ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΛΟΥΡΙΩΤΙΣΣΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2006

Transcript

1 ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΛΟΥΡΙΩΤΙΣΣΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 006 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/6/006 ΤΑΞΗ: Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ: :30 Ο ΗΓΙΕΣ: α) Επιτρέπεται η χρήση µη προγραµµατιζόµενης υπολογιστικής µηχανής β) Να γράφετε µόνο µε µπλε ή µαύρο µελάνι ( στα σχήµατα επιτρέπεται το µολύβι ) γ) εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού ΤΟ ΓΡΑΠΤΟ ΑΥΤΟ ΑΠΟΤΕΛΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΤΕΣΣΕΡΙΣ ( 4 ) ΣΕΛΙ ΕΣ ΜΕΡΟΣ Α : Από τα 15 θέµατα να λύσετε ΜΟΝΟ τα 1. Κάθε θέµα βαθµολογείται µε 1 µονάδα. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 3x + x 4 = 0. Να βρείτε το πεδίο ορισµού και το πεδίο τιµών της συνάρτησης: 3x y =. x 3. Αν x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης: 1 x 5 x + 4 = 0, να υπολογίσετε, χωρίς να λύσετε την εξίσωση, την τιµή της παράστασης: x + + x. 1 x 4x1. 4. Να βρείτε την εξίσωση ευθείας που περνά από τα σηµεία: (,4) 5. Στο πιο κάτω τρίγωνο να υπολογίσετε: α) την πλευρά ΑΒ ( ) A και B 0,5. Γ β) την πλευρά ΑΓ γ) την περίµετρο του τριγώνου. 10cm ίνονται: ηµ 40 = 0,648 Α 50 ο Β συν 40 εϕ40 = 0,7660 = 0, Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, µε A ˆ = 90 και ΑΒ > ΑΓ, φέρουµε το ύψος Α. Αν Γ = 4cm, να υπολογίσετε: α) το µήκος του ύψους Α. β) το µήκος της πλευράς ΑΒ. Β = 9cm και 1

2 7. Να λύσετε την ανίσωση: ( x 4 )(. x + ) 0 8. Να λύσετε το σύστηµα: x + y = 6 x y = 1 o 9. Στον κύκλο (Κ, ρ) δίνεται το τόξο ΒΓ = 140 και η ΑΒ διάµετρος. Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ και η γωνία ΓΑ.(Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας). Β Κ 140 ο Α 10. Να δείξετε ότι: συν Γ ( 360 θ ) ηµ ( θ ) εϕ( 180 θ ) συν ( 90 θ ) ηµ ( θ ) = ίνεται το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Να φέρετε το ύψος Α και την Ε ΑΓ. Να δείξετε ότι : α) Τα τρίγωνα ΑΒ και Α Ε είναι όµοια. β) ( ΑΒ ) ( Ε) = ( Α )( Β ) 1. Να βρείτε την τιµή του κ ώστε οι ευθείες: ( ε 1 ): ( κ 1 ) x + ( κ + ) y + 4 = 0 και ( ) να είναι: α) κάθετες β) παράλληλες ε : y = 3 x + 7, 13. Να αποδείξετε την ταυτότητα: συνθ + εϕθ = 1 1+ ηµθ συνθ. 14. Να δείξετε ότι η εξίσωση; ( 1+ ηµθ ) x + ( 1 ηµθ ) = 0 x, έχει ρίζες πραγµατικές. 15. ίνεται η εξίσωση: λ + 1 x + 6 λ = µε ρίζες x, x. Να υπολογίσετε τις τιµές του λ για τις οποίες ισχύει η σχέση: ( ) 0 x x x 1

3 ΜΕΡΟΣ Β : Από τα 6 θέµατα να λύσετε ΜΟΝΟ τα 4. Κάθε θέµα βαθµολογείται µε µονάδες. 1 x x 4x + 5 x + x 3 ( ) ( ) ( ) 1. α) Να λύσετε την ανίσωση: 0 x β) Να απλοποιήσετε το κλάσµα: x 9 x + 3x 9.. Να βρείτε την τιµή του λ για την οποία η εξίσωση x ( λ + 3) x + λ + = 0 α) ρίζες αντίθετες β) ρίζα τον αριθµό γ) ρίζες ίσες δ) το άθροισµα των τετραγώνων των ριζών ίσο µε Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει: f ( x) = α x + βx + γ να βρείτε : 4 y (α) i. τις λύσεις της εξίσωσης f ( x) = 0 ii. τις λύσεις της ανίσωσης f ( x) > 0 iii. τις συντεταγµένες του ελάχιστου σηµείου iv. το πεδίο τιµών της συνάρτησης v. το πρόσηµο της διακρίνουσας (β) i. τις τιµές των α, β, και γ ii. τον τύπο της f ( x). 4. ίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ λ = 3. AB α) Να βρ είτε την εξίσωση της ΑΒ β) Να βρείτε την εξίσωση της ΑΓ ( ˆ = 90 ) γ) Να υπολογίσετε τις συντεταγµένες του σηµείου Α A, τα σηµεία B ( 1,4), ( 6, 1) Γ και η κλίση της ΑΒ δ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y = x + 1είναι παράλληλη προς την ΒΓ και περνά από το σηµείο Α. x 3

4 5. ίνεται γωνία θ, έτσι ώστε σϕ ( 90 θ ) = εϕ( θ ) + συνθ συνθ την τιµή της παράστασης: Α=. 1 ηµθ 1+ ηµθ και 90 < θ < 180. Να υπολογίσετε 6. Από σηµείο Σ εκτός κύκλου φέρουµε την εφαπτοµένη ΣΑ και την τέµνουσα ΣΒΓ του κύκλου Αν Μ είναι το µέσο του µικρού τόξου ΒΓ και το σηµείο τοµής της ΒΓ µε την ΑΜ να αποδείξετε ότι : α) ( ΣA) = ( ΣB) ( ΣΓ) και β) ( ) ( ΜΓ) = ( ΑΓ)( Β) Α. Ο ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Λ.ΚΑΚΟΓΙΑΝΝΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ Α. Νικολαίδης Β.. Α. εληγιάννη Κ. Κολοκασίδου-Λειβαδιώτου Χρ. Συρίµη-Σκίτσα Γ. Παλλήκαρου- Λουκά 4

5 ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΡΑΛΙΜΝΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 006 ΜΑΘΗΜΑ : Μαθηµατικά ιάρκεια :,5 ώρες ΤΑΞΗ : Α Ενιαίου Λυκείου Ηµεροµηνία: 0/6/006 Οδηγίες : 1. Να γράφετε µόνο µε µελάνι. (Τα σχήµατα µε µολύβι). εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 3. Επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής µηχανής µη προγραµµατιζόµενης. 4. Τα σχήµατα του φυλλαδίου να µεταφέρονται στη θέση που λύεται η άσκηση. Μέρος Α (60 µονάδες) Από τις 15 ασκήσεις να λύσετε µόνο τις 1. Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 5 µονάδες. 1. Να λύσετε την εξίσωση x +4x 5 = 0. Να βρείτε µια εξίσωση που να έχει ρίζες τους αριθµούς -4 και Αν χ 1, χ οι ρίζες της εξίσωσης 3x -x + 9 = 0 να βρείτε χωρίς να λύσετε την εξίσωση : α) χ 1 + χ β) χ 1 χ + 3χ 1 +3χ 4. Να λύσετε την ανίσωση -x +5x + 3 > 0 5. Να βρείτε το πεδίο ορισµού και το πεδίο τιµών της συνάρτησης: 3 y = x x Να µετατρέψετε τα κλάσµατα σε ισοδύναµα µε ρητό παρονοµαστή: 4 5 α) β) Να βρείτε την τιµή του κ ώστε η εξίσωση x (λ+3)x + 3λ 1 = 0 να έχει ρίζα τον αριθµό. 8. Να λύσετε το σύστηµα 3x - y = 7 x + ω = 1 y + ω = -4

6 1 9. Αν ηµθ = 13, 900 <θ<180 0, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης 13συνθ -5εφθ 1στεµθ Β 10. Στο διπλανό σχήµα δίνεται κύκλος (Ο, R), ΑΓ= διάµετρος και η ^ γωνιά ΑΒ =36 0 ^. Να υπολογίσετε τη γωνιά ΑΟ ^ και ΑΒΓ A 36 0 Ο Γ 11. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από τα σηµεία Α(1,4) και είναι κάθετη µε την ευθεία ψ = -χ Χωρίς τη χρήση της υπολογιστικής µηχανής να υπολογίσετε την παράσταση : Α = ηµ10 0 συν300 0 εφ Να αποδείξετε την ταυτότητα : ( σφ )ηµ 1+ x x = Να βρείτε τις τιµές του µ ώστε η εξίσωση x (µ-1)x + 9 = 0 να έχει ρίζες πραγµατικές και ίσες. 15. Στο σχήµα Α ^ =90 0 και Α = ύψος. Να αποδείξετε ότι Γ (ΒΓ)(Α )=(ΑΓ)(ΑΒ). Α Β

7 Μέρος Β (40 µονάδες) Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε µόνο τις 4. Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 10 µονάδες. 1. ίνεται η εξίσωση x (λ -1) x+ 7 λ =0. Να βρείτε για ποιες τιµές του λ R : α) Έχει ρίζες αντίθετες β) Έχει ρίζες αντίστροφες γ) Ισχύει x 1 x + x 1 x =5, αν x 1, x οι ρίζες της εξίσωσης.. Αν x 1, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης x +5x -3 =0, χωρίς να λύσετε την εξίσωση να σχηµατίσετε µια εξίσωση β βαθµού µε ρίζες ρ1 = 1 x 1 και ρ = 1 x 3. ίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = αx + βx + γ. Να βρείτε : α) Το Π.Ο. και το Π.Τ. της συνάρτησης β) Τις ρίζες της f(x) = 0 γ) Τα f(1) και f(3) δ) Τα α, β και γ. 3

8 1+ συνθ 4. α) Να αποδείξετε τη ταυτότητα : ( σφθ + στεµθ ) = συνθ 1 1 συνθ β) Αν ισχύει ηµ(180 +ω)εφ(90 - ω)συν(360 - ω) 1 =, 0 0 <ω< συν(90 - ω)σφ(180 - ω) να βρείτε την τιµή της γωνιάς ω (4 - χ)(χ -χ-8) 5. Να λύσετε την ανίσωση 0 (χ +6χ +5)(χ +3χ +5) 6. ίνεται κύκλος (Κ, R). Να φέρετε τη διάµετρο ΑΒ να την προεκτείνετε προς το µέρος του Β και να πάρετε σηµείο Γ. Από το Γ φέρετε την εφαπτοµένη Γ, όπου ( σηµείο επαφής) του κύκλου και τη ΓΕ κάθετη στην ΑΓ όπου Ε σηµείο τοµής της κάθετης µε την προέκταση της Α. Να δείξετε ότι: α) (Α )(ΑΕ)=(ΑΒ)(ΑΓ) β) (Γ ) = (ΑΓ)(ΓΒ) ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ : Α. Κλώνης Β.. Αθ. Λάντου Ανδρέας Κλώνης (Β..Α) Ο ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Μ. Παλλαρή Εύα Τρίαρου Γιώργος Κώστα Ιάκωβος Κορνιώτης 4

9 ΛΥΚΕΙΟ ΑΠ. ΠΕΤΡΟΥ ΚΑΙ ΠΑΥΛΟΥ-ΛΕΜΕΣΟΣ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ EΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 006 Μάθηµα: Μαθηµατικά Τάξη : A. Ηµεροµηνία : 31/05/06 Ώρα : ( ιάρκεια.30 ). Ο ΗΓΙΕΣ: 1.Επιτρέπεται η χρήση µη προγραµµατιζόµενης υπολογιστικής µηχανής..να γράφετε µόνο µε µελάνι (µε µολύβι µόνο τα σχήµατα) 3. εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. ΜΕΡΟΣ Α: Από τις 15 ασκήσεις να λύσετε µόνο 1. Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 5/100. Α1. Να λύσετε την εξίσωση: x + 7x 18=0 Α. Να λύσετε την ανίσωση: x + x Α3. Αν η κλίση της ευθείας (κ-1)χ κψ = είναι ίση µε 5, να βρείτε την τιµή του κ. Α4. Να βρείτε το πραγµατικό αριθµό λ ώστε η εξίσωση χ 3χ+ (4λ+1) = 0 να έχει ρίζες πραγµατικές και ίσες. x+ Α5. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης µε τύπο: φ (x) = 3x + 4. Α6. Αν x 1, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης: x 4x 8= 0, χωρίς να τη λύσετε, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: K = 3x1 x1x + 3x Α7. Να σχηµατίσετε εξίσωση δευτέρου βαθµού ώστε να έχει ρίζες τους αριθµούς - και 3. o Α8. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( 90 ) ΑΓ=β και ΒΓ=α ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: β γ (α) βηµβ γηµγ = και (β)βσυνγ + γσυνβ = α α Α = µε πλευρές ΑΒ=γ 4 Α9. Αν συνθ = και < θ < 70 0 να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς 5 ηµθ, εφθ και τεµθ.

10 Α10. Να βρείτε την εξίσωση ευθείας που έχει κλίση λ = - και περνά από το σηµείο Α(-1, 4) Α11. Να απλοποιήσετε την παράσταση: x x 6 x + + x (ε) Α1. Στο διπλανό σχήµα η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη του κύκλου στο Α, η ΒΓ είναι διάµετρός του o κύκλου και η γωνία ΑΓΒ = 35.Να υπολογίσετε τα µέτρα του τόξου x = A Γ και της γωνία y. Β y Α Ο x 35.0 Γ 80.0 Β Α13. Στο διπλανό σχήµα δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ A 5.0 µε ΑΓ Β, τόξο 0 ΑΒ = 80 και γωνία o ΒΑΓ = 5. Να υπολογίσετε τις γωνίες ΑΒΓ και ΓΒ του τετραπλεύρου ΑΒΓ. Γ A Α14. Το διπλανό τετράπλευρο ΑΒΓ έχει ίσες διαγωνίους ΑΓ=Β και ΑΓ Β.Αν Μ,Ν,Ε και Ζ τα µέσα των πλευρών του ΑΒ,Α,Γ και ΒΓ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΜΝΕΖ είναι τετράγωνο. Ν Ε Μ Ζ B Α15. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο και είναι το µέσο του τόξου ΒΓ. Αν η Α τέµνει την ΒΓ στο Ε, να αποδείξετε ότι: (α) τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓ είναι όµοια. (β) ισχύει η σχέση (ΑΒ).(ΑΓ) = (Α ).(ΑΕ) Γ ΜΕΡΟΣ Β. Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε ΜΟΝΟ τις 4. Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 10 /100. Β1. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το σηµείο Α(-1, 4) και (α) είναι παράλληλη µε την ευθεία (ε): χ 3ψ = 6. (β) είναι κάθετη στην ευθεία (κ): ψ = χ + (γ) περνά από το σηµείο τοµής των ευθειών (ε) και (κ).

11 Β. ίνεται το σύστηµα των εξισώσεων: 3S P = 1 S + 3P = όπου S και Ρ είναι αντίστοιχα το άθροισµα και το γινόµενο των ριζών χ 1, χ µιας εξίσωσης ου βαθµού (α) να βρείτε τα S και Ρ. (β) να γράψετε την εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τις χ 1, χ. (γ)να βρείτε την τιµή της παράστασης Α = x + x 1 Β3. ίνεται η εξίσωση: χ +(µ+)χ + µ+1 = 0. Να βρείτε τις τιµές του µ ώστε (α) να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε. µ (β) να βρείτε για ποιες τιµές του µ η εξίσωση έχει: (ι) ρίζες αντίθετες. (ιι)ρίζες αντίστροφες. Β4. (α) Να αποδείξετε ότι: (εφθ τεµθ) = 1 ηµθ 1+ ηµθ o εϕθ τεµθ =, να βρείτε την γωνία θ αν 0<θ< 90. (β)αν ( ) 1 3 Β5. Σε παραλληλόγραµµο ΑΒΓ είναι ΑΒ = ΒΓ. Φέρουµε την Ζ κάθετη στην προέκταση της ΒΓ και παίρνουµε τα µέσα Κ, Λ των Γ και ΑΒ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: (α) το τετράπλευρο ΚΛΒΓ είναι ρόµβος. (γ) το τρίγωνο ΚΛΖ είναι ισοσκελές. Β6. Να λύσετε την ανίσωση: + 3 x 1 x x 6 ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ Ο ΣΥΝΤΟΝΙΣΤΗΣ Ο ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ι.Ιωάννου Π.Παναγιώτου Χ. Παπαχριστοδούλου Θ. Παραγυίου Φ.Καραγρηγορίου

12 ΛΥΚΕΙΟ ΠΟΛΕΜΙ ΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 006 ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηµατικά ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 6/05/06 ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ: Ελευθεριάδης Π., Χριστοδούλου Α., Παναγίδης Π., Ιωάννου Χρ.,Ευαγόρου Ε. ΤΑΞΗ: Α Λυκείου ΙΑΡΚΕΙΑ:,5 ώρες ΑΡ. ΜΑΘΗΤΩΝ: Οδηγίες: α) Να γράφετε µε µελάνι µπλε ή µαύρο β) Επιτρέπεται η χρήση εγκεκριµένης υπολογιστικής µηχανής γ) εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. ΜΕΡΟΣ Α Από τις 15 ασκήσεις να λύσετε ΜΟΝΟ 1.Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 5/ Να λύσετε την εξίσωση χ +3χ-= 0. 3χ = ψ + 1. Να λύσετε το σύστηµα εξισώσεων. χ + ψ = 7 ( ) 3. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που έχει κλίση λ=3 και περνά από το σηµείο Α,5. 3χ Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f µε τύπο f ( x) = χ Να βρεθεί η τιµή του κ ώστε η εξίσωση 4χ -8χ+κ=0 να έχει ρίζες πραγµατικές και ίσες. 6. Να λυθεί η εξίσωση χ 4-3χ -4= συνθ 7. Αν ηµθ = και 90 θ 180, να υπολογίσετε την τιµή της 5 Α=. 9 σφθ + 6 στεµθ 8. Να λύσετε την ανίσωση -5χ + 9χ + < ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ Γ ( Α= ˆ 90 ) µ ε πλευρές ΑΓ=1cm και ΒΓ=0cm. Να υπολογίσετε : α) Το µήκος της προβολής της ΑΓ πάνω στην υποτείνουσα β) Το ύψος Α. 10. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο (-3,1) και είναι κάθετη στην ευθεία 4ψ-χ= Στο διπλανό σχήµα να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα Α Γ και ΑΒΕ είναι όµοια και να υπολογίσετε την τιµή του χ. Γ χ Β 4 Α 5 Ε

13 1. Να λύσετε το σύστηµα εξισώσεων χ + ψ = 4 χ ψ = 13. Να δείξετε ότι η εξίσωση β βαθµού που έχει ρίζες είναι η συνθ χ χ + συνθ = 0. 1 ηµθ 1+ ηµθ χ = και χ = συνθ συνθ 1, 14. ίνεται κύκλος (Ο,R).Γράφουµε µια διάµετρο του ΑΒ και µια χορδή ΑΓ. Αν οι εφαπτόµενες του κύκλου στα Β και Γ τέµνονται στο Σ, να αποδείξετε ότι: α) ΒΟΓ=ΒΓΣ β) ΟΣ//ΑΓ 15. Σε τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ, φέρουµε τις διάµεσους ΑΜ και ΒΚ. Προεκτείνουµε την πλευρά ΒΓ προς το Β κατά τµήµα ΒΖ = ΒΓ και προς το µέρος του Γ κατά τµήµα ΓΗ = ΒΓ. Προεκτείνουµε επίσης τη διάµεσο ΑΜ κατά τµήµα ΜΕ = ΑΜ. Να δείξετε ότι: α ) Το τετράπλευρο ΑΗΕΖ είναι παραλληλόγραµµο. ΕΗ β ) ΒΚ = ΜΕΡΟΣ Β Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε ΜΟΝΟ 4.Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 10/ Για ποιες τιµές του λ R η εξίσωση χ + (λ+1)χ + λ - 3 = 0 α) έχει ρίζες πραγµατικές και ίσες; β) έχει ρίζες αντίστροφες; γ) έχει ρίζες αντίθετες; δ) έχει ρίζα τον αριθµό -1;. Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x + 6x + 5 και η ευθεία (ε). α) Να βρείτε τις συντεταγµένες των σηµείων Α, Β, Γ και. β) Η ευθεία (ε) είναι εφαπτόµενη της καµπύλης στο σηµείο (-,-3) και περνά επίσης από το σηµείο (, 5). Να δείξετε ότι η ευθεία (ε) έχει εξίσωση y = x + 1 και να γράψετε τις συντεταγµένες του σηµείου Τ. γ) Σε πόσα σηµεία θα τέµνει η ευθεία µε εξίσωση y = 3x +1 την καµπύλη; ( ικαιολογείστε την απάντηση σας ) (ε) Α Β (-,-3) Γ Τ 3. Να λύσετε την ανίσωση : χ 1 χ Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â =90 ) και B ˆ = 15 0,φέρω διάµεσο ΑΜ και ύψος Α αντίστοιχα του τριγώνου. α) Να υπολογίσετε τη γωνία ΑΜ ˆ. β) Να αποδείξετε ότι : Α = 4 1 ΒΓ.

14 0 0 ηµ (180 θ ). συν (70 + θ ) 5. ίνεται ότι: 0 0 συν (90 + θ ). σϕ(90 + θ ) π Να δείξετε ότι: α) θ = 4 = και π 0 θ β) η εξίσωση συνθ χ λχ + ηµθ = 0 έχει ρίζες αντίστροφες 0 6. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ( Â =90 ) µε ύψος Α. Αν ( Γ) = 3(Β ) και Μ το µέσο της Γ. Να αποδείξετε τις σχέσεις : α) (ΑΓ) = (ΑΒ) + 8(Β ) β) (ΑΜ) = (ΑΓ) - 3( Μ)

15 ΛΥΚΕΙΟ ΣΟΛΕΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 006 Μάθηµα: Μαθηµατικά Χρόνος: :30 Τάξη: Α Ηµεροµηνία: 5/05/006 Ο ΗΓΙΕΣ: α) Επιτρέπεται η χρήση µη προγραµµατιζόµενης υπολογιστικής µηχανής που φέρει τη σφραγίδα του σχολείου. β) εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. γ) Να γράφετε µόνο µε πέννα χρώµατος µπλε ή µαύρου. ( Τα σχήµατα επιτρέπονται και µε µολύβι ) Μ Ε Ρ Ο Σ Α : Από τις 15 ασκήσεις να λύσετε µόνο τις 1. Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε µία µονάδα. 1. Να λύσετε την εξίσωση: χ + 5χ 14 = 0. Να βρείτε το Π.Ο. των συναρτήσεων: (α) ψ = 4χ 5 (β) ψ = x + 3 x - 3. Να βρείτε την τιµή της παράστασης(χωρίς τη χρήση υπολογιστικής µηχανής): Α = 4ηµ σφ60 + 5εφ45 4. Να λύσετε το σύστηµα: χ + 4ψ = - 5 χ + ψ = 4 5. Να λύσετε την ανίσωση: 3χ + 10χ Να βρείτε για ποια τιµή του κ οι ευθείες: (ε 1 ): ψ = 4χ + 1 και (ε ): ψ = (κ + )χ 3 είναι παράλληλες. 7. Να βρείτε για ποια τιµή του λ η εξίσωση: χ (λ + 1)χ + λ 1 = 0 έχει ρίζες πραγµατικές και ίσες. 8. Από το πιο κάτω σχήµα να βρείτε τις γωνίες α και β και να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας αν ΒΓ = 100. Α α Ο Β β Γ - 1 -

16 9. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ) µε ΑΒ = 1 cm και ΑΓ = 5 cm. Να υπολογίσετε: (α) την υποτείνουσα ΒΓ (β) την προβολή της ΑΓ πάνω στη ΒΓ. 10. Να αποδείξετε ότι ισχύει η ταυτότητα: 3 ηµα. σφα - συν α 3 = εφα συνα. εφα - ηµ α 11. Να υπολογίσετε τη γωνία ω αν 0 < ω < 90 και ηµ(360 - ω). εφ(90 - ω). τεµ(180 + ω) 3 = - στεµ(360 - ω). 1. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ). Από το µέσο Μ της υποτείνουσας ΒΓ φέρνουµε ευθεία κάθετη στη ΒΓ, που τέµνει την πλευρά ΑΒ στο σηµείο. Προεκτείνουµε την πλευρά Μ κατά ΜΝ = Μ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΝΓ είναι ρόµβος. 13. Να λύσετε την ανίσωση: (χ 9). (χ 5χ + 6) > Να γράψετε πιο απλά την παράσταση: ηµ(90 - ω)εφ(360 - ω)συν(-ω) Α =. συν(180 - ω)εφ(180 + ω) 15. Αν χ 1 και χ είναι οι ρίζες της εξίσωσης 4x 5x 8 = 0, χωρίς να τη λύσετε, να βρείτε την τιµή των παραστάσεων: (α) + = χ1 χ (β) χ 1.χ + χ 1.χ 8χ 1.χ = Μ Ε Ρ Ο Σ Β : Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε µόνο τις 4. Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε δύο µονάδες. 1. Να βρείτε για ποιες τιµές του µ η εξίσωση: (µ )χ (µ 1)χ + µ + = 0 (χωρίς να τη λύσετε), όπου µ, έχει: (α) Ρίζες ίσες. (β) Ρίζες αντίθετες. (γ) Μία ρίζα τον αριθµό -.. Να δείξετε ότι ισχύει η ταυτότητα: σφχ(1 - ηµ χ) = 1 - ηµχ. σφχ + συνχ - -

17 3. Να λύσετε την ανίσωση: (3x - x - 1)(x - 4x + 7)(x - x ) χ Στο πιο κάτω σχήµα η Β είναι διάµετρος του κύκλου (Ο, R) και η ΒΧ είναι εφαπτοµένη του κύκλου στο Β. Αν η γωνία XBA ˆ = 60 και το τόξο B Γ = 80 να βρείτε τις γωνίες των τριγώνων ΑΒΓ και ΒΓΖ. A Χ Ζ Ο 60 Γ B 5. ίνονται τα σηµεία Α(-, 3), Β(4, 5), Γ(3, 8). (α) Να βρείτε τις κλίσεις των ευθειών ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ. (β) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. (γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το Γ και είναι κάθετη προς την ΑΒ. 6. ίνεται το τρίγωνο ΕΖ µε ˆΕ = 90 + ˆΖ και Κ ύψος. Να δείξετε ότι: (α) τα τρίγωνα ΚΕ και ΚΖ είναι όµοια. (β) ( Κ) = (ΕΚ). (ΖΚ). Η ιευθύντρια Νίκη Παπαπέτρου - 3 -

18 ΠΑΓΚΥΠΡΙΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 006 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/5/006 ΤΑΞΗ: Α' ΠΕΡΙΟ ΟΣ: 7:45'-10:15' ΣΕΙΡΑ: Α' ΧΡΟΝΟΣ: 1/ ώρες Ο ΗΓΙΕΣ: (α) Επιτρέπεται η χρήση µη προγραµµατιζόµενης υπολογιστικής µηχανής. (β) Να γράφετε µόνο µε µελάνι (τα σχήµατα µπορούν να γίνουν µε µολύβι). (γ) εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. ΜΕΡΟΣ Α': Από τις 15 ασκήσεις να λύσετε µόνο τις 1. Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 1 µονάδες. 1. Να λύσετε την εξίσωση: χ 7χ + 3 = 0.. Να λύσετε την ανίσωση: χ χ 1 > Να σχηµατίσετε εξίσωση β βαθµoύ που έχει ρίζες: χ 1 = + 3 και χ = Να βρείτε το πεδίο ορισµού και το πεδίο τιµών της συνάρτησης: χ 1 ψ =. χ Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από τα σηµεία Α( 1, ) και. Β( 3, 4) 6. Αν το 3 ηµω = µε 90 < ω < 180 να βρείτε το συνω Να βρείτε τις κλίσεις των ευθειών: ( ε 1 ): χ 3ψ = 3, ( ε ): ψ χ + 1 ( ε 3 ): χ = 4, ( ): ψ = 1 και ( ε 5 ): 3ψ + χ 1 = 0. ε 4 8. Να αποδείξετε την ταυτότητα: ( 1 + εφ ω) συν ω + ( 1 + σφ ω) ηµ ω = 9. Να λύσετε το σύστηµα: χ 3ψ + ω = 3 χ ψ + 3ω = 8 ψ + 6ω = 16 =, 10. Να λύσετε το σύστηµα: χ + ψ = 7 χ ψ =

19 11. Στο διπλανό σχήµα η ΑΒ είναι εφαπτοµένη και η ΑΓ τέµνουσα. Αν το τόξο Β = 140 και το τόξο Γ = 10, να βρείτε τις γωνίες των τριγώνων ΒΓ και ΑΒΓ. Β 140 Γ Α Να βρείτε την τιµή της παράστασης: την χρήση υπολογιστικής µηχανής. ηµ45 + 3συν60 ηµ30 3ηµ60 χωρίς 13. Ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A = 90 ) έχει ΑΒ = 6 cm και ΑΓ = 8 cm. Αν Α είναι ύψος του τριγώνου, να βρείτε: a) το µήκος της υποτείνουσας ΒΓ, b) τα µήκη των τµηµάτων Β και Γ στα οποία χωρίζεται η υποτείνουσα ΒΓ, και c) το µήκος του ύψους Α. ( ) ίνεται η εξίσωση: χ λ + χ + λ 3 =, να βρείτε για ποιες τιµές του λ η εξίσωση: a) έχει ρίζες αντίστροφες, και b) το άθροισµα των ριζών της είναι διπλάσιο του γινοµένου τους. 15. Από εξωτερικό σηµείο Α κύκλου φέρουµε τις τέµνουσες ΑΒΓ και Α Ε. Να δείξετε ότι: a) τα τρίγω να ΑΓ ΑΒΕ, και ΑΒ ΑΓ = ( Α )(ΑΕ b) ( )( ) ) Μ ΕΡΟΣ Β' : Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε µόνο τις 4 Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε µονάδες. 1. ίνεται η εξίσωση : χ + 3χ + 4 = 0 µε ρίζες χ 1 και χ. Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: Α = + και Β = 4χ1 χ + 4χ1 χ χ1 + χ +. Να λύσετε την ανισωση: ( χ 1)( χ + χ + 3)( χ 1) χ 1 3. α) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: συν 180 θ ηµ 90 + θ + ηµ θ ηµ θ Α = εφ θ εφ 70 θ 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 σφχ ηµχ συν χ β) Να αποδείξετε τη σχέση: = εφχ 3 εφχ συνχ ηµ χ

20 4. ίδονται τα σηµεία Α (, 5), Β ( 5, 7) και ( 7, 4) Γ. a) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. b) Nα βρείτε την εξίσωση της ΑΓ. c) Να βρείτε την εξίσωση του ύψους Β. d) Να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου. 5. ίνεται η γραφική παράσταση της f ( χ) = αχ + βχ + γ. Από την παράσταση να βρείτε: a) το πρόσηµο του α b) το πρόσηµο της (διακρίνουσας) c) το πρόσηµο του Ρ d) το πεδίο τιµών της συνάρτησης f (χ) e) την τιµή του γ f) τον άξονα συµµετρίας f ( χ) g) το f ( 0) και f ( 3) h) τις ρίζες χ 1 και χ i) τις τιµ ές του χ για τις οποίες αχ + βχ + γ > 0 K, R µε διάµετρο ΑΒ και χορδή ΑΓ. Στο σηµείο Α του κύκλου φέρουµε την εφαπτοµένη ( ε) και από το Γ φέρουµε την Γ κάθετη στην εφαπτοµένη (ε). Να δείξετε ότι ΑΓ = R Γ. 6. ίνεται κύκλος ( ) ( ) ( ) Β. Κ Α Γ (ε) Ο ιευθυντής (Χρίστος Εκκέσιης)

21 ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΛΑΚΑΤΑΜΕΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 006 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 3 ΜΑΙΟΥ 006 ΙΑΡΚΕΙΑ: :30 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ :.... ΤΜΗΜΑ: ΑΡ. ΚΑΤΑΛΟΓΟΥ: ΒΑΘΜΟΣ:. Το εξεταστικό δοκίµιο αποτελείται από επτά σελίδες. Ο ΗΓΙΕΣ Επιτρέπεται η χρήση µη προγραµµατιζόµενης υπολογιστικής µηχανής. εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. Να γράψετε µε µπλε µελάνι- Τα σχήµατα µε µολύβι. ΜΕΡΟΣ Α Από τις 15 ασκήσεις να λύσετε µόνο τις 1. Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 5 µονάδες. 1. Να λύσετε την εξίσωση: χ + 5χ 3 = 0. Να λύσετε το σύστηµα: χ + 4ψ = 1 3χ + ψ = 7 3. Να βρείτε το πεδίο ορισµού και το πεδίο τιµών της συνάρτησης χ 1 µε τύπο ψ = χ + 4

22 4. Να βρείτε την εξίσωση ευθείας η οποία περνά από τα σηµεία Α(,-3) και Β(4,1). ηµ χ 5. Να αποδείξετε την ταυτότητα: 1 = συνχ 1 συνχ 6. Να βρείτε την τιµή του λ ώστε ο αριθµός να είναι ρίζα της εξίσωσης λχ + 5χ (3λ 1) = Αν συνθ = και 70 < θ < 360 να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: 13 10εφθ 13ηµθ Α= 4σφθ 8. ίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραµµο ΑΒΓ. Από σηµείο Ε της Γ φέρουµε την ΕΖ κάθετη στη διαγώνιο Β. Να αποδείξετε ότι : (Ζ )(ΒΓ)=(Γ )(ΖΕ)

23 9. Για ποιες τιµές του µ η εξίσωση + ( µ ) χ + µ + 1 = 0 µχ έχει ρίζες ετερόσηµες. 10. Στο διπλανό σχήµα δίδεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( χ )= αχ + βχ + γ Να βρείτε (α) το πρόσηµο του α (β) το πεδίο τιµών της συνάρτησης (γ) τις λύσεις της εξίσωσης αχ + βχ + γ = 0 (δ) τις τιµές του χ για τις οποίες ισχύει ισχύει f( χ ) 0 (ε) την τιµή του γ 11. Να βρείτε την εξίσωση ευθείας που περνά από το σηµείο τοµής των ευθειών χ-ψ=3 και χ= και είναι κάθετη στην ευθεία 3χ-ψ=1. 1. Να αποδείξετε τη σχέση: ( 90 ω) σφ( ω) ( 180 ω) σφ( 360 ω) ηµ = συν ω τεµ

24 13. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο πλευράς 10cm. To A είναι ύψος, το ΑΕ έχει µήκος 10 3 cm και η Ζ είναι κάθετη στην ΑΕ. Να βρείτε: (α) το µήκος του ύψους Α (β) το µήκος της προβολής της Ε πάνω στην ΑΕ. 14. ίνεται η εξίσωση ( σφθ συνθ ) χ 4χ + σφθσυν θ = ο.να δείξετε ότι το γινόµενο των ριζών της ισούται µε 1 + ηµθ. 15. εδοµένα ΕΓ ˆ = 8 ΑΒ = ΒΓ ΓΕ εφαπτοµένη ΑΓ ˆ = ΓΕ ˆ Ζητούµενα ΓΑ ˆ = ΓΑΒ ˆ = 8 0

25 ΜΕΡΟΣ Β Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε µόνο τις 4. Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 10 µονάδες. 1.α) Να βρείτε την τιµή του κ ώστε η εξίσωση χ 3κχ + κ πραγµατικές και ίσες. ( χ + 1)( χ χ 3)( χ + 5) β) Να λύσετε την ανίσωση: 0 6 χ ( ) + 1 = 0 να έχει ρίζες ( ) 0. ίνεται η εξίσωση χ λ χ + λ 5λ + 6 = µε ρίζες χ 1 και χ. Να βρείτε την τιµή του λ αν α) το άθροισµα των ριζών της ισούται µε 5 β) έχει ρίζες αντίθετες γ) έχει ρίζες αντίστροφες χ1 + 1 χ + 1 δ) ισχύει η σχέση + = χ χ 1

26 3. ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ µε κορυφές Α(1,),Β(3,4), (,1). Αν η εξίσωση της Γ είναι ψ=χ-1 και η εξίσωση της ΒΓ είναι ψ=4 α) να δείξετε ότι i) AB είναι παράλληλη µε τη Γ ii) Α είναι κάθετη στη Γ β) Να βρείτε i) την εξίσωση της Α ii) τις συντεταγµένες του σηµείου Γ. 4. α) Να σχηµατίσετε εξίσωση β βαθµού µε ρίζες β) Αν ηµ ( 180 ω) εφ( 90 ω) συν ( 90 + ω) εφ( 180 ω) συν ( 180 ω) 1 = ηµθ χ =, 1 συνθ χ 1 ηµθ = 1+ συνθ µε 0 < ω < 90 να βρείτε τη γωνία ω.

27 5. ίνεται κύκλος (Ο,R). Από σηµείο Α εκτός κύκλου φέρουµε την ΑΒ εφαπτοµένη του κύκλου (Β σηµείο επαφής) και την τέµνουσα ΑΓ. Από το Γ φέρουµε τη ΓΕ παράλληλη προς τη Β η οποία τέµνει την ΑΒ στο Ε. Να δείξετε ότι: α) τα τρίγωνα ΑΕΓ ΚΑΙ ΑΒΓ είναι όµοια β) (ΑΓ) =(ΑΕ) (ΑΒ) 6. α) Να βρείτε το Π.Ο της συνάρτησης ψ= χ 7χ + 10 χ χ β) Για ποιες τιµές του λ η συνάρτηση ( χ ) χ 5 f = ορίζεται χ R. χ ( λ 1) χ + λ + Η ιευθύντρια Χρυσόθεµις Χατζηπαναγή

28 ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 006 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 6/05/006 ΤΑΞΗ : Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΩΡΑ: ΣΥΝ. ΣΕΛ.: 3 ΙΑΡΚΕΙΑ: ώρες και 30 λεπτά Ο ΗΓΙΕΣ: Να γράφετε µε µπλε ή µαύρη πένα. εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. Επιτρέπεται η χρήση µη προγραµµατισµένης υπολογιστικής µηχανής. ΜΕΡΟΣ Α : Από τις 15 ασκήσεις να λύσετε ΜΟΝΟ τις 1. Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε πέντε (5) µονάδες. 1. Να λύσετε την εξίσωση : 3x 5 x+=0. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το σηµείο Α(1, ) και είναι παράλληλη µε την ευθεία x y+3=0. 3x Να βρείτε το πεδίο ορισµού (Π.Ο) και το πεδίο τιµών (Π.Τ) της συνάρτησης µε τύπο y = x 5 4. Nα υπολογίσετε την τιµή της παράστασης : Α = 0 0 ηµ 45 συν30 + εφ Αν x 1, x είναι οι ρίζες τις εξίσωσης x 4 x+1=0, α) να βρείτε το άθροισµα (S) και το γινόµενο (Ρ) των ριζών της. β) να βρείτε τη τιµή της παράστασης : + 4x1x x x 1 6. Να βρείτε τη τιµή του λ ώστε η εξίσωση : x x λ 3=0 να έχει ρίζες πραγµατικές και ίσες. 7. Να λύσετε το σύστηµα : x + y = 4 4x + y =16 8. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Αˆ =90 0 ) φέρουµε το ύψος Α. Αν ΒΓ=16cm και Β =4cm να υπολογίσετε το : α) µήκος των καθέτων πλευρών ΑΒ και ΑΓ. β) µήκος του ύψους Α. 9. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το σηµείο τοµής των ευθειών (ε 1 ) : x + y = 4 και (ε ) : x y = και από την αρχή των αξόνων. 10. Να λύσετε την ανίσωση : (3 x) ( x 1) (x + 1) > ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο και Α εφαπτοµένη του κύκλου στο Α. Αν Ε σηµείο της ΑΒ και Ζ σηµείο της ΑΓ έτσι ώστε ΕΖ//Α να δείξετε ότι : (ΑΒ)(ΑΕ)=(ΑΓ)(ΑΖ). 1. Αν ηµx = 5 3 και 90 0 <x< ηµ x + 5συνx + 4τεµ x να βρείτε τη τιµή της παράστασης : Α=. 4εφx +

29 13. ίνεται κύκλος (Κ,ρ) και δύο χορδές του ΑΒ και Γ. Προεκτείνουµε τη χορδή ΑΒ προς το µέρος του Β και τη χορδή Γ προς το µέρος του που τέµνονται σε σηµείο Ε έξω από τον κύκλο. Αν Α = Ε να δείξετε ότι ΑΒΓ ˆ = ΒΓˆ. 14. Να αποδείξετε την ταυτότητα : ηµ x 1 1+ συνx = 1 τεµ x 15. ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ µε διαγωνίους ΑΓ=Β και ΑΓ Β. Αν Ε, Ζ, Η, Θ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, Γ, Α αντίστοιχα, να δείξετε ότι ΕΖΗΘ είναι τετράγωνο. ΜΕΡΟΣ Β : Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε ΜΟΝΟ τις 4. Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε δέκα (10) µονάδες. 1. ίνεται η εξίσωση : x 6 λx+λ+1=0 µε λ R. Αν x 1, x είναι οι ρίζες τις εξίσωσης, i) να βρείτε τις τιµές της παραµέτρου λ ώστε : α) να έχει ρίζες αντίθετες. β) να έχει ρίζες αντίστροφες. γ) το άθροισµα να είναι ίσο µε το γινόµενο των ριζών της. ii) να σχηµατίσετε εξίσωση β βαθµού που να έχει ρίζες ρ 1 = και ρ =. x 1 x εφx σφx. α) Να αποδείξετε την ταυτότητα : = ηµ x 1 εφx + σφx β) Να βρείτε τη γωνία θ όπου 0 0 <θ<90 0 αν ισχύει : σφ( ηµ (360 + θ) συν(180 θ) 0 + θ) εφ( θ) ηµ (180 θ) συν(70 0 θ) = 3 3. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε κορυφές Α( 1, 1), Β(, ), Γ(4, 3) και (x, y),να βρείτε : α) τις συντεταγµένες του σηµείου. β) την εξίσωση του ύψους ΑΕ. x 1 4. α) Να λύσετε την ανίσωση : 1+ x + 1 x 1 β) Να βρείτε τη τιµή της γωνίας ω ώστε η ευθεία (ε) : (3συνω) x ( 3 ηµω) y + 10 = 0 1 να είναι κάθετη στην ευθεία (ε 1 ) : y = 5 x όπου 0 0 < ω < Από σηµείο Τ εκτός κύκλου φέρουµε τυχαία τέµνουσα του κύκλου ΤΒΓ και την εφαπτοµένη ΤΑ (όπου Α το σηµείο επαφής µε το µεγάλο τόξο ΒΓ). Αν Ε είναι το µέσο του µικρού τόξου ΒΓ και Ζ το σηµείο τοµής της ΑΕ µε την ΒΓ να δείξετε ότι : α) τα τρίγωνα ΓΖΑ και ΑΒΕ είναι όµοια. β) (ΑΓ) (ΒΕ) = (ΑΕ) (ΓΖ) γ) (ΤΑ) =(ΤΒ) (ΤΓ)

30 6. Στο πιο κάτω σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)= αx +βx+γ. Σύµφωνα µε αυτή να βρείτε τα πιο κάτω : α) το πεδίο ορισµού και το πεδίο τιµών της συνάρτησης. β) τις ρίζες της εξίσωσης f(x)= 0. γ) τα πρόσηµα των α,, S και Ρ. δ) την εξίσωση του άξονα συµµετρίας. ε) τη λύση της ανίσωσης αx +βx+γ < 0. στ) τις τιµές των παραµέτρων α, β, γ. Η ιευθύντρια Ελένη Παπαχριστοδούλου

31 ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΝΤΩΝΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΛΕΜΕΣΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑЇΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 006 ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηµατικά ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/05/06 ΤΑΞΗ: Α ΙΑΡΚΕΙΑ:,5 ώρες Οδηγίες :α) να γράφετε µε µελάνι µπλε ή µαύρο β) επιτρέπεται η χρήση εγκεκριµένης υπολογιστικής µηχανής γ) δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. ΜΕΡΟΣ Α Από τις 15 ασκήσεις να λύσετε ΜΟΝΟ 1. Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 5/ Να λύσετε την εξίσωση 3x 5x = 0.. Να σχηµατίσετε την εξίσωση ου βαθµού που έχει ρίζες τους αριθµούς -10 και Να λύσετε την ανίσωση x x Αν 4 ηµω= 5 και < ω< 90, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης A= συνω εφω. 5. ίνεται η εξίσωση x -3x+6=0.Αν x,x 1 είναι οι ρίζες της εξίσωσης να υπολογίσετε, χωρίς να λυθεί η εξίσωση, τις παραστάσεις: α) x x, β) 3x x, γ) x x +x x Να λύσετε την εξίσωση 4 4x 5x + 1= Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ˆ 0 ( Α = 90 ) φέρουµε το ύψος Α. ΑΒ = cm, Αν ( ) 6 ( ) 8 ΑΓ = cm, να υπολογίσετε: α) Τα µήκη των προβολών των κάθετων πλευρών στην υποτείνουσα. β) Το ύψος Α του τριγώνου. 8. ίνονται οι ευθείες: ( ε ):( κ + 1) x+ κy = 0 1 ( ε ):x 5y+ 1= 0 R Να υπολογίσετε την τιµή του κ,ώστε οι ευθείες: α) να είναι παράλληλες β) να είναι κάθετες. x+ y = 5 9. Να λύσετε το σύστηµα x xy = Να βρείτε τις τιµές του πραγµατικού αριθµού λ,για τις οποίες η εξίσωση x λ + 1 x+ λ 3= 0 έχει ρίζες πραγµατικές και ίσες. ( ) 1

32 11. Να λύσετε την ανίσωση ( 8 x) x 5x ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ)εγγεγραµµένο σε κύκλο. Από την κορυφή Α φέρουµε ευθεία που τέµνει την πλευρά ΒΓ στο και τον κύκλο στο Ε. Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( ) ΑΒ = Α ΑΕ. συνχ 13. Να αποδείξετε την ταυτότητα : εϕχ = τεµχ. 1 ηµχ 14. Στο διπλανό σχήµα δίνεται ότι η ευθεία χψ είναι εφαπτοµένη στον κύκλο στο σηµείο Β και η γωνία ΓΒχ = 48 ο. Να υπολογιστούν οι γωνίες ΒΑΓ και ΟΒΓ, δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας. ψ B Ο A Γ χ 15. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Από τα µέσα και Ε των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα φέρνουµε τις Ζ και ΕΗ κάθετες στη ΒΓ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΖΗΕ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραµµο. ΜΕΡΟΣ Β Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε ΜΟΝΟ 4. Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 10/ Να βρείτε τις πραγµατικές τιµές του µ 1 για τις οποίες η εξίσωση ( ) x ( ) µ + 1 µ x+ 3µ = 0 έχει : α) ρίζες αντίστροφες β) ρίζες αντίθετες γ) γινόµενο ριζών ίσο µε 6 δ) άθροισµα των τετραγώνων των ριζών ίσο µε ε) γινόµενο ριζών µεγαλύτερο ή ίσο του.. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφές τα σηµεία Α(1,4), Β(-1,) και Γ(3,0). Να βρείτε: α) Την κλίση της πλευράς ΒΓ β) Την εξίσωση της ΒΓ γ) Την εξίσωση του ύψους Α δ) Τις συντεταγµένες του σηµείου. 3. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ. Φέρνουµε τις διχοτόµους των γωνιών και Γ που τέµνονται στο σηµείο Η. Να δείξετε ότι: α) Η γωνία ΗΓ είναι ορθή β) Αν Ε είναι το µέσον της Γ, το τρίγωνο ΕΗΓ είναι ισοσκελές.

33 4. α) Να αποδείξετε την ταυτότητα β) Αν o o ( ) ( ) o ( 180 ) ( ) ηµ ω 90 συν 180 ω 3 = ηµ ω σφ ω 1+συνθ (σφ θ+ στεµθ) =, ηµ θ 0 1-συνθ o o και 90 ω 180 να βρείτε τη γωνία ω. 5. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο µε διάµετρο ΑΒ. Στο σηµείο Α φέρνουµε την εφαπτοµένη του κύκλου. Η διχοτόµος της γωνίας Β τέµνει την πλευρά ΑΓ στο, τον κύκλο στο Σ και την εφαπτοµένη στο Ε. Να δείξετε ότι: α) Η ΑΣ είναι διχοτόµος της γωνίας ΕΑΓ. β) (ΓΒ) (ΣΕ)=(Γ ) (ΣΑ). 6. Αν η εξίσωση x+βx+γ=0 έχει ρίζες πραγµατικές,άνισες και η µία είναι διπλάσια της άλλης, τότε να δείξετε ότι β γ =. 3 H ιευθύντρια Άρτεµις Αριστείδου 3

34 ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙ ΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 006 ΤΑΞΗ: Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜ: 06/06/006 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΑΡΚΕΙΑ: ½ ώρες Ο ΗΓΙΕΣ: 1. Επιτρέπεται η χρήση µη προγραµµατιζόµενης υπολογιστικής µηχανής σφραγισµένης από το σχολείο.. Να γράφετε µε µελάνι ( τα σχήµατα επιτρέπεται µε µολύβι). 3. εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 4. Τα σχήµατα που σας δίνονται να µεταφέρονται στο γραπτό σας. ΜΕΡΟΣ Α Από τις 15 ασκήσεις να λύσετε µόνο 1. Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 5/ Να λύσετε την εξίσωση: 4x 5x 6 = 0. Να σχηµατίσετε εξίσωση β βαθµού µε ρίζες x = 1 3 και x = 3. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης χωρίς τη χρήση υπολογιστικής µηχανής: Α =. ηµ 30 + εφ 45 + συν 30. εφ60 4. Να βρείτε το πεδίο ορισµού και το πεδίο τιµών της συνάρτησης: x 1 ψ = x Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το σηµείο Α(-,1) και είναι κάθετη στην ευθεία ψ = -3x + 6. Αν x 1, x οι ρίζες της εξίσωσης 3x 5x + = 0, να βρείτε τα πιο κάτω χωρίς να λύσετε την εξίσωση. i) x 1 + x ii) x 1. x iii) 3x x - 5 x 1. x =

35 7. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Αˆ =90 0 ). Αν Α το ύψος του τριγώνου, ΑΒ = 5cm και ΑΓ = 1cm, να υπολογίσετε: α) το µήκος της υποτείνουσας β) τα µήκη των προβολών Β και Γ των καθέτων πλευρών πάνω στην υποτείνουσα γ) το µήκος τους ύψους Α 8. Να λυθεί η εξίσωση: 4x 4 5x + 1 = 0 9. Να αποδείξετε την ταυτότητα: 3ηµ θ + συν θ = 3 συν θ 10. Να λύσετε την ανίσωση: (x -3). (x -5x +6) Αν ηµω = και 180 ω 70, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: εφω + 6. στεµω Α = 16τεµ ω 1 1. ίνεται ο κύκλος (Κ, R) και Η,Α,Β,Γ, σηµεία του. Γ είναι η εφαπτοµένη στο σηµείο του Γ. Αν το µήκος του τόξου ΑΗΒ είναι 10 και Β Γ = 40, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΒΓ είναι ισοσκελές. 13. Να λύσετε το σύστηµα: ψ x = x + x. ψ = ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΓΗ το ύψος του. Αν Ζ,, Ε είναι τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα, να δείξετε: α) Ζ ΕΒ είναι παραλληλόγραµµο β) Ζ = ΗΕ

36 3 15. Να απλοποιήσετε το κλάσµα: 4x 15x 4 16x 1 ΜΕΡΟΣ Β Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε µόνο 4. Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 10/ Να βρείτε για ποιες τιµές του λ, η εξίσωση λx + (λ + 5). x + λ 6 = 0 λ 0 α) έχει ρίζες αντίθετες β) έχει ρίζες πραγµατικές και ίσες γ) το γινόµενο των ριζών της είναι µεγαλύτερο του. ίνονται τα σηµεία Α(,3), Β(-1,1) και Γ(6,0) α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΒΓ β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που περνά από το σηµείο Γ και είναι παράλληλη προς την ΑΒ γ) Να βρείτε την εξίσωση ευθείας που περνά από το Α και σχηµατίζει γωνία 45 µε τον άξονα xx 3. α) Να αποδείξετε ότι: ηµ (180 θ ). σφ( θ ) τεµ (180 + θ ). συν ( θ ) εφ(180 + θ ). συν (180 θ ). στεµ ( θ ) = 1 συνθ β) Να αποδείξετε την ταυτότητα: εφx. ηµ x εφx ηµ x = 1+ συνx 4. α) Αν η εξίσωση x τεµθ.x + (1-συνθ) = 0, 0 θ 90 έχει ρίζες αντίστροφες να βρείτε τη γωνία θ. β) ίνεται η εξίσωση x + κx 5 = 0, και x 1, x οι ρίζες της. Αν x1 x 14 + = x x 1 5 να βρείτε τις τιµές του κ χωρίς να λυθεί η εξίσωση.

37 5. ίνεται κύκλος (Κ, R) και ΑΗ η διάµετρός του. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραµµένο στον κύκλο. Να φέρετε το ύψος Α, την εφαπτοµένη (ε) στο σηµείο Β και την κάθετη ΑΖ στην (ε). Να δείξετε ότι: α) (ΑΓ). (ΑΖ) = (ΑΒ). (Α ) β) ΑΒ ΑΓΗ 6. ίνεται κύκλος (K,R) µε διάµετρο ΗΖ και Α σηµείο του ώστε η γωνία Α Η Ζ = 30. Αν η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη του κύκλου στο Α να φέρετε ευθεία ΖΕ//ΚΑ (Ε σηµείο της εφαπτοµένης). Να δείξετε ότι: α) ΚΑΖ ισόπλευρο β) ΕΖ = R γ) Αν ΖΜ διάµεσος του τριγώνου ΑΚΖ τότε να δείξετε ότι το ΑΕΖΜ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραµµο. Ο ιευθυντής Η Συντονίστρια Οι ιδάσκοντες Μουρούζης Χριστόδουλος Παναγή Κυριακή Κυριάκου Κυριακή, Χατζησάββας Κώστας Γεώργιος Μάρκου Μαρία Γεωργιάδου Μορφή Κατερίνα, Ζερζελίδου Χρυστάλλα

38 ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 006 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ Χρόνος: :30' Ηµεροµηνία: 31/5/006 Ο ΗΓΙΕΣ: Να γράφετε µόνο µε µπλε ή µαύρη πέννα (τα σχήµατα µε µολύβι). εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. Το γραπτό αποτελείται από 4 σελίδες. Επιτρέπεται η χρήση µη προγραµµατιζόµενης υπολογιστικής µηχανής. ΜΕΡΟΣ Α : Από τα 15 θέµατα να απαντήσετε ΜΟΝΟ στα 1. Κάθε σωστό θέµα βαθµολογείται µε πέντε ( 5 ) µονάδες. 1) Να λυθεί η εξίσωση: 3x + 5x = 0 ) Για ποια τιµή του κ η εξίσωση ίσες; x 6x+ κ+ 1= 0 έχει ρίζες πραγµατικές και 3) ίνεται η εξίσωση x (3λ 1)x+ λ+ 1= 0. Να βρείτε την τιµή του λ ώστε η εξίσωση να έχει α) Ρίζες αντίθετες β) Ρίζες αντίστροφες 4) Να λυθεί η ανίσωση: x(x )(5 x) > 0 1 5) Αν συνθ = και 90 <θ< 180 να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης 13 13ηµθ 5σφθ Α=. 1τεµθ 6) Να µετατρέψετε τις πιο κάτω παραστάσεις σε ισοδύναµες µε ρητό παρονοµαστή: 6, ) Να λυθεί το πιο κάτω σύστηµα: x + ψ= 4 x x 1 + ψ ψ= 8) Να βρείτε το πεδίον ορισµού των συναρτήσεων:

39 α) x ψ= β) ψ = x 5 x + 3 9) Να αποδείξετε ότι: συνθ +εφθ=τεµθ 1+ηµθ 10) Στο διπλανό σχήµα, να βρείτε: ψ α) την κλίση της ευθείας (ε) β) την εξίσωση της ευθείας ( ε) 1 (ε) χ 11) Στο διπλανό σχήµα, δίνεται κύκλος (Κ,R), ΑΒ διάµετρος του, Β εφαπτοµένη του κύκλου στο Β. Να υπολογίσετε: α) τη τιµή του χ β) την γωνία ω K B A Γ 1) Αν x,x 1 είναι οι ρίζες της εξίσωσεις βρείτε την τιµή της παράστασης 3x 9x + 1= 0 χωρίς να τη λύσετε να x 7x x + x A = x x x1x 13) ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ), είναι το µέσο του ΒΓ, Ε µέσο της ΑΒ. Φέρω τη Ε και προεκτείνω κατα τµήµα ΕΖ= Ε. Να δείξετε ότι: α) ΑΖ//= Γ β) ΑΖΒ ορθογώνιο. 14) ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, A = 90, Γ= 30,, Ε µέσα των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε: α) Ε =ΑΒ β) (ΕΑ)(ΑΒ)=(ΑΓ)(Α ) 15) ίνονται οι ευθείες ( ε1):x ηµθψ. = 3, ( ε): συνθ.x+ ψ = 1 οι οποίες είναι κάθετες µεταξύ τους. Να υπολογίσετε τη ν τιµή της γωνίας θ αν 0 <θ< 90.

40 ΜΕΡΟΣ Β : Από τα 6 θέµατα να απαντήσετε ΜΟΝΟ στα 4. Κάθε σωστό θέµα βαθµολογείται µε δέκα ( 10 ) µονάδες. 1) ίνεται η εξίσωση: x + ( λ+ 1)x λ + λ = 0, λ. α) Να δείξετε ότι έχει ρίζες πραγµατικές. β) Για ποιές τιµές του λ η εξίσωση έχει: i) µια ρίζα ίση µε ένα. ii) το άθροισµα ριζών µεγαλύτερο απο το γινόµενο της αυξηµένο κατά ένα. ) ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α= 90 ), η εξίσωση της πλευράς ΑΒ είναι x+ ψ+ 3 = 0 και οι συντεταγµένες του σηµείου Γ(1,3). Να βρείτε: α) την εξίσωση της πλευράς ΑΓ β) της συντεταγµένες της κορυφής Α. 3) α) Να υπολογίσετε την γωνία θ, 0 θ 90 αν ισχύει: εφ( θ) συν (180 + θ) σφ (90 + θ) 3 = ηµ (70 +θσυν ) (180 θ) ηµ (360 +θηµ ) (180 +θ) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθµού µε ρίζες 7 7 x1 =, x = )α) ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο,R). Φέρουµε την εφαπτοµένη του κύκλου στο Α και απο το Β φέρω ευθεία παράλληλη προς την ΑΓ που τέµνει την εφαπτοµένη στο. Να δείξετε ότι (ΑΒ)(Α )=(ΒΓ)(Β ). β) Να αποδείξετε την ταυτότητα: ηµ x συνx εφx. στεµ x τεµ x. σφx = ηµ x. συνx 5) Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) φέρω το ύψος Α και τις Ζ, ΒΕ αντίστοιχα κάθετες πάνω στην ΑΓ (Ζ, Ε σηµεία της ΑΓ). Να δείξετε: α) Ζ µέσο της ΓΕ β) Αν Η µέσο της ΒΕ, τότε ΖΕΗ ορθογώνιο.

41 6) ίνεται η γραφική παράσταση της f(x) = x +β x +γ. Να βρείτε: ψ α) την τιµή του γ β) την εξίσωση του άξονα συµµετρίας γ) την τιµή του β δ) τις συντεταγµένες του ελάχιστου σηµείου της καµπύλης 0 1 χ ε) το πεδίον ορισµού και πεδίον τιµών της καµπύλης -1 στ) να λυθεί η ανίσωση f(x) < 0. Ο ιευθυντής Σάββας Πολυδώρου

42 ΛΥΚΕΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 006 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: 30/05/06 ΤΑΞΗ: Α Χρόνος:.30 To εξεταστικό δοκίµιο αποτελείται από 3 σελίδες Οδηγίες: α) Επιτρέπεται η χρήση µη προγραµµατιζόµενης υπολογιστικής µηχανής β) Να γράφετε µόνο µε µελάνι(µόνο τα σχήµατα µε µολύβι γ) εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υλικού. ΜΕΡΟΣ Α Από τα 15 θέµατα να λύσετε µόνο τα 1. Κάθε θέµα βαθµολογείται µε 5 µονάδες. 1. Nα λύσετε την εξίσωση 3x + 5x =0.. Να σχηµατίσετε εξίσωση δευτέρου βαθµού η οποία να έχει ρίζες τους αριθµούς 4 και Αν x 1 και x είναι ρίζες τις εξίσωσης να βρείτε τις τιµές των παραστάσεων: 4 4 Α= x 1 + x και Β= + x x x + x = 0, χωρίς να λύσετε την εξίσωση 4. Αν η εξίσωση x + 8x 5+ λ =0 έχει ρίζα τον αριθµό, να βρείτε την άλλη ρίζα της. 5. ίνεται η ευθεία ε 1 : x 3y =6. α) Να βρείτε την κλίση της β) Να βρείτε την εξίσωση ευθείας που είναι παράλληλη µε την ε1 και περνά από το σηµείο (0, 1). 6. Να απλοποιήσετε την παράσταση: 3 A = : Να βρείτε το πεδίο ορισµού και πεδίο τιµών της συνάρτησης 3x + y =. x 5../

43 8. Από το πιο κάτω σχήµα, να υπολογίσετε τις γωνίες Α ˆ, Β ˆ και ˆΓ του τριγώνου ΑΒΓ. Α Κ 10 Β Γ 9. Να λυθεί το σύστηµα: 3x + xy = 6 x+ y = Αν συνθ = και 180 < θ < 70 να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: 5 1σφθ 15ηµθ Α= 18εφθ 11. Να λύσετε την ανίσωση: ( x+ 1) (x + 15) x + 4x 0 1. Να απλοποιήσετε το κλάσµα: x 3x 4 x Να δείξετε ότι ισχύει η ισότητα: 14. Να αποδείξετε την ταυτότητα: ηµ 00 εφ190 ηµ = συν110 σφ100 συν x εφx τεµ x 1 ηµ x = 15. ίνεται η συνάρτηση y = x 3x 10. Να βρείτε: α) Τα σηµεία στα οποία η καµπύλη τέµνει τον άξονα. χχ. β) Το σηµείο στο οποίο η καµπύλη τέµνει τον άξονα ψψ. γ) Τον άξονα συµµετρίας. δ) Να βρείτε αν η καµπύλη παρουσιάζει µέγιστο ή ελάχιστο και να βρείτε τις συντεταγµένες του.../3

44 -3- ΜΕΡΟΣ Β Από τα 6 θέµατα να λύσετε µόνο τα 4. Κάθε θέµα βαθµολογείται µε 10 µονάδες. 1. ίνεται η εξίσωση x ( λ+ ) x+ 3λ =0. Για ποιες τιµές του λ α) η εξίσωση έχει ρίζες αντίθετες β) το άθροισµα των τετραγώνων των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο µε οκτώ γ) η εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές.. Αν x1, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης 1 1 του µ ισχύει η ανίσωση + > 1. x x 1 x + 5( µ 1) x µ 1 = 0 να βρείτε για ποίες τιµές 3. Αν Α(3, 1), Β(, ) και Γ(4, 1) είναι κορυφές του τριγώνου ΑΒΓ. Να βρείτε: α) Την εξίσωση της πλευράς ΒΓ β) Την εξίσωση του ύψους Α. εφ(180 + ω) εφ(70 ω) συνω 4. α) Αν = ηµ (90 ω) συν (360 ω) + ηµω συν (90 ω) να βρείτε τη γωνία ω. και 0 < ω < 90, β) Να αποδείξετε ότι: 3 συνω εφω ηµ ω = 3 σφω ηµω σφω συν ω 5. Από σηµείο Σ που βρίσκεται έξω από κύκλο φέρουµε εφαπτόµενο τµήµα ΣΓ (Γ σηµείο επαφής) και τέµνουσα ΣΑΒ που περνά από το κέντρο του κύκλου. Η κάθετη στην ΣΒ στο σηµείο Σ τέµνει την προέκταση της ΒΓ στο. Να δείξετε ότι: (ΑΒ)(ΒΣ)=(Β )(ΒΓ) 6. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90 0 ) και το ύψος του Α. Να δείξετε ότι α) (ΑΒ) = (ΒΓ)(Β ) β) Αν ΑΓ = 4 cm, ΒΓ = χ cm και ΑΒ = χ- cm να βρείτε την τιµή του χ. γ) Το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος Β. Η ιευθύντρια Ευφροσύνη Αργυρίδου

45 ΛΥΚΕΙΟ ΑΠ. ΒΑΡΝΑΒΑ ΣΤΡΟΒΟΛΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 006 Ηµεροµηνία: Παρασκευή /06/06 Χρόνος: ώρες και 30 λεπτά Ο ΗΓΙΕΣ: α) Επιτρέπεται η χρήση µη προγραµµατιζόµενης υπολογιστικής µηχανής που φέρει τη σφραγίδα του σχολείου. β) Να γράφετε µόνο µε µελάνι. (Tα σχήµατα µπορούν να γίνουν µε µολύβι) γ) εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. ΜΕΡΟΣ Α : α) Από τις 15 ασκήσεις να λύσετε ΜΟΝΟ τις 1. β) Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 5 (πέντε) µονάδες. 1. Να λύσετε την εξίσωση χ χ 3 = 0.. Να βρείτε το πεδίο ορισµού και το πεδίο τιµών της συνάρτησης: ψ = χ 3 χ + 3. Αν συνω = και 180 ω 70, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: 10 A = 1 εφω 8στεµω 4. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το σηµείο (-,3) και έχει κλίση ίση 3 µε Να λύσετε το σύστηµα: χ + 3ψ = 4 χ + ψ = 6. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ), φέρουµε το ύψος Α. Αν Γ = 16cm και Α = 1cm να βρείτε το µήκος: α) της προβολής της πλευράς ΑΒ πάνω στη ΒΓ β) της κάθετης πλευράς ΑΒ 7. Να βρείτε τις τιµές της παραµέτρου κ ώστε οι ευθείες ε 1 : ψ = (κ + 1)χ + 3 ε : (κ + 4)χ κψ = 7 να είναι παράλληλες. ( χ + χ + 3)(3 4χ) 8. Να λύσετε την ανίσωση: 0 ( χ 4) εφα τεµα ηµα 9. Να αποδείξετε την ταυτότητα: = εφ α ηµα 1

46 10. A Στο διπλανό σχήµα η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη του κύκλου (Κ,R) στο σηµείο Γ και Μ το µέσο του τόξου ΒΓ. Αν η γωνία ΑΒΓ ˆ 0 = 68 και το τόξο ΒΓ = 100 0,να υπολογίσετε τις γωνίες ΑΓ ˆ, K ΓΒΜ ˆ και ΚΑ ˆ Γ. ( Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας ) B M (ε) Γ 11. Ένα τρίγωνο έχει περίµετρο 13cm. Η µεγαλύτερη πλευρά του είναι διπλάσια της µικρότερης και το τριπλάσιο της µεσαίας πλευράς του είναι διπλάσιο της µεγαλύτερης. Να βρείτε το µήκος των πλευρών του τριγώνου. 1. Αν η εξίσωση χ συνθ + (ηµθ) χ + συνθ = 0 έχει ρίζες ίσες και 0 0 <θ<90 0, να υπολογίσετε τη γωνία θ. 13. ίνεται η εξίσωση χ - λχ + 4 = 0. α) Να σχηµατίσετε εξίσωση ου χ1 χ βαθµού που έχει ρίζες ρ 1 = και ρ = χ χ1 β) Για ποιες τιµές της παραµέτρου λ η εξίσωση που σχηµατίστηκε έχει ρίζα τον αριθµό 1; 14. Να δείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Αˆ = 90 0 ) ισχύει η σχέση: συν(β + Γ) συν(γ + Β) = εφβ 15. ίνεται το τριώνυµο f (χ) = χ + αχ + γ µε γ < 0. α) Να δείξετε ότι το τριώνυµο έχει δύο ρίζες πραγµατικές άνισες. β) Αν ρ 1, ρ είναι ρίζες του τριωνύµου f (χ) και ρ 1 < α < ρ να αποδείξετε ότι α + γ < 0. ΜΕΡΟΣ Β : α) Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε ΜΟΝΟ τις 4. β) Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 10 (δέκα) µονάδες. 1. ίνεται η εξίσωση λχ - (λ + )χ λ = 0, λ 0. Να βρείτε την παράµετρο λ ώστε η εξίσωση να έχει: α) ρίζες αντίθετες β) ρίζες πραγµατικές γ) το άθροισµα των ριζών ίσο µε τα του γινοµένου των ριζών της εξίσωσης. 3

47 . Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (χ) = αχ + βχ + γ. (Από το σχήµα) (α) Να βρείτε: ι) Το πεδίο τιµών της συνάρτησης f (χ) ιι) Τις συντεταγµένες της κορυφής της καµπύλης ιιι) Τις συντεταγµένες των σηµείων τοµής της καµπύλης µε τους άξονες ιν) Τις ρίζες της εξίσωσης f (χ) = 0 v) Την τιµή του f(5) και το πρόσηµο του f (- 30 ) vι) Την τιµή του α (β) Να βρείτε και να δικαιολογήσετε: ι) Το πρόσηµο της διακρίνουσας της εξίσωσης f (χ) = 10 ιι) Τις τιµές του κ R για τις οποίες ισχύει η σχέση α.f(κ) > 0 3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται η κορυφή Γ(-3,3), το µέσο Μ(,-1) της πλευράς ΒΓ και οι εξισώσεις της πλευράς ΑΒ: χ + ψ = και της διαµέσου ΑΜ: χ + ψ = µ Να βρείτε: (α) την τιµή του µ (β) τις συντεταγµένες της κορυφής Α (γ) την εξίσωση του ύψους Α (δ) τις συντεταγµένες του σηµείου τοµής της πλευράς ΑΒ µε τον άξονα των χ. 4. Από σηµείο Ε εκτός κύκλου, φέρουµε εφαπτόµενο τµήµα ΕΓ ( Γ σηµείο επαφής ) και τέµνουσα ΕΒΑ ( ΕΒ<ΕΑ ), που περνά από το κέντρο του κύκλου. Φέρουµε την κάθετη πάνω στην ΕΑ στο σηµείο Ε, που τέµνει την προέκταση της ΑΓ στο σηµείο. Να δείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΕ είναι όµοια. β) ΕΓ = Ε ηµ(90 + ω) συν(360 + ω) εφ (180 + ω) 5. α) Να δείξετε ότι: = ηµ ω. τεµ ( ω) εφ(360 ω) σφ(70 + ω) β) Αν ισχύει η σχέση εφ ω = 1+ εφ θ να δείξετε ότι συν θ = συν ω. 6. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, ( Α ˆ = 90 ). Αν είναι το µέσο της πλευράς ΑΒ και Ε ΒΓ ( Ε σηµείο πάνω στην ΒΓ ), να δείξετε ότι : α) (ΓΕ) (ΒΕ) = (ΑΓ) β) σφ ΑΓ ˆ = εφ Βˆ Γκλόρια Σέπου ιευθύντρια 3

48 4

49 ΛΥΚΕΙΟ ΑΡΧΙΕΠΙΣΚΟΠΟΥ ΜΑΚΑΡΙΟΥ Γ ΑΣΟΥΠΟΛΗΣ ΛΕΥΚΩΣΙΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ : ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 006 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ : A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 6 IOYNIOY ΧΡΟΝΟΣ :.30 ώρες Ο ΗΓΙΕΣ: 1) Επιτρέπεται η χρήση µη προγραµµατιζόµενης υπολογιστικής µηχανής που είναι σφραγισµένη από το σχολείο. ) Να γράφετε µόνο µε µελάνι ( για τα σχήµατα επιτρέπεται και το µολύβι) 3) εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υλικού 4) Τα σχήµατα των ασκήσεων να µεταφέρονται στο γραπτό σας. Το εξεταστικό δοκίµιο αποτελείται από τέσσερις (4) σελίδες. ΜΕΡΟΣ Α : Aπο τις 15 ασκήσεις να λύσετε µόνο τις 1. Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 1 µονάδα. 1. Να λύσετε την εξίσωση :. Να λύσετε την ανίσωση : 3x 5x x + =0 + 3x Nα βρείτε το πεδίο ορισµού και το πεδίο τιµών της συνάρτησης : 3x 1 ψ = x Aν x1, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης x x+ 3= 0, να υπολογίσετε χωρίς να λύσετε την εξίσωση τις τιµές των πιο κάτω παραστάσεων: α) x1 x + β) x1. x γ) δ) 5 5 x x x x + x x Αν συνθ =, 90 < θ < 180, να υπολογίσετε τους υπόλοιπους τριγωνοµετρικούς 5 αριθµούς της γωνίας θ. 6. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από τα σηµεία (,1) και (3, 4). 7. Να υπολογίσετε την τιµή της πιο κάτω παράστασης, χωρίς τη χρήση υπολογιστικής µηχανής : Α= συν ηµ + εφ συν

50 8. Στο ίδιο σύστηµα αξόνων να κατασκευάσετε (πρόχειρα διαγράµµατα ) τις γραφικές παραστάσεις των καµπύλων: α) ψ = ( x 1) β) ψ = x + 9. Η ευθεία ( κ 1) x + ψ =9 περνά από το σηµείο Α (3,0). α) Να βρείτε το κ. β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το σηµείο Α και είναι παράλληλη µε την ευθεία 3x + 5ψ = Ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α= 90 ), έχει ΑΒ=3cm και ΑΓ=4cm Να βρείτε: α) το µήκος της υποτείνουσας ΒΓ β) το µήκος του ύψους Α γ) το µήκος των προβολών Β και Γ των καθέτων πλευρών του τριγώνου στην υποτείνουσα. Α Γ Β 11. Να βρείτε για ποιες τιµές του µ η πιο κάτω εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές. ( µ 5) x ( µ ) x 1 + =0 1. Να αποδείξετε την πιο κάτω ταυτότητα: εφx ηµ x = 1+ συν x εφx ηµ x 13. ίνεται κύκλος (Κ, R) µε τόξο 0 ΑΒ = 10 και το σηµείο Μ το µέσο του ΑΒ. Στο Μ φέρουµε εφαπτοµένη του κύκλου που τέµνει την προέκταση της ακτίνας ΚΒ( προς το Β), στο σηµείο Γ. Να αποδείξετε ότι το σηµείο Β είναι το µέσο της ΚΓ. A M K B Γ 14. Να λύσετε το σύστηµα : 3x + ψ = 4 ψ + 4xψ = Από σηµείο Α εκτός κύκλου φέρουµε τα εφαπτόµενα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΒ, ΑΓ και µια τέµνουσα Α Ε του κύκλου (βλέπε σχήµα). Να αποδείξετε ότι: α) τα τρίγωνα ΑΒ και ΑBE είναι όµοια β) τα τρίγωνα ΑΓ και ΑΓΕ είναι όµοια γ) ισχύει η σχέση ( Β ).( ΓΕ ) = ( ΒΕ).( Γ ) Ε Β Γ Α

51 ΜΕΡΟΣ Β : Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε µόνο τις 4. Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε µονάδες. 1. Να λύσετε την πιο κάτω ανίσωση : ( x 3x+ )( x 1) ( x + 1)( 3 x) 0. ίνεται η εξίσωση: ( λ ) x ( λ ) x ( λ ) = 0 λ Να βρείτε το λ ώστε α) Οι ρίζες της να είναι αντίθετες β) Οι ρίζες της να είναι αντίστροφες γ) Το γινόµενο των ριζών της να είναι ίσο µε το άθροισµα τους. δ) Το γινόµενο των ριζών της να είναι µεγαλύτερο της µονάδας. 3. ίνεται η πιο κάτω γραφική παράσταση της συνάρτησης µε τύπο f( x) = α x + βx+ γ. Να βρείτε: α) το πεδίο ορισµού και πεδίο τιµών της συνάρτησης β) το πρόσηµο του α γ) τις ρίζες της εξίσωσης αx βx γ + + = 0 δ) την εξίσωση του άξονα συµµετρίας ε) τις συντεταγµένες του σηµείου στο οποίο η f ( x ) παίρνει ελάχιστη τιµή. στ) τις τιµές των α, β, και γ. f(x) x 4. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη µε την ευθεία 3x ψ = 5 και περνά από το σηµείο τοµής των ευθειών x ψ = 4 και x + 3ψ = 9. β)αν x1, x οι ρίζες της εξίσωσης x 3x+ 5= 0, να σχηµατίσετε εξίσωση oυ βαθµού µε x1+ 1 x + 1 ρίζες ρ1 = και ρ =. x x 5. α) Αν ( ). ( 90 ). ( ) 0 0 ηµ ( 180 ω). ηµ ( 70 + ω). ηµ ( ω ) εφ ω συν ω συν ω = υπολογίσετε την γωνία ω. β) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες. και αν ηµ θ x εφθ x στεµ θ τεµ θ 70 < ω < κπ.. +. = 0 θ, κ Ζ δεν να 3

52 6. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ που είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο µε διάµετρο ΑΒ. Στο σηµείο Α φέρουµε την εφαπτοµένη του κύκλου. Η διχοτόµος της γωνίας Β τέµνει την ΑΓ στο, τον κύκλο στο Σ και την εφαπτοµένη στο Ε. Να δείξετε ότι : α) Η ΑΣ είναι διχοτόµος της γωνίας ΕΑ. β) ( ΓΒ).( ΣΕ ) = ( Γ ).( ΣΑ) Ο ιευθυντής Κ.Μάρκου 4

53 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΥΚΚΟΥ Β ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 006 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ : A Ηµεροµηνία : 6 / 05 / 006 Χρόνος :,5 ώρες Το εξεταστικό δοκίµιο αποτελείται από 4 σελίδες. Ο ΗΓΙΕΣ: Επιτρέπεται η χρήση µη προγραµµατιζόµενης υπολογιστικής µηχανής. Να γράψετε µόνο µε µπλε ή µαύρο µελάνι (τα σχήµατα µπορείτε να τα κάνετε µε µολύβι). Τα σχήµατα των ασκήσεων να µεταφέρονται στο γραπτό σας. εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υλικού. ΜΕΡΟΣ Α Από τις 15 ασκήσεις να λύσετε µόνο τις 1. Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 5 µονάδες. 1. Να λύσετε την εξίσωση : x + 5x 3 = 0.. Να βρείτε το πεδίο ορισµού και το πεδίο τιµών της συνάρτησης : 3. Να λύσετε την ανίσωση : (x 5)(x 3x 10) 0. ψ= x 1 x Να λύσετε το σύστηµα : 5x ψ = 1 ψ+ ω = 3 ω x = 5 5. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης, χωρίς τη χρήση υπολογιστικής µηχανής : o o o o Α=4ηµ30-3εφ45-3σφ30 -συν Να απλοποιήσετε το κλάσµα : 3 x x 3x x Να βρείτε την τιµή του κ R έτσι ώστε η ευθεία (ε) : 3x (κ + 1)ψ = 4 να είναι : (α) παράλληλη µε την ευθεία (ε 1):ψ = x 4 (β) κάθετη στην ευθεία (ε ):ψ = x+ 1. 3