1 Opis fizikalnih pojava

Transcript

1 Opis fizikalnih pojava Opis fizikalnih pojava. Fizikalne veličine Prirodne pojave opisujeo veličinaa koje ožeo jeriti.svaku veličinu jerio posebno jedinico, na prijer, etar je jedinica za veličinu duljine.97 godine je usvojeno seda veličina kao osnovnih.one čine Internacionalni sustav jedinica, skraćeno SI : Tablica osnovnih SI jedinica SI osnovna jedinica Osnovna veličina Naziv Sibol duljina etar asa kilogra kg vrijee sekunda s jakost električne struje aper A terodinaička teperatura kelvin K količina tvari ol ol jakost izvora svjetlosti kandela cd Većina izvedenih SI jedinica se definira pooću osnovnih jedinica.tako je SI jedinica za snagu, koja ia naziv vat,definirana pooću osnovnih jedinica za asu,duljinu i vrijee : 3 W = kg / s Vrlo velike i vrlo ale iznose veličina običava se iskazati znanstveno notacijo pooću potencija baze deset.tako je brzina svjetlosti : 8 c = / s 3 0 / s Na računalia je znanstvena notacija kraća, c 3E8 / s, a E ovdje označava eksponent potencije. Također se običava koristiti prefikse, na prijer, polujer Zelje je : R= = 6370k Najčešće fizikalne veličine, duljina, vrijee i asa jere se etro, sekundo i aso.. Mjerenje

2 Opis fizikalnih pojava Mjerenje je postupak koji fizikalni veličinaa pridružujeo jeru ( broj ). Rezultat jerenja izražavao unoško brojčane vrijednosti i jedinice. Mjerenje se dužini ( skupu točaka ) pridružuje duljina ( broj). Postupak jerenja dužine je njeno uspoređivanje s jedinico-etro. Metar je udaljenost koju svjetlost prijeđe u vakuuu tijeko vreenskog razaka od / sekunde. Neke približne duljine su : Dužina Duljina u etria do galaksije Androeda 0 do najbliže zvijezde (Proxia Centauri) do Plutona 6 0 polujer Zelje debljina stranice knjige 4 0 virusa 8 0 polujer vodikova atoa 5 0 polujer protona 5 0 Red veličine nekog broja je eksponent potencije kad se veličina izrazi znanstveno 3 notacijo. Tako je red veličine dviju veličina 3 iako je iznos jedne. 0, a druge Često se rezultat računanja procjenjuje na bliži red veličine, pa bi red veličine prve bio, a druge 3. Mjerenje vreena pooću nekog vreenskog standarda oogućava odgovoriti na pitanje koliko traje neki događaj i kad se taj događaj zbio.standard ože biti neki događaj koji se pravilno ponavlja.stoljećia je to bila rotacija Zelje koja je određivala duljinu dana.od 967 je u upotrebi atoski sat ( cezij) koji se definira sekunda kao vrijee potrebno za oscilacija svjetlosti određene valne duljine koju eitira ato cezija 33. Neki približni vreenski razaci : Vreenski razak Vreenski razak u sekundaa trajanja protona 39 0 starosti sveira starosti Keopsove piraide 0 očekivanog života čovjeka 9 0 izeđu dva udarca srca trajanja uona 6 0 trajanja najnestabilnije čestice 3 0 Plankovog intervala vreena* 43 0

3 Opis fizikalnih pojava *vrijee nakon velikog praska kad su zakoni fizike u obliku koji su naa poznati počeli vrijediti Mjerenje ase se radi tako što se asa tijela uspoređuje s standardno aso koju čini platinsko-iridijski valjak visine i širine od 3,9 c kojoj je pridjeljena jedinična vrijednost od kilograa. Postoji i drugi standard ase koji se teelji na usporedbi asa atoa, što je oguće napraviti točnije nego uspoređivati ase tijela s standardni kilograo. Drugi standard ase je ugljik koe je pridjeljena asa od atoskih jedinica ase (u). 7 Dva su standarda povezana jednadžbo u = kg. Neke približne ase : Objekt Masa u kilograia poznati sveir 53 0 naša galaksija 4 0 Sunce 30 0 Mjesec 7 0 ala planina 0 slon čestica prašine 7 0 proton 0 elektron Riješeni prijer - Pretpostavio da ležite na plaži s otvoreni ore ispred sebe i proatrate zalazak Sunca.Potpuna je bonaca.štopericu pokrenete u trenutku kad vrh Sunca upravo iščezava na horizontu.ustajete se, podižući oči na visinu od.7, ponovo ugledate Sunce i zaustavljate štopericu kad vrh Sunca ponovo iščezne.ako proteklo vrijee izeđu ta dva događaja iznosi sekundi, koliki je polujer Zelje? Prvi zalazak Sunca α d r r h=.7 Drugi zalazak Sunca Osnovna zaisao je da je vaš pravac gledanja vrha Sunca koje upravo iščezava tangenta na površinu Zelje. Vaše oči su na površini Zelje dok ležite, a na visini h iznad površine kad se ustanete, kad linija gledanja čini drugu tangentu na površini Zelje. Udaljenost vaših očiju kad ste uspravni i točke u kojoj nova tangenta dodiruje Zelju označena je slovo d, dok je polujer Zelje označen slovo r. 3

4 Opis fizikalnih pojava Prea Pitagorino poučku je : d + r = ( r+ h) = r + rh+ h pa slijedi d = rh+ h Budući je visina čovjeka zanearivo ala prea polujeru Zelje, član h je zaneariv prea rh, pa je d = rh. Kut izeđu dviju tangenti jednak je kutu koji Sunce prijeđe za sekundi.tijeko punog α t dana Sunce prijeđe puni kut oko Zelje pa vrijedi razjer : 0 = što daje, uz t=s, 360 4h α= Također se iz slike vidi da je d = rtanα, pa uvrštavanje u izraz d = rh, dobijeo h forulu za izračunati polujer r =. tan α Uvrštavanje prije izračunatog kuta koji Sunce prijeđe za s i visine očiju, dobije se 6 polujer Zelje r = 5. 0, što je unutar 0%od prihvaćene vrijednosti. Riješeni prijer - Kad je Pheidippides trčao od Maratona do Atene 490. godine prije Krista da bi obavijestio o grčkoj pobjedi nad Perzijo, trčao je otprilike brzino od 3 rajda na sat.rajd je starogrčka jera za duljinu, koji sadrži 4 stadija, a stadij pak sadrži 6 pletrona. Pletron odgovara duljini od 30.8 etara. Koliko brzo je trčao Pheidippides izraženo u k u sekundi? Osnovna je zaisao napraviti lanac pretvorbi koji se oogućava kraćenje neželjenih jedinica. rajda 4stadija 6 pletrona 30.8 k h 3 rajda / h = 3 h rajd stadij pletron s rajda / h = k / s k / s Zadatci za vježbu. Antarktik je približno polukružnog oblika, s polujero od 000 k.srednja debljina ledenog prekrivača je 3000.Koliko kubnih centietara leda sadrži taj kontinent?..unutrašnje stepenice iaju gazište širine 3 c, a svaka stepenica je visoka 9 c.satra se da bi spuštanje niz stepenice bilo sigurnije da je gazište širine 8 c. Za određene stepenice ukupne visine 4.57 etara, koliko dalje u sobi bi se stepenice protezale pri njihovu dnu nakon proijene gazišta?.3 Astronoska jedinica duljine (AU) je srednja udaljenost Zelje od Sunca, što 8 8 iznosi.5 0 k.ako je brzina svjetlosti 3 0 / s, izrazite tu brzinu pooću astronoskih jedinica u inuti..4 Ako pretpostavite da dužina dana jednoliko rasta za s u jedno stoljeću, izračunajte ukupni učinak na jerenje vreena tijeko 0 stoljeća. 4.5 Zelja ia asu od kg.srednja asa atoa od kojih je izgrađena Zelja je 40 u. Koliko atoa sadrži Zelja?.6 Fina zrna pijeska plaže na Bačvicaa su približno kugle polujera 50µ, a izgrađena su od silicijevog dioksida gustoće 600 kg/ 3.Koliku asu pijeska treba uzetu da ukupna površina svih pojedinih zrnaca bude jednaka 6? 4

5 Opis fizikalnih pojava.3 Intuitivni i foralni odeli Izabrane su fizikalne veličine i postupak njihovog jerenja.kako pooću njih opisati pojave u prirodi? Kako su ljudi dio prirode i iaju bogato pojedinačno i kolektivno iskustvo o prirodni pojavaa, nije neobično da iaju određene pretpostavke i hipoteze kako i zašto se ti događaji zbivaju i prije nego počnu učiti prirodne znanosti u školi. Te, često nesvjesne, hipoteze nazivao intuitivni odeli. Zadatak koji slijedi je prijer netočne hipoteze da je za gibanje potrebna sila.. Slika prikazuje kuglu bačenu vertikalno prea gore iz točke A.Kugla dostiže točku iznad točke C. B je točka na polovini izeđu A i C ( AB=BC ).Ako se zaneari otpor zraka,koja sila ili sile djeluju na kuglu : a) Sila koja održava gibanje,usjerena prea gore. b) Težina prea dolje i stalna sila prea gore. c) Težina,usjerena prea dolje. d) Težina prea dolje i po iznosu padajuća sila prea gore. e) Sila prea gore,koja djeluje na kuglu od A do neke više točke,nakon koje počinje djelovati težina prea dolje. C B sjer gibanja A Većina će ljudi izabrati odgovor d ili pak e jer satraju da se kugla ože gibati prea gore sao uz podršku neke sile.prijer je to intuitivnog odela koji nije u skladu s objašnjenje fizičara kojeg nazivao foralni odel prea koje se tijela gibaju saa od sebe, a sila je uzrok proijene brzine. Uvođenje foralnih odela je ukotrpan proces. Učenik ora postati eksplicitno svjestan svojih duboko usađenih objašnjenja koja ponekad ne oogućavaju dobro predviđanje.prihvatiti će učenje foralnih odela obično izraženih jeziko ateatike ako se uvjeri u njihovu veću prediktivnu oć.. Proatranje i jerenje oraju biti ključni test provjere odela. Tako provjerene hipoteze nazivao fizikalni zakoni. Prije spoenuti prijer opisa gibanja tijela bačenog sa površine Zelje se lako riješi prijeno Newtonovog općeg zakona gravitacije. 5

6 Opis fizikalnih pojava Dodatci A. Mjerenje fraktala Koliko je duga obalna crta hrvatskog dijela Jadranskog ora? Donja slika prikazuje pokušaj određivanja duljine jednog koadića obalne crte koji se nalazi na sjevernoj strani poluotoka Marjana. Učenici sedog razreda jere obalnu crtu. Topografska karta Marjana.Mjereni detalj obale je zapadno od plavog prstena. Satelitski snici Marjana različite rezolucije. 6

7 Opis fizikalnih pojava Mjerenje počinje izboro početne jedinice, štapa duljine. Štap se, poput šestara,slaže od početne točke obale te se broji koliko puta je štap sadržan do krajnje izabrane točke obale. Taj broj obilježio slovo N. Postupak se ponavlja, ali sa upola kraći štapo. Zadnje jerenje je sa štapo duljine oko 6 c. Tablica prikazuje rezultat jerenja : Duljina jerila L (c) Duljina zakrivljene crte (izjerena) Duljina ravne crte ( očekivana) N LN N LN Jeli oguće predvidjeti N ( broj štapova ) kad bi jerili s štapo duljine oko 3 c? Ako se jeri ravna crta, oguće je predvidjeti koliki je taj broj jer su dva stupca u tablici vezana forulo N ( jerenje upola kraći štapo daje dvostruko veći L N ) pa bi taj broj bio 60. Slično jerenje površine pravilnog lika bi pokazalo da izeđu broja koada jediničnih površina N i veličine te površine L postoji veza iskazana forulo N, (jerenje upola kraći štapo daje četiri puta veći N). L 7

8 Opis fizikalnih pojava Iz gornje tablice se ože priijetiti da jerenje zakrivljene crte ukazuje da će skraćivanje jerila za polovinu dati više nego dva puta veći N kao za jerenje ravne crte, ali anje nego četiri puta više kao za jerenje površine.zakrivljena crta ia više detalja od ravne crte,ali ože ispuniti najviše cijelu ravninu.zato ožeo napisati N, naslućujući da je D broj veći od, a anji od. Kako provjeriti ovo D L nagađanje? Dobar je način da se forule koje so prije napisali logaritiraju i prikažu grafički. log N = k / D L log N = logk + Dlog L Ova se jednadžba ože shvatiti kao pravac y = kx + l, gdje je y log N, x log, L a D je nagib pravca ( konstanta k određuje izbor početne dužine npr. ili 3, ako se radi o površini kvadrat od ili 3 ).Za ravnu crtu D=, za površinu D=, a D za zakrivljenu crtu se dobije tako da se prikaže grafički rezultat jerenja iz naše tablice te očita nagib.,,0,8,6,4,,0 0,8 0,6 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0,,4 Nagib crvenog pravca je D=.3 ( za usporedbu je prikazan i nagib pravca koje je D= koji vrijedi za ravnu crtu i pravac s D= koji vrijedi za ravninu ). Broj D određuje fraktalnu dienziju nekog geoetrijskog skupa. Fraktali su skupovi ( poput obalne crte ) čija je fraktalna dienzija razloljeni broj. Pokazuju svojstvo skaliranja : anji koadići su uanjene verzije (slični su ) cijelog objekta.naravno da se i ravna crta i ravnina ogu skalirati, ali broj D je kod njih cijeli. Sada kad iao forulu koja oogućava predvidjeti kako broj štapova N ovisi o duljini štapa L za zakrivljenu crtu N = 5 L. Lako se izračuna da za L=/3 ( oko 3 c ) je N=34 koada.pokus ( jerenje ) bi trebao potvrditi predviđanje ako se obalna crta ponaša jednako ( oblikovana slični fizikalni procesia poput udara valova, pucanje zbog proijene teperature i slično) i na skali od 3 c. 8

9 Opis fizikalnih pojava B. Tablice izvedenih jedinica i prefiksa Tablica s prijeria izvedenih SI jedinica SI izvedene jedinice Izvedene veličine Naziv Sibol površina etar četvorni obuja etar kubni 3 brzina etar u sekundi /s ubrzanje etar u sekundi na kvadrat /s gustoća ase kilogra po kubno etru kg/ 3 koncentracija količine tvari ol po kubno etru ol/ 3 Prefiksi SI jedinica Faktor Prefiks Sibol 0 9 giga G 0 6 ega M 0 3 kilo k 0 - centi c 0-3 ili 0-6 ikro µ 0-9 nano n 0 - piko p 9

10 Opis fizikalnih pojava Tablica SI izvedenih jedinica posebnih naziva i oznaka Izvedena veličina Naziv Sibol SI izvedene jedinice Izražena pooću drugih SI jedinica Izražena pooću SI osnovnih jedinica kut radian rad - - = prostorni kut steradian sr - - = frekvencija herc Hz - s - sila njutn N - kg s - tlak paskal Pa N/ - - kg s energija, rad, količina topline - džul J N kg s -3 snaga vat W J/s kg s električni naboj kulon C - s A napon elektrootorna sila - volt V W/A kg s -3 A kapacitet farad F C/V - kg - s 4 A električni otpor o Ω V/A - kg s -3 A agnetni tok veber Wb V s - kg s - A agnetna indukcija tesla T Wb/ - kg s - A induktivitet henri H Wb/A - kg s - A Celzijeva teperatura stupanj Celzija C - K svjetlosni tok luen l cd sr - cd = cd osvijetljenost luks lx l/ -4 cd = - cd aktivnost radionuklida bekerel Bq - s - ekvivalentna doza sivert Sv J/kg - s 0

11 Opis fizikalnih pojava

12 Kineatika.Kineatika. Opis gibanja Kineatika je dio fizike koji se bavi svrstavanje i usporedbo gibanja. Pitanje uzroka gibanja se ovdje ne raspravlja.zaniati će nas jeli se tijela ubrzavaju, usporavaju ili ijenjaju sjer i kako je to povezano s vreeno. Tijela satrao aterijalni točkaa čiji se svi dijelovi gibaju u isto sjeru sa isto brzino. Aristotel i Galileo Aristotel je dijelio gibanja na naravna i prisilna gibanja. Svako tijelo u sveiru ia svoje jesto i irovanje je njegovo noralno stanje. Tijelo koji se ne nalazi na svo jestu, teži k njeu gibajući se naravni gibanje Tijelo s naravi zelje ( npr. kaen ) teži k zelji ; di ia narav zraka pa se giba prea gore ; perje ia iziješanu narav zelje i zraka pa pada na zelju, ali vrlo sporo. Prito, teža tijela brže dolaze na svoje jesto, dva puta teže tijelo pada dvostruko brže. Opisano forulo : v G.Naravna gibanja ogu biti po pravcu ili po kružnici kao u slučaju nebeskih tijela. Prisilno gibanje je posljedica sile guranja ili potezanja.ali, što gura strijelu kroz zrak? Nije bilo jasno koja sila gura strijelu, pa se izišljalo zračne vrtloge kao uzrok gibanju Galileo Galilei u 7.stoljeću je osporio Aristotelovo išljenje koristeći znanstvenu etodu : proatranje pojave, hipoteza ili objašnjenje i pokus kao provjera.poznat je njegov pokus bacanja tijela različite težine s krivog tornja u Pizzi, koji su pali na zelju za približno isto vrijee. Prea Galileu, gibanje je noralno stanje tijela. Tijela se gibaju stalno brzino dok ne djeluje vanjska sila. Kako je sila trenja uvijek prisutna, dokazao je svoju tvrdnju isaoni pokuso gibanja kugle na glatkoj nizbrdici. Nizbrdicabrzina se povećava Uzbrdicabrzina se sanjuje Ravninabrzina se ne ijenja Dok je u Aristotelovu opisu gibanja bitna sao udaljenost tijela od svog prirodnog jesta, Galileo je uveo u opis gibanja vrijee kao novu, bitnu fizikalnu veličinu. Provjera : koji je bio glavni razlog išljenju do prije pet stoljeća da se Zelja ne giba? Prea Aristotelu, Zelja je na svo pripadajuće jestu i da bi je se poaklo s tog jesta ( prisilno gibanje ) trebalo bi djelovati silo. Za poaknuti asivni planet, trebala bi vrlo velika sila koja u to doba nije bila poznata pa je zaključeno da Zelja iruje.

13 Kineatika. Položaj, poak, srednja brzina i srednje ubrzanje Položaj u jednoj dienziji se određuje pooću osi koja ia ishodište ( O ), pozitivni sjer udesno i brojeve ( koordinate ) koji označavaju duljine u etria. Negativni sjer Pozitivni sjer x ( ) Ishodište ( O ) Provjera : pokažite na osi položaj tijela x =. Poak x je projena od položaja x do drugog položaja x : x = x x. Provjera: čovjek se poakao od položaja x = 3 do položaja x = 8, a zati se vratio natrag. Koliki je poak tog čovjeka? Poak je prijer vektorske veličine koja ia iznos i sjer.zato, ako je poak negativan, treba ispred broja napisati znak inus. Provjera : čovjek se poakao od položaja x = 7 do položaja x = 3. Koliki je poak tog čovjeka? Srednja brzina ( v ) je ojer poaka i vreena za koje se tijelo poaklo : x x x v = = t t t Kako je poak vektor, a vrijee skalar koji je uvijek pozitivan, srednja brzina je vektor koji ia predznak isti kao i predznak poaka. Napoena :ukupni put koji pređe čestica nezavisno od sjera koji se giba je uvijek pozitivan. Srednja brzina koja bi se računala pooću ojera ukupnog puta i vreena ia u englesko jeziku naziv average speed i treba je razlikovati od prije uvedenog vektora srednje brzine koji ia engleski naziv average velocity. Hrvatski jezik ta dva poja ne razlikuje. U daljnje tekstu će se naziv brzine uvijek odnositi na vektor koji se dobije kao ojer poaka i vreena i koji odgovara englesko nazivu velocity. Srednje ubrzanje ( a ) je ojer proijene brzine i vreenskog razaka za koji se projena brzine dogodila : v v v a = = t t t v je znak za brzinu u početno trenutku vreenskog razaka t,a v na kraju u t. Ubrzanje ili akceleracija je također vektor.

14 Kineatika Grafički prikaz kineatičkih veličina Na grafičko prikazu položaja x u ovisnosti o vreenu t, srednja brzina je nagib pravca koji spaja dvije točke krivulje x(t). Provjera: izračunajte srednju brzinu s donjeg grafa izeđu t=s i t=4s. Graf ovisnosti položaja o vreenu v x 6 = = = / s t 3s x = ( 4) = 6 t = 4s s= 3s Riješeni prijer - Donji graf prikazuje položaj lifta koji iruje prvu sekundu, zati ubrzava dvije sekunde, giba se stalno brzino do ose sekunde, usporava jednu sekundu jednoliko i iruje jednu sekundu. Prikažite v-t i a-t grafove tog gibanja x=4 u t=8s c d 0 položaj ( ) 5 0 x 5 x=4 u t=3s a b t vrijee ( s )

15 Kineatika Brzina u neko trenutku odgovara nagibu krivulje x(t) u to trenutku. U prvoj sekundi je nagib nula, pa je i brzina nula ( lift iruje ), kao i tijeko desete sekunde. Sljedeće dvije sekunde se giba stalni ubrzanje.od treće do ose sekunde se giba stalno brzino x 4 4. Jednoliko usporava u devetoj sekundi. v = = = 4 / s t 8s 3s 5 4 b v(t) c brzina ( /s ) 3 a vrijee ( t ) Nagib pravca v(t) je ubrzanje a d 4 3 ubrzanje akceleracija ( /s ) a b c d vrijee ( s ) usporenje Kako iz grafa brzine rekonstruirati graf položaja? Moguće je dobiti oblik grafa položaja, ali ne i stvarne vrijednosti položaja u različiti trenucia, jer graf brzine pokazuje sao projenu položaja x kojoj odgovara površina ispod krivulje v(t). Tako je tijeko vreenskog razaka od treće do ose sekunde kada je brzina lifta bila 4 /s, projena položaja bila : x = 4 (8s 3 s) = 0 s Međuti, iz grafa brzine nije oguće odrediti položaj na početku i kraju tog intervala. Potreban je dodatni podatak: vrijednost položaja u neko trenutku.

16 Kineatika.3 Trenutna brzina i trenutno ubrzanje Ako vreenski razak u koje jerite projenu položaja (poak ) sanjujete, srednja brzina se približava pravoj ili trenutnoj vrijednosti brzine v. Kad je taj interval vreena dovoljno ali? Ako proatrate graf x ( t ) i sanjujete vreenski razak, dobiti ćete graf koji va se čini ravni.izračunate ojer poaka i vreena i proglasite ga trenutno brzino. Pri to postupku sekanta prelazi u tangentu krivulje x ( t ).Forulo se taj proces opisuje granični prijelazo ili lieso srednje brzine : x dx v = li v = li = t 0 t 0 t dt Trenutno ubrzanje ili trenutna akceleracija se slično dobije kao ojer projene brzine i vreenskog razaka u koje se brzina proijenila pri čeu se ojer računa za sve anje vreenske razake : v dv d dx d x a = li a = li = = ( ) = t 0 t 0 t dt dt dt dt Jedinica za akceleraciju je /s.velike akceleracije se ponekad izražavaju pooću g, gdje je g=9.8 /s, akceleracije tijela koji pada blizu površine Zelje. Provjera: na kojoj od ovih nizbrdica iznos brzine raste, a ubrzanje se sanjuje. Algebarski prikaz kineatičkih veličina ( forula ) Izeđu velikog broja različitih gibanja, odaberio gibanje s stalni ubrzanje.u to je slučaju srednje ubrzanje a u svako trenutku jednako trenutno ubrzanju a i ako u foruli za srednje ubrzanje odabereo v =v 0 u početno trenutku t =0, a v =v u neko kasnije trenutku t =t: a v v v t t t 0 = = = = v v t a, pa slijedi v= v0 + a t Slično x x x x x0 v = = =, pa je x = x0 + v t, gdje je v t t t t

17 Kineatika srednja vrijednost brzine izeđu t=0 i kasnijeg vreena t. Kako je ubrzanje stalno i v0 + v brzina je linearna funkcija vreena ( prikazana pravce ) vrijedi v = pa se uvrštavanje prethodnog izraza za brzinu dobije v = v0 + a t, i konačno : x = x0 + v0 t+ a t Riješeni prijer - U filskoj sekvenci dva su auta udaljena 00 i voze jedan prea drugo.u trenutku prolaska jednog auta pored drugog, vozač plavog auta treba dobaciti paket krijučarene robe vozaču crnog auta.u najeri da snii dobacivanje paketa, policija ora predvidjeti položaj susreta x S. Plavi auto se od položaja kad su udaljeni 00 ubrzava iz irovanja s ubrzanje od 6. /s, a crni ia brzinu od 60 k/h i nastavlja se gibati to brzino.koliko daleko od početnog položaja plavog auta će se dogoditi susret krijučara? 0 x S 00 x() Osnovna zaisao je da se oba auta gibaju s stalni ubrzanje, pa se ogu priijeniti forule koje so upravo izveli. Početni položaj plavog auta neka je x 0 =0, početnu brzinu tog auta v 0 =0 i a=6. /s pa za njega vrijedi jednadžba : x = ts + / (6. / s ) t S Za vozača crnog auta s početni položaje x 0 =00, početno brzino ( koja je negativna jer se auto giba na lijevo ) v 0 =- 60/s i ubrzanje a=0 vrijedi : x = 00 (6.67 / s) t S + / (0) t S. Treba riješiti sustav od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice ( xs i jednadžba ts ).Uvrštavanje 3.06 ts 6.67 ts 00 0 xs iz prve u drugu jednadžbu, dobije se kvadratna + = što daje t =5.8s.Uvrštavanje u jednu od prethodne dvije jednadžbe se dobije x S =03. Ubrzanje pri slobodno padu Predet bačen uvis, ispušten iz ruke ili bačen prea dolje u blizini površine Zelje, ako se zaneari utjecaj zraka, se ubrzava prea dolje s stalni iznoso. Taj iznos se naziva ubrzanje ili akceleracija slobodnog pada, obilježava se slovo g =9.8/s.Običaj je položaju predeta iznad Zelje dati pozitivan sjer, brzina u sjeru prea gore je pozitivna, a onda je ubrzanje slobodnog pada negativno. Forula za položaj predeta u trenutku t koji ia početni položaj ( udaljenost od tla ) x 0 i početnu brzinu v 0 je : x = x0 + v0 t g t S

18 Kineatika Dodatak Poteškoće u interpretaciji kineatičkih pojova.razlikovanje ordinate od nagiba pravca položaj (c) A B vrijee ( s ) a)jeli u trenutku t=s brzina tijela A veća, anja ili jednaka brzini tijela B?Objasnite vaše rasuđivanje. b) Iaju li tijela A i B ikada istu brzinu? Ako iaju, kada?.nejednoliko gibanje s projeno sjera x B A C D t E F G a) U kojoj točki je gibanje najsporije b) U kojoj točki se tijelo ubrzava c) U kojoj točki se tijelo usporava d) U kojoj točki tijelo ijenja sjer gibanja. Česta je pogrješka da je brzina nula u točki u kojoj je položaj nula.u točki D se tijelo čije gibanje opisuje graf se nakon približavanja ishodištu počinje od njega udaljavati, pa položaj ijenja predznak, od +x postaje x.brzina, pak, u okolici te točke ne ijenja brzinu i ia negativan predznak ( nagib tangente na krivulju x(t) u točki D je veći od 90 0, zatvara tupi kut s pozitivni sjero osi x ). 3.Pretvaranje stvarnog gibanja u graf x(t), v(t) i a(t). Slika prikazuje glatke tračnice po kojia se giba kugla ( dijelovi tračnica AB i CD su jednake duljine ). Na dijelu AB se kugla giba jednoliko brzino, na BC jednoliko ubrzano, a na dijelu CD opet s jednoliko brzino. Prikažite graf položaja, brzine i ubrzanja u ovisnosti o vreenu. A B C D

19 Kineatika 3,0 nagib pokazuje brzinu, ne pokazuje nagib kosine,5,0 tu se kugla giba po ravnini položaj ( ),5,0 sao tu se kugla giba po kosini 0,5 tu se kugla giba po ravnini 0,0 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0,,4,6,8,0,,4 vrijee ( s ), stalna brzina na CD,0,8 stalno ubrzanje na BC brzina ( /s ),6,4, stalna brzina na AB,0 0,8 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0,,4,6,8,0 vrijee ( s ),0 brzina jednoliko rasta (a=),5 ubrzanje ( /s ),0 0,5 stalna brzina (a=0) stalna brzina (a=0) 0,0 0,0 0,5,0,5,0 vrijee ( s )

20 3 Dinaika 3 Dinaika 3. Što je dinaika? Disciplina koja opisuje projenu nekih veličina tijeko vreena je dinaika. Prijeri su : projena položaja tijela, projena vrijednosti dionice na burzi, projena broja riba u bazenu, projena rita rada srca. Dio dinaike koji opisuje projenu položaja,brzine i ubrzanja tijela kao posljedicu djelovanja sile ili sila na tijelo naziva se ehanika. Kažeo da je gibanje deterinističko ili predvidljivo ako, poznavajući ih u jedno trenutku, ožeo odrediti veličine kojia opisujeo gibanje tijela u svako buduće trenutku.takvi se događaji bitno razlikuju od slučajnih ( engleski rando ) ili stohastičkih događanja npr. bacanje kocke gdje poznavanje ishoda u jedno bacanju ne poaže predvidjeti ishod u sljedeće bacanju. Niz stanja koja se ijenjaju tijeko gibanja ( npr. pri slobodno padu tijela bez otpora ) zraka prikazujeo različiti vrstaa prikaza : tablico ( nuerički ) grafo ( geoetrijski ) forulo ( algebarski) x( ) t x v a ts () x = x 0 g t 3. Zakoni ehanike Događaj kao guranje ili potezanje koji izaziva ubrzanje tijela je sila.proučavanje odnosa sile i ubrzanja je tea Newtonove ehanike prea Isaacu Newtonu ( ), a opisujeo ih pooću 3 Newtonova zakona tj. 3 zakona ehanike :. Newtonov zakon: Ako na tijelo ne djeluje sila niti rezultanta sila različita od nule, onda se brzina tijela ne ijenja.

21 3 Dinaika Svojstvo tijela da se opire proijeni naziva se troost ili inercija. Mjera troosti je asa.jedinica za tu fizikalnu veličinu je kg. Pitanje : kako je oguće zabiti čavao u asivne drvene daske na glavi djevojčice,a da je ne zaboli?.newtonov zakon : Ako djeluje rezultantna sila različita od nule, tijelu se ijenja brzina. Pokus pokazuje da se brzina ijenja brže što je sila veća, a sporije što je veća asa tijela.prito se brzina ijenja u sjeru djelovanja rezultantne sile. F a = je oznaka za zbrajanje, ovdje za zbrajanje sila koje su vektori pa treba voditi računa o sjeru sila. Pri rješavanju zadataka s.newtononovi zakono, koristi se dijagra sila u koje je prikazano sao ono tijelo za kojeg želio znati koji zbroj sila na njega djeluje.na dijagrau je svaka sila prikazana strjelico s repo u točki koja prikazuje tijelo. Prikazan je i koordinatni sustav. Prijer : u slučaju padanja tijela koje iruje u početku u blizini površine Zelje uz zaneariv otpor zraka na tijelo djeluje sao gravitacijska sila prea dolje G= g,pa vodio računa sao o proijeni brzine u sjeru prea dolje. + x Stvaranje dijagraa sila F = G = g a x F = x = g = g 0

22 3 Dinaika Drugi zakon ehanike opisuje utjecaj okoline na tijelo čije gibanje proučavao. 3.Newtonov zakon : Radi potpunosti opisa poja sile, treba dodati da kad god priijetio utjecaj okoline na neko tijelo, orao priijetiti da tijelo djeluje jednako na okolinu - isto silo ali suprotnog sjera. Prijer: u igri potezanja konopa pobjeđuje skupina koja povuče protivnike za npr. pola etra, iako je sila kojo pobjednička skupina vuče konop jednaka po iznosu sili kojo poražena skupina vuče konop.jeli u ovoj tvrdnji išta sporno? Skupina se poiče ( ijenja brzinu ) kad na nju djeluje ukupna sila različita od nule i to u sjeru sile.na svaku skupinu, osi sile od konopa F konopa djeluje i sila od poda ( pasivna sila jednaka po iznosu ali suprotna po sjeru sili kojo ta skupina gura pod, a jednaka je sili trenja F = kf = kg, k je koeficijent trenja, je asa trenja pritiska članova skupine ).Skupina čiji članovi iaju veću asu pobjeđuje jer većo silo pritišću pod, pa i njih ( zajedno s drugo skupino )pod gura većo silo unazad. Sila od poda na lakšu skupinu Sila od poda na asivniju skupinu Prijer : sila kojo čovjek poteže konop učvršćen za zid jednaka je sili kojo zid djeluje na konop u suprotno sjeru. Ako ulogu zida preuze atleta, da bi konop irovao on ora djelovati isto silo kao prije zid, a ta je 500 N. Pitanje : na donjoj slici je prikazana asivna kugla koja nalijeće veliko brzino na irni čunj. Jeli priliko sudara sila od kugle na čunj veća, jednaka ili anja od sile kojo čunj djeluje na kuglu? Zakon sile 3

23 3 Dinaika Za priijeniti.newtonow zakon ili teeljni zakon gibanja treba znati forulu za tu silu koju se naziva zakon sile.sile dijelio na fundaentalne poput gravitacijske ili električne i epirijske poput sile trenja klizanja i sile otpora pri gibanju tijela u fluidu ( tekućini i plinu ). Prijer: kako izgleda forula za silu otpora pri gibanju tijela u fluidu? Pri ali brzinaa je sila otpora to veća, što je brzina veća Fotpora = kv,a u sjeru je suprotno od brzine.konstanta k se određuje u pokusu, epirijski. pri veći brzinaa tijela, sila raste brže nego što raste brzina F = Bv, B je konstanta koja ovisi o gustoći fluida i obliku tijela ( izvod u narednoj lekciji ), pa se dobije zakon sile otpora : Fzraka ρ Av Težina tijela je po iznosu jednaka ukupnoj sili koja treba djelovati na tijelo da ga spriječi slobodno padati.težina knjige koja iruje na stolu je sila prea gore jednaka iznosu gravitacijske sile na knjigu W = g. Težinu tijela treba jeriti onda kada tijelo nea ubrzanje u vertikalno sjeru s obziro na tlo. Težina = g otpora Fizika V. Paar Ubrzani sustavi Fgravitacije = g Ako jerite svoju težinu vago na oprugu u liftu tijeko ubrzanja prea gore, broj koji pokazuje iznos težine će biti veći.izjerili ste prividnu težinu. Lift nije inercijalni već ubrzani sustav. U sustavia koji se gibaju s ubrzanje a se javljaju inercijalne sile a. Prijer: U dizalu stojio na vagi na oprugu koja pokazuje asu od 70 kg. Dizalo krene prea gore s ubrzanje od /s, nakon što prođe prvi kat ia stalnu brzinu sve do osog kata, a onda u se brzina sanjuje sa stalni usporenje od /s dok se ne zaustavi na deseto katu.koliku vrijednost pokazuje vaga pri početno ubrzanju, koju vrijednost tijeko vožnje od prvog do osog kata, a koju pri usporenju? Pri ubrzanju a i so u ravnoteži u liftu ( prea unutrašnjosti lifta irujeo ) što znači da je sua sila na naše tijelo jednaka nuli: g a + W prividna = 0. Ako je težina u irno liftu W, vrijedi donji izraz, a onda bi vaga pokazala =84 kg. a Wprividna = W( + ) 700 N( + ) 840N g 0 Napoena: asa se ne ijenja.vaga zapravo jeri silu, težinu, pa proijenjeni iznos sile koja je potrebna da spriječi tijelo iste ase da ne pada slobodno vaga prikazuje kao proijenjenu asu. U ubrzano sustavu lifta djeluje osi gravitacijske sile i sila troosti a u isto sjeru te pod silo W prividna prea gore. Dok se lift giba stalno brzino, vaga pokazuje =70kg, pri usporenju vaga pokazuje =56kg. a Wpriv = W( ) 560N 3. Rješavanje jednadžbe gibanja g 4

24 3 Dinaika U drugo poglavlju so napisali izraz za gibanje po pravcu s stalni ubrzanje.slobodni pad so uvrstili u skupinu takvih gibanja, gdje se to stalno ubrzanje obilježava s g i iznosi na srednji geografski širinaa oko 9.8/s. Diferencijalne jednadžbe Kad na tijelo ne djeluje stalna sila, već se ukupna sila tijeko vreena i na različiti jestia ijenja, postupak predviđanja projena veličina kojia opisujeo gibanje počinje od.newtonovog zakona i uvrštavanja sila koje djeluju na tijelo u jednadžbu F a = vodeći računa o sjeru djelovanja sila. Standardna tehnika je prijena poja derivacije i rješavanja diferencijalnih jednadžbi prijenjujući pravila integralnog računa. Prijer : padanje tijela bez otpora zraka. Taj so proble već riješili koristeći kineatičke definicije: v= g t i x = x0 (/ ) g t.riješio isti proble koristeći tehniku koju je izislio I. Newton. F a = dv = g = g Diferencijalna jednadžba dt Riješiti ovu jednadžbu znači odrediti funkciju v(t) koja ia svojstvo da se ijenja sa stalni iznoso. Takvo svojstvo ia linearna funkcija, grafički prikazana pravce. Tehnički gledano, gornja se jednadžba rješava prijeno integralnog računa : dv g dt = dv = gdt dv = g dt v= v0 g t a uz početnu brzinu nula v = g t x dx v = li v = li = Položaj se odredi ako se u gornju jednadžbu brzina zaijeni s t 0 t 0 t dt dx gt dt = dx = gtdt dx = g tdt x = x0 g t Naravno da so rješenje već znali, ali upravo na je to potvrda da tehnika integralnog računa daje dobar rezultat. Kako riješiti padanje tijela uz otpor zraka za ale brzine? dv F g kv kv = = = g Diferencijalna jednadžba dt Ova jednadžba je teža za riješiti. Često se pojave sile kopliciranog oblika zakona sile ( forule ), tako da je diferencijalnu jednadžbu neoguće riješiti. Diferencijske jednadžbe 5

25 3 Dinaika Ova se etoda rješavanja još naziva rješavanje korak po korak.pokažio je na prijeru vertikalnog hica,ali uz prisustvo otpora zraka. F v F g kv kv a = = = = g t Diferencijska jednadžba. Položaj se ijenja jer tijelo ia brzinu : x =. Novi položaj se izračuna polazeći od položaja u početku : v t 3. Diferencijska jednadžba oogućava izračunati projenu brzine za vrijee t : 4. Poznavajući brzinu tijela u početno trenutku t 0, izračunao novu brzinu : 5.Ubrzanje se računa iz ojera + x Prijer :zračni balon se diže vertikalno uvis stalno brzino od 0 /s. Privezan užeto za balon visi predet ase =50kg.Na visini 50 iznad tla uže pukne. Izračunajte postupko korak po korak položaj predeta 0. 3s nakon pucanja užeta ako je k=0.5.položaje računajte svaku 0.s.Otpor zraka računajte prea Fotp Podatke prikažite u tablici donjeg forata. = kv.korak : v = ( 9.8 ) 0. = 0.99 x = 0 0. = 50 x = 50 + = 5 v = 0 + ( 0.99) 9 a = 0.99/ 0. = 9.9 novi nova x novi = x stari kv v = ( g ) t v nova = a = v/ t v stara + v.korak : x = 9 0. = 0.9 v = ( 9.8 ) 0. = x = = 5.9 v = 9 + ( 0.99) 8 a = 0.99 / 0. = 9.90 novi nova 3.korak x = 8 0. = 0.8 v = ( 9.8 ) 0. = x = = 5.7 v = 8 + ( 0.989) 7 a = / 0. = 9.89 novi nova korak trenutak položaj brzina ubrzanje

26 4 Količina gibanja i energija 4 Količina gibanja i energija Poznavanje dinaičkih zakona oogućava predvidjeti položaj, brzinu i akceleraciju ako su poznate sile koje djeluju na aterijalnu česticu. Često su te sile koplicirane i prijena tehnike nueričkog računanja koju so prikazali u prethodno poglavlju se ne bi pokazala prikladno. Prijer: loptica se giba po zakrivljenoj podlozi bez trenja s početne visine od etar s početno brzino od 5 /s.izračunajte brzinu koju ia loptica na kraju gibanja,kad je na visini 0? N N N h= v= 5 / s N = projenjljiva sila od podloge h = 0 v =? Sila se ijenja tijeko putanje loptice na kopliciran način, a poznavanje sile u svako trenutku, a to onda znači i na svako jestu je nužno za izračunati svaki sljedeći korak. Na sreću, postoji druga tehnika za opis gibanja koja se teelji na poznavanju pojova količine gibanja i energije i zakona očuvanja tih fizikalnih veličina u zatvoreno sustavu tj. sustavu u koje ne djeluju vanjske sile. 4. Količina gibanja i ipuls sile Napišio drugi Newtonov zakona dobije : v F = / t t F a = i uvedio što je ubrzanje a iz tog izraza v= F t ili ( v v ) = F t gdje je v a = pa se t asa tijela na kojeg djeluje sila F, v je brzina prije djelovanja sile, v nakon djelovanja sile, t je vrijee za koje je sila djelovala. Definirajo dvije fizikalne veličine ( izvedene iz osnovnih ) : v količina gibanja tijela ase i brzine v F t ipuls sile F koja djeluje tijeko intervala vreena t Napišio ponovo gornji izraz v v = F t i riječia : ipuls sile jednak je razlici količina gibanja prije i poslije djelovanja sile

27 4 Količina gibanja i energija Prijer : usporedite sudar autoobila sa betonski zido i sa stogo sijena. Pri sudaru sa zido se projena količine gibanja od neke prije sudara na nulu zbiva u kratko vreensko intervalu, ali tijeko kojeg djeluje velika sila koja ože znatno deforirati auto. Pri sudaru sa sijeno djeluje ala sila tijeko dugog vreena, pa auto prođe gotovo neoštećen. Prijer: karatist zaahne ruko vrlo brzo i postiže veliku količinu gibanja.tu količinu gibanja treba priliko sudara ruke s opeko sanjiti na nulu i postići gibanje ruke u suprotno sjeru ( sudar je elastičan ) u što kraće vreenu, pa je zato sila sudara ogrona, opeka se savije i pukne. Sudari ogu biti elastični, kad se količina gibanja sao preraspodjeli izeđu tijela u sudaru i nea pretvaranja kinetičke energije u toplinu. Kad se pri sudaru dio kinetičke energije pretvara u toplinsku energiju, sudar nazivao neelastični. Prijer : procijenite prosječnu silu sudara izeđu zrakoplova koji ia brzinu od 600 k/h i patke ase kg, duge 40 c. Pretpostavite neelastični sudar. Sila sudara bi se ogla sanjiti, ali i povećati u slučaju elastičnog sudara. Pretpostavio neelastični sudar u koje se ptica nakon sudara nastavi gibati s zrakoplovo. Njenu količinu gibanja prije sudara satrao zanearivo alo.vrijee sudara se izračuna iz poaka aviona od 40 c. x 0.4 t = = s 0.00s v 66 Projenu brzine patke izračunao pretpostavljajući da joj se brzina proijenila od nule na brzinu aviona v= 66 / s. Srednja sila je F = ( v/ t) = (66 / 0.00) N Sila iznosi N, što odgovara težini tijela ase 6.6 tona!

28 4 Količina gibanja i energija Pretpostavio da je sudar elastičan i da ptica proijeni sjer brzine.prijenjujući pravilo zbrajanja vektora vidi se da je za ali kut otklona, projena brzine v ala.ta se projena ože izračunati prijenjujući kosinusovo pravilo. Za kut od 60 0 je vektor v po iznosu jednak brzini v.za kut otklona veći od 60 0 je sila sudara veća nego u slučaju frontalnog neelastičnog sudara. 0 Za slučaj θ = 30, dobije se da je srednja sila sudara zrakoplova i patke 0 v v sin( ϑ / ) 66 sin(30 / ) F = = = N t t 0.00 U slučaju elastičnog sudara s otklono patke od 30 0 je srednja sila znatno anja i iznosi N, što odgovara težini tijela ase 8.6 tona. 4.. Energija i zakon o očuvanju energije Poja energije je teeljni za sve prirodne znanosti. Dok je ateriju oguće predstaviti kao nešto što zauzia prostor i asu, energija je apstraktni poja koji opisuje svojstvo aterije da,unatoč projenaa kojia je aterija podvrgnuta, nešto ( a to nešto nazivao energija ) u ti projenaa ostaje neproijenjeno sao što ijenja oblike. Mehanička energija Energija se javlja u obliku ehaničke energije kao kinetička energija tijela ase i brzine v izražena forulo Ek = v, kao gravitacijska potencijalna energija tijela ase na visini h iznad referentne razine kojoj pridjeljujeo visinu 0 izražena forulo E = gh ili kao elastična potencijalna energija opruge rastegnute za p poak x, koja elastično silo ( F = k x) vraća tijelo ase izražena forulo ( ) E p = k x. Prijer : kolika je projena gravitacijske potencijalne energije pri poicanju kugle =kg po podlozi bez trenja na istu visinu h u tri slučaja kao na donjoj slici? h= 3 h= 3 h= 3 3

29 4 Količina gibanja i energija Kako pri poicanju kugle po horizontalnoj podlozi ne treba djelovati silo jer zanearujeo trenje, povećanje potencijalne gravitacijske energije je isti u sva tri slučaja i iznosi E = gh = 9.83 J = 9.43J p Pitanje : ako potencijalna energija koju poveća auto pri usponu ovisi sao o razlici početne visine i vrha uspona, zašto cesta ne ide pravo uzbrdo nego se postupno uspinje vijugajući prea vrhu? Rad Kinetičku energiju tijela je oguće povećati ili sanjiti djelovanje sile na to tijelo.izjena kinetičke energije preko vanjske sile s neki tijelo naziva se rad.ako rad obavlja stalna sila, a usto se njena orijentacija stalno podudara sa pravce poaka tijela ožeo pokazati da za rad vrijedi forula:. W = F x Jedinica za rad je joule ( J ). Rad je pozitivan ako se na tijelo prenosi energija. Ako tijelo predaje energiju, rad je negativan. Rad i kinetička energija povezani su izrazo : W = ( E ) ( E ) k nakon interakcije k prije interakcije Prijer: slika prikazuje tijelo ase kg koje s brzino od 0.5/s nalijeće na oprugu konstante opruge k=00n/.koliki je poak opruge u trenutku kad je brzina tijela nula?tijelo se giba po podlozi bez trenja. v Rad koji izvrši opruga na tijelo pri sudaru je: ( ) Wopruge = k x Prijeno izraza koji povezuje rad i kinetičku energiju : W = ( E ) ( E ) opruge k kraju k početku Na kraju poicanja opruge ( sabijanja ) kinetička energija nula pa se dobije izraz za poak: x = v = 0.5 = 5c k 00 4

30 4 Količina gibanja i energija Prijer: sa kojo srednjo silo stijena teška 0 N udari o pod ako je puštena iz irovanja sa visine od h=0? Ovo pitanje se ne ože brojčano riješiti ako se ne odredi još neki podaci. Koji? Na visini od 0 stijena ia gravitacijsku potencijalnu energiju koja se padanje pretvara u kinetičku energiju. Neposredno prije udara je sva energija stijene u obliku kinetičke energije i onda počne djelovanje sile od poda na stijenu. Izvršeni rad se ože izračunati ako je poznat poak na koje se stijena zaustavljala x( poak ) gh = v Fsrednja x= ( E k ) Fsrednja x= v ili ako znao vreenski interval koliko je zaustavljanje trajalo : Fsrednja t = v W Snaga je veličina kojo se izražava brzina vršenja prijenosa energije P = t Jedinica za snagu je wat ( W ).U SI sustavu se tolerira upotreba stare jedinice za snagu konjske snage KS=740 W 5

31 4 Količina gibanja i energija 4.3 Zakon o očuvanju količine gibanja Priliko izjene sile ( interakcije ) izeđu dva ili više tijela koji čine zatvoreni sustav ( nea vanjske sile ) ukupna količina gibanja se ne ijenja.taj zakon vrijedi bez obzira jesu li izijenjene sile disipativne ( trenje ) kao u neelastično sudaru ili su konzervativne ( gravitacijska sila ili elastična sila opruge ). n i= v = cons Prijer : razotrio elastični sudar ale kuglice koja se giba brzino v sa asivno kuglo koja iruje na glatko stolu. v prije M V prije = Nakon sudara i i v poslije Priijenio zakon očuvanja količine gibanja : vprije = MVposlije vposlije Priijenio zakon očuvanja energije : Rješavajući sustav jednadžbi se dobije : 0 v = MV + v prije poslije poslije V poslije M vposlije = vprije Vposlije = vprije M + M + Za slučaj M=0 ala se kugla odbije unazad s -0.9 početne količine gibanja, a velika kugla preuze.9 početne količine gibanja. 6

32 5.Rotacija krutog tijela 5 Rotacija krutog tijela Ovdje proučavao rotaciju krutog tijela oko čvrste osi.kruto tijelo zadržava stalni oblik i rotira tako da razak izeđu svih njegovih dijelova ostaje neproijenjen. Tako sjer osi Zeljine rotacije ostaje isti tijeko njenog obilaska oko Sunca. Kotrljanje npr. bicikla je kobinacija rotacije kotača oko središta kotača i linearnog poicanja tog središta. 5. Kutne veličine Analogno položaju kod translacijskog gibanja, uvodio poja kutnog položaja neke izabrane crte ( referentna crta koja je okoita na os rotacije i vezana je za tijelo koje rotira ) kao kut te crte u odnosu na fiksni sjer koji se uzia kao nulti kutni položaj. y Referentna linija s x Ovaj sjer je nulti kutni položaj Iz geoetrije je poznata veza kuta ϑ koji pređe referentna crta, duljine luka s i radijusa kruga r : s ϑ = l kut je izražen u radijania okret =360 0 =6.8 rad, pa je rad= Kad referentna crta napravi dva puna okreta, kut se ne resetira na nulu, već iznosi ϑ = 4π rad Kutni poak ϑ nastaje kad referentna crta iz položaja ϑ dođe u kutni položaj ϑ : Za isti iznos se poaknu sve točke krutog tijela.po definiciji je kutni poak pozitivan ako je u sjeru suprotno gibanju kazaljke na satu. ϑ ϑ = ϑ ϑ

33 5.Rotacija krutog tijela Kutna brzina ω je ojer kutnog poaka i vreenskog razaka t : ω ϑ ϑ ϑ t t t = = Jedinica je radijan u sekundi (rad/s) ili okreta u sekundi (okr/s). Kutno ubrzanje α je veličina koja jeri brzinu projene kutne brzine: ω ω ω α = = t t t Gibanje s konstantno kutno akceleracijo se prea analogiji s linearni gibanje opisuje forulo : ϑ = ϑ0 + ω0t+ αt Prijer: vrtuljak sanjuje kutnu brzinu od 4.4rad/s na 3 rad/s tijeko sljedećih 0 okreta. Kolika je konstantna kutna akceleracija tijeko tog gibanja? Osnovna je zaisao da se ože priijeniti izraze za gibanje s konstantni ubrzanje. Neka u trenutku t 0 =0 vrtuljak ia brzinu ω 0 =4.4rad/s. Kutni poak tijeko kojeg se vrtuljak usporava ϑ = ϑ ϑ 0 = 0okreta.Vrijee za koje se usporava vrtuljak ω ω0 je t = pa se uvrštavanje dobije ω ω0 ω ω0 α ϑ ϑ0 = ω0( ) + α( ) α α Ako riješio taj izraz za kutno ubrzanje i uvrstio poznate veličine dobije se : ω ω α = = rad / s = rad / s ϑ 6.85 Veze linearnih i kutnih veličina Polazeći od geoetrijske povezanosti kuta, radijusa i luka kružnice s= ϑrkoja povezuje linearnu i kutnu veličinu, dijeljenje s vreeno se dobije : s ϑ = r t t odakle je v= ωr Ovaj izraz na govori da točke udaljenije od osi rotacije iaju veću linearnu brzinu. Slično se dobije veza linearnog ( tangencijalne koponente ) i kutnog ubrzanja : a tang =αr Radijalna koponenta linearnog ubrzanja, koja ijenja sjer linearne brzine v je : v arad = =ω r r Inercijska sila u sustavu koji rotira Ako se sustavu ijenja sjer linearne brzine, on ia radijalno ili centripetalno ubrzanje prea središtu vrtnje. Na česticu u takvo ubrzano sustavu djeluje sila koja je posljedica troosti, usjerena je od središta vrtnje i naziva se centrifugalna sila. To je prividna sila ( za razliku od sile interakcije nea para prea 3.N.zakonu ) i po iznosu je jednaka unošku ase i radijalnog ubrzanja : Fcg = ω r

34 5.Rotacija krutog tijela Prijer :sveirski brod oblika autoobilske gue (torus ) rotira odgovarajućo brzino. Astronaut u njeu je podvrgnut djelovanju sile od središta vrtnje koja je jednaka po iznosu radijalno ubrzanju torusa : R F cg = v a = rad r r =ω F ( cg )glavi ( F cg )stopalo h Zahtjev : iz fizioloških razloga razlika centrifugalne sile na stopalia i na glavi ne bi sjela biti veća od stotog dijela ubrzanja na površini Zelje : arad g 00 Ubrzanje na stopalia treba biti približno kao na Zelji, tj. g pa slijedi : 4Rπ ( arad ) stopalo = = g 4π g T = T R 4( R h) π Ubrzanje na glavi je : ( arad ) glava = = g Razlika ubrzanja na stopalia i glavi: T 4Rπ 4( R h) π 4hπ arad = astopalo aglava = = g T T T 00 4π g g Uz gornji izraz za ojer, dobije se R 00h T Za visinu astronauta od.85, izračuna se da polujer sveirskog broda ora biti veći od 85 etara da ne bi došlo do neprihvatljivog rastezanja astronauta. Kinetička energija rotacije Tijelo koje rotira razdijelio na skup čestica, izračunajo kinetičku energiju svake kao E k =/(v ) i zbrojio sve te energije da bi dobili energiju tijela : Ekin = v i i gdje je i asa i-te čestice, a v i brzina i-te čestice. Kako se te brzine razlikuju jer su čestice različito udaljene od osi vrtnje, uvedio u forulu kutnu brzinu koja je ista za sve čestice i dobijeo : Ekin = i ( ωri ) = ( r i i ) ω Izraz u zagradi opisuje raspored asa oko osi rotacije i naziva se oent troosti I, pa je kinetička energija rotacije dana izrazo ( brzina izražena u rad/s) : Ekin = Iω 3

35 5.Rotacija krutog tijela Prijer: kruto tijelo čine dvije čestice povezane s štapo duljine L i zanearive ase.kolika je kinetička energija rotacije oko osi kroz sredinu štapa, okoito na njega, ako je kutna brzina 000 okreta /in, a asa svake čestice je kg, L=0.4? L L Moent troosti je : L L L I = r i i = ( ) + ( ) = = 0.08kg 4 pa je Ekin = 0.08 (680 / 60) = 438 J Prijer :artist na žici nosi dugu otku koja u poaže u održavanju ravnoteže. Motka ia velik oent troosti jer je dosta njene ase udaljeno od središta otke.ako se artist počne prevrtati, počne se prevrtati i otka koja dobije alo kutno ubrzanje što daje vreena artistu da uspostavi ravnotežu. U slučaju da nea otku, artist povećava svoj oent troosti tako da raširi ruke. Moent sile Ako želite otvoriti vrata, znate da to ožete napraviti prijenjujući anju silu što je kvaka udaljenija od ruba vrata gdje prolazi os rotacije i ako je sjer sile okoit na ravninu vrata. To je iskustvo izraženo veličino koja se naziva oent sile,a jednaka je unošku sile i udaljenosti pravca na koje djeluje sila i pravca na koje je os rotacije ( krak sile ) : Os rotacije τ = Fr sinϕ r ϕ Sila Sjer djelovanja sile Krak sile Jedinica za oent sile je N, što dienzijski odgovara džulu, ali se nikad oent sile ne izražava u džulia. 5. Newtonov zakon za rotaciju Moent sile izaziva rotaciju krutog tijela.veza izeđu ukupnog oenta sila koje djeluju na tijelo, oenta troosti tijela i kutnog ubrzanja je dana.newtonovi zakono za rotaciju : τ ukupni = Iα gdje je kutno ubrzanje izraženo u rad/s, a oent troosti I u kg. 4

36 5.Rotacija krutog tijela Prijer :želite baciti protivnika ase 70 kg bočni judo zahvato tako da ga povučete za kiono silo F i krako sile od 0.5 od osi rotacije koja se nalazi na vaše desno boku. Želite postići kutno ubrzanje od 6rad/s (rotacija je u sjeru gibanja kazaljke na satu ).Moent troosti vašeg protivnika s obziro na hvatište na vaše boku je 5kg. U čeu je prednost protivnika prvo podići na bok, a tek onda ga potezanje rotirati i baciti na pod? Na vašeg protivnika djeluju tri sile : gravitacijska sila u središtu ase,kontaktna sila N od vašeg boka i sila potezanja F.Ako ste protivnika podigli na bok tako da u je središte ase iznad hvatišta, onda gravitacijska sila ia krak sile nula. Kontaktna sila očito ia krak sile nula.preostaje sila potezanja čiji je oent sile negativan i iznosi - F r. Ako priijenio drugi Newtonov zakon za rotaciju τ ukupni = Iα i uvrstio poznate veličine F r = Iα dobijeo : 5 ( 6) F = N = 360N 0.5 Ako protivnika ne podigneo na bok, pa gravitacijska sila ia krak sile 0. u odnosu na hvatište na boku, onda ta sila djeluje oento sile u suprotno sjeru od oenta sile potezanja pa je sad r g F r = Iα i uvrštavanje : 5 ( 6) r g = + = = F N N N N U ovo slučaju treba priijeniti skoro dvostruko veću silu, pa će karatist uvijek nastojati prvo podići protivnika na bok, a tek onda priijeniti silu potezanja. 5

37 5.Rotacija krutog tijela Kutna količina gibanja Za tijelo koje rotira oko fiksne osi i čiji je oent troosti oko te osi I, kutna količina gibanja je vektor čiji se iznos označava slovo L i jednak je: L= Iω Kutna količina gibanja u zatvoreno sustavu je očuvana veličina. Na prijeru iz slike čovjek na rotirajućoj stolici ia raširene ruke i neku kutnu brzinu. Skupljanje ruku u se sanjuje oent troosti, ali se povećava kutna brzina.tako je kutna količina gibanja ostala neproijenjena. 5.3 Uvjeti ravnoteže Vektorska sua vanjskih sila koje djeluju na tijelo ora biti nula.. Vektorska sua vanjskih oenata sila koje djeluju na tijelo ora biti nula, izjerena oko bilo koje točke. F ukupna = 0 τ ukupni = 0 Uvjet ravnoteže Prijer : Sila kojo lakat pritišće podlakticu. Njen je oent nula. Gravitacijska sila na podlakticu. Podaci : asa lopte kg; asa podlaktice sa šako kg ; težište podlaktice je udaljeno 0. od lakta; hvatište išića je 0.03 od lakta.kolika ora biti sila od išića F da bi podlaktica bila u ravnoteži? τ ukupni = g r g r F r podlaktica lopta + = F 0.03 = 0 F = 45N 6

38 6.Gravitacija 6 Gravitacija Fizika teži naći što anji broj zakona kojia se ože objasniti što veći broj naizgled nepovezanih pojava.prvo veliko ujedinjenje je zasluga Isaaca Newtona koji je 665 godine pokazao da sila koja drži Mjesec u putanji oko Zelje ia isto porijeklo kao sila koja je uzrok padu jabuke. 6.. Na leđia divova Povijest fizike je blisko vezana s astronoijo pa je zasluge za razuijevanje sile gravitacije koja oblikuje naa poznati sveir nepravedno pripisati jedno znanstveniku. Ako spoen na sve une ljude koji su povećavali ljudsko znanje o sveiru i naše jestu u njeu ostavio povijesti civilizacije, usjeriti ćeo se sao na neposredne Newtonove prethodnike. Prvi je danski astrono Tycho Brahe (546-60) koji je s do tada nezabilježenoj preciznosti 0 godina jerio položaje planeta.predložio je nebeski sustav kojeu je Zelja u središtu.pet tada poznatih planeta se gibaju oko Sunca, a Sunce s planetia oko Zelje. Paralaksa zvijezda Jeli Tycho bio u stanju priijetiti paralaksu zvijezda? Zelja u prosincu bliska zvijezda R Zelja u lipnju α = daleke,nepokretne zvijezde Ako je kutna granica koju ožeo razlučiti goli oko α, a proatrao najbližu zvijezdu iz dva položaja Zelje koji su udaljeni k, onda bi zvijezda lab koju još ožeo uočiti paralakso trebala biti udaljena anje od r = tj. α r = 60 k ili oko 6 ilijardi kiloetara Moderna jerenja pokazuju da dok se Zelja poakne od jednog do drugog položaja ( taj put svjetlost prođe za 6 inuta ) ožeo teleskopo uočiti najbližu zvijezdu udaljenu 4 godine svjetlosti pa je potrebni kut razlučivanja 6 in uta 6 6 α = 80 rad.kako je taj kut anji od kuta 4godine α = = koji je ogao postići Tycho, on nije bio u stanju priijetiti gibanje zvijezda etodo paralakse.

39 6.Gravitacija Drugi veliki astrono i ateatičar bio je Johannes Kepler.Na teelju Braheovih podataka je izveo tri zakona za gibanje planeta :.Planeti se gibaju po eliptičnoj putanji oko Sunca sa Sunce u jedno žarištu..dužina koja spaja Sunce i planet prelazi jednake površine za jednako vreensko razdoblje. 3 R 3.Ojer = kons tan ta za sve planete gdje je R srednja udaljenost planeta od Sunca T, a T je vrijee potrebno planetu za jedan obilazak oko Sunca. Kepler je tako sažeo rezultat opažanja Tycha Brahea u kopaktnu ateatičku foru, ali nije znao objasniti uzrok toj pravilnosti gibanja planeta. 6.. Opći zakon gravitacije Objašnjenje je ponudio Newton ( 64-77) kad u je bilo 3 godine. Keplerovo odbacivanje kružne putanje planeta je bilo odak od doge (vjerovanja koje nije teeljeno na opažanju ) koju su astronoi naslijedili od Aristotela.Newton satra da bi se planeti gibali po pravcu kad ne bi bilo sile koja ih tjera da se gibaju po kružnici. 4π R Sila koja djeluje okoito na sjer brzine naziva se centripetalna F =.Ako T hoćeo izbaciti T iz jednadžbe, iskoristio 3.Keplerov zakon konstanta, pa se dobije izraz : F cp = 4π K R cp T = R 3 / K, K je Dakle, sila koja prisiljava planete gibati se oko Sunca je proporcionalna asi planeta, a obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti planeta od Sunca. Zato se taj izraz koji opisuje narav sile naziva zakon inverznog kvadrata. Analogija sa silo : sloj spreja na prvoj površini A neka ia neku debljinu.onda će sloj spreja na dvostruko daljoj površini biti četiri puta tanji što bi odgovaralo četiri puta slabijoj sili.

40 6.Gravitacija Poopćenje: vrijedi li isti oblik sile i za djelovanje Zelje na jabuku ase? Ako vrijedi, onda je FZelja i jabuka = 4π KZ R gdje konstanta K Z izražava jakost Zelje kao izvora gravitacijskog privlačenja. Provjera Ako je ubrzanje jabuke na površini Zelje Mjeseca prea Zelji a F = = R Usporedbo ovih jednadžbi se dobije 4π KZ Zelja i Mjesec 4π KZ RZ F g = =, onda je ubrzanje Zelje Zelja i Mjesec a R =.Newton je znao da je g R udaljenost do Mjeseca oko 60 puta veća od polujera Zelje, pa uvrštavanje tog ojera u prethodnu jednadžbu se dobije a RZelje 3 = = ( ) =, tj. a = g =.7 0 / s. g R Zelja i Mjesec Točnost računa se ože provjeriti iz astronoskih podataka : period gibanja Mjeseca oko Zelje je 7.3 dana udaljenost Zelje od Mjeseca je k pa je ubrzanje : a 4π R = = = T ( ) s s Geoetrijska provjera se ože napraviti ako se pretpostavi da je padanje jabuke i Mjeseca jednoliko ubrzano gibanje pa je put akceleraciji ( s = at ) Ako jabuka u blizini površine Zelje u sekundi pade 4.9, Mjesec bi trebao pasti /3600 puta anje tj..4. Rastavio gibanje Mjeseca na jednoliko gibanje po pravcu s brzino R v Zelja i Mjesec π = i na padanje s ubrzanje a na putu x : T x vt Rπ n x = R + ( ) R,uz aproksiaciju ( + x) + nx 8 R = T se dobije 4π π R x = R(+ ) =.4 T T 3

41 6.Gravitacija Dobro slaganje ovih rezultata podržalo je Newtona u uvjerenju da je sila izeđu Zelje i Mjeseca iste naravi kao sila izeđu Sunca i planeta. Koja osobina utječe na konstantu K Zelje?Što određuje konstantu 4π KS kada je Sunce izvor gravitacijske sile?najjednostavnija je pretpostavka da konstanta ovisi o asaa Zelje, odnosno Sunca pa bi bilo : 4π K S = univerzalna konstanta Sunca 4π KZ = Zelje univerzalna konstanta Ta se nova konstanta naziva univerzalna gravitacijska konstanta, obilježava sa G, a 3 jerenjia se odredilo iznos od G = kg s.uz takvu oznaku Newtonov opći zakon gravitacije izeđu bilo koja dva tijela s asaa i, udaljenih za r ia oblik :. F = G r Prijer: Jupiter ia 300 puta veću asu od zelje, pa bi se oglo pretpostaviti da će tijela na njegovoj površini biti gravitacijski privučeni s 300 puta većo silo nego na zelji.ipak, tijelo ase je na Jupiteru privučeno oko tri puta većo silo. gravitacijska sila na Zelji na tijelo ase je : FZ = G R Jupitra na Jupitru na tijelo iste ase FJ = G R F J Jupitra Ako je ojer tih sila 3 onda, uz ojer asa = 300, slijedi : F Z Zelje J G FJ RJ JRZ 300R Z Z 3 = = = pa je RJ 0RZ F Z Z G ZRJ ZRJ R Z Jupiter Zelja Zelja Zadaci.Astronaut od 00 kg se spušta na planet čiji je polujer tri puta veći od polujera Zelje,a asa u je devet puta veća od ase Zelje.Akceleracija zbog gravitacijske sile koja djeluje na astronauta će biti : a)devet puta veća od vrijednosti gravitacijskog ubrzanja na Zelji b)tri puta veća od vrijednosti gravitacijskog ubrzanja na Zelji c)ista kao vrijednost gravitacijskog ubrzanja na Zelji d)trećinu vrijednosti gravitacijskog ubrzanja na Zelji..Udaljenost sveirskog broda i središta zelje je u jedno trenutku jednaka polujeru Zelje ( polijetanje ) da bi u kasnije trenutku iznosila tri polujera zelje.kako se proijenila gravitacijska sila izeđu broda i Zelje? Kako izgleda graf koji prikazuje projenu gravitacijske sile u ovisnosti o udaljenosti od središta Zelje za tijela koja se udaljavaju s površine Zelje? 4

42 6.Gravitacija 6.3.Prijena zakona gravitacije Razuijevanje plie i oseke Od velikog broja prijena izaberio objašnjenje zašto na projenu visine ora dva puta dnevno ili na pojavu plie i oseke više utječe Mjesec nego Sunce, iako je gravitacija izeđu Sunca i neke ase na Zelji skoro 00 puta veća nego gravitacija izeđu Mjeseca i te iste ase na zelji. Plia i oseka je posljedica razlike gravitacijskog privlaćenja duž projera Zelje.Ako izračunao silu na neku asu koja se nalazi na površini Zelje najbliže Mjesecu i silu na istu asu koja je u središtu Zelje i podijelio njihovu razliku s polujero Zelje odrediti ćeo stopu proijene gravitacijske sile duž Zeljinog polujera.tu veličinu nazivao gradijent gravitacijske sile.taj je gradijent anji za oko 44% za privlaćenje Sunca i neke ase na Zelji nego za Mjesec i tu istu asu na Mjesecu. Zelja S P r + R Mjesec R r Gradijent gravitacijske sile G G F FP FS r ( r+ R) = = R R R jeseca jeseca n Ako se prijeni aproksiacija ( za ali x ) ( + x) + nx dobije se : jesec a R G (+ ) F r r F = pa je onda je sec a = G 3 R R R r Usporedio li ( napravio ojer) iznose gradijenata za Mjesec i Sunce : F ( ) Mjesec R M rs 3 = ( ), pa se izračuna se uz astronoske podatke da je gradijent F ( ) S rm Sunce R veći preko dva puta za jesec što znači toliko puta veći utjecaj na pliu i oseku. 4 8 Astronoski podaci: = 70 kg; = 60 kg; r = ; r =.5 0 M S M S Sateliti 5

43 6.Gravitacija Ako ispustio kaen, on pada na tlo vertikalno prea dolje. Ako usto ia i početnu brzinu u horizontalno sjeru, kaen se giba po zakrivljenoj putanji, većeg radijusa zakrivljenosti što je brzina veća. Donja slika prikazuje izvornu Newtonovu skicu.ako bi početna brzina bila dovoljno velika kaen pada po putanji čiji je radijus zakrivljenosti postao jednak radijusu Zelje.Kaen je postao Zeljin satelit (pratitelj).brzina u horizontalno potrebna za gibanje oko Zelje je.kozička brzina i jednaka je v= gr 9000 k/ h.to se dobije iz izraza Fcetrip = Fgravit, ali se ože zaključiti iz geoetrijskog rezoniranja.naie, kako se Zelja zakrivi prea dolje za oko 5 na svakih 8000, to onda tane treba iati početnu brzinu od 8k/s jer u sekundi s to brzino pređe 8 k, a zbog gravitacije pade za 5. Period jednog obilaska satelita oko Zelje iznosi oko 90 inuta. Druga kozička brzina je brzina potrebna za potpuno odvajanje od Zelje.Dobije se iz uvjeta da se kinetička energija koju treba dati satelitu ( Ek = v ) zajedno s GM Z potencijalno energijo na površini Zelje ( E p = ) pretvori u potencijalnu R gravitacijsku energiju koja je prea dogovoru u beskonačnosti E p = 0.Kako je kinetička energija u velikoj daljini nula, prijeno očuvanja energije se dobije iznos GM.kozičke brzine v= =. k/ s.obrnuto, predet npr. eteor koji dolazi R iz sveira ože pasti s brzino koja be ože biti veća od.k/s. Kako gravitacija ože pooći sveirsko brodu da dođe do npr. Saturna? Modul Cassini ase 5650 kg, lansiran g. pooću rakete Titan-4, bi trebao nakon 6.7 godina i skoro 4 ilijarde k puta stići do planeta koji je deset puta dalje od Sunca nego Zelja.Niti najbolje današnje rakete ne ogu dati odulu dovoljnu kinetičku energiju da ode dalje od Venere, Marsa i Jupitera, koje je NASSA istražila.uz pooći sile gravitacije, Cassini će dobiti dovoljno energije da istraži i najdalje planete. Zaisao je da se odul približi neko planetu, poveća u brzinu, ali ipak dovoljno daleko da odul ne ostane zarobljen u gravitacijsko polju planeta.trebati će gorivo sao do prvog planeta, a poslije je put Cassinija besplatan. 6

44 6.Gravitacija 7

45 7 Krute tvari i fluidi 7 Krute tvari i fluidi Atoska hipoteza Materija je građena od atoa.u prirodi ia 90 različitih vrsta atoa. Ujetnih atoa, stvorenih u laboratoriju, ia 6. Izeđu atoa poznatog sveira vodika ia 90%.Ljudi su građeni od pretežno četiri eleenta : ugljika, vodika, kisika i dušika. Koji su dokazi o postojanju atoa? Prvi dokaz je posredan. Brown je 87 g. proučavao gibanje čestice polena pod ikroskopo. Nepravilno gibanje čestice je objasnio sudaria s nevidljivi atoia.neposredni dokaz je sniak pojedinačnog atoa učinjen 970 g. pooću elektronskog ikroskopa (Albert Crewe).Spajanje atoa nastaju olekule. Stanje aterije Materija postoji u četiri stanja :kruto, tekuće,plinovito i u obliku plaze. U svi stanjia sa atoi i olekule neprekidno gibaju.u kruto stanju se gibaju oko fiksnih položaja. Povećanje energije se olekule razdvajaju i titraju ali više ne oko stalnih položaja.oblik aterijala nije stalan i nastaju tekućine.uz još dodane energije aterija prelazi u plin.tekućine i plinovi se zajedno nazivaju fluidi. Dodavanje energije raste teperatura plina.elektroni se razdvajaju od jezgri i nastaje plaza. 7. Krute tvari Svojstva krutih tijela se ogu objasniti iz njihove građe.mnoge krute tvari iaju kristalni oblik.pravilna građa nekih tvari je potvrđena 9 g. pooću rentgenskih ili x-zraka. Atoi u kristalu su vrlo blizu, udaljeni 3-0 Å. Čine pravilne oblike koji se nazivaju kristalne rešetke.atoi koji titraju oko stalnog položaja vezani se električni vezaa. Kristalna rešetka dijaanta (C) Kristal kalcijevog karbonata (CaCO 3 ) Mjera kopaktnosti aterije je gustoća. To je naziv za ojer ase i voluena koada aterijala ρ =. Najgušći aterijal na Zelji je osij (.48 g/c 3 ). V Pojedinačni ato osija ia asu anju od atoa zlata ili urana,ali je gušće složen. Ako na kruto tijelo djeluje vanjska sila ože u proijeniti oblik ili voluen. Elastičnost je svojstvo tijela da vrati prvotni oblik ili voluen nakon prestanka djelovanja vanjske sile. Iznos elastičnosti npr. opruge se jeri elastično silo F koja je prea Hookovu zakonu proporcionalna produljenju opruge x : F = k x gdje je k konstanta opruge ( veća konstanta označava veću elastičnost ), a znak inus ukazuje da je elastična sila kojo se tijelo opire proijeni oblika suprotnog sjera od produljenja.

46 7 Krute tvari i fluidi Skaliranje ili projena svojstava tijela s projeno veličine Ova tea je digresija ( zastranjenje) od osnovne priče o stanju tvari i opravdati ćeo je didaktički razlogo da se teeljne zaisli spoenu u što veće broju prilika. Teeljna zaisao je ojer tj. broj koji kaže koliko onoga u brojniku razloka stane u jedinični iznos onoga što je u nazivniku.dobro znani prijer je broj π koji je ojer opsega bilo koje kružnice O s njegovi projero D : O π = D Prijer:ako je polujer Zelje R=6370 k onda je uže oko ekvatora dugo O=Rπ. Koliko bi orao biti dulji konop ako bi ga svugdje podigli na štap visok etar? Zadatak je jednak pitanju za koliko bi se povećao opseg kružnice kojoj je polujer veći za od polujera Zelje.Intuitivno na se ože činiti da bi se opseg kružnice znatno povećao. Izračunajo projenu opsega O : O= O O = Rπ Rπ = π( R R ) Ujesto uvrštavanja polujera Zelje R, računanja povećanog polujera R =R + =6370 k + gdje bi trebali pretvarati etre u k, treba sao uočiti da je R-R= pa je projena opsega O= π = 6.8. Jedno lice u Galilejevo djelu «Dvije nove znanosti» kaže : «Dakle, kako u geoetriji saa veličina ne stvara oblik, isli da se svojstva kružnica, trokuta, valjaka i drugih geoetrijskih tijela neće proijeniti projeno veličine» Fizičar u odgovara : «Općenito išljenje je u ovo slučaju potpuno pogrešno «. Razotrio nekoliko prijera proijene ponašanja s projeno veličine : rav ože nositi teret koji znatno preašuje njegovu težinu, dok velike životinje (također i čovjek ) to nije u stanju noge gazele su nesrazjerno tanje nego bizona (srodna, veća životinja iz porodice jelena ) vjeverica ora stalno jesti da nadoknadi toplinu dok velika životinja jede jedan put dnevno. Sve ove prijere ožeo razujeti prijeno poja ojera.pokažio to na prijeru nesrazjernog povećanja debljine nogu životinja s povećanje veličine. Modelirajo životinju s kocko duljine brida L, a noge stupo poprečnog presjeka oblika kvadrata stranice d :. L L d kd

47 7 Krute tvari i fluidi Neka se linearna dienzija L trostruko poveća.ako je debljina noge d, kolika je debljina noge trostruko veće životinje? Kako su kosti životinja građene od istog aterijala, granični tlak nakon kojeg kost puca je isti bez obzira na veličinu. Tlak je ojer težine životinje (~L 3 ) i površine presjeka noge (~d ) : 3 težina L p = površina d Za trostruko veću životinju je taj ojer : 3 težina (3 L) p = površina ( kd) Konstanta k će pokazati za koji faktor je deblja kost veće životinje. Iz zahtjeva da je granični tlak koji ože podnijeti kost isti dobije se : 3 3 L (3 L) = k = 5. d ( kd) Dakle, iako je bizon tri puta veća životinja od gazele, njegove su noge više od pet puta deblje.to bizona čini anje pokretljivi u odnosu na gazelu. Prijer : visina do koje skoći životinja je neovisna o njenoj veličini. Životinja skače tako što gura pod, a pod prea 3.Newtonovo zakonu gura nju prea gore.iznos te sile ovisi o jakosti išića noge koja raste s presjeko išića pa ako silu poak L(duljina noge) označio s F, a duljinu noge s L ožeo ustvrditi da je F L.Masa je, pak, guranja životinje razjerna s L 3. Ako sila F djeluje na životinju ase tijeko poaka dok se noge ne isprave (koji je približno razjeran s L), životinja se giba jednoliko ubrzano i postigne brzinu v 0 koja je neovisna o veličini L : F L v 0 ax x L konstanta 3 L Prijer : grijanje je efikasnije u veliki stabeni zgradaa nego u saostojeći kućaa.energija za grijanje je razjerna voluena prostorije ( L 3 ),gubitak energije je razjeran površini prostorija ( L ).Ojer izgubljena energija/energija za grijanje je razjeran s /L (L /L 3 ). Riječia interpretiran, ojer pokazuje koliko se energije izgubi kroz zidove u okolinu na svaku jedinicu potrošene energije ( drva, el. struja ).Kako je ojer obrnuto razjeran duljini nastabe L, ožeo reći da rasto veličine stabene zgrade opada izgubljena energija po jedinici uložene energije, pa je grijanje efikasnije u većoj nastabi. Prijer 3 : zašto ale životinje neprekidno jedu? Potrebna energija za etaboliza dobija se iz hrane, a proporcionalna je veličini organiza tj. L 3. Gubitak energije u obliku topline razjeran je površini organiza tj. L. Ojer : toplina predana okolini L 3 energija iz hrane L L izražava pojavu da će anja životinja ( anji L, pa je /L veći broj ) izgubiti više energije po svakoj jedinici unesene ( pojedene hrane ) i da bi nadoknadila taj gubitak, neprestano jede. 3

48 7 Krute tvari i fluidi 7. Tekućine U tekućinaa olekule nisu ograničene na stalni položajia, ali su blizu jedna drugoj, pa ih je teško sabiti.tekućina u posudi djeluje silo F na stjenke posude F površine S, stvarajući tako tlak p = [ Pa]. Jedinica za tlak je pascal (Pa). S Hidrostatski tlak je posljedica težine tekućine i jednak je p = ρ g h gdje je ρ gustoća,a h dubina tekućine. Tlak ne ovisi o voluenu tekućine tako da je tlak na branu isti neovisno zatvara li ocean ili usku posudu jednake dubine.također ne ovisi o obliku niti veličini površine tekućine. h h h p = ρ gh Tlak u tekućini djeluje u svi sjerovia. To je Pascalov zakon.tekućina u posudi tlači stjenku okoito na stjenku i to tako da tlak raste s dubino. Uzgon je sila koja djeluje prea gore na tijelo uronjeno u tekućinu ( također i u plin ),a iznosi Fuzgona = ρtekućine g Vuronjenog djela tijela.kada tijelo pliva? Uvjet plivanja je da sila uzgona bude jednaka gravitacijskoj sili na tijelo : ρ gv = ρ gv tek uronj tijela cijeli a to će biti ako je gustoća tekućine jednaka ili veća od gustoće tijela koje pliva. Brod pliva, ada je napravljen od željeza gustoće 7.6 puta veće od gustoće vode zato što zbog svog oblika ia srednju gustoću ( gustoća zraka i gustoća željeza )anju od gustoće vode. U = ρ tek gv U = ρ gv tek Željezni brod tone Centar ase G = g G = g Hidraulička preša je stroj koji poveća priijenjenu silu. Ako vanjska sila djeluje na anju površinu u jedno cilindru preše pojavi se veća sila na većoj površini drugog cilindra.to je zato što se projena tlaka u jedno dijelu fluida, prea Pascalovo zakonu, prenosi u sve njegove dijelove.silo od 0 N koja djeluje na površini A, postiže se sila od 00 N ( podiže teret od 0 kg ) na deset puta većoj površini.. kg A 0A 0kg F F p = p pa je = A A A A 0A F = F = 0N = 00N A Zbog zakona o očuvanju energije F x = const sila F djeluje na 0 puta anje putu. 4

49 7 Krute tvari i fluidi 7.3 Plinovi U plinovia su privlačne sile eđu olekulaa slabije nego u tekućinaa.molekule se gibaju nasuično, sudaraju eđusobno i sa zidovia posude u kojoj se nalaze, ali bez proijene iznosa brzine (elastični sudari ). Plin u koje se ogu zaneariti privlačne sile naziva se idealni plin. Zrak pri noralni uvjetia je idealni plin.plin se širi neograničeno, osi ako ga gravitacijska sila ne drži, kao što je slučaj s atosfero Zelje. Atosfera ne bi postojala kad bi na olekule zraka djelovala sao gravitacijska sila već bi plin ležao pri površini Zelje u sloju od oko 0 etara.ali, zbog radijacijske energije koju daje Sunce, olekule zraka se gibaju do oko 30 k iznad tla.prito je zrak sve rjeđi što je dalje od Zelje.Čak se i u eđuzvjezdano prostoru ože naći po olekula u 3 prostora, uglavno vodika. Do visine od 5,6 k je 50% atosfere, do k je 75 % atosfere, do 7.7 k je 90%, a do visine od 30 k se nalazi 99% atosfere. Zrak čini 78.08% dušik, 0.95% kisik,0.93% argon i 0.03% ugljični dioksid. Atosfera stvara tlak zbog težine zraka. Stupac zraka visine atosfere,osnovice ia težinu od 0000kg.Taj se tlak na dnu stupca definira kao atosfera ( at=0 5 N/ ). Ako je tlak atosfere na orskoj razini p 0, onda je na visini h tlak dan baroetarsko forulo, u kojoj je asa jedne olekule, k je Boltzannova konstanta koja iznosi 3 k =.38 0 J / K, T je teperatura u 0 K.Na prijer, ako je tlak p0=760 Hg, pri teperaturi od K na visini od 500 etara je tlak 78 Hg Hg = at = 0 N = 0 Pa = 760torr Uređaj za jerenje atosferskog tlaka se naziva baroetar. Sastoji se od cijevi napunjene tekućino, obično živo,s otvoreni kraje uronjeni u posudu s živo. Na površinu žive u posudi djeluje atosferski tlak koji se prenosi u cijev i podiže živu do visine h dok se njen hidrostatski tlak ( p = ρ g h) ne izjednači s atosferski. Na vrhu cijevi je vakuu koji ne tlači na živu. Visini h=760 odgovara standardni tlak (0 0 C na razini ora).taj se tlak ože izraziti i drugi jedinicaa za tlak : Unutar katodne cijevi tlak je 0-6 torra.na udaljenosti od 500 k od Zelje ( područje ujetnih satelita ) je tlak 0-0 torra. 5

50 7 Krute tvari i fluidi Plinski zakoni opisuju stanje plina i projenu stanja pooću četiri epirijske terodinaičke veličine : teperature plina T izražene u Kelvinovoj ljestvici, voluena plina V, tlaka plina p i količine plina izražene kao broj čestica plina N ili kao broj ola n. Opći plinsko zakon je oblika: pv = NRT = nkt gdje je R oznaka za opću plinsku konstantu R=8.3 J/ol K, a k je Boltzannova konstanta.ako se stanje plina ijenja uz stalnu teperaturu, taj zakon ia oblik : pv = konstanta i naziba se Boyl-Mariottov zakon. Prijer: kad bi ronilac na dubini od 0.3 udahnuo sabijeni zrak iz boce i držao ga u plućia dok ne izroni na površinu, koliko bi se povećao voluen pluća? Ako pretpostavio da se teperatura ora nije ijenjala od dubine od 0.3 do površine, onda projenu stanja zraka u plućia ožeo opisati Boylovi zakono. plučne alveole Slika prikazuje plućne jehuriće, alveole, koje se šire pri udisaju od projera otprilike 0.05 do oko 0.. U slučaju ronioca iz gornjeg prijera unožak tlaka i voluena u plućia ora ostati stalan: p V = p V pa ako je tlak na dubini od površini površini p0.3 = p0 + ρ gh= p0 + ( ) Pa = p0,a na površini p 0, onda je V / V = p / p =, dakle voluen pluća bi površini površini narastao dvostruko. Očito je da naglo izranjanje u koje ronilac nea vreena ispuhati zrak čak i sa tako ale dubine ože biti vrlo opasno jer su alveole već pri udisaju bile raširene i dalje se ne ogu znatno širiti već pucaju. Bernoullieva jednadžba U toku fluida ( tekućine ili plina ) gdje nea izjene energije s okolino zbroj kinetičke energije fluida, energije vezane s statičko tlako ( za tekućine je to hidrostatski tlak ) i potencijalne gravitacijske energije fluida je stalan. v Izraženo jednadžbo Fx + + gh = konstanta, u kojoj je F sila zbog statičkog tlaka koji djeluje duž poaka x fluida, je asa fluida, v njegova brzina, h je visinska razlika u gravitacijsko polju. Ako tu jednadžbu podijelio s volueno fluida, dobijeo gustoću energije. Uočavanje da je /V gustoća fluida,a Fx/V statički tlak fluida ova jednadžba popria oblik : p+ ρv + ρgh= konstanta Kad fluid ulazi iz šire cijevi presjeka A u užu cijev presjeka A zbog nestišljivosti tekućine ( dakle za isti vrijee voluen Svt ora proći kroz cijevi različitog presjeka) se ora povećati brzina fluida. Ako se, pak, brzina fluida povećala, prea Bernoullievoj jednadžbi,ora opasti statički tlak. Zato u na jestu veće brzine tlak pada i ta se činjenica koristi da bi se djelo objasnilo nastanak sile dizanja koja oogućava da avion ne padne pri letu ili za objašnjenje zakretanja lopte koja se giba u zraku, a uz to rotira. 6

51 7 Krute tvari i fluidi Bernoulliev efekt Objašnjenje sile dizanja pooću Bernoullievog pojava se ože teeljiti na silnicaa : gdje su silnice fluida prikazane gušće hoće se naznačiti veća brzina fluida i anji statički tlak. Npr. sila koja podigne krov nastaje jer je brzina fluida veća s gornje strane krova nego s donje, gdje je fluid u irovanju. Razlika tlakova ne ora biti velika, ali djeluje na veliku površinu pa je sila dizanja velika. Strujnice zraka pri krovu Objašnjenje dizanja aviona pooću Bernoullieva pojava je prihvatljivo ako presjek krila aviona ia nesietričan oblik : Presjek avionskog krila Može se pokazati da će i sietrična ploha letjeti ( pojavi se sila dizanja ) ako je kut napada α različit od nula.dakle, sila dizanja aviona je rezultat reakcije na guranje olekula zraka prea dolje ali je pojačana nesietrični obliko avionskog krila. 7

52 7 Krute tvari i fluidi Zadatci.Hoće li osoba dva puta veće ase orati upotrijebiti dva puta više kree za zaštitu od Sunca ako se aže po cijeloj površini tijela? 3 3 Uputa: koristio podatak da je / = ( L / L) = L / L =. Ojer površina pokazuje ojer potrebne kree S S = L L < 3 / ( / ) 4.5.Kako objasniti da su stanice kita jednako velike kao stanice iša? Zadatak je prijena zaisli o skaliranju da se odredi ojer KOLIKO hrane ulazi u stanicu proceso osoze ( površini L ) PO jedinici ase životinje ( voluenu L 3 ) i ustanovi kako taj ojer ovisi o linearnoj dienziji životinje L.Kako je ojer površina tj opada za veće životinje, pa sve anje voluen L hrane ulazi u stanicu, a ona to rješava dijeljenje na dvije anje stanice koje za istu asu iaju na raspolaganju više površine kroz koju ulazi hrana u stanicu. Osoza je pojava prijenosa olekula vode i nekih drugih sastojaka kroz ebranu ili opnu koja je polupropusna ( ona propušta olekule vode u stanicu ali ne i u obrnuto sjeru), pa u stanici raste tlak ( osotski tlak ). 3.Podornica je oštećena na dubini od 80 etara.članovi posade pokušavaju izaći vani tako da podižu poklopac otvora površine.. sa 0.7. Ako je gustoća ora 04 kg/ 3, koliko silo treba gurati poklopac da bi ga se poicalo? 4.Tijelo oblika kocke duljine brida L=0.5 visi na niti i uronjeno je u ore gustoće 05 kg/ 3 s gornjo površino na dubini od 5 c.ako je asa tijela 400 kg, kolika je napetost niti. Uputa: na tijelo djeluje prea dolje gravitacijska sila, a prea gore uzgon i sila od niti tako da tijelo iruje. To je Arhiedov princip da je tijelo uronjeno u tekućinu prividno anje težine ( to pokazuje sila od niti na tijelo, koja je anja nakon uranjanja) za iznos težine tekućine koju je tijelo istislo. 5.Kolika je brzina zraka v na gornjoj strani krila aviona i kolika je asa aviona ako je brzina na donjoj strani krila v = 00 /s, a nastala sila dizanja održava avion u zraku? Razlika tlaka na donjoj i gornjoj plohi krila je p =800 Pa,a površina avionskih krila je A=40.Gustoća zraka je g/ c 3. p Uputa : p = p p = ρv ρv v = + v 0,3 / s ρ Gravitacijska sila na avion g ora biti jednaka sili dizanja p A. 8

53 8 Titranje 8 Titranje Titranje je gibanje koje ponavlja sao sebe tako da se tijelo koje titra nakon vreenskog razaka t=t nađe na isto jestu staze s isto brzino. Veličina koja opisuje takvo gibanje je frekvencija, obilježava se sa f i znači broj titraja u jednoj sekundi.jedinica za frekvenciju je hertz ( Hz ) : Hz = titraj u sekundi=s Povezan s frekvencijo je period gibanja, a znači vreenski razak potreban za jedan titraj : T = [ s] f 8. Jednostavno haronijsko gibanje Bilo koje gibanje koje ponavlja sebe u pravilni razacia naziva se periodično gibanje ili haronijsko gibanje. Jednostavno haronijsko gibanje je posebna vrsta periodičnog gibanja, gibanje ao tao koje izaziva sila proporcionalna poaku ( otklonu ) iz ravnotežnog položaja.može se pokazati povezanost gibanja po kružnici s stalni iznoso brzine i jednostavnog haronijskog gibanja : jednostavno haronijsko gibanje je projekcija jednolikog gibanja po kružnici na projer kružnice po kojoj se tijelo giba. y x P ωt + ϕ P x Kutni položaj u neko trenutku je određen s kuto ωt + ϕ, gdje je kut ϕ kutni položaj u trenutku t=0.projekcija položaja tijela P na x os je točka P koja određuje položaj x(t).ako je polujer kružnice x, onda je : xt () = x cos( ωt+ ϕ) Kako se cos funkcija ijenja od do +, to se poak x(t) ijenja od aksialnog poaka ( aplitude ) lijevo od ishodišta do aksialnog poaka desno od ishodišta. Veličina x se naziva aplituda gibanja, x(t) je poak, ωt + ϕ je faza gibanja, a ϕ je fazna konstanta ili fazni kut, ω se naziva kutna frekvencija ili kutna brzina π jer se definira ω = = π f.jedinica za kutnu frekvenciju je radian u sekundi s T Može se pokazati da je brzina tijela koje se giba jednostavno haronijski : vt () = ω x sin( ωt+ ϕ) dok je ubrzanje tijela dano izrazo : at () = ω x cos( ωt+ ϕ) = ω xt () tj. ubrzanje je proporcionalno poaku ali suprotno po sjeru, a konstanta proporcionalnosti je kvadrat kutne frekvencije. x() t

54 8 Titranje Titranje opruge O x Ako se opruga rastegne iz ravnotežnog položaja ( nerastegnuta opruga ) u točki O ( tu je x=0) do položaja x, na oprugu djeluje povratna sila F=-kx.Ta sila će biti uzrok ubrzanja za kojeg so rekli da je a = ω x.kobinirajući.newtonov zakon sa izrazia za povratnu silu i ubrzanje dobije se : F = a kx = ω x pa je k = ω Kutna frekvencija je povezana s konstanto opruge i aso opruge ω = k, a iz te π se forule i izraza ω = dobije za period jednostavnog oscilatora : T T = π k Prijer :neka tijelo sa gornje slike ia asu 00 graa, a konstanta opruge je k=0 N/. Tijelo se povuče iz ravnotežnog položaja ( tu je x=0) za 5 c i pusti.taj trenutak odabereo da je t=0. Gibanje tijela neka je bez trenja. Koja je kutna frekvencija gibanja, frekvencija, period, aplituda, iznos najvećeg ubrzanja, fazna konstanta i izraz za poak tijela vezanog za oprugu? Teeljna zaisao je da tijelo vezano za oprugu čini jednostavni haronijski 0 / oscilator kutne frekvencije ω = k N 0 rad / s = 0.kg =.Onda je frekvencija 0 rad / s f = ω.59hz π = πrad =, a period je T = 0.63s f =.59Hz =. Aplituda odgovara početno položaju x = 5c.Najveće ubrzanje je pri najveće poaku pa je a = ω x = (0 rad / s) 0.05= 5 / s.uvrštavajući početni uvjet ( za t=0 je x(t)=x ) u izraz za poak dobije se fazna konstanta x = xcos( ω 0 + ϕ) cosϕ = pa je φ=0 rad. Izraz za poak je: x( t) = x cos( ωt+ ϕ) = (0.05 )cos(0 rad / s) t,tj. x() t = 0.05cos0t.

55 8 Titranje 8. Računanje gibanja tijela na opruzi etodo diferencijskih jednadžbi Opis pooću diferencijalnih jednadžbi Sisteatski pristup rješavanju gibanja oscilatora ( odrediti poak, brzinu i ubrzanje ) je napisati.newtonov zakon, uvrstiti izraz za povratnu silu F = kx, dobiti d x d x diferencijalnu jednadžbu kx = koja se preuredi u oblik + ω x = 0 (gdje je dt dt k ω = ) i riješiti je etodo razdvajanja varijabli tako da je poak dan izrazo dx dv xt () = x cos( ωt+ ϕ), brzina vt () =, ubrzanje at () =. dt dt Takav pristup koji oogućava naći poak u bilo koje trenutku ( a onda i brzinu i ubrzanje) potpuno zadovoljava u slučaju kad nea trenja. Ali, ako na tijelo djeluju sile složene ovisnosti o položaju, brzini i karakteristikaa tijela, ože se dobiti diferencijalna jednadžba koju nije oguće riješiti.u to slučaju se koristi pristup diferencijskih jednadžbi, koji so deonstrirali u prijeru gibanja tijela u gravitacijsko polju. Opis pooću diferencijskih jednadžbi v Krenio od.newtonovog zakona gibanja : F = a = i uvrštavanje izraza za t povratnu silu (elastičnu silu opruge) koji je F = kx dobijeo diferencijsku k jednadžbu v = x t.to je projena brzine tijeko intervala t zbog djelovanja povratne sile. Tijelo se, jer ia brzinu v, tijeko tog intervala poakne za x= v t. Novi položaj i nova brzina su : k xnovi = xstari + x = xstari + vstara t vnova = vstara + v = vstara xstari t Prijer : gibanja tijela ase 00 g vezano za oprugu konstante k=0 N/, razaknutog iz ravnotežnog položaja za 5 c i u puštenog u trenutku t=0. Položaj računati svakih 0.0 s.trenje zaneariti..korak : x = = 0 x novi = = v = ( ) = v = 0 + ( 0.05) = nova a = 0.05 =.5 0..korak : x = = 0.00 x = = novi 3.korak x = = 0.00 x = = novi 0 v = ( ) = v nova = = 0. 0 a = = v = ( ) = v nova = 0. + ( 0.049) 0.5 a = = korak x = = x = = novi 0 v = ( ) = v = ( 0.047) 0. nova 0 a = =. 0. 3

56 8 Titranje korak trenutak položaj brzina ubrzanje Egzaktno rješenje ovog oscilatora x( t) = 0.05cos 7.07t.U trenutku t=0.08s bi poak bio x(0.08)=0.04 c što je dobro slaganje s nuerički rješenje. 0,05 0,04 x( t) = 0.05cos 7.07t poak() 0,03 0,0 0,0 0,00 0,00 0,0 0,04 0,06 0,08 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 0,0 0, 0,4 vrijee(s) Ljubičasti kvadrati na slici označavaju položaje tijela izračunate etodo diferencijskih jednadžbi ( korak po korak ).Crvena krivulja je prikaz funkcije k 0 kosinus s aplitudo 0.05 i kutno frekvencijo ω = = = 7.07 rad / s. Energija oscilatora Da bi rastegli oprugu za poak x od ravnotežnog poaka, trebalo je savladati elastičnu silu i izvršiti rad. Taj rad odgovara površini (trokut sa stranicaa poak i sila ) ispod grafa sila-poak F W = F x = k x x = kx zbog kojeg se poveća F = kx potencijalna energija opruge za jednaki iznos.kad je opruga najviše rastegnuta, ia aksialnu potencijalnu energiju E p = kx. x Prijena odela titranja ase na opruzi je raznolika : -atoi u kruto tijelu titraju kao da su ase povezane oprugo konstante k -titranje zgrada, ostova i bilo kojeg ehaničkog sustava ože se prikazati odelo titranja ase na opruzi -titranje naboja u električno titrajno krugu -varijacija akustičnog tlaka u glazbeno instruentu

57 8 Titranje Gušeno gibanje opruge Svaki realni sustav pa i opruga gubi energiju zbog trenja tako da jedno pobuđena, ne titra stalno s isto aplitudo. Aplituda se sanjuje i nakon određenog broja titraja pade na nulu.ako je sila trenja proporcionalna brzini oscilatora F = k x, gdje je k konstanta gušenja onda diferencijska jednadžba gibanja ia oblik : x v kx k = t t Metodo korak po korak se nuerički rješava položaj i brzina gibanja oscilatora isto kao za gibanje opruge bez trenja.projena brzine je sad dana izrazo : kx k v v = t 8.3 Prisilno titranje i rezonancija Gušeno gibanje opruge Razlikujeo prirodno ili slobodno titranje od prisilnog titranja. U prvo slučaju se oscilator poakne iz ravnoteže u početni položaj i pusti saostalno titrati ( oguće ga je i gurnuti s početno brzino ).Ako nea gušenja on titra sa svojo prirodno ili vlastito frekvencijo ω. U drugo slučaju vanjska periodična sila na neki način djeluje na oscilator npr. guranje djeteta koji sjedi na ljuljački. dx d x Jednadžba gibanja ia oblik kx + k + = F 0 cosωt gdje je ω frekvencija dt dt pobudne sile, a F 0 njena aplituda. Rješenje ove diferencijalne jednadžbe se sastoji od dva člana od kojih prvi opisuje kako se ijenja položaj oscilatora tijeko prelaznog razdoblja dok drugi opisuje gibanje poslije toga s frekvencijo pobude. Krivulja koja pokazuje odgovor ( iznos aplitude) oscilatora na projenu frekvencije sile pobude naziva se rezonantna krivulja. Aplituda je najveća kad je frekvencija sile pobude ω jednaka vlastitoj frekvenciji oscilatora. Pojava da oscilator pria iz okoline najviše energije naziva se rezonancija. Prisilno titranje ože biti štetno i nastoji ga se izbjeći ( gibanje otora pobuđuje na titranje ostale dijelove auta, vjetar djeluje na građevine, opetovano savijanje etalnih dijelova izaziva zaor aterijala i pucanje ), ali ože iati i povoljan učinak ( pobuda olekula vode u hrani u ikrovalnoj pećnici,elektroagnetska pobuda električnog napona u anteni ). Faktor dobrote Q je kvantitativna jera sklonosti sustava da prii energiju iz okoline i približno označava broj titraja koji oscilator 5

58 8 Titranje napravi dok sva energija ne pređe na okolinu nakon što se pobudi i ostavi saostalno titrati.može se izračunati iz izraza : ω0 Q = ω gdje je ω vlastita frekvencija oscilatora, a njene visine. ( x / x ) ω je širina rezonantne krivulje na pola ω ω 0 ω Niske vrijednosti faktora dobrote su vezane s jako gušeni oscilatoria, koji se uiri vrlo brzo nakon prestanka djelovanja pobude. Takav je slučaj s ovjeso auta ( aortizeri ) koji preuzia energiju pobude npr. neravnine na cesti i nakon jednog titraja se uiri.visoke vrijednosti pokazuju slabo gušenje i usku rezonantnu krivulju. To su oscilatori koji se ne pobuđuju ni na kojoj frekvenciji osi na rezonantnoj (onda snažno) i nakon pobude dugo titraju. Prijer je žica gitare koja napravi oko 000 titraja nakon pobude. Malo tijelo ase obješeno na niti duljine l zanearive ase naziva se ateatičko ili jednostavno njihalo.njihalo je oscilator koji se giba kao jednostavni titrajni sustav kad ga se odakne iz ravnotežnog poaka za ale 0 kutove ( ϕ < 5 ).Period njihala se izračuna prea foruli : T = π l g Zadatci.Pri sobnoj teperaturi atoi nekog krutog tijela jednostavno haronijski titraju s frekvencijo od 0 3 Hz s aplitudo od 0.Ako je asa pojedinačnog atoa 0-5 kg, a veličina atoa oko 0-0 a) koji je ojer ove aplitude i veličine atoa b) kolika je vrijednost konstante k ako silu izeđu dva atoa odelirao kao elastičnu silu opruge c)kolika je ukupna energija atoa. 0 k a) oj er = = = % b) f = k = 4π f = 400 N / π.artist sjedi na trapezu i giba se ao tao s periodo od 8 s. Ako se artist uspravi i nastavi oscilirati podižući tako središte ase sustava artist +trapez za 40 c, koliki je novi period titranja sustava? Satrajte sustav artist +trapez ateatički njihalo. l T g T = π l = = 5.9.Skraćivanje duljine njihala, period će se sanjiti. g 4π ϕ napetost niti (T) g 6

59 9.Valovi 9 Valovi Poja čestice i poja vala su dva značajna, suprotstavljena fizikalna poja klasične fizike.riječ čestica označava koncentriranu nakupinu tvari koja ože prenositi energiju, val označava široko raspodijeljenu energiju koja ispunjava prostor kroz koji se prenosi.u prvih osa poglavlja so proučavali ponašanje čestica. Slijedi proučavanje valnih svojstava. 6.. Vrste valova Val je poja koji označava prenošenje energije i inforacija kroz prostor. Nikakva tvar se prito ne prenosi od jesta do jesta kao u slučaju gibanja čestica. Valovi se dijele na ehaničke,elektroagnetske i valove aterije..mehanički valovi Morski valovi koje je susreo US brod Raapo 933g. u izuzetnoj oluji. Valove zvuka čini varijacija tlaka oko atosferskog tlaka na neko jestu u zraku. Seizički valovi Svi se ti prijeri ogu opisati Newtonovi zakonia i postoje u elastično sredstvu kao što je zrak,stijena ili voda.brzina širenja i ovisi o sredstvu.

60 9.Valovi.Elektroagnetski valovi Prijer tih valova su vidljiva i ultraljubičasta svjetlost, radio i TV valovi,ikrovalovi, rentgenske ili x-zrake i radarski valovi. Elektroagnetski valovia ne treba aterijalno sredstvo da bi postojali i prenosili energiju. U vakuuu svi iaju istu brzinu koja se naziva brzina svjetlosti : c = / s. 3.Valovi aterije To su valovi povezani s eleentarni česticaa kao što su elektron ili foton ili s osnovni česticaa od kojih je izgrađen tvarni svijet kao što su atoi ili olekule. Zaisao o valovia aterije ujedinjuje dvije suprotstavljene zaisli u opisu aterije.slika predstavlja odel elektronskog vala zarobljenog u atou. Elektron je čestica koja ia asu i količinu gibanja, ali uz njega povezujeo val aterije čiji kvadrat aplitude opisuje vjerojatnost da se elektron nađe na neko jestu unutar atoa. Model vala Pretpostavio niz haroničkih oscilatora povezanih elastični silaa : njihala opruge Njihaje ili titranje jednog oscilatora se prenosi na susjedni oscilator, s njega na daljnji itd. Pojavu širenja pobude (poreećaja ) u elastično sredstvu nazivao elastični val.

61 9.Valovi Gornja slika s nizo opruga pokazuje longitudinalni val gdje se poreećaj ( zgušćaj ili razrjeđaj ) čestica zbiva u sjeru širenja vala u sredstvu. Prijer takvog vala je zvuk gdje se titranje neke površine prenosi na okolinu o obliku proijene tlaka. Transverzalni val je pojava gdje je titranje izvora okoito na sjer širenja. Kratka pobuda stvara puls npr. u vodi ako se baci kaen. Jednadžba haronijskog vala Poak kad haronijskog titranja opisan je funkcijo yt () = y cos( ωt + ϕ).ako odabereo da je ϕ = 0, onda ta funkcija opisuje poak oscilatora duž osi y čije se titranje širi kroz elastično sredstvo duž osi x. Ako je brzina prijenosa pobude stalna u cijelo sredstvu, onda se za vrijee t k =x/v poreećaj proširi na udaljenost x. U trenutku t je na jestu x=0 poak y isti kao poak na jestu x u trenutku t+ x/v.to ožeo i resetirati pa reći da je na jestu x u trenutku t isti poak y kao što je na jestu x=0 bio poak nešto ranije, u trenutku t-x/v tj. poak : x yxt (, ) = y cos ω( t ) v Definicije valnih veličina : valna duljina λ je duljina na koju se proširilo titranje u elastično sredstvu za vrijee jednog perioda T, tj. vrijee jednog titraja; brzina širenja vala v je ojer poaka pobude i vreena λ, tj ojer valne duljine i perioda v = ili v = λ f gdje je f frekvencija oscilatora. T ω π valni broj k je ojer k = ili k =, ω je kružna v λ brzina ili kružna frekvencija. Valna jednadžba napisana pooću kružne frekvencije i valnog broja : yxt (, ) = y cos( ωt kx) Ako je to jednadžba putujućeg ili progresivnog vala koji ide s lijeva na desno, onda će val s desna na lijevo biti isti osi što znak postaje +. Refleksija vala Pri refleksiji vala na čvrsto kraju val dobije poak u fazi za π.kad na zadnju česticu djeluje elastična sila prea gore,ta čestica djeluje na učvršćeni kraj silo prea gore (akcija), a učvršćeni kraj djeluje na česticu silo prea dolje (reakcija ). akcija čvrsti kraj akcija čvrsti kraj reakcija reakcija 3

62 9.Valovi Ako je yt () = y cos( ωt kx) jednadžba vala koji dolazi s lijeva na desno prea čvrsto kraju, onda je jednadžba odbijenog vala yt () = y cos( ωt+ kx+ π ). Pri refleksiji na poično kraju reflektirani val se vraća bez proijene faze pa je jednadžba vala yxt (, ) = y cos( ωt + kx). Načelo superpozicije kaže da se poaci pojedine čestice elastičnog sredstva zbrajaju kad se dva vala nađu na isto jestu : y = y + y Načelo vrijedi kad je veza izeđu poaka i povratne sile linearna npr. za povratnu silu opruge ali ne vrijedi kad je ta veza nelinearna npr. F = ky by. povratna 6.. Stojni valovi Ako se na napetoj struni upadni i reflektirani val zbrajaju prea načelu superpozicije ( interferencija ) ože nastati niz pravilnih oblika žice koji se nazivaju stojni valovi.naie, cijela žica titra s isto frekvencijo ( frekvencija izvora titranja ), ali različite točke strune titraju s različito aplitudo. One točke koje titraju s najvećo aplitudo nazivaju se trbusi stojnog vala, a čvorovi su točke koje trajno iruju. Ako je dužina strune učvršćene na oba kraja L, onda se na njoj ogu forirati stojni L valovi čija je valna duljina λ n =, n=,,3.za n= nastaje osnovni n (fundaentalni) stojni val ili prvi haronik valne duljine λ ax = L : v Taj se val forira ako je frekvencija izvora f = v in λ = ax L gdje je v brzina vala. Ako izvor titra i s viši frekvencijaa koji su višekratnici osnovne frekvencije, nastaju viši haronici.ako osnovnu, najnižu frekvenciju, ujesto s fin označio s f, onda će frekvencije viših haronika biti f,3 f,4 f,... i te stojne valove nazivao drugi, treći, četvrti.haronik čiji je oblik : 4

63 9.Valovi Izvod forule za stojni val Ako je upadni val y () t = y cos( ωt kx), a reflektirani y () t = y cos( ωt + kx+ π ) tao gdje se valovi susreću nastaje rezultantni val čiji je poak y = y + y: Prijenjujući trigonoetrijsko pravilo o zbrajanju cosinusa dvaju kutova : α + β α β cosα + cos β = cos cos dobije se rezultat : y = y sinkxcosωt Prijeno rubnog uvjeta ( na kraju strune je x=l ) pa je sinkl=0.sinusna funkcija je π nula kad je kut nula ili nπ, pa je kl = nπ ili ( jer je k = ) : λ L λ = n Na ovaj način se pojavila kvantizacija energije u klasičnoj fizici. Stojeći valovi se neće pojaviti na ograđenoj struni za bilo koje frekvencije izvora, već za točno određene ( osnovna frekvencija i viši haronici ). Svakoj frekvenciji odgovara neka energija tako da se ože reći da struna titra ne sa bilo kojo energijo, nego sa neki energijaa koje su višekratnici osnovnog kvanta energije koji odgovara titranju s osnovno frekvencijo.pri to je aplituda pri titranju s osnovno frekvencijo najveća, a kod viših haronika se sanjuje. F Brzina valova u struni je v =, F je napetost žice(strune), µ je asa jedinične µ duljine žice ( µ = ), je asa, a l je duljina žice. l E Brzina valova u asivno čvrsto sredstvu ( čelični štap ) je v =, E je ρ Youngov odul proporcionalnosti koji se za štap duljine l koji se za projenu tlaka p skrati za l ože definirati kao ojer proijene tlaka i relativnog produljenja p (produljenja po jedinici duljine) : E = l l 5

64 9.Valovi 6.3.Zvuk Zvuk klavira ili violine nastaje titranje žice.taj se poreećaj prenosi kroz žicu u obliku zgušćaja i razrjeđaja aterijala žice (longitudinalni val ), čija je frekvencija jednaka frekvenciji izvora. Kako opisati zvuk u zraku? Razotrio dugi hodnik s vratia na jedno kraju i otvoreni prozoro i zavjeso na drugo kraju.otvaranje vrata prea unutra nastaje zgušćaj olekula zraka koji se prenosi na susjedne olekule dok ne dođe do prozora i poakne zavjesu prea vani. Kad zatvorio vrata, nastaje razrjeđenje, u njega dolaze olekule zraka iz okoline i tako se razrjeđenje prenosi prea zavjesi koja zaleprša prea unutra. Stalno otvarajući i zatvarajući vratia, nastaje val koji natjera zavjesu lepršati ao-tao. Kako titra glazbena viljuška? Glazbena viljuška titra slično titranju vrata, sao što su aplitude pri titranju znatno anje,a frekvencija titranja znatno veća ( nekoliko stotina herca ).Titranje glazbene viljuške se prenosi u okolni zrak u obliku zgušćaja i razrjeđaja zraka.na slični se način titranje papirnatog konusa u zvučniku prenosi na okolni zrak. κ p cp Brzina zvuka se izračuna prea izrazu v =, gdje je κ = adijabatska ρ cv konstanta, a c p i c V su toplinski kapaciteti fluida pri konstantno tlaku i konstantno voluenu. ina zvuka u zraku (pri Prijer: brz C i tlaku p = 760Hg =.03 0 Pa, gustoća zraka je ρ 3 = kg, bezdienzijska konstantaκ =.40 v = 33s ) iznosi: Iznos se brzine ijenja s teperaturo t prea izrazu v = 33s t. U vodi je brzina zvuka 4 puta veća nego u zraku, a u čeliku 5 puta veća. 6

65 9.Valovi Zvuk pokazuje valne pojave refleksije (jeka) i refrakcije ili loa ( brzina se širenja ijenja s gustoćo elastičnog sredstva). Refleksija ože biti potpuna ili djeloična ( kada dio energije vala prijelaz u drugo sredstvo ).Odnos energije koja se odbila i transitirane (prolazne) energije ovisi o svojstvia tih sredstava i izražava se karakteristični svojstvia (ipendancijaa) tih sredstava. Zvuk kao varijacija tlaka oko neke srednje vrijednosti Ujesto da se val zvuka opisuje gibanje čestica u neko sredstvu pa onda jednadžba vala ytx (, ) = y cos( ωt kx) opisuje poak čestice naprijed nazad na neko jestu sredstva (x) u neko trenutku (t), zvuk se ože opisati projeno tlaka oko neke srednje vrijednosti ( npr. atosferskog tlaka p 0 ) pa jednadžba vala ia oblik : p( xt, ) = p sin( ωt kx) Za zvuk frekvencije f=000hz (na koji je ljudsko uho najosjetljivije) poak olekula na pragu čujnosti poak olekula na pragu čujnosti iznosi oko 0 -,što odgovara 5 projeni tlaka p = Pa, dok je na pragu bola najveći poak oko 30Pa tj. ax 0 aksialnoj projeni tlaka pax = 30Pa. Prijer: napisati jednadžbu za varijaciju zvučnog vala oko srednje vrijednosti frekvencije 56Hz ( srednji C u glazbenoj ljestvici) pri teperaturi od 0 0 C ako je aplituda projene tlaka p ax = 50 Pa.Iz osnovne forule koja povezuje brzinu,valnu duljinu i frekvenciju vala izračuna se valna duljina, a onda valni broj : v = 33s t = ( ) / s 344 / s v 344 / s π π λ = = =.35 pa je valni broj k = = = 4.65 i onda : f 56s λ.35 p xt = Pa s t x (, ) 5 0 sin(π ) 7

66 9.Valovi Intenzitet (jakost) zvuka Energija zvučnih valova je vrlo ala : npr. energija koju stvaraju 0 ilijuna ljudi u razgovoru odgovara energiji uobičajene baterijske svjetiljke. Intenzitet vala na nekoj površini je srednji iznos energije u jedinici vreena koja prođe kroz tu površinu pa ako s I označio intenzitet ili jakost vala, s E energiju,s P E P W snagu,a s A površinu onda je : I = = t A A Intenzitet je povezan s aksialni iznoso poaka olekula izrazo : I = ρω v y Intenzitet vala opada s udaljenošću. Ako zaislio izvor zvuka u središtu kružnice onda sva energija ora proći kroz površinu kružnice P radijusa r, pa je I ==.Onda će na nekoj 4r π P većoj udaljenosti r intenzitet I biti I = 4r π pa je ojer intenziteta I /I =(r /r ). ax Jakost u decibelia (db ) Aplituda poaka koja djeluje na ljudsko uho ia raspon od 0 - (granica slušnosti) do 0-5 (granica bola ) što je ojer od 0 6.Kako intenzitet raste s kvadrato aplitude poaka, onda je ojer intenziteta na te dvije granice ljudskog slušnog sustava 0.Za lakše iskazati takav veliki raspon intenziteta, koristio se logarito y = log x da noženje x s 0 povećava y za : y = log(0 x) = log0 + log x = + y I Zato se uvodi razina jakosti β prea izrazu : β = 0log ( db) I0 gdje je I 0 =0 - W/ referentni intenzitet koji odgovara granici slušnosti.za zvuk tog intenziteta β = 0dB. Za zvuk na granici bola I=W/, a razina jakosti β = 0dB. Prijer :Razina jakosti 00 od nadzvučnog aviona je 30 db. Kolika je razina intenziteta na udaljenosti od.5 k od aviona? I Zvuku od 30 db odgovara intenzitet I iz 30dB = 0log db, pa se 0 / W dobije da je I =0W/ r 00.Onda je I = I ( ) = 0 W / ( ) = 4 0 W /, a r 500 razina intenziteta : 40 β = 0log ( db) = 06dB 0 Dopplerov učinak Projena frekvencije zvuka zbog gibanja izvora zvuka u odnosu prea slušatelju naziva se Dopplerov učinak. Kad se zvučni izvor giba brzino v i prea slušatelju on ide za valovia koji se šire prea naprijed.razak izeđu susjednih valnih fronti se sanjuje u usporedbi sa slučaje kada izvor iruje. Razak izeđu valnih fronti odgovara valnoj duljini zvuka, što znači da se valna duljina sanjila. Kao posljedica toga povećala se frekvencija ( f= v/l ). y ax 8

67 9.Valovi Oznake: frekvencija zvuka koji stvara izvor frekvencija zvuka koji čuje slušatelj brzina zvuka f i f s v Kada se izvor zvuka približava slušatelju brzino v i, slušatelj čuje zvuk više frekvencije: v fs = fi v v Kad se izvor zvuka udaljava od slušatelja brzino v i, slušatelj čuje zvuk niže frekvencije : v fs = fi v+ vi Razlika frekvencija f i i f s naziva se Dopplerov poak frekvencija. Prijer: Zvuk lokootive ia frekvenciju od 000 Hz. Koju frekvenciju ćuje čovjek pokraj pruge prea koje se vlak približava brzino od 40 /s? Teperatura zraka je 0 C pa je brzina zvuka 343 /s. v 343s f = s f i 000Hz 3 v v = i 343s 40s = Hz Udari zvuka i To je pojava koja nastaje interferencijo valova različite frekvencije. Mateatički opis : y (, ) cos( ) x t = y ωt kx y () t = y cos( ωt kx) ytx (, ) = y(, tx) + y(, tx) Ako val nastao interferencijo slušao na jedno jestu (x=cons), pa detektirao vreensku projenu, to je analogno proučavanju dvaju haroničkih oscilatora : f + f f f y + y = yax(cosωt + cos ωt) = yax(cos π t+ cos π t) Ako se frekvencije oscilatora alo razlikuju kao u slučaju dviju glazbenih viljuški na f + f gornjoj slici onda se ože napisati f, a razlika se frekvencija definira kao frekvencija udara f f fudara rezultantna oscilacija ia frekvenciju ω, dok se aplituda ijenja s frekvencijo udara : ωudara y + y = yax cos tcosωt 9

68 9.Valovi Glazbeni tonovi To su zvukovi koji se uhu čine pravilni.tonovi se eđusobno razlikuju visino, jakošću i bojo. Visina tona je određena frekvencijo.ako je val haronijski to je čisti ton.ako graf elongacije nije sinusni, već ia složeni oblik, to čini boju tona. Dogovoreno je da ton 440 Hz (A) bude ishodište glazbene ljestvice. Niz tonova čini glazbenu ljestvicu. Tako oktavu dur-ljestvice čini 8 tonova čije su frekvencije u ojeru f: f : f3: f4 : f5: f6 : f7 : f 8 = 4 : 7 : 30 : 3 : 36 : 40 : 45 : 48 Oktavu čine tonovi čije se frekvencije odnose kao f :f =:,kvintu f :f 5 =:3. Boja tona Čisti glazbeni tonovi iaju oblik haronijskog vala neke frekvencije : Tonovi obično nisu pravilni.graf elongacije prito ia složen oblik. Na slici je prikazan ton A odsviran na klarinetu i trubi. Oni se razlikuju obliko, i zvuče drugačije. Tonovi iste frekvencije, a različitog oblika se razlikuju po boji. Fourier je dokazao teore da se svaki val frekvencije f ože prikazati kao zbroj haronijskih valova frekvencije f, f =f, f 3 =3f čije su aplitude tako određene da zbroj da željeni oblik vala. Prikaz nekog valnog oblika pooću sinusnih valova naziva se Fourierov razvoj: πn πn yt () = a0 + ( an cos t+ bn sin t) T T n= U to su izrazu a 0, a n,b n aplitude sinusnih valova koje se još nazivaju i fourierovi koeficijenti jer je Fourier odredio algorita (postupak) kako ih izračunati. 0

69 Svjetlost. Što je svjetlost. Spektar elektroagnetskih valova Škotski fizičar J.C.Maxwell je pokazao da je svjetlost elektroagnetski val putujući val električnih i agnetskih polja. Optika,koja proućava vidljivu svjetlost, je dakle grana elektroagnetiza.u Maxwellovo doba se,osi za svjetlost,znalo i za ultraljubičaste i infracrvene zrake. Poznavanje područja (spektra) elektroagnetskih valova je proširio njeački fizičar H.Hertz koji je otkrio radio valove.kasnije su otkriveni ikrovalovi,x-zrake i gaa-zrake.elektroagnetski valovi se šire kroz vakuu brzino c= / s.za razliku od drugih valova,ova brzina se ne ijenja u različiti referentni sustavia.neprojenjivost brzine svjetlosti je jedan od dva postulata specijalne teorije relativnosti. (A.Einstein 905 g.) Na gornjoj skali svaka oznaka predstavlja proijenu valne duljine ili frekvencije za faktor 0. Ljudsko oko je osjetljivo na ali dio elektroagnetskog spektra. Slika prikazuje relativnu osjetljivost oka na svjetlost različitih valnih duljina.oko je najosjetljivije na valnu duljinu λ = 550 n koju nazivao žuto-zelena. Približno je 00 puta anje osjetljivo na valne duljine od 400 n ili 700 n,što satrao granico vidljivosti. Valna duljina (n)

70 .3 Pujući elektroagnetski val Elektroagnetski valovi (svjetlost,x-zrake,gaa-zrake )čija je frekvencija jednaka ili veća od frekvencije vidljive svjetlosti nastaju zračenje iz izvora veličine atoa ili jezgre atoa.to je područje ikrosvijeta u koje vrijede zakoni kvantne fizike.valovi anje frekvencije (valne duljine približno ),kao što su ikrovalovi u obitelia,nastaju u izvoria akroskopske veličine kao što je LC oscilator na donjoj slici: Izvor,osi LC oscilatora,čini izvor energije(generator izjeničnog napona), transforator,prijenosna linija i antena.dosta daleko od antene detektor bi registrirao ravni,putujući elektroagnetski val koji ia električnu i agnetsku koponentu: E = E sin( kx ωt) 0 B = B sin( kx ωt) 0 gdje su E0 i B0 aplitude jakosti polja (električnog i agnetskog),a ω i k su kutna 8 frekvencija i valni broj elektroagnetskog vala.brzina vala je blizu 30 / s,a ože se pokazati da je u vezi s dvije konstante koje opisuju električna i agnetska svojstva aterije, tj ε 0 i µ 0: c = ε µ.4 Prikaz elektroagnetskog vala 0 0 Val se ože prikazati pooću zrake koja pokazuje sjer putovanja vala ili pooću valnih fronti koje su zaišljene plohe na kojia val ia isti iznos jakosti električnog polja.laserska zraka se najviše približava prvo prikazu. U prikazu na slici (b) strjelice različite duljine na različiti točkaa duž osi x prikazuju kolika je vrijednost(iznos) polja na to jestu na osi x.za razliku od sličnog prikaza elastičnog vala na žici,strjelice ne prikazuju gibanje bilo nekog aterijala.sinusoida je ovojnica koja prikazuje iznose polja na različiti jestia osi x u jedno trenutku.

71 . Geoetrijska optika Svjetlost koja nastaje zračenje iz izvora,širi se na sve strane.geoetrijska optika se bavi proučavanje svjetlosti uz pretpostavku ( aproksiacija) da se taj val širi pravocrtno pa ga se prikazuje zrako.kad svjetlost(zraka) dođe do glatke površine koja se razlikuje od zraka npr. površine stakla ili vode ože se odbiti (refleksija) ili preći u drugo sredstvo uz projenu sjera (refrakcija). n n Upadni snop svjetlosti s okoico na sućelnu površinu ( interface) zatvara kut upadanja θ.dio svjetlosti se reflektira ' u sjeru koji s okoico čini kut refleksije θ. Dio svjetlosti prelazi kroz sučelje koje razdvaja dva sredstva(edija) i to se naziva refrakcija ili lo svjetlosti.osi u slučaju kad svjetlost pada okoito na granicu koja razdvaja dva sredstva,pri lou se ijenja sjer zrake svjetlosti.sjer loljene zrake s okoico na granicu(sučelje) čini kut loa θ.. Zakoni geoetrijske optike Pokusi pokazuju da vrijede dva zakona geoetrijske optike,zakon odbijanja svjetlosti i zakon loa svjetlosti. Zakon refleksije - odbijena zraka se nalazi u istoj ravnini kao i upadna i vrijedi : ' kut upadanja je jednak kutu refleksije θ = θ Zakon loa - reflektirana zraka se nalazi u istoj ravnini kao upadna i vrijedi forula: nsinθ = nsinθ Bezdienzijske konstante n i n opisuju optička svojstva edija ( indeksi loa ).Vakuuu se definira indeks loa,što približno vrijedi i za zrak.staklo i drugi optički prozirni ediji iaju indeks loa veči od...3.kroatična disperzija Indeks loa n u neko sredstvu (osi u vakuuu) ovisi o valnoj duljini( boji) svjetlosti.bijela svjetlost je sastavljena od svih valnih duljina (boja) vidljivog spektra s isti iznoso.kad ta svjetlost dođe na granicu dvaju optičkih sredstava,različite boje se loe u različito sjeru,pa dolazi do širenja-kroatične disperzije. Plava svjetlost ia veči indeks loa,pa više zakreće na izlasku iz prize na gornjoj slici u odnosu na upadnu bijelu zraku. Duga je prijer disperzije.kad bijela sunčeva svjetlost susretne kapi kiše,dio svjetlosti se loi u kapi,zati se odbija od unutarnje granice kapi i zraka i onda se opet loi na izlasku iz kapi.zrake kraće valne duljine iaju veći indeks loa i više zakreću.plava zraka(kraća valna duljina) više zakreće od crvene zrake,tako da na izlasku iz kapi nastaje širenje boja. 3

72 3.. Slike Zrake svjetlosti koje dolaze iz nekog predeta prolaze kroz oko,padaju na režnicu oka i u kori ozga stvaraju inforaciju o predetu(rubovi,sjer,oblik,boja) koju nazivao slika predeta. Mozak obrađuje i stvara sliku predeta i ako zrake ne dolaze u oko neposredno iz predeta,već se prethodno odbiju ili loe u prozirno sredstvu.razlikujeo virtualne(prividne) i realne slike predeta. Ovisno o vrsti površine,refleksija ože biti usjerena ili difuzna.na glatkoj površini kao što je posrebreno staklo,zrake se odbijaju usjereno.na hrapavoj površini kao što je list papira zrake svjetlosti se odbijaju u svi sjerovia,što oogučava čitanje iz bilo kojeg sjera.odbijanje u proizvoljni(rando) sjerovia se naziva difuzna refleksija. 3..Virtualna slika Virtualnu sliku objasnio na prijeru zrcala.ako se predet nalazi ispred ravnog zrcala, čini na se da je predet iza zrcala (prividna slika) jer zrake koje ulaze u oko prividno dolaze iz tog sjera,gdje se predet ne nalazi. Prea dogovoru,udaljenost predeta od zrcala je pozitivna veličina,udaljenost slike od zrcala je negativna veličina. Slično nastaje prividna slika ako je predet blizu udubljenog,zakrivljenog zrcala koje se naziva konkavno zrcalo.prijetite da je slika lika koji se gleda u zrcalu povečana.ako na to jesto stavio foto papir,na njeu neće ostati trag,jer tu nea zraka svjetlosti. 3.3.Realna slika Realna slika nastaje od zraka koje se,nakon odbijanja ili loa, stvarno sijeku na neko jestu i dolaze u oko.prijer je slika koja nastaje na zakrivljeno konkavno zrcalu.ako se na to jesto stavi fotografski papir ili ekran,zrake će ostaviti trag ili se odbiti od ekrana.zrake svjetlosti tu stvarno postoje. 4. Sferna zrcala Sferno zrcalo se ože oblikovati tako da se zakrivi ravno zrcalo.ako se udubi površina,nastaje konkavno zrcalo čije je središte zakrivljenosti u točki C, a udaljenost od C do zrcala je polujer zakrivljenosti r.virtualna slika predeta je udaljenija i uvečana ( zrcala za ake-up ili za brijanje). Ako se ravna površina izboči nastane konveksno zrcalo.središte zakrivljenosti je iza zrcala.virtualna slika se približi zrcalu i uanjuje.prea dogovoru je udaljenost središta zakrivljenosti r negativna veličini. 4

73 4..Žarišne točke sfernih zrcala Ako se predet nalazi daleko od zrcala na optičkoj osi ili blizu nje,valove svjetlosti koji iz njega putuju prea zrcalu satrao ravni valo i predstavljao ih snopo zraka paralelnih s optičko osi.one se odbijaju i prolaze kroz točku koju nazivao žarište F,a udaljenost te točke od zrcala je žarišna udaljenost f.kod konkavnog zrcala se zrake stvarno sijeku u točki F i f je pozitivna velićina.kod konveksnog zrcala,paralelne zrake se nakon odbijanja ne sijeku,naprotiv udaljavaju se-divergiraju.oko u koje dolaze te zrake ia utisak da su došle iz točke iza zrcala.to je virtualno žarište, a udaljenost te točke od zrcala je žarišna duljina f koja ia negativni iznos.za oba zrcala je žarišna udaljenost pola radijusa zakrivljenosti ( f = r ). 4.3.Jednadžba sfernog zrcala Može se pokazati da je veza ize đu žarišne udaljenosti f,udaljenosti predeta (oznaka p ili x) i udaljenosti slike (oznaka i ili x ' )dana forulo : + =, x x f Udaljenost slike je negativna ako je slika virtualna. 5. Tanke leće To su prozirni objekti koji iaju dvije refraktivne plohe ( koje loe svjetlost).leće koje skupljaju paralelni snop zraka nazivaju se konvergentne.one koje šire snop svjetlosti su divergentne. Na gornjoj slici kovergentna leća daje realnu sliku plaena.na to jestu bi se zacrnio fotografski fil. Na donjoj slici divergentna leća daje prividnu (virtualnu)sliku plaena jer se otritelju čini kao da zrake izviru iz prividne slike.ako na to jesto stavite ruku,nećete se opeći. Odnos žarišne udaljenosti f,udaljenosti predeta (oznaka p ili x) i udaljenosti slike (oznaka i ili x ' ) je dana forulo kao i za sferno zrcalo: + =, x x f K ad je tanka leća indeksa loa n okružena zrako,žarišna se udaljenost leće ože odrediti pooću optičarske jednadžbe: = ( n )( ) f r r Tu r označava radijus zakrivljenosti površine leće bliže predetu, r radijus druge površine. Prea dogovoru,r je pozitivan ako idući od predeta prea leći dolazio do konveksne površine,negativan ako nailazio na konkavnu površinu. Ako je leća okružena ulje ili drugi edije indeksa loa večeg od,onda u jednadžbi treba n zaijeniti sa n n. / ulja 5

74 5..Akoodacija oka Oko ože dati sliku na režnici za predete koji su veoa udaljeni do bliske točke oka koja za zdravo oko iznosi oko 5 c.ta sposobnost oka naziva se akoodacija oka. Iz dalekih predeta dolazi paralelni snop koji se fokusira na retini(režnici). Zrake iz bližih predeta više divergiraju, pa se oraju jače loiti da bi pali na retinu.očni išići se stegnu i povečaju zakrivljenost leće. Prijeno jednadžbe leće,uz pretpostavku da je oko dugo oko c, se ože izračunati :, a)vrlo daleki predet x = x = = 0.0 f pa slijedi da je žarišna udaljenost oka kao konvergentne leće f=0.0. Ako se definira jakost leće kao recipročna vrijednost žarišne udaljenosti (Dpt=dioptrija) = j Dpt = f onda je jakost očne leće 50 Dpt., b) predet u bliskoj točki x= 0.5 x = = f pa slijedi da se f sanjio na 0.08,a jakost povečala na 54 Dpt. 5.3.Jednostavno povečalo Ako se približi predet bliže od bliske točke oka,nestaje slika i oko vidi utnu rlju. Na slici lijevo je predet sješten u bliskoj točki oka.veličina slike u oku ovisi o vidno kutu θ.povečali bi ga ako bi predet približili oku (slika b),ali onda slika postaje utna. Jasnoću slike se ože popraviti ako se ispred oka stavi konvergentna leća takve jakosti koja će dati sliku predeta,sješteno bliže od fokusa povečala F, u bliskoj točki oka.kutno povečanje se, definira kao ojer kuta θ (kad je ispred oka pvečalo) i kuta θ kad je predet u bliskoj točki :, θ kutno = θ Uz pretpostavku da se povečalo koristi tako da se predet sjesti u F,ože se kutno povečanje približno izraziti forulo 5c kutno = f Prijer: Ako bi žarišna udaljenost povečala bila 5 c (leća jakosti +0 Dpt),kutno povečanje bi bilo 5 puta. 5.4 Mane oka i korekcija pooću naočara 6

75 Mane oka su dalekovidnost leća oka nedovoljno skuplja zrake pa slika bližih predeta ne pada na retinu.kratkovidno oko pak previše loi zrake svjetlosti pa se daleki predeti ne vide jasno.astigatiza je pjava nejednakog loa u različiti ravninaa koje presijecaju očnu leću.mane oka se ispravljavljaju lećaa-naočaria. Kratkovidnost se popravlja pooćo divergentne leće (negativna žarišna udaljenost) koja zrake svjetlosti raširi prije nego dođu do oka.takvo oko ia daleku točku (največa udaljenost iz koje se predet još vidi jasno) ne u beskonačnosti(npr.zvijezde) već znatno bliže npr. na udaljenosti od.koji lećaa popraviti tu anu oka? Ispred oka treba biti leća koja će sliku dalekog predeta ( x = ) dati u dalekoj točki oka.kako je to virtualna slika,ia, negativni predznak ( x = ).Uvrštavanje u jednadžbu leće se dobije potrebna jakost i vrsta leće: + =, x x f + = Treba uptrijebiti naočari jakosti j = Dpt (divrgentne leće,deblje na rubovia). Dalekovidno oko ia slabu refrakcijsku snagu,pa u je bliska točka ne 5 c udaljena od oka, već npr..očni išić oka se napreže povećati zakrivljenost leće,ali ne uspijeva.pojava je tipična kod ljudi srednjih godina i znak je popuštanja očnog išića.dalekovidni ljudi isprva ne prijećuju slabljenje oćnog išića,i udaljavaju tekst koji čitaju.pojava napreduje tijeko otprilike jedne godine u dobi od oko 45 godina.pooć su naoćari koje iaju zadatak od predeta udaljenog oko 5, c dati sliku (opet virtualnu) na udaljenost.uz vrijednosti x = 0.5 i x = jednadžba leće ia oblik: Treba nositi naočari ja 3 Dpt ( konvergentna leća,tanja na rubovia). f + = 0.5 f 7

76 Uvod u kvantnu fiziku Kvantna fizika proučava svijet izvan čovjekovog svakidašnjeg iskustva-ikroskopski svijet atoa i olekula. Stošci na slici predstavljaju pojedinačne atoe poredane u oval (koral) dobivene pooću STM-a (skenirajućeg tunelirajućeg ikroskopa). Kvantna fizika postavlja i dobiva odgovor na pitanja kao što su : -zašto sjaje zvijezde -zašto keijski eleenti pokazuju red tako očit u periodno sustavu -zašto etali vode električni struju,a staklo je ne vodi -kako radi ikro i nanoelektronika -kako prenositi inforacije na način da su pošiljatelj i priatelj poruka sigurni da ih nitko nije dešifrirao (kvantno računarstvo i kvantna kriptografija) Kvantna fizika je teelj keije i biokeije i ako želio razujeti život treba ju naučiti i znati koristiti. Rentgenski sniak dvostrukog heliksa DNK olekule od koje su izgrađeni geni (Rosalind Franklin,953) Osnovna zaisao u kvantnoj fizici je da se noštvo veličina u prirodi pojavljuju (jere) u neko inialno iznosu (kvantu) ili cjelobrojno višekratniku tog iznosa. U svakidašnje iskustvu toe bi odgovarale npr. kune: najanji iznos je lipa, svi veći iznosi su višekratnici najanjeg iznosa tj. n ( lipa ).

77 Plankov zakon zračenja crnog tijela Poja kvanta uveo je Planck 900.g.Naie,klasična teorija zračenja predviđa da je iznos zračenja u neko području frekvencija proporcionalan broju stanja (odova) koje tijelo ože iati u to području.svako stanje je jednako vjerojatno i ia prosječnu energiju kt,a broj stanja je proporcionalan kvadratu frekvencije. Posljedica bi bila sve veći iznos zračenja kako raste frekvencija što je dobilo naziv " ultravioletna katastrofa".proračun su napravili Rayleigh i Jeans. Mjerenje zračenja crnog tijela pokazuje da se to ne događa.graf intenziteta zračenja ovisno o frekvenciji pokazuje rast na ali frekvencijaa,ia aksiu ("peak ") na nekoj frekvenciji i pada prea nula na viši frekvencijaa : Planckova hipoteza je da se zračenje realizira u paketićia energije ( kvantia) hυ,a vjerojatnost da se dogodi zračenje opada eksponencijalno s frekvencijo. Ta pretpostavka vodi do zakona zračenja užarenog tijela koje se dobro slaže s pokuso.

78 Fotoelektrični efekt Einstein je 905.g.objasnio pojavu izbijanja elektrona iz etala pooću svjetlosti. Ta se pojava naziva fotoelektrični efekt.pretpostavio je da je svjetlost (elektroagnetski val određene frekvencije) roj paketića (kvanata)energije koje je nazvao fotonia. Energija jednog fotona je proporcionalna njegovoj frekvenciji,a konstanta h je izvanredno ala i naziva se Planckova konstanta : E = hυ 34 h= Js Kako uskladiti predodžbu vala (valne duljine λ,frekvencije ν i brzine c povezanih c forulo υ =,koji zaišljao kao kobinaciju električnog i agnetskog polja λ čiji iznos oscilira frekvencijo ν i pokazuje svojstva interferencije, difrakcije i polarizacije) i paketića energije-fotona (koji u apsorpciji zračenja u neko aterijalu nestaju povećavajući energiju atoa ili se pak rađaju u eisiji zraćenja)? Dvojna narav svjetlosti (vala i nakupine energije) proširena je poslije ne sao na elektroagnetsko zračenje već i na sve čestice koje iaju asu. Elektroni u etalu se gibaju slobodno, ali ne ogu izaći iz etala pri sobnoj teperaturi.energija potrebna elektronu da izađe iz etala naziva se izlazni rad i označava sa W. Specifična je za pojedini etal i reda je veličine ev-a: Vrsta etala Izlazni rad (ev) Cu 4.7 Zn 4.3 Na.7 Cs.96 Ako elektron dobije energiju veću od W, ože izaći iz etala i usto iati kinetičku energiju. Jedan od načina da elektron izađe iz etala je površinu etala izložiti zračenju (roju fotona energije hυ koju predaju elektronia u etalu) : hυ = W + E k Pokus pokazuje da se fotoefekt zbiva sao ako je frekvencija zračenja veća od neke granične frekvencije ν 0 ( ili ako je valna duljina anja od neke granične).

79 Ako svjetlost određene frekvencije ne izbija svjetlost,je li poaže povećati intezitet svjetlosnog izvora?u klasičnoj fizici oćekujeo da je učinak vala veći što u je aplituda veća (a onda i intezitet jer je I A ).Val većeg intenziteta bi trebao,prea pretpostavci klasičn fizike,jaće pobuditi elektron u etalu i izbaciti ga iz etala pri nekoj razini inteziteta.ali,pokus pokazuje da se to ne događa. Drugi pokus koji ispituje narav foroefekta je uvođenje zaustavnog potencijala tj.takvog potencijala koji zaustavlja izbaćene fotoelektrone. Kad je frekvencija zračenja veća od granične, elektroni izlaze iz etala i iaju neku kinetičku energiju. Za zaustaviti ih, treba priijeniti energiju električnog poljaev. Ako je potencijal jednak zaustavno Ek = ev z. Ako se taj izraz uvrsti u h W Einsteinovu forulu za fotoefekt, dobije se : V = z ( ) e υ e.kako su h,e i W konstante za neki etal, prijećujeo da je funkcija V=f(ν)pravac nagiba h/e. Ako se zna vrijednost eleentarnog naboja e,iz poznatog se nagiba pravca ože izračunati Planckova konstanta. Prijer: Pokus fotoefekta s cezije daje zaustavni potencijal 0.7 V pri zračenju valne duljine λ=436n,a 0. V pri zračenju 546. Iz ovih podataka izračunajte Planckovu konstantu,granične frekvencije i izlazni rad elektrona. V V = h W ( ) e υ e h W = ( ) υ e e z z 8 c 30 υ = = = 688THz 9 λ c 30 υ = = = 549THz 9 λ Rješavanje sustava dviju jednadžbi s dvije nepoznanice se dobije za h: h V V e z z 9 34 = =.6 0 = υ υ ( ) 0 Js z