ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθηγητής. Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθηγητής. Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις"

Transcript

1

2

3 ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθηγητς Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις

4 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις Συγγραφ Βασίλης Αντωνόπουλος ISBN: Copright ΣΕΑΒ, 6 Το παρόν έργο αδειοδοτείται υπό τους όρους της άδειας Crativ Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορικ Χρση - Παρόμοια Διανομ.. Για να δείτε ένα αντίγραφο της άδειας αυτς επισκεφτείτε τον ιστότοπο ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΩΝ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 578 Ζωγράφου

5

6

7 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις v ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε όλες τις διαδικασίες φυσικών, χημικών και βιολογικών φαινόμενων υπάρχει ο όρος της ταχύτητας του ρυθμού μεταβολς. Στα μαθηματικά η ταχύτητα και ο ρυθμός μεταβολς εκφράζονται με την παράγωγο. Οι βασικές αρχές της διατρησης της μάζας και της ενέργειας περιέχουν και τον όρο της μεταβολς της εξεταζόμενης μεταβλητς με το χρόνο την απόσταση. Οι εξισώσεις που περιγράφουν αυτά τα φαινόμενα περιέχουν κάποια παράγωγο τα διαφορικά των μεταβλητών γι αυτό λέγονται διαφορικές εξισώσεις. Οι διαφορικές εξισώσεις με απλά λόγια είναι η αναπαράσταση των φυσικών, χημικών και βιολογικών φαινόμενων στη γλώσσα των μαθηματικών. Στις εφαρμοσμένες επιστμες, όπως είναι η Γεωργικ Μηχανικ, η Υδραυλικ, η Μηχανολογία, η Μηχανικ Περιβάλλοντος, η Χημεία, η Γεωλογία και η Βιολογία, οι διαφορικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν πολλά από τα προβλματά τους. Για τους λόγους αυτούς σε κάθε πρόγραμμα Σχολών Τμημάτων των εφαρμοσμένων επιστημών μηχανικών υπάρχει μάθημα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών - Διαφορικών Εξισώσεων. Στο πρόγραμμα της κατεύθυνσης των Εγγείων Βελτιώσεων, Εδαφολογίας και Γεωργικς Μηχανικς της Γεωπονικς Σχολς περιλαμβάνεται το μάθημα «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά» και στα παλαιότερα προγράμματα της Μεταπτυχιακς ειδίκευσης «Έγγειες Βελτιώσεις» το μάθημα «Ανώτερα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά». Για τις ανάγκες των παραπάνω μαθημάτων έχει γραφεί το βιβλίο με τίτλο «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις», που είναι συνέχεια των Πανεπιστημιακών Σημειώσεων με τίτλο «Συνθεις διαφορικές εξισώσεις. ΙΙ Ασκσεις και Προβλματα». Ο σκοπός της συγγραφς δεν είναι να γραφεί ένα άλλο βιβλίο Διαφορικών Εξισώσεων, αλλά να παρουσιαστούν και να δοθούν κυρίως λυμένες ασκσεις και προβλματα που περιγράφονται με διαφορικές εξισώσεις και λιγότερη θεωρία. Παρουσιάζονται επίσης αρκετά προβλματα από την ποιότητα των υδατικών πόρων, τη φυσικ, την υδραυλικ, την αραίωση διαλυμάτων, των χημικών αντιδράσεων, των αρδεύσεων, των στραγγίσεων, της υδρολογίας, της διατρησης της μάζας και της δυναμικς πληθυσμών. Θεσσαλονίκη 6 Βασίλης Αντωνόπουλος Καθηγητς

8 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις vi

9 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος Περιεχόμενα. Ορισμοί. Γενικά. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Λύση μιας διαφορικς εξίσωσης.4 Προσδιορισμός της διαφορικς εξίσωσης μίας συνάρτησης.5 Προβλματα αρχικς τιμς και προβλματα οριακς τιμς.6 Παράγωγος και διαφορικό συνάρτησης.7 Αόριστο ολοκλρωμα 5.8 Ασκσεις ου Κεφαλαίου 6. Διαφορικές εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού. Διαφορικές εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές. Διαφορικές εξισώσεις αμέσως ολοκληρώσιμες ακριβείς. Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης.4 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης.5 Ολοκληρωτικοί παράγοντες διαφορικς εξίσωσης.5. Προσδιορισμός του ολοκληρωτικού παράγοντα 4.5. Διαδικασία προσδιορισμού του ολοκληρωτικού παράγοντα 5.6 Διαφορικές εξισώσεις του Brnolli 6.7 Διαφορικές εξισώσεις του Riccati 7.8 Ασκσεις: Διαφορικές εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού 9.9 Εφαρμοσμένα Προβλματα των διαφορικών εξισώσεων ης τάξης και βαθμού 4.9. Διαδικασία επίλυσης φυσικών προβλημάτων με διαφορικές εξισώσεις 4.9. Προβλματα διάσπασης ραδιενεργών ουσιών 4.9. Προβλματα ποιότητας νερού Προβλματα φυσικς Προβλματα αραίωσης διαλυμάτων Προβλματα δυναμικς πληθυσμών Προβλματα αρδεύσεων Προβλματα υδραυλικς Προβλματα ισοζυγίου μάζας σε λίμνες/δεξαμενές 6. Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και Ανώτερου Βαθμού 65. Γενικά 65

10 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις viii. Διαφορικές εξισώσεις επιλύσιμες ως προς την παράγωγο p. Διαφορικές εξισώσεις επιλύσιμες ως προς την εξαρτημένη μεταβλητ 66.4 Διαφορικές εξισώσεις επιλύσιμες ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητ 66.5 Εξισώσεις Clairat 67.6 Εξισώσεις Lagrang 67.7 Ιδιάζουσες λύσεις των διαφορικών εξισώσεων ανώτερου βαθμού 68.7 Ασκσεις Διαφορικών Εξισώσεων ης τάξης και Ανώτερου βαθμού Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης Ομογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις της ης τάξης Ομογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Πλρεις μη ομογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις της ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μέθοδος των απροσδιόριστων συντελεστών μέθοδος της δοκιμαστικς συνάρτησης Μέθοδος του Lagrang μέθοδος της μεταβολς των παραμέτρων Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης των Elr-Cach Επίλυση των μη ομογενών γραμμικών διαφορικών εξισώσεων ης τάξης όταν είναι γνωστ μία λύση της αντίστοιχης ομογενούς Τέλειες ακριβείς διαφορικές εξισώσεις ης τάξης Λύση των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων ης τάξης με μεταβλητούς συντελεστές με μετασχηματισμούς των μεταβλητών Λύση διά του μετασχηματισμού της εξαρτημένης μεταβλητς Λύση διά του μετασχηματισμού της ανεξάρτητης μεταβλητς Προσδιορισμός μιας ειδικς λύσης της ομογενούς διαφορικς εξίσωσης ης τάξης με μεταβλητούς συντελεστές Ασκσεις διαφορικών εξισώσεων γραμμικών ης τάξης Προβλματα επιλύσιμα με διαφορικές εξισώσεις ης τάξης 8 5. Συστματα Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές 9 Ασκσεις Συστημάτων Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές 4 Προβλματα επιλύσιμα με συστματα διαφορικών εξισώσεων 5 6. Διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης 6 6. Διαφορικές εξισώσεις επιλύσιμες με διαδοχικές ολοκληρώσεις 6 6. Διαφορικές εξισώσεις που δεν περιέχουν την εξαρτημένη μεταβλητ 6 6. Διαφορικές εξισώσεις που δεν περιέχουν την εξαρτημένη μεταβλητ Διαφορικές εξισώσεις ομογενείς ως προς,,,,. (ν). 6 Ασκσεις Διαφορικών Εξισώσεων Ανώτερης Τάξης 6 7. Επίλυση Διαφορικών εξισώσεων ης τάξης με τη Μέθοδο των Εκθετικών σειρών 7 7. Γενικά 7 65

11 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις i 7. Διαφορικ εξίσωση του Bssl 7 7. Τροποποιημένη διαφορικ εξίσωση του Bssl Ασκσεις διαφορικών εξισώσεων ης τάξης επιλύσιμες με τη μέθοδο των εκθετικών σειρών Συναρτσεις Γάμμα Συνάρτηση σφάλματος (rror fnction) 9 8. Μετασχηματισμοί Laplac Γενικές Αρχές Μετασχηματισμός βασικών συναρτσεων με τη μέθοδο των μετασχηματισμών Laplac Μετασχηματισμός των παραγώγων συναρτσεων Μετασχηματισμός των ολοκληρωμάτων συναρτσεων 8.5 Αντίστροφοι μετασχηματισμοί Θεώρημα συνέλιξης δύο συναρτσεων Λύση προβλημάτων αρχικς τιμς Λύση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με συντελεστές πολυώνυμα προβλματα αρχικς τιμς Ασκσεις μετασχηματισμών Laplac Ασκσεις για λύση 6 9. Διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους 8 9. Συναρτσεις δυο μεταβλητών μερικά διαφορικά 8 9. Μερικά διαφορικά και παράγωγοι 8 9. Σύνθετες συναρτσεις Αλλαγ των ανεξάρτητων μεταβλητών 9.5 Μερικές διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν προβλματα υδραυλικς 9.6 Κατάταξη των μερικών διαφορικών εξισώσεων Ασκσεις 6. Σειρές Forir. Γενικά. Μορφ των σειρών Forir 4. Σειρές Forir για οποιαδποτε περίοδο 6.4 Σειρές Forir του ημιτόνου του συνημιτόνου 7.5 Μετασχηματισμοί Forir 8.6 Λυμένες Ασκσεις 4.7 Πρόσθετες Ασκσεις για λύση 47. Μέθοδοι Επίλυσης Διαφορικών εξισώσεων με Μερικές Παραγώγους 5. Γενικά 5. Μέθοδος των μετασχηματισμών Laplac 5

12 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις.. Επίλυση της μονοδιάστατης εξίσωσης διάχυση 5.. Επίλυση της μονοδιάστατης εξίσωσης μεταφοράς μάζας 57.. Λύση της εξίσωσης μεταφορά μάζας με μετασχηματισμό της στην εξίσωση διάχυσης 6..4 Λύση της εξίσωσης μεταφορά μάζας με μετασχηματισμό της στην εξίσωση διάχυσης 66. Μέθοδος των μεταβλητών ομοιότητας 7.. Επίλυση της μονοδιάστατης εξίσωσης διάχυσης 7.. Επίλυση της μονοδιάστατης εξίσωσης κίνησης του νερού προς φρεάτιο 75.4 Μέθοδος διαχωρισμού των μεταβλητών Επίλυση της μονοδιάστατης εξίσωσης διάχυσης της θερμότητας Επίλυση της μονοδιάστατης εξίσωσης μη μόνιμης ακτινικς ρος του υπόγειου νερού 8.4. Επίλυση της μονοδιάστατης εξίσωσης διάχυσης της θερμότητας στο έδαφος Αναλυτικ λύση για την περίπτωση που είναι Τα 87.5 Πρόσθετες Ασκσεις 89 Βιβλιογραφία 97 Παράρτημα 99

13 . Ορισμοί. Ορισμοί. Γενικά Διαφορικ εξίσωση είναι μια εξίσωση μιας άγνωστης συνάρτησης, που περιέχει τουλάχιστο μία παράγωγο της συνάρτησης. Συμβολισμός F(,,,,. (ν) ) = (.) Οι διαφορικές εξισώσεις μιας συνάρτησης () ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητ λέγονται συνθεις διαφορικές εξισώσεις. Οι διαφορικές εξισώσεις που περιέχουν μερικές παραγώγους μιας άγνωστης συνάρτησης ως προς πολλές μεταβλητές λέγονται μερικές διαφορικές εξισώσεις εξισώσεις με μερικές παραγώγους. σ αυτ. Τάξη μιας διαφορικς εξίσωσης είναι η τάξη της υψηλότερης παραγώγου, που περιέχεται Παραδείγματα. ης τάξης διαφορικ εξίσωση: ( ) sin ης τάξης διαφορικ εξίσωση: ( ( ) ) sin C C C t D ης τάξης διαφορικ εξίσωση: ( sin ) Βαθμός της διαφορικς εξίσωσης είναι ο βαθμός της υψηλότερης παραγώγου που περιέχεται σ αυτ. Παραδείγματα

14 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις ου βαθμού: ( ου βαθμού: ) sin ( ) sin ( ) sin. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις Γραμμικ διαφορικ εξίσωση ν-οστς τάξης είναι κάθε διαφορικ εξίσωση που μπορεί να γραφεί με τη μορφ: ( ) a () ( ) a () ( )... a o () r() όπου αο(), α() αν-() και r() είναι συναρτσεις του. Παραδείγματα: Γραμμικ διαφορικ εξίσωση ης τάξης p() r() Γραμμικ διαφορικ εξίσωση ης τάξης p() q() r() Γραμμικ διαφορικ εξίσωση ης τάξης p() q() r() (.) Γραμμικές ομογενείς διαφορικές εξισώσεις ν-οστς τάξης είναι οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις για τις οποίες r() =, δηλ. ( ) a () ( ) a () ( )... a o (). (.). Λύση μιας διαφορικς εξίσωσης Λύση ολοκλρωμα της διαφορικς εξίσωσης F(,,,.. ( ) λέγεται κάθε συνάρτηση ) (.4) f () (.5) που επαληθεύει εκ ταυτότητος την εξίσωση (.4), δηλαδ F(,f(),f (),f ()... f ( ) ()) (.6) Η καμπύλη που παριστάνει η λύση =f() λέγεται ολοκληρωτικ καμπύλης της διαφορικς εξίσωσης (.4).

15 . Ορισμοί Γενικ λύση ολοκλρωμα μιας διαφορικς εξίσωσης νιοστς τάξης λέγεται η συνάρτηση = σ(, c, c,...cν) που περιέχει ν ανεξάρτητες αυθαίρετες σταθερές και επαληθεύει την εξίσωση (.4). Μερικ ειδικ λύση/ολοκλρωμα μιας διαφορικς εξίσωσης λέγεται η συνάρτηση που προκύπτει από τη γενικ λύση της για ορισμένες τιμές των παραμέτρων της. Ιδιάζουσες λύσεις μιας διαφορικς εξίσωσης είναι συναρτσεις που επαληθεύουν τη διαφορικ εξίσωση, αλλά δεν προκύπτουν από τη γενικ τους λύση..4 Προσδιορισμός της διαφορικς εξίσωσης μίας συνάρτησης Η διαφορικ εξίσωση μίας συνάρτησης (γενικς λύσης) που περιέχει ν αυθαίρετες σταθερές, προσδιορίζεται με διαδοχικές παραγωγίσεις της συνάρτησης ν φορές ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητ με αποτέλεσμα ν εξισώσεις. Η απάλειψη των ν παραμέτρων από το σύστημα των εξισώσεων αυτών δίνει τη διαφορικ εξίσωση..5 Προβλματα αρχικς τιμς και προβλματα οριακς τιμς Η ολοκληρωμένη περιγραφ ενός προβλματος γίνεται με την διαφορικ εξίσωση και κάποια συνθκη την οποία ικανοποιεί η διαφορικ εξίσωση. Στις περισσότερες βοηθητικές συνθκες, η τιμ της άγνωστης συνάρτησης η τιμ μια παραγώγου της περιγράφεται σε ένα σημείο =o. Αν όλες οι βοηθητικές συνθκες περιγράφονται στο ίδιο σημείο o, αυτές λέγονται αρχικές συνθκες. Το σημείο o λέγεται αρχικό σημείο και η περιγραφόμενη τιμ αρχικ τιμ. Ένα πρόβλημα αρχικς τιμς συνίσταται στον προσδιορισμό της λύσης της διαφορικς εξίσωσης που ικανοποιεί τις αρχικές συνθκες. Αν οι βοηθητικές συνθκες ορίζονται σε περισσότερα από ένα σημεία, τότε αυτά λέγονται οριακές συνθκες. Ένα πρόβλημα οριακς τιμς συνίσταται στον προσδιορισμό μίας λύσης της διαφορικς εξίσωσης που να ικανοποιεί τις οριακές συνθκες. Παράδειγμα. Η λύση της διαφορικς εξίσωσης + = που ικανοποιεί τις αρχικές συνθκες () =, () = είναι ένα πρόβλημα αρχικς τιμς. Το σημείο o= είναι το αρχικό σημείο και οι σταθερές και είναι οι αρχικές τιμές. Η λύση της διαφορικς εξίσωσης + = που ικανοποιεί τις οριακές συνθκες () =, () = είναι ένα πρόβλημα οριακς τιμς..6. Παράγωγος και διαφορικό συνάρτησης Έστω=f() μια συνάρτηση που συνδέει τις μεταβλητές ποσότητες και. Αν η μεταβολ της ανεξάρτητης μεταβλητς από το o στο συμβολιστεί με Δ = - o και η

16 4 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις αντίστοιχη μεταβολ της εξαρτημένης μεταβλητς Δ=f()-f(o), τότε η μέση μεταβολ της στο διάστημα (o, o+δ) θα είναι f () f ( o ) f ( o ) f ( o ) () (.7) o Το όριο της μέσης μεταβολς λ(), στο o ( Δ ) συμβολίζεται με f () και περιγράφει τη στιγμιαία μεταβολ της συνάρτησης στο σημείο o, δηλαδ f ( o ) lim o f () f ( o o ) lim f ( o ) f ( Η συνάρτηση f(o) ενός υποσυνόλου του πεδίου τιμών λέγεται παράγωγος της f(). Η παράγωγος συμβολίζεται με τις εξς εκφράσεις: df d, f (), d d o ) (.8) ' d ' f,,,, D, D, Df (.9) d Η μερικ παράγωγος μιας συνάρτησης =f(,,z, t) πολλών μεταβλητών ως προς μια από αυτές, για παράδειγμα την ορίζεται από τη σχέση f (,, z,...t) f (,, z,...t) lim lim (.) Στην περίπτωση αυτ εξετάζεται μόνο η μεταβολ της μιας ανεξάρτητης μεταβλητς. Μια συνάρτηση των n μεταβλητών έχει n μερικές παραγώγους πρώτης τάξης. Ο συμβολισμός των μερικών παραγώγων έχει ως εξς: f,,, f Οι μερικές παράγωγοι και (.) μιας συνάρτησης =f(,) λέγονται μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης πρώτες μερικές παράγωγοι. Με την παραγώγιση αυτών των παραγώγων ακόμη μια φορά, προκύπτουν οι μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης. f (, ), f (, ), f (, ), f (, ) (.) Διαφορικά των μεταβλητών, είναι κάθε μεταβολ τους που μπορεί να είναι αυθαίρετη τιμ (d=δ). Το διαφορικό μιας συνάρτησης =f() για μια ορισμένη τιμ του και ένα δεδομένο διαφορικό d ορίζεται από τη σχέση d f ()d (.) Το μερικό διαφορικό μιας συνάρτησης =f(,,z, t) ορίζεται από τη σχέση d d (.4) Αν =f(,, t) είναι μια διαφορίσιμη συνάρτηση, τότε το ολικό διαφορικό ορίζεται από τη σχέση d d d... dt (.5) t

17 . Ορισμοί 5 Κάθε συνεχς συνάρτηση πολλών μεταβλητών που έχει μερικές παραγώγους ως προς όλες τις μεταβλητές σε ένα δεδομένο σημείο είναι διαφορίσιμη σ αυτό το σημείο. H σωματιδιακ παράγωγος ορίζεται ως εξς: D Dt v w (.6) t z Για παράδειγμα, η σωματιδιακ παράγωγος της συγκέντρωσης C είναι DC C C C C v w (.7) Dt t z.7 Αόριστο ολοκλρωμα Αόριστο ολοκλρωμα αρχικ συνάρτηση της συνάρτησης f() στο διάστημα [α,β] καλείται η συνάρτηση F() παραγωγίσιμη στο [α,β], που ικανοποιεί τη σχέση F () = f() (.8) Για τη συνάρτηση F() χρησιμοποιείται ο συμβολισμός F() = f()d (.9) Στο συμβολισμό αυτό, το σύμβολο είναι το σύμβολο της ολοκλρωσης, ενώ το γινόμενο f()d λέγεται στοιχείο της ολοκλρωσης. Η πράξη υπολογισμού του αόριστου ολοκληρώματος μιας συνάρτησης λέγεται ολοκλρωση. Η γραφικ παράσταση μιας αρχικς συνάρτησης f() καλείται ολοκληρωτικ καμπύλη της συνάρτησης f(). Επειδ αν η F() είναι μία παράγουσα συνάρτηση της f() και επειδ το ίδιο ισχύει για την F()+c, για οποιαδποτε σταθερά c, γιατί [F() +c] = F () = f() (.) ο πλρης ορισμός του αόριστου ολοκληρώματος (εξ..) είναι ο εξς: F() = f()d + c (.) Ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώματος F () = (f()d) = f() (.) df()d = f()d (.) δηλαδ τα σύμβολα d,, όταν είναι το ένα μετά το άλλο αλληλοαναιρούνται kf()d = kf()d (.4) [cf() + cf() + cf() + ]d = cf()d+ cf()d + cf()d + (.5) Κανόνας διαδοχικς ολοκλρωσης ()dw() ()w() w()d() (.6)

18 6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις.8 Ασκσεις ου Κεφαλαίου Λυμένες Ασκσεις Άσκηση.. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση =9+ - αποτελεί λύση της διαφορικς εξίσωσης + = 9 () Απάντηση Για να δειχθεί ότι η συνάρτηση =9+ - αποτελεί λύση της διαφορικς εξίσωσης () θα πρέπει να υπολογιστεί η. Είναι = - - Αντικαθιστώντας την και στην εξ. () έχουμε + = = 9 () Άρα η δοθείσα συνάρτηση επαληθεύει τη διαφορικ εξίσωση. Άσκηση.. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση = α + β αποτελεί λύση της διαφορικς εξίσωσης = () Απάντηση Για να δειχθεί ότι η συνάρτηση = α + β αποτελεί λύση της διαφορικς εξίσωσης () θα πρέπει να υπολογιστεί η και. Είναι = α + β = α + 6β Αντικαθιστώντας την, και στην εξ. () έχουμε = 4 (α + 6β) 4 (α + β ) + 6 (α + β ) = = α 4 + 6β 4 8α + β + 6α + 6β = Άρα η δοθείσα συνάρτηση επαληθεύει τη διαφορικ εξίσωση. Άσκηση.. Να δειχθεί ότι οι συναρτσεις = c + (-)c + () και = -.5 () αποτελούν λύσεις της διαφορικς εξίσωσης ( ) +(-) + = () Απάντηση Για να δειχθεί ότι η συνάρτηση = c + (-)c + αποτελεί λύση της διαφορικς εξίσωσης () θα πρέπει να υπολογιστεί η. Είναι = c (4)

19 . Ορισμοί 7 Αντικαθιστώντας την και στην εξ. () έχουμε c +( -)c-c - (-)c -+= (5) Άρα η συνάρτηση () επαληθεύει τη διαφορικ εξίσωση και περιέχει μια αυθαίρετη σταθερά, που σημαίνει ότι είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (). Η αντικατάσταση της συνάρτησης () και της παραγώγου της = -.5 (6) στην εξ. () δίνει (-.5) +(-)(-.5) = = Άρα η συνάρτηση () επαληθεύει τη διαφορικ εξίσωση, επειδ όμως δεν περιέχει καμία αυθαίρετη σταθερά, ούτε προέρχεται από την γενικ λύση () αποτελεί ιδιάζουσα λύση της διαφορικς εξίσωσης (). Άσκηση.4. Να βρεθεί η διαφορικ εξίσωση η οποία έχει γενικ λύση τη συνάρτηση ( a) a () Παραγωγίζεται η εξ. (): ( a) ' () Από την οποία a = + () Αντικατάσταση της παραμέτρου a από την εξ. () στην εξ. () δίνει ( ') ( ') ( ') ' (') Τελικό ( ' )d d (4) είναι η ζητούμενη διαφορικ εξίσωση. Άσκηση.5. Να βρεθεί η διαφορικ εξίσωση η οποία έχει γενικ λύση τη συνάρτηση = acosn + bsinn () Παραγωγίζεται η εξ. () δύο φορές: ' an sin n nb cosn '' an cosn n bsin n Στις τρεις εξισώσεις (), () και () υπάρχουν δύο παράμετροι. Απαλείφουμε τις παραμέτρους a και b μεταξύ των εξ. () και (). Λύνουμε την () ως προς acosn και αντικαθιστούμε στην εξ. () acosn= -bsinn (4) () ()

20 8 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις '' n ( bsin n) n bsin n '' n Μια άλλη μεθοδολογία βασίζεται στην παραδοχ ότι οι εξισώσεις () μέχρι () αποτελούν σύστημα τριών εξισώσεων με δυο αγνώστους. Στην περίπτωση αυτ η ορίζουσα των συντελεστών θεωρείται μηδέν και η λύση έχει ως εξς: ' ' ' n Τελικά n sin n n sin '' nsin cosn cosn n cosn n n '' n cos n n cos sin n sin n n ' n n ' n sin n cosn sin n cosn n(sin n cos n)('' n (5) '' n (6) είναι η ζητούμενη διαφορικ εξίσωση. Άσκηση.6. Η εξίσωση Kostiakov, που δίνει την αθροιστικ διηθητικότητα του νερού στην περίπτωση κατάκλυσης του εδάφους, έχει ως εξς: b at () όπου a και b παράμετροι της εξίσωσης και t ο χρόνος. Να βρεθεί η διαφορικ εξίσωση που έχει λύση την παραπάνω εξίσωση. Παραγωγίζεται η εξ. () δύο φορές: ' '' b () abt b () ab(b )t Στις τρεις εξισώσεις (), () και () υπάρχουν δύο παράμετροι. Απαλείφουμε τις παραμέτρους a και b μεταξύ των εξ. () έως (). Διαιρούμε τις εξ. () και () και αντίστοιχα () και () μεταξύ τους και προκύπτει t με b t ' (4) ' b ' '' t με b Από τις εξ. (4) και (5) προκύπτει '' b t (5) ' ' ' ' '' ' t t t t (6) ' ' t'' t(') ' (7) είναι η ζητούμενη διαφορικ εξίσωση.

21 Άσκηση.7. Να προσδιοριστούν τα ολοκληρώματα i. sin d ii. d. Ορισμοί 9 Απάντηση: Θα χρησιμοποιηθεί ο κανόνας της διαδοχικς ολοκλρωσης ()dw() ()w() w()d() Είναι αντίστοιχα i. sin d d cos cos cosd ii. sin d cos dsin cos sin sin d cos sin cos d d d d d 4 Ασκσεις για λύση.8. Να δειχθεί ότι οι παρακάτω συναρτσεις αποτελούν λύσεις των αντίστοιχων διαφορικών εξισώσεων ), = 4 ) C C, ( ) c ), + = 4.9. Να δειχθεί ότι οι παρακάτω ανεξάρτητες συναρτσεις αποτελούν λύσεις των αντίστοιχων διαφορικών εξισώσεων, και ότι το γραμμικό άθροισμά τους αποτελεί επίσης λύση της, c ) c ), διαφορικ εξίσωση ( ) sin, cos, διαφορικ εξίσωση.. Να δειχθεί ότι οι παρακάτω ανεξάρτητες συναρτσεις αποτελούν λύσεις των αντίστοιχων διαφορικών εξισώσεων, αλλά το γραμμικό άθροισμά τους δεν αποτελεί λύση της ) ), cos, διαφορικ εξίσωση =, sin, διαφορικ εξίσωση

22 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις.. Να προσδιοριστούν οι διαφορικές εξισώσεις που έχουν γενικ λύση τις συναρτσεις d ) Bcos( t a) ( ) dt ) c ( )d d ) C C ( = ) 4) C C ( 5 6 ) 5) C C (( ) ) ).. Να δειχθεί ότι τα παρακάτω ζεύγη συναρτσεων αποτελούν λύσεις των αντίστοιχων συστημάτων διαφορικών εξισώσεων α) Το ζεύγος συναρτσεων 8 / c c / z = c c + αποτελεί λύση του συστματος διαφορικών εξισώσεων + () 4 - () z 4 () ' z z (4) β) Το ζεύγος συναρτσεων 8 cos sin C 4 4 = / 5 () 67 z = sin cos + αποτελεί λύση του συστματος διαφορικών εξισώσεων C -/5 + C () 4 z + = sin () + z = cos (4)

23 . Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού. Διαφορικές εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού Η γενικ μορφ των διαφορικών εξισώσεων ης τάξης και ου βαθμού έχει ως εξς: Q(, ) P(, ) (.) Ισοδύναμες μορφές: F(, ) P(, ) / Q(, ) (.) P(, )d Q(, )d (.) όπου P(,) και Q(,) είναι συναρτσεις των και.. Διαφορικές εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές Διαφορικές εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές λέγονται οι διαφορικές εξισώσεις που μπορούν να γραφούν με την εξς μορφ: P()d Q()d (.4) όπου P() συνάρτηση μόνο του και Q() συνάρτηση μόνο του. Γενικ λύση: ()d Q()d P c (.5) Παράδειγμα Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ης τάξης ( ) ( ) () Η Διαφορικ Εξίσωση () είναι με χωριζόμενες τις μεταβλητές, γιατί ( )d ( )d () d d ( ) Ολοκληρώνοντας την τελευταία εξ. () προκύπτει: () για ( ) () d d c (4) για - = ω, = -ω, d = dω και ( )d d d ( k)dk c k dk k dk c - = k, = - k, d = -dk

24 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις - ln ω + ω ln k + k = c ln ωk + ω k = c ln (-)(-) = c ln (-)(-) = c (5).. Διαφορικές εξισώσεις αμέσως ολοκληρώσιμες ακριβείς Θεώρημα: Μια διαφορικ εξίσωση P(, )d Q(, )d (.6) είναι αμέσως ολοκληρώσιμη ακριβς εάν και μόνο εάν οι συναρτσεις P(,) και Q(,) επαληθεύουν εκ ταυτότητος τη σχέση: P Q η γενικ λύση δίνεται από τη σχέση (.7) P(, ) Q( o)d c (.8) o όπου o είναι διευκολύνουσα σταθερά... Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Ομογενς συνάρτηση. Η συνάρτηση F(,) λέγεται ομογενς ως προς και νιοστού βαθμού, αν F(, ) F(, ) (.9) Παράδειγμα: συνάρτηση F(, ) ( ) F(, ) ( )( ) άρα η F(,) ομογενς ου βαθμού. Ιδιότητες ομογενών συναρτσεων. τότε ( ) F(, ) α) Αν F(,) και G(,) ομογενείς βαθμού ομογένειας n και m αντίστοιχα, F(,).G(,) είναι ομογενς n+m βαθμού F(,)/G(,) είναι ομογενς n-m βαθμού β) Αν F(,) ομογενς τότε αν χρησιμοποιηθεί ο μετασχηματισμός = η συνάρτηση γίνεται F(). Ομογενς διαφορικ εξίσωση. Η διαφορικ εξίσωση P(, )d Q(, )d (.)

25 . Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού λέγεται ομογενς αν οι P(,) και Q(,) είναι ομογενείς συναρτσεις του ιδίου βαθμού. Η λύση των ομογενών διαφορικών εξισώσεων προκύπτει με το μετασχηματισμό της χρησιμοποιώντας τη νέα μεταβλητ =/ = Η παράγωγος της μεταβλητς θα είναι : d d (.) d d Αν αντικατασταθεί η μεταβλητ και η παράγωγός της d/d στη διαφορικ εξίσωση (.) θα προκύψει η ισοδύναμη διαφορικ εξίσωση d F() d με χωριζόμενες μεταβλητές. (.).4. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης Η γενικ μορφ των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων ης τάξης έχει ως εξς: () a () Q() (.) a o Πιο συνθης μορφ d p() q() (.4) d Η συνάρτηση pd ( ) (.5) είναι ολοκληρωτικός παράγοντας της διαφορικς εξίσωσης (.4). Αν πολλαπλασιαστεί η εξ. (.4) με τη συνάρτηση μ(), τότε το πρώτο μέρος της θα είναι ίσο με την ολικ παράγωγο ως προς του γινομένου () και άρα η λύση της (.4) θα είναι: d d () ().q() pd q() pd d c pd pd pd q() d c (.6).5. Ολοκληρωτικοί παράγοντες διαφορικς εξίσωσης Ορισμός: Γενικά μια μη μηδενικ συνάρτηση μ(,) λέγεται ολοκληρωτικός παράγοντας της διαφορικς εξίσωσης P(, )d εάν το γινόμενο Q(, )d (.7)

26 4 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις (, ).[P(, )d Q(, )d] (.8) είναι διαφορικ εξίσωση αμέσως ολοκληρώσιμη. Θεώρημα: Κάθε διαφορικ εξίσωση της μορφς (.7), η οποία έχει λύση την παραγωγίσιμη συνάρτηση (,)=c, έχει και ολοκληρωτικό παράγοντα μ(,) και μάλιστα άπειρο αριθμό ολοκληρωτικών παραγόντων..5. Προσδιορισμός του ολοκληρωτικού παράγοντα Θεώρημα ο : Αν στη διαφορικ εξίσωση P(, )d έχουμε την παράσταση P Q ( ) f () Q Q(, )d (.9) (.) ως συνάρτηση μόνο της ανεξάρτητης μεταβλητς, τότε υπάρχει ολοκληρωτικός παράγοντας που δίνεται από τη σχέση f ()d ( ) (.) Θεώρημα ο : Αν στη διαφορικ εξίσωση (.9) έχουμε P Q ( ) g() P (.) ως συνάρτηση μόνο της εξαρτημένης μεταβλητς τότε ολοκληρωτικός παράγοντας δίνεται από τη σχέση g()d ( ) (.) Θεώρημα ο : Αν για τη διαφορικ εξίσωση (.9) έχουμε P Q ( ) f (w) Q P ως συνάρτηση του γινομένου =w, τότε με w= (.4) f (w)dw ( w) (.5) Θεώρημα 4 ο : Αν η διαφορικ εξίσωση (.9) έχει τη μορφ τότε f()d g()d (.6) (g ) (.7) [f ( ) g( )] P Q Θεώρημα 5 ο : Αν η διαφορικ εξίσωση είναι ομογενς και P Q, τότε (, ) (.8) P Q Θεώρημα 6 ο : Αν η διαφορικ εξίσωση έχει τη μορφ m n m n ( B )d (C D )d (.9)

27 . Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού 5 τότε a b (.).5. Διαδικασία προσδιορισμού του ολοκληρωτικού παράγοντα Έστω η διαφορικ εξίσωση P(, )d Q(, )d (.) και μ(,) ολοκληρωτικός παράγοντας με τον οποίο η εξίσωση Pd Qd (.) είναι αμέσως ολοκληρώσιμη, θα ισχύει: και άρα ( P) ( Q) P Q P Q P Q ( ) Q P (.4) (.) Από την εξ. (.) προέκυψε η εξ. (.4), η οποία είναι μερικ διαφορικ εξίσωση ως προς μ. Επειδ δεν είναι γνωστ η λύση της εξ. (.4) και για απλοποίηση της διαδικασίας, γίνεται η παραδοχ ότι η συνάρτηση μ είναι μόνο συνάρτηση του. Τότε / d / d. Άρα η εξ. (.4) γίνεται P Q d ( )d Q Από την τελευταία προκύπτει ότι αν τότε P Q ( ) f () Q / (.5) (.6) f ()d ( ) (.7) που είναι το ο θεώρημα της παραγράφου.5.. Αν γίνει η παραδοχ ότι η συνάρτηση μ είναι μόνο του, τότε / και / d / d και άρα η εξ. (.4) γίνεται Άρα αν τότε P Q d ( )d P P Q ( ) g() P (.8) (.9) g() d ( ) (.4) και

28 6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις.6 Διαφορικές εξισώσεις του Brnolli Η γενικ μορφ των διαφορικών εξισώσεων του Brnolli (Brnolli, J., , Ελβετός μαθηματικός) είναι η εξς: d P() Q() d όπου.. Η γενικ λύση προκύπτει ακολουθώντας τα παρακάτω βματα: Πολλαπλασιάζεται η διαφορικ εξίσωση επί -ν, τότε d P() d Εισάγεται η νέα μεταβλητ Q() (.4) (.4) d d ( ) (.4) d d Γίνονται οι αντικαταστάσεις και αναδιάταξη των όρων με d p() q() (.44) d p()=(-ν)p()και q()=(-ν)q() Λύνεται η γραμμικ διαφορικ εξίσωση ολοκληρωτικός παράγοντας p()d πολλαπλασιασμός της διαφορικς εξίσωσης ολοκλρωση Γίνεται η αντίστροφη αντικατάσταση: d d ( ) q() p()d p()d p()d q() c (.45) /( ) (.46) Παράδειγμα Να βρεθεί η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης Brnolli. (cos sin ) () πολλαπλασιάζουμε τη διαφορικ εξίσωση () με - : θέτουμε cos sin d d d d και () (α,β) d d cos sin sin cos (4) d d Η εξ. (4) είναι γραμμικ με

29 . Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού 7 και Αν τότε d (5) d d sin d cos d C cos d και sin. d A cos sin και η εξ. (6) γίνεται B d sin dsin d sin B C sin sin B sin d sin C sin C (7) και από την εξ. (α) προκύπτει η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (): / C sin (8) (6).7 Διαφορικές εξισώσεις του Riccati εξς: Η γενικ μορφ των διαφορικών εξισώσεων του Riccati (Riccati, J., ) έχει ως d P() Q() R() (.47) d Οι διαφορικές εξισώσεις Riccati δεν μπορούν να λυθούν απευθείας, εκτός αν γνωρίζουμε μία λύση της (). Στην περίπτωση αυτ η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης θεωρείται ότι δίνεται από τη σχέση () () από την οποία () d d d (.48) d d d Η συνάρτηση ικανοποιεί τη γραμμικ διαφορικ εξίσωση d d P() Q() P() (.49) Από την επίλυση της εξ. (.49) προσδιορίζεται η συνάρτηση ()

30 8 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις Παράδειγμα: Να δοθεί η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης: ( )( ) () Η διαφορικ εξίσωση () μπορεί να γραφεί με τη μορφ: () από την οποία προκύπτει ότι η διαφορικ εξίσωση είναι τύπου Riccati. Από την εξίσωση () εύκολα επίσης προκύπτει ότι μία λύση της διαφορικς εξίσωσης είναι η συνάρτηση = (4) Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης () () θα έχει τη μορφ: d d της οποίας η παράγωγος είναι d d Αντικαθιστούμε τη συνάρτηση και την παράγωγό της από τις εξ. (5α) και (5β) στην εξίσωση () d d d d d (6) d Η διαφορικ εξίσωση (6) είναι γραμμικ με d ln (7) και μετά τον πολλαπλασιασμό και την εκτέλεση των πράξεων γίνεται d d d c ( ) c d () c / (8) c Αντικατάσταση της συνάρτησης της εξ. (8) στην (5α) δίνει τη γενικ λύση (7) c (5α) (5β)

31 . Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού 9.8 Ασκσεις: Διαφορικές εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού. Διαφορικές εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές Άσκηση.. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ης τάξης + ( + ) = () Η διαφορικ εξίσωση () είναι με χωριζόμενες τις μεταβλητές, γιατί ( + )d + d = () d d () για () ολοκληρώνοντας την τελευταία εξ. () προκύπτει: επειδ d tan c d d tan, α > a a a Άρα η γενικ λύση θα είναι η συνάρτηση tan c για c = c και για κάθε. d c (4) (5) Να λυθούν οι ασκσεις ) Να λυθούν οι διαφορικές εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές ) ( + ) + ( + ) = ) ( + )(cos) + 4 = ) Να βρεθεί η λύση του προβλματος αρχικς τιμς ', για () = Με τη βοθεια της συνάρτησης σφάλματος rf () d

32 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις να εκφραστεί η μεταβλητ ως προς. Το ολοκλρωμα αυτό δεν μπορεί να λυθεί αναλυτικά. Οι τιμές της rf() δίνονται συνθως σε πίνακες. ) Να λυθούν οι διαφορικές εξισώσεις ) sincos = cos με λύση tan = sc + tan ) d ( ) d με λύση tan( ) 4. Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Άσκηση.. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ( + )d + ( + )d = () Η διαφορικ εξίσωση () είναι ομογενς επειδ οι συναρτσεις P(,)= ( + ) και Q(,)=( + ) είναι ομογενείς ου βαθμού, δηλαδ ισχύει P(λ,λ)= (λ λ + λ ) = λ ( + ) = λ P(,) Q(λ,λ)=(λ + λλ ) = λ ( + ) = λ Q(,) Χρησιμοποιώντας τη νέα μεταβλητ = και την παράγωγό της μετασχηματίζεται ως εξς: ( + ) + ( + d )( ) = d ( + ) + ( + d )( ) = d + 4( + d = d d + ) d + + d d = (α) (β) d d, η εξ. () d d = () Η διαφορικ εξίσωση () έχει χωρισμένες τις μεταβλητές και μπορεί να ολοκληρωθεί. Μετά την ολοκλρωση προκύπτει 4( d ) d + = C d( 4( ) d + ln = C ) ln + ln = C ln ( + ) 4 = 4C = C (4) 4 Μετά την αντιλογαρίθμηση και την αντικατάσταση της μεταβλητς από την = η εξ. (4) γράφεται 4 C C ( + ) = C (5) Η εξίσωση (5) είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης ().

33 Να λυθούν οι ασκσεις Να λυθούν οι ομογενείς διαφορικές εξισώσεις ). Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού ' με λύση = sin(ln) = ) d = ( )d με λύση ln + = c ) (-) = με λύση ln C 4) = (ln ln) με λύση c 5) ( + )d- d= με λύση - = c. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης Άσκηση... Να βρεθεί η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης = () H διαφορικ εξίσωση () είναι γραμμικ ης τάξης. Υπολογίζεται ο ολοκληρωτικός παράγοντας μ = pd d () Πολλαπλασιάζεται η εξ. () επί τον ολοκληρωτικό παράγοντα μ, και εκτελούνται οι πράξεις αναδιάταξης των όρων και η ολοκλρωση, που έχουν ως εξς: - - = - d d d d d d C C C () Η εξ. () είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (). Άσκηση... Να βρεθεί η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης = 5 () H διαφορικ εξίσωση () είναι γραμμικ ης τάξης. Η εξ. () μπορεί να γραφεί = 4 () Υπολογίζεται ο ολοκληρωτικός παράγοντας μ = pd d ln () Πολλαπλασιάζεται η εξ. () επί τον ολοκληρωτικό παράγοντα μ, και εκτελούνται οι πράξεις αναδιάταξης των όρων και η ολοκλρωση, που έχουν ως εξς: - - = 4 - d d d/ d d / d C

34 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις 5 / C C (4) Η εξ. (4) είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης () για όλες τις τιμές του. Ασκσεις για λύση α) + tan = sin, αν () =, { = 4cos cos } β) + =, αν () =, { = + - } γ) = sin + cot (cot=cos/sin), { = sin + csin} δ) = +sin +, { = -(+)-.5(sin+cos) - +c} ε) = ( -), { = - c }.4 Διαφορικές εξισώσεις αμέσως ολοκληρώσιμες ακριβείς και ολοκληρωτικοί παράγοντες διαφορικς εξίσωσης Άσκηση.4.. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ( + sin)d + (cos )d = () Η διαφορικ εξίσωση έχει P(,)= ( + sin) και Q(,)= (cos ) για τις οποίες ισχύει P Q sin cos cos - cos Η διαφορικ εξίσωση () είναι αμέσως ολοκληρώσιμη επειδ P Q cos Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης () προκύπτει με άμεση ολοκλρωση ως εξς: o ( sin ) (o cos )d c Αν o=, η ολοκλρωση της εξ. (4) δίνει ( sin ) d c sin + sin = c (5) που είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης () c (α) (β) () (4) Άσκηση.4.. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση d + ( + )d = () Η διαφορικ εξίσωση έχει P(,)= και Q(,)= + για τις οποίες ισχύει

35 P Q. Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού Η διαφορικ εξίσωση () είναι αμέσως ολοκληρώσιμη επειδ P Q Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης () προκύπτει με άμεση ολοκλρωση ως εξς: o ( o )d c Αν o=, η ολοκλρωση της εξ. (4) δίνει c + = c (5) που είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης () (α) (β) () (4) Άσκηση.4.. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση (ln)d + ( + )d = () Η διαφορικ εξίσωση () έχει P(,)= (ln) και Q(, ) για τις οποίες ισχύει P ( (ln) ln ln Q + ) Άρα η διαφορικ εξίσωση () δεν είναι αμέσως ολοκληρώσιμη. Παρατηρούμε ότι η παράσταση P P Q ln ln g() είναι συνάρτηση μόνο του. Άρα ο ολοκληρωτικός παράγοντας της διαφορικς εξίσωσης () δίνεται από τη σχέση d g()d ln () (4) Πολλαπλασιάζεται η διαφορικ εξίσωση () επί τον ολοκληρωτικό παράγοντα της εξ. (4) και προκύπτει η παρακάτω διαφορικ εξίσωση που είναι αμέσως ολοκληρώσιμη (ln) - d + ( + ) - d = (ln)d + ( + ) - d = (5) (α) (β) ()

36 4 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (5) προκύπτει με άμεση ολοκλρωση ως εξς: (ln)d + o ( + ) d Για o =, η παραπάνω εξίσωση γίνεται ln + ( ) d = c o = c ln + ( / Η εξίσωση (6) είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (). ( a ) d a Σημείωση : Ισχύει / ) = c (6) Άσκηση.4.4. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ( - 7 ) + (5 - ) = () Η διαφορικ εξίσωση () γράφεται ακόμα (5 - )d + ( - 7 )d = () η οποία έχει P(,)= (5 - ) και Q(,)= ( - 7 ) για τις οποίες ισχύει P Q (5 - ) 5 9 ( - 7 ) 6 7 Άρα η διαφορικ εξίσωση () δεν είναι αμέσως ολοκληρώσιμη. Παρατηρούμε ότι η παράσταση P Q Q P ( 7 ) (5 ( ) f () ( 4 ) 5 9 ) 6 7 (α) (β) (4) είναι συνάρτηση μόνο του w=. Άρα ο ολοκληρωτικός παράγοντας της διαφορικς εξίσωσης () δίνεται από τη σχέση d ln f ()d ( ) (5) / Πολλαπλασιάζεται η διαφορικ εξίσωση () επί τον ολοκληρωτικό παράγοντα της εξ. (5) και προκύπτει η παρακάτω διαφορικ εξίσωση που είναι αμέσως ολοκληρώσιμη (5 - )() / d + () / ( - 7 )d = (5() / / 7/ )d + ( 5/ / + 7 / 5/ )d = (6) Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (6) προκύπτει με άμεση ολοκλρωση ως εξς: o / / 7/ / o (5() - )d + ( o 7 )d = c Για o =, η παραπάνω εξίσωση γίνεται 5/ / 5/

37 . Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού 5 / / 7/ / 5 d - d = c / 5/ 7/ / 5 = c 5 () / / 5/ 7/ / = c ( ) c ( ) ( ) c / 4 c (7) Η εξίσωση (7) είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (). Άσκηση.4.5. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση = (ln ln) () Η διαφορικ εξίσωση γράφεται ln d d έχει P(,)=ln(/) και Q(,)= -(/) για τις οποίες ισχύει P Q ln / ( ) Άρα η διαφορικ εξίσωση () δεν είναι αμέσως ολοκληρώσιμη. Παρατηρούμε ότι η παράσταση Q P Q / f () Ο ολοκληρωτικός παράγοντας δίνεται από τη σχέση () f ()d d ln Πολλαπλασιάζεται η διαφορικ εξίσωση () επί τον ολοκληρωτικό παράγοντα της εξ. (4). Η διαφορικ εξίσωση που προκύπτει είναι αμέσως ολοκληρώσιμη ln d d d c ln o ln o o ln ( ln ( ln ( o o o ) o ln ln o o ln c ln c ) ln ln o o ) ln o ln o o o o d o o ln c ln c (α) (β) () (4)

38 6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις ln ln ln ln c ln ln c / c (5) Άσκηση.4.6. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ( + )d + 4 d = () Η διαφορικ εξίσωση () έχει P(,)= + και Q(,)= 4 για τις οποίες ισχύει P Q 4 4 Άρα η διαφορικ εξίσωση () δεν είναι αμέσως ολοκληρώσιμη. Παρατηρούμε ότι η παράσταση P Q Q 4 4 f () είναι συνάρτηση μόνο του. Άρα ο ολοκληρωτικός παράγοντας της διαφορικς εξίσωσης () δίνεται από τη σχέση d f ()d ln () (4) Πολλαπλασιάζεται η διαφορικ εξίσωση () επί τον ολοκληρωτικό παράγοντα της εξ. (4). Η διαφορικ εξίσωση που προκύπτει είναι αμέσως ολοκληρώσιμη ( + )( - )d + 4 ( - )d = ( + )( - )d + d = (5) Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (5) προκύπτει με άμεση ολοκλρωση ως εξς: o d + o d = c ln o c ( ) ln o o c o Η παραπάνω εξίσωση γίνεται (α) (β) ln = c + ln = c (6) Η εξίσωση (6) είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (). () Άσκηση.4.7. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ( ) = () Η διαφορικ εξίσωση () που γράφεται επίσης d - ( )d = (α) έχει P(,)= και Q(,)= - ( ) για τις οποίες ισχύει

39 P. Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού 7-6 Q Άρα η διαφορικ εξίσωση () δεν είναι αμέσως ολοκληρώσιμη. Παρατηρούμε ότι η παράσταση P P Q 4 6 g() είναι συνάρτηση μόνο του. Άρα ο ολοκληρωτικός παράγοντας της διαφορικς εξίσωσης () δίνεται από τη σχέση d 4 g()d 4ln 4 () (4) Πολλαπλασιάζεται η διαφορικ εξίσωση () επί τον ολοκληρωτικό παράγοντα της εξ. (4). Η διαφορικ εξίσωση που προκύπτει είναι αμέσως ολοκληρώσιμη - d - ( -4 - )d (5) Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (5) προκύπτει με άμεση ολοκλρωση ως εξς: (o - ) d = c o o o Η παραπάνω εξίσωση γίνεται c o o c (α) (β) c = c (6) Η εξίσωση (6) είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (). () Άσκηση.4.8. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ( + + ) - ( ) = () Η διαφορικ εξίσωση () γράφεται ( )d - ( + + )d = (α) έχει P(,) = ( ) και Q(,)= - - για τις οποίες ισχύει - P Q Άρα η διαφορικ εξίσωση () δεν είναι αμέσως ολοκληρώσιμη. Παρατηρούμε ότι η παράσταση P Q (α) (β) ()

40 8 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις είτε διαιρεθεί ως προς Ρ, Q και Q-P δεν δίνει αντίστοιχες συναρτσεις του, και. Έστω ότι η μορφ του ολοκληρωτικού παράγοντα είναι a b (, ) (4) Η διαφορικ εξίσωση που προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό της διαφορικ εξίσωση () επί τον ολοκληρωτικό παράγοντα της εξ. (4) ( ) a b d - ( + + ) a b d = (5) είναι αμέσως ολοκληρώσιμη και οι παράγωγοι P Q a b a b a b a b - (b ) ( b) a b a b a b Είναι εκ ταυτότητος ίσες, δηλαδ P Q (b ) a Από την τελευταία : b+=-a- --b=-a- b ( b) a=b+ a=b+ a b (a ) (a ) a a b b (a ) (a ) a a b b (a ) (a ) a a b (6α) b (6β) -(a+) = a = - καιb = - (7) Άρα η διαφορικ εξίσωση () έχει ολοκληρωτικό παράγοντα (, ) (8) Η αμέσως ολοκληρώσιμη διαφορικ εξίσωση (4) για τις τιμές του ολοκληρωτικού παράγοντα της εξ. (8) έχει τη μορφ ( ) - - d - ( )d = (9) Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (9) προκύπτει με άμεση ολοκλρωση ως εξς: o - o d = c o ln ln o o c ln ln o ln c o Η παραπάνω εξίσωση γίνεται ln c ln o c () Η εξίσωση () είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης ().

41 . Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού 9 Άσκηση.4.9. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ( - ) + ( + ) = () Η διαφορικ εξίσωση () γράφεται ακόμα ( + )d + ( - )d = () η οποία έχει P(,)=( +) και Q(,)= ( - ) για τις οποίες ισχύει ( ) P Q (- ) Άρα η διαφορικ εξίσωση () δεν είναι αμέσως ολοκληρώσιμη. Παρατηρούμε ότι η παράσταση P Q Q P ( ) ( ) 4 4 f () είναι συνάρτηση μόνο του w=. Άρα ο ολοκληρωτικός παράγοντας της διαφορικς εξίσωσης () δίνεται από τη σχέση d f ( )d ln ( ) Πολλαπλασιάζεται η διαφορικ εξίσωση () επί τον ολοκληρωτικό παράγοντα της εξ. (5) και προκύπτει η παρακάτω διαφορικ εξίσωση που είναι αμέσως ολοκληρώσιμη ( ) d ( ) d ( )d ( )d (6) Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (6) προκύπτει με άμεση ολοκλρωση ως εξς: ( ) ( )d c o ln ln o o ln c o o ln o ln c ln c ln o c ln c (7) Η εξίσωση (7) είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (). o (α) (β) (4) (5) Ασκσεις για λύση α) ( ) + ( + ) =, P Q Q P, μ() = /()

42 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις Γενικ λύση ln c β) ( )d + d =, Γενικ λύση ln + = c Q P Q, μ() = /() γ) ( 4 +sin)d + (4 + cos)d = με γενικ λύση 4 +sin = c δ) ( 4 ) =, P Γενικ λύση (- 4 ) = c P Q, μ() = ε) ( +) + ( + ) = με γενικ λύση 4 + = c.5 Διαφορικές εξισώσεις του Brnolli και Riccati Άσκηση.5.. Να επιλυθεί η διαφορικ εξίσωση: - + =, όταν = () H διαφορικ εξίσωση είναι τύπου Riccati γιατί γράφεται ως εξς: + - = () Η διαφορικ εξίσωση () έχει λύση τη συνάρτηση = Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης () () θα έχει τη μορφ: της οποίας η παράγωγος είναι (α) d d d (β) d Αντικαθιστούμε τη συνάρτηση και την παράγωγό της από τις εξ. (α) και (β) στην εξίσωση () και εκτελούμε τις πράξεις d d d d d d (4) d d Η ολοκλρωση της εξ. (4) δίνει = + c (5) Αντικατάσταση της στην εξ. ( α ) δίνει τη γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης () (6) c

43 . Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού Άσκηση.5.. Να βρεθεί η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης Brnolli. (- ) = ( ) () Η διαφορικ εξίσωση () είναι Brnolli γιατί γράφεται ως εξς: (- ) - ( ) = - () Πολλαπλασιάζουμε τη διαφορικ εξίσωση () με - : θέτουμε (- ) - - ( ) - = - () (- )( d d d d d d και ) - ( ) = - d ( ) (5) d ( ) ( ) Η εξ. (5) είναι γραμμικ με ( ) d d d p d p ( ) p ln ln( ) ln( ) = (- ) (6) και η εξ. (5) μετά τον πολλαπλασιασμό με τον ολοκληρωτικό παράγοντα μ γίνεται d d (4α,β) ( ) ( ) (7) ( ) και μετά την ολοκλρωση ( ) d C ln C ln C (8) ( ) ( ) και από την εξ. (4α) προκύπτει η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (): ( ) (9) ln C Άσκηση.5.. Να επιλυθεί η διαφορικ εξίσωση: = + ( ) ( ) () H διαφορικ εξίσωση είναι τύπου Riccati γιατί γράφεται ως εξς: + ( ) - ( ) = () Η διαφορικ εξίσωση () έχει λύση τη συνάρτηση = Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης () () θα έχει τη μορφ: της οποίας η παράγωγος είναι (α)

44 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις d d d d Αντικαθιστούμε τη συνάρτηση και την παράγωγό της από τις εξ. (α) και (β) στην εξίσωση () και εκτελούμε τις πράξεις ( d ( ) d ) d d d d d d (4) d d Η διαφορικ εξίσωση (4) είναι γραμμικ με d (5) Μετά τον πολλαπλασιασμό της εξ. (4) και την εκτέλεση των πράξεων προκύπτει d d ( ) ( ) d c ( )d c ( ) c (6) c Αντικατάσταση της συνάρτησης της εξ. (6) στην (α) δίνει τη γενικ λύση (7) c (β) Άσκηση.5.4. Να βρεθεί η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης Brnolli. ( + ) + + ( + ) 4 = () Η διαφορικ εξίσωση () είναι Brnolli γιατί γράφεται ως εξς: ( + ) + = ( + ) 4 () Πολλαπλασιάζουμε τη διαφορικ εξίσωση () με - : θέτουμε ( + ) = ( + ) 4 () d d d d d ( + )( ) + = ( + ) 4 d 4 και d ( ) ( ) (5) d ( ) ( ) (4α,β)

45 . Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού Η εξ. (5) είναι γραμμικ με p d p ln( ) ( + ) - (6) ( ) και η εξ. (5) μετά τον πολλαπλασιασμό με τον ολοκληρωτικό παράγοντα μ γίνεται d d ( ) ( ) ( ) και μετά την ολοκλρωση ( ) (7) ( )d C ( ) C ( ) ( ) C (8) και από την εξ. (4α) προκύπτει η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (): ( ) Ασκσεις για λύση C α) 4 = /, () = [ = ( + ) ] β) = - ( + + ), () = [ = /( + - )] γ) = 4 /, () = [ = ( ) ] δ) + = ln, () = / [ = /( + ln )] ε) + ( ) =, / = -, [ = /(c ln )] στ) + ( ) =, / = - [ = /(c + )] ζ) ( + ) + + ( + ) 4 = /(+) = ( + ) η) = ( + ) + / = - θ) cos = +cos sin, αν =sin (=-.5sin+Ccos)

46 4 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις.9 Εφαρμοσμένα Προβλματα των Διαφορικών εξισώσεων ης τάξης και ου βαθμού.9. Διαδικασία επίλυσης φυσικών προβλημάτων με διαφορικές εξισώσεις ) Αρχικά προσδιορίζεται ο βασικός κανόνας (αρχ) που διέπει το φυσικό πρόβλημα. Π.χ. ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα ορίζει ότι το άθροισμα των δυνάμεων που ενεργούν πάνω σε ένα σώμα είναι ίσο προς το γινόμενο της μάζας m επί την επιτάχυνση γ του σώματος την ίδια στιγμ. ) Ο νόμος (αρχ) της μεταβολς μιας μεταβλητς ορίζει την παράγωγο της εξαρτημένης μεταβλητς. Εισάγοντας την παράγωγο στον κανόνα προσδιορίζεται η διαφορικ εξίσωση που περιγράφει το φυσικό πρόβλημα. Για παράδειγμα, ο ρυθμός διάσπασης μιας ουσίας εκφράζεται μαθηματικά με την παράγωγο d/dt. ) Στη συνέχεια επιλύεται η διαφορικ εξίσωση και προσδιορίζεται η γενικ λύση η όποια περιέχει αυθαίρετες σταθερές όσες και η τάξη της διαφορικς εξίσωσης. 4) Στο επόμενο βμα από τις βοηθητικές συνθκες, οι οποίες καθορίζονται από την τάξη της διαφορικς εξίσωσης και τον αριθμό των ανεξάρτητων μεταβλητών, προσδιορίζονται οι τιμές των αυθαίρετων σταθερών για το συγκεκριμένο πρόβλημα. Έτσι προσδιορίζεται η ειδικ λύση που περιγράφει το πρόβλημα από τα δεδομένα των βοηθητικών συνθηκών. 5) Έλεγχος αποτελεσμάτων. Με τη συνάρτηση της λύσης της διαφορικς εξίσωσης υπολογίζονται τιμές της εξαρτημένης μεταβλητές για διαφορετικές τιμές των ανεξάρτητων μεταβλητών και συγκρίνονται με δεδομένα αποτελέσματα άλλων λύσεων..9. Προβλματα διάσπασης ραδιενεργών ουσιών και μεταβολς της θερμοκρασίας. Πρόβλημα.9.. Ο ρυθμός διάσπασης των ραδιενεργών ουσιών είναι ανάλογος προς την υπάρχουσα ποσότητα της ουσίας. Θεωρώντας ότι στο χρόνο t= η ποσότητα μιας ραδιενεργού ουσίας είναι 8 gr, να βρεθεί η σχέση με την οποία να μπορεί να υπολογιστεί η ποσότητα της ουσίας σε κάποιο μελλοντικό χρόνο.

47 Λύση του προβλματος.. Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού 5 Αρχικά προσδιορίζεται η διαφορικ εξίσωση που περιγράφει το φυσικό πρόβλημα. Αν η ποσότητα της ουσίας στο χρόνο t συμβολίζεται με (t), τότε ο ρυθμός διάσπασης της ουσίας θα είναι d/dt. Σύμφωνα με το νόμο της διάσπασης της ουσίας, το d/dt είναι ανάλογο με το. Δηλαδ d dt K όπου K είναι μιά φυσικ σταθερά, η τιμ της οποίας είναι γνωστ για πολλές ραδιοκτινοβολούσες ουσίες (για παράδειγμα, το Ράδιο έχει τιμ K=.44 έτη - ). Σύμφωνα με τα παραπάνω, η φυσικ διαδικασία της διάσπασης των ραδιενεργών ουσιών περιγράφεται μαθηματικά από μια συνθη διαφορικ εξίσωση πρώτης τάξης. Το ο βμα περιλαμβάνει την επίλυση της διαφορικς εξίσωσης. Η διαφορικ εξίσωση () είναι διαφορικ εξίσωση με χωριζόμενες τις μεταβλητές και η λύση της έχει ως εξς: d Kdt +C ln = - Kt + C = C -Kt () H εξίσωση () περιέχει μια αυθαίρετη σταθερά και γι αυτό είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (). Στο ο βμα προσδιορίζεται η ειδικ λύση. Η ειδικ λύση της διαφορικς εξίσωσης προκύπτει με τον προσδιορισμό της τιμς της αυθαίρετης σταθεράς C από τα δεδομένα του προβλματος. Στο πρόβλημά μας η ποσότητα της ραδιενεργού ουσίας (t) στο χρόνο t εξαρτάται από την αρχικ ποσότητα της ουσίας. Αυτ η ποσότητα είναι 8 gr στο χρόνο t=. Από τη συνθκη αυτ που λέγεται αρχικ συνθκη μπορεί να προσδιοριστεί η σταθερά C. () = 8 Αντικατάσταση στην εξ. () δίνει () = C = 8 C = 8. H εξίσωση () για την τιμ του C=8 γίνεται = 8 -Kt () Με την εξ. (), αν είναι γνωστ η τιμ της σταθεράς K, που χαρακτηρίζει το ρυθμό διάσπασης της ραδιενεργού ουσίας, μπορεί να υπολογιστεί η ποσότητα της ουσίας που θα παραμένει μετά από χρόνο t. είναι: Για παράδειγμα, με την τιμ K του ράδιου, η ποσότητα ραδίου μετά από δέκα χρόνια θα () = 8 -(.44)() = 5.5 γραμ. Το τελικό βμα περιλαμβάνει τον έλεγχο των αποτελεσμάτων. Από την εξ. () προκύπτει: d dt d dt Kt Kt (8 ) 8K K και () = 8 = 8. H εξ. () ικανοποιεί την εξίσωση () και την αρχικ συνθκη. ()

48 6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις Πρόβλημα.9.. Σύμφωνα με το νόμο του Νεύτωνα για τη μεταβολ της θερμοκρασίας ενός σώματος, ο ρυθμός ψύξης ενός σώματος στον αέρα είναι ανάλογος με τη διαφορά θερμοκρασίας του σώματος Τ και του αέρα Τα. Εάν η θερμοκρασία του αέρα είναι ο C και σε min ένα σώμα ψύχεται από τους στους 6 ο C να βρεθεί ο χρόνος που η θερμοκρασία θα πέσει στους ο C. Ποια τιμ έχει η σταθερά αναλογία για την ψύξη του συγκεκριμένου υλικού στον αέρα. Λύση του προβλματος. Μαθηματικ περιγραφ της ψύξης ενός σώματος στο αέρα. Αν η θερμοκρασία στο χρόνο t είναι Τ(t) και ο ρυθμός ψύξης του σώματος είναι dτ/dt, τότε σύμφωνα με το νόμο της ψύξης των σωμάτων, το dτ/dt είναι ανάλογο με τη διαφορά Τ-Τα. Δηλαδ dt k(t T ) () dt όπου k είναι η σταθερά αναλογία για την ψύξη του συγκεκριμένου υλικού στον αέρα (min - ). Η γενικ λύση προκύπτει με χωρισμό των μεταβλητών και ολοκλρωση, θα είναι Τ = Τα + C kt Η σταθερά C για τη συνθκη Τ = Το, t =, είναι C = Το -Tα. Η μερικ λύση θα έχει τη μορφ Τ = Τα + (Το-Τα) Από την οποία T T k ln t T T o kt Για τα δεδομένα του προβλματος ψύξης του σώματος θα είναι 6 k ln.55 ανα min.55t και = + 8 t ln 6 min.55 () () (4).9. Προβλματα ποιότητας νερού Πρόβλημα.9.. Τα ενεργά χημικά απόβλητα μιας βιομηχανίας, μετά την αραίωσ τους σε ένα ποτάμι αποικοδομούνται με μια κινητικ αντίδραση πρώτης τάξης. Η σταθερά της ταχύτητας αποικοδόμησης είναι ίση με K=.5 ανά ημέρα. Τα απόβλητα χύνονται με παροχ Qα =.4 m /s και συγκέντρωση Cα = mg/l δραστικς ουσίας σε ένα ποτάμι που λίγο πιο πάνω από την είσοδο των αποβλτων έχει παροχ Qπ = 5. m /s και συγκέντρωση δραστικς ουσίας Cπ =. mg/l. Εάν η μέση ταχύτητα ρος στο ποτάμι είναι U=.5 m/s, να υπολογιστεί η απόσταση στην οποία η συγκέντρωση της δραστικς ουσίας θα περιοριστεί στο ανάντη της εισόδου των αποβλτων επίπεδο των. mg/l. Απάντηση Ακριβώς μετά την είσοδο των αποβλτων στο ποτάμι και την ανάμιξ τους με το νερό που έρχεται από τα ανάντη του ποταμού, σύμφωνα με το νόμο διατρησης της μάζας θα ισχύει:

49 . Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού 7 QαCα + QπCπ = QκCκ αλλά Qκ = Qα + Qπ = = 5.4 (m /s) Συνεπώς, αμέσως μετά την εισρο των αποβλτων στο ποτάμι, η συγκέντρωση της δραστικς ουσίας στο νερό του ποταμού θα είναι: Cκ = [QαCα + QπCπ]/ Qκ = [5 +.4]/5.4 = 4.74 (mg/l) Τα ενεργά χημικά απόβλητα αποικοδομούνται με κινητικ αντίδραση πρώτης τάξης. Στις κινητικές αντιδράσεις πρώτης τάξης ο ρυθμός μεταβολς της ουσίας στο χρόνο t είναι ανάλογος με τη συγκέντρωση της ουσίας στον ίδιο χρόνο, δηλαδ dc KC dt η λύση της οποίας είναι Ct = Cαρ -Κt οπού Ct είναι η συγκέντρωση των χημικών αποβλτων στο χρόνο t, Cαρ είναι η συγκέντρωση των χημικών αποβλτων στην αρχ (t=), η συγκέντρωση των χημικών αποβλτων ακριβώς μετά την ανάμιξη (για το πρόβλημά μας Cκ), Κ είναι η σταθερά της αντίδρασης αποικοδόμησης (=.5 ημ - ). Η συγκέντρωση των χημικών αποβλτων θα περιοριστεί στα mg/, σε χρόνο t που μπορεί να υπολογιστεί από την τελευταία εξίσωση για τις τιμές Ct= mg/, Cαρ=Cκ=4.74 mg/ και Κ=.5 ημ -. Συνεπώς Ct = Cαρ -Κt ======> t = C ln K C t t = 4.74 ln.5 =.4 ημέρες Για ομοιόμορφη μετακίνηση των χημικών αποβλτων μέσα στο ποτάμι με ταχύτητα.5 m/s, η απόσταση μεταφοράς στην οποία θα επιτευχθεί η αποικοδόμηση των χημικών αποβλτων στα mg/, θα είναι: S = Ut = (.5 m/s)(.4 d)(4.6 s/d) = 844. (m) Άρα η απόσταση στην οποία η συγκέντρωση της δραστικς ουσίας θα μειωθεί στο ανάντη της εισόδου των αποβλτων επίπεδο των. mg/l, θα είναι 8.4 km. Πρόβλημα.9.4. Η νιτροποίηση είναι μια βιολογικ διαδικασία οξείδωσης της αμμωνίας με τελικό προϊόν τα νιτρικά. Η χημικ αντίδραση της νιτροποίησης έχει τη μορφ: K NΗ4 ΝΟ Ο ρυθμός μεταβολς της συγκέντρωσης της αμμωνίας περιγράφεται από κινητικ αντίδραση ης τάξης της μορφς: da KA () dt όπου Α είναι η συγκέντρωση της αμμωνίας και Κ είναι η σταθερά του ρυθμού της αντίδρασης.

50 8 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις δηλαδ: Ο ρυθμός μεταβολς των νιτρικών εξαρτάται από τη μετατροπ της αμμωνίας σε νιτρικά, B K dt A όπου Β είναι η συγκέντρωση των νιτρικών. Ζητείται να βρεθούν οι συναρτσεις που εκφράζουν τις σχέσεις της συγκέντρωσης της αμμωνίας, και των νιτρικών με το χρόνο. Αν στο χρόνο t=, η συγκέντρωση της αμμωνίας είναι mg/l και των νιτρικών μηδέν, να υπολογιστούν οι συγκεντρώσεις της αμμωνίας και των νιτρικών σε 4 ημέρες. Οι τιμές της σταθεράς του ρυθμού της αντίδρασης είναι Κ=.8 da -. Απάντηση Η λύση της διαφορικς εξίσωσης () έχει ως εξς: da K dt A +C lnα = - Kt + Δ Από την αρχικ συνθκη προσδιορίζεται η αυθαίρετη σταθερά Δ. Αν για t =, Α=Αο από την αρχικ συνθκη, τότε K t Δ = ln Ao και τελικά A( t) A () Η λύση της δεύτερης διαφορικς εξίσωσης (εξ. ) έχει ως εξς: o db KA (4) dt που λόγω της εξ.() γίνεται db K dt A o K t Η οποία είναι με χωριζόμενες μεταβλητές και έχει γενικ λύση B A ( K )t o E Από την αρχικ συνθκη για t=, B = Bo, η αυθαίρετη σταθερά λαμβάνει την τιμ E B o A o και η λύση της Δ.Ε. () παίρνει την εξς μορφ: o K t Bo B A (5) Οι συναρτσεις () και (5) δίνουν τη μεταβολ του αμμωνιακού και του νιτρικού αζώτου με το χρόνο. Οι συγκεντρώσεις του αμμωνιακού και του νιτρικού αζώτου σε 4 ημέρες, για τα δεδομένα της εφαρμογς, t=, Ao= mg/l, Bo=. mg/l, K=.8 da -. θα είναι: Αμμωνιακό άζωτο σε 4 ημέρες (εξίσωση ). Α=p(-.84)=. mg/l. Νιτρικό άζωτο σε 4 ημέρες (εξίσωση 5). C. (.84 ) 8.78 mg/l. Άρα μετά από 4 ημέρες οι συγκεντρώσεις του αμμωνιακού και του νιτρικού αζώτου θα είναι αντίστοιχα.και 8.78 mg/l. ()

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookark no dfind. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

2 Περιεχόμενα. Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

2 Περιεχόμενα. Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Περιεχόμενα Γράφημα της συνάρτησης f( ), αν p < 0 F( ) = f( ), αν 0 p και F( + p) = F( ), R (δηλ της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( ), 0 p στο R ) Περιεχόμενα 5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΜΑΣ00: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να κατατάξετε τις διαφορικές εξισώσεις, δηλ να δώσετε την τάξη της, να πείτε αν είναι γραμμική ή όχι, να δώσετε την ανεξάρτητη μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2008, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2008, Θεσσαλονίκη Kάθε γνσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφ του συγγραφέα Με το συγγραφέα επικοινωνείτε: Tηλ 30348086, e-mail: thanasisenos@yahoogr ISBN 978-960-456-08-3 Copyright: Ξένος Θ, Eκδόσεις Zτη, Ιανουάριος 008, Θεσσαλονίκη

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 15 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x O ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f ) Εντοπίζω τα σημεία που συναντώνται οι δύο καμπύλες ) Η τεταγμένη y αυτού του σημείου είναι το όριο της f και η τετμημένη η θέση y lim f Πλευρικά όρια lim f λ lim

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μαθηματικές Προτάσεις Πλοηγηθείτε: http://www.youtube.com/watch?v MtmJ3BArAgA Διαβάστε: Λ. Κάρολ, Η Αλίκη στη Χώρα των Θαυμάτων, Εκδόσεις Πατάκη Δείτε: Alice in

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί το «πέρασμα» από το Διαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Η θεμελιώδης έννοια, για το σκοπό αυτό, είναι η αντιπαράγωγος ή αόριστο

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not deined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Γράφημα της συνάρτησης f( x), αν p x< 0 F( x) = f( x), αν 0 x p και F( x+ 2 p) = F( x), x R (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται στους

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Στις εξισώσεις σχεδιασμού υπεισέρχεται ο ρυθμός της αντίδρασης. Επομένως, είναι βασικό να γνωρίζουμε την έκφραση που περιγράφει το ρυθμό.

Στις εξισώσεις σχεδιασμού υπεισέρχεται ο ρυθμός της αντίδρασης. Επομένως, είναι βασικό να γνωρίζουμε την έκφραση που περιγράφει το ρυθμό. Βασικές Εξισώσεις Σχεδιασμού (ΣΔΟΥΚΟΣ 2-, 2-) t = n i dn i V n i R και V = n i dn i t n i R Στις εξισώσεις σχεδιασμού υπεισέρχεται ο ρυθμός της αντίδρασης. Επομένως, είναι βασικό να γνωρίζουμε την έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα 8 Θεµελίωση έννοιας αορίστου ολοκληρώµατος Στο 7 0 Κεφάλαιο ορίσαµε την έννοια της αντιπαραγώγου µιας συνάρτησης f σ ένα κλειστό και φραγµένο διάστηµα Γενικότερα Ορισµός

Διαβάστε περισσότερα

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συμφώνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Θ.Θ.Ο.Λ ισχύει : I. d II. d III. d ln IV. d V. d VI. d VII. d

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων 1. Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων Είναι ομάδα από δύο ή περισσότερες εξισώσεις των οποίων ζητάμε

Διαβάστε περισσότερα

4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4. ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ Ή ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Παράγουσα ή αντιπαράγωγος μιας συνάρτησης f( ορισμένη στο D(f) λέγεται η συνάρτηση F( για την οποία ισχύει F (=f(. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: F(= = df

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΚΑΠΟΙΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΕΣ Ν = {1,2,3,...} το σύνολο των φυσικών αριθμών Ζ = {0, ±1, ±2, ±3,..

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ . ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P P P P, P P, Q P P Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πραγματικές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών (μέρος 1) Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Σημαντικές παρατηρήσεις

Σημαντικές παρατηρήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Σημαντικές παρατηρήσεις Φυλλάδιο Φυλλάδι555 5 ο ο Η έννοια της παραγώγου Να υπάρχει διάστημα της μορφής ή ή α,,β

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Οι διαφορικές εξισώσεις είναι ο κλάδος των μαθηματικών που περισσότερο ίσως από κάθε άλλον οφείλει την γέννηση του στην Μηχανική, στην Αστρονομία και στη Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ 2 5 +32 17 2= 1156 Μαθηματικά Β μέρος 8 9 15 Δ=2 δ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

7η ιεθνής Μαθηµατική Εβδοµάδα Θεσσαλονίκη Μαρτίου 2015 Ολοκληρωτικές εξισώσεις: τριτοβάθµια και δευτεροβάθµια εκπαίδευση

7η ιεθνής Μαθηµατική Εβδοµάδα Θεσσαλονίκη Μαρτίου 2015 Ολοκληρωτικές εξισώσεις: τριτοβάθµια και δευτεροβάθµια εκπαίδευση 7η ιεθνής Μαθηµατική Εβδοµάδα Θεσσαλονίκη 18 22 Μαρτίου 215 Ολοκληρωτικές εξισώσεις: τριτοβάθµια και δευτεροβάθµια εκπαίδευση Κυριαζής Χρήστος Πρωτοπαπάς Ελευθέριος 1 Ενότητες παρουσίασης Εισαγωγικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f() ορισμένης σε ένα διάστημα [α,β] λέγεται κάθε συνάρτηση F() που επαληθεύει την ισότητα F( ) f ( ) F( ) c επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

10. Παραγώγιση διανυσµάτων

10. Παραγώγιση διανυσµάτων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 51 10 Παραγώγιση διανυσµάτων 101 Παράγωγος διανυσµατικής συνάρτησης Αν οι συνιστώσες ενός διανύσµατος = είναι συνεχείς συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα . Σκοποί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Προβλήματα Διαταραχών Λογισμού Μεταβολών Άσκηση 3.10, σελίδα 35 από το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1)

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 Τηλ:10.93.4.450 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής Ορισμός : Συνάρτηση f μιας πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 48 49 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Κάθε συνάρτηση : A B με Α R n και Β R ονομάζεται πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Ι Αν Α R n και Β R n τότε έχουμε διανυσματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών f

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΑΣΚΗΣΗ Το βάρος μαθητών σε κιλά είναι : 5, 5, 57, 5, 6, 5, 5, 5, 57, 5 Να υπολογίσετε : α ) τη μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jodan Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y 6 με απαλοιφή Gauss. Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 28 Δεκεμβρίου 211 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 1.1 Ορισμοί.........................................

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Εισαγωγή Οι γεννήτριες συναρτήσεις είναι ένα από τα ισχυρά εργαλεία για μια ενοποιημένη αντιμετώπιση πολλών κατηγοριών προβλημάτων απαρίθμησης Ο Lplce έθεσε πρώτος τις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 1) 4 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ημερομηνία Ανάρτησης 14 Φεβρουαρίου 014 Ημερομηνία Παράδοσης της εργασίας από τον Φοιτητή 14 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

2.0. , κ R, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από το σημείο Ρ=(1,1). Να βρεθεί η τιμή του αριθμού κ.

2.0. , κ R, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από το σημείο Ρ=(1,1). Να βρεθεί η τιμή του αριθμού κ. Άσκηση. α Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία (,y, Α=(, και Β=(0, β Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο B(0, και έχει κλίση -0.. Να βρεθούν τα σημεία που

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ KAI ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μηχανική Ι (ακαδ. έτος , χειμερινό εξ.

ΕΘΝΙΚΟ KAI ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μηχανική Ι (ακαδ. έτος , χειμερινό εξ. ΕΘΝΙΚΟ KAI ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 56. Μηχανική Ι (ακαδ. έτος 6-7, χειμερινό εξ.) Προπτυχιακός Φοιτητής: Νικολαράκης Αντώνιος Αριθμός Μητρώου: 337

Διαβάστε περισσότερα