|
|
|
- Διοκλῆς Γκόφας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1
2
3 k
4 k
5
6
7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G) N G (x) = x v 1 v 5 v 1 v 5 v 3 v 4 v 3 v 4 v 2 v 6 G v 2 v 6 G G G V (G) = V (G ) = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 } E(G) = {{v 1, v 2 }, {v 1, v 3 }, {v 2, v 3 }, {v 3, v 4 } {v 1, v 5 }, {v 2, v 6 }, {v 4, v 5 }, {v 4, v 6 }, {v 5, v 6 }} E(G ) = E(G) {{v 1, v 4 }, {v 2, v 5 }}
8 G = (V, E) V = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 } E = {{v 1, v 2 }, {v 1, v 3 }, {v 2, v 3 }, {v 3, v 4 } {v 1, v 5 }, {v 2, v 6 }, {v 4, v 5 }, {v 4, v 6 }, {v 5, v 6 }} G G G a b c d b e d e f G a f c G H G = ({a, b, c, d, e, f}, {{a, d}, {a, e}, {a, f}, {b, d}, {b, e}, {b, f}, {c, d}, {c, e}, {c, f}}) G H = ({1, 2, 3, 4, 5, 6}, {{1, 4}, {1, 5}, {1, 6}, {2, 4}, {2, 5}, {2, 6}, {3, 4}, {3, 4}, {3, 6}}) G V (G) = {v 1,..., v n } n n A = [a i,j ] (i,j) [n] 2 a i,j = { 1 {v i, v j } E(G) 0 {v i, v j } E(G) G 0 n n! A = A =
9 G G G H σ : V (G) V (H) x, y V (G) x y {x, y} E(G) {σ(x), σ(y)} E(H) G H G H G H G H a c υ ω 4 b 5 2 χ τ e d G f ϕ G ψ 6 3 G 1 Q 3 Q 3 r 0 K r = ({v 1,..., v r }, {{v i, v j } 1 i < j r}) r r G r G K r
10 K 6 K 4,3 K 6 K 4,3 p, q 0 K p,q = (A B, E) A = {v 1,..., v p }, B = {u 1,..., u q } E = {{v i, u j } 1 i p 1 j q} K 1,r r 0 r K 3,3 P 3 C 7 P 3 C 7 r 1 P r = ({v 1,..., v r+1 }, {{v 1, v 2 },..., {v r, v r+1 }}) v 1 v r+1 x y (x, y) r 3 C r = ({v 1,..., v r }, {{v 1, v 2 },..., {v r 1, v r }, {v r, v 1 }}) C 3 (6, 4)
11 V r = {1,..., r} (p, q) (V p V q, {{(x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )} x 1 x 2 + y 1 y 2 = 1}). r 0 V r r r Q r = (V r, {{x, y} x, y V r x y }) Q 0 Q 3 Q 1 Q 2 Q i i = 0, 1, 2, 3 G G G V (G) G (G) G 1, 2, 3, 4 1, 4, 3, 2 3, 2, 1, 4 3, 2, 1, 2 (C 4 ) = { 1, 2, 3, 4 1, 4, 3, 2 3, 2, 1, 4 2, 3, 4, 1 3, 4, 1, 2 4, 3, 1, 2 4, 1, 2, 3 2, 1, 4, 3 } (H) = { 1, 2, 3, 4 4, 2, 3, 1 } V (K n ) (K n ) S n n! = (K n ) = S n G C 4 H G C 4 H
12 H H G (G) S n G (G) G n! G x, y V (G) x y σ(x) = y σ (G) x y G G {1, 3} {2, 4} C 4 {1, 2, 3, 4} G {2} {3} {1, 4} H {1, 4} {2, 3, 5, 6} {7} G x y σ (G) σ(x) = y C r r 3 K r r 1 K r,r r 1 G G V
13 ,6 2,1 1 1 G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 {,,,,} G 1 E(G 1 ) = {{,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}} G 2 E(G 2 ) = {(,), (,), (,), (,), (,), (,), (,)} G 3 E(G 1 ) 5 1 2, ,6 1 G 4 E(G 1 ) = E(G 1 ) {{}, {}, {}} G 5 E(G 1 ) {,} {,} {,} G 6 E(G 1 ) {{,,}, {,,,}} G = (N, E) E = {{x, y} ( N 2) y 2 = x 3 } G = (R, E) E = {{x, y} ( R 2) y 2 + x 2 = 1} 3 G Q 3
14 A = [a i,j ] 1 i,j r a i,j = (i + j) ( 2) K r/2, r/2 G 1, G 2, G 3 A = [a i,j ] 1 i,j 8 a i,j = (i + j) 2 σ : V (G) V (H) G H S V (G) σ(n G (S)) = N H (σ(s)) S V (G) σ(s) = {σ(v) v S} G m(g) = ( ) n(g) 2 x, y 1 (x, y) P x 1 P y 1 (p, q) 2 p q p q a, b, r C a Q b (r, r) Q r r Q r r 0 G (G) G (G) = 1 G n(g) A
15 n n
16
17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 G G G = (V (G), {{x, y} x, y V (G)}\E) G G G G G L(G) = (E(G), {{e 1, e 2 } e 1, e 2 E(G) e 1 e 2 }). a e b a d c e f b G d c f L(G) K 4 L(K 4 ) G H G H G H = (V (G) V (H), {{(x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )} ({x 1, x 2 } E(G) y 1 = y 2 ) ({y 1, y 2 } E(H) x 1 = x 2 )}). G H G H = (V (G) V (H), E(G) E(H)) G H = (V (G) V (H), E(G) E(H)).
18 V (G) V (H) = G H G H G H G H G + H G H G H = {V (G) V (H), E(G) E(H) {{x, y} x V (G) y V (H)}}. G H G H G H G + H G H G H G H K 3 K 1,3 K 3 K 1,3 K 3 K 1,3 K 3, K 1,3, K 3 K 1,3 K 3 K 1,3,, +, k 0 G k G = } G + {{ + G }, G [k] = G } {{ G } k k G (k) = } G {{ G}. k G 0 G G (0) K 0 G [0] K 1 K 1 K 2 G 1 G 2 G 1 K 1,K 2 G 2 G 1 G 2 K 1 K 2 G 1 G 2 G 1 G 2 K 1 K 2 K 1 K 2 G K1,K 2 H G H
19 G e E(G) v v e v e v V (G) E G (v) E(G) v E E(G) V (E) = e E e E G S V (G) v V (G) E E(G) e = {x, y} E(G) G\S = (V (G)\S, {{x, y} E(G) {x, y} S = }) G\v = G\{v} G\E = (V (G), E(G)\E) G\e = G\{e} G\{x, y} G\e {x, y} e G\{x, y} {x, y} x y G\e e G v V (G) {x, v} {v, y} x y G/v = (V (G)\{v}, E(G)\{{x, v}, {v, y}} {{x, y}}) v G v e e G H G H G e = {x, y} E(G) v V (G) G/e = (V, E ) V = V (G)\{x, y} {v } E = E(G)\E G (x)\e G (y) {{v, u} u N G ({x, y})\{x, y}} e = {x, y} G x y v {x, y} G
20 u G v e G e G u v G 1 G 2 G 3 f G f G w w G 4 G 5 G 6 T = {\v, /v, \e, /e} T = {\v, /v, \e, /e} \v \e /v /e T = {\v, /v, \e, /e} A T A G H H A G H G A A T A A = {\e, \v} H A G υπ G H G H G A = {\v} H A G ϵν G H G
21 A = {\e} H A G πα G H G A = {\e, \v, /v} H A G τπ G H G A = {\e, \v, /e} H A G ϵλ G H G C 4 C 4 C 5 C 5 G S V (G) G[S] = G\(V (G)\S) G[S] = (S, {{v, u} {v, u} S {x, y} E(G)}). G[S] ϵν G G[S] G S E E(G) G[E] = (V (E), E) G[E] G G H H ϵν G H ϵν G H G H πα H G H ϵν H G H τπ G H ϵλ G υπ ϵν πα τπ ϵλ T = {\v, /v, \e, /e} T G { υπ, ϵν, πα, τπ, ϵλ } G G G G G G G
22 G G G n(g) = 0 1 ( 4) n 3 C n L(C n ) G m(l(g)) ( ) m(g) 2 K p,q + K r,s (K p + K q ) (K r + K s ) K p,q K p + K q K (m) r K m r P p P q (p, q) L(K 4 ) (2 K 1 ) (3) Q r K [r] 2 G (G) = (G) G = {G G L(G)}
23 G k 1 k G, G [k] G (k) G L(G) G k,r V (G k,r ) r k {v, u} E(G k,r ) v u G k,r K [r] k G L(G) G = C i1 + + C ir i j 3 1 j r G 1 G 5 {\e, /v} G e v G\v G/v G\e G/e G K 1 G n T n k k 1 G k q 2 Q q 2 q G 1 K 5 k K 2,4 (k k) T W r = K 1 C r (n n) r 3(n 2) + (n 3) 2 n 3 3 K 1,3 + K 1,3 πα Q 3 Q 3
24 K 1,4 ϵλ Q 3 K 1,4 τπ Q 3 K 3,3 K 5 K 5 r (r, r) Q 3 G K 1,r υπ G K 1,r τπ G r (r, r) L(K 4 ) (r, r) K 1,1+ r 2 (r 1) K 2,1+ r 3 (r 1) K 3,r r 3 G 1 = {C r r 3} G 2 = {P i i 0} G 3 = {Q r r 0} ϵλ τπ υπ πα ϵν k A = {δ (G) G P [k] n n 1} B = {δ (G) G P [k] n n 1}
25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 v G G (v) = N G (v). G δ(g) = { G (v) v V (G)} (G) = { G (v) v V (G)} d(g) = 1 n(g) v V (G) G (v) G ϵ(g) = m(g) n(g) G r r (G) = {k K 1,k υπ G}. G v V (G) G (v) = 2 m(g) δ(g) d(g) (G) ϵ(g) = d(g) 2 v G (v)
26 V 1 V 2 V (G) 2 m(g) = G (v) = G (v) + G (v), v V 1 v V 2 v V (G) v V 1 G (v) V 1 G (G) G v V (G) z(g) = ( (G) G (v)). n(g) z(g) G (G) r = (G) G r G 1 = G G < r G ϵν G 1 z(g 1 ) < z(g) G m G υπ G r z(g) = 0 G m r G ϵ(g) δ(g) 2 δ, ϵ 0 δ ϵ G n = K δ+1 + K n δ 1 δ(g) δ ϵ(g n ) = ( δ+1 2 )+( n δ 1 2 ) n n ϵ(g n ) = n ϵ(g n ) ϵ δ (G) = {k G H δ(h) k }. G H υπ G δ (H) δ (G) G δ (G) n 1 δ (G)
27 G δ (G) = 3 δ (G) n δ (G) G H δ(h) n δ (G) H n 1 (n δ (G)) = δ (G) 1 G δ(h) n δ (G) n(h) = n(h) n δ (G) + 1 H G δ(h ) δ (G) n(h ) δ (G) + 1 n(h) + n(h ) > n H H v v H G (v) H (v) δ(h ) δ (G) v H G (v) δ (G) 1 G H δ(h) ϵ(g) δ (G) ϵ(g) G n(g) = 1 < n G n(g) = n δ(g) δ(g) δ (G) v G G (v) δ (G) G = G\v E(G ) m(g) δ (G) V (G ) = n(g) 1 δ (G ) ϵ(g ) = E(G ) V (G ) m(g) δ (G). n(g) 1 G υπ G δ (G) m(g) δ (G). n(g) 1 G δ (G) {ϵ(g), δ(g)} G n δ (G) k (v 1,..., v n ) G i=1,...,n δ Gi (v i ) k G i = G[{v 1,..., v i }] (v 1,..., v n ) G i=1,...,n δ Gi (v i ) k H υπ G δ(h) > k v i H (v 1,..., v n ) H υπ G i Gi (v i ) δ(g i ) δ(h) > k (v 1,..., v n ) G v i δ Gi (v i ) > k
28 G (v 1,..., v n ) v i v i (v 1,..., v n ) > k G i v j, j < i k G i v i v i+1 δ(g i ) > k δ (G) > k α = [d 1,..., d n ] G σ : V (G) {1,..., n} G (v) = d σ(v) α G G [5, 5, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 1, 1, 1] α = [d 1,..., d n ] n 2 d 1 1 α = [d 2 1, d 3 1,..., d d1 +1 1, d d1 +2,..., d n ] α = [d 1,..., d n ] G V (G) = {v 1,..., v n } δ G (v i ) = d i, 1 i n f(g) = v N G (v 1 ) v 1 (d 2,..., d d1 +1) v i, v j N G (v 1 ) d i > d j {v 1 v i } E(G) {v 1, v j } E(G) d i > d j v h v 1 {v h, v i } E(G) {v h, v j } E(G) G G {v 1, v j } {v h, v i } {v 1, v i } {v h, v j } f(g ) > f(g) v 1 (d 2,..., d d1 +1) G\v 1 α = [d 2 1, d 3 1,..., d d1 +1 1, d d1 +2,..., d n ] α
29 G α = [d 2 1, d 3 1,..., d d1 +1 1, d d1 +2,..., d n ] S G d 1 G S G α = [d 1,..., d n ] (d 1,..., d n ) d i r(r 1) + (r, d i ). i=1,...,r i=r+1,...,n ϵ(g) = δ(g) 2 G L(G) n r, s r + s = n s = 0 ( 2) G r s G 2 K 3 ϵλ G G G n m δ(g) m 1 2 (n2 3n + 2).
30 q, r 1 δ (K 1,q K 1,r ) δ (G) 1 2 ( 2 n(g) 1 ) (2 n(g) 1) 2 8 m(g). G H δ (G), δ (H) k δ (G H) 2k + 1 G δ (G) 1 2 (n 1 (G)) k A = {δ G G P [k] n n 1}, B = {δ G G P [k] n n 1}. α = (d 1,..., d n ) (n d 1 1, n d 2 1,..., n d n 1) α = (d 1,..., d n ) G k G G [k] G (k) k 0 G d d G v G d(g)/2 d(g v) d(g) G 2 r G G r r n(g) = 2r + 1 r > 0 n(g) 3 m(g) = v V (G) m(g v) n(g) 2
31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 G G W = [v 1,..., v r ] i,1 i<r {v i, v i+1 } E(G) W (v 1, v i+1 ) G r v 1 v r W G[W ] = ({v 1,..., v r }, {{v 1, v 2 },..., {v r 1, v r }}). W = [v 1,..., v r, v 1 ] G n n G (x, y) (x, y) G (x, y) W (x, y) W W = [v 1,..., v r ] G v 1 = x v r = y y W W y i W = [v 1,..., v i ] W (x, y) W W = [v 1,..., v r 1 ] W r G (v 1, v r 1 ) P W v r P {v r 1, v r } (x, y) W G V (G) = {1,..., n} A = [a i,j ] (i,j) [n] 2 G i i i i = 1,..., n
32 r = 1,..., n a r i,j Ar = [a r i,j ] (i,j) [n] 2 r i j G r r = 1 v i, v j A 1 = A A r 1 = [ai,j r 1 ] ar i,j r 1 v i v j A r = A r 1 A a r i,j = a r 1 i,h a h,j h=1,...,n r v i v j v i v h r 1 v j v h A = C A 2 = A3 = A 4 = C x, y G G (x, y) x y G (x, y) G G (x, y) = G G (x) = G (x, y). y V (G) (G) = G (x). x V (G) x, y G (x, y) = (G) (G) = G (x). x V (G)
33 β χ Θ (β, χ) (β, χ) (β, χ) Θ x V (G) (G) = G (x) x G G (G) x V (G) (G) = G (x) x G G (G) G n(g) 2 G x y K k, k 1 K p,q, p, q 2 p q Q 3 G V (G) G x,y V (G) G (x, y) 0 G (x, y) = 0 x = y x,y V (G) G (x, y) = G (y, x) x,y,z V (G) G (x, y) + G (y, z) G (x, z) G (G) (G) 2 (G) x, y G v G G (x, v) G (v)
34 G H G G (v, y) G (v) (G) = G (x, y) G (x, v) + G (v, y) 2 G (v) = 2 (G). (C r ) = r 2 = (C r) r 3 2 (P 2 r ) = 2r = (P 2r ) r 1 (C r ) = (C r ) = V (C r ) r 3 (P r ) 2 K 1 r 2 P 2r+1 [(P 2r+1 )] K 2 r 0 (P 2r ) = 1 r 1 G (G) = (G) = V (G) G x (G) = G (x) = (G) v V (G) (G) G (v) (G) G (v) = (G) = (G) (G) = (G) = V (G) G (G) d v V (G) q q (d 1) l 1 l 1 v i = 1,..., l Pv i l v P v τ(p ) Pv 1 = q i, 1 i l 1 Pv i+1 Pv i Pv i G (u) 1 Pv i+1 Pv i+1 P Pv i ( G (τ(p )) 1) Pi v (d 1) i, 1 i r 1 Pv i = Pv 1 (d 1) l 1
35 G v V (G) G v A = [X 0,..., X r ] r = v (G) X 0 = {v} X i+1 = N G (X i )\ j=0,...,i 1 X j i = 1,..., r X 3 X 2 X 1 x X 0 x A = [X 0,..., X r ] G v i=0,...,r X i = V (G) A = [X 0,..., X r ] G v i, j, 0 i j r x, y x X i y X j P x y X i,..., X j P X i P [a 1,..., a q ] {0,..., r} a 1 = i a q = j a h, a h+1, 1 j < q a h a h+1 1 A X i X i 1 X i X i+1 {i,..., j} G A = [X 0,..., X r ] G v i = 0,..., r X i G i v i u X i G (v, u) = i i i = 0 i j i = j+1 u X j+1 X j+1 u u X j j v u P G v u j + 1 P G v u j P X 0,..., X j+1 P j
36 A A G (v, u) = i u X h, h {1,..., i 1, i + 1,..., r} A = [X 0,..., X r ] V (G) u V (G)\ h {1,...,i 1,i+1,...,r} X h = X i G (G) d v V (G) 1 + ((d 1) 1) G l v d d 2 A = [X 0,..., X r ] G v G i v X i X i G v X i X i d (d 1) i 1 i 1 i = 1,..., l G i v i=0,...,l X i X i 1 + d + d(d 1) + + d(d 1) l 1 i=0,...,l = 1 + d( i=0,...,l 1 (d 1) i ) = 1 + d ((d 1) 1) d 2 G (G) α (G) d n(g) 1 + d d 2 ((d 1)α 1). v l = (G) G (G) v G (G) β (G) d n(g) 1 + d d 2 ((d 1)β 1). A = [X 0,..., X r ] G v { X i 0 i r} G v v v G G (G) G (G) n(g) 1 (G) v G G G v A = [X 0,..., X r ] G v n(g) 1 + r X i 1 + r (G) r = G (v) (G) n(g) 1 + (G) (G)
37 G n (G) d d n/2 G n (G) d (G) β m(g) n(n 1)(d 2) 2((d 1) β 1). e G 2 l (d 1) l 1 l 1 Pi r, i = 1,..., r r e = (x, y) i (d 1)(d 1) r i 1 = (d 1) r i r i y G\e (d 1)(d 1) i 2 = (d 1) i 1 i 1 x G\e Pi r e x y (d 1) r i (d 1) i 1 = (d 1) r 1 e Pi r 2 (d 1)r 1 e l r G 2 m(g) (d 1) r 1 G 2 (n 2) G β 2 ( ) n 2 2 m(g) i=1,...,β (d 1) i 1 m(g) G n (G) d (G) β m(g) d n/2 d n 2 n(n 1)(d 2) 2((d 1) β 1). n G G (G) G G (G) G (G) = (G) = 0
38 G H G H 3 C = (v 1,..., v r, v 1 ) {z, y} z y C G (G) G δ(g) (G) 1 P = (v 1,..., v t ) G v 1 v 1 v i i G (v 1 ) + 1 δ(g) + 1 δ(g) + 1 G G ϵ(g) 1 V (H) 3 < n n = n(g) δ(g) 2 G v 1 ϵ(g\v) 1 G\v G ϵ(g) 1 K 3 τπ G K 3 G G (G) g δ(g) d { 1 + d i=0,...,r 1 n(g) (d 1)i g = 2r + 1 g 2 i=0,...,r 1 (d 1)i g = 2r g g 2 = 1 S i, 0 i r r + 1 G v 0 G i = 1,..., r v S i S i 1
39 G v v 0 i i v 0 2r < g S i (d 1) S i 1 2 i r S 0 = 1 S 1 d n(g) i=0,...,r S i 1 + d + d(d 1) +..., d(d 1) r 1 g 2 = 0 v 0 G n(g ) S i (d 1) +..., 2(d 1) r 1 = (d 1) i i=0,...,r n(g) = n(g ) 1 i=0,...,r 1 G n n + n 1+ 1 k (G) 2k k n + 1 = d δ (G) ϵ(g) d G G δ(g ) d (G) 2k + 1 (G ) 2k + 1 d > 2 G n n(g ) 1 + d i=0,...,r 1 d > 2 (d 1) i = 1 + d d 2 ((d 1)k 1) > (d 1) k = n, k 1 {(H) H υπ P k P k } = k(k + 2). G G
40 (p, q) p, q 1 r r 1 G H G (G H) G G (G) = (G) = V (G) x, y x y 2x x y G (G) = (G) G (G) < 3 (G) > 3 x, y x y 2x G (G) = x (G) = y G δ(g) (G) 2 G G G n (G) x n x G (G) 2 (G) + 1 G (G) + δ(g) n 1 4
41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 x, y V (G) (x, y) G (G) < K 1 G v G G (v) 1 G G\v [v 1,..., v n ] G i = 1,..., n 1 (v i, v i+1 ) P i G G P i (v i, v i+1 ) W i W 1,..., W n 1 G G G n(g) n(g) = 1 < n G n(g) = n v V (G) N G (v) = V (G)\{v} x, y V (G)\{v} {v, x} E(G) {v, y} E(G) H = G[V (G)\{v}] < n H H {v, x} G G {v, y} G G G I(G) G H I(G) G I(G)
42 H G G G H G δ(h) δ(g) (H) (G) G δ(g) n(g) 2 G G H n(h) n(g) 2 δ(h) n(h) 1 < n(g) 2 G m(g) n(g) 1 G G m(g) < n(g) 1 H n(h) < n(g) m(h) n(h) 1 δ(g) 1 m(g) n(g) δ(g) 2 n(g) v G G H = G\v G m(h) n(h) 1 m(g) = m(h) + 1 n(g) = n(h) + 1 m(g) n(g) 1 G S V (G) S G G\S S S G S S (a, b) a, b V (G) G\S (a, b) S (a, b) (a, b) S (a, b) G S k 2 G G G
43 a e i b f j G c d g h k l {e, f, g, h} G {e, f, h} {e, g} G {f} {h} G {f, g} (a, k) {h} (a, k) G P 1 x t w y P 2 P 1 P 2 G v x, y G\v x y v x y G x, y V (G) G (x, y) x y G G (x, y) = 1 e = {x, y} G e G G\x {x} G G\x (y) 1 G\e G\e G\x G\e G\e x y {x, y} G x y (x, y) < k x, y G (x, y) = k 2 w k G x y P 1 P 2 G x w P 1 P 1, P 2 y P P 1 x y {y, w} P, P 2 G P 1, P 2 y R
44 G x y w G G\w R P 1 P 2 R P 1 {w, y} G t P 1 P 2 R t P 1 P P 1 x t R t y P 2 P 2 {w, y} P 2 P G G 3 x, y, z V (G) G y x z G + G w x z G + P 1, P 2 w y (P 1 P 2 )\w H 1 H 2 V (H 1 ) V (H 2 ) 2 H 1 H 2 H 1 x 1 v u u v x 2 H 2 {v, u} S = V (H 1 ) V (H 2 ) x 1, x 2 H = H 1 H 2 x 1 x 2 H 1 H 2 x 1 V (H 1 )\S x 2 V (H 2 )\S P 1 G 1 v u x 1 P 1 P 1 v, u S P 2 G 2 v u x 1 P 1 P 2 v G {v} G
45 G I 2 (G) G H I 2 (G) G G K 2 I 2 (G) H 1 H 2 G {x, y} S = V (H 1 ) V (H 2 ) w V (H 1 )\V (H 2 ) P H 1 x y w H 1 P H 1 H 1 P H 1 x P x v P y x y P x y V (H 1 ) V (H 2 ) = {v} G\v x y H 1 H 2 v P x y G\v H = H 1 H 2 H\v x y P H\v E(G)\E(H) H + = H P H + H 1 H H + P P H 1 H 2 x y x y v P x P y x y v H 1 H 2 C = P P x P y H + = C H 1 H 2 K 3
46 K 3 G k > k k κ(g) = {k G k } G κ(g) δ(g) G e E(G) κ(g\e) κ(g) 1 v V (G) κ(g\v) κ(g) 1 G S V (G) x V (G)\S (x, S) S x S G s, t G (s, t) G (s, t) G G (s, t) S k k (s, t) G S (s, t) S G k k (s, t) G k = 1 k > 1 k k H H (s, t) S k G G H G k (s, t) G e E(G) (s, t) S e k 1 G\e e E(G) e S e = w e\{s,t} S e {w} (s, t) G k
47 G\S e (s, t) S e = k 1 k s t e G\e e S e S e e s t (s, t) G N G (s) N G (t) = x t s S = S {t,x} \{x} (s, t) G\x S = k 1 k 1 (s, t) G\x s, x, t k (s, t) G s S t s t s S t G s G t G (s, t) S k G N G (s) = S N G (t) = S S (s, t) k G P s G s S S P t (s, t) G S P s P t P P s P P t V (P ) V (P ) = V (P ) V (P ) = {q} q S (s, t) S G s = P Ps P G t = P Pt P S V (G s )\s S V (G t )\t G s = G s {S {t}, {{x, t} s S}} G t = G s {S {t}, {{s, x} x S}} n(g t ), n(g s ) < n(g) k (s, t) P 1 s,..., P k s P 1 t,..., P k t G s G t (s, S) {Q i s i = 1,..., k} = {P i s\t, i = 1,..., k} (t, S) {Q i t i = 1,..., k} = {P i t \s i = 1,..., k} Q 1 s Q 1 t,..., Q k s Q k t k (s, t) G P (s, t) G [s, v 1, v 2,..., t] e = {v 1, v 2 } v 2 t {v 1, t} E(G) P 3 {v 1 } S e (s, t) S k G {v 1, t} E(G) N G (s) = {v 1 } S e P {s, v 2 } E(G) {v 2 } S e (s, t) S k G {s, v 2 } E(G) N G (t) = {v 2 } S e k 2 S e s t (s, t) (s, t)
48 x y (x, y) G κ G (x, y) κ(g) = {κ G (x, y) x, y V (G), {x, y} E(G)} k k S (x, y) G G (x, S) W x (y, S) W y W x G\S x e k G κ(g\e) = k 1 G κ(g) = k e = {x, y} E(G) e G κ G\e (x, y) = k 1 G = G\e e G R V (G ) k 1 G \R x y G \R R G κ(g) = k R (x, y) G k 1 κ G (x, y) k 1 κ(g ) k 1 κ G (x, y) k 1 κ G (x, y) = k 1 e G k k (x, y) G G (x, y) G k κ(g\e)(x, y) k 1 G δ(g) > κ(g) e E(G) κ(g\e) = κ(g) G G k κ(g) = k G k S G\S v N G (v) = S G (v) = k C D = G\S\V (C) D G\S n(d) n(c) e = {x, y} x, y V (C) G = G\e G (x, y) R k 1
49 v G G = G [S C] ({v } S, {{v, w} w S}) k (v, x) G (v, x) S G k 1 S S V (C) S (z, x) G z D S + = S {y} (z, x) G S + S V (C) S + S C + G\S + x C S (x, S) W x G G W x (x, S) G (y, S) W y G D S C x z y S G z V (D) k (z, x) G (z, S) W z G G V (D) R z V (D)\R G W z W x G k (x, z) G W z W y G k (z, y) R z x z z y R x y V (D) R V (D) V (D) < V (C) R R 1 = R V (D) = V (D) R 2 = R S R 3 = R V (C) R (x, y) G w S\R R W x W y x w w y R R S\R R 2 = S S\R R ( S R 2 ) = 1 2 (k R 2 ) V (D) = R 1 = R R 3 R 2 = k 1 R 3 R 2 k R (k R 2 ) 1 = 1 2 (k R 2 ) 1 < 1 2 (k R 2 ) R 3 V (C) r 0 K + 2,r = K 2 (r K 1 ) K 2 K + 2,r K 2,r
50 K + 2,5 G k k + 2 k 2 v V (G) k K + 2,k 2 πα G[N G (v)] G e E(G) κ(g\e) = k e = {x, y} G[N G (v)] K + 2,d 2 S = v N G (v)\{x, y} S 2 G = (G\S)\e P G S G\e k 1 (x, y) S P κ G (x, y) = k e G G v G G G K 3 2 G G G v 2 v G K 3 n(g) 4 G/v 2 r W r = C r K 1 W r r 3 3 e E(G) G\e 3 e E(G) G G/e 3 G G = K 4 K 4 W 3 n
51 W 9 n(g) = n G G G G G e = {a, b} G v e G e = (G\a)\b G W r v V (G) v 1, v 2, v 3 K 3 K 2,1 + v 1, v 2, v 3 G v 1, v 2, v 3 G v 1, v 2, v 3 G e = {v, v 3 } v e G e e v 1 v 2 B 1, B 2 G e v e {v 3, v e } G B G e {a, v 3 } G a B v 3 B 1 \v e B 2 \v e v 3 1 B 2 {v e, v 2 } {v e, v 1 } G v 3 w i B i \v e \v i i = 1, 2 {v i, v e } G i = 1 2 f = {v, v 1 } S f = {v 1, v f } G = G\v (α) {v, v 1, v i }, i = 2, 3 G v f {v 2, v 3 } (β) v 2, v 3 G \S f S f G G v 2 v 3 S f (v 2, v 3 ) G v 1 (α) {v 1, v 2 } v 1, v 2, v 3 G e = {v, v 3 } G S = {v, v 3, v e } C D G\S {v 1, v 2 } {v e } C v G S C v D {v 3, v e } G
52 v e f B v 1 1 w 1 v v 3 G v e B 2 v 2 S f v f v 1 v 3 v 2 w 2 G (α) (β) α G G e β S f G {v 1, v 2 } {v 1, v 3 } v 1, v 2, v 3 G G G\v {v 2, v 3 } G 3 S G S 2 v 1, v 2, v 3 G S C G\S S G G e = {v 2, v 3 } G f = {x, y} G (x, y) G \f (x, y) G {v 2, v 3 } {v 2, v} {v, v 3 } f G e = {v 2, v 3 } G H = G G \e H = G \e H n(g) < n(h) H f H/f f e e E(H) = G \e e H H = G f G G H W r r 3 = G \e G W r v a, b, c W r K 1,2 W r {a, b}, {b, c} E(W r ) {a, c} E(W r ) K 1,2 (α) (β) {a, b} {b, c} H = G G W r
53 a v a v b c b c (α) (β) a v a v c c b b (γ) (δ) W r+1 v W r W r (γ) W r W r (δ) W r+1 W 4 Q 3 K 4 Q 8
54 v 4 v 1 v 2 v v 1 v 2 v 1 v 2 3 G 5 e 3 H G E πα G e v e 3 H E E E e v e G = (V (H ), V (H ) H ) G G = G/e G 3 G 1,..., G m G 1 = G G m = K 4 i = 1,... m 1 G i G i+1 G n(g) 4 κ(g) 3 K 4 ϵλ G G δ(g) 3 G G G V (G) 5 3 < 5 K 4 κ(k 4 ) = 3 κ(g) 2 S G C G\S C + = G[S V (C)] S = {x} x C + N C +(x) S G G\S C C δ(c + ) 3 n(c + ) < n(g) C + G S = {x, y} (x, y) P G\V (C) C C + {x, y} (x, y) P G\V (C) C ϵλ G S C N C (x) N C (y) G C δ(c ) 3 n(c ) < n(g) C G
55 G δ(g) 3 K 3 ϵλ G k κ (G) = {k G k } G m(g) (2k 1)(n(G) k) k n(g) = 1 < n G n(g) = n m(g) (2k 1)(n(G) k) S G S k G k S < k C 1 G\S G 1 = G[V (C 1 ) S] G 2 = G\V (C 1 ) S = V (G 1 ) V (G 2 ) G 1, G 2 m(g) m(g 1 ) + m(g 2 ) n(g 1 ) + n(g 2 ) = n(g) + S. h {1, 2} m(g h ) (2k 1)(n(G h ) k), (2 1)(n(G) k) m(g) m(g 1 )+m(g 2 ) < (2k 1)(n(G 1 )+n(g 2 ) 2k)) = (2k 1)(n(G)+ S 2k) < (2k 1)(n(G) k)), n(g i ) < n, i = 1, 2 G h k G h G G H κ(h) ϵ(g) 2 κ (G) ϵ(g) 2 ϵ(g) 2 k κ (G) k ϵ(g) 2 k m(g) 2k n(g) (2 1)(n(G) k) G k κ (G) k G G λ(g) G λ(g) = { F F E(F ) G\F }.
56 G k K k G G n V (G) = {v 1,..., v n } G[{v 1,..., v i }] i = 1,..., n G G G K 2,3 ϵλ G G K 1 K 2 G a b b a = (t(v) 1) v V (G) t(v) v 4 n n 1
57 Q 8 K 4 G 2κ (G) ϵ(g) κ(g) 2 δ(g) (n(g) + k 2)/2 κ(g) k f : NN k N G δ(g) f(k) k ϵ (G) = {k H υπ G : ϵ(h) k}. ϵ (G) δ (G) 2 ϵ (G) κ (G) δ (G) 4 κ (G) ϵ (G) 2 κ (G) 4 ϵ (G) G G
58
59 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 G x, y V (G) P 1 P 2 e = {x, y} P 1 P 2 H = (P 1 P 2 )\e G H P x y H P G\e P ({x, y}, {{x, y}}) G G G < n G n x y G G (x) = 1 G\x x G G m(g) = n(g) 1 G m(g) n(g) 1 m(g) n(g) 1 m(g) n(g) ϵ(g) 1 G n(t ) 2
60 2 m(t ) 1 + 2(n(G) 1) m(t ) n(g) 1 2 m(t ) n(g) G δ(g) + 1 δ(g) δ(g) = 1 2 δ(g) = k 1 k 1 k G k T k + 1 T G T = T \v v T G = G\y y G δ(g ) k 1 n(t ) = k T G σ : V (T ) V (G ) T G u T v u T u = σ(u) G T G T σ v G u k 1 G (u ) k u x G T V (T )\{u } = k 1 σ σ(v) = x T G G (u ) = k 1 u G y u G k 1 σ σ(v) = y T G G G G G G G G G G G T V (T ) V (G) v V (G)\V (T ) V (T ) 1 G
61 u V (T ) P (v, u) G x 0 = v, x 1,..., x r = u G v V (T ) {x 0, x 1 } T P e i = {x i, x i+1 }, i 1 P T e T G G G T G G G n(g) = m(g) 1 G T n(t ) 1 G T G = T n n {1,..., n} (T, τ) T τ : V (T ) {1,..., n(t )} V (T ) n(g) n(t ) (T, τ) (T, τ ) σ : V (T ) V (T ) T T v V (T ), τ(v) = τ (σ(v)) n n 2 n n 1 n n 2 n n n n 2 n 2 n n A = (a 1,..., a n 2 ) n
62 S = {1,..., n} T = (V, E) V n E = τ : V S V S S > 2 x S A x S y A E {τ 1 (x), τ 1 (y)} A S (T, τ) (T, τ) n() A V (T ) > 2 v T w v A τ(w) T v A T [5, 5, 2, 3, 3, 2, 8, 8] A (T, τ) (T, τ) A n n 2 n
63 3 T 1 T 2 δ (T 1 T 2 ) 3 G m(g) n(g) 1 (T ) G n(g) m(g) T G δ(g) n(t ) 1 T G k G n T n k k 1 G k v G G G (G, v) T e = {x, y} T T (e, x) T (e, y) T {x, y} e = {x, y} T (G) = n(t (e, x)) n(t (e, y)) n(t (e, x)) n(t (e, y)) (e, x) T (e, y) T e = {x, y} T (e) = (T, x) (T, y) {2δ(G), n(g) 1} G = P 1 P r P 1,..., P r i,j,i j E(P i ) E(P j ) = G 2r
64
65 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 R 2 S R 2 S S S Γ = (V, A) v V R 2 Γ e A R 2 (0, 1) e e e V V ( e E e) = Γ = V ( e E e) E V (Γ) = V E(Γ) = A
66 f 3 f 3 f 1 f 2 f 1 f 2 f 4 f 4 f 5 f 5 Γ R 2 Γ F (Γ) Γ K 5 K 3,3 Γ = (V, E) Γ = (V, E ) Γ V V E E (V, E ) R 2 \ Γ Γ = (V, E) R 2 \ Γ Γ F (Γ) Γ G Γ = (V, E) D R 2 Γ D R 2 {(x, y) R 2 x 2 + y 2 < 1} Γ D Γ = (V, E) f F (Γ) Γ Γ Γ Γ = (V, E) G Γ = (V, { e e E(Γ)}). Γ G Γ Γ f F (Γ) Γ[f] Γ V (Γ) f f\v (Γ) f F (G) G Γ[f] K 3 Γ f 1 f 4 G Γ G G Γ G) G Γ G Γ G Γ G
67 G Γ Γ υπ, ϵν, πα, τπ ϵλ G Γ Π Γ Π G Γ Π Γ G Γ G H G H K r, r 2 G H Γ e Γ f 1, f 2 F (Γ) e f 1 f 2 Γ f F (G) Γ[f] Γ Λ Γ Γ Γ Γ R 2 \ Λ Λ Γ
68 W 1 W 2 G W 1 W 2 [v 1, v 2, v 3, v 1, v 5, v 1, v 4, v 1 ] [v 4, v 1, v 5, v 1, v 3, v 2, v 1, v 4 ] [v 4, v 1, v 5, v 1, v 2, v 3, v 1, v 4 ] Γ = (V, A) f F (Γ) f Γ V f f\v j i k f 4 g a l b f 2 f 3 c h f 1 e G π(f 1 ) = [e, h, c, b, a, j, c, j, i, c, h, g, e], π(f 2 ) = [b, a, k, l, k, c, b], π(f 3 ) = [g, e, h, g], π(f 4 ) = [i, c, j, i] Γ = (V, E) f F (Γ) π(f) f Γ = (V, E) Γ = (V, E) Γ Γ G Γ G Γ ρ : V (Γ) V (Γ ) σ : F (Γ) F (Γ ) f F (Γ) ρ(π(f)) = π(σ(f)) Γ Γ G Γ G Γ G G Γ, Γ G G Γ Γ
69 σ(f 1 ) f 1 f 3 σ(f 2 ) σ(f 3 ) f 2 Γ Γ Γ Γ Γ G Γ G Γ Γ Γ R 2 S 0 = {(x, y, z) x 2 +y 2 +(z 1) 2 = 1} (0, 0, 2) (x, y, z) S 0 = {(x, y, z) x 2 + y 2 + (z 1) 2 = 1} (χ, ψ) R 2 x (x, y) ( 2 z, y 2 z ) 2x (x, y, z) ( x 2 + y 2 + 1, 2y x 2 + y 2 + 1, 2x 2 + 2y 2 x 2 + y ) f Γ s = (x 0, y 0 ) f Γ
70 (x, y) (x x 0, y y 0 ) s = (x 0, y 0 )) G Γ S 0 s (x, y, z) (2 x, 2 y, z) {(x, y, z) R 3 z = 0} s (0, 0, 2) s G Γ Γ Γ f Γ Γ f Γ Γ ρ π f π(f) Γ Γ = (V, A) F = F (Γ) Γ = (V, A ) Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ
71 Q 3 K 2,2,2 G H G K 2,2,2 K [3] 2 G K 4 Γ n m r m + 2 = r + n
72 Γ m n 1 m = n 1 G Γ r = 1 < m n Γ n m r m n G Γ e Γ e f, f Γ e Γ Γ = (V (Γ), E(Γ)\{e}) f f f f e Γ (m 1) + 2 = (r 1) + n Γ V (G) 3 Γ E(Γ) Γ Γ Γ V (Γ) 3 Γ Γ 3 3n 6 Γ 2 3 E(Γ) r = 2 3m G n 3 3n 6 G δ(g) 5 m = m(g) n = n(g) Γ 6 m 6 2 n = 3 n G δ (G) 5 n 3 n
73 G G x G y x, y 3 n = n(g) r = n(g ) n, r, x y n + r = xn + 2, 2 n + r = yr + 2, 2 x, y 3, x, y 5, n = 4y 2(x + y) xy x = 3 y = 3 n = 4 r = 4 G x = 3 y = 4 n = 8 r = 6 G x = 4 y = 3 n = 6 r = 8 G x = 3 y = 5 n = 12 r = 20 G x = 5 y = 3 n = 20 r = 12 G x, y 4 (x 4)(y 4) 0 xy 4x 4y 16 0 xy 2(x + y) 2(x 4) + 2(y 4) 0
74 K 5 K 3,3 G K 3,3 < m G m G e = {x, y} E(G) G = G\e G e = {x, y} E(G) G G = G/e v e e G = G\e G = G/e m(g ) < m(g) G K 5 K 3,3 Γ G x y Γ e Γ G Γ C x y R\ C S = V (C) G G 3 (x, y) P i, i = 1, 2, 3 G {x, y} E(G ) S F = C P 1 P 2 P 3 K5 = (2 K 1) K 3 {x, y} F K 5 K 5 τπ G Γ Γ = Γ\v e f F (Γ) Γ v e Γ Γ [f] C M = [x 1,..., x r, x 1 ] V (C) e = {x, y} G X = N G (x)\y Y = N G (y)\x V (C) X M Y G K 3,3 τπ G P 1 P 2 x P 3 y C F = C P 1 P 2 P 3
75 x i x j x y x l C x k x j x l X x i x k Y 1 i < j < k < l r K 5 K 3,3 K 5 K 3,3 G K 5 K 3,3 G S S = 1 2 C i, i = 1,..., r G\S i = 1,..., r G i G V (C i ) S i = 1,..., r G i ϵλ G n(g i ) < n(g) G G i K 5 K 3,3 G K 5 K 3,3 G i, i = 1,..., r i, j 1 i < j r G i G j = K S i=1,...,r G i = G G e E(G) K 5 τπ G/e K 5 τπ G K 3,3 τπ G A xy A x A y x y K 3,3 e = {x, y} v e G = G/e e A xy = N G (x) N G (y) A x = N G (x)\{y}\a xy, A x = N G (y)\{x}\a xy H G D V (G ) v e D K 5 τπ G v e V (H)\D
76 N = N H (v e ) N = 4 N A x, A y, A xy N A x A y K 3,3 τπ G K 5 τπ G G K 5 K 3,3 K 5 K 3,3 K 5 K 3,3 Γ υπ, ϵν, πα, τπ ϵλ K 4 K 2,3 K 4 K 2,3 K 5 K 3,3 K 4 K 2,3 G G + = G K 1 G G G + G + Γ Γ Γ G
77 G + G + K 5 K 3,3 G K 4 K 2,3 G n 2n 3 v 1 v 5 Γ v 2 v 3 v 4 v 2 v 3 v 4 Γ v 5 v 1 G Γ G f Γ Γ[f] [v 1,..., v n, v 1 ] Γ + f Γ Γ [v 1,..., v n, v 1 ] Γ Γ + {v i, v n i+1 } i = 1,..., r {v i, v n i } i = 1,..., r 1 {v n, v n} G n(g ) = 2 n(g) m(g ) = 2 n(g) + 2 m(g)) m(g ) 3 n(g ) 6 2 n(g) + 2 m(g)) 6 n(g) 6 m(g) 2 n(g) 3 G (G) 3 G H G H G (G) 3 r 3 r = 3 r = 4
78 ξ P X,Y = {(x, y, z) R 3 z = 0} R 3 P X,Y S 0 ξ G G H m n 2(n 1) 6 4 G K 3 υπ G δ (G) 3 C 4 τπ G m(g) 3 2 (n 1) Γ κ r n m m + κ + 1 = n + r
79 14 6 x δ(g) 2 δ(h) 2 G H H G 6 H G δ (G) 6 K 4 τπ G 1 2 (3n 1) 4 C 4 τπ G m(g) 3 2 (n 1) H n 0 n 3 n
80 K4 K 4 G = {G K4 ϵλ G} {V 1, V 2 } V (G) G[V 1 ], G[V 2 ] G k 3 m(g) k(n(g) 2) k 2 G (4 4) G G G G
81 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 k k k G χ : V (G) {1,..., k} {x, y} E(G) χ(v) χ(u) k G G k k χ 1 (i) i = 1,..., k χ S V (G) χ(s) = {χ(v) v S} X {1,..., k} χ 1 (S) = {χ 1 (i) i X} χ k G k G k χ(g) k 2 χ(c 2k 1 ) = 3 χ(c 2k ) = 2 l 1,..., l k K l1,...,l k = K l1 + + K lk V i (K l1,...,l k ) = V (K li ), i = 1,..., k K l1,...,l k k k K l1,...,l k l 1,..., l k V i (G), i = 1,..., k k G k
82 K K 3,3,3,3 k k k k k k χ : V (G) {1,..., k} k G G K χ 1 (1),..., χ 1 (k) χ : V (K l1,...,l k ) {1,..., k} χ(v) K l1,...,l k v χ K l1,...,l k G k G k G k G n n 2 ( k 1 2k ) G K l1,...,l k l 1,..., l k i=1,...,k l i = n m(g) m(k l1,...,l k ) K l1,...,l k m(k l1,...,l k ) ( ) n 2 i=1,...,k = 1 2 (n2 n = 1 2 (n2 i=1,...,k 1 2 (n2 n2 k ) = n 2 ( k 1 2k ) ( ) li 2 i=1,...,k (l 2 i )) (l 2 i l i ) i=1,...,k l2 i 1 k ( i=1,...,k l i) 2 k G n m χ(g) n2 n 2 2m
83 G 2 G G G G G G A = [X 0,..., X r ] G v G G X i {x, y} X i P x v x P x v y X 1,..., X i 1 w P 1 P 2 v P 1 P 2 P 1 P 2 w P 1 P 2 X i X i G n n2 4 G k S V (G) χ : V (G) {1,..., k} G χ(s) = {1,..., k} k G S S k G v, u S i j χ(v) = i, χ(u) = j G[χ 1 (i) χ 1 (j)] χ : V (G) {1,..., k} k G V v G[χ 1 (i) χ 1 (j)] v u V v χ G χ i j V v χ = χ\{(x, χ(x)) x V v } {(x, i + j χ(x)) x V v }. χ (v) = χ (u) = j χ 1 (S) = {1,..., k} i S
84 G χ(g) δ (G) + 1 G δ (G)+1 n(g) n(g) = 1 G < n δ (G) + 1 G n(g) = n v G δ (G) δ G\v δ (G\v) + 1 δ (G) + 1 χ : V (G\v) {1,..., δ (G) + 1} X = χ 1 (N G (v)) X δ (G) R = {1,..., δ (G) + 1}\X i R χ = χ {(v, i)} χ G δ (G) + 1 G l (l + 1) χ(g) l + 2 δ (G) l + 1 H H δ(h) l + 1 l + 2 l + 1 G n χ(g) + χ(g) n + 1 n χ(g) χ(g) χ(g) + χ(g) δ (G) δ (G) + 1 δ (G) n δ (G) 1 G χ(g) K l1,...,l χ(g) l i = {l 1,..., l χ(g) } l i n χ(g) V i(g) G G G n χ(g) 6 5
85 5 G v 5 G G = G\v 5 S = N v (G) 5 χ G {1, 2, 3, 4, 5}\χ 1 (S) i χ {(v, i)} 5 G Γ G Γ N G (v) v [v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 1 ] χ(v i ) = i i = 1,..., 5 i, j, 1 i < j 5 G i,j = G[χ 1 (i) χ 1 (j)] G i,j G i j v i v j G i,j i, j, 1 i < j 5 P v 1 v 2 v v 5 v 4 v 3 v 1 v 3 P G P v L G Λ Γ G Λ = L Λ R 2 R 1, R 2 R 2 \ˆΛ v 2, v 4 Γ v 2 v 4 Λ G 2,4 v 2 v 4 G 2,4 i = 2 j = 4 4 δ (G) (G)
86 G ( (G) + 1) (G) d 3 G (G) d K d+1 υπ G G d G v G G = G\v d S = N v (G) d d χ G {1,..., d} \χ 1 (S) i χ {(v, i)} d G S S = {v 1,..., v d } χ(v i ) = i G v 1 v 2 G G i = 1,..., d S i = {v i } N G (v i ) d G h {1,..., i 1, i + 1,..., d}\χ(s i ) χ = χ\{(v i, χ(v i ))} {(v i, h)} G S G G i,j = G[χ 1 (i) χ 1 (j)] v i v j G i,j, P i,j (v i, v j ) G i,j i, j 1 i < j d P i,j G i,j i, j 1 i < j d P i,j G i,j D = [v i, a 1,..., a p, v j ] P i,j P i,j v i b a 1 χ(b) = j S i Gi,j (v i ) = 1 Gi,j (v j ) = 1 a s D Gi,j (c) > 2 χ(a s ) = i d a s P i,j χ(d) = j a s j a s P i,j d {1,..., i 1, i + 1,..., d}\χ(n Gi (a s )) h χ = χ\{(a s, i)} {(a s, h)} d G d a h C i,j = C i,j\a h i j S i, j, k {1,..., d} V (C i,k ) V (C k,j ) = {x k } c V (C i,k ) V (C k,j )\{x k } χ(c) = k c i j {1,..., k 1, k + 1,..., d}\χ(n G (c)) h χ = χ\{(c, k)} {(c, h)} d G d C i,k = C i,k\c i k S z P 1,2 v 1 χ(z) = 2 z S z G 2,3 z V (P 2,3 ) z S z P 2,3
87 P 1,2 P 2,3 z G 1,2 2 3 G z 3 S 1 d G (G) G 2l G l q q U n {v 1,..., v n } U n X m,n,d,k = {G U n m(g) = m nd, (G) d 2, χ(g) k} G m,n,d,l = {G U n m(g) = m nd, (G) d 2, (G) l}. k 2 l 3 n, d X dn,n,d,k < G dn,n,d,l U n l k X m,n,d,k G m,n,d,k X m,n,d,k χ : V (G) {1,..., k} ) k ( n/k ) = 1 2 n2 (1 1 k H = (V (G), ) ( n 2 2 ) χ ( 1 2 n2 (1 1 k ) ) m ( 1 2 n2 (1 1 k ))m m H χ k n k H X m,n,d,k k n ( 1 2 n2 (1 1 k ))m G m,n,d,l G m,n,d,l H G m 1,n,d,l e (H) d 2
88 m(h) nd 2n/d H d 2 n(1 2 d ) S V (H) e x S S\{x} l v l d2 d 2 2 (d2 1) l d 2l l 3 n(1 2 d ) d2l e 1 2 n(1 2 d )(n(1 2 d ) d2l ) H G m,n,d,l G m,n,d,l ( 1 2 n(1 2 d )(n(1 2 d ) d2l )) m n d X dn,n,d,k G dn,n,d,l k n ( 1 2 n2 (1 1 k ))dn ( 1 2 n(1 2 d )(n(1 2 d ) d2l )) nd n 2 k 1/d (1 1 k ) n(n(1 2 d ) d2l )(1 2 d ). n d n 2 n 2 d k 1/d (1 1 k ) (1 2 d )2. d 1 1 1/k G K 5 K 3,3 K 5 K 3 4 K 5 G K 5 ϵλ G V 8
89 V 8 V 8 G K 5 ϵλ G G K 4 ϵλ G k > 0 G χ(g) k K k G k = 6 r 7 K r G K r ϵλ G ϵ(g) 2 r 2 c(r) c ϵ(g) c K t ϵλ G c(t) = (α + o(1))t t α = r = 1, 2, 3 r = 4 G G
90 χ(g) m(G) G {V 1, V 2 } V (G) χ(g[v 1 ])+ χ(g[v 2 ]) = χ(g) G {V 1, V 2 } V (G) χ(g[v 1 ]) + χ(g[v 2 ]) > χ(g) G H χ(g 1 ) χ(g 2 ) χ(g 1 G 2 ) G G l (l + 1) m m/2 T U D
91 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ω(g) G G ω(g) = {k K k υπ G} G G ω(g) χ(g) G ω(g) 4 τ(p, n) p n p, n (p 1, n 0) p n 1,..., n p G m(g) = n i n j 1 i<j p n 1,..., n p n/p p
92 n p,..., n p, n p,..., n p. }{{}}{{} n p p (n p) p, n (p 1, n 0) T p (n) τ(p, n) T 4 (10) T 5 (9) G (k)ω ω(g) k G ω(g ) k n(g) = n(g ) m(g) < m(g ) G v V (G) v G G v G N G (v) v v v v G G + G ω(g) = ω(g + ) (k)ω G x, y, a {x, y} E(G) {x, a}, {y, a} E(G) x y
93 G (x) > G (a) x G + ω(g + ) k m(g + ) = m(g) + G (x) G + a G ω(g ) k m(g ) = m(g) + G (x) G (a) > m(g) G (x) G (a) G (y) G (a) a G + ω(g + ) k m(g + ) = m(g)+2 G (a) G + x y G ω(g ) k m(g ) = m(g)+2 G (a) G (x) ( G (y) 1) > m(g) x y x y G (y) 1 (k)ω G n T k (n) G k ω(g) > k G T k (n) (k)ω G m(g) τ(ω(g), n(g)) G S V (G) G S G α(g) G G G α(g) = ω(g) G n(g) α(g) χ(g) k l r(k, l) k l n G n ω(g) k α(g) l k l r(1, l) = r(k, 1) = 1 r(2, l) = l r(k, 2) = k r(k, l) = r(l, k)
94 r(k, l) k l r(k, l) r(k 1, l) + r(k, l 1). G n(g) = r(k 1, l) + r(k, l 1) v G k 1 = N G (v) k 2 = N G (v) k 2 G v G k 1 + k 2 = n(g) 1 = r(k 1, l) + r(k, l 1) 1. k 1 r(k 1, l) G = G[N G (v)] ω(g ) k 1 α(g ) l ω(g) k v G + α(g) l k 1 < r(k 1, l) k 1 r(k 1, l) 1 k 1 r(k 1, l) + 1 k 2 r(k, l 1) G = G[N G (v)] ω(g ) k α(g ) l 1 ω(g) k α(g) l v G k l ( ) k + l 2 r(k, l). k 1 k + l k +l 5 p, q k, l k + l < p + q r(p, q) r(p 1, q) + r(p, q 1) ( ) ( ) p + q 3 p + q 3 + p 1 p 2 ( ) p + q 2 =, p 1 r(3, 3) r(2, 3) + r(3, 2) = 6 C 5 ω(c 5 ) = α(c 5 ) = 2 r(3, 3) 5 r(3, 3) = 6 r(k, l) k l r(3, i) i {3,..., 9} r(4, i) i {4, 5} r(5, 5) {43,..., 49} r(5, 5) r(6, 6) r(5, 5) r(6, 6)
95 k r(k, k) 2 k/2 k 3 V n = {v 1,..., v n } G n V n G k n G n k i, j, 1 i < j n G n G n = 2 (n 2) S V n k 2 (n 2) ( k 2) Gn S ( n ) k S G k n ( ) n 2 (n 2) ( k G 2) n k k G n ( n )2 (k2) n k 2 (k 2) <. k k! n < 2 k/2 Gn k G n < 2k2/2 2 ( k 2) k! = 2k/2 k! < 1 2. G n k G n = {G G G n } G n k G G n k ω(g) < k α(g) < k r(k, k) < 2 k/2 G ω(g) < k α(g) < k n < 2 k/2 G ω(g) δ (G) + 1 τ(p, n) τ(p, n) n 2 p 1 2p n p n p
96
97 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 e G S V (G) S S V (G) G S G (G) G G S S G k G U D (G) { U, D } G (G) = n(g) α(g) S G G S G S V (G)\S S G
98 G S V (G)\S V (G)\S G G k n(g) k G δ (G) (G) δ (G) k G δ(h) k H S S < k H\S I v I H S G (v) S < k (H) k (G) (H) k G L(G) L(G) G L(G) L(G) G (G) = χ(l(g)) r L(G) G V (L(G)) r L(G) G G r E(G) r G r r G r L(G) G M E(G) e,e M e e = µ(g) G M v V (G) v M G µ(g) = ω(l(g)) G χ(g) n(g) µ(g)
99 n = n(g) = n(g) µ(g) G G n 2 µ(g) G M G n 2 µ(g) µ(g)+n 2 µ(g) = n µ(g) χ(g) n(g) µ(g) G n m µ(g) 2mn n + 2m. µ(g) n χ(g) χ(g) n 2 µ(g) n n 2 n 2 n(n 1)+2m 2mn n+2m n 2 2(( n 2) m) 3 K 2 G µ(g) (G) G (G) = µ(g) G (G) µ(g) U D G M G M U U G S U M P S S M P M R G e M e = {u, d} u U d D d R S d R u R = M R G e E(G) R e M e M M e = {u, d} e M M {e} d e u S e S R d R e R u e = {u, d } S d R u R e R S P d d d e M d R e R d P e P P M e P d P P P + = P ({d, u, d}, {e, e}) S d d R d e M P + M
100 U u u U u e e e e D d D d d U u U u D e e d e d D e e d d M P + M P + M + G M G U D M U R U N G (R) R M U U S U M M M S D N G (S) M = S M N G (S) S M U (G) = µ(g) < U S G < U S U = S U S D = S D S G (U\S U ) (D\S D ) G N G (U\S U ) S D S < U S\S U < U\S U N G (U\S U ) S D = S\S U < U\S U R = U\S U N G (R) < R n m (G) m n α(g) n2 m n G 1 3 m(g)
101 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 G H χ(h) = ω(h) 3
102 5 W i, i 4 i C 5 G G n χ(g) ω(g) χ(g) n µ(g) µ(g) = (G) ω(g) = α(g) α(g) = n (G) χ(g) n µ(g) = n (G) = α(g) = ω(g) H L(H) H H χ(l(h)) = ω(l(h)) (H) = χ(l(h)) µ(h) = ω(l(h)) G (G) = 3 G χ(g) = ω(g) = δ (G) + 1 = 4
103 S G G x, y S {x, y} E(G) S (a, b) a, b G\S C a C b G\S a b x y C a C b S (a, b) G (x, y) P a C a (x, y) P b C b P a P b P a P b G 4 G G G G a b S (a, b) G S G C a G\S a G 1 = G[S C a ] G 2 = G\C a G 1 G 2 n(g i ) < n(g), i = 1, 2 i = 1, 2 G i i {1, 2} G i v i V (G i )\S G i {1, 2} G i v i S v 1 v 2 G G δ (G) ω(g) 1 G ω(g) 1 G v G = G[N G (v) {v}] G (v) = G (v) ω(g) 1 G H χ(h) δ (H) + 1 ω(h) = ω(h) G {V c, V d } V (G) V c G V d G G C i G {V c, V d } V (G) G[V c ] C i V c G G[V d ] i 3 V d G i 3 0 i 3 G
104 G I = {I 1,..., I n } i I I i = [l i, r i ] l i < r i I G I = (I, {{I i, I j } I i I j }), G I I G I G I G I I G I G C i G i 4 I 1, I 2, I 3,..., I i C i I 1 l 1 = {l j 1 j i} I 3 r 1 I 1 I 3 G j = 1,..., i 2 I j+2 r j r 1 I 1 I i = I 1 I i G G
105 ω(g) = α(g) n(g) = n(g) H n(h) α(h) ω(h) G G 5 1 G 5 G I 0 = {3, 5} G 3 G 5 χ 3 χ 5 G 3 G 5 χ 3 χ 5 I 1 = {2, 5}, I 2 = {1, 4}, I 3 = {2, 4} I 4 = {1, 3} G G I 0, I 1, I 2, I 3, I 4 S 0 = {1, 2}, S 1 = {3, 4}, S 2 = {2, 3}, S 3 = {1, 5} S 4 = {4, 5} G H χ(h) = ω(h) n(h) α(h) χ(h) n(h) α(h) ω(h) G χ(g) > ω(g) H G G χ(h) = ω(h) p = ω(g) I 0 = {v 1,..., v q } G q = α(g) i {1,..., q} G i = G\v i ω(g i ) = ω(g) ω(g i ) < ω(g) χ(g i ) = ω(g i ) < ω(g) χ(g) ω(g) χ(g i ) = ω(g i ) = p i 1,..., q p σ i : V (G i ) {1,..., p} G i I (i 1) p+1,..., I (i 1) p+p σ i i = 1,..., q G pq + 1 I 0, I 1,..., I pq G j {0,..., pq} χ(g\i j ) < ω(g) I j χ(g) ω(g) χ(g\i j ) ω(g) ω(g) χ(g\i j ) = ω(g\i j ) ω(g) G\I j p S j pq + 1 S 0, S 1,..., S pq G j, j {0,..., pq} j j S j I j j = 0 j {1,..., pq} G i = G\v i σ i I j S 0 G\I 0
106 S 0 I 0 v i S 0 G[S 0 ] G i χ(g i ) = p G[S 0 ] σ i I j G[S 0 ] < p G[S 0 ] I j j {1,..., pq} j > 0 G[S j ] G\I j I j σ i i {1,..., q} σ i G i = G\v i v i S j v i S j G[S j ] G i \I j G i χ(g i \I j ) < p G[S j ] < p v i S j S j I 0 S j I j j {1,..., pq}\{j} G i = G\v i σ i I j i i v i S j v i, v i I 0 v i S j G[S j ] G i = G\v i G i I j S j < p i = i I j I j σ i S j I j S j I j = G[S j ] G\I j I j G\{v i } I j I j p 2 G\I j I j p 1 χ(s j ) < p S 0 S 1 S 2 S 3 S 4 I I I I I X Y Z X Y C 5 X, Y Z n(g) = 5 > 2 2 = α(g) ω(g) V (G) = {v 1,..., v n } (pq + 1) n X = [x i,h ] (i,h) [pq+1] [n] x i,h = 1 v h I i X I i, i = {0,..., pq} n (pq + 1) Y = [y h,j ] (h,j) [n] [pq+1] y h,j = 1 v h S j Y S j, j = {0,..., pq} S j I i i j i = j S j I i = 0 S j G\I j S j I j = S j I i = i j S j I i S j I i S j I i = 1 z i,j = x i,h y h,j = S i I j h {1,...,n} XY (pq + 1) (pq + 1) Z = [z i,j ] (i,j) [pq+1] 2 Z
107 0 X n X n X pq Z = XY pq XY X Y Z Z pq + 1 P = (S, <) S R S x, y R x < y y < x R S x, y R x y y x a a a b c b c b c d e f d e f d e f g h g h g h P P P = (S, <) G P G P = (S, {{x, y} x < y x > y}), S G P G P P G P P P = (S, <) S ρ P ρ P ρ P = (S, <) S = n P B U D U = S v S v D (v, u) S S v < u
108 a b c d e f g h G P P a R U a b c d e f g h b c B d e f R D g h a b c d e f g h B B R {a, c, f, h} {b, d} {e, g} d e f P B v U u D u D v U v D v v M B R B M = µ(b) = (B) = R = k R k S n k S P F P S F = E M {v, u } E A F v A u A F u A v F [v, u] E E\{{v, u }} E = F
109 n k U M M F = n k ρ = n k P = (S, <) P (P) k F = {L 1,..., L k } S L i F P P = (S, <) P P F P ρ I ρ F P I F I = F F I P F I F = I I P = (S, <) S α(g P ) = (P) P G P α(g P ) P P P = (S, <) S (P) = χ(g P ) P G P F P ρ V (G P ) ρ G χ(g) ρ P (P) = χ(g P ) a a b c b c d e f d e f g h g h G P P G P G P G P
110 G n χ(g) ω(g) χ(g) ω(g) P = (V (G), <) G G = G P χ(g) = χ(g P ) = (P) = α(g P ) = α(g) = ω(g) {ω(h) 1 G H H } (G) {ω(h) G H H } G H G
111 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 G G W = [v 0,..., v r 1, v 0 ] G W = [v 1,..., v r, v 1 ] e E(G) {i {v i, v i+1 r } = e} = 1.
112 G C = [v 0,..., v r 1, v 0 ] v G I {0,..., r 1} v = v i I = {i {0,..., r 1} v = v i } i I v = v i {v i 1 r, v i } {v i, v i+1 r } I C (v) = 2 I v ρ(g) = v V (G) ((v) 2). ρ(g) = 0 G G ρ(g) ρ(g) > 0 v 4 G v G {x, v} {y, v} v G w x y v G G G G (v) = G (v) 2 G G G w G v ρ(g ) < ρ(g) G G G G W = [v 0,..., v r 1 ] G
113 C A B D A B C D G G v 0 v r 1 G G G v 0 v r 1 G G G G G
114 G G G G G G I = {1,..., k} I 1, I 2 I I 1 + I 2 k + 2 i I 1 i + 1 I 2 j I 2 j + 1 I 1 G n(g) G x y G (x) + G (y) n(g) 2 < n(g) G P = [v 1,..., v r ] G r n(g) G P {v 1, v r } E(G) v 1 v r N G (v 1 ), N G (v 2 ) {v 2,..., v r 1 } N G (v 1 ) N G (v 2 ) r 2 n(g) 2 N G (v 1 ) + N G (v r ) n(g) i {2,..., r 2} v i N G (v r ) v i+1 N G (v 1 ) G C = [v 0, v i+1, v i+2,..., v r, v i, v i 1,..., v 0 ]
115 G r < n G w G C v C G w v C r + 1 P n(g)/2 G α(g) κ(g) C G G u V (G)\V (C) V (C) κ(g) V (C) < κ(g) x x C κ(g) G x x e = {x, x } V (C)\{x, x } < κ(g) 2 P V (C)\{x, x } P (C\e) r r κ(g) G + G v C V (C) κ(g) κ(g + ) κ(g) v u G + κ(g) v u G + (u, S) G S V (C) S κ(g) S u V (C)\S x S x C S C\{x, x } P 1 P 2 P 1, P 2 u x x C I V (C) S I G x, y I e C\{{x, x }, {y, y }} (e, {e}) P x P y x y x y P x P y u x y I V (C)\S u V (C)\S {u} I G κ(g) + 1 α(g) > κ(g)
116
117 n
118 k 3
119 n(g) G m(g) G N G (S) S G K r r K 1,r r P r r C r r Q r r (G) G G G L(G) G G H G H G H G H G H G H G + H G H G H G H k G k G G [k] k G
120 G (k) k G G H G H E G (v) V (E) G\S G v E E(G) S V (G) G G\v v V (G) G G\E E E(G) G G\e e E(G) G G/v v V (G) G G/e e E(G) G υπ ϵν πα τπ ϵλ G[S] S V (G) G[E] E E(G) G (v) v G δ(g) G (G) G d(g) G ϵ(g) G δ (G) G G (x, y) x y G G (x) x G (G) G (G) G (G) G
121 (G) G (G) G (G) G (G) G (G) G κ(g) G κ G (x, y) x y W r r λ(g) G F (Γ) Γ
122
123
124 k
k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
(G) = 4 1 (G) = 3 (G) = 6 6 W G G C = {K 2,i i = 1, 2,...} (C[, 2]) (C[, 2]) {u 1, u 2, u 3 } {u 2, u 3, u 4 } {u 3, u 4, u 5 } {u 3, u 4, u 6 } G u v G (G) = 2 O 1 O 2, O 3, O 4, O 5, O 6, O 7 O 8, O
Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α
Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ
Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,
!"#!$% &' ( )*+*,% $ &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667
!"#!$% & &' ( )*+*,% $ -*(-$ -.*/% $- &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667 5051 & 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 9 508&:;&& 0000000000000000000000000000000000000000000000000
!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).
1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3
u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1)
u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1) u(x, y) =g(x, y) Γ=δΩ ={0, 1} {0, 1} Ω Ω Ω h Ω h h ˆ Ω ˆ u v = fv Ω u = f in Ω v V H 1 (Ω) V V h V h ψ 1,ψ 2,...,ψ N, ˆ ˆ u v = Ω Ω fv v V ˆ ˆ u v = Ω ˆ ˆ u ψ i = Ω Ω Ω
())*+,-./0-1+*)*2, *67()(,01-+4(-8 9 0:,*2./0 30 ;+-7 3* *),+*< 7+)0 3* (=24(-) 04(-() 18(4-3-) 3-2(>*+)(3-3*
! " # $ $ %&&' % $ $! " # ())*+,-./0-1+*)*2,-3-4050+*67()(,01-+4(-8 9 0:,*2./0 30 ;+-7 3* *),+*< 7+)0 3* *),+-30 *5 35(2(),+-./0 30 *,0+ 3* (=24(-) 04(-() 18(4-3-) 3-2(>*+)(3-3* *3*+-830-+-2?< +(*2,-30+
M p f(p, q) = (p + q) O(1)
l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM
Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913
Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ
Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.
3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3
ts s ts tr s t tr r n s s q t r t rs d n i : X n X n 1 r n 1 0 i n s t s 2 d n i dn+1 j = d n j dn+1 i+1 r 2 s s s s ts
r s r t r t t tr t t 2 t2 str t s s t2 s r PP rs t P r s r t r2 s r r s ts t 2 t2 str t s s s ts t2 t r2 r s ts r t t t2 s s r ss s q st r s t t s 2 r t t s t t st t t t 2 tr t s s s t r t s t s 2 s ts
(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X
X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω
J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ
Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit
rkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS TAMPRN YLIOPISTO D 2008 6 TAMPR 2009 TAMPRN YLIOPISTO TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS JULKAISUSARJA D VRKKOJULKAISUT D 2008 6, TOUKOKUU 2009
2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς. 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η. 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν. 5. Π ρ ό τ α σ η. 6.
Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α 1. Ε ι σ α γ ω γ ή 2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν 5. Π ρ ό τ α σ η 6. Τ ο γ ρ α φ ε ί ο 1. Ε ι σ α γ ω
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.
AC 1 = AB + BC + CC 1, DD 1 = AA 1. D 1 C 1 = 1 D 1 F = 1. AF = 1 a + b + ( ( (((
? / / / o/ / / / o/ / / / 1 1 1., D 1 1 1 D 1, E F 1 D 1. = a, D = b, 1 = c. a, b, c : #$ #$ #$ 1) 1 ; : 1)!" ) D 1 ; ) F ; = D, )!" D 1 = D + DD 1, % ) F = D + DD 1 + D 1 F, % 4) EF. 1 = 1, 1 = a + b
PoS(PSF07)002 !"# $%"&!'( &")(#""* "+#,'("# ! " #$% ! " #$ ! " ,,. 12!34 " ! " ! γ " " #$ % &'# ( #$ γ )* +, &'# &'# -. /$01#!
! #$%!#! #$ $%&!'(! #$% &(# &'(+,-,,. #$% +#%%+ &/0 12!34 #$% +#,'(#! #$%! #$ % &'# ( #$ +, &'# &'# -. /$01#! 2 #$ 5.60.780+ 2$ 9 2 #&'&# & 3 #$45.6 0 3 / : / : :;#:;< ' #5. 3 #$ 3 Γ# 5 / # 5 ( (# ρ( ρ(
η η η η GAR = 1 F RR η F RR F AR F AR F RR η F RR F AR µ µ µ µ µ µ Γ R N=mxn W T X x mean X W T x g W P x = W T (x g x mean ) X = X x mean P x = W T X d P x P i, i = 1, 2..., G M s t t
A A O B C C A A. A0 = A 45 A 1 = B Q Ak 2. Ak 1
! " " #$%&'(&) *+,-. /01 34 564784 37964 :4 ; ?@ 34 E156F57E1 GHE H567JF4 H5F:7H4 K06 LF37:4 M4N45F415 30 6PG34 0F EK0 F17JF4415 R465071 K6ES3P4 :4 E156F57E1 3M07:4 :4 4 4F3 7156F415 4 E15 6H9H3H 7KE7S34
(... )..!, ".. (! ) # - $ % % $ & % 2007
(! ), "! ( ) # $ % & % $ % 007 500 ' 67905:5394!33 : (! ) $, -, * +,'; ), -, *! ' - " #!, $ & % $ ( % %): /!, " ; - : - +', 007 5 ISBN 978-5-7596-0766-3 % % - $, $ &- % $ % %, * $ % - % % # $ $,, % % #-
C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
MÉTHODES ET EXERCICES
J.-M. MONIER I G. HABERER I C. LARDON MATHS PCSI PTSI MÉTHODES ET EXERCICES 4 e édition Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com
Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr. 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t. Łs t r t t Ø t q s
Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr st t t t Ø t q s ss P r s P 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t P r røs r Łs t r t t Ø t q s r Ø r t t r t q t rs tø
Το άτομο του Υδρογόνου
Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες
Q π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.
II 4»» «i p û»7'' s V -Ζ G -7 y 1 X s? ' (/) Ζ L. - =! i- Ζ ) Η f) " i L. Û - 1 1 Ι û ( - " - ' t - ' t/î " ι-8. Ι -. : wî ' j 1 Τ J en " il-' - - ö ê., t= ' -; '9 ',,, ) Τ '.,/,. - ϊζ L - (- - s.1 ai
! "# $"%%&$$'($)*#'*#&+$ ""$&#! "#, &,$-.$! "$-/+#0-, *# $-*/+,/+%!(#*#&1!/+# ##$+!%2&$*2$ 3 4 #' $+#!#!%0 -/+ *&
! "# $"%%&$$'($)*#'*#&+$ ""$&#! "#, &,$-.$! "$-/+#0-, *# $-*/+,/+%!(#*#&1!/+# ##$+!%2&$*2$ 3 4 #' $+#!#!%0 -/+ *& '*$$%!#*#&-!5!&,-/+#$!&- &"/ "$,&/#!6$7,&78 "$% &$&'#-/+#!5*% 3 +!$ 9 &$*,2"%& #$- 3 '*$%#
5 Ι ^ο 3 X X X. go > 'α. ο. o f Ο > = S 3. > 3 w»a. *= < ^> ^ o,2 l g f ^ 2-3 ο. χ χ. > ω. m > ο ο ο - * * ^r 2 =>^ 3^ =5 b Ο? UJ. > ο ο.
728!. -θ-cr " -;. '. UW -,2 =*- Os Os rsi Tf co co Os r4 Ι. C Ι m. Ι? U Ι. Ι os ν ) ϋ. Q- o,2 l g f 2-2 CT= ν**? 1? «δ - * * 5 Ι -ΐ j s a* " 'g cn" w *" " 1 cog 'S=o " 1= 2 5 ν s/ O / 0Q Ε!θ Ρ h o."o.
m i N 1 F i = j i F ij + F x
N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,
l 1 p r i = ρ ij α j + w i j=1 ρ ij λ α j j p w i p α j = 1, α j 0, j = 1,..., p j=1 R B B B m j [ρ 1j, ρ 2j,..., ρ Bj ] T = }{{} α + [,,..., ] R B p p α [α 1,..., α p ] [w 1,..., w p ] M m 1 m 2,
Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design
Supplemental Material for Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design By H. A. Murdoch and C.A. Schuh Miedema model RKM model ΔH mix ΔH seg ΔH
..., ISBN: :.!". # -. $, %, 1983 &"$ $ $. $, %, 1988 $ $. ## -. $, ', 1989 (( ). '. ') "!$!. $, %, 1991 $ 1. * $. $,.. +, 2001 $ 2. $. $,, 1992 # $!
!! " 007 : ISBN: # $! % :!" # - $ % 983 &"$ $ $ $ % 988 $ $ ## - $ ' 989 (( ) ' ') "!$! $ % 99 $ * $ $ + 00 $ $ $ 99!! " 007 -!" % $ 006 ---- $ 87 $ (( %( %(! $!$!" -!" $ $ %( * ( *!$ "!"!* "$!$ (!$! "
A Compilation of Iraqi Constitutions And Comparative Studies of International Human Rights Standards
A Compilation of Iraqi Constitutions And Comparative Studies of International Human Rights Standards Table of Contents Introduction (Arabic)... 1 Introduction (English)...396 Part One: Texts of the Constitutions
!"#!"!"# $ "# '()!* '+!*, -"*!" $ "#. /01 023 43 56789:3 4 ;8< = 7 >/? 44= 7 @ 90A 98BB8: ;4B0C BD :0 E D:84F3 B8: ;4BG H ;8
DC BOOKS. H-ml-c-n-s-b- -p-d-n- -v A-d-n-b-p-w-a-p-¼-v
BÀ. tdmj³ Xn-cp-h-\- -]p-cw kz-tz-in. 2004 ap-xâ [-\-Im-cy ]-{X-{]-hÀ- -\cw-k v. XpS- w Zo-]n-I- Zn-\- -{X- nâ. C-t mä am-xr-`q-an Zn-\- -{X- n-sâ {]-Xnhmc _n-kn\-kv t]pm-b "[-\-Im-cy-' n-sâbpw ssz-\w-zn-\
ϕ n n n n = 1,..., N n n {X I, Y I } {X r, Y r } (x c, y c ) q r = x a y a θ X r = [x r, y r, θ r ] X I = [x I, y I, θ I ] X I = R(θ)X r R(θ) R(θ) = cosθ sinθ 0 sinθ cosθ 0 0 0 1 Ẋ I = R(θ)Ẋr y r ẏa r
www.smarterglass.com 978 65 6190 sales@smarterglass.com &&$'()!"#$%$# !!"# "#$%&'! &"# $() &() (, -. #)/ 0-.#! 0(, 0-. #)/ 1!2#! 13#25 631% -. #)/ 013#7-8(,83%&)( 2 %! 1%!#!#2!9&8!,:!##!%%3#9&8!,:!#,#!%63
(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n
Z 6 D 3 G = {a, b, c,... } G a, b G a b = c c (a b) c = a (b c) e a e = e a = a a a 1 = a 1 a = e Q = {0, ±1, ±2,..., ±n,... } m, n m+n m + 0 = m m + ( m) = 0 Z N = {a n }, n = 1, 2... N N Z N = {1, ω,
E fficient computational tools for the statistical analysis of shape and asymmetryof 3D point sets
E fficient computational tools for the statistical analysis of shape and asymmetryof 3D point sets Benoît Combès To cite this version: Benoît Combès. E fficient computational tools for the statistical
rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â
rs r r â t át r st tíst P Ó P ã t r r r â ã t r r P Ó P r sã rs r s t à r çã rs r st tíst r q s t r r t çã r r st tíst r t r ú r s r ú r â rs r r â t át r çã rs r st tíst 1 r r 1 ss rt q çã st tr sã
r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t
r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs
γ n ϑ n n ψ T 8 Q 6 j, k, m, n, p, r, r t, x, y f m (x) (f(x)) m / a/b (f g)(x) = f(g(x)) n f f n I J α β I = α + βj N, Z, Q ϕ Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεύς Στοιχεῖα ἄκρος καὶ μέσος λόγος ὕδωρ αἰθήρ ϕ φ Φ τ
Mesh Parameterization: Theory and Practice
Mesh Parameterization: Theory and Practice Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer To cite this version: Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer. Mesh Parameterization: Theory and Practice. This document is
Για αραιά διαλύματα : x 1 0 : μ i = μ i 0 RTlnx i χ. όπου μ i φ =μ i 0 χ
Για ιδανικά διαλύματα : μ i = μ i lnx i x= γ=1 Για αραιά διαλύματα : x 1 : μ i = μ i lnx i χ μ i = μ i φ lnx i όπου μ i φ =μ i χ Χημική Ισορροπία λ Από σελ. 7 Χημική Ισορροπία όταν ν i μ i = (T,P σταθερό)
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =
χ(k n ) = n χ(c 5 ) = 3
Διάλεξη 20: 16.12.26 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιώτης Ρεπούσκος 20.1 Βασικές Ιδιότητες Θεώρημα 20.1 Για ένα πλέγμα Γ r r, ισχύει ότι bn(γ r r ) r + 1. Απόδειξη: Κατασκευάζουμε
Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.
Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα
ITU-R P (2012/02) &' (
ITU-R P.530-4 (0/0) $ % " "#! &' ( P ITU-R P. 530-4 ii.. (IPR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. ITU-T/ITU-R/ISO/IEC (http://www.itu.int/publ/r-rec/en ) () ( ) BO BR BS
Analysis of a discrete element method and coupling with a compressible fluid flow method
Analysis of a discrete element method and coupling with a compressible fluid flow method Laurent Monasse To cite this version: Laurent Monasse. Analysis of a discrete element method and coupling with a
ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ
ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα
l 0 l 2 l 1 l 1 l 1 l 2 l 2 l 1 l p λ λ µ R N l 2 R N l 2 2 = N x i l p p R N l p N p = ( x i p ) 1 p i=1 l 2 l p p = 2 l p l 1 R N l 1 i=1 x 2 i 1 = N x i i=1 l p p p R N l 0 0 = {i x i 0} R
Molekulare Ebene (biochemische Messungen) Zelluläre Ebene (Elektrophysiologie, Imaging-Verfahren) Netzwerk Ebene (Multielektrodensysteme) Areale (MRT, EEG...) Gene Neuronen Synaptische Kopplung kleine
.. ntsets ofa.. d ffeom.. orp ism.. na s.. m ooth.. man iod period I n open square. n t s e t s ofa \quad d ffeom \quad orp ism \quad na s \quad m o
G G - - -- - W - - - R S - q k RS ˆ W q q k M G W R S L [ RS - q k M S 4 R q k S [ RS [ M L ˆ L [M O S 4] L ˆ ˆ L ˆ [ M ˆ S 4 ] ˆ - O - ˆ q k ˆ RS q k q k M - j [ RS ] [ M - j - L ˆ ˆ ˆ O ˆ [ RS ] [ M
". / / / !/!// /!!"/ /! / 1 "&
! "#$ # % &! " '! ( $# ( )* +# ),,- ". / / /!"!0"!/!// /!!"/ /! / 1 "& 023!4 /"&/! 52! 4!4"444 4 "& (( 52! "444444!&/ /! 4. (( 52 " "&"& 4/444!/ 66 "4 / # 52 "&"& 444 "&/ 04 &. # 52! / 7/8 /4 # 52! "9/
Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη
!"! #!"!!$ #$! %!"&' & (%!' #!% #" *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2!
# $ #$ % (% # )*%%# )# )$ % # * *$ * #,##%#)#% *-. )#/###%. )#/.0 )#/.* $,)# )#/ * % $ % # %# )$ #,# # %# ## )$# 11 #2 #**##%% $#%34 5 # %## * 6 7(%#)%%%, #, # ## # *% #$# 8# )####, 7 9%%# 0 * #,, :;
Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013
Α Δ Ι Α - Φ 7 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου
Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.
T : g r i l l b a r t a s o s Α Γ Ί Α Σ Σ Ο Φ Ί Α Σ 3, Δ Ρ Α Μ Α. Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 0 1 : 0 0 π μ
Α Γ Ί Α Σ Σ Ο Φ Ί Α Σ 3, Δ Ρ Α Μ Α g r i l l b a r t a s o s Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 1 : 0 π μ Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 0 1 : 0 0 π μ T ortiyas Σ ο υ
ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.
1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα
a,b a f a = , , r = = r = T
!" #$%" &' &$%( % ) *+, -./01/ 234 5 0462. 4-7 8 74-9:;:; < =>?@ABC>D E E F GF F H I E JKI L H F I F HMN E O HPQH I RE F S TH FH I U Q E VF E WXY=Z M [ PQ \ TE K JMEPQ EEH I VF F E F GF ]EEI FHPQ HI E
2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1. 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4
Παράδειγμα 2x 1 +2x 2 +0x 3 +6x 4 = 8 2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4 Επαυξημένος πίνακας: 2 2 0 6 8 2 1 1 1 1 Ã = 3 1 1 2 3 1 2 6 1 4 Γενικό σύστημα a 11 x 1 +a
Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη
τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)
ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Σχέση κβαντικών αριθµών µε στιβάδες υποστιβάδες - τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n,
χ (1) χ (3) χ (1) χ (3) L x, L y, L z ( ) ħ2 2 2m x + 2 2 y + 2 ψ (x, y, z) = E 2 z 2 x,y,z ψ (x, y, z) E x,y,z E x E y E z ħ2 2m 2 x 2ψ (x) = E xψ (x) ħ2 2m 2 y 2ψ (y) = E yψ (y) ħ2 2m 2 z 2ψ (z)
3607 Ν. 7.28/88. E.E., Παρ. I, Αρ. 2371,
E.E., Παρ. I, Αρ. 271, 16.12. 607 Ν. 7.2/ περί Συμπληρματικύ Πρϋπλγισμύ Νόμς (Αρ. 5) τυ 19 εκδίδεται με δημσίευση στην επίσημη εφημερίδα της Κυπριακής Δημκρατίας σύμφνα με τ Άρθρ 52 τυ Συντάγματς- - Αριθμός
Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη
Υδροδυναμική. Περιγραφή της ροής Μορφές ροών Είδη ροών Εξίσωση συνέχειας Εξίσωση ενέργειας Bernoulli
Υδροδυναμική Περιγραφή της ροής Μορφές ροών Είδη ροών Εξίσωση συνέχειας Εξίσωση ενέργειας Bernoulli Υδροδυναμική - γενικά Ρευστά σε κίνηση Τμήματα με διαφορετικές ταχύτητες και επιταχύνσεις Αλλαγή μορφής
%78 (!*+$&%,+$&*+$&%,-. /0$12*343556
! %78 ( 9 :: "#$% $&'"(" )!*$&%,$&*$&%,-. /$*343556 $ $& %$&.;$& $(# $"*("$# $ "$?, !* $&,#$"&::> $&( &$#, #$&# $"#&"& @($&%%>A!" #$ % µ & ' (#$ )! ) * ' "!)!,-./.' ) " $ &
!"#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. )!#)! ##%' " (&! #!$"/001
!"#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. ') '#*#(& )!#)! ##%' " (&! #!$"/001 ')!' &'# 2' '#)!( 3(&/004&' 5#(& /006 # '#)! 7!+8 8 8 #'%# ( #'## +,-'!$%(' & ('##$%('9&#' & ('##$%('9')
ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ x x x y y x y?? Ευριπίδης Μάρκου Ευάγγελος Κρανάκης Άρης Παγουρτζής Ντάννυ Κριζάνκ ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΜΑΡΚΟΥ Τµήµα Πληροφορικής µε Εφαρµογές στη Βιοϊατρική Πανεπιστήµιο
Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033
Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische
10 20 X i a i (i, j) a ij (i, j, k) X x ijk j :j i i: R I J R K L IK JL a 11 a 12... a 1J a 21 a 22... a 2J = a I1 a I2... a IJ = [ 1 1 1 2 1 3... J L 1 J L ] R I K R J K IJ K = [ 1 1 2 2... K
!! "#$%& ! " # $ &%"+,(-. (# / 0 1%23%(2443
"#$& " # $ & ' &( &)* &"# &"+,(-. (# / 0 123(2443 2443 56 1 7 & '()(()(*+( ),)(-.(/)((,),24420 8.94: -; :53&:54::549 '()((0)(#'(1)(' ( )(-.(/)((,),24460..94: < * 94&5=>6 '()( 2( )(3(1)((0)('.( )4)((,)
! " #! $ % & $ ' ( % & # ) * +, - ) % $!. /. $! $
[ ] # $ %&$'( %&#) *+,-) %$./.$ $ .$0)(0 1 $( $0 $2 3. 45 6# 27 ) $ # * (.8 %$35 %$'( 9)$- %0)-$) %& ( ),)-)) $)# *) ) ) * $ $ $ %$&) 9 ) )-) %&:: *;$ $$)-) $( $ 0,$# #)$.$0#$ $8 $8 $8 $8,:,:,:,: :: ::
'( )*(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( +
! " # $ %&&' '( )*(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( + %( ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((('& %('(,,
a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
1487 Ν. 151/86. Αριθμός 151 του 1986 ΝΟΜΟΣ ΤΡΟΠΟΠΟΙΩΝ ΤΟΥΣ ΠΕΡΙ ΤΕΛΩΝΕΙΑΚΩΝ ΔΑΣΜΩΝ ΚΑΙ ΦΟΡΩΝ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΕΩΣ ΝΟΜΟΥΣ ΤΟΥ 1978 ΕΩΣ 1985
E.E., Παρ. I, Αρ. 214, 24.10.6 147 Ν. 151/6 περί Τελνειακών Δασμών και Φόρν Καταναλώσες (Τρππιητικός) Νόμς τυ 196 εκδίδεται με δημσίευση στην επίσημη εφημερίδα της Κυπριακής Δημκρατίας σύμφνα με τ Άρθρ
f H f H ψ n( x) α = 0.01 n( x) α = 1 n( x) α = 3 n( x) α = 10 n( x) α = 30 ū i ( x) α = 1 ū i ( x) α = 3 ū i ( x) α = 10 ū i ( x) α = 30 δū ij ( x) α = 1 δū ij ( x) α = 3 δū ij ( x) α = 10 δū ij ( x)
Comptage asymptotique et algorithmique d extensions cubiques relatives
Comptage asymptotique et algorithmique d extensions cubiques relatives Anna Morra To cite this version: Anna Morra. Comptage asymptotique et algorithmique d extensions cubiques relatives. Mathématiques
1951 {0, 1} N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x
κ α ι θ έ λ ω ν α μ ά θ ω...
{ ( a -r ν ρ ι -Μ Π ώτ 1 Γ '- fj T O O J CL κ α ι θ έ λ ω ν α μ ά θ ω < US η ixj* ί -CL* λ ^ t A u t\ * < τ : ; Γ ν c\ ) *) «*! «>» Μ I Λ 1,ν t f «****! ( y \ \, 0 0 # Περικλή_ Χαντζόπουλο κ α ι θ έ λ
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 7 ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΣ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Εισαγωγή Χρωματισμός κορυφών-ακμών-περιοχών. Χρωματική τάξη (color class):
!"! # $ %"" & ' ( ! " # '' # $ # # " %( *++*
!"! # $ %"" & ' (! " # $% & %) '' # $ # # '# " %( *++* #'' # $,-"*++* )' )'' # $ (./ 0 ( 1'(+* *++* * ) *+',-.- * / 0 1 - *+- '!*/ 2 0 -+3!'-!*&-'-4' "/ 5 2, %0334)%3/533%43.15.%4 %%3 6!" #" $" % & &'"
apj1 SSGA* hapla P6 _1G hao1 1Lh_PSu AL..AhAo1 *PJ"AL hp_a*a
n n 1/2 n (n 1) 0/1 l 2 E x X X x X E x X g(x) := 1 g(x). X f : X C L p f p := (E x X f(x) p ) 1/p f,g := E x X f(x)g(x) x X X X X := {f : X [0, ) : f 1 =1}. X µ A A X x X µ A (x) :=α 1 1 A (x) 1 A A α
/&25*+* 24.&6,2(2**02)' 24
!! "#$ % (33 &' ())**,"-.&/(,01.2(*(33*( ( &,.*(33*( ( 2&/((,*(33*( 24 /&25** 24.&6,2(2**02)' 24 " 0 " ( 78,' 4 (33 72"08 " 2/((,02..2(& (902)' 4 #% 7' 2"8(7 39$:80(& 2/((,* (33; (* 3: &
ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Ελευθερίου Β. Χρυσούλα. Επιβλέπων: Νικόλαος Καραμπετάκης Καθηγητής Α.Π.Θ.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ Αναγνώριση συστημάτων με δεδομένη συνεχή και κρουστική συμπεριφορά
f(w) f(z) = C f(z) = z z + h z h = h h h 0,h C f(z + h) f(z)
Ω f: Ω C l C z Ω f f(w) f(z) z a w z = h 0,h C f(z + h) f(z) h = l. z f l = f (z) Ω f Ω f Ω H(Ω) n N C f(z) = z n h h 0 h z + h z h = h h C f(z) = z f (z) = f( z) f f: Ω C Ω = { z; z Ω} z, a Ω f (z) f
V r,k j F k m N k+1 N k N k+1 H j n = 7 n = 16 Ṽ r ñ,ñ j Ṽ Ṽ j x / Ṽ W 2r V r D N T T 2r 2r N k F k N 2r Ω R 2 n Ω I n = { N: n} n N R 2 x R 2, I n Ω R 2 u R 2, I n x k+1 = x k + u k, u, x R 2,
ПРАВИЛА О РАДУ ДИСТРИБУТИВНОГ СИСТЕМА
ПРАВИЛА О РАДУ ДИСТРИБУТИВНОГ СИСТЕМА Верзија 1.0 децембар 2009. године На основу члана 107. Закона о енергетици (''Службени гласник Републике Србије'' број 84/04) и чл. 32. ст. 1. т. 9. Одлуке о измени
γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000
Formulas of Agrawal s Fiber-Optic Communication Systems NA n 2 ; n n. NA( )=n1 a
Formula o grawal Fiber-Oti Communiation Sytem Chater (ntroution) 8 / max m M / E nh N h M m 4 6.66. J e 9.6 / m log /mw SN / / /, NZ SN log / Z max N E Chater (Otial Fiber) Setion - (Geometrial Oti erition)
!"#$ "%&$ ##%&%'()) *..$ /. 0-1$ )$.'-
!!" !"# "%& ##%&%',-... /. -1.'- -13-',,'- '-...4 %. -5"'-1.... /..'-1.....-"..'-1.. 78::8
Dissertation Title: The Genealogy of the Seleucids: Seleucid Marriage, Succession, and Descent Revisited
College of Humanities and Social Science Graduate School of History, Classics and Archaeology Masters Programme Dissertation Dissertation Title: The Genealogy of the Seleucids: Seleucid Marriage, Succession,
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι
a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
! "#" "" $ "%& ' %$(%& % &'(!!")!*!&+ ,! %$( - .$'!"
! "#" "" $ "%& ' %$(%&!"#$ % &'(!!")!*!&+,! %$( -.$'!" /01&$23& &4+ $$ /$ & & / ( #(&4&4!"#$ %40 &'(!"!!&+ 5,! %$( - &$ $$$".$'!" 4(02&$ 4 067 4 $$*&(089 - (0:;
'#( ) : /..,..,..!.; , ISBN *, +, /, , 2 1+,,, : 7.
- 003 :! " #!! $%!& '#( 638 ) : /! ; - - 003-08 ISBN 5-30-0600-0 * + - 0000-5000 / 0 0 ( 3 + 8 33 4 : 7 * 3+ -- - : - - - - 3 - ; (! ( ) ISBN 5-30-0600-0 - 003 + - 0000-5000 / 0 ( 3 + 0 + - - - 0 - - +