Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 26/10/2017. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς

Transcript

1 Συνθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκσεις - 26/0/207 Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης της μορφς y fx y + gx y p, A. όπου f, g είναι συνεχείς συναρτσεις σε κάποιο κοινό διάστημα R του πεδίου ορισμού τους, και p R \ {0, }. Ο λόγος για τον οποίο αποκλείουμε τις τιμές 0 και για τον εκθέτη p, είναι ότι για αυτές τις τιμές η εξίσωση μετατρέπεται σε γραμμικ και ομογεν γραμμικ όταν p.. Αν p > 0, τότε κάθε εξίσωση Bernoulli δέχεται ως ιδιάζουσα λύση την μηδενικ συνάρτηση, y 0. Σε κάθε διάστημα που η συνάρτηση yx δεν μηδενίζεται, η εξίσωση A. μπορεί να ξαναγραφεί στη μορφ y p y fx y p + gx. Παρατηρούμε ότι y p y p y p. Οπότε θεωρώντας μια νέα εξαρτημένη μεταβλητ ux yx p, μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι η εξίσωση A. μετατρέπεται στην γραμμικ διαφορικ εξίσωση για την νέα συνάρτηση ux u pfx u pgx. A.2 Λύνοντας την γραμμικ σδε A.2, με γνωστ μας μέθοδο, βρίσκουμε την συνάρτηση ux κι επιστρέφοντας στην σχέση ux y p x, μπορούμε πλέον να βρούμε τη συνάρτηση yx, την γενικ λύση της αρχικς σδε A.. Μια άλλη κλάση μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, είναι αυτ των σδε τύπου Riccati, των εξισώσεων της μορφς y fx + gx y + hx y 2, A.3 με f, g και h συνεχείς συναρτσεις σε κάποιο κοινό διάστημα R του πεδίου οριμού τους. Όταν η συνάρτηση fx μηδενίζεται ταυτοτικά, fx 0, η σδε Riccati ανάγεται σε σδε Bernoulli με εκθέτη p 2, ενώ όταν η συνάρτηση hx 0 η σδε Riccati είναι γραμμικ. Αν, με οποιονδποτε τρόπο, μπορούμε να βρούμε μια ειδικ λύση y ε t της σδε A.3, τότε μέσω της αντικατάστασης yt y ε t + vt,

2 η σδε Riccati A.3 μετατρέπεται στην ακόλουθη γραμμικ, μη ομογεν σδε, για την συνάρτηση vt, v + gt + 2ht y ε t v ht. Λύνοντας την παραπάνω σδε για την συνάρτηση vt, και στη συνέχεια αντικαθιστώντας στην σχέση yt y ε t + vt, βρίσκουμε την συνάρτηση yt. Δηλαδ τη γενικ λύση της εξίσωσης A.3. Τέλος, ως ομογενς διαφορικ εξίσωση, χαρακτηρίζεται κάθε διαφορικ εξίσωση πρώτης τάξης της μορφς y y. A.4 x Κάθε ομογενς διαφορικ εξίσωση ανάγεται σε εξίσωση χωριζομένων μεταβλητών ως εξς: Θέτουμε yx x zx. Παραγωγίζοντας ως προς x και εφαρμόζοντας τον κανόνα παραγώγισης γινομένου του Leibniz έπεται ότι y x zx + x z x. Έτσι, η εξίσωση y y/x μετατρέπεται στην εξίσωση η οποία ισοδύναμα γράφεται και ως z + x z z, z z z, x η οποία είναι μια σδε χωριζομένων μεταβλητών για την συνάρτηση zx. Οι σταθερές συναρτσεις z j που αποτελούν λύσεις της αλγεβρικς εξίσωσης z z 0, παρέχουν τις ειδικές λύσεις της εξίσωσης A.4, y j x z j x. Άσκηση. Να βρεθεί η γενικ λύση της σδε y y + t y. Ξαναγράφοντας την εξίσωση στην μορφ y y + ty /2, βλέπουμε ότι αυτ είναι Bernoulli με εκθέτη p 2. Ισοδύναμα, η εξίσωση γράφεται και ως y /2 y y 3/2 + t..4 Θέτουμε ut yt 2 yt 3 2. Άρα, u 3 2 y 2 y. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση.4, βρίσκουμε ότι 2 3 u u + t

3 ισοδύναμα u 3 2 u 3 2 t. Η εξίσωση αυτ είναι μια γραμμικ σ.δ.ε. πρώτης τάξης και άρα η γενικ της λύση δίνεται από τον τύπο 3 ut exp 2 dt c + exp dt 2 t dt, c R. Οπότε, ut e 3 2 c t + e 3 2 t 3 2 t dt e 3 2 c t + e 3 t 2 t dt e 3 2 c t e 3 2 t t + e 3 2 t c e 3 2 t t 2 3 e 3 2 t c e 3 2 t t 2 3. e 3 2 t dt Έτσι λοιπόν, c e 3 2 t t 2 3 yt 3 2, και συνεπώς, η γενικ λύση της αρχικς σδε, είναι η yt c e t t 2 3 3, c R. Από την μορφ της αρχικς σδε έχουμε περιοριστεί σ ένα διάστημα του t όπου y > 0. Άσκηση 2. Να βρεθεί η γενικ λύση των παρακάτω σδε τύπου Riccati, αφού πρώτα δειχθεί ότι η αντίστοιχη συνάρτηση y ε αποτελεί ειδικ λύση τους. α y + 2y 2 6 x 2, y ε 2 x β y + x 2 2xy + y 2, y ε x α Η παράγωγος της συνάρτησης y ε είναι y εx 2. Έχουμε, λοιπόν, ότι x 2 y ε + 2yε x x x x x 2 6 x 2 και άρα πράγματι, η συνάρτηση y ε αποτελεί ειδικ λύση. Παρατηρούμε ότι η διαφορικ εξίσωση είναι μη γραμμικ και μάλιστα Riccati. Για να βρούμε την γενικ της λύση λοιπόν, θέτουμε yx y ε x + vx, yx 2 x + vx και έχουμε ότι y x 2 + x 2 v x. Αντικαθιστώντας στην διαφορικ εξίσωση, παίρνουμε vx 2 2 x v 2 v + 2 x v x 2 2 x 2 v v x xv + 2 v 2 6 x 2 v v xv + 2 v 2 0

4 v 8 x v 2. Η γενικ λύση της εξίσωσης αυτς είναι η 8 vx exp x dx c + 2 exp e c 8 ln x + 2e 8 ln x dx x c x 8 dx x 8 c 2 7 x 7 c x 8 2 x, c R. 7 8 x dx Άρα, η γενικ λύση της αρχικς διαφορικς εξίσωσης είναι η η οποία γράφεται και ως yx 2 x + c x 8 2 c R, 7x, yx 2 x + 7 Cx 8 2x, C R. dx β Παρατηρούμε ότι η εξίσωση μπορεί να γραφεί και ισοδύναμα στην μορφ y + x y 2, 2. από όπου προκύπτει αμέσως ότι πραγματικά η y ε x x αποτελεί ειδικ λύση της σδε. Επειδ η σδε είναι τύπου Riccati, θέτουμε yx y ε x + vx x + vx. Άρα y v 2 v και η εξίσωση γίνεται v 2 v + x x 2 v v 2 v v 2, v. Οπότε, vx x + c, c R και επομένως η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης y + x 2 2xy + y 2 δίνεται από τη σχέση yx x + c x, c R. Η μορφ 2. που παίρνει η συγκεκριμένη σδε μας οδηγεί και σε έναν εναλλακτικό, πιο άμεσο, τρόπο επίλυσς της. Η σδε γράφεται και ως y x y x 2 Οπότε θέτουμε wx yx x και η σδε μετατρέπεται σε χωριζομένων μεταβλητών Οπότε Άρα d w w 2 w w 2 d x w x + c w x + c κι επιστρέφοντας στην αρχικ συνάρτηση y έχουμε ότι y x + c x, c c Παρατρηση. Στην άσκηση αυτ μας δόθηκε μια ειδικ λύση της κάθε σδε Riccati. Στην περίπτωση που θα έπρεπε να βρούμε εμείς μια, θα ψάχναμε για μια ειδικ λύση της μορφς y ε x Ax B, και για τις δύο εξισώσεις, αφού το δεξί τους μέλος είναι πολυώνυμο ως προς x και y.

5 Άσκηση 3. Να βρεθεί η γενικ λύση της y 2y x 2x y, και όλες οι ιδιάζουσες λύσεις που τυχόν δεν περιλαμβάνονται στην γενικ λύση της. Παρατηρούμε ότι η εξίσωση αυτ είναι ομογενς. Πράγματι, y x2y/x x2 y/x 2y/x 2 y/x y/x. Θέτουμε, λοιπόν, yx x zx και άρα y x zx + x z x. Οπότε x z z + x z z + z2 z2. Η εξίσωση αυτ είναι χωριζομένων μεταβλητών, οπότε στα διαστματα που το z 2 δεν μηδενίζεται, έχουμε z 2 z x και άρα z 2 dz x dx + c z z + dz dx + c, x ισοδύναμα Η ανάλυση της συνάρτησης Επομένως, dz ln x + c. z z + 2 z z z+ σε απλά κλάσματα δίνει z z + 2 z 3 2 z +. ln x + c 2 z dz ln z 3 ln z + 2 z + dz Αναλυτικά, z z + A z + B z + Az + A + Bz B z z + Άρα A + B και A B 2, από όπου έπεται ότι A 2 και B ln z 2 ln z + 3. Άρα 2 ln x + 2c ln z ln z + 3 ln z z + 3 ln x 2 + 2c ln z z + 3

6 και επομένως z z + 3 e2c x 2 z z + 3 ± e2c x 2 Cx 2, 3. για C R \ {0}. Οι ιδιάζουσες λύσεις της σδε για την zx είναι οι z 2 0, ισοδύναμα οι z ±. Η ιδιάζουσα λύση z, αντιστοιχεί στην τιμ της σταθερς C 0, στην προηγούμενη γενικ λύση Αν z, τότε z+3 z C C, οπότε η άλλη ιδιάζουσα λύση x 2 x 2 αντιστοιχεί στην περίπτωση που C 0. Είναι προφανές ότι η σχέση 3. δεν μπορεί να περιγράψει και τις δυο ιδιάζουσες λύσεις για κατάλληλες τιμές της C, οπότε επιλέγουμε ως γενικ λύση της σδε την σχέση 3. με C R, και κουβαλάμε την ιδιάζουσα λύση z. Επιστρέφοντας στην αρχικ μεταβλητ y x z, βρίσκουμε ότι η γενικ λύση δίνεται έμμεσα από την σχέση y x y + x 3 x2 Cx 2 ισοδύναμα y x y + x 3 C. Συνοψίζοντας, η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης y 2y x 2x y, δίνεται έμμεσα από την σχέση y x y + x 3 C, C R καθώς και η ειδικ λύση yx x, που αντιστοιχεί στην ιδιάζουσα λύση z. Άσκηση 4. Να αποδείξετε ότι, αν η διαφορικ εξίσωση Mx, ydx + Nx, ydy 0 είναι ομογενς, τότε δέχεται ως ολοκληρωτικό παράγοντα την συνάρτηση µx, y xmx, y + ynx, y. Υποθέτουμε ότι η σδε είναι ομογενς, και συνεπώς μπορεί να γραφεί στην μορφ y y/x, για κάποια συνάρτηση. Από την άλλη, η εξίσωση Mx, ydx+nx, ydy 0 γράφεται ισοδύναμα και ως dy y Mx, dx Nx, y Πρέπει λοιπόν, y Mx, y Nx, y. y x Mx, y Nx, y.

7 Εξ ορισμού, η συνάρτηση µx, y αποτελεί ολοκληρωτικό παράγοντα της εξίσωσης Mx, ydx + Nx, ydy 0, αν την μετατρέπει σε ακριβ, αν ισχύει ότι µx, ymx, y µx, yx, y. y x Έχουμε, και µx, ymx, y µx, ynx, y Mx, y xmx, y + ynx, y x + y Nx,y Mx,y x y y/x Nx, y xmx, y + ynx, y x Mx,y Nx,y + y x y/x + y. Θέτουμε y/x z zx, y. Τότε, y/x z zx, y. Επομένως, y µx, ymx, y y x y z y x y 2 z x y z z y y z z + y z z z 2 2 y 2 x y z x y z και y x x y 2 2 y x x y 2 y x 2 2 x y µx, yx, y x x x z + y z x x z x z + y 2 + x y x 2 x + y 2 y x x + y 2 y x x y 2. x x z + y x z + y 2 z + x z z x x z + y 2 Οπότε, µx, ymx, y y µx, yx, y x, και συνεπώς η συνάρτηση µx, y αποτελεί ολοκληρωτικό παράγοντα.

8 Άσκηση 5. Να βρεθεί η γενικ λύση της σδε y 3x2 + y 2. 2xy ος τρόπος: Ξαναγράφοντας την εξίσωση ως 3x 2 + y 2 + 2xy y 0 και θέτοντας Mx, y 3x 2 + y 2 και Nx, y 2xy, βλέπουμε ότι η διαφορικ εξίσωση αυτ είναι ακριβς στο R 2 καθώς M y x, y 2y N x x, y. Συνεπώς, υπάρχει συνάρτηση ψ C R 2 τέτοια ώστε ψ x x, y Mx, y 3x 2 + y 2 5. ψ y x, y Nx, y 2xy 5.2 Ολοκληρώνοντας την 5. ως προς x, βρίσκουμε ότι ψx, y x 3 + xy 2 + gy όπου gy τυχαία διαφορίσιμη συνάρτηση. Τότε όμως, ψ y x, y 2xy + g y και άρα από την 5.2 παίρνουμε 2xy + g y 2xy g y 0 που σημαίνει ότι η συνάρτηση gy είναι σταθερ. Επιλέγοντας δίχως βλάβη της γενικότητας, την g να είναι η μηδενικ συνάρτηση, έπεται ότι ψx, y x 3 + xy 2 και συνεπώς η λύση της διαφορικς εξίσωσης περιγράφεται από την σχέση x 3 + xy 2 c, c R. Η γραφικ παράσταση της λύσης για διάφορες τιμές της παραμέτρου c. 2 ος τρόπος: Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα στην μορφ y 2x y 3 2 x y Άρα, είναι Bernoulli με εκθέτη p. Ισοδύναμα y y 2x y2 3 2 x. και χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση ux yx yx 2, η εξίσωση μετατρέπεται στην γραμμικ σ.δ.ε. αλλιώς u + 2 2x u 23 2 x u + x u 3x. Όμως, αυτ μπορεί να γραφεί και στην μορφ xu + u 3x 2 ισοδύναμα, στην μορφ xu 3x 2. Οπότε, ολοκληρώνοντας ως προς x, παίρνουμε ότι xu x 3 + c,

9 για c R και συνακόλουθα, η γενικ λύση της αρχικς διαφορικς εξίσωσης δίνεται στην πεπλεγμένη μορφ x y 2 x 3 + c, c R. 3 ος τρόπος: Τέλος, εύκολα διαπιστώνουμε ότι η αρχικ σδε είναι και ομογενς, αφού y x2 3 + y 2 /x 2 2xy x3 + y/x2 2y 3 + y/x2 2y/x y/x. Θέτουμε y x z και η εξίσωση γίνεται z + x z 3 + z2 x z 3 + z2 z 3 + z z2 3 + z 2. 2 z Επειδ z για κάθε z R, από τον χωρισμό μεταβλητών παίρνουμε + z 2 z 3 x. Συνεπώς, ολοκληρώνοντας κατά μέλη έχουμε 3 ln x + c + z 2 + z 2 dz + z 2 dz ln + z 2. Άρα, + z 2 x 3 e c ± x 3 e c Cx 3, C R. Έπεται, λοιπόν, ότι + y/x 2 Cx 3, από όπου συμπεραίνουμε ότι η γενικ λύση της αρχικς διαφορικς εξίσωσης δίνεται έμμεσα από την σχέση x 2 + y 2 Cx, C R. Παρατηρστε ότι όποιον δρόμο και να ακολουθσει κανείς οδηγείται σε ταυτόσημα αποτελέσματα, όμως διαφορετικς δυσκολίας από πλευράς πράξεων.