ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες"

Transcript

1 ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου και αντιληφθούμε στο νου μας την εικόνα του στο χώρο. Αυτό που «λείπει» είναι κάθε φορά η τρίτη διάσταση, το βάθος (σχ. 1). Μπορούμε να βοηθηθούμε περισσότερο στην αναγνώριση του αντικειμένου, όπως αυτό είναι στο χώρο, αν σκιαγραφήσουμε τις προβολές του αντικειμένου. Αυτός ο τρόπος -αν και έμμεσος- μας βοηθά ν αναγνωρίσουμε το βάθος και τις σχετικές θέσεις των στοιχείων του αντικειμένου (σχ. 2,3). Στην αξονομετρική προβολή η σκιαγράφηση των αντικειμένων εμφανίζει καλύτερα τον όγκο των αντικειμένων, στη δε προοπτική τελειοποιεί την εικόνα της σύνθεσης (σχ. 4). σχ. 1 Για να υπολογίσουμε τη φωτοσκίαση ενός αντικειμένου που προβάλλουμε στα δύο επίπεδα προβολής Π 1 και Π 2, πρώτα ορίζουμε τη θέση και τη διεύθυνση του φωτός και βρίσκουμε και για τις σχ. 2 σχ

2 φωτεινές ακτίνες τις προβολές στα επίπεδα Π 1 και Π 2. Η πηγή φωτισμού μπορεί να είναι δύο ειδών: α) παράλληλη (ηλιακή) δέσμη φωτός (σχ. 2) και β) σημειακή πηγή φωτισμού (σχ. 3). σχ. 4 Στην πρώτη περίπτωση οι φωτεινές ακτίνες είναι παράλληλες μεταξύ τους και η πηγή φωτισμού είναι ο ήλιος, που θεωρούμε ότι βρίσκεται στο άπειρο. Εδώ λοιπόν ορίζουμε τη διεύθυνση του φωτός και εργαζόμαστε με τις δύο προβολές της. Στη δεύτερη περίπτωση θεωρούμε ότι το φως ξεκινά από ένα σημείο του χώρου και διαχέεται σ αυτόν σφαιρικά. Αρκεί επομένως να ορίσουμε τις προβολές της πηγής φωτισμού, μια και η διεύθυνση φωτισμού ποικίλει. Τα στερεά σχήματα του χώρου όταν φωτίζονται δημιουργούν δύο ειδών σκιές: α) την ερριμμένη σκιά και β) την αυτοσκιά (σχ. 5). Η ερριμμένη σκιά είναι η σκιά που δημιουργείται όταν ένα αντικείμενο σκιάζει ένα άλλο αντικείμενο: η σκιά του κοντινότερου προς το φως αντικειμένου που «πέφτει», «ρίχνεται» στο αντικείμενο που βρίσκεται μακρύτερα από τη φωτεινή πηγή. Η αυτοσκιά είναι η σκιά των επιφανειών ενός αντικειμένου που δημιουργείται εξ αιτίας της θέσης κάθε επιφάνειας ως προς το φως. Για να βρούμε την αυτοσκιά ενός αντικειμένου, αρκεί να γνωρίζουμε το περίγραμμα της ερριμμένης σκιάς του. σχ. 5 Κάθε σημείο του στερεού σχήματος ρίχνει τη σκιά του στο οριζόντιο επίπεδο. Ενώνοντας κατ αντιστοιχία με το στερεό τις σκιές των σημείων, βρίσκουμε το γενικό περίγραμμα της σκιάς του στερεού, που είναι το Α1Β1Ζ1Η1Θ1 1. Το όριο αυτό της ερριμμένης σκιάς δημιουργεί το περίγραμμα της αυτοσκιάς. Έτσι αναγνωρίζουμε ότι οι πλευρές Α ΘΕ, ΑΒΖΕ και ΕΖΗΘ είναι αυτοσκιασμένες Στις σημειώσεις αυτές θα μελετηθεί η μέθοδος σκιαγραφίας με ηλιακό φωτισμό των αντικειμένων. Σημειώνεται όμως ότι η μεθοδολογία εφαρμόζεται και στην περίπτωση σημειακού φωτισμού, με τη διαφορά ότι οι προβολές των φωτεινών ακτίνων δεν θεωρούνται παράλληλες, αλλά συγκλίνουσες προς τις προβολές της φωτεινής πηγής. 156

3 ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ ΣΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ MONGE Σκιά ευθυγράμμου τμήματος Η σκιά βρίσκεται ολόκληρη στο επίπεδο Π 1 Έχοντας τις δύο προβολές του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, ορίζουμε τη διεύθυνση φωτισμού, μέσω των δύο προβολών της φ και φ στα επίπεδα Π 1 και Π 2. Ζητούμε να βρούμε τη σκιά του ΑΒ στο επίπεδο Π 1 (σχ. 6). Από τα σημεία Α και Β φέρνουμε ευθείες παράλληλες στη δεύτερη προβολή της διεύθυνσης φωτισμού φ και ορίζουμε τα σημεία 1 και 2 (σχ. 7). Από τα σημεία Α και Β φέρνουμε ευθείες παράλληλες προς την πρώτη προβολή της διεύθυνσης φωτισμού φ. Από τα σημεία 1 και 2 φέρνουμε ευθείες κατακόρυφες, μέχρι να τμήσουν αντίστοιχα τις φ από το Α και το Β και ορίζουμε τα σημεία Α1 και Β1, τα οποία είναι οι σκιές των Α και Β στο επίπεδο Π 1. σχ. 6 Ενώνοντας τα σημεία Α1 και Β1, έχουμε τη σκιά του ΑΒ, ολόκληρη στο επίπεδο Π 1. Η σκιά βρίσκεται και στα δύο επίπεδα προβολής Π 1 και Π 2 σχ. 7 Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, φέρνουμε από τα Α και Β ευθείες παράλληλες με τη δεύτερη προβολή φ της διεύθυνσης φωτισμού, μέχρι να τμήσουν τον άξονα y12 και ορίζουμε τα σημεία 1 και 2 (σχ. 8,9). Φέρνοντας ευθείες κατακόρυφες από τα 1 και 2 μέχρι να τμηθούν οι παράλληλες με την πρώτη προβολή φ της διεύθυνσης φωτισμού, σχ. 8 σχ

4 σχ. 10 παρατηρούμε ότι το σημείο Β1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα y12, όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, ενώ το σημείο Α1 βρίσκεται πάνω από τον άξονα y12. Αυτό σημαίνει ότι στο χώρο το σημείο Α1 βρίσκεται πίσω από το επίπεδο προβολής Π 2 (σχ. 8). Επομένως καταλαβαίνουμε ότι η σκιά του σημείου Α δεν βρίσκεται στο οριζόντιο επίπεδο Π 1, αλλά στο κατακόρυφο επίπεδο προβολής Π 2. Το σημείο Α1 ονομάζεται ψεύτικη σκιά του σημείου Α και σημειώνεται σε παρένθεση. Για να βρούμε τη σκιά του σημείου Α φέρνουμε από το σημείο 3 -που είναι το σημείο τομής της φ από το Α και του άξονα y12- ευθεία κατακόρυφη μέχρι να τμηθεί η φ από το σημείο Α. Το σημείο Α2 είναι η πραγματική σκιά του σημείου Α, στο επίπεδο προβολής Π 2. Η σκιά του τμήματος ΑΒ βρίσκεται δηλαδή κατά ένα μέρος πάνω στο επίπεδο Π 1 και κατά το υπόλοιπο μέρος στο επίπεδο Π 2. Με άλλα λόγια, η σκιά του ΑΒ «σπάει», κάνει καμπή σε κάποιο κοινό σημείο των Π 1 και Π 2. σχ. 11 Για να βρούμε το σημείο καμπής της σκιάς του ΑΒ, ενώνουμε τα σημεία (Α1) και Β1. Το τμήμα (Α1)Β1 τέμνει τον άξονα y12 στο σημείο Κ, που είναι το ζητούμενο σημείο. Τέλος ενώνουμε τα σημεία Κ και Α2. Σκιά κατακορύφου ευθυγράμμου τμήματος σχ. 12 Εργαζόμαστε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, φέρνοντας από τις προβολές των σημείων του ευθυγράμμου τμήματος ευθείες παράλληλες προς τις διευθύνσεις φ και φ κατ αντιστοιχία (σχ. 10). Παρατηρούμε ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει πρώτο ίχνος το ίδιο το σημείο Β, δηλαδή το ΑΒ «αγγίζει» το επίπεδο Π 1 (σχ. 11). Στην περίπτωση αυτή η σκιά Β1 του σημείου Β είναι το ίδιο το σημείο Β. Παρατηρούμε ακόμη ότι η σκιά Α1Β1 του ΑΒ είναι παράλληλη προς τη φ. Το ευθύγραμμο τμήμα Γ δεν «αγγίζει» το επίπεδο Π 1, διότι η 2 η προβολή Γ του σημείου Γ δεν είναι σημείο του άξονα y12. Η σκιά Γ1 του σημείου Γ βρίσκεται στην τομή της φ από το σημείο Γ και της κατακόρυφης από το σημείο 2 του άξονα y12, που προκύπτει όταν από το Γ φέρουμε ευθεία σχ

5 παράλληλη στη φ. Η σκιά του σημείου βρίσκεται στο επίπεδο Π 2. Όπως και προηγουμένως, βρίσκουμε την ψεύτικη σκιά ( 1) του, ενώνουμε με το Γ1, βρίσκουμε το σημείο καμπής Κ της σκιάς και τέλος ενώνουμε το Κ με την πραγματική σκιά 2 του. Παρατηρούμε ότι το τμήμα Κ 2 είναι κατακόρυφο, παράλληλο στη 2 η προβολή Γ της Γ. Γενικεύοντας: Η σκιά στο Π 2 μετωπικής ευθείας είναι ευθεία παράλληλη προς τη 2 η προβολή της ευθείας (σχ. 12). Η σκιά στο Π 1 οριζόντιας ευθείας είναι ευθεία παράλληλη προς την 1 η προβολή της ευθείας (σχ. 13). Η σκιά στο Π 1 κατακόρυφης ευθείας είναι ευθεία παράλληλη στην 1 η προβολή φ της διεύθυνσης φωτισμού και στο Π 2 είναι ευθεία κατακόρυφη (σχ. 11). Η σκιά στο Π 1 πρόσθιας ευθείας είναι ευθεία παράλληλη στην 1 η προβολή της και στο Π 2 είναι ευθεία παράλληλη στη 2 η προβολή της διεύθυνσης φωτισμού (σχ. 14). Η σκιά ευθείας παράλληλης στον άξονα y12 είναι και στα δύο επίπεδα Π 1 και Π 2 ευθεία παράλληλη και ίση με την 1 η ή 2 η προβολή της (σχ. 15). σχ. 14 σχ. 15 Σκιά επιπέδου σχήματος Αρχικά προσδιορίζουμε τις σκιές των σημείων του τριγώνου ΑΒΓ: από κάθε μία από τις προβολές του τριγώνου στα επίπεδα Π 1 και Π 2 φέρνουμε αντίστοιχα ευθείες παράλληλες στις προβολές της διεύθυνσης του φωτός (σχ. 16,17). Η κορυφή Γ βλέπουμε ότι έχει σκιά Γ2 στο επίπεδο Π 2, επομένως χρειαζόμαστε την ψεύτικη σκιά (Γ1) του Γ στο πρώτο επίπεδο προβολής Π 1. Ενώνουμε τις σκιές των κορυφών Α1(Γ1) και Β1(Γ1). Οι ευθείες ορίζουν στον άξονα y12 τα σημεία καμπής Κ και Λ, τα σημεία δηλαδή όπου η σκιά του τριγώνου «σπάει» και μετατοπίζεται από το οριζόντιο, στο κατακόρυφο επίπεδο προβολής. Τέλος ενώνουμε τα σημεία ΚΓ2 και ΛΓ2. Το περίγραμμα της σκιάς του τριγώνου ΑΒΓ είναι το σχήμα Α1Β1ΛΓ2Κ. σχ. 16 σχ

6 σχ. 18 σχ. 19 σχ. 20 σχ. 21 σχ. 22 Σκιές πολυέδρων Για να βρούμε τη σκιά ενός πολυέδρου σχήματος, εργαζόμαστε βρίσκοντας τις σκιές των κορυφών του. Στο σχήμα 18 ο κύβος εδράζεται στο επίπεδο Π 1, επομένως η σκιά της κάτω βάσης του ταυτίζεται με την ίδια την κάτω βάση του κύβου. Αρκεί λοιπόν να βρούμε τη σκιά Α1Β1Γ1 1 της άνω βάσης ΑΒΓ (σχ. 19) και να ενώσουμε με τα σημεία της πρώτης προβολής του κύβου. Στο σχήμα 20 ο κύβος βρίσκεται ψηλότερα από το επίπεδο Π 1 και είναι απαραίτητο να βρεθεί η σκιά τόσο της άνω, όσο και της κάτω βάσης του. Κατόπιν ενώνουμε τις σκιές των σημείων της άνω βάσης με τις σκιές των σημείων της κάτω βάσης. Στην πυραμίδα του σχήματος 22 η σκιά της κορυφής της Ρ βρίσκεται στο 2 ο επίπεδο προβολής Π 2, οπότε 160

7 εργαζόμαστε χρησιμοποιώντας την ψεύτικη σκιά (Ρ1) (σχ. 23). Γνωρίζοντας το περίγραμμα της ερριμμένης σκιάς ενός στερεού, μπορούμε να βρούμε το περίγραμμα της αυτοσκιάς του, δηλαδή ποιες πλευρές του στερεού δεν φωτίζονται. Το όριο της ερριμμένης σκιάς πάνω στα επίπεδα στα οποία αυτή εμφανίζεται, ορίζει το περίγραμμα της αυτοσκιάς πάνω στις πλευρές του ίδιου του στερεού. Σκιές ευθυγράμμων τμημάτων σε έδρες πολυέδρων σχ Το τμήμα ΑΒ είναι κατακόρυφο Στο σχήμα 24 το ευθύγραμμο τμήμα είναι κατακόρυφο και ο κύβος που βρίσκεται πίσω του έχει τις έδρες του παράλληλες στα επίπεδα προβολής Π 1 και Π 2. Σύμφωνα με την πρόταση 3 (σελ. 159) το τμήμα της σκιάς της ΑΒ που βρίσκεται στο Π 1 είναι παράλληλο με την φ και το τμήμα της σκιάς της ΑΒ που βρίσκεται στο Π 2 ή σε οποιοδήποτε επίπεδο παράλληλο στο Π 2, είναι ευθεία παράλληλη με τη 2 η προβολή του ΑΒ. Το σημείο Α είναι σημείο του επιπέδου Π 1, επομένως έχει σκιά τον εαυτό του (σχ. 24). Από το σημείο Β φέρνουμε ευθεία παράλληλη στη φ και από το σημείο Β φέρνουμε ευθεία παράλληλη στη φ. Το σημείο που η φ από το Β συναντά την μπροστινή κατακόρυφη έδρα του κύβου είναι το σημείο καμπής Κ (σχ. 25). Φέρνοντας κατακόρυφη ευθεία, ορίζουμε τη 2 η προβολή Κ του σημείου Κ στον άξονα y12 και από το σημείο Κ συνεχίζουμε κατακόρυφα (παράλληλα στην Α Β ), μέχρι η κατακόρυφη από το Κ να τμήσει την φ από το Β. Μ αυτό τον τρόπο ορίζουμε το σημείο Β2, που είναι η σκιά του Β στην έδρα του κύβου. σχ Το τμήμα ΑΒ είναι πλάγιο Στην περίπτωση αυτή το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι σε τυχαία θέση ως προς τον κύβο (σχ. 26). Το σημείο Α του τμήματος ΑΒ βρίσκεται πάνω στο επίπεδο Π 1 και επομένως έχει σκιά τον εαυτό του. Από τα σημεία Β και Β φέρνουμε ευθείες σχ

8 παράλληλες στις φ και φ αντίστοιχα. Από το σημείο 1 (σχ. 27) φέρνουμε ευθεία κατακόρυφη και ορίζουμε το σημείο (Β1), τη σκιά του Β στο επίπεδο Π 1, που όμως βρίσκεται μέσα στον όγκο της σκιάς του κύβου και γι αυτό είναι ψεύτικη σκιά του Β. σχ. 26 σχ. 27 Ενώνουμε τα σημεία Α και (Β1). Η ευθεία αυτή τέμνει τον κύβο στο σημείο Κ. Το τμήμα Α Κ είναι ένα πραγματικό τμήμα της σκιάς του ΑΒ στο επίπεδο Π 1. Όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, φέρνουμε από το Κ ευθεία κατακόρυφη και ορίζουμε στον άξονα y12 τη 2 η προβολή Κ του σημείου Κ. Στο σημείο Κ η σκιά του ΑΒ κάνει μία καμπή, παύει να εμφανίζεται στο επίπεδο Π 1 και συνεχίζει στην μπροστινή κατακόρυφη έδρα του κύβου. Φέρνοντας την παράλληλη στη φ από το Β, ορίζουμε το σημείο 2, στην τομή με την οριζόντια ακμή του κύβου. Από το σημείο 2 φέρνουμε κατακόρυφη μέχρι να τμήσει τη φ από το Β. Το σημείο αυτό είναι ψεύτικη σκιά του Β στην κατακόρυφη έδρα του κύβου, διότι η έδρα του κύβου δεν είναι αρκετά μεγάλη ώστε το (Β2) να βρεθεί μέσα στην περίμετρό της. Ενώνουμε παρόλ αυτά τα σημεία Κ και (Β2) και βρίσκουμε ένα δεύτερο τμήμα της σκιάς του ΑΒ, αυτή τη φορά στην μπροστινή κατακόρυφη έδρα του κύβου. Η ευθεία Κ (Β2) τέμνει την επάνω οριζόντια ακμή του κύβου στο σημείο Λ. Ορίζουμε την 1 η προβολή Λ του σημείου Λ πάνω στην 1 η προβολή της επάνω οριζόντιας ακμής του κύβου. Από το σημείο 3 -που είναι η τομή της φ από το Β με την οριζόντια ακμή του κύβου- φέρνουμε κατακόρυφη, μέχρι να τμήσουμε την φ από το Β. Το σημείο Β1 είναι η πραγματική σκιά του Β στην άνω βάση του κύβου. Παρατηρούμε ότι το τμήμα Λ Β1 είναι παράλληλο με το τμήμα Α Κ, μια και είναι τμήματα σκιάς της ίδιας ευθείας σε δύο παράλληλα μεταξύ τους επίπεδα (στο Π 1 και στην άνω βάση του κύβου). 3. Σκιά πλαγίου τμήματος σε πλάγιο επίπεδο (μέθοδος επικάλυψης σκιών) Στην περίπτωση κατά την οποία ένα ευθύγραμμο τμήμα ΜΝ ρίχνει τη σκιά του σε πλάγια έδρα πολυέδρου (σχ. 28), προσδιορίζουμε το τμήμα της σκιάς που βρίσκεται στην πλάγια έδρα μέσω της μεθόδου επικάλυψης σκιών. σχ

9 Εργαζόμαστε κατά τα μέχρι τώρα γνωστά για να προσδιορίσουμε τη σκιά του πολυέδρου και του τμήματος ΜΝ στο επίπεδο Π 1. Το σημείο Ν1 (σχ. 29) είναι η σκιά του Ν στο Π 1. Το σημείο Μ είναι σημείο του Π 1, επομένως έχει σκιά τον εαυτό του. Ενώνουμε τα Μ και Ν1 και παρατηρούμε ότι η σκιά της ΜΝ πέφτει κατά ένα τμήμα της στην εμπρός έδρα της πυραμίδας. Προσδιορίζουμε τα σημεία Κ και Κ, τις δύο προβολές του σημείου καμπής της σκιάς. Στην τομή της σκιάς της ΜΝ και της σκιάς μίας από τις ακμές της πυραμίδας, έστω της Ρ, ορίζουμε το σημείο Τ1, που ονομάζεται σημείο επικάλυψης (οι σκιές της ΜΝ και Ρ επικαλύπτονται στο σημείο Τ1). Με άλλα λόγια το σημείο Τ1 είναι η σκιά ενός σημείου Τ, που βρίσκεται τόσο στην ευθεία ΜΝ, όσο και στην ευθεία Ρ. Γνωρίζοντας τη σκιά Τ1 του σημείου, είμαστε σε θέση να προσδιορίσουμε τις δύο προβολές του σημείου, ως εξής: από το Τ1 φέρνουμε κατακόρυφη μέχρι τον άξονα y12 και από εκεί φέρνουμε ευθεία παράλληλη στη φ έως ότου αυτή τμήσει τη Ρ. Το σημείο τομής είναι η 2 η προβολή Τ του σημείου Τ. Γνωρίζοντας ότι το σημείο Τ είναι σημείο της Ρ, φέρνουμε από το Τ κατακόρυφη μέχρι να τμήσει την 1 η προβολή Ρ της Ρ και ορίζουμε την 1 η προβολή Τ του σημείου Τ. Η ευθεία ΚΤ, με προβολές Κ Τ και Κ Τ είναι το τμήμα της σκιάς της ΝΜ στην έδρα της πυραμίδας. σχ. 29 Στην περίπτωση κατά την οποία η σκιά του σημείου Ν βρίσκεται μέσα στον όγκο της σκιάς της πυραμίδας, εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόπο, αλλά βρίσκουμε το σημείο επικάλυψης Τ1 στην προέκταση της σκιάς της ΜΝ στο Π 1 (σχ. 30). σχ. 30 Σκιές στερεών Τα στερεά σχήματα αντιμετωπίζονται σαν σύνθεση σημείων (κορυφών), ευθειών (ακμών) και επιφανειών (εδρών), στον προσδιορισμό της σκιάς τους, τόσο στα επίπεδα Π 1 και Π 2, όσο και για τον προσδιορισμό της σκιάς που ρίχνει το ένα στερεό στο άλλο. 163

10 σχ. 31 σχ Σκιές πολυέδρων Στα σχήματα παρουσιάζονται οι σκιές δύο παραλληλεπιπέδων που σχηματίζουν σύνθετα στερεά σχήματα, σε αξονομετρική προβολή και ορθή προβολή. Στα σχήματα 34 και 35 παρουσιάζεται η σκιά μιας εξαγωνικής πυραμίδας. Παρατηρούμε ότι η μικρή αλλαγή της διεύθυνσης του φωτός (φ ) αλλάζει ριζικά τη σκιά της πυραμίδας, μια και στην πρώτη περίπτωση (σχ. 34) η ερριμμένη σκιά προέρχεται από δύο έδρες, ενώ στη δεύτερη περίπτωση (σχ. 35) η ερριμμένη σκιά προέρχεται από τρεις έδρες της πυραμίδας. σχ Σκιά κώνου Ο κώνος είναι σχήμα εκ περιστροφής και δεν έχει ακμές. Οι ευθείες που ενώνουν ένα οποιοδήποτε σημείο της βάσης του με την κορυφή του, ονομάζονται γενέτειρες του κώνου, διότι η περιστροφή μιας οποιασδήποτε γενέτειρας γύρω από τον άξονα περιστροφής του κώνου δημιουργεί, «γεννά» το στερεό. 164

11 σχ. 34 σχ. 35 Η βάση του κώνου του σχήματος 36 είναι παράλληλη στο Π 1, επομένως η σκιά της βάσης είναι κύκλος παράλληλος και ίσος στην ίδια τη βάση. Η θέση του κύκλου της σκιάς του κώνου προσδιορίζεται όταν φέρουμε στον κύκλο της βάσης τις παράλληλες στη φ εφαπτόμενες ευθείες. Στην 1 η προβολή ορίζονται τα σημεία Γ και, των οποίων βρίσκουμε τη 2 η προβολή Γ και στη 2 η προβολή της βάσης του κώνου. Η σκιά της κορυφής βρίσκεται στο επίπεδο Π 2 και είναι το σημείο Κ2. Βρίσκουμε την ψεύτικη σκιά (Κ1) της κορυφής του κώνου στο επίπεδο Π 1, για να μπορέσουμε να προσδιορίσουμε τις ακραίες φωτισμένες γενέτειρες: από το σημείο (Κ1) φέρνουμε ευθείες εφαπτόμενες στον κύκλο της σκιάς της βάσης του κώνου 1 και ορίζουμε τα σημεία επαφής Μ1 και Ν1. Με ευθείες παράλληλες στη φ, βρίσκουμε στη βάση του κώνου τα σημεία Μ(Μ,Μ ) και Ν(Ν,Ν ). Τα σημεία αυτά είναι τα τελευταία σημεία της βάσης που φωτίζονται κι επομένως ορίζουν τις γενέτειρες ΚΜ και ΚΝ της αυτοσκιάς του κώνου. Το τμήμα ΚΜΝ που «βλέπει» προς την ερριμμένη σκιά του κώνου είναι το σκοτεινό τμήμα του κώνου. σχ Σκιά κόλουρου κώνου Η σκιά κόλουρου κώνου παράγεται με τον ίδιο τρόπο, όπως και η σκιά κώνου. Προσδιορίζουμε 1. βλ. Παράρτημα Α, παρ

12 αρχικά τις σκιές της άνω και κάτω βάσης του κώνου (σχ. 37) και κατόπιν φέρνουμε τις κοινές εφαπτόμενες των δύο κωνικών. Στην περίπτωση που οι κωνικές δεν είναι ομοιογενείς (π.χ. δύο κύκλοι) τότε ο προσδιορισμός της κοινής εφαπτόμενης είναι αρκετά περίπλοκο γεωμετρικό πρόβλημα. Προτιμούμε λοιπόν να προσδιορίσουμε τη σκιά της νοητής κορυφής του κώνου και να εργαστούμε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα. Με τον ίδιο τρόπο εργαζόμαστε για τον προσδιορισμό και της αυτοσκιάς του κώνου. 4. Σκιά ανάστροφου κώνου σχ. 37 Η σκιαγραφία ανάστροφου κώνου δεν έχει καμία διαφορά από εκείνη τη σκιαγραφία κώνου ορθής θέσης. Προσδιορίζουμε τη σκιά της κορυφής και της βάσης του κώνου. Στο σχήμα 38 η σκιά της βάσης βρίσκεται ολόκληρη στο επίπεδο Π 2, ενώ η σκιά της κορυφής βρίσκεται στο Π 1. Προσδιορίζουμε τη σκιά της βάσης στο επίπεδο Π 1, για να καταστεί δυνατό να ορίσουμε τις σκιές των ακραίων γενετειρών κι επομένως τα σημεία καμπής Ρ και Σ. Βρίσκουμε τις σκιές των διαμέτρων Γ και ΕΖ, που σε 1 η προβολή είναι ψεύτικες και χαράσσουμε κύκλο ίσο με τη βάση του κώνου. Κατόπιν φέρνουμε τις εφαπτόμενες προς τον κύκλο της ψεύτικης σκιάς της βάσης του κώνου, από την πραγματική σκιά της κορυφής Κ1. Στην τομή τον εφαπτομένων με τον άξονα y12 ορίζονται τα σημεία καμπής Ρ και Σ. Βρίσκουμε τη σκιά του κύκλου της βάσης στο επίπεδο Π 2, χρησιμοποιώντας τις ίδιες διαμέτρους Γ και ΕΖ, που δημιουργούν συζυγείς διαμέτρους της έλλειψης, η οποία αποτελεί τη σκιά της βάσης του κώνου στο Π 2. Προσδιορίζουμε την έλλειψη με κατασκευή Rytz και βρίσκουμε την ψεύτικη σκιά (Κ2) της κορυφής του κώνου στο Π 2. Από το (Κ2) φέρνουμε τις εφαπτόμενες στην έλλειψη 2. Στην περίπτωση που ο ανάστροφος κώνος αποτελεί ανοιχτή επιφάνεια, δημιουργείται ερριμμένη σκιά στην εσωτερική παρειά της επιφάνειάς του. ημιουργείται έτσι μια καμπύλη από τμήμα του κύκλου της βάσης, σε τμήμα της εσωτερικής παρειάς της επιφάνειας του κώνου (σχ. 39). σχ βλ. Παράρτημα Α, παρ

13 Ο προσδιορισμός των σημείων τομής Φ α και Φ β της καμπύλης της εσωτερικής σκιάς με τη βάση του κώνου γίνεται μέσω του βοηθητικού σημείου Σ. Το σημείο Ε (Ε, Ε ) βρίσκεται στην τομή του κύκλου της βάσης του κώνου με τη διεύθυνση των φωτεινών ακτινών και είναι το ακρότατο σημείο της βάσης του κώνου, που θα δημιουργήσει επίσης ακρότατο σημείο της καμπύλης της εσωτερικής σκιάς. Από τις προβολές του Ε φέρνουμε ευθείες παράλληλες στις προβολές της διεύθυνσης φωτισμού. Επίσης φέρνουμε από το Κ ευθεία παράλληλη στη διεύθυνση φ και προεκτείνουμε τη 2 η προβολή της ευθείας της βάσης του κώνου Α Β. Στην τομή της βρίσκεται το φαινόμενο σημείο {Σ}. Από το {Σ} βρίσκουμε τις προβολές Σ και Σ του Σ στη σχ

14 φωτεινή ακτίνα που περνά από το Ε. Το σημείο Σ είναι χαρακτηριστικό, διότι από αυτό το σημείο περνούν οι φωτεινές ακτίνες, που προσδιορίζουν τα ακρότατα Φ α και Φ β, εάν από το Σ φέρουμε εφαπτόμενες στη βάση του κώνου. Το σημείο Ε δημιουργεί σκιά στην αντιδιαμετρική γενέτειρα ΚΖ του κώνου. Ορίζουμε τις δύο προβολές Κ Ζ και Κ Ζ της ΚΖ και βρίσκουμε το Υ στην τομή της Κ Ζ με την Σ Ε. Βρίσκουμε την 1 η προβολή Υ του Υ στην Ε Ζ. Η καμπύλη της σκιάς διέρχεται από τα Φ α, Υ και Φ β. Μπορούμε να προσδιορίσουμε όσα σημεία της καμπύλης εσωτερικής σκιά επιθυμούμε, με τη μέθοδο επικάλυψης σκιών. Για παράδειγμα για να προσδιορίσουμε το σημείο Χ2 στη γενέτειρα ΚΧ, βρίσκουμε τη σκιά Κ1(Χ1) της ΚΧ στο επίπεδο Π 1. Η τομή της Κ1(Χ1) με τη σκιά του κύκλου της βάσης, θα δώσει δεύτερο σημείο σκιάς, το (Χ2), το οποίο μεταφέρουμε στην Κ Χ και ορίζουμε το Χ2. 5. Σκιά κυλίνδρου Ο κύλινδρος αντιμετωπίζεται γενικά με τον ίδιο τρόπο όπως ο κώνος, μια και θεωρείται κι αυτός κώνος με την κορυφή του στο άπειρο. Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, προσδιορίζουμε τις σκιές c α 1 και c β 1 της κάτω και άνω βάσης c α και c β αντίστοιχα (σχ. 40). Οι ακραίες φωτεινές γενέτειρες του κυλίνδρου είναι οι κοινές εφαπτόμενες Γ α 1Γ β 1 και α 1( β 1), οι οποίες είναι παράλληλες στη διεύθυνση φ, διότι είναι σκιές κατακορύφων ευθειών. Παρατηρούμε ότι η σκιά c β 1 της άνω βάσης του κυλίνδρου δε βρίσκεται ολόκληρη στο επίπεδο Π 1, γεγονός που μας υποχρεώνει να βρούμε τη σκιά της άνω βάσης και στο επίπεδο Π 2. Τα σημεία Α β, Β β και Γ β, β δημιουργούν δύο κάθετες μεταξύ τους διαμέτρους στον κύκλο της άνω βάσης και έχουν ήδη χρησιμοποιηθεί για να προσδιοριστεί η σκιά της άνω βάσης στο επίπεδο Π 1. Οι σκιές των τεσσάρων αυτών σημείων στο επίπεδο Π 2 μας δίνουν διαμέτρους της καμπύλης της σκιάς της άνω βάσης του κυλίνδρου στο Π 2. Η καμπύλη είναι έλλειψη, τα δε ευθύγραμμα τμήματα (Α β 2)Β β 2 και (Γ β 2) β 2 είναι συζυγείς διάμετροί της. Μέσω της κατασκευής Rytz 3 προσδιορίζουμε την έλλειψη c β 2, τη σκιά δηλαδή της άνω βάσης του κυλίνδρου στο επίπεδο Π 2. Τα σημεία Ρ και Σ σχ βλ. Παράρτημα Α, παρ

15 του άξονα y12 είναι τα κοινά σημεία των δύο καμπύλων c β 1 και c β 2, τα σημεία καμπής της σκιάς της άνω βάσης. Η σκιά τέλος της γενέτειρας α β παρουσιάζει επίσης καμπή στο σημείο Π του άξονα y12 και μετατρέπεται σε κατακόρυφη εφαπτόμενη της έλλειψης c β 2. Η αυτοσκιά του κυλίνδρου ορίζεται από τις ακραίες γενέτειρες Γ α Γ β και α β. Το αυτοσκιασμένο τμήμα του κυλίνδρου είναι αυτό που «βλέπει» προς την ερριμμένη σκιά του. 6. Σκιά ευθυγράμμου τμήματος σε κώνο ή κύλινδρο Προσδιορίζουμε τις σκιές του κυλίνδρου και του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, σύμφωνα με τα μέχρι τώρα γνωστά. Παρατηρούμε ότι ένα τμήμα της σκιάς του ΑΒ θα βρεθεί στην επιφάνεια του κυλίνδρου (σχ. 41). Στη γενική περίπτωση το τμήμα σχ

16 αυτό είναι τμήμα έλλειψης, διότι το επίπεδο Ε που δημιουργείται από τις παράλληλες προς τη διεύθυνση φωτισμού φ ευθείες, οι οποίες ταυτόχρονα διέρχονται από σημεία της ΑΒ, τέμνει τον κύλινδρο με διεύθυνση πλάγια σε σχέση με τον άξονά του. σχ. 42 Ένας τρόπος λοιπόν προσδιορισμού της καμπύλης της σκιάς του ΑΒ στον κύλινδρο είναι αν ορίσουμε το επίπεδο Ε, που δημιουργούν οι φωτεινές ακτίνες οι οποίες διέρχονται από την ΑΒ. Εφόσον η ΑΒ ανήκει στο επίπεδο Ε και η ΑΒ1 είναι η σκιά της ΑΒ στο Π 1, είναι προφανές ότι η ΑΒ1 αποτελεί το 1 ο ίχνος του επιπέδου Ε. Τοποθετούμε άξονα y13 κάθετα στην ΑΒ1, ώστε το επίπεδο Ε να μετατραπεί σε πρόσθιο στο σύστημα προβολής Π 1 -Π 3 και προσδιορίζουμε τον κύλινδρο και την ΑΒ σε 3 η προβολή. Η Α Β ταυτίζεται τότε με το 3 ο ίχνος του επιπέδου Ε. Η τομή του επιπέδου Ε με τον κύλινδρο στην 3 η προβολή μας δίνει τα σημεία της καμπύλης τομής στην 1 η και 2 η προβολή, που αποτελούν σημεία της σκιάς του ΑΒ στην επιφάνεια του κυλίνδρου. Ένας άλλος τρόπος που καταλήγει προφανώς στο ίδιο αποτέλεσμα, είναι να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος της επικάλυψης σκιών (σχ. 42). Προσδιορίζουμε δηλαδή σημεία επικάλυψης της ΑΒ με διάφορες γενέτειρες του κυλίνδρου και σχηματίζουμε την καμπύλη που δημιουργείται από της ένωσή τους. Οι παραπάνω δύο τρόποι προσδιορισμού της σκιάς ευθυγράμμου τμήματος σε κύλινδρο μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για άλλες καμπύλες επιφάνειες, όπως ο κώνος. Για επιφάνειες πιο πολύπλοκης γεωμετρίας, όπως η σφαίρα και η σπείρα, ο πρώτος τρόπος είναι μάλλον ο ενδεδειγμένος. 7. Σκιά σφαίρας Η σφαίρα είναι κι αυτό στερεό εκ περιστροφής, με γενέτειρα καμπύλη τον κύκλο. Η σφαίρα είναι ένα από τα ελάχιστα στερεά σχήματα για τα οποία -για να προσδιορίσουμε τη σκιά του- χρησιμοποιούμε το περίγραμμα της αυτοσκιάς του, αντίθετα με ό,τι περιγράψαμε μέχρι τώρα. Στο σχήμα 43 παριστάνεται μία σφαίρα, όπου η σχ

17 γενέτειρα c 1 στην 1 η προβολή είναι ο κύκλος c 1 και στη 2 η προβολή εκφυλίζεται στη διάμετρο c 1. Αντίστοιχα, η γενέτειρα c 2 στη 2 η προβολή είναι ο κύκλος c 2, που εκφυλίζεται στη διάμετρο c 2 στην 1 η προβολή. Η καμπύλη της αυτοσκιάς της σφαίρας είναι μία διάμετρός της, η οποία παριστάνεται σαν έλλειψη και στις δύο προβολές. Επιπλέον πρέπει η έλλειψη αυτή στην 1 η προβολή της να έχει μικρό άξονα παράλληλο στη φ και μεγάλο άξονα κάθετο στη φ και στη 2 η προβολή της να έχει μικρό άξονα παράλληλο στη φ και μεγάλο άξονα κάθετο στη φ (σχ. 43). Στην 1 η προβολή φέρνουμε τη διάμετρο Α Β κάθετη στη φ. Τα σημεία Α και Β ανήκουν στη γενέτειρα c 1, επομένως μπορούμε να βρούμε και τη δεύτερη προβολή τους Α και Β στη διάμετρο c 1. Ομοίως φέρνουμε τη διάμετρο Γ κάθετη στη φ και βρίσκουμε στη c 2 τις 1 ες προβολές Γ και. Ο κύκλος s της αυτοσκιάς της σφαίρας στην 1 η προβολή παριστάνεται με την έλλειψη s με μεγάλο άξονα την Α Β και περνά από τα σημεία Γ και. Στη 2 η προβολή παριστάνεται με την έλλειψη s, με μεγάλο άξονα την Γ και περνά από τα σημεία Α και Β. Αρκεί τώρα να βρούμε τη σκιά του κύκλου s στα επίπεδα Π 1 και Π 2. σχ. 44 Ξεκινώντας από την 1 η προβολή, ορίζουμε τα άκρα Α, Β, Κ και Λ των αξόνων της s και βρίσκουμε τις 2 ες προβολές τους Α, Β, Κ και Λ στην s (σχ. 44). Βρίσκουμε τις σκιές των τεσσάρων σημείων στο Π 1, είτε είναι πραγματικές (Κ1, Β1), είτε ψεύτικες (Α1, Λ1). Κατασκευάζουμε την έλλειψη s1, που είναι η σκιά του κύκλου s στο επίπεδο Π 1. Τα σημεία Σ και Ρ του άξονα y12 είναι σημεία καμπής της σκιάς. Περνώντας τώρα στη 2 η προβολή, ορίζουμε τα άκρα Γ,, Μ και Ν των αξόνων της s και βρίσκουμε τις 1 ες προβολές τους Γ,, Μ και Ν στην s (σχ. 45). Βρίσκουμε τις σκιές των σημείων, αλλά στο επίπεδο Π 2 πλέον, ανεξάρτητα από το αν είναι πραγματικές ( 2, Μ2) ή ψεύτικες (Γ2, Ν2). Κατασκευάζουμε την έλλειψη s2, που είναι η σκιά του κύκλου s στο επίπεδο Π 2. Τα σημεία Σ και Ρ είναι τα κοινά σημεία των δύο ελλείψεων. σχ

18 ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ ΣΤΗΝ ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Η μεθοδολογία της σκιαγραφίας στο σύστημα Monge και στα διάφορα αξονομετρικά συστήματα, παρουσιάζει ελάχιστες διαφορές και πολλές ομοιότητες. Η κυριότερη διαφορά είναι ότι στην αξονομετρία δεν χρησιμοποιούμε τις δύο προβολές των διευθύνσεων προβολής, αλλά την ίδια τη διεύθυνση φ των φωτεινών ακτίνων και την 1 η προβολή της φ. Αυτή η μικρή διαφορά διευκολύνει τη σχεδίαση και τον υπολογισμό της σκιαγραφίας. Μπορούμε πάντως να χρησιμοποιήσουμε κι εδώ τις προβολές φ και φ του φωτός. Μεταφορά της διεύθυνσης φωτισμού από την παραστατική στην αξονομετρική προβολή Η διεύθυνση φωτισμού στην αξονομετρική προβολή είναι γενικά ανεξάρτητη και ορίζεται απ ευθείας στο αξονομετρικό σχέδιο. Για λόγους απλούστευσης ή ευκρίνειας ζητούμε συχνά να μεταφέρουμε τη διεύθυνση φωτισμού από την ορθή προβολή στην αξονομετρική προβολή. Γνωρίζοντας τις προβολές φ και φ του φωτός, φέρνουμε μία κατακόρυφη ευθεία σε τυχαία θέση (σχ. 46) και ορίζουμε το σημείο Ο, σαν αρχή μέτρησης των μεγεθών χ φ, y φ και z φ. Μεταφέρουμε τα μεγέθη χ φ και y φ στην αρχή των αξόνων Ο της αξονομετρικής προβολής, αντίστοιχα στους άξονες χ και y. Κατόπιν υψώνουμε από την άκρη του χ φ παράλληλα στον άξονα των z και μεταφέρουμε και το μέγεθος z φ, όπως φαίνεται στο σχήμα 44. σχ. 46 Μεταφορά της διεύθυνσης φωτισμού από την προβολή κατά Monge σε ισομετρική και διμετρική αξονομετρική προβολή σχ. 47 Σκιά ευθυγράμμου τμήματος Έχοντας την αξονομετρική προβολή ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και την προβολή Α Β του ΑΒ σε οριζόντιο επίπεδο προβολής (σχ. 47), βρίσκουμε τις σκιές των Α και Β ως εξής: από το σημείο Β φέρνουμε ευθεία παράλληλη στη διεύθυνση φ και από την προβολή του Β φέρνουμε ευθεία παράλληλη στη φ. Το σημείο τομής των φ και φ από τα Β και Β αντίστοιχα είναι η σκιά Β1 του σημείου Β στο οριζόντιο επίπεδο προβολής Π 1. Όμοια προσδιορίζουμε τη σκιά Α1 του σημείου Α, που όμως βρίσκεται πίσω από το επίπεδο Π 2, είναι επομένως ψεύτικη σκιά. Από το σημείο 1 172

19 φέρνουμε ευθεία κατακόρυφη (παράλληλη στον άξονα z) μέχρι να τμήσει τη φ από το Α. Το σημείο τομής είναι το Α2, πραγματική σκιά του Α στο επίπεδο Π 2. Ενώνουμε τα σημεία Β1 και (Α1). Το τμήμα Β1Κ της Β1(Α1) είναι τμήμα της σκιάς της ΑΒ στο Π 1. Στο σημείο Κ η σκιά της ΑΒ «σπάει» και πέφτει στο επίπεδο Π 2, μέχρι το σημείο Α2. Ενώνουμε τα Κ και Α2. Σκιές ευθυγράμμων τμημάτων σε έδρες πολυέδρων 1. Το τμήμα ΑΒ είναι κατακόρυφο Επειδή η αξονομετρική προβολή είναι κι αυτή ορθή προβολή, ισχύουν οι κανόνες της σκιαγραφίας όπως τους μελετήσαμε στην προβολή κατά Monge 4. Φέρνουμε από κάθε σημείο της άνω βάσης του κύβου του σχήματος 48 ευθείες παράλληλες στη διεύθυνση φ και από τις προβολές τους στο επίπεδο έδρασης του κύβου, ευθείες παράλληλες με τη φ. Οι ακμές του κύβου που είναι παράλληλες με το επίπεδο έδρασης, δίνουν σκιές παράλληλες προς τις αντίστοιχες ακμές. Το σημείο Β της ΑΒ έχει ψεύτικη σκιά μέσα στον όγκο του κύβου. Ενώνουμε τα σημεία Α και (Β1) και προσδιορίζουμε το σημείο Κ, όπου η σκιά της ευθείας «σπάει» πάνω στην μπροστινή έδρα του κύβου. Επειδή η ΑΒ είναι κατακόρυφη, παράλληλη δηλαδή με τη μπροστινή έδρα του κύβου, από το σημείο Κ φέρνουμε ευθεία κατακόρυφη μέχρι να τμήσει τη φωτεινή ακτίνα φ από το Β. 2. Το τμήμα ΑΒ είναι πλάγιο σχ. 48 Προσδιορίζουμε τη σκιά του κύβου στο οριζόντιο επίπεδο έδρασής του. Το σημείο Α του ΑΒ βρίσκεται πάνω στο επίπεδο έδρασης, επομένως έχει σκιά τον εαυτό του (σχ. 49). Από το σημείο Β φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην διεύθυνση φωτισμού φ και από την προβολή του Β φέρνουμε ευθεία παράλληλη στη φ. Το σημείο Β έχει ψεύτικη σκιά (Β1) στο οριζόντιο επίπεδο, μέσα στον όγκο της σκιάς του κύβου. Ενώνουμε τα σημεία Α και (Β1) και προσδιορίζουμε το σημείο καμπής της σκιάς Κ. 4. βλ. Σκιαγραφία, Σκιαγραφία στο σύστημα Monge, Σκιά κατακόρυφου ευθυγράμμου τμήματος σχ

20 Για να προσδιορίσουμε τη σκιά του σημείου Β στην κατακόρυφη μπροστινή έδρα του κύβου, χρησιμοποιούμε την κατακόρυφη (παράλληλη στην έδρα) βοηθητική ευθεία που περνά από το Β. Η σκιά της βοηθητικής αυτής ευθείας είναι η Β (Β1), η οποία κάνει καμπή στο σημείο 1 και στρέφεται κατακόρυφα, μέχρι να τμήσει τη φ από το σημείο Β. Εάν η έδρα του κύβου ήταν αρκετά μεγάλη, η σκιά του σημείου Β στην κατακόρυφη έδρα του κύβου θα ήταν το σημείο (Β2), το οποίο όμως είναι και πάλι ψεύτικο. Ενώνουμε τα Κ και (Β2) και προσδιορίζουμε το σημείο Λ, δεύτερη καμπή της σκιάς της ΑΒ. Επειδή η επάνω έδρα του κύβου είναι επιφάνεια παράλληλη με την επιφάνεια έδρασής του, η σκιά του ΑΒ στην επάνω έδρα, θα είναι παράλληλη με τη σκιά στην επιφάνεια έδρασης. Επομένως από το σημείο Λ φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην ΑΚ μέχρι να τμήσει την φ από το Β και προσδιορίζουμε το Β1. 3. Σκιά πλαγίου τμήματος σε πλάγιο επίπεδο (μέθοδος επικάλυψης σκιών) Κατασκευάζουμε τη σκιά της πυραμίδας, προσδιορίζοντας πρώτα τη σκιά της κορυφής της (Ρ1) στο Π 1 (σχ. 50). Ενώνουμε το (Ρ1) με τα σημεία της βάσης της πυραμίδας και προσδιορίζουμε τα σημεία καμπής των σκιών των ακμών και τα ενώνουμε με τη σκιά Ρ2 του Ρ στο Π 2. σχ. 50 Το σημείο Μ του τμήματος ΜΝ έχει σκιά τον εαυτό του. Βρίσκουμε τη σκιά του σημείου Ν, φέρνοντας από το Ν παράλληλη στη φ και από το Ν παράλληλη στη φ. Το σημείο τομής των ευθειών αυτών προσδιορίζει το Ν1, σκιά του Ν στο Π 1. Ενώνουμε τα σημεία Μ και Ν1 και παρατηρούμε ότι η ΜΝ1 τέμνει στη διαδρομή της την πυραμίδα στο σημείο Κ, που είναι σημείο καμπής της σκιάς της ΜΝ. Για να προσδιορίσουμε το τμήμα της σκιάς της ΜΝ στην έδρα της πυραμίδας χρειαζόμαστε άλλο ένα σημείο. Παρατηρούμε ότι η ΜΝ1 και η (Ρ1) τέμνονται στο σημείο Τ1, το οποίο είναι σημείο επικάλυψης σκιών. Το σημείο Τ1 είναι σκιά σημείου Τ που βρίσκεται τόσο στην ΜΝ, όσο και στην Ρ. Προσδιορίζουμε το σημείο Τ στη Ρ, φέρνοντας από το Τ1 ευθεία παράλληλη στη φ κι ενώνουμε με το Κ. σχ. 51 Στην περίπτωση που η σκιά του Ν βρίσκεται μέσα στον όγκο της σκιάς της πυραμίδας, προσδιορίζουμε το 174

21 σημείο επικάλυψης Τ1 στην προέκταση της Μ(Ν1) (σχ. 51). Τότε το σημείο Ν2 θα βρίσκεται στην τομή της ΚΤ με την παράλληλη της φ από το σημείο Ν. Σκιές στερεών 1. Σκιές πολυέδρων Οι σκιές των πολυέδρων προσδιορίζονται μέσω των ακμών και των κορυφών τους, σύμφωνα με τους κανόνες τις σκιαγραφίας, όπως έχουμε αναλύσει μέχρι τώρα. Αυτό που είναι σημαντικό ν αναφέρουμε, είναι η μεθοδολογία προσδιορισμού της σκιαγράφησης ενός αξονομετρικού. Σε πολύπλοκες συνθέσεις πολυέδρων συχνά αντιμετωπίζουμε πρόβλημα με την αναγνώριση της επικάλυψης των σκιών κάθε στερεού στο άλλο, ή στο οριζόντιο επίπεδο έδρασης της σύνθεσης και κατακόρυφο επίπεδο Π 2, όταν αυτό υπάρχει. Μπορούμε να εργαστούμε με δύο τρόπους: σχ. 52 Κάθε στερεό σχήμα της σύνθεσης ρίχνει τη σκιά του στο αμέσως επόμενό του. Η σκιά του στεγάστρου, εφόσον δεν βρίσκεται ολόκληρη στον μπροστινό τοίχο, εξετάζουμε αν βλέπουμε τη σκιά του στο οριζόντιο επίπεδο. Για τον προσδιορισμό της σκιάς της κουπαστής χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος επικάλυψης σκιών. 175

22 1. 2. Προσδιορίζουμε τις σκιές όλων των στερεών στο έδαφος και κατόπιν μεταφέρουμε κάθε επικάλυψη στην αντίστοιχη έδρα. Προσδιορίζουμε τη σκιά κάθε στερεού σχήματος χωριστά στα διάφορα επίπεδα στα οποία αυτή βρίσκεται (σχ. 52). 2. Σκιά κώνου Στην αξονομετρική προβολή ενός κώνου ορίζουμε τη διεύθυνση φωτισμού φ και την 1 η προβολή της φ. Η βάση του κώνου είναι κύκλος παράλληλος στο επίπεδο Π 1, επομένως η σκιά του είναι αξονομετρικός κύκλος παράλληλος και ίσος με τον πραγματικό (σχ. 53). Άρα αρκεί να προσδιορίσουμε τη σκιά του κέντρου της έλλειψης, που παριστά αξονομετρικά τον κύκλο της βάσης του κώνου και να σχεδιάσουμε μία έλλειψη ίση με την αρχική στη νέα θέση (παράλληλη μεταφορά). Προσδιορίζουμε έπειτα τη σκιά της κορυφής του κώνου Κ στο επίπεδο Π 1. Η σκιά είναι ψεύτικη, αλλά τη χρησιμοποιούμε για να προσδιορίσουμε τις εφαπτόμενες προς την έλλειψη 5 της σκιάς της βάσης. Τα σημεία επαφής Μ1 και Ν1 είναι τα ακραία φωτεινά σημεία της επιφάνειας του κώνου και μεταφέροντάς τα παράλληλα προς τη φ στη βάση του στερεού, προσδιορίζουμε τις ακραίες φωτεινές γενέτειρες ΚΜ και ΚΝ. Το τμήμα του κώνου που «βλέπει» προς την ερριμμένη σκιά του είναι το αυτοσκιασμένο τμήμα. Τα σημεία Ρ και Σ είναι τα σημεία καμπής των σκιών (Κ1)Μ1, (Κ1)Ν1 των γενετειρών ΚΜ και ΚΝ, αντίστοιχα. Ενώνουμε τα Ρ και Σ με την πραγματική σκιά Κ2 του Κ. σχ Σκιά κυλίνδρου Η κάτω βάση του κυλίνδρου εδράζεται στο επίπεδο Π 1, επομένως έχει σκιά τον εαυτό της. Η άνω βάση είναι κύκλος παράλληλος στο επίπεδο Π 1, επομένως η σκιά του είναι αξονομετρικός κύκλος (έλλειψη) ίσος και παράλληλος με τον πραγματικό (σχ. 54). Στην αξονομετρική προβολή του κυλίνδρου φέρνουμε εφαπτόμενες στην κάτω βάση ευθείες, παράλληλες στη φ, (με την ευθεία Pascal 6 ). Προσδιορίζουμε μ αυτό τον τρόπο τις ακραίες φωτεινές γενέτειρες του κυλίνδρου ΜΜ και ΝΝ. 5. βλ. Παράρτημα Α, παρ βλ. Παράρτημα Α, παρ

23 Παρατηρούμε ότι το σημείο Μ έχει σκιά Μ2 στο επίπεδο Π 2, πρέπει επομένως να προσδιορίσουμε τη σκιά της άνω βάσης και στο επίπεδο Π 2. Η σκιά (Ν2) του σημείου Ν βρίσκεται στην τομή της φ από το Ν και της κατακόρυφης από το σημείο όπου η φ από το Ν τέμνει την ευθεία τομής των επιπέδων Π 1 και Π 2. Η Μ2(Ν2) είναι μία διάμετρος της έλλειψης, που θ αποτελέσει τη σκιά της άνω βάσης του κυλίνδρου στο Π 2. Βρίσκοντας τη σκιά μιας κάθετης (στο χώρο) προς την ΜΝ διαμέτρου, μπορούμε να βρούμε τους άξονες της νέας έλλειψης (κατασκευή Rytz 7 ). Γνωρίζουμε ότι στο χώρο οι διάμετροι ΚΛ και ΜΝ του κύκλου -που αποτελεί το πραγματικό σχήμα της βάσης του κυλίνδρου- είναι μεταξύ τους κάθετες. Επομένως στην αξονομετρική προβολή, που είναι παράλληλη ομολογία 8, οι διάμετροι της έλλειψης, που προκύπτει σαν εικόνα του πραγματικού κύκλου, είναι αξονομετρικά κάθετες μεταξύ τους (η ΚΛ είναι παράλληλη με τις εφαπτόμενες της έλλειψης από τα Μ και Ν). Προσδιορίζουμε τη σκιά Κ2(Λ2) της ΚΛ στο επίπεδο Π 2. Χρησιμοποιώντας την κατασκευή Rytz κατασκευάζουμε την έλλειψη της σκιάς της άνω βάσης του κυλίνδρου στο Π 2. Οι δύο ελλείψεις αλληλοτέμνονται στα σημεία Σ και Τ. Ολοκληρώνουμε τη σκιά του κυλίνδρου, φέρνοντας τη ΡΜ2, που είναι κατακόρυφη εφαπτόμενη της έλλειψης του Π 2. σχ βλ. Παράρτημα Α, παρ βλ. Παράρτημα Α, παρ

24 4. Σκιά ευθυγράμμου τμήματος σε κώνο ή κύλινδρο Κατασκευάζουμε τη σκιά του κώνου και του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, σύμφωνα με τα μέχρι τώρα γνωστά. Παρατηρούμε ότι η σκιά του ΑΒ τέμνει τη βάση του κώνου στο σημείο Π, στο οποίο κάνει καμπή και συνεχίζει στην κωνική επιφάνεια. Η γραμμή που δημιουργείται είναι καμπύλη κωνικής τομής και για τον προσδιορισμό της χρησιμοποιούμε τη μέθοδο επικάλυψης σκιών, ορίζοντας σημεία επικάλυψης Τ της σκιάς της ΑΒ με τις σκιές γενετειρών του κώνου (σχ. 55). 5. Σκιά σφαίρας Ο προσδιορισμός της σκιάς μιας σφαίρας σε αξονομετρική προβολή είναι ίσως η μοναδική περίπτωση στην αξονομετρία, κατά την οποία είναι πιο εύκολο να χρησιμοποιήσουμε τις προβολές της διεύθυνσης φωτισμού φ και φ, αντί για το σύστημα των φ και φ. Οπότε τότε εργαζόμαστε ακριβώς όπως περιγράψαμε στο αντίστοιχο κεφάλαιο, για τη σκιά σφαίρας στην παράσταση κατά Monge. σχ

25 ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Σε μια προοπτική απεικόνιση θεωρούμε τις ηλιακές ακτίνες συγκλίνουσες προς κάποιο σημείο φυγής, όπως άλλωστε θεωρούμε για όλες τις παράλληλες ευθείες του χώρου. Οι ηλιακές ακτίνες σχηματίζουν με το οριζόντιο επίπεδο e 1 μια γωνία ω, που συνήθως μας είναι γνωστή. Μπορούμε επομένως να θεωρήσουμε ότι οι ηλιακές ακτίνες είναι πλάγιες ευθείες στο χώρο, τις οποίες μπορούμε ν απεικονίσουμε προοπτικά, αρκεί να γνωρίζουμε τη γωνία ω και την προβολή φ των ακτίνων στο επίπεδο του πίνακα (σχ. 56). Από το σημείο οράσεως φέρνουμε ευθεία παράλληλη με τη διεύθυνση φ και προσδιορίζουμε το σημείο Η1, την προβολή του σημείου φυγής σχ

26 των ακτίνων του ήλιου. Το σημείο Η1 του ορίζοντα ονομάζεται προβολή του ήλιου και μέσω της γωνίας ω 9 προσδιορίζουμε το σημείο Η, που ονομάζεται εικόνα του ήλιου. Μετά τον ορισμό της θέσης του ήλιου, εργαζόμαστε όπως και στη σκιαγραφία στην αξονομετρική προβολή, φέρνοντας από κάθε σημείο ευθεία συγκλίνουσα στο σημείο Η και από την προβολή του στο οριζόντιο επίπεδο, ευθεία συγκλίνουσα στο σημείο Η1. Στην τομή των ευθειών αυτών βρίσκεται κάθε φορά η σκιά του σημείου. Είναι προφανές ότι η σκιά μιας οριζόντιας ευθείας -που γνωρίζουμε ότι ρίχνει ίση και παράλληλη σκιά σε οριζόντιο επίπεδο- στην προοπτική ρίχνει σκιά προοπτικά ίση και συγκλίνουσα στο ίδιο με το αρχικό σημείο φυγής. Σχετικές θέσεις της εικόνας του ήλιου Όπως είδαμε στο προοπτικό πλάγιας ευθείας, η γωνία ω μπορεί να βρίσκεται πάνω ή κάτω από την γραμμή του ορίζοντα. Αντίστοιχα προσδιορίζεται η εικόνα του ήλιου πάνω ή κάτω από τον ορίζοντα. 1. Η εικόνα του ήλιου βρίσκεται πάνω από τον ορίζοντα Όταν η εικόνα Η του ήλιου βρίσκεται πάνω από τον ορίζοντα, ο ήλιος βρίσκεται μπροστά από τον παρατηρητή: σχ βλ. Προοπτική, Προοπτικό τυχαίας ευθείας 180

27 Αν η εικόνα Η του ήλιου βρίσκεται επάνω από τον ορίζοντα και αριστερά του παρατηρητή, ο ήλιος βρίσκεται μπροστά και αριστερά του παρατηρητή. Αν η εικόνα του ήλιου βρίσκεται επάνω από τον ορίζοντα και δεξιά του παρατηρητή, ο ήλιος βρίσκεται μπροστά και δεξιά του παρατηρητή (σχ. 56). 2. Η εικόνα του ήλιου βρίσκεται κάτω από τον ορίζοντα Όταν η εικόνα Η του ήλιου βρίσκεται κάτω από τον ορίζοντα, ο ήλιος βρίσκεται πίσω από τον παρατηρητή: Αν η εικόνα Η του ήλιου βρίσκεται κάτω από τον ορίζοντα και αριστερά του παρατηρητή, ο ήλιος βρίσκεται πίσω και δεξιά του παρατηρητή. Αν η εικόνα Η του ήλιου βρίσκεται κάτω από τον ορίζοντα και δεξιά του παρατηρητή, ο ήλιος βρίσκεται πίσω και αριστερά του παρατηρητή (σχ. 57). Ακτίνες παράλληλες στον πίνακα Μία ειδική περίπτωση έχουμε όταν οι ακτίνες του ήλιου είναι παράλληλες στο κατακόρυφο επίπεδο του πίνακα. Τότε οι ηλιακές ακτίνες δεν τέμνουν σε κανένα σημείο τον πίνακα κι επομένως δεν σχ

28 έχουν σημείο φυγής (εικόνα του ήλιου). Η γωνία πρόσπτωσης του φωτός ω είναι ίση με την πραγματική και η προβολή της στο επίπεδο e 1 έχει διεύθυνση παράλληλη με τη γραμμή του εδάφους γε. Οι προοπτικές εικόνες των φωτεινών ακτίνων εμφανίζονται παράλληλες μεταξύ τους (σχ. 58). Σκιές στερεών Οι σκιαγραφία των πολυέδρων, κωνικών και κυλινδρικών επιφανειών αντιμετωπίζεται με την ίδια μεθοδολογία όπως και στην αξονομετρία. Αντίθετα η σκιαγραφία μίας σφαίρας σε προοπτική απεικόνιση παρουσιάζει μερικές ιδιαιτερότητες και αξίζει να μελετηθεί. 1. Σκιά σφαίρας με παράλληλες ακτίνες Όταν έχουμε κατασκευάσει το προοπτικό μιας σφαίρας με μετωπικούς κύκλους, η διαδικασία της σχ

29 σκιαγράφησής της είναι σχετικά απλή, αρκεί να έχουμε προσδιορίσει τις προβολές των μετωπικών κύκλων c, c 1, c 2 και στην προοπτική εικόνα (σχ. 59). Όταν οι ακτίνες είναι παράλληλες στον πίνακα, η σφαίρα χωρίζεται σε δύο ημισφαίρια, ένα φωτεινό κι ένα σκοτεινό. Ο κύκλος της αυτοσκιάς της προσδιορίζεται όταν στους μετωπικούς κύκλους φέρουμε ευθείες εφαπτόμενες προς τις φωτεινές ακτίνες. Με τον τρόπο αυτό προσδιορίζονται διάφορα σημεία, ικανά να μας περιγράψουν την έλλειψη της αυτοσκιάς της σφαίρας. Αρκεί τώρα να προσδιορίσουμε τη σκιά του κύκλου αυτού (του κύκλου της αυτοσκιάς) στο οριζόντιο επίπεδο e 1. Προβάλλουμε στο οριζόντιο επίπεδο τα σημεία του κύκλου της αυτοσκιάς, όπως έχουμε ήδη προσδιορίσει. Η προβολή στο οριζόντιο επίπεδο οποιουδήποτε σημείου ενός μετωπικού κύκλου, του c για παράδειγμα, θα βρίσκεται στο ευθύγραμμο τμήμα c. Προεκτείνουμε επομένως τη c μέχρι να τμηθεί από τις φ που είναι εφαπτόμενες του c και προσδιορίζουμε τα σημεία Α1 και Ε1, σκιές των Α και Ε στο e 1. Οι σκιές Μ1 και Ν1 των σημείων Μ και Ν του οριζόντιου κύκλου s είναι χαρακτηριστικά, διότι η έλλειψη της σκιάς της σφαίρας u1 έχει σ αυτά τα σημεία οριζόντιες εφαπτόμενες. 2. Σκιά σφαίρας με την εικόνα του ήλιου Μπορούμε κι εδώ να χρησιμοποιήσουμε τους μετωπικούς κύκλους της κατασκευής της προοπτικής εικόνας της σφαίρας, αλλά η διαδικασία είναι μάλλον ευκολότερη αν θεωρήσουμε ότι ο ήλιος «βλέπει» τη σφαίρα, είναι δηλαδή ο παρατηρητής (σχ. 60). Προσδιορίζουμε τότε μία νέα περιβάλλουσα, που μπορεί εύκολα να σχεδιαστεί σαν εφαρμογή του θεωρήματος Dandelin 10. σχ βλ. Παράρτημα Β 183

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - Εξεταστέα ύλη Β εξαμήνου 2011 1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? Τρεις μέθοδοι προβολών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας,

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας, ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Εισαγωγή Αυτό που στην εφαρμοσμένη γεωμετρία ονομάζουμε συχνά γραμμική προοπτική είναι ένα σύστημα αναπαράστασης του τρισδιάστατου χώρου σε επιφάνεια δύο διαστάσεων. Η μέθοδος αυτή απεικόνισης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΦΑΙΡΑ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ Η ΤΟΜΗ - ΣΚΙΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΣΦΑΙΡΑ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ Η ΤΟΜΗ - ΣΚΙΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΦΑΙΡΑ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ Η ΤΟΜΗ - ΣΚΙΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΦΑΙΡΑΣ (Ο, ρ) Σχήµα 1 Η σφαίρα σε κάθε ορθή προβολή προβάλλεται κατά µέγιστο κύκλο που έχει κέντρο την προβολή του κέντρου της σφαίρας και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΟΣ

ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΟΣ ΣΥΝΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ -.Μ.Κ. 10.98 1 ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΣ Ε1 Μ 2γ Ε2 2β 1. ΡΙΣΜΙ ΡΙΣΜΙ - ΚΤΣΚΕΥΕΣ Η έλλειψη είναι επίπεδη καµπύλη 2 ου βαθµού, είναι δε ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων, των οποίων το άθροισµα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Η προοπτική εικόνα, είναι, όπως είναι γνωστό, η προβολή ενός χωρικού αντικειμένου, σε ένα επίπεδο, με κέντρο προβολής, το μάτι του παρατηρητή. Η εικόνα αυτή, θεωρούμε ότι αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Σχήµα 1 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ Η κυλινδρική επιφάνεια ή κύλινδρος, προκύπτει από τις διαδοχικές θέσεις µιας ευθείας α, (γενέτειρα) η

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 7.1. Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων... 3 7.2. Κατασκευή γωνιών... 8 7.3. Κατασκευή πολυγώνων... 11 7.4.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Πουλιάσης Αντώνης Φυσικός M.Sc. 2 Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ Ιστορικά Στις αρχές του 16 ου αιώνα ήταν ήδη γνωστές οι αρχές της γραμμικής προοπτικής, περίπου όπως την ξέρουμε σήμερα. Την περίοδο αυτή καλλιτέχνες, γλύπτες και αρχιτέκτονες άρχισαν να πειραματίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΠΟΛΥΕ ΡΑ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ 2. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕ Ο α = µήκος β = πλάτος γ = ύψος δ = διαγώνιος = α. β. γ = Ε β. υ Ε ολ = 2. (αβ + αγ + βγ) 3. ΚΥΒΟΣ = α 3 Ε ολ = 6α 2

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 28/9/2008 12:48 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ.

ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 28/9/2008 12:48 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ. ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους 28/9/2008 12:48 καθ. Τεχνολογίας 28/9/2008 12:57 Προοπτικό σχέδιο με 2 Σημεία Φυγής Σημείο φυγής 1 Σημείο φυγής 2 Γωνία κτιρίου

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία. Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ Σ ένα στερεό ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις. Όταν το στερεό ισορροπεί, δηλαδή ισχύει ότι F 0 και δεν περιστρέφεται τότε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν Στ=0,

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Εκτελώντας το πρόγραμμα παίρνουμε ένα παράθυρο εργασίας Γεωμετρικών εφαρμογών. Τα βασικά κουμπιά και τα μενού έχουν την παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ. (Μέρος πρώτο)

ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ. (Μέρος πρώτο) ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ - Παράρτημα Καρδίτσας ΤΜΗΜΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΞΥΛΟΥ ΕΠΙΠΛΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ ΙΙ (Μέρος πρώτο) - ΠΛΑΓΙΑ ΠΡΟΒΟΛΗ - ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ - ΑΝΟΧΕΣ - ΣΥΝΑΡΜΟΓΕΣ ΚΟΛΛΑΤΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός Γεωμετρική Οπτική Φύση του φωτός Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: ΚΥΜΑΤΙΚΗ Βασική ιδέα Το φως είναι μια Η/Μ διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο Βασική Εξίσωση Φαινόμενα που εξηγεί καλύτερα (κύμα) μήκος

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι:

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: ΗΛΙΑΚΑ ΩΡΟΛΟΓΙΑ Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: Οριζόντια Κατακόρυφα Ισημερινά Το παρακάτω άρθρο αναφέρεται στον τρόπο λειτουργίας αλλά και κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

Ο15. Κοίλα κάτοπτρα. 2. Θεωρία. 2.1 Γεωμετρική Οπτική

Ο15. Κοίλα κάτοπτρα. 2. Θεωρία. 2.1 Γεωμετρική Οπτική Ο15 Κοίλα κάτοπτρα 1. Σκοπός Σκοπός της άσκησης είναι η εύρεση της εστιακής απόστασης κοίλου κατόπτρου σχετικά μεγάλου ανοίγματος και την μέτρηση του σφάλματος της σφαιρικής εκτροπής... Θεωρία.1 Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Στα 1849 ο Sir David Brewster περιγράφει τη μακροσκοπική μηχανή λήψης και παράγονται οι πρώτες στερεοσκοπικές φωτογραφίες (εικ. 5,6).

Στα 1849 ο Sir David Brewster περιγράφει τη μακροσκοπική μηχανή λήψης και παράγονται οι πρώτες στερεοσκοπικές φωτογραφίες (εικ. 5,6). ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΑ Η στερεοσκοπία είναι μια τεχνική που δημιουργεί την ψευδαίσθηση του βάθους σε μια εικόνα. Στηρίζεται στο ότι η τρισδιάστατη φυσική όραση πραγματοποιείται διότι κάθε μάτι βλέπει το ίδιο αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΗΛΟΤΟΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

ΑΛΛΗΛΟΤΟΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΛΛΗΛΟΤΟΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ - ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ ύο επιφάνειες βαθµών µ και ν αντιστοίχως, τέµνονται κατά καµπύλη βαθµού (µ. ν). Η αλληλοτοµία, εποµένως, δύο επιφανειών 2 ου βαθµού,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm.

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο (A = 90 ) και πλευρές = 3 cm, = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Να βρείτε: α) Το εµβαδό Ε Π της παράπλευρης επιφάνειας.

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΟΝΩΝ

ΣΤΕΡΕΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΟΝΩΝ ΣΤΕΡΕΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΟΝΩΝ Σκοπός Σκοπός της άσκησης αυτής είναι η στερεογραφική απεικόνιση του επιπέδου του ρήγματος, καθώς και του βοηθητικού επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου)

Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου) Στοιχία από τη Γωμτρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλίδια Γωμτρία Α και Β Ενιαίου Λυκίου) Σχήματα των οποίων τα σημία δν βρίσκονται όλα στο ίδιο πίπδο ονομάζονται γωμτρικά στρά (π.χ. σφαίρα, κύλινδρος,

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 2: Μηχανολογικό Σχέδιο - Σχεδίαση όψεων

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 2: Μηχανολογικό Σχέδιο - Σχεδίαση όψεων Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 2: Μηχανολογικό Σχέδιο - Σχεδίαση όψεων Διάλεξη 2η Παναγής Βοβός Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΧΝΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΩΝ

7.1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΩΝ 7.1 ΑΣΚΗΣΗ 7 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Όταν φωτεινή παράλληλη δέσμη διαδιδόμενη από οπτικό μέσο α με δείκτη διάθλασης n 1 προσπίπτει σε άλλο οπτικό μέσο β με δείκτη διάθλασης n 2 και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

2. τα ρωμαϊκά, που το λούκι έχει μετασχηματιστεί σε επίπεδο και έχει ενσωματωθεί στο καπάκι

2. τα ρωμαϊκά, που το λούκι έχει μετασχηματιστεί σε επίπεδο και έχει ενσωματωθεί στο καπάκι Οι αριθμοί αντιμετωπίζονται με τον ίδιο τρόπο, αλλά είναι σημαντικό να μελετήσουμε τον τρόπο που σημειώνονται οι αριθμοί που αποδίδουν στα σχέδια τις διαστάσεις του αντικειμένου. Οι γραμμές διαστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

1) κατακόρυφη ασύµπτωτη την ευθεία x = x0 =± ( ηλαδή η ευθεία x = x0. είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη όταν ένα τουλάχιστον από τα δύο πλευρικά όρια

1) κατακόρυφη ασύµπτωτη την ευθεία x = x0 =± ( ηλαδή η ευθεία x = x0. είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη όταν ένα τουλάχιστον από τα δύο πλευρικά όρια ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΥΜΠΤΩΤΩΝ Η : A έχει: ) κατακόρυφη ασύµπτωτη την ευθεία 0 τ.µ.τ. όταν lim ± ή lim ± ή lim ± ( ηλαδή η ευθεία 0 0 + 0 0 είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη όταν ένα τουλάχιστον από τα δύο πλευρικά όρια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα

Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Στη δραστηριότητα αυτή θα εξερευνήσετε ίσως την πλέον κοινή μέθοδο κατασκευής μιας έλλειψης. Προκειμένου να θέσετε το πλαίσιο για την κατασκευή αυτή, πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα