Introduction to Geophysical Fluid Dynamics

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Introduction to Geophysical Fluid Dynamics"

Βακχος Παυλόπουλος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

Τµήµα Φυσικής, Πανεπιστήµιο Αθηνών Τοµέας Φυσικής Περιβάλλοντος Μετεωρολογίας Μάθηµα: Δυναµική των Ρευστών Introduction to Geophysical Fluid Dynamics Εισαγωγικές έννοιες Η

1 Τµήµα Φυσικής, Πανεπιστήµιο Αθηνών Τοµέας Φυσικής Περιβάλλοντος Μετεωρολογίας Μάθηµα: Δυναµική των Ρευστών Introduction to Geophysical Fluid Dynamics Εισαγωγικές έννοιες Η επίδραση της περιστροφής Η επίδραση της στρωµάτωσης Βασικοί νόµοι στη Δυναµική των Γεωφυσικών Ρευστών Ανάλυση κλίµακας στα γεωφυσικά ρευστά Ο δυναµικός στροβιλισµός Σαράντης Σοφιανός

i. Εισαγωγικές έννοιες Δυναµική των γεωφυσικών ρευστών Στόχος: Η

στον πλανήτη Γη και τους άλλους πλανήτες (π.χ.

ύψος κατανοµή της πυκνότητας) Στην ατµόσφαιρα η πυκνότητα

2 i. Εισαγωγικές έννοιες Δυναµική των γεωφυσικών ρευστών Στόχος: Η µελέτη των µεγάλης-κλίµακας δυναµικών χαρακτηριστικών των ρευστών, στον πλανήτη Γη και τους άλλους πλανήτες (π.χ. ατµόσφαιρα, ωκεανός, εξωτερικός πυρήνας, άλλοι πλανήτες και αστέρια). Βασικά χαρακτηριστικά: Ω Περιστροφή y z x Στρωµάτωση (κατά βάθος ή ύψος κατανοµή της πυκνότητας) Στην ατµόσφαιρα η πυκνότητα εξαρτάται από τη θερµοκρασία, την υγρασία και την πίεση. Στον ωκεανό η πυκνότητα εξαρτάται από τη θερµοκρασία, την αλατότητα και την πίεση. z ρ 1 ρ2 ρ 3 ρ 4 y x

3 Hurricane Katrina

5 A polar hurricane in Saturn Jupiter s Great Red Spot activity

6 The interface between GF is an active field in GFD Fluid phase change is important for GFD Mesoscale (and sub-mesoscale) features MagnetoHydroDynamics of stars extend the GFD 6

ii. Η επίδραση της περιστροφής Η ταχύτητα περιστροφής της γης: = 2 rad 1day (= 24 60 60 s) * 1 sideral day = 23 hours 56 minutes 4.

7 ii. Η επίδραση της περιστροφής Η ταχύτητα περιστροφής της γης: = 2 rad 1day (= s) * 1 sideral day = 23 hours 56 minutes 4.1 seconds Για να έχει επίδραση η περιστροφή στην τροχιά ενός σωµατιδίου (στοιχειώδης όγκος ρευστού) που περιγράφεται από την ταχύτητα U και το µήκος της διαδροµής L time for one revolution " = time taken for a prticle to cover distance L at speed U = = 2 / L/U = 2 U L να είναι κοντά στη µονάδα ή µικρότερο. Παραδείγµατα: α. Ροή αέρα γύρω από το φτερό (5 m) αεροπλάνου που πετάει µε ταχύτητα 100 m s -1 : ε ~ β. Μπανιέρα (1 m) που αδειάζει µε µε ροή 0.01 m s -1 : ε ~ 1000 γ. Άνεµος που φυσάει µε ταχύτητα 10 m s -1 σε περιοχή διαστάσεων 1000 km: ε ~ 1 δ. Θαλάσσιο ρεύµα ταχύτητας 0.1 m s -1 που παρουσιάζει µαιάνδρους 100 km: ε ~ Gaspard Gustave de Coriolis Στις περιπτώσεις γ και δ η επίδραση της περιστροφής της γης είναι σηµαντική, ενώ στις περιπτώσεις α και β όχι. Οι γ και δ είναι χαρακτηριστικές των γεωφυσικών ρευστών.

8 x 3 i 3 X 3 i 2 Ω x 2 Στο περιστρεφόµενο σύστηµα κάθε διάνυσµα µπορεί να γραφεί P = P 1 i 1 + P 2 i 2 + P 3 i 3 Για τον παρατηρητή στο σταθερό σύστηµα τα µοναδιαία διανύσµατα του περιστρεφόµενου συστήµατος (i) µεταβάλουν τη θέση τους µε το χρόνο. Άρα η χρονική µεταβολή του διανύσµατος P είναι dp = d F (P 1i 1 + P 2 i 2 + P 3 i 3 ) X dp 1 2 = i 1 + i dp i dp P di P di P di 3 3 X 1 i 1 x 2 Για τον παρατηρητή του περιστρεφόµενου συστήµατος η µεταβολή του P είναι οι τρεις πρώτοι όροι, άρα dp dp di 1 Ω = + P 1 + P di P di 3 3 F R Σταθερό σύστηµα (F) Περιστρεφόµενο σύστηµα (R) Άρα µπορούµε να γράψουµε dp dp = F R Η µεταβολή του i σε χρόνο είναι di =sinad ) ) di d =sina = sin a = i + P (a b = a b sin ' n) (1) sin a a d θ d i

9 Η επιτάχυνση Coriolis Χρησιµοποιώντας την (1) dr F = dr R + r u F = u R + r (2) duf F = duf R + u F (3) (2)&(3) duf F = = dur dur R R + d r + dr R + (u R + r) +2 u R + ( r)+ d r = 0 Coriolis acceleration Centrifugal acceleration

10 duf Προσέγγιση για γεωφυσικά ρευστά F = The β term dur Coriolis acceleration x! 2 sin(') +2 cos(')w y! 2 sin(')u ' 2 R = small term (correction in g) Δεν υπάρχει επιτάχυνση Coriolis σε ακίνητα σώµατα Στα γεωφυσικά ρευστά επικρατεί η οριζόντια εκτροπή (δεξιά ή αριστερά). Η δύναµη Coriolis δεν παράγει έργο (κάθετη στην κίνηση).. R f =2 (2 sin(')) 2 cos(') = = R R earth (for small changes in ' :sin(')'') +2 u R + ( r)+ d r = 0 g effective ' g + ( r)

iii. Η επίδραση της στρωµάτωσης Αν παρουσιάζεται µεταβολή πυκνότητας Δρ σε κατακόρυφη κλίµακα Η, σε ένα στοιχειώδη όγκο ρευστού που µετακινείται κατά Η αλλάζει η δυναµική του ενέργεια κατά (ρ 0 +Δρ)

11 iii. Η επίδραση της στρωµάτωσης Αν παρουσιάζεται µεταβολή πυκνότητας Δρ σε κατακόρυφη κλίµακα Η, σε ένα στοιχειώδη όγκο ρευστού που µετακινείται κατά Η αλλάζει η δυναµική του ενέργεια κατά (ρ 0 +Δρ) g Η - ρ 0 g Η= Δρ g Η. Για τυπική ταχύτητα U του ρευστού, η κινητική ενέργεια στη µονάδα του όγκου είναι ½ρ 0 U 2. Ο λόγος των δύο = παρουσιάζει τις παρακάτω περιπτώσεις: 1 2 0U 2 gh Vilho Väisälä σ ~ 1: Οι δύο µορφές ενέργειας είναι εξίσου σηµαντικές και για σηµαντικές µεταβολές της δυναµικής ενέργειας θα καταναλωθεί σηµαντική ποσότητα κινητικής ενέργειας (η στρωµάτωση είναι σηµαντική). σ << 1: Δεν υπάρχει αρκετή κινητική ενέργεια για µεταβάλει τη δυναµική ενέργεια (η ροή περιορίζεται από τη στρωµάτωση). σ >> 1: Μεταβολές στη δυναµική ενέργεια επέρχονται µε µικρές απώλειες κινητικής ενέργειας (η στρωµάτωση δεν παίζει σηµαντικό ρόλο). Άρα γενικά η στρωµάτωση παίζει σηµαντικό ρόλο για: apple 1 (π.χ. για ταχύτητα ρεύµατος 0.1 m s -1 και µεταβολές πυκνότητας 1 kg m -3 σε βάθος 100 m: σ ~ 10-2 )

12 Η σηµαντικότητα της στρωµάτωσης Αφού η επίδραση της περιστροφής είναι χαρακτηριστική για τα γεωφυσικά ρευστά, µια καλύτερη προσέγγιση της σηµαντικότητας της στρωµάτωσης είναι η σύγκριση της επίδρασης της µε την επίδραση της περιστροφής. Οι δύο επιδράσεις εξισώνονται όταν 1 and 1 αντικαθιστώντας την ταχύτητα: 2 U L 1 ) L U and L U 2 gh 1 ) U s 0 gh s 0 gh Ω ~ s -1 και g=9.81 m s -2 Ατµόσφαιρα Ωκεανός ρ0 = 1.2 kg m -3 ρ0 = 1028 kg m -3 Δρ = 0.03 kg m -3 Δρ = 2 kg m -3 L atmospehre ~ 500 km U atmospehre ~ 30 m s -1 L ocean ~ 60 km U ocean ~ 4 m s -1 H = 5000 m H = 1000 m

13 2 1 T θ Η ένταση της στρωµάτωσης καθορίζεται από την κατανοµή της πυκνότητας κατά βάθος ρ(z). Συνήθως εκφράζεται µε τη συχνότητα Brunt Väisälä s (N σε s -1 ), που δίνεται από g τη σχέση N Lower Atmosphere (schematic) 10 o C 20 o C 10 o C 20 o C 30 o C Ν 1 T ρ 2 Upper Ocean (schematic) N (smoothed) for Earth and Venus (temperaturestatic stability data from Pioneer Venus Large probe (Seiff et. Al.1980) From Venus: Hunten et al., eds., 1983, The University of Arizona Press

iv. Βασικοί νόµοι που χρησιµοποιούνται στη Δυναµική των Γεωφυσικών Ρευστών 1. Εξίσωση διατήρησης ορµής: @u @t + uru +2 ẑ u = 1 rp gẑ + r2 u (i) Μη-γραµµικότητα (non-linearity) 2.

14 iv. Βασικοί νόµοι που χρησιµοποιούνται στη Δυναµική των Γεωφυσικών Ρευστών 1. Εξίσωση + uru +2 ẑ u = 1 rp gẑ + r2 u (i) Μη-γραµµικότητα (non-linearity) 2. Εξίσωση διατήρησης της µάζας (συνέχειας): 1 d 1 T d = r u (ii) για ασυµπίεστο ρευστό r u =0 1 d Compressibility = r u C = 1 V = U L = O 10 3 U L r u Re = u ru r 2 u = U 2 L 2 UL = UL *Incompressibility (ασυµπιεστότητα) dv 1 dp = dv V Αν αλλάζει η πίεση αλλά όχι ο όγκος Χρησιµοποιώντας 1 d = V d m m V dp Άρα ένα ρευστό είναι ασυµπίεστο όταν = 1 V = C =0) 1 V dv GF usually Re 1 Boussinesq Continuity Equation 1 V dv dv =0 1 / dp d =0

15 3. Εξίσωση διατήρησης της συγκέντρωσης διαλυµένων q) + r ( qu) =S και χρησιµοποιώντας την εξίσωση συνέχειας dq = appler2 q + S q (iii) µη συντηρητικές πηγές και καταβόθρες q e.g. appler 2 q 4. Εξίσωση διατήρησης της εσωτερικής ενέργειας : de = pru + Q και χρησιµοποιώντας την εξίσωση συνέχειας µεταβολές πίεσης ψύξη/θέρµανση Πρώτος νόµος Θερµοδυναµικής de = pr d 1 + Q (iv)

16 5. Εξίσωση διατήρησης της εντροπίας: θερµοκρασία Τ(Κ) T dn = Q X k ψύξη/θέρµανση µ k S (q k) (v) µ k chemical potential Δεύτερος νόµος Θερµοδυναµικής 6. Καταστατική εξίσωση (equation of state): = (T,p,q) (vi)

17 Εξίσωση διατήρησης ενέργειας: u (i)! u u2 = u rp g w + u r 12! u2 + u F 1 = 1 2 u2 r ( u)! 1 2 u2 = pr u g w r u "p + 12 u2 #! + u F + (α) Εξίσωση διατήρησης της πυκνότητας κινητικής ενέργειας gz (g z) =g w r[u (g (β) Εξίσωση διατήρησης της δυναµικής ενέργειας (ii) and ( e) = pr u r [u ( e)] + (γ) Εξίσωση διατήρησης της πυκνότητας εσωτερικής ενέργειας

18 Αθροίζοντας τις τρεις = r [u (p + E)] + (u F + Q) where E = 1 2 u2 + g z + e Εξίσωση διατήρησης συνολικής πυκνότητας ενέργειας *Οι όροι µετατροπής από ενός τύπου ενέργειας σε άλλη εξουδετερώθηκαν. r [u (p + E)] + (u F + Q) χωρική µεταφορά ενέργειας V nˆ S ZZZ V dvol A = ZZ (Green s integral relation) S dareaa ˆn Πηγές/καταβόθρες Θέρµανση/ψύξη E = ZZZ V dvol E

19 Ocean Cascade of energy Inverse cascade Atmosphere

20 v. Ανάλυση κλίµακας - Scaling Ορισµός φαινοµένου προς µελέτη Επιλογή κατάλληλων κλιµάκων Απλοποίηση εξισώσεων εργασίας Λύση µελέτη βασικών ισορροπιών Οι βασικές εξισώσεις περιλαµβάνουν µεγάλο αριθµό διαδικασιών (από µοριακή κλίµακα µέχρι παγκόσµια κλίµακα). Ανάλογα µε το φαινόµενο που θέλουµε να µελετήσουµε, µπορούµε να επιλέξουµε τις κατάλληλες κλίµακες για αυτό το φαινόµενο. u,! U x, y! L f! f(y) w! W z! H t! T L U H W! g! g... Goal: Estimation of the relative importance of each term in the process under investigation and the possibility to simplify the basic equation by defining a dominant balance of the dynamics/ thermodynamics involved.

21 f SCALING U T U 2 L U 2 L U 2 L UW H P L fu U L 2 U L 2 U H 2 Scaling numbers: aspect ratio! = H L Non-linear These number characterise the fluid dynamics Diffusive Geometrically similar Bounded Viscous Rossby number! Ro = non-linear coriolis = U 2 L 1 fu = U fl Ekman number! Ek = viscosity coriolis = U L 2 1 fu = Reynolds number! Re = non-linear viscosity = U 2 L and many more combinations... 1 U L 2 = fl 2 or fh 2 UL

22 vi. Δυναµικός στροβιλισµός Εξίσωση διατήρησης του στροβιλισµού (vorticity): Ο σχετικός στροβιλισµός (relative vorticity) ορίζεται ως = r u Εδώ θα ασχοληθούµε µε την κατακόρυφη συνιστώσα, τον οριζόντιο Οι εξισώσεις διατήρησης της ορµής και της µάζας για 2-D κυκλοφορία (αγνοώντας κατακόρυφες διακυµάνσεις της πυκνότητας βαροτροπικό και ασυµπίεστο + + f = fu = + @y =0 (1) όπου F x και F y είναι οι µη συντηρητικές δυνάµεις (dissipation terms).

23 Αν εφαρµόσουµε το (ẑ r H ) στις εξισώσεις διατήρησης της ορµής (1) και u η οριζόντια ταχύτητα (ẑ r = (ẑ r H )(u r H ) (ẑ r H ) r Hp @t " @y u r H = @u # @

24 (ẑ r H )(fẑ ( = @x + u r H f (ẑ r H ) F H = F Συνδυάζοντας όλους + u r H = u r H f + F Άρα ο σχετικός στροβιλισµός στοιχειώδη όγκο ρευστού µπορεί να αλλάξει µόνο από τις µη συντηρητικές δυνάµεις (τριβή) και από τις χωρικές µεταβολές της =0 µπορούµε να γράψουµε την παραπάνω εξίσωση ως dq = d ( + f) = F Όπου q = ζ + f ονοµάζεται δυναµικός στροβιλισµός (potential vorticity)

Σχετικά έγγραφα

γ. Στην εξίσωση διατήρησης της τυρβώδους κινητικής ενέργειας (ΤΚΕ) εξηγείστε ποιοι όροι δηµιουργούν ΤΚΕ και ποιοι καταναλώνουν ΤΚΕ.

γ. Στην εξίσωση διατήρησης της τυρβώδους κινητικής ενέργειας (ΤΚΕ) εξηγείστε ποιοι όροι δηµιουργούν ΤΚΕ και ποιοι καταναλώνουν ΤΚΕ. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 2014 ΘΕΜΑ 1 α. Στο παρακάτω σχήµα, δίδονται δύο στρώµατα ρευστού (30 o N), που βρίσκονται σε γεωστροφική ισορροπία. Στο κατώτερο στρώµα καταγράφεται ταχύτητα 10 cm/s, ενώ η