Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ"

Transcript

1 1 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στα Μαθηματικά Τάξη Γ

2 ΘΕΜΑ 1 0 Η εξίσωση αχ + βχ +γ = 0 είναι βαθμού εξίσωση και λύνεται χρησιμοποιώντας τους τύπους Δ =.. χ 1 =. χ =.. Η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης χ + 4χ 3 = 0 είναι α. 8 β. 4 γ. 0 δ ε. 0 ΘΕΜΑ 0 Με την βοήθεια καταλλήλου σχήματος να αποδείξετε την ισότητα: ημ ω + συν ω = 1 a. Να απλοποιηθεί η κλασματική παράσταση Α = x 3 + 5x + 4x 3 x 16x b. Να λυθεί η εξίσωση Α = Άσκηση η Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης Β = 3χ ( χ -1) ( χ) (χ +)(3 χ) για χ = Δύο ακέραιοι αριθμοί έχουν γινόμενο.αν στο διπλάσιο του πρώτου προσθέσουμε τον δεύτερο βρίσκουμε 5. Να βρείτε τους δύο αριθμούς.

3 3 a. Τι ονομάζεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; b. Ποια μονώνυμα λέγονται όμοια και πως βρίσκεται το άθροισμα τους; c. πως ορίζεται το γινόμενο μονωνύμων; Θέμα ο a. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας ω, ( όπου 0 ω 360 ). b. Ποια είναι τα πρόσημα των: ημ50, εφ130, συν310, ημ80. c. Να αποδειχθεί ότι: εφω = ημω συνω. Να γίνουν οι πράξεις και οι απλοποιήσεις : Άσκηση η χ 4 χ + 1 χ + 3χ + : χ χ χ Να λυθεί η εξίσωση: (χ 1) (χ ) 3 + χ = (χ + 1) χ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ = ΑΓ), είναι Δ και Ε τα μέσα των ίσων πλευρών και Μ το μέσο της βάσης ΒΓ, να αποδείξετε ότι: a. Τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΕΜ είναι ίσα b. Το τετράπλευρο ΑΔΜΕ είναι ρόμβος ( Δηλαδή. είναι παραλληλόγραμμο με ίσες πλευρές μεταξύ τους)

4 4 a. Nα διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή και την πρόταση που προκύπτει από το θεώρημα αυτό για ένα τρίγωνο. b. Πότε δύο τρίγωνα είναι όμοια; c. Στα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ είναι : ΒΓ = ΜΛ, Α = Κ, Β = Λ Τα τρίγωνα είναι ίσα; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Θέμα ο a. Να συμπληρώσετε τις ισότητες (α + β ) ( β α ) = α + β αβ = (β α) 3 = b. Τι ονομάζεται μονώνυμο και τι πολυώνυμο ; c. Αν το άθροισμα τριών μονώνυμων είναι μονώνυμο. Τι συμπεραίνετε για τα τρία μονώνυμα; Να λύσετε το σύστημα: Άσκηση η χ + 1 ψ + ( χ + 1) χ = χ 1 3χ + ψ 11+ χ = Στο διπλανό ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ = ΑΓ) Είναι ΒΔ = ΓΕ. Να δείξετε ότι: a. Το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές b. Οι αποστάσεις των Β και Γ από τις ΑΔ και ΑΕ αντίστοιχα είναι ίσες. Να λύσετε την εξίσωση: χ + χ 1 3χ = 0 χ χ χ 1 χ

5 5 a. Συμπληρώστε τις παρακάτω ταυτότητες: (α β) =... (α β) 3 =.. (α + β) = (α + β) 3 = b. Να αποδείξετε τις δύο πρώτες: (α β) =. (α β) 3 =.... Θέμα ο Δίνεται το τρίγωνο ΚΡΣ. a. Να γράψετε τον νόμο των ημιτόνων για το τρίγωνο αυτό. b. Να γράψετε τον νόμο των συνημιτόνων για το ίδιο τρίγωνο, συμπληρώνοντας τις τρεις ισότητες ΡΚ =... ΚΣ =... ΡΣ =. Σ K Ρ 5α 3χ = 4 1.Να λυθεί το σύστημα: α 4χ = 1 3 Άσκηση η a. Εκτελώντας όλες τις δυνατές πράξεις στην εξίσωση 6 3 χ = χ χ + 1 να καταλήξετε στην εξίσωση χ + χ + 6 = 0 b. Κατόπιν να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης χ + χ + 6=0 a. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: χ 3 5χ και 3χ 4 +15χ 3 b. Να απλοποιήσετε το κλάσμα χ 3 5χ 4 3 3χ +15χ

6 6 1. Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες a. (α + β) = b. (α + β) 3 = c. (α β) (α + β) =. Να αποδειχθεί η ταυτότητα (α β) 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3 Θέμα ο Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ΧΟΨ, δίδεται σημείο Μ(χ,ψ). Αν Χ Ο Μ= ω, να αποδείξετε ότι ημ ω +συν ω = 1 Να λύσετε το σύστημα χ 3ψ = 1 3χ + ψ + 5 =1 4 6 Άσκηση η αχ + αψ χ ψ Δίδεται το κλάσμα Α= α 5α + 4 1) Να παραγοντοποιήσετε τον αριθμητή του κλάσματος ) Να παραγοντοποιήσετε τον παρονομαστή του κλάσματος 3) Να απλοποιήσετε το κλάσμα Δίδεται τρίγωνο ΑΒΓ ώστε Β Α Γ= 90 0 και ΒΑ = ΑΓ. Στην προέκταση του ΓΑ προς το μέρος του Α παίρνουμε τμήμα ΑΔ = ΑΓ 1) Να αποδείξετε ότι ΒΔ = ΒΓ ) Να υπολογίσετε τις γωνίες Β Γ Α, Β Δ Α 3) Να αποδείξετε ότι Δ Β Γ= 90 0

7 7 a. Να διατυπώσετε ένα κριτήριο ισότητας τρίγωνων b. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή(Nα γίνει σχήμα) c. Δύο ίσα τρίγωνα είναι όμοια; Δύο όμοια τρίγωνα είναι ίσα; Αιτιολογήστε τις απαντήσεις σας Θέμα ο d. Δώστε τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών μιας οποιασδήποτε γωνίας ω, ( 0 ω 360 ) σε σύστημα ορθογωνίων αξόνων e. Αν ημω = ημφ, τι συμπεραίνετε για τις γωνίες ω και φ; f. Να αποδειχθεί ότι: ημ ω + συν ω = 1. Δίνεται η παράσταση: α (α 1) (α 1) 3 α ( α + ) ( α ) 7α Να γίνουν οι πράξεις και να παραγοντοποιηθεί το εξαγόμενο. Άσκηση η Να λυθεί η εξίσωση: χ χ +3 = 1 χ χ 4 χ + χ ( ψ+1) 1 = Να λυθεί το σύστημα: 4 3 4χ + ψ + 8 = (ψ χ)

8 8 a. Στο διπλανό σχήμα παίρνουμε ένα σημείο Μ(Χ, Ψ) έτσι ώστε να είναι ΧΟΜ = ω. Αν είναι ΟΜ = ρ να ο- Χ Ψ Ο ω ρ Μ(χ, ψ) ρίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. Ψ b. Να σημειώσετε αν είναι Σωστή ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις i. Αν 90 0 < ω < τότε εφ ω > 0 ii. Για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει : 1 συνω 1 iii. Για συμπληρωματικές γωνίες ω και 90 0 ω ισχύει : συν(90 0 ω) = ημω iv. Για παραπληρωματικές γωνίες ω και ω ισχύει : ημ(180 0 ω) = ημω Θέμα ο A. Τι πρέπει να συμβαίνει για να είναι δυο μονώνυμα όμοια μεταξύ τους ; B. Ποια αλγεβρική παράσταση λέγετε κλασματική ; a. Να συμπληρωθούν οι ισότητες. ( α + β ) 3 =.. ( α β ) =.. b. Να αποδειχθεί η ταυτότητα : α β = ( α β ) ( α + β ) Χ Να λυθεί η εξίσωση: Άσκηση η χ χ 3 = χ χ χ χ Να λυθεί το σύστημα: χ 1 ψ = 1 3 χ +5ψ = 3 A Μ Ν Στο διπλανό ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) παίρνουμε στις ίσες του πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα τα σημεία Μ και Ν, ώστε ΑΜ = 1 ΑΒ και 3 B Δ Γ ΑΝ = 1 ΑΓ. Αν Δ είναι το μέσο της ΒΓ, να συ- 3 γκρίνετε τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΔΝ.

9 9 a. Ποια μονώνυμα ονομάζονται όμοια; (κανόνας και παράδειγμα) b. Τι ονομάζεται πολυώνυμο; (κανόνας και παράδειγμα) c. Τι ονομάζεται ταυτότητα; Θέμα ο a. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ο i. ( ) ημ 90 ω =... ο ii. ( ) ημ 180 ω =... ο iii. ( ) εφ 180 ω =... ψ Μ(χ,ψ) Β b) Με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος ρ ω ν αποδείξετε ότι: ημ ω + συν ω = 1 Α Ο χ χ 4 1 Να λύσετε την εξίσωση: = χ χ χ χ Άσκηση η Να λύσετε το σύστημα: ( ) ( ) ( ) 33χ 4 ψ = 8 χ 1 χ ψ +1 = 3 5 Στο διπλανό σχήμα είναι ΔΕ // ΒΓ. Αν είναι ΑΕ = 4χ +11, ΑΔ = 6χ, ΔΒ=3χ 1 και ΕΓ=χ +3, να υπολογίσετε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΔ Δ 3χ -1 Β 6χ Α 4χ +11 Ε χ + 3 Γ και ΕΓ.

10 30 A. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α β) = α αβ + β B. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες: a. (α + β) 3 = b. (α β) (α + β)=. Θέμα ο Να αποδείξετε ότι: εφω = ημω συνω ημ ω + συν ω = 1 Να λυθεί η εξίσωση: 9(χ ) 8χ =4χ(χ 1) + 14 Άσκηση η Να λυθεί το σύστημα: 3(χ + ψ) = (χ ψ) (χ + ψ) + 4 (χ ψ)= 14 Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: a. χ + 7χ +10 b. χ + χ c. 4χ 9 d. χ 3 3χ 9χ + 7 e. χ 8 f. ψ χ + χ 1

11 31 A. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ να διατυπώσετε: a. Το νόμο των συνημιτόνων b. Το νόμο των ημιτόνων B. Να αποδείξετε τον νόμο των ημιτόνων Θέμα ο a. Να αποδειχθεί η ταυτότητα: (α + β) = α + 3α β + 3αβ + β b. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α β) =... (α + β) (α β) =... Να λυθεί η εξίσωση χ χ = χ 1 Άσκηση η Να λυθεί το σύστημα χ ψ = 5 χ ψ = 4 Να απλοποιηθεί η παράσταση: Α = χ 1 χ χ χ 3χ : 3 3 χ 3χ χ 9χ χ 9

12 3 Η γενική μορφή της εξίσωσης β βαθμού είναι: αχ + βχ + γ =0 με α 0 a. Να συμπληρωθούν οι ισότητες Δ =... ( όπου Δ η διακρίνουσα) χ 1, =... (όπου χ 1, χ οι λύσεις της εξίσωσης ) b. Πώς η διακρίνουσα καθορίζει την ύπαρξη και τον αριθμό λύσεων της δευτεροβάθμιας εξίσωσης; Θέμα ο a. Να οριστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω του διπλανού σχήματος b. Με βάση τους παραπάνω ορισμούς να αποδειχθεί η βασική τριγωνομετρική σχέση : ημ ω + συν ω = 1 c. Να συμπληρωθούν οι σχέσεις : i) ημ(... ) = συν ω ii)... ημ ω... iii) συν(...) = συν ω Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίδονται γωνία Α = 56 ο και πλευρές ΒΓ = 5cm, ΑΒ = 4cm Να υπολογισθούν τα υπόλοιπα κύρια στοιχεία. του τριγώνου. (με προσέγγιση μοίρας εκατοστού) Δίδονται : ημ 56 ο = 0,83 ημ 4 ο = 0,66 ημ 8 ο = 0,99 ημ 43 ο = 0,68 συν 8 ο = 0,14 Άσκηση η Δίνεται η παράσταση : Α= ( χ 1 ) + ( χ + 1) ( χ 1 ) + 3χ χ 5 a. Να αποδείξεις ότι Α= χ +χ 6 b. Να λυθεί η εξίσωση Α = 0 Να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης Α = ψ χψ + χ 5χ ψ = 7 Αν χ, ψ είναι λύσεις του συστήματος: 3χ ψ =5

13 33 a. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. b. Να διατυπώσετε τα θεώρημα του Θαλή, Θέμα ο a. Να αποδείξετε ότι (α + β) = α + αβ + β b. Συμπληρώστε τις ταυτότητες (α + β) 3 =.. α β =.. (χ 1)+3 (χ ψ) = 5 Να λυθεί το σύστημα : 3(χ ψ) (χ 4ψ) = 4 Άσκηση η Να λυθεί η εξίσωση (3χ 1) = (6χ ) (χ + 3) a. Να γίνουν οι πράξεις (α +β) (α β) (α +β) (3α β) =.. αχ + αψ βχ βψ b. Να απλοποιηθεί το κλάσμα α β

14 a. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες : i. (α + β) =, 34 ii. (α + β) (α β) =., iii. (α + β ) 3 = b. Να αποδείξετε ότι : (α β) 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3 c. Το α + β είναι παράγοντας του: i. α +β ii. β α iii. Θέμα ο a. Πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα; b. Πότε δύο τρίγωνα είναι όμοια; c. Δύο ίσα τρίγωνα είναι πάντα όμοια; Γιατί; β α Να λυθεί η εξίσωση : χ (χ 1) = (5χ 1) Άσκηση η Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ // ΓΔ Να υπολογίσετε το χ. χ - 1 χ + A Ε χ + 4 B χ 3χ + ψ = 1 Να λυθεί το σύστημα: 5χ + 4ψ =1 Δ Γ

15 35 a. Τι ονομάζεται μονώνυμο και τι πολυώνυμο; b. Να συμπληρώσετε τα αναπτύγματα των ταυτοτήτων: ( ) α+β = α β = ( ) 3 ( α β) ( α+β) = ( α β) =. c. Να αποδείξετε ότι: ( ) α+ β = α +3α β+3αβ +β Θέμα ο a. Πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα(3 κριτήρια); b. Πότε δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα( κριτήρια); c. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή. Να λυθεί το σύστημα: Άσκηση η 3χ + 1 ψ + = χ ψ = Να λύσετε την εξίσωση: ( ) ( ) ( ) Αν 90 ο < ω < 180 ο και 3 χ 5+χ 5 χ = 0 4 ημω= 5 να υπολογιστεί το συνω και η εφω.

16 36 α) Τι είναι μονώνυμο; β) Πως πολλαπλασιάζουμε μονώνυμα μεταξύ τους; γ) Να συμπληρώσετε τις ισότητες ώστε να προκύψουν ταυτότητες: ( α + β) =... ( α β) 3 =... ( α + β) ( α β)=..., Θέμα ο Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή και να αναφέρετε την σχετική πρόταση για τα τρίγωνα. Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο: χ +χψ 8ψ Α Άσκηση η Να υπολογίσετε το μήκος χ στο διπλανό σχήμα αν είναι γνωστό ότι ΔΕ // ΒΓ. χ 6cm Δ Ε 4cm 3cm Β Γ Να δείξτε ότι ημ 55 +ημ 35 = 1

17 37 A. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: ( ) α + β =., ( α β) 3 =., ( α β) ( α + β) =., α αβ + β =. B. Να αποδείξετε την ταυτότητα: ( ) α + β = α + 3α β + 3αβ + β Θέμα Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. 1 1 χ 1 Να λύσετε την εξίσωση : + = χ + 1 χ + χ χ Άσκηση η Να λυθεί το σύστημα : ( ) χ + ψ + ψ = 1 χ + ψ = 1 χ Να υπολογίσετε την παράσταση:α = ( ημχ + συνχ ) + ( ημχ συνχ )

18 38 α) Τι ονομάζεται μονώνυμο; Γράψτε δύο μονώνυμα και ονομάστε τα μέρη τους. β) Πότε δύο ή περισσότερα μονώνυμα λέγονται όμοια; Δίνονται τα μονώνυμα ν+ 3μ 1 003χ ψ, 8 004χψ Για ποιες τιμές των ν, μ τα μονώνυμα αυτά είναι όμοια; Θέμα ο α) Να αναφέρετε τα 3 κριτήρια ισότητας δύο τυχαίων τριγώνων. β) Ποιο από τα κριτήρια αυτά αποδεικνύει την ισότητα των τριγώνων ΟΑΒ, ΟΑΓ σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις; (Τα ίσα στοιχεία σημειώνονται στα σχήματα) Ο Ο Ο Β 1 Α 1 Γ Β _ / Α / _ Γ Β _ 1 Α _ Γ χ 1 4 χ Να λυθεί η εξίσωση: + = χ χ χ χ Άσκηση η χ + 1 ψ 1 + = 0 Να λυθεί το σύστημα που ακολουθεί: 3 χ + 3ψ = 1 o Δίνεται ότι για την γωνία χ ισχύει: o 180 < χ < 70 και επιπλέον α) Να υπολογισθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί. β) Να υπολογισθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης Κ: συνχ = ημχ 3συνχ 3 Κ= εφ χ

19 Να συμπληρωθούν οι ισότητες: a. (α β) = b. (α β) 3 = 39 c. (α β) (α+β) = Θέμα ο d. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας δυο τυχαίων τρίγωνων e. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή (Nα γίνει σχήμα) Να λυθεί το σύστημα: Άσκηση η χ 1 ψ = 1 3 χ ψ + = 3 3 χ 4 8 Να λυθεί η εξίσωση: + = χ χ χ χ Να απλοποιηθεί η παράσταση: α α 4α + 4 : 3 α 3α α 9α

20 Να αποδείξετε τις ταυτότητες : 40 a. b. (α + β) = α + αβ + β (α + β) = α + 3α β + 3αβ + β Θέμα ο a. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. b. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή. Να μετατρέψετε σε γινόμενο τις παρακάτω παραστάσεις : a. b. 6χ 4αχ 9βχ + 6αβ 16χ 4χψ + 9ψ Άσκηση η Να λυθούν οι εξισώσεις : a. b. χ χ = 8 (χ 1) (χ ) = χ + 4 Να λυθεί το σύστημα: χ + 7 = ψ 4χ+ ψ = 30 ψ

21 41 c. Να συμπληρώσετε τα αναπτύγματα των ταυτοτήτων: ( ) α+β = ( α β) 3 = ( α β) ( α+β) = = ( α+β) ( α αβ + β ) Θέμα ο d. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας των τριγώνων e. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή. (Διατύπωση σχήμα σχέση) Να υπολογιστεί η παράσταση: Α = 3 (χ 1) 6χ (χ 1) Να λύσετε την εξίσωση: Α = 0 Άσκηση η Να λυθεί το σύστημα: χ + ψ = χ ψ 3 ψ 17 χ + = ψ + 4 Να υπολογίσετε τα τμήματα ΑΕ και ΒΓ Δ 1 Ε Β Γ χ - 1 του διπλανού σχήματος αν είναι ΕΒ // ΔΓ. χ Α

22 4 Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. Θέμα ο Στο τρίγωνο ΑΒΓ να διατυπώσετε a. Το νόμο των ημιτόνων. b. Το νόμο των συνημιτόνων. Να λυθεί το σύστημα: χ + ψ = 8 χ + 3ψ = 13 Άσκηση η Να απλοποιήσετε την αλγεβρική παράσταση: 5α 5β + αχ βχ Α = α αβ Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΑΓ. Στη συνέχεια να συγκρίνετε τα υπόλοιπα κύρια στοιχεία των δύο αυτών τριγώνων. Β Ο Γ Α

23 43 A. Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ταυτότητες: a. (α β) =... b. (α + β) 3 =... c. (α β) 3 =... B. Να αποδειχθούν οι παρακάτω ταυτότητες: (α + β) = α +αβ + β α β = (α + β) (α β) Θέμα ο a. Να αναφέρετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων b. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα, που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ισούται με το μισό της. Να λυθεί η εξίσωση: (χ 1) + (χ + 1) = 3χ + 1 Άσκηση η Αν συνω= και 180 ο < ω < 70 ο, να βρείτε το ημω και την εφω. 4χ + ψ = Να λυθεί το σύστημα: 3χ + ψ = 1

24 44 i) Τι ονομάζεται ταυτότητα; ii) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: (α + β) =..., (α + β)(α β+ ) =..., (α β) 3 = iii) Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α β) = α αβ + β. Θέμα ο i) Να διατυπώσετε τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών ο- ποιασδήποτε γωνίας ω = xôμ, όπου Μ(x, ψ) σημείο της πλευράς της ΟΜ και Ο η αρχή των ορθογωνίων αξόνων. (Να κάνετε και το σχήμα) ii) Τι τιμές μπορεί να πάρει το ημω και το συνω της παραπάνω γωνίας; iii) Να δώσετε το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας ω σε κάθε τεταρτημόριο. Στο διπλανό σχήμα, το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Φέρνουμε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΗ και A Ζ B ΓΖ, έτσι ώστε να είναι ΑΗ ΔΒ και ΓΖ ΔΒ. Να αποδείξετε ότι ΑΗ = ΓΖ. Δ Η Γ Άσκηση η Δίνεται η αλγεβρική παράσταση Α = (χ 3) 8 (χ 3) + 15 a. Να αποδείξετε (μετά από πράξεις) ότι Α = 4 (χ 7χ + 1) b. Να λύσετε την εξίσωση Α = 0 Να λυθεί το σύστημα: ( ) ( ) χ 1 + 3ψ = 3χ 5 ψ 1 = 4

25 45 A. Τι λέγεται μονώνυμο; B. Ποια από τις παρακάτω παραστάσεις δεν είναι μονώνυμο: 1 χ ψ 3 3 χ ψ 5 ( 3)χψ χ Δικαιολογήστε την απάντησή σας A. Ποια μονώνυμα λέγονται όμοια; Δώστε ένα παράδειγμα. Θέμα ο A. Με την βοήθεια κατάλληλου σχήματος να δείξετε ότι εφω = ημω συνω B. Συμπληρώστε ένα από τα σύμβολα >, =, < στις παρακάτω προτάσεις ώστε να γίνουν αληθείς σχέσεις : α) εφ β) συν γ) ημ δ) συν C. Υπάρχει γωνία ω ώστε ημω = 3 ; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Δίνεται η παράσταση Β = χ (χ + ) (χ 3) (1 χ) χ 3 + (χ + 3) a. Να γίνουν πράξεις σ αυτήν b. Να βρεθεί η αριθμητική τιμή της για χ = 1 Άσκηση η Δίνεται η παράσταση Γ = χ 4 3χ 3 χ + 3χ a. Να μετατραπεί σε γινόμενο πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων πολυωνύμων b. Να λυθεί η εξίσωση Γ = 0 Να λυθεί το σύστημα χ ψ + = 3 (χ ψ) +3 = χ + ψ

26 46 Α. Να αποδείξετε την ταυτότητα ( χ + ψ )(χ ψ) = χ ψ Β. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες ώστε να προκύψουν οι γνωστές ταυτότητες. (χ + ψ) =.. (χ ψ) =.. χ ψ =.. (χ + ψ) 3 =. (χ ψ) 3 =. Θέμα ο Α. Για κάθε γωνία ω, σε ένα σύστημα αξόνων χοψ μπορούμε να πάρουμε σημείο Μ(χ,ψ) τέτοιο ώστε χôμ = ω. Πώς ορίζονται το ημω, συνω και η εφω; Β. Να σημειώσετε ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) και ποιές λάθος (Λ). α) Για κάθε γωνία ω ισχύει 0 ημω 1. β) Για κάθε γωνία ω ισχύει -1 συνω 1. γ) Για κάθε γωνία ω τέτοια ώστε συνω 0, ισχύει εφω = ημω δ) Για κάθε γωνία ω ισχύει ημω + συνω = 1. ε) Για κάθε γωνία ω ισχύει ημ ω + συν ω = 1. Να παραγοντοποιήσετε τις αλγεβρικές παραστάσεις α) 3α + 5αβ β) α - γ + α αγ γ) 10(ψ χ ) - 5(ψ χ) Άσκηση η συνω x 5ψ = 4 Να λύσετε το σύστημα 11 x ψ +1 + = 8 6 Να υπολογίσετε τα μήκη χ,ψ,ζ και ω στα παρακάτω σχήματα αν είναι (ε 1 //ε //ε 3 ) ε 1 ε 0 ψ ε ε 1 6 χ ε ε ε 1 16 ζ 30 ε ζ 4 ω ε 3

27 47 a. Να γράψετε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων. b. Ποια είναι τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων ; Θέμα ο a. Να αποδειχθεί η ταυτότητα : (α+β) = α + αβ +β. b. Αν ισχύει (α+β) = α + β, τι συμπεραίνουμε για τους α και β ; c. Να συμπληρωθούν οι ισότητες : i. (α β) =... ii. (α + β) 3 =... iii. (α β) 3 =... iv. (α β) (α + β) =... Να λυθεί το σύστημα : 8χ 7ψ = 3 6χ + ψ = 10 Άσκηση η Να απλοποιήσετε την παράσταση: Α= 3 χ 4χ + 3χ χ 3 χ Αν είναι ο ο 90 χ 180 και ισχύει 10ημx 5 = 0, να υπολογίσετε το συνx και την εφx

28 48 a. Πώς συγκρίνουμε (διατάσουμε) δυο πραγματικούς αριθμούς; b. Να γράψετε τις ιδιότητες της διάταξης (των ανισοτήτων). Θέμα ο a. Ποια μονώνυμα ονομάζονται όμοια; b. Πώς ορίζεται το άθροισμα ομοίων μονώνυμων; c. Πώς ορίζεται το γινόμενο μονώνυμων; Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι α = 5cm, β = 4cm, και γ = 6cm. Να υπολογίσετε τις γωνίες του. Άσκηση η Να λύσετε την εξίσωση: χ + 4= (χ 1) (χ ) a. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Α και Β. A= χ 5 χ 8χ 15 + B = χ 6χ + 9 χ 3χ b. Να εκτελέσετε την πράξη Α Β

29 49 α) Τι ονομάζεται ταυτότητα; β) Να βρείτε τα αναπτύγματα των ταυτοτήτων: (α + β) =... (α β) =... (α + β) (α β) =... (α β) 3 =... γ) Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α + β) 3 = α 3 +3α β +3αβ +β 3 Θέμα ο α) Στο διπλανό σχήμα είναι ε 1 // ε // ε 3 και ΑΒ = ΒΓ, Α 'Β' = Β'Γ'. Να διατυπώσετε την πρόταση που ισχύει. ε 1 ε Β Α Α Β β) Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή, να κάνετε ε 3 Γ Γ σχήμα και να γράψετε τους λόγους που το εκφράζουν. δ ζ γ) Να συμπληρώσετε την παρακάτω πρόταση, που προκύπτει από το θεώρημα του Θαλή για ένα τρίγωνο, να κάνετε σχήμα και να γράψετε τους λόγους που την εκφράζουν. Κάθε παράλληλη προς... Στην παρακάτω παράσταση να κάνετε τις πράξεις και να βρείτε την αριθμητική τιμή του πολυωνύμου που θα προκύψει μετά την αναγωγή των ομοίων όρων, για α = 1 και β=1 β ( α β) (β α) (β+α)β + α ( α+3β) = Α Άσκηση η Από το μέσο Δ της βάσης ΒΓ του ισοσκελούς τριγώνου Ζ Ε ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), φέρνουμε τις ΔΕ // ΒΑ και ΔΖ // ΓΑ. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΖΒΔ και ΕΔΓ Β Δ Γ Αν ημ ω = 1 4 και 90 ω 180 να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημω της γωνίας ω και την τιμή της παράστασης Α = ημ ω συν ω

30 50 a. Να συμπληρωθεί η ισότητα: (α + β) = b. Να αποδειχθεί ότι: (α + β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 c. Υπάρχουν αριθμοί α, β τέτοιοι ώστε (α β) = α + β ; Θέμα ο a. Δώστε τον ορισμό της δύναμης α ν με βάση τον αριθμό α και εκθέτη τον φυσικό αριθμό ν > 1. b. Γράψτε τις ιδιότητες των δυνάμεων. c. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είναι σωστές για κάθε θετικούς αριθμούς α και β; α + β = α + β, α β = α β, α β = α β, α β = α β Να λυθεί η εξίσωση: (χ + ) + (χ + 3) = (χ + 4). Άσκηση η Αν 1 < χ < και 3 < ψ < 4 να βρεθεί μεταξύ ποιών αριθμών περιέχονται οι τιμές της παράστασης χ 3ψ. Να λυθεί το σύστημα: χ + 3ψ = 5 3χ 5ψ = 1

31 51 a. Τι ονομάζουμε μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; b. Ποια μονώνυμα ονομάζονται όμοια; c. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ( α β) 3 =, ( α β) ( α+β) =. Θέμα ο a. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: συν(90 0 -ω) =, εφ( ω)=, εφω=......, ημ ω+συν ω=... b. Σε ποια τεταρτημόρια είναι συγχρόνως το συνημίτονο θετικό και το ημίτονο αρνητικό; c. Υπάρχει γωνία ˆω για την οποία να ισχύει: ημω = συνω = 0; (δικαιολόγηση) Να λυθεί η εξίσωση: (χ +3)(χ 3) χ +7 = ( ) χ χ Άσκηση η Να λυθεί το σύστημα: { 3χ + ψ =18 4χ 3ψ =7 Εάν είναι 0 ˆω 90 και ισχύει 5ημω 3 = 0, να υπολογισθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί συνω και εφω.

32 5 a. Να διατυπώστε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. b. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή. Θέμα ο a. Πως πολλαπλασιάζουμε μονώνυμο με πολυώνυμο; b. Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες: (α + β) =... (α β) 3 =... (α + β) (α β) =... 3χ ψ = 4 Να λυθεί το σύστημα: ψ χ = 13 Άσκηση η Να λύσετε την εξίσωση: (χ 3) = (χ 1) (χ 4) + 9χ Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ΑΒ = ΑΓ ) του A διπλανού σχήματος τα σημεία Κ, Μ, Ν είναι αντίστοιχα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ. Κ Μ Να συγκρίνετε: a. Τα τρίγωνα ΒΛΚ και ΓΛΜ. b. Τα τμήματα ΛΚ και ΛΜ. B Λ Γ

33 53 a. Να γραφούν οι σχέσεις μεταξύ των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας. b. Να αποδειχθούν οι παραπάνω σχέσεις. Θέμα ο Να συμπληρωθούν και να αποδειχθούν οι παρακάτω ταυτότητες: a. (α+β)² =. b. (α β)² =. c. (α+β)(α β) = Να γίνουν οι πράξεις: χ 4 χ 3 χ 6χ 9 χ 4 χ χ 6 : χ +χ Άσκηση η Να εξεταστεί αν έχουν κοινές λύσεις οι παρακάτω εξισώσεις: 3χ² 7χ + = χ + 1 χ χ = χ 4 Να λυθεί το σύστημα: 5χ ψ = ψ ψ χ = χ + 7 4

34 54 A. Να αποδείξετε τον τύπο: ημ ω + συν ω = 1 B. Με τι ισούται κάθε μία από τις παρακάτω παραστάσεις: 6ημ ω + 6συν ω =... 3ημ φ + 4συν φ συν φ =... C. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είναι σωστές ( Σ) και ποιες λανθασμένες (Λ); εφω = ημω συν(90 ω) = ημω συνω ημ(180 ω) = ημω... 1 ημω 1 Θέμα ο A. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες ώστε να προκύψουν γνωστές ταυτότητες: (α +...) (α β) = ( α...) (α...) 3 =... 3α β +... β 3 B. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α + β) = α + αβ + β C. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; (χ ψ) = χ χψ + ψ (α ψ 3 ) ( α + ψ 3 ) = α 4 ψ 6 (α + β) 3 = α 3 +α β +αβ + β 3 γ 9 δ 4 ε =( γ 3 δ ε) ( γ 3 + δ ε) Να λυθεί η εξίσωση: (6χ 17) (6χ 18) = χ Άσκηση η 3χ ψ + = 9 5 Να λυθεί το σύστημα: χ + ψ 3 = 4 3 Στο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ τα σημεία Δ, Ε, Ζ είναι τα μέσα των πλευρών του ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ αντίστοιχα. και τα Κ, Λ μέσα των τμήματων ΒΖ και ΓΕ. Να συγκρίνεται: a. Τα τρίγωνα ΚΒΔ και ΛΓΔ b. Τα τμήματα ΔΚ και ΔΛ.

35 55 a. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ημ ω + συν ω =..., συν(90 ω) =..., ημ(180 ω) =..., εφ(180 ω) =..., ημω συνω =..., ημ(90 ω) =..., b. Να διατυπώσετε το νόμο των ημιτόνων και το νόμο των συνιμητόνων. Θέμα ο Να συμπληρώσετε τις προτάσεις: a. Αν το μέσο μιας πλευράς τριγώνου φέρουμε παράλληλη προς μία άλλη πλευρά του, αυτή διέρχεται... της τρίτης πλευράς. Όταν παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τα τμήματα που ο- ρίζονται στη μια είναι... της άλλης. b. Πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα;(κριτήρια ισότητας τριγώνων) c. Πότε δύο τρίγωνα είναι όμοια; a. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις : Α = χ 18, Β = χ + 6χ + 9 b. Να απλοποιήσετε την παράσταση Α +1 Β Άσκηση η Να λύσετε το σύστημα: χ + ψ = 4 3χ ψ + = 6 5 Γ Στο διπλανό σχήμα έχουμε ΚΛ // ΒΓ. Αν είναι ΑΛ = 8, ΛΓ = χ, ΑΚ = χ και ΚΒ = χ +,5, να υπολογίσετε το χ χ Λ 8 A Χ K χ +,5 B

36 56 A. Να αποδειχθεί η ταυτότητα: (α + β ) = α +αβ +β B. Να συμπληρωθούν τα κενά στις παρακάτω ισότητες: i) ( x +.) = y ii) ( x + y ) 3 = iii) (.... ) 3 = y 3 3 y x + 3 y x x 3 iv) (x..) = (. + y ) (. y ) Θέμα ο A. Να διατυπώσετε τα (τρία) κριτήρια ισότητας δύο τυχαίων τριγώνων. B. Στο παρακάτω σχήμα τα δύο τρίγωνα είναι ίσα. 7 χ ω Τότε η γωνία ω ισούται με: ι) 7 ο ιι) 43 ο ιιι) 47 ο ιν) 61 ο ν) 108 ο 47 ω χ Να παραγοντοποιηθούν τα παρακάτω πολυώνυμα: i) x xy ii) αx + βy + βx + αy iii) 5x y 0xy + 4 iv) x + 3x 18 v) α αβ +β γ vi) x Άσκηση η Στο διπλανό σχήμα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΕ είναι ίσα και ισχύει: ΑΒ = x +, ΒΔ = 7 y, ΑΓ = 4x και ΔΕ = 5y + 3, ι) Σύμφωνα με ποιο κριτήριο τα τρίγωνα είναι ίσα; ιι) Να δειχθεί ότι ΑΓ = ΔΕ. Α ιιι) Να βρεθούν τα x και y από την επίλυση κατάλληλου συστήματος. ιν) Να βρεθεί η περίμετρος του τριγώνου ΑΒΓ αφού προηγουμένως εφαρμόσετε το πυθαγόρειο θεώρημα. Δίνεται το τριγωνικό αγρόκτημα ΑΒΓ. Αν είναι και ΑΔ = 8m και ΔΕ = 6m: i) Να υπολογιστούν τα μήκη ΑΓ και ΑΒ. ii) Να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΓ είναι όμοια. iii) Να βρεθεί ο λόγος ομοιότητας λ των δύο αυτών τριγώνων. iv) Να υπολογιστεί ο λόγος των εμβαδών του τριγώνου ΑΒΓ προς το τρίγωνο ΔΕΓ v) Αν η αξία του τμήματος ΔΕΓ του χωραφιού είναι 1000, να υπολογιστεί η αξία των τμημάτων ΑΒΓ και ΑΒΕΔ. 47 Β Δ Γ Α Γ Δ Ε Ε Β

37 57 a. Να αποδείξετε ότι: (α + β) 3 = α 3 +3α β +3αβ + β 3 b. Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες: (α + β) =. (α + β)(α β) =. (α β) =. (α β) 3 = Θέμα ο a. Με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος να αποδείξετε ότι: ημ ω + συν ω =1 b. Υπάρχει γωνία ω για την οποία ημω = 1 και συνω =1. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Να λύσετε την εξίσωση: (χ 3) 10 (χ )+χ + 4 = 7 Άσκηση η a. Να λύσετε το σύστημα: χ 1 ψ + = 1 4 χ 3 ψ+ = 3 b. Αν χ, ψ οι λύσεις του παραπάνω συστήματος, να δείξετε ότι: (χ + ψ) χψ 13 =0. Στο διπλανό σχήμα είναι ΕΔ//ΑΒ και ΕΖ//ΑΔ. Να υπολογίσετε τα χ και ψ αν είναι γνωστό ότι, ΑΕ = χ, ΒΔ= ψ, ΔΖ = χ 3, ΕΓ =1 και ΖΓ = 8

38 58 a. Τι ονομάζεται παραγοντοποίηση; b. Τι ονομάζεται ταυτότητα; c. Να αποδειχθεί η ταυτότητα (α β) = α αβ + β Θέμα ο a. Σε ποια τεταρτημόρια η εφαπτομένη είναι αρνητική; b. Ποια η ελάχιστη και ποια η μέγιστη τιμή του ημιτόνου μιας γωνίας; c. Στο τρίγωνο ΚΛΜ Να εκφράσετε το τετράγωνο της πλευράς ΚΛ σύμφωνα με το νόμο των συνημιτόνων. Λ Κ Μ a. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις Α = χψ + χ χ ψ Β = 3χ 3ψ Γ = χ ψ χ 3 A Γ b. Να απλοποιηθεί το κλάσμα Β Άσκηση η Δίνεται η παράσταση: Α = 3α (β α) (α + β) + 4αβ 4(α β) (α + β) 3αβ +048 a. Nα γίνουν οι πράξεις b. Να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης Α όταν α = Να λυθεί το σύστημα: 3(χ + ψ) (χ ψ) = 10 χ = 36 7ψ

39 59 A. Να γράψετε το κριτήριο ισότητας τριγώνων με βάση το οποίο τα διπλανά τρίγωνα είναι ίσα. B. Να αναφέρετε το θεώρημα Θαλή και να γράψετε την μαθηματική σχέση για τα τμήματα του διπλα- Γ Α Β Δ ε 1 ε νού σχήματος, όταν οι ευθείες ε 1, Ε Ζ ε 3 ε και ε 3 είναι παράλληλες. Θέμα ο Έστω ω τυχαία γωνία του συστήματος συντεταγμένων και Μ(χ,ψ) σημείο στην τελική πλευρά της γωνίας ω. Αν η απόσταση του σημείου Μ από το σημείο Ο είναι ρ, a. Πως ορίζεται το ημω και το συνω και b. Να αποδείξετε ότι εφω = ημω συνω M(χ, ψ) ρ ω Ο Να λυθεί η εξίσωση : χ + 3 = 7χ Άσκηση η Να λυθεί το σύστημα : 3χ +ψ = 4 χ ψ = 9 Να αποδειχθεί η ταυτότητα : (χ +ψ) (3χ ψ) 8χ(ψ 3χ) = 16χ

40 60 ί) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες : (α + β) =. (α β) = (α + β) 3 =.. ίί) Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α +β) (α β) = α β ίίί) Να εξετάσετε αν αληθεύει η ισότητα : (α β) = (β α) Θέμα ο Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας δύο τριγώνων. Να γίνουν οι πράξεις : (χ 5) (3χ 1 ) (χ +1) 4χ (χ ) Άσκηση η Να λυθεί η εξίσωση : χ +7 χ 1 = 3 χ Στο παρακάτω σχήμα είναι: ΔΕ // ΒΓ, ΑΒ = 8cm, ΑΔ = 3cm και BΓ = 1cm. Α 3cm Δ Ε 5cm Γ 1cm Δ ί) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια. ίί) Να συμπληρώσετε τις αναλογίες : ίίί) Να υπολογίσετε το τμήμα ΔΕ. ΑΔ ΔΕ ΑΕ = = ΑΒ......

41 61 a. Να γράψετε τα αναπτύγματα: (α β) =... (α + β) 3 =... α β =... b. Να υπολογισθούν: (5χ 4ψ) =... (χ + 3ψ) 3 =... 64χ 5ψ =... Θέμα ο a. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή. b. Πως γίνεται εφαρμογή του σε τρίγωνο; c. Ποια τρίγωνα λέγονται όμοια( ορισμοί) 3χ + 7ψ = 41 Να λυθεί και επαληθευτεί το σύστημα: χ ψ = 8 Άσκηση η Να λύσετε την εξίσωση: χ 9χ 5 = 0 Να βρεθεί ή μέγιστη και ελάχιστη τιμή της παράστασης: Α = 5συνχ 6ημχ

42 6 α) Τι ονομάζεται ταυτότητα β) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες. (α β ) = (α + β ) = α β = γ) Να αποδείξετε ότι : (α β ) 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3 Θέμα ο a. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή. b. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας δύο τριγώνων. Αν Δ, Ε τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ τότε: α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια. β) Να γράψετε τους ίσους λόγους των αντιστοίχων πλευρών. γ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΔΕ είναι ίσο με το 1 4 του εμβαδού του τριγώνου ΑΒΓ. Άσκηση η Να λυθεί η εξίσωση: χ χ χ + χ 3 χ = χ Aν για την γωνία ω ισχύει 0 ω < 360,να αποδείξετε την ισότητα : (αημω + βσυνω) + (βημω ασυνω) = α + β

43 63 a. Να γράψετε το δεύτερο μέλος κάθε ισότητας: α β (α+β) =..., ( β α) ( α + β ) =......, ( ) 3 =... b. Να συμπληρώσετε και να αποδείξετε την ταυτότητα: ( α β ) =... c. Η ισότητα ( ) α + β = α + β ισχύει όταν: 1. α = β. α= β 3. α = 0 ή β = 0 Να γράψετε τη σωστή απάντηση. Θέμα ο a. Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας δύο τυχαίων τριγώνων. b. Να γράψετε το θεώρημα του Θαλή (Διατύπωση- σχήμα αναλογία). c. Να συμπληρώσετε τον επόμενο κανόνα: Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου.. 3ψ χ = 1 Να λύσετε το σύστημα: 3χ + ψ+5 =1 4 6 Άσκηση η Να λύσετε την εξίσωση: χ χ χ 4 χ χ 4χ 6 = 1 Αν συνχ = και 180 < χ < 360 να υπολογίσετε το ημχ και την εφχ. 13

44 64 a. Τι ονομάζεται μονώνυμο και τι συντελεστής μονωνύμου; b. Να δείξετε ότι (α + β) 3 = α α β + 3 αβ + β 3 c. Για ποιες τιμές των α και β ισχύει: (α + β) = (α β). Αιτιολογήστε την απάντηση σας Θέμα ο a. Να αναφέρετε τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων b. Σε τρίγωνο ΑΒΓ τα Κ και Λ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Ποια σχέση συνδέει τα τμήματα ΚΛ και ΒΓ c. Στο τρίγωνο ΚΛΜ τα Ζ, Η και Θ είναι τα μέσα των ΚΛ, ΚΜ και ΛΜ αντίστοιχα. Αν η περίμετρος του ΚΛΜ είναι 4cm, πόση θα είναι η περίμετρος του τριγώνου ΖΗΘ. Αιτιολογήστε την απάντηση σας Δίνονται οι παραστάσεις A = a. Να απλοποιήσετε τις Α και Β χ 5χ + 6 χ 6χ 4 b. Να λύσετε την εξίσωση Α Β = χ χ Άσκηση η χ και Β = χ χ Αν ημω + 1 = 0 και 90 < ω <70 να υπολογίσετε: a. Tο συνω και την εφω b. Tην τιμή της παράστασης Α = ( 1 3εφω) (1 συνω) 4ημω Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ) και Μ το μέσον της ΒΓ. Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών ΑΒ και ΑΓ (προς το μέρος των Β και Γ) παίρνουμε τμήματα ΒΔ = ΓΕ. Να δείξετε ότι: a. ΔΜ = ΕΜ b. Τα Δ και Ε ισαπέχουν από την ΒΓ

45 65 a. Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες: (α β) =... (α + β) 3 =... b. Να αποδειχθεί η ταυτότητα: (α β) 3 = α 3 3α β +3αβ β 3 Θέμα ο Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Θαλή. (διατύπωση σχήμα τύπος) Να αποδειχθεί : Άσκηση η (1 α ) (α + ) (1 α) : =1 4α 4α + 1 (α 1) (4α ) 6x 1 + (3y 1) = 13 Να λυθεί το σύστημα: x + y 3 (x + y) = 16 Αν ημω = 1 και 0 ω 90, να υπολογιστούν: a. συνω b. εφω

46 66 a. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α + β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 b. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: (α β) =. (α + β) (α β) =. (α β) 3 = c. Να συμπληρώσετε τα κενά: (χ ) =.. 6χψ+ Θέμα ο a. Να γράψετε τα τρία κριτήρια ισότητας των τριγώνων. b. Να διατυπωθεί το θεώρημα του Θαλή. c. Δύο ίσα τρίγωνα είναι όμοια; Γιατί; Αν ναι ποιος είναι ο λόγος ομοιότητας; Να γίνουν οι πράξεις και οι απλοποιήσεις: χ(χ ψ) (χ ψ) χ + χψ χ ψ χ + χψ + ψ Άσκηση η Να λυθεί το σύστημα: χ + χψ =5 ψ χ = 3 : χ χ + ψ Αν ημω = 3 5 να υπολογιστούν το συνω και η εφω όταν: a. b. ο ο 0< ω <90 και ο ο 90 < ω <180.

47 a. Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες: 67 (α + β) =., (α β) = (α + β) 3 =.., (α β) 3 = b. Να αποδειχθεί η ταυτότητα: (α + β) (α β) = α β Θέμα ο Να διατυπωθούν τα κριτήρια ισότητας των τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: Άσκηση η Αν ημω = a. Το συνω b. Η εφω. 14 x = 5 x 4 και 180 <ω < 70 να υπολογιστούν: 5 Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση: 3χ 4 ψ 48ψ 5

48 68 a. Τι είναι μονώνυμο, ποια τα μέρη του και πώς ορίζονται. (Παράδειγμα) b. Πώς ορίζεται το άθροισμα όμοιων μονωνύμων. c. Να συμπληρώσετε τις ισότητες : ( α + β ) =... ( α + β ) 3 =... ( α + β) ( α β) =... Θέμα ο a. Για μια οποιαδήποτε γωνία ω να αποδειχθεί ο τύπος ημω εφω = συνω b. Γράψτε τις σχέσεις των τριγωνομετρικών αριθμών δύο παραπληρωματικών γωνιών. c. Αν ισχύει ημω συνω< 0, σε ποια τεταρτημόρια μπορεί να βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας ω ; 3 χ 1 χ χ =1 χ Να λυθεί η εξίσωση : ( ) ( ) Άσκηση η Να λυθεί το σύστημα : ψ χ = 4 χ ( ψ + 1 ) =5 Α Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ = ΑΓ και ΒΔ = ΕΓ. Να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. Β Δ Ε Γ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 90 Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 009 ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 Ο : α) Ποια μονώνυμα λέγονται αντίθετα; Γράψτε ένα παράδειγμα δύο αντίθετων μονωνύμων. β) Ποια αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 Σχ. Έτος ΤΑΞΗ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 Σχ. Έτος ΤΑΞΗ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 007 Σχ. Έτος 006-007 ΤΑΞΗ Γ ΘΕΩΡΙΑ 1. α.) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες : 3 ( α + β ) = ( β ) = α 3 3 3 β.) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Θέματα απολυτήριων εξετάσεων Γ Γυμνασίου σχολικού έτους 013-014 ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Γ 119. Θέμα 1 ο. Θέμα 2 ο. Άσκηση 1 η. Άσκηση 2 η. Άσκηση 3 η

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Γ 119. Θέμα 1 ο. Θέμα 2 ο. Άσκηση 1 η. Άσκηση 2 η. Άσκηση 3 η ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ ΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ 119 α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται. Δώστε ένα παράδειγμα μονωνύμου. β. Να αποδείξετε την ταυτότητα: ( ) α + β = α + αβ + β γ. Να

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου, Κεφάλαιο 1ο

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου, Κεφάλαιο 1ο 1 Ερωτήσεις θεωρίας Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Τι ονομάζουμε μονώνυμο;. Τι ονομάζουμε ρητή αλγεβρική παράσταση; 3. Ποιες τιμές δεν μπορούν να πάρουν οι μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii) ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α1.1 Ισότητα τριγώνων Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α. Άλγεβρα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α. Άλγεβρα ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Άλγεβρα 1. Τι ονομάζεται ακέραια αλγεβρική παράσταση και τι είναι μονώνυμο; Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι μονώνυμα; 3xa,, 5, x 3, 5 x a (σελ.

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω θέματα αποτελούν ασκήσεις προαγωγικών εξετάσεων της Γ Γυμνασίου σε κάποια σχολεία της Ελλάδας.

Τα παρακάτω θέματα αποτελούν ασκήσεις προαγωγικών εξετάσεων της Γ Γυμνασίου σε κάποια σχολεία της Ελλάδας. Τα παρακάτω θέματα αποτελούν ασκήσεις προαγωγικών εξετάσεων της Γ Γυμνασίου σε κάποια σχολεία της Ελλάδας. 1.Δίνεται η παράσταση: A x 1 x x 1x 1 α)να αποδείξετε ότι Ax 11 β)να λύσετε την εξίσωση A 1x γ)να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ 491. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών 8 Μ(x,y) 6 ρ 4 180-ω -10-5 5 Ο ω - -4 Οι παραπληρωματικές

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΙΕΑΣ, ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΙΕΑΣ, ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦ 1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΙΕΑΣ, ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦ. Δ/ΝΣΗ Α/ΘΜΙΑΣ & Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΤΙΟΥ ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑ/ΣΗΣ ΔΩΔ/ΣΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ: ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ Εν. 1: Διανύσματα

Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ Εν. 1: Διανύσματα Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ 016-017 Εν. 1: Διανύσματα 1. Να ονομάσετε τα στοιχεία ενός διανύσματος.. Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 48 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ. 015-016 Ενότητα : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) χ - 4 = (β) 3χ + = (γ) 3 χ + = (δ) 3 χ - 3 = (ε) χ - ψχ + ψ = (στ) 4χ - 3ψ = (ζ) αβ-γαβ+γ = (η) (x-3ω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Ερωτήσεις θεωρίας Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Δώστε ένα παράδειγμα σχετικό με την έννοια της μεταβλητής 2. Να αναφέρετε

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογίες. ΘΕΜΑ 2ο. (Μονάδες 5) β) Να υπολογίσετε το ΓΒ συναρτήσει του κ. (Μονάδες 5) ΑΒ από το σημείο Γ ; (Μονάδες 15)

Αναλογίες. ΘΕΜΑ 2ο. (Μονάδες 5) β) Να υπολογίσετε το ΓΒ συναρτήσει του κ. (Μονάδες 5) ΑΒ από το σημείο Γ ; (Μονάδες 15) Αναλογίες 2_20863. Στο παρακάτω σχήμα είναι 12 και 8. α) Να υπολογίσετε τους λόγους και. (Μονάδες 6) β) Να υπολογίσετε το ΑΓ συναρτήσει του κ. (Μονάδες 5) γ) Να υπολογίσετε τον λόγο. Σε τι λόγο λ διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1 ο α ) Ποια παράσταση καλείται μονώνυμο; Δώστε παράδειγμα. β ) Πότε δυο μονώνυμα είναι όμοια ; Δώστε παράδειγμα όμοιων μονωνύμων. γ ) Για ποιες τιμές των μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ (α + β) = α + αβ + β α + β + γ = 0, α 0 = β ± β 4αγ α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πράξεις με Πραγματικούς αριθμούς. Μονώνυμα - Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα - Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 011 ΘΕΜΑ 1 Ο Να αποδείξετε ότι, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του ισούται µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της στην

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ 2008 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΓΥΜΝΑΣΙΟ 2008 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ 008 65 ΥΜΝΑΣΙΟ 008 66 α. Πότε μια γωνία λέγεται εγγεγραμμένη και πότε επίκεντρη; β. Ποια είναι η σχέση μεταξύ επίκεντρης και εγγεγραμμένης γωνίας, που βαίνουν στο ίδιο τόξο; γ. Πότε δύο τόξα μ

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Β 2 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ A ΕΝΟΤΗΤΑ : Πράξεις Ρητών αριθμών 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες ΜΕΡΟΣ Β.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 97.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες 8 6 y Μ(x,y) ρ Ο ω x 1 Σ ε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2008 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2008 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Πειραματικό υμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Μάιος 8 ΘΕΜΑΤΑ ΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΩΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 8 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ : ΘΕΩΡΙΑ Έστω η εξίσωση δευτέρου βαθμού : a με a β γ (). α) Ποια παράσταση λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Προσομοιωμένο διαγώνισμα απολυτήριων εξετάσεων στα Μαθηματικά της Γ Γυμνασίου ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 01-01 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μιχαήλογλου Στέλιος Παπαθανάση Κέλλυ Πατσιμάς Ανδρέας Πατσιμάς Δημήτρης Ραμαντάνης Βαγγέλης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα

Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Συνοπτική θεωρία Οι σημαντικότερες αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΚΕΦΑΙΑΟ 9 ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ 1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων 22 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Κλίση ευθείας Όλοι έχουμε στο δρόμο τα παρακάτω σήματα, που από την εμπειρία μας καταλαβαίνουμε ότι πλησιάζουμε σε

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα ΜΕΡΟΣ Β. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 7. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Ίσα τμήματα μεταξύ παραλλήλων ευθειών Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (29) -2- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 4) Να κάνετε τις πράξεις και μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 4) Να κάνετε τις πράξεις και μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του ΕΠΑΝΑΗΠΤΙΚΕ ΑΚΗΕΙ Γ ΓΥΜΝΑΙΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: 1) 3 ) 3) 5 3 3 5 3 5) 5 4) 3 5 6) ( α 3 + 3β ) 7) (7 + )(7 ) 8) (β 4 + 1)(β + 1)(β + 1)(β 1). Να κάνετε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο Άσκηση 1 (2_18984) Θεωρούμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ. (α) Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι όμοια και να δικαιολογήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων των προαγωγικών εξετάσεων

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Αλγεβρικές παραστάσεις.

Κεφάλαιο 1 ο. Αλγεβρικές παραστάσεις. Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Αλγεβρικές παραστάσεις. Μέρος Α Θεωρία. 1. Πως προσθέτουμε δύο πραγματικούς αριθμούς; 2. Πως πολλαπλασιάζουμε δύο πραγματικούς αριθμούς; 3. Ποιες είναι οι ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια.

Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια. Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια. Μέρος Α Θεωρία. 1. Με τι είναι ίσο το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου; 2. Ποιο τρίγωνο λέγετε οξυγώνιο αμβλυγώνιο ορθογώνιο. 3. Ποιο τρίγωνο λέγετε

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. ςεδς

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. ςεδς 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια στους

Διαβάστε περισσότερα

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = {

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { Άρρητοι αριθμοί A: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών αριθμών R=

Διαβάστε περισσότερα

β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΓ είναι όμοια και στη συνέχεια να συμπληρώσετε

β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΓ είναι όμοια και στη συνέχεια να συμπληρώσετε ΘΕΜΑ 4 Στο διπλανό τραπέζιο ΑΒΓΔ η ευθεία ΜΛ είναι παράλληλη στις βάσεις ΑΒ και ΔΓ του τραπεζίου και ισχύει ότι = α) Να αποδείξετε ότι = και = (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΓ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Β Γενική Τριγωνομετρία

Β Γενική Τριγωνομετρία Β Γενική Τριγωνομετρία 40 Γενικευμένη γωνία - Γενικευμένα τόξα - Το ακτίνιο Τριγωνομετρικός κύκλος - Τριγωνομετρικοί αριθμοί γενικευμένης γωνίας 1. Η γωνία ω του παρακάτω σχήματος είναι θετική. α) Συνδέστε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών 1. Να υπολογιστούν τα παρακάτω αθροίσματα: i. 5 7 ii. 8 6 iii. 6 4 iv. 9 5 v. 15 15 vi. 17 0 vii. 0 15 viii. 13 14 ix. 12 16 2. Να υπολογιστούν τα παρακάτω αθροίσματα: i. 6,35

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα