Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2008, Θεσσαλονίκη

Transcript

1

2 Kάθε γνσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφ του συγγραφέα Με το συγγραφέα επικοινωνείτε: Tηλ , ISBN Copyright: Ξένος Θ, Eκδόσεις Zτη, Ιανουάριος 008, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικς ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N/993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικς ιδιοκτησίας Aπαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτς άδειας του εκδότη και συγγραφέα κατά οποιοδποτε τρόπο μέσο αντιγραφ, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγ, εκμίσθωση δανεισμός, μετάφραση, διασκευ, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδποτε μορφ (ηλεκτρονικ, μηχανικ άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου μέρους του έργου Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύπωση Bιβλιοπωλείο wwwzitigr Π ZHTH & Σια OE 8ο χλμ Θεσ/νίκης-Περαίας TΘ 47 Περαία Θεσσαλονίκης TK Tηλ: (0 γραμ) - Fa: info@zitigr Aρμενοπούλου Θεσσαλονίκη Tηλ , Fa sales@zitigr

3 Πρόλογος Τ ο βιβλίο αυτό απευθύνεται σε φοιτητές ΑΕΙ - ΤΕΙ και περιέχει την ύλη του μαθματος των Διαφορικών Εξισώσεων Η θεωρία και κυρίως οι μέθοδοι επίλυσης Διαφορικών Εξισώσεων είναι απαραίτητες γνώσεις για έναν επιστμονα των Μαθηματικών, της Φυσικς, της Ηλεκτρολογίας, της Μηχανολογίας, των Ηλεκτρονικών, της Οικονομίας κλπ Στο βιβλίο αυτό παρουσιάζονται συνοπτικά οι βασικές έννοιες και οι μέθοδοι επίλυσης των διαφόρων μορφών Διαφορικών Εξισώσεων Ακολουθούν αντιπροσωπευτικά παραδείγματα, γραμμένα με προσιτό και κατανοητό τρόπο Τα κεφάλαια που αναπτύσσονται είναι: Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης 3 Συστματα διαφορικών εξισώσεων 4 Διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους 5 Επίλυση διαφορικών εξισώσεων με σειρές 6 Μετασχηματισμός Laplace 7 Σειρές Fourier Δεκέμβριος 007 Θ Ξένος

4 Περιεχόμενα Κεφάλαιο Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Εισαγωγικές έννοιες9 Σχηματισμός διαφορικς εξίσωσης 9 Διαφορικές εξισώσεις χωριζόμενων μεταβλητών 3 Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις 5 3 Διαφορικές εξισώσεις αναγόμενες σε ομογενείς 8 4 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις 0 5 Διαφορικές εξισώσεις του Bernoulli 3 6 Διαφορικές εξισώσεις του Riccati 5 7 Εξισώσεις των ολικών διαφορικών 8 8 Ολοκληρωτικοί παράγοντες 3 9 Επίλυση διαφορικών εξισώσεων με αλλαγ μεταβλητών 4 0 Προσεγγιστικές λύσεις διαφορικών εξισώσεων 46 Ιδιάζουσες λύσεις διαφορικών εξισώσεων 48 Διαφορικές εξισώσεις του Clairaut 5 3 Διαφορικές εξισώσεις του Lagrange 53 4 Ειδικές περιπτώσεις διαφορικών εξισώσεων 57 5 Το πρόβλημα των ισογώνιων τροχιών 6 6 Διαφορικές εξισώσεις χωρίς την άγνωστη συνάρτηση 69 7 Διαφορικές εξισώσεις χωρίς την ανεξάρτητη μεταβλητ 70 8 Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις ανώτερου βαθμού 7 9 Ανακεφαλαίωση στις διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης 74 0 Προβλματα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης 78

5 6 Διαφορικές Εξισώσεις Κεφάλαιο Διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης Διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης χωρίς την άγνωση συνάρτηση 93 Διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης χωρίς την ανεξάρτητη μεταβλητ97 (n) 3 Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις ως προς y,y,y, º,y 99 4 Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις ως προς 00 5 Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις ως προς και y 0 6 Μία εφαρμογ από τη Φυσικ 04 7 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης 06 8 Ομογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές 9 Γραμμικές μη ομογενείς διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές 4 0 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις του Euler 6 Προβλματα διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης 8 Κεφάλαιο 3 Συστματα διαφορικών εξισώσεων 3 Γενικά 39 3 Συστματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές 4 Κεφάλαιο 4 Διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους 4 Γενικά 6 4 Σχηματισμός διαφορικς εξίσωσης μερικών παραγώγων Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις μερικών παραγώγων πρώτης τάξης Το πρόβλημα του Cauchy Εξισώσεις ολικών διαφορών του Pfaff 77

6 Περιεχόμενα 7 Κεφάλαιο 5 Επίλυση διαφορικών εξισώσεων με σειρές 5 Επίλυση με δυναμοσειρές στην περιοχ ομαλού σημείου 83 5 Επίλυση με δυναμοσειρές στην περιοχ ανώμαλου σημείου 9 Κεφάλαιο 6 Μετασχηματισμοί Laplace 6 Μετασχηματισμός Laplace95 6 Ο αντίστροφος του μετασχηματισμού Laplace03 63 Εφαρμογές του μετασχηματισμού Laplace 0 Κεφάλαιο 7 Σειρές Fourier 7 Εισαγωγ 7 7 Σειρά και συντελεστές Fourier 8 73 Σύγκλιση της σειράς Fourier0 74 Περιοδικ επέκταση συναρτσεων4 75 Παραγώγιση και ολοκλρωση της σειράς Fourier 8 Βιβλιογραφία3 Ευρετριο όρων 33

7 Εισαγωγικές έννοιες 9 ο Kεφάλαιο Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης Εισαγωγικές έννοιες Μια εξίσωση που περιέχει ανεξάρτητες μεταβλητές, άγνωστες συναρτσεις και παραγώγους διαφορικά των άγνωστων συναρτσεων, ονομάζεται διαφορικ εξίσωση (ΔΕ) Αν οι άγνωστες συναρτσεις εξαρτώνται από μία ανεξάρτητη μεταβλητ, τότε η εξίσωση ονομάζεται συνθης διαφορικ εξίσωση Θα μελετσουμε διαφορικές εξισώσεις της μορφς (n) F(, y, y, y, º, y ) 0 όπου ανεξάρτητη μεταβλητ και y y() η άγνωστη συνάρτηση Η τάξη n της μεγαλύτερης παραγώγου της y ονομάζεται τάξη της διαφορικς εξίσωσης Αν η διαφορικ εξίσωση είναι πολυώνυμο ως προς τις παραγώγους της, τότε ο βαθμός του πολυωνύμου αυτού (ως προς την παράγωγο με τη μεγαλύτερη τάξη) ονομάζεται βαθμός της διαφορικς εξίσωσης Για παράδειγμα, i) η διαφορικ εξίσωση 3 + 4y - y + y 0 έχει τάξη και βαθμό, ii) η διαφορικ εξίσωση 5 Êdyˆ + Á 0 Ë d έχει τάξη και βαθμό 5 Σχηματισμός διαφορικς εξίσωσης Μια εξίσωση της μορφς g(,y,c) 0, ()

8 0 Κεφάλαιο : Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης όπου c σταθερά, παριστάνει μια μονοπαραμετρικ οικογένεια καμπύλων Αν παραγωγίσουμε την () ως προς, έχουμε: g g + y 0 () y Αν από τις (), () απαλείψουμε το c, παίρνουμε μια εξίσωση της μορφς F(, y, y ) 0, η οποία εκφράζει μια ιδιότητα της κλίσης μιας καμπύλης της οικογένειας (), που περνά από το σημείο (, y) Έτσι, από μια μονοπαραμετρικ οικογένεια καμπύλων προκύπτει διαφορικ εξίσωση πρώτης τάξης Γενικά, θεωρούμε μια οικογένεια καμπύλων με εξίσωση g(,y,c,c, º,c n) 0, c,c, º,cn αυθαίρετες σταθερές () Παραγωγίζοντας την εξίσωση αυτ διαδοχικά n φορές και απαλείφοντας τα c,c, º,cn από τις n+ σχέσεις που έχουμε, προκύπτει μια διαφορικ εξίσωση n τάξης της μορφς (n) F(, y, y, y, º, y ) 0 () Κάθε συνάρτηση που ορίζεται από την () ονομάζεται μερικό ολοκλρωμα της διαφορικς εξίσωσης (), ενώ το σύνολο των μερικών ολοκληρωμάτων ονομάζεται γενικό ολοκλρωμα της () γενικ λύση Είναι δυνατόν, με την απαλοιφ των c,c, º,cn, να προκύψει διαφορικ εξίσωση με τάξη k< n Αυτό θα συνέβαινε στην περίπτωση που η οικογένεια () εξαρτάτο στην πραγματικότητα από k παραμέτρους Για παράδειγμα, η εξίσωση + y αβ εξαρτάται ουσιαστικά από μία παράμετρο, την c αβ Επίσης, είναι δυνατόν η διαφορικ εξίσωση () να έχει, εκτός από την (), και άλλη λύση Παράδειγμα Να σχηματιστεί η διαφορικ εξίσωση που αντιστοιχεί στην οικογένεια των παραβολών y α Παραγωγίζουμε ως προς την y α () και έχουμε y α ()

9 Εισαγωγικές έννοιες Από τη () προκύπτει y α και η () γράφεται y y y y, που είναι η ζητούμενη διαφορικ εξίσωση Παράδειγμα Να βρεθεί η διαφορικ εξίσωση όλων των υπερβολών του επιπέδου με κοινές εστίες Η οικογένεια των υπερβολών του επιπέδου με κοινές εστίες έχει εξίσωση y - α + c β -c (), όπου α, β σταθερές και c παράμετρος Αναζητούμε τη διαφορικ εξίσωση της ο- ποίας η () είναι λύση Παραγωγίζουμε την () ως προς και έχουμε την εξίσωση yy - 0 α + c β -c () Θεωρώντας τις () και () ως γραμμικό σύστημα με αγνώστους α + c και β - c, έχουμε -y 0 - yy - yy α + c -y y - yy y -y - yy 0 - β -c y - yy y - yy yy -y

10 Κεφάλαιο : Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης Έτσι, y - y α + c y και β - c yy -y, οπότε με πρόσθεση αυτών προκύπτει η ζητούμενη διαφορικ εξίσωση y - y α + β + yy -y y (α + β )y y - y + y(y ) -y y y(y ) + ( -y -α -β )y - y 0 Παράδειγμα 3 Να βρεθεί η διαφορικ εξίσωση όλων των κύκλων του επιπέδου Κάθε κύκλος του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφς + y + A+ By+ Γ 0 () όπου Α, Β, Γ είναι παράμετροι Παραγωγίζουμε τρεις φορές την () (αφού οι παράμετροι είναι τρεις) και έχουμε τις εξισώσεις και + yy + A+ By 0, () + (y ) + yy + Βy 0 (3) 4y y + y y + yy + Βy 0 6y y + yy + Βy 0 (4) Από την (4) προκύπτει ότι 6y y + yy B - y και η (3) γράφεται + (y ) + yy -(6y y + yy ) 0 y y ( ) + (y ) y - 3y (y ) 0

11 : Διαφορικές εξισώσεις χωριζόμενων μεταβλητών 3 Διαφορικές εξισώσεις χωριζόμενων μεταβλητών ΘΘ ΞΞ έ ν οο ς Οι διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης και πρώτου βαθμού έχουν γενικά τη μορφ P(,y) + Q(,y)y 0 P(,y)d + Q(,y)dy 0 Η απλούστερη απ αυτές είναι εκείνη για την οποία είναι P(,y) g() και Q(,y) h(y) P(,y) g() h(y) και Q(,y) φ() σ(y) Στην πρώτη περίπτωση η διαφορικ εξίσωση λύνεται με απευθείας ολοκλρωση, ενώ στη δεύτερη περίπτωση διαιρούμε πρώτα με h(y) φ() και έχουμε διαφορικ εξίσωση της πρώτης περίπτωσης Γενικά, λοιπόν, μια διαφορικ εξίσωση χωριζόμενων μεταβλητών έχει τη μορφ f()d g(y)dy Παράδειγμα 4 Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ( - 4)y y Η εξίσωση γράφεται dy ( - 4) y d d ( - 4)dy y d - 4 dy y και με ολοκλρωση έχουμε d - + dy ( )( ) y (+ ) -(-) Êπ± ˆ d dy 4 (- )(+ ) y Á Ë yπ 0 Ê - ˆ Ë d - d + dy 4 y (ln - - ln + ) lny + lnc 4 - ln 4ln cy + - c y c (+ )y 4 Η συνάρτηση y 0 είναι, επίσης, λύση της διαφορικς εξίσωσης

12 4 Κεφάλαιο : Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης Σχόλιο: Μια διαφορικ εξίσωση χωριζόμενων μεταβλητών παίρνει τελικά τη μορφ y f() g(y) και γράφεται dy f()d, με g(y) π 0 g(y) Αν η εξίσωση g(y) 0 έχει ως λύση πχ y α, τότε η συνάρτηση y α είναι λύση της διαφορικς εξίσωσης, αφού y 0 και η διαφορικ εξίσωση επαληθεύεται Παράδειγμα 5 Σε μια σταθερ οικονομία η αξία μιας τηλεόρασης μειώνεται συνεχώς, με ρυθμό ανάλογο της τιμς της Μια τέτοια τηλεόραση πωλείται σμερα 30 και σε τρία χρόνια υπολογίζεται ότι θα πωλείται 40 Πόσα θα πωλείται σε χρόνια; Έστω Q(t) η αξία της τηλεόρασης σε t χρόνια διαφορικ εξίσωση Q (t) -αq(t), α θετικ σταθερά, dq η οποία γράφεται -αq dt Με ολοκλρωση παίρνουμε dq -α Q dt dq - Q lnq - αt + lnc Αλλά Q(0) 30, οπότε c 30 αdt (t 0), οπότε έχουμε να λύσουμε τη -αt Q ce -3α -3α 40 3 Επίσης, Q(3) 40 ce 40 e 30 4 Η τιμ της τηλεόρασης σε χρόνια θα είναι - - Q() c e 30 (e ) 30 Ê ˆ 0,5 Ë4 Παράδειγμα 6 α 3α 4 3 dy Να βρεθεί η ολοκληρωτικ καμπύλη της διαφορικς εξίσωσης ylny- sin 0, d η οποία διέρχεται από το σημείο Êπ M, e ˆ Ë 4

13 : Διαφορικές εξισώσεις χωριζόμενων μεταβλητών 5 Η διαφορικ εξίσωση γράφεται dy d y lnyd sindy ylny sin και με ολοκλρωση έχουμε dy sin + cos y d d(lny) ln y d sin cos ln y sin cos sin cos ln lny d + d cos sin ln ln y - ln cos + ln sin + lnc ln ln y ln cεφ, c > 0 cεφ lny cεφ, cπ0 y e (c ± c) Η γενικ λύση για π και y e δίνει e e c, δηλαδ c Άρα, η ζητούμενη καμπύλη είναι η y e εφ Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις ΘΘ ΞΞ έ ν οο ς Ομογενς λέγεται η διαφορικ εξίσωση που έχει τη μορφ P(,y)d + Q(,y)dy 0, όπου οι συναρτσεις P(, y), Q(, y) είναι ομογενείς* με τον ίδιο βαθμό * Υπενθυμίζουμε ότι η f(,y) λέγεται ομογενς βαθμού k, όταν για κάθε t > 0 ισχύει k f(t,ty) t f(,y) Πχ η f(,y) + 3y είναι ομογενς ου βαθμού

14 6 Κεφάλαιο : Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης Η εξίσωση αυτ γράφεται και με τη μορφ y y f Ê ˆ Ë όπου η Êy f ˆ είναι ομογενς συνάρτηση βαθμού 0 Ë y Για να λύσουμε αυτ τη διαφορικ εξίσωση, θέτουμε u έχουμε νέες μεταβλητές και u, όπου u u() Έτσι, καταλγουμε σε διαφορικ εξίσωση χωριζόμενων μεταβλητών, δηλαδ y u και Παράδειγμα 7 Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση ( + y )d + y dy 0 Οι συναρτσεις P(,y) + y και Q(,y) y είναι ομογενείς βαθμού Έτσι, η διαφορικ εξίσωση είναι ομογενς και γράφεται dy + y y - d y y Θέτουμε u, δηλαδ y u, οπότε y u + u και η εξίσωση γράφεται u+ u - + u u + u u+ u - u u + uu --u du udu u + -u - d u + Ολοκληρώνοντας έχουμε d ln(u ) ln lnc Êy ˆ + Ê c ln ˆ Á Ë ln Ë y C y + C

15 : Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις 7 Παράδειγμα 8 Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση 3 3 y( - y ) y 3 3 ( -y ) με την αρχικ συνθκη y() Θέτουμε y u, οπότε y u+ u και η εξίσωση γράφεται u( - u ) u+ u ( - u ) u - u u+ u -u 4 3 du u- u + (- u ) u- u d du 4 ( - u ) u + u d Επομένως 3 d -u 4 du u + u d - u ( + u )-3u Ê 3u ˆ 3 du 3 du Á - 3 du u(+ u ) u(+ u ) Ëu + u 3 ln ln u - ln + u + lnc (c > 0) cu ln ln + u 3 3 ( + u ) cu 3 Ê y ˆ y Á+ 3 c Ë y cy y c y (c Œo ) 9 Για και y η γενικ λύση δίνει c κι έτσι έχουμε τη μερικ λύση y y

16 8 Κεφάλαιο : Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης 3 Διαφορικές εξισώσεις αναγόμενες σε ομογενείς Θα λύσουμε διαφορικές εξισώσεις της μορφς ΘΘ ΞΞ έ ν οο ς Êα + βy + γˆ y f Á, β π0 λ π0 Ëκ + λy + μ Θέτουμε α + βy + γ Χ και κ + λy + μ Υ () Διαφορίζοντας παίρνουμε τις ισότητες αd + βdy dx και κd + λdy dy () α β i) Έστω ότι D αλ βκ 0 κ λ - π Λύνουμε το σύστημα των () ως προς d, dy και η διαφορικ εξίσωση είναι ομογενς με μεταβλητές Χ και Υ κ λ ii) Έστω ότι D αλ - βκ 0 Τότε ρ και η διαφορικ εξίσωση γράφεται α β Ê α + βy + γ ˆ y fá Ëρ(α + βy) + μ Αν τώρα θέσουμε α + βy u, τελικά έχουμε διαφορικ εξίσωση χωριζόμενων μεταβλητών, με νέες μεταβλητές και u Παράδειγμα 9 Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση (3 + y + )dy + (4 + 3y + )d 0 H εξίσωση γράφεται Θέτουμε dy 4 + 3y + y - d 3 + y y + X και 3 + y + Y οπότε με διαφόριση παίρνουμε 4d + 3dy dx και 3d + dy dy Το τελευταίο σύστημα έχει τη λύση

17 3: Διαφορικές εξισώσεις αναγόμενες σε ομογενείς 9 dx 3 dy d 3dY - dx, dx 3 dy dy 3dX -4dY - Έτσι, η εξίσωση γράφεται 3dX - 4dY X - 3dY -dx Y 3YdX - 4YdY - 3XdY + XdX dy X -3Y (3X - 4Y)dY (X - 3Y)dX Y dx 3X - 4Y και είναι ομογενς διαφορικ εξίσωση με μεταβλητές Χ και Υ Θέτουμε, τώρα, Y ux, οπότε Y u+ Xu και η εξίσωση γράφεται X -3uX u+ Xu 3X - 4uX du 3u - 4u + X(3-4u) - 3u dx dx 4u 3 d(u 3u ) - - du X u - 3u + u - 3u + και με ολοκλρωση έχουμε -3u u+ Xu 3-4u X(3-4u)du (u - 3u + )dx ln X - ln u - 3u + + c ln X ln Ê ˆ + c Á Ë u - 3u + c Ê ˆ Á Ë u - 3u + ln X ln X c u - 3u + Y 3Y X c X - X + Y - 3XY + X c Έχουμε, λοιπόν, τη λύση (3 + y + ) - 3(4 + 3y + )(3 + y + ) + (4 + 3y + ) c + y + 3y + + y c

18 0 Κεφάλαιο : Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης Παράδειγμα 0 Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση (3 - y + )d + ( y + 5)dy 0 H εξίσωση γράφεται dy 3 - y + y d (3 -y)- 5 Θέτουμε 3 - y u, οπότε Έτσι, έχουμε u+ (3- u ) u-5 y (3- u) και u + 3- u u -5 y (3-u ) 4u -7 u u -5 du 4u -7 (u -5)du d d u -5 4u -7 Με ολοκλρωση παίρνουμε 4u-0 (4u - 7) + 7 du d 4u-7 du 4u -7 Ê 7 ˆ + du Ë 4u y + ln -8y c y+ ln-8y- 7 c 4 7 u+ ln 4u- 7 + c 4 4 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις Οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης έχουν τη μορφ ΘΘ ΞΞ έ ν οο ς y + P() y+ Q() 0 (Η ονομασία «γραμμικ» οφείλεται στο γεγονός ότι η άγνωστη συνάρτηση y και η παράγωγός της y συνδέονται μεταξύ τους γραμμικά)

19 4: Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της εξίσωσης επί y e + e P() y-q() e P()d P()d P()d Ê P()dˆ ye -Q()e Ë P()d P()d P()d ye - Q()e d+ c P()d e και έχουμε: P()d P()d y e - È c Q() e Í - d Î Μια χαρακτηριστικ ιδιότητα της γραμμικς διαφορικς εξίσωσης πρώτης τάξης είναι η εξς: Αν y,y είναι δύο μερικές λύσεις της, τότε ισχύει y- y y - y c Από την τελευταία ισότητα προκύπτει ότι y c(y- y ) + y, που σημαίνει ότι η γενικ λύση είναι γραμμικ συνάρτηση της αυθαίρετης σταθεράς c Παράδειγμα Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση π y + yεφ ημ, Ê Œ0, ˆ Ë Είναι γραμμικ διαφορικ εξίσωση με P() εφ και P()d -ln(συν) Η εξίσωση γράφεται: -ln(συν) -ln(συν) -ln(συν) y e + yεφ e ημ e y + y εφ ημ συν συν συν ημ y + y ημ συν συν Ê y ˆ ημ Ë συν

20 Κεφάλαιο : Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης κι επομένως y ημd+ c- συν+ c συν y cσυν- συν Παράδειγμα Να βρεθεί καμπύλη y f(), με 0 και y 0, τέτοια ώστε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται απ αυτν, τους ημιάξονες Ο, Oy και την κάθετη από το σημείο M,f() ( ) στον Ο, να ισούται με y-, για κάθε > 0 Θα πρέπει για κάθε > 0 να ισχύει f(t)dt y - () 0 Παραγωγίζοντας την () ως προς, παίρνουμε την εξίσωση f() y - y -y - 0, που είναι γραμμικ διαφορικ εξίσωση Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της επί P()d ( )d e - - e e και έχουμε y Ο M y f() e y -e y e Επομένως, - - (e y) e - - e y- e + c y ce - () Για 0 η () δίνει y 0 και η () για y 0 δίνει c Άρα, η ζητούμενη καμπύλη είναι η y e -, 0 Σημείωση: Για την επίλυση της γραμμικς διαφορικς εξίσωσης y + P() y+ Q() 0, μπορούμε να χρησιμοποιούμε απευθείας τον τύπο: P()d P()d y e - È c Q() e Í - d Î

21 5: Διαφορικές εξισώσεις του Bernoulli 3 5 Διαφορικές εξισώσεις του Bernoulli Οι εξισώσεις αυτές έχουν τη μορφ ΘΘ ΞΞ έ ν οο ς y + P() y+ Q() y 0, όπου nœo με nπ 0 και nπ (Για n 0 n η διαφορικ εξίσωση είναι γραμμικ και μελετθηκε στην προηγούμενη παράγραφο) n u y -, οπότε καταλ- Διαιρούμε τα μέλη της εξίσωσης με y και θέτουμε γουμε στη γραμμικ διαφορικ εξίσωση u + (- n)p()u + (- n)q() 0 n n Παράδειγμα 3 Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση dy y 3 + y d 3 Η εξίσωση γράφεται y + y- y 0 και είναι διαφορικ εξίσωση Bernoulli με 3 P(), Q() - και n 3 Διαιρούμε τα μέλη της με y και η εξίσωση γράφεται y y + y Θέτουμε τώρα, y - u, οπότε du d Ê ˆ dy 3 d d Áy -, δηλαδ Ë y d -3 u -y y Έτσι, η εξίσωση γράφεται - u + u- 0 u - u+ 0, η οποία είναι γραμμικ με P() - και Q() Σύμφωνα με το γνωστό τύπο της γενικς λύσης, έχουμε

22 4 Κεφάλαιο : Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης P()d P()d d - d È - È u e Í c- Q() e d e Íc- e d Î ÍÎ ln -ln e Èc- e d ÍÎ ln Ê ˆ u e c- d Ê c- ln d ˆ Ë Á e Ë 3 u (c- ) c - Τελικά, έχουμε 3 c y -, δηλαδ 3 y (c - ) Παράδειγμα 4 Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο o, για την οποία ισχύει 3 f ()- f() f () και f(0) Θα λύσουμε τη διαφορικ εξίσωση Bernoulli 3 y -y- y 0 Διαιρώντας με y γράφεται 3 y - y y Θέτουμε y - u, οπότε ʈ u Á - y Ëy y και η εξίσωση γράφεται -u -u- 0 3 u + u+ 0, η οποία είναι γραμμικ και έχει γενικ λύση u e c- Q() e d Ë - P()d Ê P()d ˆ 3 d 3 d u e - Ê c- e ˆ Ë 3 u e - Ê ˆ Ác- e d Á Ë

23 5: Διαφορικές εξισώσεις του Bernoulli 5 Αλλά 3 e d ( e ) d e - e ( ) d κι επομένως Ê ˆ e -4 e Á d e -4e Ë u e - Ê ˆ Ác-e + 4e ce Á Ë y f() - / ce Από την τελευταία βρίσκουμε f(0), οπότε c + 4 c+ 4, δηλαδ c- 3 Άρα, f() 4- -3e - 6 Διαφορικές εξισώσεις του Riccati Μια διαφορικ εξίσωση του Riccati έχει τη μορφ ΘΘ ΞΞ έ ν οο ς y + P() y + Q() y + R() 0 και για να βρεθεί η γενικ της λύση, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε μια μερικ λύση y y αυτς Θέτουμε και λαμβάνοντας υπόψη ότι y y + z y + P() y + Q() y + R() 0, καταλγουμε

24 6 Κεφάλαιο : Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης στη διαφορικ εξίσωση z + ( yq() + P() ) z+ Q() z 0, η οποία είναι διαφορικ εξίσωση του Bernoulli και λύνεται αφού διαιρέσουμε με z και θέσουμε - * u z z Η διαφορικ εξίσωση είναι γραμμικ ως προς u, οπότε η γενικ της λύση έχει τη μορφ u cf() g() + κι επομένως z cf() + g() και y y + cf() + g() Μια χαρακτηριστικ ιδιότητα της διαφορικς εξίσωσης Riccabi είναι η εξς: Αν y, y, y 3 είναι τρεις διακεκριμένες μερικές λύσεις της διαφορικς εξίσωσης, τότε ισχύει y- y y3- y c, y-y y3-y που σημαίνει ότι η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης Riccatti μπορεί να βρεθεί χωρίς τετραγωνισμούς (ολοκληρώσεις), όταν γνωρίζουμε τρεις μερικές λύσεις της Παράδειγμα 5 Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση y + ( -)y - y + - 0, γνωρίζοντας ότι μια μερικ λύση της είναι της μορφς y α ( -) Η εξίσωση γράφεται y + y- y + (- ) 0 και είναι διαφορικ εξίσωση του Riccati H y α είναι λύση της, όταν την επαληθεύει, δηλαδ για κάθε τιμ του ισχύει ( -) α+ α- α α+ α-α- α (α -α - ) + ( - α) 0 * Άρα, θέτουμε y y + u

25 6: Διαφορικές εξισώσεις του Riccati 7 Η ισότητα αυτ αληθεύει για κάθε τιμ του, όταν α -α - 0 και - α 0, δηλαδ α Έτσι, μια μερικ λύση της διαφορικς εξίσωσης είναι η y Θέτουμε y y + z και στη συνέχεια y y u u και η εξίσωση γράφεται: y u u + +, οπότε - u, δηλαδ θέτουμε z (-) - u + Ê + ˆ - Ê + ˆ u Ë u Ë u - u 0 u + + u - - u - - u - u + - u u u u u + u+ 0 H τελευταία είναι διαφορικ εξίσωση γραμμικ ως προς u, με Η γενικ της λύση είναι P(), Q() - P()d P()d - d Ê d ˆ Ê ˆ u e c- Q() e d e c- e d Ë Á Ë -ln ln e Ê c- e d ˆ Ê c- d ˆ Ë Ë Ê ˆ c c Á - - Ë c Άρα, αντικαθιστώντας την u - u στην y- c - c (y -) Ê - ˆ Ë y +, έχουμε u (y -)(c - )

26 8 Κεφάλαιο : Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης 7 Εξισώσεις των ολικών διαφορών Γνωρίζουμε ότι: ΘΘ ΞΞ έ ν οο ς Η παράσταση P(, y)d + Q(,y)dy είναι ολικό ( τέλειο) διαφορικό, αν και μόνον αν ισχύει P Q y Αν ισχύει P Q, τότε υπάρχει συνάρτηση u(, y) με y du P(,y)d + Q(,y)dy και επειδ u u du d + dy, θα έχουμε y u P(,y) και u Q(,y) y Από τις ισότητες αυτές μπορεί να προσδιοριστεί η u(,y) Έτσι, αν έχουμε να λύσουμε τη διαφορικ εξίσωση P(,y)d + Q(,y)dy 0, θα έχουμε du 0 και η γενικ της λύση είναι u(,y) c Παράδειγμα 6 Να λυθεί η διαφορικ εξίσωση (3 + y)d + (3y + )dy 0 Για τις συναρτσεις P(,y) 3 + y και Q(,y) 3y + ισχύει P Q y Επομένως, υπάρχει συνάρτηση u(,y) με du P(,y)d + Q(,y)dy, δηλαδ u P(,y) 3 y + () και u Q(,y) 3y + y ()

27 7: Εξισώσεις των ολικών διαφορών 9 Από την (), με ολοκλρωση ως προς, παίρνουμε 3 (3) u(,y) (3 + y)d + y+ φ(y) Η παραγώγιση της (3) ως προς y δίνει u + φ (y) y Από τις () και (4) προκύπτει ότι φ(y) 3y και με ολοκλρωση 3 φ(y) y + c (4) Άρα, η διαφορικ εξίσωση γράφεται du 0 και η γενικ της λύση είναι u(,y) c, δηλαδ y+ y c Σχόλιο: Από τις ισότητες u u P(, y) (), Q(, y) (), y η συνάρτηση u(,y) βρίσκεται ως εξς: (i) Ολοκληρώνουμε την () ως προς και βρίσκουμε u(,y) P(,y)d g(,y) + φ(y) (3), όπου η σταθερά ολοκλρωσης είναι μια συνάρτηση του y (ii) Παραγωγίζουμε την (3) ως προς y και βρίσκουμε u g + φ(y) (4), y y (iii) Από τις (), (4) βρίσκουμε την φ (y), οπότε με ολοκλρωση και την φ(y) Έτσι, λόγω της (3), η u(,y) έχει βρεθεί Παράδειγμα 7 Να προσδιοριστεί η ολοκληρωτικ καμπύλη της διαφορικς εξίσωσης yημ συν ln(y + )d + dy 0, y +

28 30 Κεφάλαιο : Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης η οποία περνά από το σημείο π M Ê, ˆ Ë Για τις συναρτσεις yημ P(, y) συν ln(y + ) και Q(,y) y + ισχύει P Q y συν y y + κι επομένως υπάρχει συνάρτηση u(,y) με du P(,y)d + Q(,y)dy, δηλαδ u συν ln(y ) + Από την () προκύπτει ότι u yημ () και y y + () u(,y) συν ln(y + )d ln(y + ) συνd ln(y + ) ημ + φ(y) (3) Η (3), με παραγώγιση ως προς y, δίνει u y ημ + φ (y) y y + (4) Οι () και (4) δίνουν φ(y) 0, δηλαδ φ(y) c Επομένως, η (3) γράφεται u(,y) ln(y + ) ημ + c και η γενικ λύση της διαφορικς εξίσωσης είναι ημ ln(y + ) c Η τελευταία για c ln Άρα, η ζητούμενη καμπύλη είναι η ημ ln(y + ) ln π και y δίνει