KΕΦΑΛΑΙΟ 1. H Εξίσωση Laplace. Προβλήματα Dirichlet και Poisson.

Transcript

1 KΕΦΑΛΑΙΟ H Εξίσωση Laplace Προβλήματα Dirichlet και Poisso Eισαγωγή Είναι γνωστό ότι το ηλεκτρικό πεδίο E που προκαλείται από ακίνητο μοναδιαίο σημειακό φορτίο στην αρχή των αξόνων σε z δίνεται από τη σχέση σημείο K 3 E ( K =σταθερά) όπου z Το ηλεκτρικό πεδίο E είναι συντηρητικό στο 3 ως πεδίο κλίσεων δηλαδή υπάρχει συνάρτηση δυναμικού έτσι ώστε 3 : : E στο 3 K με την υπόθεση ότι το δυναμικό στο άπειρο είναι μηδέν Είναι 3 εύκολο να δούμε ότι πεδίο E είναι και ασυμπίεστο στο δηλαδή Γενικότερα η γραμμική ΜΔΕ ης τάξης καλείται εξίσωση Laplace ή εξίσωση δυναμικού οι δε λύσεις αυτής καλούνται αρμονικές συναρτήσεις Επιπλέον κάθε εξίσωση της μορφής 4

2 f όπου f f είναι γνωστή συνάρτηση στο καλείται εξίσωση Poisso Μια φυσική ερμηνεία της εξίσωσης Poisso μας δίνει ο νόμος Gauss του ηλεκτροστατικού πεδίου : όπου είναι πυκνότητα φορτίου στον Αν είναι το δυναμικό του πεδίου (δηλαδή ) τότε η παραπάνω σχέση γράφεται ισοδύναμα ως μια εξίσωση Poisso: Λύνοντας την εξίσωση Poisso δίνουμε απάντηση στο πρόβλημα εύρεσης ηλεκτροστατικού πεδίου που παράγεται από κατανομή φορτίου Αν έχουμε παντελή απουσία φορτίων τότε αναγόμαστε στην επίλυση του προβλήματος Laplace Aρμονικές συναρτήσεις Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε τις ιδιότητες των λύσεων της εξίσωσης Laplace δηλαδή των αρμονικών συναρτήσεων Υπενθυμίζουμε τη σελ 4 που επεξηγεί την ορολογία που χρησιμοποιούμε Πρόταση (Μέσης τιμής) Εστω uc συνάρτηση σε ανοικτό σύνολο του και B είναι αρμονική r Τότε: και u u ds B r B r u B r u d B r 4

3 Απόδειξη Για σταθεροποιημένο έστω r u ds B r B r Xρησιμοποιώντας γνωστές ιδιότητες (βλ παράγραφο «Χρήσιμα Στοιχεία Θεωρίας» του Κεφ ) έχουμε για r : r w w r u r r ds u r ds B S Παρατηρούμε ότι lim r w r uds u S λόγω συνεχείας της u στο σημείο Παραγωγίζουμε ως προς και τα δυο μέλη και παίρνουμε r w S r u r ds u B R B R r ds B R B R u d Παραπάνω στην η ισότητα εφαρμόσαμε κανόνα αλυσίδας u r u r u r u r r και στη συνέχεια αλλαγή μεταβλητής r Παρατηρώντας ότι το διάνυσμα είναι το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα πάνω r στη σφαίρα B R με φορά προς την εξωτερική της όψη με εφαρμογή του Θεωρήματος απόκλισης και της υπόθεσης ότι η u 4

4 είναι αρμονική στο παίρνουμε r r Αρα lim r c u c r άλλη μεριά: u B r ) για κάποια πραγματική σταθερά (άρα c και προκύπτει το ζητούμενο Απ την u d r B r B r B r u ds d S w r r B u u r w u d B r B r B r B r u B r u u B r B r Ισχύει και το αντίστροφο της Πρότασης Πρόταση Αν είναι ανοικτό σύνολο του είναι έτσι ώστε u u ds B r B r και uc στο σύνορο κάθε μπάλας B r τότε η u είναι αρμονική στο Απόδειξη Αν u για κάποιο κάποια ανοικτή μπάλα B r έτσι ώστε πχ u B r Για σταθεροποιημένο έστω r u ds u B r B r τότε θα υπήρχε για κάθε όπου η τελευταία ισότητα ισχύει λόγω υπόθεσης Τότε r αλλά όπως δείξαμε στην απόδειξη της Πρότασης ισχύει B R B R r u d > Καταλήξαμε σε άτοπο συνεπώς η u είναι αρμονική στο 43

5 Αποδεικνύεται ότι κάθε αρμονική συνάρτηση παραγώγους κάθε τάξης στο δηλαδή u στο έχει u αρμονική στο u C Ισχύει η ακόλουθη εκτίμηση για τις μερικές παραγώγους της u : Πρόταση 3 Εστω σύνολο του B u είναι αρμονική συνάρτηση σε ανοικτό r Τότε: και Απόδειξη Eχουμε uc u j u ma u j r B r j και είναι εύκολο να δούμε ότι και η είναι αρμονική συνάρτηση για κάθε j συνεπώς από την Πρόταση Μέσης Τιμής και το Θεώρημα Απόκλισης έχουμε u u d u d j B r B r B r B r όπου j B r σ σ σ B r u ds j B r u σ σ ds σ B r j είναι η j-συνιστώσα της μοναδιαίας καθέτου σημείο της σφαίρας B r της όψη Αρα: B r σε κάθε με κατεύθυνση προς την εξωτερική B r B r B r r ma B r B u ma u ds σ u j r B B ma u ma u ma u r B B r r B B r r B r 44

6 Σημείωση Οι εκτιμήσεις της Πρότασης 3 γενικεύονται και για μερικές παραγώγους ανώτερης τάξης Σημειώνουμε ότι κάθε αρμονική συνάρτηση δεν έχει μόνον παραγώγους κάθε τάξης σε κάθε σημείο της αλλά αναπτύσσεται και σε σειρά Talor γύρω από κάθε σημείο της Πρόταση 4 Αν u είναι αρμονική συνάρτηση σε ανοικτό σύνολο τότε η είναι αναλυτική συνάρτηση στο αναπτύσσεται σε σειρά Talor γύρω από κάθε σημείο του ) u (δηλαδή Απόδειξη Παραλείπεται Θεώρημα Κάθε φραγμένη και αρμονική συνάρτηση στον είναι η σταθερή συνάρτηση Απόδειξη Αν u είναι αρμονική συνάρτηση στον είναι και φραγμένη στον u M στον την Πρόταση 3 έχουμε: δηλαδή και επιπλέον τότε από Aρα u j u M r r j για κάθε j και για κάθε Τελικά η u είναι σταθερά στον Θεώρημα (Αρχή μεγίστου-ελαχίστου) συνεπώς u (α) Ισχυρή μορφή: Eστω είναι ανοικτό και συνεκτικό σύνολο του u είναι αρμονική συνάρτηση στο και η u παρουσιάζει ολικό μέγιστο ή ολικό ελάχιστο στο Τότε η u είναι σταθερή στο (β) Ασθενής μορφή: Eστω είναι ανοικτό συνεκτικό και φραγμένο σύνολο του και u είναι αρμονική συνάρτηση στο και συνεχής στο σύνορο του Τότε: ma u ma u mi u mi u 45

7 3 Λύση της εξίσωσης Laplace στον Στην παράγραφο αυτή περιοριζόμαστε στις δυο διαστάσεις Kάθε ομογενής γραμμική ΜΔΕ της μορφής όπου u C : u u au hu bu και a b h είναι πραγματικές σταθερές καλείται ΜΔΕ Euler H γενική λύση αυτής υπολογίζεται θέτοντας αρχικά: p q r s όπου p q r s είναι αυθαίρετες σταθερές έτσι ώστε Τότε: άρα: ps qr u u u pu ru u u u qu su u pu ru p u u r u u Oμoίως: και p u pru r u u q u squ s u u pqu ( rq sp) u rsu Αντικαθιστώντας στην αρχική ΜΔΕ παίρνουμε ap hpq bq u apr bsq h rq sp u ar hrs bs u () Επιλέγουμε τώρα τις σταθερές p q r s έτσι ώστε pr και οι qs να είναι οι λύσεις της εξίσωσης 46

8 Τότε η () γράφεται ως εξής: a h b b () Αλλά: και η (3) γίνεται: a h b u (3) hb / a/ b 4 ab h u Εστω 4ab h Τότε: και εφόσον u u A u A B παίρνουμε τη μερική λύση όπου A B C u A B είναι αυθαίρετες συναρτήσεις με συνεχείς μερικές παραγώγους ης τάξης και όπως παραπάνω Στη συνέχεια διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: A 4ab h (Υπερβολική ΜΔΕ) Οι ρίζες της () είναι πραγματικές και άνισες συνεπώς η γενική λύση δίνεται από τη σχέση u A B Β 4ab h (Ελλειπτική ΜΔΕ) Οι ρίζες της () είναι συζυγείς μιγαδικές της μορφής 47

9 C id id C οπότε η γενική λύση δίνεται από τη σχέση u A C id B C id Η εμφάνιση μιγαδικών ορισμάτων είναι μια γενικότερη ιδιότητα των ελλειπτικών συστημάτων Η εξίσωση Laplace u u είναι μια ελλειπτική εξίσωση Euler με a b h Τότε η () παίρνει τη μορφή i και συνεπώς η γενική λύση της διδιάστατης εξίσωσης Laplace είναι της μορφής: u A i B i Γ 4ab h (Παραβολική ΜΔΕ) Στην περίπτωση αυτή θεωρούμε p και q r s οπότε η () γίνεται a hq bq u ar bsq h rq s u ar hrs bs u Αν το q επιλεγεί να είναι ρίζα της εξίσωσης (4) a h b τότε εφόσον 4ab h παίρνουμε: h q b 48

10 Ετσι ο ος και ο ος όρος της (4) μηδενίζονται διότι h h r ar bsq hrq s ar bs hr s 4ab h b b b Αν λοιπόν ar hrs bs παίρνουμε u u A u B A h h u B r s A b b όπου A B C είναι αυθαίρετες συναρτήσεις και αυθαίρετες σταθερές rs είναι Σημείωση: Eστω u u είναι η διδιάστατη εξίσωση Laplace και cos si si cos είναι στροφή του καρτεσιανού συστήματος κατά γωνία αντιωρολογιακά Εργαζόμενοι όπως παραπάνω για ps cos r q si παίρνουμε και Αρα: u u cos u si cos u si u u si u si cos u cos u u u u Δηλαδή ο τελεστής Laplace είναι αναλλοίωτος ως προς τις στροφές του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων 49

11 4 Θεμελιώδης λύση εξίσωσης Laplace στον Εξίσωση Poisso στον = είναι ένα διάνυσμα θέσης στον όπου Είδαμε παραπάνω ότι ο διδιάστατος τελεστής Laplace είναι αναλλοίωτος ως προς τις στροφές Είναι λογικό λοιπόν να αναζητήσουμε λύσεις της εξίσωσης Laplace που εξαρτώνται μόνον από την απόσταση απ την αρχή του συστήματος συντεταγμένων δηλαδή αναζητούμε ακτινικές λύσεις Εστω u : : u u r r με συνεχείς παραγώγους ης τάξης τέτοιες ώστε u Τότε υπό την προϋπόθεση r για κάθε j έχουμε: και επιπλέον j j u u r r u r r j u r u r u r u j j j j r r r j d dr u r u r u r u r r u r j j j r dr r d j r r r r u j r r r j 3 u r Αντικαθιστώντας στην εξίσωση Laplace παίρνουμε: u r u r j j 3 j j r r r u r u r r r r r r 3 j 5

12 u r ur r r Η παραπάνω είναι μια ΔΕ ης τάξης ως προς r με γενική λύση: Ετσι: u al b c a b c d d ( ) στο u δεν οριζεται στο σημειο = Μπορούμε να εκλέξουμε κατάλληλα τις παραπάνω σταθερές a b c d έτσι ώστε η να ικανοποιεί την εξίσωση όπου στο χώρο C c u u είναι ο τελεστής Dirac που ορίζεται (τουλάχιστον) πάνω όλων των πραγματικών συναρτήσεων f με παράγωγο κάθε τάξης πάνω σε φραγμένο φορέα μέσω της εξίσωσης f d f d = d d d και είναι το εμβαδόν της μοναδιαίας σφαίρας στον Η συνάρτηση Ορισμός Εστω S - w l 3 w καλείται θεμελιώδης λύση της εξίσωσης Laplace στον συνάρτηση Gree για τη Λαπλασιανή στον ) (ή Σημείωση Η u μοντελοποιεί το πρόβλημα εύρεσης του ηλεκτρικού πεδίου που παράγεται από ακίνητο μοναδιαίο σημειακό φορτίο στην αρχή των αξόνων 5

13 Πρόταση 5 Laplace στον Αν είναι η θεμελιώδης λύση της εξίσωσης όπως παραπάνω τότε: Σκιαγράφηση απόδειξης Αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε f C c f d f Η απόδειξη αυτού του ισχυρισμού είναι ειδική περίπτωση της απόδειξης του ακολούθου θεωρήματος 3 Εστω τώρα f C c και είναι η θεμελιώδης λύση της εξίσωσης Laplace όπως παραπάνω Τότε ορίζεται η συνέλιξη f ( ) f ( ) d f ( ) d Eργαζόμενοι μη αυστηρά παρατηρούμε ότι ( ) f f d f d f d f d f Διαπιστώνουμε λοιπόν ότι η u f είναι λύση της εξίσωσης Poisso u f στον Πιο αυστηρά έχουμε: Θεώρημα 3 Εστω f C c και είναι η θεμελιώδης λύση της εξίσωσης Laplace όπως παραπάνω Για κάθε 3 η εξίσωση Poisso u f έχει μοναδική λύση u f C τέτοια ώστε u 5

14 Για η παραπάνω λύση είναι μοναδική εάν u καθώς u και Απόδειξη (α) Εστω c B R \ B R να είναι 3 Oρίζουμε B R το συμπλήρωμα της κλειστής μπάλας στον Σημειώ- νουμε ότι u f C λόγω του γεγονότος ότι f C c και B R d είναι φραγμένη ποσότητα για σταθεροποιημένο R Με το συμβολισμό (ή ) δηλώνουμε τον τελεστή Laplace ως προς (ή ) Τότε λόγω συμμετρίαςείναι εύκολο να δούμε ότι Eχουμε λοιπόν: ( ) B R u f d f d B c f d I I Σημειώνουμε ότι η συνάρτηση δεν ορίζεται w στην αρχή των αξόνων γι αυτό το λόγο θεωρούμε χωρίζουμε το αρχικό ολοκλήρωμα σε δύο μέρη και μελετούμε τα I I για όρια Εχουμε I f C c f είναι συνεχής συνάρτηση σε συμπαγές διάστημα άρα φραγμένη από σταθερά C συνεπώς: I διότι B R άρα η C d C r drds w w r S S w C C r C rdr ds w 53

15 Για να μελετήσουμε περαιτέρω το I στο χωρίο θυμόμαστε από την Πρόταση 5 ότι και στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη η ταυτότητα Gree (βλέπε «Χρήσιμα στοιχεία v f ( φιξαρισμένο) u και θεωρίας» Κεφ ) για c B Ετσι έχουμε: B c B c c B όπου f d f f d f σ σ f ds c B σ σ c προς την εξωτερική όψη της B σ είναι η μοναδιαία κάθετος με κατεύθυνση Επιπλέον: σ σ σ w σ σ σ σ w σ σ w σ Eτσι η παραπάνω ταυτότητα Gree γίνεται: B c f d f σ f σ σ c B w σ ds c B f σ ds σ f w σ c B σ ds σ I I I

16 Αλλά I3 (εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόπο όπως κάναμε για το ) Οσον αφορά το έχουμε I I f ds σ σ 4 c w B σ f ds w σ σ σ S σ S I4 f ds f f ds f w σ σ w σ σ S f λόγω συνεχείας της στο Ετσι προκύπτει το ζητούμενο Οσον αφορά τη συμπεριφορά της λύσης στο άπειρο έχουμε: f B u f d f d για κάποιο R διότι η έχει συμπαγή φορέα άρα υπάρχει κάποιο R τέτοιο ώστε ο φορέας της να περιέχεται εντός της μπάλας B( R) Εστω R Τότε f R f Ετσι: R u C C B R d w < w B R Tέλος αν uv είναι δύο λύσεις με την παραπάνω συνθήκη στο άπειρο τότε η w u v είναι λύση της εξίσωσης Laplace με uv Αρα από το Θεώρημα Liouville η u v είναι σταθερά Μάλιστα η σταθερά αυτή είναι μηδέν διότι w (β) Eστω Αντιμετωπίζεται με ανάλογο τρόπο όπως η (α) 55

17 5 Συνοριακές Συνθήκες (Dirichlet) και μοναδικότητα λύσης Είδαμε παραπάνω τη γενική λύση της διδιάστατης εξίσωσης Laplace Από τη γενική λύση είναι δύσκολο εν γένει να εντοπίσουμε συγκεκριμένες λύσεις που ικανοποιούν δοθείσες συνοριακές συνθήκες Επειδή η εξίσωση Laplace συνδέεται με τη μελέτη προβλημάτων σε κατάσταση ισορροπίας (χρονο-ανεξάρτητα) χρησιμοποιούμε μόνον συνοριακές και όχι αρχικές συνθήκες Το u C C έτσι ώστε πρόβλημα εύρεσης συνάρτησης u g Ω u Ω όπου είναι γνωστή συνεχής συνάρτηση πάνω στο σύνορο του καλείται πρόβλημα Dirichlet στο συνθήκες καλούνται συνθήκες Dirichlet Για παράδειγμα το πρόβλημα εύρεσης του δυναμικού ηλεκτροστατικού πεδίου στο εσωτερικό χωρίου αν είναι γνωστές μόνον οι τιμές του u πάνω στο σύνορο του είναι ένα πρόβλημα Dirichlet g u και οι συνοριακές Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα: Eστω uθ g θ είναι η θερμοκρασία πάνω στο σύνορο χωρίου η οποία διατηρείται συνεχώς η ίδια ανεξαρτήτως χρόνου Θεωρούμε θερμότητα να ρέει μόνον προς το εσωτερικό του (υποθέτουμε ότι το δεν έχει άλλες πηγές θερμότητας) ώσπου να επέλθει κατάσταση Ω ισορροπίας όπου η θερμοκρασία u σε κάθε σημείο στο εσωτερικό του δε μεταβάλλεται πια Τότε η θερμοκρασία u στο εσωτερικό του Dirichlet δίνεται από την επίλυση του προβλήματος u g Ω u θ θ θω Αν στο εσωτερικό του υπάρχουν και άλλες πηγές θερμότητας με κατανομή f τότε σε κατάσταση θερμικής ισορροπίας αρκεί να λύσουμε το πρόβλημα Poisso 56

18 u f Ω u θ g θ θω Ενα άλλο είδος συνοριακών συνθηκών είναι οι συνθήκες Neuma: u Ω u f Ω όπου u u είναι η παράγωγος της u κατά την κατεύθυνση της μοναδιαίας καθέτου στο σύνορο του με φορά προς την εξωτερική όψη του Μια φυσική ερμηνεία αυτής της συνθήκης όσον αφορά το προηγούμενο παράδειγμα είναι ότι μέσω του συνόρου μεταφέρεται θερμότητα στο εσωτερικό με προκαθορισμένο τρόπο υπό την προϋπόθεση όμως ότι ο συνολικός ρυθμός μεταβολής θερμότητας ισούται με μηδέν Τέλος έχουμε και τις συνθήκες Robi οι οποίες είναι μικτές συνοριακές συνθήκες της μορφής u Ω au u f Ω όπου a f είναι γνωστές συνεχείς συναρτήσεις Θεώρημα 4 Εστω σύνολο του Τότε αν υπάρχει λύση u C C στο πρόβλημα Dirichlet τότε αυτή η λύση είναι μοναδική είναι ανοικτό συνεκτικό και φραγμένο Απόδειξη Εστω είναι δύο λύσεις του προβλήματος Dirichlet Θέτουμε u v Τότε η είναι αρμονική στο και πάνω στο σύνορο Τότε από την αρχή μεγίστου (βλέπε Θεώρημα ) αναγκαστικά στο Ομοίως η είναι επίσης αρμονική στο και ισχύει πάνω στο σύνορο Αρα στο και τελικά στο u v Σημείωση To Θεώρημα 5 εξακολουθεί να ισχύει και για το πρόβλημα Poisso u f Ω u g Ω 57

19 6 H μέθοδος χωρισμού των μεταβλητών σε προβλήματα Dirichlet Όπως αναφέραμε πριν η γενική λύση της εξίσωσης του Laplace δεν είναι εύχρηστη στην επίλυση συνοριακών προβλημάτων τύπου Dirichlet Είναι δυνατόν όμως να επιλέξουμε κατάλληλους γραμμικούς συνδυασμούς λύσεων της εξίσωσης Laplace που να ικανοποιούν γνωστές συνοριακές συνθήκες Για να παράξουμε τέτοια σύνολα λύσεων χρησιμοποιούμε τη μέθοδο χωρισμού μεταβλητών Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται σε γραμμικές ομογενείς ΜΔΕ με ομογενείς γραμμικές συνοριακές συνθήκες Αν οι συνθήκες είναι μη ομογενείς τότε σπάμε το πρόβλημα σε επιμέρους προβλήματα με ομογενείς αρχικές συνθήκες 6 Το πρόβλημα Dirichlet σε ορθογώνιο Εστω u C Q C Q: u u και Q : L H είναι ανοικτό ορθογώνιο με πλευρές μήκους L και H αντιστοίχως Θα επιλύσουμε το ακόλουθο διδιάστατο πρόβλημα Dirichlet: u u Q u L u H L u H ul g H όπου η g είναι μια γνωστή συνεχής συνάρτηση του στο διάστημα H με g gh Η μέθοδος χωρισμού μεταβλητών αναζητά μη τετριμμένη (δηλ μη μηδενική) λύση του προβλήματος Dirichlet της μορφής: X Y u 58

20 Αρχικά χρησιμοποιούμε τις ομογενείς συνοριακές συνθήκες και έτσι για κάθε L H ισχύει: u X Y u H X Y H X Y Y H u X Y (5) αλλιώς X L ή Y H άρα η λύση μας u είναι η τετριμμένη μηδενική Οσον αφορά τη μη ομογενή συνοριακή συνθήκη έχουμε απλώς u L g X L Y g (6) Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη συγκεκριμένη μορφή της λύσης στην εξίσωση Laplace και παίρνουμε: u u X Y X Y X Y X Y X Y Για να ισχύει η τελευταία ισότητα για κάθε Q πρέπει να ισχύει X Y (7) X Y για κάποια πραγματική σταθερά Ετσι το πρόβλημά μας ανάγεται στην επίλυση δυο προβλημάτων ιδιοτιμών X X Y Y μαζί με τις επιπλέον συνοριακές συνθήκες (5) και (6) Ασχολούμαστε αρχικά με το πρόβλημα ιδιοτιμών με ομογενείς συνοριακές συνθήκες 59

21 Y H Y Y Y Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: α) Τότε Y Y( ) A B A B Με χρήση των συνθηκών Y Y H λύση Y άρα και η τετριμμένη λύση εντός του Q προκύπτει άμεσα η u για κάθε β) Τότε ( ) Y Y Y Ae Be A B Πάλι με χρήση των συνθηκών Y Y H μόνον η λύση Y άρα και η τετριμμένη λύση u προκύπτει γ) Τότε Y Y Y( ) Acos B A B Με χρήση των συνθηκών Y Y H προκύπτει A B A A Bsi H si H H k A k H k όπου θεωρήσαμε B και διότι για B ή πάλι θα παίρναμε Y άρα και την τετριμμένη λύση u Ετσι στην περίπτωση αυτή προκύπτουν οι λύσεις (ιδιοδιανύσματα) 6

22 k Yk ( ) Bk si Bk k H Τελικά μη τετριμμένες λύσεις k k H Y παίρνουμε για τις ιδιοτιμές k με ιδιοδιανύσματα si k H Αντικαθιστώντας τις παραπάνω τιμές του στην (7) παίρνουμε (όσον αφορά τη X ) με λύσεις k X kx k k H k k / / X Ae Be A e k H B e k H A B k k k k k Μάλιστα θέτοντας X k γράφεται ως A B k k C k C k D D k k C D k k η γενική λύση της k k X k ( ) Ck cosh Dk sih Ck Dk k H H Λαμβάνοντας υπόψη τώρα την ομογενή συνοριακή συνθήκη (5) για τη X παίρνουμε: άρα κι έτσι οι X k C k ( ) k sih k X D Dk H k k k ( ) k ( ) k sih k u X Y D Bk si k H H 6

23 k k Gk sih si Gk Bk Dk k H H είναι λύσεις του προβλήματος Dirichlet που ικανοποιεί τις τρεις πρώτες ομογενείς συνοριακές συνθήκες Από την αρχή της υπέρθεσης η k k u u sih si k k G k k H H (8) αποτελεί λύση υπό την προϋπόθεση ότι η παραπάνω σειρά συναρτήσεων έχει νόημα δηλαδή συγκλίνει με κάποια έννοια Μένει να ελέγξουμε τη συνθήκη (6): kl k u L g G k k g H H sih si όπου M k si g (9) M k k k H k L : Gksih H αρκεί η σειρά να συγκλίνει στη g Oι συντελεστές προσδιορίζονται με μοναδικό τρόπο από τη θεωρία των σειρών Fourier (βλέπε «Χρήσιμα στοιχεία θεωρίας» στο Κεφάλαιο ) Παρατηρούμε ότι η (9) θυμίζει τη σειρά Fourier ημιτόνων της συνάρτησης g Εφόσον g gh (εξ υποθέσεως) θεωρούμε περιττή επέκταση της g στο διάστημα H και στη επεκτείνουμε αυτήν περιοδικά πάνω στην πραγματική ευθεία οπότε υπάρχει μοναδική ακολουθία συντελεστών Fourier της μορφής: τέτοια ώστε M k H k H k M k : g si d g si d H H H H H 6

24 k M si k k g L k L Εφόσον Mk : Gksih αντικαθιστώντας στην (8) παίρνουμε H ότι η μοναδική λύση του προβλήματος Dirichlet (αν υπάρχει βλέπε Θεώρημα 4) είναι η ακόλουθη: H k g si d H H k k u sih si k k L H H sih H Η παραπάνω ικανοποιεί την αρχική συνθήκη οπότε αν η σειρά παραγωγίζεται όρο προς όρο δυο φορές ως προς και ως προς τότε αυτή είναι η μοναδική λύση Μια ικανή συνθήκη για να συμβεί αυτό είναι η συνοριακή συνάρτηση να είναι αρκετά λεία στο H έτσι ώστε οι συντελεστές Fourier της g να φθίνουν στο μηδέν με τάξη 3 d d 6 Το πρόβλημα Poisso σε ορθογώνιο Εστω u C Q C Q: u u και Q : L H είναι ανοικτό ορθογώνιο όπως παραπάνω Θα επιλύσουμε το ακόλουθο διδιάστατο πρόβλημα Poisso: u u A( ) Q u L u H L u H ul H g 63

25 Θεωρούμε το αντίστοιχο ομογενές πρόβλημα u u Q u L u H L u H ul H το οποίο αρχίζουμε να επιλύουμε με χωρισμό μεταβλητών όπως παραπάνω οπότε καταλήγουμε στα ακόλουθα προβλήματα ιδιοτιμών X X Y Y μαζί με τις συνοριακές συνθήκες X () X ( L) Y () Y ( L) Eπιλύουμε το ένα από τα δύο πχ το Y H Y Y Y και υπολογίζουμε (όπως πριν) τις μη τετριμμένες λύσεις si k H Εδώ αρχίζει η διαφοροποίηση Θεωρούμε ότι η γενική λύση είναι της μορφής k u G si k k H για κάποιες άγνωστες συναρτήσεις G k που μένει να προσδιορίσουμε Παραγωγίζουμε όρο προς όρο την παραπάνω δυο φορές ως προς και (θεωρώντας ότι μπορούμε να το κάνουμε) και αντικαθιστούμε στη ΜΔΕ u u A( ) 64

26 Ετσι παίρνουμε: k k G k G ksi A k H Σταθεροποιούμε προς στιγμήν το και εφόσον η συνάρτηση είναι H -περιοδική και περιττή ως προς (λάβετε υπόψη την παραπάνω σειρά ημιτόνων) από τη μοναδικότητα των συντελεστών Fourier παίρνουμε: A k H k k k si : k G G A d q H H H όπου q k είναι μια γνωστή ακολουθία Η παραπάνω είναι μια ακολουθία μη ομογενών συνήθων γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές Λαμβάνοντας υπόψη τώρα και τις υπόλοιπες δυο ομογενείς συνοριακές συνθήκες k G si k u( ) k H Gk k 3 u( L ) k Gk L G Lsi k k H αναγόμαστε τελικά στην επίλυση των προβλημάτων k Gk G k qk L H H G k 3 G k k μέσω των οποίων προσδριορίζουμε τις άγνωστες συναρτήσεις και κατ επέκταση τη λύση του προβλήματος Poisso G k 65

27 Σημείωση Ας θεωρήσουμε Το πρόβλημα Poisso u f Ω u g Ω To πρόβλημα αυτό μετασχηματίζεται με ισοδύναμο τρόπο στην επίλυση δυό απλούστερων προβλημάτων ως εξής: Αν u u αποτελεί τη μοναδική λύση του προβλήματος Poisso με ομογενείς συνοριακές συνθήκες της μορφής: και u u Dirichlet u f u Ω αποτελεί τη μοναδική λύση του προβλήματος u g Ω Ω u Ω τότε η συνάρτηση u u u αποτελεί τη μοναδική λύση του μη ομογενούς προβλήματος Poisso 6 Το πρόβλημα Dirichlet στο μοναδιαίο δίσκο Η χρήση κατάλληλου συστήματος συντεταγμένων για την επίλυση του προβλήματος Dirichlet καθορίζεται και από τη γεωμετρία του προβλήματός μας Παραπάνω χρησιμοποιήσαμε καρτεσιανές συντεταγμένες για να λύσουμε το πρόβλημα Dirichlet σε ορθογώνιο χωρίο Στην παράγραφο αυτή ψάχνουμε λύση του προβλήματος Dirichlet στο εσωτερικό μοναδιαίου δίσκου κέντρου με μια συνοριακή συνθήκη να δίνεται από μια συνεχή π-περιοδική συνάρτηση πάνω στην περιφέρεια του δίσκου αυτού Στην περίπτωση αυτή η χρήση πολικών αντί καρτεσιανών συντεταγμένων φαίνεται να είναι καταλληλότερη Μπορεί όμως η 66

28 μέθοδος χωρισμού μεταβλητών να εφαρμοσθεί μέσω της αλλαγής του συστήματος καρτεσιανών συντ/νων σε πολικές συντ/νες; Kατ αρχήν ας δούμε πως γράφεται η διδιάστατη εξίσωση Laplace σε πολικές συντεταγμένες Εστω rcos r rsi είναι ο συνήθης μετασχηματισμός σε πολικές συντεταγμένες Τότε: si u urr u ur cos u r cos u urr u ur si u r Eτσι si cos r r cos si r r συνεπώς: si si u ur u cos u cos r u r r r r r si si si si cos urcos cos u urcos u r r r r r r si cos si si si cos rr cos r r u u u u u r r r r Oμoίως: si cos cos cos si cos rr si r r u u u u u u r r r r Αντικαθιστώντας στην u u παίρνουμε την εξίσωση Laplace σε πολικές συντεταγμένες 67

29 ur urr u r r r Αναζητούμε τώρα λύση του προβλήματος Dirichlet: u rr ur u r r r u f όπου u C B C B : u u( ) και f f γνωστή συνεχής π-περιοδική συνάρτηση Αναζητούμε μη μηδενική και φραγμένη λύση της μορφής u( r ) R( r) ( ) r Με αντικατάσταση στην εξίσωση Laplace παίρνουμε r R r rr r R r οπότε αν διαιρέσουμε με R προκύπτει R R r r R R είναι Εφόσον το πρώτο μέλος είναι ανεξάρτητο του και το δεύτερο είναι ανεξάρτητο του r υπάρχει πραγματική σταθερά έτσι ώστε R R R R r r R Προκύπτουν λοιπόν δύο διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης ως προς r και : R R r r R R r R rr R 68

30 μαζί με τη δοθείσα συνοριακή συνθήκη Θα ασχοληθούμε αρχικά με το πρόβλημα ιδιοτιμών της Η γενική λύση αυτής είναι της μορφής i i Ce De ( ) C D C D Ce De Λαμβάνοντας υπόψη ότι ψάχνουμε για λύση η οποία πρέπει να είναι π-περιοδική ως προς έχουμε: η περίπτωση (μόνον για C D παίρνουμε την σταθερή λύση μας οδηγεί στην τετριμμένη λύση απορρίπτεται άμεσα ως μη περιοδική u ) Για πρέπει αναγκαστικά Για η λύση είναι π-περιοδική αν και μόνον αν D οπότε ( ) C που Συνοψίζοντας: i i Ce De για ( ) C για Εφόσον κάθε γινόμενο Rr ( ) ( ) που προσδιορίζεται από την ίδια τιμή του αποτελεί λύση της εξίσωσης Laplace περιοριζόμαστε πλέον στην επίλυση της δε Euler r R rr R για και για αντικαθιστώντας παίρνουμε Θέτοντας R r r r r άρα η χαρακτηριστική εξίσωση της δε γίνεται: και 69

31 Ετσι προκύπτει η γενική λύση Ar Br R ( r) r A Blog r Εφόσον θέλουμε τη ur Rr να είναι συνεχής πάνω και στο εσωτερικό συμπαγούς διαστήματος (δηλ του κύκλου r R ) θα πρέπει να είναι και φραγμένη Εφόσον η είναι φραγμένη θα πρέπει και η R να είναι φραγμένη οπότε B διότι εάν B τότε R r όταν r Τελικά: Ar R ( r) r A Συνοψίζοντας συμπεραίνουμε ότι οι λύσεις ur ( ) είναι της μορφής CA u( r ) i i A r Ce De A A CA i i A CA B DA r A e B e Aπό την αρχή υπέρθεσης η όπου i i i u r A r A e B e K r e K A B 7

32 είναι επίσης λύση της εξίσωσης Laplace υπό την προϋπόθεση ότι η ακολουθία είναι φραγμένη οπότε εύκολα φαίνεται ότι η παραπάνω σειρά συγκλίνει απόλυτα και ομοιόμορφα ως προς και Οσον αφορά τη συνοριακή συνθήκη θέτοντας r K i K f ( ) f e d να είναι η ακολουθία των συντελεστών Fourier της (γνωστής) ππεριοδικής και συνεχούς συνάρτησης ισχυριζόμαστε ότι η ur f ( ) r e i = είναι η μοναδική λύση του προβλήματος Dirichlet στο μοναδιαίο δίσκο Ας δούμε το γιατί Πυρήνας και προσεγγιστική μονάδα Poisso f Eστω Τότε: r i Pr r e r = i i i i P r e r e re re = = = = i re i i i re = re re i i i i re re re re i i re re i i re re Συνεπώς: i i i re re re r r r r r P r r r r r 7

33 H οικογένεια π-περιοδικών συναρτήσεων όπως παραπάνω καλείται πυρήνας Poisso στο μοναδιαίο δίσκο P r r Επιπλέον ισχύει: r (α) P d r Pr d C όπου C (β) σταθερά ανεξάρτητη των r και (γ) r lim Pr d για κάθε φιξαρισμένο Λέμε ότι ο πυρήνας Poisso μονάδα P r r είναι μια προσεγγιστική Θεώρημα 5 Για την προσεγγιστική μονάδα του Poisso ισχύει lim r r f P f για κάθε συνεχή π-περιοδική συνάρτηση Απ την άλλη μεριά έχουμε: f ur f e d r e = i i i f r e d = Η r δίσκου και έτσι και η f Pr d f Pr P είναι αρμονική συνάρτηση στο εσωτερικό του μοναδιαίου Θεώρημα 6 ισχύει ur κληρονομεί αυτή την ιδιότητα Από το 7

34 lim lim ( ) i u r f r e f r r = άρα μπορούμε να επεκτείνουμε συνεχώς την στον κλειστό δίσκο έτσι ώστε u( ) f( ) στο σύνορο Η μοναδικότητα λύσης έπεται απ το θεώρημα 5 Μια φυσική ερμηνεία είναι η εξής: Aν είναι η θερμοκρασία στο σύνορο μονωμένου μοναδιαίου δίσκου που διατηρείται η ίδια ανεξαρτήτως χρόνου τότε η είναι η θερμοκρασία σε κάθε σημείο ( r ) στο εσωτερικό του μοναδιαίου δίσκου σε κατάσταση ισορροπίας f ( ) ur ( ) ur ( ) Σημείωση: Aν θέλουμε να λύσουμε το πρόβλημα Dirichlet στο δίσκο B R τότε κάνουμε αλλαγή μεταβλητής r R αναγόμαστε στο μοναδιαίο δίσκο Η μοναδική λύση του προβλήματος αυτού δίνεται από τη σχέση και όπου P u r f P r/ R r R / ( r / R) ( r / R) r/ R R r r rr r R 7 Προβλήματα Dirichlet σε μη φραγμένα χωρία 7 Το πρόβλημα Dirichlet στο άνω ημιεπίπεδο Θα ασχοληθούμε τώρα με τη λύση του προβλήματος Dirichlet σε άπειρα χωρία του επιπέδου Θα λύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα Dirichlet: u u στο χωριο : u f πανω στην πραγματικη ευθεια (το συνορο του ) 73

35 όπου u C C lim u ( ) και u d lim u( ) είναι γνωστή συνεχής συνάρτηση πάνω f στην πραγματική ευθεία Προς στιγμήν σταθεροποιούμε τυχαίο μετασχηματισμό Fourier της u ως προς τη μεταβλητή : i u u e d και θεωρούμε το Από τις ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier (βλέπε Κεφ ) ( γνωρίζουμε ότι αν οι παράγωγοι g ) k είναι απόλυτες ολοκληρώσιμες συναρτήσεις πάνω στην πραγματική ευθεία με ( ) lim g ( ) k τότε ( ) ( ) g i g Παίρνουμε μετασχηματισμό Fourier ως προς χρησιμοποιούμε την παραπάνω ιδιότητα της παραγώγου και έχουμε: u u u u i u u u u Για σταθεροποιημένο η παραπάνω είναι μια γραμμική δε ης τάξης ως προς με χαρακτηριστική εξίσωση και γενική λύση: όπου A B u A e B e είναι αυθαίρετες συναρτήσεις Από το Θεώρημα Riema-Lebesgue της ανάλυσης Fourier θα πρέπει να ισχύει 74

36 οπότε θέτουμε A lim u για να αποφύγουμε μη φραγμένες λύσεις (εφόσον e για ) Ετσι ο μετασχηματισμός Fourier των λύσεων έχει τη μορφή u B e Λόγω της δοθείσης συνοριακής συνθήκης u f έχουμε οπότε προκύπτει Τελικά u f u B f u f e Αν λοιπόν υπάρχει απόλυτα ολοκληρώσιμη συνάρτηση πάνω στην πραγματική ευθεία με P P ( ) e τότε απ το γνωστό θεώρημα συνέλιξης a b a b για ολοκληρώσιμες συναρτήσεις και από το θεώρημα αντιστροφής του μετασχηματισμού Fourier προκύπτει η λύση: Aλλά u f P P (βλέπε παράγραφο Β5 Κεφαλαίου ) η συνάρτηση στο άνω ημιεπίπεδο άρα και η P είναι αρμονική u f P f d 75

37 είναι επίσης αρμονική συνάρτηση στο άνω ημιεπίπεδο Η οικογένεια συναρτήσεων καλείται πυρήνας Poisso στον άνω ημιεπίπεδο Αποδεικνύεται ότι ο πυρήνας Poisso είναι P προσεγγιστική μονάδα με την έννοια ότι ικανοποιεί τις ιδιότητες: P d (α) P (β) (γ) P d C όπου C σταθερά ανεξάρτητη τoυ lim P d για κάθε φιξαρισμένο Θεώρημα 6 Για την προσεγγιστική μονάδα του Poisso στο άνω ημιεπίπεδο ισχύει lim f P f για κάθε συνεχή συνάρτηση f στο Απόδειξη Παραλείπεται Eτσι η u f P Dirichlet είναι η μοναδική λύση του προβλήματος 7 To πρόβλημα Dirichlet σε ημιάπειρη λωρίδα Εστω u C C : u u φραγμένη στο και : είναι ανοικτό μη φραγμένο ορθογώνιο Θα επιλύσουμε το ακόλουθο διδιάστατο πρόβλημα Dirichlet: 76

38 u u u u πανω στην ημιευθεια u f πανω στην ημιευθεια για όπου f είναι γνωστή συνεχής και ολοκληρώσιμη συνάρτηση στο Αναζητούμε φραγμένη μη μηδενική λύση της μορφής: X Y u οπότε αντικαθιστώντας στην εξίσωση Laplace παίρνουμε: u u X Y X Y X Y X Y X Y Για να ισχύει η τελευταία ισότητα για κάθε πρέπει X Y X Y για κάποια πραγματική σταθερά Ετσι το πρόβλημά μας ανάγεται στην επίλυση δυο συνήθων ομογενών γραμμικών δε ης τάξης X X Y Y μαζί με τις επιπλέον συνοριακές συνθήκες Οσον αφορά τη ΔΕ X X εύκολα βρίσκουμε: ce de X c d c d c d 77

39 και επειδή αναζητούμε φραγμένες λύσεις θέτουμε (εφόσον για παίρνουμε μη φραγμένους όρους) συνεπώς: c για de X d c d c d Οσον αφορά τη ΔΕ Y Y εύκολα βρίσκουμε: a b Y a b a b acosh bsih Συνδυάζοντας τις λύσεις αυτές παίρνουμε: ae a b u a b a b c d c d a cosh bsih Xρησιμοποιώντας τις αρχικές συνθήκες u u μπορούμε εύκολα ν απορρίψουμε τις λύσεις που αντιστοιχούν στο συνεπώς: u c d acosh bsih Tότε: u d u b κι έτσι προκύπτει ότι cosh u A A ac 78

40 Εφόσον οι παραπάνω είναι λύσεις για κάθε ενδέχεται ν αλλάξει όταν αλλάζει η τιμή του μπορούμε να θεωρήσουμε ότι A: A Η γενική λύση δίνεται ολοκληρώνοντας ως προς cosh u A d και η σταθερά A υπό την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωμα έχει νόημα Χρησιμοποιούμε τώρα την τελευταία συνοριακή συνθήκη cosh u A d f Το ολοκλήρωμα αυτό μας θυμίζει συνημιτονικό μετασχηματισμό Fourier (βλέπε παράγραφο Β5 του Κεφαλαίου ) Αν λοιπόν θεωρήσουμε την άρτια επέκταση της f στο (και επιπλέον f L ) τότε η συνάρτηση Acosh είναι ο (μοναδικός) συνημιτονικός μετασχηματισμός Fourier της δηλαδή: cosh f cosh f z z dz A f z z dz A Tελικά η μοναδική λύση του προβλήματος Dirichlet είναι η ακόλουθη: cosh u f z z dz d cosh 79

41 8 Συναρτήσεις Gree Στόχος αυτής της παραγράφου είναι να εξάγουμε ένα ανάλογο του θεωρήματος 3 στο εσωτερικό χωρίων Πιο συγκεκριμένα θα μελετήσουμε το πρόβλημα Poisso u f u g Oπως ήδη έχουμε παραπάνω αν το πρόβλημα αυτό έχει λύση τότε αυτή η λύση είναι μοναδική Μάλιστα υπό επιπλέον προϋποθέσεις πάνω στη συνάρτηση στο σύνορο το πρόβλημα αυτό έχει πάντα (μοναδική) λύση Ορισμός Εστω ανοικτό σύνολο με λείο σύνορο και είναι ο τελεστής Dirac Μια συνάρτηση Gree G : στο ορίζεται έτσι ώστε για : G G σ σ Πρόταση 6 Εστω είναι η θεμελιώδης λύση της εξίσωσης Laplace στον και ανοικτό σύνολο με λείο σύνορο Τότε η συνάρτηση Gree στο γράφεται ως εξής: όπου για κάθε G Απόδειξη Εστω Τότε σ σ σ G g 8

42 Επίσης σ έχουμε G σ σ σ σ σ Πρόταση 7 Εστω Laplace στον και uc τότε: είναι η θεμελιώδης λύση της εξίσωσης ανοικτό σύνολο με λείο σύνορο Αν σ u u ud ds σ σ u σ σ Aπόδειξη (α) Εστω 3 Για και ds σ γράφουμε B για το συμπλήρωμα της κλειστής μπάλας B στο Τότε B τη η ταυτότητα Gree και εφόσον η δεν ορίζεται στο έχουμε όπου Από w u σ σ ud = σ uσ ds σ u σ σ σ uσ ds σ u σ uσ ds σ σ σ B I I I I I 3 4 είναι η μοναδιαία κάθετος πάνω στο με κατεύθυνση προς την εξωτερική όψη του και 8

43 είναι η μοναδιαία κάθετος πάνω στο το εσωτερικό του B B Είναι εύκολο να δείξουμε ότι I u d με κατεύθυνση προς Επίσης B u σ συνεπώς: u σ M πάνω στο συμπαγές σύνολο I M d M r drds w w r B 3 Τέλος για το S S w M M r C rdr ds Εφόσον w B I4 έχουμε σ uσ ds σ u ds σ σ B σ σ σ σ w σ σ παίρνουμε: σ σ w σ σ w σ B u σ ds σ u σ σ B w σ f ds w σ σ σ S σ ds 8

44 f ds f w σ σ S λόγω συνεχείας της f στο Ετσι προκύπτει το ζητούμενο (β) Eστω Aντιμετωπίζεται με ανάλογο τρόπο όπως η (α) Θεώρημα 7 Εστω είναι η θεμελιώδης λύση της εξίσωσης Laplace στον ανοικτό σύνολο με λείο σύνορο και G η συνάρτηση Gree στο Τότε η μοναδική λύση (αν υπάρχει) του προβλήματος Poisso έχει τη μορφή u f u g G σ u f G d + g ds σ σ Απόδειξη Από την προηγούμενη πρόταση και την υπόθεση έχουμε: uσ u f d ds σ σ u σ σ όπου G ds σ () σ σ για κάθε σ Χρησιμοποιώντας τώρα τη η ταυτότητα Gree για τις συναρτήσεις u και έχουμε: u u d σ u σ σ ds σ u ds σ σ και 83

45 σ u σ f d + σ ds σ u ds σ σ Προσθέτοντας κατά μέλη την παραπάνω ισότητα με τη () και G παίρνουμε το ζητούμενο θεωρώντας Σημειώνουμε εδώ ότι o υπολογισμός της συνάρτησης Gree είναι δύσκολος και εν γένει εξαρτάται από τη γεωμετρία του χωρίου Παράδειγμα Θα υπολογίσουμε τη συνάρτηση Gree στον άνω ημίχωρο : Από τα παραπάνω αρκεί να κατασκευάσουμε συνάρτηση τέτοια ώστε σ σ σ : Για κάθε στοιχείο η ανάκλαση του ως προς το σύνορο δίνει το στοιχείο Ετσι για κάθε ορίζουμε * όπου είναι η θεμελιώδης λύση της εξίσωσης Laplace στον Προφανώς η είναι αρμονική ως προς στο (διότι είναι αρμονική στο * και * ) Συνεπώς: και * σ σ σ σ διότι * πάνω στο σύνορο Ορίζουμε λοιπόν τη συνάρτηση Gree στον άνω ημίχωρο ως εξής: G 84

46 * Πιο συγκεκριμένα για κάθε 3 έχουμε: και G w * G σ G σ σ e G e * σ σ σ w * σ σ Αλλά για κάθε σ * πάνω στο σύνορο ισχύει σ σ άρα: G σ w σ σ w σ Για παράδειγμα η λύση του προβλήματος Dirichlet u g u υπολογίζεται με χρήση του Θεωρήματος 7 από τη σχέση G σ u f G d + g ds σ σ w σ g σ d σ Αν όπου τότε: 85

47 Θέτουμε u g σ dσ P w σ r / r w r r / και καλούμε την οικογένεια συναρτήσεων P r : r προσεγγιστική μονάδα Poisso στον άνω ημίχωρο Η παραπάνω είναι φυσική γενίκευση του πυρήνα Poisso στο άνω ημιεπίπεδο 9 Ασκήσεις Δείξτε ότι οι συναρτήσεις u v αρμονικές στο Eπίσης η u l σ όλο το επίπεδο πλην της αρχής Υπολογίστε λύση u C Q C Q είναι είναι αρμονική του προβλήματος Dirichlet u u Q u a L u H L u H ul g H στο εσωτερικό ορθογωνίου 3 a h C L Q : L H όπου είναι γνωστές συναρτήσεις που μηδενίζονται στα άκρα L k h si d Απάντ: L L k k u sih si k k H L L sih L 86

48 3 Επιλύστε το πρόβλημα H k g si d H H k k sih si k k L H H sih H u u Q u u u H f L u ul H στο εσωτερικό ορθογωνίου όπου f Απάντ: Q : L H όπου γνωστή συνεχής συνάρτηση που μηδενίζεται στα άκρα L k k k f si d k cosh Lsih L L L L k u si k kh kh L k cosh Lsih L L 4 Επιλύστε το πρόβλημα Neuma u u Q u f u H L u ul H στο εσωτερικό ορθογωνίου f Q : L H όπου γνωστή συνεχής συνάρτηση που μηδενίζεται στα άκρα Δείξτε με χρήση του θεωρήματος απόκλισης ότι το πρόβλημα είναι καλά a ορισμένο αν και μόνον αν f d Απάντ: L k si f d L L k k u cosh H cos k k k H L L sih L 87

49 5 Υπολογίστε u C Q C Q που λύνει το πρόβλημα Dirichlet u u Q u a u 4 u u στο εσωτερικό ορθογωνίου Q : 4 όπου a γνωστή συνεχής πραγματική συνάρτηση που μηδενίζεται στα άκρα X Υπόδειξη Εφαρμόστε αλλαγή μεταβλητής ώστε το Y πρόβλημα να αναχθεί στην εύρεση λύσης εντός ορθογωνίου Aπ: Q X Y : Y X k si a d k( ) k( ) u sih si k sihk 6 Επιλύστε το πρόβλημα Dirichlet στο δακτύλιο D r : r με συνοριακές συνθήκες u u rcos rsi cos 4si Aπάντ: ur 3 3 3r 3r 7 Yπολογίστε φραγμένη λύση του προβλήματος Dirichlet στον D r : r a /3 με συνοριακές κυκλικό τομέα συνθήκες u r u r /3 ua 6 r cos(6 ) Aπάντ: ur a 88

50 8 Yπολογίστε φραγμένη λύση του προβλήματος Dirichlet στο D r : r a εξωτερικό του κυκλικού δίσκου με συνοριακή συνθήκη ua l 4 3 a r Aπάντ: ur l cos3 3 9 Επιλύστε το πρόβλημα Dirichlet στο εσωτερικό του χωρίου με συνοριακές συνθήκες a : u a u a για καθε u G a k 4 r u r G acos asi si 4k d si 4k k a / Aπάντ: Υπολογίστε μια φραγμένη λύση της εξίσωσης Laplace στο εσωτερικό του μη φραγμένου χωρίου : L με συνοριακές συνθήκες u u L a a αλλου Yπόδειξη Εφαρμόζουμε μετασχηματισμό Fourier (ως προς ) και παίρνουμε sih u a z dz όπου a sih L Υπολογίστε μια φραγμένη λύση της εξίσωσης Laplace στο εσωτερικό του μη φραγμένου χωρίου : 89

51 με συνοριακή συνθήκη u f όπου είναι μια γνωστή συνεχής και ολοκληρώσιμη συνάρτηση στο οι μετασχηματισμοί Fourier των είναι καλά ορισμένοι ως προς και ισχύει το θεώρημα αντιστροφής του μετασχηματισμού Fourier u f Απάντ: u f P f d f Υπολογίστε φραγμένη λύση της εξίσωσης Laplace στο εσωτερικό κυλίνδρου r z : r a z b a b με συνοριακές συνθήκες u r z z : r a z b u r z z : r a z b u r z f r z : r a z a Aπ: ur z f ( ) J d sih z aj a a sih b a cosh a συνάρτησης Βessel J cosh z a b όπου είναι τα μηδενικά της 3 Υπολογίστε το ηλεκτροστατικό δυναμικό στο εσωτερικό του Q : a b εάν η πυκνότητα ορθογωνίου φορτίου στο εσωτερικό του Q ισούται με σύνορο του Q ισχύουν οι συνθήκες: u b u a a u u a b και στο a 9

52 b b a a Aπ: a 4e 4a e a a a u e e si b b a sih sih a a k 3 a k k k k sih b si 3 3 kb a a k sih a 4 Υπολογίστε τη συνάρτηση Gree στο άνω ημιεπίπεδο Υπόδειξη: Θεωρείστε τη θεμελιώδη συνάρτηση της εξίσωσης Laplace στο επίπεδο l l 4 H συνάρτηση Gree έχει την ιδιότητα να μηδενίζεται πάνω στο σύνορο δηλαδή πάνω στην πραγματική ευθεία στην προκειμένη * και περίπτωση Αν λοιπόν G * δείξτε ότι αυτή είναι η ζητούμενη συνάρτηση Gree Aπ: G l = = 4 5 Υπολογίστε τη συνάρτηση Gree στο μοναδιαίο δίσκο Υπόδειξη: Θεωρείστε τη θεμελιώδη συνάρτηση όπως παραπάνω σε πολικές συντ/νες l r cos l cos 4 cos r r 9

53 H συνάρτηση Gree έχει την ιδιότητα να μηδενίζεται πάνω στο σύνορο δηλαδή πάνω στο μοναδιαίο κύκλο Αν θεωρήσουμε λοιπόν * και G * δείξτε ότι αυτή είναι η ζητούμενη συνάρτηση Gree Aπ: G r r cos l 4 r r cos r cos cos 9