2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ Β.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 97.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες 8 6 y Μ(x,y) ρ Ο ω x 1 Σ ε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων παίρνουμε ένα σημείο Μ στο 1 ο ή στο ο τεταρτημόριο ονομάζουμε ρ την απόσταση του σημείου Μ ( x, y ) από την αρχή των αξόνων οπότε ισχύει ρ x + y ή ρ x + y. Aν διαιρέσουμε και τα δύο μέλη με το ρ, τότε έχουμε ρ ρ x y x y + ή + 1 ρ ρ ρ ρ Επειδή ημω ρ y και συνω ρ x, η σχέση (1) γίνεται (συνω) + (ημω) 1 ή ημ ω + συν ω 1. Άρα για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει ημ ω + συν ω 1 Αν διαιρέσουμε κατά μέλη τις σχέσεις ημω ρ y και συνω ρ x, με την προϋπόθεση ότι συνω, έχουμε y ημω ρ ημω yρ ημω y ή ή εφω συνω x συνω xρ συνω x ρ Άρα για οποιαδήποτε γωνία ω με συνω ισχύει ημω εφω συνω (1)

2 98 ΜΕΡΟΣ Β.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες α) Aν ημ ω 3, τότε συν ω. β) Αν συν ω, τότε δεν ορίζεται η εφω. γ) Για κάθε γωνία ω ισχύει ημ ω συν ω 1. δ ) Aν ημω 13 και 1 συν ω, τότε εφω ΑΠΑΝΤΗΣΗ 3 α) ημ ω + συν ω 1ή συν ω 1 ημ ω 1,άρα είναι σωστή (Σ) ημω β) Είναι εφω επομένως αν ο παρονομαστής είναι μηδέν δεν έχει συνω νόημα το κλάσμα, άρα είναι σωστή (Σ). γ) Είναι ημ ω + συν ω 1ή ημ ω 1 συν ω, άρα είναι λάθος (Λ). ημω δ)είναι εφω 13, άρα είναι σωστή (Σ). συνω Ο Στέφανος ισχυρίζεται ότι δεν υπάρχει γωνία ω, τέτοια ώστε ημω και συν ω. Έχει δίκιο ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ο Στέφανος έχει δίκιο, γιατί αν υπήρχε τέτοια γωνία ω τότε το άθροισμα :ημ ω + συν ω + το οποίο είναι λάθος αφού για κάθε γωνία ω ισχύει πάντοτε : ημ ω + συν ω 1 3. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις. α) Αν ημω 1, τότε συνω β) Αν ημω, τότε συνω ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Αν ημω 1, τότε συν ω β) Αν ημω, τότε συν ω 1 ή -1 Στο συμπέρασμα για κάθε μία από τις περιπτώσεις αυτές καταλήγουμε επειδή πρέπει πάντα να είναι : ημ ω + συν ω 1

3 ΜΕΡΟΣ Β.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 99. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.αν ημω 3,τότε συν ω είναι ίσο με α) ΑΠΑΝΤΗΣΗ β) γ) ή δ) 3 Αφού ημω τότε θα έχουμε ή συνω ή συνω. ή Στην απάντηση αυτή καταλήγουμε γιατί πρέπει ημ ω + συν ω 1,οπότε αντικαθιστώντας το ημω του οποίου γνωρίζουμε την τιμή έχουμε : 3 +συν 9 ω 1 ή + συν ω 1 ή συν ω 1 συνω ±,δηλαδή το δ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ , οπότε πρέπει Αν για την οξεία γωνία ω ισχύει ημω 13, τότε να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. Αφού η γωνία ω είναι οξεία οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της είναι θετικοί αριθμοί.από την σχέση ημ ω + συν ω 1 μετά την αντικατάσταση του ημω, έχουμε : +συν ω 1 ή + συν ω 1 ή συν ω1 ή συνω ημω Τέλος εφω 13 συνω ΑΣΚΗΣΗ Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει συνω 3 1, τότε να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

4 ΜΕΡΟΣ Β.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Αφού η γωνία είναι αμβλεία θετικός αριθμός είναι μόνο το ημίτονο της γωνίας αυτής οπότε αντικαθιστώντας στην σχέση ημ ω + συν ω 1 το συνω 3 1, έχουμε : ημ 1 ω + 1 ή ημ 1 ω + 1 ή ημ ω ημω ημω Τέλος εφω 3 συνω 1 3 ΑΣΚΗΣΗ 3 1 8, επομένως 9 9 Αν για την οξεία γωνία ω ισχύει εφω 3, τότε να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. ημω 3 Γνωρίζουμε ότι εφω,επομένως επειδή εφω συμπεραί- συνω ημω 3 νουμε ότι ή 3 συνω ημω ή συνω ημω, σχέση (1) συνω 3 Αντικαθιστώντας τώρα το συνω όπως αυτό δίνεται από την σχέση (1) στην ημ ω + συν ω 1 έχουμε : ημ ω +( 3 ημω) 1 ή ημ 16 ω + ημ 9 ω 1 ή ημ 16 ω + ημ ω 1 ή ημ ω 1 ή ημ 9 ω Επειδή η γωνία ω είναι οξεία το ημω είναι θετικός α- ριθμός, οπότε έχουμε ημω 3 Τέλος βρίσκουμε ότι συνω 3 3

5 ΜΕΡΟΣ Β.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 1 ΑΣΚΗΣΗ Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει ημω, τότε να υπολογίσετε την παράσταση Α 3 1 ημω + 3 συνω 1 1 εφω. Αρχικά θα υπολογίσουμε το συνω και την εφω.είναι ημ ω + συν ω 1 ή +συν 16 ω 1 ή +συν ω 1ή συν ω 1. Επειδή η γωνία ω είναι αμβλεία το συνω είναι αρνητικός αριθμός, άρα 3 ημω συνω και εφω. Αντικαθιστώντας στην συνέχεια στην παράσταση Α τις τιμές των τριγωνομετρικών αριθμών όπως αυ- συνω 3 3 τές υπολογίσθηκαν παραπάνω έχουμε : Α ΑΣΚΗΣΗ α) ημ 3 ω + ημω συν ω ημω β) συν ω συν ω ημ ω συν ω α) ημ 3 ω + ημω συν ω ημω(ημ ω + συν ω) (ημω) 1 ημω β) συν ω συν ω συν ω(1 συν ω ) συν ω ημ ω ΑΣΚΗΣΗ 6 α) Ξεκινάμε από το πρώτο μέλος της δοσμένης ισότητας και βγάζουμε κοινό παράγοντα το ημω ισχύει ημ ω +συν ω 1 β) Ξεκινάμε από το πρώτο μέλος της δοσμένης ισότητας και βγάζουμε κοινό παράγοντα το συν ω και αντικαθιστούμε το 1 συν ω με την ημ ω Αν είναι x 3 συνω και y 3 ημω, τότε να αποδείξετε ότι α) x συν ω +yημω 3 β) x + y 9 α) xσυνω +y ημω α) Ξεκινάμε από το πρώτο μέλος της δοσμένης

6 ΜΕΡΟΣ Β.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 3συνω συνω + 3 ημω ημω 3συν ω +3ημ ω 3(συν ω + ημ ω) β) x + y (3 συνω) +(3 ημω) 9συν ω +9ημ ω 9(συν ω + ημ ω) Άρα : x + y 9 ΑΣΚΗΣΗ 7 ισότητας και αντικαθιστούμε τις τιμές των x και y.κατόπιν κάνουμε τις πράξεις. Βγάζουμε κοινό παράγοντα το 3. ισχύει ημ ω +συν ω 1 β) ) Ξεκινάμε από το πρώτο μέλος της δοσμένης ισότητας και αντικαθιστούμε τις τιμές των x και y.κατόπιν κάνουμε τις πράξεις. Βγάζουμε κοινό παράγοντα το 9. ισχύει ημ ω +συν ω 1 α) συν α ημ α συν α 1 β) ημ α συν β+ημ α ημ β+ συν α 1 α) συν α ημ α συν α +συν α 1 συν α 1 β) ημ α συν β+ημ α ημ β+συν α ημ α(συν β + ημ β) + συν α ημ α + συν α 1 άρα έχουμε ημ α συν β+ημ αημ β+συν α 1 ( αημω + βσυνω) + ( βημω ασυνω) α) Ξεκινάμε από το πρώτο μέλος της δοσμένης ισότητας και επειδή : ημ ω +συν ω 1 είναι και συν ω 1 ημ ω αντικαθιστούμε στην σχέση το ημ ω κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων β) Ξεκινάμε από το πρώτο μέλος της δοσμένης ισότητας και επειδή : ημ β +συν β 1 αντικαθιστούμε την ποσότητα μέσα στην παρένθεση με 1. α) Ξεκινάμε από το πρώτο μέλος της δοσμένης ισότητας κάνουμε τις πράξεις εφαρμόζοντας τις ταυτότητες κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων και επειδή : ημ β +συν β 1 αντικαθι- ΑΣΚΗΣΗ 8 α) ( ημω + συνω) + ( ημω συνω) β) ( αημω + βσυνω) + ( βημω ασυνω) α + β α) ( ημω + συνω) + ( ημω συνω) ημ ω + συν ω +(ημω)(συνω) + ημ ω + συν ω (ημω)(συνω) ημ ω + συν ω (ημ ω + συν στούμε ω) 1 β) α ημ ω + β συν ω + αβ(ημω)(συνω) + +β ημ ω + α συν ω αβ(ημω)(συνω) (α ημ ω + α συν ω) + (β ημ ω +β συν ω) α (ημ ω+συν ω)+β (ημ ω+συν ω)α + β την ποσότητα μέσα στην παρένθεση με 1. β) Ξεκινάμε από το πρώτο μέλος της δοσμένης ισότητας κάνουμε τις πράξεις εφαρμόζοντας τις ταυτότητες κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων και επειδή : ημ β +συν β 1 αντικαθιστούμε την ποσότητα μέσα στην παρένθεση με 1.

7 ΜΕΡΟΣ Β.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 3 ΑΣΚΗΣΗ 9 α) συν xεφ x +συν x 1 β) 1 +εφ 1 x συν α) συν x εφ x + συν x συν ημx x + συν x συνx συν ημ x x + συν x συν x ημ x + συν x 1 β) 1 + εφ x ημx ημ x συνx συν x συν x ημ x + συν x συν x συν x + ημ x 1 συν x συν x ΑΣΚΗΣΗ 1 συν x α) 1 ημx β) εφx + 1+ ημx x ημx α) Αντικαθιστούμε την εφx με εφ x συνx Κάνουμε τις πράξεις με την βοήθεια των ιδιοτήτων των δυνάμεων Κάνουμε τις απλοποιήσεις Εφαρμόζουμε την ταυτότητα ημ x +συν x 1 ημx β) Αντικαθιστούμε την εφx με εφ x συνx Κάνουμε τις πράξεις με την βοήθεια των ιδιοτήτων των δυνάμεων Προσθέτουμε τα κλάσματα. Εφαρμόζουμε την ταυτότητα ημ x +συν x 1 συνx 1+ ημx 1 συνx συν x 1- ημ x α) 1+ ημx 1+ ημx (1+ ημx)(1 ημx) 1+ ημx 1 ημx συνx β) εφx + 1+ ημx α) Επειδή : ημ x +συν x 1 είναι συν x 1 ημ x παραγοντοποιούμε την παράσταση : 1-ημ x (1+ημx)(1 ημx) και απλοποιούμε το κλάσμα ημx β) Αντικαθιστούμε την εφx με συνx Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα παρατηρώντας ότι το ΕΚΠ των παρονομαστών είναι :συνx( 1+ημx)

8 ΜΕΡΟΣ Β.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ ημx συνx + συνx 1+ ημx (1 + ημx) ημx συν x + (1+ ημx) συνx (1+ ημx)συνx ημx + ημ x + συν x (1+ ημx)συνx ημx (1+ ημx)συνx συνx ΑΣΚΗΣΗ 11 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις α) ημ ημ13 συν συν13 β) ημ 1 + ημ 11 +συν 166 +συν 66 α) ημ ημ13 συν συν13 ημ ημ συν ( συν ) ημ + συν 1 β) ημ 1 +ημ 11 +συν 166 +συν 66 ημ 1 +ημ 66 +( συν1 ) +συν 66 ημ 1 +ημ 66 +συν 1 +συν 66 (ημ 1 +συν 1 )+(ημ 66 +συν 66 ) 1+1 ΑΣΚΗΣΗ 1 α) εφ7 συν7 εφ11 συν11 β) εφ συν + συν 1 1 Εκτελούμε τις πράξεις Αντικαθιστούμε την παράσταση ημ x + συν x με μονάδα απλοποιούμε το κλάσμα α) Αντικαθιστούμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 13 με τους α- ντίστοιχους αριθμούς της παραπληρωματικής γωνίας β) Αντικαθιστούμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 11 και 166 με τους αντίστοιχους αριθμούς των παραπληρωματικών τους γωνιών α) εφ7 συν7 εφ11 συν11 ημ7.συν7 ημ11.συν11 συν7 συν11 ημ7 ημ11 ημ7 ημ7 β) εφ συν + συν 1 α) Αντικαθιστούμε την εφ7 και την εφ11 Κάνουμε τις σχετικές απλοποιήσεις είναι ημ11 ημ7 επειδή οι γωνίες 11 και 7 είναι παραπληρωματικές β) Αντικαθιστούμε την εφ με

9 ΜΕΡΟΣ Β.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ ημ συν συν +( συν ) ημ συν συν +συν ημ + συν 1 ημ καθώς συν και το συν1 με συν της παραπληρωματική γωνίας. ΑΣΚΗΣΗ 13 Αν είναι α 3 και β 6, τότε να αποδείξετε ότι: ημ x ημ α ημβ + συν x συνα συνβ 3. Επειδή :ημα ημ3 1, συνα συν3 3, ημ6 3,συν6 1, αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στην δοσμένη παράσταση έχουμε : ημ x ημα ημβ+ συν x συνα συνβημ 1 3 x +συν 3 1 x 3 (ημ x +συν x) ΑΣΚΗΣΗ 1 3. Μαθηματικό αίνιγμα Είναι γωνία, όχι οξεία, ημίτονο έχει τον αριθμό τον αριθμό λ. Ποια γωνία είναι ; λ + λ + 1 και συνημίτονο έχει λ + Εάν συμβολίσουμε ω την ζητούμενη γωνία, τότε επειδή ημ ω+συν ω λ + 1 λ 1 και ημω, συνω προκύπτει η σχέση : λ + λ + λ + 1 λ + 1 ή λ + λ + (λ + 1) λ + 1 ή (λ + ) (λ + ) Υψώνουμε τους όρους κάθε κλάσματος στο τετράγωνο Κάνουμε τις σχετικές πράξεις Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών παρατηρώντας ότι το ΕΚΠ είναι το (λ+).

10 6 ΜΕΡΟΣ Β.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ (λ +1) + λ (λ + ) 1 ή (λ+) (λ +1) + λ 1(λ+) (λ + ) ή λ + λ + 1 +λ λ + λ + ή λ + λ + 1 +λ λ λ ή απλοποιούμε τους παρονομαστές. λ λ 3.Επιλύουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση Είναι α 1,β,γ 3 και Δ ( ) 1 ( 3) (-) ± 16 ± + 6.Επομένως έχουμε : λ,οπότε λ 3 ή λ -1 Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις : ) Εάν λ 3 τότε ημω και συνω. Η περίπτωση όμως αυτή απορρίπτεται γιατί η γωνία ω είναι αμβλεία οπότε το συνω < )Εάν λ 1 τότε ημω και συνω -1. Από τις σχέσεις αυτές προκύπτει ότι ω 18.

11 ΜΕΡΟΣ Β.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 7 ΘΕΜΑ 1 Ο 1 ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ.-.3 α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες. i. ημ1 ημ16 ii. iii. iv. ημ13 συν 1 εφ7 ημ συν8 εφ11 ( μονάδες) β) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών 1, 1 και 13. (3 μονάδες) ΘΕΜΑ Ο Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της οξείας γωνίας ω, αν ημω. ΘΕΜΑ 3 Ο ημα 1+ συνα 1 συνα ημα (6 μονάδες)

12 8 ΜΕΡΟΣ Β.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 1 ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ.-.3 ΘΕΜΑ 1 Ο α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες. i. συν ω 1 ημ ω ii. συνω εφω ημω iii. αν συνω, τότε ημω 1 iv. 1 συν ω 1+ εφ ω ( μονάδες) β) ημ1 ημ, συν13 - συν και εφ1 -εφ8 (3 μονάδες) ΘΕΜΑ Ο Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της οξείας γωνίας ω, αν ημω. 13 ΘΕΜΑ 3 Ο 1 + εφ α συν α 1 (6 μονάδες)