y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

Transcript

1 Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului M care împarte segmentul (AB) în raportul k: + k + k =, = + k. EcuaŃia dreptei. Drepte paralele cu aele de coordonate: (d): = a, (d O); (d): = b, (d O). Dreapta determinatã de punctul M o ( o, o ) şi vectorul nul a( u, v) : ( d ) : r = ro + ta, t R, ro -vectorul de pozińie a lui M o ; r-vectorul de pozińie a unui punct M al dreptei d. = o + ut ( d ) :, t R, ecuańiile parametrice; = o + vt. EcuaŃia eplicitã: =m + n (m R*, n R, m panta, n ordonata la origine);. EcuaŃia prin tãieturi: + = 0,( a, b R *); 5. EcuaŃia dreptei de pantã m, prin punctul M o ( o, o ): o = m( o ), (m 0); 6. EcuaŃia dreptei determinatã de punctele A(, ), B(, ): ( ), =,(, ) = = sau 0 7. EcuaŃia generalã: a + b + c = 0; 8. Aria triunghiului ABC (A(, ), B(, ), C(, )): A ABC =, unde =, dacã = 0 atunci A, B, C sunt colineare 9. PoziŃia relativã a dreptelor (d ) şi (d ): ( d) : a + b + c = 0 şi ( d ) : a + b + c = 0 +

2 c c d = d, dacã = = ; d d, dacã = ; c c d d şi d d, dacã 0. DistanŃa de la punctul M o ( o, o ) la dreapta (h): a + b + c = 0 a0 + b0 + c d( M, h) = a + b. Unghiul α determinat de dreptele: m m ( d) : = m + n şi ( d ) : = m + n tg α =,( m m ) + m m d d, dacã m m = -. Cercul Cercul C de centru M(a,b) şi razã r:. EcuaŃia cercului ( a) + ( b) = r ; dacã M(a,b) = O(0,0): + = r ;. EcuaŃia generalã: + + m + n + p = 0, unde r = (m + n ) p. m a =, b = n şi. Conice raportate la aele de simetrie. Elipsa E: F(c,0), F (-c,0), A(a,0), A (-a,0), B(0,b), B (0,-b), MF + MF = a, M E EcuaŃia elipsei: + = 0, b + c = a EcuaŃia tangentei în punctul M( o, o ), M E: o o + = 0. Hiperbola H: F(c,0), F (-c,0), A(a,0), A (-a,0), MF MF = a, M H. EcuaŃiea hiperbolei: = 0, c b = a EcuaŃia tangentei în M o ( o, o ), M o H: 0 0 = 0 b a. Parabola P: F( p,0), h: = - p (h dreapta directoare): d(m,h) = MF, M P. EcuaŃia parabolei P: = p EcuaŃia tangentei în M o ( o, o ), M o P: o = p( + o )

3 Probleme rezolvate. Se dă hiperbola H de ecuańie: = 0 9 a) Să se afle ecuańia tangentei la hiperbolă în punctul T(,). b) Să se calculeze aria triunghiului format de asimptotele hiperbolei H şi de dreapta de ecuańie 9+-=0. R. a) Verificăm dacă T0H: = 0 EcuaŃia tangentei se obńine prin dedublarea ecuańiei hiperbolei: 0 0 = 0 Y t: = 0 6 = 0 9 b b) Asimptotele = ± a Calculăm coordonatele punctelor de intersecńie: = = A(;) = 9 + = 0 = = B(;-6) = = S AOB = ( ), =, S AOB = = = 6. Se dă cercul de ecuańie + -+=0. Să se scrie ecuańia dreptei care trece prin centrul cercului dat şi este perpendiculară pe dreapta de ecuańie +-=0. R. C: =5 (-) +(+) =5 Centrul cercului M 0 (,-) d: +-=0 Y = + Y m d =-/ m h =-/m d =/ h: - 0 =m h (- 0 ) Y + = ( ) h: --8=0. Să se determine aria triunghiului ABC determinat de dreptele de ecuańii: (AB): -+=0 (BC): ++=0 (AC): ++= = + = + = R. ABBC={B} B: B, = + + = 5 5 = 5 5 / + 6 = 0

4 ABAC={A} A: 8 = 0 = + = 0 8 A, = = = + + = 0 = C, + + = 0 = BCAC={C} C: ( ) A ABC = = = A ABC = Să se scrie ecuańia cercului circumscris triunghiului ABC, unde vârfurile triunghiului au coordonatele A(,5), B(5,) şi C(-,). R. Calculăm pantele dreptelor AB şi AC: m = 5 mab = = 5 mab = AB AC ABC este dreptunghic centrul cercului 5 m m AC AC = = circumscris este la mijlocul [BC]. M 0 : + 0, + = = 0 = = BC BC ( ) + ( ) (5 + ) + ( ) 50 r = r = = = = 50 C : ( 0 ) + ( 0) = r + =. 5. Paralelogramul ABCD are vârfurile consecutive A şi B de coordonate A(-,-) şi B(, ). Se ştie că punctul Q(, ) este intersecńia diagonalelor paralelogramului. Să se afle coordonatele vârfurilor C şi D şi ecuańia laturii BC. R. Coordonatele mijlocului unui segment sunt: + 0, + = 0 = + + Q -mijlocul segmentului AC Y = Y =9 şi = Y =0. Atunci C(9,0) + + Q -mijlocul segmentului BD Y = Y = şi = Y = 9. Atunci D(, 9 ) EcuaŃia dreptei CD: =

5 0 9 9 = = 0 = 9 8 CD: 9-0-8= În sistemul cartezian de coordonate O se consideră punctele A ( 0, ), B(-,0), C(,0). a) Să se reprezinte punctele şi să se arate că triunghiul ABC este echilateral. b) Să se determine coordonatele punctului D, simetricul lui C fańă de dreapta AB. Să se scrie ecuańia cercului de centru D şi care trece prin A. R. a) Prin calcul BC==AB=ACY ABC echilateral. b) Fie D(u,v) simetricul lui C fańă de AB şi M mijlocul lui [AB]Y M(-, ) este mijlocul segmentului [DC]. Atunci u + v + 0 = ; =, de unde u = ; v = D(-, ). Cercul care trece prin A şi are centrul în D este C(D,r), unde ( ) ( ) r = AD = 0 + =. Deci C: (+) +(- ) =6. 7. În sistemul cartezian de coordonate O se consideră punctele A(0,) şi B(-6,0). a) ScrieŃi ecuańiile medianelor duse din A şi B, determinańi coordonatele lui G, centrul de greutate al triunghiului AOB. ReprezentaŃi punctele şi dreptele. b) Care este pozińia centrului cercului circumscris; dar a ortocentrului triunghiului AOB? DemonstraŃi că aceste două puncte şi G sunt coliniare. R. a) Fie AOB şi M, respectiv N mijloacele segmentelor [AO], respectiv [BO], atunci M 0, şi N (,0) şi BM: = ( + 6), iar AN: = ( + ) ecuańiile medianelor din B, respectiv A şi cum {G}=BM ANYG(-,). b) Cum A0O şi B0OY AOB e dreptunghic în O, deci centrul cercului circumscris e la mijlocul Q al ipotenuzei [AB]YQ(-, ) iar ortocentrul AOB e O(0,0) şi cum d = = = + = 0 deci punctele Q,O şi G sunt coliniare În sistemul cartezian de coordonate O se consideră punctele A(,0) şi B(0,). a) Să se determine coordonatele punctului D, mijlocul segmentului [AB]. ScrieŃi ecuańia mediatoarei d a segmentului [AB]. b) Să se determine coordonatele următoarelor puncte: {E}=dOB, {F}=dOA, M mijlocul segmentului [AE] şi N mijlocul segmentului [BF]. Să se verifice dacă dreptele MD şi ND sunt perpendiculare. Dar MO şi ON? R. a) a) D +, +, deci D, şi m AB = = ; 0 5 d : = d : = 5 b) {E}=d ΟΒ, unde OB=OY E,0 6 ; {F}=d ΟΑ, unde OA=OY 5 F 0, 5

6 M mijlocul lui [AE]Y M,0 ; N mijlocul lui[bf]y N 0, m MD = =, iar m 8 ND = = = 5 şi mmd mnd Y MD şi ND nu sunt 0 8 perpendiculare. MO=O, iar ON=O şi cum O OYMO ON. 9. În sistemul cartezian de coordonate O se consideră elipsele de ecuańii: + = şi =. 6 Pentru fiecare elipsă să se scrie ecuańia tangentei în punctul de abscisă şi ordonata pozitivă. Să se arate că cele două tangente se intersectează într-un punct situat pe aa O. ReprezentaŃi grafic elipsele şi tangentele. R. a) Coordonatele punctelor: A, pentru E, B (, ) pentru E EcuaŃiile tangentelor: t : + =, pentru E, t : + =, pentru E IntersecŃia tangentelor: T(8,0) Reprezentarea grafică: 0. În sistemul cartezian de coordonate O se consideră elipsele de ecuańii: + = şi =. 6 Pentru fiecare elipsă să se scrie ecuańia tangentei în punctul de abscisă şi ordonata negativă. Să se arate că cele două tangente se intersectează într-un punct situat pe aa O. ReprezentaŃi grafic elipsele şi tangentele. 9 R. a). Pentru = şi <0 se obńine + = =, adică A, E De ecuańie + =, respectiv B, E de ecuańie + = Tangenta t în A la E are ecuańia t : =, adică 9-0=75 8 Tangenta t în B la E are ecuańia t : =, adică 7-0=5 5 t t ={C}, unde C,0 O.. În sistemul cartezian de coordonate O se consideră triunghiul care are laturile pe dreptele: (AB): +-7=0 (BC): -+=0 6

7 (AC): -5-=0 a) DeterminaŃi coordonatele vârfurilor triunghiului. ReprezentaŃi triunghiul ABC. b) ScrieŃi ecuańiile mediatoarelor segmentelor [AB] şi [BC]. DeterminaŃi coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC. + 7 = 0 = R.a) AB AC={A}, A: ; 5 = 0 = + 7 = 0 = AB BC={B}, B: ; + = 0 = + = 0 = 7 BC AC={C}, C:. 5 = 0 = 5 b) Centrul cercului se găseşte la intersecńia mediatoarelor laturilor [AB] şi [BC]. + = = M: =, N:. + = = = EcuaŃiile mediatoarelor: - 0 =m(- 0 ) Pantele: mab = = ; mbc = ; mmm ; 0 NM 0 = m m = = m = EcuaŃiile mediatoarelor: MM 0 : = ; NM 0 : = ( ) Coordonatele centrului cercului se obńine rezolvând sistemul format din cele două ecuańii: 59 = = M 0 :. 58 ( ) = =. În sistemul cartezian O se consideră cercul C de ecuańie: + =6 şi punctul A(,). a) DeterminaŃi centrul şi raza cercului. PrecizaŃi, prin calcul, pozińia punctului A fańă de cerc. ReprezentaŃi cercul. b) ScrieŃi ecuańia dreptei d care trece prin A şi centrul cercului. Fie M(a,b) un punct pe cerc. DeterminaŃi punctul M astfel încât tangenta la cerc în M să fie paralelă cu dreapta d. R.a) Din ecuańia C: (- 0 ) +(- 0 ) =r avem 0 =0, 0 =0, r= d( O, A) = ( ) + ( ) = + = 5 < YA0IntC. b) m OA =, ecuańia dreptei OA: - 0 =m(- 0 ) d: =. EcuaŃia tangentei la cerc: =r şi din M(a,b) obńinem: a+b=6 care are panta a mt = egală cu m OA Y a=-b. b Din M0C Y a +b =6 Avem: b +b =6 Y b = ± ; a = În sistemul de coordonate O se consideră punctele A(5,0), B(,) şi dreapta d de ecuańie +-=0. a) ReprezentaŃi dreapta şi punctele. ScrieŃi ecuańia mediatoarei segmentului [AB] şi determinańi intersecńia ei cu dreapta d. b) Să se stabilească ecuańia cercului care trece prin A, B şi are centrul pe dreapta d. + + R.a) M 0 : 0 = =, 0 = = ; m AB = =, m med = AB BC 7

8 med: - 0 =m(- 0 ) Y-=- IntersecŃia cu dreapta d este punctul C care se obńine rezolvând sistemul format din ecuańiile dreptei d şi a mediatoarei. + = 0 = C: = 0 = ( ) + = 0 b) Centrul cercului se află în punctul C(,), iar raza r=ca= ( ) EcuaŃia cercului C: (- 0 ) +(- 0 ) =r (-) +(-) =0 Y =0.. În sistemul cartezian de coordonate O se consideră dreapta d de ecuańie +-=0. a) DeterminaŃi coordonatele punctelor A şi B, intersecńiile dreptei d cu aele O, respectiv O. ReprezentaŃi dreapta. PrecizaŃi panta dreptei AB. 0 b) Ştiind că [AB] este latura unui trapez dreptunghic ABCD, cu m( A ˆ) = 90 şi BC**AD, având toate vârfurile pe aele de coordonate, scrieńi ecuańiile dreptelor BC şi CD. DeterminaŃi coordonatele punctelor C şi D. R. a) d O =0Y= A(,0) d Ο =0Y= B(0,), m AB = b) AD ABY m AD = YAD: - 0 =m(- 0 )Y = ( ) D: =0Y=- 9 D(0,- 9 ) BC ABY m BC = YBC: = 6 6 C: =0Y =,0 C 5. În sistemul cartezian de coordonate O se consideră punctul B(,) şi dreptele d, d de ecuańii d : +-5=0, d : --=0. a) Să se determine coordonatele lui A, punctul de intersecńie al celor două drepte. ReprezentaŃi dreptele şi calculańi lungimea segmentului [AB]. b) ScrieŃi ecuańia cercului de centru A şi care trece prin B. R. + 5 = 0 a) A: ; A(,) = 0 AB= ( ) + ( ) AB= b) r =8 C: (- 0 ) +(- 0 ) =r (-) +(-) = =0 6. În sistemul cartezian de coordonate O se consideră punctele A(0,), B(-,0) şi C(,0). a) ReprezentaŃi punctele şi calculańi distanńele BC şi AC. b) Să se scrie ecuańiile mediatoarelor segmentelor [AB] şi [BC]. DeterminaŃi centrul şi raza cercului circumscris triunghiului ABC. R. a) d(b,c)=5; d( A, C ) = + = 5 0 b) M(-,) e mijlocul lui [AB] şi m AB = =. 0 ( ) 8

9 EcuaŃia mediatoarei lui [AB] este a: = ( + ). N,0 e mijlocul lui [BC] şi m BC=0. EcuaŃia med. lui [BC] este b: =. Fie G centrul cercului circumscris ABC Y{G}=a b. = ( + ) 5 Din G,, iar raza cercului circumscris e r = + =. = 7.. În sistemul cartezian de coordonate O se consideră punctul M(,) şi dreptele d,d de ecuańii d : +-=0 şi d : -+=0. Se notează cu A, punctul de intersecńie al dreptelor d şi d. a) Să se determine coordonatele punctului A. Să se reprezinte grafic dreptele d şi d. b) Să se scrie ecuańia dreptei AM. c) Să se scrie ecuańia dreptei care trece prin A şi este paralelă cu primisectoare. 7 R. a) {A}=d d Y A, b) AM: = 5 ( ) Y 8-7+5=0. 5 c) Primisectoare: = cu m= 7 Dreapta d paralelă cu primisectoare ce trece prin A Y d : = sau 5-5+= În sistemul cartezian de coordonate O se consideră punctul M(5,0) şi elipsa de ecuańie + =. 6 9 a) ReprezentaŃi elipsa şi precizańi, prin calcul, pozińia punctului M fańă de elipsă. b) Să se determine coordonatele punctelor P situate pe elipsă, astfel încât tangenta în P la elipsă să treacă prin M. ScrieŃi ecuańiile tangentelor la elipsă. DeterminaŃi pantele tangentelor. R. a) A(,0); A'(-,0); B(0,); B'(0,-), AA' aa mare şi BB' aa mică Pentru M(5,0) avem: + = > M0eteriorului elipsei u v b) Fie P(u,v)0E Y + = (*) 6 9 u v Tangenta în P: + = care conńine pe M(0,5) de unde 5 u 0 v + = u = 6 şi apoi din (*) Y v = şi v =, deci eistă două puncte cu proprietatea cerută: P, şi P, z Tangenta în P e t : = cu panta m = 5 5 z Tangenta în P e t : + = cu panta m = În sistemul cartezian de coordonate O se consideră punctele A(-,) şi B(,). a) Să se determine ecuańia cercului C de centru A şi care trece prin B. ReprezentaŃi cercul C. b) Să se scrie ecuańiile tangentelor la cerc în punctele care au abscisa =-. Să se arate că tangentele sunt paralele cu aa O. R. a) r = AB = + =, C: (+) +(-) =8 9

10 b) Dacă =- Y (-) =8 Y -= ± Y T (-,- ); T (-,+ ). EcuaŃia tangentei în T : (+)(-+)+(-)(- -)=8 Y =- EcuaŃia Tangentei în T : (+)(-+)+(-)(+ -)=8 Y =+. 0