υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 9.

Transcript

1 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι

2 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Copyrght ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rghts reserved. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανοµή της παρούσης εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για πάσης φύσεως εµπορικό ή επαγγελµατικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανοµή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν µήνυµα

3 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Εκπαιδευτική Ενότητα 9 η Ιδιοανυσµατικός Μετασχηµατισµός - Εφαρµογές Εφαρµογή η Έστω ένα διβάθµιο δυναµικό σύστηµα m k (άρα δεν υπάρχουν στοιχεία απόσβεσης), για το οποίο δίδεται ότι το µητρώο µάζας M, το µητρώο δυσκαµψίας K και το διάνυσµα της εξωτερικής διέγερσης F είναι, αντίστοιχα: 3 M = K 5 3 = 3 3 = * F h t () * Ως h t συµβολίζεται η βηµατική συνάρτηση Heavsde, η γραφική παράσταση της οποίας απεικονίζεται στο Σχήµα. Σχήµα : Γραφική παράσταση της συνάρτησης Heavsde Ζητείται η απόκριση του εν λόγω δυναµικού συστήµατος, θεωρώντας µηδενικές αρχικές συνθήκες µετατόπισης και ταχύτητας. Λύση Εάν το δυναµικό σύστηµα ήταν ενός Βαθµού Ελευθερίας, τότε, όπως έχουµε ήδη εξετάσει στην Εκπαιδευτική Ενότητα 6, η απόκριση του συστήµατος θα ήταν αυτή που απεικονίζεται στο Σχήµα. X X S X S t Σχήµα : Απόκριση µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος υπό διέγερση Heavsde Ωστόσο, στην παρούσα περίπτωση, το δυναµικό σύστηµα είναι διβάθµιο. Συνεπώς, αξιοποιώντας τον Ιδιοανυσµατικό Μετασχηµατισµό, είναι δυνατόν να περιγραφεί η απόκριση του συστήµατος ως υπέρθεση αποκρίσεων δύο, κατάλληλα διαµορφωµένων, µονοβάθµιων συστηµάτων. Η όλη διαδικασία αποτελείται από δύο βήµατα: Βήµα : Υπολογισµός ιδιοτιµών και ιδιοανυσµάτων Βήµα : Εφαρµογή του Ιδιοανυσµατικού Μετασχηµατισµού

4 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Ακολουθεί αναλυτικός υπολογισµός καθενός εκ των Βηµάτων αυτών. Για το Βήµα Κατά τα γνωστά (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 7/Εξ.43), οι ιδιοτιµές του εξεταζοµένου δυναµικού συστήµατος προκύπτουν από την επίλυση της εξίσωσης: ( M K) λ = ω ω ( λm K) det + = det + = () Εισάγοντας στην Εξ.() τα µητρώα µάζας M και δυσκαµψίας K από την Εξ.(), µετά την εκτέλεση πράξεων, προκύπτει: λ+ 5 3 det( λm + K) = det λ det + = = λ+ 3 3λ+ 5 λ = 6λ 9λ λ+ 5 9= λ λ = (3) Η ιακρίνουσα του του χαρακτηριστικού πολυωνύµου της Εξ.(3) είναι: β αγ = 4 = = = 7 (4) Οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου της Εξ.(3) είναι: λ, 9+ 7 λ = =.8 β± ( 9) ± 7 9± 7 = = = α λ.356 = = (5) Ταξινοµώντας τις ρίζες κατά αύξουσα σειρά, προκύπτει: Ισοδύναµα, προκύπτει: λ =.8 λ =.356 (6) λ = ω =.356 ω =.597 λ = ω =.8 ω =.67 (7) Υπενθυµίζεται ότι διατηρούνται οι θετικές ρίζες των ιδιοσυχνοτήτων ω, ω διότι τα µητρώα µάζας M και δυσκαµψίας K είναι θετικά (ηµι)ορισµένα. Για κάθε µία από τις ευρεθείσες ιδιοσυχνότητες, υπολογίζεται το αντίστοιχο ιδιοάνυσµα µέσω της επίλυσης του οµογενούς συστήµατος (γενικά, υπάρχουν διάφορες αριθµητικές µέθοδοι για τον υπολογισµό των ιδιοτιµών και των ιδιοσυχνοτήτων, αλλά στη συγκεκριµένη εφαρµογή, επειδήτο προκύπτον σύστηµα είναι, χρησιµοποιείται η µέθοδος του χαρακτηριστικού πολυωνύµου): λ= ω ( ω M K) ( λm K) + Φ= + Φ= (8)

5 Πιο συγκεκριµένα, για την πρώτη ιδιοσυχνότητα, ισχύει: υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: Φ λ ( λ M K) λ = Φ = + = 3 3 Φ Φ Φ = = Φ Φ 3.93Φ 3Φ = Φ =Φ Φ =Φ -3Φ +.88Φ = 3.88 Φ =Φ 3.88 Φ =Φ.3Φ =Φ.3Φ =Φ Φ =.763Φ.3Φ =Φ (9) Αποδίδοντας, αυθαίρετα, την, βολική για την εκτέλεση πράξεων, τιµή Φ =, προκύπτει: Φ.763Φ.763 Φ =.763 Φ = = =Φ Φ = Φ = Φ Φ.. [.763.] () Κατ αντιστοιχία, για τη δεύτερη ιδιοσυχνότητα, ισχύει: Φ λ ( λ M K) λ =.8 + Φ = + = 3 3 Φ Φ Φ = = Φ Φ 3.43Φ 3Φ = Φ = Φ Φ = Φ 3 Φ+.6Φ = Φ =.6 3 Φ Φ =.6 3 Φ Φ =.874Φ Φ =.874Φ Φ =.874Φ () Αποδίδοντας, αυθαίρετα, την, βολική για την εκτέλεση πράξεων, τιµή Φ =, προκύπτει: Φ.874Φ.874 Φ =.874 Φ = = =Φ Φ = Φ = Φ Φ.. [.874.] Σηµαντική Παρατήρηση Στην συγκεκριµένη εφαρµογή, το δυναµικό σύστηµα είναι δύο Βαθµών Ελευθερίας. Ως εκ τούτου, το οµογενές σύστηµα της Εξ.(8) είναι, οπότε κάθε ιδιοάνυσµα διαθέτει δύο στοιχεία, ένα εκ των οποίων είναι ελεύθερη µεταβλητή ενώ το άλλο αποτελεί εξηρτηµένη µεταβλητή. Στη συγκεκριµένη, λοιπόν, περίπτωση των διβάθµιων δυναµικών συστηµάτων, ()

6 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - εάν αποδοθεί στην ανεξάρτητη µεταβλητή η µηδενική τιµή, τότε και η εξηρτηµένη µεταβλητή θα είναι, οµοίως, µηδενική. Αυτό θα σήµαινε ότι θα προέκυπτε µηδενικό ιδιοάνυσµα, άρα θα προέκυπτε µη-ταλάντωση, κάτι που αντιβαίνει στη φύση της συµπεριφοράς ενός δυναµικού συστήµατος. Έπεται, λοιπόν, ότι σε διβάθµιο δυναµικό σύστηµα, είναι δυνατόν να αποδοθεί οποιαδήποτε τιµή στις ποσότητες Φ και Φ, πλην της µηδενικής τιµής. Ωστόσο, εάν το δυναµικό σύστηµα διέθετε τρεις ή και περισσότερους βαθµούς ελευθερίας, τότε τα αντίστοιχα οµογενή συστήµατα θα κατέληγαν σε ιδιοανύσµατα µε, αντίστοιχα, τρεις ή περισσότερους όρους, και τότε θα ήταν δυνατόν να εµφανίζονται µηδενικά στοιχεία στα ιδιοανύσµατα. Αυτή η παρατήρηση έχει πολύ µεγάλη κατασκευαστική σηµασία, όπως θα δούµε σε επόµενη Εκπαιδευτική Ενότητα. Για το Βήµα Όπως γνωρίσαµε στην Εκπαιδευτική Ενότητα 8, η µαθηµατική έκφραση του Ιδιοανυσµατικού Μετασχηµατισµού σε ένα δυναµικό σύστηµα είναι: N = Φ =Φ +Φ Φ x t q t q t q t N qn t = (3) είναι τα ιδιοανύσµατα του δυναµικού συστήµατος, q( t ) είναι οι επονοµαζόµενοι όπου Φ γενικευµένοι Βαθµοί Ελευθερίας και N είναι το πλήθος των Βαθµών Ελευθερίας του δυναµικού συστήµατος. Στην προκειµένη περίπτωση, το εξεταζόµενο δυναµικό σύστηµα είναι διβάθµιο, άρα N =, και η Εξ.(3), βάσει των Εξ.(,), γράφεται ως εξής: x q t q t q t q t =Φ +Φ = x +.. Για να είναι σαφώς ορισµένη η Εξ.(4), αρκεί να προσδιορισθούν οι γενικευµένοι Βαθµοί Ελευθερίας q( t ). Προς τούτο, χρησιµοποιούνται οι εξισώσεις (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 8/σελ.4): (4) Φ MΦ = m (5) g ω (7) q t + q t = g t, =,,..., N Φ F = (6) m όπου η ποσότητα ω ισούται µε την ιδιοσυχνότητα του δυναµικού συστήµατος (έχει υπολογισθεί, βλ. Εξ.(7)) και εκφράζει την ισοδύναµη σταθερά ελατηρίου σε ένα µονοβάθµιο δυναµικό σύστηµα, m είναι οι γενικευµένες µάζες και F είναι η εξωτερική διέγερση. Υπενθυµίζεται (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 8), ότι, µέσω του Ιδιοανυσµατικού Μετασχηµατισµού, ένα δυναµικό σύστηµα N Βαθµών Ελευθερίας θεωρείται ως ένα σύνολο N µονοβάθµιων συστηµάτων µε Βαθµό Ελευθερίας q( t ), κάθε ένα από τα οποία διαθέτει

7 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - µοναδιαία µάζα και σταθερά ελατηρίου ω (ή, ισοδύναµα, διαθέτει γενικευµένη µάζα m και µοναδιαία σταθερά ελατηρίου). Για τον προσδιορισµό των γενικευµένων Βαθµών Ελευθερίας q t, αρκεί η επίλυση της Εξ.(7). Προς αυτή την κατεύθυνση, πρώτα υπολογίζουµε τις ποσότητες g( t ) µέσω της Εξ.(6) και για =,. Πιο συγκεκριµένα, για τη γενικευµένη µάζα m, ισχύει: m =Φ MΦ = [.763.] = [.763.]...89 m = [.763.] = Κατ αντιστοιχία, για τη γενικευµένη µάζα m, ισχύει: m m = 3.75 (8) =Φ MΦ = [.874.] = [.874.]...6 m = [.874.] = (.874) (.6) +... Ο συνδυασµός των Εξ.(,,8) δίδει: m = 4.9 (9) * [.763.] h t Φ F = = = = * * g( t ) h t h t m * Κατ αντιστοιχία, ο συνδυασµός των Εξ.(,,9) δίδει: έστω G g t = G h t, G =.674 () * [.874.] h t Φ F = = = = * * g( t ) h t h t m * έστω G g t = G h t, G =.74 () Η Εξ.(7), βάσει των Εξ.(,), είναι δυνατόν να γραφεί ως εξής: * ω () q t + q t = G h t, =,

8 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Η επίλυση της Εξ.() είναι δυνατόν να επιτευχθεί µε διάφορους τρόπους. Για τις ανάγκες της παρούσας εφαρµογής, και σύµφωνα µε τις προηγούµενες Ενότητες, θα χρησιµοποιήσουµε τη Μέθοδο των Προσδιοριστέων Συντελεστών. Σε επόµενη Εκπαιδευτική Ενότητα, θα εξοικειωθούµε µε τη χρήση του Μετασχηµατισµού Laplace. Συνεπώς, η µορφή της λύσης q( t ) της Εξ.(), κατά τα γνωστά, θα είναι:,, q t = q + q = (3) P h µερικήλύση οµογενής λύση Η µερική λύση ακολουθεί τη µορφή της διεγείρουσας δύναµης. Στη συγκεκριµένη περίπτωση, η διέγερση είναι µία συνάρτηση Heavsde (βλ. Εξ.()), οπότε για χρόνους t>, η εξωτερική διέγερση έχει χρονικά σταθερή τιµή (βλ. Σχήµα ). Ως εκ τούτου και η µερική λύση θα έχει αντίστοιχα χαρακτηριστικά, δηλαδή θα είναι µορφής Heavsde και για χρόνους t> θα έχει χρονικά σταθερή τιµή (άρα και µηδενική δεύτερη χρονική παράγωγο). Με άλλα λόγια, η µερική λύση θα είναι της µορφής: = (4) * qp P h t Κατά τα γνωστά, η οµογενής λύση θα είναι αρµονικής µορφής: Ο συνδυασµός των Εξ.(3,4,5) δίδει: ( ω ) ( ω ) q t = A cos t + B sn t, =, (5) h * ( ω ) ( ω ) q t = P h t + A cos t + B sn t, =, µερικ λ ση οµογεν ς λ ση ή ύ q P ή ύ q h (6) Για τον πλήρη προσδιορισµό των γενικευµένων Βαθµών Ελευθερίας q( t ), αρκεί να υπολογισθούν οι σταθεροί συντελεστές P, A και B. Αυτό θα γίνει µε τη βοήθεια των αρχικών συνθηκών και της Εξ.(). Πιο συγκεκριµένα, εισάγοντας τη µερική λύση στην Εξ.(), προκύπτει: * * G ω P h = G h, =, ω P = G, =, P = const,, = = ω (7) Όπως φαίνεται από την Εξ.(7), ο σταθερός συντελεστής δύναµης P, ως λόγος της διεγείρουσας G προς τη σταθερά ελατηρίου ω (βλ. και σελίδα 4, τελευταία πράγραφο), εκφράζει το Ισοδύναµο Στατικό Πλάτος Q, S, το οποίο αποτελεί µία σταθερή ποσότητα: G Q, S = P = const,, = = ω (8) Ο συνδυασµός των Εξ.(6,7,8) δίδει:

9 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ( ω ) ( ω ) q t = Q, S + A cos t + B sn t, =, (9) + Για την επιβολή αρχικών συνθηκών, θεωρούµε τη χρονική στιγµή t= (και όχι τη χρονική στιγµή t=, για την οποία η συνάρτηση Heavsde δεν ορίζεται). Για την εν λόγω χρονική στιγµή, και θεωρώντας µηδενική αρχική µετατόπιση, ως ορίζει η εκφώνηση, η Εξ.(9) δίδει: cos( ω ) sn( ω ) q t = Q, S + A t + B t =, =, Q, S + A = A = Q, S (3) Η ταχύτητα q βρίσκεται παραγωγίζοντας χρονικά την Εξ.(9), οπότε και προκύπτει: ω ( ω ) ω ( ω ) (3) q t = A sn t + B cos t, =, + Συνεπώς, θεωρώντας και πάλι τη χρονική στιγµή t=, όπως και προηγουµένως, και επιβάλλοντας µηδενική αρχική ταχύτητα, ως η εκφώνηση ορίζει, η Εξ.(3) δίδει: q = ω A sn( ω t) ω ( ω ) ω ( ω ) + B cos t =, =, B cos t =, =, (3) Επειδή η Εξ.(3) πρέπει να ισχύει για κάθε ιδιοσυχνότητα ω, έπεται ότι: B =, =, (33) Ο συνδυασµός των Εξ.(9,3,33) δίδει: * * ( ω ) ( ω ) q t = Q, S h t Q, S cos t = Q, S h t cos t, =, (34) Με αριθµητική αντικατάσταση στις Εξ.(8,34) και για = προκύπτει: G.674 P = Q, S = P = =.89 ω.356 = * cos( ω ) =.89 * cos( ω ) q t Q, S h t t q t h t t (35) (36) Με αριθµητική αντικατάσταση στις Εξ.(8,34) και για = προκύπτει: G.74 P = Q, S = P = =.69 ω.8 = * cos( ω ) =.69 * cos( ω ) q t Q, S h t t q t h t t (37) (38) Αντικαθιστώντας στην Εξ.(4), µε τις Εξ.(35,36,37,38), προκύπτει: x =Φ q +Φ q x

10 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - x =.89 * cos.69 * cos x +.. Εκτελώντας πράξεις στην Εξ.(39), προκύπτει: ( h ( ωt) ) h ( ωt) x = h x cos( ωt) cos( ωt). * Η τελική µορφή της απόκρισης του εξεταζοµένου συστήµατος είναι: x.49 * = h t t t x cos( ω ) cos( ω ) (39) (4) (4) Με βάση την ανάλυση που προηγήθηκε, προκύπτουν οι ακόλουθες παρατηρήσεις: Η απόκριση του συστήµατος ισούται µε το Ισοδύναµο Στατικό Πλάτος του συστήµατος, στο οποίο (πλάτος) υπερτίθενται µία ταλάντωση µε συχνότητα ω και µία ταλάντωση µε συχνότητα ω. Οι ταλαντώσεις µε συχνότητες ω και ω δεν είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους. Αντιθέτως, τα πλάτη των ταλαντώσεων αυτών συµµετέχουν στην απόκριση του συστήµατος µε την αναλογία που καθορίζουν τα αντίστοιχα ιδιοανύσµατα. Με άλλα λόγια, οι ταλαντώσεις των δύο βαθµών ελευθερίας δεν είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους αλλά ακολουθούν την αναλογία που προσδιορίζει (ισοδύναµα, δεσµεύει ή ρυθµίζει ή προκαθορίζει) το ιδιοάνυσµα. Ποσοτικά, η συνεισφορά του δευτέρου ιδιοανύσµατος είναι πολύ µικρότερη της συνεισφοράς του πρώτου ιδιοανύσµατος. Αυτό οφείλεται σε δύο παράγοντες. o Η τιµή της ποσότητας G (πλάτος γενικευµένης δύναµης δευτέρου ιδιοανύσµατος) είναι αρνητική ( G =.74< ). Αυτό σηµαίνει ότι όταν η διεγείρουσα δύναµη τείνει να µετακινήσει τις µάζες του συστήµατος προς την ίδια κατεύθυνση, το ιδιοάνυσµα µε αρνητική τιµή τείνει να µετακινήσει τις µάζες προς την αντίθετη κατεύθυνση. Ως εκ τούτου, αυτό το ιδιοάνυσµα τείνει να αναιρέσει (να ακυρώσει) την επιβαλλόµενη δύναµη, µε αποτέλεσµα τη µείωση του πλάτους της δύναµης, η οποία διεγείρει (παράγει) το αντίστοιχο ιδιοάνυσµα. Όσο, δε, µεγαλύτερη είναι η τάξη του ιδιοανύσµατος (δηλαδή όσο µεγαλύτερος είναι ο αύξων αριθµός που αντιστοιχεί στα, ταξινοµηµένα κατά αύξουσα σειρά, ιδιοανύσµατα, π.χ. δέκατο ιδιοάνυσµα) τόσο πιο ανώµαλη είναι η µορφή του ιδιοανύσµατος. Ποιοτικά, µπορούµε να πούµε ότι κάθε ιδιοάνυσµα λειτουργεί ως φίλτρο, το οποίο φιλτράρει

11 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - o τη γεωµετρική κατανοµή της δύναµης. Έτσι, όσο πιο ανώµαλη είναι η µορφή του ιδιοανύσµατος, τόσο πιο ισχυρό φίλτρο καθίσταται το ιδιοάνυσµα, µε αποτέλεσµα τα πλάτη των γενικευµένων δυνάµεων να είναι µικρότερα. Το Ισοδύναµο Στατικό Πλάτος είναι αντιστρόφως ανάλογο της ιδιοσυχνότητας όπως φαίνεται και από την Εξ.(8), η οποία επαναλαµβάνεται εδώ για την πληρότητα του κειµένου: G Q, S =,, = ω (4) Συνεπώς, όσο αυξάνεται η τάξη της ιδιοσυχνότητας, τόσο το Ισοδύναµο Στατικό Πλάτος θα είναι µικρότερο. Με άλλα λόγια, το ισοδύναµο ελατήριο θα είναι ποιο δύσκαµπτο και ως εκ τούτου, η συνεισφορά στη δυναµική συµπεριφορά του συστήµατος θα είναι µικρότερη. Πιο θεωρητικά, από την εξίσωση ισορροπίας του δυναµικού συστήµατος, ισχύει: ω m q + kq = X F q + q = X F q = X F ω k k Με άλλα λόγια, όσο αυξάνεται η τιµή της ιδιοσυχνότητας (43) ω, τόσο ο όρος ( ω ) q τείνει στο µηδέν, ο οποίος εκφράζει τη δυναµική απόκριση του συστήµατος, άρα αποµένει η Ισοδύναµη Στατική Απόκριση του συστήµατος. Αυτή η παρατήρηση έχει ιδιαίτερη αξία διότι πληροφορεί ότι: Στη δυναµική ανάλυση εύκαµπτων πολυβάθµιων δυναµικών συστηµάτων, µόνον λίγες ΧΑΜΗΛΕΣ ιδιοσυχνότητες είναι εκείνες που συνεισφέρουν ουσιαστικά στη δυναµική απόκριση του συστήµατος (οι υψηλές ιδιοσυχνότητες τείνουν να ακυρώσουν τη δυναµική συµπεριφορά του συστήµατος). Όπως έχει αναφερθεί και σε προηγούµενες Ενότητας (π.χ. Εκπαιδευτική Ενότητα 8), µε τη βοήθεια του Ιδιοανυσµατικού Μετασχηµατισµού, η δυναµική συµπεριφορά ενός πολυβάθµιου δυναµικού συστήµατος εκφράζεται ως µία σύνθεση (υπέρθεση) κατάλληλα διαµορφωµένων µονοβάθµιων συστηµάτων, όπως φαίνεται στο Σχήµα 3. m = ω m = ω Σχήµα 3: Πτέρυγα αεροσκάφους µοντελοποιηθείσα ως σύνολο µονοβάθµιων συστηµάτων

12 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Ακολουθεί η απεικόνιση των πρώτων ιδιοµορφών ενός µοντέλου πτέρυγας αεροσκάφους. η ιδιοµορφή (ιδιοσυχνότητα:.637hz) η ιδιοµορφή (ιδιοσυχνότητα: 6.Hz) 3 η ιδιοµορφή (ιδιοσυχνότητα: 78.37Hz) 4 η ιδιοµορφή (ιδιοσυχνότητα: 6.77Hz) 5 η ιδιοµορφή (ιδιοσυχνότητα: 6.Hz) 6 η ιδιοµορφή (ιδιοσυχνότητα: 338.7Hz) 7 η ιδιοµορφή (ιδιοσυχνότητα: Hz) 8 η ιδιοµορφή (ιδιοσυχνότητα: 4.84Hz) 9 η ιδιοµορφή (ιδιοσυχνότητα: Hz) η ιδιοµορφή (ιδιοσυχνότητα: 6.47Hz) Σχήµα 4: Οι πρώτες δέκα ιδιοµορφές (ιδιοανύσµατα) ενός µοντέλου πτέρυγας αεροσκάφους, υπολογισµένες µε τη Μέθοδο των Πεπερασµένων Στοιχείων (η απαραµόρφωτη πτέρυγα απεικονίζεται ως αχνό, λευκό περίγραµµα Συνολικό πλήθος Βαθµών Ελευθερίας: 674)

13 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Συνοψίζοντας, η διαδικασία για τον υπολογισµό της απόκρισης του εξεταζοµένου διβάθµιου δυναµικού συστήµατος, υπό τη δεδοµένη εξωτερική διέγερση, είναι η ακόλουθη: ιατύπωση της εξίσωσης της απόκρισης του συστήµατος, χρησιµοποιώντας Ιδιοανυσµατικό Μετασχηµατισµό και για δύο Βαθµούς Ελευθερίας (έστω Ε): N= = = Φ =Φ +Φ x t q t q t q t Πρέπει να υπολογισθούν τα ιδιοανύσµατα Φ, =, ελευθερίας q, =,. Για τον υπολογισµό των ιδιοανυσµάτων Φ, =, : και οι γενικευµένοι βαθµοί o Υπολογισµός ιδιοτιµών από την επίλυση της εξίσωσης det( ω M K) o Υπολογισµός ιδιοανυσµάτων από την επίλυση της εξίσωσης ( ω M K) κάθε µία ευρεθείσα ιδιοτιµή. + =. Για τον υπολογισµό των γενικευµένων βαθµών ελευθερίας q, =, : + Φ= για o Υπολογισµός γενικευµένων µαζών από την εξίσωση Φ MΦ = m, =, για κάθε βαθµό ελευθερίας (άρα, για κάθε ένα από τα ευρεθέντα ιδιοανύσµατα Φ, =, ). o Υπολογισµός γενικευµένης διέγερσης g = (( Φ F) m), =, για κάθε βαθµό ελευθερίας. o Κατάστρωση της εξίσωσης ω q t + q t = g t, =,,..., N (έστω Ε). = + = (έστω Ε3). o Θεώρηση λύσης της µορφής q q q,, P h o Με βάση τη δοθείσα εξωτερική διέγερση, θεώρηση µερική λύση της µορφής * q t = P h t, P = const, =,. P o Αντικατάσταση µερικής λύσεως στην (Ε) και υπολογισµός των P = const. o Για το µεταβατικό τµήµα της απόκρισης (οµογενής λύση), θεώρηση ( ω ) ( ω ) q t = A cos t + B sn t, =,. h o Αντικατάσταση (γνωστής πλέον) µερικής λύσεως και (ακόµα άγνωστης) οµογενούς q t = Q + A cos t + B sn t, =,, Q = P (Ε4). λύσεως στην (Ε3): ( ω ) ( ω ), S, S o Με βάση τις αρχικές συνθήκες µετατόπισης, υπολογισµός των σταθερών συντελεστών A, =, από την (Ε4). o Υπολογισµός της πρώτης χρονικής παραγώγου της (Ε3) ω ( ω ) ω ( ω ) q t = A sn t + B cos t, =, (έσω Ε5). o Με βάση τις αρχικές συνθήκες ταχύτητας, υπολογισµός των σταθερών συντελεστών B, =, από την (Ε5). Αντικατάσταστη των υπολογισθέντων Φ, =, και q, =, στην (Ε)

14 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Εφαρµογή η (Θέµα εξετάσεων Σεπ998, Βαθµολογική βαρύτητα: 5 µονάδες) Έστω το διβάθµιο δυναµικό σύστηµα m k (άρα δυναµικό σύστηµα χωρίς στοιχεία απόσβεσης) του Σχήµατος 5, για το οποίο δίδεται ότι οι δύο µάζες είναι ίσες µε M= kg και M = kg, αντίστοιχα, η σταθερά του ελατηρίου ισούται µε k = 4 N m. Στο σύστηµα επιβάλλονται αρχικές ταχύτητες x = m και x sec = 3m sec, αντίστοιχα. Σχήµα 5: Το εξεταζόµενο διβάθµιο σύστηµα m k Ζητούνται: α) η απόκριση του συστήµατος και β) εκείνες οι αρχικές ταχύτητες, για τις οποίες το σύστηµα θα κινηθεί χωρίς ταλαντώσεις και µετά από χρόνο t= sec οι µάζες θα έχουν µετατοπισθεί κατά x = x = 4m. Λύση Για το ερώτηµα (α): Ήδη από τις προηγούµενες Ενότητες (π.χ. Εκπαιδευτική Ενότητα 7, Εκπαιδευτική Ενότητα 8), είναι γνωστό ότι οι εξισώσεις ισορροπίας ενός πολυβάθµιου δυναµικού συστήµατος m k είναι δυνατόν να γραφούν σε µητρωϊκή µορφή ως εξής: M + x K x= F όπου M και K είναι, αντίστοιχα, το µητρώο µάζας και το µητρώο δυσκαµψίας του δυναµικού συστήµατος, είναι το διάνυσµα της εξωτερικής διέγερσης, ενώ είναι η F x απόκριση του συστήµατος. Ο υπολογισµός των µητρώων M και K επιτυγχάνεται εύκολα χρησιµοποιώντας την Ενεργειακή Αρχή Lagrange. Ειδικότερα, ισχύει (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα και Εκπαιδευτική Ενότητα 7): Η κινητική ενέργεια του συστήµατος, η οποία συσσωρεύεται στις µάζες m και m, ισούται µε: = mυ + mυ = m x + m x (45) Η δυναµική ενέργεια U του συστήµατος, η οποία συσσωρεύεται στο ελατήριο σταθεράς k, ισούται µε: U = k( x) U = k( x x) (46) (44)

15 Στο σύστηµα δεν διαχέεται ενέργεια απόσβεσης, άρα ισχύει: υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - P C, διότι το σύστηµα δεν διαθέτει στοιχεία P = (47) C Η ισχύς P t του συστήµατος είναι µηδενική, διότι στο σύστηµα δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάµεις, άρα δεν προσφέρεται ενέργεια στο σύστηµα από εξωτερική πηγή. Συνεπώς, ισχύει: P = (48) Η ενεργειακή µεταβλητή Lagrange L του συστήµατος, ισούται µε: Συνεπώς, από το συνδυασµό των Εξ.(45,46,49), προκύπτει: t L= U (49) L= U = m x + m x k x x (5) Η εφαρµογή των Εξ.(47,48,5) για την ελεύθερη κινηµατική µεταβλητή q= x, δίδει: L L = m x + m x k x x = m x x x x d L d = ( m x ) = m x dt x dt (5) (5) L = m x + m x k( x x) = k( x x) = kx kx (53) x x x P C P t x = = (54) (55) Η µαθηµατική έκφραση της Ενεργειακής Αρχής Lagrange είναι (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα, Εκπαιδευτική Ενότητα7): L L PC Pt + = t x x x x (56) Εισάγοντας τις Εξ.(5,53,54,55) στην Εξ.(56), προκύπτει: (57) m x kx kx + = Επαναλαµβάνοντας την ανωτέρω διαδικασία για την ελεύθερη κινηµατική µεταβλητή q= x, προκύπτει:

16 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - L m x m x k( x x ) = + = m x x x d L d = ( m x ) = m x dt x dt (58) (59) L = m x + m x k( x x) = k( x x)( ) = kx + kx (6) x x x P C x P t = = (6) (6) Εισάγοντας τις Εξ.(59,6,6,6) στην Εξ.(56), προκύπτει: (63) m x kx kx + = Χρησιµοποιώντας µητρωϊκή γραφή, οι Εξ.(57,63) γράφονται και ως εξής: x x [ m ] + [ k k] = { } m x+ kx kx = x x m x kx + kx = x x [ m] + [ k k] = { } x x m x k k x m + x = k k x M x K x F (64) Με αριθµητική αντικατάσταση στην Εξ.(64), προκύπτει: x 4 4 x 4 + x = 4 4 x (65) Η ζητούµενη απόκριση του συστήµατος είναι η λύση της Εξ.(65), για την επίλυση της οποίας είναι δυνατόν να χρησιµοποιηθεί ο Ιδιοανυσµατικός Μετασχηµατισµός. Προς τούτο, πρέπει να υπολογισθούν οι ιδιοτιµές και τα ιδιοανύσµατα του συστήµατος. Οι ιδιοτιµές βρίσκονται από την επίλυση της εξίσωσης (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 7): Ο συνδυασµός των Εξ.(65,66) δίδει: ω = λ ω M K λm K det + = det + = (66)

17 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: λ+ 4 4 det λ det 4 + = = λ+ 4 λ+ 4 4λ = 4λ 6λ 4λ+ 6 6= λ = ω = ( 4λ λ) = 4λ( λ 5) = λ = ω = 5 Με βάση τις ιδιοτιµές της Εξ.(67), είναι δυνατός ο υπολογισµός των ιδιοανυσµάτων: Για την ιδιοτιµή λ =, ισχύει: ( ω M K) ( λ M K) + Φ = + Φ = (67) (68) = 4 4 Φ Φ + Φ = Φ = = = 4 4 Φ Φ Φ Φ = Φ Φ = Φ =Φ (69) Φ +Φ = λ ( λ M K) K 4 Με βάση την Εξ.(69), το ιδιοάνυσµα Φ (ιδιοάνυσµα για την πρώτη ιδιοσυχνότητα) είναι: Φ Φ = ήφ = Φ = =Φ =Φ Φ = Φ = Φ [ ] (7) Η Εξ.(7) πληροφορεί ότι, για την κίνηση µε ιδιοσυχνότητα ω, η αναλογία των µετατοπίσεων των µαζών του συστήµατος είναι :. Με άλλα λόγια: Η µηδενική ιδιοτιµή ενός δυναµικού συστήµατος αντιστοιχεί στην κίνηση του συστήµατος ως εάν αυτό ήταν απολύτως στερεό σώµα. Ισοδύναµα, στην προκειµένη περίπτωση, η µηδενική ιδιοτιµή αντιστοιχεί σε κίνηση των µαζών M και M ως εάν το µεταξύ τους ελατήριο (βλ. Σχήµα 5) ήταν άκαµπτο (σταθερά ελατηρίου ω = ) και οι ελαστικές δυνάµεις του συστήµατος ήταν µηδενικές. Από την Εξ.(68) και για την ιδιοτιµή λ = 5, ισχύει: 4 4 Φ M + K Φ = KΦ 5 = 5 = + = Φ = ( λ ) λ Φ 4 Φ = = Φ Φ

18 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - 4 Φ Φ + 4Φ =.5Φ +Φ = 4 6 = Φ 4 Φ + 6 Φ =.5 Φ +Φ =.5Φ = Φ.5Φ =Φ.5Φ = Φ (7) Με βάση την Εξ.(7), το ιδιοάνυσµα Φ (ιδιοάνυσµα για τη δεύτερη ιδιοσυχνότητα) είναι: Φ Φ Φ Φ = Φ = = = =Φ Φ = Φ = Φ Φ.5Φ.5.5 [.5] Σύµφωνα µε Ιδιοανυσµατικό Μετασχηµατισµό, η απόκριση του εξεταζοµένου δυναµικού συστήµατος ισούται µε (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 8): (7) = = Φ =Φ +Φ x t q t q t q t (73) όπου Φ, =, είναι τα ιδιοανύσµατα (υπολογίσθηκαν προηγουµένως) και q, =, είναι οι γενικευµένοι βαθµοί ελευθερίας του συστήµατος. Για τον υπολογισµό των γενικευµένων βαθµών ελευθερίας, αποδεικνύεται ότι ισχύει (η απόδειξη της Εξ.(74) παρατίθεται στο Παράρτηµα Α): m = Φ M x q t (74) q t dq t = = Φ M x t dt m (75) Για την εφαρµογή των Εξ.(74,75), πρέπει πρώτα να υπολογισθεί η γενικευµένη µάζα m : Πιο συγκεκριµένα, ισχύει: Για τη γενικευµένη µάζα m : m =Φ MΦ (76) m =Φ MΦ = [ ] = [ ] m = (77) Για τη γενικευµένη µάζα m : m =Φ MΦ = [.5] = [.5] m = (78)

19 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Για =, δηλαδή για τον πρώτο τρόπο ταλάντωσης, όπως προέκυψε από την Εξ.(7), οι δύο µάζες του συστήµατος κινούνται ως ένα σώµα, η σταθερά του ελατηρίου είναι µηδέν και η γενικευµένη µάζα m ισούται µε το άθροισµα των µαζών του συστήµατος. Σε αυτήν την περίπτωση, η εξίσωση κίνησης του συστήµατος είναι: ω = (79) q q+ ω q = q = q( ) = q = q( ) t t Με άλλα λόγια, το σύστηµα εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. Στην Εξ.(79), ως q ( ) συµβολίζεται η ταχύτητα της γενικευµένης µάζας m, η οποία, ως σταθερή ποσότητα, είναι η ίδια για κάθε χρονική στιγµή, άρα και για t=, και ισούται µε (βλ. Εξ.(75)): q t= ( ) M x ( ) [ ] ( ) ( ) dq x ( ) sec = = Φ = ( ) 3 sec x = m x = m dt m 5 4 x + m q ( ) = [ ] [ ] q( ) = = = 3 5 (8) 5 sec Ο συνδυασµός των Εξ.(79,8) δίδει: q t.6t = (8) =, δηλαδή για τον δεύτερο γενικευµένο βαθµό ελευθερίας q Για προκύπτει ότι ισχύει: + ω = q t q t g t t, από την Εξ.(7) (8) Επειδή δεν επιβάλλεται εξωτερική διέγερση στο σύστηµα, έπεται ότι (βλ. Εξ.(6)): Από τις Εξ.(8,83), έπεται ότι: Φ F F= g = g = (83) m ω (84) q t q t + = Κατά τα γνωστά (π.χ. βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 3), η λύση της οµογενούς Εξ.(84) είναι της µορφής: cos( ω ) sn( ω ) q t = A t + B t (85) Οι σταθεροί συντελεστές A και B προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην προκειµένη περίπτωση, δίδεται από την εκφώνηση ότι στη µάζα M, η κίνηση της οποίας περιγράφεται από το δεύτερο βαθµό ελευθερίας, επιβάλλεται αρχική ταχύτητα. Αφού δίδεται αρχική ταχύτητα, έπεται ότι η αρχική µετατόπιση είναι µηδενική, συνεπώς ισχύει:

20 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Επίσης, ισχύει: t= ( ω ) ( ω ) q q t = A cos t + B sn t A = (86) = t= sn cos ( ) q t ω A ω t ω B ω t q ω B B = + = = = ω 5 Ο συνδυασµός των Εξ.(45,46,47) δίδει: q 3 B =.34 (87).34sn( ω ) q t t = (88) Αντικαθιστώντας στην Εξ.(73) µε τις Εξ.(7,7,8,88), τελικά προκύπτει: q x =Φ q +Φ q = q( ) t sn( ωt) +.5 ω x = + x.6 t.34sn ( 5 t) t.5 x.6.34 = t + sn.36 x κοινή & σταθερή σχετική ταλάντωση µεταξύ ταχύτητα των µαζών (89) Ο πρώτος όρος στο δεξί µέλος της Εξ.(89) περιγράφει την κοινή, και χρονικά σταθερή, ταχύτητα των µαζών του συστήµατος, ενώ ο δεύτερος όρος στο δεξί µέλος της Εξ.(89) περιγράφει τη σχετική ταλάντωση µεταξύ των µαζών. Για το ερώτηµα (β): Στο ερώτηµα (α) διαπιστώθηκε ότι η απόκριση του συστήµατος περιγράφεται από την Εξ.(89), η οποία, χωρίς τις αριθµητικές αντικαταστάσεις, γράφεται και ως εξής: x t q = q( ) t sn t x +.5 ω ευθύγραµµη οµαλή κίνηση σχετική ταλάντωση µαζών ( ω ) Προκειµένου, λοιπόν, το εξεταζόµενο σύστηµα να κινείται χωρίς ταλαντώσεις, έπεται ότι οι ' νέες επιβαλλόµενες αρχικές ταχύτητες, έστω ẋ ( ) (9) ' και ẋ ( ), πρέπει να είναι τέτοιες, ώστε ο δεύτερος όρος του αθροίσµατος να µηδενισθεί, δηλαδή πρέπει να ισχύει: (9) q =

21 Ο συνδυασµός των Εξ.(75,9), δίδει: υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ( ) ( ) ' ' x q ( ) = Φ M x ( ) = Φ M = m ' x Αντικαθιστώντας στην Εξ.(9) το ιδιοάνυσµα και το µητρώο µάζας M, προκύπτει: Φ ' ' ' x ( ) x ( ) x ( ) Φ M ' = [.5] x ' ' ( ) 4 = = x ( ) x ( ) ' x ' ' ' ' x ' x x x = = = x Από την Εξ.(93) προκύπτει ότι πρέπει να επιβληθεί στις δύο µάζες η ίδια ταχύτητα. Το µέτρο της ταχύτητας υπολογίζεται αντικαθιστώντας στην Εξ.(9) για τις νέες αρχικές ταχύτητες: ' q ( ) q ( ) t ( ω ) ' x ' ' x ' ' t ' x( ) = x( = ' + ) x( t ).5 sn t ' = q( ) t ω x( t ) ' ' ' ' ' ' ' ' x t x t x t = x t = 4m ' 4 m x = x = q ( ) t q ( ) = = q sec ( t= ) = t t sec ( ) m q = sec (9) (93) ' (94) Στη συγκεκριµένη εφαρµογή εξετάσθηκε η συµπεριφορά ενός δυναµικού συστήµατος, όταν αυτό εκτελεί µία µετατόπιση απολύτως στερού σώµατος, στην οποία υπερτίθεται µία ταλάντωση. Πρόκειται για µία πολύ σηµαντική, από τεχνολογικής απόψεως, συµπεριφορά, διότι παρατηρείται σε πλήθος τεχνολογικών παραδειγµάτων, όπως είναι: Η κίνηση των πτερύγων ενός αεροσκάφους, οι οποίες φέρουν τους κινητήρες του αεροσκάφους, όταν σε αυτό ασκείται απότοµα µία κατακόρυφη δύναµη. Η κίνηση των βαγονιών ενός σιδηροδροµικού συρµού, όταν αυτός αρχικά είναι ακίνητος και ξαφνικά τίθεται σε κίνηση. Η κίνηση των (εύκαµπτων) πτερυγίων µίας στροβιλοµηχανής ή µίας ανεµογεννήτριας, όταν αυτή τίθεται σε περιστροφική κίνηση. Η κίνηση όλων των εύκαµπτων κατασκευών

22 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Σύνοψη ιαδικασίας Συνοψίζοντας, η διαδικασία που ακολουθήθηκε για τον υπολογισµό της απόκρισης του εξεταζοµένου συστήµατος, υπό την επιβολή µόνον αρχικής κινηµατικής συνθήκης (ταχύτητας), ήταν η εξής: ιατύπωση της εξίσωσης της απόκρισης του συστήµατος, χρησιµοποιώντας Ιδιοανυσµατικό Μετασχηµατισµό και για δύο Βαθµούς Ελευθερίας (έστω εξίσωση Ε): N= = = Φ =Φ +Φ x t q t q t q t Πρέπει να υπολογισθούν τα ιδιοανύσµατα Φ, =, ελευθερίας q, =,. και οι γενικευµένοι βαθµοί Για τον υπολογισµό των ιδιοανυσµάτων Φ, =, : o Υπολογισµός ιδιοτιµών από την επίλυση της εξίσωσης ( ω M K ) det + =. Για = προέκυψε µηδενική ιδιοτιµή και για = προέκυψε µία µη-µηδενική ιδιοτιµή. o Υπολογισµός ιδιοανυσµάτων από την επίλυση της εξίσωσης ( ω M K ) κάθε µία ευρεθείσα ιδιοτιµή. Για τον υπολογισµό του γενικευµένου βαθµού ελευθερίας q στη µηδενική ιδιοτιµή:. o Κατάστρωση της εξίσωσης q ω q o Επειδή + = + Φ= για t, ο οποίος αντιστοιχεί ω =, προκύπτει: q =, δηλαδή προκύπτει ευθύγραµµη, οµαλή κίνηση: =. Πρέπει να βρεθεί το q t q t q. o Υπολογισµός q ( ) από την εξίσωση: q dq t = = Φ M x t dt m o Υπολογισµός γενικευµένης µάζας από την εξίσωση Φ M Φ = m. Για τον υπολογισµό του γενικευµένου βαθµού ελευθερίας q στη µη-µηδενική ιδιοτιµή, χρήση της εξίσωσης: = cos( ω ) + sn( ω ) q t A t B t o Προσδιορισµός συντελεστών A, B από αρχικές συνθήκες t, ο οποίος αντιστοιχεί Αντικατάσταστη των υπολογισθέντων Φ, =, και q, =, στην (Ε)

23 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Σηµαντική παρατήρηση Το δεύτερο ερώτηµα είναι δυνατόν να αντιµετωπισθεί πολύ απλά, χρησιµοποιώντας βασικές σκέψεις φυσικής: αφού οι δύο µάζες δεν ταλαντώνονται µεταξύ τους, η παρουσία του ελατηρίου είναι δυνατόν να αµεληθεί, αφού θέλουµε οι µάζες να διαγράφουν ίσες αποστάσεις S σε ίσους χρόνους t, έπεται ότι αυτές εκτελούν ευθύγραµµη οµαλή κίνηση µε την ίδια ταχύτητα υ = ( S t). Η ανωτέρω απλή αντιµετώπιση του δευτέρου ερωτήµατος υποδηλώνει ότι: Τα περισσότερα προβλήµατα, τα οποία αντιµετωπίζει ο Μηχανικός κατά την επαγγελµατική του σταδιοδροµία, είναι εξαιρετικά απλά. Για εκείνα τα προβλήµατα που δεν είναι απλά, ο Μηχανικός πρέπει να σκέπτεται έξυπνους τρόπους ώστε να τα απλοποιεί

24 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Απόδειξη της Εξ.(74) Με βάση τον Ιδιοανυσµατικό Μετασχηµατισµό, η απόκριση x συστήµατος, γράφεται ως εξής (βλ. Εξ.(3)): ενός διβάθµιου δυναµικού x Φ Φ q x = Φ q =Φ q +Φ q = = x( t ) Φ Φ q Φ Φ x Φ q (Α.) όπου Φ είναι ο πίνακας των ιδιοανυσµάτων. Λύση του γραµµικού συστήµατος (Α.), ως προς τους γενικευµένους βαθµούς ελευθερίας q( t ), δίδει: για τη γενικευµένη µεταβλητή q( t ) : q Φ x x = = q = Φ Φ ΦΦ ΦΦ det( Φ) x t x t [ Φ Φ ] x t Φ Φ Φ x t Φ Φ για τη γενικευµένη µεταβλητή q( t ) : q x x = = q = Φ Φ ΦΦ ΦΦ det( Φ) Φ x t x t [ Φ Φ ] Φ x t Φ Φ x t Φ Φ Βάσει των Εξ.(Α.,Α.3), το διάνυσµα των γενικευµένων βαθµών ελευθερίας q Φ Φ q( t ) Φ Φ x = q det Φ x είναι: Ως γνωστόν από τη Γραµµική Άλγεβρα, ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα A είναι: ( A ) n n ( n n) ( A ) adj A det n n (Α.) (Α.3) (Α.4) = (Α.5) όπου ως adj( A n n) συµβολίζεται το αλγεβρικό συµπλήρωµα (adjont) του πίνακα A, ενώ ως det( A ) συµβολίζεται η ορίζουσα το πίνακα A. Στην περίπτωση όπου n=, ισχύει: n n a b A adj( A) d b = c d = c a (Α.6)

25 Με βάση τις Εξ.(Α.5,Α.6), η Εξ.(Α.4) δίδει: υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Φ Φ Φ Φ q x q( t ) det( Φ) x adj( Φ) = q t =Φ Φ Από τις ιδιότητες ορθογωνιότητας των ιδιοανυσµάτων ως προς το µητρώο µάζας M του συστήµατος (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 7), για κάθε βαθµό ελευθερίας, ισχύει: x (Α.7) m =Φ M Φ Για ένα διβάθµιο δυναµικό σύστηµα, ισχύει: m [ ] gen m Φ Φ M gen = Φ Φ M Φ Φ M =Φ MΦ (Α.8) (Α.9) Πολλαπλασιάζοντας την Εξ.(Α.9) από δεξιά µε τον πίνακα ιδιοανυσµάτων), προκύπτει: Φ (αντίστροφος του πίνακα των Ωστόσο, ισχύει: M gen Φ =Φ MΦΦ ΦΦ = I (Α.) (Α.) όπου I είναι ο µοναδιαίος πίνακας διάστασης, διότι: Φ Φ Φ Φ.5 Φ Φ Φ.6 Φ Φ Φ Φ Φ Φ det Φ ( A ) adj ( A ) ΦΦ = Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ +Φ Φ ΦΦ = = det( Φ ) det Φ Φ Φ Φ ( Φ) ΦΦ Φ Φ ΦΦ +ΦΦ det Φ det Φ det( Φ) det( Φ) det Φ ΦΦ = = ΦΦ = Ο συνδυασµός των Εξ.(Α., Α.), δίδει: I I (Α.) M genφ =Φ MΦΦ M genφ =Φ M (Α.3) Πολλαπλασιάζοντας την Εξ.(Α.3) από δεξιά µε το διάνυσµα απόκρισης x I M genφ x t =Φ M x t, προκύπτει: (Α.4)

26 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Εισάγοντας την Εξ.(Α.7) στην Εξ.(Α.4), προκύπτει: M gen x t M x t M q t M x t Εκτελώντας πράξεις στην Εξ.(Α.5), προκύπτει: Φ =Φ gen =Φ q (Α.5) m q Φ Φ =Φ = Φ Φ M genq t M x t M x t m q [ Φ Φ ] Φ Φ Φ m q( t ) Φ m q t Φ = M x M x m q( t = ) [ ] m Φ Φ q Φ mq t Φ M x t mq t =Φ M x t = m q =Φ M x mq t Φ M x t mq t =Φ M x t q = Φ M x, =, m (Α.6) Με αντίστοιχη συλλογιστική, η Εξ.(Α.6) ισχύει για ένα οποιοδήποτε N βάθµιο δυναµικό σύστηµα