Ζητείται η εκπόνηση των τεσσάρων πιο κάτω θεμάτων. και n

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τομέας Μηχανολογικών Κατασκευών και Αυτομάτου Ελέγχου ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΙΙ Ακαδημαϊκό Έτος: Καθηγητής Δρ. Χρ. Προβατίδης Ζητείται η εκπόνηση των τεσσάρων πιο κάτω θεμάτων. Ημερομηνία Παράδοσης : Την ημέρα γραπτής εξέτασης (Φεβρουάριος 2012) Προφορική Εξέταση : Μέσα στη βδομάδα μετά το πέρας των γραπτών εξετάσεων Αριθμός ατόμων ανά ομάδα: 4 Αριθμός ομάδας ΘΕΜΑ 1 ο : ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟ ΕΛΑΣΜΑ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Lx Ly ΜΕΡΟΣ Α: Ανάπτυξη κώδικα για τη γένεση ομοιόμορφου πλέγματος τετρακομβικών και τρικομβικών πεπερασμένων στοιχείων στο εικονιζόμενο ορθογωνικό έλασμα διαστάσεων Lx Ly (Σχήμα 1). Το πλήθος των υποδιαιρέσεων κατά την οριζόντια και κατακόρυφη διεύθυνση είναι n x και n y, αντίστοιχα. Να ακολουθηθεί ο αναγραφόμενος τρόπος αρίθμησης κόμβων. Η αρίθμηση των τετρακομβικών στοιχείων είναι μονοσήμαντη ενώ για τα τρικομβικά να προτιμηθεί ο εικονιζόμενος σχηματισμός της τοπολογίας τους. Σχήμα 1: Ορθογώνιο έλασμα με n x = 8 και n y = 4 (ενδεικτικές) υποδιαιρέσεις. 1

2 ΜΕΡΟΣ Β: Επίλυση με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων για επίπεδη εντατική κατάσταση (E = ΜPa, ν = 0.30, πάχος ελάσματος 2mm) σε δύο είδη φορτίσεων: α) καθαρός εφελκυσμός υπό ομοιόμορφη τάση 100 ΜPa και β) κάμψη από κατακόρυφο συγκεντρωμένο φορτίο F=10N στο μέσον του δεξιού κατακόρυφου τμήματος. Και για τα δύο είδη φορτίσεων να γίνει σύγκριση μετατοπίσεων ή/και τάσεων με τις αντίστοιχες θεωρητικές λύσεις (γνωστές από βιβλία Μηχανικής). Ειδικά στην περίπτωση (β), να χαραχθεί κοινό διάγραμμα σύγκλισης του μέγιστου βέλους κάμψεως, τόσον για τριγωνικά όσον και για τετρακομβικά πεπερασμένα στοιχεία (που έχουν τους ίδιους κόμβους), συναρτήσει του πλήθους των πεπερασμένων στοιχείων. ΜΕΡΟΣ Γ: Να προσδιοριστούν οι πέντε πρώτες ιδιοσυχνότητες και να εικονιστούν κατάλληλα οι αντίστοιχες ιδιομορφές (σε τι είδος παραμόρφωσης αντιστοιχούν?). ΘΕΜΑ 2 ο : ΔΙΑΤΡΗΤΟ ΕΛΑΣΜΑ Προκειμένου να μοντελοποιήσουμε τη μηχανική συμπεριφορά ελάσματος διαστάσεων a 2b με κυκλική οπή ακτίνας R και πάχους 2mm, το οποίο δέχεται ομοιόμορφο φορτίο σ 0 = 100 MPa, αποκόπτουμε νοητά το μισό κάτω τμήμα του και αντικαθιστούμε τον οριζόντιο άξονα συμμετρίας με κυλίσεις (βλ. Σχήμα 2). Επιπλέον, προκειμένου να αποφευχθεί η οριζόντια κίνηση του ελάσματος ως στερεό, περιορίζουμε την οριζόντια μετατόπιση σε έναν κόμβο του κατακόρυφου άξονα συμμετρίας. ΜΕΡΟΣ Α: Ανάπτυξη κώδικα για τη γένεση πλέγματος με βάση την παρεμβολή COONS (προσαρμογή κώδικα Σημειώσεων Μαθήματος). Να γίνει εξομάλυνση πλέγματος και να παρατεθούν διαγράμματα ανά δύο-τρεις επαναλήψεις μέχρι τη σύγκλιση. ΜΕΡΟΣ Β: Να παραχθούν έγχρωμα διαγράμματα των τριών συνιστωσών των τάσεων και να συγκριθούν με τις αντίστοιχες ημιαναλυτικές λύσεις (γνωστές από βιβλία Μηχανικής). Να παραχθεί το διάγραμμα των ισοδύναμων (von Mises) τάσεων. Να παραχθεί διάγραμμα σύγκλισης των υπολογιζόμενων τάσεων σ y (y = κατακόρυφος άξονας) ως προς την πυκνότητα πλέγματος, π.χ. επιβάλλοντας συνεχή υποδιπλασιασμό των διαστάσεων του τυπικού στοιχείου (ισοδύναμα, επιβάλλοντας διπλασιασμό των υποδιαιρέσεων ανά κατεύθυνση). Υλικό (E = ΜPa, ν = 0.30). 2

3 Σχήμα 2: Διάτρητο έλασμα σε εφελκυσμό (Η συνέχεια στην επόμενη σελίδα) Δεδομένα: Μέγεθος L x L y a b R Τιμή (Αριθμός γραμμάτων ονόματος του 1) 20 [mm] (Αριθμός γραμμάτων επωνύμου του 1) 10 [mm] (Αριθμός γραμμάτων ονόματος του 2) 3[mm] (Αριθμός γραμμάτων επωνύμου του 2) 6 [mm] (Αριθμός γραμμάτων ονόματος του 3) 1 [mm] Σημείωση: επειδή οι τιμές των μεγεθών λαμβάνονται τυχαία μπορεί να δημιουργηθεί πρόβλημα, σε αυτή την περίπτωση επικοινωνήστε με τον διδάσκοντα για να σας δώσει λύση. 3

4 ΘΕΜΑ 3 ο : Βελτιστοποίηση δικτυώματος τριών ράβδων Στο εικονιζόμενο δικτύωμα τριών ράβδων και τεσσάρων κόμβων (Σχήμα 3) δίνεται το μέτρο ελαστικότητας Ε = si (= psi), η πυκνότητα ρ = 0.1 lb/in 3, η επιτρεπόμενη τάση σ επ = 20 si (=20000 psi), καθώς και οι επιτρεπόμενες μετατοπίσεις του ελεύθερου κόμβου (u επ = 0.20 in, v επ = 0.05 in). Στο δικτύωμα ασκούνται δύο είδη φορτίσεων, σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Για ιστορικούς λόγους οι δυνάμεις δίνονται σε lb (1 lb F N p), οι διαστάσεις σε ίντσες (1 in 2.54 cm), ενώ η τάση σε psi (1 psi = 1 lb/in Pa (1 Pa = psi). Συνθήκες Κόμβοι Φόρτιση κατά κατεύθυνση φόρτισης Px (lb) Py (lb) Ζητούνται: 1) Να αποδειχθεί ότι αυτό το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με ένα άλλο στο οποίο οι περιορισμοί μετατοπίσεων μετατρέπονται σε περιορισμούς τάσεων, έτσι ώστε (ο δείκτης αντιστοιχεί στον α/α της ράβδου): σ επ1,3 = psi και σ επ2 = psi. 2) Υπό τις παραπάνω συνθήκες, να γραφεί λογισμικό του Aλγορίθμου Πλήρους Έντασης - Ίσης Αντοχής (Fully Stressed Design: FSD), κατά προτίμηση σε περιβάλλον MATLAB, με το οποίο να υπολογισθούν οι εγκάρσιες διατομές έτσι ώστε να επιτευχθεί ελάχιστο βάρος του δικτυώματος. Να δοθεί το διάγραμμα σύγκλισης των αποτελεσμάτων του αλγορίθμου (βάρος συναρτήσει αριθμού επαναλήψεων) και να αναφερθεί η βέλτιστη τιμή. 3) Χωρίς να ληφθεί υπόψη το ανωτέρω (1) σχετικό, να επιλυθεί το ίδιο πρόβλημα με περιορισμούς τόσον τάσεων (σ επ,i = psi, i=1,2,3) όσον και μετατοπίσεων (u επ = 0.20 in, v επ = 0.05 in), κάνοντας χρήση της fmincon (constrained nonlinear multivariable function) ή της simulannealbnd (προσομοιούμενης ανόπτησης: simulated annealing) ή τέλος του OPTIMTOOL (για γενετικούς αλγορίθμους, κλπ). Σχήμα 3: Δικτύωμα τριών ράβδων, καταπονούμενο από δυνάμεις Px, Py. 4

5 ΘΕΜΑ 4 ο : Αναγνώριση δυναμικού συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας Θεωρούμε ένα δυναμικό σύστημα ενός βαθμού ελευθερίας αλλά με έντονη μη γραμμικότητα του όρου των ελαστικών δυνάμεων (ο συντελεστής, στη ράβδο ή το ελατήριο, είναι συνάρτηση της μετατόπισης u): m u ( t) + c u ( t) + ( u) u( t) = f ( t) (4-1) με χαρακτηριστικά: m = 1 g, c = 0.12 Ns/m, (u) = A. tan -1 (Bu) (N/m) όπου A = 3.22, B = Στη γενικότερη περίπτωση, η κατασκευή θα μπορούσε να μοντελοποιείται με πολλά πεπερασμένα στοιχεία. Σαν χαρακτηριστικό του συστήματος με στόχο την αναγνώρισή του, θεωρούμε την διέγερσή του από δυνάμεις f οι οποίες περιέχουν αρκετές συχνότητες με την έννοια της ανάλυσης Fourier όπως π.χ. η βηματική απόκριση, ή από ημιτονοειδείς δυνάμεις f μεταβαλλόμενης συχνότητας: f ( t) = C cos Ω( t) t (4-2) Ω ( t) = λ t Εάν τώρα υποτεθεί ότι η διέγερση που επιβάλλεται στο φυσικό σύστημα είναι η (4-2) με συντελεστές: C = 5.0, λ = 1.17 τότε με τη χρήση της συνάρτησης ode45 του MATLAB μπορείτε να λάβετε την αριθμητική λύση u(t) του συστήματος. Στην πράξη, αντί της προαναφερθείσης αριθμητικής επίλυσης θα λαμβανόταν μια πειραματική δυναμική μέτρηση. Η αναγνώριση της (4-1) γίνεται ως εξής: Καταρχήν υποτίθεται ότι η διαφορική εξίσωση που περιγράφει το δυναμικό σύστημα αντιστοιχεί σε ένα σύστημα με ένα βαθμό ελευθερίας με γραμμικούς όρους για τη μάζα και την απόσβεση και μη γραμμικό όρο των ελαστικών δυνάμεων, δηλαδή συμπίπτει με την δομή του παρακάτω φυσικού συστήματος: mut ˆ ˆ( ) + cut ˆ ˆ ( ) + u ˆ( ) ut ˆ( ) = f ( t) (4-3) Επειδή ο συντελεστής δυσκαμψίας ˆ ( u ) στο μοντέλο έχει άγνωστη μορφή, επιχειρείται η προσέγγισή του από μια τεθλασμένη γραμμή με δύο μεταβλητά σημεία με συντεταγμένες ( x1, 1) και ( x2, 2), όπως φαίνεται στο παρακάτω Σχήμα 4. Με την παραδοχή αυτή προκύπτουν για το πρόβλημα αναγνώρισης έξι (6) συνολικά συντελεστές: Οι συντελεστές mc ˆ, ˆ και οι συντεταγμένες ( x1, 1) και ( x2, 2) της μαθηματικής προσέγγισης του συντελεστή δυσκαμψίας. Το πρόβλημα αναγνώρισης ανάγεται επομένως σε ένα πρόβλημα παραμετρικής βελτιστοποίησης mˆ u ˆ t + cˆ uˆ t + ˆ u; x,, x, uˆ t = f t (4-4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

6 Σχήμα 4: Μη γραμμική σταθερά ελατηρίου, με συμμετρική συμπεριφορά σε εφελκυσμό και θλίψη. Προκειμένου να υπολογίσουμε τους παραπάνω συντελεστές από τη λύση ενός κατάλληλου προβλήματος βελτιστοποίησης, θεωρούμε σαν αντικειμενική συνάρτηση OBJ mˆ, cˆ, x,, x, το εμβαδό της διαφοράς της πραγματικής απόκρισης (που είναι ( ) σταθερή, δηλαδή το ισοδύναμο της πειραματικής μέτρησης) από την απόκριση ût ( ) του μοντέλου: T OBJ mcx,,,, x, = u t u tmcx ;,,,, x, dt ( ˆ ˆ ) ( ) ˆ( ˆ ˆ ) (4-5) Θέτοντας μια συγκεκριμένη τιμή στην παράμετρο Τ, π.χ. Τ = 15 s, καθώς και έξι άνω και έξι κάτω όρια για τις έξι μεταβλητές, να προσδιορισθεί η τιμή των έξι αυτών μεγεθών. x = mˆ = 2, cˆ= 2, x = 1, = 5, x = 2, = 10, L= Σαν αρχική τιμή να ληφθεί η: [ ] Μπορείτε να κάνετε χρήση ντετερμινιστικών αλγόριθμων μηδενικής τάξεως (π.χ. COMPLEX-BOX, Hooe & Jeaves), καθώς επίσης πρώτης ή δεύτερης τάξης (π.χ. fmincon). Εναλλακτικά, μπορείτε να δοκιμάσετε και στοχαστικούς (προσομοιούμενη ανόπτηση, γενετικούς). Το optimtool της MATLAB προσφέρει μεγάλο ρεπερτόριο γρήγορης εναλλαγής μεταξύ των διατιθέμενων αλγορίθμων. 6

7 Γενικές οδηγίες: Η εργασία είναι υποχρεωτική και αντιστοιχεί τουλάχιστον στο 50% της τελικής βαθμολογίας! Κάθε ομάδα αποτελείται από 4 μέλη υποχρεωτικά, εκτός και εάν έχουμε συνεννοηθεί διαφορετικά. Κάθε ομάδα παραδίδει ΜΙΑ έκθεση σε έντυπη μορφή, όπου θα επισυνάπτονται οι κώδικες, τόσο σε έντυπη όσο και σε ηλεκτρονική μορφή. Στην έντυπη αναφορά να επισυνάπτονται οι πλήρεις κώδικες. Επίσης, στο συνημμένο CD θα περιέχεται ολόκληρος ο κώδικας. Θα ακολουθήσει προφορική εξέταση στην οποία θα γίνουν ερωτήσεις βασισμένες στην εργασία. Παρόλο που πιθανόν να μην έχει ασχοληθεί κάθε φοιτητής με όλα τα ζητήματα θα πρέπει να είναι σε θέση να περιγράψει την μεθοδολογία καθώς και να απαντήσει στις ερωτήσεις επί ολοκλήρου του θέματος. Κάθε ομάδα θα παρουσιάσει την εργασία της και θα εξετασθεί επ αυτής προφορικά σε προκαθορισμένο χρόνο και τόπο. Οι αναγκαίοι κώδικες σε πηγαία μορφή υπάρχουν στην ιστοσελίδα του διδάσκοντος: ΕΡΓΑΣΙΑ Η ΟΠΟΙΑ ΔΕΝ ΘΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΧΘΕΙ ΔΕΝ ΘΑ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΘΕΙ. ΚΑΛΗ ΕΡΓΑΣΙΑ! Αθήνα, 23 Δεκεμβρίου 2012 Ο Διδάσκων Χρ. Προβατίδης 7