Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ"

Transcript

1 1 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στα Μαθηματικά Τάξη Γ

2 ΘΕΜΑ 1 0 Η εξίσωση αχ + βχ +γ = 0 είναι βαθμού εξίσωση και λύνεται χρησιμοποιώντας τους τύπους Δ =.. χ 1 =. χ =.. Η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης χ + 4χ 3 = 0 είναι α. 8 β. 4 γ. 0 δ ε. 0 ΘΕΜΑ 0 Με την βοήθεια καταλλήλου σχήματος να αποδείξετε την ισότητα: ημ ω + συν ω = 1 a. Να απλοποιηθεί η κλασματική παράσταση Α = x 3 + 5x + 4x 3 x 16x b. Να λυθεί η εξίσωση Α = Άσκηση η Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης Β = 3χ ( χ -1) ( χ) (χ +)(3 χ) για χ = Δύο ακέραιοι αριθμοί έχουν γινόμενο.αν στο διπλάσιο του πρώτου προσθέσουμε τον δεύτερο βρίσκουμε 5. Να βρείτε τους δύο αριθμούς.

3 3 a. Τι ονομάζεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; b. Ποια μονώνυμα λέγονται όμοια και πως βρίσκεται το άθροισμα τους; c. πως ορίζεται το γινόμενο μονωνύμων; Θέμα ο a. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας ω, ( όπου 0 ω 360 ). b. Ποια είναι τα πρόσημα των: ημ50, εφ130, συν310, ημ80. c. Να αποδειχθεί ότι: εφω = ημω συνω. Να γίνουν οι πράξεις και οι απλοποιήσεις : Άσκηση η χ 4 χ + 1 χ + 3χ + : χ χ χ Να λυθεί η εξίσωση: (χ 1) (χ ) 3 + χ = (χ + 1) χ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ = ΑΓ), είναι Δ και Ε τα μέσα των ίσων πλευρών και Μ το μέσο της βάσης ΒΓ, να αποδείξετε ότι: a. Τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΕΜ είναι ίσα b. Το τετράπλευρο ΑΔΜΕ είναι ρόμβος ( Δηλαδή. είναι παραλληλόγραμμο με ίσες πλευρές μεταξύ τους)

4 4 a. Nα διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή και την πρόταση που προκύπτει από το θεώρημα αυτό για ένα τρίγωνο. b. Πότε δύο τρίγωνα είναι όμοια; c. Στα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ είναι : ΒΓ = ΜΛ, Α = Κ, Β = Λ Τα τρίγωνα είναι ίσα; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Θέμα ο a. Να συμπληρώσετε τις ισότητες (α + β ) ( β α ) = α + β αβ = (β α) 3 = b. Τι ονομάζεται μονώνυμο και τι πολυώνυμο ; c. Αν το άθροισμα τριών μονώνυμων είναι μονώνυμο. Τι συμπεραίνετε για τα τρία μονώνυμα; Να λύσετε το σύστημα: Άσκηση η χ + 1 ψ + ( χ + 1) χ = χ 1 3χ + ψ 11+ χ = Στο διπλανό ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ = ΑΓ) Είναι ΒΔ = ΓΕ. Να δείξετε ότι: a. Το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές b. Οι αποστάσεις των Β και Γ από τις ΑΔ και ΑΕ αντίστοιχα είναι ίσες. Να λύσετε την εξίσωση: χ + χ 1 3χ = 0 χ χ χ 1 χ

5 5 a. Συμπληρώστε τις παρακάτω ταυτότητες: (α β) =... (α β) 3 =.. (α + β) = (α + β) 3 = b. Να αποδείξετε τις δύο πρώτες: (α β) =. (α β) 3 =.... Θέμα ο Δίνεται το τρίγωνο ΚΡΣ. a. Να γράψετε τον νόμο των ημιτόνων για το τρίγωνο αυτό. b. Να γράψετε τον νόμο των συνημιτόνων για το ίδιο τρίγωνο, συμπληρώνοντας τις τρεις ισότητες ΡΚ =... ΚΣ =... ΡΣ =. Σ K Ρ 5α 3χ = 4 1.Να λυθεί το σύστημα: α 4χ = 1 3 Άσκηση η a. Εκτελώντας όλες τις δυνατές πράξεις στην εξίσωση 6 3 χ = χ χ + 1 να καταλήξετε στην εξίσωση χ + χ + 6 = 0 b. Κατόπιν να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης χ + χ + 6=0 a. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: χ 3 5χ και 3χ 4 +15χ 3 b. Να απλοποιήσετε το κλάσμα χ 3 5χ 4 3 3χ +15χ

6 6 1. Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες a. (α + β) = b. (α + β) 3 = c. (α β) (α + β) =. Να αποδειχθεί η ταυτότητα (α β) 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3 Θέμα ο Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ΧΟΨ, δίδεται σημείο Μ(χ,ψ). Αν Χ Ο Μ= ω, να αποδείξετε ότι ημ ω +συν ω = 1 Να λύσετε το σύστημα χ 3ψ = 1 3χ + ψ + 5 =1 4 6 Άσκηση η αχ + αψ χ ψ Δίδεται το κλάσμα Α= α 5α + 4 1) Να παραγοντοποιήσετε τον αριθμητή του κλάσματος ) Να παραγοντοποιήσετε τον παρονομαστή του κλάσματος 3) Να απλοποιήσετε το κλάσμα Δίδεται τρίγωνο ΑΒΓ ώστε Β Α Γ= 90 0 και ΒΑ = ΑΓ. Στην προέκταση του ΓΑ προς το μέρος του Α παίρνουμε τμήμα ΑΔ = ΑΓ 1) Να αποδείξετε ότι ΒΔ = ΒΓ ) Να υπολογίσετε τις γωνίες Β Γ Α, Β Δ Α 3) Να αποδείξετε ότι Δ Β Γ= 90 0

7 7 a. Να διατυπώσετε ένα κριτήριο ισότητας τρίγωνων b. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή(Nα γίνει σχήμα) c. Δύο ίσα τρίγωνα είναι όμοια; Δύο όμοια τρίγωνα είναι ίσα; Αιτιολογήστε τις απαντήσεις σας Θέμα ο d. Δώστε τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών μιας οποιασδήποτε γωνίας ω, ( 0 ω 360 ) σε σύστημα ορθογωνίων αξόνων e. Αν ημω = ημφ, τι συμπεραίνετε για τις γωνίες ω και φ; f. Να αποδειχθεί ότι: ημ ω + συν ω = 1. Δίνεται η παράσταση: α (α 1) (α 1) 3 α ( α + ) ( α ) 7α Να γίνουν οι πράξεις και να παραγοντοποιηθεί το εξαγόμενο. Άσκηση η Να λυθεί η εξίσωση: χ χ +3 = 1 χ χ 4 χ + χ ( ψ+1) 1 = Να λυθεί το σύστημα: 4 3 4χ + ψ + 8 = (ψ χ)

8 8 a. Στο διπλανό σχήμα παίρνουμε ένα σημείο Μ(Χ, Ψ) έτσι ώστε να είναι ΧΟΜ = ω. Αν είναι ΟΜ = ρ να ο- Χ Ψ Ο ω ρ Μ(χ, ψ) ρίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. Ψ b. Να σημειώσετε αν είναι Σωστή ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις i. Αν 90 0 < ω < τότε εφ ω > 0 ii. Για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει : 1 συνω 1 iii. Για συμπληρωματικές γωνίες ω και 90 0 ω ισχύει : συν(90 0 ω) = ημω iv. Για παραπληρωματικές γωνίες ω και ω ισχύει : ημ(180 0 ω) = ημω Θέμα ο A. Τι πρέπει να συμβαίνει για να είναι δυο μονώνυμα όμοια μεταξύ τους ; B. Ποια αλγεβρική παράσταση λέγετε κλασματική ; a. Να συμπληρωθούν οι ισότητες. ( α + β ) 3 =.. ( α β ) =.. b. Να αποδειχθεί η ταυτότητα : α β = ( α β ) ( α + β ) Χ Να λυθεί η εξίσωση: Άσκηση η χ χ 3 = χ χ χ χ Να λυθεί το σύστημα: χ 1 ψ = 1 3 χ +5ψ = 3 A Μ Ν Στο διπλανό ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) παίρνουμε στις ίσες του πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα τα σημεία Μ και Ν, ώστε ΑΜ = 1 ΑΒ και 3 B Δ Γ ΑΝ = 1 ΑΓ. Αν Δ είναι το μέσο της ΒΓ, να συ- 3 γκρίνετε τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΔΝ.

9 9 a. Ποια μονώνυμα ονομάζονται όμοια; (κανόνας και παράδειγμα) b. Τι ονομάζεται πολυώνυμο; (κανόνας και παράδειγμα) c. Τι ονομάζεται ταυτότητα; Θέμα ο a. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ο i. ( ) ημ 90 ω =... ο ii. ( ) ημ 180 ω =... ο iii. ( ) εφ 180 ω =... ψ Μ(χ,ψ) Β b) Με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος ρ ω ν αποδείξετε ότι: ημ ω + συν ω = 1 Α Ο χ χ 4 1 Να λύσετε την εξίσωση: = χ χ χ χ Άσκηση η Να λύσετε το σύστημα: ( ) ( ) ( ) 33χ 4 ψ = 8 χ 1 χ ψ +1 = 3 5 Στο διπλανό σχήμα είναι ΔΕ // ΒΓ. Αν είναι ΑΕ = 4χ +11, ΑΔ = 6χ, ΔΒ=3χ 1 και ΕΓ=χ +3, να υπολογίσετε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΔ Δ 3χ -1 Β 6χ Α 4χ +11 Ε χ + 3 Γ και ΕΓ.

10 30 A. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α β) = α αβ + β B. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες: a. (α + β) 3 = b. (α β) (α + β)=. Θέμα ο Να αποδείξετε ότι: εφω = ημω συνω ημ ω + συν ω = 1 Να λυθεί η εξίσωση: 9(χ ) 8χ =4χ(χ 1) + 14 Άσκηση η Να λυθεί το σύστημα: 3(χ + ψ) = (χ ψ) (χ + ψ) + 4 (χ ψ)= 14 Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: a. χ + 7χ +10 b. χ + χ c. 4χ 9 d. χ 3 3χ 9χ + 7 e. χ 8 f. ψ χ + χ 1

11 31 A. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ να διατυπώσετε: a. Το νόμο των συνημιτόνων b. Το νόμο των ημιτόνων B. Να αποδείξετε τον νόμο των ημιτόνων Θέμα ο a. Να αποδειχθεί η ταυτότητα: (α + β) = α + 3α β + 3αβ + β b. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α β) =... (α + β) (α β) =... Να λυθεί η εξίσωση χ χ = χ 1 Άσκηση η Να λυθεί το σύστημα χ ψ = 5 χ ψ = 4 Να απλοποιηθεί η παράσταση: Α = χ 1 χ χ χ 3χ : 3 3 χ 3χ χ 9χ χ 9

12 3 Η γενική μορφή της εξίσωσης β βαθμού είναι: αχ + βχ + γ =0 με α 0 a. Να συμπληρωθούν οι ισότητες Δ =... ( όπου Δ η διακρίνουσα) χ 1, =... (όπου χ 1, χ οι λύσεις της εξίσωσης ) b. Πώς η διακρίνουσα καθορίζει την ύπαρξη και τον αριθμό λύσεων της δευτεροβάθμιας εξίσωσης; Θέμα ο a. Να οριστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω του διπλανού σχήματος b. Με βάση τους παραπάνω ορισμούς να αποδειχθεί η βασική τριγωνομετρική σχέση : ημ ω + συν ω = 1 c. Να συμπληρωθούν οι σχέσεις : i) ημ(... ) = συν ω ii)... ημ ω... iii) συν(...) = συν ω Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίδονται γωνία Α = 56 ο και πλευρές ΒΓ = 5cm, ΑΒ = 4cm Να υπολογισθούν τα υπόλοιπα κύρια στοιχεία. του τριγώνου. (με προσέγγιση μοίρας εκατοστού) Δίδονται : ημ 56 ο = 0,83 ημ 4 ο = 0,66 ημ 8 ο = 0,99 ημ 43 ο = 0,68 συν 8 ο = 0,14 Άσκηση η Δίνεται η παράσταση : Α= ( χ 1 ) + ( χ + 1) ( χ 1 ) + 3χ χ 5 a. Να αποδείξεις ότι Α= χ +χ 6 b. Να λυθεί η εξίσωση Α = 0 Να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης Α = ψ χψ + χ 5χ ψ = 7 Αν χ, ψ είναι λύσεις του συστήματος: 3χ ψ =5

13 33 a. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. b. Να διατυπώσετε τα θεώρημα του Θαλή, Θέμα ο a. Να αποδείξετε ότι (α + β) = α + αβ + β b. Συμπληρώστε τις ταυτότητες (α + β) 3 =.. α β =.. (χ 1)+3 (χ ψ) = 5 Να λυθεί το σύστημα : 3(χ ψ) (χ 4ψ) = 4 Άσκηση η Να λυθεί η εξίσωση (3χ 1) = (6χ ) (χ + 3) a. Να γίνουν οι πράξεις (α +β) (α β) (α +β) (3α β) =.. αχ + αψ βχ βψ b. Να απλοποιηθεί το κλάσμα α β

14 a. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες : i. (α + β) =, 34 ii. (α + β) (α β) =., iii. (α + β ) 3 = b. Να αποδείξετε ότι : (α β) 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3 c. Το α + β είναι παράγοντας του: i. α +β ii. β α iii. Θέμα ο a. Πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα; b. Πότε δύο τρίγωνα είναι όμοια; c. Δύο ίσα τρίγωνα είναι πάντα όμοια; Γιατί; β α Να λυθεί η εξίσωση : χ (χ 1) = (5χ 1) Άσκηση η Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ // ΓΔ Να υπολογίσετε το χ. χ - 1 χ + A Ε χ + 4 B χ 3χ + ψ = 1 Να λυθεί το σύστημα: 5χ + 4ψ =1 Δ Γ

15 35 a. Τι ονομάζεται μονώνυμο και τι πολυώνυμο; b. Να συμπληρώσετε τα αναπτύγματα των ταυτοτήτων: ( ) α+β = α β = ( ) 3 ( α β) ( α+β) = ( α β) =. c. Να αποδείξετε ότι: ( ) α+ β = α +3α β+3αβ +β Θέμα ο a. Πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα(3 κριτήρια); b. Πότε δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα( κριτήρια); c. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή. Να λυθεί το σύστημα: Άσκηση η 3χ + 1 ψ + = χ ψ = Να λύσετε την εξίσωση: ( ) ( ) ( ) Αν 90 ο < ω < 180 ο και 3 χ 5+χ 5 χ = 0 4 ημω= 5 να υπολογιστεί το συνω και η εφω.

16 36 α) Τι είναι μονώνυμο; β) Πως πολλαπλασιάζουμε μονώνυμα μεταξύ τους; γ) Να συμπληρώσετε τις ισότητες ώστε να προκύψουν ταυτότητες: ( α + β) =... ( α β) 3 =... ( α + β) ( α β)=..., Θέμα ο Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή και να αναφέρετε την σχετική πρόταση για τα τρίγωνα. Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο: χ +χψ 8ψ Α Άσκηση η Να υπολογίσετε το μήκος χ στο διπλανό σχήμα αν είναι γνωστό ότι ΔΕ // ΒΓ. χ 6cm Δ Ε 4cm 3cm Β Γ Να δείξτε ότι ημ 55 +ημ 35 = 1

17 37 A. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: ( ) α + β =., ( α β) 3 =., ( α β) ( α + β) =., α αβ + β =. B. Να αποδείξετε την ταυτότητα: ( ) α + β = α + 3α β + 3αβ + β Θέμα Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. 1 1 χ 1 Να λύσετε την εξίσωση : + = χ + 1 χ + χ χ Άσκηση η Να λυθεί το σύστημα : ( ) χ + ψ + ψ = 1 χ + ψ = 1 χ Να υπολογίσετε την παράσταση:α = ( ημχ + συνχ ) + ( ημχ συνχ )

18 38 α) Τι ονομάζεται μονώνυμο; Γράψτε δύο μονώνυμα και ονομάστε τα μέρη τους. β) Πότε δύο ή περισσότερα μονώνυμα λέγονται όμοια; Δίνονται τα μονώνυμα ν+ 3μ 1 003χ ψ, 8 004χψ Για ποιες τιμές των ν, μ τα μονώνυμα αυτά είναι όμοια; Θέμα ο α) Να αναφέρετε τα 3 κριτήρια ισότητας δύο τυχαίων τριγώνων. β) Ποιο από τα κριτήρια αυτά αποδεικνύει την ισότητα των τριγώνων ΟΑΒ, ΟΑΓ σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις; (Τα ίσα στοιχεία σημειώνονται στα σχήματα) Ο Ο Ο Β 1 Α 1 Γ Β _ / Α / _ Γ Β _ 1 Α _ Γ χ 1 4 χ Να λυθεί η εξίσωση: + = χ χ χ χ Άσκηση η χ + 1 ψ 1 + = 0 Να λυθεί το σύστημα που ακολουθεί: 3 χ + 3ψ = 1 o Δίνεται ότι για την γωνία χ ισχύει: o 180 < χ < 70 και επιπλέον α) Να υπολογισθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί. β) Να υπολογισθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης Κ: συνχ = ημχ 3συνχ 3 Κ= εφ χ

19 Να συμπληρωθούν οι ισότητες: a. (α β) = b. (α β) 3 = 39 c. (α β) (α+β) = Θέμα ο d. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας δυο τυχαίων τρίγωνων e. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή (Nα γίνει σχήμα) Να λυθεί το σύστημα: Άσκηση η χ 1 ψ = 1 3 χ ψ + = 3 3 χ 4 8 Να λυθεί η εξίσωση: + = χ χ χ χ Να απλοποιηθεί η παράσταση: α α 4α + 4 : 3 α 3α α 9α

20 Να αποδείξετε τις ταυτότητες : 40 a. b. (α + β) = α + αβ + β (α + β) = α + 3α β + 3αβ + β Θέμα ο a. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. b. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή. Να μετατρέψετε σε γινόμενο τις παρακάτω παραστάσεις : a. b. 6χ 4αχ 9βχ + 6αβ 16χ 4χψ + 9ψ Άσκηση η Να λυθούν οι εξισώσεις : a. b. χ χ = 8 (χ 1) (χ ) = χ + 4 Να λυθεί το σύστημα: χ + 7 = ψ 4χ+ ψ = 30 ψ

21 41 c. Να συμπληρώσετε τα αναπτύγματα των ταυτοτήτων: ( ) α+β = ( α β) 3 = ( α β) ( α+β) = = ( α+β) ( α αβ + β ) Θέμα ο d. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας των τριγώνων e. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή. (Διατύπωση σχήμα σχέση) Να υπολογιστεί η παράσταση: Α = 3 (χ 1) 6χ (χ 1) Να λύσετε την εξίσωση: Α = 0 Άσκηση η Να λυθεί το σύστημα: χ + ψ = χ ψ 3 ψ 17 χ + = ψ + 4 Να υπολογίσετε τα τμήματα ΑΕ και ΒΓ Δ 1 Ε Β Γ χ - 1 του διπλανού σχήματος αν είναι ΕΒ // ΔΓ. χ Α

22 4 Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. Θέμα ο Στο τρίγωνο ΑΒΓ να διατυπώσετε a. Το νόμο των ημιτόνων. b. Το νόμο των συνημιτόνων. Να λυθεί το σύστημα: χ + ψ = 8 χ + 3ψ = 13 Άσκηση η Να απλοποιήσετε την αλγεβρική παράσταση: 5α 5β + αχ βχ Α = α αβ Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΑΓ. Στη συνέχεια να συγκρίνετε τα υπόλοιπα κύρια στοιχεία των δύο αυτών τριγώνων. Β Ο Γ Α

23 43 A. Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ταυτότητες: a. (α β) =... b. (α + β) 3 =... c. (α β) 3 =... B. Να αποδειχθούν οι παρακάτω ταυτότητες: (α + β) = α +αβ + β α β = (α + β) (α β) Θέμα ο a. Να αναφέρετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων b. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα, που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ισούται με το μισό της. Να λυθεί η εξίσωση: (χ 1) + (χ + 1) = 3χ + 1 Άσκηση η Αν συνω= και 180 ο < ω < 70 ο, να βρείτε το ημω και την εφω. 4χ + ψ = Να λυθεί το σύστημα: 3χ + ψ = 1

24 44 i) Τι ονομάζεται ταυτότητα; ii) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: (α + β) =..., (α + β)(α β+ ) =..., (α β) 3 = iii) Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α β) = α αβ + β. Θέμα ο i) Να διατυπώσετε τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών ο- ποιασδήποτε γωνίας ω = xôμ, όπου Μ(x, ψ) σημείο της πλευράς της ΟΜ και Ο η αρχή των ορθογωνίων αξόνων. (Να κάνετε και το σχήμα) ii) Τι τιμές μπορεί να πάρει το ημω και το συνω της παραπάνω γωνίας; iii) Να δώσετε το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας ω σε κάθε τεταρτημόριο. Στο διπλανό σχήμα, το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Φέρνουμε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΗ και A Ζ B ΓΖ, έτσι ώστε να είναι ΑΗ ΔΒ και ΓΖ ΔΒ. Να αποδείξετε ότι ΑΗ = ΓΖ. Δ Η Γ Άσκηση η Δίνεται η αλγεβρική παράσταση Α = (χ 3) 8 (χ 3) + 15 a. Να αποδείξετε (μετά από πράξεις) ότι Α = 4 (χ 7χ + 1) b. Να λύσετε την εξίσωση Α = 0 Να λυθεί το σύστημα: ( ) ( ) χ 1 + 3ψ = 3χ 5 ψ 1 = 4

25 45 A. Τι λέγεται μονώνυμο; B. Ποια από τις παρακάτω παραστάσεις δεν είναι μονώνυμο: 1 χ ψ 3 3 χ ψ 5 ( 3)χψ χ Δικαιολογήστε την απάντησή σας A. Ποια μονώνυμα λέγονται όμοια; Δώστε ένα παράδειγμα. Θέμα ο A. Με την βοήθεια κατάλληλου σχήματος να δείξετε ότι εφω = ημω συνω B. Συμπληρώστε ένα από τα σύμβολα >, =, < στις παρακάτω προτάσεις ώστε να γίνουν αληθείς σχέσεις : α) εφ β) συν γ) ημ δ) συν C. Υπάρχει γωνία ω ώστε ημω = 3 ; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Δίνεται η παράσταση Β = χ (χ + ) (χ 3) (1 χ) χ 3 + (χ + 3) a. Να γίνουν πράξεις σ αυτήν b. Να βρεθεί η αριθμητική τιμή της για χ = 1 Άσκηση η Δίνεται η παράσταση Γ = χ 4 3χ 3 χ + 3χ a. Να μετατραπεί σε γινόμενο πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων πολυωνύμων b. Να λυθεί η εξίσωση Γ = 0 Να λυθεί το σύστημα χ ψ + = 3 (χ ψ) +3 = χ + ψ

26 46 Α. Να αποδείξετε την ταυτότητα ( χ + ψ )(χ ψ) = χ ψ Β. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες ώστε να προκύψουν οι γνωστές ταυτότητες. (χ + ψ) =.. (χ ψ) =.. χ ψ =.. (χ + ψ) 3 =. (χ ψ) 3 =. Θέμα ο Α. Για κάθε γωνία ω, σε ένα σύστημα αξόνων χοψ μπορούμε να πάρουμε σημείο Μ(χ,ψ) τέτοιο ώστε χôμ = ω. Πώς ορίζονται το ημω, συνω και η εφω; Β. Να σημειώσετε ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) και ποιές λάθος (Λ). α) Για κάθε γωνία ω ισχύει 0 ημω 1. β) Για κάθε γωνία ω ισχύει -1 συνω 1. γ) Για κάθε γωνία ω τέτοια ώστε συνω 0, ισχύει εφω = ημω δ) Για κάθε γωνία ω ισχύει ημω + συνω = 1. ε) Για κάθε γωνία ω ισχύει ημ ω + συν ω = 1. Να παραγοντοποιήσετε τις αλγεβρικές παραστάσεις α) 3α + 5αβ β) α - γ + α αγ γ) 10(ψ χ ) - 5(ψ χ) Άσκηση η συνω x 5ψ = 4 Να λύσετε το σύστημα 11 x ψ +1 + = 8 6 Να υπολογίσετε τα μήκη χ,ψ,ζ και ω στα παρακάτω σχήματα αν είναι (ε 1 //ε //ε 3 ) ε 1 ε 0 ψ ε ε 1 6 χ ε ε ε 1 16 ζ 30 ε ζ 4 ω ε 3

27 47 a. Να γράψετε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων. b. Ποια είναι τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων ; Θέμα ο a. Να αποδειχθεί η ταυτότητα : (α+β) = α + αβ +β. b. Αν ισχύει (α+β) = α + β, τι συμπεραίνουμε για τους α και β ; c. Να συμπληρωθούν οι ισότητες : i. (α β) =... ii. (α + β) 3 =... iii. (α β) 3 =... iv. (α β) (α + β) =... Να λυθεί το σύστημα : 8χ 7ψ = 3 6χ + ψ = 10 Άσκηση η Να απλοποιήσετε την παράσταση: Α= 3 χ 4χ + 3χ χ 3 χ Αν είναι ο ο 90 χ 180 και ισχύει 10ημx 5 = 0, να υπολογίσετε το συνx και την εφx

28 48 a. Πώς συγκρίνουμε (διατάσουμε) δυο πραγματικούς αριθμούς; b. Να γράψετε τις ιδιότητες της διάταξης (των ανισοτήτων). Θέμα ο a. Ποια μονώνυμα ονομάζονται όμοια; b. Πώς ορίζεται το άθροισμα ομοίων μονώνυμων; c. Πώς ορίζεται το γινόμενο μονώνυμων; Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι α = 5cm, β = 4cm, και γ = 6cm. Να υπολογίσετε τις γωνίες του. Άσκηση η Να λύσετε την εξίσωση: χ + 4= (χ 1) (χ ) a. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Α και Β. A= χ 5 χ 8χ 15 + B = χ 6χ + 9 χ 3χ b. Να εκτελέσετε την πράξη Α Β

29 49 α) Τι ονομάζεται ταυτότητα; β) Να βρείτε τα αναπτύγματα των ταυτοτήτων: (α + β) =... (α β) =... (α + β) (α β) =... (α β) 3 =... γ) Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α + β) 3 = α 3 +3α β +3αβ +β 3 Θέμα ο α) Στο διπλανό σχήμα είναι ε 1 // ε // ε 3 και ΑΒ = ΒΓ, Α 'Β' = Β'Γ'. Να διατυπώσετε την πρόταση που ισχύει. ε 1 ε Β Α Α Β β) Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή, να κάνετε ε 3 Γ Γ σχήμα και να γράψετε τους λόγους που το εκφράζουν. δ ζ γ) Να συμπληρώσετε την παρακάτω πρόταση, που προκύπτει από το θεώρημα του Θαλή για ένα τρίγωνο, να κάνετε σχήμα και να γράψετε τους λόγους που την εκφράζουν. Κάθε παράλληλη προς... Στην παρακάτω παράσταση να κάνετε τις πράξεις και να βρείτε την αριθμητική τιμή του πολυωνύμου που θα προκύψει μετά την αναγωγή των ομοίων όρων, για α = 1 και β=1 β ( α β) (β α) (β+α)β + α ( α+3β) = Α Άσκηση η Από το μέσο Δ της βάσης ΒΓ του ισοσκελούς τριγώνου Ζ Ε ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), φέρνουμε τις ΔΕ // ΒΑ και ΔΖ // ΓΑ. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΖΒΔ και ΕΔΓ Β Δ Γ Αν ημ ω = 1 4 και 90 ω 180 να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημω της γωνίας ω και την τιμή της παράστασης Α = ημ ω συν ω

30 50 a. Να συμπληρωθεί η ισότητα: (α + β) = b. Να αποδειχθεί ότι: (α + β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 c. Υπάρχουν αριθμοί α, β τέτοιοι ώστε (α β) = α + β ; Θέμα ο a. Δώστε τον ορισμό της δύναμης α ν με βάση τον αριθμό α και εκθέτη τον φυσικό αριθμό ν > 1. b. Γράψτε τις ιδιότητες των δυνάμεων. c. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είναι σωστές για κάθε θετικούς αριθμούς α και β; α + β = α + β, α β = α β, α β = α β, α β = α β Να λυθεί η εξίσωση: (χ + ) + (χ + 3) = (χ + 4). Άσκηση η Αν 1 < χ < και 3 < ψ < 4 να βρεθεί μεταξύ ποιών αριθμών περιέχονται οι τιμές της παράστασης χ 3ψ. Να λυθεί το σύστημα: χ + 3ψ = 5 3χ 5ψ = 1

31 51 a. Τι ονομάζουμε μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; b. Ποια μονώνυμα ονομάζονται όμοια; c. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ( α β) 3 =, ( α β) ( α+β) =. Θέμα ο a. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: συν(90 0 -ω) =, εφ( ω)=, εφω=......, ημ ω+συν ω=... b. Σε ποια τεταρτημόρια είναι συγχρόνως το συνημίτονο θετικό και το ημίτονο αρνητικό; c. Υπάρχει γωνία ˆω για την οποία να ισχύει: ημω = συνω = 0; (δικαιολόγηση) Να λυθεί η εξίσωση: (χ +3)(χ 3) χ +7 = ( ) χ χ Άσκηση η Να λυθεί το σύστημα: { 3χ + ψ =18 4χ 3ψ =7 Εάν είναι 0 ˆω 90 και ισχύει 5ημω 3 = 0, να υπολογισθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί συνω και εφω.

32 5 a. Να διατυπώστε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. b. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή. Θέμα ο a. Πως πολλαπλασιάζουμε μονώνυμο με πολυώνυμο; b. Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες: (α + β) =... (α β) 3 =... (α + β) (α β) =... 3χ ψ = 4 Να λυθεί το σύστημα: ψ χ = 13 Άσκηση η Να λύσετε την εξίσωση: (χ 3) = (χ 1) (χ 4) + 9χ Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ΑΒ = ΑΓ ) του A διπλανού σχήματος τα σημεία Κ, Μ, Ν είναι αντίστοιχα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ. Κ Μ Να συγκρίνετε: a. Τα τρίγωνα ΒΛΚ και ΓΛΜ. b. Τα τμήματα ΛΚ και ΛΜ. B Λ Γ

33 53 a. Να γραφούν οι σχέσεις μεταξύ των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας. b. Να αποδειχθούν οι παραπάνω σχέσεις. Θέμα ο Να συμπληρωθούν και να αποδειχθούν οι παρακάτω ταυτότητες: a. (α+β)² =. b. (α β)² =. c. (α+β)(α β) = Να γίνουν οι πράξεις: χ 4 χ 3 χ 6χ 9 χ 4 χ χ 6 : χ +χ Άσκηση η Να εξεταστεί αν έχουν κοινές λύσεις οι παρακάτω εξισώσεις: 3χ² 7χ + = χ + 1 χ χ = χ 4 Να λυθεί το σύστημα: 5χ ψ = ψ ψ χ = χ + 7 4

34 54 A. Να αποδείξετε τον τύπο: ημ ω + συν ω = 1 B. Με τι ισούται κάθε μία από τις παρακάτω παραστάσεις: 6ημ ω + 6συν ω =... 3ημ φ + 4συν φ συν φ =... C. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είναι σωστές ( Σ) και ποιες λανθασμένες (Λ); εφω = ημω συν(90 ω) = ημω συνω ημ(180 ω) = ημω... 1 ημω 1 Θέμα ο A. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες ώστε να προκύψουν γνωστές ταυτότητες: (α +...) (α β) = ( α...) (α...) 3 =... 3α β +... β 3 B. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α + β) = α + αβ + β C. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; (χ ψ) = χ χψ + ψ (α ψ 3 ) ( α + ψ 3 ) = α 4 ψ 6 (α + β) 3 = α 3 +α β +αβ + β 3 γ 9 δ 4 ε =( γ 3 δ ε) ( γ 3 + δ ε) Να λυθεί η εξίσωση: (6χ 17) (6χ 18) = χ Άσκηση η 3χ ψ + = 9 5 Να λυθεί το σύστημα: χ + ψ 3 = 4 3 Στο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ τα σημεία Δ, Ε, Ζ είναι τα μέσα των πλευρών του ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ αντίστοιχα. και τα Κ, Λ μέσα των τμήματων ΒΖ και ΓΕ. Να συγκρίνεται: a. Τα τρίγωνα ΚΒΔ και ΛΓΔ b. Τα τμήματα ΔΚ και ΔΛ.

35 55 a. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ημ ω + συν ω =..., συν(90 ω) =..., ημ(180 ω) =..., εφ(180 ω) =..., ημω συνω =..., ημ(90 ω) =..., b. Να διατυπώσετε το νόμο των ημιτόνων και το νόμο των συνιμητόνων. Θέμα ο Να συμπληρώσετε τις προτάσεις: a. Αν το μέσο μιας πλευράς τριγώνου φέρουμε παράλληλη προς μία άλλη πλευρά του, αυτή διέρχεται... της τρίτης πλευράς. Όταν παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τα τμήματα που ο- ρίζονται στη μια είναι... της άλλης. b. Πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα;(κριτήρια ισότητας τριγώνων) c. Πότε δύο τρίγωνα είναι όμοια; a. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : Α = χ 18, Β = χ + 6χ + 9 b. Να απλοποιήσετε την παράσταση Α +1 Β Άσκηση η Να λύσετε το σύστημα: χ + ψ = 4 3χ ψ + = 6 5 Γ Στο διπλανό σχήμα έχουμε ΚΛ // ΒΓ. Αν είναι ΑΛ = 8, ΛΓ = χ, ΑΚ = χ και ΚΒ = χ +,5, να υπολογίσετε το χ χ Λ 8 A Χ K χ +,5 B

36 56 A. Να αποδειχθεί η ταυτότητα: (α + β ) = α +αβ +β B. Να συμπληρωθούν τα κενά στις παρακάτω ισότητες: i) ( x +.) = y ii) ( x + y ) 3 = iii) (.... ) 3 = y 3 3 y x + 3 y x x 3 iv) (x..) = (. + y ) (. y ) Θέμα ο A. Να διατυπώσετε τα (τρία) κριτήρια ισότητας δύο τυχαίων τριγώνων. B. Στο παρακάτω σχήμα τα δύο τρίγωνα είναι ίσα. 7 χ ω Τότε η γωνία ω ισούται με: ι) 7 ο ιι) 43 ο ιιι) 47 ο ιν) 61 ο ν) 108 ο 47 ω χ Να παραγοντοποιηθούν τα παρακάτω πολυώνυμα: i) x xy ii) αx + βy + βx + αy iii) 5x y 0xy + 4 iv) x + 3x 18 v) α αβ +β γ vi) x Άσκηση η Στο διπλανό σχήμα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΕ είναι ίσα και ισχύει: ΑΒ = x +, ΒΔ = 7 y, ΑΓ = 4x και ΔΕ = 5y + 3, ι) Σύμφωνα με ποιο κριτήριο τα τρίγωνα είναι ίσα; ιι) Να δειχθεί ότι ΑΓ = ΔΕ. Α ιιι) Να βρεθούν τα x και y από την επίλυση κατάλληλου συστήματος. ιν) Να βρεθεί η περίμετρος του τριγώνου ΑΒΓ αφού προηγουμένως εφαρμόσετε το πυθαγόρειο θεώρημα. Δίνεται το τριγωνικό αγρόκτημα ΑΒΓ. Αν είναι και ΑΔ = 8m και ΔΕ = 6m: i) Να υπολογιστούν τα μήκη ΑΓ και ΑΒ. ii) Να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΓ είναι όμοια. iii) Να βρεθεί ο λόγος ομοιότητας λ των δύο αυτών τριγώνων. iv) Να υπολογιστεί ο λόγος των εμβαδών του τριγώνου ΑΒΓ προς το τρίγωνο ΔΕΓ v) Αν η αξία του τμήματος ΔΕΓ του χωραφιού είναι 1000, να υπολογιστεί η αξία των τμημάτων ΑΒΓ και ΑΒΕΔ. 47 Β Δ Γ Α Γ Δ Ε Ε Β

37 57 a. Να αποδείξετε ότι: (α + β) 3 = α 3 +3α β +3αβ + β 3 b. Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες: (α + β) =. (α + β)(α β) =. (α β) =. (α β) 3 = Θέμα ο a. Με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος να αποδείξετε ότι: ημ ω + συν ω =1 b. Υπάρχει γωνία ω για την οποία ημω = 1 και συνω =1. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Να λύσετε την εξίσωση: (χ 3) 10 (χ )+χ + 4 = 7 Άσκηση η a. Να λύσετε το σύστημα: χ 1 ψ + = 1 4 χ 3 ψ+ = 3 b. Αν χ, ψ οι λύσεις του παραπάνω συστήματος, να δείξετε ότι: (χ + ψ) χψ 13 =0. Στο διπλανό σχήμα είναι ΕΔ//ΑΒ και ΕΖ//ΑΔ. Να υπολογίσετε τα χ και ψ αν είναι γνωστό ότι, ΑΕ = χ, ΒΔ= ψ, ΔΖ = χ 3, ΕΓ =1 και ΖΓ = 8

38 58 a. Τι ονομάζεται παραγοντοποίηση; b. Τι ονομάζεται ταυτότητα; c. Να αποδειχθεί η ταυτότητα (α β) = α αβ + β Θέμα ο a. Σε ποια τεταρτημόρια η εφαπτομένη είναι αρνητική; b. Ποια η ελάχιστη και ποια η μέγιστη τιμή του ημιτόνου μιας γωνίας; c. Στο τρίγωνο ΚΛΜ Να εκφράσετε το τετράγωνο της πλευράς ΚΛ σύμφωνα με το νόμο των συνημιτόνων. Λ Κ Μ a. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις Α = χψ + χ χ ψ Β = 3χ 3ψ Γ = χ ψ χ 3 A Γ b. Να απλοποιηθεί το κλάσμα Β Άσκηση η Δίνεται η παράσταση: Α = 3α (β α) (α + β) + 4αβ 4(α β) (α + β) 3αβ +048 a. Nα γίνουν οι πράξεις b. Να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης Α όταν α = Να λυθεί το σύστημα: 3(χ + ψ) (χ ψ) = 10 χ = 36 7ψ

39 59 A. Να γράψετε το κριτήριο ισότητας τριγώνων με βάση το οποίο τα διπλανά τρίγωνα είναι ίσα. B. Να αναφέρετε το θεώρημα Θαλή και να γράψετε την μαθηματική σχέση για τα τμήματα του διπλα- Γ Α Β Δ ε 1 ε νού σχήματος, όταν οι ευθείες ε 1, Ε Ζ ε 3 ε και ε 3 είναι παράλληλες. Θέμα ο Έστω ω τυχαία γωνία του συστήματος συντεταγμένων και Μ(χ,ψ) σημείο στην τελική πλευρά της γωνίας ω. Αν η απόσταση του σημείου Μ από το σημείο Ο είναι ρ, a. Πως ορίζεται το ημω και το συνω και b. Να αποδείξετε ότι εφω = ημω συνω M(χ, ψ) ρ ω Ο Να λυθεί η εξίσωση : χ + 3 = 7χ Άσκηση η Να λυθεί το σύστημα : 3χ +ψ = 4 χ ψ = 9 Να αποδειχθεί η ταυτότητα : (χ +ψ) (3χ ψ) 8χ(ψ 3χ) = 16χ

40 60 ί) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες : (α + β) =. (α β) = (α + β) 3 =.. ίί) Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α +β) (α β) = α β ίίί) Να εξετάσετε αν αληθεύει η ισότητα : (α β) = (β α) Θέμα ο Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας δύο τριγώνων. Να γίνουν οι πράξεις : (χ 5) (3χ 1 ) (χ +1) 4χ (χ ) Άσκηση η Να λυθεί η εξίσωση : χ +7 χ 1 = 3 χ Στο παρακάτω σχήμα είναι: ΔΕ // ΒΓ, ΑΒ = 8cm, ΑΔ = 3cm και BΓ = 1cm. Α 3cm Δ Ε 5cm Γ 1cm Δ ί) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια. ίί) Να συμπληρώσετε τις αναλογίες : ίίί) Να υπολογίσετε το τμήμα ΔΕ. ΑΔ ΔΕ ΑΕ = = ΑΒ......

41 61 a. Να γράψετε τα αναπτύγματα: (α β) =... (α + β) 3 =... α β =... b. Να υπολογισθούν: (5χ 4ψ) =... (χ + 3ψ) 3 =... 64χ 5ψ =... Θέμα ο a. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή. b. Πως γίνεται εφαρμογή του σε τρίγωνο; c. Ποια τρίγωνα λέγονται όμοια( ορισμοί) 3χ + 7ψ = 41 Να λυθεί και επαληθευτεί το σύστημα: χ ψ = 8 Άσκηση η Να λύσετε την εξίσωση: χ 9χ 5 = 0 Να βρεθεί ή μέγιστη και ελάχιστη τιμή της παράστασης: Α = 5συνχ 6ημχ

42 6 α) Τι ονομάζεται ταυτότητα β) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες. (α β ) = (α + β ) = α β = γ) Να αποδείξετε ότι : (α β ) 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3 Θέμα ο a. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή. b. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας δύο τριγώνων. Αν Δ, Ε τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ τότε: α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια. β) Να γράψετε τους ίσους λόγους των αντιστοίχων πλευρών. γ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΔΕ είναι ίσο με το 1 4 του εμβαδού του τριγώνου ΑΒΓ. Άσκηση η Να λυθεί η εξίσωση: χ χ χ + χ 3 χ = χ Aν για την γωνία ω ισχύει 0 ω < 360,να αποδείξετε την ισότητα : (αημω + βσυνω) + (βημω ασυνω) = α + β

43 63 a. Να γράψετε το δεύτερο μέλος κάθε ισότητας: α β (α+β) =..., ( β α) ( α + β ) =......, ( ) 3 =... b. Να συμπληρώσετε και να αποδείξετε την ταυτότητα: ( α β ) =... c. Η ισότητα ( ) α + β = α + β ισχύει όταν: 1. α = β. α= β 3. α = 0 ή β = 0 Να γράψετε τη σωστή απάντηση. Θέμα ο a. Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας δύο τυχαίων τριγώνων. b. Να γράψετε το θεώρημα του Θαλή (Διατύπωση- σχήμα αναλογία). c. Να συμπληρώσετε τον επόμενο κανόνα: Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου.. 3ψ χ = 1 Να λύσετε το σύστημα: 3χ + ψ+5 =1 4 6 Άσκηση η Να λύσετε την εξίσωση: χ χ χ 4 χ χ 4χ 6 = 1 Αν συνχ = και 180 < χ < 360 να υπολογίσετε το ημχ και την εφχ. 13

44 64 a. Τι ονομάζεται μονώνυμο και τι συντελεστής μονωνύμου; b. Να δείξετε ότι (α + β) 3 = α α β + 3 αβ + β 3 c. Για ποιες τιμές των α και β ισχύει: (α + β) = (α β). Αιτιολογήστε την απάντηση σας Θέμα ο a. Να αναφέρετε τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων b. Σε τρίγωνο ΑΒΓ τα Κ και Λ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Ποια σχέση συνδέει τα τμήματα ΚΛ και ΒΓ c. Στο τρίγωνο ΚΛΜ τα Ζ, Η και Θ είναι τα μέσα των ΚΛ, ΚΜ και ΛΜ αντίστοιχα. Αν η περίμετρος του ΚΛΜ είναι 4cm, πόση θα είναι η περίμετρος του τριγώνου ΖΗΘ. Αιτιολογήστε την απάντηση σας Δίνονται οι παραστάσεις A = a. Να απλοποιήσετε τις Α και Β χ 5χ + 6 χ 6χ 4 b. Να λύσετε την εξίσωση Α Β = χ χ Άσκηση η χ και Β = χ χ Αν ημω + 1 = 0 και 90 < ω <70 να υπολογίσετε: a. Tο συνω και την εφω b. Tην τιμή της παράστασης Α = ( 1 3εφω) (1 συνω) 4ημω Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ) και Μ το μέσον της ΒΓ. Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών ΑΒ και ΑΓ (προς το μέρος των Β και Γ) παίρνουμε τμήματα ΒΔ = ΓΕ. Να δείξετε ότι: a. ΔΜ = ΕΜ b. Τα Δ και Ε ισαπέχουν από την ΒΓ

45 65 a. Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες: (α β) =... (α + β) 3 =... b. Να αποδειχθεί η ταυτότητα: (α β) 3 = α 3 3α β +3αβ β 3 Θέμα ο Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Θαλή. (διατύπωση σχήμα τύπος) Να αποδειχθεί : Άσκηση η (1 α ) (α + ) (1 α) : =1 4α 4α + 1 (α 1) (4α ) 6x 1 + (3y 1) = 13 Να λυθεί το σύστημα: x + y 3 (x + y) = 16 Αν ημω = 1 και 0 ω 90, να υπολογιστούν: a. συνω b. εφω

46 66 a. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α + β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 b. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: (α β) =. (α + β) (α β) =. (α β) 3 = c. Να συμπληρώσετε τα κενά: (χ ) =.. 6χψ+ Θέμα ο a. Να γράψετε τα τρία κριτήρια ισότητας των τριγώνων. b. Να διατυπωθεί το θεώρημα του Θαλή. c. Δύο ίσα τρίγωνα είναι όμοια; Γιατί; Αν ναι ποιος είναι ο λόγος ομοιότητας; Να γίνουν οι πράξεις και οι απλοποιήσεις: χ(χ ψ) (χ ψ) χ + χψ χ ψ χ + χψ + ψ Άσκηση η Να λυθεί το σύστημα: χ + χψ =5 ψ χ = 3 : χ χ + ψ Αν ημω = 3 5 να υπολογιστούν το συνω και η εφω όταν: a. b. ο ο 0< ω <90 και ο ο 90 < ω <180.

47 a. Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες: 67 (α + β) =., (α β) = (α + β) 3 =.., (α β) 3 = b. Να αποδειχθεί η ταυτότητα: (α + β) (α β) = α β Θέμα ο Να διατυπωθούν τα κριτήρια ισότητας των τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: Άσκηση η Αν ημω = a. Το συνω b. Η εφω. 14 x = 5 x 4 και 180 <ω < 70 να υπολογιστούν: 5 Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση: 3χ 4 ψ 48ψ 5

48 68 a. Τι είναι μονώνυμο, ποια τα μέρη του και πώς ορίζονται. (Παράδειγμα) b. Πώς ορίζεται το άθροισμα όμοιων μονωνύμων. c. Να συμπληρώσετε τις ισότητες : ( α + β ) =... ( α + β ) 3 =... ( α + β) ( α β) =... Θέμα ο a. Για μια οποιαδήποτε γωνία ω να αποδειχθεί ο τύπος ημω εφω = συνω b. Γράψτε τις σχέσεις των τριγωνομετρικών αριθμών δύο παραπληρωματικών γωνιών. c. Αν ισχύει ημω συνω< 0, σε ποια τεταρτημόρια μπορεί να βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας ω ; 3 χ 1 χ χ =1 χ Να λυθεί η εξίσωση : ( ) ( ) Άσκηση η Να λυθεί το σύστημα : ψ χ = 4 χ ( ψ + 1 ) =5 Α Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ = ΑΓ και ΒΔ = ΕΓ. Να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. Β Δ Ε Γ

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α1.1 Ισότητα τριγώνων Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΙΕΑΣ, ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΙΕΑΣ, ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦ 1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΙΕΑΣ, ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦ. Δ/ΝΣΗ Α/ΘΜΙΑΣ & Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΤΙΟΥ ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑ/ΣΗΣ ΔΩΔ/ΣΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ: ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ (α + β) = α + αβ + β α + β + γ = 0, α 0 = β ± β 4αγ α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πράξεις με Πραγματικούς αριθμούς. Μονώνυμα - Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα - Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. ςεδς

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. ςεδς 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια στους

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μιχαήλογλου Στέλιος Παπαθανάση Κέλλυ Πατσιμάς Ανδρέας Πατσιμάς Δημήτρης Ραμαντάνης Βαγγέλης

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ 6 η Δοκιμασία ο Θέμα Στις ερωτήσεις έως και 4 να επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την απάντησή σας. Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις 1 ου Διαγωνίσματος Θέμα 1 ο α) Από μία κορυφή, π.χ. την Α, φέρουμε ευθεία xy ΒΓ. Τότε ω = Β και φ = Γ, ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων xy και ΒΓ με τέμνουσες ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΛΓΕΡ ΚΕΦΛΙΟ. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. πό τους αριθμούς 675, 0, 4404, 7450 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το, με το, με το 4, με το 9.. Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ.

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ. 1 Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και η διχοτομος ΒΕ της γωνιας B του τριγωνου Απο το Α φερνουμε παράλληλη της ΒΕ, που τεμνει τη ΒΓ 3 Να δειχτει οτι α + 11 α Ποτε ισχυει ΑΔ ΒΕ το ισον; οποτε οι γωνιες 3 3 Aν α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΠΟΡΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΜΙΤΣΗ - ΛΕΜΥΘΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012

ΕΜΠΟΡΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΜΙΤΣΗ - ΛΕΜΥΘΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΕΜΠΟΡΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΜΙΤΣΗ - ΛΕΜΥΘΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 0-0 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 0 Μάθημα: Μαθηματικά ΤΑΞΗ: A Λυκείου Ημερομηνία: 5 Ιουνίου Διάρκεια: :30 ΟΔΗΓΙΕΣ: Να γράφετε μόνο με μπλε ή

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10)

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ -8975 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=5. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα