Τ.Ε.Ι ΠΕΙΡΑΙΑ (Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τ.Ε.Ι ΠΕΙΡΑΙΑ (Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά)"

Transcript

1 Τ.Ε.Ι ΠΕΙΡΑΙΑ (Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά) ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΟΡΦΕΣ ΤΗΣ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ ΠΟΥ ΕΠΙΛΥΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Υπεύθυνος καθηγητής: Βασίλης Γ εωργιάννης Σπουδάστρια: Δημοπούλου Ελένη Α.Φ.Μ 3709

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΓΑΓΩΓΗ ) ΣΤΕΓΗ ) ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ ) ΠΥΡΓΟΣ ΜΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΗ ΣΚΕΠΗ ) ΑΛΛΗΛΟΤΟΜΙΑΔΥΟ ΣΩΛΗΝΩΝ ) ΑΛΛΗΛΟΤΟΜΙΑ ΤΡΙΩΝ ΣΩΛΗΝΩΝ ) ΓΩΝΙΑ ΣΩΛΗΝΑ ) ΚΑΓΚΕΜ ) ΚΟΡΝΙΖΕΣ ) ΤΡΟΥΛΟΙ Ο) ΔΙΑΚΟΣΜΗΤΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΠΚΑΓΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΟΥ ΤΕΜΝΕΙ ΚΟΛΩΝΑ ) ΚΟΛΩΝΕΣ ΜΕ ΚΙΟΝΟΚΡΑΜΑ ) ΕΞΑΓΩΝΙΚΟ ΚΤΙΡΙΟ ΜΕ ΚΩΝΙΚΗ ΣΚΕΠΗ ) ΣΦΑΙΡΙΚΟΙ ΤΡΟΥΛΟΙ ) ΣΦΑΙΡΙΚΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ) ΙΓΚΛΟΥ ) ΚΙΟΝΟΚΡΑΝΟ ) ΤΡΟΥΛΟΣ ΕΜΕΙΨΟΕΙΔΗΣ ΕΚ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ) ΕΚΚΛΗΣΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΑ ΚΥΔΩΝΙΑΤΗ... :.... ΣΤΟ ΜΑΡΟΥΣΙ ) ΣΤΑΔΙΟ ΕΙΡΗΝΗΣ ΚΑΙ ΦΙΛΙΑΣ ) ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΚΑΛΑ ) ΣΤΕΓΑΣΤΡΑ ) ΚΑΜΙΝΑΔΑ Δ.Ε.Η. ΚΑΙ ΤΕΝΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 58

3 Εισαγωγή Σε μια φωτογραφική εξόρμηση που έγινε στην περιοχή του λεκανοπεδίου ή και λίγο πιο έξω φωτογραφήθηκαν διάφορα παραδείγματα που έχουν κάποια σχέση με την Π.Γ.. Η γενική εντύπωση είναι ότι οι Αρχιτέκτονες και οι Πολιτικοί Μηχανικοί αποφεύγουν τις δύσκολες μορφές τις καμπύλες επιφάνειες και τα στερεά σώματα (κώνους, σφαίρες κ. λ. π). Ο κανόνας είναι το κτίριο να επιλύεται με απλά επίπεδα στην μορφή πρίσματος και να αποφεύγονται γενικά οι αλληλοτομίες (προφανώς από έλλειψη σωστής διδασκαλίας της Π.Γ. στους μηχανικούς). Τα ελάχιστα παραδείγματα που βρέθηκαν αναλύονται σε εξειδικευμένα ή ομαδικά παραδείγματα και ακολουθούν οι φωτογραφίες με σύντομα σχόλια που βρέθηκαν. Επίσης μια επίσκεψη σε αρχαιολογικούς χώρους μας πείθει ότι και οι αρχαίοι πρόγονοί μας προτιμούσαν τις ελεύθερες καμπύλες και όχι μαθηματικά μοντέλα. Απλά παραδείγματα είναι ο Παρθενώνας όπου δεν υπάρχει ευθεία γραμμή αλλά όλο ελεύθερες καμπύλες και οι εξηγήσεις οι οποίες δίδονται από τους ειδικούς είναι ότι αυτά ήταν οπτικές διορθώσεις των αρχαίων Ελλήνων ώστε το τελικό αποτέλεσμα να είναι αισθητικά ωραίο χωρίς να ακολουθεί μαθηματικά πρότυπα. Π.χ. στις Μυκήνες ο θησαυρός του Ατρέα (τάφος του Αγαμέμνονα) ναι μεν έχει κυκλική κάτοψη, στην τομή όμως δεν είναι ούτε σφαίρα, ούτε κώνος, ούτε κάποιο άλλο μαθηματικό μοντέλο. Είναι απλά ένα στερεό εκ περιστροφής σαν το ανάποδο μέρος μιας ληκύθου. Συμπερασματικά μπορούμε να πούμε ότι η αρχιτεκτονική αποφεύγει την παραστατική. γεωμετρία πλην ελαχίστων εξαιρέσεων που υπάρχουν στην εργασία αυτή.

4 2 Τα σχέδια που ακολουθούν προσπαθούν να διαφωτίσουν την εμβαδομέτρηση δύσκολων στερεών π.χ. σφαίρας και ελπίζω να χρησιμεύσουν σαν βοήθημα σ' αυτούς όπου η μοίρα θα τους τάξει να χτίσουν εκκλησίες. Έτσι λοιπόν θα ξέρουν πόσα κεραμίδια θα παραγγείλουν για την στέγαση του τρούλου χωρίς να εμπιστεύονται στην εμπειρία του μάστρο-θόδωρα και του μάστρο Μηνά. Σαν επίλογο θέλω να γράψω ότι η πτυχιακή δεν αναλώθηκε στην εξήγηση της μαθηματικής επίλυσης των σχεδίων διότι δεν κάνω μάθημα παραστατικής γεωμετρίας, απλά προϋποθέτει ότι ο αναγνώστης γνωρίζει παραστατική γεωμετρία από κάποιο βιβλίο και καταλαβαίνει τις επιλύσεις μου όπως τις κατάλαβε ο καθηγητής μου που επέβλεψε την εργασία.

5 3 ) ΣΤΕΓΗ Μια από τις πιο συνηθισμένες μορφές της Αρχιτεκτονικής που επιλύονται με την Παραστατική Γεωμετρία είναι τα διάφορα είδη στεγών. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα έχουμε ένα κτίριο με κάτοψη σχήματος Γ. Η στέγη του είναι τετράρριχτη και η κλίση της προς όλες τις πλευρές είναι 30. Για την επίλυση παίρνουμε το σχήμα Α'ΒΤ'ΔΈΊ' το οποίο αποτελεί το περίγραμμα της πρώτης προβολής της στέγης. Τα σημεία Α,Β,Γ,Δ,Ε και Ζ βρίσκονται πάνω στο επίπεδο Ε άρα έχουν z=o. Θεωρούμε τα επίπεδα α,β,γ,δ,ε και ζ των οποίων τα ίχνη σ a,σ β,σ v,σ δ, σε',σζ'.συμπίπτουν με τις πλευρές Α'ΒΊ Β'Γ, Γ'ΔΊ ΔΈΊ ΕΊΊ ΖΆ' και έχουν κλίση 30, το οποίο φαίνεται σε δεύτερη προβολή για τα επίπεδα α, γ,ε και σε τρίτη προβολή για τα επίπεδα β,δ,ζ. Το ζητούμενο είναι οι ευθείες κατά τις οποίες τέμνονται τα παρακάτω επίπεδα σε πρώτη προβολή οι οποίες και αποτελούν τη χάραξη της στέγης. Είναι φανερό ότι τα σημεία Α,Β,Γ,Δ,Ε και Ζ ανήκουν στις ευθείες κατά τις οποίες τέμνονται τα επίπεδα α και ζ, α και β, β και γ, γ και δ, δ και ε, ε και ζ αντίστοιχα. Αρκεί λοιπόν να βρεθεί από ένα σημείο ακόμα για να οριστούν οι ευθείες κατά τις οποίες τέμνονται τα επίπεδα. Για το λόγο αυτό βρίσκουμε τα ίχνη των επιπέδων β,δ και ζ στο Ε2 έτσι ώστε να βρούμε τα σημεία που τέμνονται τα ίχνη των επιπέδων στο Ε 2 σε δεύτερη προβολή. Τα σημεία αυτά, επειδή βρίσκονται πάνω στο Ε 2, σε πρώτη προβολή θα πέφτουν πάνω στον άξονα ψ 2. Ενώνοντας, λοιπόν τα αντίστοιχα σημεία των τομών των επιπέδων βρίσκουμε τις ευθείες τομής, οι οποίες τέμνονται μεταξύ τους

6 4 στα σημεία Η,Θ,Ι και Κ τα οποία αποτελούν την κορυφή της στέγης. Για να σχεδιάσουμε το ανάπτυγμα της στέγης στρέφουμε τις πλευρές Α'Θ'(=ΒΉ'=ΓΉ') και Ζ'Κ'(=Ε'Κ') κατά 45 και βρrσκουμε το φυσικό τους μέγεθος Α 0 Θ 0 (=8 Η 0 =Γ 0 Η 0 ) και Ζ 0 Κ 0 (Ε 0 Κ 0 ). Οι πλευρές Α 0 8, 8 Γ 0, Γ 0 Δ 0, Δ 0 Ε 0, Ε 0 Ζ 0 και Ζ 0 Α ο λαμβάνονται από την πρώτη προβολή.

7 5 Στέγη κατοικίας έξω από την Χαλκίδα Στέγη κατοικίας με σοφίτα

8

9 6 2)ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ Μια από τις πιο απλές μορφές της Αρχιτεκτονικής που επιλύεται με την Παραστατική Γεωμετρrα είναι η πυραμίδα, η οποία συναντάτε εκτός από τις γνωστές πυραμrδες της Αιγύπτου και ως στέγη ή άλλο αρχιτεκτονικό στοιχεrο. Εδώ επιλύονται τέσσερα εfδη πυραμfδας:. Πυραμfδες τετραγωνικής βάσης, όπου η κορυφή κ συμπίπτει σε πρώτη προβολή με το κέντρο βάρους του τετραγώνου.. Πυραμίδα ορθογωνικής βάσης, όπου η κορυφή κ συμπrπτει σε πρώτη προβολή με το κέντρο βάρους του ορθογωνfου..πυραμfδα τετραγωνικής βάσης, όπου η κορυφή κ δεν συμπίπτει σε πρώτη προβολή με το κέντρο βάρους του τετραγώνου, αλλά είναι μετατοπισμένη πάνω σε άξονα που περνάει από το κέντρο βάρους του τετραγώνου και εfναι παράλληλος στις πλευρές Α'Δ' και Β'Γ'. ΙV.Πυραμfδα ορθογωνικής βάσης, όπου η κορυφή κ είναι μετατοπισμένη κατά τυχαίο τρόπο ως προς το κέντρο βάρους του ορθογωνrου. Για να βρεθούν τα πραγματικά μεγέθη των ακμών της κάθε πυραμrδας στρέφονται έτσι ώστε να γrνουν παράλληλες με τα Ψ2 και προβάλλονται στο Ε2 οπότε παίρνουμε και το πραγματικό τους μέγεθος. Στις φωτογραφrες φαrνεται παράδειγμα πυραμίδας όπου η κορυφή δεν ταυτίζεται με το κέντρο βάρους της βάσης σε πρώτη προβολή (λοξή πυραμίδα). Το κτrριο βρίσκεται στην λεωφόρο Κηφισίας.

10 7 Λοξή Πυραμίδα σε κτf ριο επί της Λεωφόρου Κηφισίας Λοξή Πυραμίδα σε κτίριο επί της Λεωφόρου Κηφισίας

11 κ~κ 0 Κ'~Κ 0 Α~Β'' Ρϊ ~ Β'' Γ'~ΔΊ Α Α 0 ~: ιγ'" Ψ.~ 8 Γ' Β' \ Ι \ \ Ι Ι Γ Β \ Ι

12 8 3) Πύργος με κεκλιμένη σκεπή Το κτrριο των φωτογραφιών βρrσκεται στην λεωφόρο Κηφισrας. Στην πρόσοψη του κτιρrου βλέπουμε ένα κατακόρυφο πρισματικό στοιχεrο το οποrο κόβεται λοξά από επίπεδο. Η επίλυση αυτής της αρχιτεκτονικής μορφής έγινε με δυο τρόπους: α) Θεωρώντας ότι το στοιχείο εrναι πολυγωνικό (εξαγωνικό) πρίσμα και β) Θεωρώντας ότι το στοιχείο είναι κύλινδρος. Και στις δυο περιπτώσεις το επfπεδο έχει κλrση 30, όπως φαrνεται από το ίχνος του στο επrπεδο Ε 2, ενώ το rχνος στο Ε εfναι κάθετο στον ψ2. Στην περfπτωση του κυλfνδρου διαιρούμε την βάση του κυλίνδρου σε 2 ίσα τόξα. Σε τρrτη προβολή (προβολή στο επrπεδο Ε3 που εfναι κάθετο στα επίπεδα Ε και Ε2) παρουσιάζεται η εικόνα της πρόσοψης του κτιρfου, ενώ σε δεύτερη προβολή η εικόνα της πλάγιας όψης του κτιρίου. Για το ανάπτυγμα της παράπλευρης επιφάνειας παrρνουμε σε μια ευθεία τις πλευρές της βάσης του εξαγώνου από την κάτοψη ή την περιφέρεια της κυκλικής βάσης διαιρεμένη σε 2 τμήματα για την περfπτωση του κυλfνδρου και τραβάμε κάθετη ευθεία σε κάθε σημεrο, πάνω στην οποrα θα πάρουμε το αντίστοιχο ύψος από την δεύτερη ή τρfτη προβολή. Για να βρούμε το πραγματικό μέγεθος της τομής του επιπέδου με το πρίσμα ή τον κύλινδρο, δηλαδή της στέγης, κατάκλιση της τομής. Στην περfπτωση του πρrσματος θα εfναι ένα μη κανονικό εξάγωνο, ενώ στην περrπτωση του κυλrνδροu θα εfναι ελλειπτικού σχήματος.

13

14 Πλάγια άποψη του ιδίου κτιρίου 0

15 ~, l Τ z: ---i Δ'~ \ \ \ \ \ \ \ ' \!i' \ ''\ \ \ '\. -.r'ιι,: Ζ''.. '(i' L Σ.2 Α' Ι z''. ι Ε' -, ιδ, _J +_ , Β' Γ' Δ' 8''- Γf ι Ι

16 - Η~ Η~ θ 0 "!\ Β"

17 4) Αλληλοτομία δυο σωλήνων Το παράδειγμα που ακολουθεί βρίσκει εφαρμογή εκτός από την κατασκευή σωλήνων όπως η καμινάδα της φωτογραφίας, και στην κατασκευή άλλων αρχιτεκτονικών στοιχείων όπως η γωνία του κτιρίου της φωτογραφίας η οποία είναι τμήμα κυλίνδρου που τέμνεται από το αρχιτεκτονικό στοιχείο που βρίσκεται πάνω από το παράθυρο που είναι τμήμα κυλίνδρου, καθώς και στην κατασκευή τούνελ. Πρόκειται δηλαδή για αλληλοτομία 2 κυλίνδρων. Επιλύονται 4 περιπτώσεις:. Δυο κύλινδροι ίσης διατομής που τέμνονται κάθετα.. Δυο κύλινδροι άνισης διατομής που τέμνονται κάθετα.. Δυο κύλινδροι ίσης διατομής που τέμνονται υπό γωνία 45. IV. Δυο κύλινδροι άνισης διατομής που τέμνονται υπό γωνία 45. Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις οι κεντρικοί άξονες των δύο κυλίνδρων τέμνονται. Για την επίλυση προβάλλουμε τους δυο κυλίνδρους σε πρώτη, δεύτερη και Τρίτη προβολή. Διαιρούμε τον επάνω κύλινδρο σε 8 ίσα μέρη. Τα σημεία τομής φαίνονται αρχικά σε τρίτη προβολή και προσδιορίζουμε σε δεύτερη και πρώτη προβολή με τη βοήθεια της τρίτης προβολής και των γενέτειρων. Για το ανάπτυγμα του επάνω κυλίνδρου παίρνουμε σε μια ευθεία την περιφέρεια του κυλίνδρου διαιρεμένη σε 2 ίσα τμήματα και χαράζουμε κάθετη σε κάθε σημείο όπου παίρνουμε τα μήκη που μετράμε σε κάθε γενέτειρα στην δεύτερη προβολή. Για το ανάπτυγμα του κάτω κυλίνδρου παίρνουμε σε μια ευθεία την περιφέρεια του κυλίνδρου και τοποθετούμε κεντρικά

18 2 τα μήκη των τόξων που σχηματίζονται σε τρίτη προβολή από τα σημεία τομής. Χαράζουμε κάθετες ευθείες στις άκρες και στα σημεία που ορίζονται από τα μήκη των τόξων, οι οποίες σταματάνε στην ευθεία που ορίζει το μήκος του κυλίνδρου. Για να οριστούν τα σημεία τομής μετράμε τις αντίστοιχες αποστάσεις στην πρώτη ή δεύτερη προβολή και τις μεταφέρουμε πάνω στις ευθείες.

19 3 Κτίριο επί της οδού Σταδίου Κτίριο επί της οδού Σταδίου

20 4 Κτίριο επί της οδού Σταδίου ι ~ J ι!.., ~. " ~ ) ;:,~ } ~\...: ;.! '. ;. ' '... ~,,. ι." Καμινάδα σε μονοκατοικία στη Ν. Σμύρνη

21 5 't t λ ~~~~ ~ Όπως και πριν

22 {i_!\, Α Λ Ι ι Ι ι Ι. -,...,.., ,...,.., _ _...,,. Ι ι Τ

23 ι Γ'~ Ε"ι Ιfι': Η'' f'~ Μ ι e - Λ'' ι ι ι ι Ι Ι ;Ι lj!; _,,..,, ι ι l;ι --::: - ~ - ~ ~ ;;--_: ---L _-

24 Α

25 ιtι Ε ll_l_ - ~ ~ ΗIΙ - 4'' ι ι ' ι ι ~~ΙΗ" ι,,. Γ~--ι+--ι--r-τ-~----r---..ι-.+---L ~ - ~7ln'~-+t~~~~~- ' ι Ι ι Ι Ι J Ι;ι Ι Ι

26 6 5)Αλληλοτομία τριών σωλήνων Σ' αυτήν την περίπτωση έχουμε τρεις κυλίνδρους ίσης διατομής που τέμνονται κεντρικά σε σχήμα Υ. Για την επίλυση χωρίζουμε τον κάθε κύλινδρο σε 2 γενέτειρες. Επειδή οι κύλινδροι είναι ίσης διατομής και τέμνονται κεντρικά οι αντίστοιχες γενέτειρες των κυλίνδρων τέμνονται και το σύνολο των σημείων τομής των αντίστοιχων γενέτειρων μας δίνει την τομή τριών κυλίνδρων. Τα αναπτύγματα δημιουργούνται όπως και για τον επάνω κύλινδρο των προηγούμενων παραδειγμάτων

27 r ι ~

28 ι7 6) Γωνία σωλήνα Η κατασκευή γωνίας σωλήνα κυκλικής διατομής γίνεται όταν ένας αεραγωγός στρίβει και δεν θέλουμε να σφυρfζει, ο αέρας του κλιματιστικού. Η γωνία αυτή, αν η γωνία που σχηματίζουν οι δυο σωλήνες είναι 90 και οι διατομές τους είναι ίσες, θα είναι ένα τέταρτο μιας σπείρας που δημιουργείται από την περιστροφή της διατομής των σωλήνων ως προς τον κατακόρυφο άξονα που περνάει από το σημείο κ. Σε πρώτη προβολή θα είναι δυο ομόκεντρα (με κέντρο το κ) τεταρτοκύκλια. Για την επίλυση χωρίζουμε τα τεταρτοκύκλια σε τόσα ίσα τμήματα έτσι ώστε τα τόξα να είναι κατά προσέγγιση ίσα με τις χορδές. Έτσι δημιουργούνται τμήματα κυλίνδρων την διατομή των οποίων χωρίζουμε σε 2 γενέτειρες. Το ανάπτυγμα του κάθε τμήματος γίνεται όπως και πριν.

29 ( 7,., Ψ,~ ο t!i,- ι -... ι. ο 2: 30~...c: ο ~..ι 2~ ~

30 8 7) Κάγκελα Το παράδειγμα της φωτογραφίας βρίσκεται στο Αιγάλεω και αποτελεί αλληλοτομία κυλίνδρων. Σ' αυτή την περίπτωση όμως οι κύλινδροι δεν τέμνονται κεντρικά, αλλά οι μικρότεροι οριζόντιοι κύλινδροι (κάγκελα) τέμνουν τον μεγάλο κύλινδρο (κατασκευή από σκυρόδερμα) σε μη συμμετρικά σημεία.

31 9 ' ::. _,.:... Κάγκελα σε μονοκατοικία στο Αιγάλεω

32 - -. 5'' 3' ί

33 20 8) Κορνίζες Στις φωτογραφίες βλέπουμε το σταθμό Πελοποννήσου και ένα μπαλκόνι στον Πειραιά. Τόσο οι στέγες του σταθμού όσο και το μπαλκόνι αποτελούν αλληλοτομία τεταρτοκυλίνδρων. Το ίδιο σχήμα συναντάμε και στις γωνίες που κάνουν οι κορνίζες, όταν αυτές έχουν κυκλική διατομή. Παρακάτω επιλύονται 2 περιπτώσεις αλληλοτομία τεταρτοκυλίνδρων.. όταν οι τεταρτοκύλινδροι τέμνονται υπό ορθή γωνία (γωνία ορθογωνικής κορνίζας).. όταν 2 κάθετοι μεταξύ τους τεταρτοκύλινδροι τέμνουν τρίτο τεταρτοκύλινδρο υπό γωνία (γωνία εξαγωνικής κορνίζας).

34

35 Σταθμός Πελοποννήσου Γ Μπαλκόνι σε μονοκατοικία στον Πειραιά σε σχήμα - τετατροκυλινδρικής κορνίζας.

36 Α~3ϊ 4 4\4~ ~ Α' ι""-J: ~2::~-- ' \ Ι \ 3;ε -~ - ι::_ - ι, '4" ι.,e - --ι-- ι '~ 4 4,, Γ - f;ι\ ~~~~~ ,----..J...~~ ~----'k ι ι-3-: ι '2' L - - Τ ~ 0 Λ, 20 Λ. οξ 20 e ~ 2: 3; 4; 3:v-----~~_. ~~~~ 4: d 4:

37 22 9)Τρούλοι Η περίπτωση αυτή αναφέρεται επfσης στην αλληλοτομία κυλίνδρων που βρίσκει εφαρμογή στους τρούλους των εκκλησιών που φαίνονται στις φωτογραφίες, στον τρούλο του Δημαρχείου της Χαλκίδας, καθώς και στην περίπτωση των ορόφων που σχηματίζονται όταν υπάρχουν καμάρες, όπως φαίνεται στην φωτογραφία ή στο εσωτερικό των εκκλησιών. Παρακάτω επιλύονται 3 περιπτώσεις. όταν ο τρούλος βρίσκεται σε τετραγωνική βάση. όταν ο τρούλος βρίσκεται σε εξαγωνική βάση. όταν ο τρούλος βρίσκεται σε ορθογωνική βάση, οπότε και οι κύλινδροι είναι διαφορετικής ακτίνας. Η περίπτωση της οκταγωνικής βάσης είναι και η πιο συνηθισμένη δεν έχει επιλυθεί γιατί αποτελεί τον κανόνα στις βυζαντινές εκκλησίες που στις σύγχρονες εκκλησίες στη βυζαντινή τεχνοτροπία, επειδή είναι "χιλιοειπωμένο" και από αρχαιοτάτων χρόνων γίνεται με "κλέψιμο" και χωρίς μαθηματικούς υπολογισμούς.

38 23 Εξαγωνικός τρούλος στην εκκλησία του Αγίου Σώστη στη λεωφόρο Συγγρού Εκκλησία με τρούλο οκταγωνικής βάσης

39 24 Τεταρτοθόλιο σε κτίριο της οδού Πανεπιστημίου Όπως κα ι πριν

40 25 Το Δημαρχείο της Χαλκίδας. Οι τρούλοι είναι αλληλοτομία δυο κυλίνδρων

41 ~ 4; - 4: -6 ρ.,, 2i t Ι ~ ~' ; Ψ,2, ' '' ::-!2 3' 4' 3 2 :' τ- = 'r Ί A,f> Ι ~ :~~-----ι.ι Ί;r

42 Ί i' Ι Ι -v----ι : 0,,, ι ι ; ; ιι ~ ι ι ι ι ι ι; _, Ι Ι; _ _.., Q-t---.c:: -- ~ ' --- ; ~ --~ _ ~ ,,.,.

43 26 Ο)Διακοσμητικό στοιχείο πλάγιου επιπέδου που τέμνει κολώνα Το συγκεκριμένο παράδειγμα βρίσκεται σε εστιατόριο στην Εθνική Οδό (προς Χαλκίδα). Αποτελεί τομή κυλίνδρου (κολώνα) από επίπεδο. Η διαφορά του από προηγούμενο παράδειγμα είναι ότι εδώ ζητείται και το επίπεδο τα ίχνη του οποίου βρίσκονται στο επίπεδο Ε (έδαφος) και στο επίπεδο Ε 2 (τοίχος). Τα ίχνη του επιπέδου σ και σ2.. δεν είναι ούτε κάθετα ούτε παράλληλα στον άξονα ψ2. Η επίλυση γίνεται με τις πρώτες ιχνοπαραλλήλους ια,ιs,ιr,ιδ,ι Ε,ι z,ιη,ι0. Το ανάπτυγμα της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου γίνεται όπως και προηγουμένως, ενώ για να βρεθεί το πραγματικό μέγεθος του επιπέδου κάνουμε κατάκλιση της τεμνόμενης επιφάνειας καθώς και του ίχνους σ 2.

44 27 Εστιατόριο στην Εθνική Οδό

45 0'' J.,.,, ~~ ---- ~"" ~~ --- ~ ~ " \ ""- \ LI ""' "'- ""' \ ιβ \ \ \ ι" """ '\ \ tl\... ϊ' ~Γ L'' t,ι.. "" L'' ιe " ~ \ \ "'- \ \ \ L''e "' \ \ \ \ \ ι:η \ L" \ Ι::Ζ \ Σ \ \ '\ \ \ \ \ \ \ Ι ι Ι ; Ψι"> Α: Α: Ro g; :_ ι,e ~ο ι; - --,,..,,.. ο.2q\ _,," Ι; Δ: "" z: Ε:

46 28 ) Κολώνες με κιονόκρανα Στην εκκλησία της φωτογραφίας, που βρίσκεται στους Αμπελοκήπους, παρατηρούμε κολώνες με κυκλική διατομή που έχουν κιονόκρανα σε σχήμα πυραμίδας. Επιλύονται δυο παραλλαγές.. Αλληλοτομία πυραμίδας και κυλίνδρου. Αλληλοτομία πυραμίδας και κώνου Η πυραμίδα είναι κανονική και στις δύο περιπτώσεις, ενώ ο κύλινδρος και ο κώνος διαιρούνται σε 8 γενέτειρες. Τα σημεία τομής βρίσκονται σε δεύτερη προβολή στις πλευρές της πυραμίδας που είναι κάθετες σε πρώτη προβολή στον ψ 2 και μεταφέρονται στις άλλες πλευρές όπου λόγω συμμετρίας του σχήματος είναι ίδιες καθώς και σε πρώτη προβολή.

47 29 Τμήμα εκκλησίας στη λεωφόρο Κηφισίας (Κολώνα με κιονόκρανα)

48 \ Ι.. )' ' '.., t< ', '. \ \ \ \ - Α~ Κ'' ι ι Ψ.:ι Α~ Ι Θ; Γτ 0 Er 0

49 ιγ Jlll -~~- - ' \ \ \ \ \ Ι ι Ψ,~ ι Γ-0 \ \ \ \ \ \. \

50 30 2) Εξαγωνικό κτίριο με κωνική σκεπή Το παράδειγμα αυτό είναι ένα εξαγωνικό κτίριο με κωνική σκεπή. Είναι, δηλαδή, αλληλοτομία εξαγωνικού πρίσματος με κώνο. Η κορυφή του κώνου συμπίπτει σε πρώτη προβολή με το κέντρο βάρους του εξαγώνου. Διαιρούμε τον κώνο σε 24 ίσα τμήματα οπότε έχουμε 24 γενέτειρες οι οποίες τέμνουν σε πρώτη προβολή τις πλευρές του εξαγώνου και μας δίνουν το σημείο τομής, τα οποία ορίζονται σε δεύτερη προβολή από κατακόρυφες διακεκομμένες ευθείες από την πρώτη προβολή και τις αντίστοιχες γενέτειρες σε δεύτερη προβολή.

51 Γο. Ψ.~ Γ 7' gc>

52 3 3) Σφαιρικοί τρούλοι Μια άλλη συνηθισμένη μορφή της αρχιτεκτονικής, η οποία συναντάται κυρίως σε εκκλησίες, είναι οι σφαιρικοί τρούλοι, οι οποίοι μπορεί να είναι είτε ημισφαίρια, είτε μικρότερα τμήματα σφαίρας. Εδώ επιλύουμε την περίπτωση του ημισφαιρίου με δυο διαφορετικούς τρόπους. Και στις δυο περιπτώσεις σε πρώτη προβολή έχουμε κύκλο ενώ σε δεύτερη προβολή ημικύκλιο. Ο πρώτος τρόπος επίλυσης είναι η σφαίρα να αναλυθεί προσεγγιστικά σε τμήματα κυλίνδρων. Ο δεύτερος τρόπος επίλυσης είναι η σφαίρα να αναλυθεί σε τμήματα κώνων. Οι σφαίρες των παρακάτω περιπτώσεων επιλύονται με τον πρώτο τρόπο. Το ανάπτυγμα χρησιμεύει σε εμβαδομέτρηση του ημισφαιρίου ώστε να ξέρουμε με πόσα κεραμίδια ή χαλκό ή μπρούντζο θα καλύψουμε την στέγη.

53 32 Σφαιρικός τρόπος σε εκκλησία στον Πειραιά t _ Ο Τρούλος του Αγίου Παντελεήμονα

54 33 Το Μουσικό θέατρο στη λεωφόρο Συγγρού με σφαιρικό στοιχείο Όπως και πριν

55 34 Όπως και πριν

56 -. Ιι ι ι, s'j ι ιι ι ι s'i Ί ;-_ ι::: _ 3 :-: _ Ξ - - Ο"

57 Ι \ Ι \ Ι \ Ι Ι \ Ι \ Ι \ Ι \ Ι \ \ Ι \ Ι \ Ι \ Ι \

58 35 4) Σφαιρικά τρίγωνα Τα σφαιρικά τρίγωνα είναι αρχιτεκτονικές μορφές που βλέπουμε στο εσωτερικό των εκκλησιών. Πάνω σ' αυτά στηρίζεται ο τρούλος. Είναι αλληλοτομία της μεγάλης σφαίρας με τετραγωνικό πρίσμα. Σημειώνεται ότι η σφαίρα από την οποία αποσπάσθηκαν τα 4 σφαιρικά τρίγωνα είναι μια μεγαλύτερη σφαίρα και όχι το ημισφαίριο του θόλου το οποίο θα καθίσει πάνω σε αυτά. Επίσης επιλύεται και η περίπτωση που η σφαίρα τέμνεται από ορθογωνικό πρίσμα.

59 5"' 6(' 6 Γ Γ''' \ \ \ \ \ \ \ \ \ '\ \ \ \ \ "' \ \. '--.. \ \ \ \ ""' "' \ \ '\ "-.. \ "' "" ""' ""' r - ι- ι, -, Γ'' ~l"'----j_ Γ,, Γ" ι Γ ~'~---~~-Q:::-~~~~~~

60 36 5) Ιγκλού. Το ιγκλού είναι μια αρχιτεκτονική μορφή που μπορεί να αναλυθεί ως αλληλοτομία ημισφαιρίου με πρίσμα και ημικύλινδρο. Αποτελεί μια μορφή κατοικίας διαδεδομένης στους Εσκιμώους. Η κατασκευή της γίνεται με κομμάτια πάγου τα οποία τοποθετήθηκαν το ένα πάνω στο άλλο, αφού πριονιστούν, λόγω των κλιματικών συνθηκών συγκολλούνται σχηματίζοντας έτσι ένα προστατευτικό κέλυφος. Ο διάδρομος που υπάρχει στην είσοδο του Ιγκλού χρησιμεύει στο να προστατευτεί το εσωτερικό της κατοικίας από τον κρύο αέρα και τα μεyάλα άγρια ζώα (π.χ. αρκούδες). Η επίλυση γίνεται όπως και προηγουμένως.

61 Ε;" - Ζ,~ ±f_-_ - = ~----=---=- =- -_ -:--&=:::::::;::==''====f===========~---~-""j>~:, Η" η υ. \;, ) r; "' a ι- ι- - ι- ι ι ι ι ι A==i~ :. ~r('r~~ Δ' ~ θ'' -L-Jι.L-!-...ι...L--!---Γ F=--::N :r'' h Γ''::,,, l-τ-~------=' ' 5~'' -;- -..L ---+ι---tf't;~ Β' Ξ Λ Ι Ι 6",, ικ, _ι ι _ -L..=-i...,. ι ι Ι ι Ι ι Ι Ι ι Α~ =Κ'Ι Α":: Μ~ ι ' ' ι ' Ι ΙΜ~ θ' - - -' Ζ' :ι'ξ\ξμ Ε -- Δ Α' ΞΒ'Ξ Γ Ψ.2 j 40 5r r:o ' 60 Αο Εο τ Ε; " Αο"' z: 0 Μτ τ Αο Βο Γο Δο Εο zo -Jo θο ο Λο Μ..

62 37 6) Κιονόκρανα Τα κιονόκρανα της φωτογραφίας αποτελούν αλληλογραφία πυραμίδας και σφαίρας η οποία εφάπτεται στις ακμές τις πυραμίδας. Για την επίλυση γίνεται προβολή της πυραμίδας και της σφαίρας σε επίπεδο που είναι κάθετο στο Ε2 ενώ το ίχνος του στο Ε σχηματίζει γωνία 45 με τον άξονα Ψ2. Από την τρίτη αυτή προβολή βρίσκουμε τα σημεία τομής τα οποία και μεταφέρουμε σε πρώτη και δεύτερη προβολή. Το ανάπτυγμα της σφαίρας και της πυραμίδας γίνεται όπως και προηγουμένως. Παρατηρούμε ότι τα σημεία τομής στο ανάπτυγμα της πυραμίδας σχηματίζουν κύκλους.

63 38 Κιονόκρανα με "στρογγυλεμένες " γωνίες

64 : ΠΜ.,, ~~ww_! ~ ΠJ''LL'!_Lffil!fiffir.--τ, \., Β Δ' J Ι Ι Ι Ι Ι ι ; ι Ι Ι Ι; Ι

65 39 7) Τρούλος ελλειψοειδής εκ περιστροφής Εκτός από τους σφαιρικούς τρούλους υπάρχουν και τρούλοι το σχήμα των οποίων δημιουργείται από περιστροφή άλλων καμπυλών γύρω από κατακόρυφο άξονα. Ο τρούλος της φωτογραφίας μπορεί να θεωρηθεί ως μισό ελλειψοειδές εκ περιστροφής. Για την επίλυση αυτής της μορφής θεωρούμε κώνο ο οποrος τέμνεται από επίπεδο και η τομή είναι έλλειψη. Γίνεται κατάκλιση της έλλειψης. Περιστρέφουμε την ημιέλλειψη γύρω από κατακόρυφο άξονα και παίρνουμε την πρώτη προβολή του τρούλου που είναι κύκλος και την δεύτερη προβολή που είναι ημιέλλειψη. Το ανάπτυγμα βγαίνει με τρόπο ανάλογο με αυτό της σφαίρας.

66 40 ---,,. \..,.,, f ~ -,. r Τ --~ - ι -- ' - Τρούλος σε κτίριο της οδού Σταδίου Χαρακτηριστικό δείγμα κώνων: οι ομπρέλες

67 4 _, Εμπορικό Κέντρο στον Πειραιά που εμφανίζει κωνική τομή

68 Ι _- --~- --~ ~!i~ Σ~" Ψ.~~Ψ(3 ' ~ Ι ΙΒΙ b' Σrr τ---- Λ' Σ ~~-----

69 42 8) Εκκλησία του Αρχιτέκτονα Κυδωνιάτη στο Μαρούσι Η εκκλησία της φωτογραφίας βρίσκεται στο Μαρούσι και μπορεί να θεωρηθεί ως παραβολοειδές εκ περιστροφής το οποίο τέμνεται από κατακόρυφα επίπεδα. Για την επίλυση θεωρούμε κώνο που τέμνεται από επίπεδο και η τομή είναι παραβολή. Η παραβολή περιστρέφεται και τέμνεται από 4 κατακόρυφα επίπεδα. Το ανάπτυγμα βγαίνει όπως και πριν.

70 43 Η εκκλησία του αρχιτέκτονα Κυδωνιάτη στο Μαρούσι Όπως και πριν

71 44 Άλλη εκκλησίας άποψη της Λεπτομέρεια παραβολοειδούς σχήματος

72 45 Το πίσω μέρος της εκκλησίας lt

73 ~ ~ ~ ~- - ~~ - Ιιι ~-- Γr -- ~ rι ~ ~ -Δ~ ~. ""' \ \ ~ \ \ \ ~ ιιι - -- \ - -- \ -\-.... Α" Ι Ι ι Ι Ν lli Ιj ' ο

74 Α: Ε; Ι : Σ'' ι;' ~~ " : ι ι, ι ι ι ι. Α:

75 46 9) Στάδιο Ειρήνης και Φιλίας Η αρχιτεκτονική μορφή του Σταδίου Ειρήνης και Φιλίας, το οποίο φαίνεται στην φωτογραφία που ακολουθεί, μπορεί να αναλυθεί αν θεωρηθεί ως αλληλοτομία ενός κώνου με δύο ομόκεντρους κυλίνδρους. Η επίλυση γίνεται αν θεωρήσουμε οριζόντια επίπεδα το καθένα από τα οποία τέμνει τον κύλινδρο κατά δυο γενέτειρες και τον κώνο κατά έναν κύκλο, οπότε με τη βοήθεια τρίτης προβολής βρίσκουμε τα σημεία τομής. Γίνεται το ανάπτυγμα του κώνου στο οποίο από τους δυο μεταφέρονται κυλίνδρους τα σημεία στα οποία τέμνεται οπότε και εμφανίζεται η μετασχηματισμένη καμπύλη της αλληλοτομίας, η μορφή της οποίας είναι κυματοειδής. Επίσης γίνεται το ανάπτυγμα του μικρότερου κυλίνδρου και μεταφέρονται σ' αυτό τα σημεία τομής, οπότε σχηματίζεται το ανάπτυγμα της στέγης του σταδίου. Η επαλήθευση της επίλυσης έγινε με κατασκευή μακέτας.

76 47 Στάδιο Ειρήνης και Φιλίας

77 'Ί:: Ν Λ (( 7- r ι - " " Γ;Ι= Ηί f7" f Ι ~ ~.-- Α" Ξ Ε Ι Η'

78 ~--.ό-~--α ctξ2~, lj ι Ι Ι ι f ι ι ι,, Ι Ι -5-- Ιι - Ι Ι _ ~

79 ι Ν~ Η~

80 48 20) Κυκλική Σκάλα Η κυκλική σκάλα είναι μια αρχιτεκτονική μορφή που συναντάμε πολύ συχνά. Το υλικό κατασκευής της μπορεί να είναι πέτρα, μέταλλο, ξύλο ή μπετόν. Παράδειγμα λίθινης πλήρως κυκλικής σκάλας υπήρχε στο ανάκτορο της Δούκισσας της Πλακεντίας. Τα σκαλοπάτια εfχαν σφηνοειδή μορφή και ήταν σφηνωμένα σε χτιστό πέτρινο πηγάδι, ενώ παράλληλα πατούσαν το ένα πάνω στο άλλο. Στην μεταλλική σκάλα, το χτιστό πηγάδι αντικαθίσταται από ελικοειδή βαθμιδοφόρο από λαμαρίνα στο οποίο οξυγονοκολλούνται τα σκαλοπάτια. Ο ουρανός της σκάλας μας δείχνει το κάτω μέρος των σκαλοπατιών (σαν ανάποδη σκάλα). Η ξύλινη σκάλα μπορεί να έχει είτε στήριξη σε χτιστό πηγάδι, είτε σε ξύλινο βαθμιδοφόρο. Η μπετονένια σκάλα έχει υποχρεωτικά κάποιο πάχος, το πάχος της οπλισμένης ελικοειδούς πλάκας από σκυρόδεμα, κάτω από τα μπετονένια (άοπλα) σκαλοπάτια. Ο ουρανός της σκάλας είναι μιας ευθειογενής επιφάνεια που ονομάζεται "έλικα του Αρχιμήδη,,. Η μορφή αυτή φαίνεται και στην φωτογραφία της κυκλικής μπετονένιας σκάλας που βρίσκεται σε κτίριο της λεωφόρου Μεσογείων. Παρουσιάζονται επίσης και πολυάριθμες παραλλαγές της κυκλικής σκάλας όπως ο συνδυασμός της με ευθύγραμμα σκαλοπάτια, και η σφηνοειδή σκάλα. Η επίλυση της είναι απλή αφού από την γνωστή πρώτη προβολή (κάτοψη) βγαίνει η δεύτερη προβολή, προβάλλοντας τα σημεία της κάτοψης στα αντίστοιχα ύψη.

81 49 Γίνονται, επίσης, και τα αναπτύγματα της σκάλας, εξωτερικό και εσωτερικό, τα οποία μας δίνουν τον εξωτερικό και εσωτερικό βαθμιδοφόρο.

82 50 Σκάλα από οπλισμένο σκυρόδερμο σε κτίριο επί της λεωφόρου Μεσογείων

83 ' ' ' b ιι --~ - J

84

85 5 2) Στέγαστρα Οι μορφές στεγών που ακολουθούν χρησιμοποιούνται για τη στέγαση χώρων στους οποίους απαιτείται είτε εξαερισμός είτε φωτισμός από ανοίγματα στα πλάγια της στέγης. Το πρώτο παράδειγμα αναφέρεται στη μορφή στέγης που έχουν τα κέντρα "Ωκεανίδα" και "Αργώ" στη Βουλιαγμένη τα οποία θεωρήθηκαν πρωτοποριακά για την εποχή τους. Η κάτοψη του κτιρίου είναι ορθογωνική. Στην δεύτερη περίπτωση η κάτοψη του κτιρίου είναι πολυγωνική. Και στις δυο περιπτώσεις η μορφή της στέγης δημιουργείται από την αλληλοτομή πλαγίων επιπέδων. Οι ευθείες τομής των επιπέδων αποτελούν τις ακμές της στέγης. Παρόμοια παραδείγματα φαίνονται στις φωτογραφίες. Παραλλαγή αυτής της μορφής στέγης, αλλά με καμπύλες, αποτελεί το 'Byzantine, του Χίλτον. Οι καμπύλες του όμως δεν υπάγονται σε μαθηματικά μοντέλα αλλά είναι ελεύθερες καμπύλες.

86 52 Βιομηχανικό κτίριο στην Εθνική Οδό με ιδιόμορφη στέγη Πλάγια άποψη του Κτιρίου

87 53 Στέγη σε αναψυκτήριο στην περιοχή της - Ερέτρειας ~ -, """ -~ ~ ~-==- ;;.;... - ~...- Το ' Byzantine. του Χίλτον

88 Άλλη άποψη του 'Byzantine, του Χίλτον 54

89 A'-e Η'~ Ι'' κ,, Ψι.t ~:θ" Βο Α' ι :Ει ιl ι Ό Η' ιι ι Γ' lι Η " " le' Ε' ι Ι ' ' (' Βο.' Αο

90 55 22) ΚΑΜΙΝΑΔΕΣ Δ.Ε.Η.-ΤΕΝΤΑ Τα δυο παραδείγματα που ακολουθούν είναι σχήματα οι επιφάνειες των οποίων είναι ευθειογενείς αλλά μη αναπτύξιμες. Η πρώτη περίπτωση συναντάται συνήθως στις καμπύλες ατμοηλεκτρικών σταθμών της Δ.Ε.Η.. Το σχήμα ονομάζεται υπερβολικό παραβολοειδές και δημιουργείται από ευθείες όπως φαίνεται στο σχέδιο. Η δεύτερη περίπτωση είναι μια στρεβλή επιφάνεια η οποία παρατηρείται σε κελύφη και τέντες.

91 56 Καμινάδα στην περιοχή του Βοτανικού... :..... Τέντα στην περιοχή του Βοτανικού

92 57 Το εμπορικό κέντρο Agora στη λεωφόρο Κηφισίας, η στέγη του οποίου αποτελεί μη αναπτύξιμη επιφάνεια

93 Γ'' Ψ.~ Δ' J \ \ \,,,

94 58 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Α History of Architecture on the Comparatiνe Method Bonister Fletcher Seνenteenth Edition, Reνised by R.A. Cordingley Great Architecture of the world General Editor John Julius Norwich foreword by Sir Nikolaus Peνsner Τεχνικό Σχέδιο - Αριστείδη Δεϊμεζή Πολ. Μηχανικού - Επιμ. Ε.Μ.Π. Σημειώσει Παραστατικής Τεύχος Α, και Β '. Υπό Περικλή Παπαματθαίου. Ανωτέρα Σχολή Υπομηχανικών Αθηνών. Αθήνα 975. Μαθήματα Παραστατικής Γεωμετρίας. Παν. Δ. Λαδόπουλου. Ελληνική Μαθηματική Βιβλιοθήκη. (Εργασίες Σπουδαστών του Πανεπιστημίου της Βουδαπέστης) BUDAPESTI MUSZAKI EGYETEM EPITESZMERNOKI KAR TRAITE ΟΕ GEOMETRIE DESCRIPTIVE C. ROUBAUDI PARIS 96 DIXIEME EDITION Angewandte Perspektiνe in Architektur, Bauplannung, Konstruktion und Formgestaltung B.S. Bondon Bauνerlag Στοιχεία Παραστατικής Γεωμετρίας Τόμος Β, Γεωργίου Λευκαδίτη

95 59 Γενικές ασκήσεις Προβολικής και Παραστατικής Γεωμετρίας μετά λύσεων. Ιωάννου Ταϊγανίδη - Γρηγορίου Φουντα Αθήναι 965 Baugeometrie Band H.Brauner Ι W.Kickinger Bauνerlag Darstellende Geometrie mit Stereo-Bildern R.Schmidt Bauνerlag Το σχέδιον Τόμος Α' Μηχανολογικόν Ευθυμίου Π. Ευθυμίου Μηχανικού - Σχεδιαστού Έκδοσις Πρώτη, Αθήναι 960 Τ

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Σχήµα 1 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ Η κυλινδρική επιφάνεια ή κύλινδρος, προκύπτει από τις διαδοχικές θέσεις µιας ευθείας α, (γενέτειρα) η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - Εξεταστέα ύλη Β εξαμήνου 2011 1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? Τρεις μέθοδοι προβολών

Διαβάστε περισσότερα

2. τα ρωμαϊκά, που το λούκι έχει μετασχηματιστεί σε επίπεδο και έχει ενσωματωθεί στο καπάκι

2. τα ρωμαϊκά, που το λούκι έχει μετασχηματιστεί σε επίπεδο και έχει ενσωματωθεί στο καπάκι Οι αριθμοί αντιμετωπίζονται με τον ίδιο τρόπο, αλλά είναι σημαντικό να μελετήσουμε τον τρόπο που σημειώνονται οι αριθμοί που αποδίδουν στα σχέδια τις διαστάσεις του αντικειμένου. Οι γραμμές διαστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ

Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ & ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΗΣ Σύνταξη κειμένου: Μαρία Ν. Δανιήλ, Αρχιτέκτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών).

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών). ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση σχημάτων και χώρου Γ2.6 Ονομάζουν, περιγράφουν και ταξινομούν τρισδιάστατα σχήματα (κύβο, ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, πυραμίδα, σφαίρα, κύλινδρο, κώνο),

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΠΟΛΥΕ ΡΑ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ 2. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕ Ο α = µήκος β = πλάτος γ = ύψος δ = διαγώνιος = α. β. γ = Ε β. υ Ε ολ = 2. (αβ + αγ + βγ) 3. ΚΥΒΟΣ = α 3 Ε ολ = 6α 2

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 7.1. Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων... 3 7.2. Κατασκευή γωνιών... 8 7.3. Κατασκευή πολυγώνων... 11 7.4.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Η προοπτική εικόνα, είναι, όπως είναι γνωστό, η προβολή ενός χωρικού αντικειμένου, σε ένα επίπεδο, με κέντρο προβολής, το μάτι του παρατηρητή. Η εικόνα αυτή, θεωρούμε ότι αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας,

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας, ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Εισαγωγή Αυτό που στην εφαρμοσμένη γεωμετρία ονομάζουμε συχνά γραμμική προοπτική είναι ένα σύστημα αναπαράστασης του τρισδιάστατου χώρου σε επιφάνεια δύο διαστάσεων. Η μέθοδος αυτή απεικόνισης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία. Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 28/9/2008 12:48 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ.

ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 28/9/2008 12:48 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ. ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους 28/9/2008 12:48 καθ. Τεχνολογίας 28/9/2008 12:57 Προοπτικό σχέδιο με 2 Σημεία Φυγής Σημείο φυγής 1 Σημείο φυγής 2 Γωνία κτιρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ»

ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ» ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ 26 ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ TΡΙΤΗ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ: «ΧΩΡΟΣ ΕΚΘΕΣΗΣ ΚΕΡΑΜΙΚΩΝ ΕΙΔΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 2: Μηχανολογικό Σχέδιο - Σχεδίαση όψεων

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 2: Μηχανολογικό Σχέδιο - Σχεδίαση όψεων Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 2: Μηχανολογικό Σχέδιο - Σχεδίαση όψεων Διάλεξη 2η Παναγής Βοβός Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΧΝΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm.

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο (A = 90 ) και πλευρές = 3 cm, = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Να βρείτε: α) Το εµβαδό Ε Π της παράπλευρης επιφάνειας.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ 19 Σεπτεμβρίου 2013 ΘΕΜΑ: «ΑΓΡΟΤΙΚΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τεχνικό Σχέδιο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τεχνικό Σχέδιο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 4.4: Μεθοδολογία Παράστασης Τομών Επιφανειών Στερεών Σωμάτων (Συμπαγών και μη Συμπαγών) Σταματίνα Γ. Μαλικούτη

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες Σημειώσεις

Πρόχειρες Σημειώσεις Πρόχειρες Σημειώσεις ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΔΟΧΕΙΑ ΠΙΕΣΗΣ Τα λεπτότοιχα δοχεία πίεσης μπορεί να είναι κυλινδρικά, σφαιρικά ή κωνικά και υπόκεινται σε εσωτερική ή εξωτερική πίεση από αέριο ή υγρό. Θα ασχοληθούμε μόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ Ιστορικά Στις αρχές του 16 ου αιώνα ήταν ήδη γνωστές οι αρχές της γραμμικής προοπτικής, περίπου όπως την ξέρουμε σήμερα. Την περίοδο αυτή καλλιτέχνες, γλύπτες και αρχιτέκτονες άρχισαν να πειραματίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τεχνικό Σχέδιο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τεχνικό Σχέδιο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 4.1: Μεθοδολογία Παράστασης Τομών Επιφανειών Στερεών Σωμάτων (Συμπαγών και μη Συμπαγών) Σταματίνα Γ. Μαλικούτη

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Μήκος κύκλου) Το μήκος του κύκλου (Ο, R) συμβολίζεται με L. Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε ότι

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

με τόξο ακτίνας R 43 1.2.14 Σύνδεση ευθείας τ με δύο τόξα ακτίνας R και R 1

με τόξο ακτίνας R 43 1.2.14 Σύνδεση ευθείας τ με δύο τόξα ακτίνας R και R 1 Πρόλογος 19 1 1.1 ΒΑΣΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΑ ΣΧΕΔΙΟΥ 21 1.1.1 Χαρτί σχεδίου 21 1.1.2 Κανονισμοί στο σχέδιο 21 1.1.3 Τοποθέτηση του χαρτιού 23 1.1.4 Αναδίπλωση 23 1.1.5 Υπόμνημα 24 1.1.6 Κλίμακα 25 1.1.7

Διαβάστε περισσότερα

Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα

Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Στη δραστηριότητα αυτή θα εξερευνήσετε ίσως την πλέον κοινή μέθοδο κατασκευής μιας έλλειψης. Προκειμένου να θέσετε το πλαίσιο για την κατασκευή αυτή, πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1 EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1. Από την ίδια γραµµή αφετηρίας(από το ίδιο ύψος) ενός κεκλιµένου επιπέδου αφήστε να κυλήσουν, ταυτόχρονα προς τα κάτω, δύο κυλίνδροι της

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ 26.15 ΣΥΝΘΕΤΟ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΤΣΟΥΛΗΘΡΑΣ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ 26.15 ΣΥΝΘΕΤΟ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΤΣΟΥΛΗΘΡΑΣ ΤΕΧΝΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ 26.15 ΣΥΝΘΕΤΟ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΤΣΟΥΛΗΘΡΑΣ Ενδεικτικές διαστάσεις οργάνου Απαιτήσεις ασφαλείας Πλάτος 6900mm Απαιτούμενος χώρος 10150Χ10500mm Μήκος 8000mm Μέγιστο Ύψος Πτώσης 1550 mm Ύψος

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ LOGO ΓΙΑ ΤΗΝ Γ ΤΑΞΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ LOGO ΓΙΑ ΤΗΝ Γ ΤΑΞΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ LOGO ΓΙΑ ΤΗΝ Γ ΤΑΞΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Γράψτε πρόγραμμα σχεδίασης ενός τετραγώνου πλευράς 100. 2. Γράψτε πρόγραμμα σχεδίασης ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς 100. 3. Γράψτε πρόγραμμα σχεδίασης ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο.

Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο. Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο. Ας μελετήσουμε τι συμβαίνει, όταν ένα υγρό περιέχεται σε ένα ακίνητο δοχείο. Τι δυνάμεις ασκεί στο δοχείο; Τι σχέση έχουν αυτές με το βάρος του υγρού; Εφαρμογή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙ ΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕ ΙΟ

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙ ΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕ ΙΟ ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙ ΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕ ΙΟ ΤΕΤΑΡΤΗ 12 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ: «ΛΑΪΚΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΤΗΣ ΣΑΝΤΟΡΙΝΗΣ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Τέκτων 10. for Windows. Εκπαιδευτική Έκδοση 5.4.0.104. Σύντομο αρχιτεκτονικό παράδειγμα. Αθήνα, Μάιος 2013. Version_1_0_1

Τέκτων 10. for Windows. Εκπαιδευτική Έκδοση 5.4.0.104. Σύντομο αρχιτεκτονικό παράδειγμα. Αθήνα, Μάιος 2013. Version_1_0_1 Τέκτων 10 for Windows Εκπαιδευτική Έκδοση 5.4.0.104 Σύντομο αρχιτεκτονικό παράδειγμα Αθήνα, Μάιος 2013 Version_1_0_1 2 Τέκτων 10 for Windows Εκπαιδευτική Έκδοση Σύντομο αρχιτεκτονικό παράδειγμα Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών Προγραμμάτων Σπουδών. Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών Προγραμμάτων Σπουδών. Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΔΙΩΡΟΦΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ»

ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΔΙΩΡΟΦΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ» ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ 15 ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΔΙΩΡΟΦΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΗΛΟΤΟΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

ΑΛΛΗΛΟΤΟΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΛΛΗΛΟΤΟΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ - ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ ύο επιφάνειες βαθµών µ και ν αντιστοίχως, τέµνονται κατά καµπύλη βαθµού (µ. ν). Η αλληλοτοµία, εποµένως, δύο επιφανειών 2 ου βαθµού,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ. (Μέρος πρώτο)

ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ. (Μέρος πρώτο) ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ - Παράρτημα Καρδίτσας ΤΜΗΜΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΞΥΛΟΥ ΕΠΙΠΛΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ ΙΙ (Μέρος πρώτο) - ΠΛΑΓΙΑ ΠΡΟΒΟΛΗ - ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ - ΑΝΟΧΕΣ - ΣΥΝΑΡΜΟΓΕΣ ΚΟΛΛΑΤΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΠΕΜΠΤΗ 15 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2011

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΠΕΜΠΤΗ 15 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΠΕΜΠΤΗ 15 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ: «ΚΡΗΤΙΚΟ ΣΤΕΝΟΜΕΤΩΠΟ ΚΑΜΑΡΟΣΠΙΤΟ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο.

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο. ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ Η ιστιοπλοΐα ανοιχτής θαλάσσης δεν διαφέρει στα βασικά από την ιστιοπλοΐα τριγώνου η οποία γίνεται με μικρά σκάφη καi σε προκαθορισμένο στίβο. Όταν όμως αφήνουμε την ακτή και ανοιγόμαστε στο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί 1 Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες 1. Ο χάρτης δείχνει

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση,

Διαβάστε περισσότερα

log( x 7) log( x 2) log( x 1)

log( x 7) log( x 2) log( x 1) ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 01-13 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 013 Ημερομηνία: 0/5/013 Ημέρα:Δευτέρα Μάθημα (Μαθηματικά Κατεύθυνσης) Τάξη Β Ώρα:10.30-13.00 Χρόνος:,5 ώρες Οδηγίες:

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (ΙΙ) ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (ΙΙ) ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (ΙΙ) ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Η ιστορία του π 2 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ Σ ένα στερεό ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις. Όταν το στερεό ισορροπεί, δηλαδή ισχύει ότι F 0 και δεν περιστρέφεται τότε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν Στ=0,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ LOGO ΓΙΑ ΤΗΝ Γ ΤΑΞΗ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ LOGO ΓΙΑ ΤΗΝ Γ ΤΑΞΗ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ LOGO ΓΙΑ ΤΗΝ Γ ΤΑΞΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Γράψτε πρόγραμμα σχεδίασης ενός τετραγώνου πλευράς 100. επανάλαβε 4 [μπ 100 δε 90] 2. Γράψτε πρόγραμμα σχεδίασης ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς 100.

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Εκτελώντας το πρόγραμμα παίρνουμε ένα παράθυρο εργασίας Γεωμετρικών εφαρμογών. Τα βασικά κουμπιά και τα μενού έχουν την παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών Προγραμμάτων Σπουδών. Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών Προγραμμάτων Σπουδών. Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΧΝΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Ι ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Γεωμετρικά Στερεά

Κεφάλαιο 6 Γεωμετρικά Στερεά Κεφάλαιο 6 Γεωμετρικά Στερεά Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 6.1 Συστήματα Συντεταγμένων... 3 6.2 Δίεδρες γωνίες... 8 6.3 Τρίεδρες γωνίες... 9 6.4 Πρίσμα... 9 6.5 Κύλινδρος...

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 3: Μηχανολογικό Σχέδιο Τομή, Ημιτομή

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 3: Μηχανολογικό Σχέδιο Τομή, Ημιτομή Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 3: Μηχανολογικό Σχέδιο Τομή, Ημιτομή Διάλεξη 3η Παναγής Βοβός Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΧΝΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΤΟΜΩΝ Τμήμα Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «ΦΟΙΤΗΤΙΚΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ»

ΘΕΜΑ: «ΦΟΙΤΗΤΙΚΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ» ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΤΡΙΤΗ 30 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ: «ΦΟΙΤΗΤΙΚΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΟΣ

ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΟΣ ΣΥΝΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ -.Μ.Κ. 10.98 1 ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΣ Ε1 Μ 2γ Ε2 2β 1. ΡΙΣΜΙ ΡΙΣΜΙ - ΚΤΣΚΕΥΕΣ Η έλλειψη είναι επίπεδη καµπύλη 2 ου βαθµού, είναι δε ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων, των οποίων το άθροισµα

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών Μ7 Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών 1. Σκοπός Τα διαστημόμετρα, τα μικρόμετρα και τα σφαιρόμετρα είναι όργανα που χρησιμοποιούνται για την μέτρηση της διάστασης του μήκους, του

Διαβάστε περισσότερα