|
|
- Χριστός Λύτρας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1
2
3
4
5
6
7 5
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17 σ
18
19 σ σ σ σ σ σ (θ) θ (n, θ) n θ
20
21
22 σ. σ. 2o σ. σ. σ.
23 σ. P oisson P oisson σ. (stable)
24
25 N {1, 2,...} Z Q R N 0 : {0, 1, 2,...} N m : {1, 2,..., m} Z : Z\{0} Q : Q\{0} R : R\{0} R + : {x R : x 0} Z + Z + Q + Q + Ω A, B Ω A c Ω\A : {x Ω : x / A} A Ω A B i I A i {A i } i I I Ω σ Σ A Σ χ A A G Ω σ Ω G σ(g) σ G G σ(g) σ A G Ω A σ (G) B B((α, β)) α, β R σ R (α, β) B n Borel σ R n n N (Ω, Σ, µ) N Σ σ.µ.µ. µ
26 µ σ.µ.µ. µ µ(n) 0 µ σ.µ.µ. Σ 0 f : Ω R P f dp < L 1 (P ) L 1 +(P ) P σ.β. f : Ω R L 2 (P ) f : Ω R f 2 dp < X R X (θ) θ : (θ 1,..., θ m ) R m m N P X (θ) P X (B) f X (x)χ RX ν(dx) f X (x)ν(dx) B B, B B R X f X σ.(π.)π. ν N λ R X X R X (Ω, Σ, µ) (Θ, T, ν) R Ω Θ Ω Θ R A B A Σ B T σ σ Σ T Σ T (Ω Θ, Σ T, ρ) ρ µ ν µ ν A Σ B T ρ(a B) µ(a)ν(b) I {(Ω i, Σ i, P i )} i I ( J I (Ω J, Σ J, P J ) ) i J (Ω i, Σ i, P i ) : i J Ω i, i J Σ i, i J P i (Ω, Σ, P ) P I Ω I Σ I P I X : Ω R σ(x) : X 1 (B) : {X 1 (B) : B B}. σ(x) σ Ω σ Ω X σ(x) Σ
27 {X j } j I I σ ( ( ) ) {X j } j I : σ σ(x j ). j I σ ( {X j } j I ) σ {Xj } j I B Σ P (B) > 0 X : Ω R X P B E B [X] : E[X B] : XdP B R X B X χ A A Σ E[X A B] P B (A). X L 1 (P ) Y : Ω R X Y E[X Y ] : Ω R (i) E[X Y ] σ(y ) (ii) E[X Y ]dp XdP A σ(y ). A A X L 1 (P ) σ Σ X σ T E[X Y ] : Ω R (i) E[X T ] T (ii) E[X T ]dp XdP A T. A A E[X T ] P T Z : Ω R X T Z E[X T ] P T σ.β. E[X T ] version X T E P [X T ] E[X T ] X : χ B L 1 (P ) B Σ B P [B T ] : E P [Xχ B T ]. X σ Σ X Y E[X Y ] E[X σ(y ).
28 σ Σ 1,..., Σ n (n N : n 2) Σ k N n A k Σ k A 1,..., A n σ Σ σ Σ {Σ i } i I σ Σ P σ F Σ n N n 2 n P (E 1... E n F) P (E j F) j1 P F σ.β. j n E j Σ ij i 1,..., i n I Σ {X i } i I Ω Υ P σ F Σ σ ({X i }) i I P F P σ F Σ P (F X 1 i i, j I F F B T (B)) P (F X 1 j (B)), {X t } t T {Σ i } i I σ Σ T, I X t1,..., X tm σ Σ 1,..., Σ n Σ m, n N σ σ(x t1 ),..., σ(x tm ), Σ 1,..., Σ n P, Q (R, B) (P Q)(B) : R P (B y)dq(y) B B, B y : {z y : z B} P, Q n N n P P (n+1) : P n P P 0 P 0 ({0}) 1 σ F, G σ f, g n N {X k } k Nn (R, B) {P Xk } k Nn P X0 + +X n P X0 P Xn (P X0 P Xn 1 ) P Xn.
29 {X j } j I I X j : Ω R j I σ. σ I R {X j } j I σ I Z {X j } j I σ σ {X t } t R+ σ m N 0 t 0, t 1,..., t m R + 0 t 0 < t 1 < < t m X tj X tj 1 j N m {0} σ m N 0 h R + t 0, t 1,..., t m R + 0 t 0 < t 1 < < t m {X tj +h X tj 1 +h} j Nm {0} {X tj X tj 1 } j Nm {0} j N m {0} h R + P Xtj +h X P tj 1 +h X tj X tj 1 (Ω, Σ, P )
30
31 σ σ σ σ
32 σ σ
33 {T n } n N0 σ Ω T Σ ω Ω\Ω T T 0 (ω) 0 T n 1 (ω) < T n (ω) n 1 P Ω T P σ {T n } n N0 n N T n {T n } n N0 σ {W n } n N W n : T n T n 1 n N σ n N W n T n n W i. i1 T n n W n (n 1) n n n 1 {T n } n N0 σ {W n } n N
34 σ P σ Ω T : Σ σ σ n N σ ( ) ( ) {T k } k {0,1,...,n} σ {Wk } k {1,...,n}, : Ω R n (ω) : (T 1,..., T n ) (ω) (T 1 (ω),..., T n (ω)) (ω) : (W 1,..., W n ) (ω) (W 1 (ω),..., W n (ω)) ω Ω n n [m ij ] m ij : { 1 i j 0 i < j ( ) 1 }. {T n } n N0 {W n } n N n N P (P ) P (P ).
35 { n N T n < } n N E [T n ] < n1 E [W n] < σ {T n } n N0 {W n } n N θ (0, ) σ {W n } n N P Wn (θ) n N P Tn (n, θ) n N n N E [W n ] 1/α E [T n ] n/α
36 σ σ σ σ σ {N t } t R+ σ Ω N Σ ω Ω \ Ω N N 0 (ω) 0 N t (ω) N 0 { } t (0, ) N t (ω) s (t, ) N s (ω) t R + s [0,t) N s (ω) N t (ω) s [0,t) N s (ω) + 1 t R + t R+ N t (ω) P Ω N P σ {N t } t R+ σ. N t [0, t] P {N t } t R+
37 (t, t + ε) σ σ {T n } n N0 ω Ω t R + σ N t (ω) : χ {Tn t}(ω), n1 {N t } t R+ {N t } t R+ σ Ω N Ω T n N 0 ω Ω \ Ω T T n (ω) {t R + : N t (ω) n}. {N t } t R+ σ ω Ω n N 0 T n (ω) : {t R + : N t (ω) n} {T n } n N0 {T n } n N0 σ Ω T Ω N t R + ω Ω \ Ω N N t (ω) n1 χ {T n t}(ω) {N t } t R+ σ {T n } n N0 σ σ {W n } n N σ σ
38 P σ P σ Ω T Ω T Ω N Ω N σ σ n N 0 t R + {N t n} {T n t} {N t n} {T n t}\{t n+1 t} {T n t < T n+1 } σ ( {T n } n N0 ) σ ( {Nt } t R+ ) σ ( ) ( ) ( P T n < n N P {N t } P t N t (0, ) {N t } σ σ ).
39 (s, t] s, t R + s t σ {N t } t R+ (s, t] N t N s : n1 χ {s<tn t}. ω Ω N 0 (ω) 0 T n (ω) > 0 n N N t ω Ω s, t R + s t N t (ω) (N t N s )(ω) + N s (ω), N s (ω) { n } n N0 { t } n R+ {W n } n N σ {N t } t R+ θ (0, ) t (0, ) P Nt (θt) σ P Nt+h N t P Nh t, h R + σ. {Ñt} t R+ t R + Ñt θ (0, ) P Tn (n, θ) n N
40 P Nt (θt) t (0, ) E [T n ] n/θ n N E [N t ] θt t (0, ) θ (0, ) σ {W n } n N P Wn (θ) n N P Nt (θt) t (0, ) {Σ j } j I σ Σ j, k I j < k Σ j Σ k σ {X j } j I {Σ j } j I j I X j Σ j {T j } j I T j σ ( {X k : k j} ) j I {X j } j I σ {X j } j I σ {X j } j I {Σ j } j I {Σ j } j I {(X j, Σ j )} j I {X j } j I {Σ j } j I j I X j L 1 (P ) j, k I j k E[X k Σ j ] X j P Σ j σ.β. θ (0, ) σ.δ {W n } n N P Wn (θ) n N
41 σ.δ {N t } t R+ θ σ.δ {N t } t R+ E [N t ] θt t R + σ.δ {N t θt} t R+ σ σ. σ σ {N t } t Rt σ Θ Θ Θ σ {N t } t Rt Θ Θ P Θ σ {N t } t Rt σ σ
42 Θ m N t 1, t 2,..., t m R 0 t 0 < t 1 <... < t m {N tj N tj 1 } j {1,2...,m} Θ Θ m N t 0, t 1,..., t m, h R + 0 t 0 < t 1 <... < t m {N tj N tj 1 } j {1,2...,m} Θ P Ntj +h N tj 1 +h Θ P Ntj N tj 1 Θ P σ(θ) σ.β. σ σ {N t } t R+ σ. Θ Θ P Θ [(0, )] 1 {N t } t Rt Θ t (0, ) P Nt Θ (tθ) P σ.(θ) σβ. t (0, )P MP P (Θ) MP P (Θ) {N t } t R+ Θ Θ t, h R + P Nt+h Nt Θ P Nh Θ P σ(θ) σ.β. σ. Θ {N t } t R+ Θ t R + h R + m N t 0, t 1,..., t m R 0 t 0 < t 1 <... < t m P Ntj +h N tj 1 +h Θ P Ntj N tj 1 Θ
43 j 1 P Nt1 +h N t0 +h Θ P Nt1 N t0 Θ P Nt1 +h N h Θ P Nt1 Θ. t 1 h h t 1 t, h R + P Nt+h N t Θ P Nh Θ P σ(θ) σ.β {N t } t R+ h R + m N 0 t 0 < t 1 <... < t m t 1,..., t m R + t j 1 + h < t j P Ntj +h N tj 1 +h Θ P Ntj +h N tj +N tj N tj 1 +h Θ P Ntj +h N tj Θ P Ntj N tj 1 +h Θ P Nh Θ P Ntj N tj 1 +h Θ. P Ntj N tj 1 Θ P Ntj N tj 1 +h+n tj 1 +h N tj 1 Θ P Ntj N tj 1 +h Θ P Ntj 1 +h N tj 1 Θ P Ntj N tj 1 +h Θ P Nh Θ P Nh Θ P Ntj N tj 1 +h Θ. P Ntj +h N tj 1 +h Θ P Ntj N tj 1 Θ. t j 1 + h t j P Nh Θ P Ntj+h N tj Θ P Ntj+h N tj 1 +h+n tj 1 +h N tj Θ P Ntj+h N P tj 1 +h N tj 1 +h N tj Θ. P Nh Θ P Ntj 1 +h N tj 1 Θ P Ntj 1 +h N tj +N tj N tj 1 Θ P Ntj 1 +h N tj Θ P Ntj N tj 1 Θ P Ntj N tj 1 Θ P Ntj 1 +h N tj Θ.
44 P Ntj+h N tj 1 +h P N tj 1 +h N tj Θ P Ntj N tj 1 Θ P Ntj 1 +h N tj Θ. P Ntj +h N tj 1 +h Θ P Ntj N tj 1 Θ σ {N t } t Rt E[N t ] E[E(N t Θ)] V ar[n t ] te[v ar(n t Θ)] + V ar[e(n t ) Θ] σ {N t } t Rt σ n N t (0, ). P [{N t n}] > 0 σ {N t } t Rt σ m P [ {N ti N ti 1 k i } {N tm n}] i1 n! k j1 k j! k ( t j t j 1 m N t 1,..., t n R + 0 t 0 < t 1 <... < t m n N k 1,..., k m m j1 k j n j1 t m ) k j σ. {N t } t Rt Markov σ. m P [{N tm+1 n m+1 } {N tj n j }] P [{N tm+1 n m+1 } {N tm n m }], j1 m N t 1 <... < t m+1 (0, ) n 1,..., n m+1 N 0 t 1 <... < t m+1 P [ m j1{n tj n j }] > 0.
45 n 1... n m σ. σ. Markov t 1 0 n j j {1,..., m}. σ σ σ.δ. {N t } t Rt σ.δ. Θ [Θ] <, t R + E[ t ] te[θ] V ar[n t ] te[θ] + t 2 V ar[θ] σ {N t } t Rt σ Θ Θ Θ σ {N t } t Rt σ {N t } t Rt σ σ {N t } t Rt σ
46
47 D f( ) : f t n(1) 1... t n(k) k ( ) g : R k R k, g( ) r( ) r R +. f(r( )) t0 D (f g)(0) : Ω N k 0 g : [, ] R
48 g ( ) : E[ ] P [ ] N k 0 k g : Ω N k 0 g 0 g ( ) g ( ) 1 [, ] g g N r D g ( )! [{ }] ( )! [, ) N D g D g ( )! [{ }] [, ) ( )! [, ) (i) : (ii) : [, ] m N k 0 N P [ ] [, ] P [ ] P [ ] N \[, ] P [ ] N \[, ] ε > 0 N 0 P [ ] P [ ] < ε N [, ]
49 [, ] g g (iii) : N P [ ] g (iv) : (iv) ( ) j {0,..., k} [, ) D j g ( ) [, )n j P [ ] Diendonne j j 0 D 0 g ( ) D 0 g ( ) n 0 P [ ] [, ) [, ) n 0 P [ ]. j j + 1 (3.1) j {0,..., k 1} D g ( ) [, ) [, ) [, ) [{ }] n 0! (n 0 1)!... n j! (n j 1)! [{ }]! [{ }]. ( )! D g ( ) : (n 0,...n j, 0,..., 0) N k 0 [, )! P [{X n}]. ( )!
50 D j+1 g ( ) D g ( ) r j+1 r j+1 [, ) [ +, ) [ +, )! [{ }] ( )!! [{ } ( )! n j+1 + P [ ] (iv) ( ) + D g ( ) [, ) D + g ( ) D (D g ( )) D ( [, ) [ +, ) [ +, )! [{ }]. ( )! ( + )! [{ }]) ( )!! [{ }] ( )!! [{ }]. ( ( + ))! (v) : N k 0 D g c 1 r [, ) iv D g ( ) [, ) D g ( ) [, )! [{ } ( )! [, )! [{ }]. ( )!
51 c 1 [, )! P [{ }]. ( )! N k 0 [, ) [, ) N k 0! [{ } ( )! [, ) D g ( ) c 1.! P [{ }] ( )! [, )! ( )! P [{X n}] c 1. c 1 [, )! P [{ }]. ( )! : Ω N k 0 P [ ]! D g ( ) N. : Ω N k 0 N k 0 ( ) E[ ] [, ) ( ) P [ ]
52 ( ) E[ ] [, )! Dl g ( ) ( ) E[ ]! [, ) [, ) [, ) ( ) P [ ]! D l g ( ) [, )! Dl g ( ) [, )! P [ ]!( )!! P [ ] ( )! : Ω N k 0 N k 0 ( ) E[ ] < [, ] D g [, ) ( ) <. r s ( ) E[ ] 1! D g [, ) ( ) ( ) ( ) i
53 [, ) ( ) E[ ] < ( )! P [{ }]!E[ ( )! ] <. iv ϵ > 0 N k [, )! [{ }] ( )! [, ) [, )\[, ) (, ] [, )\[, )! [{ }] ( )!! P [{ }] < ϵ. ( )!! ( )! [{ }] (, ] iv [, ] [, ] N k 0 D g ( ) [, ) [, )! [ ] ( )!! P [ ] <, ( )! ii D g ( ) < ( ) ( ) ii v D g ( ) <. [, ) ( ) E[ ]! D g ( ) <. [, )
54 ii N k 0 [, ] ii D g ( ). P [ ] { (2cn 2 ) 1, [(n, 0), (1, n) ] 0, [(n, 0), (1, n) ] c n1 1 n 2 E[X 1 (X 1 1)X 2 ] 0 (X 1, X 2 ) (n, 0) E[X 1 (X 1 1)X 2 ] 0. (X 1, X 2 ) (1, n) E[X 1 (X 1 1)X 2 ] 0. E[X 1 ] X 1 P [(X 1, X 2 ) ] n1 n1 np [(X 1, X 2 (n, 0)] + P [(X 1, X 2 (1, n)] n1 ( n 2cn cn ) ( 1 2 2cn + 1 n1 2cn 2 ) > n2 1 2cn.
55 E[X 1 ] n2 1 2cn E[X 2 ] X 2 P [(X 1, X 2 ) ] n1 np [(X 1, X 2 ) (1, n)] n1 n1 n 2cn 1 2 2cn n1 E[X 2 ] 1 n1 2cn n1 E[(X 1 X 2 )] (n 1 2cn cn 2 ). X 1 X 2 P ((X 1, X 2 ) ) n1 E[X 1 X 2 ] n1 1 2cn 1 n1 (2, 1) 2cn (1, 2) E[(X1X 2 2 )] E[(X 1 X 2 )] (2, 1) [, ] g ( ) D g ( ) n1 1 (r1 n ) + 2c n 2 n1 1 2c n1 (r n 1 1 ) n (r 1 r2 n ) 2c n 2 n1 1 (r2 n ) 2c n 2 D g ( ) n1 1 2c (r 1 r n 1 2 ) n 2 D D g ( ) n1 1 2c (r n 1 2 ) n 2
56 [, ) D D D g ( ) 0 D g [, ) ( ) D g [, ) ( ) D D g [, ) ( ). D g ( ) : N l Nk 0 ( ) E[ ] < E[ ] < [, ] D g [, ) ( ) < m g x [, ] ( ) E[ ] 1! D g ( )
57 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N k 0 ( ) m span : j N k 0, j m ( ) ( ) j 1 1 span : j N k 0, j 1 ( ) n span : j N k 0, j n ( )! ( + )!( )! + a n+1 n+1 + a n n... + a 1 ( ) n+1 1 a n+1 [ (a n n... + a 1 )] + E[ ] ( ) [, ] a E[ ] a R E[ ] < ( ) ( ) ( ) E[ ] E[ ] E[ ] < ( ) E[ ] < ( ) ( ) ( ) ( ) N ϵ > 0 [, ] [, )! [{ }] ( )! [, ) [, )\[, )! [{ }] ( )!! P [{ }] < ϵ. ( )!
58 [, ] f m h frm[o],.eqn.., k e 0 (r s h ) h + [, ] f,h f h, h f,h f h, h r 0, 1] s f ( ) D h f h (r) r [, ] f D g ( ) ( ) g ( ) E[ ]! D g ( ) ( ) <. [, ) : N X i L 1 (P ) i 1,..., k E[ ] gradg ( ). X i L 2 (P ) i {1,..., k} V ar[ ] Hessg ( ) gradg ( )gradg ( ) + Diag(gradg ( )). B k k N M U : R k [0, ) M U ( ) : du( ). R k e
59 U : B k [0, 1] M U ( ) B R k N k 0 B D M U ( ) e du( ) R k M U ( ) ( ) e du( )! N R k M U : ( 0, 0 ) 0 > e e + e U e e n n0 n! Billingsley T heorem M U ( ) : U(d ) R k ( ) U(d ) R n! k n0 n ( ) U(d ) n k! R k k0 B n ( ) k! k0 n k0 k! k0 n! e. R k e U(d ) <, e L 1 (U)
60 R k n n ( ) U(d ) k! n R k n n k0 n ( ) U(d ) k! k0 Rk ( ) U(d ) k! k0 Rk ( ) U(d ). n! n0 Newton ( ) ( k i1 t ix i ) n M U ( ) n0 n0 n N k 0 R k n N k i1 0 k (t i x i ) n i U(d ) n i!! 75 U(d ) R k U(d ).! R k n N k 0 T aylor M U ( ) n N k 0! D M U ( ). N k 0 D M U ( ) U(d ). R k B R k. e V 75 : B k [0, 1] V (A) : A M U Ud( ) ( ) B k V
61 M V ( ) R k e V (d ) Rk e ( + ) M U ( ) U(d ) M U( + ) M U ( ) D n M V ( ) V (d ) R k Rk e M U ( ) U(d ). D n M V ( ) Dn M U ( ) M U ( ) D n M V ( ) e U(d ). R k M V T aylor M V ( ) n N k 0! D M V ( ). M U ( + ) M U ( ) M V ( ) n N k 0 n N k 0! D M V ( ) Rk e! M U ( ) U(d ). + U : B k [0, 751] A : R k R d M UA ( ) M U (A ) R d
62 A M UA e U A (d ) R e U ( d ) M U (A ) R R d Θ [Σ.Σ.] X : M P. X : Ω R + Y : Ω R k + X t > 0 R k. M (X, ) (t, ) M X (t)m ( ) t > 0 n N 0 N k 0. E[e Xt x ] E[e Xt x ]E[ ]. E[e Xt X n e ] E[e Xt X n ]E[e ] t R + R k n N 0 N k 0. X B B t B t B t (, 0) B R k M X, M M (X, ) t,
63 ˆt t (ˆt + t) n n N 0 N k 0 n! M (X, ) (ˆt, ) (ˆt + t) n ( ) n!! E[e Xt X n ] n N 0 ( )! E[e Xt X n ]E[ ] ( X(ˆt)M ( ) N k 0 (ˆt + t)n E[e Xt X n ] )( n! n N 0 N k 0 ( )! E[ ] ) B M X, M M X, (, 0), R k (, 0) R k B t < 0 R k R 1+k e tx+ P (X, ) (x, ) M (X, ) (t, ) M X (t)m ( ) e tx P X d(x) e P d( ) R R k e tx+ P d(x) P d( ) R 1+k Θ.F ubini e tx+ P (X, ) (x, ) e tx+ P d(x) P d( ). R 1+k R 1+k Laplace R d + P (X, ) P X P X X : Ω R + Y : Ω R + Z : Ω N d 0 N d 0 P [Z n] > 0 E(XY ) E(X )E(X ) E(XY ) E(X )E(X ) N.
64 F ourier E(XY ) N k 0 E(XY { })χ { } E(X )E(Y ) ( N k 0 N k 0 E(X { })χ { } ( N E(X { })E( { })χ { }. E( { })χ { } X : Ω R + : Ω R k + Z : Ω N d 0 N d 0 P [Z n] > 0 X P (X ) P (X ) B C B k. N d 0 X P [ { }] (a) (b) (b) (c) (c) N d 0 P [{X B} { C} { }] [{ } { }] [{ } { }] B B C B k χ B X Y χ C B C B k
65 X : Ω R + : Ω R k + : Ω N d 0 N d 0 P [{ }] > 0 X. N d 0 P (X, ) { } (t, ) PX { } (t) P { } ( ) t < 0 R k. t > 0 E(e Xt X n ) E(e Xt X n )E( ) n N 0 N k 0. t R + R k E(e Xt X n e ) E(e Xt X n )E(e ) n N 0 N k 0. N d 0 (b) P [ ] (b) (b) (a) b c b d σ. P oisson Bernstein W idder Laplace Bernstein W idder
66 Bernstein W idder Berg, Ch., Christensen, J.P.R.andRessel, P. R n f : R n R f( ) 0 f( ) > 0 N f : R + R {a 1,..., a n } R s R + f( ) : f( ) f( + ) n f( ) 0 M(R + ) M(R + ) R S M(R + ) φ : R + R φ φ µ : B(R + ) R + φ(s) R + e sx µ(dx) φ C (R +) ( 1) n φ (n) (s) 0 n 0 s > 0 C (R +) R +) (i) (ii) (iii) Berg[1984] (iii) (iv) s 0 e sa µ(da) Laplace L(µ) z > 0 (Lµ) (n) (z) 0 ( a)n e za µ(da) z > 0 n 0
67 ( 1) n (Lµ) (n) (x) 0 x > 0 (iv) (i) (iv) a 0 φ [0, ) (iv) n 0 s > 0 ( 1) n ( a φ) (n) (s) ( 1) n (φ(s) φ(s + a)) (n) ( 1) n+1 aφ (n+1) (ξ) 0 ξ (s, s + a) f n : a 1... a n φ (iv) n N a 1...a n 0 f(s) 0 s > 0 f(s) 0 s 0 φ n 1 f 1 (iv) n n + 1 n N ( 1) k f (k) n (s) ( 1) k n φ (k) (s) 0 k N s > 0 n φ (k) (s) : a1... an φ (k) (s). k N 0 s > 0 ( 1) k f (k) n+1(s) ( 1) k ( n+1 φ) (k) (s) ( 1) k [( n φ) (k) (s) ( n φ) (k) (s + a n+1 )] ( 1) k+1 a n+1 [( n φ) (k+1) (ξ)] ( 1) k+1 a n+1 [f (k+1) n (ξ)] 0. (iv) (iii) (iv) (i) (iv) f(s) 0 s 0 φ φ P roposition µ : B(R + ) R + φ(s) R + e sx U(dx). (iii) (iv) Bernstein, cf.w idder(1941) k f( ) 1 f : R k + R ( 1) D f( ) 0
68 N k 0 U B k U[R k +] 1 f( ) e Ud( ) R k +. R k f R k + f R k + N k 0 (t 1,..., t k ) (R 0) k Section ( 1) D ( f)( ) ( 1) D f( ) ( 1) (D f( ) D f( + )) k ( 1) +1 i D + j f(ξ) ξ [, + ] ( ) D ( f)( ) 0 1,..., n 1... n f R k + ( ) D ( 1... n f)( ) 0 N > n f( ) 0 > n f( ) 0 0 f f T heorem4.6.5 f P reposition U B k f( ) e Ud( ) R k + R + U[R k +] Ud( ) f( ) 1 R k + f : R k + R f( ) 1 ( 1) D f( ) 0 N k 0 U B k U[R k +] 1 f( ) M U ( ). i1
69 {N t } trt k {N (i) t } t R+, i {1,..., k} {N t } t R+ : { } R+ M ω Ω \ M (i) (v) {N (i) t } t R+, i {1,..., k} {N t (ω)} t R+ k A P A {0, 1} k k k N A j 1 ia j, i {1,...k}
70 A S A (I d, 0) {0, 1} d k d, k N d < k I d d A C A {0, 1} d k d, k N d k k i N i {1,..., d} d i1 k i k A (A 1,..., A d ) : (e i,..., e i ) R d k i i {1,..., d} A A {0, 1} d k d, k N d k m N A i A P A S A C i {1,..., m} A A m A m 1...A 1 A A { t } t R+ A R d k. {A t } t R A A. A A {A t } t R A P, A S A C {A t } t R A A P A S A A C ω Ω \ M { (ω)} R+ {A t (ω)} t R+ { t (ω)} t R+ (i) (v) { A t (ω)} t R+ { t (ω)} t R+ { (ω)} R+ (i) (v) M {A t } t R+ A R d k {A t } t R+ {A t } t R+ ω Ω \ (M M A ) {A t } t R+ { t } t R+ A
71 {A t } t R+ t t A {A t } t R+ A A P A P P A C R (d+1) k A S R d (d+1) A C A C A S A S AA P A S A C AA P A C (A P ) 1 A P A A {A t } t R+ { t } t R+ A i {A t } t R+ { t } i t R + i A A S {A t } t R+ d A A P {A t } t R+ (P ) A A A {A t } t R+ (P ) { t } t R+ (P ) { t } t R+ s R k + N k 0 P [ k i1n (i) t i n (i) ] P [ k i1n s (i) i n (i) ].
72 s R + N k 0 t s P [{ t }] P [{ s }]. N k 0 t 0 P [{ t }] { 1 0 N k 0 N k 0 P [{ t }] 0. t P [{ t }] 1. t (i) { t } t R+ m N j Z k j {1,..., m} s i u i t i N u (i) i N (i) t i {N (i) t i n (i) (i) j } {N u i m k { } { P j1 i1 [ m P [ m j1 i1 N (i) t i k { j1 k i1 n (i) j N (i) t i { N (i) t i n (i) j n (i) m j } k { j1 i1 N (i) u i }] [ m P }]} n (i) j j1 i1 } n (i) j k { N (i) u i }] n (i) j. [ m P k { j1 i1 N (i) t i }] n (i) j [ m (, ) P k { j1 i1 N (i) t i }] n (i) j. [ m P (, ) k { j1 i1 N (i) t i }] [ n (i) j P m k { (, ) j1 i1 N (i) t i }] n (i) j.
73 (t 1,..., t k ) (, ) A : m j1 k i1 {N (i) t i n (i) j }. {A n } n N {A } t (, ) n n P (A ) P (A n ) P ( n N A n ) n [Σ.Σ.A.] n N A n (, ) A. n N A n (, ) A. ω (, ) A > ω A N t > N n N (i) t i > N (i) t ni i {1,..., k} {N (i) t i n (i) (i) j } {N t ni n (i) j } i {1,...k} A A n. n (, ) ω A n ω n N A (, ) A n N A n A n N A n. [ m P k { j1 i1 N (i) t i }] n (i) j [ m P (, ) j1 [ m P [ m P [ m P k { i1 k { (, ) j1 i1 k { j1 (, ) i1 j1 i1 [ m P k { k { j1 i1 N (i) t i N (i) t i N (i) t i }] n (i) j }] n (i) j }] n (i) j N (i) t i n (i) j t i (s i, ) N (i) s i }] n (i) j. }] N m {1,..., k}
74 P [ k i1 { }] N (i) t i n (i) P ( P i1 [ k i1 [ k { N (i) t i n }\ (i) i1 { N (i) k j1 i1 }] [ k t i n (i) P [ k { }] [ k P N s (i) i n (i) P [ k { P N s (i) i n }]. (i) i1 k { }] N (i) t i n (i) δ ij j1 i1 j1 i1 k { k { }]) N (i) t i n (i) δ ij N (i) s i n (i) δ ij }] (ii) (i) (iii) (ii) (iv) {N t } t R+ P [ t ] P [{N t }]. t t {P [{N t }]} s t ω {N t } N t (ω) n n k N (ω) n n k, ω {N s }. {N t } {N s } {[{N t }]} t R+ b t : P [{N t }] t R +. {b n } n N {b t } t R+ n t n n N b n (0, ) b α. P [{N t }] P [{N t }] t t (0, ) P [{N t n }] n N [ ] P {N t } n N
75 [Σ.Σ.A.] [ ] P {N t } n N [ P t (0, ) ] {N t }. A : t (0, ) {N t } : n N {N t }. ω B n N N (ω) t 0 (0, ) N t 0 (ω) > ñ N tñ > t 0 N tñ(ω) N t 0 (ω) > n N N n (ω) B A A B A A B. t (0, ) {N t } { t (0, ) N t }. A t (0, ) {N t } C { t (0, ) N t } ω Ω A C. ω A t (0, ) N t (ω) t (0, ) N t (ω) ω C. (n5) [ ] P { t (0, ) N t } 0. (v) P [N t n] P [ k t t i1{n (i) t n (i) }] P [ k i1{n (i) t n (i) }] t P [ t (0, ) k i1 {N (i) t n (i) }].
76 A : t (0, ) k i1 {N (i) t n (i) } k i1{ N (i) t > n (i) } : B. ω B i {1,..., k} N (i) t (ω) > n (i) i {1,..., k} t 0 N (i) t (ω) n (i) ω k i1 t (0, ) {N (i) t n (i) } t (0, ) k i1 {N (i) t n (i) } A. B A. P [ t (0, ) k i1 {N (i) t n (i) }] P [ k i1{ N (i) t > n (i) }]. P [ t (0, ) k i1 {N (i) t n (i) }] P [ k t t i1{ N (i) t > n (i) }]. P [{ N (i) t > n (i) }] 1 n5 P [ k i1{ N (i) t > n (i) }] 1 (ii) P oisson (i) t R + σ. { t,h } h R+ t,h : t+h t h R + { t } t R+ { t,h } h R+ { t } t R+ { t,h } h R+ t R + t R + N k 0 P [{ t }] > 0 P t, [B] : P [B { }] F
77 { t } t R+ t R + n N k 0 P [ t ] > 0 { t,h } h R+ (Ω, F, P t, ) { t } t R+ [ m ] P { tj tj 1 j } j1 m P [{ tj tj 1 j } j1 m N t 0, t 1..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0 j {1,...m} { t } t R+ [ m P j1 ] [ m { tj +h tj 1 +h j } P j1 ] { tj tj 1 j } m N t 0, t 1..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0 j {1,...m} { t } t R+ A A
78 (i) : m N t 0, t 1,..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0 j {1,...m} [ m ] P {A tj A tj 1 j } j1 [ m ] P {A( tj tj 1 ) j } j1 1 A 1 ({ 1 }) 1 A 1 ({ 1 }) m j1 1 A 1 ({ j }) m A 1 ({ m }) m A 1 ({ m}) j1 [ m ] P { tj tj 1 j } j1 P [{ tj tj 1 j }] m P [{A tj A tj 1 j }] j1 m P [{ tj tj 1 j }] (ii) : m N t 0, t 1,..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0 j {1,...m} [ m ] P {A tj +h A tj 1 +h j } j1 [ m ] P {A( tj +h tj 1 +h) j } j1 1 A 1 ({ 1 }) 1 A 1 ({ 1 }) m A 1 ({ m}) m A 1 ({ m }) [ m ] P {A tj A tj 1 j } j1 [ m ] P { tj +h tj 1 +h j } j1 [ m ] P { tj tj 1 j } j1 { t } t R+
79 [ m ] ( k ( m j1 P { tj tj 1 j } n(i) j )! m j1 i1 j1 n(i) j! m ( ) (i) n ) tj j t j 1 P [{ tm j1 t m m j }] m N t 0, t 1..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0 j {1,...m} j1 { t } t R+ [ k P {N (i) t i i1 l (i) } {N (i) t ( k ( n (i) + l (i) i1 l (i) ] N (i) t i n (i) } ) ( t i )l(i) (1 t ) i )n(i) P [{ t + }] t t R k + t R + (, t ), N k 0. { t } t R+ ( k ( n (i) + l (i) P [{ s } { t s }] )( st )l(i) (1 st ) )n(i) P [{ t + }] s, t R + 0 < s < t, N k 0. i1 t m 0 t 0 t 1... t m t m t m 1 m t m m 1 m l (i)
80 { t } t R+ A A A { t } t R+ { t } t R+ P [{ t } > 0] t > 0 N k 0 N k 0 P [{ t }] 0 t > 0 N k 0 P [{ t }] t P [{ t }] 1. (v) N k 0 t > 0 N k 0 P [{ t }] > 0 P [{ s }] P [{ s } { t s }] ( k ( )( ) n (i) l (i)( s 1 s ) n (i)) P [{ t }] t t i1 l (i) P [{ s }] > 0 s (0, t) N k 0 u (t, ) P [{ u } { t }] 1 N k 0 P [{ u }] P [{ u } { t }] P [{ u } { t }]P [{ t }] > 0 P [{ s }] > 0 s > 0 N k 0 N k 0
81 { t } t R+ { t } t R+ P [{ t }] > 0 t > 0 N k 0 m N t 0, t 1,..., t m, h R + 0 t 0 < t 1 <... < t m
82 j N k 0, j {1,..., m} t 1 h m : m j1 j [ m ] [ m P { tj +h tj 1 +h j } P { tj +h tj 1 +h j } ( )] t0 +h 0 } j1 j1 [ ( m )] P { tj +h tj 1 +h j } t0 +h 0 } 0 N k 0 0 N k 0 j1 [ ( m )] P { tj +h tj 1 +h j } 0 N k 0 j0 [ m ] P { tj +h tj 1 +h j } j0 ( k (l m (i) + n (i) 0 )! m ( lj l j 1 m 0 N k i1 j0 n(i) j! t j1 m + h 0 ) P [{ tm +h m + 0 }] ) n (i) j ( k (l m (i) )! m i1 j1 n(i) j! 0 N k 0 m ( tj t j 1 j1 t m ) P [{ tm +h m + 0 }] ( k ( (i) l m! + n (i) 0 i1 l (i) m ( k l m (i)! m i1 j1 n(i) j! )( tm t m + h m ( tj t j 1 j1 t m ) n (i) j ) l (i) m ( ) (i) n ) j h t m + h ) n (i) 0 ) P [{ tm m } { tm +h tm 0 }] 0 N k 0 ( k i1 l (i) m! m j1 n(i) j! j1 P [{ tm m }] m ( ) (i) n ) tj j t j 1 t m P [ m j1{ tj tj 1 j }] { t } t R+ { t } t R+
83 [ m+1 ] P { tj tj 1 j } P [{ tm m }] j1 P [ ] m j1{ tj tj 1 j } P [{ tm m } { tm+1 tm m+1 }] m N t 0, t 1,..., t m+1 R + t 0 < t 1 <... < t m+1 1,..., m+1 N k 0, m : m j1 j. P [ m j1{ tj tj 1 j }] > 0 [ P { tm+1 tm m+1 } m j1 ] { tj tj 1 j } P [{ tm+1 tm m+1 } { tm m }] P [ m j1({ tj tj 1 j } { tm+1 tm m+1 })] P [ m j1 { t j tj 1 j }] P [{ t m+1 tm m+1 } { tm m }] P [{ tm m }] [ P { tm+1 tm m+1 } ] [ m ] { tm m } P { tj tj 1 j } [ m ] P ({ tj tj 1 j } { tm+1 tm m+1 }) P [{ tm m }] (4.1) j1 Markov. Markov { t } t R+ { t } t R+ j1
84 P [{ t r } { r }] P [{ s r } { r }]P [{ t s } { s + }] [, ],P [{ s + }]>0 r, t R + r t, N k 0 P [{ r }] > 0 s [r, t]. P [{ t } { r }] P [{ s } { r }]P [{ t } { s }] N k 0,P [{ s }]>0 r, t R + r t, N k 0 P [{ r }] > 0 s [r, t]. r, t, s, P [{ t r } { r }] P [{ t r } { r }] P [{ t }] P [{ t + } { r }] P [{ t }] P [{ t + } { r }] P [{ t r } { r }] P [{ t + } { r }] P [{ s r } { r }]P [{ t s } { s + }] [, ],P [{ s + }]>0 P [{ s + { r }]P [{ t + { s + }] [, ]
85 P [{ t + } { r }] P [{ s + } { r }]P [{ t } { s + }] [, ],P [{ s + }]>0 + P [{ t } { r }] P [{ s } { r }]P [{ t } { s }]. N k 0,P [{ s }]>0 Chapman Kolmogorov Markov Markov Markov A Markov Chapman Kolmogorov. r, t R +,, N k 0 r t P [ r ] > 0 s [r, t]. B : { s r } { s } { t r } [, ] { t s } { s r }]. ω { t r } t (ω) r (ω) [, ] t (ω) s (ω) s (ω) r (ω) ( ) A, B, C Σ P (A B C) P (A B C)P (B C).
86 P (A B C) P (A B C) P (C) P (A B C)P (B C) P (C) P (A B C)P (B C)P (C) P (C) P (A B C)P (B C). ( ) r, t R + r t, s [r, t],, N k 0 P [{ r }] > 0 P [{ t r } { r }] P [{ s r } { r }]. P [{ t r } { r }] P [{ t s } { s r } { r }] [, ] [, ],P [ ]>0 P [{ t s } { s r } { r }]P [{ s r } { r }] P [{ t s } { s + }]P [{ s r } { r }] [, ],P [ ]>0 [, ],P [{ s + }]>0 P [{ t s } { s + }] P [{ s r } { r }] (a) (b) A { t s }, B { s r }, C { r } { s r } { r } { s + } { r } Markov (c) { t } t R+
87 { t } t R+ { t } t R+ { t } t R+ Markov Markov (ii) (iii) (i) (ii). (ii) (iii) : (iii) (i) : m [ m ] ( k ( m j1 P { tj tj 1 j } n(i) j )! m j1 j1 n(i) j! i1 m ( ) (i) n ) tj j t j 1 P [{ tm j1 t m m j }] j1 t 0, t 1..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0 j {1,...m} m 1 m N. t 0, t 1..., t m, t m+1 R + 0 t 0 < t 1 <... < t m < t m+1 j N k 0 j {1,..., m + 1} j : j h1 h j {1,..., m + 1} [ ] m+1 P j1 { tj tj 1 j } P [{ tm m }] [ m ] P { tj tj 1 j } P [{ tm m } { tm+1 tm m+1 }] j1 ( k i1 ( k ( (i) l i1 ( k i1 l (i) m! m j1 n(i) m+1 l (i) m l (i) m+1! j! j1 ) ( t m m+1 j1 n(i) j! m ( t j t j 1 ) l (i) t m+1 m+1 j1 t m ) n (i) j m ( t m+1 t m t m+1 ( t j t j 1 t m+1 ) n j(i) ) P [{ tm m }] ) ) n (i) m+1 P [{ tm+1 m+1 }] ) P [{ tm+1 m+1 }]P [{ tm m }], P [{ tm m }] > 0 m + 1
88 Markov (i) (ii). m N t 0, t 1,..., t m+1 R + 0 t 0 < t 1 <... < t m+1 0, 1,..., m+1 N k 0 j : j h1 h j {1,...m + 1} m+1 P [ { tj tj 1 j }]P [{ tm m }] j1 ( k i1 ( k i1 ( k ( (i) l i1 l (i) m+1! m+1 j1 n(i) j! l (i) m! m j1 n(i) m+1 l (i) m m ( t j t j 1 j1 j! j1 ) ( t m t m+1 m ( t j t j 1 ) l (i) t m+1 t m ) n (i) j ) n (i) j t m m (1 ) n t m+1 ) P [{ tm+1 m+1 }]P [{ tm m }] ) P [{ tm m }] ) (i) m+1 P [{ tm+1 m+1 }] m+1 P [ { tj tj 1 j }]P [{ tm m } { tm+1 t m m+1 }] j1 {N t } t R+ Markov R +, R + (, t ), N k 0 A A A B t 1 t 2... t k t M (i) : {n (i) j n (i) } t k+1 : t : n (i) j N 0, j {1,..., k+1}, i j1 n(i) j l (i), k+1 ji+1 n(i) j
89 [ ] P k i1{n (i) t i l (i) } {N (i) t N (i) t i n (i) } [ k+1 ] P {N tj N tj 1 j } M(1) M(k) j1 ( k (n (i) + l (i) k+1 )! ( tj t j 1 k M(1) M(k) i1 j1 n(i) j! t j1 k+1 k (n (i) + l (i) k+1 )! ( tj t j 1 P [{N + }] k i1 M(i) j1 n(i) j! t j1 k ( (n (i) + l (i) )! 1 P [{N + }] l (i)!n (i)! t [ l (i)! i j1 n(i) M(i) ( k ( n (i) + l (i) i1 l (i) i1 j! j1 i ( tj t j 1 t i ) (i) n ][ j ) ( t i t )l(i) (1 t i t )n(i) ) (i) n ) j P [{N tk+1 + }] ) n (i) j ) l (i) +n (i) t l(i) i (t t i ) n(i) n (i)! k+1 ji+1 n(i) j! k+1 ji+1 ) P [{N t + }] ( tj t j 1 t t ( i) ) (i) n ] j Chapman Kolmogorov Chapman Kolmogorov { t } t R+ Chapman Kolmogorov P [{N t }] > 0 t > 0 N k 0. r, t R +, r t s [r, t], N P [{N r }] > 0 s > 0
90 [, ],P [{N s + }]>0 [, ] [, ] P [{N s N r } {N r }]P [{N t N s } {N s + }] P [{N s N r } {N r }] P [{N t N s } {N s + }] P [{N r }] P [{N s + }] ( k ( ) n (i) + l (i) ( r s )n(i) (1 r ) P [{Ns + }] s )l(i) P [{N r }] i1 l (i) ( k ( ) n (i) + m (i) ( s +l (i) n (i) + l (i) t )n(i) (1 s ) l P (i) [{Nt + } t )m(i) P [{N i1 s + }] P [{N ( k ( ) ) t + } n (i) + m (i) r n(i) t (n(i) +m (i) ) P [{N r }] n (i) i1 k ( ) m (i) (s r) l(i) (t s) m(i) l (i) [, ] i1 l (i) P [{N t + } P [{N r }] l0 ( k ( n (i) + m )( (i) rt )n(i) (1 rt ) )m(i) i1 ( s r t r )l ( t s l t r ) n (i) [, ], l i1 P [{N t N r } {N r }] P [{N r }] P [{N t N r } {N r }] l0 k ( ) m (i) l (i) ( s r t r )l ( t s t r ) l ( ) s 0 r 0 [, ],P [{N 0 + >0}] P [{N 0 N r } {N r }]P [{N t N 0 } {N 0 + }] P [{N 0 N 0 } {N 0 }]P [{N t N 0 } {N 0 }] P [{N t N r } {N r }] l P [N t ]
91 Markov A Markov. { t } t R+ Markov { t } t R+ { t } t R+ Markov A A { t } t R+ Markov m N t 0, t 1,..., t m+1 R + 0 t 0 < t 1 <... < t m+1 0, 1,..., m+1 N k 0 m : m j1 j P [ m+1 j1 { t j tj 1 j }]P [{ tm m }] ( m+1 ) P [{ tj tj 1 j }] P [{ tm m }] j1 P [ m j1{ tj tj 1 j }]P [{ tm m } { tm+1 tm m+1 }] {N t } t R+ Markov { t } t R+
92
93 {N t } t Rt U : B k [0, 1] U[(0, )] 1 m P [ { tj tj 1 j }] j1 m R k j1 e λ(t j t j 1 ) x(t j t j 1 ) j j! du(λ) m N t 0, t 1,...t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0, j {1, 2,..., m}.
94 P oisson P oisson σ { t } t Rt U : B k [0, 1] U[(, )] 1 { t } t Rt { t } t Rt σ.δ. U P [{ t }] t R + N k 0 m R k j1 e λ(t j t j 1 ) λ(t j t j 1 ) j j! ( k i1 n (i)! m j1 n(i) j! m ( t j t j 1 j1 Rk e λt (λt) du(λ)! t m du(λ) ) n (i) j ) Rk e λt m (λt m ) du(λ)! m N t 0, t 1,..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0, j {1,..., m} m j1 j σ.δ.p oisson. { t } t Rt σ.δp oisson P [N t n] > 0 t > 0 n N k 0 σ {N t } t Rt {N t } t Rt { t } t Rt σ A {A } R U A t R R d 0
95 P [A t ] R d e λ R d e λ (λ t)! du A (λ ) (Aλt) du! A (λ) A A A R d k A A P A A S P [A t ] 1 ({ }) 1 P [ t ] k R k i1 k R k 1 i1 R k ( k i1 e λ it (λ it) n(i) du(λ) n i! e λ it (λ it) n(i) du(λ) n i! e λ it (λ it) l(i) l i! ) Rd e Aλt (Aλt) du A (λ).! k 1 id+1 e λ it (λ it) n(i) du(λ) n i! { t } t Rt σ.δ. U {N t } t Rt U k i1 U e i (ii) (i) m N t 0, t 1,..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0, j {1,..., m}
96 [ m ] P { tj tj 1 } j1 k m R k i1 j1 k m R k i1 j1 k i1 m R k j1 k [ m P i1 e λ i(t j t j 1 ) (λ i(t j t j 1 )) n (i) j n (i) j! du(λ) { (i) t j j1 e λ i(t j t j 1 ) (λ i(t j t j 1 )) n (i) j e λ i(t j t j 1 ) (λ i(t j t j 1 )) n (i) j (i) t j 1 n (i) j } ]. n (i) j! d( k i1u i )(λ) n (i) j! du i (λ i ) A (i) (ii) t 0, t 1,..., t k R + 0 < t 0 < t 1 <... < t k [ k P {N (i) t i i1 ] N (i) t i 1 0} k i1 k i1 [ ] P {N (i) t i N (i) t i 1 0} R R k e e λ i(t i t i 1 ) du i (λ i ) k j1 λ i(t i t i 1 ) d( k U i )(λ) i1 ( 1) 1 ({0}) {0} 1
97 [ m P {N (i) t i j ({0}) ({0}) R k ] N (i) t i 1 0} ({0}) R k i1 R k e k 1 k ({0}) k 1 k ({0})... [ k ] P { tj tj 1 j } k 1 k ({0}) k e λ i(t i t i 1 ) du(λ) k j 1 λ j(t j t j 1 ) du(λ) j1 k k R k i1 j1 k k i1 j1 e λ i(t j t j 1 ) (λ i(t j t j 1 )) n (i) j n (i) j! du(λ) e λ i(t j t j 1 ) (λ i(t j t j 1 )) n (i) j n (i) j! du(λ) e λ du(λ) e λ d( R k R k k U i )(λ) (, ). Laplace. Laplace T heorem U k i1 U i. P oisson P oisson σ. poterior P oisson P oisson W illmot Sundt i1
98 U t, : B(R k ) [0, 1] U t, : λt B e λ du(λ) e R k λt λ du(λ) N k 0, t > 0 U : B(R k ) [0, 1] U[R k +] 1. U 0, : U { t } t R+ σ P oisson U n N k 0, t > 0 { t,h } h R+ t σ P oisson U t, (Ω, F, P t, ) m N h 0, h 1,..., h m R + 0 h 0 < h 1 <... < h m j N k 0, j {1,..., m} t > 0 N k 0. (i) P [{ t }] > 0 P t, [ m j1 ] { t,hj t,hj 1 j } [ m ] : P {( t+hj t ) ( t+hj 1 t ) j } { } j1 P [ m j1 {( t+h j t ) ( t+hj 1 t ) j } { }] P [{ }] ( ) m λ(h j h j 1 ) λ(h j h j 1 ) R j k j1 e j e λt (λt) du(λ)!! R k ( m j1 R k e λt (λt)! du(λ) e λ(h j h j 1 ) λ(h j h j 1 ) j j! ) du t, (λ), U t, posterior
99 P [{ t }] Rk e λt (λt) du(λ)! t R + N k 0 U : B k [0, 1] U[R k +] 1 P oisson (, ) R k + { t } t Rt σ. k P [{ t }] Rk e λt (λt) du(λ)! t R + N k 0 U[R k +] 1 A A P [{ t }] Rd e λt (λt) du A (λ)! t R + N d 0 U : B(R d ) [0, 1] U A [R d +] 1 A A 1 U A [R d +] U[A 1 R d +] U[R k +] 1 U A [R d +] 1. { t } t Rt σ. k P [{ t }] Rk e λt (λt) du(λ)! t R + N k 0 U[R k +] 1 P [{ t }] t { U[{0}] 0 N k 0 { } f : (0, ) R f(λ) : e λt (λt) n t > 0 n 1 f (λ) e λt λ n 1 t n (n λt)
100 f (λ) e λt λ n 2 t n ((n λt) 2 n) λ : n f f(λ ) e n n n. t e λt (λt) n e n n n e λt (λt)! k i1 e λ it (λ it) n(i) n (i)! k e n(i) (n (i) ) n(i) i1 λ R k +, t > 0 N k 0. P [{ t }] e λt (λt) t t R! k U[{ }]! + t U[{ }]! + U[{ }]!. du(λ) Rk+ { } e λt (λt) du(λ)! R k + { } e λt (λt) du(λ) t! { t } t Rt P [{ t }] Rk e λt (λt) du(λ)! t R + N k 0 U[R k 0] 1. U[(, )] 1. (iv) U[{ }] t P [{ t }] 0. A A { t } t Rt
101 P oisson U[{ }] 0 i {1,..., k} A : i A A 0 U e i [{0}] U[e 1 i ({0})] U[ k j1 B j] { {0} i j j : R U[R k + \ (, )] 0. P oisson P [{ t }] > 0 t > 0 N k 0 P oisson N k 0 R k +. [ k Π ( ) : P i1 {N (i) ] t i n (i) } { t } t R+ σ t > 0 N k 0 P [{ t }] ( t) D Π (t ).! U : B k [0, 1] U[(, )] 1
102 t R + N k 0 P [{ t }] Rk e λt (λt) du(λ)! R k + t R +, t ) Π ( ) [ ] [, ) P k (i) i1 {N t i n (i) } {N (i) t N (i) t i l (i) n (i) [, ] ( k i1 ( )( ) l (i) n ) l t it (i)(1 (i) n (i)) t Π it (t ). n (i) Π ( ) N k 0 N k 0 ( k i1 ( k i1 ( 1 t i t ) l (i)) Π (t ) ( t i t) l(i) ) Π (t ) t Π ( ) k (, 2t ) N k 0 Π (t ) 1 Π (, 2t ) D Π ( ) [, )! ( ) ( k i1 [, ) ( l (i)! 1 t ) l (i) n (i)( ) n (i)) i 1 Π (l (i) n (i) (t ) )! t t ( k ( l (i) i1 n (i) )( ) n (i)( ti t 1 t i t ) l (i) n (i)) Π (t ) Π ( ) ( ) D Π ( )!
103 (, 2t ). t ( 1) D Π ( ) 0 (, ) Π (, ) ii Π Π 0 R k + Π 1 { t } t R+ σ Π Bernstein W idder k U : B k [0, 1] U[R k 0] 1 R k + Π ( ) e λ du(λ) R k Π ( ) M U ( ) M U U M U (, ] Π (, ) Π ( ) ( ) D Π ( )! ( ) ( λ) e λ du(λ)! R k Rk e λ λ du(λ).! P [{ t }] Π (t ) P [{ t }] ( ) D Π (t )! P [{ t }] Rk e λt (t)n! du(λ) t > 0 N k 0 t 0 U[(, )] 1
104 { t } t R+ σ A A A R 1 k U : B k [0, 1] U[(, )] 1 λt (λt)n P [{A t n}] e du(λ) n! t R + n N 0 {N (i) t } t R+ i {1,..., k} { t } t R+ P oisson { t } t R+ { t } t R+ { t } t R+ { t } t R+ Markov { t } t R+ R P oisson Markov. (ii), (iii) (iv) (i) (ii) (iii) (i) U : B k [0, 1] U[(, )] 1 P [{ t }] Rk e λt (λt) du(λ)!
105 t R + N k 0 (iii) P oisson { t } t R+ P oisson U P [{ t }] t! D M U ( t ) t > 0 N k 0 Π ( ) M U ( ) P [{ t }] ( t) D Π (t )! ( t)! t! M U( t ) M U ( ) t P oisson Π Π 0 P oisson N t t > 0
106 U V U[(, )] V [(, )] 1 t > 0 Rk e N U V λt (λt) du(λ)! Rk e λt (λt) dv (λ)! M U M V < < T aylor < T aylor B t B M U ( ) ( + t ) e λt λ du(λ)! N k R k 0 ( ) 1 Rk ( + t ) e λt (λt) du(λ) t! N k 0 ( ) 1 Rk ( + t ) e λt (λt) dv (λ) t! N k 0 M V ( ). M U ( ) M V ( ) B M U ( ) M V ( ) < U V R k M U M V (, ] M U ( ) M V ( ) L U L V L U L V Laplace U V Laplace T heorem U V U t t > 0 T heorem P oisson P oisson
107 P oisson. { t } t R+ P oisson U (, ) U[{ }] 1 [ m ] P { tj ti j } j1 k m i1 j1 e x i(t j t j 1 ) (x i(t j t j 1 )) n (i) j n (i) j! m N t 0, t 1,..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0 j {1,..., m} { t } t R+ { t } t R+ { t } t R+ P oisson { t } t R+ P oisson (c) (a) (a) (b) P oisson (b) (a) { t } t R P oisson U { t R+ } A
108 i { (i) t } t R+ i {1,..., k} Schmidt Zocher T heorem P oisson i {1,...k} x i (0, ) { (i) t } t R+ P oisson δ xi U δ x k i1 δ xi U e i δ xi i {1,..., k} { t } t R+ P oisson { t } t R+ P oisson { t } t R+ { t } t R+ P oisson t, t R + { t } t R+ P oisson U g t ( ) M U (t( )) [, ] t R +
109 [, ] t R + g t ( ) N k 0 N k 0 P [{ t }] R k N k 0 e λt (λt) R! k du(λ) e λt (λt) du(λ)! k e λt (λ i tr i )n(i) du(λ) R n k (i)! i1 n (i) N 0 e λt e λt du(λ) R k M U (t( )) { t } t R+ P oisson U A A g A t ( ) g t (A ) A A P A C. g A t ( ) g t (A + A ) A A S. (i) (ii) i A A g A t ( ) M UA (t( )) M U (A t( )) M U (t(a A )) M U (t(a A + )) g t (A + A )
110 (ii) (i) A A A P A C ii P oisson { t } t R+ P oisson U A A E [( t )] t λ U(dλ)! R k N k 0 t R + N k 0 t R + E [( t )] 1 [, )! D g t ( ) 1 [, )! M U (t( )) t [ t, )! D M U ( ) t! t! t! [ t, ) R k R k λ e λ U(dλ) λ e λ U(dλ) [ t, ) R k λ U(dλ)
111 0 t 0 { t } t R+ P oisson U N k 0 a t > 0 [( )] t E <. b t R + E [( t )] < c R k λ du(λ) <. d (, ) D M U (, ) ( ) <. { t } t R+ t R +. E [( t )] t! D M U (, ) ( ) (a), (b) (c) (a) (b) g t ( ) M U (t( )) r [, ] t > 0 E [( t )] 1! D g t [, ) ( ) 1! t! M U (t( )), [, ) D M U (, ) ( )
112 t > 0 0 t 0 { t } t R+ P oisson U N k 0 a t > 0 b t R +. c E[( t ) ] <. E[( t ) ] < R k λ U(dλ) <. d M U (, ] (, ] { t } t R+ t R +. E [( t )] t! Dl M U (, ] ( ) (a), (b) (c) (b) (d) g t ( ) M U (t( )) [, ] t > 0. c M U E [( t )] t! t! D l M U (, ] ( ) D l M U (, ] ( ),
113 c d D l M U (, ] ( ) λ U(dλ) R k M U M U t P oisson t t { t } t R+ P oisson U i, j {1,..., k} i j R k λ i U(dλ) < E[N (i) t t R +. ] < E[N (i) t ] t R k λ i U(dλ) (λ R k i ) 2 U(dλ) < E[(N (i) t ) 2 ] < V ar[n (i) t ] t 2 (λ i x i U(d )) 2 U(dλ) + t λ i du(λ) R R k R k t R +. { R k λ i λ j U(dλ), R k λ i du(λ), R k λ j U(dλ)} < E[N (i) t N (j) t ] <, E[N (i) t ] <, E[N (j) t ] <
114 ( )( ) Cov[N (i) t, N (j) t ] t 2 λ i x i U(d ) λ j x j U(d ) U(dλ R R k R k t R +. 0 t 0 t > 0 P oisson P oisson U V ar[n (i) t ] t R k λ i U(dλ) E[N (i) t ] i {1,...k} U Cov[N (i) t, N (j) t ] 0 i j M U t t R +. { t } t R+ A A P oisson U A M UA ( ) M U (A ) M U
115 P oisson P oisson P oisson { t } t R P [(, )] 1 ( m ) P { tj tj 1 j } j1 m j1 e (t j t j 1 ) (t j t j 1 ) j j! P σ(θ) σ.β. m N t 0, t 1,..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0 j {1,..., m}
116 P oisson { t } t R { t } t R ( m ) P { tj tj 1 j } j1 m P ({ tj tj 1 j }) m N t 0, t 1,..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0 j {1,..., m} { t } t R ( m P j1 j1 ) ( m { tj +h tj 1 +h j } P j1 ) { tj tj 1 j } m N t 0, t 1,..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0 j {1,..., m} { t } t R { t } t R { t } t R t R + N k 0 P ({ t }) e t ( t)! P σ(θ) σ.β. (i) (ii) (ii) (i) m N t 0, t 1,..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0 j {1,..., m}
117 ( m ) P { tj tj 1 j } j1 m P ({ tj tj 1 j }) j1 m P ({ tj t j 1 j }) j1 m j1 e (t j t j 1 ) (t j t j 1 ) j, j! P σ(θ) σ.β. P oisson P oisson { t } t R σ. { t } t R P P oisson P oisson P oisson P oisson Bernstein W idder P oisson T heorem P oisson
118 T heorem σ. P oisson Markov. a σ. P oisson σ. (b) σ. P oisson P oisson P oisson A { t } t R A A { t } t R P oisson A A
119 {A t } t R P oisson A P oisson A P ({A t } A ) P ({A t } ) t R + N d 0 t R + N d 0 E[χ {A t} ] e A t (A t)! A A A R d k A A P (6.1) A A S [ E[χ {A t } ] E A 1 ({ }) A 1 ({ }) A 1 ({ }) i1 ( d i1 χ { t } ] P ({ t } ) k e Θ it (Θ it) l(i) l (i)! e t ( t)! e A t (A t).! (6.1) A A S e Θ it (Θ it) n(i) n (i)! ) k A 1 ({ }) id+1 e Θ it (Θ it) n(i) n (i)! A A C I(i) : {h {1,..., k} : ia h 1} h I(i) θ h iaθ i {1,..., d}
120 E[χ A t ] k A 1 ({ }) i1 ( d i1 e Θ it (Θ it) n(i) n (i)! e ia t ( ia ) l(i) l (i)! d A 1 ({ }) i1 l (i) ) h I(i) n(h)! h I(i) ( Θh ia ) n (h) e A t (A ).! (6.1) A A (i) (ii) (6.1) [ P ({A t } A ) E E[χ {A t } ] A E [e A t (A t) A! e A t (A t).! (i) (6.1) (i) ] ] P ({A t } A ) e A t (A t)! E[χ {A t } ] P ({A t } ). (ii)
121 P oisson P oisson P U { t } t R P oisson { t } t R Zocher Zocher Θ { t } t R P oisson { t } t R i A Θ i ( m P { tj tj 1 j } j1 ) k m i1 j1 k ( m P i1 k ( m P i1 e Θ i(t j t j 1 ) (Θ i(t j t j 1 )) n (i) j {N (i) t j j1 {N (i) t j j1 n (i) j! ) N (i) t j 1 n (i) } Θ i N (i) t j 1 n (i) j } ) j m N t 0, t 1,..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0 j {1,..., m}. M
122 M P P [{ t }] t! D M ( t ) N k 0 t > 0 M A ( ) M (A ) R d M. P oisson P oisson { t } t R P oisson g t (bfr) M (t( )) [, ] t R +. t ( ) t E[ ] t! E[ ] N k 0 l R +.
123 { t } t R P oisson N k 0 a t > 0 ( ) t E[ ] <. b t R +. E[ c ( t ) ] < E[ ] <. d (, ] lim D M (, ) ( ) <. { t } t R+ [ ( ) ] t E t! lim D M (, ) ( ) t R +. { t } t R P oisson N k 0 a t > 0 E[( t ) ] <. b t R + E[( t ) ] <.
124 c. E[ ] <, d, M (, ) (, ] { t } t R+ t R +. [ ( ) ] t E t! D M (, ) ( ) N t t t+h { t } t R P oisson i E[ t ] te[ ] t R +. ii ( ) Cov[ t, t+h ] tdiag E[ ] + ( + ) [ ] t, h R +.
125 iii V ar[θ i ] > 0 V ar[θ l ] > 0 i, l {1,..., k} i l ( ) lim t ϱ N (i) t, N (l) t ϱ(θ i, Θ l ). (0, ) E(N (i) t ) E(N (i) t Θ i ) tθ i V ar(n (i) t ) V ar(n (i) t Θ i ) tθ i t R +. Cov(N (i) t, N (l) t ) 0 i l E( t ) t V ar( t ) tdiag( ). (i) t t R + [ ] E[ t ] E E( t ) E[t ] te[ ]. (ii) t t R + Cov[ t, t+h ] E[Cov( t, t+h )] + Cov[E( t ), E( t+h )] E[Cov( t, t+h t )] + E[V ar( t )] + Cov[t ), (t + h) ] E[tDiag( )] + t(t + h)v ar[ ] tdiag(e[ ]) + t(t + h)v ar[ ] Cov( t, t+h t ) 0, {N t } t R+ (iii)
126 ( ) ϱ N (i) t, N (l) t Cov[N (i) t, N (l) t ] V ar[n (i) t ]V ar[n (l) t ] t 2 Cov[Θ i, Θ l ] t4 V ar[θ i ]V ar[θ l ] + t 3 (V ar[θ i ]E[Θ l ] + V ar[θ l ]E[Θ i ]) + t 2 E[Θ i ]E[Θ l ] Cov[Θ i, Θ l ] V ar[θi ]V ar[θ l ] + t 1 (V ar[θ i E[Θ l + E[Θ i ]V ar[θ l ]) + t 2 E[Θ i ]E[Θ l ] ( ) lim t ϱ N (i) t, N (l) t ϱ(θ i, Θ l ) (0, ). i l s, t > 0 Cov[N s (i), N (l) t ] stcov[θ i, Θ l ] { t } t R P oisson Cov[ t2 t1, t4 t3 ] V ar[ ](t 2 t 1 )(t 4 t 3 ) ) +Diag(E[ ]) ((t 2 t 3 ) + (t 2 t 4 ) + t 1, t 2, t 3, t 4 R + t 1 < t 2, t 3 < t 4 t 1 t 3
127 t 1, t 2, t 3, t 4 R + t 1 < t 2, t 3 < t 4 t 1 t 3 Cov[ t2 t1, t4 t3 ] Cov[ t2, t4 ] Cov[ t2, t3 ] Cov[ t1, t4 ] + Cov[ t2, t3 ] min{t 2, t 4 }Diag(E[ ]) + t 2 t 4 V ar[ ] min{t 2, t 3 }Diag(E[ ]) t 2 t 3 V ar[ ] min{t 1, t 4 }Diag(E[ ]) t 1 t 4 V ar[ ] +min{t 1, t 3 }Diag(E[ ]) + t 1 t 3 V ar[ ] V ar[ ](t 2 t 4 t 2 t 3 t 1 t 4 + t 1 t 3 ) +Diag(E[ ])(min{t 2, t 4 } min{t 2, t 3 } min{t 1, t 4 } + min{t 1, t 3 }) V ar[ ](t 2 t 1 )(t 4 t 3 ) +Diag(E[ ])(min{0, t 4 t 2 } min{0, t 3 t 2 }) V ar[ ](t 2 t 1 )(t 4 t 3 ) ) +Diag(E[ ]) ((t 2 t 3 ) + (t 2 t 4 ) +. (t 2 t 3 ) + (t 2 t 4 ) + P oisson t P oisson
128 { t } t R P oisson [ m ] P { tj tj 1 j } { B} j1 m χ { } Ω j1 e (t j t j 1 ) ( (t j t j 1 )) j! m N t 0, t 1,..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0, j {1,..., m} B B k m N t 0, t 1,..., t m R + 0 t 0 < t 1 <... < t m j N k 0, j {1,..., m} B(R k ) dp [ m ] P { tj tj 1 j } { B} j1 Ω Ω Ω χ m j1 { tj tj 1 j } { B} dp ) E (χ mj1{ tj tj 1 j} { B} dp χ E χ { B} Ω j1 ( χ m j1 { tj tj 1 j } m ) dp e (t j t j 1 ) ( (t j t j 1 )) j! dp. { t } t R P oisson t > 0 N k 0 { t,h } h R+ P oisson (Ω, F, P t, ). t > 0 N k 0 Ω (f )dp t, (f t )(e ( ) /!)dp P [{ t }]
129 f : R k R +. B B(R + ) f : χ B f χ 1 ( ) (f )dp t, Ω χ 1 (B) dp t, P t, [ 1 (B)] Ω χ 1 (B) t (e ( ) /!)dp P [{ t }] Ω (f t )(e ( ) /!)dp P [{ t }] m N h 0, h 1...h m R + 0 h 0 < h 1 <... < h m j N k 0, j {1,...m} C σ( ) χ m j1 { t,hj t,hj 1 j }dp t, C χ m j1 { t+hj t+hj 1 j } CdP t, Ω P t, [ m P j1 [ m Ω χ C j1 [ ] { t+hj t+hj 1 j } C [ ] { t+hj t+hj 1 j } { t } C ( m χ C Ω j1 m C j1 m P [{ t }] j1 e (h j h j 1 ) (h j h j 1 ) j j! P [{ t }] ) e (h j h j 1 ) ( (h j h j 1 )) j j! e (h j h j 1 ) ( (h j h j 1 )) j j! dp t,. e t ( t) dp! dp t,
130 ( { t,hj ) P t, t,hj 1 j } m j1 e (h j h j 1 ) ( (h j h j 1 )) j j! dp t, P oisson t { t } t R P oisson P t (B) t > 0 B B(R k ). θt B e θ t dp (θ) e R k θt θ t dp (θ) t > 0 B B(R + ). P ({ B} { t }) Ω Ω Ω B P [{ t } {Θ B} ]dp E P [χ { t }χ {Θ B} ]dp χ {Θ B} E P [χ { t } ]dp P [{ t }]dp 1 (B) e 1 (B) ( ) dp! e θ (θ ) P (dθ),!
131 P t [B] P [{ B} { t }] P [{ B} { t }] P [{ t n] θt B e (θt) /!P (dθ) e R k θt (θt) /!P (dθ). P t (B) P t [B N k 0] P [{ B} { t N k 0}] P [{ B} { t N k 0}] P [{ t N k 0}] P [ N { B} { k t }] 0 P [ N k 0 { t }] N P [{ B} { k t }] 0 P (Ω) N P [{ B} { k t }]P [{ t }] 0 1 P t [B]E P [χ t ] N k 0 N k 0 N k 0 N k 0 P t [B]χ t B e θt θ dp (θ) e R k θt θ dp (θ) χ { t } θt B e θ t dp (θ) χ e R k θt θ { t } t dp (θ) B e θt θ t dp (θ) R k e θt θ t dp (θ).
132
133
134
135 Q φ Q : R C φ Q (z) : e izx Q(dx) R φ Q (0) 1 Q φ Q Q M Q : R [0, ] M Q : e zx Q(dx) R M Q (0) 1 Q Q n N d n M Q dz (0) x n Q(dx). n R Q[N 0 ] 1 Q m Q : [ 1, 1] R m Q (z) : z x Q(dx) R z n Q[{n}]. n0
136 (Ω, Σ, P ) X : Ω R Σ B B X 1 (B) Σ F : R R σ.κ.π. x F (x) 0 x F (x) 1 X : Ω R P X : B R P X (B) : P (X 1 (B)) B B X x R P X ({x}) 1 P X P X X σ.κ.π. F X : R [0, 1] X ( ) F X (x) : P X (, x] P (X x) x R. F X σ.κ.π. σ.κ.π. F X X P X (B) P (X B) λ FX (B), B B λ FX (B) F X σ.κ.π. F : R R X : Ω R σ.κ.π. F X F σ.κ.π. F (x) f(k) x R, k K:k x K R f : K R + f σ.π. F F σ.κ.π. F X σ.κ.π. F X F (x) x f(t)dt x R,
137 f : R R + f σ.π.π. F X X X : Ω R E[X] : E P [X] : XdP X(ω)P (dω) X(ω)dP (ω) Ω Ω R X X L 1 (P ) E[X] R A 1,..., A n Σ (n N : n 2) P ( k ) k A ij P (A ij ), 1 i 1 i k n k N. j1 j1 X 1,..., X n : Ω R (n N : n 2) {α k } k Nn {X k α k } k Nn X 1,..., X n {B k } k Nn B {X k B k } k Nn σ Σ 1,..., Σ n (n N : n 2) Σ k N n A k Σ k A 1,..., A n σ Σ σ Σ σ
138 Ω D Ω Ω D B \ A D A, B D n N A n D {A n } n N D D Ω \ A D A D n N A n D {A n } n N D B.1. D P (Ω) Ω Ω D Ω I D I J I I, J I D σ(i)
139 (θ) (P X (θ)) f X (x) e θ (θ x /x!) x N θ > 0 E[X] V ar[x] θ (P X (β)) f X (x) βe βx x (0, ) β > 0 E[X] 1/β, V ar[x] 1/β 2 (P X (α, β)) f X (x) βα Γ(a) xα 1 e βx x (0, ) α, β > 0 E[X] α/β, V ar[x] α/β 2
140
141
142
143
144
145 A µ σ σ σ G σ Ω X σ σ σ σ. σ. σ. n σ µ σ
146 Θ σ Σ X Θ Θ A σ σ σ.π.π.
147 Η παρούσα Διπλωματική Εργασία εγκρίθηκε ομόφωνα από την Τριμελή Εξεταστική Επιτροπή που ορίσθηκε από τη ΓΣΕΣ του Τμήματος Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς στην υπ αριθμ. 1 η / συνεδρίασή του σύμφωνα με τον Εσωτερικό Κανονισμό Λειτουργίας του Προγράμματος Μεταπτυχιακών Σπουδών στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου. Τα μέλη της Επιτροπής ήταν: - Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος Μαχαιράς (Επιβλέπων), - Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Στέγγος, - Επίκουρος Καθηγητής Γεώργιος Ψαρράκος. Η έγκριση της Διπλωματικής Εργασίας από το Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς δεν υποδηλώνει αποδοχή των γνωμών του συγγραφέα.
148
149 Στη μνήμη του πατέρα μου, Γεωργίου. Στη μητέρα μου, Αλεξάνδρα.
150
151
152 Ευχαριστίες Κατάρχάς θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαίτερα τον επιβλέποντα για την παρούσα διπλωματική εργασία κύριο Νικόλαο Μαχαιρά, Αναπληρωτή Καθηγητή, για την αμέριστη συμπαράστασή του και την πολύτιμη καθοδήγηση που μου προσέφερε κατά τη διάρκεια εκπόνησης της εργασίας. Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω και τα άλλα δύο μέλη της Τριμελούς Εξεταστικής Επιτροπής, κύριο Δημήτριο Στέγγο, Επίκουρο Καθηγητή και κύριο Γεώργιο Ψαρράκο, Επίκουρο Καθηγητή, για την επίβλεψή τους. Ακόμη θα ήθελα να ευχαριστήσω το τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης που μου έδωσε την δυνατότητα να ασχοληθώ με την εν λόγω εργασία.
153
154 Περίληψη Στην παρούσα Διπλωματική Εργασία μελετούμε τις πολυμεταβλητές μικτές διαδικασίες Poisson με μια κατανομή μίξης και τις πολυμεταβλητές μικτές διαδικασίες Poisson με παράμετρο ένα τυχαίο διάνυσμα. Αποδεικνύονται κάποιες ιδιότητες των πολυμεταβλητών μικτών διαδικασιών Poisson με μια κατανομή μίξης, όπως η πολυωνυμική και η Μαρκοβιανή ιδιότητα. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει ένα αποτέλεσμα, που αναφέρει ότι οι συντεταγμένες μίας πολυμεταβλητής μικτής διαδικασίας Poisson είναι ανεξάρτητες αν και μόνο αν η κατανομή μίξης παριστάνεται ως ένα μέτρο γινόμενο. Επίσησδίνονται κάποιοι χαρακτηρισμοί για τις πολυμεταβλητές μικτές διαδικασίες Poisson με μια κατανομή μίξης μέσω της πολυωνυμικής ιδιότητας, της διωνυμικής ιδιότητας και της ιδιότητας Markov. Τέλος αποδεικνύεται ότι η κλάση των πολυμεταβλητών μικτών διαδικασιών Poisson με παράμετρο ένα τυχαίο διάνυσμα είναι υπόκλαση εκείνης των πολυμεταβλητών μικτών διαδικασιών Poisson με μία κατανομή μίξης. Παραμένει ανοιχτό το πρόβλημα της ισότητας των δύο κλάσεων.
155 Abstract In this thesis we study the multivariate mixed Poisson processes with arbitrary mixing distribution and the multivariate mixed Poisson processes with parameter a random vector. Some properties of multivariate mixed Poisson processes, such as the multinomial and the Markov property, are derived. The use of multivariate setting is justified by a result, which asserts that the coordinates of a multivariate mixed Poisson process are independent, if and only if the mixing distribution is represented as a product measure. Moreover some characterizations for multivariate mixed Poisson processes, in terms of the multinomial and the Markov property are given. Finally, it is proven that the class of all multivariate mixed Poisson processes with parameter a random vector is subclass of the class of all multivariate mixed Poisson processes with a mixing distribution. The problem of the equality of the two classes remains open.
156
157 Περιεχόμενα Εισαγωγή 1 1 Βασικές Εννοιες και Ορισμοί 5 2 Επισκόπηση Κάποιων Εννοιών της Κλασσικής Θεωρίας Κινδύνου Το Υπόδειγμα Η Σ.Δ. άφιξης των Απαιτήσεων Η Σ.Δ. του Αριθμού των Απαιτήσεων Η Διαδικασία Poisson Η μικτή σ.δ. Poisson Πολυμεταβλητές σημειακές κατανομές Πιθανογεννήτριες Ροπογεννήτριες Θεώρημα Bernstein-Widder Πολυμεταβλητές σημειακές διαδικασίες Το υπόδειγμα Η πολυωνυμική ιδιότητα Πολυμεταβλητές μικτές διαδικασίες Poisson Το Υπόδειγμα Ενας χαρακτηρισμός Οι ροπές Πολυμεταβλητές μικτές διαδικασίες Poisson με τυχαία παράμετρο Το υπόδειγμα Ροπές Posterior κατανομές xv
158 Αʹ Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων 107 Αʹ.1 Ορισμοί και χρήσιμα αποτελέσματα Αʹ.2 Θεώρημα Μονότονης Κλάσης Βʹ Χρήσιμες κατανομές 111 Βιβλιογραφία 113 xvi
159 Κατάλογος Συντομογραφιών μ.χ.: μετρήσιμος χώρος χ.μ.: χώρος μέτρου χ.π.: χώρος πιθανότητας σ.μ.μ.: σύνολο μηδενικού μέτρου σ.β.: σχεδόν βέβαια τ.μ.: τυχαία μεταβλητή σ.κ.: συνάρτηση κατανομής σ.π.: συνάρτηση πιθανότητας σ.π.π.: συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας σ.δ.: στοχαστική διαδικασία Exp(θ): εκθετική κατανομή με παράμετρο θ Ga(n, θ): γάμμα κατανομή με παραμέτρους n και θ MPP: μικτή διαδικασία Poisson MRP: μικτή ανανεωτική στοχαστική διαδικασία δ.μ.τ.: δεσμευμένη μέση τιμή xvii
160 xviii
161 Εισαγωγή Οι μονομεταβλητές μικτές κατανομές Poisson και οι μονομεταβλητές μικτές διαδικασίες Poisson με μια κατανομή μίξης χρησιμοποιούνται ευρέως για την μοντελοποίηση της εμφάνισης σπάνιων γεγονότων. Αυτό χρονολογείται από τη δεκαετία του 20 του προηγούμενου αιώνα. Από τότε έχει δημοσιευθεί ένα μεγάλο πλήθος εργασιών βασισμένων σε αυστηρή θεμελίωση των θεωρητικών αποτελεσμάτων και με εφαρμογές σε πληθώρα επιστημονικών τομέων. Η καθιέρωση της χρήσης των πολυμεταβλητών μικτών κατανομών Poisson και των πολυμεταβλητών μικτών διαδικασιών Poisson με μια παράμετρο μίξης πραγματοποιήθηκε στο ίδιο σχεδόν χρονικό διάστημα, με την συμβολή των Bates, Neyman [4] (1952), Consael [8] (1952), και Hofmann [14] (1955). Αλλά σε αντίθεση με την μονομεταβλητή περίπτωση ο αριθμός των δημοσιεύσεων των πολυμεταβλητών μικτών κατανομών Poisson είναι σχετικά μικρός. Παρ όλα αυτά, διάφοροι τομείς καλύπτονται από το έργο που έχει δημοσιευθεί μέχρι σήμερα, όπως τα εναέρια ατυχήματα Bates and Neyman [4] (1952), τα εργατικά και μη εργατικά ατυχήματα Hofmann [14] (1955), οι ασφάλειες αυτοκινήτου Picard [21] (1976), Partrat [20] (1994), Lemaire [17] (1995), Walhin and Paris [27] (2001), Zocher [29] (2005), οι τυφώνες Partrat [20] (1994), η ανίχνευση εικόνας στην αστροφυσικής Ferrari, Letac and Tourneret [10] (2004), και η απώλεια αποθεματικών Schmidt και Zocher [24] (2005). Εφόσον το θεωρητικό υπόβαθρο δεν έχει ακόμη αναπτυχθεί στον ίδιο βαθμό όπως στην μονομεταβλητή περίπτωση, υπάρχει ένα χάσμα μεταξύ των επιθυμητών πρακτικών εφαρμογών και των διαθέσιμων θεωρητικών αποτελεσμάτων. Η βάση αυτής της μελέτης είναι η πολυμεταβλητή απαριθμήτρια διαδικασία. Το μοντέλο της πολυμεταβλητής απαριθμήτριας διαδικασίας καθορίζεται από διαφορετικές υποθέσεις που οδηγούν σε διαφορετικά μοντέλα πολυμεταβλητών μικτών διαδικασιών Poisson,οι οποίες, ωστόσο, συνδέονται μεταξύ τους. Ξεκινώντας με το πιο γενικό μοντέλο και εξειδικεύοντας βήμα προς βήμα, αυτή η εργασία είναι οργανωμένη ως εξής: Στο Κεφάλαιο 1 παραθέτουμε κάποιες βασικές έννοιες και ορισμούς. Στο Κεφάλαιο 2 δίνουμε μια επισκόπηση στοιχείων της Κλασσικής Θεωρίας Κινδύνου όπου αρχικά παρουσιάζουμε κάποιες ιδιότητες των σ. δ. άφιξης απαιτήσεων και του αριθμού των απαιτήσεων, (βλ. Ενότητες 2.1 και 2.2 αντίστοιχα). Στην Ενότητα 2.3 1
162 αναφέρουμε βασικά αποτελέσματα της σ.δ. Poisson, στην Ενότητα 2.4 αναφερόμαστε στις σύνθετες κατανομές και ολοκληρώνουμε το 2o Κεφάλαιο με μια αναφορά στη μικτή σ.δ. Poisson (βλ. Ενότητα 2.5). Στο Κεφάλαιο 3 παρουσιάζονται κάποιοι ορισμοί και αποδεικνύονται αποτελέσματα βοηθητικού χαρακτήρα, σχετικά με τις πολυμεταβλητές απαριθμήτριες κατανομές που χρειάζονται για τα επόμενα κεφάλαια. Στην Ενότητα 3.1 μελετούνται οι πιθανογεννήτριες συναρτήσεις, στην Ενότητα 3.2 οι ροπογεννήτριες, και στην Ενότητα 3.3 το Θεώρημα Bernstein-Widder. Οι πολυμεταβλητές σημειακές διαδικασίες είναι το θεμα του Κεφαλαίου 4. Αρχικά εισάγονται αυτές οι διαδικασίες (Ενότητα 4.1) και στη συνέχεια αποδεικνύονται κάποιες ιδιότητες τις οποίες έχουν οι απαριθμήτριες κατανομές και οι οποίες σχετίζονται με τις μικτές κατανομές Poisson (Ενότητα 4.2). Οι συσχετισμοί μεταξύ τέτοιων ιδιοτήτων, όπως για παράδειγμα των στάσιμων προσαυξήσεων, της πολυωνυμικής ιδιότητας, και της ιδιότητας Markov, επίσης μελετούνται με κάθε λεπτομέρεια. Το Κεφάλαιο 5 είναι αφιερωμένο στις πολυμεταβλητές μικτές διαδικασίες Poisson με μια αυθαίρετη κατανομή μίξης. Και πάλι αποδεικύονται κάποιες ιδιότητες αυτών των διαδικασιών (Ενότητα 5.1). Το γινόμενο πιθανοτήτων Poisson μέσα στα ολοκληρώματα προκαλεί την ερώτηση της ανεξάρτησίας των συντεταγμένων μιας πολυμεταβλητής μικτής σ.δ. Poisson. Μια απάντηση δίνεται στο Θεώρημα 5.1.5, σύμφωνα με το οποίο οι συντεταγμένες μιας πολυμεταβλητής μικτής διαδικασίας Poisson είναι ανεξάρτητες, αν και μόνο αν η κατανομή μίξης παριστάνεται ως ενα μέτρο γινόμενο. Επιπλέον, οι πολυμεταβλητές μικτές διαδικασίες Poisson χαρακτηρίζονται ως πολυμεταβλητές απαριθμήτριες διαδικασίες που έχουν την πολυωνυμική ιδιότητα (Θεώρημα 5.2.3). Μετά το αποτέλεσμα αυτό αποδείκνυεται ότι μια πολυμεταβλητή μικτή διαδικασία Poisson με ανεξάρτητες προσαυξήσεις είναι μια πολυμεταβλητή διαδικασία με την έννοια ότι οι συντεταγμένες είναι ανεξάρτητες και κάθε συντεταγμένη είναι μια μονομεταβλητή σ.δ. Poisson (Θεώρημα 5.2.7). Οι ιδιότητες της δομής των ροπών πολυμεταβλητών μικτών διαδικασιών Poisson δίνονται στην Ενότητα 5.3. Ενας εναλλακτικός τρόπος για να μοντελοποιήσουμε τις πολυμεταβλητές μικτές διαδικασίες Poisson εντός της κατηγορίας των πολυμεταβλητών απαριθμητριών διαδικασιών είναι να υποθέσουμε την ύπαρξη ενός τυχαίου διανύσματος επάνω στον ίδιο χώρο πιθανότητας και να εξετάσουμε τις δεσμευμένες πιθανότητες της διαδικασίας ως προς αυτό το τυχαίο διάνυσμα, έτσι ώστε η διαδικασία να παραμένει μια πολυμεταβλητή μικτή διαδικασία Poisson. Αυτή η ιδέα μοντελοποίησης οδηγεί στις πολυμεταβλητές μικτές διαδικασίες Poisson με μια τυχαία παράμετρο, οι οποίες μελετούνται στο Κεφάλαιο 6, και για τις οποίες η κατανομή μίξης προέρχεται από ένα τυχαίο διάνυσμα. Για τις κατανομές μίξης που προέρχονται από ένα τυχαίο διάνυσμα, πετυχαίνονται απλούστερες παραστάσεις κάποιων αποτελεσμάτων, ενώ η χρήση των δεσμευ- 2
UNIVERSITY OF PIRAEUS. Stochastic processes with conditionally independent and stationary increments and applications
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Στοχαστικές
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία
Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Θα γενικεύσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής από συνάρτηση στο R σε συνάρτηση στο R n. Ακολούθως, θα επεκτείνουμε τις έννοιες με τις οποίες ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα
Διαβάστε περισσότεραE [X ν ] = E [X (X 1) (X ν + 1)]
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (6η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 30 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ. Κίνηση Brown και το Μοντέλο Black-Scholes
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Κίνηση Brown
Διαβάστε περισσότεραγ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000
Διαβάστε περισσότεραP (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων Κατανομή Poisson & Εκθετική Κατανομή Διαδικασία Markov Γεννήσεων Θανάτων (Birth Death Markov Processes) Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 6 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Συνεχή Τυχαία Μεταβλητή. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (2/2) Διαδικασία Γεννήσεων Θανάτων Η Ουρά Μ/Μ/1
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (2/2) Διαδικασία Γεννήσεων Θανάτων Η Ουρά Μ/Μ/1 Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 15/3/2017 Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΜέρος IV. Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ15 ( 1 )
Μέρος IV Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( ) Πολυδιάστατες μεταβλητές Πολλά ποσοτικά χαρακτηριστικά που σχετίζονται με
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ. Αλλαγή μέτρου για σύνθετες μεικτές ανανεωτικές διαδικασίες με εφαρμογές στις αρχές υπολογισμού ασφαλίστρου
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Αλλαγή μέτρου
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.
ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη
Διαβάστε περισσότεραP (M = n T = t)µe µt dt. λ+µ
Ουρές Αναμονής Σειρά Ασκήσεων 1 ΑΣΚΗΣΗ 1. Εστω {N(t), t 0} διαδικασία αφίξεων Poisson με ρυθμό λ, και ένα χρονικό διάστημα η διάρκεια του οποίου είναι τυχαία μεταβλητή T, ανεξάρτητη της διαδικασίας αφίξεων,
Διαβάστε περισσότεραΕπισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εκθετική Κατανομή, Στοχαστικές Ανελίξεις Διαδικασίες Απαρίθμησης, Κατανομή Poisson
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εκθετική Κατανομή, Στοχαστικές Ανελίξεις Διαδικασίες Απαρίθμησης, Κατανομή Poisson Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 9/3/2016 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραQ π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.
II 4»» «i p û»7'' s V -Ζ G -7 y 1 X s? ' (/) Ζ L. - =! i- Ζ ) Η f) " i L. Û - 1 1 Ι û ( - " - ' t - ' t/î " ι-8. Ι -. : wî ' j 1 Τ J en " il-' - - ö ê., t= ' -; '9 ',,, ) Τ '.,/,. - ϊζ L - (- - s.1 ai
Διαβάστε περισσότεραpdf: X U(a, b) 0, x < a 1 b a, a x b 0, x > b
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (8η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 41 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΔειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:
Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον
Διαβάστε περισσότεραΦΡΑΓΜΑΤΑ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ
Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Π Ε Ι Ρ Α Ι Ω Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ Φώτιος Σ. Μηλιένος Διπλωματική Εργασία
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 2016-2017 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegean.gr Τηλ: 2271035468
Διαβάστε περισσότεραMAJ. MONTELOPOIHSH II
MAJ MONTELOPOIHSH II ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 009 ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΙV Οι ασκήσεις είναι από το βιβλίο του Simon Haykin Θα ακολουθήσει ακόμη ένα φυλλάδιο τις επόμενες μέρες Άσκηση
Διαβάστε περισσότεραK K 1 2 1 K M N M(2 N 1) K K K K K f f(x 1, x 2,..., x K ) = K f xk (x k ), x 1, x 2,..., x K K K K f Yk (y k x 1, x 2,..., x k ) k=1 M i, i = 1, 2 Xi n n Yi n Xn 1 Xn 2 ˆM i P (n) e = {( ˆM 1, ˆM2 )
Διαβάστε περισσότεραΕπισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2014 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής Με λόγια, η f ( x, y) δίνει την πιθανότητα να εμφανισθεί
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας που δίνεται από τον πίνακα: x f(x) / / / / / Να βρεθεί η μέση τιμή και η διασπορά.. Η τυχαία μεταβλητή
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα
Διαβάστε περισσότεραSolution Series 9. i=1 x i and i=1 x i.
Lecturer: Prof. Dr. Mete SONER Coordinator: Yilin WANG Solution Series 9 Q1. Let α, β >, the p.d.f. of a beta distribution with parameters α and β is { Γ(α+β) Γ(α)Γ(β) f(x α, β) xα 1 (1 x) β 1 for < x
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Στις ενότητες που ακολουθούν εξετάζουμε συνεχείς κατανομές με ευρεία χρήση στις εφαρμογές. Σε αυτές περιλαμβάνονται η ομοιόμορφη, η εκθετική, η Γάμμα και η
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραl 0 l 2 l 1 l 1 l 1 l 2 l 2 l 1 l p λ λ µ R N l 2 R N l 2 2 = N x i l p p R N l p N p = ( x i p ) 1 p i=1 l 2 l p p = 2 l p l 1 R N l 1 i=1 x 2 i 1 = N x i i=1 l p p p R N l 0 0 = {i x i 0} R
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία μεταβλητή (τ.μ.)
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 2
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 5.4: Στατιστικοί Μέσοι Όροι 5.5 Στοχαστικές Ανελίξεις (Stochastic Processes)
Διαβάστε περισσότεραS T (x) = exp. (α) m n q x = m+n q x m q x. (β) m n q x = m p x m+n p x. (γ) m n q x = m p x n q x+m. tp x = S Tx (t) = S T (x + t) { x+t
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ, ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014
Διαβάστε περισσότεραN Sm+t = max{k N : S k S m + t} = max{k N : E j t} E j+m t} = m + max{r N : Poisson.
Κεφάλαιο 8 Διαδικασίες Poisson 8.1 Εισαγωγή Σ αυτό το κεφάλαιο θα ορίσουμε τις διαδικασίες Poisson και θα μελετήσουμε τις βασικές τους ιδιότητες. Οι διαδικασίες αυτές είναι ίσως οι απλούστερες μη τετριμμένες
Διαβάστε περισσότεραΠερίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων
Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα
Διαβάστε περισσότεραHomework 8 Model Solution Section
MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx
Διαβάστε περισσότεραApì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss
Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +
Διαβάστε περισσότερα3. Κατανομές πιθανότητας
3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική. Εκτιμητική
Στατιστική Εκτιμητική Χατζόπουλος Σταύρος 28/2/2018 και 01 /03/2018 Εισαγωγή Το αντικείμενο της Στατιστικής είναι η εξαγωγή συμπερασμάτων που αφορούν τον πληθυσμό ή το φαινόμενο που μελετάμε, με τη βοήθεια
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πελοποννήσου
Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 2015-16 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 4 Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση 1. Βρίσκεστε
Διαβάστε περισσότεραP (M = 9) = e 9! =
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης 5ο Φροντιστήριο Ασκηση 1. ύο ποµποί ο Α και ο Β στέλνουν ανεξάρτητα
Διαβάστε περισσότερα1 + ρ ρ ρ3. iπ i = Q = λ λ i=0. n=0 tn. n! Qn, t 0
Στοχαστικές Διαδικασίες ΙΙ Ιανουάριος 07 Διαδικασίες Markov σε Συνεχή Χρόνο - Παραδείγματα Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα. Εστω ένα σύστημα M/M//3 στο οποίο οι αφίξεις είναι Poisson με ρυθμό λ και οι δύο υπηρέτες
Διαβάστε περισσότεραiii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος
iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων
Διαβάστε περισσότεραk k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών ειγµατοληψία Με ιάταξη ειγµατοληψία Χωρίς ιάταξη Χωρίς Επανατοποθέτηση (n)k Με Επανατοποθέτηση n k Χωρίς Επανατοποθέτηση ( n k) Με Επανατοποθέτηση ( n+k 1 ) k ειγµατοληψία Με ιάταξη
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχείς Κατανομές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Συνεχείς Κατανομές. τεχνικές. 30 ασκήσεις.
Συνεχείς Κατανομές Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Συνεχείς Κατανομές τεχνικές 0 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglos.gr / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας
Διαβάστε περισσότεραΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη
Διαβάστε περισσότεραm i N 1 F i = j i F ij + F x
N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,
Διαβάστε περισσότεραΔειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:
Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον
Διαβάστε περισσότεραSOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM
SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM Solutions to Question 1 a) The cumulative distribution function of T conditional on N n is Pr T t N n) Pr max X 1,..., X N ) t N n) Pr max
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων Θεωρούµε Ω το σύνολο αναφοράς. σ-άλγεβρα Εστω A είναι µια κλάση υποσυνόλων του Ω. τ.ω. A είναι µη κενή. 2 A A A c A. 3 A, A 2,... A A A 2...
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Συνάρτηση Κατανοµής Ορισµός F(x) = P(X x) = f(t) x t x f(t)dt, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Ιδιότητες 0 F(x). 2 F είναι αύξουσα συνάρτηση. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών. 4 lim
Διαβάστε περισσότεραUNIVERSITY OF PIRAEUS DEPARTMENT OF STATISTICS AND INSURANCE SCIENCE POSTGRADUATE PROGRAM IN ACTUARIAL AND RISK MANAGEMT
Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών στην Αναλογιστική Επιστήμη και τη Διοικητική Κινδύνου ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΕΛΙΞΕΙΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΟ
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ
Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ.
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 5 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. «ΔΙΟΙΚΗΣΗ της ΥΓΕΙΑΣ» ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΑΚΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΔΙΟΙΚΗΣΗ της ΥΓΕΙΑΣ» ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΑΚΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ Μαστρογιάννη Μαρία Διπλωματική Εργασία υποβληθείσα
Διαβάστε περισσότεραΜέση Τιµή. Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Μέση ή αναµενόµενη τιµή της Χ είναι ο αριθµός: αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής.
Μέση Τιµή Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Μέση ή αναµενόµενη τιµή της Χ είναι ο αριθµός: E( ) µ xf ( x) E( ) µ xf ( x) dx Παραδείγµατα: = = x = = αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής.
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες
Σημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες https://github.com/kongr45gpen/ece-notes 26, Εαρινό εξάμηνο Περιεχόμενα I Πιθανότητες 2 2. Πείραμα τύχης.......................................... 2.. Πράξεις..........................................
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Είδη τυχαίων διανυσµάτων 1. ιακριτού τύπου X = (X 1, X 2,...,X k ) ονοµάζεται διακριτό τυχαίο διάνυσµα αν το πεδίο τιµών του είναι της µορφής, S = {x 1 x 2 n,,...,x,...}.
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.)
Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.) Τυχαία Μεταβλητή (τ.µ.) : συνάρτηση Χ (.) µε πεδίο ορισµού τον δειγµατικό χώρο Ω και πεδίο τιµών ένα σύνολο πραγµατικών αριθµών. X (.) : Ω D ιακριτές τ.µ. Συνεχείς τ.µ. Η πιθανοτική
Διαβάστε περισσότεραΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία:25/06/2018 Πρωί: Απόγευμα: Θεματική ενότητα:αρχές Αναλογιστικής Προτυποποίησης, Κατασκευή και Αξιολόγηση Αναλογιστικών Προτύπων Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α ΣΕ ΟΛΟΥΣ!!!!!! 1/6 ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότερα1951 {0, 1} N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x
Διαβάστε περισσότεραSOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM
SOLUTIONS TO MATH38181 EXTREME VALUES AND FINANCIAL RISK EXAM Solutions to Question 1 a) The cumulative distribution function of T conditional on N n is Pr (T t N n) Pr (max (X 1,..., X N ) t N n) Pr (max
Διαβάστε περισσότεραAx = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.
3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα 5ης Διάλεξης 1 Ανισότητα Markov 2 Διασπορά 3 Συνδιασπορά 4 Ανισότητα Chebyshev 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 5
5ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 5ο Μάθημα Πιθανότητες
Διαβάστε περισσότεραΦράγματα τύπου Chernoff και Εφαρμογές
Φράγματα τύπου Chernoff και Εφαρμογές ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Δημήτριος Ν. Σαββάτης Επιβλέπουσα: Βιολέττα Πιπερίγκου Επίκουρος Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Πατρών Πάτρα, Δεκέμβριος 2015 ii Φράγματα
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ. Ζυγοβίστι Λύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ αʹ Το συνολικό πλήθος των τερμάτων που θα σημειωθούν είναι X + Y, και η μέση
Διαβάστε περισσότεραΛ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14
1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής
Διαβάστε περισσότεραΓ. Κορίλη, Μοντέλα Εξυπηρέτησης
Γ. Κορίλη, Μοντέλα Εξυπηρέτησης 2-1 hp://www.seas.upenn.edu/~com501/lecures/lecure3.pdf Καθυστερήσεις στα ίκτυα Πακέτων Εισαγωγή στη Θεωρία Ουρών Ανασκόπηση Θεωρίας Πιθανοτήτων ιαδικασία Poisson Θεώρηµα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Ιδιότητες της από κοινού κατανομής του χρόνου χρεοκοπίας,
Διαβάστε περισσότεραST5224: Advanced Statistical Theory II
ST5224: Advanced Statistical Theory II 2014/2015: Semester II Tutorial 7 1. Let X be a sample from a population P and consider testing hypotheses H 0 : P = P 0 versus H 1 : P = P 1, where P j is a known
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή Γεώργιος Ζιούτας Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (5η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (5η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 30 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 2018 Σειρά Α Θέματα 3 ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 8 Σειρά Α Θέματα ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις ΘΕΜΑ : Το δοχείο Δ περιέχει 6 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες ενώ το δοχείο Δ περιέχει 5 άσπρες και μαύρες μπάλες.
Διαβάστε περισσότεραΚ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α!!!!!
Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία: 25/6/2018 Πρωί: Απόγευμα: Θεματική ενότητα: Αρχές Αναλογιστικής Προτυποποίησης, Κατασκευή και Αξιολόγηση Αναλογιστικών Προτύπων Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α!!!!! 1/15 1. Η κατανομή
Διαβάστε περισσότεραφ(t) TE 0 φ(z) φ(z) φ(z) φ(z) η(λ) G(z,λ) λ φ(z) η(λ) η(λ) = t CIGS 0 G(z,λ)φ(z)dz t CIGS η(λ) φ(z) 0 z
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας
Διαβάστε περισσότερα3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών
3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών Βασικά χαρακτηριστικά τυχαίας μεταβλητής: Μέση Τιμή (Me Vlue) Διακύμανση (Vrice) Γενικά χαρακτηριστικά: Ροπές μεταβλητών / Ροπογεννήτριες Χαρακτηριστικές συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ
Ι. ΠΑΝΑΡΕΤΟΥ & Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγητών του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ (Εισαγωγή στις Πιθανότητες και την Στατιστική Συμπερασματολογία)
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Ενδεικτικές Λύσεις Ασκήσεων. Κεφάλαιο 1. Κοκολάκης Γεώργιος
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ενδεικτικές Λύσεις Ασκήσεων Κεφάλαιο Κοκολάκης Γεώργιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Συμπερασματολογία
Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuig Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@etmode.tua.gr 7/3/2018 1 Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ POISSON Η τυχαία εμφάνιση παλμών περιγράφεται σαν
Διαβάστε περισσότερα3. O ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ PERCEPTRON
3. O ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ PERCEPRON 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Το Perceptron είναι η απλούστερη μορφή Νευρωνικού δικτύου, το οποίο χρησιμοποιείται για την ταξινόμηση ενός ειδικού τύπου προτύπων, που είναι γραμμικά διαχωριζόμενα.
Διαβάστε περισσότεραΧρονικές σειρές 3 Ο μάθημα: Βασικές στοχαστικές διαδικασίες Μη στάσιμες χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ
Χρονικές σειρές 3 Ο μάθημα: Βασικές στοχαστικές διαδικασίες Μη στάσιμες χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή,
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 3 ο b. Από Κοινού Κατανοµή Τυχαίων Μεταβλητών
Μάθηµα 3 ο b Από Κοινού Κατανοµή Τυχαίων Μεταβλητών Έχουµε δύο, ή περισσότερες, τυχαίες µεταβλητές έστω Χ και Υ. Η σκπ των ζευγών ( x, y ) λέγεται από κοινού κατανοµή του ζεύγους ή του διανύσµατος ( X,Y
Διαβάστε περισσότεραpdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q
7ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 7ο Μάθημα Πιθανότητες
Διαβάστε περισσότεραpdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (7η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικά Μοντέλα Επιχειρησιακών Ερευνών Συστήματα αναμονής Ι Ιωάννης Δημητρίου Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών, idimit@math.upatras.gr Δ.Π.Μ.Σ. «Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων» Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΧΡΟΝΟΙ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΜΕΧΡΙ ΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΤΡΙΤΙΜΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ
Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 8 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (5) σελ.97-33 ΧΡΟΝΟΙ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΜΕΧΡΙ ΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΤΡΙΤΙΜΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ Σ. Μπερσίμης
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΔΙΟΙΚΗΣΗ της ΥΓΕΙΑΣ» ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ: ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ ΙΔΙΩΤΙΚΟΥ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΟΥ ΠΑΡΑΓΙΟΥΔΑΚΗ ΜΑΓΔΑΛΗΝΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΔΙΟΙΚΗΣΗ της ΥΓΕΙΑΣ» ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ: ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ ΙΔΙΩΤΙΚΟΥ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΟΥ ΠΑΡΑΓΙΟΥΔΑΚΗ ΜΑΓΔΑΛΗΝΗ Διπλωματική
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του όγδοου φυλλαδίου ασκήσεων.
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 2017-. Λύσεις του όγδοου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Έστω F X, F Y οι συναρτήσεις κατανομής των τ.μ. X, Y και F X,Y η από κοινού συνάρτηση κατανομής τους. Αποδείξτε ότι (i)
Διαβάστε περισσότεραHMY 795: Αναγνώριση Προτύπων
HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 5 Κατανομές πιθανότητας και εκτίμηση παραμέτρων Κατανομές πιθανότητας και εκτίμηση παραμέτρων δυαδικές τυχαίες μεταβλητές Διαχωριστικές συναρτήσεις Ταξινόμηση κανονικών
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)
(Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 Νοεµβρίου 2009 Γεωµετρική κατανοµή Ορισµός Εστω X ο αριθµός των δοκιµών µέχρι την πρώτη επιτυχία σε µια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulli µε πιθανότητα επιτυχίας
Διαβάστε περισσότερα