Μελέτη της Διάδοσης Παλμών σε Κυματοδηγούς Πυριτίου με τη Μη Γραμμική Εξίσωση Schrödinger

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Μελέτη της Διάδοσης Παλμών σε Κυματοδηγούς Πυριτίου με τη Μη Γραμμική Εξίσωση Schrödinger Διπλωματική Εργασία της Αντιγόνης Φρυδά Επιβλέπων Καθηγητής: Εμμανουήλ Κριεζής ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ

2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα διπλωματική εργασία αποτέλεσε το κύριο αντικείμενο ενασχόλησής μου κατά το τελευταίο έτος των προπτυχιακών μου σπουδών στο τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Κεντρικό της θέμα είναι η μελέτη της διάδοσης παλμών σε κυματοδηγούς πυριτίου στην παρουσία διασποράς και μη γραμμικών φαινομένων. Για τον σκοπό αυτό, επιλύεται η γενικευμένη μη γραμμική εξίσωση του Schrödinger με τη μέθοδο Split-Step Fourier. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τα αποκτηθέντα αποτελέσματα, αξιολογείται η επίδραση της απορρόφησης δυο φωτονίων στη φασματική διεύρυνση και την ικανότητα σχηματισμού σολιτονίων. Στο σημείο αυτό, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντα της διπλωματικής μου, κ. Εμμανουήλ Κριεζή, για την ουσιαστική και συνεχή επιστημονική του καθοδήγηση καθώς και για την τεράστια υπομονή με την οποία αντιμετώπισε το σύνολο της προσπάθειάς μου. Ευχαριστώ επίσης τον υποψήφιο διδάκτορα του τμήματος, Οδυσσέα Τσιλιπάκο, για τις σωτήριες παρεμβάσεις του και την απεριόριστη στήριξη και βοήθειά του καθόλη τη διάρκεια περάτωσης της εργασίας. Τέλος, θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω τον υποψήφιο διδάκτορα του τμήματος, κ. Αλέξανδρο Πιτιλάκη, καθώς και τον μέχρι πρότινος υποψήφιο και νυν διδάκτορα του τμήματος, κ. Δημήτριο Ζωγραφόπουλο, για τις εύστοχες παρατηρήσεις και συμβουλές τους. Θεσσαλονίκη, Σεπτέμβριος Αντιγόνη Φρυδά i

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος Περιεχόμενα i ii Εισαγωγή. Ιστορική αναδρομή.... Μη γραμμικά φαινόμενα σε οπτικούς κυματοδηγούς....3 Περίληψη εργασίας... Εξίσωση διάδοσης παλμών Φαινόμενα κατά τη διάδοση. Μη γραμμική εξίσωση Schrödinger.... Μέθοδοι επίλυσης της εξίσωσης Schrödinger Μέθοδος split-step Fourier Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών....3 Φαινόμενα διασποράς Διασπορά ταχύτητας ομάδας (GVD) Διασπορά τρίτης τάξης (TOD) Αυτοδιαμόρφωση φάσης (SPM)....5 Συνδυασμένη δράση φαινομένων GVD και SPM Μη γραμμικά φαινόμενα ανώτερης τάξης Self-steepening Ενδοπαλμική σκέδαση Raman Διασπορά κυματοδηγών πυριτίου 3. Κυματοδηγοί πυριτίου Μεθοδολογία προσδιορισμού παραμέτρων διασποράς Αριθμητική παραγώγιση Προσέγγιση με πολυώνυμο και αναλυτική παραγώγιση Κυματοδηγός ταινίας Κυματοδηγός ράβδωσης Διάδοση παλμών σε κυματοδηγούς πυριτίου 4. Χαρακτηριστικά κυματοδηγών πυριτίου Επίδραση της απορρόφησης δυο φωτονίων στη φασματική διεύρυνση Επίδραση της απορρόφησης δυο φωτονίων στον σχηματισμό σολιτονίων Συμπεράσματα και μελλοντικές κατευθύνσεις Βιβλιογραφία ii

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Ιστορική αναδρομή Η δυνατότητα παρασκευής ινών πολύ χαμηλών απωλειών με τυπική τιμή απωλειών τα. db/km (πολύ κοντά στο θεωρητικό όριο που ορίζεται από τη σκέδαση Rayleigh), οδήγησε σε αλματώδη ανάπτυξη όχι μόνο των οπτικών επικοινωνιών, αλλά και στην ανακάλυψη ενός νέου για την εποχή, ανεξερεύνητου πεδίου, αυτό της παρατήρησης μη γραμμικών φαινομένων στις οπτικές ίνες. Φαινόμενα όπως η εξαναγκασμένη σκέδαση Raman (Stimulated Raman Scattering, SRS) μελετώνταν ήδη από το 97, ενώ το 98 παρατηρήθηκε πειραματικά ο σχηματισμός οπτικού σολιτονίου, ο οποίος στη συνέχεια οδήγησε σε μια σειρά βελτιώσεων στην παραγωγή και τον έλεγχο των εξαιρετικά στενών (ultrashort) οπτικών παλμών. Η δεκαετία αυτή αποτέλεσε επίσης το σημείο εκκίνησης της ανάπτυξης τεχνικών όπως η συμπίεση οπτικών παλμών (pulse-compression) και το οπτικής μεταγωγής (optical-switching), η λειτουργία των οποίων βασίζεται εξ ολοκλήρου στα μη γραμμικά φαινόμενα που λαμβάνουν χώρα στις οπτικές ίνες. Το πεδίο των μη γραμμικών οπτικών ινών συνέχισε να αναπτύσσεται κατά τη διάρκεια της δεκαετίας του 99, ενώ ταυτόχρονα ένα καινούργιο κεφάλαιο εγκαινιαζόταν, αυτό των οπτικών ινών ντοπαρισμένων με σπάνιες γαίες (όπως το Έρβιο και το Υττέρβιο) οι οποίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη δημιουργία ενισχυτικών διατάξεων και laser. Μετά το, δύο μη γραμμικά φαινόμενα, αυτά της εξαναγκασμένης σκέδασης Raman (Stimulated Raman Scattering, SRS) και της μείξης τεσσάρων κυμάτων (four-wave mixing, FWM) χρησιμοποιούνται για την κατασκευή οπτικών ενισχυτών απαλλαγμένων από τη χρήση προσμείξεων που έθεταν περιορισμούς στο διαθέσιμο φασματικό εύρος κέρδους. Παράλληλα η κατασκευή ινών με όλο και μειούμενη διάσταση πυρήνα, ενδυνάμωνε τα μη γραμμικά φαινόμενα σε σημείο ώστε να επιτευχθεί η γένεση υπερσυνεχούς (supercontinuum generation), φαινόμενο κατά το οποίο το οπτικό φάσμα ενός εξαιρετικά στενού χρονικά παλμού μεγαλώνει έως και φορές. Για περισσότερα στοιχεία σχετικά με την ιστορική εξέλιξη των οπτικών επικοινωνιών και την παρατήρηση μη γραμμικών φαινομένων σε bulk μέσα αλλά και οπτικές ίνες ο αναγνώστης παραπέμπεται στην πλούσια σχετική βιβλιογραφία [-4].. Μη γραμμικά φαινόμενα σε οπτικούς κυματοδηγούς Κατά τη διάδοση παλμών σε οπτικούς κυματοδηγούς παρατηρούνται πλήθος μη γραμμικών φαινομένων, τα οποία συνδυαζόμενα με την έντονη διασπορά που αυτοί εμφανίζουν οδηγούν σε παραμόρφωση, ή και όχι, των διαδιδόμενων παλμών. Πολλά από αυτά σχετίζονται με την εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση του οπτικού πεδίου (φαινόμενο Kerr ή nonlinear refraction) και κάνουν την εμφάνισή τους ΚΕΦ. : ΕΙΣΑΓΩΓΗ -

5 σε μέσα με μη μηδενική επιδεκτικότητα τρίτης τάξης χ (3). Το διοξείδιο του πυριτίου και το πυρίτιο, υλικά κατασκευής των οπτικών ινών και κυματοδηγών πυριτίου, αντίστοιχα, είναι τέτοια μέσα. Τα κυριότερα μονοκαναλικά φαινόμενα αυτής της κατηγορίας, που παρατηρούνται δηλαδή κατά τη διάδοση παλμών ενός συγκεκριμένου κεντρικού μήκους κύματος σε κυματοδηγούς, είναι η αυτοδιαμόρφωση φάσης (Self Phase Modulation, SPM), η απορρόφηση δυο φωτονίων (Two Photon Absorption, TPA), το self-steepening (SS) και η ενδοπαλμική σκέδαση Raman (Intrapulse Raman Scattering, IRS). Ανάλογα με τη σχετική ένταση αυτών των φαινομένων συγκριτικά με τη διασπορά δεύτερης (Group Velocity Dispersion, GVD) και τρίτης (Third Order Dispersion, TOD) τάξης, οι παλμοί μπορεί να διευρύνονται στον χρόνο ή το φάσμα με συμμετρικό ή ασύμμετρο τρόπο, να διαδίδονται με σταθερό σχήμα ως σολιτόνια, ή να παρατηρούνται ακόμα πιο σύνθετες εξελίξεις όπως η σχάση σολιτονίων (soliton fission) και η γένεση υπερσυνεχούς (supercontinuum generation). Υπάρχουν όμως και φαινόμενα που εμφανίζονται μόνον κατά την αλληλεπίδραση περισσότερων μηκών κύματος, δηλαδή σε πολυκαναλικά συστήματα, όπως η ετεροδιαμόρφωση φάσης (Cross Phase Modulation, XPM), η δημιουργία τρίτης αρμονικής (Third Harmonic Generation, THG) και η μείξη τεσσάρων κυμάτων (Four Wave Mixing, FWM). Παρατηρούνται επίσης μη γραμμικά φαινόμενα που προκύπτουν από την αλληλεπίδραση των οπτικών κυμάτων με οπτικά ή ακουστικά φωνόνια. Τέτοια φαινόμενα είναι η εξαναγκασμένη σκέδαση Brillouin (SBS) και η εξαναγκασμένη σκέδαση Raman (SRS), αντίστοιχα. Τα φαινόμενα αυτά εμφανίζονται όταν η ισχύς εισόδου ξεπεράσει ένα συγκεκριμένο κατώφλι. Μια σύγκριση των κυριότερων χαρακτηριστικών τους για οπτικές ίνες διοξειδίου του πυριτίου (Silica Glass, SiO ) παρέχεται στον πίνακα.. SRS SBS Ολίσθηση Stokes ~ 3 THz ~ GHz Εύρος Ζώνης Κέρδους ~ ΤHz ~ MHz Μέγιστο Κέρδος g B ~ 6 - m/w g R ~ 6-4 m/w Κατώφλι > 6 mw ~ mw (CW) Διεύθυνση Αμφότερες Προς τα πίσω Φυσικός Μηχανισμός Οπτικά φωνόνια Μοριακές ταλαντώσεις Ακουστικά φωνόνια Διακυμάνσεις πυκνότητας Πίνακας.: Σύγκριση των μη γραμμικών φαινομένων της εξαναγκασμένης σκέδασης Raman (SRS) και της εξαναγκασμένης σκέδασης Brillouin (SBS)..3 Περίληψη εργασίας Αντικείμενο της παρούσας εργασίας είναι η μελέτη της διάδοσης παλμών σε κυματοδηγούς πυριτίου με την επίλυση της γενικευμένης μη γραμμικής εξίσωσης του Schrödinger (Non-linear Schrödinger Equation, NLSE). Η επίλυση της εξίσωσης επιτυγχάνεται με τη μέθοδο Split-Step Fourier (SSF). Στο δεύτερο κεφάλαιο θα δοθούν κάποια βασικά στοιχεία θεωρίας και θα διαμορφωθεί η εξίσωση διάδοσης παλμών. Αρχικά, θα εξεταστεί η επίδραση της διασποράς, ΚΕΦ. : ΕΙΣΑΓΩΓΗ -

6 δεύτερης (Group Velocity Dispersion, GVD) και τρίτης τάξης (Third Order Dispersion, TOD), στους παλμούς κατά τη διάδοσή τους. Στη συνέχεια, θα διερευνηθεί η επίδραση της μη γραμμικότητας όπως αυτή εκφράζεται μέσω του φαινομένου της αυτοδιαμόρφωσης φάσης. Tέλος, θα εστιάσουμε στη συνδυασμένη δράση μη γραμμικότητας και διασποράς. Θα γίνει επίσης σύντομη αναφορά και στα μη γραμμικά φαινόμενα ανώτερης τάξης, όπως η ενδοπαλμική σκέδαση Raman (Intrapulse Raman Scattering, IRS) και το self steepening (SS), τα οποία όμως δεν θα μας απασχολήσουν στη συνέχεια. Τα αποτελέσματα που αποκτήθηκαν με τη δική μας υλοποίηση της SSF συγκρίνονται κατά περίπτωση με τη βιβλιογραφία [] και με τα αποτελέσματα ενός προγράμματος ελεύθερα διαθέσιμου στο διαδίκτυο στην ιστοσελίδα της ερευνητικής ομάδας του Govind Agrawal, έτσι ώστε να είμαστε σίγουροι για την ορθότητά τους. Σε όλη την έκταση του κεφαλαίου γίνεται αναφορά σε οπτικές ίνες και όχι σε κυματοδηγούς πυριτίου. Η επιλογή αυτή έχει να κάνει με την προγενέστερη εμφάνιση των οπτικών ινών έναντι των κυματοδηγών πυριτίου και της παρατήρησης μη γραμμικών φαινομένων σε αυτές και σε τίποτα δεν μειώνει τη γενικότητα της ανάλυσης. Το σύνολο των ποιοτικών αποτελεσμάτων του κεφαλαίου μεταφέρονται σχεδόν αυτούσια και σε οποιονδήποτε άλλο τύπο οπτικού κυματοδηγού. Σε κάθε περίπτωση οι ιδιαιτερότητες των κυματοδηγών πυριτίου και οι διαφορές που παρουσιάζουν συγκριτικά με τις οπτικές ίνες σημειώνονται και σχολιάζονται στην αρχή του τέταρτου κεφαλαίου. Στη συνέχεια περνάμε στους κυματοδηγούς πυριτίου. Στο τρίτο κεφάλαιο θα εξάγουμε τις παραμέτρους διασποράς για δυο τυπικές κατηγορίες τέτοιων κυματοδηγών: έναν κυματοδηγό ταινίας (wire) και έναν κυματοδηγό ράβδωσης (rib). Για το σκοπό αυτό θα λύσουμε ένα πρόβλημα ιδιοτιμών του οποίου είσοδοι είναι η γεωμετρία του κυματοδηγού και η συχνότητα λειτουργίας. Η ιδιοτιμή του προβλήματος δεν είναι άλλη από τη φασική σταθερά β, ή ισοδύναμα τον ενεργό δείκτη διάθλασης n eff, και το ιδιοδιάνυσμα είναι το προφίλ του υποστηριζόμενου ρυθμού. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται για ένα εύρος μηκών κύματος ώστε να προσδιοριστεί η συνάρτηση n eff (λ), η ακριβέστερα δείγματα αυτής, για τον ρυθμό που μας ενδιαφέρει. Στη συνέχεια, θα προσδιορίσουμε τις παραμέτρους διασποράς παραγωγίζοντας την συνάρτηση n eff (λ). Για το σκοπό αυτό, προτείνονται δύο διαφορετικές μεθοδολογίες. Έτσι, θα έχουμε καταφέρει να εξάγουμε όλες τις απαραίτητες παραμέτρους που χρειαζόμαστε για να περιγράψουμε τον κυματοδηγό και τις οποίες θα εισάγουμε στη συνέχεια στην NLSE. Στην ουσία, αυτό το βήμα είναι που μας επιτρέπει να μεταβούμε από ένα πρόβλημα τεσσάρων διαστάσεων (τις τρεις διαστάσεις του χώρου και τον χρόνο) σε ένα πρόβλημα μόλις δυο διαστάσεων (αυτή της διεύθυνσης διάδοσης και του χρόνου). Στο τέταρτο κεφάλαιο θα εξετάσουμε τη διάδοση παλμών σε κυματοδηγούς πυριτίου. Αρχικά θα αναφέρουμε τις ιδιαιτερότητες που αυτοί εμφανίζουν και θα τους συγκρίνουμε με την πιο γνώριμη περίπτωση των οπτικών ινών. Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε την επίδραση της απορρόφησης δυο φωτονίων (two photon absorption, TPA), φαινόμενο που απουσιάζει από τις οπτικές ίνες μιας και αυτές είναι κατασκευασμένες από SiO, στην φασματική διεύρυνση λόγω αυτοδιαμόρφωσης φάσης και το σχηματισμό σολιτονίων. Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο, αναγνωρίζονται οι βελτιώσεις που μπορούν να καταστήσουν ακριβέστερη την μελέτη της διάδοσης παλμών σε κυματοδηγούς πυριτίου. Αυτές συνίστανται στην ακριβέστερη μοντελοποίηση της μη γραμμικής απόκρισης των πυρήνων στην NLSE και στη θεώρηση των φαινομένων που σχετίζονται με τη δημιουργία ΚΕΦ. : ΕΙΣΑΓΩΓΗ -3

7 ελεύθερων φορέων, για το οποίο είναι απαραίτητη η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης ρυθμού μεταβολής (rate equation) παράλληλα με την NLSE. Γίνεται επίσης αναφορά στις πιθανές προεκτάσεις της εργασίας αυτής. Με σειρά αυξανόμενης πολυπλοκότητας προτείνεται η μελέτη συνθετότερων μονοκαναλικών φαινομένων, όπως η σχάση σολιτονίων (soliton fission) και η γένεση υπερσυνεχούς (supercontinuum generation), καθώς και πολυκαναλικών φαινομένων όπως η ετεροδιαμόρφωση φάσης (Cross Phase Modulation, XPM) και η μείξη τεσσάρων κυμάτων (Four Wave Mixing, FWM). ΚΕΦ. : ΕΙΣΑΓΩΓΗ -4

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ Στο κεφάλαιο αυτό, εκκινώντας από τις εξισώσεις του Maxwell, θα εξάγουμε τη (γενικευμένη) μη γραμμική εξίσωση Schrödinger (Nonlinear Schrödinger Equation, NLSE), που διέπει τη διάδοση παλμών σε μη γραμμικά μέσα που επιπλέον εμφανίζουν και διασπορά. Η εξίσωση αυτή χρησιμοποιείται ευρέως για τη μελέτη της διάδοσης παλμών σε οπτικούς κυματοδηγούς, όπως οι οπτικές ίνες. Αρχικά, θα μελετηθούν χωριστά η επίδραση της διασποράς, δεύτερης και τρίτης τάξης, στους μεταδιδόμενους παλμούς, και έπειτα η αντίστοιχη επίδραση του μη γραμμικού φαινομένου της αυτοδιαμόρφωσης φάσης (Self Phase Modulation, SPM). Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε την εξέλιξη των διαδιδόμενων παλμών στην ταυτόχρονη παρουσία διασποράς και αυτοδιαμόρφωσης φάσης. Τέλος, θα διερευνηθεί η επίδραση μη γραμμικών φαινομένων ανώτερης τάξης, όπως το self-steepening (SS) και η ενδοπαλμική σκέδαση Raman (Intrapulse Raman Scattering, IRS). Η αναλυτική επίλυση της ΝLSE είναι δυνατή σε πολύ συγκεκριμένες περιπτώσεις. Στη γενική περίπτωση είναι απαραίτητη η αριθμητική επίλυσή της, η οποία επιτυγχάνεται συνήθως με τη μέθοδο Split-Step Fourier (SSF). Αυτή τη μέθοδο χρησιμοποιούμε και εμείς στο σύνολο της εργασίας για τη λύση της NLSE.. Μη γραμμική εξίσωση Schrödinger Όπως όλα τα ηλεκτρομαγνητικά φαινόμενα, έτσι και η διάδοση οπτικών παλμών σε μια οπτική ίνα διέπεται από τις εξισώσεις του Maxwell. Mε κατάλληλη μαθηματική διαχείριση οι εξισώσεις του Maxwell παίρνουν τη μορφή E P P E, (.) c t t t L NL η οποία μπορεί να περιγράψει τη διάδοση ηλεκτρομαγνητικού κύματος σε ομογενές, μη γραμμικό μέσο. Στην εξ. (.) η πόλωση P έχει χωριστεί σε ένα γραμμικό και ένα μη γραμμικό μέρος, τα οποία γράφονται με τη βοήθεια συνελικτικών ολοκληρωμάτων ώστε να μπορούν συμπεριλάβουν την εξάρτηση από τη συχνότητα ή, ισοδύναμα, τη μη ακαριαία ταχύτητα απόκρισης ως και t () L( rt, ) ( tt') (, t') dt', P E r (.) (3) PNL(,) rt ( t t, t t, t t3) Er (, t) Er (, t) Er (, t3) dtdtdt3, (.3) ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -

9 με τα όρια ολοκλήρωσης να εκτείνονται από έως t. Είναι εμφανές από την εξ. (.3) ότι θεωρούμε μη γραμμικά φαινόμενα που προκύπτουν από την επιδεκτικότητα τρίτης τάξης και μόνο, και αυτό γιατί η επιδεκτικότητα δεύτερης τάξης είναι μηδενική για το διοξείδιο του πυριτίου, υλικό κατασκευής των οπτικών ινών. Στη συνέχεια, κάνουμε μια σειρά από παραδοχές, σύμφωνα με τα παρακάτω σημεία: Θεωρούμε ότι το οπτικό πεδίο διατηρεί την ίδια (γραμμική) πόλωση σε όλο το μήκος της ίνας ώστε να είναι δυνατή μια βαθμωτή (scalar) προσέγγιση. Κάτι τέτοιο είναι αυστηρά σωστό μόνο για ίνες διατηρούμενης πόλωσης (Polarization Maintaining Fibers, PMFs), αλλά στην πράξη η προσέγγιση είναι αρκετά ικανοποιητική και για τυπικές μονόρρυθμες ίνες. Υιοθετούμε την προσέγγιση της αργά μεταβαλλόμενης περιβάλλουσας. Θεωρούμε δηλαδή ότι το φασματικό εύρος του παλμού Δω είναι πολύ μικρότερο από την συχνότητα του οπτικού φέροντος ω. Με βάση τα παραπάνω, διαχωρίζοντας τον φάκελο του ηλεκτρικού πεδίου από το φέρον και θεωρώντας κύμα πολωμένο κατά τον άξονα x το ηλεκτρικό πεδίο γράφεται Er (,) t x ˆ[ E (,)exp( r t it ) cc..], (.4) με το c.c. να δηλώνει τη συζυγή μιγαδική ποσότητα (complex conjugate). Εντελώς αντίστοιχα η γραμμική και μη γραμμική πόλωση γράφονται PL ( r, t ) x ˆ[ PL ( r, t )exp( it ) cc..], (.5) και PNL ( r, t ) x ˆ[ PNL ( r, t )exp( it ) cc..]. (.6) Αντικαθιστώντας την εξ. (.5) στην εξ. (.) κάνοντας χρήση της ιδιότητας του Parseval, παίρνουμε την ακόλουθη έκφραση για το γραμμικό κομμάτι της πόλωσης () L( r, ) xx( ) (, )exp[ ( ) ], r P t E i td (.7) όπου με (, r ) συμβολίζουμε τον μετασχηματισμό Fourier του ηλεκτρικού πεδίου: (, r ) E(,)exp( r t it) dt. (.8) Αντικαθιστώντας τώρα την εξ. (.6) στην εξ. (.3) και θεωρώντας ακαριαία (instantaneous) απόκριση της επιδεκτικότητας τρίτης τάξης, έτσι ώστε η χρονική της ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -

10 απόκριση να περιγράφεται από το γινόμενο τριών συναρτήσεων δέλτα της μορφής ( t t k ), παίρνουμε την παρακάτω έκφραση για το μη γραμμικό κομμάτι της πόλωσης P r t E r t E r t E r t (.9) (3) NL(,) xxxx (,) (,) (,). Η θεώρηση της ακαριαίας απόκρισης που μόλις κάναμε αποκλείει τη συμβολή των (3) μοριακών δονήσεων στο (φαινόμενο Raman). Γενικά, τόσο τα ηλεκτρόνια όσο και οι πυρήνες των μορίων αποκρίνονται στο οπτικό πεδίο με μη γραμμικό τρόπο. Η αντίδραση του πυρήνα είναι πιο αργή σε σύγκριση με αυτή των ηλεκτρονίων, η οποία μπορεί με καλή προσέγγιση να θεωρηθεί ακαριαία. Σε ίνες διοξειδίου του πυριτίου η αντίδραση Raman λαμβάνει χώρα σε χρονική κλίμακα της τάξης των 6-7 fs. Έτσι η εξ. (.9) είναι έγκυρη για χρονικές διάρκειες παλμών μεγαλύτερες του ps. Η αντικατάσταση της εξ. (.4) στην εξ. (.9) φανερώνει ότι το P NL αποτελείται από έναν όρο που ταλαντώνεται γύρω από τη συχνότητα και από έναν άλλο στην τρίτη αρμονική 3. Ο τελευταίος όρος γενικά μπορεί να αγνοηθεί στις οπτικές ίνες. Χρησιμοποιώντας τώρα την εξ. (.6) παίρνουμε P (,) r t E(,), r t (.) NL όπου το μη γραμμικό κομμάτι της διηλεκτρικής σταθεράς δίνεται από τη σχέση NL 3 NL xxxx E t 4 (3) ( r, ). (.) Για να φτάσουμε στην κυματική εξίσωση για τον αργά μεταβαλλόμενο φάκελο είναι προτιμότερο να δουλέψουμε στο πεδίο των συχνοτήτων. Αυτό δεν είναι εν γένει δυνατό καθώς η εξίσωση (.) είναι μη γραμμική εξαιτίας της εξάρτησης του NL από την ένταση του οπτικού πεδίου. Παρακάμπτουμε αυτό το εμπόδιο θεωρώντας το NL σταθερό, προσέγγιση που δικαιολογείται από την υπόθεση αργά μεταβαλλόμενου φάκελου και από το γεγονός ότι το P NL δεν είναι παρά μια μικρή διαταραχή (perturbation) του P L. Αντικαθιστώντας τις εξ. (.4) έως (.6) στην (.) παρατηρούμε ότι ο μετασχηματισμός Fourier του φακέλου ικανοποιεί την εξίσωση Helmholtz όπου k = ω/c και E (, r ) E(,)exp[( r t i )] tdt (.) E ( ) k E (.3) (.4) () ( ) xx ( ) NL ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -3

11 είναι η διηλεκτρική σταθερά, το μη γραμμικό κομμάτι της οποίας δίνεται από την εξ. (.). Σε αυτό το σημείο μπορούμε να εισαγάγουμε τα μεγέθη του δείκτη διάθλασης n και συντελεστή απωλειών a n n n E, a a a E, (.5) τα οποία συνδέονται με τη διηλεκτρική σταθερά της εξ. (.4) μέσω της ( n ia / k ). (.6) Προφανώς, όπως και η διηλεκτρική σταθερά, τα μεγέθη του δείκτη διάθλασης και του συντελεστή απωλειών εξαρτώνται από την ένταση του οπτικού πεδίου. Ο μη γραμμικός δείκτης διάθλασης n και ο συντελεστής της απορρόφησης δυο φωτονίων α (δηλαδή το μη γραμμικό κομμάτι του συντελεστή απορρόφησης) που εμφανίζονται στις εξ. (.5) δίνονται από τις n 3 3 Re( ), a Im( ). (.7) 8n 8nc (3) (3) xxxx xxxx Τα γραμμικά κομμάτια του δείκτη διάθλασης και του συντελεστή απωλειών συνδέονται με το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της επιδεκτικότητας πρώτης τάξης μέσω των n( ) Re[ ( )], a( ) Im[ ( )]. (.8) nc Σημειώνουμε επίσης ότι το α είναι αμελητέο στις ίνες SiO. Η εξ. (.3) μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο χωρισμού των μεταβλητών. Υποθέτουμε λύση της μορφής E (, r ) F(, x y) A (, z )exp( i z), (.9) Δηλαδή, συγκρίνοντας με την εξ. (.4), είναι σαν να υποθέτουμε ηλεκτρικό πεδίο της μορφής Er (,) t x ˆ[ F (, x y ) A (,)exp[( z t i z t )] cc..]. (.) Στις παραπάνω εξισώσεις Fxy (, ) το προφίλ του ρυθμού της ίνας, Azt (,) ο αργά μεταβαλλόμενος φάκελος και Az (, ) ο μετασχηματισμός Fourier αυτού. Προφανώς, η Az (, ) είναι αργά μεταβαλλόμενη συνάρτηση του z και φασική σταθερά που πρόκειται να προσδιοριστεί. Αντικαθιστώντας την εξ. (.9) στην εξ. (.3) προκύπτουν οι παρακάτω δυο εξισώσεις F x F y [ ( ) k ] F, (.) ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -4

12 A i ( ) A. (.) z Για να φτάσουμε στην (.) αγνοήσαμε τη δεύτερη παράγωγο A/ z μιας και η συνάρτηση Az (, ) μεταβάλλεται αργά με το z, όπως έχουμε ήδη πει. Το σύνολο των εξισώσεων (.) και (.) λύνεται με τη βοήθεια της θεωρίας διαταραχών []. Αναπτύσσοντας τη φασική σταθερά σε σειρά Taylor όπου ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )..., (.3) m m d, (.4) m d και επιστρέφοντας στο πεδίο του χρόνου, βρίσκουμε ότι η συνάρτηση Azt (,) του αργά μεταβαλλόμενου φακέλου πρέπει να ικανοποιεί την A A i A A i ( ) A A, z t t (.5) στην οποία έχουμε συμπεριλάβει όρους διασποράς ως και δεύτερης τάξης. Ο όρος του δεξιού μέλους περιγράφει το μη γραμμικό φαινόμενο της αυτοδιαμόρφωσης φάσης (SPM). Η μη γραμμική παράμετρος γ ορίζεται ως n ( ) ( ), caeff (.6) όπου με A eff συμβολίζουμε την ενεργό επιφάνεια του ρυθμού. Η εξ. (.5) μπορεί να απλοποιηθεί περεταίρω με τον μετασχηματισμό T t z t z/ v g. Υποθέτουμε δηλαδή ότι κινούμαστε μαζί με τον παλμό με ταχύτητα ίση με την ταχύτητα ομάδας v g. Η εξ. (.5) παίρνει τη μορφή A i A A i ( ) A A. z T (.7) η οποία δεν είναι άλλη από τη γενικευμένη μη γραμμική εξίσωση Schrödinger. Η εξ. (.7) δεν συμπεριλαμβάνει τη μη γραμμική απόκριση των πυρήνων (φαινόμενο Raman) η οποία όπως είπαμε δεν μπορεί να θεωρηθεί ακαριαία. Έτσι, όταν μελετώνται εξαιρετικά στενοί παλμοί της τάξης των fs με αντίστοιχα εκτεταμένο εύρος Η εξ. (.7) ονομάζεται μη γραμμική εξίσωση Schrödinger στην περίπτωση που δεν υπάρχουν απώλειες (a = ), και αυτό λόγω της ομοιότητας που εμφανίζει με την εξίσωση του Schrödinger που συναντάμε στην επιστήμη της κβαντομηχανικής. ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -5

13 ζώνης, η εξ. (.7) παύει να είναι έγκυρη και πρέπει να διορθωθεί κατάλληλα. Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση διάδοσης παλμών παίρνει τη μορφή 3 A i A 3 A A 3 z T 6 T st ( A A) ( A ) i A i RT A, A T T (.8) με τον δεύτερο και τρίτο όρο του δεξιού μέλους να περιγράφουν τα φαινόμενα του selfsteepening (SS) και της ενδοπαλμικής σκέδασης Raman (Intrapulse Raman Scattering, IRS). Οι σταθερές s και τ R είναι χαρακτηριστικές αυτών των νέων φαινομένων στα οποία θα αναφερθούμε σε επόμενες παραγράφους. Σημειώνουμε επίσης ότι έχει προστεθεί και ένας επιπλέον όρος στο αριστερό μέλος που περιγράφει την επίδραση της διασποράς τρίτης τάξης. Ανά πάσα στιγμή μπορούν να συμπεριληφθούν και όροι που περιγράφουν τη διασπορά ανώτερων τάξεων. Οι όροι αυτοί θα είναι της μορφής m i m i m! m At () m. T (.9). Μέθοδοι επίλυσης της εξίσωσης Schrödinger Η NLSΕ [εξ. (.7)], είναι μια μη γραμμική διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους που δεν επιδέχεται αναλυτική λύση, με εξαίρεση κάποιες πολύ ειδικές περιπτώσεις στις οποίες μπορεί να εφαρμοστεί η μέθοδος αντίστροφης σκέδασης (inverse scattering method). Συνεπώς, μια αριθμητική επίλυση είναι πολλές φορές απαραίτητη για τη μελέτη των μη γραμμικών φαινομένων που εμφανίζονται στις οπτικές ίνες. Για τον σκοπό αυτό, έχει αναπτυχθεί ένας μεγάλος αριθμός αριθμητικών μεθόδων, οι περισσότερες εκ των οποίων μπορούν να χωριστούν σε δυο μεγάλες κατηγορίες: τις «μεθόδους πεπερασμένων διαφορών» και τις «ψευδοφασματικές» μεθόδους. Γενικά οι τελευταίες είναι πολύ γρηγορότερες. Η πιο διαδομένη μέθοδος επίλυσης διάδοσης ενός παλμού σε μη γραμμικά μέσα με διασπορά, είναι η Split-Step Fourier (SSF) μέθοδος. Η ταχύτητα της μεθόδου οφείλεται στη χρήση του αλγορίθμου FFT (Fast Fourier Transform). Στην ενότητα αυτή θα δοθεί μια συνοπτική περιγραφή των μεθόδων επίλυσης με έμφαση στην SSF... Μέθοδος Split-Step Fourier Για να κατανοήσουμε τη φιλοσοφία πίσω από τη μέθοδο αυτή θα γράψουμε την εξίσωση (NLSE) ως εξής A z ( Dˆ Nˆ) A, (.3) όπου οι τελεστές ˆD και ˆN εκφράζουν «διασπορά και απώλειες» και «μη γραμμικότητα», αντίστοιχα, και δίνονται από τις σχέσεις ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -6

14 3 ˆ a i 3 D..., 3 T 6 T (.3) ανάλογα με τους όρους διασποράς που περιλαμβάνει, και N ˆ i A, (.3) στην περίπτωση που δεν μελετώνται μη γραμμικά φαινόμενα ανώτερης τάξης. Γενικά, η διασπορά και η μη γραμμικότητα δρουν ταυτόχρονα κατά μήκος της ίνας. Με τη μέθοδο split-step Fourier παίρνουμε ένα προσεγγιστικό αποτέλεσμα θεωρώντας ότι για ένα οπτικό πεδίο που διαδίδεται κατά μήκος ενός πολύ μικρού τμήματος της ίνας, η διασπορά και τα μη γραμμικά φαινόμενα δρουν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Πιο συγκεκριμένα, θεωρούμε ότι η διάδοση από το σημείο z στο z h πραγματοποιείται σε δύο βήματα. Στο πρώτο οι μη γραμμικότητες επενεργούν μόνες τους και το D ˆ ενώ στο δεύτερο η διασπορά δρα μόνη της και τοn ˆ. Μαθηματικά, A( z h, T) exp( hdˆ)exp( hnˆ) A( z, T ) (.33) Η επίδραση του εκθετικού όρου exp( hd ˆ) είναι προτιμότερο να υπολογιστεί στο πεδίο των συχνοτήτων σύμφωνα με τη σχέση ˆ exp( hd) B( z, T) F exp[ hdˆ( i)] F B( z, T) (.34) όπου F T είναι o μετασχηματισμός Fourier ενώ o ο τελεστής T T D ˆ( i ) είναι προφανώς ˆ a 3 D i 3..., (.35) 6 σχέση που προκύπτει εύκολα αντικαθιστώντας τον διαφορικό τελεστή / T στην εξ. (.3) με iω. Για τη μετάβαση στο πεδίο συχνοτήτων και πίσω της εξ. (.34) γίνεται χρήση του αλγόριθμου FFT με συνέπεια ο αριθμητικός υπολογισμός της εξίσωσης να γίνεται σχετικά γρήγορα. Dispersion only Nonlinearity only A(, T) ALT (, ) z= z= L h Σχήμα.: Σχηματική αναπαράσταση της SSF μεθόδου. Το μήκος της ίνας διαιρείται σε ένα μεγάλο αριθμό τμημάτων μήκους h. Σε κάθε τμήμα, το φαινόμενο της μη γραμμικότητας τοποθετείται στο μέσο όπως φαίνεται με τις διακεκομμένες γραμμές. ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -7

15 Ακόμα καλύτερη από την (.33) είναι η «συμμετρική» εκδοχή της h (, ) exp( ˆ)exp( ˆ h AzhT D hn)exp( DAzT ˆ) (, ), (.36) με τη μη γραμμικότητα να επενεργεί στη μέση αντί της αρχής του βήματος (σχήμα.). Μετά τα παραπάνω η εφαρμογή της SSF είναι προφανής. Tο συνολικό μήκος της ίνας διαιρείται σε ένα μεγάλο αριθμό διαστημάτων, τα οποία δεν είναι απαραίτητο να είναι ίσα μεταξύ τους. Ο οπτικός παλμός διαδίδεται από τμήμα σε τμήμα σύμφωνα με το σχήμα.. Πιο συγκεκριμένα το οπτικό πεδίο A(z,T) διαδίδεται αρχικά για απόσταση h / μόνο με την επίδραση της διασποράς, κάνοντας χρήση του αλγόριθμου FFT (Fast Fourier Transform). Στη θέση z+h/ πολλαπλασιάζεται με έναν όρο που χαρακτηρίζει το φαινόμενο της μη γραμμικότητας πάνω σε ολόκληρο το τμήμα μήκους h. Τέλος το πεδίο διαδίδεται στην εναπομένουσα απόσταση h/ και πάλι μόνο με την επίδραση της διασποράς για τον τελικό υπολογισμό του A(z+h,T). Δηλαδή η μη γραμμικότητα μπορεί να υποτεθεί ότι δρα στο μέσο κάθε διαστήματος. Αν μάλιστα συνενώσουμε το δεύτερο μισό-βήμα διασποράς του τμήματος i με το πρώτο μισό-βήμα διασποράς του τμήματος i+ η διαδικασία της διάδοσης σε μήκος ίνας χωρισμένο σε M τμήματα γράφεται M ˆ ˆ ˆ hd ˆ ˆ hd hd M ˆ ˆ hd hn hd hn ALT (, ) e e e e e e e A(, T) m m (.37) Αποδεικνύεται μάλιστα ότι μπορούμε χωρίς απώλεια ακρίβειας να θεωρήσουμε ότι πρώτα δρα ο μη γραμμικός και ύστερα ο μη γραμμικός τελεστής. Η έκφραση που προκύπτει σε αυτή την περίπτωση είναι ˆ hn M ˆ ˆ ˆ hn hn hd ALT (, ) e e e e A(, T) (.38) m Αυτό είναι και το σχήμα που χρησιμοποιούμε στη δική μας υλοποίηση της SSF. Για τη διάδοση παλμών σε οπτικές ίνες η μέθοδος split-step Fourier εφαρμόστηκε πρώτη φορά το 973. Παρόλο που η μέθοδος είναι σχετικά εύκολη στην εφαρμογή απαιτεί την προσεκτική επιλογή των διαφόρων παραμέτρων όπως το μέγεθος βήματος h και το εύρος του χρονικού παραθύρου. Οι παραπάνω επιλογές εξαρτώνται φυσικά από την πολυπλοκότητα του προβλήματος και από τη φύση των φαινομένων που μελετώνται, δηλαδή αν απαιτούν μεγάλο χρονικό ή μεγάλο φασματικό παράθυρο, ή και τα δύο. Σε κάθε περίπτωση, τα παράθυρα παρατήρησης πρέπει να είναι αρκούντως μεγάλα ώστε η ενέργεια των παλμών να παραμείνει μέσα σε αυτά Ένα τελευταίο σχόλιο που πρέπει να γίνει στο σημείο αυτό σχετίζεται με τον αριθμό των όρων διασποράς που συμπεριλαμβάνονται στην NLSE. Πολλές φορές είναι απαραίτητο να συμπεριληφθούν όροι διασποράς πολύ υψηλής τάξης, όπως για παράδειγμα στην περίπτωση που το κεντρικό μήκος κύματος συμπίπτει με το μήκος κύματος μηδενικής διασποράς ή τη μελέτη εξαιρετικά σύντομων παλμών. Τότε, τα φαινόμενα που πηγάζουν από τέτοιους όρους γίνονται σημαντικά. Σε αυτή την περίπτωση, αντί να συνεχίσουμε να παραγωγίζουμε τη συνάρτηση του n eff (λ), με κάποια από τις μεθόδους που παρουσιάζονται ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -8

16 στην παράγραφο 3., είναι προτιμότερο να ακολουθήσουμε μια διαφορετική οδό, η οποία μας επιτρέπει με κομψό τρόπο να συμπεριλάβουμε όλους τους όρους διασποράς [5]. Επιπρόσθετα, αποφεύγουμε τα αριθμητικά σφάλματα τα οποία δρουν συσωρευτικά. Ειδικότερα, ξαναγράφουμε το ανάπτυγμα Taylor της φασικής σταθεράς ως ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). (.39) m m m m! Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε και τα δυο μέλη με ia ( ) ώστε να φτάσουμε στην i ( ) ( ) ( ) ( ) A ( ) i m m ( ) m( ) A ( ). m! (.4) Αναγνωρίζουμε αμέσως ότι το δεξί μέλος δεν είναι άλλο από τον μετασχηματισμό Fourier της παράστασης m m i m( ) At ( ) i m, (.4) m! t m δηλαδή του συνόλου τον όρων διασποράς, όπως εμφανίζονται στη NLSE. Αυτό γίνεται σαφές από το ζεύγος μετασχηματισμού m At () FT m i( ) A ( ). (.4) m t Η παραπάνω διαπίστωση λέει πολύ απλά ότι ο τελεστής διασποράς D ˆ( i) της SSF μπορεί να πάρει τη μορφή αντί για τη μέχρι τώρα γνωστή μορφή a Dˆ( i ) i ( ) ( ) ( ), (.43) a ˆ( ) m D i i m ( ). (.44) m! m Δηλαδή, για να συμπεριλάβουμε την επίδραση όλων των όρων διασποράς στην NLSE αρκεί να πολλαπλασιάζουμε σε κάθε βήμα διασποράς της SSF το φάσμα με a exp i ( ) ( ) ( ) h, δηλαδή αρκεί η γνώση της παραμέτρου διασποράς ης τάξης! (.45) ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -9

17 .. Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών Αν και η SSF είναι ευρέως χρησιμοποιούμενη μέθοδος για την επίλυση της NLSE, γίνεται πολύ χρονοβόρα όταν προσομοιώνονται συστήματα με πολλά πολυπλεγμένα μήκη κύματος (Wavelength Division Multiplexing, WDM). Σε αυτές τις περιπτώσεις, το συνολικό φασματικό εύρους του συστήματος είναι αυξημένο με αποτέλεσμα να απαιτείται ένας πολύ μεγάλος αριθμός δειγμάτων συχνότητας. Παρότι ο FFT είναι σχετικά γρήγορος, ένας μεγάλος αριθμός από FFTs με πολύ μεγάλο αριθμό δειγμάτων, θα χρειαζόταν ώρες, ίσως μέρες, για να ολοκληρωθεί. Για τον λόγο αυτό, η μέθοδος πεπερασμένων διαφορών προτιμάται για τη λύση της NLSE σε τέτοιες περιπτώσεις. Το συνηθέστερα χρησιμοποιούμενο σχήμα πεπερασμένων διαφορών είναι το σχήμα Crank-Nicolson. Μια ακόμη περίπτωση στην οποία η SSF δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί είναι στη διάδοση εξαιρετικά σύντομων οπτικών παλμών, εύρους λίγων οπτικών κύκλων. Σε αυτές τις περιπτώσεις απαιτείται η χαλάρωση της παραδοχή του αργά μεταβαλλόμενου φακέλου. Πολλές από τις μεθόδους που έχουν προταθεί για το σκοπό αυτό απαιτούν τη λύση της NLSE με πεπερασμένες διαφορές. Στο υπόλοιπο της εργασίας χρησιμοποιούμε την SSF για την αριθμητική επίλυση της NLSE, όπου αυτό είναι απαραίτητο..3 Φαινόμενα Διασποράς Είναι ήδη γνωστό από τη μελέτη της μη γραμμικής εξίσωσης Schrödinger, ότι τα φαινόμενα της διασποράς (GVD & TOD) και της αυτοδιαμόρφωσης φάσης (SPM) δρουν ταυτόχρονα κατά τη διάδοση του παλμού στην οπτική ίνα. Πριν όμως μελετήσουμε αυτήν τη γενική περίπτωση, καλό θα ήταν να αντιμετωπίσουμε αυτά τα φαινόμενα ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Είναι λοιπόν σκόπιμο να γνωρίζουμε πότε μπορούμε να θεωρήσουμε κάποιο από τα φαινόμενα αμελητέο και υπό ποιες προϋποθέσεις. Ορίζουμε τα μεγέθη L D και L NL ως εξής L D T,. LNL P (.46) Τα L D και L NL δίνουν ένα μέτρο του μήκους διάδοσης πέρα από το οποίο τα φαινόμενα διασποράς και τα μη γραμμικά φαινόμενα, αντίστοιχα, γίνονται σημαντικά. Συγκρίνοντας τα μεγέθη L D και L NL με το μήκος της ίνας L, διαμορφώνονται τέσσερις περιοχές λειτουργίας.. Το μήκος της ίνας L είναι μικρότερο των L D και L NL (L< L D, L< L NL ). Κατά τη διάδοση δεν εμφανίζεται κανένα από τα δύο φαινόμενα. Σε αυτήν την περίπτωση η ίνα λειτουργεί ως ένα διάφανο μέσο μετάδοσης οπτικών παλμών (εξαιρείται η μείωση της ισχύος του μεταδιδόμενου παλμού λόγω απωλειών).. Το μήκος της ίνας είναι τέτοιο ώστε L<L NL ενώ είναι συγκρίσιμο με το μήκος διασποράς L D. Η εξέλιξη του παλμού τότε καθορίζεται από το GVD ενώ οι μη γραμμικότητες μπορούν να αγνοηθούν. Μαθηματικά, αυτή η περιοχή λειτουργίας οριοθετείται από τη σχέση L L D NL P. (.47) ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -

18 3. Το μήκος της ίνας είναι τέτοιο ώστε L<L D ενώ είναι συγκρίσιμο με το μήκος L NL. Η εξέλιξη του παλμού τότε καθορίζεται από το SPM, το οποίο και επηρεάζει το φασματικό περιεχόμενο του παλμού, ενώ θεωρείται αμελητέα η επίδραση της διασποράς. Μαθηματικά, αυτή η περιοχή λειτουργίας οριοθετείται από τη σχέση L L D NL P. (.48) 4. Το μήκος της ίνας είναι μεγαλύτερο ή συγκρίσιμο με αμφότερα τα L D και L NL. Τότε η εξέλιξη του παλμού επηρεάζεται και από το GVD αλλά και το SPM και μπορεί να οδηγήσει σε διαφορετική συμπεριφορά από αυτήν που θα περίμενε κανείς αν καθένα από τα παραπάνω φαινόμενα δρούσαν μόνα τους. Στην ομαλή περιοχή διασποράς (β >), τα GVD και SPM χρησιμοποιούνται για τη συμπίεση παλμών. Από την άλλη, στην ανώμαλη περιοχή διασποράς (β <) η ίνα μπορεί να υποστηρίξει σολιτόνια. Στην παράγραφο αυτή θα εξετάσουμε την επίδραση της διασποράς (GVD & TOD) στους διαδιδόμενους παλμούς (περίπτωση ), ενώ σε επόμενη παράγραφο θα εξεταστεί η επίδραση του SPM (περίπτωση 3) για να καταλήξουμε τελικά στο πλήρες πρόβλημα (περίπτωση 4)..3. Διασπορά Ταχύτητας Ομάδας (GVD) Η επίδραση του GVD σε έναν οπτικό παλμό που διαδίδεται σε ένα γραμμικό μέσο μπορεί να μοντελοποιηθεί με την NSLE. Καθώς θεωρούμε απουσία μη γραμμικότητας θέτουμε τη μη γραμμική παράμετρο γ ίση με μηδέν στην εξ. (.7). Τότε η NSLE γράφεται U i z U T, (.49) όπου έχει πραγματοποιηθεί η παρακάτω κανονικοποίηση AzT (, ) P exp( z/) U(, zt). (.5) Μετασχηματίζοντας τη διαφορική εξίσωση (.49) στο πεδίο της συχνότητας παίρνουμε τη συνήθη διαφορική εξίσωση Uz (, ) i U(, z ), z (.5) της οποίας η λύση δεν είναι άλλη από την i Uz (, ) U(, )exp z, (.5) όπου με Uz (, ) συμβολίζουμε τον μετασχηματισμό Fourier του UzT (, ) για τον οποίο προφανώς ισχύει ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -

19 UzT (, ) Uz (, )exp itd. (.53) Η εξ. (.5) φανερώνει τον τρόπο με τον οποίο το GVD επηρεάζει τον οπτικό παλμό. Το GVD αλλάζει τη φάση της κάθε φασματική συνιστώσας κατά ένα μέγεθος ανάλογο της συχνότητας και της διανυόμενης απόστασης. Αν και αυτές οι αλλαγές στη φάση δεν επηρεάζουν το μέτρο του φάσματος του παλμού, ωστόσο διαφοροποιούν το σχήμα του παλμού στον χρόνο. Αντικαθιστώντας τη (.5) στη (.53) παίρνουμε τη γενική λύση της (.49): i UzT (, ) U(, )exp z it d, (.54) όπου το U (, ) είναι ο μετασχηματισμός Fourier του παλμού εισόδου. Προφανώς η εξ. (.54) είναι έγκυρη για οποιοδήποτε σχήμα παλμού. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε κάποια τυπικά σχήματα παλμών. Γκαουσιανός παλμός Θα εξετάσουμε αρχικά την περίπτωση του Γκαουσιανού παλμού, ο οποίος είναι της παρακάτω μορφής T U(, T) exp. T (.55) T είναι το μισό εύρος μεταξύ των σημείων στα οποία η ισχύς του σήματος έχει πέσει στο /e. Γενικά, συνηθίζεται η χρήση του πλήρους εύρους στο ήμισυ της μέγιστης ισχύος (full width at half maximum, FWHM), και το οποίο συνδέεται με το T μέσω της σχέσης T T T (.56) FWHM / (ln ).665. Αν χρησιμοποιήσουμε τη (.54) και εκτελέσουμε την ολοκλήρωση καταλήγουμε στην T T UzT (, ) exp, / ( T iz) ( T iz) (.57) η οποία δίνει το σχήμα του παλμού σε οποιοδήποτε σημείο στην ίνα. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι ένας Γκαουσιανός παλμός, καθώς διαδίδεται, διατηρεί το σχήμα του αλλά η χρονική του διάρκεια T μεγαλώνει με το z σύμφωνα με τη σχέση / () ( / ). T z T z L D (.58) Η παραπάνω εξίσωση δείχνει πως το GVD διευρύνει τον παλμό στον χρόνο. Το μέγεθος της διεύρυνσης εξαρτάται από το μήκος διάδοσης L. Στο σχήμα.(α) απεικονίζεται ο παλμός μετά από απόσταση ίση με L D και 4L D. Όσο μεγαλύτερη η απόσταση, τόσο ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -

20 μεγαλύτερη η διεύρυνση λόγω GVD. Από την εξ. (.54) διαπιστώνουμε επίσης ότι για ένα δοσμένο μήκος ίνας ότι όσο πιο στενός ο παλμός, τόσο μικρότερο το L D και άρα τόσο μεγαλύτερη η διεύρυνση..8 z = z = L D z = 4L D 6 4 z = z = L D z = 4L D Intensity.6.4 Chirp Normalized Time T/T Normalized Time T/T (α) Σχήμα.: (α) Ένταση παλμού και (β) chirp δωt ως συνάρτηση του κανονικοποιημένου χρόνου T/T στις αποστάσεις z = L D και 4L D. Συμπεριλαμβάνεται και ο παλμός στην είσοδο (Γκαουσιανής μορφής) για να διευκολυνθεί η σύγκριση. Συγκρίνοντας τώρα τις εξισώσεις (.55) και (.57) παρατηρούμε ότι αν και ο αρχικός παλμός δεν έχει chirp (διαμόρφωση συχνότητας/φάσης), το GVD επάγει chirp στον παλμό. Αυτό διαπιστώνεται ευκολότερα αν φέρουμε το UzT (, ) σε «πολική» μορφή, σύμφωνα με τη σχέση UzT (, ) UzT (, )exp[ i(, zt)]. (.59) Μετά από λίγες πράξεις φαίνεται ότι η φάση (, zt) δίνεται από τη σχέση (β) sgn( )( z/ LD ) T z (, zt) tan sgn( ). ( z/ LD) T LD (.6) Η φάση είναι μη γραμμική συνάρτηση του χρόνο (εξαρτάται από τον χρόνο στη δεύτερη δύναμη), πράγμα που συνεπάγεται ότι η στιγμιαία συχνότητα (ορισμένη ως η παράγωγος της φάσης) στα διαφορετικά χρονικά σημεία του παλμού δεν είναι σταθερή. Η διαφορά της στιγμιαίας συχνότητας από την κεντρική συχνότητα φέροντος ( T) για κάθε σημείο του παλμού δίνεται, προφανώς, από τη σχέση sgn( )( z/ L ) T ( T) T ( z/ L ) T D D (.6) και είναι γραμμική συνάρτηση του χρόνου [σχήμα.(β)]. Σημειώνουμε επίσης ότι το πρόσημο του chirp εξαρτάται από το πρόσημο του β. Στην περιοχή ομαλής διασποράς (β > ), το είναι αρνητικό στην προπορευόμενη ουρά του παλμού (leading edge, Τ < ) ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -3

21 και θετικό στην ουρά που έπεται (trailing edge, Τ > ). Το αντίθετο συμβαίνει στην περιοχή ανώμαλης διασποράς. Αυτή είναι και η περίπτωση που απεικονίζεται στο σχήμα.(β). Ανακεφαλαιώνοντας, η επίδραση του GVD μπορεί να εξηγηθεί από το γεγονός ότι διαφορετικές συχνότητες ταξιδεύουν με διαφορετική ταχύτητα κατά μήκος της ίνας. Ο παλμός θα διατηρούσε το αρχικό του πλάτος, χωρίς να διευρυνθεί, μόνο στην περίπτωση που όλες οι φασματικές συνιστώσες ταξίδευαν με την ίδια ταχύτητα. Οποιαδήποτε χρονική υστέρηση στην άφιξη διαφορετικών φασματικών συνιστωσών οδηγεί σε διεύρυνση του παλμού. Γκαουσιανός παλμός με αρχικό chirp Στην περίπτωση ενός Γκαουσιανού παλμού χωρίς αρχικό chirp η εξ. (.58) φανερώνει ότι ο παλμός θα διευρυνθεί ανεξαρτήτως προσήμου του GVD. Αυτή η συμπεριφορά αλλάζει στην περίπτωση που ο Γκαουσιανός παλμός διαθέτει αρχικό (γραμμικό) chirp ( ic ) T U(, T) exp, T (.6) όπου C είναι η παράμετρος chirp του παλμού. Φέρνοντας και πάλι σε πολική μορφή παρατηρούμε ότι η στιγμιαία συχνότητα αυξάνεται γραμμικά από το προπορευόμενο μέρος του παλμού (leading edge) προς αυτό που ακολουθεί (trailing edge) για C > (up-chirp), ενώ το αντίθετο συμβαίνει για C < (down-chirp). Συνηθίζεται να ορίζουμε το chirp ως θετικό ή αρνητικό σε αντιστοιχία με το πρόσημο του C. Η αριθμητική τιμή του C όταν δεν είναι γνωστή μπορεί να προσδιοριστεί από το φασματικό εύρος του Γκαουσιανού παλμού. Το φάσμα του Γκαουσιανού παλμού με αρχικό chirp δίνεται από τη σχέση / T T U(, ) exp ic ( ic ) (.63) όπου το μισό εύρος του φάσματος (στο /e της έντασης) Δω δίνεται από τη C / / T. (.64) Στην απουσία chirp (C=), το εύρος του φάσματος ικανοποιεί τη σχέση ΔωT = και ο παλμός χαρακτηρίζεται ως περιορισμένος από το μετασχηματισμό Fourier (transform limited). Φαίνεται ξεκάθαρα ότι το φασματικό περιεχόμενο του παλμού αυξάνεται κατά ένα παράγοντα (+C ) / στην παρουσία γραμμικού chirp. Η εξ. (.64) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εκτιμηθεί το C από μετρήσεις του Δω και Τ. Για να πάρουμε την έκφραση του παλμού σε τυχαίο σημείο της ίνας, αντικαθιστούμε την (.63) στην (.54) και καταλήγουμε στην ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -4

22 T ( ic) T UzT (, ) exp / [ T iz( ic)] [ T iz( ic)] (.65) Παρατηρούμε ότι ακόμη κι ένας Γκαουσιανός παλμός με αρχικό chirp διατηρεί το σχήμα του καθώς διαδίδεται μέσα στην ίνα. Το χρονικό εύρος μετά από απόσταση z δίνεται από / T Cz z. T T T (.66) Η παράμετρος chirp του παλμού επίσης μεταβάλλεται κατά τη διάδοση C () z C ( C )( z/ T ). (.67) Όταν β C> ο Γκαουσιανός παλμός με αρχικό chirp διευρύνεται μονότονα και με γρηγορότερο ρυθμό από έναν παλμό χωρίς αρχικό chirp [σχήμα.3(α)]. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το chirp που υφίσταται ο παλμός λόγω GVD προστίθεται στο chirp που είχε εξαρχής, με τις δυο συνεισφορές να έχουν το ίδιο πρόσημο. Αντίθετα, όταν β C< οι δύο συνεισφορές έχουν αντίθετα πρόσημα και η κατάσταση αλλάζει δραματικά. Όπως φαίνεται από την εξ. (.67) το chirp θα μηδενιστεί για απόσταση που πληροί τη σχέση z/ LD C /( C ). Σε εκείνο το σημείο το εύρος του παλμού γίνεται ελάχιστο. Αυτός είναι και ο λόγος που ο παλμός αρχικά συμπιέζεται [σχήμα.3(α)], έως ότου μηδενιστεί το chirp του και γίνει transform limited [σχήμα.3(β)], όποτε και ξεκινάει η, μονότονη πια, διεύρυνσή του. Broadening Factor T /T C = C = C = Chirp Parameter C C = C = C =.5.5 Normalized Distance z/l D.5.5 Normalized Distance z/l D (α) Σχήμα.3: (α) Παράγοντας διεύρυνσης και (β) παράμετρος chirp συναρτήσει της κανονικοποιημένης απόστασης z/l D για έναν chirped Γκαουσιανό παλμό που διαδίδεται στην περιοχή ανώμαλης διασποράς. Οι ίδιες καμπύλες θα προέκυπταν και για την περίπτωση της ομαλής διασποράς (β > ) με αντιστροφή του προσήμου του C. (β) ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -5

23 Παλμοί Υπερβολικής Τέμνουσας Αν και οι περισσότεροι παλμοί που εκπέμπονται από παλμικές πήγες laser έχουν σχήμα που προσεγγίζεται ικανοποιητικά από τον Γκαουσιανό παλμό, κρίνεται σκόπιμο να ερευνηθούν και άλλα σχήματα παλμού, όπως αυτό της υπερβολικής τέμνουσας (hyperbolic secant) το οποίο συναντάται κατά τον σχηματισμό σολιτονίων. Το οπτικό πεδίο που σχετίζεται με αυτού του είδους τους παλμούς παίρνει την μορφή T ict U(, T) sech exp, T T (.68) όπου η παράμερος C ελέγχει, όπως και προηγουμένως, το αρχικό chirp, αν υπάρχει. H εξέλιξη του παλμού κατά τη διάδοση μπορεί να βρεθεί με χρήση της εξ. (.54). Δυστυχώς το ολοκλήρωμα δεν μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά για μη Γκαουσιανό σχήμα παλμού και έτσι η λύση πρέπει να βρεθεί αριθμητικά με χρήση του FFT [σχήμα.4(α)]. Όπως και στην περίπτωση του Γκαουσιανού παλμού, ο παλμός διευρύνεται στο χρόνο με τη διεύρυνση να είναι εντονότερη όσο μεγαλύτερο το μήκος διάδοσης [σχήμα.4(α)]. Η κύρια διαφορά έγκειται στο γεγονός ότι το επαγόμενο chirp δεν είναι γραμμική συνάρτηση του χρόνου [σχήμα.4(β)]..8 z = z = L D z = 4L D 6 4 z = z = L D z = 4L D Intensity.6.4 Chirp Normalized Time T/T Normalized Time T/T (α) Σχήμα.4: (α) Ένταση παλμού και (β) chirp δωt ως συνάρτηση του κανονικοποιημένου χρόνου T/T στις αποστάσεις z = L D και 4L D για παλμούς υπερβολικής τέμνουσας. Συμπεριλαμβάνεται και ο παλμός στην είσοδο (z=) για να διευκολυνθεί η σύγκριση. (β) Υπερ-Γκαουσιανοί παλμοί Μέχρι στιγμής ασχοληθήκαμε με παλμούς που έχουν σχετικά ομαλές απολήξεις. Όπως θα περίμενε κανείς, η διεύρυνση λόγω GVD επηρεάζεται από το πόσο απότομες είναι οι απολήξεις του παλμού. Γενικά, ένας παλμός με απότομα άκρα διευρύνεται πιο γρήγορα γιατί λόγω του σχήματός του καταλαμβάνει ευρύτερο φάσμα εξαρχής. Ένας τέτοιος παλμός είναι ο υπέρ-γκαουσιανός και δίνεται από τη σχέση ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -6

24 m ic T U(, T) exp, T (.69) όπου η παράμετρος m ελέγχει την οξύτητα των άκρων. Για m= παίρνουμε τον συμβατικό Γκαουσιανό παλμό. Στο σχήμα.5 δίνονται η ένταση παλμού και το chirp στην περίπτωση ενός αρχικά υπερ-γκαουσιανού παλμού (m=3) χωρίς αρχικό chirp (C=). Συγκρίνοντας με τον απλό Γκαουσιανό παλμό του σχήματος., παρατηρούμε τα παρακάτω. Ενώ ο Γκαουσιανός παλμός διατηρεί το σχήμα του κατά τη διάδοση, ο υπέρ-γκαουσιανός όχι μόνο διευρύνεται πιο γρήγορα, αλλά παραμορφώνεται και το σχήμα του. Το προφίλ του chirp επίσης χάνει τη γραμμικότητά του και εμφανίζει ταλαντώσεις..8 z = z = L D z = 4L D 6 4 z = z = L D z = 4L D Intensity.6.4 Chirp Normalized Time T/T (α) 6 Normalized Time T/T (β) Σχήμα.5: (α) Ένταση παλμού και (β) chirp δωt συναρτήσει του κανονικοποιημένου χρόνου T/T για έναν υπέρ-γκαουσιανό παλμό (m = 3) στις αποστάσεις z = L D and 4L D. Συμπεριλαμβάνεται και ο παλμός στην είσοδο (μπλε καμπύλη) για να διευκολυνθεί η σύγκριση..3. Διασπορά τρίτης τάξης (TOD) Η διεύρυνση του παλμού οφείλεται στo GVD, δηλαδή στη διασπορά της ταχύτητας ομάδας που συμβολίζεται με β. Αν και αυτή η παράμετρος κυριαρχεί στις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές, μερικές φορές είναι αναγκαίο να συμπεριληφθεί στη μελέτη και η επίδραση της διασποράς τρίτης τάξης (Third Order Dispersion, TOD), μέσω της παραμέτρου β 3. Για παράδειγμα, αν έχουμε έναν παλμό με κεντρική συχνότητα που αντιστοιχεί στο μήκος κύματος μηδενικής διασποράς λ D (Zero Dispersion Wavelength, ZDW) για το οποίο ισχύει β =, αντιλαμβανόμαστε ότι η παράμετρος β 3 γίνεται ξαφνικά κυρίαρχη. Για πολύ σύντομους παλμούς (με πλάτος Τ < ps) είναι επίσης απαραίτητο να συμπεριλάβουμε την παράμετρο β 3 καθώς το Δω/ω δεν είναι πια αμελητέα ποσότητα, με αποτέλεσμα να μη δικαιολογείται η αποκοπή της σειράς Taylor στον δεύτερο μόλις όρο. Στην ενότητα αυτή θα εξετάσουμε την επίδραση της παραμέτρου β 3, σε συνδυασμό με τη β, ενώ συνεχίζουμε να αμελούμε τα μη γραμμικά φαινόμενα. Χρησιμοποιώντας την NLSE με γ = και την κανονικοποίηση της εξ. (.5) βρίσκουμε ότι η U(z,T) πρέπει να ικανοποιεί την παρακάτω εξίσωση ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -7

25 U U i U i z T 6 T (.7) Ακολουθώντας τη διαδικασία της παραγράφου.3. που περιλαμβάνει το μετασχηματισμό της διαφορικής εξίσωσης στο πεδίο της συχνότητας και τον αντίστροφο μετασχηματισμό της λύσης πίσω στο πεδίο του χρόνου καταλήγουμε στην έκφραση που δίνει το σχήμα του παλμού σε τυχόν σημείο της ίνας i i 3 3 UzT (, ) U(, )exp z z it d. (.7) 6 Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη μελέτη της διασποράς τρίτης τάξης σε παλμούς οποιουδήποτε σχήματος. Είναι προφανές ότι η εξέλιξη του παλμού κατά μήκος της ίνας καθορίζεται από τα σχετικά μεγέθη των δύο παραμέτρων διασποράς β και β 3. Για να μπορούμε να αποφασίσουμε ποιά από τις δύο έχει κυρίαρχο ρόλο στην διάδοση κάθε φορά, εισάγουμε το μήκος L' D που ορίζεται ως L D T /. (.7) 3 3 Η επίδραση του TOD είναι ισχυρότερη αυτής του GVD αν ισχύει L D LDή, ισοδύναμα, T / 3. Για να έχουμε τόσο χαμηλές τιμές του β, ώστε να ικανοποιούνται οι παραπάνω συνθήκες, θα πρέπει το κεντρικό μήκος κύματος του παλμού να πέφτει πολύ κοντά στο λ D. Ακόμα όμως και αν δεν ισχύει κάτι τέτοιο το TOD μπορεί να γίνει σημαντικό αν το εύρος του παλμού Τ είναι πολύ μικρό. Το σχήμα.6 δείχνει το σχήμα του παλμού μετά από διάδοση σε μήκος ίσο με 5L D για έναν Γκαουσιανό παλμό χωρίς αρχικό chirp (C=). Εξετάζονται δύο περιπτώσεις: β =, και β τέτοιo ώστε LD L D. Όπως είδαμε στο σχήμα., ένας Γκαουσιανός παλμός παραμένει Γκαουσιανός κατά τη διάδοση, όταν σε αυτόν θεωρούμε ότι επιδρά μόνο το β. Αντιθέτως, το TOD παραμορφώνει τον παλμό με τέτοιο τρόπο ώστε να γίνεται ασύμμετρος εμφανίζοντας ταλαντώσεις στο ένα του άκρο. Στην περίπτωση του θετικού β 3 (σχήμα.6) οι ταλαντώσεις εμφανίζονται κοντά στο άκρο που έπεται, ενώ για αρνητικό β 3 είναι το προπορευόμενο κομμάτι που ταλαντώνει. Για β =, οι ταλαντώσεις είναι βαθιές, με την ένταση να πέφτει στο μηδέν μεταξύ δυο διαδοχικών κορυφών, ενώ ρηχαίνουν απότομα καθώς το β αυξάνει. Για την περίπτωση που LD L D, οι ταλαντώσεις σχεδόν εξαφανίζονται και ο παλμός εμφανίζει μια μακριά ουρά στο άκρο που έπεται. Για μεγαλύτερες τιμές του β τέτοιες ώστε LD L D, το TOD έχει πολύ μικρή επίδραση και ο παλμός παραμένει Γκαουσιανός. ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -8

26 .8 z = z = 5L D, β = z = 5L, L = L D D D Intensity Normalized Time T/T Σχήμα.6: Σχήμα του παλμού σε απόσταση z 5L D για έναν Γκαουσιανό παλμό χωρίς αρχικό chirp, στην παρουσία διασποράς τρίτης τάξης. Εξετάζονται δυο περιπτώσεις: β = και β τέτοιο ώστε LD L D. Στο σχήμα.7, βλέπουμε την εξέλιξη ενός υπέρ-γκαουσιανού παλμού (m=3) χωρίς αρχικό chirp (C=) στο μήκος κύματος μηδενικής διασποράς (β =). Σημειώνουμε ότι το ολοκλήρωμα στην εξ. (.67) πρέπει να υπολογιστεί αριθμητικά με τη βοήθεια του FFT, όπως έγινε και για τις συνθήκες του σχήματος.6. Συγκρίνοντας τα δύο σχήματα,.6 και.7, είναι προφανές ότι το σχήμα του παλμού μπορεί να διαφέρει ανάλογα με το σχήμα του παλμού που εισήχθη αρχικά στην ίνα, αλλά αυτό που ενδιαφέρει περισσότερο είναι το εύρος που καταλαμβάνει ο παλμός στο τέλος της ίνας και όχι οι λεπτομέρειες του σχήματός του. Σχήμα.7: Η εξέλιξη ενός υπέρ-γκαουσιανού παλμού με m=3 κατά μήκος της ίνας για την περίπτωση β = και β 3 >. Η διασπορά τρίτης τάξης ευθύνεται για τις ταλαντώσεις κοντά στο άκρο του παλμού που έπεται. ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -9

27 .4 Αυτοδιαμάρφωση Φασης (SPM) Ένα πολύ ενδιαφέρον αποτέλεσμα της εξάρτησης της έντασης από τον δείκτη διάθλασης στα μη γραμμικά μέσα [εξ. (.5)] είναι η αυτοδιαμόρφωση φάσης (SPM), ένα φαινόμενο το οποίο οδηγεί σε διεύρυνση του φασματικού εύρους του οπτικού παλμού. Παρατηρήθηκε πρώτη φορά το 97 σε στερεά και γυαλιά με τη χρήση picosecond παλμών. Στην ενότητα αυτή θα εξετάσουμε την επίδραση του SPM στους παλμούς που διαδίδονται σε οπτικές ίνες. Αρχικά, θα μελετήσουμε το SPM ανεξάρτητα από τη διασπορά. Έτσι θέτουμε β = στην εξίσωση διάδοσης (.7) η οποία γράφεται για το κανονικοποιημένο πλάτος U(z,T) ως U z ie L az NL U U, (.73) όπου α ο συντελεστής γραμμικών απωλειών της ίνας σε Np/m. Η γενική λύση της εξ. (.67) είναι της μορφής ULT (, ) U(, T)exp[ i ( LT, )], (.74) όπου U(,T) είναι το πλάτος του πεδίου στο z= και η μη γραμμική φάση δίνεται από NL NL LT U T Leff LNL (, ) (, ) ( / ). (.75) Το ενεργό μήκος L eff για μια ίνα μήκους L ορίζεται ως Leff [ exp( L)]/, (.76) και δηλώνει το μήκος εκείνο, που είναι μικρότερο του πραγματικού μήκους της ίνας L, αλλά είναι απαλλαγμένο από τις απώλειες, δηλαδή για α= έχουμε L eff =L. Η εξίσωση (.74) φανερώνει ότι το SPM προκαλεί συσσώρευση μη γραμμικής φάσης η οποία εξαρτάται από την ένταση του παλμού σε κάθε του σημείο. Η μη γραμμική φάση NL της εξίσωσης (.74) αυξάνει ανάλογα με το μήκος L της ίνας. Από την άλλη, το σχήμα του παλμού παραμένει αναλλοίωτο, όπως φαίνεται από το πλάτος της μιγαδικής ποσότητας. Η μέγιστη ολίσθηση φάσης παρατηρείται στο μέσο του παλμού (T = ), μιας και η ισχύς του παλμού εκεί είναι μέγιστη. Δίνεται δε από τη σχέση L (.77) eff max PL eff. LNL Οι αλλαγές στο φάσμα λόγω της δράσης του SPM είναι το άμεσο αποτέλεσμα της εξάρτησης της φάσης NL από τον χρόνο. Αυτό μπορεί να γίνει κατανοητό αν αναλογιστεί κανείς το γεγονός ότι η μη γραμμικά χρονικά μεταβαλλόμενη φάση υπονοεί ότι η στιγμιαία συχνότητα μεταβάλλεται κατά μήκος του παλμού σε σχέση με την κεντρική ω. Η διαφορά δω δίνεται από τη σχέση ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -

28 Leff NL ( T) U(, T), T LNL T (.78) όπου το αρνητικό πρόσημο οφείλεται στην σύμβαση exp( it) που χρησιμοποιήθηκε για την αρμονική χρονική μεταβολή. Η εξάρτηση του δω από τον χρόνο αναφέρεται ως chirp (διαμόρφωση συχνότητας). Το chirp που εισάγεται από το SPM αυξάνει σε μέγεθος με την διανυόμενη απόσταση, με άλλα λόγια, νέες συχνότητες δημιουργούνται συνεχώς καθώς ο παλμός διαδίδεται κατά μήκος της ίνας. Αυτές οι νέες συχνότητες διευρύνουν το φάσμα πέρα από το αρχικό του εύρος στο z=, τουλάχιστον για παλμούς χωρίς αρχικό chirp. Τα ποιοτικά χαρακτηριστικά του chirp εξαρτώνται από το σχήμα του παλμού. Καθώς το NL είναι ευθέως ανάλογο του U(,T), οι χρονικές του διακυμάνσεις ακολουθούν κατά πανομοιότυπο τρόπο εκείνες της έντασης του παλμού. Όσο για το chirp, η διακύμανσή του είναι ανάλογη της παραγώγου του παλμού [εξ. (.78)]. Καταλαβαίνει λοιπόν κανείς ότι το chirp θα είναι μέγιστο εκεί που ο παλμός εμφανίζει τις εντονότερες μεταβολές του. Στο σχήμα.8 απεικονίζεται το chirp κατά μήκος του παλμού σε απόσταση L eff =L NL για έναν Γκαουσιανό (m=) και έναν υπέρ-γκαουσιανό (m=3) παλμό..5.5 Gaussian Super Gaussian (m=3) Chirp, δω T Normalized Time T/T Σχήμα.8: Chirp δω λόγω SPM συναρτήσει του κανονικοποιημένου χρόνου για Γκαουσιανό και υπέρ-γκαουσιανό παλμό. Παρατηρούμε τα εξής: Το δω είναι αρνητικό κοντά στο προπορευόμενο άκρο του παλμού (red shift) και γίνεται θετικό κοντά στο άκρο που ακολουθεί (blue shift). Το chirp είναι γραμμικό και θετικό (up-chirp) για μια μεγάλη περιοχή στο κέντρο του Γκαουσιανού παλμού. Το μέγιστο chirp είναι σημαντικά μεγαλύτερο για παλμούς με απότομα άκρα όπως ο υπέρ-γκαουσιανός με m=3. Στους υπέρ-γκαουσιανούς παλμούς το chirp εμφανίζεται μόνο στις περιοχές κοντά στα άκρα και όχι στο κέντρο του παλμού. Συνοψίζοντας, οι μεταβολές του chirp κατά μήκος του παλμού εξαρτώνται σημαντικά από το ακριβές σχήμα του παλμού. ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -

29 Το chirp λόγω SPM μπορεί να δημιουργήσει φασματική διεύρυνση ή συρρίκνωση ανάλογα με το αρχικό chirp του παλμού. Στην περίπτωση των παλμών εισόδου χωρίς αρχικό chirp, το SPM οδηγεί πάντα σε φασματική διεύρυνση. Μια προσέγγιση του μεγέθους της διεύρυνσης λόγω SPM, μπορεί να θεωρηθεί η μέγιστη τιμή του δω. Στην περίπτωση πολύ ισχυρών και εξαιρετικά στενών παλμών το διευρυμένο φάσμα μπορεί να ξεπεράσει τα THz, ειδικά όταν το SPM συνοδεύεται και από άλλες μη γραμμικές διαδικασίες, όπως η εξαναγκασμένη σκέδαση Raman (SRS) ή η μείξη τεσσάρων κυμάτων (FWM). Αυτό το υπερβολικά διευρυμένο φάσμα ονομάζεται γένεση υπερσυνεχούς (supercontinuum generation). Στο σχήμα.9 φαίνεται το φάσμα ενός Γκαουσιανού παλμού χωρίς αρχικό chirp για διάφορες τιμές της μέγιστης ολίσθησης φάσης max. Για ένα δοσμένο μήκος ίνας, το αυξάνεται γραμμικά με τη μέγιστη ισχύ του παλμού. max φ max = φ max =.5π φ max = π Spectral Intensity φ max =.5π φ max =.5π φ max = 3.5π Spectral Intensity f T f T f T Σχήμα.9: Διεύρυνση φάσματος λόγω SPM για έναν Γκαουσιανό παλμό χωρίς αρχικό chirp και διάφορες τιμές της max. Το πιο αξιοσημείωτο χαρακτηριστικό του σχήματος.9, είναι ότι η διεύρυνση λόγω SPM συνοδεύεται από ταλαντώσεις που εμφανίζονται σε όλο το φάσμα. Γενικά, το φάσμα αποτελείται από πολλές κορυφές με τις ακριανές να είναι οι πιο υψηλές. Ο αριθμός των κορυφών Μ εξαρτάται από το max και αυξάνει γραμμικά με αυτό. Υπάρχει μάλιστα μια προσεγγιστική σχέση που τα συνδέει max ( M /), (.79) η οποία μπορεί εύκολα να επιβεβαιωθεί από τα παραδείγματα του σχήματος.9. Οι κυματώσεις στο φάσμα μπορούν να εξηγηθούν κοιτώντας το σχήμα.8. Όπως είναι φανερό, το ίδιο chirp προκύπτει για δύο διαφορετικές τιμές του T, φανερώνοντας ότι ο παλμός έχει ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -

30 την ίδια στιγμιαία συχνότητα σε δύο διαφορετικά σημεία του. Ποιοτικά τα δύο αυτά σημεία αναπαριστούν δύο κύματα με την ίδια συχνότητα αλλά διαφορετικές φάσεις που μπορούν να συμβάλλουν θετικά ή καταστροφικά ανάλογα με τη σχετική διαφορά φάσης μεταξύ τους. Οι πολλές κορυφές στο φάσμα του παλμού είναι αποτέλεσμα ακριβώς αυτού του φαινομένου συμβολής. Όπως έχει ήδη αναφερθεί, το σχήμα του διευρυμένου λόγω SPM φάσματος εξαρτάται από το σχήμα του παλμού αλλά και το αρχικό chirp αν υπάρχει. Στο σχήμα. συγκρίνεται η εξέλιξη των φασμάτων δύο παλμών, ενός Γκαουσιανού (m=) και ενός υπέρ- Γκαουσιανού (m=3). Και στις δύο περιπτώσεις οι αρχικοί παλμοί θεωρούνται χωρίς αρχικό chirp (C=) και οι απώλειες της ίνας αμελούνται (α=). (α) (β) Σχήμα.: Η εξέλιξη του φάσματος κατά μήκος ίνας για έναν (α) Γκαουσιανό (m=) και (β) υπέρ-γκαουσιανό (m=3) παλμό. Οι παλμοί θεωρούνται άνευ αρχικού chirp. Το φάσμα διευρύνεται λόγω SPM. ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -3

31 Οι ποιοτικές διαφορές μεταξύ των δύο φασμάτων μπορούν να γίνουν κατανοητές με τη βοήθεια του σχήματος.8, όπου το chirp λόγω SPM απεικονίζεται για Γκαουσιανό και υπέρ-γκαουσιανό παλμό. Το εύρος του φάσματος είναι περίπου 3 φορές μεγαλύτερο για τον υπέρ-γκαουσιανό παλμό, γιατί το αντίστοιχο μέγιστο chirp είναι περίπου τριπλάσιο σε σχέση με αυτό του Γκαουσιανού παλμού. Μολονότι και τα δύο φάσματα εμφανίζουν πολλαπλές κορυφές, το μεγαλύτερο ποσοστό της ενέργειας συγκεντρώνεται στην κεντρική κορυφή για τον υπέρ-γκαουσιανό παλμό. Αυτό συμβαίνει επειδή το chirp είναι σχεδόν μηδέν στην κεντρική περιοχή ως συνέπεια της σχετικά σταθερής ισχύος του υπέρ- Γκαουσιανού παλμού για T < T. Το chirp εμφανίζεται κυρίως στα άκρα του παλμού και καθώς αυτά γίνονται όλο και πιο απότομα, οι απολήξεις του φάσματος καταλαμβάνουν όλο και περισσότερες συχνότητες. Την ίδια στιγμή, μεταφέρουν λιγότερη ενέργεια γιατί το φαινόμενο του chirp λαμβάνει χώρα για μικρές χρονικά διάρκειες. Μια αρχική διαμόρφωση συχνότητας (chirp) μπορεί επίσης να προκαλέσει δραματικές αλλαγές στο διευρυμένο λόγω SPM φάσμα του παλμού. Η περίπτωση αυτή απεικονίζεται στο σχήμα., όπου φαίνεται το φάσμα ενός Γκαουσιανού παλμού για θετικό και αρνητικό chirp θεωρώντας max 4.5. Είναι προφανές ότι το πρόσημο της παραμέτρου του chirp C είναι καθοριστικό. Για C >, η φασματική διεύρυνση αυξάνει και οι ταλαντώσεις εξασθενούν. Αντίθετα ένας παλμός με αρνητικό chirp υφίσταται φασματική συρρίκνωση υπό την επίδραση του SPM. C = C = Spectral Intensity.5 Spectral Intensity Normalized Frequency, ft Normalized Frequency, ft C = C = Spectral Intensity.5 Spectral Intensity Normalized Frequency, ft Normalized Frequency, ft Σχήμα.: Σύγκριση φασμάτων εξόδου ενός Γκαουσιανού παλμού, για τέσσερις τιμές του C όταν το μήκος της ίνας και η μέγιστη ισχύς έχουν επιλεγεί έτσι ώστε max 4.5. Το φάσμα διευρύνεται για C > αλλά συρρικνώνεται για C < συγκρινόμενο με το φάσμα του αρχικού παλμού. ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -4

32 .5 Συνδυασμένη δράση φαινομένων GVD και SPM Το φαινόμενο της αυτοδιαμόρφωσης φάσης περιγράφει επαρκώς τη συμπεριφορά κατά τη διάδοση ενός σχετικά μεγάλου χρονικά παλμού (Τ >5 ps) για τον οποίο το μήκος διασποράς L D είναι πολύ μεγαλύτερο συγκρινόμενο με το μήκος μη γραμμικότητας L NL καθώς και με το μήκος της ίνας L. Όσο όμως ο παλμός γίνεται βραχύτερης διάρκειας και το μήκος διασποράς πλησιάζει το φυσικό μήκος της ίνας, τόσο μεγαλώνει η ανάγκη να θεωρήσουμε ότι τα φαινόμενα της διασποράς και της μη γραμμικότητας δρουν σε συνδυασμό. Νέα ποιοτικά χαρακτηριστικά προκύπτουν από αυτή την αλληλεπίδραση. Στην περιοχή ανώμαλης διασποράς μιας ίνας, τα δύο φαινόμενα μπορούν να συνεργαστούν με τέτοιο τρόπο ώστε ο παλμός να διαδίδεται ως ένα οπτικό σολιτόνιο, δηλαδή ως ένας παλμός που διατηρεί το σχήμα του κατά τη διάδοση. Στην περιοχή ομαλής διασποράς, η συνδυασμένη τους δράση μπορεί να οδηγήσει σε συμπίεση του παλμού. Αυτά τα δύο ενδεχόμενα θα εξεταστούν συνοπτικά παρακάτω. Ξεκινάμε φυσικά από τη μη γραμμική εξίσωση Schrödinger [εξ. (.7)], η οποία στην κανονικοποιήμενη της μορφή γράφεται ως U U i N e U U z sgn( ), (.8) όπου τα ξ και τ αναπαριστούν την κανονικοποιημένη απόσταση και τον χρόνο αντίστοιχα και ορίζονται από τις z/ L, T / T, (.8) D ενώ η παράμετρος Ν ορίζεται ως N L PT (.8) L D NL Όπως φαίνεται από την παραπάνω σχέση, το Ν καθορίζει ποιό από τα δύο φαινόμενα (GVD ή SPM) κυριαρχεί κατά τη διάδοση του οπτικού παλμού στην ίνα. Για Ν<< κυριαρχεί η διασπορά ενώ για Ν>> η αυτοδιαμόρφωση φάσης. Για Ν~, τα GVD και SPM έχουν ισότιμους ρόλους στην εξέλιξη του παλμού. Το σχήμα. απεικονίζει την εξέλιξη του σχήματος και του φάσματος ενός Γκαουσιανού παλμού χωρίς αρχικό chirp στην ομαλή περιοχή διασποράς μιας οπτική ίνας για Ν= και α=. Η ποιοτική του συμπεριφορά είναι πολύ διαφορετική από αυτή που θα περίμενε κανείς αν το GVD και το SPM δρούσαν το καθένα ξεχωριστά. Πιο συγκεκριμένα, ο παλμός διευρύνεται πολύ πιο γρήγορα συγκρινόμενος με την περίπτωση Ν= (δηλαδή χωρίς SPM). Αυτό μπορεί να εξηγηθεί αν παρατηρήσει κανείς ότι το SPM δημιουργεί νέες συχνότητες μικρότερες από την κεντρική (red-shifted) κοντά στο προπορευόμενο άκρο και μεγαλύτερες από την κεντρική (blue-shifted) κοντά στο άκρο που ακολουθεί. Καθώς οι «κόκκινες» φασματικές συνιστώσες ταξιδεύουν γρηγορότερα από τις «μπλε» στην ομαλή περιοχή διασποράς, το SPM οδηγεί σε αύξηση του ρυθμού διεύρυνσης του παλμού σε σύγκριση με τον ρυθμό διεύρυνσης που αναμένεται από το GVD. ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -5

33 Σχήμα.: Εξέλιξη Γκαουσιανό παλμού χωρίς αρχικό chirp στα πεδία χρόνου και συχνότητας κατά μήκος της ίνας στην περιοχή ομαλής διασποράς (β >) με Ν=. Η κατάσταση είναι διαφορετική στην περίπτωση διάδοσης παλμών στην ανώμαλη περιοχή διασποράς της ίνας. Το σχήμα.3 απεικονίζει τους παλμούς στα πεδία του χρόνου και της συχνότητας για τις ίδιες συνθήκες με αυτές του σχήματος., με τη μόνη διαφορά ότι τώρα το πρόσημο του GVD είναι αρνητικό (β <). Ο παλμός διευρύνεται αρχικά με ρυθμό πολύ μικρότερο από τον αναμενόμενο στην απουσία του SPM μέχρι που σταθεροποιείται για z>4l D. Την ίδια στιγμή το φάσμα συμπιέζεται παρά διευρύνεται όπως θα περίμενε κανείς εξαιτίας του SPM. Αυτή η συμπεριφορά μπορεί να κατανοηθεί από το ότι το επαγόμενο λόγω SPM chirp είναι θετικό ενώ το επαγόμενο λόγω GVD chirp αρνητικό για β <. Οι δύο συνεισφορές αλληλοαναιρούνται στο κεντρικό κομμάτι του Γκαουσιανού παλμού όταν L D =L NL (N=). Το σχήμα του παλμού προσαρμόζεται με τέτοιο τρόπο ώστε αυτή η αλληλοαναίρεση να γίνει όσο το δυνατόν πιο αποτελεσματικά. Επιπλέον, τα GVD και SPM συνεργάζονται με σκοπό να διατηρηθεί ο παλμός ελεύθερος από chirp. Το σενάριο που περιγράφηκε παραπάνω περιγράφει τον σχηματισμό ενός σολιτονίου. Η αρχική διεύρυνση του Γκαουσιανού παλμού λαμβάνει χώρα γιατί το Γκαουσιανό προφίλ δεν συμπίπτει με το χαρακτηριστικό προφίλ που αντιστοιχίζεται σε ένα τυπικό σολιτόνιο και το οποίο έχει μορφή υπερβολικής τέμνουσας. Πράγματι, αν ο διαδιδόμενος παλμός επιλεγεί να είναι ένας «sech» παλμός [εξ. (.68) με C=], το σχήμα αλλά και το φάσμα του παραμένουν αναλλοίωτα κατά τη διάδοση. Όταν ο αρχικός παλμός διαφέρει σχηματικά από τον «sech» παλμό, ο συνδυασμός των GVD και SPM επηρεάζει τον παλμό με τέτοιο τρόπο ώστε να τον αναγκάσει να λάβει ένα «sech» σχήμα, όπως φαίνεται και στο σχήμα.3. ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -6

34 Σχήμα.3: Εξέλιξη στα πεδία χρόνου και συχνότητας ενός Γκαουσιανού παλμού χωρίς αρχικό chirp που διαδίδεται στην περιοχή ανώμαλης διασποράς μιας ίνας (β <) με παραμέτρους τέτοιες ώστε Ν=. Πριν ολοκληρωθεί η μελέτη της συνδυασμένης δράσης των φαινομένων SPM και GVD, είναι σημαντικό να αναφερθούμε στην περίπτωση να πρέπει να λάβουμε υπόψη μας και τη διασπορά τρίτης τάξης (TOD). Αυτό συμβαίνει όταν το κεντρικό μήκος κύματος του οπτικού παλμού πλησιάζει αυτό της μηδενικής διασποράς λ D. Εκκινώντας από την NLSE, θέτοντας β =, παραλείποντας τα μη γραμμικά φαινόμενα ανώτερης τάξης και κάνοντας μια σειρά κανονικοποιήσεων καταλήγουμε στην εξίσωση 3 U i U z i sgn( 3) N e U U, 3 6 (.83) όπου N L PT, (.84) L 3 D NL 3 και z/ L D. Η παράμετρος N ορίζει τη σχετική επίδραση του TOD και του SPM κατά τη διάδοση: Το TOD κυριαρχεί για N ενώ το SPM είναι αυτό που κυριαρχεί για N. Το σχήμα.4 απεικονίζει το σχήμα και φάσμα ενός Γκαουσιανού παλμού χωρίς αρχικό chirp μετά από διάδοση σε απόσταση 5 για N. Συγκρίνοντάς τη μορφή ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -7

35 στον χρόνο με αυτή του σχήματος.6 (κόκκινη καμπύλη) όπου απουσιάζει το SPM, παρατηρούμε ότι το SPM αυξάνει τον αριθμό των ταλαντώσεων κοντά στο πίσω άκρο του παλμού. Ταυτόχρονα, η ένταση δεν μηδενίζεται στα ελάχιστα των ταλαντώσεων αυτών. Περνώντας στο φάσμα, το αποτέλεσμα του TOD είναι να εισάγει ένα είδος ασυμμετρίας χωρίς να επηρεάζει τη δομή των δύο κορυφών (Η δομή των δυο κορυφών αναμένεται καθώς το max 5.5 για τις παραμέτρους που χρησιμοποιήθηκαν). Αυτή η συμπεριφορά έρχεται σε αντίθεση με τον τρόπο που το GVD αποτρέπει τη διχοτόμηση του φάσματος (σχήμα.). Στο σχήμα.4 προχωρήσαμε σε μια σύγκριση του αποτελέσματος της δικής μας υλοποίησης της SSF με μια άλλη υλοποίηση ελεύθερα διαθέσιμη στο διαδίκτυο στην ιστοσελίδα της ερευνητικής ομάδας του Govind Agrawal..7.6 Reference SSF My SSF 7 6 Reference SSF My SSF Pulse Intensity Spectrum Intensity Normalized Time T/T Normalized Frequency f T Σχήμα.4: Γκαουσιανός παλμός χωρίς αρχικό chirp στα πεδία χρόνου και συχνοτήτων μετά από διάδοση σε απόσταση z/ L 5 με N. D Είναι εμφανές ότι η συμφωνία είναι εξαιρετική, πράγμα που πιστοποιεί την ορθότητα των αποτελεσμάτων μας. Αντίστοιχες συγκρίσεις πραγματοποιήθηκαν και για τα προηγούμενα αποτελέσματα (σχήματα. και.3) με τη συμφωνία να είναι εξίσου καλή. Η εξέλιξη του παλμού εμφανίζει διαφορετικά ποιοτικά χαρακτηριστικά για μεγάλες τιμές του N. Για παράδειγμα, στο σχήμα.5 παρουσιάζεται ένας Γκαουσιανός παλμός χωρίς αρχικό chirp στα πεδία χρόνου και συχνότητας μετά από διάδοση σε απόσταση z/ L D. με N. Ο παλμός αναπτύσσει έντονες κυματώσεις και εξαιτίας των γρήγορων χρονικών μεταβολών το TOD επηρεάζει ολοένα και περισσότερο τη διάδοση του παλμού. Το πιο αξιοσημείωτο χαρακτηριστικό του φάσματος είναι ότι η ενέργεια του παλμού συγκεντρώνεται σε δύο φασματικές ζώνες, χαρακτηριστικό που είναι κοινό για όλες τις περιπτώσεις για τις οποίες N. Καθώς η μια από τις δυο φασματικές ζώνες βρίσκεται στην ανώμαλη περιοχή διασποράς, η εκεί συγκεντρωμένη ενέργεια μπορεί να οδηγήσει στη δημιουργία σολιτονίου. Δηλαδή, παρότι το κεντρικό μήκος κύματος αρχικά συνέπιπτε με το D, εντούτοις εξαιτίας της φασματικής διεύρυνσης λόγω SPM ο παλμός δεν διαδίδεται στην πραγματικότητα χωρίς GVD αφού το φασματικό του περιεχόμενο μετατοπίζεται σε σχέση με το κεντρικό μήκος κύματος. ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -8

36 .4. Intensity.5.5 Spectral Intensity Normalized Time T/T 4 4 Normalized Frequency f T Σχήμα.5: Γκαουσιανός παλμός χωρίς αρχικό chirp στα πεδία χρόνου και συχνοτήτων μετά από διάδοση σε απόσταση z/ L. με N. D.6 Μη γραμμικά φαινόμενα ανώτερης τάξης. Ως τώρα, η μελέτη της εξέλιξης των παλμών βασίστηκε στην απλοποιημένη NLSE [εξ. (.7)]. Για πολύ σύντομους όμως παλμούς (Τ < ps) είναι απαραίτητο να χρησιμοποιούμε την εξ. (.8) ή οποία συμπεριλαμβάνει και μη γραμμικά φαινόμενα ανώτερης τάξης. Σε κανονικοποιημένη μορφή η εξίσωση γράφεται ως U sgn( ) U sgn( ) U i z L 6L D D z e U i U U is ( U U) RU. LNL (.85) Οι παράμετροι s και τ R ελέγχουν τα φαινόμενα του self-steepening (SS) και Intrapulse Raman Scattering (IRS), αντίστοιχα..6. Self-steepening Το φαινόμενο του self-steepening είναι αποτέλεσμα της εξάρτησης της ταχύτητας ομάδας από την ένταση του οπτικού παλμού. Το αποτέλεσμά του στην αυτοδιαμόρφωση φάσης παρατηρήθηκε αρχικά σε υγρά μη γραμμικά μέσα και στη συνέχεια επεκτάθηκε και στις οπτικές ίνες. Αυτό που μπορεί να σημειωθεί είναι ότι το self-steepening οδηγεί σε μια ασυμμετρία του διευρυμένου λόγω SPM φάσματος. Έστω ότι αμελούμε τα φαινόμενα διασποράς για να δούμε την καθαρή επίδραση του self-steepening στον παλμό. Όπως φαίνεται από το σχήμα.6(α), καθώς ο παλμός διαδίδεται μέσα στην ίνα, γίνεται ασύμμετρος με την κορυφή του να μετακινείται προς το άκρο του παλμού που έπεται (T > ). Αυτό έχει ως αποτέλεσμα το άκρο αυτό να γίνεται όλο και πιο απότομο για αυξανόμενα z. Η φυσική εξήγηση του φαινομένου είναι απλή: η ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -9

37 ταχύτητα ομάδας του παλμού εξαρτάται από την ένταση με αποτέλεσμα η κορυφή να μετακινείται πιο αργά σε σχέση με τα άκρα του παλμού..4. z/l NL = z/l NL =.4. z/l NL = Intensity z/l NL = Spectral Intensity Normalized Time T/T Normalized Frequency f T (α) Σχήμα.6: Επίδραση του self-steepening (α) στο σχήμα και (β) το φάσμα ενός Γκαουσιανού παλμού για απόσταση διάδοσης z/l NL = και. Η παράμετρος του self-steepening s είναι ίση με.. Τα φαινόμενα διασποράς αγνοήθηκαν. Η επίλυση της NSLE έγινε αριθμητικά με τη βοήθεια της SSF. Το self-steepening επηρεάζει επίσης τη φασματική διεύρυνση λόγω SPM [σχήμα.6(β)]. Το πιο σημαντικό χαρακτηριστικό είναι η φασματική ασυμμετρία: οι κορυφές που βρίσκονται στην περιοχή χαμηλών συχνοτήτων είναι πιο έντονες από αυτές που βρίσκονται στην περιοχή υψηλών συχνοτήτων. Ακόμη, η διεύρυνση λόγω SPM είναι μεγαλύτερη στην περιοχή υψηλών συχνοτήτων (ονομάζεται πλευρά anti-stokes στην ορολογία της εξαναγκασμένης σκέδασης Raman) σε σχέση με την περιοχή χαμηλών συχνοτήτων (Stokes πλευρά). Αυτές οι αλλαγές εξηγούνται ποιοτικά με βάση τις αλλαγές που επιβάλλει στο σχήμα του παλμού το self-steepening. Το φάσμα είναι ασύμμετρο γιατί και το σχήμα του παλμού είναι ασύμμετρο. Στην απουσία του self-steepening θα περιμέναμε να δούμε ένα συμμετρικό φάσμα με έξι κορυφές, αφού max 6.4 για τις παραμέτρους του σχήματος.6(β). Το self-steepening απλώς επιμηκύνει την περιοχή υψηλών συχνοτήτων. Το ύψος των κορυφών μειώνεται καθώς η ίδια ποσότητα ενέργειας αναδιανέμεται σε μεγαλύτερο φασματικό εύρος. (β).6. Intrapulse Raman Scattering Μέχρι τώρα εσκεμμένα αποφύγαμε την αναφορά στον τελευταίο όρο του δεξιού μέλους της εξίσωσης (.85) που ευθύνεται για το φαινόμενο της ενδοπαλμικής σκέδασης Raman (ΙRS). Στην περίπτωση των οπτικών ινών, αυτός ο όρος γίνεται σημαντικός για παλμούς εξαιρετικά βραχείας διάρκειας (ultrashort pulses) με Τ < ps και θα πρέπει να συμπεριλαμβάνεται στην μοντελοποίηση της εξέλιξης αυτών κατά τη διάδοση. Το αποτέλεσμα της ενδοπαλμικής σκέδασης Raman γίνεται πιο έντονο στην περιοχή ανώμαλης διασποράς και στο πλαίσιο των σολιτονίων. Παρόλα αυτά, ακόμη και στην περιοχή της ομαλής διασποράς, η επίδρασης του IRS είναι σημαντική. ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -3

38 Για τη μελέτη της επίδρασης του IRS στην εξέλιξη του παλμού θα πρέπει να λυθεί αριθμητικά η εξ. (.8). Το σχήμα.7 απεικονίζει τη χρονική και φασματική εξέλιξη ενός Γκαουσιανού παλμού χωρίς αρχικό chirp στην περιοχή ανώμαλης διασποράς μιας οπτικής ίνας. Η ισχύς και χρονική έκταση του παλμού είναι τέτοιες ώστε τ R =.3 και Ν =. Για να απομονώσουμε την επίδραση του IRS θέσαμε s = και β 3 =. Συγκρίνοντας τα σχήματα.7 και.3, παρατηρούμε αφενός μια αισθητή χρονική μετατόπιση της θέσης του παλμού και αφετέρου την εμφάνιση chirp λόγω IRS (Raman Induced Frequency Chirp, RIFS) στο φάσμα του παλμού στην περιοχή χαμηλότερων συχνοτήτων. Όταν ο παλμός είναι στενός, με αποτέλεσμα το φασματικό του εύρος του να είναι σημαντικό, οι φασματικές συνιστώσες υψηλής συχνότητας μπορούν να λειτουργήσουν ως αντλία (pump) και να μεταφέρουν ενέργεια στις χαμηλές συχνότητες του ίδιου παλμού μέσω της εξαναγκασμένης σκέδασης Raman. Καθώς το φασματικό περιεχόμενο μετακινείται προς τις χαμηλότερες συχνότητες ο παλμός επιβραδύνεται μιας και η ταχύτητα ομάδας σε αυτές είναι χαμηλότερη. Σχήμα.7: Χρονική και φασματική εξέλιξη ενός Γκαουσιανού παλμού χωρίς αρχικό chirp στην περιοχή ανώμαλης διασποράς. Οι παράμετροι που χρησιμοποιήθηκαν για τη λύση της NLSE είναι N =, τ R =.3, s =, και β 3 =. ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -3

39 Θέλοντας να ελέγξουμε τα αποτελέσματα της SSF μας και για ένα πιο σύνθετο σενάριο όπου όλα τα φαινόμενα διασποράς (GVD & TOD) και μη γραμμικότητας (SPM & SS & IRS) είναι παρόντα, προσομοιώνουμε την εξέλιξη ενός παλμού υπερβολικής τέμνουσας στις ακόλουθες συνθήκες: β <, β 3 τέτοιο ώστε L' D =.8L D, τ R =., s =.5, και N =. Τα αποτελέσματα φαίνονται στο σχήμα.8. Μια σύγκριση του σχήματος αυτού με το σχήμα 5.3 του βιβλίου Nonlinear Fiber Optics του Govind Agrawal [], που προέκυψε κάτω από τις ίδιες συνθήκες, επιβεβαιώνει την ορθότητα των αποτελεσμάτων και σε αυτό το σύνθετο σενάριο. Σημειώνουμε μόνον ότι σε τέτοια σύνθετα σενάρια πρέπει να είμαστε προσεκτικοί στην επιλογή του μήκους βήματος h της SSF. Ειδικότερα, το βήμα πρέπει να ληφθεί αρκούντως μικρό ώστε να μην οδηγείται η SSF σε αστάθεια. Σαν αποτέλεσμα, ο αριθμός των βημάτων μπορεί να προκύψει ιδιαίτερα μεγάλος, της τάξης των δεκάδων χιλιάδων. Ακόμα και έτσι, καθώς ο χρόνος εκτέλεσης του κάθε FFT είναι πολύ μικρός, η συνολική διάρκεια της προσομοίωσης δεν ξεπερνά τα λίγα λεπτά. (α) (β) Σχήμα.8: Εξέλιξη παλμού υπερβολικής τέμνουσας στα πεδία (α) χρόνου και (β) συχνότητας στην περιοχή ανώμαλης διασποράς οπτική ίνας. Οι παράμετροι που χρησιμοποιήθηκαν για τη λύση της NLSE είναι N =, τ R =., s =.5, και β 3 τέτοιο ώστε L' D =.8L D. Ο παλμός εισόδου πρόκειται στην ουσία για ένα σολιτόνιο δεύτερης τάξης. ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -3

40 Μια οικονομικότερη λύση σε αυτή την περίπτωση είναι αυτή του μεταβλητού μήκους βήματος h. Καθώς το μέγιστο επιτρεπτό μήκος βήματος υπαγορεύεται από την ένταση των μη γραμμικών φαινομένων, πριν την αρχή κάθε νέου βήματος μπορεί να επαναπροσδιορίζεται το μήκος βήματος στη βάση της μέγιστης ισχύος του παλμού. Μιας και ο παλμός αλλάζει σχήμα κατά τη διάδοση και επιπλέον αποσβεννύεται λόγω απωλειών, το επίπεδο της μέγιστης ισχύος συνεχώς αλλάζει. Αυτές ακριβώς τις διακυμάνσεις μέγιστης ισχύος μπορεί να παρακολουθεί και το μήκος βήματος ώστε να γίνεται οικονομικότερη η μελέτη της διάδοσης του παλμού. Σαν ένα παράδειγμα εφαρμογής της τεχνικής αυτής, σημειώνουμε ότι στην περίπτωση που υπάρχει μόνον SPM μια συνηθισμένη επιλογή για το μήκος βήματος είναι αυτή που εξασφαλίζει συσσώρευση μη γραμμικής φάσης μικρότερη του π/ κατά την έκτασή του. Τέλος, σημειώνουμε ότι ανεξάρτητα από τις επιμέρους απλοποιημένες και κανονικοποιημένες παραλλαγές της NLSE που παρουσιάστηκαν κατά τη μελέτη των διαφόρων επιμέρους φαινομένων, για την εξαγωγή όλων των αποτελεσμάτων λύνουμε την εξ. (.8) η οποία εμπλέκει το πλάτος Α(z,T) και συμπεριλαμβάνει όλους τους όρους διασποράς και μη γραμμικότητας. Κατά περίπτωση, χρησιμοποιούνται όποιοι όροι είναι απαραίτητοι και αμελούνται οι υπόλοιποι, θέτοντας τις αντίστοιχες σταθερές ίσες με το μηδέν. Κάτι τέτοιο είναι πλεονεκτηματικό, καθώς οι κανονικοποιήσεις ναι μεν απλοποιούν την εξίσωση, μειώνοντας τον αριθμό των όρων που εμφανίζονται σε αυτήν, αλλά συνάμα μειώνουν τη γενικότητά της. Έτσι αν χρησιμοποιούσαμε τις κανονικοποιημένες εξισώσεις θα έπρεπε να λύνουμε μια κατάτι διαφορετική εξίσωση κάθε φορά, προσαρμόζοντας κατάλληλα την SSF. Προφανώς, παρά την επιλογή για επίλυση της μη-κανονικοποιημένης NLSE συνεχίζουμε να παρουσιάζουμε τα αποκτηθέντα αποτελέσματα χρησιμοποιώντας κανονικοποιημένα μεγέθη. Αυτή η επιλογή είναι όντως συμφέρουσα καθώς καθιστά τα αποκτηθέντα αποτελέσματα έγκυρα για περισσότερες της μιας περιπτώσεις. ΚΕΦ. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ -33

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ ΠΥΡΙΤΙΟΥ 3. Κυματοδηγοί Πυριτίου Οι κυματοδηγοί πυριτίου βασίζονται στην τεχνολογία πυριτίου-πάνω-σε-διηλεκτρικό (Silicon on Insulator, SOI), με το διηλεκτρικό να μην είναι άλλο από το διοξείδιο του πυριτίου (SiO ). H εν λόγω τεχνολογία είναι ιδιαίτερα διαδεδομένη στην περιοχή της μικροηλεκτρονικής και ως εκ τούτου ευρύτατα διαθέσιμη εμπορικά. Οι κυματοδηγοί πυριτίου χρησιμοποιούνται ευρύτατα στην κατασκευή φωτονικών ολοκληρωμένων κυκλωμάτων (Photonic Integrated Circuits, PICs), και αυτό γιατί αφενός το πυρίτιο είναι διάφανο στην κοντινή υπέρυθρη περιοχή, και αφετέρου ο υψηλός δείκτης διάθλασης του (~ 3.5) εξασφαλίζει μεγάλη αντίθεση με αυτόν του συγγενούς οξειδίου (~.45), και άρα πολύ ισχυρή κυματοδήγηση. Το τελευταίο σημαίνει ότι οι κυματοδηγοί αυτοί μπορούν να καμφθούν σχηματίζοντας πολύ μικρές ακτίνες καμπυλότητας, χωρίς να παρουσιάζουν σημαντικές απώλειες ακτινοβολίας. Σαν αποτέλεσμα, είναι δυνατή η κατασκευή φωτονικών κυκλωμάτων με πολύ υψηλό βαθμό ολοκλήρωσης. Η ισχυρή κυματοδήγηση σημαίνει επίσης ότι ο υποστηριζόμενος ρυθμός έχει ιδιαίτερα μικρή χωρική έκταση (< 5 5 nm ), με αποτέλεσμα η πυκνότητα ισχύος να αποκτά ιδιαίτερα υψηλές τιμές για σχετικά χαμηλές ισχείς εισόδου. Αν στο παραπάνω προσθέσει κανείς και την υψηλή επιδεκτικότητα τρίτης τάξης χ (3) που παρουσιάζει το πυρίτιο, γίνεται εύκολα αντιληπτό ότι οι κυματοδηγοί αυτοί προσφέρονται για την παρατήρηση μη γραμμικών φαινομένων σε πολύ μικρές κλίμακες μηκών, της τάξης των μερικών χιλιοστών. Υπενθυμίζουμε ότι κάτι τέτοιο είναι αδύνατο στις συνηθισμένες οπτικές ίνες διοξειδίου του πυριτίου, στις οποίες τα μη γραμμικά φαινόμενα εξελίσσονται σε κλίμακα χιλιομέτρων. Στο κεφάλαιο αυτό θα εξάγουμε τις παραμέτρους διασποράς για δυο τυπικά παραδείγματα τέτοιων κυματοδηγών: έναν κυματοδηγό ταινίας (wire), και έναν κυματοδηγό ράβδωσης (rib). Αυτό θα μας επιτρέψει να εξετάσουμε τη διάδοση παλμών σε τέτοιους κυματοδηγούς επιλύοντας μια κατάλληλη NLSE. Αυτό όμως αποτελεί αντικείμενο του τέταρτου κεφαλαίου. 3. Μεθοδολογία προσδιορισμού παραμέτρων διασποράς Το πρώτο βήμα για τον υπολογισμό των παραμέτρων διασποράς ενός οποιοδήποτε ρυθμού κυματοδηγού είναι η εύρεση του ενεργού δείκτη διάθλασης (n eff ) για ένα εύρος συχνοτήτων/μηκών κύματος. Για τον σκοπό αυτό, λύνουμε ένα δισδιάστατο πρόβλημα ιδιοτιμών, αυτό της διατομής του κυματοδηγού, για κάθε μήκος κύματος. Είσοδοι του προβλήματος είναι η γεωμετρία του κυματοδηγού, οι ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες των ΚΕΦ. 3: ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ ΠΥΡΙΤΙΟΥ 3-

42 υλικών που τον συνθέτουν και η συχνότητα λειτουργίας. Όσο για τις εξόδους, η ιδιοτιμή του προβλήματος δεν είναι άλλη από τη φασική σταθερά β, ή, ισοδύναμα, τον ενεργό δείκτη διάθλασης n eff = β / k, και το ιδιοδιάνυσμα είναι το προφίλ του υποστηριζόμενου ρυθμού. Για την επίλυση του προβλήματος ιδιοτιμών χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Method, FEM). Σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, το υπολογιστικό χωρίο στο οποίο αναζητούμε τη λύση μιας διαφορικής εξίσωσης διακριτοποιείται με τριγωνικά στοιχεία πεπερασμένων διαστάσεων και η μεταβολή των πεδιακών συνιστωσών σε καθένα από αυτά εκφράζεται με τη βοήθεια κατάλληλων συναρτήσεων βάσης [6]. Ένα τυπικό πλέγμα της μεθόδου για έναν κυματοδηγό ράβδωσης φαίνεται στο σχήμα 3.. Το πλέγμα είναι πυκνότερο στον πυρήνα του κυματοδηγού καθώς εκεί είναι που λαμβάνει χώρα το φαινόμενο της οδήγησης. Σχήμα 3.: Τυπικό πλέγμα πεπερασμένων στοιχείων για κυματοδηγό ράβδωσης. Τα όρια του υπολογιστικού χώρου σημειώνονται με πράσινο. Σε αυτά χρησιμοποιούνται απορροφητικές οριακές συνθήκες. Χρησιμοποιούμε πυκνότερο πλέγμα στον πυρήνα του κυματοδηγού καθώς εκεί είναι που λαμβάνει χώρα το φαινόμενο της οδήγησης. Στη συνέχεια, αποδίδουμε τις κατάλληλες ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες σε κάθε υπο-χωρίο του υπολογιστικού χώρου και τις κατάλληλες οριακές συνθήκες στα όρια του υπολογιστικού παραθύρου. Ειδικότερα, στα τελευταία χρησιμοποιούμε απορροφητικές οριακές συνθήκες (Absorbing Boundary Conditions, ABCs) με σκοπό να αποφύγουμε την επιστροφή της όποιας ακτινοβολίας φτάνει σε αυτά πίσω στον υπολογιστικό χώρο. Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να έχουμε χρησιμοποιήσει τέλεια προσαρμοσμένα στρώματα (Perfectly Matched Layers, PMLs) [7]. Τώρα είμαστε έτοιμοι να ζητήσουμε τη λύση του προβλήματος. Το τελευταίο που μένει να προσδιορίσουμε είναι το πλήθος των ιδιοτιμών που ψάχνουμε και μια εκτίμηση της τιμής του ενεργού δείκτη διάθλασης, ώστε η αναζήτηση να γίνει πιο αποτελεσματική. Σύμφωνα λοιπόν με τα παραπάνω, μπορούμε για δεδομένη συχνότητα λειτουργίας να υπολογίσουμε τον ενεργό δείκτη διάθλασης του υποστηριζόμενου ρυθμού ενός κυματοδηγού λύνοντας ένα πρόβλημα ιδιοτιμών. Επαναλαμβάνοντας τώρα τη διαδικασία αυτή για το εύρος των μηκών κύματος που μας ενδιαφέρει αποκτούμε την συνάρτηση n eff (λ), ή, ακριβέστερα, δείγματά της. Σε κάθε βήμα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σαν πρόβλεψη για την τιμή της αναζητούμενης ιδιοτιμής την ιδιοτιμή του αμέσως προηγούμενου βήματος. Έτσι είμαστε σίγουροι ότι ακολουθούμε τον ίδιο ρυθμό και πως δεν θα υπολογιστεί ξαφνικά μια ιδιοτιμή που αντιστοιχίζεται σε κάποιον άλλο ρυθμό, ο οποίος και δεν μας ενδιαφέρει. Μια απαραίτητη σημείωση που πρέπει να γίνει σε αυτό το σημείο είναι ΚΕΦ. 3: ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ ΠΥΡΙΤΙΟΥ 3-

43 ότι το πυρίτιο, όπως και το διοξείδιο του πυριτίου, εμφανίζουν διασπορά υλικού. Αυτό σημαίνει ότι ο δείκτης διάθλασης των υλικών αυτών μεταβάλλεται με το μήκος κύματος. Συνηθίζεται η διασπορά υλικού να προσεγγίζεται από τη σχέση του Sellmeier n k A, (3.) j j j με τρείς όρους του αθροίσματος να είναι συνήθως αρκετοί για να περιγράψουν τις πειραματικά παρατηρούμενες μεταβολές του δείκτη διάθλασης στην κοντινή υπέρυθρη περιοχή. Στην εξ. (3.) το μήκος κύματος εισάγεται σε μικρόμετρα. Στον πίνακα 3. συγκεντρώνουμε τους συντελεστές Α j και B j, που χρησιμοποιήσαμε για να περιγράψουμε τη διασπορά υλικού του πυριτίου και του οξειδίου του, αντίστοιχα [8]. Οι συντελεστές είναι έγκυροι για το εύρος μηκών κύματος από περίπου. μέχρι και μm. Υλικό Α Β Α Β Α3 Β3 Πυρίτιο e e e e+3 Διοξείδιο Πυριτίου e e e.5576e e Πίνακας 3.: Συντελεστές A j και B j για χρήση στη σχέση του Sellmeier [εξ. (3.)]. Οι συντελεστές είναι έγκυροι για μήκη κύματος από ~. μέχρι ~ μm. Επιπλέον, στο σχήμα 3., απεικονίζονται οι δείκτες διάθλασης των δύο υλικών για ένα εύρος 5 nm στην γειτονιά των.55 μm. Ακριβώς στα.55 μm, οι δείκτες διάθλασης είναι ~ για το πυρίτιο και ~.444 για το διοξείδιο του πυριτίου, αντίστοιχα. Refractive Index of Si Refractive Index of SiO Wavelength (μm) (α) Wavelength (μm) Σχήμα 3.: Διασπορά υλικού για το (α) πυρίτιο (Si) και (β) διοξείδιο του πυριτίου (SiO ), όπως προκύπτει από την εφαρμογή της σχέσης του Sellmeier. (β) ΚΕΦ. 3: ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ ΠΥΡΙΤΙΟΥ 3-3

44 Έχοντας προσδιορίσει τη συνάρτηση n eff (λ) για τον ρυθμό που μας ενδιαφέρει, μπορούμε να προχωρήσουμε στον υπολογισμό των παραμέτρων διασποράς. Ειδικότερα, ενδιαφερόμαστε για τον δείκτη ομάδας n g (group index) ο οποίος συνδέεται με την παράμετρο διασποράς πρώτης τάξης β μέσω της σχέσης ng / c, την παράμετρο διασποράς δεύτερης τάξης (Group Velocity Dispersion, GVD) β, και την παράμετρο διασποράς τρίτης τάξης (Third Order Dispersion, TOD) β 3. Για τον υπολογισμό τους μπορούμε να ακολουθήσουμε δύο διαφορετικούς δρόμους. 3.. Αριθμητική παραγώγιση Οι προαναφερθείσες παράμετροι διασποράς μπορούν να υπολογιστούν με αριθμητική παραγώγιση κάνοντας χρήση πεπερασμένων διαφορών. Θα βασιστούμε στις παρακάτω σχέσεις που συνδέουν την κάθε παράμετρο διασποράς με την παράγωγο ως προς το μήκος κύματος της παραμέτρου διασποράς της αμέσως προηγούμενης τάξης dn ( ) n d dng( ) ( ), c d d( ) 3( ). c d eff g( ) neff( ), (3.) Οι παράγωγοι που εμφανίζονται στις εξισώσεις (3.) μπορούν να προσεγγιστούν με πεπερασμένες διαφορές προς τα εμπρός σύμφωνα με τη σχέση fx ( x) fx ( ) f x O x x ( ) ( ). (3.3) Έτσι, μπορούμε να υπολογίσουμε διαδοχικά την παράμετρο διασποράς τάξης i παραγωγίζοντας αριθμητικά την παράμετρο διασποράς αμέσως προηγούμενης τάξη i-. Εξυπακούεται ότι όσο πυκνότερα τα δείγματα της n eff (λ), τόσο μικρότερο το Δx της εξ. (3.3) και άρα τόσο ακριβέστερη η αριθμητική παραγώγιση. 3.. Προσέγγιση με πολυώνυμο και αναλυτική παραγώγιση Εναλλακτικά, μπορούμε να ακολουθήσουμε έναν διαφορετικό δρόμο. Συγκεκριμένα, μπορούμε να προσεγγίσουμε τα δείγματα του n eff που αποκτήθηκαν από τη λύση του προβλήματος ιδιοτιμών με κάποιο πολυώνυμο υψηλής τάξης (polynomial curve fitting). Στη συνέχεια, η παραγώγιση του πολυωνύμου μπορεί να γίνει αναλυτικά, αποφεύγοντας έτσι την εισαγωγή αριθμητικού σφάλματος διακριτοποίησης. Σε αυτή την περίπτωση δεν μας συμφέρει να χρησιμοποιήσουμε τις εξ. (3.3) καθώς, εκτός από τα δείγματα του n eff, θα πρέπει να ακολουθήσουμε μια αντίστοιχη διαδικασία πολυωνυμικής προσέγγισης και για τα δείγματα των παραμέτρων διασποράς πρώτης και δεύτερης τάξης n g και β. Αντ' αυτού είναι προτιμότερο να εκφράσουμε όλες τις παραμέτρους διασποράς συναρτήσει του n eff (λ) και των παραγώγων του ΚΕΦ. 3: ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ ΠΥΡΙΤΙΟΥ 3-4

45 dneff( ) ng( ) neff( ), d 3 dneff( ) ( ), c d 3 dneff( ) 3 dneff( ) 3( ) c d d (3.4) Είναι σαφές ότι κάτι τέτοιο μας βολεύει καθώς μπορούμε να παραγωγίσουμε το αρχικό πολυώνυμο αναλυτικά όσες φορές θέλουμε. Αναμένουμε βεβαίως, ότι οι δυο προαναφερθείσες μέθοδοι, αν εφαρμοστούν σωστά, θα καταλήγουν σε παραπλήσια αποτελέσματα. Στο σχήμα 3.3 παρουσιάζεται μια σύγκριση μεταξύ των δυο διαφορετικών προσεγγίσεων στο πρόβλημα του προσδιορισμού των παραμέτρων διασποράς για τον κυματοδηγό ράβδωσης που θα εξεταστεί στην παράγραφο 3.4. Όπως είναι εμφανές, η συμφωνία των δυο μεθόδων είναι παραπάνω από ικανοποιητική. 4 3 Forward Differences Polynomial Fit Forward Differences Polynomial Fit.6 β (ps /m) β 3 (ps 3 /m) Wavelength (μm) (α) Wavelength (μm) Σχήμα 3.3: Παράμετροι διασποράς (α) β και (β) β 3 για τον βασικό ΤΕ ρυθμό του κυματοδηγού ράβδωσης που εξετάζεται στην παράγραφο 3.4, υπολογισμένες και με τις δυο διαθέσιμες μεθόδους: Μέσω αριθμητικής παραγώγισης με πεπερασμένες διαφορές προς τα εμπρός (μπλε συνεχείς καμπύλες), και με πολυωνυμικό fit και αναλυτική παραγώγιση του προκύπτοντος πολυωνύμου (κόκκινη διακεκομμένη γραμμή). Έχοντας περιγράψει τη διαδικασία υπολογισμού των παραμέτρων διασποράς ενός οποιουδήποτε ρυθμού κυματοδηγού θα την εφαρμόσουμε σε δυο τυπικά παραδείγματα κυματοδηγών πυριτίου. (β) 3.3 Κυματοδηγός ταινίας Ο κυματοδηγός ταινίας (Silicon Wire) αποτελείται από έναν ορθογωνικό πυρήνα πυριτίου, διαστάσεων w h, πάνω σε υπόστρωμα διοξειδίου του πυριτίου (σχήμα 3.4). ΚΕΦ. 3: ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ ΠΥΡΙΤΙΟΥ 3-5

46 Σχήμα 3.4: Διατομή του κυματοδηγού ταινίας. Στη γενική περίπτωση ο εν λόγω κυματοδηγός υποστηρίζει ρυθμούς και των δύο πολώσεων, δηλαδή ρυθμούς εγκάρσιους ηλεκτρικούς (transverse electric, ΤΕ και ρυθμούς εγκάρσιους μαγνητικούς (transverse magnetic, ΤΜ). Για την ακρίβεια, οι υποστηριζόμενοι ρυθμοί δεν είναι αμιγώς ΤΕ ή ΤΜ, παρά οιονεί-τε (quasi-te ή ΤΕ-like), στους οποίους η Ε x είναι η κυρίαρχη εγκάρσια συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου, και οιονεί-τμ (quasi-tμ ή ΤΜlike), στους οποίους κυρίαρχη είναι η Ε y. Στην παρούσα παράγραφο, εξετάζουμε κυματοδηγούς ταινίας με πολύ μικρές διαστάσεις πυρήνα για τους οποίους μάλιστα ισχύει w h, έτσι ώστε να υποστηρίζεται μόνον ο βασικός ΤΕ ρυθμός. Η μορφή των εγκάρσιων συνιστωσών του ηλεκτρικού πεδίου για τον βασικό ΤΕ ρυθμό φαίνεται στο σχήμα 3.5. Οι διαστάσεις του πυρήνα είναι w h 45 nm και το μήκος κύματος λειτουργίας ίσο με.55 μm. Ο ενεργός δείκτης διάθλασης προκύπτει ίσος με ~.74. (α) Σχήμα 3.5: Απόλυτες τιμές των συνιστωσών (α) Ε x και (β) Ε y για τον θεμελιώδη ΤΕ ρυθμό που υποστηρίζεται από κυματοδηγό ταινίας με διαστάσεις πυρήνα w h 45 nm. Το μήκος κύματος λειτουργίας είναι.55 μm. Όπως είναι φανερό από το σχήμα 3.5(α), οι ασυνέχειες της Ε x παρατηρούνται στις κατακόρυφες διαχωριστικές επιφάνειες, όπως προβλέπεται από τις αντίστοιχες οριακές συνθήκες. Στις οριζόντιες διαχωριστικές επιφάνειες πυρήνα/περιβάλλοντος-χώρου η Ε x είναι συνεχής. Στο σχήμα 3.6 παρουσιάζεται ο ενεργός δείκτης διάθλασης και οι παράμετροι διασποράς πρώτης έως και τρίτης τάξης για τον εν λόγω ρυθμό και εύρος μηκών κύματος μm. Εξετάζονται τέσσερις κυματοδηγοί ταινίας με διαφορετικές διαστάσεις πυρήνα [9]. Παρατηρούμε ότι οι κυματοδηγοί ταινίας μπορούν να παρουσιάσουν είτε ομαλή (β > (β) ΚΕΦ. 3: ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ ΠΥΡΙΤΙΟΥ 3-6

47 ) είτε ανώμαλη διασπορά (β <) στα μήκη κύματος των οπτικών επικοινωνιών. Η συμπεριφορά της παραμέτρου β καθώς και το σημείο μηδενισμού της (zero dispersion wavelength λ D ) μπορούν να μεταβληθούν με αλλαγή των γεωμετρικών διαστάσεων του πυρήνα και η διαδικασία αυτή ονομάζεται dispersion tailoring ή dispersion engineering [-]. Παραδείγματος χάριν, για πλάτος ταινίας ίσο με 45 nm, η παράμετρος β είναι αρνητική σε όλο το εύρος μηκών κύματος που ενδιαφέρει (πράσινη και μαύρη καμπύλη στο σχήμα 3.6), επιτρέποντας έτσι τον σχηματισμό σολιτονίων σε ολόκληρη την παραπάνω περιοχή. Σε άλλες εφαρμογές ενδιαφέρει το μήκος κύματος λειτουργίας να συμπίπτει με το σημείο μηδενισμού του GVD, ώστε να μεγιστοποιείται η επίδραση της μη γραμμικότητας στους διαδιδόμενους παλμούς. Για διαστάσεις πυρήνα 36 nm το λ D πέφτει ακριβώς στα.55 μm (κόκκινη καμπύλη). Σε αυτή την περίπτωση, η επίδραση της παραμέτρου διασποράς τρίτης τάξης στη διάδοση παλμών με κεντρικό μήκος κύματος τα.55 μm γίνεται σημαντική Effective Index.5 Group Index Wavelength (μm) Wavelength (μm).5 35x nm 36x nm 45x nm 45x3 nm β (ps /m) 4 β 3 (ps 3 /m) Wavelength (μm) Wavelength (μm) Σχήμα 3.6: Ενεργός δείκτης διάθλασης και παράμετροι διασποράς για τέσσερις κυματοδηγούς ταινίας με διαφορετικές διαστάσεις πυρήνα. Οι παράμετροι διασποράς υπολογίστηκαν με αριθμητική παραγώγιση (πεπερασμένες διαφορές προς τα εμπρός). Τα δείγματα του n eff υπολογίστηκαν ανά 4 nm στο εύρος μm. 3.4 Κυματοδηγός ράβδωσης Ένας άλλος κυματοδηγός πυριτίου που συχνά χρησιμοποιείται στην κατασκευή ολοκληρωμένων φωτονικών κυκλωμάτων είναι ο κυματοδηγός ράβδωσης (rib). Ο κυματοδηγός αυτός έχει λίγο διαφορετική γεωμετρία από τον κυματοδηγό ταινίας (σχήμα 3.7). Στην ουσία, κατά τη διαδικασία σχηματισμού του πυρήνα πλάτους w με την τεχνική της χάραξης (etching), αφαιρείται μόνο ένα τμήμα του στρώματος πυριτίου (συνολικού ύψους h), και έτσι απομένει ένα παραμένον στρώμα (ύψους h-d) εκατέρωθεν του πυρήνα. Το ΚΕΦ. 3: ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ ΠΥΡΙΤΙΟΥ 3-7

48 υπέρστρωμα μπορεί να είναι διοξείδιο του πυριτίου (όπως στο σχήμα 3.7), αέρας, ή κάποιο άλλο υλικό με χαμηλό δείκτη διάθλασης. Σχήμα 3.7: Διατομή του κυματοδηγού ράβδωσης. Θα εστιάσουμε το ενδιαφέρον μας στους δυο βασικούς ρυθμούς, έναν ΤΕ και έναν ΤΜ, που υποστηρίζονται από τον εν λόγω κυματοδηγό. Κατά την αναζήτηση των συγκεκριμένων ρυθμών η διάκριση των λύσεων του προβλήματος ιδιοτιμών σε ΤΕ ή ΤΜ μπορεί να γίνει με έναν πολύ απλό τρόπο. Ειδικότερα, αρκεί να συγκρίνει κανείς το ολοκλήρωμα του τετραγώνου της απόλυτης τιμής της Ε x και E y συνιστώσας στην έκταση του πυρήνα. Μιας και στην ΤΕ περίπτωση η Ε x είναι κυρίαρχη η "ισχύς" που κουβαλάει θα είναι πολύ μεγαλύτερη από την αντίστοιχη της E y. Στο σχήμα 3.8 απεικονίζονται οι εγκάρσιες συνιστώσες για τους δυο ρυθμούς, τον βασικό ΤΕ και βασικό TM ρυθμό, όταν οι γεωμετρικές παράμετροι λαμβάνουν τις τιμές w.5 m, h.55 m, d.7 m, και για μήκος κύματος ίσο με.55 μm. Όπως είναι φανερό, στην ΤΕ περίπτωση η Ε x είναι η κυρίαρχη συνιστώσα ενώ το αντίθετο συμβαίνει για τον ΤΜ ρυθμό. Οι ενεργοί δείκτες διάθλασης των δυο ρυθμών είναι 3.43 για τον ΤΕ και 3.48 για τον ΤΜ αντίστοιχα. Καταλαβαίνει κανείς ότι σχεδόν το σύνολο της ισχύος οδηγείται εντός του πυρήνα μιας και ο ενεργός δείκτης διάθλασης είναι πολύ κοντά στον δείκτη διάθλασης του πυριτίου. Αυτό άλλωστε φαίνεται καθαρά και στο σχήμα 3.8. Αντιθέτως, στον κυματοδηγό ταινίας της προηγούμενης παραγράφου με αρκετά μικρότερες διαστάσεις πυρήνα ένας μέρος της ισχύος αναγκάζεται να οδηγηθεί στον αέρα (σχήμα 3.6) με αποτέλεσμα ο ενεργός δείκτης διάθλασης να προκύπτει μειωμένος. (α) (β) ΚΕΦ. 3: ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ ΠΥΡΙΤΙΟΥ 3-8

49 (γ) (δ) Σχήμα 3.8: Απόλυτες τιμές των εγκάρσιων συνιστωσών για τον θεμελιώδη ΤΕ ρυθμό: (α) Ε x και (β) Ε y, καθώς και τον θεμελιώδη ΤΜ ρυθμό: (γ) Ε x και (δ) Ε y κυματοδηγού ράβδωσης με γεωμετρικές παραμέτρους w.5 m, h.55 m, d.7 m. Το μήκος κύματος λειτουργίας είναι ίσο με.55 μm. Στη συνέχεια, ακολουθώντας τη μεθοδολογία που παρουσιάστηκε στην παράγραφο 3. όπως κάναμε και για την περίπτωση του κυματοδηγού ταινίας, παρουσιάζουμε τους δείκτες διάθλασης και τις παραμέτρους διασποράς των δύο εν λόγω ρυθμών, για εύρος μηκών κύματος από. έως.5 μm (σχήμα 3.9) []. Οι γεωμετρικές παράμετροι του κυματοδηγού ράβδωσης είναι w =.5 μm, h =.55 μm και d =.7 μm. Το μήκος κύματος μηδενική διασποράς προκύπτει μεγαλύτερο των μm και για τους δυο ρυθμούς. Παρόλα αυτά, με προσεκτική επιλογή των γεωμετρικών παραμέτρων, το λ D μπορεί να ελαττωθεί ώστε να συμπέσει ή να γίνει μικρότερο των.55 μm, με αποτέλεσμα ο κυματοδηγός να υποστηρίζει τον σχηματισμό σολιτονίων. Το παραπάνω μάλιστα είναι ευκολότερο για τον ΤΜ παρά τον ΤΕ ρυθμό. Για παράδειγμα, αν οι γεωμετρικές παράμετροι επιλεχθούν ίσες με w = μm, h =.6 μm και d =.3 μm η τιμή του β για τον ΤΜ ρυθμό γίνεται αρνητική και ίση με -.56 ps /m στα.55 μm. Είναι λοιπόν φανερό ότι με τη διαδικασία που περιγράφηκε στην παράγραφο 3. και χρησιμοποιήσαμε με επιτυχία στις παραγράφους 3.3 και 3.4, μπορούμε να προσδιορίσουμε τις παραμέτρους διασποράς για οποιονδήποτε ρυθμό οποιαδήποτε κυματοδηγού. Οι παράμετροι διασποράς εισάγονται ως σταθερές στη NLSE, για ένα συγκεκριμένο κεντρικό μήκος κύματος λειτουργίας, η λύση της οποίας μας επιτρέπει να μελετήσουμε τα φαινόμενα που λαμβάνουν χώρα κατά τη διάδοση παλμών σε κυματοδηγούς. Αυτό ακριβώς θα κάνουμε στο επόμενο κεφάλαιο. Τέλος, σαν ένα τελευταίο σχόλιο, για τη μοντελοποίηση της διάδοσης παλμών με τη NLSE, και ειδικότερα για τον προσδιορισμό της μη γραμμικής παραμέτρου γ, θα θέλαμε επίσης να γνωρίζουμε την ενεργό επιφάνεια του ρυθμού. Κάτι τέτοιο μπορεί εύκολα να υπολογιστεί από το προφίλ του ρυθμού, δηλαδή το ιδιοδιάνυσμα του προβλήματος ιδιοτιμών. Παραδείγματος χάριν, χρησιμοποιώντας την κυρίαρχη συνιστώσα ενός ΤΕ ρυθμού μπορούμε να υπολογίσουμε την ενεργό του επιφάνεια μέσω της σχέσης A E ( x, y) dxdy x A eff 4 A E ( x, y) dxdy x. (3.5) ΚΕΦ. 3: ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ ΠΥΡΙΤΙΟΥ 3-9