Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς. 2

3 Παράδειγμα Ι Για την παραγωγή δύο προϊόντων (Α και Β) μια μικρομεσαία επιχείρηση, σε καθημερινή βάση χρησιμοποιεί τρεις διαφορετικούς παραγωγικούς πόρους: Εργασία (σε ώρες), χάλυβα (σε κιλά) και αποθηκευτικό χώρο(σε τ.μ.). Το κέρδος από την πώληση ενός τεμαχίου Α, είναι 160. Το αντίστοιχο κέρδος για το προϊόν Β είναι 200 /τμχ. Οι απαιτήσεις σε πόρους για την παραγωγή ενός τεμαχίου από κάθε προϊόν και η συνολική διαθεσιμότητα τους, φαίνεται στον Πίνακα που ακολουθεί: Ανάλωση Πόρων / τεμάχιο Πόρος Προϊόν Α Προϊόν Β Συνολική Ημερήσια Διαθεσιμότητα Εργασία (hrs) Χάλυβας (Kgs) Αποθ. Χώρος (m 2 )

4 Παράδειγμα Ι Το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος και το βέλτιστο ταμπλό Simplex είναι τα ακόλουθα: Max Z x = 160x x 2 με περιορισμούς 2x 1 + 4x 2 40 (ώρες εργασίας) 18x x (κιλά χάλυβα) 24x x (τ.μ. αποθ. χώρου) και x 1, x 2, 0 4

5 Παράδειγμα Ι MBM BM Θυμίζουμε, πως οι τιμές αυτές δίνουν την επίπτωση στην αντικειμενική συνάρτηση αν μια από τις S 1 (ώρες εργασίας) ή S 2 (κιλά χάλυβα) γίνει βασική, με τιμή 1. Στην λύση που φαίνεται στο ταμπλό, οι S 1 και S 2 είναι μη βασικές è καταναλώνονται πλήρως (τιμή 0). 5

6 Παράδειγμα Ι MBM BM Αν λοιπόν η S 1 γίνει βασική με τιμή 1, αυτό σημαίνει πως θα έχουμε μια ώρα εργασίας που δε θα χρησιμοποιηθεί και το κέρδος θα μειωθεί κατά 20. Αυτό σημαίνει πως η συμβολή μιας ώρας εργασίας στην αντικειμενική συνάρτηση είναι 20. Κατά συνέπεια θα ήμασταν διατεθειμένοι να πληρώσουμε ως και 20 για την κτήση μιας μονάδας του πόρου. Η τιμή αυτή ονομάζεται οριακή (marginal value) ή σκιώδης τιμή (shadow price) του πόρου εργασία. 6

7 Παράδειγμα Ι MBM Τι γίνεται όμως με τον τρίτο πόρο, δηλαδή τον διαθέσιμο αποθηκευτικό χώρο; Βλέπουμε πως έχει οριακή αξία ίση με μηδέν. Αυτό σημαίνει πως η επιχείρηση δενείναι διατεθειμένη να πληρώσει κανένα ποσό για την απόκτηση της. Είναι προφανές από τη λύση του προβλήματος πως ο πόρος S 3 δεν αποτελεί περιορισμό του προβλήματος. Πράγματι, S 3 = 48 που σημαίνει πως υπάρχουν 48 τ.μ. αχρησιμοποιήτου αποθηκευτικού χώρου. 7

8 Παράδειγμα Ι MBM BM Αν τώρα ονομάσουμε τις οριακές τιμές των μεταβλητών απόκλισης του προβλήματος u 1, u 2 και u 3 τότε προκύπτει πως 40 * u * u * u 3 είναι η συνολική αξία των πόρων όπως αυτή εκφράζεται από τη συμβολή τους στην αντικειμενική συνάρτηση. Το συνολικό κόστος κτήσης των πόρων η επιχείρηση θέλει να το ελαχιστοποιήσει, κατά συνέπεια minu = 40 * u * u * u 3

9 Παράδειγμα Ι MBM BM Προφανώς το κόστος απόκτησης των πόρων που χρησιμοποιούνται για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος, θα πρέπει να είναι τουλάχιστον μεγαλύτερο ή ίσο από το κέρδοςαπό την πώληση του προϊόντος, αλλιώς η επιχείρηση δε θα είχε λόγο να αγοράσει τον πόρο εκτός επιχείρησης. Κατά συνέπεια, τοπρόβλημα έχει τηνακόλουθη μορφή: minu = 40 * u * u * u 3 9 2u u u u u u και u 1, u 2, u 3 0

10 1η Άσκηση στην Τάξη Min Z u = 40u u u 3 με περιορισμούς 2u u u u u u Min Z u = 40u u u 3-0* S 1-0* S 2 + 0* S 1 +M A 1 +M A 2 με περιορισμούς 2u u u 3 -S 1 + A 1 = 160 4u u u 3 S 2 + A 2 = 200 και u 1, u 2, u 3 0 και u 1, u 2, u 3, S 1, S 2, A 1, A 2 0 C j Βασική Μεταβλητ ή Ποσότητα Μ Μ u 1 u 2 u 3 s 1 s 2 A 1 A 2 Μ A Μ A Z j 360M 6M 36M 36M -M -M M M Zj- Cj 6M M M-240 -M -M

11 1η Άσκηση στην Τάξη C j Βασική Μεταβλητ ή Ποσότητ α Μ u 1 u 2 u 3 s 1 s 2 A u 2 80/9 1/9 1 4/3-1/ M A Z j M 24+2M M -12+M -M Μ Zj- Cj 2M M+48 M-12 -M 0 11

12 1η Άσκηση στην Τάξη C j Βασική Μεταβλητ ή Ποσότητ α u 1 u 2 u 3 s 1 s u 2 60/ /9 1/18 40 u /2-1/2 Z j Zj- Cj

13 1η Άσκηση στην Τάξη Τι παρατηρείτε; 13

14 Δυαδικό Πρόβλημα Σε αυτό το σημείο θα πρέπει να εισαχθεί η έννοια του δυαδικού προβλήματος. Σε κάθε αρχικό πρόβλημα ΓΠ (που ονομάζεται πρωτεύων primal) και εφεξής θα συμβολίζεται με «Π» αντιστοιχεί ένα άλλο πρόβλημα ΓΠ που έχει μια ιδιαίτερη σχέση με αυτό και ονομάζεται δυαδικό (dual) και εφεξής θα συμβολίζεται με «Δ». Η ιδιαίτερη μεταξύ τους σχέση, η οποία και οδηγεί τους αναλυτές στη χρησιμοποίηση του δυαδικού προβλήματος, συνοψίζεται στα κάτωθι: - Η βέλτιστη λύση του προβλήματος «Δ», συνδέεται άμεσα με τη βέλτιστη λύση του «Π» - Η Θεωρία Δυαδικότητας συχνά διευκολύνει την επίλυση του αρχικού προβλήματος «Π» με χειρισμό απευθείας του δυαδικού του «Δ» - Η Θεωρία Δυαδικότητας παρέχει χρήσιμες οικονομικές πληροφορίες για τα μεγέθη του «Π» - Η Θεωρία Δυαδικότητας είναι πολύ χρήσιμη στην «Ανάλυση Ευαισθησίας»/Sensitivity Analysis, δηλ. στην ανάλυση των επιπτώσεων που έχουν διάφορες μεταβολές των παραμέτρων του «Π», πάνω στη βέλτιστη λύση του. 14

15 Εύρεση Δυαδικού από Πρωτεύον πρόβλημα Από κάθε πρωτεύων πρόβλημα «Π» στην κανονική του μορφή το δυαδικό πρόβλημα «Δ» που του αντιστοιχεί, προκύπτει με βάση τους ακόλουθους μετασχηματισμούς: i. Ορίζονται m δυαδικές μεταβλητές (u 1, u 2,, u m ), δηλ. τόσες όσο το πλήθος των περιορισμών/ πόρων του «Π» ii. Σχηματίζονται n περιορισμοί, δηλ. τόσοι όσο το πλήθος των μεταβλητών του «Π» iii. Η αντικειμενικήσυνάρτησηελαχιστοποιείται iv. Αλλάζουν θέση (αντιμετατίθενται) οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης με τους σταθερούς όρους των περιορισμών (δεξιά μέλη περιορισμών) v. Αλλάζουν φορά οι ανισότητες των περιορισμών vi. Αναστρέφονται οι στήλες με τις γραμμές των συντελεστών των μεταβλητών στους περιορισμούς, δηλαδή αναστρέφεται ο πίνακας (μήτρα) των συντελεστών των μεταβλητών vii. Ισχύουν οι περιορισμοί μη-αρνητικότητας των δυαδικών μεταβλητών 15

16 Πρωτεύον πρόβλημα σε Κανονική Μορφή Έστω Πρωτεύον Πρόβλημα «Π», που βρίσκεται στην Κανονική Μορφή (n x m). Τότε το Δυαδικό του «Δ» έχει την ακόλουθη μορφή: Min z u = b 1 u 1 + b 2 u b m u m με περιορισμούς a 11 u 1 + a 12 u a m1 u m c 1 a 12 u 1 + a 22 u a m2 u m c 2 a 1n u 1 + a 2n u a mn u m c n και u i 0, για κάθε i=1,2,, m (Μορφή ΙI) 16

17 Χάρτης Μετατροπής (Π) à (Δ) Max Z x = 160x x 2 με περιορισμούς 2x 1 + 4x x x x x Min Z u = 40u u u 3 με περιορισμούς 2u u u u u u και x 1, x 2, x 3 0 και u 1, u 2, u

18 Παράδειγμα 2 ο Διαμόρφωση Δυαδικού Προβλήματος όταν το Πρωτεύον είναι σε Κανονική Μορφή Να βρεθείτο δυαδικό «Δ» τουακόλουθου Πρωτεύοντος Προβλήματος «Π» με περιορισμούς και x 1, x 2 0 Max Z x = 40x x 2 x 1 + 2x x 1 + 3x Λύση Μέθοδος ΔιαμόρφωσηςΔυαδικού Προβλήματος«Δ» Βήμα 1: Ορίζονται 2 δυαδικές μεταβλητές (u 1, u 2 ), τόσες όσες και το πλήθος των περιορισμών του «Π» Βήμα 2: Σχηματίζονται 2 περιορισμοί, τόσοι όσοι το πλήθος των μεταβλητών του «Π» 18

19 Παράδειγμα 2 ο Διαμόρφωση Δυαδικού Προβλήματος όταν το Πρωτεύον είναι σε Κανονική Μορφή Βήμα 3: Ελαχιστοποιείται η αντικειμενική συνάρτηση, η οποία θα έχει ως συντελεστές στις μεταβλητές u 1 και u 2, τις ποσότητες 40 και 120 αντίστοιχα, που είναι οι σταθεροί όροι των περιορισμών του «Π», δηλαδή: Min Z u = 40u u 2 Βήμα 4: Ο πρώτος περιορισμός θα έχει: ως συντελεστές στις μεταβλητές u1 και u2, τις ποσότητες 1 και 4 αντίστοιχα, που είναι οι κατά σειρά συντελεστέςτης μεταβλητήςx1 στους περιορισμούς του «Π» φορά σταθερό όρο 40, που είναι ο συντελεστής της μεταβλητής x1στην αντικειμενική συνάρτηση του «Π» Δηλαδή ο πρώτος περιορισμός γίνεται: u 1 + 4u

20 Παράδειγμα 2 ο Διαμόρφωση Δυαδικού Προβλήματος όταν το Πρωτεύον είναι σε Κανονική Μορφή Όμοια, ο δεύτερος περιορισμός θα έχει: ως συντελεστής στις μεταβλητές u 1 και u 2, τις ποσότητες 2 και 3 αντίστοιχα, που είναι οι κατά σειρά συντελεστές της μεταβλητής x 2 στους περιορισμούς του «Π» φορά σταθερό όρο 120, που είναι ο συντελεστής της μεταβλητής x 2 στην αντικειμενική συνάρτηση του «Π» Δηλαδή ο δεύτερος περιορισμός γίνεται: 2u 1 + 3u 2 50 Βήμα 5: Ισχύουν οι περιορισμοί μη-αρνητικότητας των δυαδικών μεταβλητών, δηλαδή: u 1, u

21 Παράδειγμα 2 ο Διαμόρφωση Δυαδικού Προβλήματος όταν το Πρωτεύον είναι σε Κανονική Μορφή Σημείωση: Εναλλακτικά, οι συντελεστές των δυαδικών μεταβλητών στο σύνολο των περιορισμών, βρίσκονται από τον ανάστροφο πίνακα των συντελεστών των μεταβλητών του προβλήματος «Π» T = (Π) (Δ) Max Z x = 40x x 2 με περιορισμούς x 1 + 2x x 1 + 3x και x 1, x 2 0 Min Z u = 40u u 2 με περιορισμούς u 1 + 4u u 1 + 3u 2 50 και u 1, u

22 2η Άσκηση στην Τάξη Να βρεθεί το δυαδικό «Δ» του ακόλουθου Πρωτεύοντος Προβλήματος «Π» με περιορισμούς Max Z x = 3000x x 2 x 1 4 2x x 1 + 2x 2 18 και x 1, x 2 0 Λύση Επαληθεύστε πως η λύση που βρήκατε είναι η ακόλουθη: με περιορισμούς Min Z u = 4u u u 3 u 1 + 3u u 2 + 3u και u 1, u

23 Πρωτεύον Πρόβλημα σε Γενική Μορφή Όταν το Πρωτεύον πρόβλημα «Π» βρίσκεται στη Γενική Μορφή, το δυαδικό του «Δ» βρίσκεται με βάση τις μετατροπές/ αντιστοιχήσεις του Πίνακα της επόμενης διαφάνειας. Ειδικότερα: Ι. Όταν το πρόβλημα «Π» είναι μεγιστοποίησης για την εύρεση του «Δ» εκτελούμε τους μετασχηματισμούς του Πίνακα από αριστερά προς τα δεξιά, δηλαδή è ΙΙ. Όταν το πρόβλημα «Π» είναι ελαχιστοποίησης για την εύρεση του «Δ» εκτελούμε τους μετασχηματισμούς του Πίνακα από τα δεξιά προς τα αριστερά, δηλαδή ç 23

24 Πρωτεύον Πρόβλημα σε Γενική Μορφή Πρωτεύων (Δυαδικό) çè Δυαδικό (Πρωτεύων) Πρόβλημα Μεγιστοποίησης Συντελεστές Αντικειμενικής Συνάρτησης Σταθεροί όροι περιορισμών m περιορισμοί ο i περιορισμός ο i περιορισμός ο i περιορισμός = Πρόβλημα Ελαχιστοποίησης Σταθεροί όροι περιορισμών Συντελεστές Αντικειμενικής Συνάρτησης m μεταβλητές απόφασης η i μεταβλητή 0 η i μεταβλητή 0 η i μεταβλητή ελεύθερη προσήμου n μεταβλητές απόφασης η i μεταβλητή 0 η i μεταβλητή 0 η i μεταβλητή ελεύθερη προσήμου n περιορισμοί ο i περιορισμός ο i περιορισμός ο i περιορισμός = Οι συντελεστές των μεταβλητών απόφασης στους περιορισμούς του «Δ» προκύπτουν από τους συντελεστές των μεταβλητών στους περιορισμούς του «Π» από τον ανάστροφο τους πίνακα. 24

25 Παράδειγμα 3 ο Διαμόρφωση Δυαδικού Προβλήματος όταν το Πρωτεύον είναι σε Γενική Μορφή Να βρεθεί το δυαδικό «Δ» του ακόλουθου Πρωτεύοντος Προβλήματος «Π» με περιορισμούς και Max Z x = x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 2x 4 3x 1 + 2x 2 +x 3 + x 4 8 x 1 + 2x 2-3x 3 + x 4 = 6 x 1, x 2 0, x 3 0, x 4 R Λύση Μέθοδος Διαμόρφωσης Δυαδικού Προβλήματος «Δ» Αφού το «Π» είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης, κάνουμε τις μετατροπες που φαίνονται στον Πίνακα της προηγούμενης διαφάνειας, ακολουθώντας τη φορά «από αριστερά προς τα δεξιά», δηλ.. 25

26 Παράδειγμα 3 ο Διαμόρφωση Δυαδικού Προβλήματος όταν το Πρωτεύον είναι σε Γενική Μορφή α) Ορίζονται 2 δυαδικές μεταβλητές (u 1, u 2 ), δηλ. τόσες όσο το πλήθος των περιορισμών του «Π» β) Σχηματίζονται 4 περιορισμοί, δηλ. τόσοι όσο το πλήθος των μεταβλητών του «Π» γ) Ελαχιστοποιείται η αντικειμενική συνάρτηση, η οποία θα έχει ως συντελεστές στις μεταβλητές u 1 και u 2, τις ποσότητες 8 και 6 αντίστοιχα, που είναι οι σταθεροί όροι τωνπεριορισμώντου «Π», δηλ. Min Z u = 8u 1 + 6u 2 δ) Ο πρώτος περιορισμός θα έχει: ως συντελεστές στις μεταβλητές u 1 και u 2, τις ποσότητες 3 και 1 αντίστοιχα, που είναι οι κατά σειρά συντελεστές της μεταβλητής x 1 στους περιορισμούς του «Π» φορά, επειδή η πρώτη μεταβλητή του «Π» είναι x

27 Παράδειγμα 3 ο Διαμόρφωση Δυαδικού Προβλήματος όταν το Πρωτεύον είναι σε Γενική Μορφή σταθερό όρο 1, που είναι ο συντελεστής της μεταβλητής x 1 στην αντικειμενική συνάρτηση του «Π» Δηλ. ο πρώτος περιορισμός γίνεται 3u 1 + u 2 1 Όμοια ο δεύτερος περιορισμός θα έχει: ως συντελεστές στις μεταβλητές u 1 και u 2, τις ποσότητες 2 και 2 αντίστοιχα, που είναι οι κατά σειρά συντελεστές της μεταβλητής x 2 στους περιορισμούς του «Π» φορά, επειδή η δεύτερη μεταβλητή του «Π» είναι x 2 0 σταθερό όρο 4, που είναι ο συντελεστής της μεταβλητής x 2 στην αντικειμενική συνάρτηση του «Π» Δηλ. ο δεύτερος περιορισμός γίνεται 2u 1 + 2u

28 Παράδειγμα 3 ο Διαμόρφωση Δυαδικού Προβλήματος όταν το Πρωτεύον είναι σε Γενική Μορφή Όμοια ο τρίτος περιορισμός θα έχει: ως συντελεστές στις μεταβλητές u 1 και u 2, τις ποσότητες 1 και -3 αντίστοιχα, που είναι οι κατά σειρά συντελεστές της μεταβλητής x 3 στους περιορισμούς του «Π» φορά, επειδή η δεύτερη μεταβλητή του «Π» είναι x 3 0 σταθερό όρο 3, που είναι ο συντελεστής της μεταβλητής x 3 στην αντικειμενική συνάρτηση του «Π» Δηλ. ο τρίτος περιορισμός γίνεται u 1 3u 2 3 Όμοια ο τέταρτος περιορισμός θα έχει: ως συντελεστές στις μεταβλητές u 1 και u 2, τις ποσότητες 1 και 1 αντίστοιχα, που είναι οι κατά σειρά συντελεστές της μεταβλητής x 4 στους περιορισμούς του «Π» Θα είναι ισότητα (=), επειδή η τέταρτη μεταβλητή του «Π» είναι x 4 R 28

29 Παράδειγμα 3 ο Διαμόρφωση Δυαδικού Προβλήματος όταν το Πρωτεύον είναι σε Γενική Μορφή σταθερό όρο 2, που είναι ο συντελεστής της μεταβλητής x 4 στην αντικειμενική συνάρτηση του «Π» Δηλ. ο τέταρτος περιορισμός γίνεται u 1 + u 2 = 2 ε) Για τις μεταβλητές του «Δ» θα ισχύουν: Επειδή ο πρώτος περιορισμός του «Π» είναι της μορφής, η πρώτη μεταβλητή του «Δ» θα είναι u 1 0 Επειδή ο δεύτερος περιορισμός του «Π» είναι της μορφής =, η δεύτερη μεταβλητή του «Δ» θα είναι u 2 R 29

30 Παράδειγμα 3 ο Διαμόρφωση Δυαδικού Προβλήματος όταν το Πρωτεύον είναι σε Γενική Μορφή Άρα, το δυαδικό του παραπάνω προβλήματος (Π) θα είναι: ΠΡΩΤΕΥΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Π) Max Z x = x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 2x 4 με περιορισμούς και 3x 1 + 2x 2 +x 3 + x 4 8 x 1 + 2x 2-3x 3 + x 4 = 6 x 1, x 2 0, x 3 0, x 4 R ΔΥΑΔΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Δ) Min Z u = 8u 1 + 6u 2 με περιορισμούς και 3u 1 + u 2 1 2u 1 + 2u 2 4 u 1 3u 2 3 u 1 + u 2 = 2 u1 0, u 2 R 30

31 3η Άσκηση στην Τάξη Να βρεθεί το δυαδικό «Δ» του ακόλουθου Πρωτεύοντος Προβλήματος «Π» Min Z x = 5x 1 + 3x 2 + 8x 3 με περιορισμούς x 1 - x 2 +4x 3 = 5 2x 1 + 5x 2 + 7x 3 6 και x 1 R, x 2 0, x 3 0 Λύση Επαληθεύστε πως η λύση που βρήκατε είναι η ακόλουθη: Max Z u = 5u 1 + 6u 2 με περιορισμούς u 1 + 2u 2 = 5 -u 1 + 5u 2 3 4u 1 + 7u 2 8 και u 1 R, u

32 Οικονομική Ερμηνεία Δυαδικού Προβλήματος Παράδειγμα 4 ο Ανατρέχουμε πάλι στο γνωστό παράδειγμα της επιχείρησης παραγωγής αντιγράφων αρχαϊκής τέχνης που κατασκευάζει 2 προϊόντα (αμφορείς και αγαλματίδια). Οι απαιτήσεις σε πόρους (εργασία, πηλός), η διαθεσιμότητα των πόρων και η τιμή πώλησης των προϊόντων υπενθυμίζονται στον ακόλουθο Πίνακα: Δραστηριότητες/ Προϊόντα Απαιτήσεις σε πόρους Εργασία (ώρες/τμχ) Πηλός (κιλά/τμχ) Αμφορείς Αγαλματίδια Τιμή πώλησης ( /τμχ) Διαθεσιμότητα πόρων

33 Οικονομική Ερμηνεία Δυαδικού Προβλήματος Παράδειγμα 4 ο Πρωτεύον Πρόβλημα (βλ. και Παράδειγμα 2) με περιορισμούς Max Z x = 40x x 2 x 1 + 2x x 1 + 3x και x 1, x 2 0 Στόχος: Ο προγραμματισμός της παραγωγής (εύρεση παραγόμενων ποσοτήτων σε τμχ κάθε προϊόντος) ώστε να μεγιστοποιούνται οι συνολικές εισπράξεις από την πώληση των παραγόμενων προϊόντων Οικονομική ερμηνεία: Μεταβλητές απόφασης xj: η παραγόμενη ποσότητα σε τμχ των προϊόντων, j=1,2 (1 αμφορείς και 2 αγαλματίδια) 33

34 Οικονομική Ερμηνεία Δυαδικού Προβλήματος Παράδειγμα 4 ο Αντικειμενική Συνάρτηση (προς μεγιστοποίηση) Z x : συνολικές εισπράξεις από την πώληση των παραγόμενων προϊόντων Πράγματι τούτο ισχύει διότι οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης (c j, j=1,2) δίνουν την τιμή πώλησης ανά τμχ προϊόντος (c 1 =40, c 2 =50) Κάθε περιορισμός προκύπτει από τη διαθεσιμότητα των πόρων Πράγματι τούτο ισχύει διότι - Οι Σταθεροί Όροι Περιορισμών (b i, i=1,2) εκφράζουν τη διαθεσιμότητα από κάθε πόρο (b 1 =40, b 2 =50) και - Οι Συντελεστές των Μεταβλητών στους Περιορισμούς συνάρτησης (a ij, i,j=1,2) εκφράζουν την απαιτούμενη ποσότητα πόρου i για την κατασκευή ενός τμχ προϊόντος j, (π.χ. a 12 =2, δηλ. απαιτούνται 2 ώρες εργασίας πόρος 1 για την κατασκευή ενός αγαλματιδίου προϊόν 2) 34

35 Οικονομική Ερμηνεία Δυαδικού Προβλήματος Παράδειγμα 4 ο Δυαδικό Πρόβλημα (βλ. και Παράδειγμα 2) με περιορισμούς και Min Z u = 40u u 2 u 1 + 4u u 1 + 3u 2 50 u 1, u 2 0 Στόχος: Ο καταμερισμός των πόρων και ο καθορισμός της τιμής-αξίας κάθε μονάδας πόρου (ώρας ή κιλού αντίστοιχα) ώστε να ελαχιστοποιείται η συνολική τιμή-αξία τωνδιαθέσιμων πόρων 35

36 Οικονομική Ερμηνεία Δυαδικού Προβλήματος Παράδειγμα 4 ο - Για να γίνει πιο κατανοητός ο στόχος του δυαδικού προβλήματος, θεωρείστε πως η επιχείρηση διατίθεται να αποκτήσει επιπρόσθετους πόρους για να καλύψει τις ανάγκες της αγοράς για τα προϊόντα της. Τι ποσό είναι διατεθειμένη η επιχείρηση να δώσει για τους επιπρόσθετους πόρους; Απάντηση στο ερώτημα αυτό δίνει η επίλυση του προβλήματος «Δ». Ορίζουμεμεταβλητές απόφασης: u 1 = η τιμή που η επιχείρηση προτίθεται να δώσει για να αγοράσει υπεργολαβικά μια επιπλέον μονάδα του πόρου 1 (ώρα εργασίας) και u 2 = η τιμή που η επιχείρηση προτίθεται να δώσει για να αποκτήσει μια επιπλέον μονάδα του πόρου 2 (κιλά πρώτης ύλης). Ορίζουμε αντικειμενική συνάρτηση προς ελαχιστοποίηση που εκφράζει τη συνολικήτιμή εξαγοράς των πόρων: Min U = 40 u u 2 36

37 Οικονομική Ερμηνεία Δυαδικού Προβλήματος Παράδειγμα 4 ο Ζητούμε λοιπόν την ελαχιστοποίηση του κόστους απόκτησης των πόρων. Σε αυτή την περίπτωση οιπεριορισμοί καλύπτουν την ανάγκη της επιχείρησης να προβεί στην απόκτηση των πόρων σε τιμή τέτοια ώστε η χρήση τους να είναι συμφέρουσα. Για να συμβαίνει αυτό κατ αρχήν θα πρέπει η αξία χρήσης του κάθε πόρου στην κατασκευή ενός τεμαχίου του προϊόντος να είναι μεγαλύτερη από την τιμή πώλησης του προϊόντοςστην αγορά, δηλαδή: u u u u 2 50 Για παράδειγμα ο πρώτος περιορισμός μας δείχνει πως η τιμή απόκτησης των πόρων που απαιτούνται για την κατασκευή ενός αγαλματιδίου πρέπει να είναι μεγαλύτερη από την τιμή πώλησης του. Αν δεν ίσχυε αυτό τότε η επιχείρηση θα μπορούσε να κατασκευάσει μόνη της τον αμφορέα και να κερδίσει τη διαφορά. Τέλος, οι μεταβλητές u1, u2 εφόσον εκφράζουν αξία θα πρέπει να είναι μη αρνητικές. 37

38 Βασικά Θεωρήματα - Προτάσεις 1. Έστω (Π) ένα τυχαίο ΠΓΠ και (Δ) το δυαδικό του. Τότε το δυαδικό του (Δ) είναι το (Π). 2. Δυαδικό Θεώρημα α) Εάν είτε το (Π) είτε το (Δ) έχει πεπερασμένη βέλτιστη δυνατή λύση, τότε και το άλλο έχει πεπερασμένη βέλτιστη δυνατή λύση. Μάλιστα, η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης κάθε προβλήματος είναι η ίδια, δηλαδή: max z x = min z u β) Εάν το ένα από τα δύο (Π) ή (Δ) έχει μη-πεπερασμένες λύσεις αλλά είναι μηφραγμένο, τότε τοάλλο δεν έχει δυνατή λύση. γ) Εάν το ένα από τα δύο (Π) ή (Δ) είναι αδύνατο, τότε το άλλο είναι είτε αδύνατο είτε μη φραγμένο. 38

39 Βασικά Θεωρήματα - Προτάσεις 3. Οι βέλτιστες τιμές u i* των δυαδικών μεταβλητών αποφάσεως u i, i=1, 2,..., m του (Δ) προκύπτουν από την τελευταία γραμμή του βέλτιστου Πίνακα Simplex του (Π) και συγκεκριμένα από τις τιμές (c j -z j ) (δηλ. από τα καθαρά οριακά εισοδήματα) των αντίστοιχων μεταβλητών αποκλίσεως του (S i ) του (Π). Αναλυτικότερα: ü Εάν για την i οστη δυαδική μεταβλητή αποφάσεως u i ισχυεί u i 0, τότε η βέλτιστη τιμή θα είναι u i* = c si - z si ü Εάν για την i οστη δυαδική μεταβλητή αποφάσεως u i ισχυεί u i 0, τότε η βέλτιστη τιμή θα είναι u i* = - c si - z si Σημείωση: Το εάν μια δυαδική μεταβλητή αποφάσεως ui είναι (ή όχι) μηαρνητική εξαρτάται (βλ. και Πίνακα Ι, με τις αντιστοιχίσεις Πρωτεύοντος Δυαδικού) Από το εάν το (Π) είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης ή ελαχιστοποίησης και Από τον αντίστοιχο i-οστό περιορισμό του (Π) 39

40 Αντιστοίχιση Βέλτιστων Λύσεων Πρωτεύοντος-Δυαδικού Παράδειγμα 7 ο Πρωτεύον Πρόβλημα «Μεγιστοποίησης» Πρωτεύον Πρόβλημα με περιορισμούς Max Z x = 40x x 2 x 1 + 2x x 1 + 3x και x 1, x 2 0 Δυαδικό Πρόβλημα με περιορισμούς Min Z u = 40u u 2 u 1 + 4u u 1 + 3u 2 50 και u 1, u

41 Παράδειγμα 7 ο Πρωτεύον Πρόβλημα «Μεγιστοποίησης» Βέλτιστος Πίνακας Simplex του (Π)!! !! Βασικές Ποσότητα x! x! x! x! µεταβλητές (x! ) (= S! ) (= S! ) 50 x! /5-1/5 40 x! /5 2/5! Z= c! z! !! Με βάση τον παραπάνω πίνακα έχουμε: Βέλτιστη Λύση (Π): x 1* =24 τμχ αμφορέων, x 2* =8 τμχ αγαλματιδίων, S 1* =S 2* =0 (δηλ. καταναλώνονται πλήρως όλες οι διαθέσιμες ώρες εργασίας και όλα τα διαθέσιμα κιλά πηλού) z x* =

42 Παράδειγμα 7 ο Πρωτεύον Πρόβλημα «Μεγιστοποίησης» Πέραν των ανωτέρω από αυτόν τον (τελικό) Πίνακα του (Π) παίρνουμε σημαντικές χρήσιμες πληροφορίες και για το δυαδικό πρόβλημα (Δ). Συγκεκριμένα: Ι) Από την τελευταία γραμμή (c j -z j ) του Βέλτιστου Πίνακα Simplex του (Π) προκύπτουν οι βέλτιστες τιμές του (Δ), σύμφωνα με τους παρακάτω κανόνες: α) Μεταβλητές Αποφάσεως u i του (Δ) H Μεταβλητή Αποφάσεως u i του (Δ) αντιστοιχεί στη Μεταβλητή Αποκλίσεως S i του (Π) Εάν η Μεταβλητή Αποφάσεως ui του (Δ) είναι μη-αρνητική (u i 0) τότε η βέλτιστη τιμή θα είναι u i* = c si -z si ή ισοδύναμα u i* = -(c si -z si ) Εάν η Μεταβλητή Αποφάσεως ui του (Δ) είναι μη-θετική (u i 0) τότε η βέλτιστη τιμή θα είναι u i* = - c si -z si ή ισοδύναμα u i* = (c si -z si ) 42

43 Παράδειγμα 7 ο Πρωτεύον Πρόβλημα «Μεγιστοποίησης» Δηλαδή στο συγκεκριμένο Παράδειγμα (όπου u 1, u 2 0) θα έχουμε: u 1* = -(c s1 -z s1 ) = 16 /ώρα εργασίας u 2* = -(c s2 -z s2 ) = 6 /κιλό πηλού!! !! Βασικές Ποσότητα x! x! x! x! µεταβλητές (x! ) (= S! ) (= S! ) 50 x! /5-1/5 40 x! /5 2/5! Z= c! z! ! Σημείωση: Το εάν μια δυαδική μεταβλητή ui είναι (ή όχι) μη-αρνητική! εξαρτάται από (i) το εάν το (Π) είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης ή ελαχιστοποίησης και (ii) τη φορά του αντίστοιχου (i-οστού) περιορισμού του (Π), βλ. και Πίνακα Ι. Π.χ. Εάν ένας περιορισμός του προβλήματος μεγιστοποίησης (Π) είναι τότε η αντίστοιχη δυαδική μεταβλητή του (Δ) θα είναι 0 43

44 Παράδειγμα 7 ο Πρωτεύον Πρόβλημα «Μεγιστοποίησης» β) Μεταβλητές Αποκλισεως S i του (Δ) H Μεταβλητή Αποκλισεως S i του (Δ) αντιστοιχεί στη Μεταβλητή Αποφάσεως x i του (Π) Η βέλτιστη τιμή της Μεταβλητής Αποκλισεως S i του (Δ) θα είναι (S i ) = c xi -z xi ή ισοδύναμα u i* = - (c xi -z xi ) γ) Βέλτιστη τιμή αντικειμενικής συνάρτησης z u του (Δ) Σύμφωνα με το Θεώρημα Δ.2 έχουμε min z u = max z x Τούτο επαληθεύεται και με αντικατάσταση των βέλτιστων τιμών των μεταβλητών του (Δ) στην αντικειμενική συνάρτηση z u. 44

45 Παράδειγμα 7 ο Πρωτεύον Πρόβλημα «Μεγιστοποίησης» Δηλαδή στο συγκεκριμένο Παράδειγμα θα έχουμε: (S 1 ) * = - (c x1 -z x1 )= 0 (S 2 ) * = - (c x2 -z x2 )= 0 min z u = max z x = 1360 ή ισοδύναμα z u = 40u u 2 = 40* *6 = 1360!! !! Βασικές Ποσότητα x! x! x! x! µεταβλητές (x! ) (= S! ) (= S! ) 50 x! /5-1/5 40 x! /5 2/5! Z= c! z! ! II) H τιμή (c! si -z si ) μιας μεταβλητής αποκλίσεως εκφράζει τη μείωση της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης z, εάν η μεταβλητή απόκλισης S i είσέλθει στη βάση με τιμή 1. 45

46 Παράδειγμα 7 ο Πρωτεύον Πρόβλημα «Μεγιστοποίησης» π.χ. η τιμή -16 του (c s1 -z s1 ) δείχνει ότι εάν το S 1 μπει στη βάση με τιμή 1 τότε η τιμή της z θα μειωθεί κατά 16. Τούτο διότι, η εισαγωγή του S1 στη βάση με τιμή 1 σημαίνει ότι μένει ανεκμετάλευτη 1 ώρα εργασίας. Επομένως θα πρέπει να τροποποιηθούν κατάλληλα (να μειωθούν) οι παραγόμενες ποσότητες αμφορέων και αγγείων αφού πλεόν δεν θα μπορούν να παραχθούν 24 και 8 τμχ αντίστοιχα. Άρα μείωση της παραγωγής θα αντιστοιχεί σε μείωση των εισπράξεων, δηλ. του z. Η τιμή c s1 -z s1 εκφράζει τη μείωση αυτή. Επομένως η τιμή u i* = c si -z si μιας δυαδικής μεταβλητής εκφράζει το ποσό που είμαστε διατεθειμένοι να πληρώσουμε για να αποκτήσουμε μία επιπλέον μονάδα πόρου i (1 ώρα εργασίας ή 1 κιλό πηλού, αντίστοιχα για i=1,2) και ονομάζεται «μοναδιαία» ή «οριακή» ή «σκιώδης» αξία (shadow price) του πόρου i. 46

47 Ανάλυση Ευαισθησίας Μέχρι τώρα οι παράμετροι ενός μοντέλου ΓΠ έχουν θεωρηθεί ως γνωστές και σταθερές. Στην επιχειρηματική πραγματικότητα βέβαια κάτι τέτοιο σπανίως συμβαίνει. Όλες ή σχεδόν όλες οι παράμετροι ενός προβλήματος είναι πρακτικά άγνωστες και οι τιμές που τους αποδίδονται αποτελούν στην καλύτερη περίπτωση εκτιμήσεις / προγνώσεις με βάση τη μελέτη/ανάλυση ιστορικών ή άλλων δεδομένων από τα στελέχη της επιχείρησης. Με αυτό το δεδομένο η βέλτιστη λύση ενός μοντέλου ΓΠ μπορεί να απέχει πολύ από το να είναι τέτοια αν οι πραγματικές τιμές κάποιων παραμέτρων ξεπερνούν προκαθορισμένα όρια. Ορίζουμε λοιπόν ως Ανάλυση Ευαισθησίας την ανάλυση της επίδρασης της μεταβολής των τιμών των παραμέτρων ενός προβλήματος στη βέλτιστη λύση και έχει σαν αποτέλεσμα τον καθορισμό των σχετικών ορίων των τιμών αυτών έτσι ώστε η βέλτιστη λύση να μένει αμετάβλητη. 47

48 Ανάλυση Ευαισθησίας Aνάλυση ευαισθησίας σε ένα πρόβλημα ΓΠ μπορεί να εφαρμοστεί στις ακόλουθες περιπτώσεις: - Μεταβολή των συντελεστών c j της αντικειμενικής συνάρτησης δηλαδή των αξιών των δραστηριοτήτων. - Μεταβολή των σταθερών όρων των περιορισμών b i, με άλλα λόγια μεταβολή στηδιαθεσιμότητα τωνπόρων. - Μεταβολή των τεχνολογικών συντελεστών a ij των περιορισμών (δηλαδή μεταβολή στηνανάλωση πόρου i ανά μονάδα δραστηριότητας j). - Προσθήκη μεταβλητής απόφασης (προσθήκη νέας δραστηριότητας). - Προσθήκη περιορισμού (προσθήκη νέου πόρου). Σημείωση: Είναι προφανές πως όταν αλλάζουν κάποιες παράμετροι του προβλήματος ο αναλυτής μπορεί να λύσει εκ νέου το πρόβλημα με τις νέες τιμές τους. 48

49 Αλλαγή στις Μοναδιαίες Αξίες των Δραστηριοτήτων (Cj) Θα χρησιμοποιήσουμε το 1ο Παράδειγμα της διάλεξης: Max Z x = 160x x 2 με περιορισμούς 2x 1 + 4x x x x x και x 1, x 2, 0, ποσότητες προϊόντων Α και Β αντίστοιχα - Οι συντελεστές των μεταβλητών στην αντικειμενική συνάρτηση (C j ), είναι C 1 = 160 και C 2 = 200 αντίστοιχα. - Έστω μια μεταβολή της C 1 κατά μια ποσότητα Δ, ας πούμε Δ=90, δηλαδή C 1 = Το αποτέλεσμα αυτής της μεταβολής φαίνεται στο Σχήμα που ακολουθεί: - Όπως έχουμε δει, η βέλτιστη λύση (Ζ= ) του προβλήματος βρίσκεται στο άκρο Β (4,8). Η αλλαγή του συντελεστή c 1 οδηγεί το πρόβλημα σε βέλτιστη λύση στο άκρο C (8,4) με Ζ= Είναι φανερό πως μια αλλαγή σε έναν συντελεστή Cj μπορεί να οδηγήσει σε αλλαγή της βέλτιστης λύσης. Στόχος της ανάλυσης ευαισθησίας είναι να βρεθεί το εύρος τιμών του Cj εντός του οποίου η βέλτιστη λύση 49 παραμένει ίδια και δεναλλάζει.

50 Αλλαγή στις Μοναδιαίες Αξίες των Δραστηριοτήτων (Cj) Για να το κάνουμε αυτό δουλεύουμε πάνωστο βέλτιστο ταμπλό Simplex: - Η λύση του τροποποιημένου ταμπλό θα παραμείνει βέλτιστη αν δεν υπάρχει θετικός αριθμός στη γραμμή καθαρών οριακών εισοδημάτων. Δηλαδή: Δ/2 0 (Ι) και -20/3 Δ/9 0 (ΙΙ) 50

51 Αλλαγή στις Μοναδιαίες Αξίες των Δραστηριοτήτων (Cj) Και οιδύο αυτές ανισώσεις πρέπει να επιλυθούν ως προς Δ. (Ι) Δ/2 0 è Δ/2 20 è Δ 40 (ΙΙ) -20/3 Δ/9 0 è -Δ/9 20/3 è -Δ 60 è Δ -60 Υπενθυμίζουμε πως c 1 = Δ è Δ = c (Ι) c è c (ΙΙ) c è c Κατά συνέπεια το εύρος των τιμών του c 1 εντός του οποίου η βέλτιστη λύση παραμένει η ίδια και δεν αλλάζει είναι το: 100 c

52 Αλλαγή στις Μοναδιαίες Αξίες των Δραστηριοτήτων (Cj) Όμοια για το c 2, επιστρέφοντας πάλι στο βέλτιστο ταµπλό Simplex: Δ/2 0 (Ι) και -20/3 + Δ/18 0 (ΙΙ) (Ι) Δ/2 0 è -Δ/2 20 è Δ - 40 (ΙΙ) -20/3 + Δ/18 0 è Δ/18 20/3 è Δ 120 c 2 = Δ è Δ = c (Ι) c è c (ΙΙ) c è c c

53 Άσκηση στην Τάξη Δίνεται το ακόλουθο πρόβλημα ΓΠ: Επιλύστε το πρόβλημα με τη μέθοδο Simplex και υπολογίστε τα όρια ευαισθησίας για όλα τα c j. 53

54 Άσκηση στην Τάξη 1 c 1 5 c 2 3 c

55 Αλλαγή στα Δεξιά Μέλη των Περιορισμών (bi) Θα χρησιμοποιήσουμε πάλι το 1ο Παράδειγμα της διάλεξης: Max Z x = 160x x 2 με περιορισμούς 2x 1 + 4x x x x x και x 1, x 2, 0, ποσότητες προϊόντων Α και Β αντίστοιχα - Έστω q 1, q 2, q 3 οι διαθέσιμες ποσότητες πόρων, δηλαδή q 1 = 40, q 2 =216 και q 3 = Έστω μεταβολή της διαθέσιμης ποσότητας του πόρου q 2, ίση με Δ. - Αν π.χ. Δ=18, το αποτέλεσμα αυτής της μεταβολής φαίνεται στο Σχήμα που ακολουθεί: - Η χάραξη του νέου περιορισμού οδηγεί σε διαφορετική εφικτή περιοχή (σημεία B, C ) και σε μεταφορά του βέλτιστου από το άκρο Β (Ζ= 2.240, x 1 =4, x 2 =8, s 3 =48) στο άκρο Β (Z=2.360, x 1 =6, x 2 =7, s 3 =12). - Είναι φανερό πως μια αλλαγή στα qi μπορεί να επιφέρει μεταβολή στη βέλτιστη λύση. - Αν το q 2 αυξηθεί κατά 16, δηλαδή γίνει 240, η λύση γίνεται Z=2.400, x 1 =6,67, x 2 =6,67, s 3 =s 2 =s 1 =0 è αλλάζει δηλαδή το µίγµα της βάσης. 55

56 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα» του ΕΜΠ έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.