Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14 " ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ "

Transcript

1 Άσκηση Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Παράδοση 6//9 Αν υοθέσουμε ως στο τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων yz ο άξονας των z συμίτει με τη διεύθυνση της κατακόρυφου, να γράψετε αναλυτικά (με την βοήθεια των ˆˆ ˆ i, j, k ) το διάνυσμα του βάρους Β ου κατευθύνεται ρος τα κάτω και έχει μέτρο 7(Ν). Να υολογίσετε το διάνυσμα της ροής τ, του βάρους αυτού ως ρος την αρχή των αξόνων, γνωρίζοντας ότι το βάρος εφαρμόζεται στην άκρη ενός ανύσματος d ˆi ˆj (m) Δίνεται ότι το διάνυσμα της ροής ροκύτει αό το εξωτερικό γινόμενο του διανύσματος d εί το διάνυσμα της δύναμης ου στην ερίτωση αυτή είναι το βάρος. Δηλ.: τ d Β Να σχεδιάσετε τα ανύσματα d και τ στο είεδο y. Τι αρατηρείτε; Το βάρος B βρίσκεται στον άξονα των z και κατευθύνεται ρος τα κάτω (τον αρνητικό ημιάξονα των z). Θα ρέει στη συνέχεια να γράψουμε το βάρος διανυσματικά με τη βοήθεια των μοναδιαίων διανυσμάτων iˆ, ˆjk,, ˆ για να μορέσουμε να υολογίσουμε στην συνέχεια το εξωτερικό γινόμενο. Έτσι, γράφουμε για το διάνυσμα B του βάρους: B(,, 7) ή B (iˆ ˆj7 kˆ ). iˆ ˆj kˆ Η ροή δίνεται αό το εξωτερικό γινόμενο τ d B iˆ 4 ˆj 7 Η γραφική αράσταση τ 4 y d - δείχνει ότι το διάνυσμα της ροής τ είναι ράγματι κάθετο στο διάνυσμα d. Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Εργασία & Λύσεις Σελίδα αό 4

2 Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Άσκηση Σε ένα τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων yz, με μοναδιαία διανύσματα στους άξονες ˆˆ i, j, k ˆ αντίστοιχα, μια δύναμη F (6 ˆi - ˆj) N δρα σε ένα σωμάτιο το οοίο μετατοίζεται κατά s ( ˆi ˆj ) m Δεδομένου ότι το έργο W ροκύτει αό το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων F και s, ( W F s ) να υολογίσετε το έργο ου αράγει η δύναμη στο σωμάτιο και τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων F και s. F (6 ˆi - ˆj) N s ( ˆi ˆj ) m W F s (6 ˆi - ˆj). ( ˆi ˆj ) 8 ˆˆ i i - ˆˆ j j 8-6 J F s 6 6 cosϕ.8 F s 6. ϕ 7 Άσκηση. Υολογίστε τις γωνίες α,β,γ ου ικανοοιούν τις εξισώσεις sinα cos β tanγ 4sinα cos β tanγ 6sinα cos β tanγ 9 όου α <, β, γ <. Δίνονται τα διανύσματα a iˆ kˆ, b iˆ ˆj kˆ και λ a µ b νc αν και μόνο αν λ µ ν c iˆ ˆjkˆ. Να αοδείξετε ότι Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Εργασία & Λύσεις Σελίδα αό 4

3 Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Εργασία & Λύσεις Σελίδα αό α β γ sin α α α β β β cos, και 64 tan γ γ γ. Η σχέση c b a ν µ λ δίνει το ομογενές σύστημα εξισώσεων ν µ λ ν µ ν µ λ του οοίου η ορίζουσα των συντελεστών είναι Άρα η μοναδική λύση του συστήματος είναι η ζητούμενη μηδενική. Το αντίστροφο ροφανώς ισχύει.

4 Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Άσκηση 4 Να λυθεί και να διερευνηθεί για τις διάφορες τιμές των αραμέτρων λ y z 4 ky z ky z 7 λ,k R το σύστημα λ k k k ( λ) Για k και λ / έχουμε μία και μοναδική λύση 4 k ( 8 k) y 4( λ) k k( λ 4) k και κατά συνέεια λ 4 7 z λ k 4 7 ( 8 9k) ( λ) k, y 4( λ) k( λ) k y 4 και z z k ( λ 4) k( λ) 4 Για k το σύστημα γίνεται λ y z 4 z z 7 άρα αδύνατον. Για k και λ / το σύστημα γίνεται y z 4 ky z ky z 7 με Έχουμε ότι ( k) 89 για k 8/9 ( λ ) y k 4 4 για k 8/9 z Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Εργασία & Λύσεις Σελίδα 4 αό 4

5 Τα και Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 z μηδενίζονται για 8 k Άρα το σύστημα έχει άειρες λύσεις για k ενώ είναι αδύνατο για k 9 9 Άσκηση 5 Να βρεθούν οι αντίστροφες των αρακάτω συναρτήσεων και να αρασταθούν γραφικά (χρησιμοοιείστε τουλάχιστον σημεία): α) f ( ) -, β) γ) δ) f ( ) - f, ( ) (), / f( ), α) β) α) β) γ) Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Εργασία & Λύσεις Σελίδα 5 αό 4

6 Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 δ) γ) δ) Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Εργασία & Λύσεις Σελίδα 6 αό 4

7 Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Άσκηση 6 Συμληρώστε τα στοιχεία του ίνακα ου λείουν. g ( ) f( ) ( f g)( )???? Πρώτη σειρά: ( f g)( ) g ( ) Δεύτερη σειρά: g ( ) ( f g)( ) g ( ) g ( ) g ( ) Τρίτη σειρά: ( f g)( ) g ( ) g ( ) Τέταρτη σειρά: ( f g)( ) f( ) f( ) Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Εργασία & Λύσεις Σελίδα 7 αό 4

8 Άσκηση 7 Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4. Με βάση το διλανό σχήμα να υολογίσετε τα όρια: a. lim( α β) b. θ lim( α β ) θ β c. lim θ θ α Α Β. Να υολογίσετε τα όρια (αν υάρχουν): γ a. - lim f( ), lim f( ), lim f( ) όου f( ) >- b. 5 lim 9 c. Κανόνας de L Hospital: lim f( ), lim g ( ), R, και υάρχει το όριο Αν { } Αν lim g ( ) όριο f ( ) (εερασμένο ή άειρο) τότε lim f( ) ή -, lim g ( ) lim g ( ) f( ) f ( ) lim g ( ) lim g ( ) f ( ) (εερασμένο ή άειρο) τότε ή -, R { } lim g ( ) και υάρχει το, f( ) f ( ) lim g ( ) Χρησιμοοιείστε όου μορείτε τον κανόνα de L Hospital για να υολογίσετε τα όρια: I. II. III. IV. sin lim sin lim lim ln lim (υόδειξη: χρησιμοοιείστε το. Εκφράζουμε τα α και β ως συνάρτηση των γωνιών. γ γ cosθ α α cosθ, Έτσι έχουμε: f( ) cos sin sinθ β β θ β γ θ α γ cosθ Γ β ln f ( ) e και το III.) α Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Εργασία & Λύσεις Σελίδα 8 αό 4

9 Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 θ θ θ θ ( ) ( ) ( ) θ θ θ ( sinθ)( sinθ) ( ) sinθ sinθ lim( α β) γ lim γ lim γ lim cosθ cosθ cosθ cosθ sinθ sin θ cos θ cosθ γ lim γ lim γ lim γ cosθ sinθ cosθ sinθ sinθ. α β άρα lim( α β ) lim( γ ) γ θ θ θ θ β lim lim sinθ sin α a. b. lim f( ) lim 5 lim f( ) lim lim f( ) lim ( ) 5 5 lim f( ) 4 lim f( ) lim ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) lim lim lim lim lim lim 9 6 c. 5 Εομένως δεν υάρχει το όριο lim 9 sin cos I. lim lim sin cos II. lim lim lim cos Δεν υάρχει, εομένως δεν εφαρμόζεται sin sin sin ( lim lim( ) lim( ) ) ln / III. lim ln lim lim lim ( ) / / IV. ln ln lim ln lim lim e lim e e e Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Εργασία & Λύσεις Σελίδα 9 αό 4

10 Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Άσκηση 8. Μια εξίσωση f( y, ) ορίζει την y ως λεγμένη (ή ελεγμένη) συνάρτηση του και συνήθως δεν μορούμε να λύσουμε ως ρος y και στη συνέχεια να αραγωγίσουμε για να dy βρούμε την y. Για αράδειγμα η εξίσωση y y δεν μορεί να λυθεί ως ρος y d για να βρούμε την y. Σε αυτές τις εριτώσεις υολογίζουμε την y ως συνάρτηση και των δύο μεταβλητών y και ως εξής: Θεωρώντας την y ως συνάρτηση του, αραγωγίζουμε την εξίσωση ου δίνεται ως ρος και λύνουμε τη σχέση ου ροκύτει ως ρος y. Με τον ίδιο τρόο βρίσκουμε αραγώγους ανώτερης τάξης. Έτσι για την εξίσωση y y y y έχουμε y y y y y y. Έτσι για βρίσκουμε ότι y -. y a. Αοδείξτε ότι y - για στο αράδειγμα της εκφώνησης 4 b. Δείξτε ότι οι καμύλες 5y y y και y 5 y τέμνονται κάθετα στην αρχή των αξόνων.. Στην ειδική θεωρία της σχετικότητας η (κινητική) ενέργεια ου έχει ένα σωμάτιο δίνεται αό / την σχέση Τ ( γ ) mc όου γ υ, υ η ταχύτητα του σωματίου, c η ταχύτητα c του φωτός στο κενό (σταθερά) και m η μάζα του σωματίου (σταθερά). Δείξτε ότι όσο μεγάλη και αν είναι η (κινητική) ενέργεια Τ ου έχει ένα σωμάτιο, η ταχύτητά του δεν μορεί να υερβεί την ταχύτητα του φωτός στο κενό c.. a. y y y y y y y y ( )( ) ( ) ( y )( y y ) y Έτσι y y y y b. Για κάθε καμύλη θα βρούμε την εξίσωση της εφατομένης στο,y y y y y y y y y y y 5 ( ) 5 y y Άρα y η εξίσωση της εφατομένης 5 y 5 5 y y yy 5 4 ( ) y y Άρα η εξίσωση της εφατομένης είναι y y Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Εργασία & Λύσεις Σελίδα αό 4

11 Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Προφανώς εειδή 5 οι δυο ευθείες είναι κάθετες 5. Θα εκφράσουμε την ταχύτητα ως συνάρτηση της κινητικής ενέργειας Τ και στη συνέχεια θα βρούμε το όριο της υ όταν Τ. Τ Τ Τ mc γ ( γ ) / mc υ mc υ υ υ c c c Τ Τ Τ mc mc mc limυ lim c c T T Τ Τ lim T mc mc / c / c / Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Εργασία & Λύσεις Σελίδα αό 4

12 Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Άσκηση 9 Δίνεται η συνάρτηση, f( ) ( e ) a. Να υολογίσετε τα όρια lim ln ( e ) και lim( ln ) b. Να αοδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο c. Να βρείτε την εξίσωση της εφατομένης της γραφικής αράστασης της f στο σημείο (,) a. ( ) u u e u> e ( e ) u lim lim lim lim e u u u u u u> ln u ( ln u) lim( ln ) lim ( uln u) lim lim u u / u u ( / u) / u lim lim ( u) u / u u b. Έχουμε ότι ( e ) ( e ) lim f( ) lim( e ) ln lim ln lim lim ln Είσης f() άρα η f συνεχής στο c. Για ( ) ( ) f( ) f() e ln e ln f ( ) lim lim lim ( e ) ( e ) ( e ) ln / / / lim lim ln lim lim lim lim ( e ) ( ) lim lim Εομένως η εξίσωση της ευθείας είναι η y Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Εργασία & Λύσεις Σελίδα αό 4

13 Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Άσκηση d k Η εξίσωση ου εριγράφει την κίνηση ενός σώματος είναι η: m [], όου η μεταβλητή ου καθορίζει τη θέση, m η μάζα του σώματος (σταθερά) και k mω όου ω σταθερά. a. Να δοκιμάσετε αν οι αρακάτω σχέσεις ικανοοιούν την εξίσωση της κίνησης, δηλαδή αν είναι λύσεις της εξίσωσης κίνησης: A cos(ωt), Β sin(ωt) και A cos(ωt)β sin(ωt) b. Βρείτε τις τιμές του για τις οοίες η αράγωγος dυ d d ταχύτητα του σώματος ου ορίζεται ως υ γίνεται άειρη όου υ(t) η a. Αν η A cos ωt, είναι λύση, θα ρέει να υολογίσουμε την δεύτερη αράγωγό της και κάνοντας τις αντικαταστάσεις στην [], να ροκύτει ταυτότητα b. d d Έτσι: Acosωt Aωsin ωt Aω cosωt Η αντικατάσταση στην εξίσωση της κίνησης [] δίνει: m( Aω cos ωt) kacosωt Αντικαθιστούμε την τιμή του k και έχουμε: maω cosωt mω Acosωt. Ισχύει. Άρα η A cos ωt, είναι λύση. Ομοίως δοκιμάζουμε την B sin ωt. d d Bsinωt Bωcosωt Bω sinωt Η αντικατάσταση στην [] δίνει: m( ω Bsin ωt) kbsinωt mω Bsinωt mω Bsinωt Ισχύει. Άρα η Β sin(ωt), είναι λύση. Με τον ίδιο τρόο ροχωράμε και διαιστώνουμε ως και η A cos ωt B sin ωt είναι λύση της εξίσωσης []. d d A cos(ωt) Aωsin( ωt) Aω cos(ωt) dυ dυ/ α Aω cos(ωt) ωcot( ωt) d d/ υ Aωsin( ωt) Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Εργασία & Λύσεις Σελίδα αό 4

14 Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Οι τιμές όου αειρίζεται είναι εκείνες για τις οοίες ο αρανομαστής γίνεται μηδέν δηλαδή sin( ω t) εομένως cos( ω t) ± ± A d d Β sin(ωt) Bωcos( ωt) Bω sin( ωt) dυ dυ/ α Bω sin(ωt) ωtan( ωt) d d/ υ Bωcos( ωt) Οι τιμές όου αειρίζεται είναι εκείνες για τις οοίες ο αρανομαστής γίνεται μηδέν δηλαδή cos( ω t) εομένως sin( ω t) ± ± B d A cos(ωt)β sin(ωt) Aωsin( ωt) Bωcos( ωt) d A B t ω cos(ωt) ω sin( ω ) α Aω Bω ωt d d/ υ Aωsin( ωt) Bωcos( ωt) dυ dυ/ cos(ωt) sin( ) Οι τιμές όου αειρίζεται είναι εκείνες για τις οοίες ο αρανομαστής γίνεται μηδέν B Aωsin( ωt) Bωcos( ωt) Bcos( ωt) Asin( ωt) tan( ωt) A sin( ωt) B B B δηλαδή sin ( ωt) co ( sωt) (sin ( ωt)) cos( ωt) A A A ωt sin ( ) B A B εομένως A A cos(ωt)β sin(ωt)a sin( ωt) Β sin(ωt) B A B A B B sin( ωt) A B B B A B Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Εργασία & Λύσεις Σελίδα 4 αό 4