4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν

Transcript

1 . ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Η επιλογή των συναρτήσεων βάσης ( ) φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galrkn δεν είναι τόσο απλή, και στην γενική περίπτωση είναι µία δύσκολη διαδικασία. Σε µερικές περιπτώσεις η επιλογή των συναρτήσεων αυτών µπορεί να βοηθήσει όταν "γνωρίζω" κάποια πράγµατα για την ζητούµενη λύση. Αυτό όµως δεν είναι πάντα εφικτό. Τα "πεπερασµένα" στοιχεία αποτελούν µία εξέλιξη της µεθόδου Galrkn και βασίζονται στο γεγονός ότι µπορώ να επιτύχω µία πολύ καλή προσέγγιση της λύσης µου όταν διαλέγω πολλές συναρτήσεις, απλής µορφής, µε έναν συστηµατικό τρόπο. Το "τίµηµα" είναι πως προκύπτουν πολλές πράξεις (υπολογισµοί). Η συστηµατικότητα όµως της µεθόδου επιτρέπει την χρήση Η/Υ και έτσι το µέγεθος των υπολογισµών δεν αποτελεί ένα ουσιαστικό εµπόδιο.. Συναρτήσεις "στέγες" για την µέθοδο Galrkn N = και ο κόµβος ( N ) στο = Κατ αρχήν χωρίζω το χωρίο µου σε τµήµατα, µε ) κόµβος ( αντιστοιχεί στο N + το πλήθος κόµβων. Ο = = N Σχήµα.. Κόµβοι κατά µήκος του άξονα των Ορίζω τις συναρτήσεις φ ( ) ως εξής και αρίθµηση. φ ( ) = φ () Σχήµα.: Συνάρτηση «στέγης». Η κάθε συνάρτηση έχει τη µορφή "στέγης" που φαίνεται στο σχήµα, είναι συνεχής, οµαλή και µη-µηδενική σε ένα µικρό τµήµα "περί του κόµβου ". ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα από 3

2 φ ( ) = δ αν αν = ώστε αφ( ) u = Στους κόµβους έχω = αφ = αδ = u a.. Εφαρµογή σε ένα τυπικό πρόβληµα Για το κάτωθι πρόβληµα που µας απασχόλησε και σε προηγούµενο κεφάλαιο, du ku p ΕΑ = d () u = u = q διαλέγω τις φ, φ, φ 3, φ όπως φαίνονται στο σχήµα. φ () = = = = 3 φ () 3 φ 3 () = = 3 = φ () 3 Σχήµα.3: Συναρτήσεις Galrkn για το µοπνοδιάστατο πρόβληµα (). = ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα από 3

3 ακριβής λύση προσεγγιστική λύση = u u u 3 u 3 = Σχήµα.: Σχηµατική µορφή της λύσης (ακριβής και προσεγιστική) φ () φ () / / [φ ()] - / Σχήµα.5: Συνάρτηση «στέγης» και παράγωγος αυτής. Οι φ είναι αποδεκτές συναρτήσεις διότι φ =. Επίσης είναι "σχετικά απλές" συναρτήσεις (τµηµατικά γραµµικές) και επίσης "οµαλές", δεδοµένου ότι εύκολα αποδεικνύεται πως Επίσης, φ d< ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα 3 από 3

4 φ ( ) = δ αν αν = Επιπλέον αν θεωρήσω την προσέγγιση (Galrkn), τότε α φ = ( ) u( ) και στους κόµβους η προσεγγιστική συνάρτηση Galrkn έχει τιµές = α φ( ) = α δ α u = = =. ηλαδή οι παράµετροι (βαθµοί ελευθερίας) του "διακριτοποιηµένου" προβλήµατος α είναι οι µετατοπίσεις των κόµβων ( u = α ), και εποµένως = = φ u u Η ασθενής µορφή του προβλήµατος είναι: * * * * ΕΑ u u d + k u u d = p u d + k u Όπου * u είναι µία τυχαία αποδεκτή συνάρτηση. Αν λοιπόν u = = φ u u = * * = φ u u * u µε άγνωστα και τυχαία τότε όπου και { } { } u = = ΕΑ φφ d+ kφφ d = p( ) φ d+ kφ.. Βασικές Ιδιότητες του µητρώου [ ]. έχει συµµετρία = (προφανές). έχει αρκετά µηδενικά στοιχεία: λόγω του ότι οι ( ) µικρό διάστηµα, µερικά στοιχεία του [ ] είναι µηδενικά. φ είναι µη µηδενικές σε ένα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα από 3

5 Παράδειγµα: = και =. Σηµειώστε πως η ιδιότητα αυτή είναι πιο σηµαντική όσο µεγαλώνει ο αριθµός των συναρτήσεων φ ( ) 3. Αθροιστικότητα (ίσως η σηµαντικότερη για την µέθοδό µας, αν και η πλέον τετριµµένη) ΕΑ φ φ d = ΕΑ φφ d + ΕΑ φφ d + ΕΑ φφ d + ΕΑφφ d ηλαδή, µπορώ να «σπάσω» τα ολοκληρώµατα στα επιµέρους διαστήµατα, +, και έτσι να υπολογίσω τα σε κάθε διάστηµα, + και να αθροίσω. Για παράδειγµα, το διάστηµα έχω µόνον διότι όλες οι άλλες συναρτήσεις είναι µηδέν ( φ = φ 3 = φ = ). Στο διάστηµα έχω,,, ενώ όλα τα υπόλοιπα είναι µηδενικά διότι στο διάστηµα αυτό φ3 φ = =. Τα διαστήµατα, + (συµβολίζονται εδώ και ως ) λέγονται δε "στοιχεία" ή αλλιώς "πεπερασµένα στοιχεία". Θα δούµε πως η βασική αυτή ιδιότητα της αθροιστικότητας αποτελεί την βάση για την "συστηµατοποίηση" της µεθόδου. Το [ ] είναι θετικά ορισµένο. Θυµηθείτε ότι αν το [ ] είναι ένα θετικά ορισµένο µητρώο τότε: υ διάνυσµα µη µηδενικό [ ] > Τ υ υ ενώ ισχύει η ισοδυναµία [ ] = = Τ υ υ υ Για το πρόβληµά µας, ή αλλιώς [ ] = = ΕΑ d+ Τ υ υ υ υ υ φ φ υ kυ φ φ υ d [ ] Τ υ υ = ΕΑ f d + k f d µε = = υφ f Η περίπτωση να ισούται µε το µηδέν ισχύει µόνον όταν f = (οπότε και f = ) σε κάθε σηµείο...3 Τοπικό σύστηµα συντεταγµένων Θεωρώ ένα στοιχείο µε κόµβους ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα 5 από 3

6 και = = + ορίζω ένα τοπικό σύστηµα συντεταγµένων ξ µε ξ =, ξ = µε τον εξής µετασχηµατισµό: και = + + () ( ξ ) ( ξ ) ξ ( ) = ( ) = Β -, ξ = Α ξ = = Β ξ = Σχήµα.6: Τοπικό σύστηµα συντεταγµένων Στο στοιχείο αυτό οι φ ( ) µηδενίζονται όλες πλην των ( ) ) και ( ) φ (που αντιστοιχεί στον κόµβο φ + (που αντιστοιχεί στον κόµβο ). Εύκολα κάποιος µπορεί να γράψει τη µορφή των συναρτήσεων αυτών στο τοπικό σύστηµα του στοιχείου: φ ξ φ ξ = = ( ) φ ξ φ ξ = + ( ) = ( + ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα 6 από 3

7 φ φ, ξ = Β - Σχήµα.7: Συναρτήσεις «σχήµατος» του τυχαίου στοιχείου. Παρατηρήστε πως φ φ φ φ = = = = Παρατηρήστε επίσης πως από τη διαφόριση της σχέσης (), έχουµε ή d = dξ d dξ = Η ανωτέρω παράγωγος λέγεται και Ιακωβιανή του µετασχηµατισµού... Υπολογισµός της συµβολής του πεπερασµένου στοιχείου στο συνολικό µητρώο ακαµψίας Με βάση την ανωτέρω αλλαγή µεταβλητής, θα υπολογίσω την συµβολή του υπόψη. Η συµβολή αυτή θα αφορά πεπερασµένου στοιχείου στο συνολικό µητρώο ακαµψίας [ ] τα mn του µητρώου [ ] όπου συνεισφέρουν µόνον οι συναρτήσεις φ ( ξ) φ( ) =. Σε οιοδήποτε του µητρώου [ ] υπεισέρχεται συνάρτηση ( ) φ ξ φ + των δύο ανωτέρω, τότε στο mn Με άλλα λόγια, µόνον στοιχεία mn = και φ πλην αυτό, το υπόψη πεπερασµένο στοιχείο δεν έχει συµβολή. επηρεάζονται µόνον από το συγκεκριµένο πεπερασµένο στοιχείο, και ειδικότερα τα,, και. Η συµβολή του πεπερασµένου στοιχείου στα,, και υπολογίζεται ως εξής: mn dφ = ΕΑ φ φ + φ φ = ΕΑ ξ φ + d k d d k d dξ ξ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα 7 από 3

8 και dφ dφ = = ΕΑ dξ + kφφ dξ dξ dξ dφ = ΕΑ dξ kφ dξ + dξ όπου χρησιµοποιήσαµε ότι και όµοια dφ dφ φ = = d dξ dφ dφ φ = = d dξ Ο υπολογισµός των ανωτέρω ολοκληρωµάτων δίνει: = ΕΑ d k ( ) ξ + ξ dξ 3 ΕΑ k ΕΑ k = + + = k = = ΕΑ dξ ( ξ)( ξ) d + + ΕΑ k ΕΑ = + = + k ξ k = ΕΑ d ( ) ξ + + ξ dξ ΕΑ = + k 3 Παρατήρηση: Θα µπορούσε κάποιος να διαλέξει ένα διαφορετικό σύστηµα τοπικών συντεταγµένων π.χ. ξ, µε ξ = και ξ =. Τότε ( ξ ) = + ξ και ξ ( ) = Ενώ η µορφή των συναρτήσεων στο τοπικό αυτό σύστηµα θα ήταν φ φ = ξ = ξ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα 8 από 3

9 Μετά τις αντίστοιχες ολοκληρώσεις, οι τιµές των δεν αλλάζουν. Με βάση τους ανωτέρω υπολογισµούς, αν το µήκος του στοιχείου είναι τότε µπορώ να γράψω απ ευθείας τις τιµές των ολοκληρωµάτων: ( = ) ΕΑ k = + (3) 3 ΕΑ k = = + () 6 ΕΑ k = + (5) 3 ηλαδή, πέραν των σταθερών του προβλήµατος E και, τα εξαρτώνται µόνον από το µέγεθος του πεπερασµένου στοιχείου. Όπως είδαµε και πριν, το τµήµα του µητρώου ακαµψίας που αφορά αυτό το πεπερασµένο στοιχείο αφορά τους κόµβους και και µόνον αυτούς. Σχηµατίζω λοιπόν το λεγόµενο "τοπικό µητρώο ακαµψίας" διαστάσεων του στοιχείου k Εναλλακτικά χρησιµοποιούµε τον εξής συµβολισµό για τα στοιχεία του, χρησιµοποιώντας, αντί των και, τους δείκτες και (µία «τοπική» αρίθµηση δηλαδή):..5 Υπολογισµός του συνολικού µητρώου ακαµψίας Για το πρόβληµα που εξετάζουµε, έχουµε το εξής τοπικό µητρώο ακαµψίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα 9 από 3

10 ΕΑ k ΕΑ k ΕΑ k + 6 ΕΑ k + 3 και το "φυτεύω" στην κατάλληλη θέση του συνολικού µητρώου. Η κατάλληλη θέση του συγκεκριµένου τοπικού µητρώου είναι αυτή που καθορίζεται από τους κόµβους και Παράδειγµα Ας υποθέσουµε πως για το πρόβληµα του εξετάζουµε, το ήταν το στοιχείο, τότε αυτή η θέση του συνολικού µητρώου ακαµψίας στην οποία θα τοποθετηθούν τα, = 3 αυτό καθορίζεται από και =, δηλαδή θα τοποθετηθεί στις θέσεις (3,3), (3,), (,3) και (,). ηλαδή στο γραµµοσκιασµένο τµήµα του πίνακα, όπως φαίνεται στο σχήµα. 3 3 Αν το για το πρόβληµα του εξετάζουµε, το συνολικού µητρώου ακαµψίας στην οποία θα τοποθετηθούν τα ήταν το στοιχείο 3, τότε αυτή η θέση του, αυτό καθορίζεται από = 3 και =, δηλαδή θα τοποθετηθεί στις θέσεις (3,3), (3,), (,3) και (,). ηλαδή στο γραµµοσκιασµένο τµήµα του πίνακα, όπως φαίνεται στο σχήµα. ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα από 3

11 3 3 Προσοχή: για το 33 του συνολικού µητρώου ακαµψίας υπάρχουν συµβολές από το στοιχείο 3 και το στοιχείο. Αυτό σηµαίνει πως η τιµή του 33 θα είναι το άθροισµα των 3 33 και 33. Αν θελήσω να παραστήσω γραφικά την συµβολή και των δύο πεπερασµένων στοιχείων στο συνολικό µητρώο, θα είχα το ακόλουθο σχήµα 3 3 Η συµβολή του πεπερασµένου στοιχείου στο συνολικό µητρώο παριστάνεται γραφικά από το παρακάτω σχήµα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα από 3

12 3 3 Τέλος, η συµβολή του πεπερασµένου στοιχείου στο συνολικό µητρώο παριστάνεται γραφικά από το παρακάτω σχήµα (προσέξτε πως στο πεπερασµένο στοιχείο, µόνον η συνάρτηση φ ( ) είναι µη-µηδενική, εποµένως το τοπικό µητρώο ακαµψίας που αντιστοιχεί στο πεπερασµένο στοιχείο είναι διάστασης, και τοποθετείται στην θέση που φαίνεται αµέσως κάτωθι). 3 3 Εν συνόλω, το τελικό συνολικό µητρώο θα υπολογιστεί ως εξής ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα από 3

13 και µε βάση τα όσα έχουµε υπολογίσει ήδη στις σχέσεις (3), () και (5), θα έχουµε τελικά για το µητρώο [ ] 3 Ε Α k + ΕΑ k ΕΑ k + 6 Ε Α k + ΕΑ k ΕΑ k + 6 Ε Α k ΕΑ k ΕΑ k + 6 Ε Α k Υπολογισµός του διανύσµατος Τα ίδια σε γενικές γραµµές ισχύουν και για την περίπτωση του διανύσµατος. Χρησιµοποιώντας την ιδιότητα της αθροιστικότητας, δηλαδή, 3 p φ d= το στοιχείο στο διάνυσµα γράφεται όπου το φ φ φ = p d+εα q = +ΕΑq ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα 3 από 3

14 = p φ d εκφράζει την συµβολή του κάθε στοιχείου στο ολοκλήρωµα p( ) φ d. Έστω το στοιχείο µε αρχή και τέλος τα και αντίστοιχα. Χρησιµοποιώντας την ανωτέρω αλλαγή µεταβλητής, θα υπολογίσω την συµβολή του υπόψη πεπερασµένου στοιχείου στο συνολικό διάνυσµα. Η συµβολή αυτή θα αφορά τα του µητρώου m ) = και ( όπου συνεισφέρουν µόνον οι συναρτήσεις φ ξ φ φ ξ = φ +. Σε οιοδήποτε του υπεισέρχεται συνάρτηση φ ( ) πλην των δύο ανωτέρω, τότε στο αυτό, το m υπόψη πεπερασµένο στοιχείο δεν έχει συµβολή. Με άλλα λόγια, µόνον επηρεάζονται µόνον από το συγκεκριµένο πεπερασµένο στοιχείο, και ειδικότερα τα και. Η συµβολή του πεπερασµένου στοιχείου στα και υπολογίζεται ως εξής: pφ dξ = m m και pφ dξ = Προφανώς, ένας περαιτέρω υπολογισµός δεν είναι δυνατός χωρίς τον προσδιορισµό της συνάρτησης p. Σχηµατίζω λοιπόν το λεγόµενο "τοπικό διάνυσµα" διαστάσεων του στοιχείου ή αλλιώς µε «τοπική αρίθµηση» και το "φυτεύω" στην κατάλληλη θέση του συνολικού διανύσµατος. Η κατάλληλη θέση του συγκεκριµένου τοπικού µητρώου είναι αυτή που καθορίζεται από τους κόµβους και ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα από 3

15 Παράδειγµα Ας υποθέσουµε πως για το πρόβληµα του εξετάζουµε, το ήταν το στοιχείο, τότε αυτή η θέση του συνολικού διανύσµατος στην οποία θα τοποθετηθούν τα και, αυτό καθορίζεται από = 3 και =, δηλαδή θα τοποθετηθεί στις θέσεις 3 και, δηλαδή στο γραµµοσκιασµένο τµήµα του πίνακα-διάνυσµα, όπως φαίνεται στο σχήµα. 3 Αν το για το πρόβληµα του εξετάζουµε, το ήταν το στοιχείο 3, τότε αυτή η θέση του συνολικού διανύσµατος στην οποία θα τοποθετηθούν τα,, αυτό καθορίζεται από τα = και = 3, δηλαδή θα τοποθετηθεί στις θέσεις και 3. ηλαδή στο γραµµοσκιασµένο τµήµα του πίνακα, όπως φαίνεται στο σχήµα. 3 Η συµβολή του πεπερασµένου στοιχείου στο συνολικό διάνυσµα παριστάνεται γραφικά από το παρακάτω σχήµα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα 5 από 3

16 3 Τέλος, η συµβολή του πεπερασµένου στοιχείου στο συνολικό διάνυσµα παριστάνεται γραφικά από το παρακάτω σχήµα (προσέξτε πως στο πεπερασµένο στοιχείο, µόνον η συνάρτηση φ είναι µη-µηδενική, εποµένως το τοπικό µητρώο ακαµψίας που αντιστοιχεί στο πεπερασµένο στοιχείο είναι διάστασης, και τοποθετείται στην θέση που φαίνεται αµέσως κάτωθι). 3 Εν συνόλω, το τελικό συνολικό διάνυσµα θα υπολογιστεί ως εξής ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα 6 από 3

17 Eq όπου ο όρος ΕΑ προέρχεται από την φυσική συνοριακή συνθήκη στο =. Πιο q συγκεκριµένα, έχουµε ότι το συνολικό διάνυσµα είναι: φ = p d+εαq φ (6) Ο τελευταίος όρος στην εξίσωση (6) προέρχεται από την φυσική συνοριακή συνθήκη. φ έχει µη-µηδενική τιµή στο = Όµως από τις συναρτήσεις Galrkn φ, µόνο η φ =.Έτσι, συµβολή της φυσικής συνοριακής συνθήκης υπάρχει µόνον στο, και ίση µε ΕΑq...7 Αλγόριθµος της µεθοδολογίας Ανακεφαλαιώνοντας, για να λύσουµε το πρόβληµα συνοριακών τιµών du ΕΑ ku = p ( ), µε d u = u = q Κάνω τα εξής βήµατα:. χωρίζουµε το χωρίο [ ] πρώτος κόµβος είναι στο, σε N τµήµατα (στοιχεία) µε N + κόµβους όπου ο = και ο τελευταίος στο =.. ορίζουµε τις γραµµικές συναρτήσεις ("στέγες") σε κάθε στοιχείο 3. σε κάθε στοιχείο: 3. υπολογίζω τα, ( =, =, ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα 7 από 3

18 3. "φυτεύω" τα k, φόρτισης" στο συνολικό "µητρώο ακαµψίας" και το "µητρώο Σχήµα.8: Σχηµατική απεικόνιση της διαδικασία του «φυτέµατος» του µητρώου ακαµψίας. Σχήµα.9: Σχηµατική απεικόνιση της διαδικασία του «φυτέµατος» του διανύσµατος. ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα 8 από 3

19 . λύνω το σύστηµα [ ] u= και υπολογίζω τα u (άγνωστοι β.ε. κατά Galrkn) 5. για κάθε στοιχείο η λύση και η παράγωγός της είναι φ φ + + u u u = + ( + ) φ φ + + u u u = + ( + ). Ένα "φυσικό νόηµα" της µεθόδου Θα δούµε ένα "φυσικό νόηµα" της µεθόδου για ένα πρόβληµα δοκού µε αξονική ένταση. Έστω λοιπόν το ακόλουθο πρόβληµα συνοριακών τιµών: ΕΑ u = u = u = q Τότε, εφαρµόζοντας την µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων ως ανωτέρω, σε κάθε στοιχείο k Β ΑΑ φφ Α Α Α = ΕΑ d= ΕΑ = = ΕΑ ΒΒ = ΕΑ και το µητρώο ακαµψίας του στοιχείου είναι ΕΑ = ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα 9 από 3

20 φ φ, ξ = = = + = Σχήµα.: Συναρτήσεις «σχήµατος» του τυχαίου στοιχείου. Ας δούµε τώρα το ανωτέρω πρόβληµα αξονικής έντασης µίας δοκού µε µήκος, µε γνώσεις Αντοχής Υλικών. Πρόβληµα (Α) : Στην δοκό του σχήµατος µε µήκος επιβάλλω µετατόπιση u στο άκρο. u E Q Q Σχήµα.: Επιβολή µετατόπισης u στο άκρο. Οι δυνάµεις στα δύο άκρα είναι Q Q ΕΑ = u ΕΑ = Q = u ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα από 3

21 Πρόβληµα (Β) : Στην δοκό του σχήµατος µε µήκος επιβάλλω µετατόπιση u στο άκρο. Q E u Q Σχήµα.: Επιβολή µετατόπισης u στο άκρο. Q Q ΕΑ = u ΕΑ = Q = u ηλαδή µπορώ να γράψω για την γενική περίπτωση που φαίνεται στο κάτωθι σχήµα: Q u E u Q Σχήµα.3: Επιβολή µετατόπισης στο άκρο και u στο άκρο. u Q ΕΑ ΕΑ = u + u (7) Q ΕΑ ΕΑ = u + u (8) Σηµείωση: µπορείτε να δείτε τις παραπάνω σχέσεις σαν απόρροια της "ελαστικότητας" της ράβδου και της συµπεριφοράς της ως ελατήριο ΕΑ Q = Q = =ΕΑ u u Οι σχέσεις (7) και (8)γράφονται και ως εξής ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα από 3

22 QΑ ΕΑ uα Q = Β u Β το µ ητρωο ακαµψιας του στοιχειου Με άλλα λόγια, το µητρώο ακαµψίας του κάθε στοιχείου συνδέει τις µετατοπίσεις µε τις αντίστοιχες δυνάµεις στα άκρα του στοιχείου. Ας δούµε ένα συναφές παράδειγµα ακόµη. Θεωρείστε τώρα πως έχουµε χωρίσει την δοκό (µήκους δηλ. το συνολικό πρόβληµα ) σε στοιχεία και ας µορφώσουε τα «τοπικά» µητρώα ακαµψίας του κάθε στοιχείου. E u u / / Q = Eq = φ () = =/ = φ () = Σχήµα.: Πρόβληµα (), επίλυση µε πεπερασµένα στοιχεία. Στοιχείο Στοιχείο k k ΕΑ = = k = k = k k ΕΑ = = k = ΕΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα από 3

23 k ΕΑ = οπότε το συνολικό µητρώο ακαµψίας και το διάνυσµα φόρτισης είναι αντίστοιχα: E E E E και Eq ηλαδή, οι εξισώσεις ισορροπίας γράφονται: E E u E E u = Eq Θα µπορούσα όµως να λύσω το πρόβληµα και µε γνώσεις της Αντοχής των Υλικών: Στοιχείο E Q / Σχήµα.5: Πεπερασµένο στοιχείο, δυνάµεις στα άκρα. Q ΕΑ = u Στοιχείο Q E Q / Σχήµα.6: Πεπερασµένο στοιχείο, δυνάµεις στα άκρα. Q ΕΑ ΕΑ = u u ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα 3 από 3

24 Q ΕΑ ΕΑ = u + u Q Q Q Q = Eq κόµβος κόµβος Σχήµα.7: Ισορροπία στον κόµβο και τον κόµβο. Ισορροπία στον κόµβο ΕΑ ΕΑ Q + Q = u u = Ισορροπία στον κόµβο Q Q = Eq κόµβος ΕΑ ΕΑ Q = Q u+ u = Q ή αλλιώς ΕΑ u = u Q που είναι το ίδιο µε αυτό που παίρνω από την µέθοδο Galrkn..3 Μία γενίκευση της µεθοδολογίας Ανακεφαλαιώνοντας τα όσα έχουµε πει για την µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων, τονίζουµε, κατ αρχήν ότι η µέθοδος είναι µία ειδική περίπτωση και µάλιστα πιο συστηµατική της µεθόδου Garlkn ή της Raylg Rtz. Θεωρούµε διακριτοποίηση της µορφής µε ( ) N = = αφ( ) u φ να έχουν τις εξής σηµαντικές ιδιότητες : ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα από 3

25 = δ όπου το χρησιµοποιήσαµε για να βγάλουµε το συµπέρασµα α u a. φ( ) b. σε κάθε σηµείο cc : [, ], υπάρχουν το πολύ Z συναρτήσεις οι οποίες είναι µη µηδενικές. Πιο συγκεκριµένα, να το σηµείο c ανήκει στο στοιχείο Α, Β, τότε µόνον οι c και c είναι µη µηδενικές στο ενώ οι υπόλοιπες συναρτήσεις φ είναι φ Α φ Β c µηδέν για = c c. µία σηµαντική ιδιότητα είναι και η ακόλουθη. Σε κάθε σηµείο, ισχύει Σηµείωση N φ ( ) = (9) = Χρησιµοποιήσαµε συναρτήσεις ( ) στο σύστηµα [ ] u= φ "στέγης" δηλαδή τµηµατικά γραµµικές και καταλήξαµε. Θα µπορούσαµε να καταλήξουµε και συναρτήσεις µεγαλύτερου βαθµού (όχι γραµµικές). Αυτό όµως θα το εξετάσουµε σε άλλο κεφάλαιο. Με τον ίδιο τρόπο που εξετάσαµε το πρόβληµα ΕΑu ku= p u = u = q µπορούµε να εξετάσουµε και την γενική µορφή του προβλήµατος ου βαθµού σε διάσταση: d du g u = p d d στο [, ] και µε συνοριακές συνθήκες = = µία στο (βασική ή φυσική) µία στο (βασική ή φυσική) Εύκολα αποδεικνύεται ότι η ασθενής µορφή είναι: * * * + = g u u d u u d p u d + * όπου όροι που εξαρτώνται από τις συνοριακές συνθήκες, και u µία τυχαία αποδεκτή συνάρτηση. Ας ξεχάσουµε προς το παρόν τις συνοριακές συνθήκες. Σε κάθε περίπτωση, µε την διακριτοποίηση των συναρτήσεων στέγης: N = = φ u u ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα 5 από 3

26 Το αριστερό σκέλος της εξίσωσης της ασθενούς µορφής θα δώσει τα στοιχεία του µητρώου ακαµψίας φφ d,,,..., = g d+ φφ = N () ενώ ο πρώτος όρος (ολοκλήρωµα) του ου µέλους θα δώσει την συµβολή του p( ) στο διάνυσµα "φόρτισης" = φ,,..., N p d = () Με άλλα λόγια, µπορώ να δουλέψω "στοιχείο µε - στοιχείο" (δηλ. κάθε στοιχείο στη σειρά) και να µορφώσω το τοπικό µητρώο ακαµψίας διάστασης και το τοπικό διάνυσµα διάστασης : και Β φ φ Β ΑΑ = g Α Α d+ φα φ Α Α Α d Β φ φ Β ΑΒ= ΒΑ= g Α Βd + φαφβd Α Α Β φ φ Β ΒΒ= g Β Βd+ Α Α Β Β φ φ d Α Β = = Β Α Β Α p φ d Α p φ d Β και να τα "φυτέψω" στο συνολικό [ ] και το συνολικό ώστε [ ] u= (). Συνοριακές συνθήκες Μέχρι το σηµείο αυτό έχω "ικανοποιήσει" προσεγγιστικά βέβαια µε την ιαφ. Εξίσωση, µέσω της ασθενούς µορφής. Μένει όµως τώρα να "ικανοποιήσω" τις συνοριακές συνθήκες Αυτό γίνεται αφότου µορφώσω την () υπολογίζοντας τα ολοκληρώµατα () και () στοιχείο-στοιχείο. Στην παρούσα ενότητα, θα περιγράψουµε µία γενική µεθοδολογία για την αντιµετώπιση συνοριακών συνθηκών: ιαλέγω συναρτήσεις στέγης φ, φ,.., φ N + αλλά θέτω τον πρώτο κόµβο στο = ) και τον κόµβο N + στο =. Χωρίζω δηλαδή το χωρίο µου σε N πεπερασµένα στοιχεία µε N + κόµβους και ξεκινώ από το =. Έτσι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα 6 από 3

27 N + =. = φ u u Με τις συναρτήσεις αυτές καταλήγω στην () υπολογίζοντας τα k, από τις () και (), όπως περιγράψαµε στην ενότητα.. στο κάθε στοιχείο φ () φ () φ 3 () φ () φ N+ () = = 3 N+ Σχήµα.8: Συναρτήσεις στέγης, για την επίλυση του γενικού µονοδιάστατου προβλήµατος... Βασικές οµογενείς συνθήκες Έστω τώρα οι εξής συνοριακές συνθήκες: u = και u( ) = Λόγω αυτών, θέτω εξισώσεων µε N u = και u + = και µπορώ να λύσω ένα σύστηµα N αγνώστους. Συγκεκριµένα ( N ) + = N... N ( N + ) u ( N + ) N ( + ) N N NN N N ( N+ ) ( N+ ) ( N+ ) N ( N+ )( N+ ) u = u N N u N + N + Λύνω δηλαδή τις εξισώσεις,3,,..., N, N (συνολικά N το πλήθος εξισώσεις) για τους N αγνώστους u, u3, u,..., un, un Εδώ τίθεται το ερώτηµα, τι γίνεται µε τις υπόλοιπες δύο εξισώσεις, την και την N +. Πράγµατι, θα πρέπει να ισχύει και = u + u NuN + ( N+ ) u( N+ ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα 7 από 3

28 u,..., un N + = ( N +) u + u u + + N + N N ( N+ )( N+ ) u( N+ ) Τα τα έχω ήδη υπολογίσει από την επίλυση των υπολοίπων εξισώσεων. Από τις αυτές εξισώσεις θα προκύψουν τα, N +. Μήπως όµως τα, N απάντηση είναι πως δεν είναι γνωστά. Ας δούµε το θέµα από την φυσική του πλευρά: Αν θέσω + είναι ήδη γνωστά ; Η u = και u + = σηµαίνει ότι σε κάθε ένα από τα σηµεία αυτά επιβάλλω µία στήριξη (µία δέσµευση βαθµού ελευθερίας). Περιµένω λοιπόν µία αντίδραση λόγω αυτής της δέσµευσης και οι αντιδράσεις στα =,. Οι αντιδράσει στήριξης στα σηµεία αυτά είναι αντίστοιχα οι δυνάµεις,. N = N + Βασική Παρατήρηση u u + εν µπορώ να γνωρίζω εκ των προτέρων και την µπορώ να γνωρίζω εκ των προτέρων u και την N = και την. Οµοίως, δεν = και την N +. Θα γνωρίζω το ένα από τα δύο µεγέθη ( ή ) και θα ζητώ το άλλο, κάτι που άλλωστε γνωρίζετε από την Αντοχή των Υλικών και τη Θεωρία της Ελαστικότητας. Συνολικά στο παρόν πρόβληµα έχω ( N + ) εξισώσεις και u u3 N + τα,,.., τα και u N N + αγνώστους: Μία άλλη παρατήρηση για τις προκείµενες συνοριακές συνθήκες είναι ότι η προκύπτουσα "διακριτοποιηµένη λύση" = N + φ u u = u = u + = έχει και, και εποµένως οι συναρτήσεις που αντιστοιχούν στα συνοριακά σηµεία (δηλ. οι N φ, N φ + ) δεν συµµετέχουν στην λύση. Αυτός είναι και ο λόγος που στο πρόβληµα που εξετάσαµε ενδελεχώς στην ενότητα.. ΕΑu ku= p µε συνοριακές συνθήκες u = u = q δεν θεώρησα συνάρτηση Galrkn στο άκρο =, ενώ το σηµείο τοποθετήθηκε "πιο µέσα" στην δεξιά άκρη του στοιχείου. Με άλλα λόγια στο ως άνω πρόβληµα έλαβα υπόψη µου εξ αρχής της βασική συνοριακή συνθήκη στη λύση µου. Στην γενική όµως περίπτωση φ σε όλους τους κόµβους, συµπεριλαµβανοµένων και των θεωρούµε συναρτήσεις συνοριακών σηµείων. Αν τυγχάνει να έχω u u u N + αντίστοιχο (δηλαδή το ή )... Βασικές µη οµογενείς συνθήκες u = στο σύνορο, τότε θέτω µηδέν το ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα 8 από 3

29 Με τον τρόπο που περιγράψαµε, είναι επίσης αρκετά άµεση η αντιµετώπιση µη οµογενών βασικών συνοριακών συνθηκών Π.χ. u u = u = u [ ] (δηλ. του p( ) ). Μέχρις εδώ δεν «αγγίζουµε» Σε πρώτη φάση υπολογίζουµε τα, και στη συνέχεια συνθέτουµε το συνολικό και το που περιέχει την συµβολή των τις συνοριακές συνθήκες. Θέτουµε τώρα u u, + είναι οι "αντιδράσεις" στα σηµεία N λοιπόν πάλι άγνωστους τα και τα, προβλήµατος,: u, u3,..., un = και u N + =, = οπότε είναι άγνωστες. Έχουµε N... N ( N + ) u ( N + ) N ( + ) N N NN N N ( N+ ) ( N+ ) ( N+ ) N ( N+ )( N+ ) = u. Όµοια µε προηγουµένως, τα +. Όσον αφορά την επίλυση του = u u = u N N ^= u u N + N + Λύνω τις εξισώσεις,3,..., N ως προς 3 u, u,..., un ( ) N + N u u u ( + N u u ) u N = u k u u N NN N N N ( N+ ) N και στην συνέχεια, από τις εξισώσεις, N + υπολογίζω τα, N Φυσικές συνοριακές συνθήκες Η περίπτωση των φυσικών συνοριακών συνθηκών είναι πιο "άµεσα" αντιµετωπίσιµη. Έστω u = q u = q Στο µητρώο φόρτισης θα έχω όρους g q φ και g q φ Με την επιλογή των, παρατηρώ ότι όσον αφορά τον ο όρο αυτός είναι µη µηδενικός µόνον για την φ, εφόσον φ φ φ συνεισφέρει για την φυσική στο άκρο. Οµοίως και για το άκρο =, όπου µόνον η φ + συνεισφέρει διότι. Εποµένως, αφότου υπολογίσω τα, και N = = όταν. ηλαδή µόνον η ΣΣ = φ = φ N + = k ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα 9 από 3

30 συνθέσω το [ ] όρο g q k και το, προσθέτω στον όρο τον όρο k k k k Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις N ( N + ) u k k kn k( N + ) u = kn kn knn k N( N ) un + N k k ( ) k N N N N ( N ) k u N ( N+ )( N+ ) Εδώ έχω γνωστά όλα τα και άγνωστα όλα τα, πάλι λοιπόν ( N + ) αγνώστους. g q και στον όρο N u + τον N + εξισώσεις µε.. Γενικά περί Συνοριακών Συνθηκών Συνοψίζοντας τα περί Συνοριακών Συνθηκών :. Μπορώ να µορφώσω τα [ ], από τα και σε πρώτη φάση, ανεξάρτητα των συνοριακών συνθηκών. Στην συνέχεια µπορώ να εφαρµόσω οποιεσδήποτε συνοριακές συνθήκες, επεµβαίνοντας στο ή στο, και συγκεκριµένα στα,,, u ανάλογα µε τις συνοριακές συνθήκες. N +. Πρέπει να έχω πάντα υπόψη µου πως θεωρώντας τα{ } και αυτά είναι u u N + N + N u { } +, τα µισά από = = γνωστά και τα άλλα µισά είναι άγνωστα δηλαδή θα έχω πάντα ( N + ) εξισώσεις µε ( N + ) αγνώστους C. Προσοχή: δεν είναι δυνατόν (από φυσικής πλευράς) να γνωρίζω σε έναν κόµβο και το και το. Θα γνωρίζω το ένα από τα και θα ζητώ (ως άγνωστο) το άλλο. u.5 Ειδικά θέµατα.5. Συγκεντρωµένα φορτία Η περίπτωση κατανενηµένου "φορτίου" p( ) είδαµε πως αντιµετωπίζεται µε τον = φ p d υπολογισµό των. Υπάρχουν όµως και περιπτώσεις σηµειακού (συγκεντρωµένου) φορτίου (έστω µεγέθους P ) σε ένα συγκεκριµένο σηµείο (έστω = c). ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα 3 από 3

31 = E =c P = = =c P N = (α) - + N - (β) = =c P = N (γ) Σχήµα.9: Περίπτωση συγκεντρωµένου φορτίου σε «ενδιάµεσο» σηµείο. Σε προβλήµατα θερµότητας, αυτά µπορεί να είναι σηµειακές πηγές θερµότητας. Η αντιµετώπιση τέτοιων "συγκεντρωµένων φορτίων" γίνεται µε την χρήση της συνάρτησης Drac (ή συνάρτηση έλτα), οποία ορίζεται ως ακολούθως Θεωρείστε τις συναρτήσεις fk ( ) µε εύρος µη-µηδενικών τιµών k (από τιµή σε αυτό το διάστηµα είναι σταθερή, ίση µε k. Ορίζω k c σε k c + ). Η µε δ ( c) f ( δ = lm k ) k ( c) d= ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα 3 από 3

32 fk ( ) k k c = c k k c + δ ( c) = f = lm k k ( ) = c Σχήµα.: Συνάρτηση Drac (ή συνάρτηση έλτα). Αποδεικνύεται ότι δ ( ) = r c d r c συνάρτηση r( ). Η ( c) δ, από φυσικής πλευράς, είναι µία συνάρτηση µη µηδενικές τιµές, πλην του σηµείου c όπου "στην γειτονία του c " παίρνει τιµές κοντά στο άπειρο ( ), έτσι ώστε το εµβαδόν της να είναι πεπερασµένο (και µάλιστα µοναδιαίο). Με τον τρόπο αυτό µπορούµε να προσεγγίσουµε το σηµειακό φορτίο P στο = c µε ένα "ισοδύναµο κατανεµηµένο" ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα 3 από 3

33 = δ ( ) p P c Τα αντίστοιχα ολοκληρώµατα είναι φ δ φ φ c = p d= p c d= p Προσέξτε ότι σε κάθε σηµείο c, το πολύ συναρτήσεις φ ( ) είναι µη µηδενικές. Αν το είναι εσωτερικό σηµείο του στοιχείου, µε αρχή και τέλος + και, τότε µόνον οι φ ( ), φ + είναι µη µηδενικές στο c. Στην περίπτωση αυτή, όταν υπολογίσω τα k, θα έχω Pφ c c και = (3) φ + P c = () ενώ δεν θα έχω καµία συνεισφορά του P στα των άλλων στοιχείων. Παρατηρείστε ότι λόγω της (9) που εκφράζει µια βασική ιδιότητα των συναρτήσεων φ : ( c) ( c) φ φ + + = (5) Εποµένως οι σχέσεις (3) - (5) δείχνουν ότι το P "µοιράζεται" στα άκρα του στοιχείου όπου "ανήκει". Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται αν το P βρίσκεται πάνω σε έναν κόµβο (π.χ. τον κόµβο ). Τότε το P µπορεί θεωρήσουµε πως το φορτίο ανήκει είτε στο στοιχείο είτε στο γειτονικό του. Συγκεκριµένα: Έστω c = όπως στο αντίστοιχο σχήµα. Τότε και φ = Pφ c = P = P = P = Στην περίπτωση αυτή, είναι λάθος αν το φορτίο το θεωρήσετε και στα πεπερασµένα στοιχεία (δηλ. και το και το ). Στην περίπτωση αυτή θα λύσετε ένα πρόβληµα µε διπλό φορτίο..5. Εσωτερικές δεσµεύσεις Τέλος µε τον τρόπο που δουλεύουµε στην µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων είναι δυνατόν να αντιµετωπίσουµε και "εσωτερικές δεσµεύσεις" στην δοκό. Έστω η περίπτωση µε στήριξη στο = c. Στα σηµεία εσωτερικών δεσµεύσεων τοποθετώ έναν κόµβο (π.χ. στο σχήµα αναφερόµαστε στο σηµείο = c ). Όταν λοιπόν µορφώσω τις εξισώσεις ισορροπίας: ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα 33 από 3

34 8 u 8 u = 8 u u8 8 u = u u = uc, 3, 5, 6, 7, 8 θα έχω (γνωστό) (άγνωστο) µε τους 8 αγνώστους να είναι συνολικά οι u u u u u u και,. Το σύστηµα επιλύεται κατά τα γνωστά. p() =c Q = E = = p() =c Σχήµα.: Ενδιάµεση στήριξη στο = c (κόµβος ). = Q ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πεπερασµένα στοιχεία σε µονοδιάστατα προβλήµατα σελίδα 3 από 3