθµό, ενώ αν διαιρέσουµε δύο ετερόσηµους ρητούς αριθµούς θα πάρουµε ως αποτέλεσµα έναν αρνητικό ρητό αριθµό. + : +=+ + : = : =+ : += 7.7 εκαδική µορφή ρητών αριθµών 59. Ποιοι δεκαδικοί αριθµοί ονοµάζονται περιοδικοί; Περιοδικούς δεκαδικούς αριθµούς, καλούµε τους δεκαδικού αριθµούς, στους οποίους το δεκαδικό µέρος (ή ένα µέρος αυτού) επαναλαµβάνεται συνέχεια. Το κοµµάτι του δεκαδικού µέρους που επαναλαµβάνεται ονοµάζεται περίοδος. Για να συµβολίζουµε ένα περιοδικό αριθµό χρησιµοποιούµε µία γραµµή πάνω από την περίοδο του δεκαδικού αριθµού, π.χ. 1, = 1, υνάµεις ρητών αριθµών µε εκθέτη φυσικό 60. Τι ονοµάζεται δύναµη ρητού αριθµού; Το γινόµενο α α α α (ν παράγοντες) είτε το α είναι θετικός, είτε αρνητικός ν συµβολίζεται µε α και λέγεται δύναµη µε βάση το α και εκθέτη το φυσικό ν > Τι ισχύει για τα πρόσηµα των δυνάµεων; - ύναµη µε βάση θετικό αριθµό είναι θετικός αριθµός. ν αν α > 0 τότε α > 0 Επιµέλεια: Θεµελής Ευριπίδης 10

12 - ύναµη µε βάση αρνητικό αριθµό και εκθέτη άρτιο είναι θετικός αριθµός ν αν α < 0 και ν άρτιος τότε α > 0 - ύναµη µε βάση αρνητικό αριθµό και εκθέτη περιττό είναι αρνητικός αριθµός ν αν α < 0 και ν περιττός τότε α < 0 6. Να αναφέρετε τις ιδιότητες των δυνάµεων ρητών µε εκθέτη φυσικό; 0 - α = 1-1 ν = 1 µ ν µ ν - α α = α + µ ν µ ν - α : α = α - ( ) ν ν ν α β = α β - ν α α = β β α - ( ) ν ν ν µ µν = α 7.9 υνάµεις ρητών αριθµών µε εκθέτη ακέραιο 63. Να αναφέρετε τις ιδιότητες των δυνάµεων ρητών µε εκθέτη ακέραιο; 1 1 ν ν - α = = ν α α - ν α β = β α ν Η παράγραφος 7.10 δεν περιέχει θεωρία. Επιµέλεια: Θεµελής Ευριπίδης 11

13 1 ο Κεφάλαιο Βασικές γεωµετρικές έννοιες 1.1 Σηµείο Ευθύγραµµο τµήµα Ευθεία Ηµιευθεία Επίπεδο Ηµιεπίπεδο 1. Τι ονοµάζουµε σηµείο; Η άκρη του µολυβιού µας, οι κορυφές ενός σχήµατος ή η µύτη µιας βελόνας, µας δίνουν την έννοια του σηµείου. Πρακτικά το σηµείο είναι µια κουκίδα στο χαρτί µας. Τα σηµεία τα συµβολίζουµε µε κεφαλαία γράµµατα, π.χ. Α.. Τι ονοµάζουµε ευθύγραµµο τµήµα; Αν ενώσουµε δύο σηµεία µε µία ευθεία γραµµή, τότε το σχήµα που προκύπτει είναι ένα ευθύγραµµο τµήµα. Το ευθύγραµµο τµήµα το συµβολίζουµε µε δύο κεφαλαία γράµµατα, για να δηλώσουµε τα δύο άκρα του, π.χ. ΑΒ. 3. Τι ονοµάζουµε ευθεία; Εάν προεκτείνουµε απεριόριστα ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ, τότε το νέο σχήµα που προκύπτει και δεν έχει ούτε αρχή ούτε τέλος, λέγεται ευθεία. Η ευθεία συµβολίζεται µε ένα µικρό γράµµα. 4. Ποια σχέση έχουν ένα σηµείο και µία ευθεία; Από ένα σηµείο διέρχονται άπειρες ευθείες. Από δύο σηµεία διέρχεται µόνο µία ευθεία. 5. Τι ονοµάζουµε ηµιευθεία και τι αντικείµενες ηµιευθείες; Ηµιευθεία είναι µια ευθεία που έχει αρχή αλλά δεν έχει τέλος. Συµβολίζεται µε Αx, όπου Α το σηµείο όπου ξεκινά η ηµιευθεία. Αντικείµενες ηµιευθείες λέγονται δύο ηµιευθείες που έχουν κοινή αρχή και βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. 6. Ποια σηµεία λέγονται συνευθειακά; Συνευθειακά λέγονται τα σηµεία που βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. 7. Τι ονοµάζουµε επίπεδο; Επίπεδο είναι µια επιφάνεια πάνω στην οποία εφαρµόζει παντού η ευθεία γραµµή. 8. Τι γνωρίζεται για το επίπεδο; Ένα επίπεδο επεκτείνεται απεριόριστα. Από τρία µη συνευθειακά σηµεία διέρχεται ένα µοναδικό επίπεδο, ενώ από ένα ή δύο σηµεία διέρχονται άπειρα επίπεδα. Επίσης κάθε επίπεδο χωρίζει το χώρο σε δύο µέρη ώστε αν θέλουµε να περάσουµε από το ένα µέρος του χώρου στο άλλο, πρέπει να διαπεράσουµε το επίπεδο. Τέλος κάθε ευθεία ενός επιπέδου το χωρίζει σε δύο ηµιεπίπεδα. Επιµέλεια: Θεµελής Ευριπίδης 1

14 1. Γωνία Γραµµή Επίπεδα σχήµατα Ευθύγραµµα σχήµατα Ίσα σχήµατα 9. Τι ονοµάζουµε γωνία; Αν σχεδιάσουµε σε ένα χαρτί δύο ηµιευθείες Οx και Οy µε κοινή αρχή το Ο, δηµιουργούµε δύο περιοχές, η µικρότερη από αυτές ονοµάζεται κυρτή και είναι ουσιαστικά η γωνία, ενώ η άλλη περιοχή ονοµάζεται µη κυρτή. Το σηµείο Ο λέγεται κορυφή της γωνίας, ενώ οι ηµιευθείες Οx και Οy λέγονται πλευρές της γωνίας. Μια γωνία τη συµβολίζουµε είτε µε τρία γράµµατα, βάζοντας πάντα ως µεσαίο γράµµα το γράµµα της κορυφής της γωνίας, π.χ. xο ˆ y, είτε µε ένα µόνο µικρό γράµµα, π.χ. ˆω. 10. Ποια γραµµή ονοµάζεται τεθλασµένη; Τεθλασµένη γραµµή είναι µια πολυγωνική γραµµή, που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραµµα τµήµατα, τα οποία δε βρίσκονται στην ίδια ευθεία. 11. Τι ονοµάζουµε ευθύγραµµο σχήµα; Ευθύγραµµο σχήµα ονοµάζεται κάθε τεθλασµένη γραµµή, της οποίας τα άκρα συµπίπτουν. 1. Πότε µια τεθλασµένη γραµµή ονοµάζεται κυρτή και πότε µη κυρτή; Μια τεθλασµένη γραµµή ονοµάζεται κυρτή όταν η προέκταση κάθε πλευρά της αφήνει όλες τις άλλες πλευρές στο ίδιο ηµιεπίπεδο. ιαφορετικά λέγεται µη κυρτή. 13. Πότε δύο ευθύγραµµα σχήµατα λέγονται ίσα; ύο ευθύγραµµα σχήµατα λέγονται ίσα αν συµπίπτουν όταν τοποθετηθούν το ένα επάνω στο άλλο µε κατάλληλο τρόπο. Στα ίσα σχήµατα τα στοιχεία που συµπίπτουν, δηλαδή οι κορυφές, οι πλευρές και οι γωνίες, ονοµάζονται αντίστοιχα στοιχεία των σχηµάτων αυτών. 1.3 Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα ευθύγραµµων τµηµάτων Απόσταση σηµείων Μέσο ευθύγραµµου τµήµατος 14. Να αναφέρετε τις µονάδες µέτρησης του µήκους. Η βασική µονάδα µέτρησης του µήκους είναι το µέτρο (συµβολίζεται µε m ) Υποδιαιρέσεις του µέτρου dm - 1 δεκατόµετρο ή παλάµη ( ) - 1 εκατοστόµετρο ή πόντος ( cm ) - 1 χιλιοστόµετρο ή χιλιοστό ( mm ) Πολλαπλάσια του µέτρου - 1 χιλιόµετρο ( km ) - 1 ναυτικό µίλι 1m= 10 dm= 100cm= 1000 mm 1dm = 10cm = 100 mm 1cm = 10mm 1km = 1000m 1ναυτικό µίλι = 185m Επιµέλεια: Θεµελής Ευριπίδης 13

15 15. Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων Α και Β; Απόσταση δύο σηµείων Α και Β λέγεται το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ που τα ενώνει. Επειδή µε ΑΒ δηλώνουµε και το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ, για να δηλώσουµε το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος γράφουµε (ΑΒ) ή µήκος του ΑΒ. 16. Τι ονοµάζουµε µέσο ευθυγράµµου τµήµατος; Μέσο ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ ονοµάζουµε το σηµείο Μ του τµήµατος, που απέχει εξίσου από τα άκρα του. Οποιοδήποτε ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ έχει πάντα ένα µέσο Μ, το οποίο είναι και µοναδικό. 1.4 Πρόσθεση και αφαίρεση ευθυγράµµων τµηµάτων 17. Τι ονοµάζουµε περίµετρο ευθυγράµµου σχήµατος; Το άθροισµα των πλευρών ενός ευθυγράµµου σχήµατος ονοµάζεται περίµετρος του σχήµατος. 1.5 Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα γωνιών ιχοτόµος γωνίας 18. Τι γνωρίζετε για τη µέτρηση και σύγκριση γωνιών; Η µέτρηση των γωνιών γίνεται µε το µοιρογνωµόνιο. Ο αριθµός που προκύπτει από τη µέτρηση αυτή ονοµάζεται µέτρο της γωνίας. Η µονάδα µέτρησης των γωνιών είναι η µοίρα που γράφεται 1. Επίσης 1 = 60 (πρώτα λεπτά) και 1 = 60 (δεύτερα λεπτά). Κάθε γωνία έχει µοναδικό µέτρο που εξαρτάται µόνο από το άνοιγµα των πλευρών της. Αν δύο γωνίες έχουν το ίδιο µέτρο, τότε είναι ίσες. 19. Τι γνωρίζετε για τις γωνίες της βάσης ισοσκελούς τριγώνου; Οι προσκείµενες στη βάση ισοσκελούς τριγώνου γωνίες είναι ίσες. 0. Τι ονοµάζουµε διχοτόµο γωνίας; ιχοτόµος γωνίας ονοµάζεται η ηµιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 1.6 Είδη γωνιών κάθετες ευθείες 1. Ποια είδη γωνιών γνωρίζετε; - Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το µέτρο είναι ίσο µε 90 και οι πλευρές της είναι κάθετες ηµιευθείες. - Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία µε µέτρο µικρότερο των Αµβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία µε µέτρο µεγαλύτερο των 90 και µικρότερο των Ευθεία γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το µέτρο είναι ίσο µε 180 και οι πλευρές της είναι αντικείµενες ηµιευθείες. - Μη κυρτή γωνία λέγεται κάθε γωνία µε µέτρο µεγαλύτερο των 180 και µικρότερο των Μηδενική γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το µέτρο είναι ίσο µε 0. - Πλήρης γωνία λέγεται η γωνία της οποία το µέτρο είναι ίσο µε 360. Επιµέλεια: Θεµελής Ευριπίδης 14

16 . Ποιες ευθείες λέγονται κάθετες; ύο ευθείες είναι κάθετες όταν οι γωνίες που σχηµατίζουν αυτές τεµνόµενες είναι ορθές. Για να δηλώσουµε ότι δύο ευθείες ε 1 και ε είναι κάθετες χρησιµοποιούµε το σύµβολο και γράφουµε ε1 ε. 1.7 Εφεξής και διαδοχικές γωνίες Άθροισµα γωνιών 3. Ποιες γωνίες ονοµάζονται εφεξής; Εφεξής γωνίες ονοµάζονται δύο γωνίες που έχουν την ίδια κορυφή, µία κοινή πλευρά και δεν έχουν κανένα άλλο κοινό σηµείο. 4. Ποιες γωνίες ονοµάζονται διαδοχικές; ιαδοχικές γωνίες λέγονται περισσότερες από δύο γωνίες, που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και καθεµιά από αυτές είναι εφεξής γωνία µε την προηγούµενη ή την επόµενη. 1.8 Παραπληρωµατικές και συµπληρωµατικές γωνίες Κατακορυφήν γωνίες 5. Ποιες γωνίες ονοµάζονται παραπληρωµατικές; Παραπληρωµατικές γωνίες ονοµάζονται δύο γωνίες που έχουν άθροισµα 180. Η κάθε µία από τις γωνίες λέγεται παραπληρωµατική της άλλης. 6. Ποιες γωνίες ονοµάζονται συµπληρωµατικές; Συµπληρωµατικές γωνίες ονοµάζονται δύο γωνίες που έχουν άθροισµα 90. Η κάθε µία από τις γωνίες λέγεται συµπληρωµατική της άλλης. 7. Ποιες γωνίες ονοµάζονται κατακορυφήν; Κατακορυφήν γωνίες ονοµάζονται δύο γωνίες που έχουν την κορυφή τους κοινή και τις πλευρές τους αντικείµενες ηµιευθείες. 1.9 Θέσεις ευθειών στο επίπεδο 8. Ποιες ευθείες ονοµάζονται παράλληλες και ποιες τεµνόµενες; ύο ευθείες του ιδίου επιπέδου λέγονται παράλληλες αν δεν έχουν κανένα κοινό σηµείο όσο και αν προεκταθούν. Για να δηλώσουµε ότι δύο ευθείες ε 1 και ε είναι παράλληλες χρησιµοποιούµε το σύµβολο // και γράφουµε ε1// ε. ύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που έχουν ένα κοινό σηµείο ονοµάζονται τεµνόµενες και το κοινό τους σηµείο λέγεται σηµείο τοµής των δύο ευθειών. ύο ευθείες του επιπέδου που είναι κάθετες σε µία ευθεία είναι µεταξύ τους παράλληλες Απόσταση σηµείου από ευθεία Απόσταση παραλλήλων 9. Τι ονοµάζεται απόσταση σηµείου από ευθεία; Απόσταση σηµείου Α από ευθεία ε ονοµάζεται το µήκος του κάθετου ευθυγράµµου τµήµατος ΑΑ 0 από το σηµείο Α προς την ευθεία ε. 30. Τι ονοµάζεται απόσταση δύο παραλλήλων ευθειών; Απόσταση δύο παραλλήλων ευθειών λέγεται το µήκος οποιουδήποτε ευθυγράµµου τµήµατος που είναι κάθετο στις δύο παράλληλες ευθείες και έχει τα άκρα του σ αυτές. Επιµέλεια: Θεµελής Ευριπίδης 15

17 1.11 Κύκλος και στοιχεία του κύκλου 31. Τι ονοµάζεται κύκλος; Κύκλος λέγεται το σύνολο όλων των σηµείων του επιπέδου που απέχουν την ίδια απόσταση από ένα σταθερό σηµείο Ο. Η απόσταση αυτή συµβολίζεται µε ρ και λέγεται ακτίνα του κύκλου. Το σηµείο Ο λέγεται κέντρο του κύκλου. Ένα κύκλο Ο, ρ. κέντρου Ο και ακτίνας ρ συµβολίζεται µε ( ) 3. Τι γνωρίζετε για τον κύκλο και τα στοιχεία του; Το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ που συνδέει δύο σηµεία Α και Β του κύκλου λέγεται χορδή του κύκλου. Η χορδή που περνάει από το κέντρο του κύκλου λέγεται διάµετρος του κύκλου. Η διάµετρος είναι η µεγαλύτερη χορδή του κύκλου, είναι διπλάσια από την ακτίνα του κύκλου και χωρίζει τον κύκλο σε δύο ίσα µέση (ηµικύκλια). ύο σηµεία Α και Β του κύκλου τον χωρίζουν σε δύο µέρη που το καθένα λέγεται τόξο του κύκλου µε άκρα τα Α και Β. 33. Τι ονοµάζουµε κυκλικό δίσκο; Κυκλικός δίσκος ( Ο, ρ ) είναι ο κύκλος ( Ο, ρ ) µαζί µε το µέρος του επιπέδου που περικλείει. Όλα τα σηµεία του κυκλικού δίσκου απέχουν από το κέντρο Ο απόσταση µικρότερη ή ίση µε την ακτίνα ρ. 1.1 Επίκεντρη γωνία Σχέση επίκεντρης γωνίας και του αντίστοιχου τόξου Μέτρηση τόξου 34. Ποια γωνία ονοµάζεται επίκεντρη; Επίκεντρη γωνία ονοµάζεται η γωνία που η κορυφή της συµπίπτει µε το κέντρο του κύκλου και οι πλευρές της τέµνουν τον κύκλο. Το τόξο που δηµιουργείται από τα σηµεία τοµής των πλευρών της γωνίας και τον κύκλο λέγεται αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας. 35. Τι σχέση έχει το µέτρο µίας επίκεντρης γωνίας µε το αντίστοιχο τόξο της; Ως µέτρο ενός τόξου ορίζεται το µέτρο της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας, δηλαδή το µέτρο ενός τόξου το µετράµε σε µοίρες και είναι ίσο µε το µέτρο της επίκεντρης γωνίας. Σε έναν κύκλο ή σε ίσους κύκλους, δύο ίσες επίκεντρες γωνίες έχουν ίσα αντίστοιχα τόξα. Σε έναν κύκλο ή σε ίσους κύκλους δύο ίσα τόξα έχουν ίσες τις επίκεντρες γωνίες τους Θέσεις ευθείας και κύκλου 36. Ποιες είναι ο σχετικές θέσεις µιας ευθείας και ενός κύκλου; - Μία ευθεία και ένας κύκλος δεν έχουν κανένα κοινό σηµείο, δηλαδή η ευθεία είναι εξωτερική του κύκλου. Όταν η απόσταση ΟΜ του κέντρου Ο από την ευθεία ε είναι µεγαλύτερη από την ακτίνα ρ ( ΟΜ > ρ ), η ευθεία είναι εξωτερική του κύκλου. - Μία ευθεία και ένας κύκλος έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο, δηλαδή η ευθεία είναι εφαπτοµένη του κύκλου. Όταν η απόσταση ΟΜ του κέντρου Ο από την ευθεία ε είναι ίση µε την ακτίνα ρ ( ΟΜ = ρ ), η ευθεία είναι εφαπτόµενη του κύκλου. - Μία ευθεία και ένας κύκλος έχουν δύο κοινά σηµεία, δηλαδή η ευθεία είναι τέµνουσα του κύκλου. Όταν η απόσταση ΟΜ του κέντρου Ο από την ευθεία ε Επιµέλεια: Θεµελής Ευριπίδης 16

18 είναι µικρότερη από την ακτίνα ρ ( ΟΜ< ρ ) κύκλου., η ευθεία είναι τέµνουσα του 37. Ποια τµήµατα λέγονται εφαπτόµενα τµήµατα κύκλου; Αν είναι Μ το σηµείο που τέµνονται δύο εφαπτόµενες του κύκλου, που εφάπτονται µε τον κύκλο στα σηµεία Α και Β αντίστοιχα, τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΜ και ΒΜ λέγονται εφαπτόµενα τµήµατα του κύκλου. ο Κεφάλαιο Συµµετρία.1 Συµµετρία ως προς άξονα 38. Ποια σηµεία ονοµάζονται συµµετρικά; Συµµετρικό σηµείου Β ως προς ευθεία ε είναι το σηµείο Γ µε το οποίο συµπίπτει το Β, αν διπλώσουµε το φύλλο κατά µήκος της ευθείας ε. Οµοίως ορίζονται και τα συµµετρικά σχήµατα. Τα συµµετρικά ως προς ευθεία σχήµατα είναι ίσα.. Άξονας συµµετρίας 39. Τι ονοµάζουµε άξονα συµµετρίας ενός σχήµατος; Άξονας συµµετρίας σχήµατος ονοµάζεται η ευθεία που χωρίζει το σχήµα σε δύο µέρη, τα οποία συµπίπτουν όταν διπλωθεί το σχήµα κατά µήκος της ευθείας. Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι το σχήµα έχει άξονα συµµετρίας την ευθεία αυτή..3 Μεσοκάθετος ευθυγράµµου τµήµατος 40. Τι ονοµάζεται µεσοκάθετος ευθυγράµµου τµήµατος; Μεσοκάθετος ευθυγράµµου τµήµατος ονοµάζεται η ευθεία που είναι κάθετη προς αυτό και διέρχεται από το µέσον του. 41. Τι γνωρίζετε για τη µεσοκάθετο και τις ιδιότητές της; Κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός ευθυγράµµου τµήµατος έχει ίσες αποστάσεις (ισαπέχει) από τα άκρα του και αντίστροφα, κάθε σηµείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθυγράµµου τµήµατος βρίσκεται πάνω στη µεσοκάθετο. Επίσης η µεσοκάθετος είναι και άξονας συµµετρίας του ευθυγράµµου τµήµατος..4 Συµµετρία ως προς σηµείο 4. Πότε δύο σηµεία λέγονται συµµετρικά; Συµµετρικό σηµείο Α ως προς κέντρο Ο είναι το σηµείο Α µε το οποίο συµπίπτει το Α αν περιστραφεί περί το Ο κατά 180. Επίσης δύο σηµεία Μ και Μ είναι συµµετρικά ως προς σηµείο Ο όταν το Ο είναι µέσο του τµήµατος ΜΜ. 43. Πότε δύο σχήµατα λέγονται συµµετρικά; ύο σχήµατα λέγονται συµµετρικά ως προς σηµείο Ο, όταν κάθε σηµείο του ενός είναι συµµετρικό ενός σηµείου του άλλου ως προς Ο. Τα συµµετρικά σχήµατα είναι ίσα..5 Κέντρο συµµετρίας 44. Τι ονοµάζουµε κέντρο συµµετρίας ενός σχήµατος; Κέντρο συµµετρίας σχήµατος ονοµάζεται ένα σηµείο του Ο, γύρω από το οποίο Επιµέλεια: Θεµελής Ευριπίδης 17

19 αν περιστραφεί το σχήµα κατά 180, συµπίπτει µε το αρχικό. Στην περίπτωση που υπάρχει τέτοιο σηµείο, λέµε ότι το σχήµα έχει κέντρο συµµετρίας το σηµείο Ο..6 Παράλληλες ευθείες που τέµνονται από µία άλλη ευθεία 45. Τι γωνίες δηµιουργούνται από δύο παράλληλες ευθείες και µία τέµνουσα αυτών και τι γνωρίζετε για αυτές; - Οι γωνίες που βρίσκονται προς το ίδιο µέρος της τέµνουσας ονοµάζονται επί τα αυτά. Οι γωνίες που βρίσκονται εκατέρωθεν (µία δεξιά και µία αριστερά) της τέµνουσας ονοµάζονται εναλλάξ. - Οι γωνίες που βρίσκονται εντός των παραλλήλων ονοµάζονται εντός και οι γωνίες που βρίσκονται εκτός των παραλλήλων ονοµάζονται εντός. ιακρίνουµε τις γωνίες: - Εντός εκτός και επί τα αυτά µέρη γωνίες που είναι µεταξύ τους ίσες. - Εντός εναλλάξ γωνίες που είναι µεταξύ τους ίσες. - Εντός και επί τα αυτά γωνίες που είναι παραπληρωµατικές 3 ο Κεφάλαιο Τρίγωνα Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 3.1 Στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων 46. Σε ποιες κατηγορίες χωρίζουµε τα τρίγωνα µε βάση τις γωνίες τους; Τα τρίγωνα χωρίζονται µε βάση της γωνίες τους στις εξής κατηγορίες: - Ορθογώνιο, έχει µία ορθή (ίση µε 90 ) γωνία - Αµβλυγώνιο, έχει µία αµβλεία (µεγαλύτερη από 90 ) γωνία - Οξυγώνιο, έχει όλες τις γωνίες τους οξείες (µικρότερες από 90 ) 47. Σε ποιες κατηγορίες χωρίζουµε τα τρίγωνα µε βάση τις πλευρές τους; Τα τρίγωνα χωρίζονται µε βάση της πλευρές τους στις εξής κατηγορίες: - Ισόπλευρο, έχει όλες τις πλευρές του ίσες - Ισοσκελές, έχει δύο πλευρές τους ίσες - Σκαληνό, έχει όλες τις πλευρές τους άνισες 48. Τι ονοµάζουµε διάµεσος τριγώνου; Το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει την κορυφή ενός τριγώνου µε το µέσο της απέναντι πλευράς, λέγεται διάµεσος. 49. Τι ονοµάζουµε ύψος τριγώνου; Το ευθύγραµµο τµήµα που φέρνουµε από µια κορυφή ενός τριγώνου κάθετο στην ευθεία της απέναντι πλευράς, λέγεται ύψος του τριγώνου. 50. Τι ονοµάζουµε διχοτόµο τριγώνου; Το ευθύγραµµο τµήµα της διχοτόµου µιας γωνίας ενός τριγώνου που φέρνουµε από µια κορυφή και καταλήγει στην απέναντι πλευρά, λέγεται διχοτόµος του τριγώνου. Επιµέλεια: Θεµελής Ευριπίδης 18

20 Άθροισµα γωνιών τριγώνου Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου Τι γνωρίζετε για τις γωνίες ενός τριγώνου; Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ το άθροισµ µα των γωνιών του ισούται πάντα µε 180. ˆΑ +Β+Γ= ˆ ˆ Τι γνωρίζετε για το ισοσκελές τρίγωνο; - Η ευθεία της διαµέσου, που αντιστοιχεί στη βάση είναι άξονα συµµετρίας του ισοσκελούς τριγώνου. - Η διάµεσος που αντιστοιχεί στη βάση ισοσκελούς τριγώνου είναι ταυτόχρονα ύψος και διχοτόµος αυτού. - Οι προσκείµενες γωνίες στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. 53. Τι γνωρίζετε για το ισόπλευρο τρίγωνο; - Οι ευθείες των διαµέσων είναι άξονες συµµετρίας του ισόπλευρου τριγώνου. - Κάθε διάµεσος είναι ταυτόχρονα ύψος και διχοτόµος. - Όλες οι πλευρές και όλες οι γωνίες ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες. 3.3 Παραλληλόγραµµο Ορθογώνιο Ρόµβος Τετράγωνο Ισοσκελές τραπέζιο 54. Ποιο σχήµα λέγεται παραλληλόγραµµο; Παραλληλόγραµµο λέγεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που έχει τις απέναντι πλευρές του ίσες και παράλληλες. Τραπέζιο 55. Ποιο σχήµα λέγεται ορθογώνιο παραλληλόγραµµο ή απλά ορθογώνιο; ; Ένα παραλληλόγραµµ µο που έχει όλες τις γωνίες του ορθές λέγεται ορθογώνιο παραλληλόγραµ µµο ή απλά ορθογώνιο Ποιο σχήµα λέγεται ρόµβος; Ένα παραλληλόγραµµ µο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες λέγεται ρόµβος. 57. Ποιο σχήµα λέγεται τετράγωνο; Ένα παραλληλόγραµµ µο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ορθές, λέγεται τετράγωνο. 58. Ποιο σχήµα λέγεται τραπέζιο; Το τετράπλευρο ΑΒΓ του οποίου µόνο είναι παράλληλες, λέγεται τραπέζιο. Οι πλευρές του τραπεζίου λέγονται βάσεις. δύο πλευρές παράλληλες Επιµ µέλεια: Θεµ µελής Ευριπίδης 19

21 59. Ποιο σχήµα λέγεται ισοσκελές τραπέζιο; Αν ένα τραπέζιο έχει τις µη παράλληλες πλευρές του ίσες, λέγεται ισοσκελές τραπέζιο. 3.4 Ιδιότητες παραλληλογράµµου Ορθογωνίου Ρόµβου Τετραγώνου Τραπεζίου Ισοσκελούς τραπεζίου 60. Να αναφέρετε τις ιδιότητες του παραλληλογράµµου; - Σε κάθε παραλληλόγραµµο το σηµείο τοµής των διαγωνίων του είναι κέντρο συµµετρίας του. - Οι διαγώνιες του διχοτοµούνται (κάθε µία περνάει από το µέσον της άλλης). - Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. - Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες Να αναφέρετε τις ιδιότητες του ορθογωνίου; Εκτός από τις ιδιότητες του παραλληλογράµ µου έχει ακόµα τις εξής - Οι µεσοκάθετοι των πλευρών του είναι άξονες συµµ µετρίας. - Οι διαγώνιες του είναι ίσες και διχοτοµούνται. 6. Να αναφέρετε τις ιδιότητες του ρόµ µβου; Εκτός από τις ιδιότητες του παραλληλογράµ µου έχει ακόµα τις εξής - Οι ευθείες των διαγωνίων είναι άξονες συµµετρίας. - Οι διαγώνιες είναι κάθετες και διχοτοµούνται. - Οι διαγώνιές του είναι και διχοτόµοι των γωνιών του. 63. Να αναφέρετε τις ιδιότητες του τετραγώνου; Εκτός από τις ιδιότητες του παραλληλογράµ µου έχει ακόµα τις εξής - Οι ευθείες των διαγωνίων του και οι µεσοκάθετο οι των πλευρών του είναι άξονες συµµετρίας του. - Οι διαγώνιες του είναι ίσες, κάθετες και διχοτοµούν ται. - Οι διαγώνιές του είναι και διχοτόµοι των γωνιών του. 64. Να αναφέρετε τις ιδιότητες του ισοσκελούς τραπεζίου; - Η ευθεία που διέρχεται από τα µέσα των βάσεων είναι άξονας συµµετρίας και µεσοκάθετος στις βάσεις του. - Οι προσκείµενες σε κάθε βάση γωνίες του είναι ίσες. Επιµ µέλεια: Θεµ µελής Ευριπίδης 0

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; Οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο : Οι Φυσικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 1 ο : Οι Φυσικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α! ΤΑΞΗΣ 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ -- ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 1 ο : Οι Φυσικοί αριθμοί Α. 1. 1 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί και ποια είναι η χαρακτηριστική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο : Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Κεφάλαιο 1 ο : Βασικές Γεωμετρικές έννοιες 17 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑΣ Κεφάλαιο 1 ο : Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Β. 1. 1 81. Τι ονομάζεται ευθεία και ποιες προτάσεις αναφέρονται σ αυτή; Ονομάζεται ευθεία το σχήμα που προκύπτει

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες.

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. Μαθηματικά A Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. 1. Τι λέμε σημείο; Η άκρη του μολυβιού μας, οι κορυφές ενός σχήματος, η μύτη μιας βελόνας, μας δίνουν την έννοια του σημείου. 2. Τι λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου;

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου; ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου; 2. Τι ξέρετε για το υπόλοιπο που προκύπτει από μια Ευκλείδεια διαίρεση; 3. Τι ονομάζουμε τέλεια

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα A Γυμνασιου

Μαθηματικα A Γυμνασιου Μαθηματικα A Γυμνασιου Θεωρια & παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 45 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΟΡΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Το σημείο το ονομάζουμε με ένα κεφαλαίο γράμμα. Λέμε: το σημείο Α.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Το σημείο το ονομάζουμε με ένα κεφαλαίο γράμμα. Λέμε: το σημείο Α. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΝΟΜΑΣΙΕΣ Σημείο Το σημείο το ονομάζουμε με ένα κεφαλαίο γράμμα. Λέμε: το σημείο Α. Ευθύγραμμο τμήμα Το ευθύγραμμο τμήμα, το ονομάζουμε με δύο κεφαλαία γράμματα (των σημείων που

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΦΦΦΦΦ. Μαθηματικά. Α Γυμνασίου

ΔΦΦΦΦΦ. Μαθηματικά. Α Γυμνασίου ΔΦΦΦΦΦ Μαθηματικά Α Γυμνασίου Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Φυσικοί αριθμ οί... 5 Α1.1 Φυσικοί αριθμ οί-διάταξη φυσικών-στρογγυλοποίηση... 5 Α1.2 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμ ός φυσικών αριθμ ών... 7

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1 η ΕΚΑ Α ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ η ΕΚΑ Α. Πότε δύο γωνίες λέγονται εφεξής; Ποιο σχήµα ονοµάζουµε κύκλο µε κέντρο Ο και ακτίνα ρ ; Στον παρακάτω πίνακα να αντιστοιχίσετε κάθε αριθµό της πρώτης στήλης µε ένα γράµµα της

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις.: Δυνάμεις φυσικών αριθμών.4: Ευκλείδεια διαίρεση - διαιρετότητα.: Χαρακτήρες διαιρετότητας - ΜΚΔ - ΕΚΠ - Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν () Στρογγυλοποίησε τον αριθμό 8.987. στις πλησιέστερες: (α) δ ε- κάδες, (β) εκατοντάδες, (γ) χιλιάδες,

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß ÊåöÜëáéï 1 ï Ïé ñçôïß áñéèìïß ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÅðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþí Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôýùí ÁðáëïéöÞ ðáñåíèýóåùí ÂéâëéïìÜèçìá ï Ðïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþí Ãéíüìåíï ðïëëþí

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΛΓΕΡ ΚΕΦΛΙΟ. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. πό τους αριθμούς 675, 0, 4404, 7450 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το, με το, με το 4, με το 9.. Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A 1 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A Οξυγώνιο τρίγωνο, όλες οι γωνίες οξείες B A µβλυγώνιο τρίγωνο,

Διαβάστε περισσότερα

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΟΡΙΣΜΟΙ Θετικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο το + (πολλές φορές το + παραλείπεται) π.χ. +3, +105, +, + 0,7, 326. Αρνητικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí. -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò

ÊåöÜëáéï 1 ï. -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí. -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò ÊåöÜëáéï 1 ï Öõóéêïß êáé Äåêáäéêïß áñéèìïß âéâëéïììüèçìá 1: -Öõóéêïß áñéèìïß -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí âéâëéïììüèçìá : -Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôþò -Ç Ýííïéá

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ Το αναλυτικό πρόγραμμα που παρουσιάζουμε εδώ είναι μια πρόταση από περιεχόμενα που θα μπορούσαν να διδαχτούν στο σχολείο δεύτερης ευκαιρίας. Αυτό δεν σημαίνει ότι το πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόµος της γωνίας της κορυφής είναι και διάµεσος και ύψος.

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόµος της γωνίας της κορυφής είναι και διάµεσος και ύψος. ΙΩΝΙΣΜ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΥΚΕΙΟΥ 3/0/0 ΕΝΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜ ο ) Να αποδείξετε ότι δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και µόνο αν τα αποστήµατά τους είναι ίσα. Θεωρία, σελίδα 46 σχολικού βιβλίου Θεώρηµα III

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί;

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 5. 5.2 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 00 ρωτήσεις ατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 3 Π 5 4 Π 2 5 5 Ο 3 4 Ο 4 Π 3 Ν 3 3 Μ 3,5 3,5 Λ Ρ φ Π 4 φ ω

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 4η Να βρεθεί ο τριψήφιος αριθμός που τα ψηφία του είναι ανάλογα των αριθμών 1, 2, 3 κατά σειρά και διαιρείται από το 9. Άσκηση 7η.

Άσκηση 4η Να βρεθεί ο τριψήφιος αριθμός που τα ψηφία του είναι ανάλογα των αριθμών 1, 2, 3 κατά σειρά και διαιρείται από το 9. Άσκηση 7η. Άσκηση 1η Αν η εξίσωση είναι αόριστη, τότε: α) Να δειχθεί ότι η εξίσωση είναι αδύνατη β) Να λυθεί η ανίσωση γ) Αν ισχύει ότι να βρεθεί ο αριθμός Α Άσκηση 2η Αν η εξίσωση έχει λύση μεγαλύτερη του και η

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ορισµός τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ορισµός τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου 70 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ορισµός τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου Σχέσεις µεταξύ τριγωνοµετρικών αριθµών 71 Εφαρµογές 72 73 74 75 76 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α 1 2 Α. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται πρώτος και πότε σύνθετος; Β. Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2; Γ. Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 3; Α. Να αναφέρετε ποια είναι τα είδη των

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1. Ένα ψυγείο την περίοδο των εκπτώσεων πωλείται µε έκπτωση 18% αντί του ποσού των 779. Να βρείτε πόση ήταν η αξία του ψυγείου πριν τις εκπτώσεις. Αν x ήταν η αξία του ψυγείου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ

ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ ÊåöÜëáéï 7 ï Åõèýãñáììá ó Þìáôá âéâëéïììüèçìá : -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ âéâëéïììüèçìá 3: -Åìâáäü ôñéãþíïõ -Åìâáäü

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Β 2 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ A ΕΝΟΤΗΤΑ : Πράξεις Ρητών αριθμών 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια εωµετρία τάξης ενικού υκείου ΩΝΙΕΣ ρισµός: Έστω χ και ψ δύο ηµιευθείες που δεν έχουν κοινό φορέα και έστω p το ηµιεπίπεδο που έχει ακµή τον φορέα της Oχ και περιέχει την ψ και

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Απέναντι πλευρές παράλληλες

Απέναντι πλευρές παράλληλες 5. 5.5 ΘΩΡΙ. Παραλληλόγραµµο πέναντι πλευρές παράλληλες. Ιδιότητες παραλληλογράµµου πέναντι πλευρές ίσες πέναντι γωνίες ίσες Οι διαγώνιοι διχοτοµούνται Το σηµείο τοµής των διαγωνίων είναι κέντρο συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα