ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθηγητής. Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθηγητής. Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις"

Transcript

1

2

3 ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθηγητς Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις

4 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις Συγγραφ Βασίλης Αντωνόπουλος ISBN: Copright ΣΕΑΒ, 6 Το παρόν έργο αδειοδοτείται υπό τους όρους της άδειας Crativ Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορικ Χρση - Παρόμοια Διανομ.. Για να δείτε ένα αντίγραφο της άδειας αυτς επισκεφτείτε τον ιστότοπο ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΩΝ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 578 Ζωγράφου

5

6

7 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις v ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε όλες τις διαδικασίες φυσικών, χημικών και βιολογικών φαινόμενων υπάρχει ο όρος της ταχύτητας του ρυθμού μεταβολς. Στα μαθηματικά η ταχύτητα και ο ρυθμός μεταβολς εκφράζονται με την παράγωγο. Οι βασικές αρχές της διατρησης της μάζας και της ενέργειας περιέχουν και τον όρο της μεταβολς της εξεταζόμενης μεταβλητς με το χρόνο την απόσταση. Οι εξισώσεις που περιγράφουν αυτά τα φαινόμενα περιέχουν κάποια παράγωγο τα διαφορικά των μεταβλητών γι αυτό λέγονται διαφορικές εξισώσεις. Οι διαφορικές εξισώσεις με απλά λόγια είναι η αναπαράσταση των φυσικών, χημικών και βιολογικών φαινόμενων στη γλώσσα των μαθηματικών. Στις εφαρμοσμένες επιστμες, όπως είναι η Γεωργικ Μηχανικ, η Υδραυλικ, η Μηχανολογία, η Μηχανικ Περιβάλλοντος, η Χημεία, η Γεωλογία και η Βιολογία, οι διαφορικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν πολλά από τα προβλματά τους. Για τους λόγους αυτούς σε κάθε πρόγραμμα Σχολών Τμημάτων των εφαρμοσμένων επιστημών μηχανικών υπάρχει μάθημα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών - Διαφορικών Εξισώσεων. Στο πρόγραμμα της κατεύθυνσης των Εγγείων Βελτιώσεων, Εδαφολογίας και Γεωργικς Μηχανικς της Γεωπονικς Σχολς περιλαμβάνεται το μάθημα «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά» και στα παλαιότερα προγράμματα της Μεταπτυχιακς ειδίκευσης «Έγγειες Βελτιώσεις» το μάθημα «Ανώτερα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά». Για τις ανάγκες των παραπάνω μαθημάτων έχει γραφεί το βιβλίο με τίτλο «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις», που είναι συνέχεια των Πανεπιστημιακών Σημειώσεων με τίτλο «Συνθεις διαφορικές εξισώσεις. ΙΙ Ασκσεις και Προβλματα». Ο σκοπός της συγγραφς δεν είναι να γραφεί ένα άλλο βιβλίο Διαφορικών Εξισώσεων, αλλά να παρουσιαστούν και να δοθούν κυρίως λυμένες ασκσεις και προβλματα που περιγράφονται με διαφορικές εξισώσεις και λιγότερη θεωρία. Παρουσιάζονται επίσης αρκετά προβλματα από την ποιότητα των υδατικών πόρων, τη φυσικ, την υδραυλικ, την αραίωση διαλυμάτων, των χημικών αντιδράσεων, των αρδεύσεων, των στραγγίσεων, της υδρολογίας, της διατρησης της μάζας και της δυναμικς πληθυσμών. Θεσσαλονίκη 6 Βασίλης Αντωνόπουλος Καθηγητς

8 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις vi

9 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος Περιεχόμενα. Ορισμοί. Γενικά. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Λύση μιας διαφορικς εξίσωσης.4 Προσδιορισμός της διαφορικς εξίσωσης μίας συνάρτησης.5 Προβλματα αρχικς τιμς και προβλματα οριακς τιμς.6 Παράγωγος και διαφορικό συνάρτησης.7 Αόριστο ολοκλρωμα 5.8 Ασκσεις ου Κεφαλαίου 6. Διαφορικές εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού. Διαφορικές εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές. Διαφορικές εξισώσεις αμέσως ολοκληρώσιμες ακριβείς. Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης.4 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης.5 Ολοκληρωτικοί παράγοντες διαφορικς εξίσωσης.5. Προσδιορισμός του ολοκληρωτικού παράγοντα 4.5. Διαδικασία προσδιορισμού του ολοκληρωτικού παράγοντα 5.6 Διαφορικές εξισώσεις του Brnolli 6.7 Διαφορικές εξισώσεις του Riccati 7.8 Ασκσεις: Διαφορικές εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού 9.9 Εφαρμοσμένα Προβλματα των διαφορικών εξισώσεων ης τάξης και βαθμού 4.9. Διαδικασία επίλυσης φυσικών προβλημάτων με διαφορικές εξισώσεις 4.9. Προβλματα διάσπασης ραδιενεργών ουσιών 4.9. Προβλματα ποιότητας νερού Προβλματα φυσικς Προβλματα αραίωσης διαλυμάτων Προβλματα δυναμικς πληθυσμών Προβλματα αρδεύσεων Προβλματα υδραυλικς Προβλματα ισοζυγίου μάζας σε λίμνες/δεξαμενές 6. Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και Ανώτερου Βαθμού 65. Γενικά 65

10 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις viii. Διαφορικές εξισώσεις επιλύσιμες ως προς την παράγωγο p. Διαφορικές εξισώσεις επιλύσιμες ως προς την εξαρτημένη μεταβλητ 66.4 Διαφορικές εξισώσεις επιλύσιμες ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητ 66.5 Εξισώσεις Clairat 67.6 Εξισώσεις Lagrang 67.7 Ιδιάζουσες λύσεις των διαφορικών εξισώσεων ανώτερου βαθμού 68.7 Ασκσεις Διαφορικών Εξισώσεων ης τάξης και Ανώτερου βαθμού Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης Ομογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις της ης τάξης Ομογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Πλρεις μη ομογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις της ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μέθοδος των απροσδιόριστων συντελεστών μέθοδος της δοκιμαστικς συνάρτησης Μέθοδος του Lagrang μέθοδος της μεταβολς των παραμέτρων Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης των Elr-Cach Επίλυση των μη ομογενών γραμμικών διαφορικών εξισώσεων ης τάξης όταν είναι γνωστ μία λύση της αντίστοιχης ομογενούς Τέλειες ακριβείς διαφορικές εξισώσεις ης τάξης Λύση των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων ης τάξης με μεταβλητούς συντελεστές με μετασχηματισμούς των μεταβλητών Λύση διά του μετασχηματισμού της εξαρτημένης μεταβλητς Λύση διά του μετασχηματισμού της ανεξάρτητης μεταβλητς Προσδιορισμός μιας ειδικς λύσης της ομογενούς διαφορικς εξίσωσης ης τάξης με μεταβλητούς συντελεστές Ασκσεις διαφορικών εξισώσεων γραμμικών ης τάξης Προβλματα επιλύσιμα με διαφορικές εξισώσεις ης τάξης 8 5. Συστματα Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές 9 Ασκσεις Συστημάτων Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές 4 Προβλματα επιλύσιμα με συστματα διαφορικών εξισώσεων 5 6. Διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης 6 6. Διαφορικές εξισώσεις επιλύσιμες με διαδοχικές ολοκληρώσεις 6 6. Διαφορικές εξισώσεις που δεν περιέχουν την εξαρτημένη μεταβλητ 6 6. Διαφορικές εξισώσεις που δεν περιέχουν την εξαρτημένη μεταβλητ Διαφορικές εξισώσεις ομογενείς ως προς,,,,. (ν). 6 Ασκσεις Διαφορικών Εξισώσεων Ανώτερης Τάξης 6 7. Επίλυση Διαφορικών εξισώσεων ης τάξης με τη Μέθοδο των Εκθετικών σειρών 7 7. Γενικά 7 65

11 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις i 7. Διαφορικ εξίσωση του Bssl 7 7. Τροποποιημένη διαφορικ εξίσωση του Bssl Ασκσεις διαφορικών εξισώσεων ης τάξης επιλύσιμες με τη μέθοδο των εκθετικών σειρών Συναρτσεις Γάμμα Συνάρτηση σφάλματος (rror fnction) 9 8. Μετασχηματισμοί Laplac Γενικές Αρχές Μετασχηματισμός βασικών συναρτσεων με τη μέθοδο των μετασχηματισμών Laplac Μετασχηματισμός των παραγώγων συναρτσεων Μετασχηματισμός των ολοκληρωμάτων συναρτσεων 8.5 Αντίστροφοι μετασχηματισμοί Θεώρημα συνέλιξης δύο συναρτσεων Λύση προβλημάτων αρχικς τιμς Λύση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με συντελεστές πολυώνυμα προβλματα αρχικς τιμς Ασκσεις μετασχηματισμών Laplac Ασκσεις για λύση 6 9. Διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους 8 9. Συναρτσεις δυο μεταβλητών μερικά διαφορικά 8 9. Μερικά διαφορικά και παράγωγοι 8 9. Σύνθετες συναρτσεις Αλλαγ των ανεξάρτητων μεταβλητών 9.5 Μερικές διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν προβλματα υδραυλικς 9.6 Κατάταξη των μερικών διαφορικών εξισώσεων Ασκσεις 6. Σειρές Forir. Γενικά. Μορφ των σειρών Forir 4. Σειρές Forir για οποιαδποτε περίοδο 6.4 Σειρές Forir του ημιτόνου του συνημιτόνου 7.5 Μετασχηματισμοί Forir 8.6 Λυμένες Ασκσεις 4.7 Πρόσθετες Ασκσεις για λύση 47. Μέθοδοι Επίλυσης Διαφορικών εξισώσεων με Μερικές Παραγώγους 5. Γενικά 5. Μέθοδος των μετασχηματισμών Laplac 5

12 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις.. Επίλυση της μονοδιάστατης εξίσωσης διάχυση 5.. Επίλυση της μονοδιάστατης εξίσωσης μεταφοράς μάζας 57.. Λύση της εξίσωσης μεταφορά μάζας με μετασχηματισμό της στην εξίσωση διάχυσης 6..4 Λύση της εξίσωσης μεταφορά μάζας με μετασχηματισμό της στην εξίσωση διάχυσης 66. Μέθοδος των μεταβλητών ομοιότητας 7.. Επίλυση της μονοδιάστατης εξίσωσης διάχυσης 7.. Επίλυση της μονοδιάστατης εξίσωσης κίνησης του νερού προς φρεάτιο 75.4 Μέθοδος διαχωρισμού των μεταβλητών Επίλυση της μονοδιάστατης εξίσωσης διάχυσης της θερμότητας Επίλυση της μονοδιάστατης εξίσωσης μη μόνιμης ακτινικς ρος του υπόγειου νερού 8.4. Επίλυση της μονοδιάστατης εξίσωσης διάχυσης της θερμότητας στο έδαφος Αναλυτικ λύση για την περίπτωση που είναι Τα 87.5 Πρόσθετες Ασκσεις 89 Βιβλιογραφία 97 Παράρτημα 99

13 . Ορισμοί. Ορισμοί. Γενικά Διαφορικ εξίσωση είναι μια εξίσωση μιας άγνωστης συνάρτησης, που περιέχει τουλάχιστο μία παράγωγο της συνάρτησης. Συμβολισμός F(,,,,. (ν) ) = (.) Οι διαφορικές εξισώσεις μιας συνάρτησης () ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητ λέγονται συνθεις διαφορικές εξισώσεις. Οι διαφορικές εξισώσεις που περιέχουν μερικές παραγώγους μιας άγνωστης συνάρτησης ως προς πολλές μεταβλητές λέγονται μερικές διαφορικές εξισώσεις εξισώσεις με μερικές παραγώγους. σ αυτ. Τάξη μιας διαφορικς εξίσωσης είναι η τάξη της υψηλότερης παραγώγου, που περιέχεται Παραδείγματα. ης τάξης διαφορικ εξίσωση: ( ) sin ης τάξης διαφορικ εξίσωση: ( ( ) ) sin C C C t D ης τάξης διαφορικ εξίσωση: ( sin ) Βαθμός της διαφορικς εξίσωσης είναι ο βαθμός της υψηλότερης παραγώγου που περιέχεται σ αυτ. Παραδείγματα

14 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις ου βαθμού: ( ου βαθμού: ) sin ( ) sin ( ) sin. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις Γραμμικ διαφορικ εξίσωση ν-οστς τάξης είναι κάθε διαφορικ εξίσωση που μπορεί να γραφεί με τη μορφ: ( ) a () ( ) a () ( )... a o () r() όπου αο(), α() αν-() και r() είναι συναρτσεις του. Παραδείγματα: Γραμμικ διαφορικ εξίσωση ης τάξης p() r() Γραμμικ διαφορικ εξίσωση ης τάξης p() q() r() Γραμμικ διαφορικ εξίσωση ης τάξης p() q() r() (.) Γραμμικές ομογενείς διαφορικές εξισώσεις ν-οστς τάξης είναι οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις για τις οποίες r() =, δηλ. ( ) a () ( ) a () ( )... a o (). (.). Λύση μιας διαφορικς εξίσωσης Λύση ολοκλρωμα της διαφορικς εξίσωσης F(,,,.. ( ) λέγεται κάθε συνάρτηση ) (.4) f () (.5) που επαληθεύει εκ ταυτότητος την εξίσωση (.4), δηλαδ F(,f(),f (),f ()... f ( ) ()) (.6) Η καμπύλη που παριστάνει η λύση =f() λέγεται ολοκληρωτικ καμπύλης της διαφορικς εξίσωσης (.4).

15 . Ορισμοί Γενικ λύση ολοκλρωμα μιας διαφορικς εξίσωσης νιοστς τάξης λέγεται η συνάρτηση = σ(, c, c,...cν) που περιέχει ν ανεξάρτητες αυθαίρετες σταθερές και επαληθεύει την εξίσωση (.4). Μερικ ειδικ λύση/ολοκλρωμα μιας διαφορικς εξίσωσης λέγεται η συνάρτηση που προκύπτει από τη γενικ λύση της για ορισμένες τιμές των παραμέτρων της. Ιδιάζουσες λύσεις μιας διαφορικς εξίσωσης είναι συναρτσεις που επαληθεύουν τη διαφορικ εξίσωση, αλλά δεν προκύπτουν από τη γενικ τους λύση..4 Προσδιορισμός της διαφορικς εξίσωσης μίας συνάρτησης Η διαφορικ εξίσωση μίας συνάρτησης (γενικς λύσης) που περιέχει ν αυθαίρετες σταθερές, προσδιορίζεται με διαδοχικές παραγωγίσεις της συνάρτησης ν φορές ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητ με αποτέλεσμα ν εξισώσεις. Η απάλειψη των ν παραμέτρων από το σύστημα των εξισώσεων αυτών δίνει τη διαφορικ εξίσωση..5 Προβλματα αρχικς τιμς και προβλματα οριακς τιμς Η ολοκληρωμένη περιγραφ ενός προβλματος γίνεται με την διαφορικ εξίσωση και κάποια συνθκη την οποία ικανοποιεί η διαφορικ εξίσωση. Στις περισσότερες βοηθητικές συνθκες, η τιμ της άγνωστης συνάρτησης η τιμ μια παραγώγου της περιγράφεται σε ένα σημείο =o. Αν όλες οι βοηθητικές συνθκες περιγράφονται στο ίδιο σημείο o, αυτές λέγονται αρχικές συνθκες. Το σημείο o λέγεται αρχικό σημείο και η περιγραφόμενη τιμ αρχικ τιμ. Ένα πρόβλημα αρχικς τιμς συνίσταται στον προσδιορισμό της λύσης της διαφορικς εξίσωσης που ικανοποιεί τις αρχικές συνθκες. Αν οι βοηθητικές συνθκες ορίζονται σε περισσότερα από ένα σημεία, τότε αυτά λέγονται οριακές συνθκες. Ένα πρόβλημα οριακς τιμς συνίσταται στον προσδιορισμό μίας λύσης της διαφορικς εξίσωσης που να ικανοποιεί τις οριακές συνθκες. Παράδειγμα. Η λύση της διαφορικς εξίσωσης + = που ικανοποιεί τις αρχικές συνθκες () =, () = είναι ένα πρόβλημα αρχικς τιμς. Το σημείο o= είναι το αρχικό σημείο και οι σταθερές και είναι οι αρχικές τιμές. Η λύση της διαφορικς εξίσωσης + = που ικανοποιεί τις οριακές συνθκες () =, () = είναι ένα πρόβλημα οριακς τιμς..6. Παράγωγος και διαφορικό συνάρτησης Έστω=f() μια συνάρτηση που συνδέει τις μεταβλητές ποσότητες και. Αν η μεταβολ της ανεξάρτητης μεταβλητς από το o στο συμβολιστεί με Δ = - o και η

16 4 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις αντίστοιχη μεταβολ της εξαρτημένης μεταβλητς Δ=f()-f(o), τότε η μέση μεταβολ της στο διάστημα (o, o+δ) θα είναι f () f ( o ) f ( o ) f ( o ) () (.7) o Το όριο της μέσης μεταβολς λ(), στο o ( Δ ) συμβολίζεται με f () και περιγράφει τη στιγμιαία μεταβολ της συνάρτησης στο σημείο o, δηλαδ f ( o ) lim o f () f ( o o ) lim f ( o ) f ( Η συνάρτηση f(o) ενός υποσυνόλου του πεδίου τιμών λέγεται παράγωγος της f(). Η παράγωγος συμβολίζεται με τις εξς εκφράσεις: df d, f (), d d o ) (.8) ' d ' f,,,, D, D, Df (.9) d Η μερικ παράγωγος μιας συνάρτησης =f(,,z, t) πολλών μεταβλητών ως προς μια από αυτές, για παράδειγμα την ορίζεται από τη σχέση f (,, z,...t) f (,, z,...t) lim lim (.) Στην περίπτωση αυτ εξετάζεται μόνο η μεταβολ της μιας ανεξάρτητης μεταβλητς. Μια συνάρτηση των n μεταβλητών έχει n μερικές παραγώγους πρώτης τάξης. Ο συμβολισμός των μερικών παραγώγων έχει ως εξς: f,,, f Οι μερικές παράγωγοι και (.) μιας συνάρτησης =f(,) λέγονται μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης πρώτες μερικές παράγωγοι. Με την παραγώγιση αυτών των παραγώγων ακόμη μια φορά, προκύπτουν οι μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης. f (, ), f (, ), f (, ), f (, ) (.) Διαφορικά των μεταβλητών, είναι κάθε μεταβολ τους που μπορεί να είναι αυθαίρετη τιμ (d=δ). Το διαφορικό μιας συνάρτησης =f() για μια ορισμένη τιμ του και ένα δεδομένο διαφορικό d ορίζεται από τη σχέση d f ()d (.) Το μερικό διαφορικό μιας συνάρτησης =f(,,z, t) ορίζεται από τη σχέση d d (.4) Αν =f(,, t) είναι μια διαφορίσιμη συνάρτηση, τότε το ολικό διαφορικό ορίζεται από τη σχέση d d d... dt (.5) t

17 . Ορισμοί 5 Κάθε συνεχς συνάρτηση πολλών μεταβλητών που έχει μερικές παραγώγους ως προς όλες τις μεταβλητές σε ένα δεδομένο σημείο είναι διαφορίσιμη σ αυτό το σημείο. H σωματιδιακ παράγωγος ορίζεται ως εξς: D Dt v w (.6) t z Για παράδειγμα, η σωματιδιακ παράγωγος της συγκέντρωσης C είναι DC C C C C v w (.7) Dt t z.7 Αόριστο ολοκλρωμα Αόριστο ολοκλρωμα αρχικ συνάρτηση της συνάρτησης f() στο διάστημα [α,β] καλείται η συνάρτηση F() παραγωγίσιμη στο [α,β], που ικανοποιεί τη σχέση F () = f() (.8) Για τη συνάρτηση F() χρησιμοποιείται ο συμβολισμός F() = f()d (.9) Στο συμβολισμό αυτό, το σύμβολο είναι το σύμβολο της ολοκλρωσης, ενώ το γινόμενο f()d λέγεται στοιχείο της ολοκλρωσης. Η πράξη υπολογισμού του αόριστου ολοκληρώματος μιας συνάρτησης λέγεται ολοκλρωση. Η γραφικ παράσταση μιας αρχικς συνάρτησης f() καλείται ολοκληρωτικ καμπύλη της συνάρτησης f(). Επειδ αν η F() είναι μία παράγουσα συνάρτηση της f() και επειδ το ίδιο ισχύει για την F()+c, για οποιαδποτε σταθερά c, γιατί [F() +c] = F () = f() (.) ο πλρης ορισμός του αόριστου ολοκληρώματος (εξ..) είναι ο εξς: F() = f()d + c (.) Ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώματος F () = (f()d) = f() (.) df()d = f()d (.) δηλαδ τα σύμβολα d,, όταν είναι το ένα μετά το άλλο αλληλοαναιρούνται kf()d = kf()d (.4) [cf() + cf() + cf() + ]d = cf()d+ cf()d + cf()d + (.5) Κανόνας διαδοχικς ολοκλρωσης ()dw() ()w() w()d() (.6)

18 6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις.8 Ασκσεις ου Κεφαλαίου Λυμένες Ασκσεις Άσκηση.. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση =9+ - αποτελεί λύση της διαφορικς εξίσωσης + = 9 () Απάντηση Για να δειχθεί ότι η συνάρτηση =9+ - αποτελεί λύση της διαφορικς εξίσωσης () θα πρέπει να υπολογιστεί η. Είναι = - - Αντικαθιστώντας την και στην εξ. () έχουμε + = = 9 () Άρα η δοθείσα συνάρτηση επαληθεύει τη διαφορικ εξίσωση. Άσκηση.. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση = α + β αποτελεί λύση της διαφορικς εξίσωσης = () Απάντηση Για να δειχθεί ότι η συνάρτηση = α + β αποτελεί λύση της διαφορικς εξίσωσης () θα πρέπει να υπολογιστεί η και. Είναι = α + β = α + 6β Αντικαθιστώντας την, και στην εξ. () έχουμε = 4 (α + 6β) 4 (α + β ) + 6 (α + β ) = = α 4 + 6β 4 8α + β + 6α + 6β = Άρα η δοθείσα συνάρτηση επαληθεύει τη διαφορικ εξίσωση. Άσκηση.. Να δειχθεί ότι οι συναρτσεις = c + (-)c + () και = -.5 () αποτελούν λύσεις της διαφορικς εξίσωσης ( ) +(-) + = () Απάντηση Για να δειχθεί ότι η συνάρτηση = c + (-)c + αποτελεί λύση της διαφορικς εξίσωσης () θα πρέπει να υπολογιστεί η. Είναι = c (4)

19 . Ορισμοί 7 Αντικαθιστώντας την και στην εξ. () έχουμε c +( -)c-c - (-)c -+= (5) Άρα η συνάρτηση () επαληθεύει τη διαφορικ εξίσωση και περιέχει μια αυθαίρετη σταθερά, που σημαίνει ότι είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (). Η αντικατάσταση της συνάρτησης () και της παραγώγου της = -.5 (6) στην εξ. () δίνει (-.5) +(-)(-.5) = = Άρα η συνάρτηση () επαληθεύει τη διαφορικ εξίσωση, επειδ όμως δεν περιέχει καμία αυθαίρετη σταθερά, ούτε προέρχεται από την γενικ λύση () αποτελεί ιδιάζουσα λύση της διαφορικς εξίσωσης (). Άσκηση.4. Να βρεθεί η διαφορικ εξίσωση η οποία έχει γενικ λύση τη συνάρτηση ( a) a () Παραγωγίζεται η εξ. (): ( a) ' () Από την οποία a = + () Αντικατάσταση της παραμέτρου a από την εξ. () στην εξ. () δίνει ( ') ( ') ( ') ' (') Τελικό ( ' )d d (4) είναι η ζητούμενη διαφορικ εξίσωση. Άσκηση.5. Να βρεθεί η διαφορικ εξίσωση η οποία έχει γενικ λύση τη συνάρτηση = acosn + bsinn () Παραγωγίζεται η εξ. () δύο φορές: ' an sin n nb cosn '' an cosn n bsin n Στις τρεις εξισώσεις (), () και () υπάρχουν δύο παράμετροι. Απαλείφουμε τις παραμέτρους a και b μεταξύ των εξ. () και (). Λύνουμε την () ως προς acosn και αντικαθιστούμε στην εξ. () acosn= -bsinn (4) () ()

20 8 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις '' n ( bsin n) n bsin n '' n Μια άλλη μεθοδολογία βασίζεται στην παραδοχ ότι οι εξισώσεις () μέχρι () αποτελούν σύστημα τριών εξισώσεων με δυο αγνώστους. Στην περίπτωση αυτ η ορίζουσα των συντελεστών θεωρείται μηδέν και η λύση έχει ως εξς: ' ' ' n Τελικά n sin n n sin '' nsin cosn cosn n cosn n n '' n cos n n cos sin n sin n n ' n n ' n sin n cosn sin n cosn n(sin n cos n)('' n (5) '' n (6) είναι η ζητούμενη διαφορικ εξίσωση. Άσκηση.6. Η εξίσωση Kostiakov, που δίνει την αθροιστικ διηθητικότητα του νερού στην περίπτωση κατάκλυσης του εδάφους, έχει ως εξς: b at () όπου a και b παράμετροι της εξίσωσης και t ο χρόνος. Να βρεθεί η διαφορικ εξίσωση που έχει λύση την παραπάνω εξίσωση. Παραγωγίζεται η εξ. () δύο φορές: ' '' b () abt b () ab(b )t Στις τρεις εξισώσεις (), () και () υπάρχουν δύο παράμετροι. Απαλείφουμε τις παραμέτρους a και b μεταξύ των εξ. () έως (). Διαιρούμε τις εξ. () και () και αντίστοιχα () και () μεταξύ τους και προκύπτει t με b t ' (4) ' b ' '' t με b Από τις εξ. (4) και (5) προκύπτει '' b t (5) ' ' ' ' '' ' t t t t (6) ' ' t'' t(') ' (7) είναι η ζητούμενη διαφορικ εξίσωση.

21 Άσκηση.7. Να προσδιοριστούν τα ολοκληρώματα i. sin d ii. d. Ορισμοί 9 Απάντηση: Θα χρησιμοποιηθεί ο κανόνας της διαδοχικς ολοκλρωσης ()dw() ()w() w()d() Είναι αντίστοιχα i. sin d d cos cos cosd ii. sin d cos dsin cos sin sin d cos sin cos d d d d d 4 Ασκσεις για λύση.8. Να δειχθεί ότι οι παρακάτω συναρτσεις αποτελούν λύσεις των αντίστοιχων διαφορικών εξισώσεων ), = 4 ) C C, ( ) c ), + = 4.9. Να δειχθεί ότι οι παρακάτω ανεξάρτητες συναρτσεις αποτελούν λύσεις των αντίστοιχων διαφορικών εξισώσεων, και ότι το γραμμικό άθροισμά τους αποτελεί επίσης λύση της, c ) c ), διαφορικ εξίσωση ( ) sin, cos, διαφορικ εξίσωση.. Να δειχθεί ότι οι παρακάτω ανεξάρτητες συναρτσεις αποτελούν λύσεις των αντίστοιχων διαφορικών εξισώσεων, αλλά το γραμμικό άθροισμά τους δεν αποτελεί λύση της ) ), cos, διαφορικ εξίσωση =, sin, διαφορικ εξίσωση

22 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις.. Να προσδιοριστούν οι διαφορικές εξισώσεις που έχουν γενικ λύση τις συναρτσεις d ) Bcos( t a) ( ) dt ) c ( )d d ) C C ( = ) 4) C C ( 5 6 ) 5) C C (( ) ) ).. Να δειχθεί ότι τα παρακάτω ζεύγη συναρτσεων αποτελούν λύσεις των αντίστοιχων συστημάτων διαφορικών εξισώσεων α) Το ζεύγος συναρτσεων 8 / c c / z = c c + αποτελεί λύση του συστματος διαφορικών εξισώσεων + () 4 - () z 4 () ' z z (4) β) Το ζεύγος συναρτσεων 8 cos sin C 4 4 = / 5 () 67 z = sin cos + αποτελεί λύση του συστματος διαφορικών εξισώσεων C -/5 + C () 4 z + = sin () + z = cos (4)

23 . Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού. Διαφορικές εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού Η γενικ μορφ των διαφορικών εξισώσεων ης τάξης και ου βαθμού έχει ως εξς: Q(, ) P(, ) (.) Ισοδύναμες μορφές: F(, ) P(, ) / Q(, ) (.) P(, )d Q(, )d (.) όπου P(,) και Q(,) είναι συναρτσεις των και.. Διαφορικές εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές Διαφορικές εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές λέγονται οι διαφορικές εξισώσεις που μπορούν να γραφούν με την εξς μορφ: P()d Q()d (.4) όπου P() συνάρτηση μόνο του και Q() συνάρτηση μόνο του. Γενικ λύση: ()d Q()d P c (.5) Παράδειγμα Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ης τάξης ( ) ( ) () Η Διαφορικ Εξίσωση () είναι με χωριζόμενες τις μεταβλητές, γιατί ( )d ( )d () d d ( ) Ολοκληρώνοντας την τελευταία εξ. () προκύπτει: () για ( ) () d d c (4) για - = ω, = -ω, d = dω και ( )d d d ( k)dk c k dk k dk c - = k, = - k, d = -dk

24 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις - ln ω + ω ln k + k = c ln ωk + ω k = c ln (-)(-) = c ln (-)(-) = c (5).. Διαφορικές εξισώσεις αμέσως ολοκληρώσιμες ακριβείς Θεώρημα: Μια διαφορικ εξίσωση P(, )d Q(, )d (.6) είναι αμέσως ολοκληρώσιμη ακριβς εάν και μόνο εάν οι συναρτσεις P(,) και Q(,) επαληθεύουν εκ ταυτότητος τη σχέση: P Q η γενικ λύση δίνεται από τη σχέση (.7) P(, ) Q( o)d c (.8) o όπου o είναι διευκολύνουσα σταθερά... Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Ομογενς συνάρτηση. Η συνάρτηση F(,) λέγεται ομογενς ως προς και νιοστού βαθμού, αν F(, ) F(, ) (.9) Παράδειγμα: συνάρτηση F(, ) ( ) F(, ) ( )( ) άρα η F(,) ομογενς ου βαθμού. Ιδιότητες ομογενών συναρτσεων. τότε ( ) F(, ) α) Αν F(,) και G(,) ομογενείς βαθμού ομογένειας n και m αντίστοιχα, F(,).G(,) είναι ομογενς n+m βαθμού F(,)/G(,) είναι ομογενς n-m βαθμού β) Αν F(,) ομογενς τότε αν χρησιμοποιηθεί ο μετασχηματισμός = η συνάρτηση γίνεται F(). Ομογενς διαφορικ εξίσωση. Η διαφορικ εξίσωση P(, )d Q(, )d (.)

25 . Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού λέγεται ομογενς αν οι P(,) και Q(,) είναι ομογενείς συναρτσεις του ιδίου βαθμού. Η λύση των ομογενών διαφορικών εξισώσεων προκύπτει με το μετασχηματισμό της χρησιμοποιώντας τη νέα μεταβλητ =/ = Η παράγωγος της μεταβλητς θα είναι : d d (.) d d Αν αντικατασταθεί η μεταβλητ και η παράγωγός της d/d στη διαφορικ εξίσωση (.) θα προκύψει η ισοδύναμη διαφορικ εξίσωση d F() d με χωριζόμενες μεταβλητές. (.).4. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης Η γενικ μορφ των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων ης τάξης έχει ως εξς: () a () Q() (.) a o Πιο συνθης μορφ d p() q() (.4) d Η συνάρτηση pd ( ) (.5) είναι ολοκληρωτικός παράγοντας της διαφορικς εξίσωσης (.4). Αν πολλαπλασιαστεί η εξ. (.4) με τη συνάρτηση μ(), τότε το πρώτο μέρος της θα είναι ίσο με την ολικ παράγωγο ως προς του γινομένου () και άρα η λύση της (.4) θα είναι: d d () ().q() pd q() pd d c pd pd pd q() d c (.6).5. Ολοκληρωτικοί παράγοντες διαφορικς εξίσωσης Ορισμός: Γενικά μια μη μηδενικ συνάρτηση μ(,) λέγεται ολοκληρωτικός παράγοντας της διαφορικς εξίσωσης P(, )d εάν το γινόμενο Q(, )d (.7)

26 4 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις (, ).[P(, )d Q(, )d] (.8) είναι διαφορικ εξίσωση αμέσως ολοκληρώσιμη. Θεώρημα: Κάθε διαφορικ εξίσωση της μορφς (.7), η οποία έχει λύση την παραγωγίσιμη συνάρτηση (,)=c, έχει και ολοκληρωτικό παράγοντα μ(,) και μάλιστα άπειρο αριθμό ολοκληρωτικών παραγόντων..5. Προσδιορισμός του ολοκληρωτικού παράγοντα Θεώρημα ο : Αν στη διαφορικ εξίσωση P(, )d έχουμε την παράσταση P Q ( ) f () Q Q(, )d (.9) (.) ως συνάρτηση μόνο της ανεξάρτητης μεταβλητς, τότε υπάρχει ολοκληρωτικός παράγοντας που δίνεται από τη σχέση f ()d ( ) (.) Θεώρημα ο : Αν στη διαφορικ εξίσωση (.9) έχουμε P Q ( ) g() P (.) ως συνάρτηση μόνο της εξαρτημένης μεταβλητς τότε ολοκληρωτικός παράγοντας δίνεται από τη σχέση g()d ( ) (.) Θεώρημα ο : Αν για τη διαφορικ εξίσωση (.9) έχουμε P Q ( ) f (w) Q P ως συνάρτηση του γινομένου =w, τότε με w= (.4) f (w)dw ( w) (.5) Θεώρημα 4 ο : Αν η διαφορικ εξίσωση (.9) έχει τη μορφ τότε f()d g()d (.6) (g ) (.7) [f ( ) g( )] P Q Θεώρημα 5 ο : Αν η διαφορικ εξίσωση είναι ομογενς και P Q, τότε (, ) (.8) P Q Θεώρημα 6 ο : Αν η διαφορικ εξίσωση έχει τη μορφ m n m n ( B )d (C D )d (.9)

27 . Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού 5 τότε a b (.).5. Διαδικασία προσδιορισμού του ολοκληρωτικού παράγοντα Έστω η διαφορικ εξίσωση P(, )d Q(, )d (.) και μ(,) ολοκληρωτικός παράγοντας με τον οποίο η εξίσωση Pd Qd (.) είναι αμέσως ολοκληρώσιμη, θα ισχύει: και άρα ( P) ( Q) P Q P Q P Q ( ) Q P (.4) (.) Από την εξ. (.) προέκυψε η εξ. (.4), η οποία είναι μερικ διαφορικ εξίσωση ως προς μ. Επειδ δεν είναι γνωστ η λύση της εξ. (.4) και για απλοποίηση της διαδικασίας, γίνεται η παραδοχ ότι η συνάρτηση μ είναι μόνο συνάρτηση του. Τότε / d / d. Άρα η εξ. (.4) γίνεται P Q d ( )d Q Από την τελευταία προκύπτει ότι αν τότε P Q ( ) f () Q / (.5) (.6) f ()d ( ) (.7) που είναι το ο θεώρημα της παραγράφου.5.. Αν γίνει η παραδοχ ότι η συνάρτηση μ είναι μόνο του, τότε / και / d / d και άρα η εξ. (.4) γίνεται Άρα αν τότε P Q d ( )d P P Q ( ) g() P (.8) (.9) g() d ( ) (.4) και

28 6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις.6 Διαφορικές εξισώσεις του Brnolli Η γενικ μορφ των διαφορικών εξισώσεων του Brnolli (Brnolli, J., , Ελβετός μαθηματικός) είναι η εξς: d P() Q() d όπου.. Η γενικ λύση προκύπτει ακολουθώντας τα παρακάτω βματα: Πολλαπλασιάζεται η διαφορικ εξίσωση επί -ν, τότε d P() d Εισάγεται η νέα μεταβλητ Q() (.4) (.4) d d ( ) (.4) d d Γίνονται οι αντικαταστάσεις και αναδιάταξη των όρων με d p() q() (.44) d p()=(-ν)p()και q()=(-ν)q() Λύνεται η γραμμικ διαφορικ εξίσωση ολοκληρωτικός παράγοντας p()d πολλαπλασιασμός της διαφορικς εξίσωσης ολοκλρωση Γίνεται η αντίστροφη αντικατάσταση: d d ( ) q() p()d p()d p()d q() c (.45) /( ) (.46) Παράδειγμα Να βρεθεί η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης Brnolli. (cos sin ) () πολλαπλασιάζουμε τη διαφορικ εξίσωση () με - : θέτουμε cos sin d d d d και () (α,β) d d cos sin sin cos (4) d d Η εξ. (4) είναι γραμμικ με

29 . Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού 7 και Αν τότε d (5) d d sin d cos d C cos d και sin. d A cos sin και η εξ. (6) γίνεται B d sin dsin d sin B C sin sin B sin d sin C sin C (7) και από την εξ. (α) προκύπτει η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (): / C sin (8) (6).7 Διαφορικές εξισώσεις του Riccati εξς: Η γενικ μορφ των διαφορικών εξισώσεων του Riccati (Riccati, J., ) έχει ως d P() Q() R() (.47) d Οι διαφορικές εξισώσεις Riccati δεν μπορούν να λυθούν απευθείας, εκτός αν γνωρίζουμε μία λύση της (). Στην περίπτωση αυτ η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης θεωρείται ότι δίνεται από τη σχέση () () από την οποία () d d d (.48) d d d Η συνάρτηση ικανοποιεί τη γραμμικ διαφορικ εξίσωση d d P() Q() P() (.49) Από την επίλυση της εξ. (.49) προσδιορίζεται η συνάρτηση ()

30 8 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις Παράδειγμα: Να δοθεί η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης: ( )( ) () Η διαφορικ εξίσωση () μπορεί να γραφεί με τη μορφ: () από την οποία προκύπτει ότι η διαφορικ εξίσωση είναι τύπου Riccati. Από την εξίσωση () εύκολα επίσης προκύπτει ότι μία λύση της διαφορικς εξίσωσης είναι η συνάρτηση = (4) Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης () () θα έχει τη μορφ: d d της οποίας η παράγωγος είναι d d Αντικαθιστούμε τη συνάρτηση και την παράγωγό της από τις εξ. (5α) και (5β) στην εξίσωση () d d d d d (6) d Η διαφορικ εξίσωση (6) είναι γραμμικ με d ln (7) και μετά τον πολλαπλασιασμό και την εκτέλεση των πράξεων γίνεται d d d c ( ) c d () c / (8) c Αντικατάσταση της συνάρτησης της εξ. (8) στην (5α) δίνει τη γενικ λύση (7) c (5α) (5β)

31 . Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού 9.8 Ασκσεις: Διαφορικές εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού. Διαφορικές εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές Άσκηση.. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ης τάξης + ( + ) = () Η διαφορικ εξίσωση () είναι με χωριζόμενες τις μεταβλητές, γιατί ( + )d + d = () d d () για () ολοκληρώνοντας την τελευταία εξ. () προκύπτει: επειδ d tan c d d tan, α > a a a Άρα η γενικ λύση θα είναι η συνάρτηση tan c για c = c και για κάθε. d c (4) (5) Να λυθούν οι ασκσεις ) Να λυθούν οι διαφορικές εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές ) ( + ) + ( + ) = ) ( + )(cos) + 4 = ) Να βρεθεί η λύση του προβλματος αρχικς τιμς ', για () = Με τη βοθεια της συνάρτησης σφάλματος rf () d

32 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις να εκφραστεί η μεταβλητ ως προς. Το ολοκλρωμα αυτό δεν μπορεί να λυθεί αναλυτικά. Οι τιμές της rf() δίνονται συνθως σε πίνακες. ) Να λυθούν οι διαφορικές εξισώσεις ) sincos = cos με λύση tan = sc + tan ) d ( ) d με λύση tan( ) 4. Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Άσκηση.. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ( + )d + ( + )d = () Η διαφορικ εξίσωση () είναι ομογενς επειδ οι συναρτσεις P(,)= ( + ) και Q(,)=( + ) είναι ομογενείς ου βαθμού, δηλαδ ισχύει P(λ,λ)= (λ λ + λ ) = λ ( + ) = λ P(,) Q(λ,λ)=(λ + λλ ) = λ ( + ) = λ Q(,) Χρησιμοποιώντας τη νέα μεταβλητ = και την παράγωγό της μετασχηματίζεται ως εξς: ( + ) + ( + d )( ) = d ( + ) + ( + d )( ) = d + 4( + d = d d + ) d + + d d = (α) (β) d d, η εξ. () d d = () Η διαφορικ εξίσωση () έχει χωρισμένες τις μεταβλητές και μπορεί να ολοκληρωθεί. Μετά την ολοκλρωση προκύπτει 4( d ) d + = C d( 4( ) d + ln = C ) ln + ln = C ln ( + ) 4 = 4C = C (4) 4 Μετά την αντιλογαρίθμηση και την αντικατάσταση της μεταβλητς από την = η εξ. (4) γράφεται 4 C C ( + ) = C (5) Η εξίσωση (5) είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης ().

33 Να λυθούν οι ασκσεις Να λυθούν οι ομογενείς διαφορικές εξισώσεις ). Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού ' με λύση = sin(ln) = ) d = ( )d με λύση ln + = c ) (-) = με λύση ln C 4) = (ln ln) με λύση c 5) ( + )d- d= με λύση - = c. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης Άσκηση... Να βρεθεί η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης = () H διαφορικ εξίσωση () είναι γραμμικ ης τάξης. Υπολογίζεται ο ολοκληρωτικός παράγοντας μ = pd d () Πολλαπλασιάζεται η εξ. () επί τον ολοκληρωτικό παράγοντα μ, και εκτελούνται οι πράξεις αναδιάταξης των όρων και η ολοκλρωση, που έχουν ως εξς: - - = - d d d d d d C C C () Η εξ. () είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (). Άσκηση... Να βρεθεί η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης = 5 () H διαφορικ εξίσωση () είναι γραμμικ ης τάξης. Η εξ. () μπορεί να γραφεί = 4 () Υπολογίζεται ο ολοκληρωτικός παράγοντας μ = pd d ln () Πολλαπλασιάζεται η εξ. () επί τον ολοκληρωτικό παράγοντα μ, και εκτελούνται οι πράξεις αναδιάταξης των όρων και η ολοκλρωση, που έχουν ως εξς: - - = 4 - d d d/ d d / d C

34 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις 5 / C C (4) Η εξ. (4) είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης () για όλες τις τιμές του. Ασκσεις για λύση α) + tan = sin, αν () =, { = 4cos cos } β) + =, αν () =, { = + - } γ) = sin + cot (cot=cos/sin), { = sin + csin} δ) = +sin +, { = -(+)-.5(sin+cos) - +c} ε) = ( -), { = - c }.4 Διαφορικές εξισώσεις αμέσως ολοκληρώσιμες ακριβείς και ολοκληρωτικοί παράγοντες διαφορικς εξίσωσης Άσκηση.4.. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ( + sin)d + (cos )d = () Η διαφορικ εξίσωση έχει P(,)= ( + sin) και Q(,)= (cos ) για τις οποίες ισχύει P Q sin cos cos - cos Η διαφορικ εξίσωση () είναι αμέσως ολοκληρώσιμη επειδ P Q cos Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης () προκύπτει με άμεση ολοκλρωση ως εξς: o ( sin ) (o cos )d c Αν o=, η ολοκλρωση της εξ. (4) δίνει ( sin ) d c sin + sin = c (5) που είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης () c (α) (β) () (4) Άσκηση.4.. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση d + ( + )d = () Η διαφορικ εξίσωση έχει P(,)= και Q(,)= + για τις οποίες ισχύει

35 P Q. Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού Η διαφορικ εξίσωση () είναι αμέσως ολοκληρώσιμη επειδ P Q Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης () προκύπτει με άμεση ολοκλρωση ως εξς: o ( o )d c Αν o=, η ολοκλρωση της εξ. (4) δίνει c + = c (5) που είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης () (α) (β) () (4) Άσκηση.4.. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση (ln)d + ( + )d = () Η διαφορικ εξίσωση () έχει P(,)= (ln) και Q(, ) για τις οποίες ισχύει P ( (ln) ln ln Q + ) Άρα η διαφορικ εξίσωση () δεν είναι αμέσως ολοκληρώσιμη. Παρατηρούμε ότι η παράσταση P P Q ln ln g() είναι συνάρτηση μόνο του. Άρα ο ολοκληρωτικός παράγοντας της διαφορικς εξίσωσης () δίνεται από τη σχέση d g()d ln () (4) Πολλαπλασιάζεται η διαφορικ εξίσωση () επί τον ολοκληρωτικό παράγοντα της εξ. (4) και προκύπτει η παρακάτω διαφορικ εξίσωση που είναι αμέσως ολοκληρώσιμη (ln) - d + ( + ) - d = (ln)d + ( + ) - d = (5) (α) (β) ()

36 4 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (5) προκύπτει με άμεση ολοκλρωση ως εξς: (ln)d + o ( + ) d Για o =, η παραπάνω εξίσωση γίνεται ln + ( ) d = c o = c ln + ( / Η εξίσωση (6) είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (). ( a ) d a Σημείωση : Ισχύει / ) = c (6) Άσκηση.4.4. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ( - 7 ) + (5 - ) = () Η διαφορικ εξίσωση () γράφεται ακόμα (5 - )d + ( - 7 )d = () η οποία έχει P(,)= (5 - ) και Q(,)= ( - 7 ) για τις οποίες ισχύει P Q (5 - ) 5 9 ( - 7 ) 6 7 Άρα η διαφορικ εξίσωση () δεν είναι αμέσως ολοκληρώσιμη. Παρατηρούμε ότι η παράσταση P Q Q P ( 7 ) (5 ( ) f () ( 4 ) 5 9 ) 6 7 (α) (β) (4) είναι συνάρτηση μόνο του w=. Άρα ο ολοκληρωτικός παράγοντας της διαφορικς εξίσωσης () δίνεται από τη σχέση d ln f ()d ( ) (5) / Πολλαπλασιάζεται η διαφορικ εξίσωση () επί τον ολοκληρωτικό παράγοντα της εξ. (5) και προκύπτει η παρακάτω διαφορικ εξίσωση που είναι αμέσως ολοκληρώσιμη (5 - )() / d + () / ( - 7 )d = (5() / / 7/ )d + ( 5/ / + 7 / 5/ )d = (6) Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (6) προκύπτει με άμεση ολοκλρωση ως εξς: o / / 7/ / o (5() - )d + ( o 7 )d = c Για o =, η παραπάνω εξίσωση γίνεται 5/ / 5/

37 . Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού 5 / / 7/ / 5 d - d = c / 5/ 7/ / 5 = c 5 () / / 5/ 7/ / = c ( ) c ( ) ( ) c / 4 c (7) Η εξίσωση (7) είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (). Άσκηση.4.5. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση = (ln ln) () Η διαφορικ εξίσωση γράφεται ln d d έχει P(,)=ln(/) και Q(,)= -(/) για τις οποίες ισχύει P Q ln / ( ) Άρα η διαφορικ εξίσωση () δεν είναι αμέσως ολοκληρώσιμη. Παρατηρούμε ότι η παράσταση Q P Q / f () Ο ολοκληρωτικός παράγοντας δίνεται από τη σχέση () f ()d d ln Πολλαπλασιάζεται η διαφορικ εξίσωση () επί τον ολοκληρωτικό παράγοντα της εξ. (4). Η διαφορικ εξίσωση που προκύπτει είναι αμέσως ολοκληρώσιμη ln d d d c ln o ln o o ln ( ln ( ln ( o o o ) o ln ln o o ln c ln c ) ln ln o o ) ln o ln o o o o d o o ln c ln c (α) (β) () (4)

38 6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις ln ln ln ln c ln ln c / c (5) Άσκηση.4.6. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ( + )d + 4 d = () Η διαφορικ εξίσωση () έχει P(,)= + και Q(,)= 4 για τις οποίες ισχύει P Q 4 4 Άρα η διαφορικ εξίσωση () δεν είναι αμέσως ολοκληρώσιμη. Παρατηρούμε ότι η παράσταση P Q Q 4 4 f () είναι συνάρτηση μόνο του. Άρα ο ολοκληρωτικός παράγοντας της διαφορικς εξίσωσης () δίνεται από τη σχέση d f ()d ln () (4) Πολλαπλασιάζεται η διαφορικ εξίσωση () επί τον ολοκληρωτικό παράγοντα της εξ. (4). Η διαφορικ εξίσωση που προκύπτει είναι αμέσως ολοκληρώσιμη ( + )( - )d + 4 ( - )d = ( + )( - )d + d = (5) Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (5) προκύπτει με άμεση ολοκλρωση ως εξς: o d + o d = c ln o c ( ) ln o o c o Η παραπάνω εξίσωση γίνεται (α) (β) ln = c + ln = c (6) Η εξίσωση (6) είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (). () Άσκηση.4.7. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ( ) = () Η διαφορικ εξίσωση () που γράφεται επίσης d - ( )d = (α) έχει P(,)= και Q(,)= - ( ) για τις οποίες ισχύει

39 P. Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού 7-6 Q Άρα η διαφορικ εξίσωση () δεν είναι αμέσως ολοκληρώσιμη. Παρατηρούμε ότι η παράσταση P P Q 4 6 g() είναι συνάρτηση μόνο του. Άρα ο ολοκληρωτικός παράγοντας της διαφορικς εξίσωσης () δίνεται από τη σχέση d 4 g()d 4ln 4 () (4) Πολλαπλασιάζεται η διαφορικ εξίσωση () επί τον ολοκληρωτικό παράγοντα της εξ. (4). Η διαφορικ εξίσωση που προκύπτει είναι αμέσως ολοκληρώσιμη - d - ( -4 - )d (5) Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (5) προκύπτει με άμεση ολοκλρωση ως εξς: (o - ) d = c o o o Η παραπάνω εξίσωση γίνεται c o o c (α) (β) c = c (6) Η εξίσωση (6) είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (). () Άσκηση.4.8. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ( + + ) - ( ) = () Η διαφορικ εξίσωση () γράφεται ( )d - ( + + )d = (α) έχει P(,) = ( ) και Q(,)= - - για τις οποίες ισχύει - P Q Άρα η διαφορικ εξίσωση () δεν είναι αμέσως ολοκληρώσιμη. Παρατηρούμε ότι η παράσταση P Q (α) (β) ()

40 8 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις είτε διαιρεθεί ως προς Ρ, Q και Q-P δεν δίνει αντίστοιχες συναρτσεις του, και. Έστω ότι η μορφ του ολοκληρωτικού παράγοντα είναι a b (, ) (4) Η διαφορικ εξίσωση που προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό της διαφορικ εξίσωση () επί τον ολοκληρωτικό παράγοντα της εξ. (4) ( ) a b d - ( + + ) a b d = (5) είναι αμέσως ολοκληρώσιμη και οι παράγωγοι P Q a b a b a b a b - (b ) ( b) a b a b a b Είναι εκ ταυτότητος ίσες, δηλαδ P Q (b ) a Από την τελευταία : b+=-a- --b=-a- b ( b) a=b+ a=b+ a b (a ) (a ) a a b b (a ) (a ) a a b b (a ) (a ) a a b (6α) b (6β) -(a+) = a = - καιb = - (7) Άρα η διαφορικ εξίσωση () έχει ολοκληρωτικό παράγοντα (, ) (8) Η αμέσως ολοκληρώσιμη διαφορικ εξίσωση (4) για τις τιμές του ολοκληρωτικού παράγοντα της εξ. (8) έχει τη μορφ ( ) - - d - ( )d = (9) Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (9) προκύπτει με άμεση ολοκλρωση ως εξς: o - o d = c o ln ln o o c ln ln o ln c o Η παραπάνω εξίσωση γίνεται ln c ln o c () Η εξίσωση () είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης ().

41 . Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού 9 Άσκηση.4.9. Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ( - ) + ( + ) = () Η διαφορικ εξίσωση () γράφεται ακόμα ( + )d + ( - )d = () η οποία έχει P(,)=( +) και Q(,)= ( - ) για τις οποίες ισχύει ( ) P Q (- ) Άρα η διαφορικ εξίσωση () δεν είναι αμέσως ολοκληρώσιμη. Παρατηρούμε ότι η παράσταση P Q Q P ( ) ( ) 4 4 f () είναι συνάρτηση μόνο του w=. Άρα ο ολοκληρωτικός παράγοντας της διαφορικς εξίσωσης () δίνεται από τη σχέση d f ( )d ln ( ) Πολλαπλασιάζεται η διαφορικ εξίσωση () επί τον ολοκληρωτικό παράγοντα της εξ. (5) και προκύπτει η παρακάτω διαφορικ εξίσωση που είναι αμέσως ολοκληρώσιμη ( ) d ( ) d ( )d ( )d (6) Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (6) προκύπτει με άμεση ολοκλρωση ως εξς: ( ) ( )d c o ln ln o o ln c o o ln o ln c ln c ln o c ln c (7) Η εξίσωση (7) είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (). o (α) (β) (4) (5) Ασκσεις για λύση α) ( ) + ( + ) =, P Q Q P, μ() = /()

42 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις Γενικ λύση ln c β) ( )d + d =, Γενικ λύση ln + = c Q P Q, μ() = /() γ) ( 4 +sin)d + (4 + cos)d = με γενικ λύση 4 +sin = c δ) ( 4 ) =, P Γενικ λύση (- 4 ) = c P Q, μ() = ε) ( +) + ( + ) = με γενικ λύση 4 + = c.5 Διαφορικές εξισώσεις του Brnolli και Riccati Άσκηση.5.. Να επιλυθεί η διαφορικ εξίσωση: - + =, όταν = () H διαφορικ εξίσωση είναι τύπου Riccati γιατί γράφεται ως εξς: + - = () Η διαφορικ εξίσωση () έχει λύση τη συνάρτηση = Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης () () θα έχει τη μορφ: της οποίας η παράγωγος είναι (α) d d d (β) d Αντικαθιστούμε τη συνάρτηση και την παράγωγό της από τις εξ. (α) και (β) στην εξίσωση () και εκτελούμε τις πράξεις d d d d d d (4) d d Η ολοκλρωση της εξ. (4) δίνει = + c (5) Αντικατάσταση της στην εξ. ( α ) δίνει τη γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης () (6) c

43 . Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού Άσκηση.5.. Να βρεθεί η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης Brnolli. (- ) = ( ) () Η διαφορικ εξίσωση () είναι Brnolli γιατί γράφεται ως εξς: (- ) - ( ) = - () Πολλαπλασιάζουμε τη διαφορικ εξίσωση () με - : θέτουμε (- ) - - ( ) - = - () (- )( d d d d d d και ) - ( ) = - d ( ) (5) d ( ) ( ) Η εξ. (5) είναι γραμμικ με ( ) d d d p d p ( ) p ln ln( ) ln( ) = (- ) (6) και η εξ. (5) μετά τον πολλαπλασιασμό με τον ολοκληρωτικό παράγοντα μ γίνεται d d (4α,β) ( ) ( ) (7) ( ) και μετά την ολοκλρωση ( ) d C ln C ln C (8) ( ) ( ) και από την εξ. (4α) προκύπτει η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (): ( ) (9) ln C Άσκηση.5.. Να επιλυθεί η διαφορικ εξίσωση: = + ( ) ( ) () H διαφορικ εξίσωση είναι τύπου Riccati γιατί γράφεται ως εξς: + ( ) - ( ) = () Η διαφορικ εξίσωση () έχει λύση τη συνάρτηση = Η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης () () θα έχει τη μορφ: της οποίας η παράγωγος είναι (α)

44 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις d d d d Αντικαθιστούμε τη συνάρτηση και την παράγωγό της από τις εξ. (α) και (β) στην εξίσωση () και εκτελούμε τις πράξεις ( d ( ) d ) d d d d d d (4) d d Η διαφορικ εξίσωση (4) είναι γραμμικ με d (5) Μετά τον πολλαπλασιασμό της εξ. (4) και την εκτέλεση των πράξεων προκύπτει d d ( ) ( ) d c ( )d c ( ) c (6) c Αντικατάσταση της συνάρτησης της εξ. (6) στην (α) δίνει τη γενικ λύση (7) c (β) Άσκηση.5.4. Να βρεθεί η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης Brnolli. ( + ) + + ( + ) 4 = () Η διαφορικ εξίσωση () είναι Brnolli γιατί γράφεται ως εξς: ( + ) + = ( + ) 4 () Πολλαπλασιάζουμε τη διαφορικ εξίσωση () με - : θέτουμε ( + ) = ( + ) 4 () d d d d d ( + )( ) + = ( + ) 4 d 4 και d ( ) ( ) (5) d ( ) ( ) (4α,β)

45 . Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού Η εξ. (5) είναι γραμμικ με p d p ln( ) ( + ) - (6) ( ) και η εξ. (5) μετά τον πολλαπλασιασμό με τον ολοκληρωτικό παράγοντα μ γίνεται d d ( ) ( ) ( ) και μετά την ολοκλρωση ( ) (7) ( )d C ( ) C ( ) ( ) C (8) και από την εξ. (4α) προκύπτει η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (): ( ) Ασκσεις για λύση C α) 4 = /, () = [ = ( + ) ] β) = - ( + + ), () = [ = /( + - )] γ) = 4 /, () = [ = ( ) ] δ) + = ln, () = / [ = /( + ln )] ε) + ( ) =, / = -, [ = /(c ln )] στ) + ( ) =, / = - [ = /(c + )] ζ) ( + ) + + ( + ) 4 = /(+) = ( + ) η) = ( + ) + / = - θ) cos = +cos sin, αν =sin (=-.5sin+Ccos)

46 4 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις.9 Εφαρμοσμένα Προβλματα των Διαφορικών εξισώσεων ης τάξης και ου βαθμού.9. Διαδικασία επίλυσης φυσικών προβλημάτων με διαφορικές εξισώσεις ) Αρχικά προσδιορίζεται ο βασικός κανόνας (αρχ) που διέπει το φυσικό πρόβλημα. Π.χ. ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα ορίζει ότι το άθροισμα των δυνάμεων που ενεργούν πάνω σε ένα σώμα είναι ίσο προς το γινόμενο της μάζας m επί την επιτάχυνση γ του σώματος την ίδια στιγμ. ) Ο νόμος (αρχ) της μεταβολς μιας μεταβλητς ορίζει την παράγωγο της εξαρτημένης μεταβλητς. Εισάγοντας την παράγωγο στον κανόνα προσδιορίζεται η διαφορικ εξίσωση που περιγράφει το φυσικό πρόβλημα. Για παράδειγμα, ο ρυθμός διάσπασης μιας ουσίας εκφράζεται μαθηματικά με την παράγωγο d/dt. ) Στη συνέχεια επιλύεται η διαφορικ εξίσωση και προσδιορίζεται η γενικ λύση η όποια περιέχει αυθαίρετες σταθερές όσες και η τάξη της διαφορικς εξίσωσης. 4) Στο επόμενο βμα από τις βοηθητικές συνθκες, οι οποίες καθορίζονται από την τάξη της διαφορικς εξίσωσης και τον αριθμό των ανεξάρτητων μεταβλητών, προσδιορίζονται οι τιμές των αυθαίρετων σταθερών για το συγκεκριμένο πρόβλημα. Έτσι προσδιορίζεται η ειδικ λύση που περιγράφει το πρόβλημα από τα δεδομένα των βοηθητικών συνθηκών. 5) Έλεγχος αποτελεσμάτων. Με τη συνάρτηση της λύσης της διαφορικς εξίσωσης υπολογίζονται τιμές της εξαρτημένης μεταβλητές για διαφορετικές τιμές των ανεξάρτητων μεταβλητών και συγκρίνονται με δεδομένα αποτελέσματα άλλων λύσεων..9. Προβλματα διάσπασης ραδιενεργών ουσιών και μεταβολς της θερμοκρασίας. Πρόβλημα.9.. Ο ρυθμός διάσπασης των ραδιενεργών ουσιών είναι ανάλογος προς την υπάρχουσα ποσότητα της ουσίας. Θεωρώντας ότι στο χρόνο t= η ποσότητα μιας ραδιενεργού ουσίας είναι 8 gr, να βρεθεί η σχέση με την οποία να μπορεί να υπολογιστεί η ποσότητα της ουσίας σε κάποιο μελλοντικό χρόνο.

47 Λύση του προβλματος.. Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού 5 Αρχικά προσδιορίζεται η διαφορικ εξίσωση που περιγράφει το φυσικό πρόβλημα. Αν η ποσότητα της ουσίας στο χρόνο t συμβολίζεται με (t), τότε ο ρυθμός διάσπασης της ουσίας θα είναι d/dt. Σύμφωνα με το νόμο της διάσπασης της ουσίας, το d/dt είναι ανάλογο με το. Δηλαδ d dt K όπου K είναι μιά φυσικ σταθερά, η τιμ της οποίας είναι γνωστ για πολλές ραδιοκτινοβολούσες ουσίες (για παράδειγμα, το Ράδιο έχει τιμ K=.44 έτη - ). Σύμφωνα με τα παραπάνω, η φυσικ διαδικασία της διάσπασης των ραδιενεργών ουσιών περιγράφεται μαθηματικά από μια συνθη διαφορικ εξίσωση πρώτης τάξης. Το ο βμα περιλαμβάνει την επίλυση της διαφορικς εξίσωσης. Η διαφορικ εξίσωση () είναι διαφορικ εξίσωση με χωριζόμενες τις μεταβλητές και η λύση της έχει ως εξς: d Kdt +C ln = - Kt + C = C -Kt () H εξίσωση () περιέχει μια αυθαίρετη σταθερά και γι αυτό είναι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης (). Στο ο βμα προσδιορίζεται η ειδικ λύση. Η ειδικ λύση της διαφορικς εξίσωσης προκύπτει με τον προσδιορισμό της τιμς της αυθαίρετης σταθεράς C από τα δεδομένα του προβλματος. Στο πρόβλημά μας η ποσότητα της ραδιενεργού ουσίας (t) στο χρόνο t εξαρτάται από την αρχικ ποσότητα της ουσίας. Αυτ η ποσότητα είναι 8 gr στο χρόνο t=. Από τη συνθκη αυτ που λέγεται αρχικ συνθκη μπορεί να προσδιοριστεί η σταθερά C. () = 8 Αντικατάσταση στην εξ. () δίνει () = C = 8 C = 8. H εξίσωση () για την τιμ του C=8 γίνεται = 8 -Kt () Με την εξ. (), αν είναι γνωστ η τιμ της σταθεράς K, που χαρακτηρίζει το ρυθμό διάσπασης της ραδιενεργού ουσίας, μπορεί να υπολογιστεί η ποσότητα της ουσίας που θα παραμένει μετά από χρόνο t. είναι: Για παράδειγμα, με την τιμ K του ράδιου, η ποσότητα ραδίου μετά από δέκα χρόνια θα () = 8 -(.44)() = 5.5 γραμ. Το τελικό βμα περιλαμβάνει τον έλεγχο των αποτελεσμάτων. Από την εξ. () προκύπτει: d dt d dt Kt Kt (8 ) 8K K και () = 8 = 8. H εξ. () ικανοποιεί την εξίσωση () και την αρχικ συνθκη. ()

48 6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις Πρόβλημα.9.. Σύμφωνα με το νόμο του Νεύτωνα για τη μεταβολ της θερμοκρασίας ενός σώματος, ο ρυθμός ψύξης ενός σώματος στον αέρα είναι ανάλογος με τη διαφορά θερμοκρασίας του σώματος Τ και του αέρα Τα. Εάν η θερμοκρασία του αέρα είναι ο C και σε min ένα σώμα ψύχεται από τους στους 6 ο C να βρεθεί ο χρόνος που η θερμοκρασία θα πέσει στους ο C. Ποια τιμ έχει η σταθερά αναλογία για την ψύξη του συγκεκριμένου υλικού στον αέρα. Λύση του προβλματος. Μαθηματικ περιγραφ της ψύξης ενός σώματος στο αέρα. Αν η θερμοκρασία στο χρόνο t είναι Τ(t) και ο ρυθμός ψύξης του σώματος είναι dτ/dt, τότε σύμφωνα με το νόμο της ψύξης των σωμάτων, το dτ/dt είναι ανάλογο με τη διαφορά Τ-Τα. Δηλαδ dt k(t T ) () dt όπου k είναι η σταθερά αναλογία για την ψύξη του συγκεκριμένου υλικού στον αέρα (min - ). Η γενικ λύση προκύπτει με χωρισμό των μεταβλητών και ολοκλρωση, θα είναι Τ = Τα + C kt Η σταθερά C για τη συνθκη Τ = Το, t =, είναι C = Το -Tα. Η μερικ λύση θα έχει τη μορφ Τ = Τα + (Το-Τα) Από την οποία T T k ln t T T o kt Για τα δεδομένα του προβλματος ψύξης του σώματος θα είναι 6 k ln.55 ανα min.55t και = + 8 t ln 6 min.55 () () (4).9. Προβλματα ποιότητας νερού Πρόβλημα.9.. Τα ενεργά χημικά απόβλητα μιας βιομηχανίας, μετά την αραίωσ τους σε ένα ποτάμι αποικοδομούνται με μια κινητικ αντίδραση πρώτης τάξης. Η σταθερά της ταχύτητας αποικοδόμησης είναι ίση με K=.5 ανά ημέρα. Τα απόβλητα χύνονται με παροχ Qα =.4 m /s και συγκέντρωση Cα = mg/l δραστικς ουσίας σε ένα ποτάμι που λίγο πιο πάνω από την είσοδο των αποβλτων έχει παροχ Qπ = 5. m /s και συγκέντρωση δραστικς ουσίας Cπ =. mg/l. Εάν η μέση ταχύτητα ρος στο ποτάμι είναι U=.5 m/s, να υπολογιστεί η απόσταση στην οποία η συγκέντρωση της δραστικς ουσίας θα περιοριστεί στο ανάντη της εισόδου των αποβλτων επίπεδο των. mg/l. Απάντηση Ακριβώς μετά την είσοδο των αποβλτων στο ποτάμι και την ανάμιξ τους με το νερό που έρχεται από τα ανάντη του ποταμού, σύμφωνα με το νόμο διατρησης της μάζας θα ισχύει:

49 . Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και ου βαθμού 7 QαCα + QπCπ = QκCκ αλλά Qκ = Qα + Qπ = = 5.4 (m /s) Συνεπώς, αμέσως μετά την εισρο των αποβλτων στο ποτάμι, η συγκέντρωση της δραστικς ουσίας στο νερό του ποταμού θα είναι: Cκ = [QαCα + QπCπ]/ Qκ = [5 +.4]/5.4 = 4.74 (mg/l) Τα ενεργά χημικά απόβλητα αποικοδομούνται με κινητικ αντίδραση πρώτης τάξης. Στις κινητικές αντιδράσεις πρώτης τάξης ο ρυθμός μεταβολς της ουσίας στο χρόνο t είναι ανάλογος με τη συγκέντρωση της ουσίας στον ίδιο χρόνο, δηλαδ dc KC dt η λύση της οποίας είναι Ct = Cαρ -Κt οπού Ct είναι η συγκέντρωση των χημικών αποβλτων στο χρόνο t, Cαρ είναι η συγκέντρωση των χημικών αποβλτων στην αρχ (t=), η συγκέντρωση των χημικών αποβλτων ακριβώς μετά την ανάμιξη (για το πρόβλημά μας Cκ), Κ είναι η σταθερά της αντίδρασης αποικοδόμησης (=.5 ημ - ). Η συγκέντρωση των χημικών αποβλτων θα περιοριστεί στα mg/, σε χρόνο t που μπορεί να υπολογιστεί από την τελευταία εξίσωση για τις τιμές Ct= mg/, Cαρ=Cκ=4.74 mg/ και Κ=.5 ημ -. Συνεπώς Ct = Cαρ -Κt ======> t = C ln K C t t = 4.74 ln.5 =.4 ημέρες Για ομοιόμορφη μετακίνηση των χημικών αποβλτων μέσα στο ποτάμι με ταχύτητα.5 m/s, η απόσταση μεταφοράς στην οποία θα επιτευχθεί η αποικοδόμηση των χημικών αποβλτων στα mg/, θα είναι: S = Ut = (.5 m/s)(.4 d)(4.6 s/d) = 844. (m) Άρα η απόσταση στην οποία η συγκέντρωση της δραστικς ουσίας θα μειωθεί στο ανάντη της εισόδου των αποβλτων επίπεδο των. mg/l, θα είναι 8.4 km. Πρόβλημα.9.4. Η νιτροποίηση είναι μια βιολογικ διαδικασία οξείδωσης της αμμωνίας με τελικό προϊόν τα νιτρικά. Η χημικ αντίδραση της νιτροποίησης έχει τη μορφ: K NΗ4 ΝΟ Ο ρυθμός μεταβολς της συγκέντρωσης της αμμωνίας περιγράφεται από κινητικ αντίδραση ης τάξης της μορφς: da KA () dt όπου Α είναι η συγκέντρωση της αμμωνίας και Κ είναι η σταθερά του ρυθμού της αντίδρασης.

50 8 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Διαφορικές Εξισώσεις δηλαδ: Ο ρυθμός μεταβολς των νιτρικών εξαρτάται από τη μετατροπ της αμμωνίας σε νιτρικά, B K dt A όπου Β είναι η συγκέντρωση των νιτρικών. Ζητείται να βρεθούν οι συναρτσεις που εκφράζουν τις σχέσεις της συγκέντρωσης της αμμωνίας, και των νιτρικών με το χρόνο. Αν στο χρόνο t=, η συγκέντρωση της αμμωνίας είναι mg/l και των νιτρικών μηδέν, να υπολογιστούν οι συγκεντρώσεις της αμμωνίας και των νιτρικών σε 4 ημέρες. Οι τιμές της σταθεράς του ρυθμού της αντίδρασης είναι Κ=.8 da -. Απάντηση Η λύση της διαφορικς εξίσωσης () έχει ως εξς: da K dt A +C lnα = - Kt + Δ Από την αρχικ συνθκη προσδιορίζεται η αυθαίρετη σταθερά Δ. Αν για t =, Α=Αο από την αρχικ συνθκη, τότε K t Δ = ln Ao και τελικά A( t) A () Η λύση της δεύτερης διαφορικς εξίσωσης (εξ. ) έχει ως εξς: o db KA (4) dt που λόγω της εξ.() γίνεται db K dt A o K t Η οποία είναι με χωριζόμενες μεταβλητές και έχει γενικ λύση B A ( K )t o E Από την αρχικ συνθκη για t=, B = Bo, η αυθαίρετη σταθερά λαμβάνει την τιμ E B o A o και η λύση της Δ.Ε. () παίρνει την εξς μορφ: o K t Bo B A (5) Οι συναρτσεις () και (5) δίνουν τη μεταβολ του αμμωνιακού και του νιτρικού αζώτου με το χρόνο. Οι συγκεντρώσεις του αμμωνιακού και του νιτρικού αζώτου σε 4 ημέρες, για τα δεδομένα της εφαρμογς, t=, Ao= mg/l, Bo=. mg/l, K=.8 da -. θα είναι: Αμμωνιακό άζωτο σε 4 ημέρες (εξίσωση ). Α=p(-.84)=. mg/l. Νιτρικό άζωτο σε 4 ημέρες (εξίσωση 5). C. (.84 ) 8.78 mg/l. Άρα μετά από 4 ημέρες οι συγκεντρώσεις του αμμωνιακού και του νιτρικού αζώτου θα είναι αντίστοιχα.και 8.78 mg/l. ()

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 26/10/2017. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 26/10/2017. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Συνθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκσεις - 26/0/207 Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνάρτηση : R, όπου Δ διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΜΑΣ00: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να κατατάξετε τις διαφορικές εξισώσεις, δηλ να δώσετε την τάξη της, να πείτε αν είναι γραμμική ή όχι, να δώσετε την ανεξάρτητη μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

2 Περιεχόμενα. Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

2 Περιεχόμενα. Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Περιεχόμενα Γράφημα της συνάρτησης f( ), αν p < 0 F( ) = f( ), αν 0 p και F( + p) = F( ), R (δηλ της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( ), 0 p στο R ) Περιεχόμενα 5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται

Διαβάστε περισσότερα

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2008, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2008, Θεσσαλονίκη Kάθε γνσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφ του συγγραφέα Με το συγγραφέα επικοινωνείτε: Tηλ 30348086, e-mail: thanasisenos@yahoogr ISBN 978-960-456-08-3 Copyright: Ξένος Θ, Eκδόσεις Zτη, Ιανουάριος 008, Θεσσαλονίκη

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ SECTION 0 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0. Ορισµοί Συνήθης διαφορική εξίσωση (Σ Ε) καλείται µια εξίσωση της µορφής f [y (n), y (n ),..., y'', y', y, x] 0 όπου y', y'',..., y (n ), y (n) είναι οι παράγωγοι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εισαγωγή.

ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εισαγωγή. 1 ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1.1. Εισαγωγή. Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/017 Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης dx y + x y. x Παρατηρούμε ότι η δ.ε. είναι ομογενής. Πράγματι, dx y x + 1 x y x y x + 1 (

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookark no dfind. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός. Αν τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση όπου (συνιστώσες) είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο Α. Ένα από τα βασικότερα προβλήματα της Μαθηματικής Ανάλυσης είναι ο προσδιορισμός μιας συνάρτησης F/ A με F = f για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006 ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 006 Θέµα ο. Για την διαφορική εξίσωση + ' =, > 0 α) Να δειχτεί ότι όλες οι λύσεις τέµνουν κάθετα την ευθεία =. β) Να βρεθεί η γενική λύση. γ) Να βρεθεί και να σχεδιαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΡΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΑΣ 3: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εαρινό Εξάμηνο 4 ΜΕΡΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Να ταξινομηθούν οι πιο κάτω ΣΔΕ με βάση τα εξής: τάξη, γραμμική ή μή Να δοθούν επίσης οι ανεξάρτητες και εξαρτημένες μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ, 9 Πότε μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ; Απάντηση : Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Αόριστο Ολοκλήρωμα Μέθοδοι Ολοκλήρωσης

Αόριστο Ολοκλήρωμα Μέθοδοι Ολοκλήρωσης 8 Αόριστο Ολοκλήρωμα Μέθοδοι Ολοκλήρωσης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ. Ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ, μια συνάρτηση F παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b) 1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Μερική Παράγωγος Μερικές Παράγωγοι Ορισμός 1: a) Εστω f(x y) : U R R μία συνάρτηση δύο μεταβλητών και (a b) ένα σημείο του U. Θεωρούμε ότι μεταβάλλεται μόνο το x ένω το y παραμένει σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 203: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εαρινό Εξάμηνο 2017 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΣ 203: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εαρινό Εξάμηνο 2017 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΣ 3: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εαρινό Εξάμηνο 17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να ταξινομηθούν οι πιο κάτω ΣΔΕ με βάση τα εξής: τάξη, γραμμική ή μή. Να δοθούν επίσης οι ανεξάρτητες και εξαρτημένες μεταβλητές. 3 d

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στις ασκήσεις του κεφαλαίου 4 του βιβλίου Χημική Κινητική του ΕΑΠ

Απαντήσεις στις ασκήσεις του κεφαλαίου 4 του βιβλίου Χημική Κινητική του ΕΑΠ Απαντήσεις στις ασκήσεις του κεφαλαίου 4 του βιβλίου Χημική Κινητική του ΕΑΠ Ασκηση 4.1 Η κινητική εξίσωση της αντίδρασης: βρέθηκε οτι είναι Αντιδράσεις πρώτης τάξης 2A = Προϊόντα r = k[a] Να υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Στις εξισώσεις σχεδιασμού υπεισέρχεται ο ρυθμός της αντίδρασης. Επομένως, είναι βασικό να γνωρίζουμε την έκφραση που περιγράφει το ρυθμό.

Στις εξισώσεις σχεδιασμού υπεισέρχεται ο ρυθμός της αντίδρασης. Επομένως, είναι βασικό να γνωρίζουμε την έκφραση που περιγράφει το ρυθμό. Βασικές Εξισώσεις Σχεδιασμού (ΣΔΟΥΚΟΣ 2-, 2-) t = n i dn i V n i R και V = n i dn i t n i R Στις εξισώσεις σχεδιασμού υπεισέρχεται ο ρυθμός της αντίδρασης. Επομένως, είναι βασικό να γνωρίζουμε την έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace 1. Επίλυση Γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σημεία καμπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις πρώτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Για κάθε μία από τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις πείτε αν είναι γραμμική ή όχι και προσδιορίστε την τάξη της. α. y + y +

Διαβάστε περισσότερα

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΙΒΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ. u,υ / A ονομάζεται ακριβές διαφορικό όταν υπάρχει. df u x,y dx υ x,y dy. f u και. f y. 3 f. και

ΑΚΡΙΒΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ. u,υ / A ονομάζεται ακριβές διαφορικό όταν υπάρχει. df u x,y dx υ x,y dy. f u και. f y. 3 f. και Το άθροισμα u,d διαφορίσιμη συνάρτηση f / A Παράδειγμα υ, d, με με Το άθροισμα ΑΚΡΙΒΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ u,υ / A ονομάζεται ακριβές διαφορικό όταν υπάρχει df u,d υ,d f u f υ 6 d 9 d είναι ακριβές διαφορικό, διότι

Διαβάστε περισσότερα

f (x + h) f (x) h f (x) = lim h 0 f (z) f (x) z x df (x) dx, df dy dx,

f (x + h) f (x) h f (x) = lim h 0 f (z) f (x) z x df (x) dx, df dy dx, Διάλεξη 7: Παράγωγοι συναρτήσεων 1 Γενικά Πρόοδος μαθήματος Σάββατο 24/11 στις 14:00 2 Παράγωγος ως συνάρτηση Η παράγωγος της f (x) ως προς x, είναι η συνάρτηση f (x) και η οποία ισούται με f (x) = lim

Διαβάστε περισσότερα

f (x) dx = f (x) + c a f (x) f (x) cos 2 (f (x)) f (x) dx = tan(f (x)) + c 1 sin 2 (f (x)) f (x) dx = cot(f (x)) + c e f (x) f (x) dx = e f (x) + c

f (x) dx = f (x) + c a f (x) f (x) cos 2 (f (x)) f (x) dx = tan(f (x)) + c 1 sin 2 (f (x)) f (x) dx = cot(f (x)) + c e f (x) f (x) dx = e f (x) + c Ασκήσεις στα Μαθηματικά Ι Τμήμα Χημ. Μηχανικών ΑΠΘ Μουτάφη Ευαγγελία Θεσσαλονίκη 208-209 Ορισμοί ΤΟ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Αντιπαράγωγος συνάρτησης Εστω συνάρτηση f : R, R διάστημα. Αν για τη συνάρτηση F :

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ.Ε. ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ

ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ.Ε. ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ.Ε. ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ρ. Α. Μαγουλάς Οκτώβριος 4 Η συνάρτηση δ ( και η παράγωγός της Ορίζεται ως εξής: δ ( ανωµαλο

Διαβάστε περισσότερα

Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 2

Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 2 Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗΣ ΣΕΙΡΑΣ Εστω μη ϰενά διαστήματα J, I R, με 0 Ī. Ονομάζουμε μεταβλητή το x J ϰαι ασυμπτωτιϰή (ή διαταραϰτιϰή) παράμετρο

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier 1. Μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..: Κανόνες Παραγώγισης του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 6: Παράγωγοι Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.κυρτή 3.Κοίλη 4.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 5.Σημεία καμπής 6.Παραβολική προσέγγιση(επέκταση) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός

Διαβάστε περισσότερα

[1] F(g(x)) = F(z) = f(z) dz Εξάλλου, γνωρίζουμε από τον κανόνα της αλυσίδας ότι df(g(x)) dx

[1] F(g(x)) = F(z) = f(z) dz Εξάλλου, γνωρίζουμε από τον κανόνα της αλυσίδας ότι df(g(x)) dx .4. Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Η μέθοδος ολοκλήρωσης με αντικατάσταση (method of substitution) βασίζεται στον κανόνα της αλυσίδας. Ουσιαστικά με τη μέθοδο της αντικατάστασης το αόριστο ολοκλήρωμα υπολογίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ»

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΚΑΠΟΙΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΕΣ Ν = {1,2,3,...} το σύνολο των φυσικών αριθμών Ζ = {0, ±1, ±2, ±3,..

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ένα σημαντικό πρόβλημα της Ανάλυσης

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ένα σημαντικό πρόβλημα της Ανάλυσης ΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ένα σημαντικό πρόβλημα της Ανάλυσης ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 2016-2017 Ομάδα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Προβλημάτων Τζελέπης Αλκιβιάδης Μανιατοπούλου

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΡΙΣΜΟΙ Πότε μια συνάρτηση λέγεται : α Παραγωγίσιμη στο σύνολο Α β Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα αβ γ Παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [ αβ ] Β δ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x O ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f ) Εντοπίζω τα σημεία που συναντώνται οι δύο καμπύλες ) Η τεταγμένη y αυτού του σημείου είναι το όριο της f και η τετμημένη η θέση y lim f Πλευρικά όρια lim f λ lim

Διαβάστε περισσότερα

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1 I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταολές 3.(Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία 8.Στάσιμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 6.1

ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 6.1 ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 6. Σώμα μάζας gr έχει προσδεθεί στην άκρη ενός ελατηρίου και ταλαντώνεται επάνω σε οριζόντιο δάπεδο χωρίς τριβή. Εάν η σταθερά του ελατηρίου είναι 5N / και το πλάτος

Διαβάστε περισσότερα

Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 2019

Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 2019 Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών ΜΕΜ 74 Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 9 Ζήτημα Α Α. Δείξτε ότι αν p, q πραγματιϰά πολυώνυμα ίδιου βαϑμού, τότε p q ϰαϑώς ±. Λύση. Αρϰεί να δείξουμε ότι για με αρϰετά μεγάλο

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

5.1. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

5.1. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 Δυνάμεις με άρρητο εκθέτη Αν α, β είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και,,,τότε : ( ) : Εκθετική συνάρτηση Αντιστοιχίζοντας κάθε,στη δύναμη f: με f () η οποία στην περίπτωση που είναι 0

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΡΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΑΣ : Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εαρινό Εξάμηνο 14 ΜΕΡΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1. Να ταξινομηθούν οι πιο κάτω ΣΔΕ με βάση τα εξής: τάξη, γραμμική ή μή. Να δοθούν επίσης οι ανεξάρτητες και εξαρτημένες μεταβλητές.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ KAI ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ O μετασχηματισμός lc-ο αντίστροφος μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not deined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 15 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τα συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα, γνωστά και ως συστήματα διαφορικών εξισώσεων, περιγράφουν φαινόμενα που μεταβάλλονται συνεχώς στο χρόνο.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ 1ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης

ΘΕΩΡΙΑ 1ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης ΘΕΩΡΙΑ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης Συνάρτηση από το σύνολο Α στο Β λέγεται μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο x του Α, αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Γράφημα της συνάρτησης f( x), αν p x< 0 F( x) = f( x), αν 0 x p και F( x+ 2 p) = F( x), x R (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται στους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης (αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ IV.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΕΩΣ.Γενική λύση.χωριζόμενων μεταβλητών 3.Ρυθμοί 4.Γραμμικές 5.Γραμμική αυτόνομη 6.Bernoulli αυτόνομη 7.Aσυμπτωτικές ιδιότητες 8.Αυτόνομες 9.Σταθερές τιμές.διάγραμμα ροής.ασυμπτωτική

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 14-15, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: Πρόβλημα 1. Για κάθε μια από τις

Διαβάστε περισσότερα

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συμφώνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Θ.Θ.Ο.Λ ισχύει : I. d II. d III. d ln IV. d V. d VI. d VII. d

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με την χρήση των οριζουσών βασική είναι η παρακάτω επισήμανση:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με την χρήση των οριζουσών βασική είναι η παρακάτω επισήμανση: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η επίλυση συστήματος εμφανίστηκε για πρώτη φορά σε αρχαία κινέζικη συλλογή προβλημάτων και αργότερα στο έργο «Αριθμητικά» του Έλληνα μαθηματικού της Αλεξανδρινής περιόδου Διόφαντου όπου για πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1)

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 Τηλ:10.93.4.450 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής Ορισμός : Συνάρτηση f μιας πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα