= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0)."

Transcript

1 Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα σε ένα σημείο της. Αποδεικνύουμε ότι ο εφαπτόμενος χώρος είναι ένας διανυσματικός χώρος διάστασης 2. Από γεωμετρικής απόψεως ο εφαπτόμενος χώρος είναι το εφαπτόμενο επίπεδο σε ένα σημείο της επιφάνειας, του οποίου μπορούμε να γράψουμε την καρτεσιανή εξίσωση. Ενας χρήσιμος τρόπος περιγραφής του εφαπτόμενου επιπέδου είναι όταν θεωρήσουμε την επιφάνεια ως αντίστροφη εικόνα μιας κανονικής τιμής μιας διαφορίσιμης απεικόνισης. Στα πλαίσια αυτά, μπορούμε να γενικεύουμε το κλασικό θεώρημα της αντίστροφης απεικόνισης για την περίπτωση των επιφανειών. Για περισσότερες πληροφορίες προτείνουμε τα βιβλία [1], [2], [3], [4], [5], [6]. Προαπαιτούμενη γνώση Αναλυτική Γεωμετρία, Απειροστικός Λογισμός μιας και πολλών μεταβλητών, Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα. Ορισμός 3.1. Εστω M μια κανονική επιφάνεια του R 3, p M. Ο εφαπτόμενος χώρος (tangent space) T p M της M στο p είναι το σύνολο όλων των εφαπτόμενων διανυσμάτων γ (0) σε κάθε λεία (ή κλάσης C 1 ) καμπύλη γ : I M, τέτοια ώστε γ(0) = p. Ισοδύναμα, T p M = { Z R 3 : υπάρχει καμπύλη γ : I M κλάσης C 1, ώστε γ(0) = p, γ (0) = Z }. Πρόταση 3.1. Ο εφαπτόμενος χώρος της επιφάνειας M στο σημείο p είναι ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος διάστασης 2. Απόδειξη. Εστω X : U R 2 M μια τοπική παραμέτρηση της M στο σημείο p, τέτοια ώστε 0 U και X(0) = p. Εστω γ : I X(U) M μια λεία καμπύλη στο X(U) με γ(0) = p. Επειδή η απεικόνιση X : U X(U) είναι ομοιομορφισμός, η καμπύλη β : X 1 γ : I U είναι λεία στο U R 2 με β(0) = 0,

2 2 Ο εφαπτόμενος χώρος Σχήμα 3.1: Ο εφαπτόμενος χώρος. άρα γ = X β. Τότε γ (0) = DX(β(0))β (0) = DX(0, 0)β (0) = DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0). Συνεπώς, το διάνυσμα γ (0) είναι γραμμικός συνδυασμός των X u και X v. Αντίστροφα, έστω w = DX(0, 0)(Z) για κάποιο Z R 2. Θεωρούμε την καμπύλη β : I U R 2 με β(t) = tz. Τότε β(0) = 0, β (0) = Z και έστω γ = X β. Εχουμε γ(0) = X(β(0)) = X(0) = p και γ (0) = DX(0, 0)β (0) = DX(0, 0)Z = w, δηλαδή το διάνυσμα w το οποίο παράγεται από τα X u και X v είναι το εφαπτόμενο διάνυσμα στο p για κάποια καμπύλη γ της επιφάνειας M. Πόρισμα 3.1. Εστω M R 3 μια επιφάνεια και X : U R 2 M μια τοπική παραμέτρηση στο σημείο p, με X(q) = p. Τότε η απεικόνιση DX(q) : R 2 T p (M) είναι γραμμικός ισομορφισμός. Παρατήρηση Ο αναγνώστης ίσως θα αναρωτιέται, ανακαλώντας γνώση γραμμικής άλγεβρας, κατά πόσον ο εφαπτόμενος χώρος περιέχει το μηδέν. Στην προκειμένη περίπτωση το μηδενικό στοιχείο του εφαπτόμενου χώρου είναι το σημείο γ(0) = p. Τακτικά χρησιμοποιείται και ο όρος ἑφαπτόμενο επίπεδο που είναι πιο κοντά στην γεωμετρική μας εποπτεία. Ουσιαστικά, αυτό το οποίο προκύπτει από την απόδειξη του παραπάνω θεωρήματος είναι ότι T p M = span { X u (α, β), X v (α, β) }, όπου X : U R 2 M R 3 είναι μια τοπική παραμέτρηση της M στο σημείο p τέτοια ώστε (α, β) U και X(α, β) = p. Ως γνωστόν, επειδή η επιφάνεια είναι κανονική, τα διανύσματα X u (α, β), X v (α, β) είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Ειδικότερα, το διάνυσμα X u (α, β) X v (α, β) είναι κάθετο στα διανύσματα X u (α, β) και X v (α, β), οπότε θα είναι κάθετο και στο εφαπτόμενο επίπεδο το οποίο παράγεται από αυτά τα διανύσματα. Παράδειγμα 3.1. Να βρεθεί ο εφαπτόμενος χώρος του ελλειπτικού παραβολοειδούς M = {(x, y, z) R 3 : z = x 2 + y 2 } στο σημείο p = (1, 2, 5). Μια παραμέτρηση της επιφάνειας M είναι η X : R 2 M, X(u, v) = (u, v, u 2 + v 2 ). Τότε X u (u, v) = (1, 0, 2u) X v (u, v) = (0, 1, 2v)

3 Ο εφαπτόμενος χώρος 3 και X(1, 2) = (1, 2, 5) = p. Συνεπώς, T p M = span{x u (1, 2), X v (1, 2)} = span{(1, 0, 2), (0, 1, 4)}. Αξίζει να σημειώσουμε ότι, αν ζητούσαμε να βρούμε την καρτεσιανή εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου (ως πρόβλημα αναλυτικής γεωμετρίας), τότε εργαζόμαστε ως εξής: Ενα κάθετο διάνυσμα στο ε- φαπτόμενο επίπεδο T p M είναι το (1, 2, 1/2) (το βρίσκουμε λύνοντας το σύστημα (a, b, c), (1, 0, 2) = (a, b, c), (0, 1, 4) = 0 ως προς a, b, c), συνεπώς η εξίσωση του επιπέδου είναι x + 2y 1 2z = d. Επειδή το επίπεδο διέρχεται από το σημείο p = (1, 2, 5), παίρνουμε τελικά ότι η εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου είναι 2x + 4y z = 5. Πρόταση 3.2. Εστω U R ανοικτό, f : U R μια διαφορίσιμη συνάρτηση και έστω M = f 1 (q), όπου q μια κανονική τιμή της f, δηλαδή f(p) 0 για κάθε p M. Τότε ισχύει T p M = ( f(p) ). Εδώ X συμβολίζει το ορθογώνιο συμπλήρωμα του διανύσματος X στον χώρο R 3, ως προς το κανονικό εσωτερικό γινόμενο. Απόδειξη. Εστω Z T p M και έστω γ : I M μια διαφορίσμη καμπύλη με γ(0) = p και γ (0) = Z. Τότε είναι (f γ)(t) = q για κάθε t I. Παραγωγίζοντας ως προς t, προκύπτει ότι 0 = d dt (f γ) t=0 = f(γ(0)), γ (0) = f(p), Z, συνεπώς το διάνυσμα Z είναι κάθετο στο f(p), οπότε δείξαμε ότι T p M ( f(p) ). Επειδή και οι δύο υπόχωροι T p M, ( f(p) ) του R 3 έχουν διάσταση 2, προκύπτει ότι T p M = ( f(p) ). Εύρεση του εφαπτόμενο επιπέδου μιας επιφάνειας Γενικά όταν μας ζητείται να βρούμε το εφαπτόμενο επίπεδο μια επιφάνειας M σε ένα τυχαίο σημείο p = (x 0, y 0, z 0 ) M, εργαζόμαστε ως εξής: Πρώτη περίπτωση. Εστω X : U R 2 M R 3 μια τοπική παραμέτρηση στο σημείο p M με X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) και X(q) = p, όπου q = (u 0, v 0 ) U Γνωρίζουμε ότι ο εφαπτόμενος χώρος T p M της επιφάνειας στο σημείο p παράγεται από τα διανύσματα X u (q) και X v (q). Επίσης, το διάνυσμα X u (q) X v (q) είναι κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο στο σημείο p. Συνεπώς, η εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου για το τυχαίο σημείο (x, y, z) T p M θα είναι (x, y, z) (x 0, y 0, z 0 ), X u (q) X v (q) = 0 (3.1) Παράδειγμα 3.2. Θεωρούμε τη μοναδιαία σφαίρα M = S 2 (R) ακτίνας R με παραμέτρηση σε γεωγραφικές συντεταγμένες X(u, v) = (R cos u cos v, R sin u cos v, R sin v).

4 4 Ο εφαπτόμενος χώρος Τότε X u X v = (R 2 cos u cos 2 v, R 2 sin u cos 2 v, R 2 sin v cos v). Παρατηρείστε ότι X u X v = (R cos v)p, δηλαδή πολλαπλάσιο ενός σημείο p της σφαίρας. Από αυτό προκύπτει ότι το διάνυσμα με αρχή το (0, 0, 0) και πέρας τα σημείο p, τέμνει την σφαίρα κάθετα. Εστω ότι p = (R, 0, 0), άρα u = v = 0. Τότε στο σημείο p είναι X u X v = (R 2, 0, 0), συνεπώς ο εφαπτόμενος χώρος (επίπεδο) T p M έχει εξίσωση (x, y, z) (R, 0, 0), X u X v = 0 (x R, y, z), (R 2, 0, 0) = 0 R 2 x = R 3 x = R. Η παραπάνω εξίσωση ορίζει το εφαπτόμενο επίπεδο της σφαίρας στο σημείο p = (R, 0, 0). Δεύτερη περίπτωση. Η εξίσωση της επιφάνειας δίνεται στη μορφή f(x, y, z) = 0 με f : R 3 R. Τότε θα βρούμε την εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου στο σημείο p ως εξής: Εστω Z T p M. Τότε από τον ορισμό του εφαπτόμενου χώρου, υπάρχει καμπύλη γ : I M με γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) τέτοια ώστε γ(0) = (x(0), y(0), z(0)) = (x 0, y 0, z 0 ) = p και γ (0) = (x (0), y (0), z (0)) = Z. Επειδή η καμπύλη βρίσκεται πάνω στην επιφάνεια, θα ισχύει από τον κανόνα της αλυσίδας θα πάρουμε f(γ(t)) = f(x(t), y(t), z(t)) = 0, f dx x dt + f dy y dt + f dz z dt = 0 και για t = 0 θα είναι f x (p)x (0) + f y (p)y (0) + f z (p)z (0) = 0. Παρατηρούμε ότι όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα Z = (x (0), y (0), z (0)) T p M είναι κάθετα στο διάνυσμα (f x (p), f y (p), f z (p)) f(p), άρα για το τυχαίο σημείο (x, y, z) T p M θα είναι f x (p)(x x 0 ) + f y (p)(y y 0 ) + f z (p)(z z 0 ) = 0. (3.2) Παράδειγμα 3.3. Η εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου της επιφάνειας x 2 + 4y 2 z = 0 στο σημείο p = (2, 1, 8) αν θέσουμε f(x, y, z) = x 2 + 4y 2 z = 0, σύμφωνα με την σχέση (3.2) θα είναι: f x (2, 1, 8)(x 2) + f y (2, 1, 8)(y 1) + f z (2, 1, 8)(z 8) = 0 4(x 2) + 8(y 1) z + 8 = 0 4x + 8y z = 8. Το επόμενο παράδειγμα θα το χειριστούμε με έναν πιο ειδικό τρόπο. Δεν θα χρησιμοποιήσουμε κάποια παραμέτρηση της σφαίρας, κάτι που ούτως ή άλλως θα μπορούσαμε να κάνουμε. Παράδειγμα 3.4. Να βρεθεί ο εφαπτόμενος χώρος T p S 2 σε ένα σημείο p της μοναδιαίας σφαίρας S 2 του R 3.

5 Το διαφορικό μιας διαφορίσιμης απεικόνισης 5 Εστω γ : I S 2 R 3 μια καμπύλη της σφαίρας με γ(0) = p, γ (0) = Z, όπου Z R 3. Τότε επειδή γ(i) S 2 ισχύει ότι γ(t), γ(t) = 1, άρα με παραγώγιση προκύπτει ότι d dt ( γ(t), γ(t) ) = 0 γ (t), γ(t) + γ(t), γ (t) = 0 ή 2 γ (t), γ(t) = 0. Για t = 0 παίρνουμε γ (0), γ(0) = 0 άρα Z, p = 0. Συνεπώς, αν θέσουμε A = {Z R 3 : Z, p = 0} (το σύνολο όλων των κάθετων διανυσμάτων στην σφαίρα στο σημείο p), τότε δείξαμε ότι T p S 2 A. Αντίστροφα, έστω Z 0 με Z, p = 0. Τότε η καμπύλη γ : R S 2 με τιμή γ(t) = cos(t Z )p + sin(t Z ) Z Z είναι μια καμπύλη στην σφαίρα S 2 με γ(0) = p, γ (0) = Z (κάντε έλεγχο). Ουσιαστικά η καμπύλη αυτή είναι ένας μέγιστος κύκλος της S 2 που διέρχεται από το p). αναμενόμενο γεωμετρικώς αποτέλεσμα ότι T p S 2 = {Z R 3 : Z, p = 0}. Άρα A T p S 2 και τελικά παίρνουμε το 3.1 Το διαφορικό μιας διαφορίσιμης απεικόνισης Στο προηγούμενο κεφάλαιο επεκτείναμε την έννοια της διαφορίσιμης απεικόνισης μεταξύ Ευκλειδείων χώρων σε απεικονίσεις μεταξύ επιφανειών. Από την κλασική ανάλυση η επόμενη σχετική έννοια είναι αυτή του διαφορικού μιας διαφορίσιμης απεικόνισης σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, την οποία θα ορίσουμε τώρα. Ορισμός 3.2. Εστω M 1, M 2 κανονικές επιφάνειες, p M 1 και φ : M 1 M 2 μια λεία απεικόνιση. Το διαφορικό (differential) dφ p : T p M 1 T φ(p) M 2 της φ στο p ορίζεται ως εξής: Εστω Z T p M 1 και γ : I M 1 με γ(0) = p, γ (0) = Z. Τότε dφ p (Z) = dt( d ) φ γ(t) t=0 T φ(p) M 2. Πρόταση 3.3. Η παραπάνω απεικόνιση είναι καλώς ορισμένη (δηλαδή η τιμή dφ p (Z) εξαρτάται μόνο από το διάνυσμα Z και όχι από την επιλογή της καμπύλης γ). Επιπλέον, η dφ p είναι γραμμική απεικόνιση. Απόδειξη. Εστω X : U M 1, Y : V M 2 τοπικές παραμετρήσεις των M 1, M 2 αντίστοιχα τέτοιες ώστε X(0) = p, Y (0) = φ(p) και έτσι ώστε φ(x(u)) Y (V ). Θέτουμε F = Y 1 φ X : U R 2. Θεωρούμε την καμπύλη γ : I M 1 τέτοια ώστε γ(0) = p, γ (0) = Z και επιπλέον γ(i) X(U) (με ενδεχόμενη μείωση του διαστήματος I). Θέτουμε α = X 1 γ : I U (επίπεδη καμπύλη). Τότε επειδή X α = γ, θα είναι D(X α)(0) = γ (0), συνεπώς από τον κανόνα αλυσίδας προκύπτει ότι DX(0)α (0) = Z (3.3)

6 6 Ο εφαπτόμενος χώρος (αλλά και απευθείας από τον απειροστικό λογισμό: Συνεπώς, χρησιμοποιώντας την (3.3) παίρνουμε ότι DX(0)(α (0)) = d dt (X α(t)) t=0 = d dt γ(t) t=0 = Z). dφ p (Z) = d dt (φ γ) t=0 = d dt (φ X α) t=0 = d dt (Y Y 1 φ X α) t=0 = d dt (Y F α) t=0 = D(Y F )(0)(α (0)) = D(Y F )(0)(DX 1 (0))Z. Η παραπάνω έκφραση του διαφορικού δεν εξαρτάται από την επιλογή της καμπύλης γ. Τέλος, η απεικόνιση dφ p είναι γραμμική ως σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων. Παράδειγμα 3.5. Εστω f : M 1 M 2 μια σταθερή απεικόνιση. Τότε για κάθε σημείο p M 1 το διαφορικό df p είναι ίσο με 0. Πράγματι, έστω X T p M 1 ένα τυχαίο εφαπτόμενο διάνυσμα. Τότε από τον ορισμό του εφαπτόμενου χώρου υπάρχει καμπύλη α : I M 1 τέτοια ώστε α(0) = p και α (0) = X. Επομένως, είναι df p X = d dt (f α) t=0 = d dt (f(α(t))) t=0 = f (α(t)) α (t) t=0 = f (α(0)) α (0) = 0 α (0) = 0. Παράδειγμα 3.6. Εστω A : R 3 R 3 ένας ορθογώνιος τελεστής, δηλαδή A O(3) και έστω f : S 2 S 2 με τύπο f = A S 2. Εστω p S 2. Θα υπολογίσουμε το διαφορικό της f στο σημείο p. Εστω γ : I S 2 μια λεία καμπύλη με γ(0) = p, γ (0) = X T p S 2. Λόγω της γραμμικότητας του A έχουμε Συνεπώς, df p = A TpS 2 : T ps 2 T A(p) S 2. Πρόταση 3.4. d dt (f γ) t=0 = d dt (A γ) t=0 = A d dt γ t=0 = A(X). (1) Εστω M 1, M 2, M 3 κανονικές επιφάνειες και f : M 1 M 2, g : M 2 M 3 διαφορίσιμες απεικονίσεις. Τότε η σύνθεση g f : M 1 M 3 είναι διαφορίσιμη απεικόνιση και για κάθε p M 1. d(g f) p = (dg) f(p) df p, (2) Αν η απεικόνιση f : M 1 M 2 είναι αμφιδιαφόριση, τότε η απεικόνιση df p : T p M 1 T f(p) M 2 είναι αντιστρέψιμη και (df p ) 1 = d(f 1 ) f(p) για κάθε p M 1. Το κλασικό Θεώρημα Αντίστροφης Απεικόνισης γενικεύεται στην περίπτωση των επιφανειών ως εξής: Θεώρημα 3.1. (Αντίστροφης Απεικόνισης) Εστω f : M 1 M 2 μια λεία απεικόνιση μεταξύ επιφανειών του R 3 και έστω p M 1, q = φ(p). Υποθέτουμε ότι το διαφορικό df p : T p M 1 T φ(p) M 2 είναι 1-1 και επί (άρα αντιστρέφεται). Τότε υπάρχουν ανοικτές περιοχές U p p, V q q τέτοιες ώστε η απεικόνιση f Up : U p V q να είναι 1-1 και επί και η αντίστροφη ( ) 1 f Up : Vq U p να είναι λεία (δηλαδή η f είναι τοπική αμφιδιαφόριση).

7 Λυμένα παραδείγματα 7 Απόδειξη. Εστω X : U R 2 M 1 R 3, Y : V R 2 M 2 R 3 δύο τοπικοί χάρτες (παραμετρήσεις) των M 1 και M 2 στα σημεία p και q αντίστοιχα, με X(u 0, v 0 ) = p. Υποθέτουμε (ενδεχομένως λαμβάνοντας ένα υποσύνολο του U) ότι f(x(u)) Y (V ). Επειδή η f είναι διαφορίσιμη, θα υπάρχουν διαφορίσιμες συναρτήσεις α : U R, β : U R τέτοιες ώστε f(x(u, v)) = Y (α(u, v), β(u, v)). Πιο συγκεκριμένα, ορίζεται η διαφορίσιμη απεικόνιση χ : U V της μορφής χ(u, v) = (α(u, v), β(u, v)) ώστε f X = Y χ. Ο πίνακας του διαφορικού df p : T p M 1 T q M 2 ως προς τις βάσεις {X u, X v }, {Y u, Y v } των εφαπτόμενων χώρων T p M 1 και T q M 2 αντίστοιχα είναι ο Ιακωβιανός πίνακας ( ) α u α v J =. β u Επειδή το διαφορικό df p αντιστρέφεται, ο πίνακας J έχει και αυτός αντίστροφο. Από το κλασικό θεώρημα αντίστροφης απεικόνισης, η διαφορίσιμη συνάρτηση β v χ : U R 2 V R 2, (u, v) (α(u, v), β(u, v)) είναι τοπική αμφιδιαφόριση, από κάποιο ανοικτό υποσύνολο W U με (u 0, v 0 ) W σε ένα ανοικτό W V. Τότε θέτοντας U p = X(W ) και U q = Y ( W ) η απεικόνιση f Up : U p U q είναι αμφιδιαφόριση (προτρέπουμε τον αναγνώστη να κάνει ένα διάγραμμα της απόδειξης). 3.2 Λυμένα παραδείγματα Παράδειγμα 3.7. Να βρεθεί η εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου της επιφάνειας M του υπερβολικού παραβολοειδούς με τοπική παραμέτρηση X(u, v) = (u, v, u 2 v 2 ), στο σημείο p = (1, 1, 0). Λύση Είναι X(1, 1) = (1, 1, 0) = p. Γνωρίζουμε ότι ο εφαπτόμενος χώρος T p M στο σημείο p παράγεται από τα διανύσματα {X u (1, 1), X v (1, 1)}. Ζητάμε την καρτεσιανή εξίσωση του εφαπτόμενου χώρου, ως επίπεδο στον R 3. Είναι X u (u, v) = (1, 0, 2u), X v (u, v) = (0, 1, 2v), άρα X u (1, 1) = (1, 0, 2) και X v (1, 1) = (0, 1, 2). Υπάρχουν διάφοροι εναλλακτικοί τρόποι να προχωρήσουμε. Για παράδειγμα, ένα διάνυσμα κάθετο στο ζητούμενο επίπεδο είναι το n = X u (1, 1) X v (1, 1) = ( 2, 2, 1). Συνεπώς, αν (x, y, z) είναι ένα τυχαίο σημείο του επιπέδου αυτού, τότε η καρτεσιανή εξίσωσή του είναι n, (x 1, y 1, z) = 0 ή 2x 2y z = 0. Παράδειγμα 3.8. Εστω M η επιφάνεια με εξίσωση z = x 2 + 3xy 5y 2.

8 8 Ο εφαπτόμενος χώρος (α) Δείξτε ότι τα μοναδιαία διανύσματα u 1 = (1, 0, 0) και u 2 = (0, 1, 0) αποτελούν βάση του εφαπτόμενου χώρου της M στο σημείο p = (0, 0, 0). (β) Αποδείξτε ότι οι απεικονίσεις γ 1, γ 2 : R 2 R 3 με γ 1 (t) = (t, 0, t 2 ), γ 2 (t) = (0, t, 5t 2 ) ορίζουν καμπύλες επί της M, οι οποίες διέρχονται από το p και έχουν ως εφαπτόμενα διανύσματα στο σημείο p τα u 1 και u 2 αντίστοιχα. (γ) Βρείτε ένα μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της επιφάνειας M σε μια περιοχή ενός τυχαίου σημείου της. Λύση (α) Επειδή η επιφάνεια είναι της μορφής z = f(x, y), όπου f : R 2 R με f(x, y) = x 2 + 3xy 5y 2, θέτουμε x = u, y = v τότε z = z(u, v). Τότε μια παραμέτρηση αυτής θα είναι η X(u, v) = (u, v, u 2 + 3uv 5v 2 ), οπότε θα έχουμε T p M = {λx u (q) + µx v (q) : λ, µ R}, όπου q = X 1 (p) = (0, 0) = {λ(1, 0, 2u + 3v) q + µ(0, 1, 3u 10v) q : λ, µ R} = {λ(1, 0, 0) + µ(0, 1, 0) : λ, µ R} = {λu 1 + µu 2 : λ, µ R} (β) Εστω F : R 3 R με F (x, y, z) = x 2 +3xy 5y 2 z. Αρκεί να δείξουμε ότι F (γ 1 (t)) = F (γ 2 (t)) = 0. Εχουμε F (γ 1 (t)) = F (t, 0, t 2 ) = t 2 + 3t t 2 = 0 F (γ 2 (t)) = F (0, t, 5t 2 ) = 0 + 3t 0 5t 2 + 5t 2 = 0 άρα γ 1, γ 2 M. Παρατηρούμε ότι για t = 0 είναι γ 1 (0) = γ 2 (0) = p, οπότε οι καμπύλες διέρχονται από το σημείο p. Τα εφαπτόμενα διανύσματα των δύο αυτών καμπυλών είναι αντίστοιχα: γ 1(t) = (1, 0, 2t) για t = 0 : γ 1(0) = (1, 0, 0) = u 1 γ 2(t) = (0, 1, 10t) για t = 0 : γ 2(0) = (0, 1, 0) = u 2. (γ) Ενα μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της επιφάνειας M σε ένα τυχαίο σημείο αυτής είναι το N = X u X v X u X v = 1 ( 2u 3v, 3u + 10v, 1). ( 2u 3v) 2 + ( 3u + 10v) Παράδειγμα 3.9. Δείξτε ότι το εφαπτόμενο επίπεδο της επιφάνειας x2 a 2 + y2 b 2 + z2 = 1 στο σημείο p = c2 (x 0, y 0, z 0 ) δίνεται από την εξίσωση xx 0 a 2 + yy 0 b 2 + zz 0 c 2 = 1. Λύση Εστω f : R 3 R με τιμή f(x, y, z) = x2 a 2 + y2 b 2 + z2 1. Τότε θα είναι c2 f x (p) = 2x a 2 p = 2x 0 a 2, f y(p) = 2y b 2 p = 2y 0 b 2, f z(p) = 2z c 2 p = 2z 0 c 2.

9 Ο εφαπτόμενος χώρος 9 Σύμφωνα με την εξίσωση (3.2) το εφαπτόμενο επίπεδο στο σημείο p = (x 0, y 0, z 0 ) δίνεται ως εξής: f x (p)(x x 0 ) + f y (p)(y y 0 ) + f z (p)(z z 0 ) = 0 xx 0 a 2 + yy 0 b 2 + zz 0 c 2 = x2 0 a 2 + y2 0 b 2 + z2 0 c 2 xx 0 a 2 + yy 0 b 2 + zz 0 c 2 = 1, όπου λάβαμε υπόψη ότι το σημείο p είναι σημείο της επιφάνειας (άρα ικανοποιεί την εξίσωσή αυτής). Παράδειγμα Εστω M μια κανονική επιφάνεια, v R 3 ένα μοναδιαίο διάνυσμα και έστω η συνάρτηση f : M R με τιμή f(p) = v, p. Να υπολογίσετε το διαφορικό df p (X), όπου X T p M. Λύση Εστω γ : R M μια καμπύλη με γ(0) = p και γ (0) = X. Τότε df p (X) = d dt (f γ(t)) t=0 = d dt (f(γ(t))) t=0 = d dt ( v, γ(t) ) t=0 = dv dt, γ(t) t=0 + v, dγ dt t=0 = v, γ (t) t=0 = v, γ (0) = v, X. Άρα df p (X) = v, X. Παράδειγμα Εστω S 2 R 3 η μοναδιαία σφαίρα και έστω R z,θ : R 3 R 3 η απεικόνιση στροφής κατά γωνία θ περί τον άξονα z. Τότε ο περιορισμός f = R z,θ S 2 : S 2 S 2 είναι λεία απεικόνιση. Να υπολογίσεται το διαφορικό df p : T p S 2 T f(p) S 2. Λύση Εστω γ : I S 2 λεία καμπύλη με γ(0) = p, γ (0) = Z. Λόγω της γραμμικότητας της R z,θ έχουμε df p (Z) = d dt (R z,θ γ(t)) t=0 = R z,θ (γ (0)) = R z,θ (Z). Παρατηρείστε ότι η R z,θ διατηρεί τον βόρειο πόλο N(0, 0, 1) σταθερό και ότι η απεικόνιση df N : T N S 2 T N S 2 παριστά στροφή κατά γωνία θ στο επίπεδο T N S 2. (Το παράδειγμα αυτό είναι ειδική περίπτωση του Παραδείγματος 3.6). 3.3 Ασκήσεις 1. Να βρεθεί η εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου για κάθε μία από τις παρακάτω παραμετρημένες επιφάνειες στο αντίστοιχο σημείο: (α) X(u, v) = (u, v, u 2 v 2 ), p = (1, 1, 0). (β) X(r, θ) = (r cosh θ, r sinh θ, r 2 ), p = (1, 0, 1). 2. Να αποδειχθεί ότι σε κάθε σημείο μιας γενέτειρας του κυλίνδρου το εφαπτόμενο επίπεδο μένει σταθερό.

10 10 Ο εφαπτόμενος χώρος 3. Να βρεθεί η καρτεσιανή εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου T p M της επιφάνειας M που ορίζει η παραμέτρηση X(u, v) = (u + v, u v, uv), (u, v) R 2 στο σημείο p = (0, 2, 1). 4. Να δειχθεί ότι οι επιφάνειες M 1, M 2 οι οποίες ορίζονται από τις εξισώσεις x 2 +y 2 +z 2 = αx, x 2 +y 2 +z 2 = βy, όπου α, β R τέμνονται κατά σταθερή γωνία. 5. Δείξτε ότι το ελλειψοειδές 3x 2 + 2y 2 + z 2 = 9 και η σφαίρα x 2 + y 2 + z 2 8x 6y 8z + 24 = 0 εφάπτονται στο σημείο p = (1, 1, 2). 6. Εστω M μια κανονική επιφάνεια, p 0 R 3 \ M και f : M R η συνάρτηση f(p) = p p 0 2. Δείξτε ότι df p (Z) = 2 Z, p p 0, για κάθε Z T p M. (Εδώ, είναι το κανονικό εσωτερικό γινόμενο του R 3 και x = x, x 1/2 ). 7. Αποδείξτε ότι αν μια κανονική επιφάνεια M τέμνει ένα επίπεδο Π σε ένα και μοναδικό σημείο p, τότε το επίπεδο Π είναι το εφαπτόμενο επίπεδο της M στο σημείο p. 8. (α) Εστω M μια κανονική επιφάνεια, p M και Id M : M M η ταυτοτική απεικόνιση. Αποδείξτε ότι (did M ) p = Id TpM : T p M T p M. (β) Αποδείξτε την Πρόταση 3.4. (γ) Εστω f : M 1 M 2 μια αμφιδιαφόριση μεταξύ κανονικών επιφανειών. Αποδείξτε ότι για κάθε p M 1 η γραμμική απεικόνιση df p : T p M 1 T f(p) M 2 είναι αντιστρέψιμη (άρα ισομορφισμός διανυσματικών χώρων). 9. Εστω M μια κανονική και συνεκτική 1 επιφάνεια. Εστω f : M R μια λεία απεικόνιση τέτοια ώστε df p = 0 για κάθε p M. Δείξτε ότι η f είναι σταθερή στην M. 1 Συνεκτική επιφάνεια ως συνεκτικό υποσύνολο του R 3.

11 Βιβλιογραφία [1] M. Abate and F. Torena, Curves and Surfaces, Springer [2] C. Bär, Elementary Differential Geometry, Cambridge Univ. Press [3] M. P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall [4] J. Oprea, Differential Geometry and Its Applications, The Mathematical Assocation of America, [5] Β. Ι. Παπαντωνίου, Διαφορική Γεωμετρία, Εκδ. Πανεπιστ. Πατρών, Πάτρα, [6] A. Pressley, Elementary Differential Geometry, Second Edition, Springer Μετάφραση: Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Κρήτη

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία 33 Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία Ενότητα: Ο εφαπτόμενος χώρος Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 33 34 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q) Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία 71 Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία Ενότητα: Λσμένα Παραδείγματα Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 71 72 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Ενότητα: Σσναλλοίωτη παράγωγος και παράλληλη μεταφορά Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 17 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Ενότητα: Επαναληπτικά θέματα Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών x Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

X u, X u. Z = X u. W EG F 2 (X v F E X u). X u, X v X v, X v

X u, X u. Z = X u. W EG F 2 (X v F E X u). X u, X v X v, X v Κεφάλαιο 6 Το Θαυμαστό Θεώρημα Σύνοψη Στο Κεφάλαιο αυτό αποδεικνύουμε ένα από τα δύο κεντρικά θεωρήματα της θεωρίας επιφανειών το άλλο είναι το Θεώρημα των auss-bonnet. Το θεώρημα αυτό είναι γνωστό ως

Διαβάστε περισσότερα

[4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11].

[4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11]. Κεφάλαιο 8 Συναλλοίωτη παράγωγος και παραλληλία Σύνοψη Ορίζουμε την έννοια του διανυσματικού πεδίου σε μια επιφάνεια και τη συναλλοίωτη παράγωγο αυτού κατά μήκος μιας λείας καμπύλης. Ενα διανυσματικό πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

I p : T p M R +, I p (Z) = Z, Z p = Z 2.

I p : T p M R +, I p (Z) = Z, Z p = Z 2. Κεφάλαιο 4 Η πρώτη θεμελιώδης μορφή Σύνοψη Ενας από τους κεντρικούς στόχους της διαφορικής γεωμετρίας είναι η ανάπτυξη ενός αποτελεσματικού τρόπου μέτρησης της καμπυλότητας γεωμετρικών αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

1 C k 1 = 1 C 2 sin 2 t, k 2 =

1 C k 1 = 1 C 2 sin 2 t, k 2 = Κεφάλαιο 11 Επιφάνειες σταθερής καμπυλότητας Gauss Σύνοψη Παρουσιάζουμε χωρίς απόδειξη την ταξινόμηση των επιφανειών του R 3 με σταθερή καμπυλότητα Gauss, θετική, μηδέν, ή αρνητική. Εξετάζουμε χωριστά

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία 48 Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία Ενότητα: Καμπσλότητα Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 48 49 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2) 8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Ενότητα: Γεωδαιζιακές καμπύλες Όνομα Καθηγηηή: Ανδρέας Αρβανιηογεώργος Τμήμα: Μαθημαηικών 23 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

t=0 t=0 (2) v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g),

t=0 t=0 (2) v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g), Κεφάλαιο 3 Το διαφορικό μιας λείας απεικόνισης Σύνοψη Ορίζουμε ένα εφαπτόμενο διάνυσμα σε ένα σημείο μιας πολλαπλότητας ως μια παραγώγιση κατά σημείο. Το σύνολο όλων των εφαπτόμενων διανυσμάτων σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

N(q) = N(X(u, v)) = X u(u, v) X v (u, v) X u (u, v) X v (u, v)

N(q) = N(X(u, v)) = X u(u, v) X v (u, v) X u (u, v) X v (u, v) Κεφάλαιο 5 Η απεικόνιση Gauss και καμπυλότητα Σύνοψη Ενας από τους κεντρικούς στόχους της διαφορικής γεωμετρίας είναι η εύρεση ενός φυσικού και αποτελεσματικού τρόπου, προκειμένου να μετρηθεί η κύρτωση

Διαβάστε περισσότερα

X vu = Γ 1 21X u + Γ 2 21X v + fn. X vv = Γ 1 22X u + Γ 2 22X v + gn, (7.2) X u = (cos u cos v, cos u sin v, sin u)

X vu = Γ 1 21X u + Γ 2 21X v + fn. X vv = Γ 1 22X u + Γ 2 22X v + gn, (7.2) X u = (cos u cos v, cos u sin v, sin u) Κεφάλαιο 7 Οι εξισώσεις Codazzi και Gauss Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με μια βαθύτερη κατανόηση της καμπυλότητας Gauss. Θα ορίσουμε τα σύμβολα του Christoffel, τα οποία είναι πραγματικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

T M = T p U = v p = c i

T M = T p U = v p = c i Κεφάλαιο 4 Διανυσματικά πεδία Σύνοψη Ορίζουμε και μελετάμε λεία διανυσματικά πεδία σε μια λεία πολλαπλότητα M. Ως λεία απεικόνιση, ένα διανυσματικό πεδίο έχει τη μορφή X : M T M με τιμές στην εφαπτόμενη

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Ενότητα: Το Θεώρημα Gauss - Bonnet Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 39 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί. Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT Αρβανιτογεώργος Ανδρέας Πατέρας Ιωάννης ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Στόχος Εργασίας Η εύρεση των γεωδαισιακών καμπυλών πάνω σε μια επιφάνεια.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 25 Μαΐου 211 2 Περιεχόμενα 1 Ο χώρος R n 1 1.1 Ο Ευκλείδιος n-χώρος..................................

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 1

Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Αναλυτική Γεωμετρία Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Αναλυτική Γεωμετρία 4.1 Εξίσωση Καμπύλης Έστω C μια καμπύλη στο R. H C αποτελείται από άπειρα σημεία Μ(x,y). Έξίσωση μιας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :

Διαβάστε περισσότερα

X u X v 2 = X u 2 X v 2 (1 cos 2 θ) = X u 2 X v 2 X u, X v 2 = EG F 2, da =

X u X v 2 = X u 2 X v 2 (1 cos 2 θ) = X u 2 X v 2 X u, X v 2 = EG F 2, da = Κεφάλαιο 1 Το Θεώρημα Gauss-Bonnet Σύνοψη Το Θεώρημα των Gauss - Bonnet αποτελεί ένα από τα πιο σημαντικά (αν όχι το πιο σημαντικό) αποτελέσματα της διαφορικής γεωμετρίας των επιφανειών. Μέσω του θεωρήματος

Διαβάστε περισσότερα

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Εισαγωγικές Ένvοιες ΙI Λουκάς Βλάχος Καθηγητής Αστροφυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. (ii) Αν ο Β m+1, με m N, αντιστρέφεται, τότε και ο Β αντιστρέφεται

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. (ii) Αν ο Β m+1, με m N, αντιστρέφεται, τότε και ο Β αντιστρέφεται ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ 1) Έστω A, Β Μ n (R) τέτοιοι, ώστε A + Β = Ι n. Να δείξετε ότι : A = A 2 κκκ Β = Β 2 ΑΑ = Ο 2) Έστω A, Β Μ n (R), με A = A 2 και ΑΑ + ΒΒ = Ο. Να δειχθεί ότι ΑΑ = ΒΒ

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πραγματικές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών (μέρος 1) Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9 ΓΕΛ ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β 331 Α. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των μη μηδενικών διανυσμάτων α, β. Μονάδες 5 β. Εάν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β αντιστοίχως να δείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών. Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και

Διαβάστε περισσότερα

γ(0) = γ(0) tan + γ(0) norm, γ(t) tan = 0 (9.1)

γ(0) = γ(0) tan + γ(0) norm, γ(t) tan = 0 (9.1) Κεφάλαιο 9 Γεωδαισιακές καμπύλες Σύνοψη Ως γνωστόν οι ευθείες γραμμές παίζουν καθοριστικό ρόλο στη γεωμετρία του επιπέδου. Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να ορίσουμε εκείνες τις καμπύλες σε μια επιφάνεια,

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστα & Ελάχιστα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ

Μέγιστα & Ελάχιστα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Μέγιστα & Ελάχιστα 1 μεταβλητή: Τύπος Taylor Aν y=f(x) είναι καλή συνάρτηση f '( a) f ''( a) f ( a) f x f a x a x a x a R x 1!! n! n + 1 f ( c) n + 1 Rn ( x) = ( x a), a

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: 5. ΟΡΙΣΜΟΙ Έστω U και V δύο διανυσματικοί χώροι. Μια συνάρτηση F : U V θα λέγεται γραμμική απεικόνιση (ή ομομορφισμός, ή απλά μορφισμός εάν ικανοποιεί τις συνθήκες (i F ( u + = u + για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6 η : Μερική Παράγωγος ΙΙ Λουκάς Βλάχος Καθηγητής Αστροφυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b.

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b. Σύνοψη Κεφαλαίου 2: Ομοπαραλληλική Γεωμετρία Γεωμετρία και μετασχηματισμοί 1. Μία ισομετρία του R 2 είναι μία απεικόνιση από το R 2 στο R 2 που διατηρεί αποστάσεις. Κάθε ισομετρία του R 2 έχει μία από

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών

Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Πρόχειρες σημειώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Τα στοιχεία του R n είναι όλα τα n-διάστατα διανύσματα ή, ισοδύναμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4. bt (γιατί;).

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4. bt (γιατί;). ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 1 Τμήμα Α Ακ.Έτος: 6-7 Διδάσκων Σ.Ε.Π. : Τρύφων Δάρας ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Μία συνάρτηση της μορφής r ():[ aβ, ] (αντίστοιχα r ():[, ] aβ ) λέμε ότι παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες.

14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες. 14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες. 13 η εβδομάδα (20/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 31, 32, 33, 34, 36 και 37 11 η 12 η εβδομάδα

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες και ορισμούς των Διαφορικών Εξισώσεων. Στο εδάφιο 1.1 παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 6: Παράγωγος κατά κατεύθυνση, κλίση, εφαπτόμενα επίπεδα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

α) f(x(t), y(t)) = 0,

α) f(x(t), y(t)) = 0, Ρητές καμπύλες Μια επίπεδη αλγεβρική καμπύλη V (f) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου K 2 που μηδενίζουν κάποιο συγκεκριμένο ανάγωγο πολυώνυμο f K[x, y], δηλαδή V (f) = {(x 0, y 0 ) K 2 f(x

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 4 Ενότητα 11

Λογισμός 4 Ενότητα 11 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11: Θεώρημα αλλαγής μεταβλητών. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός. Αν τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση όπου (συνιστώσες) είναι

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης.

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. 1. Για καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις ελέγξτε βάσει του ορισμού της παραγωγισιμότητας αν είναι παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Λογισμός 3 Ασκήσεις. Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ.

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Λογισμός 3 Ασκήσεις. Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Λογισμός 3 Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, 2015 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 5 Νοεμβρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

X 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 )

X 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 ) Εστω X : Ω R d τυχαίο διάνυσμα με ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ X Εχουμε δει ότι η γνώση της κατανομής καθεμιάς από τις X, X,, X d δεν αρκεί για να προσδιορίσουμε την κατανομή του X, αφού δεν περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Υποδείξεις - Συχνά Λάθη

Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Υποδείξεις - Συχνά Λάθη Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Υποδείξεις - Συχνά Λάθη Διδάσκοντες: Δάλλα - Αλικάκος 6 Ιουλίου 204 Θέμα (α) Από την γνωστή ανισότητα a 2 + b 2 2 ab, όταν (x, y) (0, 0), τότε ισχύει: f(x, y) f(0, 0) x 2 y 2x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

t : (x, y) x 2 +y 2 y x

t : (x, y) x 2 +y 2 y x Σύνοψη Κεφαλαίου 5: Αντιστροφική Γεωμετρία Αντιστροφή 1. Η ανάκλαση σε μία ευθεία l στο επίπεδο απεικονίζει ένα σημείο A σε ένα σημείο A που απέχει ίση απόσταση από την l αλλά βρίσκεται στην άλλη πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k. Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρεθεί η προβολή του σημείου Ρ=(6,1,5) πάνω στην ευθεία ε: x ={3,1,2}+λ{1,2,1},, και η απόστασή του από αυτήν.

4. Να βρεθεί η προβολή του σημείου Ρ=(6,1,5) πάνω στην ευθεία ε: x ={3,1,2}+λ{1,2,1},, και η απόστασή του από αυτήν. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙI Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ 009-00 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο V Ι. Δίνονται οι ευθείες δ: x ={,0,0}+λ{,,}, ε: x -x + x -=0, x -x =. Να εξετάσετε αν οι ευθείες δ, ε είναι ασύμβατες. Αν ναι, βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ο κύκλος x + y = 5 και οι εφαπτόµενες σ αυτόν από το σηµείο Μ(0, 0). Αν Α και Β είναι τα σηµεία επαφής, να βρείτε Τις εξισώσεις των εφαπτόµενων Τις συντεταγµένες των

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Προσανατολισμένο Ευθύγραμμο Τμήμα (π.ε.τ.) είναι το ευθύγραμμο τμήμα PQ στο οποίο ορίζουμε το άκρο Ρ αυτού να είναι η αρχή του π.ε.τ. και το άκρο Q αυτού να είναι το

Διαβάστε περισσότερα

b proj a b είναι κάθετο στο

b proj a b είναι κάθετο στο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB. Εξετάσεις Ιουνίου τέμνει το επίπεδο 4x+3z+5=0 κατά τον κύκλο ακτίνας 42. (2)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB. Εξετάσεις Ιουνίου τέμνει το επίπεδο 4x+3z+5=0 κατά τον κύκλο ακτίνας 42. (2) Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 1999 1) Να βρεθεί η εξίσωση της σφαίρας, η οποία έχει κέντρο το σημείο Κ(1,3,) και τέμνει το επίπεδο 4x+3z+5=0 κατά τον κύκλο ακτίνας 4. () ) Να βρεθεί η εξίσωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 1. Γενικά.. 15 Επιφάνεια 15 Ευθειογενεί επιφάνειε. 15 Επιφάνειε δευτέρου βαθμού.. 16 2. Μερικέ επιφάνειε δευτέρου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΒΛΑΧΟΣ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΒΛΑΧΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΒΛΑΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 2017 2 Περιεχόμενα 1 Καμπύλες του R 2 5 1.1 Κανονικές καμπύλες.................... 6 1.2 Αναπαραμετρήσεις καμπυλών..............

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Σκοπός: Σκοπός του κεφαλαίου είναι αρχικά η υπενθύμιση βασικών εννοιών που αφορούν τον ορισμό, τις πράξεις και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αφ ενός και η μελέτη της

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

{(x, y) R 2 : f (x, y) = 0}

{(x, y) R 2 : f (x, y) = 0} ΜΕΜ 102 Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα Διάλεξη 13 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης Οκτ 2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ 102-13 Οκτ 2014 1 / 10 Ενα θεμελιώδες πρόβλημα της Αναλυτικής Γεωμετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ ΠΑΤΕΡΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. Πνευματικός ΜΕΡΟΣ Β.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. Πνευματικός ΜΕΡΟΣ Β. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 0- ΜΑΘΗΜΑ: Καθηγητής: Σ. Πνευματικός ΜΕΡΟΣ Β ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΗΝ Μάθημα ο Στην Κλασική Μηχανική, ένα πεδίο δυνάμεων ορίζεται στον τρισδιάστατο ευκλείδειο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός εφαπτομένης καμπύλης Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(x, f(x )) την

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Έστω r rx, y, z, I a, b συνάρτηση C τάξης και r r r x y z Nα αποδείξετε ότι: d dr r (α) r r, I r r r d dr d r (β) r r, I dr (γ) Αν r 0, για κάθε I κάθε I d (δ)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα