ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

Transcript

1 ΛΥΚΕΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ Κεφάλαιο 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 1. Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-1,), Β(,)και Γ(-6,).Αν Μ το μέσο της ΒΓ, να υπολογίσετε: α) το διάνυσμα BM β) το διάνυσμα AM γ) το μήκος του διανύσματος AM δ) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Δίνονται τα διανύσματα α = ( ), β = ( ). α) να βρείτε τα διανύσματα γ α β καιδ α β β) να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος γ.. Δίνονται Α(6,1), Β(-,), u = ( x ). Αν x + u // AB να υπολογίσετε το χ.. Αν a, β και το μέτρο της γωνιάς των διανυσμάτων α καιβ είναι 60 0 να βρείτε α) το εσωτερικό γινόμενο των δύο διανυσμάτων v r r r β)να βρείτε την τιμή του κ για την οποία τα διανύσματα α+ κβ και α- κβ είναι κάθετα.. Δίνονται τα διανύσματαa = ( ), β = ( 1 μ ) και γ = (κ ) με κ, μ R. Να υπολογίσετε: κ + μ α) Τις συντεταγμένες του διανύσματος α + β. β) Το μέτρο του διανύσματος α. γ) Να βρείτε τις τιμές των κ και μ έτσι ώστε τα διανύσματα β και γ να είναι ίσα. 6. α) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των διανυσμάτωνa, β καιγ, όπου γ =α + β. β) Αν γ = ( )να βρείτε το μέτρο του διανύσματοςγ. 0 Κεφάλαιο 7. Να κάνετε τις πράξεις (α) = (β) = (γ) = (δ) ( + )( - ) = (ε) 18 + = (στ) ( + ) = 16 = 8 (ζ) 8. Αν x 8 και 6 y να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκονται οι τιμές των x παραστάσεων: α) x y β) x y γ) x y δ) y 9. Να μετατρέψετε τις παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρονομαστή. α) β) γ ) = 10. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90 0 ), (ΑΒ)=χ cm και (ΑΓ)=ψ cm. 1

2 ΛΥΚΕΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ α) Αν < χ < 7, < ψ < 10 και Ε είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται το Ε. Κεφάλαιο β) Αν η υποτείνουσα του τριγώνου έχει μήκος10cm και ισχύει χ + ψ = 1 cm με χ < ψ, ναβρείτε τα μήκη των πλευρών ΑΒ και ΑΓ. 11. Να υπολογίσετε τις γωνιές του τριγώνου ΑΒΓ α) β) 1. Να υπολογίσετε τις άγνωστες γωνιές στα πιο κάτω σχήματα. α) β) 1. Δίνεται κύκλος (Κ,R) και ΑΒ μια διάμετρος του. Η Αχ είναι εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α. Αν Γ είναι τυχαίο σημείο της Αχ και η ΒΓ τέμνει τον κύκλο στο σημείο Δ να δείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Δ περνά από το μέσο της ΑΓ. 1. Δίνεται κύκλος (Κ,R)με διάμετρο ΑΒ και ΒΔ εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Β.Αν ηαγ Κ =, να υπολογίσετε: α)τις γωνίες χ, ψ, φ και ω. β)το μέτρο του μικρότερου του ημικυκλίουτόξου ΑΓ. Κεφάλαιο 1. Η ευθεία κχ ψ 1 περνά από το σημείο Α (6, 0). α) Να δείξετε ότι κ =. β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο Α(6, 0 ) και είναι κάθετη με την ευθεία χ + ψ = Να βρείτε για ποιες τιμές του α οι ευθείες 1 : ( ) 7 και : ( ) 8 είναι κάθετες.

3 ΛΥΚΕΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας στις πιο κάτω περιπτώσεις α) διέρχεται από τα σημεία Α(,) και Β(-1,) β) διέρχεται από το σημείο Α(-,-) και σχηματίζει γωνιά 60 0 με τον άξονα των χ γ) διέρχεται από το σημείο Α(0,) και είναι παράλληλη με την ευθεία χ-ψ-=0 δ) διέρχεται από το σημείο Α(-1,) και είναι κάθετη με την ευθεία x y Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(,), Β(,-), Γ(0,) είναι ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ). Να βρείτε επίσης το μήκος του ύψους ΑΔ και την εξίσωση της διαμέσου ΓΜ. 19. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο τομής των ευθειών χ-ψ=8 και χ+ψ= και σχηματίζει γωνιά 10 0 με τον άξονα χοχ. 0. Η ευθεία χ-ψ=1 τέμνει τους άξονες Οχ και Οψ στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. 1. Αν Α(-1,), Β(1,-1) να βρείτε την γωνιά που σχηματίζει η ευθεία ΑΒ με την ευθεία χ+ψ+1=0.. Τρίγωνο ΑΒΓ έχει κορυφές τα σημεία Α(,1) και Β(7,-6) και Γ(,-).Να βρείτε: α)την εφαπτομένη της γωνιάς Γ του τριγώνου β) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΓΜ όπου Μ το μέσο της ΒΓ. x + λy = 9. Να λύσετε και να διερευνήσετε το σύστημα: x + λy= 7 λχ ψ = λ 1. Για ποιες τιμές του λ Î το σύστημα λ ψ = λ α) έχει μοναδική λύση, β) έχει άπειρες λύσεις γ) δεν έχει καμία λύση. χ ψ = 7. Αν το σύστημαχ + ψ = είναι συμβιβαστό, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης χ + λψ = 10 Κεφάλαιο Α = κ 10λ 1, όπου κ, λ R. 6. Να αποδείξετε τις ταυτότητες: συνω εφω- ημ ω (1) = σφω ημω σφω- συν ω συν χ εφχ () + = σφχ ημχ 1+ εφ χ εφα- ημα τεμα συνφ 1+ ημφ () = () + = τεμφ ημ a 1 + συνα 1+ ημφ συνφ τεμχ - συνχ () = στεμχ - ημχ εφ χ ημχ συνχ 1 (7) = ημ χ - 1 εφχ - σφχ (9) εφω- ημω συνω εφ = ω σφω- ημω συνω ημ α συν α (6) + = 1- ημα συνα 1+ σφα 1+ εφα συνα ημα (8) + = ημα + συνα 1 - εφα 1 - σφα (10) 1- συνω ( στεμω- σφω) = 1 + συνω

4 ΛΥΚΕΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ εφ(180 - χ) εφ(90 - χ) ημ(70 + χ) (11) = ημχ συνχ τεμ( - χ) σφ(180 + χ) εφχ ημχ (1) - = σφχ τεμχ συνχ (1) 7. Αν ημω και 90 0 <ω<180 0 να βρεθεί η τιμή της παράστασης 1 ημ(180 + ω) συν(60 - ω) 1 + = συν(180 - ω) ημ(180 - ω) ημω συνω Α=1ημ( ω)-6συν(60 0 -ω)+εφ(90 0 -ω) 8. Αν συνφ =, π < φ < π,να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:α = 8σφ(π+φ) 0ημ(π φ) Κεφάλαιο 6 16στεμφ 9. Να σχεδιάσετε πρόχειρα την γραφική παράσταση των καμπυλών (χωρίς πίνακα τιμών) α)y = x β)y = x γ)y = x δ)y = x 1 ε)y = x + στ)y = (x 1) ζ)y = (x 1) η)y = (x + 1) 0. Να βρείτε τον άξονα συμμετρίας και το ακρότατο σε κάθε μια από τις πιο πάνω συναρτήσεις. 1. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=αx +βχ+γ.από το σχήμα να βρείτε: α) το πεδίο τιμών της συνάρτησης β) το πρόσημο του α γ) την τιμή του γ δ) τον άξονα συμμετρίας της ε) τις συντεταγμένες του ακρότατου σημείου της στ) τις λύσεις της εξίσωσης αx +βχ+γ=0 ζ) την τιμή του β αν α=1 η) τις τιμές τωνf(-), f(-1) καιf(-) Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (β )x (μ + α)χ + (γ )μ + 7 με μ R, όπου τα α, β και γ αποτελούν τη λύση του συστήματος: + = 7 α) Να λύσετε το σύστημα. β) Αν δίνεται ότια=1, β= και γ= και χ 1, χ,είναι οι ρίζες της εξίσωσης f (χ) = 0 να υπολογίσετε τις τιμές του μ, ώστε : i) η εξίσωση f (χ) = 0 να έχει ρίζες αντίθετες ii) να ισχύει η σχέση: x 1 + x = x 1 x (x 1 x ). Να λύσετε την ανίσωση (x x )(x )(x +9) 6x x 0.. Να λύσετε την ανίσωση (x+1) (x+) x x Δίνεται η εξίσωση x + κχ + κ + 1 = 0 με ρίζεςχ 1, χ. α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις x 1 + x και x 1 x y x

5 ΛΥΚΕΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ β) Να δείξετε ότι:(1 χ 1 )(1 χ ) = (κ + 1) γ) Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες ρ 1 = 1 και ρ χ = 1 1 χ δ) Να βρείτε την τιμή του κ ώστε το - να είναι ρίζα της εξίσωσης (κ + 1)χ + κχ + 1 = Αν x 1 και x είναι οι ρίζες της εξίσωσης x x + + = 0, χωρίς να τη λύσετε: (α) Να δείξετε ότι: x 1 +x x 1 x = 1 + (β) Να μετατρέψετε το κλάσμα του μέρους (α) σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή, δίνοντας την απάντησή σας στην πιο απλή, μορφή. Κεφάλαιο7 7. Στο τρίγωνο ΑΒΓ τα ευθύγραμμα τμήματα ΔΕκαι ΖΗ είναι παράλληλα προς τη βάση ΒΓ. Αν ΑΔ = cm, ΔΖ = 6 cm, ΕΗ = 9 cm και AΓ = 7 cm, να υπολογίσετε τα μήκη των ευθύγραμμων τμημάτων ΑΕ και ΖΒ. 8. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90 ), φέρουμε το ύψος ΑΔ. Από το Δ φέρουμε τη ΔΕ κάθετη στην ΑΒ. Να δείξετε ότι: (α)τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΓΔ είναι όμοια(β)(αδ) = (ΑΓ)(ΔΕ) 9. Σε κύκλο με κέντρο Ο φέρουμε τη διάμετρο ΑΒ, την χορδή ΒΓ και την διάμεσο ΟΜ του τριγώνου ΟΒΓ. Η προέκταση της ΟΜ τέμνει την εφαπτομένη του κύκλου στο Α σε σημείο Τ. Να δείξετε ότι:(α) τα τρίγωνα ΟΒΜ και ΑΒΓ είναι όμοια(β)(ομ)(ατ)=(οα)(μβ) 0. Σε κύκλο με κέντρο Ο φέρουμε από εξωτερικό σημείο Ε του κύκλου την εφαπτομένη ΓΕ και την τέμνουσα ΕΑΒ. Να δείξετε ότι: A α)τα τρίγωνα ΑΓΕ και ΕΓΒ είναι όμοια β)αν ΕΑ= cm και ΕΒ=9 cm να υπολογίσετε το μήκος της ΕΓ γ)(εα)(βγ)=(εγ)(γα) 1. Δίνεται κύκλος (Ο,R) και οι διαστάσεις των τμημάτωνah=1cm, HB=6cmκαι ΓΗ=7cm.Να δείξετε ότι (ΑΗ)(ΗΒ)=(ΓΗ)(ΗΔ)και να υπολογίσετε το μήκος τουηδ. 1 cm 6 cm Δ Ο Η 7 cm Γ B

6 ΛΥΚΕΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ Κεφάλαιο8. Ο πιο κάτω πίνακας παρουσιάζει τα χρήματα (σε ευρώ) που ξοδεύουν οι μαθητές ενός σχολείου σεμια μέρα. Τα αποτελέσματα της έρευνας παρουσιάζονται στον πιο κάτω πίνακα: Να βρείτε: (1) Τον αριθμό των μαθητών. Χρήματα 0 1 Αριθμός παιδιών () Την επικρατούσα τιμή (χ ε ) των παρατηρήσεων. () Τη μέση τιμή (χ ) των παρατηρήσεων. () Την τυπική απόκλιση (σ) των παρατηρήσεων.. Το κόστος κατασκευής οκτώ προϊόντων είναι: 1, 19, 16, 19, 1, 1, 19, 1 ευρώ. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση των πιο πάνω τιμών.. Ένας μαθητής πήρε στα δύο διαγωνίσματα των Μαθηματικών βαθμούς 1 και 1 αντίστοιχα καιγια την εργασία των Μαθηματικώνβαθμό18. Αν το κάθε διαγώνισμα έχει βαρύτητα 0% και η εργασία0% στη συνολική βαθμολογία, να υπολογίσετε το σταθμικό μέσο όρο της βαθμολογίας του μαθητή.. Ο πιο κάτω πίνακας παρουσιάζει τον αριθμό των ημερών απουσίας, λόγω ασθένειας, των υπαλλήλων ενός εργοστασίου: Ημέρες Απουσίας Αριθμός Εργατών Να βρείτε:α) τη μέση τιμή β) την τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων 6