Manual pentru clasa a 11-a

Transcript

1 Manual pentru clasa a -a F

2 Manualul a fost aprobat prin Ordinul inistrului Educaþiei ºi Cercetãrii nr 4446 din în ura evaluãrii calitative organizate de cãtre Consiliul Naþional pentru Evaluarea ºi Difuzarea Manualelor ºi este realizat în conforitate cu prograa analiticã prin Ordin al inistrului Educaþiei ºi Cercetãrii nr 35 din FIZICÃ Manual pentru clasa a XI-a: F Constantin MANTEA, Mihaela GARABET Copright 006, 008, 0 ALL Toate drepturile asupra prezentei ediþii aparþin Editurii ALL Nicio parte din acest volu nu poate fi copiatã fãrã perisiunea scrisã a editurii Drepturile de distribuþie în strãinãtate aparþin în exclusivitate editurii Descrierea CIP a Bibliotecii Naþionale MANTEA, CONSTANTIN Fizicã: anual pentru clasa a XI-a: F / Constantin Mantea, Mihaela Garabet Bucureºti: ALL, 006 Bibliogr ISBN (0) ; ISBN (3) I Garabet, Mihaela 53(07535) Referenþi: prof gr I Liviu Blanariu prof gr I Daniela Beuran Redactor: Coperta colecþiei: Tehnoredactare: Mihaela Garabet Alexandru Novac Niculina Stoica Editura ALL Bd Constructorilor nr 0A, et 3, sector 6, cod 0605 Bucureºti Tel : Fax : Distribuþie: Tel : ; Coenzi: coenzi@allro URL:

3 CK Capitolul Oscilaþii ºi unde ecanice În acest capitol veþi studia: Oscilatorul ecanic Fenoene periodice Procese oscilatorii în naturã ºi în tehnicã Mãrii caracteristice iºcãrii oscilatorii 3 Oscilaþii ecanice aortizate 4 Modelul oscilatorului liniar aronic 5 Copunerea oscilaþiilor paralele Copunerea oscilaþiilor perpendiculare* Oscilatori ecanici cuplaþi Oscilaþii ecanice întreþinute Oscilaþii ecanice forþate Rezonanþa 3 Consecinþele rezonanþei 3 Unde ecanice 3 Propagarea unei perturbaþii într-un ediu elastic Transferul de energie 3 Modelul undã planã Periodicitatea spaþialã ºi teporalã 33 Reflexia ºi refracþia undelor ecanice 34 Unde seisice 35 Interferenþa undelor 36 Acusticã 37 Difracþia undelor ecanice* studiu calitativ 38 Ultrasunete ºi infrasunete Aplicaþii în edicinã, industrie, tehnicã ilitarã Activitãþi de evaluare * Subcapitole cu caracter opþional

4 K Oscilatorul ecanic Fenoene periodice Procese oscilatorii în naturã ºi în tehnicã În secolul al XVI-lea, Galileo Galilei cronoetra oscilaþia unui candelabru din Catedrala din Pisa cu ajutorul propriului sãu puls El constata cã iºcarea acestuia este din ce în ce ai puþin aplã, datoritã forþelor de rezistenþã întâpinate la înaintare În naturã apar ulte tipuri de oscilaþii De la vibraþia corzilor vocale la cea din corzile ºi tuburile instruentelor uzicale, de la ticãitul ceasurilor clasice, la legãnatul în balansoare, de la iºcarea de agitaþie tericã care duce la încãlzirea ceºtii în care s-a turnat ceai fierbinte, la iºcãrile scoarþei terestre în tipul seiselor, ave de-a face cu existenþa unei surse de oscilaþie De câte ori o forþã acþioneazã asupra unui corp scoþându-l din poziþia de echilibru stabil, acesta va oscila sub acþiunea unei forþe de revenire pânã la restabilirea ei Atunci când deplasarea faþã de poziþia de echilibru este icã, forþa de revenire depinde liniar de deplasare (într-o aproxiaþie destul de bunã) ºi oscilaþia se nueºte aronicã fiind descrisã cu ajutorul funcþiilor aronice sin sau cos Exeple: O bilã etalicã este lãsatã liberã la arginea unui recipient seisferic Ea va efectua o iºcare oscilatorie, în jurul poziþiei sale de echilibru stabil, aflate în poziþia cea ai joasã a recipientului (figura ) Forþa care va readuce bila spre poziþia de echilibru este coponenta tangenþialã a greutãþii sale, Gt, care reprezintã cauza acestei oscilaþii (figura ) Alt oscilator este diapazonul lovit cu un ciocãnel de len Vibraþia pe care o produce se va propaga prin aerul atosferic, din aproape în aproape, dând naºtere la ceea ce nui undã sonorã Oscilaþia diapazonului din figura 3, acordat pentru a eite nota LA, a fost înregistratã spre a fi vizualizatã cu ajutorul unui icrofon (exploratorul sonic din figura 3) cuplat cu o placã de achiziþie de senal, instalatã într-un coputer Aplitudinea senalului înregistrat este proporþionalã cu aplitudinea oscilaþiei diapazonului (figura 4) Acest siste de achiziþie de senale va fi prezent în ai ulte experiente descrise în acest anual Dacã vo studia sunete vo utiliza ca senzori icrofoane, dacã vo studia alte tipuri de oscilaþii ecanice vo utiliza alþi senzori cuplaþi cu placa de achiziþie de senal din coputer Sisteele reale oscileazã aortizat: aplitudinile scad treptat din cauza acþiunii forþelor de frecare ºi a forþelor de rezistenþã la înaintarea prin ediu Miºcãrile oscilatorii pot fi întâlnite în tehnicã, în tipul funcþionãrii unor aºini precu ciocanul pneuatic, ciocanul hidraulic etc Motoarele vehiculelor grele produc trepidaþii ale pieselor coponente, ale pereþilor clãdirilor pe lângã care trec Efectele distructive ale trepidaþiilor trebuie îpiedicate prin utilizarea de aortizoare Fig Miºcare oscilatorie Fig 3 Exploratorul sonic utilizat pentru vizualizarea sunetelor eise de diapazon 4 Fig Forþa de revenire în poziþia de echilibru este coponenta tangenþialã a greutãþii Fig 4 Senalul corespunzãtor oscilaþiei sonore LA a diapazonului

5 CK Definiþie: Se nueºte iºcare periodicã a unui punct aterial acea iºcare care se repetã la intervale de tip egale Observaþie: În clasa a 9-a aþi studiat o astfel de iºcare periodicã: iºcarea circularã uniforã ACTIVITATE EXPERIMENTALÃ Realizaþi dispozitivele din figura 5 Scoateþi corpurile din poziþia de echilibru, aºa cu se indicã în figurã ºi, apoi, lãsaþi-le libere Ce observaþi? a b c d pendul pendul cu cu arc arc laelar pendul gravitaþional Fig 5 oscilaþia coloanei de apã În toate cazurile se constatã cã: a) iºcarea este periodicã; b) corpul se deplaseazã ereu pe aceeaºi traiectorie; c) iºcarea se realizeazã sietric faþã de poziþia de echilibru; d) iºcarea se efectueazã între douã poziþii liitã, nuite puncte de întoarcere, situate de o parte ºi de cealaltã a poziþiei de echilibru Definiþie: Se nueºte iºcare oscilatorie acea iºcare periodicã a unui siste fizic care se efectueazã pe aceeaºi traiectorie, de o parte ºi de alta a poziþiei sale de echilibru Observaþie: Când sisteul parcurge traiectoria coplet, ºi într-o parte ºi în cealaltã, se spune cã a efectuat o oscilaþie copletã Mãrii caracteristice iºcãrii oscilatorii Vo defini câteva ãrii fizice necesare studiului iºcãrii oscilatorii Unele dintre ele au fost prezentate ºi în clasa a 9-a, în lecþia intitulatã Miºcarea circularã uniforã Este vorba despre perioadã ºi frecvenþã Definiþie: Se nueºte perioadã a iºcãrii oscilatorii ãriea fizicã notatã T definitã de relaþia: Δt T =, N unde Δt este tipul în care sisteul efectueazã N oscilaþii coplete, [T ] SI = s Observaþie: Pentru N = rezultã T = Δt Deci: perioada T este tipul necesar efectuãrii unei oscilaþii coplete Definiþie: Se nueºte frecvenþã a iºcãrii oscilatorii ãriea fizicã scalarã ν definitã de relaþia: N ν =, Δt Observaþii: ) Luând Δt = s rezultã ν = N Deci: frecvenþa ãsoarã nuãrul de oscilaþii efectuate într-o secundã 5

6 K ) Unitatea de ãsurã a frecvenþei se nueºte Hertz (Hz): [ ν ] = s = Hz 3) Din definiþiile perioadei ºi a frecvenþei rezultã cã ν T = Definiþie: Se nueºte elongaþie a iºcãrii oscilatorii, notatã cu x sau, deplasarea oscilatorului, la un oent dat, faþã de poziþia sa de echilibru SI Observaþie: [x] SI = Definiþie: Se nueºte aplitudine a iºcãrii oscilatorii ãriea fizicã scalarã A egalã cu odulul elongaþiei axie x ax pe care o poate avea oscilatorul în cursul oscilaþiei: A = x ax O F= x Observaþie: Aplitudinea este, confor definiþiei, pozitivã întotdeauna Ea reprezintã distanþa dintre poziþia de echilibru ºi punctul de întoarcere (figura ) Fig A x A Definiþie: Se nueºte iºcare oscilatorie neaortizatã acea iºcare oscilatorie în care aplitudinea nu se schibã de la o oscilaþie la alta Miºcarea oscilatorie neaortizatã este un odel ideal În practicã, datoritã frecãrilor, sisteul pierde energie ºi, corespunzãtor, aplitudinea oscilaþiilor devine din ce în ce ai icã 3 Oscilaþii ecanice aortizate Fig 3 Siste coputerizat pentru achiziþii de senale utilizat în studiul iºcãrii oscilatorii a unui pendul elastic În tipul iºcãrilor oscilatorii sisteele pierd energie prin interacþiunea cu ediul, ceea ce duce la scãderea aplitudinii, adicã la aortizarea lor ºi iplicit la stingerea treptatã a oscilaþiilor Oscilaþia a cãrei aplitudine scade în tip se nueºte oscilaþie aortizatã Prin utilizarea plãcii de achiziþie de senal instalatã în coputer a înregistrat spre a vizualiza senalul generat de un senzor de forþã, în cârligul cãruia a fost suspendat un pendul elastic care oscileazã (figura 3) Senzorul de forþã indicã valoarea forþei elastice din resortul pendulului, deci senalul pe care îl achiziþioneazã este proporþional cu elongaþia oscilaþiei acestuia Miºcarea pendulului a avut loc iniþial în aer, apoi în apã Observaþi senalele înregistrate în figurile 3ºi 33 Ce se întâplã cu aplitudinea de oscilaþie? 6

7 CK Fig 3 Fig 33 În tipul iºcãrii, asupra corpului suspendat de resort acþioneazã o forþã de rezistenþã la înaintarea prin ediu Evident, forþa este ai puternicã în apã decât în aer, ceea ce produce aortizarea vizibilã în figura 33 Disiparea energiei oscilatorului în ediu este un proces coplex care, în general, nu se face nuai sub acþiunea acestei forþe Într-o aproxiare suficient de bunã, forþa de rezistenþã la înaintarea prin fluid este direct proporþionalã cu viteza corpului ºi poate fi descris de relaþia: R = r v unde r este coeficientul de rezistenþã la înaintarea prin fluid, g [] r = SI s Valoarea acestui coeficient, în cazul când fluidul este aerul, este suficient de icã pentru a considera forþa R neglijabilã Dacã fluidul utilizat este apa, aplitudinea oscilaþiei scade în tip dupã legea: bt A = A e 0 unde A este aplitudinea la oentul de tip t, A 0 este aplitudinea la oentul iniþial, iar b este coeficientul de aortizare, o altã ãrie caracteristicã iºcãrilor oscilatorii aortizate [ b] = s SI În cazul când oscilaþia are loc în apã, urãri dupã câte oscilaþii coplete (N 0 ) aplitudinea scade la juãtate Defini decreentul logaritic D prin relaþia: D = b T Unde T este perioada de oscilaþie în apã Decreentul logaritic D se poate calcula în practicã, Fig 34 Dependenþa de tip a aplitudinii iºcãrii oscilatorii aortizate din relaþia: ln D = N 0 O altã ãrie caracteristicã oscilaþiilor aortizate este tipul de viaþã τ, care ãsoarã intervalul de tip necesar pentru ca aplitudinea sã scadã de e =,78 ori Dacã aplitudinea este icã, b<<ω 0, unde ω 0 este pulsaþia în aer, atunci decreentul logaritic D<< ºi nuãrul de oscilaþii N 0 >>, deci în tipul de viaþã se efectueazã un nuãr are de oscilaþii Cu acelaºi siste de achiziþie coputerizatã a senalelor electrice generate de senzorul de forþã au fost înregistrate dependenþele de tip ale elongaþiei pendulului elastic aflat pe rând în soluþii apoase de iaurt Se poate evidenþia trecerea de la regiul aperiodic din ediul vâscos, prin regiul tranzitoriu o datã cu diluarea iaurtului, la regiul fãrã aortizare al oscilaþiei pendulului în aer Observaþi iaginile din figurile 35-3! Ce se întâplã cu tipul de viaþã al oscilaþiei atunci când vâscozitatea ediului scade? 7

8 K Fig 35 Fig 36 Fig 37 Fig 38 Fig 39 Fig 30 8 Fig 3 Fig 3

9 CK LUCRARE DE LABORATOR Studiul aortizãrii oscilaþiilor ecanice Veþi studia oscilaþiile unui pendul elastic cu asa cunoscutã, în edii precu aerul ºi apa Veþi calcula perioada sa de oscilaþie în aer T, ºi respectiv în apã T, cronoetrând 0-0 de oscilaþii ºi utilizând relaþia: Δt T = N Pentru iºcarea sa aortizatã în apã veþi calcula coeficientul de rezistenþã la înaintarea prin apã, r, coeficientul de aortizare, b ºi decreentul logaritic D Nuãraþi dupã câte oscilaþii coplete, N 0, aplitudinea scade la juãtate Calculaþi întâi decreentul logaritic: ln D = N 0 apoi coeficientul de aortizare ºi tipul de viaþã: D b = τ= T ' b ºi coeficientul de rezistenþã: r = b Materiale necesare sunt: pendulul elastic (figura b Fig 33 a Montajul experiental pentru deterinarea valorilor aplitudinii de oscilaþie în apã, a unui pendul elastic b Reprezentarea graficã a dependenþei de tip a aplitudinii Nr oscilaþiei Aplitudinea 33), un stativ cu suport, un vas transparent cu apã ºi un cronoetru Alegeþi un resort ºi un corp suficient de greu pentru a vã asigura cã în apã veþi obþine cel puþin 6-7 oscilaþii coplete Deviaþi pendulul din poziþia verticalã de echilibru astfel încât sã aibã o aplitudine pe care sã o puteþi uºor înregistra Notaþi valorile descrescãtoare ale aplitudinii într-un tabel de fora alãturatã Având în vedere cã iºcarea se repetã periodic ºi sietric, încercaþi reprezentarea graficã a dependenþei de tip a elongaþiei pendulului elastic Dacã aveþi posibilitatea, utilizaþi o foaie de calcul tabelar (Excel) pentru a realiza tabelul de date experientale ºi pentru a realiza reprezentarea graficã a Experient virtual: la adresa: puteþi investiga efectul forþelor de rezistenþã la înaintare în cazul unui pendul elastic virtual Modificaþi valorile paraetrilor pentru a ilustra regiurile de oscilaþie ale pendulului! 4 Modelul oscilatorului liniar aronic Cel ai siplu exeplu de iºcare oscilatorie este iºcare unui punct aterial de asã sub acþiunea unei forþe de revenire elastice (figura 4) Definiþie: Se nueºte oscilator liniar aronic un punct aterial care se iºcã rectiliniu sub acþiunea unei forþe de fora F = (sau F = x) Observaþie: Oscilatorul aronic liniar este un odel teoretic ideal pentru oscilatoarele reale Miºcarea sa de oscilaþie este nuitã iºcare oscilatorie aronicã Din ecuaþia principiului al II-lea al ecanicii, F = = a, rezultã cã a = a Întins b Relaxat c Copriat Fig 4 F = x F = x x +x O F = 0 x 9

10 K Fig 4 A A Q F cp, O A F cp t Deci: iºcarea oscilatorie aronicã este o iºcare cu acceleraþie variabilã, proporþionalã cu elongaþia ºi de sens opus acesteia Considerã un punct aterial P, în iºcare circularã uniforã, cu viteza unghiularã ω, pe un cerc de razã A (figura 4) Acceleraþia punctului P va fi: r a = ω A r cp P A x Proiecþia punctului P pe axa O (punctul Q), va executa o iºcare cu acceleraþie egalã cu proiecþia acceleraþiei centripete pe axã, adicã: acp A sin = ω ϕ = ω Pentru a urãri iºcarea punctului Q cu ajutorul unui punct aterial de asã, asupra acestuia trebuie sã acþioneze o forþã: F = acp, = ω Se constatã cã proiecþia unui punct aflat în iºcare circularã uniforã pe un diaetru al cercului traiectorie efectueazã o iºcare oscilatorie liniar aronicã sub acþiunea unei forþe F de tip elastic Coparând aceastã relaþie cu relaþia de definiþie rezultã: = ω π Deoarece ω = π ν =, rezultã cã perioada oscilatorului aronic liniar este datã de relaþia: T T = π Pendulul gravitaþional Fig 43 G= g G t = g sinq O q G t L T q A G G n Pendulul gravitaþional este forat dintr-un punct aterial de asã suspendat de un fir inextensibil de asã neglijabilã ºi de lungie L (figura 43) Dacã pendulul este deplasat din poziþia sa verticalã de echilibru ºi este lãsat liber, el oscileazã în plan vertical sub acþiunea forþei de greutate Traiectoria descrisã de punctul aterial este un arc de cerc În figura 43 s-au reprezentat ºi forþele care acþioneazã asupra punctului aterial Forþa de revenire, care tinde sã readucã pendulul în poziþia de echilibru este F = Gt = g sinθ Forþa de revenire nu este proporþionalã cu θ, ci cu sinθ ºi, de aceea, iºcarea pendulului gravitaþional nu este o iºcare aronicã Pentru unghiuri ici, dacã θ este expriat în radiani, se poate arãta cã 0 sin θ θ De exeplu, pentru θ = 0, rad (aproxiativ θ = 5,73 ), sinθ = 0,0998 Diferenþa este de Pentru unghiuri ai ici de 6 diferenþa între θ ºi sinθ este suficient de icã pentru a fi neglijatã Folosind aproxiaþia discutatã expresia forþei de revenire devine: F = g θ, unde s-a folosit ºi urãtoarea convenþie Convenþie: Pentru poziþiile pendulului situate la dreapta poziþiei de echilibru unghiul θ este considerat pozitiv, iar pentru poziþiile situate la stânga poziþiei de echilibru unghiul θ este considerat negativ Deoarece unghiul θ este expriat în radiani, x θ =, L

11 CK unde x este lungiea corzii care subîntinde arcul de cerc cuprins între poziþia de echilibru, O, ºi poziþia, A, ocupatã de punctul aterial Atunci expresia forþei de revenire ia fora g F = x x, L ceea ce aratã cã, pentru oscilaþii de icã aplitudine (unghiuri θ < 6 o ) forþa de revenire este de tip elastic ºi iºcarea pendulului este o iºcare oscilatorie aronicã Perioada T de oscilaþie a pendulului este datã de relaþia T = π Folosind aici relaþia = ( g)/l, se obþine pentru perioada de oscilaþie a pendulului gravitaþional expresia L T = π, g unde: L este lungiea pendulului, [L] SI = ; g este acceleraþia gravitaþionalã, [g] SI = /s Observaþii: ) Aceastã expresie a perioadei pendulului gravitaþional este adevãratã în cazul icilor oscilaþii, adicã atunci când firul pendulului se abate de la verticalã cu un unghi ai ic de 6 ) Perioada pendulului gravitaþional este independentã de asa sa 3) Deoarece perioada pendulului gravitaþional nu depinde nici de aplitudinea oscilaþiilor, pendulul poate fi folosit la ãsurarea tipului 4) Deoarece L ºi T pot fi uºor ºi precis ãsurate, pendulul gravitaþional poate fi folosit la deterinarea valorii acceleraþiei gravitaþionale g Experient virtual: la adresa puteþi investiga iºcarea oscilatorie a unui pendul gravitaþional virtual Modificaþi valorile paraetrilor ºi vizualizaþi dependenþele de tip ale elongaþiei, ale vitezei, ale acceleraþiei, ale forþei de revenire a pendulului în poziþia de echilibru ºi respectiv a energiei acestuia! LUCRARE DE LABORATOR Studiul experiental al unor oscilatori ecanici sipli Pendulul gravitaþional Veþi deterina perioada de oscilaþie a unui pendul bifilar (figura 44) utilizând relaþia: Δt T = N Pentru aceasta veþi cronoetra intervalul de tip Δt necesar efectuãrii unui nuãr N de oscilaþii coplete Pendulul gravitaþional oscileazã în condiþii de izocronis (aplitudine unghiularã icã) cu perioada: Fig 44 Montaj experiental pendul bifilar

12 K Dacã în aceastã relaþie se cunosc valorile deterinate ale perioadei de oscilaþie T ºi respectiv ale lungiii firului, l, atunci se poate calcula valoarea acceleraþiei gravitaþionale a locului: 4π l g = T Materiale necesare sunt: pendulul bifilar, un stativ cu suport ºi un cronoetru Deviaþi pendulul din poziþia verticalã de echilibru astfel încât sã nu aibã aplitudine unghiularã ai are de 0-5 Din punct de vedere strict ateatic ar trebui sã ne liitã la 5 pentru a fi valabilã aproxiaþia unghiurilor ici, dar extinderea propusã pânã la 5 nu afecteazã considerabil rezultatul obþinut ºi uºureazã nuãrarea oscilaþiilor coplete ale pendulului Cronoetraþi de fiecare datã un nuãr de 0-0 de oscilaþii copleteintroduceþi datele într-un tabel de fora indicatã în continuare, calculaþi valoarea edie a perioadei pendulului, erorile absolutã ºi relativã înregistrate Calculaþi apoi valoarea acceleraþiei gravitaþionale a locului unde a oscilat pendulul l() Δt (s) N T(s) T ed (s) g(/s ) g ed (/s ) Reluaþi experientul pentru diferite lungii ale firului ºi calculaþi valorile obþinute pentru perioadele de oscilaþie Reprezentaþi grafic perioada T ca funcþie de apoi valoarea acceleraþiei gravitaþionale din relaþia: l ºi calculaþi panta dreptei obþinute (p= tg α) Calculaþi 4π l g = p Coparaþi rezultatele obþinute! Dacã aveþi posibilitatea, utilizaþi o foaie de calcul tabelar (Excel) pentru a realiza tabelul de date experientale Pendulul elastic Veþi deterina constanta elasticã a unui resort prin etoda dinaicã, apoi veþi verifica experiental forula de calcul a constantei elastice a resorturilor cuplate serie sau paralel Pendulul elastic oscileazã în plan vertical (figura 45) cu o perioadã: Δ t T = () N unde Δt este tipul necesar efectuãrii unui nuãr N de oscilaþii coplete Perioada se poate calcula ºi din relaþia: T = π () unde este asa corpului ºi constanta elasticã a resortului Deterinând perioada pendulului cu pria relaþie veþi putea calcula constanta elasticã a resortului din relaþia: Fig 45 Montaj experiental pendul elastic 4π = (3) T

13 CK Pentru cuplajele de resorturi identice veþi calcula perioadele de oscilaþie cu relaþiile () ºi () În relaþia () se va utiliza pentru cuplaj serie constanta: ;, pentru resorturi identice s = s = + ; p = + p =, pentru resorturi identice (4) Materialele necesare sunt: un postaent cu tijã ºi ufe, douã resorturi identice, un corp etalic cu cârlig, un cronoetru ºi o barã etalicã etalonatã (pârghie din trusã)realizaþi ontajele experientale din figurile 45-47, scoateþi corpul de asã din poziþia de echilibru ºi cronoetraþi un anuit nuãr de oscilaþii Înregistraþi datele în tabel ºi calculaþi perioada de oscilaþie în cele trei cazuri cu forula () Aplicaþi forula (3) pentru calculul constantei elastice în versiunea experientalã exp Aplicaþi relaþiile (4) pentru calculul teoretic al aceloraºi constante elastice teor ºi coparaþi rezultatele obþinute Efectuaþi 0- ãsurãtori pentru fiecare caz Fig 46 Montaj experiental pendul elastic cu resorturi cuplate în paralel Cuplajul N Δt(s) T(s) exp (N/) teor (N/) Identificaþi sursele de erori ºi propuneþi soluþii pentru icºorarea lor Dacã aveþi posibilitatea, utilizaþi o foaie de calcul tabelar (Excel) pentru a realiza tabelul de date experientale Fig 47 Montaj experiental pendul elastic cu resorturi cuplate în serie Ecuaþiile iºcãrii oscilatorului liniar aronic Considerã din nou punctul aterial P în iºcare circularã uniforã, cu viteza unghiularã ω, pe un cerc de razã A, sub acþiunea forþei centripete: r F cp = ω r A Presupune cã la oentul iniþial punctul aterial se aflã în poziþia P 0 (figura 48), vectorul sãu de poziþie faþã de centrul cercului traiectorie fãcând unghiul ϕ 0 cu axa Ox La oentul t punctul se aflã în poziþia P, vectorul sãu de poziþie fãcând unghiul ω t + ϕ 0 cu axa Ox Corespunzãtor, proiecþia sa pe axa O este datã de relaþia: () t = A ( ω t + ) sin ϕ 0, Fig 48 P P 0 3

14 K unde: - (t) este elongaþia iºcãrii oscilatorii a proiecþiei Q la oentul t, [] SI = ; - A este aplitudinea iºcãrii oscilatorii, [A] SI = ; - ϕ() t = ω t + ϕ0 este faza iºcãrii oscilatorii (la oentul t), [ϕ] SI = rad; - ω este pulsaþia iºcãrii oscilatorii; ea reprezintã viteza de variaþie a fazei, [ω] SI = rad/s; - ϕ 0 este faza iniþialã a iºcãrii oscilatorii, ϕ = ϕ( t 0) 0 = Aceasta este legea de iºcare a oscilatorului liniar aronic Observaþie: Aceastã asociere a iºcãrii oscilatorii aronice a punctului Q cu iºcarea circularã uniforã a punctului P a peris fizicianului francez Augustin Fresnel sã introducã reprezentarea fazorialã a ãriilor care variazã dupã o lege sinusoidalã ca cea de ai sus Fazorul este un vector care are odulul egal cu aplitudinea A a oscilaþiei ºi care se roteºte în jurul originii sisteului de coordonate cu o vitezã unghiularã egalã cu pulsaþia ω a iºcãrii oscilatorii Este vectorul OP din figura 48 Din legea de iºcare a oscilatorului liniar aronic, folosind relaþia a = ω a () t = A ω sin ( ω t + ϕ ) unde: - a(t) este acceleraþia iºcãrii oscilatorii la oentul t, [a] SI = /s ; - a M = A ω este acceleraþia axiã a iºcãrii oscilatorii 0, se deduce uºor legea acceleraþiei: Folosind legea de iºcare în relaþia de definiþie a vitezei: ( t + Δt ) ( t ) v =, pentru Δt foarte ic, Δt se poate obþine ºi legea vitezei oscilatorului liniar aronic: () t = A ω ( ω t + ) v cos ϕ 0 unde: - v(t) este viteza iºcãrii oscilatorii la oentul t, [v] SI = /s; - v M = A ω este viteza axiã a iºcãrii oscilatorii Exerciþiul 4 Deduceþi legea vitezei oscilatorului liniar aronic utilizând etoda prezentatã anterior Puteþi observa cã legea vitezei ºi cea a acceleraþiei pot fi scrise ºi în fora: v a () t = A ω sin ω t + ϕ π +, () t = A ω sin( ω t + ϕ + π) 0 0 ω A Fig 49 Reprezentare fazorialã pentru viteza ºi acceleraþia oscilatorului liniar aronic Din figura 49 puteþi observa cã viteza este defazatã înainte cu π/ faþã de elongaþie, iar acceleraþia este ºi ea defazatã înainte cu π faþã de elongaþie În figura 40 sunt reprezentate grafic dependenþele de tip ale elongaþiei (t), vitezei v(t) ºi acceleraþiei a(t) pentru iºcarea oscilatorie a unui punct aterial având faza iniþialã ϕ 0 = 0 4

15 CK Exerciþiul 4 Un corp având asa de 0,5 g, legat de un perete vertical printr-un resort elastic de constantã de elasticitate = 8 N/, se poate deplasa fãrã frecare pe un plan orizontal La oentul iniþial, t 0 = 0, corpul se aflã la o distanþã 0 = 0 c de poziþia de echilibru ºi este lãsat liber Aflaþi: a) ecuaþia iºcãrii oscilatorii a corpului; b) viteza axiã v M Soluþie: Scrie legea de iºcare ºi legea vitezei v () t = A sin( ω t + ϕ), () t = A ω cos( ω t + ϕ) Elongaþia, Acceleraþia, a Fig 40 Dependenþa elongaþiei, a vitezei v ºi a acceleraþiei a ale unui punct ateriale aflat în iºcare oscilatorie aronicã Confor enunþului probleei, condiþiile iniþiale ale iºcãrii sunt ( 0) = 0, v( 0) = 0 Folosind cele douã ecuaþii în aceste condiþii rezultã cã A sin ϕ0 = 0, cos ϕ0 = 0 π De aici se gãseºte cã ϕ0 =, A = 0 π 0 sin 0 0 Ecuaþia iºcãrii ia atunci fora () t = ω t + = cos( ω t ) = cos t Folosind aici valorile nuerice se obþine în final expresia () t = 0, cos( 4 t ) Pentru viteza axiã se gãseºte cã v M = A ω = 0 = 0,4 /s Exerciþiul 43 Reprezentaþi grafic ecuaþia iºcãrii oscilatorii obþinutã la exerciþiul 4 Scrieþi ecuaþia unei iºcãri oscilatorii defazate cu π/3 în ura oscilaþiei precedente Reprezentaþi grafic ecuaþia obþinutã Exerciþiul 44 Un corp oscileazã vertical fiind suspendat de douã resorturi ideale identice, având fiecare constanta de elasticitate, legate ai întâi în serie ºi, apoi, în paralel Aflaþi raportul r al lungiilor celor douã pendule ateatice care oscileazã sincron cu corpul în cele douã situaþii Soluþie: Când resorturile sunt legate în serie, constanta de elasticitate echivalentã s este datã de relaþia: = + = s deci s = /, iar când sunt legate în paralel, constanta de elasticitate echivalentã p este: p = + = În priul caz, perioada oscilaþiilor este: Ts = π, Ls Perioada pendulului ateatic care oscileazã sincron cu corpul este: Ts = π g g Din aceste douã relaþii rezultã cã: Ls = s s 5

16 K g În od analog, pentru cazul în care resorturile sunt legate în paralel, se obþine: Lp = p L Raportul r cerut este atunci dat de relaþia: s p r = = = 4 L p s Energia oscilatorului aronic Energia ecanicã a oscilatorului aronic liniar se poate calcula pornind de la relaþia E = Ec + E p = v + Folosind aici ecuaþia vitezei ºi legea de iºcare rezultã cã E = ω A cos ( ω t + ϕ0 ) + A sin ( ω t + ϕ0 ) De aici, folosind relaþia = ω, rezultã în final cã energia oscilatorului aronic liniar este datã de relaþia E = E c + E p = A cos ωt + A sin ωt = A = ω A = π ν A Aceastã expresie aratã cã energia oscilatorului Ec + E p = Ec,ax = E p,ax = A = E aronic liniar este constantã în tip deºi energiile E cineticã ºi potenþialã variazã ca în figura 4-a p = E p,ax cos ωt În figura 4-b sunt reprezentate energia Ec = Ec,ax sin ωt cineticã, energia potenþialã ºi energia totalã în funcþie de elongaþia Din acest al doilea grafic se desprind douã concluzii iportante Mai întâi, se vede explicit cã iºcarea este liitatã Ec,ax = E p,ax = A = E la segentul ( A, +A): în caz contrar energia potenþialã ar depãºi valoarea energiei totale, ceea ce este iposibil De aceea se spune cã iºcarea oscilatorului are loc într-o groapã de energie potenþialã, cu referinþã la fora curbei care reprezintã grafic E p În al doilea rând, se constatã cã în tipul iºcãrii Fig 4 oscilatorii are loc un schib peranent de energie Considerând odelul corp de asã plus resort (figura 4) vede cã energia cineticã a corpului de asã se transforã în energie potenþialã a resortului elastic atunci când corpul se iºcã de la poziþia de echilibru spre poziþia de axiã deforare a resortului Când corpul se iºcã în sens invers are loc transferul invers de energie: energia potenþialã elasticã a resortului scade ºi se transforã în energie cineticã a corpului de asã Un astfel de siste este nuit siste ecanic oscilant: energia oscileazã între cei doi acuulatori de energie, resortul ºi respectiv, corpul de asã Exerciþiul 45 Un corp de asã = 00 g executã oscilaþii aronice Valoarea extreã a forþei elastice care acþioneazã asupra corpului este F = 00 N Energia totalã a oscilatorului este E = 40 J Consideraþi ca origine a tipului oentul în care corpul trece prin poziþia de echilibru în sensul pozitiv al axei alese Scrieþi ecuaþia de iºcare a corpului Soluþie: Confor enunþului probleei ϕ 0 = 0, deci ecuaþia de iºcare este de fora () t A ( ω t ) E Deoarece F = A ºi E = A / rezultã cã A = F = sin 6 F F F F Pe de altã parte, = =, deci ω = = = A E E E

17 CK t E F t = = () F E Atunci se obþine: () sin 0,4 sin( 50 t ) Exerciþiul 46 Sã se afle elongaþia a unui oscilator aronic în oentul în care energia sa cineticã este egalã cu cea potenþialã Aplitudinea oscilaþiilor este A = 4,4 c Soluþie: Energia totalã a oscilatorului este E = Ec + E p = A Condiþia din probleã este Ec E A = A = ± Corespunzãtor, nueric se obþine = ±0 c = p = Înlocuind aceste expresii în relaþia precedeentã rezultã cã Experient virtual: la adresa: puteþi investiga iºcarea oscilatorie a unui pendul elastic virtual Modificaþi valorile paraetrilor ºi vizualizaþi dependenþele de tip ale elongaþiei, ale vitezei, ale acceleraþiei, ale forþei de revenire a pendulului în poziþia de echilibru ºi respectiv a energiei acestuia! 5 Copunerea oscilaþiilor paralele Copunerea oscilaþiilor perpendiculare* Considerã cazul în care punctul aterial executã siultan douã oscilaþii având aceeaºi direcþie ºi aceeaºi pulsaþie ω, dar aplitudini ºi faze iniþiale diferite: Miºcarea rezultantã va fi datã de relaþia: () t = A ( ω t + ); sin 0 ϕ () t = A ( ω t + ) sin 0 ϕ () t () t () t = + Folosi cele douã expresii precedente în aceastã relaþie ºi obþine: () t = A sin( ω t + ϕ0) + A sin( ω t + ϕ0 ) = = A sin( ω t ) cos ϕ0 + A cos( ω t ) sinϕ0 + A sin( ω t ) cos ϕ0 + A cos( ω t ) = ( A cos ϕ + A cos ϕ ) sin( ω t ) + ( A sinϕ + A sinϕ ) cos( ω t ) = = A sinϕ A cos ϕ sinϕ cos ϕ 0 0 ( A cos ϕ + A cos ϕ ) sin( ω t ) + cos( ω t ) 0 0 A sinϕ 0+ A sinϕ0 Notã: tgϕ= A cosϕ 0+ A cosϕ 0 Atunci relaþia precedentã poate fi rescrisã în fora: A + A () t = ( A cos ϕ + A cos ϕ ) sin( ω t ) + cos( ω t ) 0 A cos ϕ0 + A cos ϕ = cos ϕ = A sin( ω t + ϕ), 0 0 sinϕ cos ϕ 0 0 = [ sin( ω t ) cos ϕ + sinϕ cos( ω t )] = sinϕ 0 = unde s-a notat: A cosϕ + A cosϕ A = cosϕ 0 0 7

18 K Observã cã iºcarea rezultantã este tot o oscilaþie aronicã, având aceeaºi direcþie ºi aceeaºi pulsaþie ω, dar având faza iniþialã ϕ definitã ai sus ºi având aplitudinea: + A + A cos ( ϕ ) A = A A ϕ Expresia aplitudinii A se obþine calculând cos ϕ din expresia lui tg ϕ ºi înlocuind rezultatul în definiþia lui A Observaþii: ) dacã Δ ϕ ϕ ϕ = π, ( = 0,,,K), cos ϕ = cos( π) = Concluzie: Dacã Δ ϕ ϕ ϕ = π, ( = 0,,,K) 0 Δ ºi obþine: A = A + A 0 0, aplitudinea oscilaþiei rezultante este egalã cu sua aplitudinilor A ºi A ale oscilaþiilor coponente Se spune cã oscilaþiile sunt în fazã ) dacã Δ ϕ ϕ ϕ = ( + ) π, ( = 0,,,K), cos ϕ = cos( + ) π = 0 0 Concluzie: Dacã Δ ϕ ϕ ϕ = ( + ) π, ( = 0,,,K) Δ ºi obþine A = A A, aplitudinea oscilaþiei rezultante este egalã cu valoarea absolutã a diferenþei aplitudinilor, A ºi A, ale oscilaþiilor coponente Se spune cã oscilaþiile sunt în opoziþie de fazã t = A sin ω t + ϕ0, t = A sin ω t + ϕ0 Reprezentã aceste oscilaþii cu ajutorul fazorilor A r ºi A r (figura 5) Aceºti vectori se aflã iniþial în poziþiile din figura 5, fazele iniþiale fiind unghiurile pe care ei le fac cu axa Ox Modulele acestor Fig 5 vectori sunt aplitudinile de oscilaþie ale celor douã iºcãri oscilatorii La oentul iniþial cei doi fazori încep sã se roteascã în sens trigonoetric cu viteza unghiularã w Proiecþiile lor pe axa O depind de tip confor celor douã relaþii de ai sus Miºcarea rezultantã va fi datã de relaþia: () t = () t + () t Metoda fazorialã Aºa cu se vede din figurã (t) este proiecþia pe axa O a fazorului: r r r A = A + A Considerã cazul în care punctul aterial executã siultan douã iºcãri oscilatorii pe aceeaºi direcþie ºi cu aceeaºi pulsaþie ω, dar având aplitudini ºi faze iniþiale diferite () ( ) () ( ) Acest fazor se roteºte odatã cu fazorii coponenþi cu aceeaºi vitezã unghiularã ω, ºi reprezintã iºcarea oscilatorie rezultantã: () t = A sin ( ω t +ϕ) Confor regulii paralelograului, odulul fazorului rezultant, care dã aplitudinea iºcãrii de oscilaþie rezultantã, este dat de relaþia: A = A A cos( ϕ ) + A + A 0 ϕ0 Faza iniþialã a iºcãrii rezultante este datã de unghiul ϕ 0 pe care îl face iniþial fazorul rezultant A r cu axa Ox Aºa cu se vede din figurã: + A sinϕ 0+ A sinϕ0 tg ϕ= = = x x+ x A cosϕ 0+ A cosϕ0 Astfel, copunând fazorial oscilaþiile aronice paralele, se regãsesc rezultatele obþinute prin etoda analiticã 8

19 CK Fenoenul intitulat bãtãi se produce atunci când un punct aterial este supus siultan la douã oscilaþii paralele de frecvenþe puþin diferite Miºcarea lui nu ai este o oscilaþie aronicã, aplitudinea rezultantã este variabilã (figura 5) Exerciþiul 5 Un corp este supus siultan la douã iºcãri oscilatorii aronice paralele: (t) = 4 sin π(t + /3) (c) ºi (t) = 3 sin π(t + /4) (c) Aflaþi ecuaþia iºcãrii oscilatorii rezultante Soluþie: Ecuaþiile celor douã iºcãri oscilatorii sunt: Fig 5 Bãtãi π 3 π () t = 4 sin π t + a sin( ωt + ϕ ), () t = 3 sin π t + a sin( ωt + ϕ ) Oscilaþia rezultantã are ecuaþia: (t) = (t) + (t) = A sin (ωt + ϕ) Aplitudinea A a iºcãrii oscilatorii rezultante este datã de relaþia: π π A = a + a + a a cos = 6,76 c, 3 iar faza iniþialã, ϕ, se obþine din relaþia: a sinϕ + a sinϕ tgϕ= = 3,3 a cosϕ + a cosϕ Deciϕ = arctg 3,3 Ecuaþia iºcãrii oscilatorii rezultante este, deci, urãtoarea: (t) = 6,76 sin (π t arctg 3,3) (c) Copunerea oscilaþiilor perpendiculare de aceeaºi frecvenþã* Un punct aterial P, este supus siultan acþiunii a douã oscilaþii perpendiculare cu aceeaºi frecvenþã, ca în figura 53: x = A sin (ωt + ϕ ) () = A sin (ωt + ϕ ) () Punctul aterial va descrie o traiectorie ale cãrei ecuaþii paraetrice sunt ecuaþiile () ºi () Vo eliina tipul între ecuaþiile: x sin t cos cos t sin cos A = ω ϕ + ω ϕ ϕ sin t cos cos t sin cos A = ω ϕ + ω ϕ ϕ Prin scãderea lor ebru cu ebru se obþine ecuaþia (3): x cos ϕ cosϕ = cos ϕ t A A (3) Fig 53 9

20 K Procedând analog prin înulþirea ecuaþiilor cu sin ϕ, respectiv sin ϕ se obþine ecuaþia (4): x sin ϕ sin ϕ = sinωt sin( ϕ ϕ ) (4) A A Ecuaþiile (3) ºi (4) vor fi ridicate la pãtrat ºi adunate ebru cu ebru, rezultând ecuaþia (5): x x + cos ϕ ϕ = ϕ ϕ A A A A ( ) sin ( ) Ea reprezintã ecuaþia unei elipse înscrise în dreptunghiul cu laturile A ºi respective A În funcþie de valorile diferenþei de fazã Δϕ = ϕ ϕ, traiectoria iºcãrii rezultante poate avea diferite fore (5) ) Δϕ = π, unde = 0,,, 3,, ecuaþia (5) devine: x A A A A = 0, = deci traiectoria punctului aterial este o dreaptã care trece prin originea sisteului de axe utilizat, reprezentând diagonala dreptunghiului din figura 54 x Fig 54 Când = 0, ϕ = ϕ = ϕ, elongaþia iºcãrii oscilatorie rezultante se poate obþine din relaþia: OP = x + = A + A sin ( ω t +ϕ) deci pulsaþia iºcãrii oscilatorii a punctului P este identicã cu pulsaþiile iniþiale ) Δϕ = ( + )π, unde = 0,,, 3,, ecuaþia (5) devine: x A 0, A A A + = = adicã, tot iºcare oscilatorie a punctului P dar pe cealaltã diagonalã a dreptunghiului din figura 54 x Fig 55 3) π Δϕ = iºcãrile oscilatorii sunt la cvadraturã: ( ) x = Asin ω t+ ϕ π = A sin t ω + ϕ + = A + ω t +ϕ ( cos ) Acu iºcarea punctului P se va face pe o elipsã (figura 55) de ecuaþie: x A + = A Dacã A = A = A, elipsa devine cerc: x + = A 0