ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Διαταρακτικοί υπολογισμοί δύο βρόχων για φερμιονικά ρεύματα Γρηγόρης Σπανούδης Επιβλέπων Καθηγητ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Διαταρακτικοί υπολογισμοί δύο βρόχων για φερμιονικά ρεύματα Γρηγόρης Σπανούδης ΜΑΪΟΣ 2015

2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Διαταρακτικοί υπολογισμοί δύο βρόχων για φερμιονικά ρεύματα Γρηγόρης Σπανούδης Επιβλέπων Καθηγητής: Χαράλαμπος Παναγόπουλος Η Ατομική Διπλωματική Εργασία υποβλήθηκε προς μερική εκπλήρωση των απαιτήσεων απόκτησης του πτυχίου Φυσικής του Τμήματος Φυσικής του Πανεπιστημίου Κύπρου ΜΑΪΟΣ 2015

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα διπλωματική εργασία εντάσσεται στην περιοχή των Ισχυρών Αλληλεπιδράσεων και της θεωρίας που τις διέπει, της Κβαντικής Χρωμοδυναμικής. Επικεντρώνεται στην μελέτη των μονήρων και μη μονήρων ως προς τη γεύση των quarks φερμιονικών ρευμάτων και τις αντίστοιχες συναρτήσεις επανακανονικοποίησής τους. Συγκεκριμένα, παρουσιάζονται κάποιοι από τους αλγεβρικούς υπολογισμούς που απαιτούνται για την κατασκευή της διαφοράς των συναρτήσεων αυτών. Τα φερμιονικά ρεύματα Scalar, Pseudoscalar, Vector, Axial-Vector και Tensor εμπλέκονται άμεσα στον υπολογισμό αδρονικών ιδιοτήτων, όπως μάζες, κατανομή φορτίου, δομή spin. Επίσης, οι υπολογισμοί γίνονται στην 2η διαταρακτική τάξη της Κβαντικής Χρωμοδυναμικής στο πλέγμα για τη βελτιωμένη διακριτοποιημένη δράση με γκλουόνια τύπου Symanzik και φερμιόνια τύπου Staggered με doubly stout links διπλά εύσωμους γκλουονικούς συνδέσμους. Ακριβεστερα, εκτελούνται οι αλγεβρικοί υπολογισμοί της ενεργού κορυφής αλληλεπίδρασης και συγκεκριμένα των έξι συνεισφορών, οι οποίες εμφανίζονται στα διαγράμματα Feynman δύο βρόχων που ενέχονται στην πιο πάνω διαφορά. Η εργασία αποτελείται από συνολικά έξι κεφάλαια. Στα πρώτα πέντε κεφάλαια, γίνεται μια εκτενής περιγραφή του θεωρητικού υποβάθρου των υπολογισμών αυτών. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή στην Θεωρία Κβαντικών Πεδίων, με αναφορά στην κανονική κβάντωση των πεδίων, ενώ στο δεύτερο κεφάλαιο περιγράφεται η κβάντωση των πεδίων με τη χρήση συναρτησιακών ολοκληρωμάτων. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η ομαλοποίηση της Θεωρίας των Κβαντικών Πεδίων με τη χρήση χωροχρονικού πλέγματος. Το τέταρτο κεφάλαιο αναφέρεται στη διαταρακτική μελέτη της Κβαντικής Χρωμοδυναμικής στο πλέγμα. Το πέμπτο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στα φερμιονικά ρεύματα και την επανακανονικοποίησή τους. Στο έκτο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι υπολογισμοί που αναφέραμε, καθώς και η διαδικασία που ακολουθήθηκε. Στον επίλογο δίνονται κάποιες πιθανές μελλοντικές προεκτάσεις της εργασίας. Τέλος, η εργασία κλείνει με τρία παραρτήματα, στα οποία παραπέμπει το κυρίως κείμενο της εργασίας. i

4 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή της παρούσας διπλωματικής εργασίας Δρ. Χάρη Παναγόπουλο, Καθηγητή του τμήματος Φυσικής του Πανεπιστημίου Κύπρου, για την καθοδήγηση και τη βοήθειά του σε κάθε φάση της δημιουργίας της. Θα ήθελα, ακόμη, να εκφράσω την ευγνωμοσύνη μου στην οικογένειά μου για τη διαρκή υποστήριξη, που επέτρεψε την επιτυχή διεκπεραίωση των προπτυχιακών μου σπουδών. ii

5 Περιεχόμενα Περίληψη i Ευχαριστίες ii Κατάλογος Σχημάτων Κατάλογος Πινάκων v vi 1 Εισαγωγικά στοιχεία από την Θεωρία Κβαντικών Πεδίων Η έννοια του πεδίου και η αναγκαιότητά του στη Σχετικιστική Κβαντομηχανική Γενικός Φορμαλισμός O φορμαλισμός της Κβάντωσης των Πεδίων Συμμετρίες και Νόμοι διατήρησης Οι δράσεις των πεδίων Η δράση Klein - Gordon για το ελεύθερο βαθμωτό πεδίο Η δράση Dirac για τα ελεύθερα φερμιόνια Η δράση της Κβαντικής Ηλεκτροδυναμικής QED για τις ηλεκτρομαγνητικές αλληλεπιδράσεις Η δράση της Κβαντικής Χρωμοδυναμικής QCD για τις ισχυρές αλληλεπιδράσεις Οι διαδότες των πεδίων Η κβάντωση του ελεύθερου πραγματικού βαθμωτού πεδίου Klein - Gordon και ο αντίστοιχος διαδότης του Η κβάντωση του ελεύθερου φερμιονικού πεδίου Dirac και ο αντίστοιχος διαδότης του Η κβάντωση του φωτονικού και γκλουονικού πεδίου και οι αντίστοιχοι διαδότες τους Η έννοια της επανακανονικοποίησης Η συναρτησιακή μορφή της Θεωρίας Κβαντικών Πεδίων Η έννοια του Συναρτησιακού Ολοκληρώματος Path Integral και η εφαρμογή του στην Κβαντική Μηχανική Η συναρτησιακή κβάντωση των πεδίων iii

6 Περιεχόμενα iv Η συναρτησιακή αναπαράσταση του διαδότη Klein - Gordon Η συναρτησιακή αναπαράσταση του διαδότη Dirac Η συναρτησιακή αναπαράσταση του φωτονικού διαδότη Η συναρτησιακή αναπαράσταση του γκλουονικού διαδότη Στροφή Wick από τον Minkowski στον Ευκλείδιο χώρο Θεωρία Κβαντικών Πεδίων στο πλέγμα Η αναγκαιότητα της χρήσης χωροχρονικού πλέγματος στην Θεωρία Κβαντικών Πεδίων και η διαδικασία υπολογισμού συναρτήσεων Green σ' αυτό Το ελεύθερο βαθμωτό πεδίο Klein - Gordon στο πλέγμα Το φερμιονικό πεδίο Dirac στο πλέγμα Naive αφελή φερμιόνια και το πρόβλημα του διπλασιασμού Φερμιόνια Wilson Φερμιόνια Staggered Κβαντική Ηλεκτροδυναμική στο πλέγμα Κβαντική Χρωμοδυναμική στο πλέγμα Βελτιωμένες δράσεις της QCD στο πλέγμα Βελτιωμένη γκλουονική δράση τύπου Symanzik Βελτιωμένες δράσεις των φερμιονίων Wilson Βελτιωμένες δράσεις των φερμιονίων Staggered Διαταρακτική μελέτη της Κβαντικής Χρωμοδυναμικής στο πλέγμα Εισαγωγή Κορυφές αλληλεπίδρασης της QCD στο πλέγμα Διαγράμματα Feynman του φερμιονικού διαδότη 1 και 2 βρόχων στην QCD στο πλέγμα Φερμιονικά ρεύματα fermion bilinears στην QCD Ο ορισμός και η σημασία των διγραμμικών φερμιονικών τελεστών fermion bilinears Μονήρεις singlet και μη μονήρεις non-singlet ως προς τη γεύση avor τοπικοί διγραμμικοί φερμιονικοί τελεστές στην QCD Επανακανονικοποίηση Renormalization των διγραμμικών φερμιονικών τελεστών Εφαρμογή του σχήματος επανακανονικοποίησης RI' στο πλέγμα Εφαρμογή του σχήματος επανακανονικοποίησης M S στο πλέγμα Συναρτήσεις επανακανονικοποίησης των διγραμμικών φερμιονικών τελεστών στο πλέγμα Ορισμός των διγραμμικών φερμιονικών τελεστών στη βάση των φερμιονίων Staggered Αλγεβρικοί υπολογισμοί για την κατασκευή της διαφοράς Z singlet Γ Z non singlet Γ 132

7 Περιεχόμενα v 6.1 Διαγράμματα Feynman που συνεισφέρουν στον υπολογισμό μας Κορυφές αλληλεπίδρασης που ενέχονται στους υπολογισμούς μας Υπολογισμός ενεργού κορυφής Επίλογος 141 Παραρτήματα 142 A Υπολογισμός μέσων τιμών πολυωνύμων με γκαουσιανό βάρος 142 A.1 Μέση τιμή πολυωνύμου πραγματικών μεταβλητών με γκαουσιανό βάρος142 A.2 Μέση τιμή μιγαδικού πολυωνύμου μεταβλητών Grassmann με γκαουσιανό βάρος B Πρόγραμμα στην Mathematica για την επιβολή του μετασχηματισμού p µ p µ + π/a 152 Γ Αποτελέσματα υπολογισμών των έξι συνεισφορών της ενεργού κορυφής 164 Βιβλιογραφία 172

8 Κατάλογος Σχημάτων 1.1 Ο συνεχής μετασχηματισμός Lorentz x 1 x 2 x 1 x 2 σε χωροειδή και χρονοειδή διαστήματα για τη μελέτη της διατήρησης της αιτιότητας Υπολογισμός του διαδότη ενός μη σχετικιστικού κβαντικού σωματιδίου με τη χρήση συναρτησιακού ολοκληρώματος Path Integral Διακριτοποίηση του χρόνου στο συναρτησιακό ολοκλήρωμα Path Integral Απεικόνιση των συνδέσμων links στο πλέγμα Απεικόνιση της στοιχειώδους πλακέτας plaquette στο μν - επίπεδο Απεικόνιση των βρόχων 6 συνδέσμων στο πλέγμα Απεικόνιση ενός staple γύρω από τον σύνδεσμο U µ na H κορυφή αλληλεπίδρασης V ψaψ για naive φερμιόνια Wilson καιv χaχ για naive φερμιόνια Staggered H κορυφή αλληλεπίδρασης V AAA Διαγράμματα 1 βρόχου φερμιονικού διαδότη Διαγράμματα 2 βρόχων φερμιονικού διαδότη Απεικόνιση των διγραμμικών φερμιονικών τελεστών fermion bilinears Διαγράμματα Feynman που συνεισφέρουν στην Z singlet Γ Z non singlet Γ Ενεργός Κορυφή Αλληλεπίδρασης που συνεισφέρει στην Z singlet Γ Z non singlet Γ Ο διαδότης S tree και η κορυφή αλληλεπίδρασης V χaχ με doubly stout links Οι κορυφές αλληλεπίδρασης V χγχ με doubly stout links Η κορυφή αλληλεπίδρασης V χv Aχ με doubly stout links vi

9 Κατάλογος Πινάκων 5.1 Κβαντικοί αριθμοί των διγραμμικών φερμιονικών τελεστών και η αντιστοίχισή τους με μεσόνια vii

10 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά στοιχεία από την Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 1.1 Η έννοια του πεδίου και η αναγκαιότητά του στη Σχετικιστική Κβαντομηχανική Πεδίο είναι ο ορισμός μιας φυσικής ποσότητας σε κάθε σημείο του χώρου και χρόνου. Αυτό είναι χρήσιμο σε συστήματα άπειρων βαθμών ελευθερίας, καθώς και στην κατασκευή φυσικών νόμων που να είναι τοπικοί. Η έννοια της ποσότητας αυτής πρωτοεμφανίστηκε στα πλαίσια της δημουργίας μιας θεωρίας που να εξηγεί τις ηλεκτρομαγνητικές αλλά και βαρυτικές δυνάμεις μεταξύ των σωματιδίων, σε κλασικό επίπεδο, καθώς οι δυνάμεις αυτές δεν απαιτούσαν την επαφή των σωματιδίων αλλά δρούσαν εξ αποστάσεως. Αυτό σήμαινε ότι οι δυνάμεις αυτές εξαρτώνται από την απόσταση μεταξύ των αλληλεπιδρώντων σωματιδίων. Ετσι, εισήχθηκε η ποσότητα του πεδίου ως ο χώρος που μεσολαβεί μεταξύ δύο αλληλεπιδρώντων σωματιδίων, ο οποίος μεταφέρει τη δύναμη από το ένα σωματίδιο στο άλλο. Μάλιστα, η ποσότητα αυτή έπρεπε να είναι ορισμένη παντού στο χώρο, έτσι ώστε τα σωματίδια, όπου και να βρίσκονται, να μπορούν να αλληλεπιδράσουν μεταξύ τους μέσω των πεδίων. Η εισαγωγή της έννοιας του πεδίου, λοιπόν, δημιούργησε μια νέα θεωρία, τη Θεωρία Κλασικών Πεδίων, στην οποία τα πεδία παίζουν το ρόλο του φορέα αλληλεπίδρασης μεταξύ των σωματιδίων. Ενώ η κλασική θεωρία χειρίζεται σωματίδια και πεδία ως δύο εντελώς διαφορετικά πράγματα, η κβαντική θεωρία έχει αντίθετη άποψη. Πρώτη ένδειξη 1

11 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικά στοιχεία από την Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 2 ήταν η κυματική μορφή του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, που προέκυψε από τις κλασικές εξισώσεις Maxwell, στην οποία η ταχύτητα διάδοσης του κύματος συνέπιπτε με την ταχύτητα του φωτός. Ετσι για πρώτη φορά σωματίδιο, το φωτόνιο, μπορούσε να περιγραφεί ως κύμα, το οποίο μάλιστα δεν ήταν τίποτα άλλο από το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Ομως, αυτό δεν ήταν αρκετό για την υιοθέτηση της περιγραφής των σωματιδίων ως πεδία. Θα μπορούσε το κάθε ένα από τα σωματίδια να περιγραφεί σαν ένα πεδίο; Το φωτόνιο φαίνεται πως θα μπορούσε, το ηλεκτρόνιο όμως; Η μελέτη των σωματιδίων σε μικρές κλίμακες διαστάσεων έφερε τη γένεση της Κβαντικής Μηχανικής, στην οποία το κάθε σωματίδιο παύει να έχει την κλασική έννοια αλλά αποκτά κυματικές ιδιότητες όπως ακριβώς το φωτόνιο που επιτρέπουν στα παρατηρήσιμα μεγέθη π.χ. θέση σωματιδίου να μην μπορούν να καθοριστούν με πλήρη βεβαιότητα Αρχή αβεβαιότητας Heisenberg. Αυτό επέβαλε την εισαγωγή των κανόνων των πιθανοτήτων, την κβάντωση των σωματιδίων και την υιοθέτηση της έννοιας της κυματοσυνάρτησης, η οποία σχετίζεται με την πιθανότητα μέτρησης παρατηρήσιμων μεγεθών, ενώ η ίδια δεν αποτελεί φυσικό μέγεθος. Η έννοια της κυματοσυνάρτησης ήταν αρκετή για την περιγραφή μη σχετικιστικών στοιχειωδών σωματιδίων, διατηρώντας την κλασική διάκριση μεταξύ σωματιδίου και πεδίου. Ομως δεν μπορούσε να περιγράψει ικανοποιητικά τα σχετικιστικά στοιχειώδη σωματίδια. Κι εδώ είναι που κάνει την επανεμφάνιση του το πεδίο κατέχοντας πρόσθετες ιδιότητες από αυτές της κλασικής περιγραφής του. Αφού ένα στοιχειώδες σωματίδιο δεν έχει πάντοτε καθορισμένη θέση, αλλά μπορεί να αποτελεί ένα απλωμένο κύμα στο χώρο των θέσεων, τότε μπορεί να οριστεί σε κάθε σημείο του χώρου. Άρα, μπορεί να περιγραφεί ως πεδίο. Ετσι, στη θεωρία της Σχετικιστικής Κβαντομηχανικής η κυματοσυνάρτηση αντικαθίσταται με το πεδίο. Η Σχετικιστική Κβαντομηχανική μελετά τη μηχανική σωματιδίων σε πολύ μικρές κλίμακες διαστάσεων κβαντομηχανικές και πολύ υψηλές ενέργειες σχετικιστικές. Δηλαδή, στοχεύει στο συνδυασμό των αρχών της Κβαντομηχανικής με την Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας. Στην απόπειρα αυτή γίνεται αντιληπτό ότι απαιτείται όχι μόνο η εισαγωγή της έννοιας του πεδίου, το οποίο περιγράφει, πλέον, τις καταστάσεις των σχετικιστικών σωματιδίων, αλλά και η κβάντωση της ποσότητας αυτής, όπως ακριβώς γίνεται στην Κβαντομηχανική με την κβάντωση των μη σχετικιστικών σωματιδίων. Οδηγούμαστε έτσι στη Θεωρία Κβαντικών Πεδίων. Η θεωρία αυτή περιγράφει τις τρεις από τις τέσσερεις θεμελιώδεις δυνάμεις της Φύσης, την ηλεκτρομαγνητική, ισχυρή και ασθενή δύναμη, ενώ η βαρυτική, η οποία έχει μικρότερη ισχύ σε σχέση με τις άλλες στο

12 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικά στοιχεία από την Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 3 υποατομικό επίπεδο των στοιχειωδών σωματιδίων, δεν μπόρεσε να ερμηνευτεί μέσω της θεωρίας αυτής. Η αναγκαιότητα του πεδίου στη Σχετικιστική Κβαντομηχανική έγκειται σε τρεις λόγους. Πρώτα απ' όλα, δεν μπορούμε να μιλήσουμε για σχετικιστικές κβαντομηχανικές μονοσωματιδιακές καταστάσεις. Σύμφωνα με τη σχετικιστική σχέση ενέργειας ορμής E 2 = pc 2 + mc 2 2, εμφανίζονται καταστάσεις με αρνητικές ενέργειες, με τη θεμελειώδη κατάσταση να μην έχει κατώτατο ενεργειακό φράγμα. Οι καταστάσεις αυτές ερμηνεύτηκαν ως καταστάσεις πολλών σωματιδίων και αντισωματιδίων, αίροντας το πρόβλημα αυτό. Ομως, η ερμηνεία αυτή έδωσε τη δυνατότητα της ταυτόχρονης δημιουργίας ζεύγους σωματιδίου αντισωματιδίου, από το κενό της θεωρίας, ανά πάσα στιγμή, χρησιμοποιώντας μέρος της ενέργειας του συστήματος. Ακόμη κι αν η ενέργεια του συστήματος δεν είναι αρκετή τότε μπορεί να δημιουργηθεί το ζεύγος σωματιδίου αντισωματιδίου, ως εικονικά σωματίδια, δηλαδή με πολύ μικρό χρόνο ζωής, που θα έχουν την απαιτούμενη ενέργεια λόγω της αρχής της αβεβαιότητας E t /2. Αυτά ισχύουν αντίστοιχα και στην περίπτωση της εξαΰλωσης σωματιδίου αντισωματιδίου. Άρα, η κάθε κατάσταση σχετικιστικών σωματιδίων μπορεί να περιέχει άπειρα σωματίδια και αντισωματίδια, τα οποία δημιουργούνται ή εξαϋλώνονται ανά πάσα στιγμή. Επομένως, ο αριθμός των σωματιδίων της κάθε κατάστασης είναι μεταβλητός. Γι' αυτό, η έννοια της κυματοσυνάρτησης, η οποία περιγράφει καταστάσεις με σταθερό αριθμό σωματιδίων, κρίνεται ανεπαρκής. Αντίθετα, η έννοια του πεδίου μπορεί να περιγράψει τέτοιες καταστάσεις, γι' αυτό και θεωρείται αναγκαία η εισαγωγή της στη θεωρία της Σχετικιστικής Κβαντομηχανικής. Ενας δεύτερος λόγος αναγκαιότητας του πεδίου είναι η εξήγηση της σχέσης σπιν και στατιστικής μεταξύ μη διακρίσιμων σωματιδίων. Στην Κβαντική Μηχανική, η περιγραφή της κατάστασης δύο πανομοιότυπων σωματιδίων γίνεται μέσω της κατασκευής συμμετρικής ή αντισυμμετρικής κυματοσυνάρτησης, επιβάλλοντας έτσι την στατιστική των σωματιδίων με το χέρι. Αν η κατάσταση αναφέρεται σε μποζόνια, τα οποία έχουν ακέραιο σπιν, η ανταλλαγή δύο σωματιδίων αφήνει την κατάσταση αμετάβλητη και άρα η κυματοσυνάρτηση κατασκευάζεται έτσι ώστε να είναι συμμετρική. Αν η κατάσταση αναφέρεται σε φερμιόνια, τα οποία έχουν ημιακέραιο σπιν, η ανταλλαγή δύο σωματιδίων αλλάζει την κατάσταση κατά ένα πρόσημο και άρα η κυματοσυνάρτηση κατασκευάζεται έτσι ώστε να είναι αντισυμμετρική. Με την εισαγωγή της έννοιας του πεδίου δε χρειάζεται να

13 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικά στοιχεία από την Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 4 καθορίσουμε τη στατιστική των σωματιδίων με το χέρι. Αντίθετα, η σχέση σπιν και στατιστικής πηγάζει από το φορμαλισμό της Θεωρίας Κβαντικών Πεδίων. Τέλος, ένας τρίτος λόγος αναγκαιότητας του πεδίου είναι η διατήρηση της αιτιότητας. Υπολογίζοντας το διαδότη ενός ελεύθερου σχετικιστικού σωματιδίου από το χωροχρονικό σημείο x 0, t 0 στο x, t, σύμφωνα με τη θεωρία της Κβαντικής Μηχανικής, παρατηρούμε παραβίαση της αιτιότητας. K x, t; x 0, t 0 = x, t x 0, t 0 = x e i/ Ht t 0 x 0 Αντικαθιστώντας H = pc 2 + mc 2 2, η οποία είναι η σχετικιστική μορφή της χαμιλτονιανής, ο διαδότης μετατρέπεται σε: K x, t; x 0, t 0 = x e i/ t t 0 pc 2 +mc 2 2 x 0 = d 3 p e i/ t t 0 pc 2 +mc 2 2 x p p x 0 Από την Κβαντική Μηχανική γνωρίζουμε ότι x p = [ 1/2π 3/2] e i/ p x, άρα d 3 p K x, t; x 0, t 0 = 2π 3 e i/ t t 0 pc 2 +mc i/ p x x 0 = 1 2π π dφ dθ sin θ e i/ p x x 0 cos θ dp p 2 e i/ t t 0 pc 2 +mc 2 2 2π [ i = dp p e i/ p x x 0 t t 0 pc 2 +mc 2 2 2π 2 x x 0 0 ] dp p e i/ p x x 0 +t t 0 pc 2 +mc Εκτελούμε την εξής αλλαγή μεταβλητών p p στο δεύτερο ολοκλήρωμα και καταλήγουμε στην παρακάτω μορφή του διαδότη: i K x, t; x 0, t 0 = 2π 2 x x 0 dp p e i/ p x x 0 t t 0 pc 2 +mc 2 2 Το ολοκλήρωμα που προέκυψε μπορεί να επιλυθεί με τη βοήθεια της μεθόδου της στάσιμης φάσης θεωρώντας x x 0 ct t 0. Η συνάρτηση φάσης p x x 0 t t 0 pc 2 + mc 2 2 έχει στάσιμο σημείο στο

14 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικά στοιχεία από την Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 5 p s = imc x x 0 / x x 0 2 ct t 0 2. Επομένως, K x, t; x 0, t 0 mc 3/2ct t0 x x 0 2 ct t /4 mc/ x x e 0 2 ct t 0 2π mc 3/2ct t0 x x 0 5/2 e mc/ x x π Το αποτέλεσμα αυτό μας λέει ότι ο διαδότης K x, t; x 0, t 0 από το χωροχρονικό σημείο x 0, t 0 στο x, t, αν και μικρός είναι πεπερασμένος στο όριο x x 0 ct t 0, δηλαδή έξω από το φωτεινό κώνο, η οποία είναι απαγορευμένη περιοχή λόγω αιτιότητας. σωματιδίων υποπίπτει σε παραβίαση της αιτιότητας. Άρα η κβαντομηχανική περιγραφή των σχετικιστικών Η εισαγωγή του πεδίου σωματιδίων και αντισωματιδίων αίρει το πρόβλημα αυτό, καθώς ο διαδότης ενός σωματιδίου σε χωροειδή διαστήματα x > ct δεν ξεχωρίζει από το διαδότη ενός αντισωματιδίου με αντίστροφη χωροχρονική φορά. Αυτό συνεπάγεται ότι, κατά τη μελέτη της εξάρτησης μιας παρατήρησης σε ένα χωροχρονικό σημείο με μια παρατήρηση σε ένα άλλο χωροχρονικό σημείο, τα πλάτη πιθανότητας διάδοσης ενός σωματιδίου και ενός αντισωματιδίου ανάμεσα στα δύο αυτά σημεία αλληλοεξουδετερώνονται σε χωροειδή διαστήματα, διατηρώντας την αιτιότητα. Η Θεωρία Κβαντικών Πεδίων, λοιπόν, μπόρεσε να εξηγήσει τη δυνατότητα μετάβασης μεταξύ καταστάσεων με διαφορετικό αριθμό σωματιδίων, συνέβαλε στην εξήγηση της σχέσης σπιν και στατιστικής και έλυσε το πρόβλημα της αιτιότητας εισάγοντας αντισωματίδια. Το πιο σημαντικό, όμως, είναι ότι έδωσε τα κατάλληλα εργαλεία για τον υπολογισμό ενεργών διατομών σκέδασης, των χρόνων ζωής των σωματιδίων και άλλων παρατηρήσιμων ποσοτήτων. Η πειραματική επαλήθευση των πιο πάνων μεγεθών έδωσε υπόσταση στη θεωρία αυτή, ουσιαστικό λόγο για την περαιτέρω μελέτη της. δημιουργώντας ένα 1.2 Γενικός Φορμαλισμός O φορμαλισμός της Κβάντωσης των Πεδίων Η κβάντωση των κλασικών πεδίων ακολουθεί πιστά την κβάντωση των κλασικών σωματιδίων, που συναντούμε στη θεωρία της Κβαντικής Μηχανικής. Εκεί η κβάντωση γίνεται μέσω της μετατροπής της γενικευμένης συντεταγμένης q i t του κάθε σωματιδίου και της συζυγούς ορμής του p i t, σε ερμιτιανούς

15 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικά στοιχεία από την Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 6 τελεστές ενός χώρου Hilbert, οι οποίοι ικανοποιούν τις εξής μεταθετικές σχέσεις στην εικόνα Heisenberg: [q i t, p j t] = i δ ij [q i t,q j t] = [p i t, p j t] = κατ' αντιστοιχία των κλασικών σχέσεων: {q i t, p j t} P B = δ ij {q i t, q j t} P B = {p i t, p j t} P B = 0 όπου { } P B είναι οι αγκύλες Poisson. Αντίστοιχα όλα τα παρατηρίσιμα μεγέθη μετατρέπονται σε ερμιτιανούς τελεστές, αφού αποτελούν συναρτήσεις των q i t και p i t. Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία, γίνεται και η κβάντωση των πεδίων. Εδώ, εκτός από τα συνήθη παρατηρήσιμα μεγέθη, και τα πεδία μετατρέπονται σε ερμιτιανούς τελεστές ενός χώρου Fock, ο οποίος περιλαμβάνει άπειρους χώρους Hilbert διότι αναπαριστά καταστάσεις με μεταβλητό αριθμό σωματιδίων. Η κβάντωση αυτή ονομάζεται δεύτερη κβάντωση. Στο πρόγραμμα αυτό της κβάντωσης των πεδίων, το πεδίο φ x, t παίζει το ρόλο της συντεταγμένης q i t, ενώ το ρόλο της συζυγούς ορμής έχει το συζυγές πεδίο π x, t, το οποίο ορίζεται με τη χρήση του φορμαλισμού της Θεωρίας Κλασικών Πεδίων. Σημαντική διαφορά μεταξύ Κβαντικής Μηχανικής και Θεωρίας Κβαντικών Πεδίων είναι ότι το πεδίο αποτελεί μια χωροχρονική συνάρτηση, ενώ η συντεταγμένη ενός σωματιδίου είναι μόνο χρονική. Δηλαδή, το πεδίο είναι μια συνεχής συνάρτηση του χώρου, ενώ αντίθετα η συντεταγμένη ενός σωματιδίου ορίζεται σε ένα μόνο σημείο του χώρου. Γι' αυτό και στην περίπτωση του πεδίου, ο διακριτός δείκτης i αντικαθίσταται από τη συνεχή μεταβλητή x. Σ' ένα τέτοιο συνεχές σύστημα, όπως είναι το πεδίο, οι μεταθετικές σχέσεις 1.2 χρειάζονται την απαραίτητη γενίκευση. Για σκοπούς πληρότητας, ας ορίσουμε πρώτα το συζυγές πεδίο π x, t, προτού γράψουμε τις μεταθετικές σχέσεις των πεδίων. Για να καταστεί σαφής ο παραλληλισμός μεταξύ της κβάντωσης πεδίου και σωματιδίου, θεωρούμε το πεδίο ως ένα σύστημα με πεπερασμένο αριθμό βαθμών ελευθερίας διαιρώντας τον τριδιάστατο χώρο σε κελιά όγκου V i και ορίζοντας τη συντεταγμένη φ i t από τη

16 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικά στοιχεία από την Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 7 μέση τιμή του φ x, t στο i-οστό κελί: φ i t 1 d 3 x φ x, t V i ith cell Αντίστοιχα, η ποσότητα φ i t ορίζεται ως η μέση τιμή της παραγώγου φ x, t/ t και η L i, ως η μέση τιμή της λαγκρανζιανής πυκνότητας στο i-οστό κελί. Με τους ορισμούς αυτούς η λαγκρανζιανή γράφεται ως: L = d 3 xl i V i L i Σύμφωνα με την Κλασική Μηχανική, η συζυγής ορμή θα είναι: p i t = L φ i t = V L i i φ i t V i π i t όπου π i t είναι η συζυγής πυκνότητα ορμής. σύστημα, η συζυγής πυκνότητα ορμής, ορίζεται ως: Επιστρέφοντας πίσω στο συνεχές π x, t = Lφ, µφ φ x, t 1.3 η οποία είναι το συζυγές πεδίο του φ x, t. Οι αντίστοιχες μεταθετικές σχέσεις 1.2 για το πιο πάνω διακριτό σύστημα θα είναι: [φ i t, p j t] = i δ ij [φ i t, φ j t] = [p i t, p j t] = 0 ή συναρτήσει του π i t [φ i t, π j t] = i δ ij V i [φ i t, φ j t] = [π i t, π j t] = 0 Επιστρέφοντας πίσω στο συνεχές σύστημα, οι πιο πάνω σχέσεις μετατρέπονται σε: [φ x, t, π y, t] = i δ 3 x y [φ x,t, φ y, t] = [π x, t, π y, t] = όπου πήραμε το όριο V i 0. Γενικεύοντας τα πιο πάνω αποτελέσματα για φυσικά συστήματα που περιγράφονται από περισσότερα του ενός ανεξάρτητα πεδία φ r x, t,

17 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικά στοιχεία από την Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 8 τα συζυγή πεδία ορίζονται ως: π r x, t = L φ r x, t 1.5 και οι αντίστοιχες μεταθετικές σχέσεις, ως: [φ r x, t, π s y, t] = i δ rs δ 3 x y [φ r x, t, φ s y, t] = [π r x, t, π s y, t] = Ο πιο πάνω φορμαλισμός χρησιμοποιείται για την περιγραφή της κβάντωσης των πεδίων των μποζονίων, τα οποία είναι συμμετρικά ως προς την ανταλλαγή σωματιδίων. Για την περιγραφή της κβάντωσης των πεδίων των φερμιονίων, ακολουθείται ένας παρόμοιος φορμαλισμός, στον οποίο όμως, χρειάζεται η αντικατάσταση των μεταθετικών σχέσεων με τις αντίστοιχες αντιμεταθετικές σχέσεις, διότι τα φερμιονικά πεδία είναι αντισυμμετρικά ως προς την ανταλλαγή σωματιδίων Συμμετρίες και Νόμοι διατήρησης Η σχέση συνεχών συμμετριών και νόμων διατήρησης στη Θεωρία Κλασικών Πεδίων περιγράφεται μέσω ενός θεωρήματος, του θεωρήματος της Noether. Το θεώρημα αυτό συνεχίζει να ισχύει και στη Θεωρία Κβαντικών Πεδίων, καθώς ο ορισμός των διατηρούμενων ποσοτήτων μένει ο ίδιος, με τη μόνη διαφορά της μετατροπής των συναρτήσεων των πεδίων σε τελεστές. Σύμφωνα με το θεώρημα αυτό, όταν ένα φυσικό σύστημα υποβάλλεται σε συνεχή μετασχηματισμό, ο οποίος αποτελεί συμμετρία, δηλαδή οι εξισώσεις κίνησεις του συστήματος μένουν αναλλοίωτες, τότε υπάρχει μια ορισμένη ποσότητα, η οποία καλείται ρεύμα της Noether, που είναι συνάρτηση του συστήματος και η οποία διατηρείται. Η ποσότητα αυτή έχει τεράστια σημασία, διότι δεν αποτελεί έναν απλό σταθερό αριθμό που διατηρείται καθολικά στο σύμπαν, αλλά μια ποσότητα που εξαρτάται από τις χωροχρονικές συντεταγμένες και άρα διατηρείται τοπικά, δηλαδή σε κάθε σημείο του σύμπαντος. Ως εκ τούτου, η ποσότητα αυτή είναι χρήσιμη για τη μελέτη τοπικών φαινομένων. Ενα τέτοιο θεώρημα που επιτρέπει την περιγραφή παρατηρούμενων τοπικών κανόνων στη φύση μέσω των απαιτήσεων συμμετρίας μιας τοπικής λαγκρανζιανής πυκνότητας αφού αυτή δίνει τις εξισώσεις κίνησης είναι οπωσδήποτε ένας χρήσιμος οδηγός για την εισαγωγή όρων αλληλεπίδρασης που

18 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικά στοιχεία από την Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 9 πηγάζουν από τα διατηρούμενα ρεύματα στη λαγκρανζιανή πυκνότητα, δημιουργώντας έτσι νέες θεωρίες. Γι' αυτό και μας ενδιαφέρει η εφαρμογή του στη Θεωρία Κβαντικών Πεδίων. Ενας συνεχής απειροελάχιστος μετασχηματισμός του πεδίου φx στο εξής x x µ = x, t μπορεί να γραφτεί με τη γενική μορφή: φx φ x = φx + α φx όπου α είναι απειροελάχιστη σταθερά και φx κάποια παραμόρφωση του πεδίου. Ενας τέτοιος γενικός μετασχηματισμός πεδίου για να αποτελεί συμμετρία, πρέπει η λαγκρανζιανή πυκνότητα του συστήματος να μένει αναλλοίωτη ή να μεταβάλλεται κατά μία ολική παράγωγο, έτσι ώστε οι εξισώσεις Euler - Lagrange του συστήματος να παραμένουν αμετάβλητες. Δηλαδή, Lx L x = Lx + α µ J µ x 1.7 όπου J µ x: τυχαία συνάρτηση. Επίσης, ένας τυχαίος συνεχής απειροελάχιστος μετασχηματισμός της λαγκρανζιανής πυκνότητας έχει την παρακάτω γενική μορφή: Lφx, µ φx L φx, µ φx = Lφx, µ φx + α Lφx, µ φx = L + α L φ φ + α L µ φ µ φ L = L + α µ µ φ φ + α[ L φ L µ µ φ ] φ Ο δεύτερος όρος μηδενίζεται λόγω της εξίσωσης Euler - Lagrange. Επομένως, L L φx, µ φx = Lφx, µ φx + α µ µ φ φ Εξισώνοντας την πιο πάνω σχέση με την 1.7, προκύπτει: µ j µ x = 0 για j µ x = L µ φ φ J µ x 1.8 Η ποσότητα j µ x είναι το αποκαλούμενο ρεύμα της Noether. Είναι διατηρούμενο διότι ικανοποιεί την εξίσωση συνέχειας. Κατά συνέπεια, όπως ισχύει για κάθε

19 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικά στοιχεία από την Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 10 διατηρούμενο ρεύμα, το αντίστοιχο φορτίο Q: Q j 0 d 3 x 1.9 all space διατηρείται, δηλαδή ικανοποιεί την εξίσωση dq/dt = 0. Το φορτίο αυτό, για κάθε συμμετρία είναι διαφορετικό διατηρούμενο μέγεθος. Άρα, για κάθε συμμετρία της L, έχουμε κι ένα νόμο διατήρησης. Ενα σημαντικό παράδειγμα εφαρμογής του θεωρήματος Noether είναι το εξής: Οταν το σύστημα υποβάλλεται σε μετασχηματισμούς χωροχρονικής μετατόπισης τότε οι διατηρούμενες ποσότητες είναι η ορμή και η ενέργεια του συστήματος, δύο πολύ σημαντικά μεγέθη, τα οποία θα χρησιμοποιήσουμε στη μελέτη της κβάντωσης των πεδίων. Ενας τέτοιος μετασχηματισμός συνοψίζεται στην πιο κάτω έκφραση: x µ x µ = x µ α µ ο οποίος επιφέρει τον εξής μετασχηματισμό για το πεδίο: φx φ x = φx + α = φx + α µ µ φx Η λαγκρανζιανή πυκνότητα είναι βαθμωτή ποσότητα, όπως το πεδίο, γι' αυτό και μετασχηματίζεται με τον ίδιο τρόπο. L L = L + α µ µ L = L + α ν µ δ µ νl Άρα, J µ ν = δ µ νl και τα διατηρούμενα ρεύματα είναι: j µ ν = L µ φ νφ δ µ νl 1.10 Επομένως, τα διατηρούμενα μεγέθη των πιο πάνω ρευμάτων θα είναι αφ' ενός η χαμιλτονιανή του συστήματος, η οποία ορίζεται ως: H = d 3 x j 00 = d 3 x [πx φx L] d 3 x H 1.11

20 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικά στοιχεία από την Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 11 όπου H ονομάζεται χαμιλτονιανή πυκνότητα, και αφ' ετέρου οι τρεις συνιστώσες της φυσικής ορμής του συστήματος, οι οποίες ορίζονται ως: P i = d 3 x j 0i = d 3 x πx i φx d 3 x πx φx 1.12 P = 1.3 Οι δράσεις των πεδίων Οι δράσεις των πεδίων διαδραματίζουν ένα πολύ σημαντικό ρόλο στη Θεωρία Κβαντικών Πεδίων εκπεφρασμένη με Συναρτησιακά Ολοκληρώματα, τα οποία θα εξετάσουμε στο Κεφάλαιο 2. Για το λόγο αυτό, είναι χρήσιμο να ορίσουμε τις δράσεις των ελεύθερων αλλά και αλληλεπιδρώντων πεδίων Η δράση Klein - Gordon για το ελεύθερο βαθμωτό πεδίο Η εξίσωση Klein Gordon που περιγράφει ένα ελεύθερο πραγματικό βαθμωτό πεδίο είναι η ακόλουθη: [ + mc 2 ] φx = όπου = 3 µ=0 µ µ είναι ο τελεστής D' Alembert. Η εξίσωση αυτή προέκυψε από τις αντικαταστάσεις E i / t και p i, όπως ακριβώς και στην κβαντομηχανική εξίσωση του Schrödinger μιας και η εξίσωση αυτή διαχειρίζεται ισότιμα το χώρο και το χρόνο. Η μόνη ριζική διαφορά είναι η εγκατάλειψη της μη σχετικιστικής σχέσης ενέργειας - ορμής E = p 2 /2m και η υιοθέτηση της σχετικιστικής σχέσης E 2 = pc 2 + mc 2 2. Αρχικά, η πιο πάνω εξίσωση είχε προταθεί ως σχετικιστική διόρθωση της ελεύθερης εξίσωσης Schrödinger με φx να είναι η κυματοσυνάρτηση ενός σχετικιστικού σωματιδίου, στα πλαίσια μιας θεωρίας κβαντικού σχετικιστικού σωματιδίου. Απορρίφθηκε, όμως, λόγω των παρακάτω προβλημάτων: είναι διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης ως προς το χρόνο με αποτέλεσμα η αρχική συνθήκη φ x, t 0, να μην είναι αρκετή για την πλήρη περιγραφή του συστήματος. Επίσης, έχει αρνητικές ενέργειες χωρίς κατώτατο φράγμα και αρνητικές πυκνότητες πιθανότητας. Στη συνέχεια, όμως,

21 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικά στοιχεία από την Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 12 επανερμηνεύθηκε χρησιμοποιώντας την πολυσωματιδιακή ερμηνεία των καταστάσεων και τελικά επέζησε ως θεωρία κλασικού ελεύθερου πραγματικού βαθμωτού πεδίου. Σε μονάδες όπου = c = 1, η Λαγκρανζιανή πυκνότητα του βαθμωτού πεδίου έχει την εξής μορφή: L K G = 1 2 µ φ µ φ 1 2 m2 φ καθώς η εξίσωση Euler - Lagrange της λαγκρανζιανής αυτής δίνει την επιθυμητή εξίσωση Klein Gordon. L φ L ν ν φ = 0 m 2 φ ν [ ν φ 1 2 ρφ g ρµ µ φ] = 0 m 2 φ ν 1 2 δ νρ g ρµ µ φ ρφ g ρµ δ µν = 0 m 2 φ ν 1 2 ν φ ν φ = 0 µ µ + m 2 φ = 0 + m 2 φx = 0 Η αντίστοιχη δράση του πεδίου Klein Gordon είναι: S = d 4 x L = d 4 x 1 2 µ φ µ φ 1 2 m2 φ 2 = 1 d 4 x µ φ µ φ 1 d 4 x φx + m 2 φx 2 2 Το πρώτο ολοκλήρωμα μετατρέπεται σε κλειστό επιφανειακό ολοκλήρωμα κατά μήκος του τετραδιάστατου χωροχρονικού διαστήματος ολοκλήρωσης. Επειδή το πεδίο φx είναι μηδέν στην αρχή και στο τέλος της περιοχής ολοκλήρωσης, τότε το ολοκλήρωμα εν τέλει μηδενίζεται. Επομένως, S K G = 1 d 4 x φx + m 2 φx

22 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικά στοιχεία από την Θεωρία Κβαντικών Πεδίων Η δράση Dirac για τα ελεύθερα φερμιόνια Η ελεύθερη εξίσωση Dirac που περιγράφει το σπινοριακό πεδίο των ελεύθερων φερμιονίων είναι η ακόλουθη: i/ mψx = όπου / = γ µ µ και γ µ είναι οι 4x4 πίνακες Dirac που ικανοποιούν την αντιμεταθετική σχέση {γ µ, γ ν } = 2 g µν. Η εξίσωση αυτή προήλθε από την προσπάθεια βελτίωσης της εξίσωσης Klein - Gordon, ούτως ώστε να εξαλειφθούν τα προαναφερθέντα προβλήματα που παρουσίαζε, στα πλαίσια της περιγραφής μιας θεωρίας κβαντικού σχετικιστικού σωματιδίου. Η νέα αυτή εξίσωση που προέκυψε είναι διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης ως προς το χρόνο, έχει θετικές πυκνότητες πιθανότητας ενώ εμφανίζονται και πάλι οι αρνητικές ενέργειες χωρίς κατώτατο φράγμα. Ετσι, αν και έλυνε τα δύο από τα τρία προβλήματα της εξίσωσης Klein - Gordon, εντούτοις απορρίφθηκε και αυτή η εξίσωση ως περιγραφή θεωρίας κβαντικού σωματιδίου. Ομως, επέζησε ως θεωρία κλασικού πεδίου χρησιμοποιώντας την πολυσωματιδιακή ερμηνεία των καταστάσεων, με τη θεμελιώδη κατάσταση να έχει πλήρως συμπληρωμένες τις αρνητικές ενεργειακές στάθμες θάλασσα Dirac, λύνοντας έτσι το πρόβλημα της ανυπαρξίας ενεργειακού φράγματος, καθώς επίσης και την εισαγωγή των αντισωματιδίων για να αίρουν τις αρνητικές ενέργειες. Καταστάσεις σωματιδίων με αρνητική ενέργεια που διαδίδονται στο χωροχρόνο κατά την αντίστροφη φορά ισοδυναμούν με καταστάσεις αντισωματιδίων με θετική ενέργεια που διαδίδονται στο χωροχρόνο κατά την ορθή φορά. Σημαντική ιδιότητα της εξίσωσης Dirac είναι ότι εμπλέκει ένα πεδίο με τέσσερεις συνιστώσες κι επομένως είναι ιδανική για ένα σπινοριακό πεδίο όπως είναι τα φερμιόνια. Η Λαγκρανζιανή πυκνότητα του φερμιονικού πεδίου έχει την εξής μορφή: L F = ψxiγ µ µ mψx 1.17 όπου ψx ψ + xγ 0 είναι το συζυγές πεδίο του ψx. Οντως, η εξίσωση Euler - Lagrange της λαγκρανζιανής αυτής δίνει την επιθυμητή εξίσωση Dirac για το πεδίο ψx. L ψ L µ = 0 i/ mψx = 0 µ ψ

23 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικά στοιχεία από την Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 14 Επίσης, προκύπτει μία εξίσωση Euler - Lagrange για το συζυγές πεδίο ψx. L ψ L ν ν ψ = 0 m ψ ν i ψγ µ δ µν = 0 i µ ψγ µ + m ψ = 0 ψi µ γ µ + m = 0 ψxi / + m = Η εξίσωση αυτή είναι ισοδύναμη με την Η αντίστοιχη δράση του πεδίου Dirac είναι: S F = d 4 x L = d 4 x ψxiγ µ µ mψx Η δράση της Κβαντικής Ηλεκτροδυναμικής QED για τις ηλεκτρομαγνητικές αλληλεπιδράσεις Η Κβαντική Ηλεκτροδυναμική QED περιλαμβάνει τις αλληλεπιδράσεις των ηλεκτρονίων μέσω της ανταλλαγής φωτονίων. H δράση της QED αποτελείται από δύο μέρη: τη δράση των φωτονίων και τη δράση των ηλεκτρονίων. Επίσης, η QED είναι μια θεωρία βαθμίδος, δηλαδή η δράση της μένει αναλλοίωτη κάτω από τους τοπικούς μετασχηματισμούς βαθμίδας της αβελιανής ομάδας U1. Άρα, τόσο η δράση των φωτονίων όσο και η δράση των ηλεκτρονίων θα πρέπει ξεχωριστά η κάθε μια να μένει αναλλοίωτη κάτω από τέτοιους μετασχηματισμούς. Ας ξεκινήσουμε πρώτα από τη δράση των ηλεκτρονίων. υποκεφάλαιο 1.2.2, η δράση των ελεύθερων ηλεκτρονίων είναι: S EL = d 4 x ψxiγ µ µ mψx Σύμφωνα με το αφού τα ηλεκτρόνια είναι φερμιόνια. Η δράση αυτή μένει αναλλοίωτη κάτω από τους ολικούς μετασχηματισμούς βαθμίδας: ψx Gψx ψx ψxg 1 όπου G είναι ένα στοιχείο της αβελιανής ομάδας U1, δηλαδή G = e iλ με Λ να είναι ανεξάρτητη του x. Δε συμβαίνει όμως το ίδιο κάτω από τους τοπικούς

24 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικά στοιχεία από την Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 15 μετασχηματισμούς βαθμίδας, δηλαδή Gx = e iλx. Για να πετύχουμε τοπικά αναλλοίωτη δράση, αντικαθιστούμε την κανονική τετραδιάστατη παράγωγο µ με τη συναλλοίωτη παράγωγο D µ, η οποία ορίζεται ως: D µ = µ + iea µ 1.20 με e να είναι το φορτίο του ηλεκτρονίου. Η νέα αυτή παράγωγος περιλαμβάνει το φωτονικό πεδίο A µ δίνοντας έτσι όρο σύζευξης του φωτονικού με το πεδίο των ηλεκτρονίων. Δεδομένου ότι, κάτω από τοπικούς μετασχηματισμούς βαθμίδος ισχύει A µ x A µ x 1/e µ Λx συμπεραίνουμε ότι D µ GxD µ G 1 x. Η καινούργια πλέον δράση των ηλεκτρονίων θα είναι: S EL = d 4 x ψxiγ µ D µ mψx 1.21 η οποία είναι αναλλοίωτη κάτω από τους τοπικούς μετασχηματισμούς: ψx Gxψx ψx ψxg 1 x 1.22 A µ x A µ x 1 e µλx Το επόμενο βήμα είναι η κατασκευή της δράσης των φωτονίων, η οποία στην πραγματικότητα θα περιλαμβάνει μόνο ένα κινητικό όρο, αφού όρος σύζευξης φωτονίων ηλεκτρονίων έχει ήδη προστεθεί στη δράση των ηλεκτρονίων, ενώ τα φωτόνια δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, καθώς δεν έχουν ηλεκτρικό φορτίο. Επίσης, δε θα περιλαμβάνει ούτε καν όρο μάζας, γιατί ένας τέτοιος όρος δεν είναι τοπικά αναλλοίωτος. Επομένως, η δράση των φωτονίων θα είναι η έκφραση: S P H = 1 d 4 x F µν F µν όπου F µν = µ A ν ν A µ, η οποία συμπίπτει με την κλασική δράση Maxwell για το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Η πιο πάνω δράση είναι αναλλοίωτη κάτω από τους τοπικούς μετασχηματισμούς βαθμίδος του φωτονικού πεδίου, όπως απορρέει από τους μετασχηματισμούς Συμπερασματικά, η δράση της Κβαντικής Ηλεκτροδυναμικής είναι: S QED = S P H + S EL = 1 4 d 4 x F µν F µν + d 4 x ψxiγ µ D µ mψx 1.24

25 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικά στοιχεία από την Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 16 Ετσι δημιουργήσαμε μια τοπικά αναλλοίωτη δράση κάτω από τους μετασχηματισμούς βαθμίδας της αβελιανής ομάδας U1. Θα πρέπει, όμως, να ελέγξουμε αν όντως η λαγκρανζιανή της πιο πάνω δράσης δίνει τις σωστές εξισώσεις κίνησης. Οι πρώτες δύο εξισώσεις Euler - Lagrange που προκύπτουν είναι: L ψ L µ = 0 i/ e /A mψx = µ ψ και L ψ L µ µ ψ = 0 ψxi / + e /A + m = όπου /A = γ µ A µ. Οι εξισώσεις αυτές είναι ισοδύναμες και αποτελούν την εξίσωση Dirac συζευγμένη με το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Η τελευταία εξίσωση Euler - Lagrange είναι: L A L ν µ ν A µ = 0 ψeγ ρ g ρσ A σ ψ + 1 A µ 4 ν[ g ρρ g σσ F ρ σ F ρσ ] = 0 ν A µ F ρσ ψeγ ρ g ρµ ψ ν[f ρσ ν A µ ] = 0 ψeγ ρ g ρµ ψ + ν F νµ = 0 ψeγ ρ g ρµ g µσ ψ g µσ ν F µν = 0 ν F σν = ψeγ σ ψ µ F µν = e ψγ ν ψ 1.27 η οποία είναι η συμπτυγμένη γραφή των εξισώσεων Maxwell σε μονάδες c = µ 0 = 1, καθώς η ποσότητα e ψγ ν ψ ισούται με το τετραδιάνυσμα ρεύματος j ν = eρ, e j. Άρα, η πιο πάνω δράση, δίνει όντως τις σωστές εξισώσεις κίνησης κι επομένως περιγράφει τις ηλεκτρομαγνητικές αλληλεπιδράσεις Η δράση της Κβαντικής Χρωμοδυναμικής QCD για τις ισχυρές αλληλεπιδράσεις Η Κβαντική Χρωμοδυναμική QCD περιλαμβάνει τις αλληλεπιδράσεις των quark μέσω της ανταλλαγής γκλουονίων. Η δράση της QCD αποτελείται από δύο μέρη: τη δράση των γκλουονίων και τη δράση των quark. Επίσης, η QCD είναι μια θεωρία βαθμίδος, δηλαδή η δράση της μένει αναλλοίωτη κάτω από τους τοπικούς μετασχηματισμούς βαθμίδας της μη αβελιανής ομάδας SU3. Άρα, τόσο η δράση των γκλουονίων όσο και η δράση των quark θα πρέπει ξεχωριστά η κάθε μια να μένει αναλλοίωτη κάτω από τέτοιους μετασχηματισμούς.

26 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικά στοιχεία από την Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 17 Ξεκινούμε χρησιμοποιώντας ως πρότυπο τη δράση της QED. Στις μη αβελιανές θεωρίες βαθμίδος SUN, αντί ενός ελεύθερου πεδίου Dirac, έχουμε Ν τέτοια πεδία με ίδια μάζα. Στη συγκεκριμένη περίπτωση τα quark και αντιquark, συναντώται σε N = 3 διαφορετικά είδη, στα οποία προσδίδουμε διαφορετικό χρώμα για να τα διακρίνουμε. Ετσι το πεδίο ψ αντικαθίσταται από το διάνυσμα-στήλη 3x1 = ψ και το πεδίο ψ από το διάνυσμα-γραμμή 1x3 ψ = ψ1 ψ2 ψ3. Αντίστοιχα και το γκλουονικό πεδίο μετατρέπεται σε πίνακα 3 x 3 õ, ούτως ώστε να μπορέσει να συζευχθεί με δύο αλληλεπιδρώντα quark. Η δράση των quark θα πάρει τη μορφή: S Q = ψ 1 ψ 2 ψ 3 d 4 x ψxiγ µ D µ m ψx 1.28 όπου D µ = µ + igãµ και g: σταθερά σύζευξης ισχυρής αλληλεπίδρασης. Η S q είναι αναλλοίωτη κάτω από τους τοπικούς μετασχηματισμούς: ψx Gx ψx ψx ψx G 1 x A µ x x G 1 x i Gxõ g Gx µ G 1 x 1.29 όπου είναι ένα στοιχείο της μη αβελιανής ομάδας SU3, δηλαδή = e Gx Gx i Λx με ερμιτιανός πίνακας που ανήκει στην άλγεβρα Lie της SU3. Ο Λx μετασχηματισμός 1.29 για τα γκλουόνια είναι ανάλογος της φωτονικής έκφρασης Πράγματι, αν η ποσότητα = e Gx i Λx είναι πίνακας 1x1, τότε οι σχέσεις 1.29 μετατρέπονται στις Τώρα, η δράση των γκλουονίων θα μοιάζει με αυτή των φωτονίων αλλά θα έχει κάποιες σημαντικές διαφορές. Πρώτα απ' όλα, αφού το πεδίο μετατράπηκε σε πίνακα τότε και ο αντίστοιχος τανυστής του θα είναι και αυτός πίνακας µν. F Απαιτούμε ο τανυστής µν να είναι τουλάχιστον συναλλοίωτος κάτω από τους F τοπικούς μετασχηματισμούς της SU3, δηλαδή µν Gx F µν G F 1 x, κατ' αναλογία με το φωτονικό πεδίο. Μ' αυτό τον τρόπο η γκλουονική δράση μπορεί να κατασκευαστεί από το ίχνος της ποσότητας µν F F µν, μιας και είναι η απλούστερη βαθμωτή ποσότητα, που είναι αναλλοίωτη κάτω από τους τοπικούς μετασχηματισμούς βαθμίδας. Για να είναι συναλλοίωτος ο τανυστής µν, χρειάζεται F να διαφοροποιήσουμε λίγο τον ορισμό του, σε σχέση με το φωτονικό τανυστή. Κι εδώ υπεισέρχεται η δεύτερη σημαντική διαφορά με το φωτονικό πεδίο. Η ύπαρξη

27 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικά στοιχεία από την Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 18 του χρώματος δημιούργησε διαφορετικά είδη γκλουονίων, τα οποία μπορούν να αλληλεπιδράσουν και μεταξύ τους. Επομένως, η δράση των γκλουονίων δεν περιέχει μόνο ένα κινητικό όρο αλλά και όρο αλληλεπίδρασης. Λαμβάνοντας όλα τα πιο πάνω υπόψη, η γκλουονική δράση παίρνει τη μορφή: S G = 1 d 4 x tr F µν F µν 1.30a 2 όπου F µν = µãν νãµ + ig[ãµ, Ãν ] 1.30b Εδώ σημειώνουμε ότι αφού η ποσότητα i/g µ Gx G 1 x είναι ερμιτιανός πίνακας με ίχνος μηδέν, τότε η υπόθεση ότι και το γκλουονικό πεδίο õ είναι ερμιτιανός πίνακας με ίχνος μηδέν είναι αυτοσυνεπής. Άρα το πεδίο õ, ανήκει στην άλγεβρα Lie της SU3. Επομένως, μπορεί να γραφτεί ως: A µ x = 8 a=1 A a µx λa όπου A a µx αποτελούν οκτώ διαφορετικά γκλουονικά πεδία που αντιστοιχούν στους οκτώ γεννήτορες λ a της SU3, οι οποίοι είναι οι 3 x 3 πίνακες Gell-Mann. Αντίστοιχα και ο τανυστής µν ανήκει στην άλγεβρα Lie της SU3 και μπορεί να F γραφτεί ως: F µν x = 8 a=1 F a µνx λa a όπου F a µν = µ A a ν ν A a µ gf abc A b µ A c ν 1.32b Η έκφραση 1.32b προκύπτει από την αντικατάσταση της 1.31 μέσα στην 1.30b και τις σχέσεις μετάθεσης και ορθογωνιότητας των πινάκων Gell-Mann: 8 [λ a, λ b ] = 2i f abc λ c c=1 trλ a λ b = 2δ ab 1.33a 1.33b

28 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικά στοιχεία από την Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 19 Αντικαθιστώντας τη σχέση 1.32a στην γκλουονική δράση προκύπτει: S G = 1 d 4 x F a 4 µνf µν a 1.34 που μοιάζει με τη φωτονική δράση. Συμπερασματικά, η δράση της Κβαντικής Χρωμοδυναμικής είναι: S QCD = S G + S Q = 1 2 d 4 x tr F µν F µν + d 4 x ψxiγ µ D µ m ψx 1.35 Λαμβάνοντας υπόψη ότι τα quark έχουν έξι διαφορετικές γεύσεις, τότε η συνολική δράση της QCD γράφεται: = 1 4 S QCD = a=1 d 4 x F a µνf µν a + d 4 x tr F µν F µν f=1 f=1 a,b=1 α,β=1 d 4 x ψ f xiγ µ D µ m f ψ f x d 4 x ψ a f α [iγ µ D µ ab m f δ ab ] αβ ψ b f β Οι διαδότες των πεδίων Η μελέτη παρατηρήσιμων ιδιοτήτων των στοιχειωδών σωματιδίων, μέσω της Θεωρίας Κβαντικών Πεδίων, βασίζεται στον υπολογισμό στοιχείων πινάκων και συναρτήσεων συσχέτισης σύνθετων τελεστών των κβαντικών πεδίων. Μία από τις συναρτήσεις συσχέτισης είναι και ο διαδότης των κβαντικών πεδίων, ο οποίος είναι πολύ σημαντικός και η μορφή του οποίου είναι βοηθητική για την κατασκευή των υπόλοιπων και πιο σύνθετων συναρτήσεων συσχετισμού. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, αυτό που μας ενδιαφέρει είναι η κατασκευή της συνάρτησης συσχετισμού των φερμιονικών τελεστών που δρουν σε αδρονικές καταστάσεις, η οποία θα μας δώσει σημαντικές αδρονικές ιδιότητες. Άρα, για να το καταφέρουμε αυτό, πρέπει να ορίσουμε τους διαδότες των κβαντικών πεδίων, πράγμα που προϋποθέτει την κβάντωση των πεδίων.

29 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικά στοιχεία από την Θεωρία Κβαντικών Πεδίων Η κβάντωση του ελεύθερου πραγματικού βαθμωτού πεδίου Klein - Gordon και ο αντίστοιχος διαδότης του Η κβάντωση του ελεύθερου πραγματικού βαθμωτού πεδίου Klein - Gordon γίνεται στη βάση του φορμαλισμού που περιγράφτηκε στο υποκεφάλαιο Πρώτα, όμως χρειάζεται να βρούμε την κλασική μορφή του πεδίου, μέσω της επίλυσης της εξίσωσης Klein - Gordon 1.13 σε μονάδες = c = 1 κι έπειτα να το κβαντώσουμε. Επειδή η κβάντωση του κλασικού πεδίου στο χώρο των θέσεων είναι μη τετριμένη, αυτό που πράττει κανείς, συνήθως, είναι η κβάντωση του πεδίου στο χώρο των ορμών. γράφεται στη μορφή: Χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς Fourier, το πεδίο φ x, t = d 3 p 2π 3 ei p x φ p, t 1.37 με φ p, t = φ p, t έτσι ώστε φ x, t να είναι πραγματικό. Τότε, η εξίσωση Klein - Gordon παίρνει την πιο κάτω μορφή: 2 t 2 + p 2 + m 2 φ p, t = η οποία για κάθε τιμή του p, δίνει μια εξίσωση κλασικού απλού αρμονικού ταλαντωτή με συχνότητα ταλάντωσης: ω p = + p 2 + m Ετσι, η κβάντωση του πεδίου ανάγεται πλέον, στην κβάντωση άπειρων ασύζευκτων κλασικών αρμονικών ταλαντωτών. Από την Κβαντική Μηχανική, γνωρίζουμε ακριβώς πώς να το κάνουμε αυτό. Η χαμιλτονιανή ενός κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή στην εικόνα Schrödinger είναι: H = 1 2 π ω2 φ 2 όπου τα φ και π ικανοποιούν τη μεταθετική σχέση [φ, π] = i. Η διαδικασία εύρεσης των ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων της πιο πάνω χαμιλτονιανής υπαγορεύει την εισαγωγή δύο τελεστών: του τελεστού αναβίβασης a και του τελεστού

30 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικά στοιχεία από την Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 21 καταβίβασης a, οι οποίοι ορίζονται από τις πιο κάτω σχέσεις: φ 1 a + a 2ω 1.40a ω π i 2 a a 1.40b Η μεταθετική σχέση των φ και π, με τους πιο πάνω ορισμούς μετατρέπεται σε: [a, a ] = Αντίστοιχα, η χαμιλτονιανή παίρνει τη μορφή: H = ωa a = ωaa Αν n είναι ιδιοκατάσταση της πιο πάνω χαμιλτονιανής με ιδιοτιμή E n, H n = E n n, τότε αποδεικνύεται ότι και οι καταστάσεις a n και a n είναι ιδιοκαταστάσεις της χαμιλτονιανής με ιδιοτιμές E n + ω και E n ω αντίστοιχα. Δηλαδή, Ha n = E n + ωa n, Ha n = E n ωa n Γι' αυτό και οι τελεστές αυτοί ονομάζονται τελεστής αναβίβασης και καταβίβασης αντίστοιχα, καθώς δημιουργούν καινούργιες ιδιοκαταστάσεις με αυξημένες ή μειωμένες ιδιοτιμές αντίστοιχα. Τώρα, για να υπάρξει θεμελιώδης κατάσταση 0, ορίζεται ένα κατώτατο όριο κάτω από το οποίο, ο τελεστής καταβίβασης δεν μπορεί να δημιουργήσει άλλη ιδιοκατάσταση, δηλαδή a 0 = 0. Η ιδιοτιμή της είναι E 0 = ω/2. Οι υπόλοιπες ιδιοκαταστάσεις δημιουργούνται με την αλλεπάλληλη δράση των τελεστών αναβίβασης στη θεμελιώδη κατάσταση, n = a n 0. Με τη βοήθεια των μεταθετικών σχέσεων: [H, a ] = ωa, [H, a] = ωa βρίσκουμε τις ιδιοτιμές των πιο πάνω ιδιοκαταστάσεων ίσες με E n = n + 1/2ω H n = n + 1/2ω n. Με την πιο πάνω διαδικασία πετύχαμε την κβάντωση ενός μόνο απλού αρμονικού ταλαντωτή. Για την κβάντωση άπειρων ανεξάρτητων αρμονικών ταλαντωτών, χρησιμοποιούμε την ίδια διαδικασία, αλλά τώρα ο κάθε ταλαντωτής, θα

31 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικά στοιχεία από την Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 22 έχει τη δική του ορμή p, συχνότητα ταλάντωσης ω p και τελεστή αναβίβασης a p και καταβίβασης a p. Σε αναλογία με τις σχέσεις 1.40, γράφουμε: φ p = 1 2ωp a p + a p ωp π p = i 2 a p a p Επιστρέφοντας πίσω στο χώρο των θέσεων, τα πεδία φ και π, παίρνουν την πιο κάτω μορφή τελεστών στην εικόνα Schrödinger: φ x = π x = d 3 p 2π 3 1 2ωp a p e i p x + a pe i p x 1.43 d 3 p 2π 3 i ωp 2 a pe i p x a pe i p x 1.44 Οι πιο πάνω σχέσεις μπορούν να γραφτούν στις εξής πιο χρήσιμες σχέσεις: φ x = π x = d 3 p 1 a 2π 3 p + a pe i p x ωp d 3 p 2π 3 i ωp 2 a p a pe i p x 1.46 Με τους πιο πάνω ορισμούς, οι μεταθετικές σχέσεις 1.4 σε μονάδες = c = 1, επιφέρουν τις μεταθετικές σχέσεις: [a p, a q] = 2π 3 δ 3 p q 1.47a [a p, a q ] = [a p, a q] = b Σε μια κβαντική θεωρία, αυτό που μας ενδιαφέρει περισσότερο είναι η εύρεση των ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων του τελεστή της Χαμιλτονιανής, όπως ακριβώς γίνεται και στην Κβαντική Μηχανική. Για να κατασκευάσουμε τον τελεστή αυτό, αρκεί να βρούμε την κλασική χαμιλτονιανή και να την κβαντώσουμε με την αντικατάσταση των τελεστών των πεδίων φ x και π x με τις σχέσεις που βρήκαμε πιο πάνω. Ορίζουμε πρώτα την κλασική συζυγή πυκνότητα ορμής του πεδίου, σύμφωνα με τις σχέσεις 1.3 και 1.14: π x, t = φ x, t 1.48

32 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικά στοιχεία από την Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 23 Ετσι, η κλασική χαμιλτονιανή του πεδίου, σύμφωνα με τις 1.11 και 1.14, παίρνει τη μορφή: H = d 3 x 1 2 [π x, t2 + φ x, t 2 + m 2 φ x, t 2 ] 1.49 Εδώ, σημειώνουμε ότι τα πεδία στην κλασική χαμιλτονιανή είναι χωροχρονοεξαρτημένα, ενώ οι τελεστές των πεδίων που ορίσαμε πιο πάνω είναι μόνο χωρικά εξαρτημένοι. Αυτό συμβαίνει διότι οι τελεστές είναι γραμμένοι στην εικόνα Schrödinger. Γι' αυτό κι εμείς θα θεωρήσουμε ότι τα μεγέθη μας είναι χρονικά ανεξάρτητα, θα κβαντώσουμε το σύστημα στην εικόνα Schrödinger και στη συνέχεια θα μετατρέψουμε τα κβαντισμένα μεγέθη σε χρονοεξαρτημένα μέσω της μετάβασης στην εικόνα Heisenberg. Αντικαθιστούμε τις σχέσεις στην κλασική χαμιλτονιανή και βρίσκουμε: H = d d 3 3 p d 3 q x ei p+ q x 1 [ ωp ω 2π 6 q a p a 4 pa q a q p q + m2 + a p + a ωp ω pa q + a q ] q Χρησιμοποιώντας τη σχέση δ 3 p + q = d 3 x [1/2π 3 ] e i p+ q x, η χαμιλτονιανή μετατρέπεται σε: H = d 3 p 1 2π 3 4 [ ωp ω p a p a pa p a p + p 2 + m 2 ωp ω p a p + a pa p + a p ] = d 3 p 2π 3 ω p 2 a pa p + a pa p 1.50 ο οποίος είναι ο κβαντισμένος τελεστής της Χαμιλτονιανής στην εικόνα Schrödinger. Από την πιο πάνω έκφραση, εξάγονται οι ακόλουθες μεταθετικές σχέσεις: [H, a p] = ω p a p, [H, a p ] = ω p a p 1.51 Χρησιμοποιώντας τη σχέση 1.47a, η χαμιλτονιανή Klein - Gordon, μπορεί να γραφτεί και ως: H = d 3 p 2π 3 ω pa pa p [a p, a p] 1.52 Ο δεύτερος όρος ισούται με 1/22π 3 δ 3 0, το οποίο είναι ένας άπειρος αριθμός. Αυτό είναι αποδεκτό, θεωρώντας ότι αποτελεί το άθροισμα των θεμελιωδών

33 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικά στοιχεία από την Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 24 ενεργειών όλων των κβαντικών αρμονικών ταλαντωτών ω p /2, το αποκαλούμενο κενό της θεωρίας. Επειδή τα πειράματα μετρούν μόνο ενεργειακές διαφορές από τη θεμελιώδη κατάσταση της χαμιλτονιανής, ο όρος αυτός μπορεί να αγνοηθεί από όλους μας τους υπολογισμούς. Άρα, και H = d 3 p 2π 3 ω pa pa p 1.53 [a p, a p] = Με τη βοήθεια της χαμιλτονιανής 1.53 και των μεταθετικών σχέσεων 1.51 μπορούμε να προσδιορίσουμε τις ιδιοκαταστάσεις και ιδιοτιμές της χαμιλτονιανής Klein - Gordon. Η θεμελιώδης κατάσταση ή το κενό 0 για την οποία ισχύει a p 0 = 0 p έχει ιδιοενέργεια E = 0 αφού αγνοήσαμε την άπειρη σταθερά. Ολες οι υπόλοιπες ιδιοκαταστάσεις μπορούν να κατασκευαστούν από τη δράση των τελεστών αναβίβασης στο κενό. Άρα, η κατάσταση a p 0 είναι ιδιοκατάσταση της H με ιδιοτιμή ίση με ω p. Επίσης, η κατάσταση a pa q 0 είναι ιδιοκατάσταση της H με ιδιοτιμή ίση με ω p + ω q. Γενικεύοντας, η κατάσταση a p 1 a p n 0 είναι ιδιοκατάσταση της H με ιδιοτιμή ίση με ω p1 + + ω pn. Αφού βρήκαμε τις ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας, σειρά έχουν οι ιδιοκαταστάσεις της ορμής. Η κλασική ολική ορμή του συστήματος δίνεται από τη σχέση Αντικαθιστώντας τους τελεστές φ x και π x σχέσεις , ο τελεστής ολικής ορμής του συστήματος παίρνει τη μορφή: P = d 3 p 2π 3 p a pa p 1.55 ο οποίος μοιάζει με αυτόν της χαμιλτονιανής, όπου αγνοήσαμε την άπειρη σταθερά. Ισχύουν, επίσης, οι ακόλουθες μεταθετικές σχέσεις, κατ' αντιστοιχία με τις 1.51 για τη χαμιλτονιανή: [ P, a q] = qa q, [ P, a q ] = qa q 1.56

34 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικά στοιχεία από την Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 25 Δρώντας με τον τελεστή της ολικής ορμής στις ιδιοκαταστάσεις της χαμιλτονιανής παρατηρούμε ότι αποτελούν και ιδιοκαταστάσεις της ορμής. P 0 = 0, P a q 0 = qa q 0 Άρα, όταν ο τελεστής αναβίβασης a p δρα στην κατάσταση κενού δημιουργεί μια καινούργια κατάσταση a p 0 με ορμή p και ενέργεια ω p = p 2 + m 2. Ομοίως η κατάσταση a p 1 a p n 0 έχει ορμή p p n και ενέργεια ω p1 + + ω pn. Οι πιο πάνω καταστάσεις ικανοποιούν τη σχετικιστική σχέση ενέργειας - ορμής κι έχουν και διακριτές τιμές των φυσικών παρατηρήσιμων μεγεθών. Επομένως είναι φυσικό να καλούμε αυτές τις καταστάσεις σχετικιστικά σωματίδια. Συγκεκριμένα, σωματίδια με καθορισμένη ορμή κι όχι θέση. Ετσι, από εδώ και πέρα θα χρησιμοποιούμε το συμβολισμό E p αντί του ω p για τις ιδιοενέργειες. Ενα σημαντικό ερώτημα που γεννάται από τον πιο πάνω ισχυρισμό μας είναι πόσα σωματίδια περιέχει η κάθε κατάσταση. Αν γράψουμε την κάθε ιδιοτιμή ορμής p ως άθροισμα από μονοσωματιδιακές ορμές, δηλαδή p = i np i p i, όπου n p i είναι ο αριθμός κατάληψης των σωματιδίων για κάθε μονοσωματιδιακή ορμή, τότε ο αριθμός των σωματιδίων που αντιστοιχεί σε κάθε ιδιοτιμή της ορμής θα είναι N p = i np i. Κατά τον ίδιο τρόπο, αν ο τελεστής της ολικής ορμής γραφτεί ως P = [d 3 p/2π 3 ]N p p κατ' αντιστοιχία της έκφρασης για την ιδιοτιμή ορμής, όπου N p είναι ο τελεστής αρίθμησης των σωματιδίων που αντιστοιχούν στην κάθε ορμή p, τότε ο τελεστής αρίθμησης του συνολικού αριθμού των σωματιδίων θα είναι N = [d 3 p/2π 3 ]N p. αριθμού σωματιδίων κάθε κατάστασης ορίζεται: Άρα, εν τέλει, ο τελεστής αρίθμησης του συνολικού N = d 3 p 2π 3 a pa p 1.57 Οι ιδιοκαταστάσεις του τελεστού αυτού είναι οι ίδιες με αυτές της χαμιλτονιανής και ολικής ορμής, καθώς μετατίθεται μαζί τους. [H, N] = [ P, N] = 0 Με τη βοήθεια των μεταθετικών σχέσεων: [N, a p] = a p, [N, a p ] = a p 1.58