Ευρετηρίαση και Αναζήτηση Πολυμέσων Multimedia Indexing & Searching
|
|
- Αἰκατερίνη Κυπραίος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη 2009 HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών Information Retrieval (IR) Systems Ευρετηρίαση και Αναζήτηση Πολυμέσων Multimedia Indexing & Searching Γιάννης Τζίτζικας άλ ιάλεξη : 15 Ημερομηνία : CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 1 Διάρθρωση Διάλεξης Το Πρόβλημα, Εφαρμογές και Παραδείγματα Επερωτήσεις Ομοιότητας Feature-based Indexing and Retrieval Μέθοδοι Χωρικής Πρόσβασης Case Study: 1D Time Series Case Study: 2D Images Ανάκτηση Πολυμέσων χωρίς τη χρήση Features μετρικά ευρετήρια CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 2
2 Το Πρόβλημα Εδώ αντί για έγγραφα κειμένου έχουμε πολυμέσα (multimedia objects): δισδιάστατες έγχρωμες εικόνες gray-scale ιατρικές εικόνες δισδιάστατες ή τρισδιάστατες (πχ MRI brain scans) one dimensional time series ψηφιοποιημένη φωνή ή μουσική video clips Στόχος: Γρήγορη εύρεση των πολυμέσων που ταιριάζουν ακριβώς ή προσεγγιστικά με μια επερώτηση. To απόλυτο ταίριασμα συνήθως δεν μας είναι χρήσιμο CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 3 Εφαρμογές και Παραδείγματα Επερωτήσεων Image Databases q = Βρες εικόνες που μοιάζουν με ηλιοβασίλεμα (των οποίων η κατανομή χρώματος είναι ίδια με αυτήν των φωτογραφιών με ηλιοβασίλεμα) αναγνώριση προσώπου (face recognition), ταίριασμα δακτυλικών αποτυπωμάτων (fingerprint matching) Financial, Marketing and Production Time Series q = Βρες εταιρείες με παρόμοια διακύμανση μετοχών Medical Applications q = Βρες ιατρικές ακτινογραφίες που απεικονίζουν κάτι με υφή όγκου (tumor) Audio/Video databases αναγνώριση φωνής (voice recognition) DNA/Genome databases CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 4
3 Επερωτήσεις Ομοιότητας (Similarity Queries) Βασίζονται σε μια δοθείσα συνάρτηση απόστασης (ομοιότητας) Υπόβαθρο: Μετρικός χώρος είναι ένα σύνολο στοιχείων Χ εφοδιασμένο με μία συνάρτηση απόστασης d: X x X -> R Οι συναρτήσεις απόστασης έχουν τις εξής ιδιότητες, για οποιοδήποτε x,y,z στο Χ: d(x,y) 0 d(x,y) = d(y,x) positiveness, symmetry, d(x,x)=0 reflexivity, and d(x,y) d(x,z) + d(z,y) triangle inequality. Οι διανυσματικοί χώροι είναι μια ειδική περίπτωση των μετρικών χώρων CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 5 Παραδείγματα Συναρτήσεων Απόστασης για διανυσματικούς χώρους There are a number of options for the distance function to use, but the most widely used is the family of L s distances defined as: L s k s 1,..., xk )( y1,..., yk )) = xi yi i = 1 (( x 1/ s L 1 : sum of the differences along the coordinates also called block or Manhattan distance, since in two dimensionsi it corresponds to the distance to walk between two points in a city of rectangular blocks L 2 : Euclidean distance, as it corresponds to our notion of spatial distance. L, : corresponds to taking the limit of the L s formula when s goes to infinity. CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 6
4 Ισομετρικές καμπύλες L 1, L 2 L για το δισδιάστατο χώρο p p p ( x + y ) L 1 L 2 L x + y = 1 ( x + y ) = 1 p p p p lim ( x + y ) = 1 max( x, y) = 1 CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 7 Κατηγορίες Επερωτήσεων Ομοιότητας Ταιριάσματος Προτύπου (Whole match queries) Π.χ.: βρες όλα τα αντικείμενα σε απόσταση ε από το Q Τα αντικείμενα και η επερώτηση είναι ιδίου τύπου π.χ. έγχρωμες εικόνες 512x512 Ταιριάσματος Υποπροτύπου (Sub-pattern match queries) Π.χ.: βρες όλα τα τμήματα των αντικειμένων σε απόσταση ε από το Q Η επερώτηση μπορεί να έχει διαφορετικό τύπο από τα αντικείμενα π.χ. αντικείμενα = εικόνες 512x512, επερώτηση = τυπική 16x16 ακτινογραφία ενός όγκου Κοντινότερων γειτόνων (nearest neighbors) Π.χ.: βρες τα 5 κοντινότερα αντικείμενα στο Q Σύνδεσης (all pairs, spatial joins,...) CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 8
5 Ταίριασμα Προτύπου: Ορισμός Προβλήματος Σύμπαν αντικειμένων U (πχ το σύνολο όλων των εικόνων 512x512) Συλλογή αντικειμένων C={o 1,,o N }, C U Συνάρτηση Απόστασης (ομοιότητας,..,συνάφειας) D: U x U [0,1] καθορίζεται από έναν ειδικό του πεδίου (μπορεί να υπολογίζεται από ένα πρόγραμμα) Επερώτηση: αντικείμενο Q (Q U) και ανοχή (tolerance) ε Απάντηση επερώτησης: ans(q, ε)={ o C D(o,Q) ε } Σκοπός: Γρήγορος υπολογισμός του ans(q, ε) CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 9 Μια Απλοϊκή Μέθοδος Αναζήτησης 1. Υπολόγισε το D(o,Q) για κάθε o στο C 2. Επέλεξε εκείνα τα αντικείμενα τ.ω. D(o,Q) ε Παρατηρήσεις Πολύ αργή μέθοδος αν: ο υπολογισμός της απόστασης ακριβός For example, the edit distance in DNA strings requires a dynamic programming algorithm, which grows like the product of the string lengths (typically in the hundreds or thousands, for DNA databases) το C είναι μεγάλο μγ CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 10
6 Ζητούμενα Ταχύτητα η σειριακή σάρωση και ο υπολογισμός της απόστασης d(o,q) για κάθε αντικείμενο o του C θα ήταν πολύ αργός (για μεγάλες βάσεις) Ορθότητα υψηλός βαθμός ανάκλησης (να μην χάνεται κανένα από τα αντικείμενα), καλός βαθμός ακρίβειας (τα εσφαλμένως ανακτηθέντα μπορούν να φιλτραριστούν με ένα επιπλέον πέρασμα) Μικρή χωρική επιβάρυνση Κλιμάκωση, Δυναμική: εύκολη εισαγωγή, γή, διαγραφή και ενημέρωση η αντικειμένων CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 11 Διαφορές με το κλασσικό IR κειμένων Ο Βαθμός Συνάφειας εδώ αντιστοιχεί στο Βαθμό Ομοιότητας (Εγγύτητας) (1- Απόσταση) Rel(o,Q) 1 - D(o,Q) D(o,Q) 1 - Rel(o,Q) Η D(Q,o) εδώ δίδεται, στο text IR εφευρίσκεται / ακαλύπτεται» στα μοντέλα ανάκτησης κειμένων (εκτός του Boolean Μοντέλου) λαμβάνεται υπόψη ολόκληρη η συλλογή (θυμηθείτε τα βάρη idf, df). Με άλλα λόγια τα μοντέλα αυτά δεν ορίζουν το D(d,Q) αλλά το D(C,d,Q) dq) Εδώ δίνουμε ιδιαίτερη έμφαση στην ταχύτητα αναζήτησης Subpattern match queries για text IR: Βρες εκείνες τις παραγράφους των κειμένων που είναι συναφείς με την επερώτηση CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 12
7 Feature: Ανάκτηση Πολυμέσων: Feature-based Approach Ένας αριθμός που χαρακτηρίζει (υπό μια σκοπιά) ένα αντικείμενο, π.χ. Μέσος Όρος, Τυπική Απόκλιση (standard deviation), Discrete Fourier transform (DFT) Χρησιμοποιώντας κ-features μπορούμε να δούμε τα αντικείμενα ως σημεία ενός κ-διάστατου χώρου Αναζήτηση = Αναζήτηση σε Πολυδιάστατους Χώρους CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 13 GEMINI: A Generic Multimedia Indexing Approach Βασική Ιδέα: 1. ένα quick-and-dirty πέρασμα για απόρριψη των άσχετων αντικειμένων βασίζεται στην έννοια του feature(s) 2. χρήση μεθόδων χωρικής πρόσβασης για γρήγορη αναζήτηση Παράδειγμα Έστω C={s 1,, s N } όπου κάθε s i είναι ένας πίνακας [1 365] ακεραίων Ευκλείδεια συνάρτηση απόστασης: D( s, Q) = ( s[ i] Q[ i]) i=1 Ο υπολογισμός του D(s,Q) απαιτεί 365 αφαιρέσεις, 365 πολλαπλασιασμούς Ιδέα: χαρακτηρισμός κάθε σειράς με ΈΝΑ νούμερο για παράδειγμα μπορούμε μ να χαρακτηρίσουμε κάθε σειρά με το μέσο όρο των τιμών της με το μέσο όρο μπορούμε να απορρίψουμε πολύ γρήγορα τις σειρές που σίγουρα έχουν μεγάλη απόσταση με την επερώτηση CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 14
8 Επιλογή των Features Παρατηρήσεις Ένα καλό Feature μας επιτρέπει με μια αριθμητική πράξη σύγκρισης να απορρίψουμε πολλά αντικείμενα Μεγάλη διαφορά των Features συνεπάγεται μεγάλη διαφορά Σειρών Μεγάλη διαφορά Σειρών δεν συνεπάγεται πάντα μεγάλη μγ διαφορά Μ.Ο. (μέσου όρου), για αυτό μπορεί να έχουμε false positives (εσφαλμένως θετικά) Με χρήση πολλών features μπορούμε μ να τα πάμε καλύτερα (λιγότερα γ ρ false positives) με χρήση f features κάθε αντικείμενο o αντιστοιχίζεται σε ένα σημείο F(o) του f- διάστατου χώρου, Οργανώνοντας τα f-d σημεία με μια δομή χωρικής πρόσβασης μπορούμε να απορρίψουμε γρήγορα πολλά αντικείμενα (άρα δεν χρειαζόμαστε ούτε το quick-and-dirty στάδιο) CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 15 SAM: Μέθοδοι Χωρικής Πρόσβασης (Spatial Access Methods) Δομές αναζήτησης για διανυσματικούς χώρους they make extensive use of coordinate information to group and classify points in the space. For example, kd-trees divide the space along different coordinates and R-trees group points in hyper-rectangles Κύριες μέθοδοι R-tree (R*-tree, X-trees, SR-trees, ) Linear quadtrees CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 16
9 R-Tree Extension of B-tree to multidimensional space. Can support both point data and data with spatial extent (e.g., rectangles) R3 Group objects into possibly overlapping R4 clusters (rectangles in our case) minimum bounding rectangle MBR R1 R0 R1 R2 R2 R0 Search of a range query proceeds along all paths that overlap with the query. we recursively descend the R-tree, excluding branches whose MBRs do not intersect the query MBR R3 R4 CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 17 Example of a R-tree P1 A C B P2 D E P3 I P1 P2 P3 P4 G F H P4 J A B C H I J D E F G every parent node completely covers its children a child MBR may be covered by more than one parent - it is stored under ONLY ONE of them. (ie., no need for dup. elim.) a point query may follow multiple branches. For more see CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 18
10 Quadtrees A A B C D E B C A D E F G H I A B A D B A F G D H I C E C E A quadtree is a tree in which each node has at most 4 children. Each node of the tree corresponds to a square (quadtree) region. If a node has children, think of its region being chopped into 4 (quadtree) subregions. Child nodes correspond to these smaller subregions of their parent s region. Subdivide as little or as much as is necessary. Each internal node has exactly 4 (quadtree) children. CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 19 Quadtrees (ΙΙ) CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 20
11 Οι αδυναμίες των SAMs They are very sensitive to the vector space dimensions. Closest point and range search algorithms have an exponential dependency on the dimension of the space (this is called the curse of dimensionality ). Vector spaces may suffer from large differences between their representational dimension (k) and their intrinsic dimension, i.e. the real number of dimensions in which the points can be embedded while keeping the distance among them. For example, a plane embedded in a 50-dimensional space has intrinsic dimension 2 and representational dimension 50. This is, in general, the case of real applications, where the data are clustered, and it has led to attempts to measure the intrinsic dimension such as the concept of fractal dimension. Despite the fact that no technique can cope with intrinsic i i dimension i higher h than 20, much higher h representational ti dimensions can be handled by dimensionality reduction techniques. CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 21 Αλγόριθμος Αναζήτησης Προστάδιο: Οργάνωσε τα f-d σημεία των αντικειμένων του C σε μια δομή χωρικής πρόσβασης Είσοδος: Συλλογή C, Επερώτηση Q,ε Έξοδος: ans(q,ε) 1) Αντιστοίχισε το Q στο σημείο F(Q) 2) Χρησιμοποιώντας τη δομή χωρικής πρόσβασης βρες όλα τα σημεία σε απόσταση ε από το F(Q) στο F-χώρο: TMP:= { o in C d(f(o), F(Q))<ε } // Fast 3) Για τα ευρεθέντα υπολόγισε την πραγματική απόσταση από το Q και απέρριψε τα υπόλοιπα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ := { o in TMP d(o, Q)<ε } CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 22
12 Εξασφάλιση ορθότητας (αποτροπή λανθασμένων απορρίψεων) Πότε ένα feature είναι καλό? Ιδανική περίπτωση: Διατήρηση η αποστάσεων: D(o,o ) = D(F(o), F(o )) Αποδεκτή περίπτωση: Αποτροπή false-negatives (false- dismissals) Ναι, αν η απεικόνιση F() φέρνει τα αντικείμενα πιο.. κοντά απ ότι είναι στην πραγματικότητα, δηλαδή D( F(o), F(o )) D(o,o ) για όλα τα ο,ο στο U. αν ισχύει αυτή η συνθήκη τότε δεν θα χάσουμε κανένα αντικείμενο CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 23 Case Study: One-Dimensional Time Series C = σύνολο σειρών ιδίου μήκους Πχ βρες τις εταιρίες με τιμές μετοχών όμοιες με αυτές της IBM Συναρτήσεις απόστασης Ευκλείδεια Παραδείγματα Features τα οποία μπορούμε μ να χρησιμοποιήσουμε μ Μέσος όρος (M.O.) M.O. 1ου εξαμήνου και Μ.Ο. 2ου εξαμήνου (άρα 2 features) Coefficients of the Discrete Fourier Transform for x=(x 0, x n-1 ) let X F denote the n-point DFT coefficient at the F-th frequency F=0,,n-1. Άρα έχω (X 0,,X n ) CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 24
13 One-Dimensional Time Series (II) Coefficients of the Discrete Fourier Transform for x=(x 0, x n-1 ) let X Z denote the n-point DFT coefficient at the Z-th frequency Z=0,,n-1. Άρα για κάθε x=(x 0, x n-1 ) έχω το Χ=(X 0,,X n ) Parseval s s theorem D(x,y) = D(X,Y) Άρα αυτό το feature είναι καλό (αφού διατηρεί τις αποστάσεις) Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε λιγότερες, π.χ. κ < n συχνότητες k 1 2 n 1 n 1 D ( F ( x ), F ( y )) = X Z Y Z X Z Y Z = x i y i = Z = 0 Z = 0 2 Z = 0 2 D ( x, y ) έτσι δεν θα χάσουμε κανένα αντικείμενο (αφού με κ συχνότητες οι αποστάσεις μεταξύ των αντικειμένων είναι μικρότερες), και συνάμα κρατάμε χαμηλά το πλήθος των διαστάσεων CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 25 Case Study: Δισδιάστατες έγχρωμες εικόνες Επερωτήσεις βάσει περιεχομένου Διαστάσεις περιεχόμενου χρώμα, υφή, μορφές, θέσεις,... Χρώμα Για κάθε εικόνα υπολογίζουμε το k-element color histogram (k=256) Sunset photo orange pink blue CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 26
14 Δισδιάστατες έγχρωμες εικόνες (II) Απόσταση Ιστογραμμάτων based on distance of colors matrix, etc ο υπολογισμός της απόστασης είναι ακριβός Καλά Features: first few coefficients of the two-dimentional DFT transform RedGreenBlue: average amount of red, green blue κάθε εικόνα απεικονίζεται σε ένα διάνυσμα (Ravg, Gavg, Bavg) D(F(o),F(Q))= ευκλείδεια απόσταση των διανυσμάτων (Ravg, Gavg, Bavg) CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 27 Evaluating Sub-pattern match Queries
15 Evaluating Sub-pattern match Queries Π.χ.: βρες όλα τα τμήματα των αντικειμένων σε απόσταση ε από το Q Assume time sequences Let m the length of the query pattern We slide a window of length m and for each position of the window we compute the f features Every sequence becomes a trail in the f-dimensional i space This trail can be approximated by a MBR (minimum bounding rectangle) Representing each sequence by a few MBRs in feature space may allow false alarms but no false dismissals CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 29 Διάρθρωση Διάλεξης Το Πρόβλημα, Εφαρμογές και Παραδείγματα Επερωτήσεις Ομοιότητας Feature-based Indexing and Retrieval Μέθοδοι Χωρικής Πρόσβασης Case Study: 1D Time Series Case Study: 2D Images Ανάκτηση Πολυμέσων χωρίς τη χρήση Features μετρικά ευρετήρια CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 30
16 Ανάκτηση Πολυμέσων χωρίς τη χρήση Features Με χρήση μετρικών ευρετηρίων (metric indices, metric trees) Πρόκειται για τεχνικές που εφαρμόζονται κατευθείαν στις αποστάσεις άρα δεν χρειαζόμαστε features φτιάχνουν ιεραρχίες ομάδων, δενδρική δομή σφαιρών που περιλαμβάνουν άλλες σφαίρες, κ.ο.κ Key-point Υπολογίζουμε τις αποστάσεις μεταξύ των αντικειμένων (όχι κατά ανάγκη μεταξύ όλων) μια φορά, φτιάχνουμε μια κατάλληλη δομή δεδομένων, και εν συνεχεία την αξιοποιούμε κατά την αποτίμηση των επερωτήσεων (για να μειώσουμε το πλήθος των αποστάσεων που απαιτείται να υπολογίσουμε εκείνη την ώρα) CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 31 Κατηγορίες Μετρικών Ευρετηρίων (Α) tree indexes for discrete distance functions, i.e. for functions that deliver a small set of values Burkhard-Keller Tree (BKT) [Buthard et al 73] Fixed Query Tree (FQT) [Baeza-Yates 94] (Β) tree indexes for continuous distance functions i.e. for functions where the set of alternatives is infinite or very large Vantage Point-Trees (VTPs) Multi-Vantage-Point trees (MVTs) Voronoi Trees (VTs) M-trees (MT). (C) not tree-based indexes. AESA (Approximating Eliminating Search Algorithm) LAESA (for linear AESA). CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 32
17 (Β) Tree Indexes for Continuous Distance Functions If we have a continuous distance or if the distance function gives too many different values, it is not possible to have a child of the root for any such value. However the indexes for discrete functions can be adapted to a continuous distance by assigning a range of distances to each branch of the tree. Other examples of indexes for continuous distance functions include Vantage Point-Trees (VTPs), Multi-Vantage-Point trees (MVTs), Voronoi Trees (VTs), M-trees (MT). CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 33 Vantage-Point-Trees (VTPs) (also called metric-trees) Είναι δυαδικά δένδρα Τρόπος κατασκευής Επιλέγουμε ένα στοιχείο κεντρικό (pivot). 3.1 >3.1 Υπολογίζουμε τον μέσο όρο Μ των αποστάσεων από αυτό το σημείο Τα στοιχεία με απόσταση μικρότερη ή ίση του Μ εισάγονται στο αριστερό υποδένδρο, ενώ τα υπόλοιπα στο δεξί 2.9 >2.9 4 >4 5 >2.5 Συνεχίζουμε χζ αναδρομικά 3 2 CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 34
18 Παράδειγμα κατασκευής ενός VPT 2 5,,5,,,,,,,2,,,3,, 3 CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 35 Επιλογή κεντρικού στοιχείου (pivot) 2 p= median(d(p,u) (p, u in U}=3.1 5,,5,,,,,,,2,,,3,, 3 CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 36
19 Διαμέριση στοιχείων βάσει του Μ.Ο. των αποστάσεων 2 p= median(d(p,u) (p, u in U}= >3.1 5,5,,,,,,2,,,3,, 3 CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 37 Επιλογή pivot 2 p= median(d(p,u) (p, u in ()}= >3.1 5,5,,,,,,2,,,3,, 3 CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 38
20 2 p= median(d(p,u) (p, u in ()}= > ,5,,,,,,2,,,3,, 2.9 >2.9 5,,,, CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 39 2 p= median(d(p,u) (p, u in ()}= > ,2,,,3,, 2.9 >2.9 5,,,, CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 40
21 Επιλογή pivot 2 p=5 median(d(5,), ( d(5,)) = > ,2,,,3,, 2.9 >2.9 5,,,, CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 41 Διαμέριση 2 p=5 median(d(5,), ( d(5,)) = > ,2,,,3,, 2.9 >2.9 5,,,, >2.5 CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 42
22 2 p=5 median(d(5,), ( d(5,)) = > ,2,,,3,, 2.9 >2.9 5,, >2.5 CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 43 Επιλογή pivot 2 p= median(d(,), ( d(,)) = > ,2,,,3,, 2.9 >2.9 5,, >2.5 CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 44
23 Διαμέριση 2 p= median(d(,), ( d(,)) = > ,2,,,3,, 2.9 >2.9 5,, > >1.8 CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 45 2 p= median(d(,), ( d(,)) = > ,2,,,3,, 2.9 > > >1.8 CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 46
24 Το τελικό αποτέλεσμα > >2.9 4 > > CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 47 Vantage-point-trees Χώρος: O(n) Χρόνος κατασκευής: O(n logn) ) distance evaluations (διότι είναι ισοζυγισμένα) 3.1 > >2.9 4 >4 5 > CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 48
25 Vantage-point-trees: Αλγόριθμος Αναζήτησης Έστω επερώτηση (Q,ε) 1/ Μετράμε την απόσταση του Q από το pivot p, δηλαδή d(q,p) 2/ Αν d(q,p)-ε <= Μ πάμε στο αριστερό υποδέντρο Αν d(q,p) +ε > Μ πάμε στο δεξί υποδέντρο (ενδέχεται να μπούμε και στα δύο υποδένδρα) 3/ Επιστρέφουμε τα στοιχεία που έχουν απόσταση <= ε από το Q Κόστος αναζήτησης: O (log n) υπολογισμοί απόστασης αν το ε είναι μικρό CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 49 Q=(,0) If d(,)-0 =0 <= 3.1 go left if d(,) +0 =0 > 3.1 go right 2 If d(q,p)-ε <= Μ go left if d(q,p) +ε > Μ go right If d(,)-0 =1 <= 2.9 go left if d(,) +0 =1 > 2.9 go right If d(,5)-0 =1.5 <= 2.5 go left if d(, 5)+0 =1.5 > 2.5 go right 3.1 > >2.9 4 > > CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 50
26 Q=(,3.1) If d(q,p)-ε <= Μ go left if d(q,p) +ε > Μ go right If d(,)-3.1 =-3.1 <= 3.1 go left if d(,) +3.1 =3.1 > 3.1 go right 2 If d(,)-3.1 ) 31= =-1 31=1<=29go 2.9 left if d(,)+3.1= =5.1 >2.9 go right 3.1 > >2.9 4 > > CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 51 Q=(,1) // μικρό ε If d(,)-1=4.2-1=3.2<= 3.1 go left if d(,)+1=4.2+1=5.2 >3.1 go right 2 If d(q,p)-ε <= Μ go left if d(q,p) +ε > Μ go right If d(,)-1=2-1=1 <= 4 go left if d(,)+1=2+1=2 > 4 go right 3.1 > >2.9 4 > CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 52
27 Q=(,2) // μεγάλο ε If d(,)-2=4.2-2=2.2<= 3.1 go left if d(,)+2=4.2+2=6.2 >3.1 go right 2 If d(q,p)-ε <= Μ go left if d(q,p) +ε > Μ go right If d(,)-2=4.2-2=2.2 <= 2.9 go left if d(,)+2=4.2+2=6.2 > 2.9 go right 3.1 > >2.9 4 > CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 53 Q=(,2) If d(q,p)-ε <= Μ go left if d(q,p) +ε > Μ go right If d(,5)-2=3-2=1<= go left if d(,5)+2=3+2=5 >2.5 go right > >2.9 4 > > CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 54
28 (Α) Tree indexes for discrete distance functions BKT (Burkhard-Keller Tree) An arbitrary element p in U is selected as the root of the tree. For each distance i>0, we define U i ={u in U d(u,p)=i} the set of all the elements at distance i to the root p. Then, for any nonempty U i, we build a child of p (labelled i), and we recursively build the BKT for U i,. This process can be repeated until there is only one element to process, or until there are no more than b elements (and we store a bucket of size b). All the elements selected as roots of subtrees are called pivots. CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 55 BKT: Το πρώτο επίπεδο CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 56
29 BKT: Ολόκληρο CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 57 BKT: Αλγόριθμος Αναζήτησης Είσοδος: Συλλογή C, Επερώτηση Q,ε Έξοδος: ans(q,ε) Ξεκίνα από τη ρίζα Μπες σε όλα τα παιδιά i τ.ω. d(q,p)-ε <= i <= d(q,p) +ε Προχώρησε ρη αναδρομικά Όταν φτάσουμε σε ένα φύλλο, ελέγχουμε σειριακά όλα τα στοιχεία του CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 58
30 Fixed Query Tree (FQT) [Baeza-Yates 94] Διαφορές με το BKT: Στο BKT κάθε κόμβος έχει το δικό του pivot Στο FQT όλοι οι κόμβοι ενός επιπέδου έχουν το ίδιο pivot Όλα τα στοιχεία αποθηκεύονται στα φύλλα Κόστος κατασκευής: O (n log n) distance evaluations Κόστος αναζήτησης O(n^a), 0<a<1 CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 59 Fixed Query Tree (FQT) CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 60
31 FQHT CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 61 (C) not tree-based indexes. AESA(Approximating Eliminating Search Algorithm) Βασίζεται σε έναν πίνακα με n(n-1)/2 προϋπολογισμένες αποστάσεις u 1 u 2 D(2,1) u 3 D(3,1) D(3,2) : : : : u n D(n,1) D(n,2) D(n,n-1) u 1 u 2. u n-1 u n CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 62
32 AESA: Αλγόριθμος Αναζήτησης Έστω επερώτηση (Q,ε) 1/ Επιλέγουμε τυχαία ένα σημείο p 2/ Mετράμε την απόσταση του Q από το pivot p, dp := d(q,p) 3/ Απέκλεισε όλα τα σημεία u που δεν ικανοποιούν το: dp - ε <= D(u,p) <= dp + ε // βάσει του πίνακα που ήδη έχω 4/ Συνέχισε έτσι έως ότου δεν έχουν απομείνει άλλα σημεία CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 63 AESA: Αλγόριθμος Αναζήτησης: Παράδειγμα p= 2 Αποκλεισμός των u που δεν ικανοποιούν: dp - ε <= D(u,p) <= dp + ε dp 5 Q ε 3 CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 64
33 AESA: Αλγόριθμος Αναζήτησης: Παράδειγμα p= 2 Αποκλεισμός των u που δεν ικανοποιούν: dp - ε <= D(u,p) <= dp + ε 5 Q ε Eπόμενο pivot p=5 CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 65 AESA: Αλγόριθμος Αναζήτησης: Παράδειγμα p=5 2 5 Q ε CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 66
34 AESA: Αλγόριθμος Αναζήτησης: Παράδειγμα p=5 Q ε Eπόμενο pivot p= CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 67 AESA: Αλγόριθμος Αναζήτησης: Παράδειγμα p= Αποκλεισμός των u που δεν ικ.: D(u,p) <= dp + ε Q ε CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 68
35 AESA: Αλγόριθμος Αναζήτησης: Παράδειγμα Q ε CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 69 AESA (Approximating Eliminating Search Algorithm) Χώρος: O(n^2) (το οποίο είναι πολύ μεγάλο) Χρόνος κατασκευής: O(n^2) Experimental query time: O(1) CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 70
36 Διάρθρωση Διάλεξης Το Πρόβλημα, Εφαρμογές και Παραδείγματα Επερωτήσεις Ομοιότητας Feature-based Indexing and Retrieval Μέθοδοι Χωρικής Πρόσβασης Case Study: 1D Time Series Case Study: 2D Images Ανάκτηση Πολυμέσων χωρίς τη χρήση Features μετρικά ευρετήρια CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 71 Αναφορές Modern Information Retrieval, Chapter 12 Edgar Chavez, Gonzalo Navaro, Ricardo Baeza-Yates, Jose Luis Marroquin, Searching in metric spaces, ACM Computing Surveys, 33(3), , September 2001 [Christian Bohn, Stefan Berchtold, Daniel Keim, Searching in multidimensional spaces, ACM Computing Surveys, 33(3), , September 2001] CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 72
Ευρετηρίαση και Αναζήτηση Πολυμέσων Multimedia Indexing & Searching
Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη 2006 Διάρθρωση Διάλεξης HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών Information Retrieval (IR) Systems Το Πρόβλημα, Εφαρμογές και Παραδείγματα Επερωτήσεις
Διαβάστε περισσότεραGemini, FastMap, Applications. Εαρινό Εξάμηνο Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροϕορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήμιο Πατρών
Gemini,, Applications Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροϕορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήμιο Πατρών Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Table of contents 1 Table of contents 1 2 Table of contents 1 2 3 Table of contents
Διαβάστε περισσότεραPhysical DB Design. B-Trees Index files can become quite large for large main files Indices on index files are possible.
B-Trees Index files can become quite large for large main files Indices on index files are possible 3 rd -level index 2 nd -level index 1 st -level index Main file 1 The 1 st -level index consists of pairs
Διαβάστε περισσότερα3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β
3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS Page Theorem cos(αβ cos α cos β -sin α cos(α-β cos α cos β sin α NOTE: cos(αβ cos α cos β cos(α-β cos α -cos β Proof of cos(α-β cos α cos β sin α Let s use a unit circle
Διαβάστε περισσότεραSection 8.3 Trigonometric Equations
99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.
Διαβάστε περισσότεραω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω
0 1 2 3 4 5 6 ω ω + 1 ω + 2 ω + 3 ω + 4 ω2 ω2 + 1 ω2 + 2 ω2 + 3 ω3 ω3 + 1 ω3 + 2 ω4 ω4 + 1 ω5 ω 2 ω 2 + 1 ω 2 + 2 ω 2 + ω ω 2 + ω + 1 ω 2 + ω2 ω 2 2 ω 2 2 + 1 ω 2 2 + ω ω 2 3 ω 3 ω 3 + 1 ω 3 + ω ω 3 +
Διαβάστε περισσότεραApproximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude
Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Jan Behrens 2012-12-31 In this paper we shall provide a method to approximate distances between two points on earth
Διαβάστε περισσότερα2 Composition. Invertible Mappings
Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,
Διαβάστε περισσότεραAreas and Lengths in Polar Coordinates
Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the
Διαβάστε περισσότεραEE512: Error Control Coding
EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3
Διαβάστε περισσότεραInverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------
Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις
Διαβάστε περισσότεραPhys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)
Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts
Διαβάστε περισσότεραThe Simply Typed Lambda Calculus
Type Inference Instead of writing type annotations, can we use an algorithm to infer what the type annotations should be? That depends on the type system. For simple type systems the answer is yes, and
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο
Διαβάστε περισσότεραSCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES G11LMA Linear Mathematics Examination Solutions
SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES GLMA Linear Mathematics 00- Examination Solutions. (a) i. ( + 5i)( i) = (6 + 5) + (5 )i = + i. Real part is, imaginary part is. (b) ii. + 5i i ( + 5i)( + i) = ( i)( + i)
Διαβάστε περισσότεραChapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval
Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations
Διαβάστε περισσότεραReminders: linear functions
Reminders: linear functions Let U and V be vector spaces over the same field F. Definition A function f : U V is linear if for every u 1, u 2 U, f (u 1 + u 2 ) = f (u 1 ) + f (u 2 ), and for every u U
Διαβάστε περισσότεραMain source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1
Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 A Brief History of Sampling Research 1915 - Edmund Taylor Whittaker (1873-1956) devised a
Διαβάστε περισσότεραFourier Series. MATH 211, Calculus II. J. Robert Buchanan. Spring Department of Mathematics
Fourier Series MATH 211, Calculus II J. Robert Buchanan Department of Mathematics Spring 2018 Introduction Not all functions can be represented by Taylor series. f (k) (c) A Taylor series f (x) = (x c)
Διαβάστε περισσότεραAreas and Lengths in Polar Coordinates
Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the
Διαβάστε περισσότεραExample Sheet 3 Solutions
Example Sheet 3 Solutions. i Regular Sturm-Liouville. ii Singular Sturm-Liouville mixed boundary conditions. iii Not Sturm-Liouville ODE is not in Sturm-Liouville form. iv Regular Sturm-Liouville note
Διαβάστε περισσότεραΠρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής
Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Να γραφεί πρόγραμμα το οποίο δέχεται ως είσοδο μια ακολουθία S από n (n 40) ακέραιους αριθμούς και επιστρέφει ως έξοδο δύο ακολουθίες από θετικούς ακέραιους
Διαβάστε περισσότεραLecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3
Lecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3 1 State vector space and the dual space Space of wavefunctions The space of wavefunctions is the set of all
Διαβάστε περισσότεραOther Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests
Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests Side-Note: So far we have seen a few approaches for creating tests such as Neyman-Pearson Lemma ( most powerful tests of H 0 : θ = θ 0 vs H 1 :
Διαβάστε περισσότεραPartial Differential Equations in Biology The boundary element method. March 26, 2013
The boundary element method March 26, 203 Introduction and notation The problem: u = f in D R d u = ϕ in Γ D u n = g on Γ N, where D = Γ D Γ N, Γ D Γ N = (possibly, Γ D = [Neumann problem] or Γ N = [Dirichlet
Διαβάστε περισσότεραC.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions
C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions Paul Liu November 15, 2007 Note that these are sample solutions only; in many cases there were many acceptable answers. 1 Reynolds Problem 10.1 1.1 Normal-order
Διαβάστε περισσότεραFinite Field Problems: Solutions
Finite Field Problems: Solutions 1. Let f = x 2 +1 Z 11 [x] and let F = Z 11 [x]/(f), a field. Let Solution: F =11 2 = 121, so F = 121 1 = 120. The possible orders are the divisors of 120. Solution: The
Διαβάστε περισσότεραCRASH COURSE IN PRECALCULUS
CRASH COURSE IN PRECALCULUS Shiah-Sen Wang The graphs are prepared by Chien-Lun Lai Based on : Precalculus: Mathematics for Calculus by J. Stuwart, L. Redin & S. Watson, 6th edition, 01, Brooks/Cole Chapter
Διαβάστε περισσότεραHY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems
HY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems Ημερομηνία Παράδοσης: 0/1/017 την ώρα του μαθήματος ή με email: mkarabin@csd.uoc.gr Γενικές Οδηγίες α) Επιτρέπεται η αναζήτηση στο Internet και στην βιβλιοθήκη
Διαβάστε περισσότεραThe challenges of non-stable predicates
The challenges of non-stable predicates Consider a non-stable predicate Φ encoding, say, a safety property. We want to determine whether Φ holds for our program. The challenges of non-stable predicates
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf161/ Άνοιξη 216 - I. ΜΗΛΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 216 - Ι. ΜΗΛΗΣ 9 DP II 1 Dynamic Programming ΓΕΝΙΚΗ ΙΔΕΑ 1. Ορισμός υπο-προβλήματος/ων
Διαβάστε περισσότεραderivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates
derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates swapnizzle 03-03- :5:43 We begin by recognizing the familiar conversion from rectangular to spherical coordinates (note that φ is used
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 14: Δέντρα IV - B-Δένδρα
ΕΠΛ231 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 1 Διάλεξη 14: Δέντρα IV - B-Δένδρα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - 2-3 Δένδρα, Εισαγωγή και άλλες πράξεις - Άλλα Δέντρα: Β-δένδρα, Β+-δέντρα,
Διαβάστε περισσότεραOrdinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit
Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ting Zhang Stanford May 11, 2001 Stanford, 5/11/2001 1 Outline Ordinal Classification Ordinal Addition Ordinal Multiplication Ordinal
Διαβάστε περισσότεραInstruction Execution Times
1 C Execution Times InThisAppendix... Introduction DL330 Execution Times DL330P Execution Times DL340 Execution Times C-2 Execution Times Introduction Data Registers This appendix contains several tables
Διαβάστε περισσότεραTridiagonal matrices. Gérard MEURANT. October, 2008
Tridiagonal matrices Gérard MEURANT October, 2008 1 Similarity 2 Cholesy factorizations 3 Eigenvalues 4 Inverse Similarity Let α 1 ω 1 β 1 α 2 ω 2 T =......... β 2 α 1 ω 1 β 1 α and β i ω i, i = 1,...,
Διαβάστε περισσότεραST5224: Advanced Statistical Theory II
ST5224: Advanced Statistical Theory II 2014/2015: Semester II Tutorial 7 1. Let X be a sample from a population P and consider testing hypotheses H 0 : P = P 0 versus H 1 : P = P 1, where P j is a known
Διαβάστε περισσότεραFractional Colorings and Zykov Products of graphs
Fractional Colorings and Zykov Products of graphs Who? Nichole Schimanski When? July 27, 2011 Graphs A graph, G, consists of a vertex set, V (G), and an edge set, E(G). V (G) is any finite set E(G) is
Διαβάστε περισσότεραk A = [k, k]( )[a 1, a 2 ] = [ka 1,ka 2 ] 4For the division of two intervals of confidence in R +
Chapter 3. Fuzzy Arithmetic 3- Fuzzy arithmetic: ~Addition(+) and subtraction (-): Let A = [a and B = [b, b in R If x [a and y [b, b than x+y [a +b +b Symbolically,we write A(+)B = [a (+)[b, b = [a +b
Διαβάστε περισσότεραNowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in
Nowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in : tail in X, head in A nowhere-zero Γ-flow is a Γ-circulation such that
Διαβάστε περισσότεραΑνάκτηση Πληροφορίας
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Λανθάνουσα Σημασιολογική Ανάλυση (Latent Semantic Analysis) Απόστολος Παπαδόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =?
Teko Classes IITJEE/AIEEE Maths by SUHAAG SIR, Bhopal, Ph (0755) 3 00 000 www.tekoclasses.com ANSWERSHEET (TOPIC DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION # Question Type A.Single Correct Type Q. (A) Sol least
Διαβάστε περισσότεραStatistical Inference I Locally most powerful tests
Statistical Inference I Locally most powerful tests Shirsendu Mukherjee Department of Statistics, Asutosh College, Kolkata, India. shirsendu st@yahoo.co.in So far we have treated the testing of one-sided
Διαβάστε περισσότεραEvery set of first-order formulas is equivalent to an independent set
Every set of first-order formulas is equivalent to an independent set May 6, 2008 Abstract A set of first-order formulas, whatever the cardinality of the set of symbols, is equivalent to an independent
Διαβάστε περισσότεραTMA4115 Matematikk 3
TMA4115 Matematikk 3 Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet Trondheim Spring 2010 Lecture 12: Mathematics Marvellous Matrices Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet
Διαβάστε περισσότεραD Alembert s Solution to the Wave Equation
D Alembert s Solution to the Wave Equation MATH 467 Partial Differential Equations J. Robert Buchanan Department of Mathematics Fall 2018 Objectives In this lesson we will learn: a change of variable technique
Διαβάστε περισσότεραConcrete Mathematics Exercises from 30 September 2016
Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016 Silvio Capobianco Exercise 1.7 Let H(n) = J(n + 1) J(n). Equation (1.8) tells us that H(2n) = 2, and H(2n+1) = J(2n+2) J(2n+1) = (2J(n+1) 1) (2J(n)+1)
Διαβάστε περισσότερα4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)
84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011
Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι
Διαβάστε περισσότεραΕυρετήρια. Βάσεις Δεδομένων. Διδάσκων: Μαρία Χαλκίδη
Ευρετήρια Βάσεις Δεδομένων Διδάσκων: Μαρία Χαλκίδη Βασικές έννοιες Οι μηχανισμοί δεικτοδότησης χρησιμοποιούνται για να επιταχύνουν την προσπέλαση σε επιθυμητά δεδομένα. π.χ., author catalog in library
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΕΝΑ ΦΛΟΚΑ Επίκουρος Καθηγήτρια Τµήµα Φυσικής, Τοµέας Φυσικής Περιβάλλοντος- Μετεωρολογίας ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Πληθυσµός Σύνολο ατόµων ή αντικειµένων στα οποία αναφέρονται
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER - Discrete Fourier Transform - DFT -
ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER - Discrete Fourier Transform - DFT - Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΔΙΑΛΕΞΗ 1 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 Διαφορετικοί Τύποι Μετασχηµατισµού Fourier Α. ΣΚΟΔΡΑΣ
Διαβάστε περισσότεραb. Use the parametrization from (a) to compute the area of S a as S a ds. Be sure to substitute for ds!
MTH U341 urface Integrals, tokes theorem, the divergence theorem To be turned in Wed., Dec. 1. 1. Let be the sphere of radius a, x 2 + y 2 + z 2 a 2. a. Use spherical coordinates (with ρ a) to parametrize.
Διαβάστε περισσότερα2. Let H 1 and H 2 be Hilbert spaces and let T : H 1 H 2 be a bounded linear operator. Prove that [T (H 1 )] = N (T ). (6p)
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Andreas Strömbergsson Prov i matematik Funktionalanalys Kurs: F3B, F4Sy, NVP 2005-03-08 Skrivtid: 9 14 Tillåtna hjälpmedel: Manuella skrivdon, Kreyszigs bok
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Ανάπτυξης Εφαρμογών Βάσεων Δεδομένων. Εξάμηνο 7 ο
Εργαστήριο Ανάπτυξης Εφαρμογών Βάσεων Δεδομένων Εξάμηνο 7 ο Procedures and Functions Stored procedures and functions are named blocks of code that enable you to group and organize a series of SQL and PL/SQL
Διαβάστε περισσότερα6.3 Forecasting ARMA processes
122 CHAPTER 6. ARMA MODELS 6.3 Forecasting ARMA processes The purpose of forecasting is to predict future values of a TS based on the data collected to the present. In this section we will discuss a linear
Διαβάστε περισσότεραElements of Information Theory
Elements of Information Theory Model of Digital Communications System A Logarithmic Measure for Information Mutual Information Units of Information Self-Information News... Example Information Measure
Διαβάστε περισσότερα2. THEORY OF EQUATIONS. PREVIOUS EAMCET Bits.
EAMCET-. THEORY OF EQUATIONS PREVIOUS EAMCET Bits. Each of the roots of the equation x 6x + 6x 5= are increased by k so that the new transformed equation does not contain term. Then k =... - 4. - Sol.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί
Διαβάστε περισσότεραHomework 3 Solutions
Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For
Διαβάστε περισσότεραGeneral 2 2 PT -Symmetric Matrices and Jordan Blocks 1
General 2 2 PT -Symmetric Matrices and Jordan Blocks 1 Qing-hai Wang National University of Singapore Quantum Physics with Non-Hermitian Operators Max-Planck-Institut für Physik komplexer Systeme Dresden,
Διαβάστε περισσότεραBlock Ciphers Modes. Ramki Thurimella
Block Ciphers Modes Ramki Thurimella Only Encryption I.e. messages could be modified Should not assume that nonsensical messages do no harm Always must be combined with authentication 2 Padding Must be
Διαβάστε περισσότερα6.1. Dirac Equation. Hamiltonian. Dirac Eq.
6.1. Dirac Equation Ref: M.Kaku, Quantum Field Theory, Oxford Univ Press (1993) η μν = η μν = diag(1, -1, -1, -1) p 0 = p 0 p = p i = -p i p μ p μ = p 0 p 0 + p i p i = E c 2 - p 2 = (m c) 2 H = c p 2
Διαβάστε περισσότεραCHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS
CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΕΠΛ342: Βάσεις Δεδομένων. Χειμερινό Εξάμηνο Φροντιστήριο 10 ΛΥΣΕΙΣ. Επερωτήσεις SQL
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ342: Βάσεις Δεδομένων Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Φροντιστήριο 10 ΛΥΣΕΙΣ Επερωτήσεις SQL Άσκηση 1 Για το ακόλουθο σχήμα Suppliers(sid, sname, address) Parts(pid, pname,
Διαβάστε περισσότεραMatrices and Determinants
Matrices and Determinants SUBJECTIVE PROBLEMS: Q 1. For what value of k do the following system of equations possess a non-trivial (i.e., not all zero) solution over the set of rationals Q? x + ky + 3z
Διαβάστε περισσότεραBounding Nonsplitting Enumeration Degrees
Bounding Nonsplitting Enumeration Degrees Thomas F. Kent Andrea Sorbi Università degli Studi di Siena Italia July 18, 2007 Goal: Introduce a form of Σ 0 2-permitting for the enumeration degrees. Till now,
Διαβάστε περισσότερα9.09. # 1. Area inside the oval limaçon r = cos θ. To graph, start with θ = 0 so r = 6. Compute dr
9.9 #. Area inside the oval limaçon r = + cos. To graph, start with = so r =. Compute d = sin. Interesting points are where d vanishes, or at =,,, etc. For these values of we compute r:,,, and the values
Διαβάστε περισσότεραPg The perimeter is P = 3x The area of a triangle is. where b is the base, h is the height. In our case b = x, then the area is
Pg. 9. The perimeter is P = The area of a triangle is A = bh where b is the base, h is the height 0 h= btan 60 = b = b In our case b =, then the area is A = = 0. By Pythagorean theorem a + a = d a a =
Διαβάστε περισσότεραChapter 3: Ordinal Numbers
Chapter 3: Ordinal Numbers There are two kinds of number.. Ordinal numbers (0th), st, 2nd, 3rd, 4th, 5th,..., ω, ω +,... ω2, ω2+,... ω 2... answers to the question What position is... in a sequence? What
Διαβάστε περισσότεραsubstructure similarity search using features in graph databases
substructure similarity search using features in graph databases Aleksandros Gkogkas Distributed Management of Data Laboratory intro Θα ενασχοληθούμε με το πρόβλημα των ερωτήσεων σε βάσεις γραφημάτων.
Διαβάστε περισσότεραSecond Order Partial Differential Equations
Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y
Διαβάστε περισσότεραNew bounds for spherical two-distance sets and equiangular lines
New bounds for spherical two-distance sets and equiangular lines Michigan State University Oct 8-31, 016 Anhui University Definition If X = {x 1, x,, x N } S n 1 (unit sphere in R n ) and x i, x j = a
Διαβάστε περισσότεραSolutions to Exercise Sheet 5
Solutions to Eercise Sheet 5 jacques@ucsd.edu. Let X and Y be random variables with joint pdf f(, y) = 3y( + y) where and y. Determine each of the following probabilities. Solutions. a. P (X ). b. P (X
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/2006
ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/26 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι το 1 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση
Διαβάστε περισσότεραMultimedia IR. εικτοδότηση και Αναζήτηση. Ανάκτηση Πληροφορίας
Multimedia IR εικτοδότηση και Αναζήτηση 1 Εισαγωγή Μεγάλες ποσότητες πληροφορίες υπάρχουν σε αρχεία εικόνων, ήχου, video. Οι τυπικές µέθοδοι ανάκτησης κειµένου δεν µπορούν να εφαρµοστούν άµεσα στην περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραHomework 8 Model Solution Section
MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx
Διαβάστε περισσότεραw o = R 1 p. (1) R = p =. = 1
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος 205 ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Τριτη Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Ασκηση 3. 5.2 (a) From the Wiener-Hopf equation we have:
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΥΠ ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΙI
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΥΠ ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΙI Β. Μεγαλοοικονόμου Μέθοδοι Προσπέλασης Χωρικών Δεδομένων ΙΙ Spatial Access Methods (SAMs) II (παρουσίαση βασισμένη εν μέρη σε σημειώσεις των Silberchatz,
Διαβάστε περισσότεραChapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval
Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations
Διαβάστε περισσότεραHOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch:
HOMEWORK 4 Problem a For the fast loading case, we want to derive the relationship between P zz and λ z. We know that the nominal stress is expressed as: P zz = ψ λ z where λ z = λ λ z. Therefore, applying
Διαβάστε περισσότεραOn a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume
BULETINUL ACADEMIEI DE ŞTIINŢE A REPUBLICII MOLDOVA. MATEMATICA Numbers 2(72) 3(73), 2013, Pages 80 89 ISSN 1024 7696 On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume I.S.Gutsul Abstract. In
Διαβάστε περισσότεραDiracDelta. Notations. Primary definition. Specific values. General characteristics. Traditional name. Traditional notation
DiracDelta Notations Traditional name Dirac delta function Traditional notation x Mathematica StandardForm notation DiracDeltax Primary definition 4.03.02.000.0 x Π lim ε ; x ε0 x 2 2 ε Specific values
Διαβάστε περισσότεραLecture 2. Soundness and completeness of propositional logic
Lecture 2 Soundness and completeness of propositional logic February 9, 2004 1 Overview Review of natural deduction. Soundness and completeness. Semantics of propositional formulas. Soundness proof. Completeness
Διαβάστε περισσότεραSCITECH Volume 13, Issue 2 RESEARCH ORGANISATION Published online: March 29, 2018
Journal of rogressive Research in Mathematics(JRM) ISSN: 2395-028 SCITECH Volume 3, Issue 2 RESEARCH ORGANISATION ublished online: March 29, 208 Journal of rogressive Research in Mathematics www.scitecresearch.com/journals
Διαβάστε περισσότεραAVL-trees C++ implementation
Τ Μ Η Μ Α Μ Η Χ Α Ν Ι Κ Ω Ν Η / Υ Κ Α Ι Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ AVL-trees C++ implementation Δομές Δεδομένων Μάριος Κενδέα 31 Μαρτίου 2015 kendea@ceid.upatras.gr Εισαγωγή (1/3) Δυαδικά Δένδρα Αναζήτησης:
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 10η: Basics of Game Theory part 2 Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 0η: Basics of Game Theory part 2 Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Best Response Curves Used to solve for equilibria in games
Διαβάστε περισσότεραΑπόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.
Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action
Διαβάστε περισσότεραSection 9.2 Polar Equations and Graphs
180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Ταξινόμησης Μέρος 3
Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Μέρος 3 Μανόλης Κουμπαράκης 1 Ταξινόμηση με Ουρά Προτεραιότητας Θα παρουσιάσουμε τώρα δύο αλγόριθμους ταξινόμησης που χρησιμοποιούν μια ουρά προτεραιότητας για την υλοποίηση τους.
Διαβάστε περισσότερα5.4 The Poisson Distribution.
The worst thing you can do about a situation is nothing. Sr. O Shea Jackson 5.4 The Poisson Distribution. Description of the Poisson Distribution Discrete probability distribution. The random variable
Διαβάστε περισσότεραParametrized Surfaces
Parametrized Surfaces Recall from our unit on vector-valued functions at the beginning of the semester that an R 3 -valued function c(t) in one parameter is a mapping of the form c : I R 3 where I is some
Διαβάστε περισσότεραCapacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference
Capacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference Capacitors store electric charge. This ability to store electric charge is known as capacitance. A simple capacitor consists of 2 parallel metal
Διαβάστε περισσότεραLecture 15 - Root System Axiomatics
Lecture 15 - Root System Axiomatics Nov 1, 01 In this lecture we examine root systems from an axiomatic point of view. 1 Reflections If v R n, then it determines a hyperplane, denoted P v, through the
Διαβάστε περισσότεραMath 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme
Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry
Διαβάστε περισσότεραMath221: HW# 1 solutions
Math: HW# solutions Andy Royston October, 5 7.5.7, 3 rd Ed. We have a n = b n = a = fxdx = xdx =, x cos nxdx = x sin nx n sin nxdx n = cos nx n = n n, x sin nxdx = x cos nx n + cos nxdx n cos n = + sin
Διαβάστε περισσότεραSolution Series 9. i=1 x i and i=1 x i.
Lecturer: Prof. Dr. Mete SONER Coordinator: Yilin WANG Solution Series 9 Q1. Let α, β >, the p.d.f. of a beta distribution with parameters α and β is { Γ(α+β) Γ(α)Γ(β) f(x α, β) xα 1 (1 x) β 1 for < x
Διαβάστε περισσότεραMultimedia IR. Εισαγωγή. Εισαγωγή. εικτοδότηση και Αναζήτηση
Multimedia IR εικτοδότηση και Αναζήτηση 1 Εισαγωγή Μεγάλες ποσότητες πληροφορίες υπάρχουν σε αρχεία εικόνων, ήχου, video. Οι τυπικές µέθοδοι ανάκτησης κειµένου δεν µπορούν να εφαρµοστούν άµεσα στην περίπτωση
Διαβάστε περισσότερα