Τ.Ε.Ι ΠΕΙΡΑΙΑ (Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τ.Ε.Ι ΠΕΙΡΑΙΑ (Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά)"

Transcript

1 Τ.Ε.Ι ΠΕΙΡΑΙΑ (Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά) ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΟΡΦΕΣ ΤΗΣ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ ΠΟΥ ΕΠΙΛΥΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Υπεύθυνος καθηγητής: Βασίλης Γ εωργιάννης Σπουδάστρια: Δημοπούλου Ελένη Α.Φ.Μ 3709

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΓΑΓΩΓΗ ) ΣΤΕΓΗ ) ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ ) ΠΥΡΓΟΣ ΜΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΗ ΣΚΕΠΗ ) ΑΛΛΗΛΟΤΟΜΙΑΔΥΟ ΣΩΛΗΝΩΝ ) ΑΛΛΗΛΟΤΟΜΙΑ ΤΡΙΩΝ ΣΩΛΗΝΩΝ ) ΓΩΝΙΑ ΣΩΛΗΝΑ ) ΚΑΓΚΕΜ ) ΚΟΡΝΙΖΕΣ ) ΤΡΟΥΛΟΙ Ο) ΔΙΑΚΟΣΜΗΤΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΠΚΑΓΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΟΥ ΤΕΜΝΕΙ ΚΟΛΩΝΑ ) ΚΟΛΩΝΕΣ ΜΕ ΚΙΟΝΟΚΡΑΜΑ ) ΕΞΑΓΩΝΙΚΟ ΚΤΙΡΙΟ ΜΕ ΚΩΝΙΚΗ ΣΚΕΠΗ ) ΣΦΑΙΡΙΚΟΙ ΤΡΟΥΛΟΙ ) ΣΦΑΙΡΙΚΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ) ΙΓΚΛΟΥ ) ΚΙΟΝΟΚΡΑΝΟ ) ΤΡΟΥΛΟΣ ΕΜΕΙΨΟΕΙΔΗΣ ΕΚ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ) ΕΚΚΛΗΣΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΑ ΚΥΔΩΝΙΑΤΗ... :.... ΣΤΟ ΜΑΡΟΥΣΙ ) ΣΤΑΔΙΟ ΕΙΡΗΝΗΣ ΚΑΙ ΦΙΛΙΑΣ ) ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΚΑΛΑ ) ΣΤΕΓΑΣΤΡΑ ) ΚΑΜΙΝΑΔΑ Δ.Ε.Η. ΚΑΙ ΤΕΝΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 58

3 Εισαγωγή Σε μια φωτογραφική εξόρμηση που έγινε στην περιοχή του λεκανοπεδίου ή και λίγο πιο έξω φωτογραφήθηκαν διάφορα παραδείγματα που έχουν κάποια σχέση με την Π.Γ.. Η γενική εντύπωση είναι ότι οι Αρχιτέκτονες και οι Πολιτικοί Μηχανικοί αποφεύγουν τις δύσκολες μορφές τις καμπύλες επιφάνειες και τα στερεά σώματα (κώνους, σφαίρες κ. λ. π). Ο κανόνας είναι το κτίριο να επιλύεται με απλά επίπεδα στην μορφή πρίσματος και να αποφεύγονται γενικά οι αλληλοτομίες (προφανώς από έλλειψη σωστής διδασκαλίας της Π.Γ. στους μηχανικούς). Τα ελάχιστα παραδείγματα που βρέθηκαν αναλύονται σε εξειδικευμένα ή ομαδικά παραδείγματα και ακολουθούν οι φωτογραφίες με σύντομα σχόλια που βρέθηκαν. Επίσης μια επίσκεψη σε αρχαιολογικούς χώρους μας πείθει ότι και οι αρχαίοι πρόγονοί μας προτιμούσαν τις ελεύθερες καμπύλες και όχι μαθηματικά μοντέλα. Απλά παραδείγματα είναι ο Παρθενώνας όπου δεν υπάρχει ευθεία γραμμή αλλά όλο ελεύθερες καμπύλες και οι εξηγήσεις οι οποίες δίδονται από τους ειδικούς είναι ότι αυτά ήταν οπτικές διορθώσεις των αρχαίων Ελλήνων ώστε το τελικό αποτέλεσμα να είναι αισθητικά ωραίο χωρίς να ακολουθεί μαθηματικά πρότυπα. Π.χ. στις Μυκήνες ο θησαυρός του Ατρέα (τάφος του Αγαμέμνονα) ναι μεν έχει κυκλική κάτοψη, στην τομή όμως δεν είναι ούτε σφαίρα, ούτε κώνος, ούτε κάποιο άλλο μαθηματικό μοντέλο. Είναι απλά ένα στερεό εκ περιστροφής σαν το ανάποδο μέρος μιας ληκύθου. Συμπερασματικά μπορούμε να πούμε ότι η αρχιτεκτονική αποφεύγει την παραστατική. γεωμετρία πλην ελαχίστων εξαιρέσεων που υπάρχουν στην εργασία αυτή.

4 2 Τα σχέδια που ακολουθούν προσπαθούν να διαφωτίσουν την εμβαδομέτρηση δύσκολων στερεών π.χ. σφαίρας και ελπίζω να χρησιμεύσουν σαν βοήθημα σ' αυτούς όπου η μοίρα θα τους τάξει να χτίσουν εκκλησίες. Έτσι λοιπόν θα ξέρουν πόσα κεραμίδια θα παραγγείλουν για την στέγαση του τρούλου χωρίς να εμπιστεύονται στην εμπειρία του μάστρο-θόδωρα και του μάστρο Μηνά. Σαν επίλογο θέλω να γράψω ότι η πτυχιακή δεν αναλώθηκε στην εξήγηση της μαθηματικής επίλυσης των σχεδίων διότι δεν κάνω μάθημα παραστατικής γεωμετρίας, απλά προϋποθέτει ότι ο αναγνώστης γνωρίζει παραστατική γεωμετρία από κάποιο βιβλίο και καταλαβαίνει τις επιλύσεις μου όπως τις κατάλαβε ο καθηγητής μου που επέβλεψε την εργασία.

5 3 ) ΣΤΕΓΗ Μια από τις πιο συνηθισμένες μορφές της Αρχιτεκτονικής που επιλύονται με την Παραστατική Γεωμετρία είναι τα διάφορα είδη στεγών. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα έχουμε ένα κτίριο με κάτοψη σχήματος Γ. Η στέγη του είναι τετράρριχτη και η κλίση της προς όλες τις πλευρές είναι 30. Για την επίλυση παίρνουμε το σχήμα Α'ΒΤ'ΔΈΊ' το οποίο αποτελεί το περίγραμμα της πρώτης προβολής της στέγης. Τα σημεία Α,Β,Γ,Δ,Ε και Ζ βρίσκονται πάνω στο επίπεδο Ε άρα έχουν z=o. Θεωρούμε τα επίπεδα α,β,γ,δ,ε και ζ των οποίων τα ίχνη σ a,σ β,σ v,σ δ, σε',σζ'.συμπίπτουν με τις πλευρές Α'ΒΊ Β'Γ, Γ'ΔΊ ΔΈΊ ΕΊΊ ΖΆ' και έχουν κλίση 30, το οποίο φαίνεται σε δεύτερη προβολή για τα επίπεδα α, γ,ε και σε τρίτη προβολή για τα επίπεδα β,δ,ζ. Το ζητούμενο είναι οι ευθείες κατά τις οποίες τέμνονται τα παρακάτω επίπεδα σε πρώτη προβολή οι οποίες και αποτελούν τη χάραξη της στέγης. Είναι φανερό ότι τα σημεία Α,Β,Γ,Δ,Ε και Ζ ανήκουν στις ευθείες κατά τις οποίες τέμνονται τα επίπεδα α και ζ, α και β, β και γ, γ και δ, δ και ε, ε και ζ αντίστοιχα. Αρκεί λοιπόν να βρεθεί από ένα σημείο ακόμα για να οριστούν οι ευθείες κατά τις οποίες τέμνονται τα επίπεδα. Για το λόγο αυτό βρίσκουμε τα ίχνη των επιπέδων β,δ και ζ στο Ε2 έτσι ώστε να βρούμε τα σημεία που τέμνονται τα ίχνη των επιπέδων στο Ε 2 σε δεύτερη προβολή. Τα σημεία αυτά, επειδή βρίσκονται πάνω στο Ε 2, σε πρώτη προβολή θα πέφτουν πάνω στον άξονα ψ 2. Ενώνοντας, λοιπόν τα αντίστοιχα σημεία των τομών των επιπέδων βρίσκουμε τις ευθείες τομής, οι οποίες τέμνονται μεταξύ τους

6 4 στα σημεία Η,Θ,Ι και Κ τα οποία αποτελούν την κορυφή της στέγης. Για να σχεδιάσουμε το ανάπτυγμα της στέγης στρέφουμε τις πλευρές Α'Θ'(=ΒΉ'=ΓΉ') και Ζ'Κ'(=Ε'Κ') κατά 45 και βρrσκουμε το φυσικό τους μέγεθος Α 0 Θ 0 (=8 Η 0 =Γ 0 Η 0 ) και Ζ 0 Κ 0 (Ε 0 Κ 0 ). Οι πλευρές Α 0 8, 8 Γ 0, Γ 0 Δ 0, Δ 0 Ε 0, Ε 0 Ζ 0 και Ζ 0 Α ο λαμβάνονται από την πρώτη προβολή.

7 5 Στέγη κατοικίας έξω από την Χαλκίδα Στέγη κατοικίας με σοφίτα

8

9 6 2)ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ Μια από τις πιο απλές μορφές της Αρχιτεκτονικής που επιλύεται με την Παραστατική Γεωμετρrα είναι η πυραμίδα, η οποία συναντάτε εκτός από τις γνωστές πυραμrδες της Αιγύπτου και ως στέγη ή άλλο αρχιτεκτονικό στοιχεrο. Εδώ επιλύονται τέσσερα εfδη πυραμfδας:. Πυραμfδες τετραγωνικής βάσης, όπου η κορυφή κ συμπίπτει σε πρώτη προβολή με το κέντρο βάρους του τετραγώνου.. Πυραμίδα ορθογωνικής βάσης, όπου η κορυφή κ συμπrπτει σε πρώτη προβολή με το κέντρο βάρους του ορθογωνfου..πυραμfδα τετραγωνικής βάσης, όπου η κορυφή κ δεν συμπίπτει σε πρώτη προβολή με το κέντρο βάρους του τετραγώνου, αλλά είναι μετατοπισμένη πάνω σε άξονα που περνάει από το κέντρο βάρους του τετραγώνου και εfναι παράλληλος στις πλευρές Α'Δ' και Β'Γ'. ΙV.Πυραμfδα ορθογωνικής βάσης, όπου η κορυφή κ είναι μετατοπισμένη κατά τυχαίο τρόπο ως προς το κέντρο βάρους του ορθογωνrου. Για να βρεθούν τα πραγματικά μεγέθη των ακμών της κάθε πυραμrδας στρέφονται έτσι ώστε να γrνουν παράλληλες με τα Ψ2 και προβάλλονται στο Ε2 οπότε παίρνουμε και το πραγματικό τους μέγεθος. Στις φωτογραφrες φαrνεται παράδειγμα πυραμίδας όπου η κορυφή δεν ταυτίζεται με το κέντρο βάρους της βάσης σε πρώτη προβολή (λοξή πυραμίδα). Το κτrριο βρίσκεται στην λεωφόρο Κηφισίας.

10 7 Λοξή Πυραμίδα σε κτf ριο επί της Λεωφόρου Κηφισίας Λοξή Πυραμίδα σε κτίριο επί της Λεωφόρου Κηφισίας

11 κ~κ 0 Κ'~Κ 0 Α~Β'' Ρϊ ~ Β'' Γ'~ΔΊ Α Α 0 ~: ιγ'" Ψ.~ 8 Γ' Β' \ Ι \ \ Ι Ι Γ Β \ Ι

12 8 3) Πύργος με κεκλιμένη σκεπή Το κτrριο των φωτογραφιών βρrσκεται στην λεωφόρο Κηφισrας. Στην πρόσοψη του κτιρrου βλέπουμε ένα κατακόρυφο πρισματικό στοιχεrο το οποrο κόβεται λοξά από επίπεδο. Η επίλυση αυτής της αρχιτεκτονικής μορφής έγινε με δυο τρόπους: α) Θεωρώντας ότι το στοιχείο εrναι πολυγωνικό (εξαγωνικό) πρίσμα και β) Θεωρώντας ότι το στοιχείο είναι κύλινδρος. Και στις δυο περιπτώσεις το επfπεδο έχει κλrση 30, όπως φαrνεται από το ίχνος του στο επrπεδο Ε 2, ενώ το rχνος στο Ε εfναι κάθετο στον ψ2. Στην περfπτωση του κυλfνδρου διαιρούμε την βάση του κυλίνδρου σε 2 ίσα τόξα. Σε τρrτη προβολή (προβολή στο επrπεδο Ε3 που εfναι κάθετο στα επίπεδα Ε και Ε2) παρουσιάζεται η εικόνα της πρόσοψης του κτιρfου, ενώ σε δεύτερη προβολή η εικόνα της πλάγιας όψης του κτιρίου. Για το ανάπτυγμα της παράπλευρης επιφάνειας παrρνουμε σε μια ευθεία τις πλευρές της βάσης του εξαγώνου από την κάτοψη ή την περιφέρεια της κυκλικής βάσης διαιρεμένη σε 2 τμήματα για την περfπτωση του κυλfνδρου και τραβάμε κάθετη ευθεία σε κάθε σημεrο, πάνω στην οποrα θα πάρουμε το αντίστοιχο ύψος από την δεύτερη ή τρfτη προβολή. Για να βρούμε το πραγματικό μέγεθος της τομής του επιπέδου με το πρίσμα ή τον κύλινδρο, δηλαδή της στέγης, κατάκλιση της τομής. Στην περfπτωση του πρrσματος θα εfναι ένα μη κανονικό εξάγωνο, ενώ στην περrπτωση του κυλrνδροu θα εfναι ελλειπτικού σχήματος.

13

14 Πλάγια άποψη του ιδίου κτιρίου 0

15 ~, l Τ z: ---i Δ'~ \ \ \ \ \ \ \ ' \!i' \ ''\ \ \ '\. -.r'ιι,: Ζ''.. '(i' L Σ.2 Α' Ι z''. ι Ε' -, ιδ, _J +_ , Β' Γ' Δ' 8''- Γf ι Ι

16 - Η~ Η~ θ 0 "!\ Β"

17 4) Αλληλοτομία δυο σωλήνων Το παράδειγμα που ακολουθεί βρίσκει εφαρμογή εκτός από την κατασκευή σωλήνων όπως η καμινάδα της φωτογραφίας, και στην κατασκευή άλλων αρχιτεκτονικών στοιχείων όπως η γωνία του κτιρίου της φωτογραφίας η οποία είναι τμήμα κυλίνδρου που τέμνεται από το αρχιτεκτονικό στοιχείο που βρίσκεται πάνω από το παράθυρο που είναι τμήμα κυλίνδρου, καθώς και στην κατασκευή τούνελ. Πρόκειται δηλαδή για αλληλοτομία 2 κυλίνδρων. Επιλύονται 4 περιπτώσεις:. Δυο κύλινδροι ίσης διατομής που τέμνονται κάθετα.. Δυο κύλινδροι άνισης διατομής που τέμνονται κάθετα.. Δυο κύλινδροι ίσης διατομής που τέμνονται υπό γωνία 45. IV. Δυο κύλινδροι άνισης διατομής που τέμνονται υπό γωνία 45. Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις οι κεντρικοί άξονες των δύο κυλίνδρων τέμνονται. Για την επίλυση προβάλλουμε τους δυο κυλίνδρους σε πρώτη, δεύτερη και Τρίτη προβολή. Διαιρούμε τον επάνω κύλινδρο σε 8 ίσα μέρη. Τα σημεία τομής φαίνονται αρχικά σε τρίτη προβολή και προσδιορίζουμε σε δεύτερη και πρώτη προβολή με τη βοήθεια της τρίτης προβολής και των γενέτειρων. Για το ανάπτυγμα του επάνω κυλίνδρου παίρνουμε σε μια ευθεία την περιφέρεια του κυλίνδρου διαιρεμένη σε 2 ίσα τμήματα και χαράζουμε κάθετη σε κάθε σημείο όπου παίρνουμε τα μήκη που μετράμε σε κάθε γενέτειρα στην δεύτερη προβολή. Για το ανάπτυγμα του κάτω κυλίνδρου παίρνουμε σε μια ευθεία την περιφέρεια του κυλίνδρου και τοποθετούμε κεντρικά

18 2 τα μήκη των τόξων που σχηματίζονται σε τρίτη προβολή από τα σημεία τομής. Χαράζουμε κάθετες ευθείες στις άκρες και στα σημεία που ορίζονται από τα μήκη των τόξων, οι οποίες σταματάνε στην ευθεία που ορίζει το μήκος του κυλίνδρου. Για να οριστούν τα σημεία τομής μετράμε τις αντίστοιχες αποστάσεις στην πρώτη ή δεύτερη προβολή και τις μεταφέρουμε πάνω στις ευθείες.

19 3 Κτίριο επί της οδού Σταδίου Κτίριο επί της οδού Σταδίου

20 4 Κτίριο επί της οδού Σταδίου ι ~ J ι!.., ~. " ~ ) ;:,~ } ~\...: ;.! '. ;. ' '... ~,,. ι." Καμινάδα σε μονοκατοικία στη Ν. Σμύρνη

21 5 't t λ ~~~~ ~ Όπως και πριν

22 {i_!\, Α Λ Ι ι Ι ι Ι. -,...,.., ,...,.., _ _...,,. Ι ι Τ

23 ι Γ'~ Ε"ι Ιfι': Η'' f'~ Μ ι e - Λ'' ι ι ι ι Ι Ι ;Ι lj!; _,,..,, ι ι l;ι --::: - ~ - ~ ~ ;;--_: ---L _-

24 Α

25 ιtι Ε ll_l_ - ~ ~ ΗIΙ - 4'' ι ι ' ι ι ~~ΙΗ" ι,,. Γ~--ι+--ι--r-τ-~----r---..ι-.+---L ~ - ~7ln'~-+t~~~~~- ' ι Ι ι Ι Ι J Ι;ι Ι Ι

26 6 5)Αλληλοτομία τριών σωλήνων Σ' αυτήν την περίπτωση έχουμε τρεις κυλίνδρους ίσης διατομής που τέμνονται κεντρικά σε σχήμα Υ. Για την επίλυση χωρίζουμε τον κάθε κύλινδρο σε 2 γενέτειρες. Επειδή οι κύλινδροι είναι ίσης διατομής και τέμνονται κεντρικά οι αντίστοιχες γενέτειρες των κυλίνδρων τέμνονται και το σύνολο των σημείων τομής των αντίστοιχων γενέτειρων μας δίνει την τομή τριών κυλίνδρων. Τα αναπτύγματα δημιουργούνται όπως και για τον επάνω κύλινδρο των προηγούμενων παραδειγμάτων

27 r ι ~

28 ι7 6) Γωνία σωλήνα Η κατασκευή γωνίας σωλήνα κυκλικής διατομής γίνεται όταν ένας αεραγωγός στρίβει και δεν θέλουμε να σφυρfζει, ο αέρας του κλιματιστικού. Η γωνία αυτή, αν η γωνία που σχηματίζουν οι δυο σωλήνες είναι 90 και οι διατομές τους είναι ίσες, θα είναι ένα τέταρτο μιας σπείρας που δημιουργείται από την περιστροφή της διατομής των σωλήνων ως προς τον κατακόρυφο άξονα που περνάει από το σημείο κ. Σε πρώτη προβολή θα είναι δυο ομόκεντρα (με κέντρο το κ) τεταρτοκύκλια. Για την επίλυση χωρίζουμε τα τεταρτοκύκλια σε τόσα ίσα τμήματα έτσι ώστε τα τόξα να είναι κατά προσέγγιση ίσα με τις χορδές. Έτσι δημιουργούνται τμήματα κυλίνδρων την διατομή των οποίων χωρίζουμε σε 2 γενέτειρες. Το ανάπτυγμα του κάθε τμήματος γίνεται όπως και πριν.

29 ( 7,., Ψ,~ ο t!i,- ι -... ι. ο 2: 30~...c: ο ~..ι 2~ ~

30 8 7) Κάγκελα Το παράδειγμα της φωτογραφίας βρίσκεται στο Αιγάλεω και αποτελεί αλληλοτομία κυλίνδρων. Σ' αυτή την περίπτωση όμως οι κύλινδροι δεν τέμνονται κεντρικά, αλλά οι μικρότεροι οριζόντιοι κύλινδροι (κάγκελα) τέμνουν τον μεγάλο κύλινδρο (κατασκευή από σκυρόδερμα) σε μη συμμετρικά σημεία.

31 9 ' ::. _,.:... Κάγκελα σε μονοκατοικία στο Αιγάλεω

32 - -. 5'' 3' ί

33 20 8) Κορνίζες Στις φωτογραφίες βλέπουμε το σταθμό Πελοποννήσου και ένα μπαλκόνι στον Πειραιά. Τόσο οι στέγες του σταθμού όσο και το μπαλκόνι αποτελούν αλληλοτομία τεταρτοκυλίνδρων. Το ίδιο σχήμα συναντάμε και στις γωνίες που κάνουν οι κορνίζες, όταν αυτές έχουν κυκλική διατομή. Παρακάτω επιλύονται 2 περιπτώσεις αλληλοτομία τεταρτοκυλίνδρων.. όταν οι τεταρτοκύλινδροι τέμνονται υπό ορθή γωνία (γωνία ορθογωνικής κορνίζας).. όταν 2 κάθετοι μεταξύ τους τεταρτοκύλινδροι τέμνουν τρίτο τεταρτοκύλινδρο υπό γωνία (γωνία εξαγωνικής κορνίζας).

34

35 Σταθμός Πελοποννήσου Γ Μπαλκόνι σε μονοκατοικία στον Πειραιά σε σχήμα - τετατροκυλινδρικής κορνίζας.

36 Α~3ϊ 4 4\4~ ~ Α' ι""-J: ~2::~-- ' \ Ι \ 3;ε -~ - ι::_ - ι, '4" ι.,e - --ι-- ι '~ 4 4,, Γ - f;ι\ ~~~~~ ,----..J...~~ ~----'k ι ι-3-: ι '2' L - - Τ ~ 0 Λ, 20 Λ. οξ 20 e ~ 2: 3; 4; 3:v-----~~_. ~~~~ 4: d 4:

37 22 9)Τρούλοι Η περίπτωση αυτή αναφέρεται επfσης στην αλληλοτομία κυλίνδρων που βρίσκει εφαρμογή στους τρούλους των εκκλησιών που φαίνονται στις φωτογραφίες, στον τρούλο του Δημαρχείου της Χαλκίδας, καθώς και στην περίπτωση των ορόφων που σχηματίζονται όταν υπάρχουν καμάρες, όπως φαίνεται στην φωτογραφία ή στο εσωτερικό των εκκλησιών. Παρακάτω επιλύονται 3 περιπτώσεις. όταν ο τρούλος βρίσκεται σε τετραγωνική βάση. όταν ο τρούλος βρίσκεται σε εξαγωνική βάση. όταν ο τρούλος βρίσκεται σε ορθογωνική βάση, οπότε και οι κύλινδροι είναι διαφορετικής ακτίνας. Η περίπτωση της οκταγωνικής βάσης είναι και η πιο συνηθισμένη δεν έχει επιλυθεί γιατί αποτελεί τον κανόνα στις βυζαντινές εκκλησίες που στις σύγχρονες εκκλησίες στη βυζαντινή τεχνοτροπία, επειδή είναι "χιλιοειπωμένο" και από αρχαιοτάτων χρόνων γίνεται με "κλέψιμο" και χωρίς μαθηματικούς υπολογισμούς.

38 23 Εξαγωνικός τρούλος στην εκκλησία του Αγίου Σώστη στη λεωφόρο Συγγρού Εκκλησία με τρούλο οκταγωνικής βάσης

39 24 Τεταρτοθόλιο σε κτίριο της οδού Πανεπιστημίου Όπως κα ι πριν

40 25 Το Δημαρχείο της Χαλκίδας. Οι τρούλοι είναι αλληλοτομία δυο κυλίνδρων

41 ~ 4; - 4: -6 ρ.,, 2i t Ι ~ ~' ; Ψ,2, ' '' ::-!2 3' 4' 3 2 :' τ- = 'r Ί A,f> Ι ~ :~~-----ι.ι Ί;r

42 Ί i' Ι Ι -v----ι : 0,,, ι ι ; ; ιι ~ ι ι ι ι ι ι; _, Ι Ι; _ _.., Q-t---.c:: -- ~ ' --- ; ~ --~ _ ~ ,,.,.

43 26 Ο)Διακοσμητικό στοιχείο πλάγιου επιπέδου που τέμνει κολώνα Το συγκεκριμένο παράδειγμα βρίσκεται σε εστιατόριο στην Εθνική Οδό (προς Χαλκίδα). Αποτελεί τομή κυλίνδρου (κολώνα) από επίπεδο. Η διαφορά του από προηγούμενο παράδειγμα είναι ότι εδώ ζητείται και το επίπεδο τα ίχνη του οποίου βρίσκονται στο επίπεδο Ε (έδαφος) και στο επίπεδο Ε 2 (τοίχος). Τα ίχνη του επιπέδου σ και σ2.. δεν είναι ούτε κάθετα ούτε παράλληλα στον άξονα ψ2. Η επίλυση γίνεται με τις πρώτες ιχνοπαραλλήλους ια,ιs,ιr,ιδ,ι Ε,ι z,ιη,ι0. Το ανάπτυγμα της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου γίνεται όπως και προηγουμένως, ενώ για να βρεθεί το πραγματικό μέγεθος του επιπέδου κάνουμε κατάκλιση της τεμνόμενης επιφάνειας καθώς και του ίχνους σ 2.

44 27 Εστιατόριο στην Εθνική Οδό

45 0'' J.,.,, ~~ ---- ~"" ~~ --- ~ ~ " \ ""- \ LI ""' "'- ""' \ ιβ \ \ \ ι" """ '\ \ tl\... ϊ' ~Γ L'' t,ι.. "" L'' ιe " ~ \ \ "'- \ \ \ L''e "' \ \ \ \ \ ι:η \ L" \ Ι::Ζ \ Σ \ \ '\ \ \ \ \ \ \ Ι ι Ι ; Ψι"> Α: Α: Ro g; :_ ι,e ~ο ι; - --,,..,,.. ο.2q\ _,," Ι; Δ: "" z: Ε:

46 28 ) Κολώνες με κιονόκρανα Στην εκκλησία της φωτογραφίας, που βρίσκεται στους Αμπελοκήπους, παρατηρούμε κολώνες με κυκλική διατομή που έχουν κιονόκρανα σε σχήμα πυραμίδας. Επιλύονται δυο παραλλαγές.. Αλληλοτομία πυραμίδας και κυλίνδρου. Αλληλοτομία πυραμίδας και κώνου Η πυραμίδα είναι κανονική και στις δύο περιπτώσεις, ενώ ο κύλινδρος και ο κώνος διαιρούνται σε 8 γενέτειρες. Τα σημεία τομής βρίσκονται σε δεύτερη προβολή στις πλευρές της πυραμίδας που είναι κάθετες σε πρώτη προβολή στον ψ 2 και μεταφέρονται στις άλλες πλευρές όπου λόγω συμμετρίας του σχήματος είναι ίδιες καθώς και σε πρώτη προβολή.

47 29 Τμήμα εκκλησίας στη λεωφόρο Κηφισίας (Κολώνα με κιονόκρανα)

48 \ Ι.. )' ' '.., t< ', '. \ \ \ \ - Α~ Κ'' ι ι Ψ.:ι Α~ Ι Θ; Γτ 0 Er 0

49 ιγ Jlll -~~- - ' \ \ \ \ \ Ι ι Ψ,~ ι Γ-0 \ \ \ \ \ \. \

50 30 2) Εξαγωνικό κτίριο με κωνική σκεπή Το παράδειγμα αυτό είναι ένα εξαγωνικό κτίριο με κωνική σκεπή. Είναι, δηλαδή, αλληλοτομία εξαγωνικού πρίσματος με κώνο. Η κορυφή του κώνου συμπίπτει σε πρώτη προβολή με το κέντρο βάρους του εξαγώνου. Διαιρούμε τον κώνο σε 24 ίσα τμήματα οπότε έχουμε 24 γενέτειρες οι οποίες τέμνουν σε πρώτη προβολή τις πλευρές του εξαγώνου και μας δίνουν το σημείο τομής, τα οποία ορίζονται σε δεύτερη προβολή από κατακόρυφες διακεκομμένες ευθείες από την πρώτη προβολή και τις αντίστοιχες γενέτειρες σε δεύτερη προβολή.

51 Γο. Ψ.~ Γ 7' gc>

52 3 3) Σφαιρικοί τρούλοι Μια άλλη συνηθισμένη μορφή της αρχιτεκτονικής, η οποία συναντάται κυρίως σε εκκλησίες, είναι οι σφαιρικοί τρούλοι, οι οποίοι μπορεί να είναι είτε ημισφαίρια, είτε μικρότερα τμήματα σφαίρας. Εδώ επιλύουμε την περίπτωση του ημισφαιρίου με δυο διαφορετικούς τρόπους. Και στις δυο περιπτώσεις σε πρώτη προβολή έχουμε κύκλο ενώ σε δεύτερη προβολή ημικύκλιο. Ο πρώτος τρόπος επίλυσης είναι η σφαίρα να αναλυθεί προσεγγιστικά σε τμήματα κυλίνδρων. Ο δεύτερος τρόπος επίλυσης είναι η σφαίρα να αναλυθεί σε τμήματα κώνων. Οι σφαίρες των παρακάτω περιπτώσεων επιλύονται με τον πρώτο τρόπο. Το ανάπτυγμα χρησιμεύει σε εμβαδομέτρηση του ημισφαιρίου ώστε να ξέρουμε με πόσα κεραμίδια ή χαλκό ή μπρούντζο θα καλύψουμε την στέγη.

53 32 Σφαιρικός τρόπος σε εκκλησία στον Πειραιά t _ Ο Τρούλος του Αγίου Παντελεήμονα

54 33 Το Μουσικό θέατρο στη λεωφόρο Συγγρού με σφαιρικό στοιχείο Όπως και πριν

55 34 Όπως και πριν

56 -. Ιι ι ι, s'j ι ιι ι ι s'i Ί ;-_ ι::: _ 3 :-: _ Ξ - - Ο"

57 Ι \ Ι \ Ι \ Ι Ι \ Ι \ Ι \ Ι \ Ι \ \ Ι \ Ι \ Ι \ Ι \

58 35 4) Σφαιρικά τρίγωνα Τα σφαιρικά τρίγωνα είναι αρχιτεκτονικές μορφές που βλέπουμε στο εσωτερικό των εκκλησιών. Πάνω σ' αυτά στηρίζεται ο τρούλος. Είναι αλληλοτομία της μεγάλης σφαίρας με τετραγωνικό πρίσμα. Σημειώνεται ότι η σφαίρα από την οποία αποσπάσθηκαν τα 4 σφαιρικά τρίγωνα είναι μια μεγαλύτερη σφαίρα και όχι το ημισφαίριο του θόλου το οποίο θα καθίσει πάνω σε αυτά. Επίσης επιλύεται και η περίπτωση που η σφαίρα τέμνεται από ορθογωνικό πρίσμα.

59 5"' 6(' 6 Γ Γ''' \ \ \ \ \ \ \ \ \ '\ \ \ \ \ "' \ \. '--.. \ \ \ \ ""' "' \ \ '\ "-.. \ "' "" ""' ""' r - ι- ι, -, Γ'' ~l"'----j_ Γ,, Γ" ι Γ ~'~---~~-Q:::-~~~~~~

60 36 5) Ιγκλού. Το ιγκλού είναι μια αρχιτεκτονική μορφή που μπορεί να αναλυθεί ως αλληλοτομία ημισφαιρίου με πρίσμα και ημικύλινδρο. Αποτελεί μια μορφή κατοικίας διαδεδομένης στους Εσκιμώους. Η κατασκευή της γίνεται με κομμάτια πάγου τα οποία τοποθετήθηκαν το ένα πάνω στο άλλο, αφού πριονιστούν, λόγω των κλιματικών συνθηκών συγκολλούνται σχηματίζοντας έτσι ένα προστατευτικό κέλυφος. Ο διάδρομος που υπάρχει στην είσοδο του Ιγκλού χρησιμεύει στο να προστατευτεί το εσωτερικό της κατοικίας από τον κρύο αέρα και τα μεyάλα άγρια ζώα (π.χ. αρκούδες). Η επίλυση γίνεται όπως και προηγουμένως.

61 Ε;" - Ζ,~ ±f_-_ - = ~----=---=- =- -_ -:--&=:::::::;::==''====f===========~---~-""j>~:, Η" η υ. \;, ) r; "' a ι- ι- - ι- ι ι ι ι ι A==i~ :. ~r('r~~ Δ' ~ θ'' -L-Jι.L-!-...ι...L--!---Γ F=--::N :r'' h Γ''::,,, l-τ-~------=' ' 5~'' -;- -..L ---+ι---tf't;~ Β' Ξ Λ Ι Ι 6",, ικ, _ι ι _ -L..=-i...,. ι ι Ι ι Ι ι Ι Ι ι Α~ =Κ'Ι Α":: Μ~ ι ' ' ι ' Ι ΙΜ~ θ' - - -' Ζ' :ι'ξ\ξμ Ε -- Δ Α' ΞΒ'Ξ Γ Ψ.2 j 40 5r r:o ' 60 Αο Εο τ Ε; " Αο"' z: 0 Μτ τ Αο Βο Γο Δο Εο zo -Jo θο ο Λο Μ..

62 37 6) Κιονόκρανα Τα κιονόκρανα της φωτογραφίας αποτελούν αλληλογραφία πυραμίδας και σφαίρας η οποία εφάπτεται στις ακμές τις πυραμίδας. Για την επίλυση γίνεται προβολή της πυραμίδας και της σφαίρας σε επίπεδο που είναι κάθετο στο Ε2 ενώ το ίχνος του στο Ε σχηματίζει γωνία 45 με τον άξονα Ψ2. Από την τρίτη αυτή προβολή βρίσκουμε τα σημεία τομής τα οποία και μεταφέρουμε σε πρώτη και δεύτερη προβολή. Το ανάπτυγμα της σφαίρας και της πυραμίδας γίνεται όπως και προηγουμένως. Παρατηρούμε ότι τα σημεία τομής στο ανάπτυγμα της πυραμίδας σχηματίζουν κύκλους.

63 38 Κιονόκρανα με "στρογγυλεμένες " γωνίες

64 : ΠΜ.,, ~~ww_! ~ ΠJ''LL'!_Lffil!fiffir.--τ, \., Β Δ' J Ι Ι Ι Ι Ι ι ; ι Ι Ι Ι; Ι

65 39 7) Τρούλος ελλειψοειδής εκ περιστροφής Εκτός από τους σφαιρικούς τρούλους υπάρχουν και τρούλοι το σχήμα των οποίων δημιουργείται από περιστροφή άλλων καμπυλών γύρω από κατακόρυφο άξονα. Ο τρούλος της φωτογραφίας μπορεί να θεωρηθεί ως μισό ελλειψοειδές εκ περιστροφής. Για την επίλυση αυτής της μορφής θεωρούμε κώνο ο οποrος τέμνεται από επίπεδο και η τομή είναι έλλειψη. Γίνεται κατάκλιση της έλλειψης. Περιστρέφουμε την ημιέλλειψη γύρω από κατακόρυφο άξονα και παίρνουμε την πρώτη προβολή του τρούλου που είναι κύκλος και την δεύτερη προβολή που είναι ημιέλλειψη. Το ανάπτυγμα βγαίνει με τρόπο ανάλογο με αυτό της σφαίρας.

66 40 ---,,. \..,.,, f ~ -,. r Τ --~ - ι -- ' - Τρούλος σε κτίριο της οδού Σταδίου Χαρακτηριστικό δείγμα κώνων: οι ομπρέλες

67 4 _, Εμπορικό Κέντρο στον Πειραιά που εμφανίζει κωνική τομή

68 Ι _- --~- --~ ~!i~ Σ~" Ψ.~~Ψ(3 ' ~ Ι ΙΒΙ b' Σrr τ---- Λ' Σ ~~-----

69 42 8) Εκκλησία του Αρχιτέκτονα Κυδωνιάτη στο Μαρούσι Η εκκλησία της φωτογραφίας βρίσκεται στο Μαρούσι και μπορεί να θεωρηθεί ως παραβολοειδές εκ περιστροφής το οποίο τέμνεται από κατακόρυφα επίπεδα. Για την επίλυση θεωρούμε κώνο που τέμνεται από επίπεδο και η τομή είναι παραβολή. Η παραβολή περιστρέφεται και τέμνεται από 4 κατακόρυφα επίπεδα. Το ανάπτυγμα βγαίνει όπως και πριν.

70 43 Η εκκλησία του αρχιτέκτονα Κυδωνιάτη στο Μαρούσι Όπως και πριν

71 44 Άλλη εκκλησίας άποψη της Λεπτομέρεια παραβολοειδούς σχήματος

72 45 Το πίσω μέρος της εκκλησίας lt

73 ~ ~ ~ ~- - ~~ - Ιιι ~-- Γr -- ~ rι ~ ~ -Δ~ ~. ""' \ \ ~ \ \ \ ~ ιιι - -- \ - -- \ -\-.... Α" Ι Ι ι Ι Ν lli Ιj ' ο

74 Α: Ε; Ι : Σ'' ι;' ~~ " : ι ι, ι ι ι ι. Α:

75 46 9) Στάδιο Ειρήνης και Φιλίας Η αρχιτεκτονική μορφή του Σταδίου Ειρήνης και Φιλίας, το οποίο φαίνεται στην φωτογραφία που ακολουθεί, μπορεί να αναλυθεί αν θεωρηθεί ως αλληλοτομία ενός κώνου με δύο ομόκεντρους κυλίνδρους. Η επίλυση γίνεται αν θεωρήσουμε οριζόντια επίπεδα το καθένα από τα οποία τέμνει τον κύλινδρο κατά δυο γενέτειρες και τον κώνο κατά έναν κύκλο, οπότε με τη βοήθεια τρίτης προβολής βρίσκουμε τα σημεία τομής. Γίνεται το ανάπτυγμα του κώνου στο οποίο από τους δυο μεταφέρονται κυλίνδρους τα σημεία στα οποία τέμνεται οπότε και εμφανίζεται η μετασχηματισμένη καμπύλη της αλληλοτομίας, η μορφή της οποίας είναι κυματοειδής. Επίσης γίνεται το ανάπτυγμα του μικρότερου κυλίνδρου και μεταφέρονται σ' αυτό τα σημεία τομής, οπότε σχηματίζεται το ανάπτυγμα της στέγης του σταδίου. Η επαλήθευση της επίλυσης έγινε με κατασκευή μακέτας.

76 47 Στάδιο Ειρήνης και Φιλίας

77 'Ί:: Ν Λ (( 7- r ι - " " Γ;Ι= Ηί f7" f Ι ~ ~.-- Α" Ξ Ε Ι Η'

78 ~--.ό-~--α ctξ2~, lj ι Ι Ι ι f ι ι ι,, Ι Ι -5-- Ιι - Ι Ι _ ~

79 ι Ν~ Η~

80 48 20) Κυκλική Σκάλα Η κυκλική σκάλα είναι μια αρχιτεκτονική μορφή που συναντάμε πολύ συχνά. Το υλικό κατασκευής της μπορεί να είναι πέτρα, μέταλλο, ξύλο ή μπετόν. Παράδειγμα λίθινης πλήρως κυκλικής σκάλας υπήρχε στο ανάκτορο της Δούκισσας της Πλακεντίας. Τα σκαλοπάτια εfχαν σφηνοειδή μορφή και ήταν σφηνωμένα σε χτιστό πέτρινο πηγάδι, ενώ παράλληλα πατούσαν το ένα πάνω στο άλλο. Στην μεταλλική σκάλα, το χτιστό πηγάδι αντικαθίσταται από ελικοειδή βαθμιδοφόρο από λαμαρίνα στο οποίο οξυγονοκολλούνται τα σκαλοπάτια. Ο ουρανός της σκάλας μας δείχνει το κάτω μέρος των σκαλοπατιών (σαν ανάποδη σκάλα). Η ξύλινη σκάλα μπορεί να έχει είτε στήριξη σε χτιστό πηγάδι, είτε σε ξύλινο βαθμιδοφόρο. Η μπετονένια σκάλα έχει υποχρεωτικά κάποιο πάχος, το πάχος της οπλισμένης ελικοειδούς πλάκας από σκυρόδεμα, κάτω από τα μπετονένια (άοπλα) σκαλοπάτια. Ο ουρανός της σκάλας είναι μιας ευθειογενής επιφάνεια που ονομάζεται "έλικα του Αρχιμήδη,,. Η μορφή αυτή φαίνεται και στην φωτογραφία της κυκλικής μπετονένιας σκάλας που βρίσκεται σε κτίριο της λεωφόρου Μεσογείων. Παρουσιάζονται επίσης και πολυάριθμες παραλλαγές της κυκλικής σκάλας όπως ο συνδυασμός της με ευθύγραμμα σκαλοπάτια, και η σφηνοειδή σκάλα. Η επίλυση της είναι απλή αφού από την γνωστή πρώτη προβολή (κάτοψη) βγαίνει η δεύτερη προβολή, προβάλλοντας τα σημεία της κάτοψης στα αντίστοιχα ύψη.

81 49 Γίνονται, επίσης, και τα αναπτύγματα της σκάλας, εξωτερικό και εσωτερικό, τα οποία μας δίνουν τον εξωτερικό και εσωτερικό βαθμιδοφόρο.

82 50 Σκάλα από οπλισμένο σκυρόδερμο σε κτίριο επί της λεωφόρου Μεσογείων

83 ' ' ' b ιι --~ - J

84

85 5 2) Στέγαστρα Οι μορφές στεγών που ακολουθούν χρησιμοποιούνται για τη στέγαση χώρων στους οποίους απαιτείται είτε εξαερισμός είτε φωτισμός από ανοίγματα στα πλάγια της στέγης. Το πρώτο παράδειγμα αναφέρεται στη μορφή στέγης που έχουν τα κέντρα "Ωκεανίδα" και "Αργώ" στη Βουλιαγμένη τα οποία θεωρήθηκαν πρωτοποριακά για την εποχή τους. Η κάτοψη του κτιρίου είναι ορθογωνική. Στην δεύτερη περίπτωση η κάτοψη του κτιρίου είναι πολυγωνική. Και στις δυο περιπτώσεις η μορφή της στέγης δημιουργείται από την αλληλοτομή πλαγίων επιπέδων. Οι ευθείες τομής των επιπέδων αποτελούν τις ακμές της στέγης. Παρόμοια παραδείγματα φαίνονται στις φωτογραφίες. Παραλλαγή αυτής της μορφής στέγης, αλλά με καμπύλες, αποτελεί το 'Byzantine, του Χίλτον. Οι καμπύλες του όμως δεν υπάγονται σε μαθηματικά μοντέλα αλλά είναι ελεύθερες καμπύλες.

86 52 Βιομηχανικό κτίριο στην Εθνική Οδό με ιδιόμορφη στέγη Πλάγια άποψη του Κτιρίου

87 53 Στέγη σε αναψυκτήριο στην περιοχή της - Ερέτρειας ~ -, """ -~ ~ ~-==- ;;.;... - ~...- Το ' Byzantine. του Χίλτον

88 Άλλη άποψη του 'Byzantine, του Χίλτον 54

89 A'-e Η'~ Ι'' κ,, Ψι.t ~:θ" Βο Α' ι :Ει ιl ι Ό Η' ιι ι Γ' lι Η " " le' Ε' ι Ι ' ' (' Βο.' Αο

90 55 22) ΚΑΜΙΝΑΔΕΣ Δ.Ε.Η.-ΤΕΝΤΑ Τα δυο παραδείγματα που ακολουθούν είναι σχήματα οι επιφάνειες των οποίων είναι ευθειογενείς αλλά μη αναπτύξιμες. Η πρώτη περίπτωση συναντάται συνήθως στις καμπύλες ατμοηλεκτρικών σταθμών της Δ.Ε.Η.. Το σχήμα ονομάζεται υπερβολικό παραβολοειδές και δημιουργείται από ευθείες όπως φαίνεται στο σχέδιο. Η δεύτερη περίπτωση είναι μια στρεβλή επιφάνεια η οποία παρατηρείται σε κελύφη και τέντες.

91 56 Καμινάδα στην περιοχή του Βοτανικού... :..... Τέντα στην περιοχή του Βοτανικού

92 57 Το εμπορικό κέντρο Agora στη λεωφόρο Κηφισίας, η στέγη του οποίου αποτελεί μη αναπτύξιμη επιφάνεια

93 Γ'' Ψ.~ Δ' J \ \ \,,,

94 58 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Α History of Architecture on the Comparatiνe Method Bonister Fletcher Seνenteenth Edition, Reνised by R.A. Cordingley Great Architecture of the world General Editor John Julius Norwich foreword by Sir Nikolaus Peνsner Τεχνικό Σχέδιο - Αριστείδη Δεϊμεζή Πολ. Μηχανικού - Επιμ. Ε.Μ.Π. Σημειώσει Παραστατικής Τεύχος Α, και Β '. Υπό Περικλή Παπαματθαίου. Ανωτέρα Σχολή Υπομηχανικών Αθηνών. Αθήνα 975. Μαθήματα Παραστατικής Γεωμετρίας. Παν. Δ. Λαδόπουλου. Ελληνική Μαθηματική Βιβλιοθήκη. (Εργασίες Σπουδαστών του Πανεπιστημίου της Βουδαπέστης) BUDAPESTI MUSZAKI EGYETEM EPITESZMERNOKI KAR TRAITE ΟΕ GEOMETRIE DESCRIPTIVE C. ROUBAUDI PARIS 96 DIXIEME EDITION Angewandte Perspektiνe in Architektur, Bauplannung, Konstruktion und Formgestaltung B.S. Bondon Bauνerlag Στοιχεία Παραστατικής Γεωμετρίας Τόμος Β, Γεωργίου Λευκαδίτη

95 59 Γενικές ασκήσεις Προβολικής και Παραστατικής Γεωμετρίας μετά λύσεων. Ιωάννου Ταϊγανίδη - Γρηγορίου Φουντα Αθήναι 965 Baugeometrie Band H.Brauner Ι W.Kickinger Bauνerlag Darstellende Geometrie mit Stereo-Bildern R.Schmidt Bauνerlag Το σχέδιον Τόμος Α' Μηχανολογικόν Ευθυμίου Π. Ευθυμίου Μηχανικού - Σχεδιαστού Έκδοσις Πρώτη, Αθήναι 960 Τ

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

6 Γεωμετρικές κατασκευές

6 Γεωμετρικές κατασκευές 6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Σχήµα 1 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ Η κυλινδρική επιφάνεια ή κύλινδρος, προκύπτει από τις διαδοχικές θέσεις µιας ευθείας α, (γενέτειρα) η

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Αναπτύγµατα. Σχέδιο Ειδικότητας Αµαξωµάτων

2.2 Αναπτύγµατα. Σχέδιο Ειδικότητας Αµαξωµάτων 2.2 Αναπτύγµατα Ανάπτυγµα ενός γεωµετρικού στερεού σώµατος είναι η αποτύπωση σε ένα επίπεδο του συνόλου των επιφανειών του. Με βάση τα αναπτύγµατα, γίνεται η κοπή της πρώτης ύλης (έλασµα, λάµα) και µε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας.

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας. ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 12 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ 1. Αν τυχαία πυραμίδα τμηθεί με επίπεδο παράλληλο στη βάση της, έχουμε: KA/KA' = KB/KB' = ΚΓ/ΚΓ' = ΚΗ/Κ'Η' = λ και ΑΒΓ Α'Β'Γ' με λόγο ομοιότητας λ. 2. Μέτρηση κανονικής πυραμίδας:

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική και Οπτική Επικοινωνία 1 - Αναπαραστάσεις

Αρχιτεκτονική και Οπτική Επικοινωνία 1 - Αναπαραστάσεις Αρχιτεκτονική και Οπτική Επικοινωνία 1 - Αναπαραστάσεις Ενότητα: ΜΕΘΟΔΟΣ MONGE Διδάσκων: Γεώργιος Ε. Λευκαδίτης Τμήμα: Αρχιτεκτόνων Μηχανικών ΜΕΘΟΔΟΣ MONGE ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΠΑΡΑΣΤAΣΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - Εξεταστέα ύλη Β εξαμήνου 2011 1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? Τρεις μέθοδοι προβολών

Διαβάστε περισσότερα

ιαχειριστής Έργου ΣΟΥΓΑΡΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Ιούνιος 14

ιαχειριστής Έργου ΣΟΥΓΑΡΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Ιούνιος 14 ΟΓΚΟΣ ΣΤΕΓΗΣ ιαχειριστής Έργου ΣΟΥΓΑΡΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Περιεχόμενα 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 4 I. ΠΥΡΑΜΙΔΑ 4 II. ΤΕΤΡΑΕΔΡΟ 5 III. ΟΓΚΟΣ ΠΥΡΑΜΙΔΑΣ 5 2. ΜΟΡΦΕΣ ΙΣΟΚΛΙΝΟΥΣ ΣΤΕΓΗΣ 6 I. ΔΥΡΙΧΤΗ 6 II. ΤΕΤΡΑΡΙΧΤΗΜΕ ΤΕΤΡΑΓΩΝΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ

Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ & ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΗΣ Σύνταξη κειμένου: Μαρία Ν. Δανιήλ, Αρχιτέκτων

Διαβάστε περισσότερα

2. τα ρωμαϊκά, που το λούκι έχει μετασχηματιστεί σε επίπεδο και έχει ενσωματωθεί στο καπάκι

2. τα ρωμαϊκά, που το λούκι έχει μετασχηματιστεί σε επίπεδο και έχει ενσωματωθεί στο καπάκι Οι αριθμοί αντιμετωπίζονται με τον ίδιο τρόπο, αλλά είναι σημαντικό να μελετήσουμε τον τρόπο που σημειώνονται οι αριθμοί που αποδίδουν στα σχέδια τις διαστάσεις του αντικειμένου. Οι γραμμές διαστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο 13: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Θεωρούµε ένα επίπεδο p, µια κλειστή πολυγωνική γραµµή του p και µια ευθεία ε που έχει µε το p ένα µόνο κοινό σηµείο. Από κάθε σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΠΟΛΥΕ ΡΑ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ 2. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕ Ο α = µήκος β = πλάτος γ = ύψος δ = διαγώνιος = α. β. γ = Ε β. υ Ε ολ = 2. (αβ + αγ + βγ) 3. ΚΥΒΟΣ = α 3 Ε ολ = 6α 2

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τεχνικό Σχέδιο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τεχνικό Σχέδιο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 4.2: Μεθοδολογία Παράστασης Τομών Επιφανειών Στερεών Σωμάτων (Συμπαγών και μη Συμπαγών) Σταματίνα Γ. Μαλικούτη

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Σχεδίαση µε ελεύθερο χέρι (Σκαρίφηµα)

1.3 Σχεδίαση µε ελεύθερο χέρι (Σκαρίφηµα) 20 1.3 Σχεδίαση µε ελεύθερο χέρι (Σκαρίφηµα) 1.3.1 Ορισµός- Είδη - Χρήση Σκαρίφηµα καλείται η εικόνα ενός αντικειµένου ή εξαρτήµατος που µεταφέρεται σε χαρτί µε ελεύθερο χέρι (χωρίς όργανα σχεδίασης ή

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου. ρ. Σ.Πατσιοµίτου

Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου. ρ. Σ.Πατσιοµίτου Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου ρ. Σ.Πατσιοµίτου Το ορθό πρίσµα και τα στοιχεία του Στη Στερεοµετρία τα παρακάτω στερεά σώµατα ονοµάζονται ορθά πρίσµατα. Οι δύο παράλληλες έδρες του λέγονταιβάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 7.1. Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων... 3 7.2. Κατασκευή γωνιών... 8 7.3. Κατασκευή πολυγώνων... 11 7.4.

Διαβάστε περισσότερα

{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1)

{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1. Γενικά Επειδή οι επιφάνειες δευτέρου βαθµού συναντώνται συχνά στη µελέτη των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών θεωρούµε σκόπιµο να τις περιγράψουµε στην αρχή του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών).

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών). ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση σχημάτων και χώρου Γ2.6 Ονομάζουν, περιγράφουν και ταξινομούν τρισδιάστατα σχήματα (κύβο, ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, πυραμίδα, σφαίρα, κύλινδρο, κώνο),

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ. 015-016 Ενότητα : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) χ - 4 = (β) 3χ + = (γ) 3 χ + = (δ) 3 χ - 3 = (ε) χ - ψχ + ψ = (στ) 4χ - 3ψ = (ζ) αβ-γαβ+γ = (η) (x-3ω

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμές. 4.1 Γενικά. 4.2 Είδη και πάχη γραμμών

Γραμμές. 4.1 Γενικά. 4.2 Είδη και πάχη γραμμών 4 Γραμμές 4.1 Γενικά Στα σχέδια, προκειμένου να απεικονίσουμε με σαφή και κατανοητό τρόπο το σχεδιαστικό μας αντικείμενο, χρησιμοποιούμε ποικίλες γραμμές, που καθεμιά έχει διαφορετική σημασία και διαφορετικές

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D

Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D 1 Φύλλο 2 Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο με το αντίστοιχο λογισμικό του Cabri II. Περιέχει γενικές εντολές και εικονίδια που συμπεριλαμβάνουν

Διαβάστε περισσότερα

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Τομέας Παιδαγωγικής Ιστορίας, και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών «Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης 01-0-016 ΘΕΜΑ 1α [] Σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 Ο ) η διχοτόμος

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Η προοπτική εικόνα, είναι, όπως είναι γνωστό, η προβολή ενός χωρικού αντικειμένου, σε ένα επίπεδο, με κέντρο προβολής, το μάτι του παρατηρητή. Η εικόνα αυτή, θεωρούμε ότι αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο - Κύβος

Ενδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο - Κύβος Διδακτική των Μαθηματικών με Τ.Π.Ε Σελίδα 1 από 6 Ενδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο - Κύβος Ονοματεπώνυμο:... Τάξη Τμήμα:... Ημερομηνία:... Κάντε κλικ στο URL https://www.geogebra.org/m/msrbdbc5.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΜΕΣΩ ΑΝΑΚΛΑΣΕΩΝ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ.

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΜΕΣΩ ΑΝΑΚΛΑΣΕΩΝ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ. ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΜΕΣΩ ΑΝΑΚΛΑΣΕΩΝ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ. Πρόκειται για εικόνες τις οποίες μπορούμε να παρατηρήσουμε χρησιμοποιώντας κατάλληλες ανακλαστικές επιφάνειες, οι οποίες συνήθως είναι κωνικές ή κυλινδρικές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα

4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα 4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα Όταν όλες οι πλευρές και οι εσωτερικές γωνίες του πολύγωνου είναι ίσες, τότε λέγεται κανονικό

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός αρχιτεκτονικών σχεδίων

Σχεδιασμός αρχιτεκτονικών σχεδίων 4. Σχεδιασμός αρχιτεκτονικών σχεδίων ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΕΙΣ Σαμίρ Μπαγιούκ Για να κάνουμε αντιληπτό ένα αντικείμενο στον χώρο, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη φωτογράφιση με πολλαπλές λήψεις από διάφορες

Διαβάστε περισσότερα

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία. Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας,

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας, ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Εισαγωγή Αυτό που στην εφαρμοσμένη γεωμετρία ονομάζουμε συχνά γραμμική προοπτική είναι ένα σύστημα αναπαράστασης του τρισδιάστατου χώρου σε επιφάνεια δύο διαστάσεων. Η μέθοδος αυτή απεικόνισης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 28/9/2008 12:48 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ.

ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 28/9/2008 12:48 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ. ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους 28/9/2008 12:48 καθ. Τεχνολογίας 28/9/2008 12:57 Προοπτικό σχέδιο με 2 Σημεία Φυγής Σημείο φυγής 1 Σημείο φυγής 2 Γωνία κτιρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ»

ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ» ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ 26 ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 10 Δίεδρες γωνίες Δύο επίπεδα α και β που τέμνονται, χωρίζουν τον χώρο σε τέσσερα μέρη, που λέγονται τεταρτημόρια. Ορίζουν επίσης σχήματα ανάλογα των γωνιών που ορίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικό Τεχνικό Σχέδιο

Ειδικό Τεχνικό Σχέδιο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ειδικό Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 4.5: Κτίρια κατοικιών με φέροντα οργανισμό από οπλισμένο σκυρόδεμα Δρ Σταματίνα Γ. Μαλικούτη Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο - Κύβος

Ενδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο - Κύβος Διδακτική των Μαθηματικών με Τ.Π.Ε Σελίδα 1 από 6 Ενδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο - Κύβος Ονοματεπώνυμο:... Τάξη Τμήμα:... Ημερομηνία:... Όλες οι εφαρμογές που καλείσθε να χρησιμοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΩΝΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΩΝΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΩΝΟΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΩΝΟΥ Σχήµα 1 Η κωνική επιφάνεια ή κώνος, προκύπτει από τις διαδοχικές θέσεις µιας ευθείας (γενέτειρες) η οποία διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΧΕΔΙΟΥ. Αναγκαιότητα τοποθέτησης διαστάσεων. 29/10/2015 Πολύζος Θωμάς

ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΧΕΔΙΟΥ. Αναγκαιότητα τοποθέτησης διαστάσεων. 29/10/2015 Πολύζος Θωμάς Αναγκαιότητα τοποθέτησης διαστάσεων 29/10/2015 Πολύζος Θωμάς 1 Αναγκαιότητα τοποθέτησης διαστάσεων Σφάλμα μέτρησης που οφείλεται: Σε υποκειμενικό λάθος εκείνου που κάνει την μέτρηση. Σε σφάλμα του οργάνου

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 2: Μηχανολογικό Σχέδιο - Σχεδίαση όψεων

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 2: Μηχανολογικό Σχέδιο - Σχεδίαση όψεων Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 2: Μηχανολογικό Σχέδιο - Σχεδίαση όψεων Διάλεξη 2η Παναγής Βοβός Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΧΝΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ TΡΙΤΗ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ: «ΧΩΡΟΣ ΕΚΘΕΣΗΣ ΚΕΡΑΜΙΚΩΝ ΕΙΔΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Μια τεντωμένη κλωστή με άκρα δύο σημεία Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του.. Τα σημεία Α και Β λέγονται.. 2. Τι ονομάζεται ευθεία;..

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 12. Ένας οριζόντιος ομογενής δίσκος ακτίνας μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Σύνοψη Αυτό το κεφάλαιο έχει επίσης επαναληπτικό χαρακτήρα. Σε πρώτο στάδιο διερευνάται η μορφή της καμπύλης την οποία γράφει το

Διαβάστε περισσότερα

β. Πιο κάτω από τη βάση τοποθετούμε το εστιακό σημείο του παρατηρητή, σε κάτοψη.

β. Πιο κάτω από τη βάση τοποθετούμε το εστιακό σημείο του παρατηρητή, σε κάτοψη. Προβολές σε άλλα επίπεδα - Προοπτικές απεικονίσεις Μπορεί να γίνει προβολή ως προς σημείο το οποίο μπορεί να είναι το ανθρώπινο μάτι, ή ακριβέστερα το εστιακό σημείο του ανθρώπινου ματιού: Η απεικόνιση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm.

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο (A = 90 ) και πλευρές = 3 cm, = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Να βρείτε: α) Το εµβαδό Ε Π της παράπλευρης επιφάνειας.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες Σημειώσεις

Πρόχειρες Σημειώσεις Πρόχειρες Σημειώσεις ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΔΟΧΕΙΑ ΠΙΕΣΗΣ Τα λεπτότοιχα δοχεία πίεσης μπορεί να είναι κυλινδρικά, σφαιρικά ή κωνικά και υπόκεινται σε εσωτερική ή εξωτερική πίεση από αέριο ή υγρό. Θα ασχοληθούμε μόνο

Διαβάστε περισσότερα

[1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s][1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s]

[1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s][1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΕΡΓΟ ΔΥΝΑΜΗΣ ΣΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ 34. Μία κατακόρυφη ράβδος μάζας μήκους, μπορεί να περιστρέφεται στο κατακόρυφο επίπεδο γύρω από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τεχνικό Σχέδιο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τεχνικό Σχέδιο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 4.4: Μεθοδολογία Παράστασης Τομών Επιφανειών Στερεών Σωμάτων (Συμπαγών και μη Συμπαγών) Σταματίνα Γ. Μαλικούτη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.05.3: Μέγιστα και Ελάχιστα Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Ενότητα Β.05.3: Μέγιστα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ 19 Σεπτεμβρίου 2013 ΘΕΜΑ: «ΑΓΡΟΤΙΚΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τεχνικό Σχέδιο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τεχνικό Σχέδιο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 4.1: Μεθοδολογία Παράστασης Τομών Επιφανειών Στερεών Σωμάτων (Συμπαγών και μη Συμπαγών) Σταματίνα Γ. Μαλικούτη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ - ΤΟΜΕΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ - ΤΟΜΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ - ΤΟΜΕΣ Διαστασιολόγηση Μια από τις σημαντικότερες εργασίες του σχεδιαστή, αλλά και η πιο δύσκολη και υπεύθυνη, είναι η σωστή τοποθέτηση διαστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ Ιστορικά Στις αρχές του 16 ου αιώνα ήταν ήδη γνωστές οι αρχές της γραμμικής προοπτικής, περίπου όπως την ξέρουμε σήμερα. Την περίοδο αυτή καλλιτέχνες, γλύπτες και αρχιτέκτονες άρχισαν να πειραματίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ 26.15 ΣΥΝΘΕΤΟ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΤΣΟΥΛΗΘΡΑΣ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ 26.15 ΣΥΝΘΕΤΟ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΤΣΟΥΛΗΘΡΑΣ ΤΕΧΝΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ 26.15 ΣΥΝΘΕΤΟ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΤΣΟΥΛΗΘΡΑΣ Ενδεικτικές διαστάσεις οργάνου Απαιτήσεις ασφαλείας Πλάτος 6900mm Απαιτούμενος χώρος 10150Χ10500mm Μήκος 8000mm Μέγιστο Ύψος Πτώσης 1550 mm Ύψος

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

4.7 ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

4.7 ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΜΕΡΟΣ Β 4.7 ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 47 4.7 ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Η Γη είναι σφαίρα και την ονοµάζουµε γήινη σφαίρα ή υδρόγειο σφαίρα. Ο νοητός άξονας γύρω από τον οποίο στρέφεται η γήινη σφαίρα ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Εκτίμηση και μέτρηση Μ3.6 Εκτιμούν, μετρούν, ταξινομούν και κατασκευάζουν γωνίες (με ή χωρίς τη χρήση της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΙ ΠΑΙΔΙΚΗΣ ΧΑΡΑΣ & ΠΑΡΚΩΝ

ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΙ ΠΑΙΔΙΚΗΣ ΧΑΡΑΣ & ΠΑΡΚΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ «26.20. Σύνθετο Άλμπατρος» Διαστάσεις οργάνου Μήκος 10000 mm Πλάτος 6000 mm Ύψος 3600 mm Πιστοποίηση ΕΝ 1176:2008/1,3 Απαιτήσεις ασφαλείας Απαιτούμενος χώρος 13600Χ9000mm 98m 2 Μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η λεπτή, ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος έχει μήκος, μάζα και μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα (άρθρωση) που διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα