ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΙΜΕΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΙΜΕΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΚΤΗΣΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΣΤΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΒΛΑΧΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΤΣΟΥΜΠΕΛΗΣ ΠΑΤΡΑ ΙΟΥΝΙΟΣ 014

2 Ευχαριστίες Η παρούσα διπλωματική εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια του Μεταπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών, Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές, του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών υπό την επίβλεψη του καθηγητή κ. Δημήτρη Τσουμπελή. Οφείλω να ευχαριστήσω τους ανθρώπους που συνέβαλαν στην ολοκλήρωση της. Αρχικά, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον καθηγητή μου κ. Δημήτρη Τσουμπελή για την ευκαιρία που μου έδωσε να ασχοληθώ με ένα τόσο ενδιαφέρον αντικείμενο καθώς και για την άμεση και ουσιαστική βοήθεια που μου παρείχε καθ όλη την διάρκεια εκπόνησης της εργασίας αυτής αλλά και στο σύνολο των σπουδών μου στο Τμήμα Μαθηματικών. Επίσης, ευχαριστώ τα υπόλοιπα μέλη της τριμελούς επιτροπής, τους κυρίους Παπαγεωργίου Βασίλειο, καθηγητή και Αρβανιτογεώργο Ανδρέα, αναπληρωτή καθηγητή του τμήματος για την συμβολή τους στην ολοκλήρωση της παρούσας εργασίας. Θα ήθελα ακόμη να ευχαριστήσω θερμά τους συναδέλφους συμφοιτητές μου, οι οποίοι συνέβαλαν τόσο με τις γνώσεις τους αλλά και την υποστήριξή τους στην αντιμετώπιση των δυσκολιών. Τέλος, δε θα μπορούσα να μην αναφερθώ στην οικογενειά μου που είναι δίπλα μου σε κάθε μου βήμα.

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Περίληψη...v Α Μέρος Α.1. Σολιτόνια Εισαγωγή Κυματικές Λύσεις Μη Γραμμικών Εξισώσεων Κυματικές Λύσεις της Εξίσωσης KdV Κυματικές Λύσεις της Μη Γραμμικής Εξίσωσης Schrödinger Ολοκληρώσιμες Εξισώσεις Ο Μετασχηματισμός Bäcklund a. Ο Μετασχηματισμός Bäcklund για την Εξίσωση sine- Gordon b. Ο Μετασχηματισμός Bäcklund για την Εξίσωση KdV c. Ο Μετασχηματισμός Bäcklund για την Εξίσωση NLS Το Ζεύγος Lax a. Το Ζεύγος Lax για την Εξίσωση KdV Ύπαρξη Απείρου Αριθμού Διατηρήσιμων Ποσοτήτων Ο Μετασχηματισμός Αντίστροφης Σκέδασης.19 Α.. Βασικές Έννοιες Διαφορικής Γεωμετρίας Θεωρία Καμπυλών Μοναδιαίο Εφαπτόμενο Διάνυσμα Καμπυλότητα Πρώτο και Δεύτερο Κάθετο Μοναδιαίο Διάνυσμα Στρέψη Οι Εξισώσεις του Frenet 6.. Θεωρία Επιφανειών Εφαπτόμενο Επίπεδο και Κάθετος...7 i

4 ... Θεμελιώδεις Μορφές.30...a. Η Πρώτη Θεμελιώδης Μορφή 30...b. Η Δεύτερη Θεμελιώδης Μορφή Κάθετη Καμπυλότητα Κύριες Καμπυλότητες και Κύριες Διευθύνσεις Η Καμπυλότητα του Gauss και Μέση Καμπυλότητα a. Η Καμπυλότητα του Gauss b. Η Μέση Καμπυλότητα Γραμμές Καμπυλότητας Ασυμπτωτικές Γραμμές Οι Εξισώσεις των Gauss-Weingarten Οι Εξισώσεις Συμβατότητας Γεωδαισιακή Καμπυλότητα Γεωδαισιακές Συντεταγμένες..4 Β Μέρος Β.1. Η Εξίσωση Sine-Gordon Ψευδοσφαιρικές Επιφάνειες και η Εξίσωση Sine-Gordon Ο Κλασικός Μετασχηματισμός Βäcklund για την Εξίσωση Sine- Gordon Το Θεώρημα Αντιμεταθετικότητας του Bianchi Πολυσολιτονικές Λύσεις Το Θεώρημα Αντιμεταθετικότητας του Bianchi Ψευδοσφαιρικές Σολιτονικές Επιφάνειες Breathers Η Ψευδόσφαιρα Ένα Ψευδοσφαιρικό Ελικοειδές Επιφάνειες Δύο-Σολιτονίων Breathers ( Πνοές )..79 ii

5 Επιφάνειες Στάσιμων Breathers Β.. Σύνδεση των Εξισώσεων sine-gordon και mkdv με την Κίνηση Καμπυλών και Επιφανειών Σύνδεση της Εξίσωσης sine-gordon με την Κίνηση Καμπυλών Σταθερής Στρέψης ή Καμπυλότητας Η Κίνηση μιας Μη-Εκτατής Καμπύλης Σταθερής Στρέψης Η Κίνηση μιας Μη-Εκτατής Καμπύλης Σταθερής Καμπυλότητας Μια Γραμμική Αναπαράσταση για την Εξίσωση sine-gordon Κίνηση Ψευδοσφαιρικών Επιφανειών Η Εξίσωση mkdv Το Σύστημα Weingarten Μετασχηματισμοί Βäcklund Η Εξίσωση mkdv Ένα Σολιτονικό Σύστημα Weingarten Η Εξίσωση mkdv Η Κίνηση της Επιφάνειας Dini Ένα Τριπλά Ορθογώνιο Σύστημα Weingarten.111 Β.3. Η Μη-Γραμμική Εξίσωση Schrödinger (NLS) Σύνδεση της Εξίσωσης NLS με την Κίνηση στην Διεύθυνση της Δεύτερης Καθέτου Η Μετατόπιση ενός Νήματος Δίνης Οι Επιφάνειες Hasimoto Η Μονο-Σολιτονική Επιφάνεια NLS Γεωμετρικές Ιδιότητες των Επιφανειών Hasimoto Η Γεωμετρία της Εξίσωσης NLS και ο Auto Βäcklund Μετασχηματισμός της Η Εξίσωση NLS 130 iii

6 3... Ο Μετασχηματισμός Auto Βäcklund για την Εξίσωση NLS Βιβλιογραφία 143 iv

7 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στόχος της παρούσας εργασίας είναι η σύνδεση της μοντέρνας θεωρίας σολιτονίων με την κλασική διαφορική γεωμετρία. Ειδικότερα, αρχίζουμε με ένα εισαγωγικό μέρος, όπου παραθέτουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν: α) Τις λύσεις μη-γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων (ΜΔΕ) που ονομάζονται σολιτόνια (solitons) και β) Την γεωμετρία των ομαλών καμπυλών και επιφανειών του Ευκλείδειου χώρου). Ακολουθεί, το δεύτερο και κύριο μέρος, στο οποίο μελετάμε την σχέση τριών χαρακτηριστικών μη-γραμμικών εξισώσεων εξέλιξης, της εξίσωσης sine-gordon, της τροποποιημένης εξίσωσης Korteweg de Vries (mkdv) και της μη γραμμικής εξίσωσης Schrödinger (NLS), με την θεωρία καμπυλών και επιφανειών. Αναλυτικότερα, στο πρώτο μέρος και πιο συγκεκριμένα στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε μια ιστορική αναδρομή στην έννοια του σολιτονίου. Στην συνέχεια αναζητούμε κυματικές-σολιτονικές λύσεις για τις εξισώσεις KdV και NLS. Κλείνουμε παραθέτοντας τις προϋποθέσεις κάτω από τις οποίες μια μη γραμμική εξίσωση είναι ολοκληρώσιμη. Επιλέγουμε να αναλύσουμε δύο από αυτές τις προϋποθέσεις, χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα, ενώ, για τις άλλες δύο, περιοριζόμαστε σε μια συνοπτική περιγραφή. Στο δεύτερο κεφάλαιο του εισαγωγικού μέρους γίνεται μια εκτενής αναφορά σε θεμελιώδεις έννοιες της διαφορικής γεωμετρίας. Πιο συγκεκριμένα, οι έννοιες αυτές σχετίζονται με την θεωρία καμπυλών και επιφανειών και για ορισμένες από αυτές παρουσιάζουμε κάποια αντιπροσωπευτικά παραδείγματα. Ακολουθεί το κύριο μέρος και ειδικότερα το πρώτο κεφάλαιο, στο οποίο, μελετώντας υπερβολικές επιφάνειες, καταλήγουμε σε ένα κλασικό μη γραμμικό σύστημα εξισώσεων. Είναι αυτό που οφείλουμε στον Bianchi και το οποίο ενσωματώνει τις εξισώσεις Gauss-Mainardi-Codazzi. Στην συνέχεια, περιοριζόμαστε στις ψευδοσφαιρικές επιφάνειες και έτσι καταλήγουμε στην εξίσωση sine-gordon. Ακολουθεί η ενότητα 1., στην οποία βρίσκουμε τον μετασχηματισμό auto-bäcklund για την εξίσωση sine-gordon και περιγράφουμε την γεωμετρική διαδικασία για την κατασκευή ψευδοσφαιρικών επιφανειών. Στην ενότητα 1.3, χρησιμοποιώντας τον παραπάνω μετασχηματισμό Bäcklund, καταλήγουμε στο Θεώρημα Αντιμεταθετικότητας του Bianchi. Συνεχίζουμε με την ενότητα 1.4, στην οποία παρουσιάζουμε ψευδοσφαιρικές επιφάνειες, οι οποίες αντιστοιχούν σε σολιτονικές λύσεις της εξίσωσης sine-gordon. Πιο αναλυτικά, στην υποενότητα κατασκευάζουμε την ψευδόσφαιρα του Beltrami, η οποία αντιστοιχεί στην στάσιμη μονο-σολιτονική λύση. Στην υποενότητα 1.4. μελετάμε το ελικοειδές που δημιουργείται από την έλκουσα καμπύλη, δηλαδή την επιφάνεια Dini, την οποία και κατασκευάζουμε. Ακολουθεί η υποενότητα 1.4.3, όπου, χρησιμοποιώντας το θεώρημα μεταθετικότητας, καταλήγουμε στην λύση δύο-σολιτονίων για την εξίσωση sine-gordon και συνεχίζουμε με την υποενότητα 1.4.4, όπου κατασκευάζουμε περιοδικές λύσεις των δύο-σολιτονίων γνωστές ως breathers. v

8 Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετάμε την κίνηση συγκεκριμένων καμπυλών και επιφανειών, οι οποίες οδηγούν σε σολιτονικές εξισώσεις. Ειδικότερα, στην ενότητα.1 καταλήγουμε στην εξίσωση sine-gordon μέσω της κίνησης μιας μη-εκτατής καμπύλης σταθερής καμπυλότητας ή στρέψης. Ακολουθεί η ενότητα., όπου η εξίσωση sine- Gordon προκύπτει ως η συνθήκη συμβατότητας για το γραμμικό σύστημα AKNS. Στην συνέχεια, στην ενότητα.3 ασχολούμαστε με την κίνηση ψευδοσφαιρικών επιφανειών. Πιο συγκεκριμένα, στην υποενότητα.3.1 συνδέουμε την κίνηση μιας ψευδοσφαιρικής επιφάνειας με ένα μη αρμονικό μοντέλο πλέγματος, το οποίο ενσωματώνει την εξίσωση mkdv. Επιπλέον, στην υποενότητα.3. δείχνουμε ότι η καθαρά κάθετη κίνηση μιας ψευδοσφαιρικής επιφάνειας, παράγει το κλασικό σύστημα Weingarten. Ολοκληρώνουμε την ενότητα.3 με την κατασκευή των μετασχηματισμών Bäcklund τόσο για το μοντέλο πλέγματος, όσο και για το σύστημα Weingarten. Το κεφάλαιο κλείνει με την ενότητα.4, όπου μέσω της κίνησης μιας μη εκτατής καμπύλης μηδενικής στρέψης, καταλήγουμε στην εξίσωση mkdv. Στην συνέχεια μελετάμε την κίνηση των επιφανειών Dini και τελικά κατασκευάζουμε επιφάνειες που αντιστοιχούν στο τριπλά ορθογώνιο σύστημα Weingarten. Στο τρίτο και τελευταίο κεφάλαιο επικεντρωνόμαστε στην εξίσωση NLS. Πιο συγκεκριμένα, στην ενότητα 3.1 καταλήγουμε στην εξίσωση NLS μ έναν καθαρά γεωμετρικό τρόπο. Επιπλέον, κατασκευάζουμε επιφάνειες, οι οποίες αντιστοιχούν στην μονο-σολιτονική λύση της εξίσωσης NLS και παρουσιάζουμε γι αυτές κάποιες γενικές γεωμετρικές ιδιότητες. Το κεφάλαιο 3 ολοκληρώνεται με την ενότητα 3.3 όπου αρχικά λαμβάνουμε ακόμη μια φορά την εξίσωση NLS, χρησιμοποιώντας την μελέτη στην κινηματική των Marris και Passman. Κλείνουμε και αυτό το κεφάλαιο με τον auto- Bäcklund μετασχηματισμό για την εξίσωση NLS και επιπλέον παρουσιάζουμε χωρικά περιοδικές λύσεις της, γνωστές ως smoke-ring (δαχτυλίδι-καπνού) vi

9 ABSTRACT The aim of this diploma thesis is to find a connection between modern soliton theory and classical differential geometry. More particularly, we begin with an introductory section, where we present the basic concepts regarding soliton equations and the geometry of smooth curves ans surfaces. This is followed by the main body of the thesis, which focuses on three partial differential equations, namely, the sine-gordon equation, the modified Korteweg de Vries equation (mkdv) and the nonlinear Scrödinger equation (NLS), and their connection to the theory of curves and surfaces. The first introductory chapter is a historical overview of the notion of solitons. We then seek travelling wave solutions for the KdV and NLS equations. Closing, we quote the conditions under which a nonlinear equation is integrable. We choose to analyze in detail two of these conditions while we settle for a brief description of the other two. The second chapter is an extensive report on fundamental concepts of differential geometry, namely, those associated with the theory of curves and surfaces in Euclidean three-dimensional space, and we present some representative examples. Chapter 1 of the main part, opens with the derivation of a classical nonlinear system which we owe to Bianchi and embodies the Gauss-Mainardi-Codazzi equations. We then specialise to pseudospherical surfaces and produce the sine-gordon equation. Section 1. includes the derivation of the auto-bäcklund transformation for the sine-gordon equation along with the geometric procedure for the construction of pseudospherical surfaces. In section 1.3, we use the above transformation to conclude to Bianchi s Permutability Theorem. We continue to section 1.4, where we present certain pseudospherical surfaces. These surfaces correspond to solitonic solutions of the sine- Gordon equation, i.e. in subsection we construct the pseudosphere which corresponds to the stationary single soliton solution. Also, in subsection 1.4. we examine the helicoid that is created by the tractrix, namely, the Dini surface. In section 1.4.3, by use of Bianchi s Permutability Theorem, we end up in the two-soliton solution for the sine-gordon equation and continue in the next subsection, where we present periodic two-soliton solutions, known as breathers. In Chapter, we show how certain motions of curves and surfaces can lead to solitonic equations. More precisely, in section.1, we arrive at the sine-gordon equation, through the motion of an inextensible curve of constant curvature or torsion. Then, section. displays how the sine-gordon equation arises as the compatibility condition for the linear AKNS system. In section.3 we study the movement of pseudospherical surfaces. In particular, we connect, in subsection.3.1, the motion of a pseudospherical surface to a continuum version of an unharmonic lattice model, which encorporates the mkdv equation. Moreover, in subsection.3., we show that a purely normal motion of a pseudospherical surface produces the classical Weingarten system. We conclude section vii

10 .3 by constructing the Bäcklund transformation both for the lattice model and the Weingarten system. The chapter ends with section.4, where through the motion of an inextensible curve of zero torsion, we produce the mkdv equation. Furthermore, we investigate the motion of Dini surfaces and, finally, construct surfaces corresponding to the triply orthogonal Weingarten system. The third and final chapter focuses on the NLS equation. In section 3.1 we produce the NLS equation through a purely geometric manner. We then construct surfaces, that correspond to the single-soliton solution of this equation, and also present certain general geometric properties of them. We conclude the final chapter with the auto-bäcklund transformation for the NLS equation and the presentation of spatially periodic solutions, known as smoke-ring. viii

11 ΜΕΡΟΣ Α' Α.1. Σολιτόνια 1.1. Εισαγωγή Τις τελευταίες δεκαετίες ιδιαίτερο επιστημονικό ενδιαφέρον παρουσιάζει η κατανόηση μη-γραμμικών φαινομένων, τα οποία γνωρίζουμε ότι περιγράφουν κατά κανόνα τα φυσικά συστήματα. Στην κατηγορία των μη-γραμμικών ανήκουν και τα λεγόμενα σολιτόνια. Πρόκειται για ειδικές λύσεις μιας ευρείας κλάσης μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων, κάθε μια από τις οποίες περιγράφει μια ποικιλία από φυσικά συστήματα. Το φαινόμενο του σολιτονίου παρατηρήθηκε για πρώτη φορά από έναν νεαρό μηχανικό, τον John Scott Russel, το 1834, σε ρηχό κανάλι νερού στην Σκωτία. Εκείνο που παρατήρησε αρχικά ο Russel ήταν ένα κύμα, το οποίο διαδίδοταν στο κανάλι διατηρώντας την ταχύτητα και την μορφή του. Ο Russel κατασκεύασε δεξαμενή στο σπίτι του και αναπαρήγαγε το φαινόμενο με αποτέλεσμα να καταλήξει σε κάποια γενικά χαρακτηριστικά αυτών των κυμάτων, τα οποία ονόμασε μοναχικά κύματα μεταφοράς. Τα χαρακτηριστικά αυτά είναι τα ακόλουθα: Τα μοναχικά κύματα μεταφοράς, σε αντίθεση με τα συνήθη κύματα, διατηρούν το σχήμα τους και διαδίδονται για μεγάλες αποστάσεις. Η ταχύτητα τους εξαρτάται από το μέγεθος τους και το πλάτος τους από το βάθος της δεξαμενής. Σε αντίθεση με τα συνήθη κύματα, όπου ισχύει η αρχή της επαλληλίας, δεν συγχωνεύονται ποτέ. Εάν ένα κύμα είναι πολύ μεγάλο σε σχέση με το βάθος του νερού, διασπάται σε δύο, ένα μεγάλο και ένα μικρό. Εμπειρικά, ο Russel συμπέρανε ότι ο όγκος του νερού στο κύμα ισοδυναμεί με τον όγκο του νερού που εκτοπίζεται και επιπλέον ότι η ταχύτητα, c, του μοναχικού κύματος δίνεται από τον ακόλουθο τύπο c gh a, (1.1) 1

12 ΜΕΡΟΣ Α' όπου a το πλάτος το κύματος, h το αδιατάρακτο βάθος του νερού και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Άμεση συνέπεια της εξίσωσης 1.1 είναι ότι για κύματα μεγαλύτερου πλάτους έχουμε και μεγαλύτερη ταχύτητα. Εικόνα 1.1: Το πείραμα του Scott Russell. Η ανάλυση του φαινόμενου που παρατήρησε ο Russell συνεχίστηκε από τους Boussinesq (1871) και Rayleigh (1876), οι οποίοι υπέθεσαν ότι το μήκος του μοναχικού κύματος είναι μεγαλύτερο από το βάθος του νερού. Μελετώντας τις εξισώσεις κίνησης ενός ασυμπίεστου ρευστού, κατέληξαν στην εξίσωση του Russell. Επιπλέον, βρήκαν ότι το προφίλ του κύματος z ζx, t δίνεται από την ακόλουθη σχέση ζx, t a sech β x c t, (1.) όπου β 4 h h a 3 a για κάθε α 0. Εκείνο που δεν κατάφεραν οι Boussinesq και Rayleigh ήταν να βρουν μια απλή εξίσωση η οποία θα δέχεται την ζx, t ως λύση. Μερικά χρόνια αργότερα, το 1895, οι D. Korteveg και G. de Vries συμπλήρωσαν αυτό το βήμα, δηλαδή παρουσίασαν μια διαφορική εξίσωση για την περιγραφή της διάδοσης κυμάτων τα οποία διαδίδονται σε ρηχά νερά, γνωστή πλέον ως εξίσωση των Korteveg και de Vries (KdV): ζ t 3 g 1 h 3 ε ζ χ ζ ζ χ 1 3 σ 3 ζ χ, 3 (1.3) με την προϋπόθεση ότι τα σ, ε είναι μικρά. Ακόμη, η παράμετρος σ εμπεριέχει την επιφανειακή τάση T, δηλαδή σ 1 3 h3 T h g ρ, όπου ρ είναι η πυκνότητα του υγρού και ε μια αυθαίρετη παράμετρος. Εικόνα 1.: Οι παράμετροι και οι μεταβλητές που σχετίζονται με το μοναχικό κύμα. Όταν κάποιο φυσικό σύστημα περιγράφεται από μια μη γραμμική κυματική εξίσωση διάφορα προβλήματα προκύπτουν, τα οποία δεν τα συναντάμε σε μια αντίστοιχη γραμμική. Αυτά τα προβλήματα είναι η διασπορά, ο διασκορπισμός και γενικά η μη γραμμικότητα (δεν ισχύει η αρχή της υπέρθεσης). Ειδικότερα, η KdV στην τυπική της

13 ΜΕΡΟΣ Α' μορφή εκτός από τους δύο πρώτους όρους διάδοσης του κύματος εμφανίζει επιπλέον έναν μη γραμμικό όρο και έναν όρο διασποράς. Μια αξιοσημείωτη ιδιότητα αυτής της μη γραμμικής εξίσωσης είναι ότι η διασπορά εξισορροπεί την μη γραμμικότητα και έχουμε ως αποτέλεσμα οδεύοντα κύματα. Κύματα δηλαδή, τα οποία διαδίδονται διατηρώντας την μορφή τους. Εικόνα 1.3: Η εξισορρόπηση διασποράς και μη γραμμικότητας. Πολύ αργότερα, το 1955, οι Fermi, Pasta και Ulam μελετούσαν στο Λος Άλαμος την θερμική αγωγιμότητα των κρυστάλων και τα αποτελέσματα δεν ήταν τα αναμενόμενα. Όμως, το 1965 οι N. Zabusky και M. Kruskal υπολογίζοντας το συνεχές όριο του πειράματος των Fermi-Pasta-Ulam κατέληξαν στην εξίσωση KdV. Οι τελευταίοι μελέτησαν το πρόβλημα αρχικών τιμών u t u u x δ u x x x 0 (1.4) με περιοδικές συνοριακές συνθήκες, όπου συμβολίζουμε u t u. Θεωρώντας λοιπόν ως αρχική συνθήκη την ux, 0 cos π x, όταν 0 x και επιπλέον ότι οι u, u x, u x x είναι περιοδικές στο διάστημα αυτό για κάθε t και τέλος την ακόλουθη τιμή για την παράμετρο δ 0.0 επίλυσαν το ζητούμενο πρόβλημα. Ένα σύνολο λύσεων για διάφορες τιμές του t παρουσιάζονται στο ακόλουθο διάγραμμα. t Εικόνα 1.4: Λύση του περιοδικού προβλήματος συνοριακών τιμών για την εξίσωση KdV [Αρχικό προφίλ: t 0 (γραμμή με κουκίδες), Προφίλ: t 1 π (διακεκομμένη γραμμη), 3

14 ΜΕΡΟΣ Α' t 3.6 π (συνεχής γραμμή)] Παρατηρούμε στην εικόνα 1.4. ότι μετά από λίγο χρόνο το κύμα γίνεται απότομο και σχεδόν παράγει έναν παλμό, όμως στην συνέχεια αποκτά βαρύτητα ο όρος διασποράς και παρατηρούμε κάποιου είδους ισορροπία μεταξύ της μη γραμμικότητας και της διασποράς. Αργότερα, η λύση παρουσιάζει οχτώ καλώς ορισμένα κύματα κάθε ένα από τα οποία μοιάζει με την συνάρτηση sech, ενώ το ταχύτερο (ψηλότερο) κύμα φτάνει αλλά και προσπερνά το πιο αργό (χαμηλότερο). Παρατηρούμε όμως και το εξής, μετά από πολύ χρόνο, το αρχικό προφίλ- ή ένα προφίλ πολύ κοντά σε αυτό-κάνει ξανά την εμφανισή του (συντονισμός). Ανακαλύπτουμε επομένως, ότι αυτά τα μη γραμμικά κύματα ενώ αλληλεπιδρούν ισχυρά στην συνέχεια συνεχίζουν σχεδόν σαν να μην είχαν αλληλεπιδράσει καθόλου. Αυτή η επιμονή του κύματος οδήγησε τους Zabusky και Kruskal να επινοήσουν την λέξη σολιτόνιο (από το φωτόνιο, φωνόνιο κ.τ.λ), για να δώσουν έμφαση στον σωματιδιακό χαρακτήρα αυτών των κυμάτων τα οποία φαίνεται να διατηρούν τις ιδιότητες τους σε μια σύγκρουση. Αυτή η ανακάλυψη οδήγησε σε μια μια έντονη μελέτη τα τελευταία 49 χρόνια. Έχουν πλέον βρεθεί πολλές εξισώσεις με παρόμοιες ιδιότητες τις οποίες θα μελετήσουμε στην συνέχεια. Το 1967, οι Gardner, Greene, Kruskal και Miura ανακάλυψαν έναν μετασχηματισμό αντίστροφης σκέδασης, ο οποίος επιτρέπει αναλυτική λύση για την εξίσωση KdV και βασίζεται στο κλασικό πρόβλημα σκέδασης της κβαντομηχανικής. 1.. Κυματικές Λύσεις Μη Γραμμικών Εξισώσεων Μια από τις απλούστερες ακριβείς λύσεις των μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων είναι οι κυματικές λύσεις. Οι κυματικές λύσεις, εξ ορισμού, είναι της μορφής ux, t f z, z k x λ t, π (1.5) όπου ο λόγος λ k ορίζεται ως η ταχύτητα διάδοσης (η τιμή λ 0 αντιστοιχεί στην στάσιμη λύση). Οι κυματικές λύσεις χαρακτηρίζονται από το γεγονός ότι όλα τα προφίλ των λύσεων σε διαφορετικές χρονικές στιγμές λαμβάνονται από κατάλληλες μετατοπίσεις κατά μήκος του άξονα x. Σημειώνουμε ότι ο όρος κυματική λύση χρησιμοποιείται ακόμη και όταν η μεταβλητή t έχει τον ρόλο μιας χωρικής συντεταγμένης Κυματικές Λύσεις της Εξίσωσης KdV Θεωρούμε την εξίσωση KdV στην τυπική της μορφή, δηλαδή u t 6 u u x u x x x 0. (1.6) Θα βρούμε λύσεις της μορφής ux, t f ξ, όπου ξ x c t και c είναι μια σταθερά. Αντικαθιστώντας στην 1.6 θα πάρουμε c f ' 6 f f ' f ''' 0, (1.7) όπου με f ', συμβολίζουμε την συνήθη παράγωγο της συνάρτησης f, αφού πρόκειται για 4

15 ΜΕΡΟΣ Α' συνάρτηση μιας μεταβλητής. Η τελευταία αποτελεί μια συνήθη διαφορική εξίσωση, η οποία ολοκληρώνεται μια φορά για να δώσει c f 3 f f '' A, (1.8) όπου A είναι μια αυθαίρετη σταθερά ολοκλήρωσης. Πολλαπλασιάζουμε στην συνέχεια την 1.8 με f ' ξ και έχουμε f '' f ' 3 f f ' c f f ' A f ', η οποία ολοκληρώνεται και αυτή μια φορά για να μας δώσει f ' f 3 c f A f B, (1.9) (1.10) όπου B αυθαίρετη σταθερά ολοκλήρωσης. Στην συνέχεια επιβάλλουμε τις ακόλουθες συνοριακές συνθήκες ώστε να πάρουμε την ζητούμενη μοναχική λύση: f, f ', f '' 0, καθώς ξ. Επομένως, θα πρέπει A B 0. Δηλαδή, f ' f 3 c f f c f. (1.11) Αμέσως βγάζουμε το συμπέρασμα ότι για να έχουμε πραγματικές λύσεις θα πρέπει c f 0. Έπειτα, f ' f c f, ή 1 f f c f 1 ξ. Για να υπολογίσουμε το παραπάνω ολοκλήρωμα θέτουμε f 1 c sech θ. Ισοδύναμα d f c sech θ tanh θ d θ. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται ως εξής ή 1 c sech θc sech θ c c 1 sech θ tanh θ θ ξ, (1.1) (1.13) (1.14) (1.15) (1.16) c θ ξ, (1.17) ή c θ ξ l, (1.18) 5

16 ΜΕΡΟΣ Α' όπου l αυθαίρετη σταθερά ολοκλήρωσης. Η τελευταία γράφεται διαφορετικά θ c ξ l. (1.19) Σύμφωνα με την σχέση 1.14, η τελευταία γράφεται f 1 c sech c ξ l. (1.0) Ισοδύναμα f 1 c sech ξ l. c Η ζητούμενη λύση επομένως είναι η ακόλουθη ux, t f x c t 1 c sech x c t l, c η οποία περιγράφει ένα μοναχικό κύμα το οποίο διαδίδεται προς τα δεξιά. (1.1) (1.) Εικόνα 1.5: Γράφημα της ux, t Κυματικές Λύσεις της Μη Γραμμικής Εξίσωσης Schrödinger (NLS) Θεωρούμε την εξίσωση NLS και αναζητούμε λύσεις της μορφής u t u x x u u 0, ux, t r x c t e θ xc tn t, (1.3) (1.4) όπου οι r, θ είναι πραγματικές συναρτήσεις και οι c, n είναι πραγματικές σταθερές. Αντικαθιστώντας την τελευταία στην 1.3 προκύπτει η ακόλουθη έκφραση (την οποία επιβεβαιώνουμε και με το Mathematica) θxc tn t rx c t Absrx c t θ x c t θ x c t c θ x c t n r x c t r x c t c θ x c t 0 6

17 ΜΕΡΟΣ Α' Επειδή ο συντελεστής e θ xc tn t δεν μηδενίζεται, η προηγούμενη ανάγεται στην r'' r 3 r θ' c r θ' n r i rθ'' r' c θ' 0. (1.5) Εξισώνοντας το πραγματικό και το φανταστικό μέρος με το μηδέν έχουμε τις ακόλουθες εξισώσεις r 3 r'' r θ' c r θ' n r cos θ n t r' θ' c r' r θ'' sin θ n t 0, r' θ' c r' r θ'' cos θ n t r 3 r'' r θ' c r θ' n r sin θ n t 0. (1.6) Πολλαπλασιάζουμε αρχικά την πρώτη με cos θ n t και την δεύτερη με sin θ n t και προσθέτουμε κατά μέλη και τότε προκύπτει η εξίσωση r 3 r'' r θ' c r θ' n r 0. (1.7) Πολλαπλασιάζουμε στην συνέχεια την δεύτερη με cos θ n t και την πρώτη με sin θ n t και αφαιρούμε κατά μέλη και τότε παίρνουμε την ακόλουθη εξίσωση r' θ' c r' r θ'' 0. (1.8) Στην συνέχεια κάνουμε τις εξής υποθέσεις. Όταν ξ, τότε το πλάτος r 0. Συνεπώς, οι δύο παραπάνω εξισώσεις δίνουν Ισοδύναμα r'' 0, r' θ' c r' 0, όταν ξ. (1.9) r c 1 ξ c, θ' c. (1.30) Συνεπώς, αντικαθιστώντας την 1.30 στην 1.7, έχουμε ή r 3 r'' r c 4 c r c n r 0, (1.31) r 3 r'' r c 4 n r 0. Πολλαπλασιάζουμε με r' την τελευταία, η οποία γίνεται (1.3) r 3 r' r'' r' r' r c Η σχέση 1.33 ολοκληρώνεται και δίνει 4 n r r' 0. (1.33) r 4 4 r' c 4 r n r A. Σύμφωνα με την συνθήκη παραπάνω A 0 και τότε η σχέση 1.34 γράφεται ως εξής (1.34) r' r 4 n r c 4 r r 4 n c 4 r. Θέτουμε στην συνέχεια (1.35) 7

18 ΜΕΡΟΣ Α' Επομένως, η σχέση 1.35 γίνεται ή a n c 4. r' r 4 a r r a r, r' r a r. (1.36) (1.37) (1.38) Συνεπώς, ολοκληρώνοντας ξανά την τελευταία, έχουμε 1 r ξ. r a r Για να λύσουμε το παραπάνω ολοκλήρωμα θέτουμε r a sech θ. Ισοδύναμα d r a sech θ tanh θ d θ. Άρα, το ολοκλήρωμα 1.39, γίνεται a sech θ tanh θ θ ξ, a sech θ a a sech θ ή (1.39) (1.40) (1.41) (1.4) θ a ξ κ, (1.43) όπου κ αυθαίρετη σταθερή ολοκλήρωσης. Τελικά λοιπόν λύνουμε την σχέση 1.43 ως προς θ, δηλαδή θ a ξ κ. Και χρησιμοποιώντας την σχέση 1.40, έχουμε r a sech a ξ κ. Επομένως, η ζητούμενη λύση είναι η ακόλουθη ux, t a sech a x c t κ e c xc tn t. (1.44) (1.45) (1.46) 8

19 ΜΕΡΟΣ Α' Εικόνα 1.6: Γράφημα της ux, t. Όπου παραπάνω παριστάνουμε το γράφημα του μέτρου της λύσης για c 1, a 1, n 1, κ Ολοκληρώσιμες Εξισώσεις Oι μη-γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις (ΜΔΕ) τις οποίες μελετάμε στην παρούσα εργασία ανήκουν σ αυτές που χαρακτηρίζονται ως ολοκληρώσιμες. Δυστυχώς, ακριβής και πλήρης ορισμός της έννοιας της ολοκληρωσιμότητας δεν έχει ως τώρα αναπτυχθεί. Απλώς, με βάση την ως τώρα εμπειρία, ονομάζουμε ολοκληρώσιμες εκείνες τις μη-γραμμικές ΜΔΕ που διακρίνονται από τα εξής χαρακτηριστικά: Ύπαρξη του Μετασχηματισμού Bäcklund. Ύπαρξη του ζεύγους Lax. Ύπαρξη άπειρου αριθμού διατηρήσιμων ποσοτήτων. Επιλυσιμότητα του προβλήματος αρχικών τιμών ή Cauchy μέσω του Μετασχηματισμού Αντίστροφης Σκέδασης. Στην συνέχεια περιγράφουμε αναλυτικά τις δύο πρώτες ιδιότητες, ενώ για τις άλλες δύο θα περιοριστούμε σε μια περιληπτική παρουσίαση Ο Μετασχηματισμός Bäcklund Mετασχηματισμός Bäcklund ονομάζεται ένα σύστημα μερικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, με την ακόλουθη ιδιότητα: Απεικονίζει λύσεις μιας ΜΔΕ σε λύσεις της ίδιας, ή κάποιας άλλης ΜΔΕ. Στην πρώτη περίπτωση, αναφέρεται ως μετασχηματισμός auto-bäcklund. Στη δεύτερη, ως μετασχηματισμός hetero-bäcklund. O τελευταίος όρος έχει προταθεί από τον Δ. Τσουμπελή. Η χρησιμότητα ενός μετασχηματισμού Bäcklund οφείλεται στο γεγονός ότι μας επιτρέπει να κατασκευάζουμε, με σχετική ευκολία, νέες λύσεις μιας μη-γραμμικής ΜΔΕ από απλές, ακόμη και τετριμμένες, λύσεις της ίδιας ή μιας άλλης εξίσωσης αυτού του είδους a. Ο Μετασχηματισμός Bäcklund για την Εξίσωση sine-gordon Θεωρούμε την εξίσωση sine-gordon 9

20 ΜΕΡΟΣ Α' u x t sin u. Επιπλέον, θεωρούμε το ζεύγος των εξισώσεων 1 u v x a sin u v, 1 u v t 1 a sin u v, (1.47) (1.48) όπου a 0 μια αυθαίρετη πραγματική σταθερά. Παραγωγίζουμε στην συνέχεια την πρώτη ως προς t και την δεύτερη ως προς x. Επομένως, έχουμε 1 u v x t a u v t cos u v, 1 οι οποίες χρησιμοποιώντας τις σχέσεις 1.48, γράφονται 1 u v x t sin u v cos u v, 1 Προσθέτουμε και αφαιρούμε τις δύο τελευταίες και έχουμε u x t sin u, v x t sin v. u v t x 1 a u v x cos u v u v t x sin u v cos u v,. (1.49) (1.50) (1.51) Παρατηρούμε ότι και οι δύο συναρτήσεις u, v ικανοποιούν την εξίσωση sine-gordon. Συνεπώς, οι σχέσεις 1.50 αποτελούν τον auto-bäcklund μετασχηματισμό για τη εξίσωση sine-gordon. Στην συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε τον παραπάνω μετασχηματισμό για να βρούμε λύσεις της εξίσωσης sine-gordon. Θα πρέπει σε αυτό το σημείο να γνωρίζουμε μια λύση της sine-gordon για να συνεχίσουμε. Θεωρούμε λοιπόν ως αρχική λύση την τετριμμένη λύση vx, t 0. Συνεπώς, ο μετασχηματισμός 1.50 θα γίνει u x a sin u, u t a sin u, (1.5) Οι παραπάνω ολοκληρώνονται και επομένως έχουμε u sin u a x, u sin u a t. (1.53) Ισοδύναμα, a x l n tan u 4 f t, t a l n tan u 4 gx. Από τις δύο τελευταίες προκύπτει ότι f t t k, gx a x k, a όπου k αυθαίρετη σταθερά. Επομένως, η λύση μας είναι η εξής l n tan u 4 a x k t a ή tan u 4 c a x t a. (1.54) (1.55) (1.56) Ισοδύναμα 10

21 ΜΕΡΟΣ Α' ux, t 4 arctan c a x t a. (1.57) Εικόνα 1.7: Γράφημα της ux, t. Καταλήξαμε λοιπόν σε μια δεύτερη μη τετριμμένη λύση για την εξίσωση sine-gordon (σχ.1.7) b. Ο Μετασχηματισμός Bäcklund για την Εξίσωση KdV Θεωρούμε την εξίσωση KdV u t 6 u u x u x x x 0, καθώς επίσης και τον μετασχηματισμό Miura u v v x. (1.58) (1.59) Υπολογίζουμε τις απαιτούμενες μερικές παραγώγους της σχέσης 1.59 και τις αντικαθιστούμε στην 1.58, οπότε έχουμε v v t v x t 6 v v x v v x v x x 6 v x v x x v v x x x v x x x x 0. (1.60) Ισοδύναμα Συνεπώς, εάν η v είναι λύση της εξίσωσης v x v t 6 v v x v x x x 0. v t 6 v v x v x x x 0, (1.61) (1.6) η οποία λέγεται τροποποιημένη KdV, ή mkdv, τότε η 1.59 είναι μια λύση της εξίσωσης KdV. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την 1.59 για να απαλείψουμε τις μεγαλύτερης τάξης παραγώγους από την 1.6 και επομένως μπορούμε να πούμε πως οι σχέσεις αποτελούν τον μετασχηματισμό Bäcklund για την εξίσωση KdV. Παρ όλα αυτά, ένας πιο βολικός μετασχηματισμός παρουσιάστηκε από τους Wahlquist και Estabrook το Ξεκινάμε από το γεγονός ότι αφού η εξίσωση KdV είναι αναλλοίωτη ως προς τον μετασχηματισμό του Γαλιλαίου, δηλαδή ux, t λ ux 6 λ t, t, λ, μπορούμε να αντικαταστήσουμε την u με u λ. Συνεπώς, u λ v v x και επομένως η τροποποιημένη KdV εξίσωση θα γίνει (1.63) 11

22 ΜΕΡΟΣ Α' v t 6 v λ v x v x x x 0. (1.64) Επιπλέον παρατηρούμε ότι εάν η v είναι λύση της εξίσωσης 1.64 τότε το ίδιο ισχύει και για την v. Αυτό μας υποδεικνύει να εισαγάγουμε δύο συναρτήσεις u 1 και u οι οποίες είναι οι ακόλουθες u 1 λ v v x, u λ v v x, οι οποίες αν τις προσθέσουμε και τις αφαιρέσουμε κατά μέλη θα μας δώσουν u 1 u v x, u 1 u λ v. Σε αυτό το σημείο μας εξυπηρετεί να εισάγουμε τον μετασχηματισμό (1.65) (1.66) u i w i x, i 1, και επομένως λόγω αυτού το σύστημα 1.66, γίνεται w 1 w v, w 1 w x λ 1 w 1 w. (1.67) (1.68) Η εξίσωση 1.68 αποτελεί ένα μέρος του μετασχηματισμού Bäcklund για τις συναρτήσεις w 1 και w, οι οποίες με την σειρά τους παράγουν λύσεις της εξίσωσης KdV μέσω της Τελικά, η 1.64 θα γίνει w 1 w t 3 w 1,x w,x w 1 w x x x 0. (1.69) Συνεπώς, οι εξισώσεις αποτελούν τον auto-bäcklund μετασχηματισμό για την εξίσωση KdV. Εκείνο που θα κάνουμε στην συνέχεια είναι να εφαρμόσουμε τον παραπάνω μετασχηματισμό ώστε να βρούμε νέα λύση για την εξίσωση KdV, την οποία μελετάμε. Ξεκινάμε και εδώ λοιπόν από την τετριμμένη λύση w x, t 0. Επομένως, η 1.68, γίνεται w 1,x λ 1 w 1. (1.70) Η τελευταία μπορεί να ολοκληρωθεί και άρα αν λ κ 0, τότε 1 κ 1 w 1 w 1 x, (1.71) ή ή Ισοδύναμα 1 κ w 1 κ 1 w 1 x, 1 κ κ arctanh w 1 κ x. (1.7) (1.73) 1

23 ΜΕΡΟΣ Α' Τελικά, λοιπόν arctanh w 1 κ κ x f t. w 1 x, t κ tanh κ x f t. Ακόμη, αντικαθιστώντας την τετριμμένη λύση στην 1.69, παίρνουμε Επιπλέον, από την 1.70 έχουμε ή Ισοδύναμα w 1,x x x w 1,x w 1,t 3 w 1,x w 1,x x x 0. w 1,x x w 1 w 1,x, w 1 w 1,x x w 1,x w 1 w 1 w 1,x. w 1,x x x w 1,x w 1 w 1,x. Και αντικαθιστώντας την τελευταία στην σχέση 1.76, έχουμε ή w 1,t 3 w 1,x w 1,x w 1 w 1,x 0, w 1,t w 1,x w 1,x 1 w 1 0. (1.74) (1.75) (1.76) (1.77) (1.78) (1.79) (1.80) (1.81) Αντικαθιστούμε ακόμη την σχέση 1.70, δηλαδή η 1.81, γίνεται w 1,t w 1,x κ 1 w 1 1 w 1 0. (1.8) Ισοδύναμα w 1,t 4 κ w 1,x 0. Παρατηρούμε ότι η τελευταία δέχεται ως λύση την w 1 x, t gx 4 κ t, όπου g τυχαία συνάρτηση. Για να συμφωνεί αυτή η λύση με την 1.75 έχουμε ότι ή όπου gx 4 κ t κ tanh κ x f t, gω κ tanh κ ω 4 κ 3 t f t, ω x 4 κ t. Η 1.86 λοιπόν μας δίνει την συνάρτηση f t, δηλαδή f t 4 κ 3 t κ x 0, (1.83) (1.84) (1.85) (1.86) (1.87) (1.88) όπου x 0 αυθαίρετη σταθερά. Συνεπώς, ο μετασχηματισμός Bäcklund μας δίνει την ακόλουθη λύση 13

24 ΜΕΡΟΣ Α' Ισοδύναμα Δηλαδή w 1 x, t κ tanh κ x x 0 4 κ t. u 1 x, t w 1x, t. x u 1 x, t κ sech κ x x 0 4 κ t. Η τελευταία αποτελεί την ζητούμενη λύση για την εξίσωση KdV. (1.89) (1.90) (1.91) Εικόνα 1.8: Γράφημα της ux, t c. Ο Μετασχηματισμός Bäcklund για την Εξίσωση NLS Θεωρούμε την εξίσωση NLS u t u x x u u 0. Επιπλέον, θεωρούμε το ζεύγος των εξισώσεων u x v x u v 4 λ u v 1, u t v t u x v x 4 λ u v 1 1 u v u v u v. (1.9) (1.93) Οι τελευταίες αποτελούν τον auto-bäcklund μετασχηματισμό για την εξίσωση NLS, διότι μετά τις απαραίτητες πράξεις προκύπτει ότι u t u x x u u 0, v t v x x v v 0. (1.94) Μπορούμε και εδώ όπως στις προηγούμενες περιπτώσεις, ξεκινώντας από μια αρχική λύση vx, t μπορούμε να βρούμε μέσω του παραπάνω μετασχηματισμού μια άλλη, νέα λύση για την εξίσωση NLS Το Ζεύγος Lax Το 1968 ο Peter Lax με την βοήθεια του μετασχηματισμού αντίστροφης σκέδασης (σε ένα πιο γενικό πλαίσιο), ο οποίος είχε ήδη εφαρμοστεί για την επίλυση της γνωστής εξίσωσης KdV, άνοιξε τον δρόμο για την επίλυση νέων μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων. Ειδικότερα, η εφαρμογή του μετασχηματισμού αντίστροφης σκέδασης βασίζεται στην εύρεση ενός ζεύγους τελεστών το οποίο καλείται ζεύγος Lax. 14

25 ΜΕΡΟΣ Α' Θεωρούμε το πρόβλημα ιδιοτιμών της μορφής L ψ λ ψ, t 0, x (1.95) όπου L είναι ένας γραμμικός τελεστής και λ η φασματική παράμετρος (spectral parameter) του προβλήματος. Ενώ, η χρονική εξέλιξη της κυματοσυνάρτησης ψ δίνεται από την ακόλουθη σχέση ψ t M ψ, t 0. Παραγωγίζουμε την 1.95 ως προς t, δηλαδή L t ψ L ψ t λ t ψ λ ψ t. Αντικαθιστούμε στην συνέχεια την 1.96 στην 1.97 και έχουμε ή L t ψ L M ψ λ t ψ λ M ψ, L t ψ L M ψ λ t ψ M λ ψ. Αντικαθιστούμε την ποσότητα στην παρένθεση από την σχέση 1.95 και παίρνουμε Ισοδύναμα L t ψ L M ψ λ t ψ M L ψ. L t L M M L ψ λ t ψ. (1.96) (1.97) (1.98) (1.99) (1.100) (1.101) Αφού δεν ενδιαφερόμαστε για τις τετριμμένες ιδιοσυναρτήσεις ψx, t 0 καταλήγουμε στην εξίσωση L t L, M 0. (1.10) Η τελευταία ισχύει αν και μόνο εάν λ t 0. Οι L, M καλούνται ζεύγος Lax, ενώ L, M είναι ο μεταθέτης των τελεστών L, M, ο οποίος ορίζεται ως εξής L, M L M M L. Επιπλέον η εξίσωση 1.10 λέγεται εξίσωση Lax και για κατάλληλους τελεστές L και M, περιέχει μια μη γραμμική διαφορική εξίσωση. Συνεπώς, όταν μια διαφορική εξίσωση προκύπτει ως συνθήκη συμβατότητας της εξίσωσης 1.10, τότε η τελευταία καλείται Lax αναπαράσταση της διαφορικής εξίσωσης και οι τελεστές L, M ονομάζονται ζεύγος Lax. Το πρόβλημα Lax έγκειται στην εύρεση ενός γραμμικού τελεστή M εάν γνωρίζουμε τον τελεστή L. Ωστόσο, δεν έχει βρεθεί κάποια συστηματική μέθοδος που να μας υποδεικνύει αν μια εξίσωση έχει αναπαράσταση Lax και εφόσον έχει να μας οδηγεί στον προσδιορισμό του ζεύγους Lax. Η μεγάλη σημασία της εύρεσης του ζεύγους Lax για μια μη γραμμική εξίσωση βρίσκεται στο ότι η επίλυση της ανάγεται πλέον στην επίλυση των γραμμικών εξισώσεων α. Το Ζεύγος Lax για την Εξίσωση KdV Ας υποθέσουμε ότι, στο πρόβλημα ιδιοτιμών (1.96), το L παριστάνει τον τελεστή του Schrödinger: L ux, t. x (1.103) 15

26 ΜΕΡΟΣ Α' Τότε, η 1.96 γίνεται η εξίσωση Sturm-Liouville ψ λ ux, t ψ 0. x (1.104) Για να διερευνήσουμε αν υπάρχει τελεστής M που με τον L της (1.103) αποτελεί ζεύγος Lax για την εξίσωση KdV, υποθέτουμε ότι ο M έχει την ακόλουθη μορφή Συνεπώς, ή M α x, t 3 β x, t γ x, t δ x, t. x3 x x L t L, M ψ u t ψ x u α 3 x 3 β L t L, M ψ u t ψ α 3 x 3 β x γ x δ α 3 β x3 x γ x δ u ψ, x ψ x u α ψ x x x β ψ x x γ ψ x δ ψ x γ x δ ψ x x u ψ. (1.105) (1.106) (1.107) Αφού γράψουμε αναλυτικά το δεξί μέλος της τελευταίας σχέσης και κάνουμε τις απαραίτητες απλοποιήσεις, καταλήγουμε στην L t L, M ψ α x ψ x x x x ψ x x x α x x β x ψ x x β x x γ x 3 α u x ψ x γ x x δ x β u x 3 α u x x ψ u t δ x x β u x x γ u x α u x x x. (1.108) Για να ικανοποιείται η συνθήκη συμβατότητας L t L, M ψ 0 για τυχαίο ψ, θα πρέπει α x 0, α x x β x 0, β x x γ x 3 α u x 0, γ x x δ x β u x 3 α u x x 0, u t δ x x β u x x γ u x α u x x x 0. Από την πρώτη συνάγεται ότι α c 1 t. Επομένως, η δεύτερη των (1.109) γίνεται οπότε Ετσι, η τρίτη των (1.109) γίνεται ή β x 0, β c t. γ x 3 c 1 t u x 0, (1.109) (1.110) (1.111) (1.11) (1.113) 16

27 ΜΕΡΟΣ Α' γ x 3 c 1t u x. (1.114) Αυτή ολοκληρώνεται αμέσως και δίνει γ c 3 3 c 1t u. Ακόμη, η σχέση , γράφεται 3 c 1t u x x δ x c t u x 3 c 1 t u x x 0 ή δ x 3 4 c 1t u x x c t u x. (1.115) (1.116) (1.117) Ολοκληρώνοντας, βρίσκουμε ότι δ 3 4 c 1t u x c t u c 4 t. (1.118) Τέλος, η τελευταία θα δώσει u t 3 4 c 1t u x x x c t u x x c t u x x c 3 3 c 1t u u x c 1 t u x x x 0 (1.119) ή u t 3 c 1t u u x c 3 u x 1 4 c 1t u x x x 0. (1.10) Παρατηρούμε λοιπόν ότι εάν θέσουμε c 1 t 4, c 3 0, τότε η σχέση 1.10 μας δίνει την εξίσωση KdV. Δηλαδή, u t 6 u u x u x x x 0. Συνεπώς, οι συναρτήσεις α, β, γ, δ θα είναι οι ακόλουθες α x, t 4, β x, t c t, γ x, t 6 ux, t, δ x, t 3 u x x, t c 4 t (1.11) (1.1) (1.13) Ας δούμε τελικά την χρονική εξέλιξη της κυματοσυνάρτησης, σύμφωνα με την σχέση 1.96 ή ψ t 4 3 x 3 c t x 6 u x 3 u x c 4 t ψ, ψ t 4 ψ x x x c t ψ x x 6 u ψ x 3 u x c 4 t ψ. Χρησιμοποιώντας τώρα την σχέση 1.104), η παραπάνω σχέση γίνεται Ισοδύναμα ψ t 4 λ u ψ x c t λ u ψ 6 u ψ x 3 u x c 4 t ψ. (1.14) (1.15) (1.16) 17

28 ΜΕΡΟΣ Α' ψ t 4 u x ψ 4 u ψ x 4 λ ψ x λ c t ψ c t u ψ 6 u ψ x 3 u x ψ c 4 t ψ. (1.17) Τελικά λοιπόν, ψ t λ u ψ x u x ψ ψ λ c t c t u c 4 t. (1.18) Η τελευταία αντιστοιχεί στην περίπτωση της χρονικής εξέλιξης της κυματοσυνάρτησης στην περίπτωση του διακριτού φάσματος, για λ k n 0, εάν θέσουμε c t c 4 t 0. Άρα α x, t 4, β x, t 0, γ x, t 6 ux, t, δ x, t 3 u x x, t. (1.19) Σημειώνουμε εδώ ότι θα μπορούσαμε να υποθέσουμε εξ αρχής ότι ο τελεστής M αποτελείται αποκλειστικά από περιττές δυνάμεις των μερικών παραγώγων της μεταβλητής x, διότι πρόκειται για έναν αυτοσυζυγή τελεστή (απαραίτητη ιδιότητα ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη λ t 0). Τελικά επομένως ένα ζεύγος Lax για την εξίσωση KdV είναι το παρακάτω L ux, t, x 3 M 4 6 u x, t x3 x 3 u xx, t Ύπαρξη Απείρου Αριθμού Διατηρήσιμων Ποσοτήτων (1.130) Μια βασική έννοια της μαθηματικής φυσικής αποτελούν οι νόμοι διατήρησης (conservation laws). Ένας νόμος διατήρησης δηλώνει ότι μια συγκεκριμένη μετρήσιμη ιδιότητα ενός απομονωμένου φυσικού συστήματος δεν αλλάζει καθώς το σύστημα αυτό εξελίσσεται. Πιο συγκεκριμένα, νόμος διατήρησης καλείται κάθε εξίσωση της μορφής T t X x 0, (1.131) όπου, συνήθως, οι συναρτήσεις T, X δεν περιέχουν παραγώγους ως προς τον χρόνο, t. Eιδικότερα, η συνάρτηση T ονομάζεται πυκνότητα της αντίστοιχης φυσικής παραμέτρου του συστήματος (μάζας, ενέργειας κ.λπ.). και Ας υποθέσουμε γ.π. ότι η ux, t ικανοποιεί μια μη-γραμμική διαφορική εξίσωση α) Οι συναρτήσεις T, X εξαρτώνται από τις x, t, u, u x, u x x... όχι όμως και από την u t. β) Οι T, X x είναι ολοκληρώσιμες στο διάστημα,, έτσι ώστε X σταθερή, όταν x, (1.13) Τότε, η εξίσωση μπορεί να ολοκληρωθεί και θα μας δώσει Ισοδύναμα t T x Xx x X 0. T x σταθερά. (1.133) (1.134) Το τελευταίο ολοκλήρωμα καλείται σταθερά της κίνησης. 18

29 ΜΕΡΟΣ Α' Εχει λοιπόν παρατηρηθεί ότι, τα συστήματα των οποίων η εξέλιξη περιγράφεται από μη-γραμμικές ΜΔΕ που ονομάζονται ολοκληρώσιμες διαθέτουν άπειρους νόμους διατήρησης. Για παράδειγμα, ένα σύστημα το οποίο εξελίσσεται σύμφωνα με την εξίσωση KdV χαρακτηρίζεται από τους νόμους διατήρησης που αντιστοιχούν στην (άπειρη) ακολουθία T i. Τα πρώτα μέλη αυτής της ακολουθίας έχουν ως εξής: T 1 u, T u, T 3 u 3 1 u x. (1.135) Για περισσότερες λεπτομέρειες, παραπέμπουμε στο [3] Ο Μετασχηματισμός Αντίστροφης Σκέδασης Η ονομασία μέθοδος αντίστροφης σκέδασης (ΜΑΣ) οφείλεται στο ακόλουθο χαρακτηριστικό: Η λύση ux, t της αντίστοιχης μη-γραμμικής ΜΔΕ ερμηνεύεται ως το δυναμικό ενός προβλήματος σκέδασης για την κυματοσυνάρτηση ψx, t. Το πρώτο βήμα της ΜΑΣ έγκειται στον υπολογισμό των δεδομένων σκέδασης, δηλαδή, της ασυμπτωτικής μορφής της ψx, t, με βάση το δυναμικό ux, 0, που δεν είναι παρά η γνωστή αρχική τιμή της άγνωστης συνάρτησης ux, t. Στη συνέχεια, υπολογίζουμε την χρονική εξέλιξη των δεδομένων σκέδασης, μέσω μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης, η οποία καθορίζεται από την προς επίλυση μη-γραμμική ΜΔΕ. Τέλος, αντιστρέφοντας το πρώτο βήμα, υπολογίζουμε το δυναμικό ux, T τη χρονική στιγμή T 0 από τα, γνωστά πλέον, δεδομένα σκέδασης εκείνης της στιγμής. Η ΜΑΣ επινοήθηκε από τους C. Gardner, J. Greene και M. Kruskal κι εφαρμόστηκε αρχικά στην επίλυση του ΠΑΤ για την εξίσωση KdV. Σύντομα η εφαρμογή της επεκτάθηκε στις εξισώσεις NLS και sine-gordon. Το σημαντικό επίτευγμα αυτής της μεθόδου είναι η αναγωγή του προβλήματος επίλυσης μιας μη γραμμικής μερικής διαφορικής εξίσωσης σε ένα πρόβλημα δύο γραμμικών εξισώσεων (μια συνήθη γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης και μια γραμμική ολοκληρωτική εξίσωση). Για περισσότερες λεπτομέρειες, παραπέμπουμε στα [1] και [3]. 19

30 ΜΕΡΟΣ Α' 0

31 ΜΕΡΟΣ Α' Α.. Βασικές Έννοιες Διαφορικής Γεωμετρίας.1. Θεωρία Καμπυλών Απαραίτητο στην διαφορική γεωμετρία είναι να προσδιορίσουμε εκείνα τα γεωμετρικά μεγέθη, τα οποία μας επιτρέπουν να διακρίνουμε ένα γεωμετρικό αντικείμενο από ένα άλλο ή να κρίνουμε πότε δύο αντικείμενα είναι ίδια. Οσο αφορά τις ομαλές καμπύλες του τρισδιάστατου Ευκλείδειου χώρου, τα χαρακτηριστικά μεγέθη είναι η καμπυλότητα και η στρέψη Μοναδιαίο Εφαπτόμενο Διάνυσμα Με τον όρο παραμετρική καμπύλη του τρισδιάστατου Ευκλείδειου χώρου, εννοούμε μιαν απεικόνιση x : I R 3, όπου I ένα ανοιχτό διάστημα της πραγματικής ευθείας R. H μεταβλητή t, με τη βοήθεια της οποίας προσδιορίζονται τα σημεία του διαστήματος I, ονομάζεται παράμετρος. Από δω και στο εξής, με x θα συμβολίζουμε τόσο το τυχαίο σημείο x, y, z του R 3, όσο και την διανυσματική συνάρτηση Επιπλέον, θα υποθέτουμε ότι, x t xt, yt, zt, t I. α) Η x t είναι συνεχώς διαφορίσιμη σε κάθε σημείο του διαστήματος I και β) Η παράγωγος της x t δεν μηδενίζεται σε κανένα σημείο του I: x t x t 0, για κάθε t I. t (.1) (.) Η τελευταία συνθήκη μας επιτρέπει να αντικαθιστούμε κάθε φορά την τυχαία παράμετρο, t, από την φυσική παράμετρο ή παράμετρο μήκους τόξου, s, που ορίζεται μέσω της σχέσης d s d t t 1 x t (.3) Οταν το s παριστάνει την παράμετρο μήκους τόξου, η διανυσματική συνάρτηση x s ονομάζεται φυσική αναπαράσταση της καμπύλης. Τότε, από τις (.), (.3) και τον κανόνα της αλυσίδας αμέσως έπεται ότι x 1. Κατά συνέπεια, το διάνυσμα x s x s καλείται μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης στο σημείο x s. s Συνήθως συμβολίζεται με ts, ή, λιγότερο αυστηρά, με t. s 1

32 ΜΕΡΟΣ Α' Εικόνα.1: Φυσική αναπαράσταση μιας καμπύλης και το μοναδιαίο διάνυσμα x s στο σημείο x s. Παράδειγμα.1.1. Ας θεωρήσουμε την καμπύλη x t sin t, cos t, t. Ζητάμε το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα t s. Αρχικά έχουμε ότι και v t d x t d t d x t d t cos t, sin t, (.4) (.5) (.6) Μπορούμε ακόμη να βρούμε την φυσική αναπαράσταση για την παραπάνω καμπύλη υπολογίζοντας το ακόλουθο ολοκλήρωμα Συνεπώς, θέτοντας t και επομένως d x s t s d s.1.. Καμπυλότητα s 0 t d x t d t s x s sin t 0 t t t. στην παραπάνω αναπαράσταση, έχουμε s, cos cos s s, s, sin s, (.7) (.8) (.9) Θεωρούμε την κανονική καμπύλη x x s κλάσεως C m, m. Η διανυσματική συνάρτηση t ts x s είναι τουλάχιστον κλάσης C 1 και συνεπώς η παράγωγός της t (.10) s t s x.. s. θα είναι συνεχής. Το διάνυσμα t s λέγεται διάνυσμα καμπυλότητας της καμπύλης C στο σημείο x s και συνήθως συμβολίζεται με ks ή λιγότερο αυστηρά με k. Επειδή το διάνυσμα t είναι

33 ΜΕΡΟΣ Α' μοναδιαίο, το διάνυσμα ks t s είναι κάθετο στο t και συνεπώς παράλληλο προς το κάθετο επίπεδο της καμπύλης (Εικόνα.). Εικόνα.: Το Διάνυσμα Καμπυλότητας ks. Το μέτρο του διανύσματος καμπυλότητας σε ένα σημείο είναι κs ks (.11) και λέγεται καμπυλότητα της C στο σημείο x s. Ακόμη, το αντίστροφο της καμπυλότητας είναι ρs 1 κs 1 και λέγεται ακτίνα καμπυλότητας στο x s. ks (.1) Επιπλέον μπορούμε να εκφράσουμε την καμπυλότητα συναρτήσει των παραγώγων μιας παραμετρικής αναπαράστασης της καμπύλης. Δηλαδή, εάν x x t είναι μια τυχαία παραμετρική παράσταση μιας καμπύλης κλάσεως C m, m, τότε Παράδειγμα.1.. κ x 'x '' x ' 3 Θα υπολογίσουμε την καμπυλότητα για την καμπύλη x t sin t, cos t, t, (.13) (.14) την οποία χρησιμοποιήσαμε και στο προηγούμενο παράδειγμα για τον υπολογισμό του μοναδιαίου εφαπτόμενου διανύσματος. Σύμφωνα με τον ορισμό που δώσαμε παραπάνω, k t.9 1 sin s, 1 cos s, Πρώτο και Δεύτερο Κάθετο Μοναδιαίο Διάνυσμα (.15) Έστω μια καμπύλη C κλάσεως C m, m. Αν δεν υπάρχουν σημεία καμπής στην C, δηλαδή αν έχουμε ks 0 για κάθε s, το ακόλουθο μοναδιαίο διάνυσμα ns ks, ks (.16) 3

34 ΜΕΡΟΣ Α' το οποίο έχει διεύθυνση και φορά την διεύθυνση και φορά του ks, λέγεται πρώτο κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα της C στο x s. Παρατηρούμε ότι κατά μήκος μιας ευθείας έχουμε k 0 και επομένως το πρώτο κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα δεν ορίζεται. Τώρα, θεωρούμε μια κανονική καμπύλη x x s κλάσεως C m, m, κατά μήκος της οποίας η διανυσματική συνάρτηση n είναι συνεχής. Σε κάθε σημείο της καμπύλης υπάρχουν δύο ορθογώνια μεταξύ τους διανύσματα, το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα t s και το πρώτο κάθετο διάνυσμα ns. Θεωρούμε στην συνέχεια το διάνυσμα bs το οποίο ορίζεται από τον τύπο bs t sns (.17) και καλείται δεύτερο κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα της C στο x s. Τέλος, η τριάδα t s, ns, bs ορίζει μια δεξιόστροφη ορθοκανονική βάση η οποία λέγεται κινούμενο τρίεδρο της C. Παράδειγμα.1.3. Εικόνα.3: Το κινούμενο τρίεδρο. Στο παράδειγμα αυτό θα υπολογίσουμε το πρώτο και το δεύτερο κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα. Θα χρησιμοποιήσουμε την καμπύλη που μελετήσαμε στα παραπάνω παραδείγματα, δηλαδή την x t sin t, cos t, t. Επομένως, για το πρώτο κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα έχουμε με την βοήθεια της (.15) (.18) ns sin s, 1 cos s, 0. (.19) 4 Ισοδύναμα s s ns sin, cos, 0. (.0) Για το δεύτερο κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα, χρησιμοποιώντας την (.17), βρίσκουμε ότι bs tsns 4

35 ΜΕΡΟΣ Α' cos s, sin s, sin s, cos s, 0 s cos k s sin k sin s j cos s i Τελικά, bs s cos, sin s,. (.1) 1.0 y z x5 b x s 0.0 x x4 0.5 n k Εικόνα.4: Τα μοναδιαία διανύσματα t s, ns και bs και το διάνυσμα της.1.4. Στρέψη καμπυλότητας k. Θεωρούμε ότι x x s είναι μια κανονική καμπύλη κλάσεως C m, m κατά μήκος της οποίας η διανυσματική συνάρτηση n είναι κλάσεως C m', m' 1. Η στρέψη ή δεύτερη καμπυλότητα της C στο x s είναι ο αριθμός τs που δηλώνει την ταχύτητα περιστροφής του διανύσματος δεύτερης καθέτου στο δοσμένο σημείο και ορίζεται από την εξίσωση bs τs ns. (.) Ισοδύναμα τs bs ns. (.3) Παρατηρούμε ότι το πρόσημο της στρέψης είναι ανεξάρτητο από τη φορά του n και τον προσανατολισμό της C, συνεπώς η στρέψη εκφράζει μια εσωτερική ιδιότητα της 5

36 ΜΕΡΟΣ Α' καμπύλης. Βέβαια, μπορούμε να εκφράσουμε την στρέψη συναρτήσει των παραγώγων οποιασδήποτε παραμετρικής αναπαράστασης της καμπύλης. Δηλαδή, εάν x x t είναι μια τυχαία παραμετρική παράσταση μιας καμπύλης κλάσεως C m, m, τότε Παράδειγμα.1.4. τ x ' x '' x ''' x 'x ''. (.4) Ας υπολογίσουμε επομένως την στρέψη για την καμπύλη που μας απασχολεί στα τελευταία παραδείγματα. Δηλαδή, αρχικά bs 1 sin s και επομένως από την σχέση.3 θα πάρουμε ή τs 1 sin s τs 1 sin, 1 cos s s, 1 cos s 1 cos, 0 sin s, 0 s, cos 1 0. s, 0 (.5) Παρατηρούμε ότι η στρέψη είναι αρνητική. Αυτό σημαίνει ότι η έλικα είναι αριστερόστροφη Οι Εξισώσεις του Frenet Από τον ορισμό των διανυσματικών συναρτήσειων t, n και b εύκολα συνάγεται ότι, t κ n n κ t τ b b τ n (.6) Αυτές οι σχέσεις λέγονται εξισώσεις των Serret-Frenet ή εξισώσεις του Frenet της καμπύλης. Το σύστημα των εξισώσεων.6 μπορεί να γραφεί και ως εξής Παράδειγμα.1.5. t n b 0 κ 0 κ 0 τ 0 τ 0 t n b (.7) Σαν τελευταία εφαρμογή στην θεωρία καμπυλών ας δούμε την μορφή των εξισώσεων Serret-Frenet για την έλικα των παραπάνω παραδειγμάτων μας. Αρχικά, θα χρειαστούμε το μέτρο του διανύσματος καμπυλότητας. Η σχέση.11 με την βοήθεια της.15 γίνεται 6

37 ΜΕΡΟΣ Α' κ (.8) Άρα, για τις εξισώσεις.7, έχουμε t 0 n b t n b. (.9).. Θεωρία Επιφανειών Θεωρούμε μια περιοχή (ανοιχτό και συνεκτικό υποσύνολο) U του R και υποθέτουμε ότι η απεικόνιση x : U R 3 έχει τις εξής ιδιότητες: α) Οι μερικές παράγωγοι x uu, v και x vu, v την διανυσματικής συνάρτησης x u, v είναι συνεχείς στην περιοχή U και δεν μηδενίζονται σε κανένα σημείο u, v αυτής της περιοχής. β) Το εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων x uu, v και x vu, v δεν μηδενίζεται σε κανένα της περιοχής U: x u u, vx vu, v 0 για κάθε u, v U. (.30) Οταν ισχύουν αυτές οι προϋποθέσεις, θα λέμε ότι η απεικόνιση x : U R 3 αποτελεί μια (παραμετρική) επιφάνεια του R 3. Με τη λέξη επιφάνεια θα αναφερόμαστε στο υποσύνολο S του R 3 στο οποίο η x απεικονίζει την περιοχή U (βλ. Εικ..5). Παρατηρούμε ότι η εικόνα της ευθείας v v 0 είναι η καμπύλη της επιφάνειας S, x x u, v0 με παράμετρο το u. Η καμπύλη αυτή ονομάζεται u παραμετρική καμπύλη v v 0. Ομοίως, η εικόνα της ευθείας u u 0 είναι η καμπύλη x x u 0, v της επιφάνειας S και ονομάζεται v παραμετρική καμπύλη u u 0. Έτσι η παραμετρική αναπαράσταση καλύπτει την S με δύο οικογένειες παραμετρικών καμπυλών, τις εικόνες των ευθειών v σταθερό και u σταθερό. Εικόνα.5: Η απεικόνιση x...1. Εφαπτόμενο Επίπεδο και Κάθετος Ένα μη μηδενικό διάνυσμα T λέγεται εφαπτόμενο μιας επιφάνειας S σε ένα σημείο P, αν υπάρχει μια κανονική καμπύλη x yt της S που διέρχεται από το P, τέτοια που T d y d t στο P (βλ. Εικ..6). Για παράδειγμα, τα διανύσματα x uu, v και x vu, v είναι 7

38 ΜΕΡΟΣ Α' εφαπτόμενα στην παραμετρική επιφάνεια S που ορίζεται από τη διανυσματική συνάρτηση x u, v. Το σύνολο των διανυσμάτων που εφάπτονται μιας επιφάνειας S στο τυχαίο σημείο P της S λέγεται εφαπτόμενο επίπεδο της S στο σημείο P. Πρόκειται για το επίπεδο που ορίζουν τα διανύσματα x u και x v. u v Εικόνα.6: Το εφαπτόμενο επίπεδο. Σε κάθε σημείο μιας επιφάνειας υπάρχουν προφανώς δύο μοναδιαία διανύσματα κάθετα στο εφαπτόμενο επίπεδο στο P με αντίθετη φορά. Διαλέγουμε συνήθως εκείνο το κάθετο διάνυσμα, το οποίο μαζί με τα διανύσματα x u και x v αποτελεί ένα δεξιόστροφο σύστημα στο P. Ειδικότερα, το διάνυσμα N x u x v x u x v, (.31) είναι μοναδιαίο, κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο στο P x u, v και μεταβάλλεται κατά τρόπο συνεχή (αφού οι διανυσματικές συναρτήσεις x uu, v και x vu, v είναι τουλάχιστον κλάσεως C 0 και x u x v 0). Το διάνυσμα αυτό καλείται μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της επιφάνειας στο P. Παράδειγμα..1. Θεωρούμε την ομαλή επιφάνεια του R 3 που ορίζεται παραμετρικά ως εξής: x u, v cos v cos u, cos v sin u, sin v. (.3) Θα υπολογίσουμε το εφαπτόμενο επίπεδο στο σημείο που αντιστοιχεί στις τιμές 0, 0 των παραμέτρων u, v, καθώς και το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα σε αυτήν την επιφάνεια. Το διάνυσμα θέσης της επιφάνειας στο σημείο u, v 0, 0 θα είναι x 0, 0 3 i (.33) Θα χρειαστούμε στην συνέχεια τις μερικές παραγώγους του διανύσματος θέσης. Εύκολα βρίσκουμε ότι x u u, v cos v sin u, cos v cos u, 0 x u0, 0 0, 3, 0 3 j (.34) x vu, v sin v cos u, sin v sin u, cos v x v0, 0 0, 0, 1 k Επιπλέον, x u 0, 0x v0, 0 3 jk 3 i. Ας υποθέσουμε τώρα ότι το σημείο R x i y j z k (.35) (.36) 8

39 ΜΕΡΟΣ Α' ανήκει στο επίπεδο P x, που είναι εφαπτόμενο στην επιφάνεια στο σημείο x. Τότε, το διάνυσμα R x περιέχεται στο P x. Συνεπώς, R x x ux v 0. Ειδικότερα, για το σημείο x 0, 0 3 i, η τελευταία σχέση γίνεται x 3 i y j z k 3 i 0, ή x 3. (.37) (α) Εικόνα.7: (α) Το εφαπτόμενο επίπεδο x 3. (β) Το πεδίο των μοναδιαίων κάθετων διανυσμάτων. Για να κατασκευάσουμε το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα N, χρειαζόμαστε το εξωτερικό γινόμενο ή x u x v cos v sin u i cos v cos u j sin v cos u i sin v sin u j cos v k cos v sin u sin v cos v cos u sin v k cos v sin u cos v j cos v cos u cos v i x u x v cos v cos u cos v i cos v sin u cos v j cos v sin v k. Από την τελευταία σχέση αμέσως έπεται ότι x u x v cos v cos u cos v sin u cos v sin v cos v Άρα, το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα είναι το ακόλουθο N 1 cos v cos v cos u cos v i cos v sin u cos v j cos v sin v k cos u cos v i sin u cos v j sin v k (β) (.38) (.39) (.40) 9

40 ΜΕΡΟΣ Α'... Θεμελιώδεις Μορφές Τοπικά, η γεωμετρία μιας ομαλής επιφάνειας S του τρισδιάστατου Ευκλείδειου χώρου προσδιορίζεται πλήρως από τρεις απεικονίσεις που ονομάζονται θεμελιώδεις μορφές. Στις γραμμές που ακολουθούν, ορίζουμε αναλυτικά αυτές τις απεικονίσεις και, με συγκεκριμένα παραδείγματα, εξηγούμε τη γεωμετρική σημασία τους....a. Η Πρώτη Θεμελιώδης Μορφή Η πρώτη θεμελιώδης μορφή χαρακτηρίζει την εσωτερική γεωμετρία μιας επιφάνειας. Θεωρούμε μια επιφάνεια x x u, v κλάσεως C m, m 1. Με d x συμβολίζουμε το εφαπτόμενο διάνυσμα στην επιφάνεια, στο σημείο x u, v (βλ. Εικ..8). Δηλαδή, d x x u d u x v d v (.41) Εικόνα.8: Το εφαπτόμενο διάνυσμα. Με πρώτη θεμελιώδη μορφή εννοούμε την συνάρτηση I που ορίζεται από τον τύπο όπου το d x d x R 3. I d u, d v d x d x, (.4) παριστάνει το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων του Αντικαθιστώντας την (.41) στην (.4) παίρνουμε Ισοδύναμα, όπου I d u, d v x u x u d u x u x v d u d v x v x v d v. I d u, d v E d u F d u d v G d v, E x u x u, F x u x v, G x v x v Οι συναρτήσεις Eu, v, Fu, v και Gu, v λέγονται θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξης. (.43) (.44) (.45) Τα πρώτα θεμελιώδη μεγέθη καθορίζουν, εκτός των άλλων, την γωνία ω που σχηματίζεται μεταξύ των εφαπτόμενων διανυσμάτων x u και x v στο σημείο x u, v (ισοδύναμα την γωνία που σχηματίζεται μεταξύ των παραμετρικών γραμμών u και v στο ίδιο σημείο): cos ω x u x v x (.46) u x v x u x v F x u x u x v x. E G v Συνήθως, η πρώτη θεμελιώδης μορφή γράφεται και στη μορφή d s E d u F d u d v G d v. (.47) 30

41 ΜΕΡΟΣ Α' O λόγος είναι ο εξής: Από τη σκοπιά του περιβάλλοντος χώρου R 3, η απόσταση δύο γειτονικών σημείων x u, v και x u d u, v d v της επιφάνειας S είναι ίση με d s E d u F d u d v G d v. (.48) Για πραγματικά απειροστές διαφορές των συντεταγμένων ή παραμέτρων u και v, το d s υιοθετείται ως μέτρο της απόστασης των αντίχτοιχων σημείων της επιφάνειας S. Παράδειγμα...a. Στο παράδειγμα αυτό θα βρούμε την πρώτη θεμελιώδη μορφή για τον τόρο, ο οποίος περιγράφεται από το διάνυσμα θέσης x u, v cos v cos u, cos v sin u, sin v. (.49) Στην προηγούμενη υποενότητα βρήκαμε για την παραπάνω επιφάνεια ότι x u u, v cos v sin u, cos v cos u, 0 x v u, v sin v cos u, sin v sin u, cos v Συνεπώς, για τα θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξης έχουμε E cos v sin u, cos v cos u, 0 cos v sin u, cos v cos u, 0 Ακόμη, Και τέλος cos v sin u cos v cos u cos v F cos v sin u, cos v cos u, 0 sin v cos u, sin v sin u, cos v cos v sin u sin v cos u cos v cos u sin v sin u 0 G sin v cos u, sin v sin u, cos v sin v cos u, sin v sin u, cos v sin v cos u sin v sin u cos v 1 Επομένως, η πρώτη θεμελιώδης μορφή θα είναι I cos v d u d v....b. Η Δεύτερη Θεμελιώδης Μορφή (.50) (.51) (.5) (.53) (.54) Θεωρούμε μια επιφάνεια x u, v κλάσεως C m, m, και το εφαπτόμενο διάνυσμα d x, το οποίο δίνεται από την.41. Σε κάθε σημείο της επιφάνειας αντιστοιχεί ένα μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα N. Το διάνυσμα d N, δίνεται από την σχέση d N N u d u N v d v. (.55) Το παραπάνω διάνυσμα d N είναι κάθετο στο διάνυσμα N (αφού είναι εφαπτόμενο στην εικόνα της N ). Εικόνα.9: Το διάνυσμα d N. 31

42 ΜΕΡΟΣ Α' Θεωρούμε τώρα την συνάρτηση I I, της οποίας η τιμή στο τυχόν διάνυσμα d u, d v του επιπέδου u v δίνεται από τον τύπο I I d u, d v d x d N. Αντικαθιστώντας την (.41) στην (.56) παίρνουμε Ισοδύναμα, όπου I I d u, d v x u N u d u x u N v x v N v d u d v x v N v d v. I I d u, d v e d u f d u d v g d v, (.56) (.57) (.58) e x u N u, f 1 x u N v x v N u, g x v N v (.59) Η παραπάνω συνάρτηση I I λέγεται δεύτερη θεμελιώδης μορφή της επιφάνειας. Είναι και αυτή μια ομογενής συνάρτηση δευτέρου βαθμού ως προς τα d u και d v. Οι συναρτήσεις e, f και g λέγονται θεμελιώδη μεγέθη δεύτερης τάξης. Γνωρίζουμε ότι τα διανύσματα x u και x v είναι κάθετα στο διάνυσμα N σε κάθε σημείο x u, v και επομένως έχουμε x u N 0, x v N 0. (.60) Παραγωγίζοντας τις τελευταίες, βρίσκουμε τις ακόλουθες σχέσεις x u N u x u u N x u N u 0, x u N v x u v N x u N v 0 x v N u x v u N x v N u 0, x v N v x v v N x v N v 0 Συνεπώς, x u u N x u N u, x u v N x u N v x v N u, x v v N x v N v (.61) (.6) Με αυτό τον τρόπο, καταλήγουμε στις ακόλουθες εκφράσεις για τα θεμελιώδη μεγέθη e, f, g Παράδειγμα...b. e x u u N, f x u v N, g x v v N. (.63) Συνεχίζουμε και στο παράδειγμα αυτό με την επιφάνεια του τόρου, για τον οποίο θα βρούμε την δεύτερη θεμελιώδη μορφή. Αρχικά θα βρούμε τα θεμελιώδη μεγέθη δεύτερης τάξης. Επομένως θα πρέπει να υπολογίσουμε πρώτα τις μερικές παραγώγους του N. Από τον τύπο (.40) για το διάνυσμα N αμέσως έπεται ότι N u sin u cos v i cos u cos v j N v cos u sin v i sin u sin v j cos v k (.64) Με βάση αυτές τις σχέσεις και τους ορισμούς των θεμελιωδών μεγεθών e, f και g, βρίσκουμε ότι, e cos v sin u, cos v cos u, 0 sin u cos v, cos u cos v cos v sin u cos v cos v cos u cos v cos v cos v (.65) 3

43 ΜΕΡΟΣ Α' και f 1 cos v sin u, cos v cos u, 0 cos u sin v, sin u sin v, cos v sin v cos u, sin v sin u, cos v sin u cos v, cos u cos v 0 g sin v cos u, sin v sin u, cos v cos u sin v, sin u sin v, cos v sin v cos u sin v sin u cos v 1 Συνεπώς, η δεύτερη θεμελιώδης μορφή θα είναι η ακόλουθη:..3. Κάθετη Καμπυλότητα I I cos v cos v d u d v. (.66) (.67) (.68) Θεωρούμε μιαν επιφάνεια, x x u, v κλάσεως C m, m, και ένα σημείο P στο εσωτερικό αυτής. Επιπλέον, θεωρούμε μια κανονική καμπύλη C, x x ut, vt, κλάσεως C η οποία διέρχεται από το σημείο P. Το διάνυσμα της κάθετης καμπυλότητας της καμπύλης C στο σημείο P, συμβολίζεται με k n και είναι η διανυσματική προβολή του διανύσματος καμπυλότητας k της C στο σημείο P στο κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα N στο σημείο P. Δηλαδή, k n k N N (.69) Η προβολή του διανύσματος της κάθετης καμπυλότητας k n στην διεύθυνση του κάθετου μοναδιαίου διανύσματος N λέγεται κάθετη καμπυλότητα της καμπύλης C στο σημείο P, συμβολίζεται με κ n και δίνεται από την σχέση κ n k N. (.70) Αποδεικνύεται ότι η κάθετη καμπυλότητα μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει της πρώτης και δεύτερης θεμελιώδους μορφής. Συγκεκριμένα, κ n e d u f d u d v g d v E d u F d u d v G d v I I I...4. Κύριες Καμπυλότητες και Κύριες Διευθύνσεις (.71) Στην προηγούμενη ενότητα ορίσαμε την κάθετη καμπυλότητα. Η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της κάθετης καμπυλότητας σε ένα σημείο P, συμβολίζονται με κ 1 και κ και λέγονται κύριες καμπυλότητες. Οι δύο κάθετες διευθύνσεις οι οποίες αντιστοιχούν στη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της κάθετης καμπυλότητας κ n σε ένα σημείο P, λέγονται κύριες διευθύνσεις. Θεώρημα Ένας αριθμός κ είναι μια κύρια καμπυλότητα σε ένα σημείο μιας επιφάνειας εάν και μόνο εάν ο αριθμός αυτός ικανοποιεί την εξίσωση: det I I κ I 0 det e κ E f κ F f κ F g κ G 0. (.7) 33

44 ΜΕΡΟΣ Α' Ισοδύναμα E G F κ E g G e F f κ e g f 0. Ένα σημείο μιας επιφάνειας στο οποίο κ n σταθερό, λέγεται ομφαλικό σημείο. Θεώρημα (.73) Ένα σημείο μιας επιφάνειας είναι ομφαλικό σημείο εάν και μόνο εάν τα θεμελιώδη μεγέθη πρώτης και δεύτερης τάξης είναι ανάλογα. Παράδειγμα..4. Σε αυτό το παράδειγμα θα βρούμε τις κύριες καμπυλότητες για την επιφάνεια του τόρου, την οποία μελετάμε στα παραδείγματα αυτού του κεφαλαίου. Ειδικότερα, σύμφωνα με την σχέση.54 και με την βοήθεια των θεμελιωδών μεγεθών πρώτης και δεύτερης τάξης, βρίσκουμε ότι, στην περίπτωση του τόρου, η εξ. (.73) παίρνει την ακόλουθη μορφή: ή ή cos v κ cos v cos v cos v κ cos v cos v 0, cos v κ cos v cos v cos v κ cos v cos v 0, cos v κ 1 cos v κ cos v 0. Λύνοντας αυτή την εξίσωση ως προς το κ, βρίσκουμε ότι Επομένως, κ 1, 1 cos v 1 cos v κ 1 cos v cos v, κ 1, όπου κ 1 η μέγιστη καμπυλότητα και κ η ελάχιστη καμπυλότητα...5. Καμπυλότητα του Gauss και Μέση Καμπυλότητα..5.a. Η Καμπυλότητα του Gauss (.74) (.75) (.76) Ως καμπυλότητα του Gauss K μιας επιφάνειας S στο τυχαίο σημείο P S ορίζεται το γινόμενο των κυρίων καμπυλοτήτων στο P. Δηλαδή K κ 1 κ. (.77) Μπορούμε να χαρακτηρίσουμε μιαν επιφάνεια S στη γειτονιά ενός τυχαίου σημείου της P, ανάλογα με το πρόσημο της καμπυλότητας του Gauss στο P. Συγκεκριμένα, Εάν και οι δύο κύριες καμπυλότητες έχουν το ίδιο πρόσημο, τότε κ 1 κ 0, οπότε η καμπυλότητα του Gauss είναι θετική. Σ αυτή την περίπτωση, λέμε ότι το P είναι ελλειπτικό σημείο. Στη γειτονιά ενός ελλειπτικού σημείου, η επιφάνεια έχει την μορφή θόλου. Εάν οι δύο κύριες καμπυλότητες έχουν διαφορετικά πρόσημα (κ 1 κ 0), η καμπυλότητα του Gauss είναι αρνητική. Τότε, το P λέγεται υπερβολικό σημείο. Στη γειτονιά ενός υπερβολικού σημείου η επιφάνεια έχει την μορφή σάγματος. 34

45 ΜΕΡΟΣ Α' Εάν μία εκ των δύο κυρίων καμπυλοτήτων είναι μηδενική (κ 1 κ 0), η καμπυλότητα του Gauss στο σημείο P μηδενίζεται. Τότε λέμε ότι το P είναι ένα παραβολικό σημείο. Οι περισσότερες επιφάνειες αποτελούνται από περιοχές με θετική καμπυλότητα του Gauss (ελλειπτικά σημεία) και περιοχές με αρνητική καμπυλότητα του Gauss (υπερβολικά σημεία), οι οποίες διαχωρίζονται από μια καμπύλη με καμπυλότητα του Gauss μηδέν (παραβολικά σημεία). Ξεκινώντας από τον ορισμό των κ 1 κ ως ακρότατων λύσεων της δευτεροβάθμιας εξίσωσης (.73), μπορούμε να δείξουμε ότι K det I I det I e g f E G F. (.78) Μια από τις πιο σημαντικές ανακαλύψεις του Gauss για τις επιφάνειες είναι ότι η καμπυλότητα του Gauss δεν αλλάζει όταν μια επιφάνεια λυγίζει χωρίς να τεντώνεται. Ο Gauss ονόμασε το το αποτέλεσμα egregium, και η λατινική λέξη (αξιοθαύμαστο) το ακολουθεί ως σήμερα. Θεώρημα Egregium του Gauss Η καμπυλότητα του Gauss μιας επιφάνειας καθορίζεται πλήρως από τα θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξης και, επομένως, είναι ενδογενές χαρακτηριστικό της επιφάνειας. Δηλαδή, η καμπυλότητα του Gauss είναι ανεξάρτητη από τον περιβάλλοντα χώρο και αναλλοίωτη ως προς τους μετασχηματισμούς των συντεταγμένων. Αναλυτικότερα, η καμπυλότητα του Gauss δίνεται από τον τύπο K 1 H H E Γ 11 H v E Γ 1 u (.79) όπου H E G F και Γ 11, Γ 1 τα σύμβολα του Christoffel πρώτου είδους που ορίζουμε παρακάτω και τα οποία υπολογίζονται χρησιμοποιώντας αποκλειστικά και μόνο τα θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξης E, F και G. Αξίζει εδώ να σημειώσουμε ότι υπάρχουν ενδιαφέρουσες επιφάνειες με σταθερή καμπυλότητα του Gauss. Αυτές είναι οι το επίπεδο, με K 0, επιφάνειες σε σχήμα κύλινδρου, με K 0, επιφάνειες σε σχήμα κώνου, με K 0, η σφαιρική επιφάνεια, με K 1 r, όπου r η ακτίνα της σφαίρας. η ψευδόσφαιρα, με K 1, Παράδειγμα...a. Στο παράδειγμα που ακολουθεί θα βρούμε την καμπυλότητα του Gauss για την επιφάνεια 35

46 ΜΕΡΟΣ Α' του τόρου, την οποία μελετήσαμε στα παραπάνω παραδείγματα. Εχοντας υπολογίσει τα θεμελιώδη μεγέθη πρώτης και δεύτερης τάξης, χρησιμοποιούμε τον τύπό.78 για να βρούμε ότι K cos v cos v cos v cos v cos v. (.80) Παρατηρούμε ότι το πρόσημο της καμπυλότητας του Gauss εξαρτάται από το v και ειδικότερα: Αν v π ή v 3 π, τότε η καμπυλότητα του Gauss είναι μηδέν. Αν 0 v π και 3 π v π, τότε η καμπυλότητα του Gauss είναι θετική. Αν π v π και π v 3 π τότε η καμπυλότητα του Gauss είναι αρνητική. (α) Εικόνα.10: (α) Οι παράλληλοι v π ή v 3 π όπου K 0. (β) Τα σημεία όπου K 0 (σκούρο γκρι) και K 0 (ανοιχτό γκρι)...5.b. Η Μέση Καμπυλότητα Ως μέση καμπυλότητα μιας επιφάνειας S στο τυχαίο σημείο P S ορίζεται η ποσότητα H κ 1 κ, δηλαδή, ο μέσος όρος των κυρίων καμπυλοτήτων. (β) (.81) Σε αντίθεση με την καμπυλότητα του Gauss, η μέση καμπυλότητα είναι εξωγενές χαρακτηριστικό μιας επιφάνειας. Αυτό φαίνεται καθαρά και από τον τύπο H E g G e F f E G F (.8) που προκύπτει αμέσως απο τον ορισμό της H και την εξίσωση (.73). Αυτός ο τύπος δείχνει καθαρά ότι, στον υπολογισμό της μέσης καμπυλότητας, παίζουν καθοριστικό ρόλο τα θεμελιώδη μεγέθη δεύτερης τάξης. 36

47 ΜΕΡΟΣ Α' Minimal Επιφάνειες. Θεωρούμε μια κλειστή καμπύλη C του R 3. Minimal (επιφάνεια ελάχιστης έκτασης), καλείται η επιφάνεια με το ελάχιστο εμβαδόν, η οποία έχει την κλειστή καμπύλη C ως σύνορο. Μια επιφάνεια είναι minimal εάν και μόνο εάν η μέση καμπυλότητα της είναι μηδέν. Χαρακτηριστικά παραδείγματα minimal επιφανειών είναι: το επίπεδο, το ελικοειδές με σύνορο μια κυκλική έλικα, η επιφάνεια Enneper. Επιφάνειες Σταθερής Μέσης Καμπυλότητας (CMC surfaces). Όπως ακριβώς δηλώνει και η ονομασία τους, οι επιφάνειες σταθερής μέσης καμπυλότητας (CMC surfaces) είναι οι επιφάνειες που έχουν σταθερή μέση καμπυλότητα. Ένα υποσύνολο αυτών των επιφανειών είναι οι minimal επιφάνειες, οι οποίες όμως αντιμετωπίζονται σαν ξεχωριστή κατηγορία επιφανειών. Χαρακτηριστικά παραδείγματα επιφανειών σταθερής μέσης καμπυλότητας είναι: το επίπεδο, με H 0, ο κύλινδρος, με H 1, όπου r η ακτίνα της βάσης του, r η σφαίρα, με H 1, όπου r η ακτίνα. r Παράδειγμα...b. Σύμφωνα με τα αποτελέσματα που δώσαμε νωρίτερα, η μέση καμπυλότητα για την επιφάνεια του τόρου είναι ίση με ή H 1 cos v cos v 1 1 cos v cos v 1 cos v cos v cos v, H 1. (.83) Πρόκειται επομένως για μια επιφάνεια σταθερής μέσης καμπυλότητας ή CMC επιφάνεια...6. Γραμμές Καμπυλότητας Μια καμπύλη μιας επιφάνειας λέγεται γραμμή καμπυλότητας (line of curvature), αν σε κάθε σημείο της καμπύλης η διεύθυνση της εφαπτόμενης είναι μια κύρια διεύθυνση. Θεώρημα Στην περιοχή ενός μη ομφαλικού σημείου μιας επιφάνειας κλάσεως C m, m 3, υπάρχουν δύο οικογένειες ορθογώνιων γραμμών καμπυλότητας. Θεώρημα Για κάθε σημείο P μιας επιφάνειας κλάσεως C m, m 3, υπάρχει ένα τμήμα που περιέχει 37

48 ΜΕΡΟΣ Α' το P και του οποίου οι διευθύνσεις των u και v παραμετρικών γραμμών στο P είναι κύριες διευθύνσεις. Υπενθυμίζουμε ότι οι κύριες διευθύνσεις σε ένα μη ομφαλικό σημείο είναι ορθογώνιες. Συνεπώς, έχουμε το ακόλουθο θεώρημα Θεώρημα Οι διευθύνσεις των u και v παραμετρικών καμπυλών ενός τμήματος σε ένα μη ομφαλικό σημείο μιας επιφάνειας είναι οι κύριες διευθύνσεις, εάν και μόνο εάν στο σημείο αυτό είναι F f 0. Πόρισμα Προκύπτει λοιπόν το ακόλουθο πόρισμα. Οι u και v παραμετρικές καμπύλες ενός τμήματος μιας επιφάνειας που δεν έχει ομφαλικά σημεία είναι γραμμές καμπυλότητας, εάν και μόνο εάν σε κάθε σημείο του τμήματος έχουμε F f 0. Τέλος, εάν οι διευθύνσεις των u και v παραμετρικών καμπυλών ενός τμήματος είναι σε ένα σημείο P είναι κύριες, τότε έχουμε απλές εκφράσεις για τις κύριες καμπυλότητες. Δηλαδή, έχουμε το εξής θεώρημα και πόρισμα Θεώρημα Εάν οι διευθύνσεις των u και v παραμετρικών καμπυλών ενός τμήματος σε ένα σημείο P μιας επιφάνειας είναι κύριες διευθύνσεις, τότε οι κύριες καμπυλότητες στο P δίνονται από τις σχέσεις κ 1 e E, κ g G. (.84) Πόρισμα Εάν οι u και v παραμετρικές καμπύλες ενός τμήματος μιας επιφάνειας είναι γραμμές καμπυλότητας, τότε οι κύριες καμπυλότητες σε ένα τυχαίο σημείο δίνονται από τις σχέσεις κ 1 e E, κ g G. (.85)..7. Ασυμπτωτικές Γραμμές Μια καμπύλη μιας επιφάνειας είναι ασυμπτωτική γραμμή, εάν και μόνο εάν η διεύθυνση της εφαπτόμενης της καμπύλης ικανοποιεί την εξίσωση I I e d u f d u d v g d v 0, (.86) για κάποιο τμήμα x x u, v της επιφάνειας και τότε λέγεται ασυμπτωτική διεύθυνση. Επειδή, κ n I I I, οι ασυμπτωτικές διευθύνσεις είναι οι διευθύνσεις για τις οποίες κ n 0. Σε ένα ελλειπτικό σημείο δεν υπάρχουν ασυμπτωτικές διευθύνσεις, σε ένα υπερβολικό σημείο υπάρχουν δύο διαφορετικές ασυμπτωτικές διευθύνσεις ενώ σε ένα παραβολικό σημείο υπάρχει μια ασυμπτωτική διεύθυνση. Θεώρημα 38

49 ΜΕΡΟΣ Α' Οι u και v παραμετρικές καμπύλες ενός τμήματος μιας επιφάνειας είναι ασυμπτωτικές γραμμές, εάν και μόνο εάν σε κάθε σημείο είναι e g Οι Εξισώσεις των Gauss-Weingarten (.87) Οι εξισώσεις των Gauss-Weingarten για τις επιφάνειες είναι ανάλογες με τις εξισώσεις του Frenet για τις καμπύλες. Σε ένα τμήμα x x u, v μιας επιφάνειας κλάσεως C m, m, οι διανυσματικές συναρτήσεις x u, x v και N και οι παράγωγοί τους ικανοποιούν τις εξισώσεις x u u Γ 1 11 x u Γ 11 x v e N, x u v Γ 1 1 x u Γ 1 x v f N, x v v Γ 1 x u Γ x v g N, N u β 1 1 x u β 1 x v, N v β 1 x u β x v, j όπου οι συντελεστές β i και Γi k j δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις β 1 1 f F e G E G F, β 1 e F f E E G F, β 1 g F f G E G F, β f F g E E G F, (.88) 1 G E u F F u F E v, Γ E G F 11 E F u E E v F E u E G F Γ 11, Γ 1 1 G E v F G u E G F (.89) Γ 1 E G u F E v E G F, Γ 1 G F v G G u F G v E G F, Γ E G v F F v F G u. E G F Οι τρεις πρώτες από τις εξισώσεις (.89) λέγονται εξισώσεις του Gauss, ενώ οι δύο τελευταίες λέγονται εξισώσεις του Weingarten. Οι συναρτήσεις Γk i j ονομάζονται σύμβολα του Christoffel. Παρατηρούμε ότι τα Γk i j εξαρτώνται μόνο από τα θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξης και τις παραγώγους τους...9. Οι Εξισώσεις Συμβατότητας Έστω x x u, v ένα τμήμα μιας επιφάνειας κλάσεως C m, m, τέτοιο ώστε οι συντελεστές των εξισώσεων των εξισώσεων Gauss-Weingarten να είναι κλάσεως C 1. Τότε οι μικτές παράγωγοι x u u v, x u v u, x v u v, x v v u υπάρχουν και ικανοποιούν τις συνθήκες x u u v x u v u, x v u v x v v u, (.90) εάν και μόνο εάν τα θεμελιώδη μεγέθη πρώτης και δεύτερης τάξης ικανοποιούν τις λεγόμενες εξισώσεις συμβατότητας e H f e v H u H Γ f H Γ 1 g H Γ 11 0, g H u f e H v H Γ 1 f H Γ 1 1 g H Γ (.91) 39

50 ΜΕΡΟΣ Α' Ισοδύναμα e v f u e Γ 1 1 f Γ 1 Γ 1 11 g Γ 11 f v g u e Γ 1 f Γ Γ 1 1 g Γ 1 (.9) Οι εξισώσεις συμβατότητας μπορούν να γραφούν με διάφορες μορφές. Στην παραπάνω μορφή, οι εξισώσεις.9 καλούνται εξισώσεις Mainardi-Codazzi Γεωδαισιακή Καμπυλότητα Θεωρούμε μια επιφάνεια κλάσεως C m, m και x x u, v ένα τμήμα της επιφάνειας το οποίο περιέχει σημείο P. Ακόμη, x x s xus, vs μια φυσική αναπαράσταση μιας καμπύλης C, η οποία διέρχεται από το P. Συμβολίζουμε ακόμη με T το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα της C στο P και με U εκείνο το διάνυσμα του εφαπτόμενου επιπέδου στο P, για το οποίο η τριάδα T, U, N είναι δεξιόστροφη και ορθοκανονική (Εικόνα.11). Θεώρημα Εικόνα.11: Η ορθοκανονική τριάδα T, U, N. Το διάνυσμα γεωδαισιακής καμπυλότητας k g μιας καμπύλης C στο P είναι η διανυσματική προβολή του διανύσματος καμπυλότητας k της C στο P επί του εφαπτόμενου επιπέδου στο P. Δηλαδή, k g k U U. Ο πραγματικός αριθμός κ g που ορίζεται από την σχέση k g κ g U, λέγεται γεωδαισιακή καμπυλότητα της καμπύλης C στο σημείο P. Από τις δύο τελευταίες σχέσεις συνεπάγεται ότι κ g k U, (.93) (.94) (.95) όμως λόγω της ορθοκανονικής τριάδας T, U, N ή t, U, N έχουμε κ g k N t t k N x x.. N. (.96) Σε αντίθεση με την κάθετη καμπυλότητα κ n, η οποία εξαρτάται από τα θεμελιώδη μεγέθη πρώτης και δεύτερης τάξης, η γεωδαισιακή καμπυλότητα κ g εξαρτάται μόνο από τα θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξης (καθώς και τις παραγώγους τους) και επομένως αποτελεί μια εσωτερική ιδιότητα της επιφάνειας. Αποδεικνύεται ότι, 40

51 ΜΕΡΟΣ Α' κ g Γ 11 d u d s 3 1 Γ Γ 1 Γ 1 11 d v d s 3 d u d s d u d s d v d s d u d s d v d s Γ Γ 1 1 d u d s d v d s E G F d v d s (.97) Παρατηρούμε ότι κατά μήκος των u παραμετρικών γραμμών v σταθερό είναι d v 0 d s και d u 1 διότι, d s E d x 1 ή x d u u d s d s x d v v 1, d s ή Ισοδύναμα E E d u d s d u d s G d v d s F d u 1 ή d u d s d s 1 E, d v d s 1. (.98) ενώ κατά μήκος των και επομένως για την γεωδαισιακή καμπυλότητα των v παραμετρικών γραμμών u σταθερό είναι d u 0 και d v 1 διότι, d s d s G d x 1 ή x d u u d s d s x d v v 1, d s ή Ισοδύναμα E d u d s G d v d s G d v d s F d u 1 ή d v d s d s 1 G d v d s 1.. (.99) Επομένως, για την γεωδαισιακή καμπυλότητα των παραμετρικών γραμμών προκύπτει από την σχέση.97 ότι κ g vσταθερό Γ 11 1 κ g uσταθερό Γ d u d s d v d s 3 3 E G F Γ 11 E G F 1 Γ E G F E E E G F Ολοκληρώνουμε αυτήν την ενότητα με την έννοια των γεωδαισιακών. G G (.100) Μια καμπύλη C, κατά μήκος της οποίας έχουμε k g 0, λέγεται γεωδαισιακή γραμμή ή απλώς γεωδαισιακή. 41

52 ΜΕΡΟΣ Α'..11. Γεωδαισιακές Συντεταγμένες Ένα τμήμα μιας επιφάνειας C, στο οποίο οι παραμετρικές καμπύλες είναι ορθογώνιες και η μία από τις δύο οικογένειες των παραμετρικών καμπυλών αποτελείται από γεωδαισιακές γραμμές, καλείται σύστημα γεωδαισιακών συντεταγμένων. Θεωρούμε στην συνέχεια ένα τέτοιο σύστημα του οποίου οι u παραμετρικές γραμμές είναι γεωδαισιακές. Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό οι παραμετρικές καμπύλες είναι ορθογώνιες. Αυτό σημαίνει ότι, άρα οι σχέσεις.89 6,9 δίνουν Επομένως, οι σχέσεις.100 γίνονται F 0 Γ 11 E v G, Γ 1 G u E. κ g vσταθερό E v E G G E E κ g uσταθερό G u E E G F G G E v E G G u G E Αφού λοιπόν οι u παραμετρικές γραμμές είναι γεωδαισιακές τότε Ισοδύναμα κ g vσταθερό 0 ή E v 0 E Eu. (.101) (.10) (.103) (.104) (.105) Συνεπώς, η πρώτη θεμελιώδης μορφή στην περίπτωση που μόλις αναλύσαμε γράφεται ως εξής I Eu d u Gu, v d v. (.106) Επιπλέον, το μήκος τόξου της γεωδαισιακής μεταξύ των δύο ορθογώνιων ως προς τις γεωδαισιακές τροχιών, u u 1 και u u δίνεται από το ακόλουθο ολοκλήρωμα διότι, s u1 u I (.107) d s d x d t d t x u d u d t x v d v d t d t x u d u d t x v d v d t x u d u d t x v d v d t d t E d u F d u d v G d v I. Επομένως, κατά μήκος της γεωδαισιακής v σταθερό όπου d v 0 η.108 δίνει (.108) 4

53 ΜΕΡΟΣ Α' s u1 u Eu d u. (.109) Το μήκος τόξου μπορεί να εισαχθεί ως παράμετρος των γεωδαισιακών σε ένα σύστημα γεωδαισιακών συντεταγμένων, αν χρησιμοποιήσουμε τον επιτρεπτό παραμετρικό μετασχηματισμό u u1 u Et d t, v v. (.110) Όταν εισαχθεί η παράμετρος αυτή, δηλαδή όταν x x u, v είναι ένα σύστημα γεωδαισιακών συντεταγμένων, τέτοιο ώστε η u να είναι μια φυσική παράμετρος των γεωδαισιακών, τότε E x u x u 1 και επομένως η πρώτη θεμελιώδης μορφή γίνεται I d u Gu, v d v. (.111) (.11) 43

54 ΜΕΡΟΣ Α' 44

55 Β.1. Η Εξίσωση Sine-Gordon 1.1. Ψευδοσφαιρικές Επιφάνειες και η Εξίσωση Sine-Gordon Στην ενότητα αυτήν θα μελετήσουμε ψευδοσφαιρικές επιφάνειες στο ευρύτερο πλαίσιο των υπερβολικών επιφανειών με την βοήθεια ενός μη γραμμικού συστήματος, το οποίο οφείλουμε στον Bianchi (εξισώσεις Gauss-Mainardi-Codazzi Θεωρούμε μια υπερβολική επιφάνεια S, δηλαδή μια επιφάνεια που, σε κάθε σημείο της, η καμπυλότητας του Gauss είναι αρνητική. Οι ασυμπτωτικές γραμμές μιας επιφάνειας αυτού τους είδους ταυτίζονται με τις παραμετρικές καμπύλες της, δηλαδή e g 0. Σαν αποτέλεσμα, οι εξισώσεις Mainardi-Codazzi, e H f e v H u H Γ f H Γ 1 g H Γ 11 0, g H u f e H v H Γ 1 f H Γ 1 1 g H Γ (1.1) απλοποιούνται σημαντικά. Συγκεκριμμένα, ανάγονται στις f H u Γ 1 f H 0, f H v 1 Γ 1 f H 0, (1.) όπου Γ1 1 και Γ 1 τα σύμβολα του Christoffel, τα οποία θυμίζουμε ότι δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις Γ 1 1 G E v F G u E G F, Γ 1 E G u F E v E G F. (1.3) Με τη σειρά του, ο τύπος για την καμπυλότητα του Gauss παίρνει την ακόλουθη μορφή: Κ f H : 1 ρ. (1.4) Η γωνία ω που σχηματίζεται ανάμεσα στις παραμετρικές γραμμές είναι τέτοια ώστε να ικανοποιεί τις εξής σχέσεις ώστε cos ω F E G, sin ω H E G. (1.5) Αφού E, G 0, μπορούμε να υποθέσουμε ότι, υπάρχουν συναρτήσεις a, b, τέτοιες 45

56 E ρ a, G ρ b. Αντικαθιστώντας τις σχέσεις 1.6 στις 1.5 παίρνουμε Tέλος, από την (1.4) βρίσκουμε ότι F ρ a b cos ω, H ρ a b sin ω. f ρ a b sin ω. (1.6) (1.7) (1.8) Από τις εκφράσεις που βρήκαμε παραπάνω για τα θεμελιώδη μεγέθη αμέσως έπεται ότι, η πρώτη και η δεύτερη θεμελιώδης μορφή της S γίνονται και αντίστοιχα. I ρ a d u a b cos ω d u d v b d v I I ρ a b sin ω d u d v, (1.9) (1.10) Για να βρούμε την μορφή των εξισώσεων Mainardi-Codazzi, αντικαθιστούμε αρχικά τα θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξης στους τύπους (1.3) για τα σύμβολα του Christoffel Γ1 1 και Γ 1 : 1 ρ b ρ a v ρ a b cos ω ρ b u, ρ 4 a b sin ω Γ 1 ρ a ρ b u ρ a b cos ω ρ a v. ρ 4 a b sin ω Γ 1 (1.11) Γράφοντας αναλυτικά τις μερικές παραγώγους που εμφανίζονται σε αυτές τις εκφράσεις, καταλήγουμε στις 1 ρ v a a v ρ cos ω b u ρ b ρ u, ρ a sin ω Γ 1 ρ u b b u ρ cos ω a v ρ a ρ v. ρ b sin ω Γ 1 (1.1) Στρεφόμαστε τώρα στις εξισώσεις Mainardi-Codazzi (1.). Σύμφωνα με τις (1.7), (1.8) και (1.1), αυτές παίρνουν την ακόλουθη μορφή: Ισοδύναμα ή, 1 ρ u b b u ρ cos ω a v ρ a ρ v ρ u ρ b sin ω 1 ρ v a a v ρ cos ω b u ρ b ρ u ρ v ρ a sin ω 1 ρ 0, 1 ρ 0, b sin ω ρ u ρ u b ρ b u cos ω ρ v a cos ω ρ a v 0, a sin ω ρ v ρ v a ρ a v cos ω ρ u b cos ω ρ b u 0, (1.13) (1.14) 46

57 b u cos ω a v cos ω ρ v ρ a ρ u ρ b 1 sin ω 0, a v cos ω b u cos ω ρ u ρ b ρ v ρ a 1 sin ω Οι τελευταίες μπορεί να θεωρηθούν ως ένα σύστημα με άγνωστες τις a v και b u. Λύνοντάς το ως προς αυτές τις ποσότητες, βρίσκουμε τελικά ότι 0. a v cos ω ρ u ρ b ρ v ρ a 0 (1.16) και b u ρ v ρ a cos ω ρ u ρ b 0 (1.17) Από τώρα και στο εξής, με τον όρο εξισώσεις Mainardi-Codazzi θα εννοούμε τις (1.16) και (1.17). Στην συνέχεια θα εξισώσουμε τις δύο διαφορετικές αναπαραστάσεις για την καμπυλότητα του Gauss, ξεκινώντας από την K 1 H H E Γ 11 H v E Γ 1. u (1.18) Από τα σύμβολα του Christoffel Γ 11 και Γ 1 που εμφανίζονται στην (1.18), το δεύτερο το έχουμε ήδη υπολογίσει (βλ. 1.1 ). Το πρώτο δίνεται από τον τύπο E F u E E v F E u. E G F Γ 11 (1.19) Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις που δώσαμε παραπάνω για τα θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξης, παίρνουμε Γ 11 ρ a ρ a b cos ω u ρ a ρ a v ρ a b cos ω ρ a u ρ 4 a b sin ω, (1.0) Ισοδύναμα, Γ 11 1 ρ b sin ω ρ u a b cos ω ρ a b u cos ω ρ a b sin ω ω u ρ v a ρ a a v. Θεωρούμε τώρα τη συνάρτηση (1.1) L 1 : H E Γ 11 Σύμφωνα με την (1.1) για το Γ 11 και τις εφράσεις για τις E, H που βρήκαμε νωρίτερα, L 1 1 ρ b sin ω ρ u b cos ω ρ b u cos ω ρ b sin ω ω u ρ v a a v ρ v v. (1.) (1.3) 47

58 Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις για τις a v και b u που δίνονται από τις (1.16) και (1.17), αντίστοχα, βρίσκουμε ότι L 1 1 ρ b sin ω ρ u b cos ω ρ cos ω ρ u ρ b ρ v ρ v a cos ω ρ u ρ b ρ v ρ a ρ v. Η τελευταία μετά τις απαραίτητες πράξεις γράφεται ως εξής: L 1 1 ρ v Ανάλογα, εισάγουμε την συνάρτηση ρ a b sin ω v L : H E Γ 1 u ρ a cos ω ρ b sin ω ω u ω u v. που, με βάση την 1.1 για το Γ 1 γράφεται στη μορφή L ρ u b ρ b u cos ωρ v a cos ω a v ρ ρ a sin ω u. (1.4) (1.5) (1.6) (1.7) Και πάλι, η αντικατάσταση των a v και b u, όπως δίνονται από (1.16) και (1.17), μετατρέπει την (1.7) στην L 1 ρ a sin ω ρ u b ρ ρ u ρ b ρ v ρ a cos ω cos ωρ v a cos ω ρ u ρ b ρ v ρ a ρ cos ω u. (1.8) Η τελευταία, μετά τον υπολογισμό των μερικών παραγώγων στο εσωτερικό της αγκύλης, απλοποιείται για να γίνει L 1 ρ u ρ b a sin ω. u Είναι προφανές ότι ο τύπος (1.18) για την καμπυλότητα του Gauss γράφεται ως (1.9) K 1 H L 1 L. (1.30) Συνεπώς, K 1 ρ a b sin ω 1 ρ v ρ a b sin ω v ω u v 1 ρ u ρ b a sin ω. u (1.31) Εξισώνοντας αυτή την αναπαράσταση της καμπυλότητας του Gauss με εκείνη που δίνει ο τύπος (1.4), καταλήγουμε στη σχέση 1 ρ a b sin ω 1 ρ v ρ a b sin ω v ω uv 1 ρ u ρ b a sin ω 1 u ρ. 48

59 Ισοδύναμα, ω u v 1 ρ u ρ b a sin ω u 1 ρ v ρ a b sin ω v a b sin ω 0 (1.3) Το μη γραμμικό σύστημα μελετήθηκε αρχικά από τον Bianchi. Η μεγάλη σπουδαιότητα του συστήματος αυτού στην θεωρία σολιτονίων σημειώθηκε από τον Cenkl και μεταγενέστερα από τους Levi και Sym. Εάν στο σύστημα αυτό, επιβάλουμε έναν επιπλέον δεσμό ρ u v 0 τότε το σύστημα είναι ολοκληρώσιμο. Στην ειδική περίπτωση των ψευδοσφαιρικών επιφανειών, όταν δηλαδή η καμπυλότητα του Gauss K ρ 0, είναι σταθερή, από τις εξισώσεις Mainardi- Codazzi (1.16)-(1.17) καταλήγουμε στο εξής συμπέρασμα Συνεπώς, a v 0, b u 0. a au, Ταυτόχρονα, η εξίσωση (1.3) ανάγεται στην b bv. ω u v a u bv sin ω 0. (1.33) (1.34) (1.35) Η τελευταία απλοποιείται περαιτέρω, μέσω μιας απλής αλλαγής της κλίμακας των ανεξάρτητων μεταβλητών (συντεταγμένων) u, v. Αναλυτικότερα, από τις (1.34) και τις (1.6) έπεται ότι το θεμελιώδες μέγεθος E είναι συνάρτηση αποκλειστικά της μεταβλητής u και το G συνάρτηση αποκλειστικά της μεταβλητής v: E ρ a u, G ρ b v. (1.36) Αυτή η παρατήρηση υποδεικνύει τον μετασχηματισμό d ud u Eu d u ρ a u d u, d vd v Gv d v ρ b v d v, ο οποίος μετατρέπει τις εκφράσεις (1.9) και (1.10) για θεμελιώδεις μορφές στις I d u cos ω d u d v d v και I I ρ sin ω d u d v (1.37) (1.38) (1.39) αντίστοιχα. Tώρα, βέβαια, ω ωu, v. Ας σημειωθεί ότι, οι νέες μεταβλητές u και v παριστάνουν την παράμετρο μήκους τόξου καθεμιάς από τις γραμμές συντεταγμένων της επιφάνειας S. Με τη σειρά της, η εξίσωση (1.35) μετατρέπεται στην ω u v a b sin ω 0. (1.40) Αφού E G 1, ή a b 1 ρ, η τελευταία γίνεται 49

60 ω u v 1 ρ sin ω (1.41) όπου, για ευκολία, παραλείψαμε τις περισπωμένες. Η (1.41) είναι η περίφημη εξίσωση sine-gordon. Στην συνέχεια θέλουμε να δούμε την μορφή των εξισώσεων του Gauss (τις οποίες θα χρειαστούμε στην παρακάτω μελέτη μας) και γι αυτόν τον λόγο θα υπολογίσουμε πρώτα τα σύμβολα του Christoffel που συναντάμε σ αυτές, για την περίπτωση των ψευδοσφαιρικών επιφανειών που μελετάμε. Συγκεκριμένα, Γ 1 11 F F u ω H u cot ω, Γ 11 E F u H Γ 1 1 0, Γ 1 0, ω u cosec ω Γ 1 G F v ω H v cosec ω, Γ F F v ω H v cot ω. Επομένως, οι εξισώσεις του Gauss ανάγονται στις ακόλουθες: r u u ω u cot ω r u ω u cosec ω rv, r u v 1 ρ sin ω N, (1.4) (1.43) r v v ω v cosec ω ru ω v cot ω rv. Τέλος, για τις εξισώσεις Weingarten θα χρειαστούμε τα σύμβολα του Christoffel πρώτου είδους, τα οποία στην περίπτωση που μελετάμε δίνονται από τις ακόλουθες εκφράσεις: β 1 1 f F E G F 1 ρ cot ω, β 1 f E E G F 1 cosec ω, ρ β 1 f G E G F 1 ρ cosec ω, β f F E G F 1 cot ω. ρ Επομένως, οι εξισώσεις Weingarten παίρνουν την ακόλουθη μορφή: (1.44) N u 1 ρ cot ω r u 1 ρ cosec ω r v, N v 1 ρ cosec ω r u 1 ρ cot ω r v. (1.45) 1.. Ο Κλασικός Μετασχηματισμός Bäcklund για την Εξίσωση Sine-Gordon Έστω S μια ψευδοσφαιρική επιφάνεια, με σταθερή καμπυλότητα Gauss K ρ και διάνυσμα θέσης r r u, v, όπου τα u, v αντιστοιχούν στην παράμετρο μήκους τόξου των ασυμπτωτικών γραμμών. Με αυτήν την παραμετροποίηση, τα r u, r v και N είναι μοναδιαία διανύσματα, όμως τα r u και r v δεν είναι ορθογώνια. Γι αυτόν τον λόγο, θεωρούμε την ορθοκανονική τριάδα A, B, C, όπου 50

61 A r u, B r u N r u r u r v r u r v, C N. Αρχικά, θα απλοποιήσουμε την σχέση Χρησιμοποιώντας τα θεμελιώδη μεγέθη, τα οποία παίρνουμε από τις θεμελιώδεις μορφές (1.38) και (1.39), έχουμε H r u r v E G F 1 cos ω sin ω. (1.47) Αντικαθιστώντας την τελευταία στην σχέση 1.46 και χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του διπλού εξωτερικού γινομένου, καταλήγουμε στην B 1 sin ω r u r u r v r vr u r u. (1.48) Οι ποσότητες όμως που εμφανίστηκαν στις παρενθέσεις είναι τα θεμελιώδη μεγέθη F, E αντίστοιχα τα οποία γνωρίζουμε. Συνεπώς, B 1 sin ω r u cos ω r v cosec ω r v cot ω r u. (1.49) Στην συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις Gauss-Weingarten για να βρούμε τις μερικές παραγώγους των A, B και C ως προς u και v. Παραγωγίζουμε αρχικά την σχέση ως προς u και με την βοήθεια της έχουμε A u r u u ω u cot ω r u ω u cosec ω r v ω u B. Με τον ίδιο τρόπο παραγωγίζουμε τώρα την σχέση 1.49 για να (1.50) B u cosec ω cot ω ω u r v cosec ω r v u cosec ω ω u r u cot ω r u u. (1.51) Εδώ θα χρειαστεί να αντικαταστήσουμε και την πρώτη αλλά και την δεύτερη από τις σχέσεις (1.43). Με αυτό τον τρόπο καταλήγουμε στην B u cosec ω cot ω ω u rv cosec ω 1 ρ sin ω N cosec ω ω u r u cot ω ω u cot ω r u ω u cosec ω rv. Ισοδύναμα B u 1 ρ N ω u r u cosec ω cot ω 1 ρ N ω u r u. (1.5) (1.53) Με την βοήθεια των σχέσεων ,3 προκύπτει ότι B u 1 ρ C ω u A. (1.54) Τέλος, παραγωγίζοντας την και χρησιμοποιώντας την πρώτη από τις εξισώσεις Weingarten θα προκύψει η ζητούμενη μερική παράγωγος, η οποία μπορεί να γραφεί συναρτήσει του B μέσω της σχέσης Δηλαδή: 51

62 C u N u 1 ρ cot ω r u 1 ρ cosec ω r v 1 ρ B. (1.55) Με τον ίδιο τρόπο θα υπολογίσουμε τις παραγώγους των A, B και C ως προς v: Παραγωγίζουμε την σχέση ως προς v και με την βοήθεια της 1.43 έχουμε A v r u v 1 ρ sin ω N 1 ρ sin ω C. (1.56) Συνεχίζουμε παραγωγίζοντας την (1.49): B v cosec ω cot ω ω v rv cosec ω r v v cosec ω ω v r u cot ω ru v (1.57) Εδώ θα χρειαστούμε τις εξισώσεις του Gauss 1.43,3. Αντικαθιστώντας λοιπόν στην τελευταία παίρνουμε B v cosec ω cot ω ω v rv cosec ω ω v cosec ω ru ω v cot ω r v (1.58) cosec ω ω v r u cot ω 1 ρ sin ω N, ή B v 1 ρ cos ω N 1 ρ cos ω C. (1.59) Ολοκληρώνουμε, παραγωγίζοντας την ως προς v και χρησιμοποιώντας την δεύτερη από τις εξισώσεις του Weingarten. Με αυτό τον τρόπο καταλήγουμε στην C v N v 1 ρ cosec ω r u 1 ρ cot ω r v. (1.60) Για να γραφεί και η τελευταία συναρτήσει των διανυσμάτων A, B θα αντικαταστήσουμε το r v από την σχέση Αυτό μας δίνει C v 1 ρ r u cot ω cosec ω cosec ω 1 ρ cot ω B cosec ω, (1.61) Ισοδύναμα, C v 1 ρ r u sin ω 1 ρ cos ω B. (1.6) Αντικαθιστούμε και το r u από την σχέση στην τελευταία και γίνεται C v 1 ρ A sin ω 1 ρ cos ω B. (1.63) Συγκεντρώνοντας τα παραπάνω αποτελέσματα σε πίνακες, έχουμε A B C u 0 ω u 0 ω u 0 1 ρ 0 1 ρ 0 A B C (1.64) 5

63 A B C v ρ sin ω ρ cos ω 1 ρ sin ω 1 ρ cos ω 0 A B C (1.65) Σημειώνουμε ότι το γραμμικό σύστημα εξισώσεων (1.64)-(1.65) είναι συμβατό εάν και μόνο αν η ω ικανοποιεί την εξίσωση sine-gordon. Στην συνέχεια, επιδιώκουμε να κατασκευάσουμε μια δεύτερη ψευδοσφαιρική επιφάνεια S, της οποίας το διάνυσμα θέσης r' δίνεται από την ακόλουθη σχέση. r ' r L cos φ A L sin φ B, (1.66) όπου L r ' r σταθ. Εδώ θα πρέπει να πούμε πως η γωνία φu, v δεσμεύεται από την απαίτηση ότι όπως στην επιφάνεια S έτσι και στην S οι συντεταγμένες u, v αντιστοιχούν στην παραμετροποίηση μήκους τόξου των ασυμπτωτικών γραμμών. Για να επιτευχθεί αυτή η απαίτηση απαραίτητη προϋπόθεση είναι η 1η θεμελιώδης μορφή της επιφάνειας S να είναι της μορφής Ειδικότερα, εξ ορισμού θα πρέπει να ισχύουν τα εξής: E r ' u r ' u 1, G r ' v r ' v 1. (1.67) Θα χρειαστεί λοιπόν να παραγωγίσουμε την σχέση 1.66 ως προς u και v. Παραγωγίζουμε πρώτα ως προς u, και παίρνουμε r 'u r u L cos φ A u L sin φ φ u A L sin φ B u L cos φ φ u B. (1.68) Αντικαθιστούμε στην τελευταία τα A u και B u από τον πίνακα 1.64, καθώς επίσης και το r u από την σχέση , και βρίσκουμε ότι r 'u 1 L φ u ω u sin φ A L φ u ω u cos φ B L ρ sin φ C. Ανάλογα, παραγωγίζοντας την (1.66) ως προς v, παίρνουμε r 'v r v L cos φ A v L sin φ φ v A L sin φ B v L cos φ φ v B. (1.69) (1.70) Θα αντικαταστήσουμε και εδώ τα A v και B v από τον πίνακα 1.65 καθως επίσης και το r v από την σχέση Το αποτέλεσμα είναι το εξής: r 'v cos ω L sin φ φ v A sin ω L cos φ φ v B L ρ sin ω φ C. (1.71) Eφαρμόζουμε τώρα την συνθήκη Μετά από λίγες αλγεβρικές πράξεις, καταλήγουμε στην ακόλουθη σχέση: L φ u ω u φ u ω u sin φ L ρ sin φ 0. (1.7) Λύνοντας αυτή τη δευτεροβάθμια εξίσωση, βρίσκουμε ότι φ u ω u 1 L 1 1 L ρ sin φ. (1.73) 53

64 Με την σειρά της, η συνθήκη 1.67 οδηγεί στην L φ v φ v sin ω φ L ρ sin ω φ 0, (1.74) από την οποία έπεται ότι φ v 1 L 1 1 L ρ sin φ ω. (1.75) Eισάγοντας την ποσότητα β : ρ L 1 1 L L ρ ρ 1 1 L ρ 1 (1.76) μπορούμε να δώσουμε στις σχέσεις 1.73 και 1.75 την ακόλουθη μορφή: φ u ω u β sin φ, ρ φ v 1 sin φ ω. β ρ (1.77) Συμπερασματικά λοιπόν, για να αποτελεί η S μια ψευδοσφαιρική επιφάνεια, με παράμετρο των ασυμπτωτικών γραμμών το μήκος τόξου, η γωνία φ θα πρέπει να ικανοποιεί τις σχέσεις (1.77). Με βάση τις τελευταίες σχέσεις τα διανύσματα r ' u και r ' v της ψευδοσφαιρικής επιφάνειας S, τα οποία δίνονται από τις σχέσεις 1.69 και 1.71, αντίστοιχα, γράφονται ως εξής: r 'u 1 L β ρ sin φ A L β ρ sin φ cos φ B L sin φ C. ρ r 'v cos ω L L sin φ sin φ ω A sin ω cos φ sin φ ω B β ρ β ρ L sin φ ω C. ρ (1.78) (1.79) Σκοπός μας στην συνέχεια είναι να βρούμε τις θεμελιώδεις μορφές της νέας ψευδοσφαιρικής επιφάνειας S. Από τις λοιπόν βρίσκουμε ότι r 'u r' v 1 L β ρ L β ρ cos φ ω 1 Χρησιμοποιώντας την σχέση 1.76, η τελευταία γίνεται r 'u r ' v cos φ ω, διότι, η 1.76, δίνει L β ρ L β 1 cos ω. ρ (1.80) (1.81) 54

65 β L ρ 1 1 L ρ και L β ρ 1 1 L ρ. (1.8) Συνεπώς, β L ρ L β ρ. (1.83) Σύμφωνα με τα παραπάνω αποτελέσματα, δηλαδή τις σχέσεις 1.67 και 1.81, η 1η θεμελιώδης μορφή της S δίνεται από τον τύπο I ' d u cos φ ω d u d v d v. (1.84) Στην συνέχεια υπολογίζουμε την δεύτερη θεμελιώδη μορφή αφού πρώτα βρούμε το κάθετο διάνυσμα N ', το οποίο ορίζεται από τον γνωστό τύπο Αρχικά, βρίσκουμε ότι r 'u r ' v L β ρ N ' r ' u r ' v r ' u r ' v. L L L β sin φ cos φ sin φ ω L sin ω sin φ ρ β ρ ρ ρ L ρ sin φ cos ω L ρ sin ω cos φ L ρ L β ρ L β ρ sin φ sin φ ω L L β sin φ cos ω cos φ cos φ sin φ ω sin ω β ρ ρ sin φ sin ω Όμως σύμφωνα με την σχέση 1.83, έχουμε ότι r 'u r' v L β ρ L ρ L ρ sin φ cos ω L ρ sin φ cos φ sin φ ω L sin ω sin φ ρ sin ω cos φ L ρ sin φ sin φ ω L β L β sin φ cos ω cos φ 1 cos φ sin φ ω sin ω sin φ sin ω Η τελευταία απλοποιείται και γράφεται r 'u r' v L ρ sin φ sin φ ω, L L β cos φ sin φ ω, 1 ρ ρ Απομένει τώρα το μέτρο του εξωτερικού γινομένου, το οποίο είναι r ' u r ' v L ρ sin φ ω 1 L β ρ Χρησιμοποιώντας την σχέση 1.8 1, βρίσκουμε τελικά ότι r ' u r ' v sin φ ω. Επόμενως, το κάθετο διάνυσμα N ' είναι ίσο με N ' L ρ sin φ A L ρ cos φ B 1 L β ρ sin φ ω. ρ C. ρ sin φ ω. (1.85) (1.86) (1.87) (1.88) (1.89) (1.90) 55

66 Στην συνέχεια θα υπολογίσουμε το εσωτερικό γινόμενο των N ' και r ' r. Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις 1.66 και 1.90, καταλήγουμε στην r ' r N ' L cos φ A L sin φ B L ρ sin φ A L ρ cos φ B 1 L β που απλοποιείται για να γίνει ρ C (1.91) r ' r N ' L ρ sin φ cos φ L ρ cos φ sin φ 0. (1.9) Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι τα r ' r και N ' είναι κάθετα μεταξύ τους. Όμως το N ' είναι κάθετο στην επιφάνεια S και επομένως το r ' r είναι ένα διάνυσμα εφαπτόμενο στην S, το οποίο ενώνει σημεία της επιφάνειας S με σημεία της S. Στρεφόμαστε τώρα στις εξισώσεις Weingarten, οι οποίες προκύπτουν παραγωγίζοντας την 1.90 ως προς u και v. Δηλαδή, N ' u L ρ sin φ A u L ρ cos φ φ u A L ρ cos φ B u L ρ sin φ φ u B 1 L β Αντικαθιστούμε τα A u, B u και C u από την 1.64 στην τελευταία, η οποία γίνεται N ' u L ρ cos φ ω u φ u A L ρ sin φ ω u φ u B 1 L β ρ 1 ρ C u. ρ B L cos φ C. ρ (1.93) (1.94) Χρησιμοποιώντας την σχέση , αντικαθιστούμε την διαφορά ω u φ u που εμφανίζεται στην τελευταία, δηλαδή N ' u L β L β cos φ sin φ A ρ ρ cos φ 1 ρ B L cos φ C. ρ (1.95) Για την δεύτερη εξίσωση του Weingarten παραγωγίζουμε την 1.90 ως προς v. Δηλαδή, N ' v L ρ sin φ A v L ρ cos φ φ v A L ρ cos φ B v L ρ sin φ φ v B 1 L β Αντικαθιστούμε και εδώ τα A v, B v και C v από την 1.65 και έχουμε για την τελευταία N ' v L ρ cos φ φ v 1 L β 1 L β ρ 1 ρ 1 ρ sin ω A L ρ sin φ φ v ρ cos ω B L ρ sin φ sin ω L cos φ cos ω C. ρ Στην συνέχεια αντικαθιστούμε το φ v από την σχέση 1.77 και η 1.97 γράφεται ως εξής N ' v L L β cos φ sin φ ω 1 β ρ ρ L L β sin φ sin φ ω 1 β ρ ρ 1 1 ρ sin ω A ρ cos ω B L cos ω φ C. ρ ρ C v. (1.96) (1.97) (1.98) 56

67 Χρησιμοποιώντας και εδώ την σχέση 1.83 βρίσκουμε ότι N ' v L cos φ sin φ cos ω L β ρ L β ρ cos φ cos ω L β ρ sin φ sin ω 1 ρ sin ω A β ρ sin φ cos φ sin ω 1 ρ cos ω B (1.99) L cos ω φ C. ρ Στην συνέχεια χρησιμοποιώντας τις τριγωνομετρικές ταυτότητες διπλάσιας γωνίας sin φ sin φ cos φ, cos φ 1 sin φ cos φ 1, η σχέση 1.99, γίνεται N ' v L L L sin φ cos ω cos φ sin ω β ρ β ρ β ρ sin ω 1 ρ sin ω A L L cos φ cos ω β ρ β ρ cos ω L β ρ sin φ sin ω 1 ρ cos ω B (1.100) (1.101) Ισοδύναμα L cos ω φ C. ρ L N ' v β ρ sin ω φ 1 ρ 1 L β ρ sin ω A L β ρ cos ω φ 1 ρ 1 L β ρ cos ω B L cos ω φ C. ρ (1.10) Σκοπός μας είναι να υπολογίσουμε την η θεμελιώδη μορφή και για να γίνει αυτό θα πρέπει να υπολογίσουμε αρχικά τα παρακάτω εσωτερικά γινόμενα. Συνεπώς, r 'u N ' u L ρ L ρ β ρ L β cos φ sin φ. ρ Επομένως, χρησιμοποιώντας την σχέση 1.83, η τελευταία γίνεται Ομοίως, ή r 'u N ' u L ρ L ρ β ρ L cos φ sin φ 0. ρ β r 'u N ' v 1 β ρ L 1 β sin φ ω L L β β ρ sin ω, r 'u N ' v 1 ρ sin φ ω L β ρ L β ρ sin ω 1 ρ L β ρ L β ρ 1 ρ. (1.103) (1.104) (1.105) 57

68 Επομένως, χρησιμοποιώντας ξανά την σχέση 1.83, η σχέση γράφεται ως εξής r 'u N ' v r ' v N ' u 1 ρ sin φ ω sin ω 1 ρ 1 ρ 1 sin φ ω. ρ Ομοίως, για την τελευταία έχουμε ή r 'v N ' v L L L β β ρ sin φ ω, β ρ 3 r 'v N ' v L β ρ L β ρ L β cos φ sin φ. ρ (1.106) (1.107) Απλοποιούμε και την τελευταία χρησιμοποιώντας την σχέση 1.83 ξανά και παίρνουμε r 'v N ' v 0. (1.108) Από τα παραπάνω εσωτερικά γινόμενα, ή αλλιώς τα θεμελιώδη μεγέθη δεύτερης τάξης e, f και g, έπεται ότι η η θεμελιώδης μορφή της S είναι η εξής: I I ' ρ sin φ ω d u d v. (1.109) Τόσο η μορφή της 1ης θεμελιώδους μορφής, όσο και η μορφή της ης, δείχνουν ότι η S είναι μια ψευδοσφαιρική επιφάνεια, με παράμετρο των ασυμπτωτικών γραμμών το μήκος τόξου. Η γωνία μεταξύ των ασυμπτωτικών γραμμών της επιφάνειας S δίνεται από την σχέση ω' φ ω. (1.110) Η γωνία ω' παίζει τον ίδιο ρόλο σε σχέση με την επιφάνεια S με η γωνία ω στην επιφάνεια S. Ειδικότερα, η ω' πρέπει να ικανοποιεί την εξίσωση sine-gordon, δηλαδή ω' u v 1 sin ω' ρ (1.111) Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε την σχέση για να απαλείψουμε την γωνία φ από τις εξισώσεις 1.77, δηλαδή Ισοδύναμα ω' ω u ω u β ρ sin ω' ω, ω' ω v 1 ω' ω sin ω. β ρ B β : ω' ω u ω' ω v β ρ sin ω' ω 1 ω' ω sin β ρ (1.11) Η τελευταία αποτελεί την κλασική μορφή του Μετασχηματισμού Bäcklund, ο οποίος 58

69 συνδέει τις εξισώσεις sine-gordon 1.41 και Σημειώνουμε ότι, αν πάρουμε το εσωτερικό γινόμενο των σχέσεων και 1.90, τότε N ' N L ρ sin φ A L ρ cos φ B 1 L β ρ C C 1 L β ρ σταθερό (1.113) Αυτό σημαίνει ότι τα εφαπτόμενα στις επιφάνειες S και S επίπεδα τέμνονται υπό σταθερή γωνία ζ όπου β tan ζ. Η τελευταία σχέση προέκυψε ως εξής: εξής, Εναλλακτικός τρόπος υπολογισμού του παραπάνω εσωτερικού γινομένου είναι ο N ' N L ρ 1 L β ρ cos ζ L ρ 1 L cos ζ cos ζ, ρ (1.114) όπου χρησιμοποιήσαμε την σχέση Σύμφωνα λοιπόν με τις δύο τελευταίες θα πρέπει cos ζ 1 L β ρ, όπου χρησιμοποιώντας ξανά την 1.8 1, η τελευταία γίνεται (1.115) cos ζ 1 L ρ cos ζ 1 L ρ L ρ 1 cos ζ sin ζ. (1.116) Άρα, σύμφωνα με τις και 1.116, έχουμε ότι ή β 1 cos ζ sin ζ cos ζ 1 β sin ζ 1 1 sin ζ sin ζ cos ζ sin ζ cos ζ Ο Bianchi, στην αρχική γεωμετρική του κατασκευή έθεσε L ρ, β 1, tan ζ. (1.117) (1.118) έτσι ώστε τα εφαπτόμενα επίπεδα να είναι κάθετα μεταξύ τους. Η χαλαρή απαίτηση του Bäcklund για την ορθογωνιότητα επιτρέπει την εισαγωγή της παραμέτρου β στον μετασχηματισμό Bianchi. Επομένως, η εξίσωση sine-gordon παραμένει αναλλοίωτη κατά την αλλαγή κλίμακας u β u, v v β β 0, (1.119) με αποτέλεσμα, κάθε λύση ω ωu, v παράγει μια μονοπαραμετρική οικογένεια από λύσεις ω u, v ωβ u, v β. Ο Lie παρατήρησε ότι η σύνδεση των με τον αρχικό 59

70 μετασχηματισμό Bianchi ω' ω u 1 ρ ω' ω v 1 ρ παράγει τον μετασχηματισμό Bäcklund sin ω' ω sin ω' ω (1.10) Όσον αφορά στην κατασκευή ψευδοσφαιρικών επιφανειών, ο μετασχηματισμός Bäcklund αντιστοιχεί στο ακόλουθο αποτέλεσμα: Εστω r το διάνυσμα θέσης μιας ψευδοσφαιρικής επιφάνειας S το οποίο αντιστοιχεί σε μια λύση ω της εξίσωσης sine- Gordon. Έστω ότι το ω' συμβολίζει τον μετασχηματισμό Bäcklund της ω μέσω του B β. Τότε το διάνυσμα θέσης r ' της ψευδοσφαιρικής επιφάνειας S, το οποίο αντιστοιχεί στην ω' δίνεται από την εξής σχέση r ' r L cos φ ru L sin φ cosec ω rv cot ω r u. (1.11) H τελευταία προκύπτει αν αντικαταστήσουμε τα A και B από τις σχέσεις και 1.49 στην Επιπλέον, αν αντικαταστήσουμε και την γωνία φ από την σχέση τότε, η σχέση 1.11 γράφεται ως εξής: r ' ω' ω r L cos Ισοδύναμα r ' r L sin ω Τελικά, λοιπόν cos ω' ω r ' r r u sin ω' ω L sin ω sin ω sin ω' ω sin ω ω' όπου σύμφωνα και με την : L ρ sin ζ. cosec ω r v sin ω' ω r u sin ω' ω cot ω r u cos ω r u sin ω' ω r v, 1.3. Το Θεώρημα Αντιμεταθετικότητας του Bianchi - Πολυσολοτονικές Λύσεις r v (1.1) (1.13) (1.14) Στο τέλος της ενότητας 1. καταλήξαμε στον auto-bäcklund μετασχηματισμό της εξίσωσης sine-gordon. Στην παρούσα ενότητα, με την βοήθεια του παραπάνω μετασχηματισμού, θα κατασκευάσουμε αναλυτικές εκφράσεις για πολυ-σολιτονικές λύσεις της εξίσωσης sine-gordon, μέσω μιας αλγεβρικής διαδικασίας. Αυτό το οφείλουμε στον Bianchi, ο οποίος με την βοήθεια του auto-bäcklund Μετασχηματισμού B β παρήγαγε μια μη γραμμική αρχή υπέρθεσης. Η τελευταία είναι γνωστή ως Θεώρημα Αντιμεταθετικότητας του Bianchi, το οποίο θα συζητήσουμε παρακάτω. Ας ξεκινήσουμε με την αρχική λύση της εξίσωσης sine-gordon 1.41, ω 0. 60

71 Αντικαθιστώντας αυτήν στον μετασχηματισμό Bäcklund 1.11 καταλήγουμε σε ένα ζεύγος διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης ω' u β ρ sin ω', ω' v 1 β ρ sin ω'. (1.15) Μπορούμε λοιπόν να κατασκευάσουμε μέσω του μετασχηματισμού Bäcklund μια δεύτερη, μη τετριμμένη λύση ω', απλά ολοκληρώνοντας το παραπάνω γεύγος εξισώσεων 1.15 ω' u, v 4 arctane β u ρ c 1 v ω' u, v 4 arctane v β ρ c u (1.16) Αφού και οι δύο διαφορικές εξισώσεις μας δίνουν λύση για την ίδια συνάρτηση ω' θα πρέπει β u ρ c 1v v β ρ c u. Παραγωγίζοντας την τελευταία ως προς u, έχουμε ότι β ρ 1 d c u d u. Ολοκληρώνοντας την τελευταία προκύπτει ότι (1.17) (1.18) c u β ρ u c. (1.19) όπου c αυθαίρετη σταθερά ολοκλήρωσης. Αντικαθιστώντας την 1.19 στην δεύτερη από τις εξισώσεις 1.16 έχουμε την νέα μονοσολιτονική λύση ω' u, v 4 arctane v β ρ β ρ ua. (1.130) Σημειώνουμε εδώ ότι η χαρακτηριστική μορφή που σχετίζεται με το σολιτόνιο εμφανίζεται στις παρακάτω εξισώσεις ω' u β ρ sech β ρ u 1 β ρ v a, ω' v β ρ sech β ρ u 1 β ρ v a Το Θεώρημα Αντιμεταθετικότητας του Bianchi (1.131) Σε αυτήν την υποενότητα θα εξηγήσουμε το Θεώρημα Αντιμεταθετικότητας, το οποίο όπως προαναφέραμε αποτελεί μια μη γραμμική αρχή υπέρθεσης. Υποθέτουμε λοιπόν ότι ω είναι μια αρχική λύση της εξίσωσης sine-gordon 1.41 και ότι οι ω 1 και ω αποτελούν τους μετασχηματισμούς Bäcklund της ω, μέσω των B β1 61

72 και B β. Δηλαδή, ω 1 B β1 ω και ω B β ω. Στην συνέχεια, υποθέτουμε ότι η ω 1 αποτελεί τον μετασχηματισμό Bäcklund της ω 1, μέσω του B β και ότι η ω 1 αποτελεί τον μετασχηματισμό Bäcklund της ω, μέσω του B β1. Δηλαδή, ω 1 B β ω 1 και ω 1 B β1 ω. Για να έχουμε μια πιό σαφή εικόνα αυτών που περιγράφονται παραπάνω παραθέτουμε και μια σχηματική αναπαράσταση μέσω του λεγόμενου διαγράμματος Bianchi (Εικόνα 1.1). 1 Εικόνα 1.1: Διάγραμμα Bianchi. Είναι πολύ φυσικό να αναρωτηθούμε εάν υπάρχουν προϋποθέσεις κάτω από τις οποίες ισχύει η σχέση ω 1 ω 1, πράγμα που σημαίνει ότι οι απεικονίσεις β 1 και β αντιμεταθέτονται. Για να εξετάσουμε λοιπόν αυτό το θέμα, παραθέτουμε παρακάτω τα u-μέρη του μετασχηματισμού Bäcklund 1.11 σύμφωνα με το διάγραμμα Bianchi. Δηλαδή, ω 1,u ω u β 1 ρ sin ω 1 ω ω 1,u ω 1,u β ρ sin ω 1 ω 1, ω,u ω u β ρ sin ω ω, ω 1,u ω,u β 1 ρ sin ω 1 ω,. (1.13) Θέτουμε ω 1 ω 1 Ω στις σχέσεις , και στην συνέχεια κάνουμε τις εξής πράξεις: Το αποτέλεσμα έχει ως εξής: 0 ρ β 1 sin ω 1 ω sin Ω ω β sin Ω ω 1 Η τελευταία μετά από απλές πράξεις απλοποιείται και δίνει tan Ω ω 4 β β 1 tan ω ω 1. β β 1 4 sin ω ω. (1.133) (1.134) Εικόνα 1.: Αντιμεταθετικό Διάγραμμα Bianchi. 6

73 Λύνοντας ως προς Ω καταλήγουμε στην εξής σχέση Ω ω 4 tan 1 β β 1 tan ω ω 1 β β 1 4 (1.135) Παρατηρούμε λοιπόν ότι εάν αντικαταστήσουμε το Ω από την σχέση στις σχέσεις και μιας και ω 1 ω 1 Ω, τότε αυτές ικανοποιούνται με την προϋπόθεση ότι ισχύουν οι σχέσεις και Ακόμη, με τον ίδιο τρόπο που γράψαμε τα u-μέρη του μετασχηματισμού Bäcklund ισχύουν οι αντίστοιχες σχέσεις για τα v-μέρη του, τα οποία και αυτά ικανοποιούνται από την έκφραση Σύμφωνα λοιπόν με όλα τα παραπάνω, το διάγραμμα Bianchi κλείνει, όπως φαίνεται και στην εικόνα 1.. Η σχέση αντιπροσωπεύει μια μη γραμμική αρχή υπέρθεσης γνωστή ως το Θεώρημα Αντιμεταθετικότητας, η οποία δρα σε ένα σύνολο λύσεων ω, ω 1, ω και παράγει μια νέα λύση Ω. Εφαρμόζοντας επαναληπτικά το Θεώρημα Αντιμεταθετικότητας και χρησιμοποιώντας την αντιμεταθετική ιδιότητα κατασκευάζουμε ένα Πλέγμα Bianchi. Επομένως μπορούμε να πάρουμε N-σολιτονικές λύσεις της εξίσωσης sine-gordon μέσα από καθαρά αλγεβρικές διαδικασίες, οι οποίες αντιπροσωπεύουν μια μη γραμμική υπέρθεση N μονοσολιτονικών λύσεων της μορφής με παράμετρους Bäcklund β β 1,..., β N. Επομένως, με κάθε εφαρμογή του μετασχηματισμού Bäcklund, εισάγεται μια νέα παράμετρος Bäcklund β i και παράγεται ένα σολιτόνιο τάξης i. Η διαδικασία φαίνεται στο πλέγμα Bianchi στην εικόνα 1.3. Εικόνα 1.3: Πλέγμα Bianchi Ψευδοσφαιρικές Σολιτονικές Επιφάνειες - Breathers Στην ενότητα αυτήν θα κατασκευάσουμε ψευδοσφαιρικές επιφάνειες, οι οποίες αντιστοιχούν σε σολιτονικές λύσεις της εξίσωσης sine-gordon, χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό Bäcklund στην γραμμική του μορφή Στο πλαίσιο λοιπόν αυτό, είναι πιο βολικό να παραμετροποιήσουμε τις ψευδοσφαιρικές επιφάνειες χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες καμπυλότητας 63

74 x u v, y u v. (1.136) Στην συνέχεια θα δούμε πως μετασχηματίζονται οι θεμελιώδεις μορφές I και I I με τη χρήση των συντεταγμένων καμπυλότητας. Θα βρούμε αρχικά πως μετασχηματίζονται τα d u και d v από ασυμπτωτικές συντεταγμένες σε d x και d y και συντεταγμένες καμπυλότητας. Δηλαδή, d u u x d x u y d y, d v v x d x v y d y, οι οποίες με την βοήθεια του μετασχηματισμού 1.136, γίνονται (1.137) d u 1 d x 1 d y, d v 1 d x 1 d y. (1.138) Αντικαθιστώντας τις τελευταίες στις και θέτοντας ω θ βρίσκουμε την μορφή των θεμελιωδών μορφών I και I I, δηλαδή ή I d x d y cos θ I I ρ d x d y sin θ d x d y d x d y d x d y, d x d y, (1.139) Ισοδύναμα I d x 1 cos θ d y I I 4 ρ d x sin θ cos θ 4 d y 4 I cos θ d x sin θ d y, I I 1 ρ sin θ cos θ d x d y. 1 cos θ,, (1.140) (1.141) (1.14) Μπορούμε να εισαγάγουμε μια ορθοκανονική τριάδα σύμφωνα με τις ακόλουθες σχέσεις A y r x cos θ, B r sin θ, C N. (1.143) Στην συνέχεια, αφού πρώτα γράψουμε τις εξισώσεις Gauss και τις εξισώσεις Weingarten σε συντεταγμένες καμπυλότητας, θα τις χρησιμοποιήσουμε ώστε να βρούμε τις εκφράσεις των παραγώγων των A, B και C ως προς x και y, αντίστοιχα. Σύμφωνα με τον κανόνα της αλυσίδας, r x r u u x rv v x, ry ru u y r v v y. Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις 1.136, οι τελευταίες θα γίνουν v u v r x r u r, r y r r. (1.144) (1.145) 64

75 Ακόμη για τις παραγώγους δεύτερης τάξης με την βοήθεια του κανόνα της αλυσίδας έχουμε τις εξής σχέσεις r x x ru u u x r u v u x v x r v v v x ru u x x rv v x x, r x y r u u u x u y r u v u x v y rv u u y v x rv v v x v y ru u x y r v v x y, (1.146) r y y r u u u y r u v u y v y rv v v y ru u y y r v v y y. Χρησιμοποιώντας ξανά τον μετασχηματισμό 1.136, οι σχέσεις 1.146, γράφονται u v v v r x x r u u 4 r r 4, v v r x y r u u 4 r 4, u v v v r y y r u u 4 r r 4. (1.147) Θυμίζουμε σ αυτό το σημείο ότι στο τέλος της ενότητας 1.1 είχαμε βρεί την μορφή των εξισώσεων Gauss αλλά και των εξισώσεων Weingarten, τις οποίες θα χρειαστούμε εδώ, σε ασυμπτωτικές συντεταγμένες. Ακόμη θυμίζουμε ότι θέτουμε ω θ. Συνεπώς, η σχέση , γράφεται r u u θ x θ y cot θ r x ry θ x θ y cosec θ r x r y, (1.148) ή r u u θ x θ y sin θ cos θ r x cos θ sin θ θ x θ y r y. Ομοίως, η σχέση , γράφεται r v v θ x θ y cosec θ r x r y θ x θ y cot θ r x r y, ή Τέλος, η σχέση 1.43, γίνεται r v v θ x θ y sin θ cos θ r x θ x θ y cos θ sin θ r y. (1.149) (1.150) (1.151) r u v ρ sin θ cos θ C. (1.15) Αντικαθιστώντας λοιπόν τις σχέσεις 1.149, και 1.15 στην τριάδα των εξισώσεων Gauss και εκτελώντας τις πράξεις, οι τελευταίες γράφονται ως εξής sin θ r x x θ x cos θ r cos θ x θ y sin θ r y 1 ρ sin θ cos θ C, sin θ r x y θ y cos θ r cos θ x θ x sin θ r y, sin θ r y y θ x cos θ r cos θ x θ y sin θ r y 1 ρ sin θ cos θ C. (1.153) 65

76 Έχοντας συγκεντρώσει λοιπόν τις ποσότητες που θα χρειαστούμε στη συνέχεια, παραγωγίζουμε αρχικά την σχέση ως προς x: A x r x x cos θ r x sin θ cos θ θ x. Αντικαθιστούμε στην τελευταία την σχέση και παίρνουμε ή A x 1 cos θ θ x sin θ cos θ r cos θ x θ y sin θ r y 1 sin θ cos θ C ρ r x sin θ cos θ θ x, (1.154) (1.155) A x θ y sin θ r y 1 ρ sin θ C. Με την βοήθεια και της σχέσης 1.143, η τελευταία γίνεται A x θy B 1 ρ sin θ C. Ομοίως, παραγωγίζουμε την σχέση ως προς x και παίρνουμε B x r y x sin θ r y cos θ sin θ θ x. Αντικταθιστώντας την σχέση 1.153, καταλήγουμε στην ή B x 1 sin θ θ y sin θ cos θ r cos θ x θ x sin θ r y r y cos θ sin θ θ x, (1.156) (1.157) (1.158) (1.159) θ y B x cos θ r x θ y A, όπου χρησιμοποιήσαμε την σχέση (1.160) Παραγωγίζουμε στην συνέχεια τις εξισώσεις , ως προς y. Για την πρώτη από αυτές έχουμε A y r x y cos θ r x sin θ cos θ θ y. Αντικαθιστώντας την σχέση 1.153, η τελευταία γράφεται ή A y 1 cos θ θ y sin θ cos θ r cos θ x θ x sin θ r y r x sin θ cos θ θ y, (1.161) (1.16) A y θ x sin θ r y θ x B. Ομοίως, παραγωγίζουμε την σχέση 1.143, ως προς y και έχουμε (1.163) 66

77 B y r y y sin θ r y cos θ sin θ θ y. Εδώ θα αντικαταστήσουμε την σχέση , για να βρούμε ότι ή B y 1 sin θ θ x sin θ cos θ r cos θ x θ y sin θ r y 1 sin θ cos θ C ρ r y cos θ sin θ θ y, (1.164) (1.165) θ x B y cos θ r x 1 ρ cos θ C θ x A 1 ρ cos θ C. (1.166) Για να παραγωγίσουμε την τρίτη εξίσωση ως προς x και y, είναι απαραίτητο να βρούμε την μορφή των εξισώσεων Weingarten σε συντεταγμένες καμπυλότητας. Σύμφωνα με τον κανόνα της αλυσίδας, έχουμε N x N u u x N v v x, N y N u u y N v v y, οι οποίες σύμφωνα με τον μετασχηματισμό 1.136, γίνονται N x N u N v, N y N u N v. (1.167) (1.168) Ακόμη, οι εξισώσεις Weingerten σε ασυμπτωτικές συντεταγμένες, δηλαδή οι σχέσεις 1.45, γράφονται ως εξής N u 1 ρ cot θ r x r y 1 ρ cosec θ r x r y, N v 1 ρ cosec θ r x r y 1 ρ cot θ r x r y. (1.169) Χρησιμοποιώντας τις τελευταίες, οι σχέσεις 1.168, γίνονται N x 1 ρ cot θ cosec θ r x, N y 1 ρ cot θ cosec θ r y, ή N x 1 sin θ ρ cos θ r x 1 ρ sin θ A, N y 1 cos θ ρ sin θ r y 1 ρ cos θ B. Συνεπώς, παραγωγίζοντας την τρίτη και τελευταία από τις σχέσεις 1.143, έχουμε C x N x, C y N y. Με την βοήθεια των σχέσεων 1.171, οι παραπάνω σχέσεις γράφονται (1.170) (1.171) (1.17) 67

78 C x 1 ρ sin θ A, C y 1 ρ cos θ B. Συγκεντρώνοντας όλα τα παραπάνω αποτελέσματα στη μορφή πινάκων, έχουμε A B C A B C y x 0 θ y 1 ρ sin θ θ y ρ sin θ θ x 0 θ x 0 1 ρ cos θ 0 1 ρ cos θ 0 Το παραπάνω γραμμικό σύστημα είναι συμβατό αν και μόνο εάν A B C A B C (1.173) (1.174) θ x x θ y y 1 sin θ cos θ ρ (1.175) Η τελευταία δεν είναι τίποτε άλλο παρά η εξίσωση sine-gordon εκφρασμένη σε συντεταγμένες καμπυλότητας. Αποτελεί την πιο κοινή μορφή στις φυσικές εφαρμογές, όπου το x δηλώνει την χωρική μεταβλητή και το y την χρονική. Σε αυτό το πλαίσιο συνήθως καλούμε την εξίσωση sine-gordon 1+1 διαστάσεων Η Ψευδόσφαιρα Αρχικά σημειώνουμε ότι μπορούμε να λάβουμε την στάσιμη λύση ενός σολιτονίου της εξίσωσης εάν θέσουμε στην λύση u v x, β 1. Δηλαδή, x θ u, v arctane ρ a. (1.176) Η λύση αυτή αντιστοιχεί σε μια ψευδοσφαιρική επιφάνεια εκ περιστροφής, που είναι γνωστή ως Ψευδόσφαιρα του Beltrami. Για να αποδείξουμε την σύνδεση αυτή μεταξύ της στάσιμης λύσης του ενός σολιτονίου και της ψευδόσφαιρας, θεωρούμε το διάνυσμα θέσης r μιας επιφάνειας εκ περιστροφής, η οποία σχηματίζεται από την περιστροφή μιας καμπύλης z φr στο επίπεδο γύρω από τον άξονα z και γράφεται ως εξής r r cos η r sin η φr (1.177) Σημειώνουμε εδώ ότι οι κύκλοι r σταθ. αποτελούν τις παραλλήλους ενώ οι καμπύλες η σταθ. τους μεσημβρινούς. Εκείνο που θα εξετάσουμε στη συνέχεια είναι οι θεμελιώδεις μορφές. Από τον τύπο για το διάνυσμα θέσης λοιπόν βρίσκουμε ότι 68

79 d r d r cos η r sin η d η d r sin η r cos η d η φ' r d r Αρα, η πρώτη θεμελιώδης μορφή έχει ως εξής: I d r d r d r cos η r sin η d η d r sin η r cos η d η φ' r d r, Ισοδύναμα, I 1 φ' r d r r d η.. (1.178) (1.179) (1.180) Για να βρούμε την δεύτερη θεμελιώδη μορφή, πρέπει πρώτα να βρούμε το κάθετο διάνυσμα N, το οποίο δίνεται από τον τύπο N r r r η r r r η (1.181) Από τις έπεται ότι r r r η Συνεπώς, i r r cos η i sin η j φ' r k, r η r sin η i r cos η j, j cos η sin η φ' r r sin η r cos η 0 k r cos η φ' r i r sin η φ' r j r k. r rr η 1 φ' r r. (1.18) (1.183) (1.184) και άρα N cos η φ' r i 1 φ' r Από την τελευταία βρίσκουμε ότι sin η φ' r j 1 k. 1 φ' r 1 φ' r d N sin η φ' r φ' r3 d η cos η φ'' r d r 1 φ' r 3 i cos η φ' r φ' r 3 d η sin η φ'' r d r 1 φ' r 3 j (1.185) (1.186) φ' r φ'' r d r 1 φ' r 3 Η δεύτερη θεμελιώδης μορφή προκύπτει από το εσωτερικό γινόμενο των σχέσεων και και είναι η εξής k 69

80 I I d φ'' r d r r φ' r d η r d N. (1.187) 1 φ' r 1 φ' r Παρατηρούμε ότι F f 0. Αυτό μας δηλώνει ότι οι γραμμές συντεταγμένων r σταθ. και η σταθ. (δηλαδή οι παράλληλοι και οι μεσημβρινοί, αντίστοιχα) είναι και γραμμές καμπυλότητας της επιφάνειας. Εισάγουμε τώρα την μεταβλητή ξ, μέσω της σχέσης d ξ 1 φ' r d r. (1.188) Με αυτό τον τρόπο, η πρώτη θεμελιώδης μορφή γίνεται I d ξ r d η. (1.189) όπου r rξ. Σύμφωνα με τον μετασχηματισμό 1.188, η δεύτερη θεμελιώδης μορφή 1.187, γράφεται ως εξής I I d r d N φ'' r d ξ 1 φ' r 3 r φ' r d η, 1 φ' r (1.190) Στην συνέχεια, θα υπολογίσουμε την καμπυλότητα του Gauss της επιφάνειας που μελετάμε. Λαμβάνοντας υπ όψιν ότι F f 0, η καμπυλότητα του Gauss δίνεται από την σχέση K e g E G φ' r φ'' r r 1 φ' r. Παραγωγίζοντας την σχέση μια ακόμη φορά, προκύπτει ότι d r d ξ 1 φ' r 3 φ' r φ'' r d r d ξ. Αντικαθιστούμε στην τελευταία την ποσότητα d r d ξ d r d ξ φ' r φ'' r 1 φ' r. Τελικά, λοιπόν, η καμπυλότητα του Gauss δίνεται από την σχέση K 1 r d r d ξ. από την σχέση και έχουμε (1.191) (1.19) (1.193) (1.194) Αφού όμως η επιφάνεια στην οποία αναφερόμαστε είναι μια ψευδοσφαιρική επιφάνεια, η καμπυλότητα του Gauss θα έχει σταθερή αρνητική τιμή. Δηλαδή, μπορεί να γραφεί ως εξής K 1 ρ, ρ σταθερά. (1.195) Εξισώνοντας τις δύο τελευταίες σχέσεις προκύπτει η ακόλουθη συνήθης διαφορική 70

81 εξίσωση δεύτερης τάξης d r d ξ 1 ρ r 0, η οποία ολοκληρώνεται και δίνει r c 1 cosh ξ ρ c sinh ξ ρ. (1.196) (1.197) Στην ειδική περίπτωση όπου οι σταθερές c 1, c είναι ίσες με μια σταθερή c, καταλήγουμε στις λεγόμενες παραβολικές ψευδοσφαιρικές επιφάνειες εκ περιστροφής, για τις οποίες οι μεσημβρινοί δίνονται από τον τύπο r c e ξρ (1.198) Σε αυτό το σημείο θυμόμαστε ότι z φr και συνεπώς χρειαζόμαστε το φr. Αρχικά λοιπόν λύνουμε την σχέση ως προς φ' r και βρίσκουμε ότι φ' r d ξ d r 1. (1.199) Από την σχέση 1.198, δηλαδή από την αμέσως έπεται ότι Συνεπώς, d r d ξ c ρ eξρ. d r d ξ c ρ e ξρ. (1.00) (1.01) φ' r 1 c ξρ ρ e ρ c eξρ (1.0) Χρησιμοποιώντας την σχέση 1.00, η τελευταία γράφεται ως εξής: φ' r 1 c ξρ d e ρ ξ d r (1.03) Αρα, z φr 1 c ρ e ξρ ξ. (1.04) Για να υπολογίσουμε το τελευταίο ολοκλήρωμα θέτουμε sin ψ c ρ eξρ, (1.05) 71

82 οπότε cos ψ d ψ c ρ eξρ d ξ 1 ρ sin ψ d ξ, (1.06) ή d ξ ρ cos ψ sin ψ d ψ. Συνεπώς, το ολοκλήρωμα 1.04, γράφεται ως εξής: z φr Συνεπώς, z φr ρ 1 sin ψ ρ cos ψ sin ψ ψ ρ Επομένως, σύμφωνα με τα παραπάνω ή cos ψ sin ψ ψ ρ 1 sin ψ ψ. sin ψ 1 sin ψ ψ sin ψ ψ ρ ln tan ψ cos ψ. d z cos ψ d ξ cos ψ ρ c eξρ d r cos ψ 1 sin ψ d r, d z cot ψ d r. (1.07) (1.08) (1.09) (1.10) (1.11) όπου ψ είναι η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ του άξονα z και της εφαπτόμενης στον μεσημβρινό. Η απόσταση από ένα σημείο του μεσημβρινού στον άξονα z κατά μήκος της εφαπτόμενης d r cosec ψ είναι ίση με ρ και επομένως είναι σταθερή. Μία καμπύλη με αυτήν την ιδιότητα λέγεται tractrix (έλκουσα καμπύλη). Η παραβολική ψευδοσφαιρική επιφάνεια που δημιουργείται από την περιστροφή γύρω από τον άξονα z μιας έλκουσας καμπύλης είναι γνωστή ως ψευδόσφαιρα. Εκείνο που θα κάνουμε στην συνέχεια είναι να καθορίσουμε την λύση της εξίσωσης sine-gordon η οποία αντιστοιχεί στην ψευδόσφαιρα. Συνεπώς, θα πρέπει αρχικά να παραμετροποιήσουμε την τελευταία σύμφωνα με τις σχέσεις Ειδικότερα, το διάνυσμα θέσης της ψευδόσφαιρας, αφού πλέον γνωρίζουμε και την συνάρτηση φr, δίνεται από την ακόλουθη σχέση r ρ sin ψ cos η ρ sin ψ sin η ρ ln tan ψ cos ψ. (1.1) Αφού λοιπόν προσδιορίσαμε το διάνυσμα θέσης, μπορούμε να βρούμε την πρώτη θεμελειώδη μορφή. Προφανώς, 7

83 d r ρ cos ψ cos η dψ ρ sin ψ sin η dη ρ cos ψ sin η dψ ρ sin ψ cos η dη ρ 1 tan ψ 1 cos ψ sin ψ ρ cos ψ cos η dψ ρ sin ψ sin η dη ρ cos ψ sin η dψ ρ sin ψ cos η dη ρ cos ψ sin ψ. (1.13) Συνεπώς, η πρώτη θεμελιώδης μορφή δίνεται από τον τύπο I d r d r ρ cot ψ d ψ ρ sin ψ d η. (1.14) Για τον υπολογισμό της δεύτερης θεμελιώδους μορφής, ακολουθούμε την ίδια διαδικασία όπως πριν. Αρχικά, βρίσκουμε ότι Συνεπώς και άρα Ετσι λοιπόν, r ψ ρ cos ψ cos η i ρ cos ψ sin η j ρ cos ψ sin ψ k, r η ρ sin ψ sin η i ρ sin ψ cos η j, r ψ r η ρ cos ψ cos η i ρ cos ψ sin η j ρ cos ψ sin ψ k r ψr η ρ cos ψ. (1.15) (1.16) (1.17) N r ψr η r ψr η cos ψ cos η i cos ψ sin η j sin ψ k (1.18) Επομένως, Από την 1.18 βρίσκουμε ότι d N sin η cos ψ d η cos η sin ψ d ψ sin η sin ψ d ψ cos η cos ψ d η cos ψ d ψ I I d r d N ρ cot ψ d ψ ρ sin ψ cos ψ d η. Σε αυτό το σημείο κάνουμε τον ακόλουθο μετασχηματισμό: d x ρ cosec ψ d ψ, y ρ η.. (1.19) (1.0) (1.1) Παρατηρούμε ότι οι 1.14 και 1.0 μετασχηματίζονται στις σχέσεις 1.14, εάν θέσουμε θ ψ. Ολοκληρώνοντας την σχέση 1.1 παίρνουμε την μονοσολιτονική λύση 1.176, δηλαδή ή x ρ cosec ψ ψ, x ρ a ln tan ψ, (1.) (1.3) 73

84 ή tan ψ exp x ρ a. (1.4) Ισοδύναμα ψ tan 1 exp x ρ a. (1.5) Ολοκληρώνουμε αυτήν την ενότητα παρουσιάζοντας το διάνυσμα θέσης της ψευδόσφαιρας 1.6 με την βοήθεια των παραμέτρων x και y των γραμμών καμπυλότητας (σχέση 1.5), δηλαδή ρ sin tan 1 exp x ρ a cos y ρ r ρ ln tan ρ sin tan 1 exp x ρ a sin y ρ tan 1 exp x ρ a cos tan 1 exp x ρ a (1.6) ή r x, y x ρ sech a cos y ρ ρ ρ sech x ρ a sin y ρ ρ x ρ a tanh x ρ a (1.7) όπου η τελευταία προέκυψε με την βοήθεια του Mathematica. Σημειώνουμε ότι οι γραμμές των συντεταγμένων x σταθερά και y σταθερά είναι οι παράλληλοι και οι μεσημβρινοί, αντίστοιχα. Τέλος, χρησιμοποιώντας το διάνυσμα θέσης 1.7 παρουσιάζουμε παρακάτω την ψευδόσφαιρα με την βοήθεια του Mathematica. Εικόνα 1.4: Η ψευδόσφαιρα του Beltrami. 74

85 1.4.. Ένα Ψευδοσφαιρικό Ελικοειδές Μια επιφάνεια που δημιουργείται περιστρέφοντας μια καμπύλη γύρω από κάποιον άξονα, μετατοπίζοντάς την ταυτόχρονα παράλληλα προς αυτόν τον άξονα, με τρόπο ώστε ο λόγος της ταχύτητας μετατόπισης προς την ταχύτητα περιστροφής να είναι σταθερός, είναι γνωστή ως ελικοειδές. Ειδικότερα, ένα ελικοειδές το οποίο δημιουργείται από την έλκουσα καμπύλη, χαρακτηρίζεται ως ψευδοσφαιρικό ελικοειδές και είναι γνωστό ως επιφάνεια Dini. όπου Το διάνυσμα θέσης αυτού του ελικοειδούς δίνεται από τον τύπο r x, y y ρ sin ζ sech χ cos ρ ρ sin ζ sech χ sin y ρ x ρ sin ζ tanh χ χ x y cos ζ ρ sin ζ (1.8) (1.9) και ζ είναι μια σταθερά. Παρατηρούμε σε αυτό το σημείο ότι το διάνυσμα θέσης της ψευδόσφαιρας του Beltrami με την οποία ασχοληθήκαμε στην προηγούμενη υποενότητα λαμβάνεται εάν θέσουμε ζ π. Η λύση της εξίσωσης sine-gordon 1+1 διαστάσεων είναι η μονοσολιτονική ( κινούμενη ) λύση, η οποία δίνεται από την εξίσωση μετασχηματισμένη σε συντεταγμένες καμπυλότητας, και όπου β tan ζ. Ειδικότερα, στην εξίσωση θέτουμε: ω θ, u xy, v xy (χωρίς βλάβη της γενικότητας) ή Ισοδύναμα, διότι θ ω tan1 exp β ρ x y 1 β ρ θ tan 1 exp 1 ρ β 1 β x 1 θ tan 1 exp 1 ρ x y, ρ β 1 β y, 1 sin ζ x cos ζ ρ sin ζ y, και a 0 (1.30) (1.31) (1.3) β 1 β tan ζ 1 tan ζ tan ζ 1 tan ζ 1 cos ζ sin ζ sin ζ (1.33) 75

86 β 1 β tan ζ 1 tan ζ tan ζ 1 tan ζ cos ζ cos ζ sin ζ cos ζ sin ζ (1.34) Τελικά, χρησιμοποιώντας την 1.9, η σχέση 1.3 γίνεται θ tan 1 expχ. (1.35) Στην Εικ. 1.5, παρουσιάζουμε μια επιφάνεια Dini, την οποία κατασκευάσαμε με βάση τον τύπο (1.8) για το διάνυσμα θέσης και με τη βοήθεια του Mathematica Επιφάνειες Δύο-Σολιτονίων Εικόνα 1.5: Η επιφάνεια Dini. Σε αυτήν την υποενότητα θα παρουσιάσουμε την λύση δύο σολιτονίων της εξίσωσης sine- Gordon, η οποία προκύπτει μέσω του Θεωρήματος Αντιμεταθετικότητας. Αρχικά θα αντικαταστήσουμε την γωνία ω, η οποία εμφανίζεται στον μετασχηματισμό Bäcklund 1.11, από την θ ω. Στη συνέχεια, θα περάσουμε από τις ασυμπτωτικές συντεταγμένες στις συντεταγμένες καμπυλότητας x και y, έτσι ώστε ο μετασχηματισμός Bäcklund να αντιστοιχεί στην εξίσωση sine-gordon 1+1 διαστάσεων Ξεκινάμε λοιπόν από τις σχέσεις θ' θ u β sin θ' θ, ρ θ' θ v 1 sin θ' θ. β ρ Για να περάσουμε στις συντεγμένες καμπυλότητας, σημειώνουμε ότι θ u θ x x u θ y y u θ x θ y, θ v θ x x v θ y y v θ x θ y. Αντικαθιστώντας τις τελευταίες στις 1.36, βρίσκουμε ότι (1.36) (1.37) 76

87 θ' x θ' y θ x θ y β sin θ' cos θ cos θ' sin θ, ρ θ' x θ' y θ x θ y 1 sin θ' cos θ cos θ' sin θ. β ρ Προσθέτοντας και αφαιρώντας τις 1.38 προκύπτουν οι παρακάτω σχέσεις θ' x θ y 1 ρ β 1 β sin θ' cos θ β 1 sin θ cos θ', β θ' y θ x 1 ρ β 1 β sin θ' cos θ β 1 sin θ cos θ'. β Χρησιμοποιώντας ακόμη τις σχέσεις , οι τελευταίες γίνονται (1.39) B β : θ' x θ y 1 ρ 1 cos ζ sin θ' cos θ sin θ cos θ' sin ζ sin ζ θ' y θ x 1 cos ζ ρ sin ζ 1 sin θ' cos θ sin θ cos θ' sin ζ (1.40) Επιπλέον, εάν r είναι το διάνυσμα θέσης της ψευδοσφαιρικής επιφάνειας η οποία αντιστοιχεί στην λύση θ της σχέσης 1.175, τότε το διάνυσμα θέσης της νέας ψευδοσφαιρικής επιφάνειας η οποία αντιστοιχεί στην θ' B β θ δίνεται από την παρακάτω σχέση r ' r L sin θ sin θ θ' r x r y sin θ' θ r x r y, (1.41) σύμφωνα με την σχέση 1.14 και όπου L ρ sin ζ. Βελτιώνουμε λίγο την μορφή της τελευταίας σχέσης. Δηλαδή, ή sin θ θ' sin θ' θ sin θ θ' sin θ' θ r ' r L r x r y sin θ cos θ sin θ cos θ r ' r cos θ' L cos θ r sin θ' x sin θ r y. (1.4) (1.43) Στην συνέχεια και για να καταλήξουμε στην ζητούμενη λύση των δυο-σολιτονίων, επιλέγουμε ως θ 0 την αρχική λύση, ως θ 1 την λύση που προκύπτει από τον μετασχηματισμό Bäcklund B β1 θ 0, ως θ την λύση που προκύπτει από τον μετασχηματισμό Bäcklund B β θ 1 και ως θ 1 την λύση που προκύπτει από τον μετασχηματισμό Bäcklund B β1 θ B β θ 1. Τότε, η μη γραμμική αρχή υπέρθεσης 1.134, γίνεται tan θ 1 θ 0 β β 1 tan θ θ 1 β β 1, (1.44) 77

88 Σημειώνουμε ακόμη ότι, β 1 tan ζ 1 και β tan ζ. Eπιπλέον, β β 1 β β 1 tan ζ tan ζ 1 tan ζ tan ζ 1 Επομένως, η σχέση 1.44 γράφεται ως εξής: sin ζ cos ζ 1 sin ζ 1 cos ζ sin ζ cos ζ 1 sin ζ 1 cos ζ sin ζ ζ 1 sin ζ ζ 1 (1.45) tan θ 1 θ 0 sin ζ ζ 1 sin ζ ζ 1 tan θ θ 1, (1.46) Τώρα, αν ως αρχική λύση πάρουμε την θ 0 0, τότε σύμφωνα με τα παραπάνω αποτελέσματα και ειδικότερα σύμφωνα με την σχέση 1.35 έχουμε όπου σύμφωνα με την 1.9 θ i tan 1 expχ i, i 1,, χ i x y cos ζ i ρ sin ζ i, ζ 1 ζ. (1.47) (1.48) Αντικαθιστώντας λοιπόν την 1.47 στην σχέση 1.46 και θέτοντας θ 1 Θ και χρησιμοποιώντας ότι θ 0 0, έχουμε tan Θ sin ζ ζ 1 sin ζ ζ 1 tan tan1 expχ tan 1 expχ 1 Χρησιμοποιώντας την γνωστή τριγωνομετρική σχέση η σχέση 1.49, γράφεται tan A B tan A tan B 1 tan A tan B,. (1.49) (1.50) ή Ισοδύναμα tan Θ tan Θ sin ζ ζ 1 sin ζ ζ 1 sin ζ ζ 1 sin ζ ζ 1 e χ 1 χ e χ 1 χ e χ e χ 1 1 e χ e χ 1, χ 1 χ e χ 1 χ e. (1.51) (1.5) Τελικά, tan Θ sin ζ ζ 1 sin ζ ζ 1 sinh χ χ 1 cosh χ 1 χ. (1.53) 78

89 Θ arctan Μπορούμε ακόμη να γράψουμε sin ζ ζ 1 sin ζ ζ 1 sinh χ 1 χ cosh χ 1 χ. (1.54) Θ arctan sin ζ ζ 1 sin ζ ζ 1 sinh χ 1 χ cosh χ 1 χ, (1.55) όπου το πρόσημο σχετίζεται με το ότι η εξίσωση sine-gordon παραμένει αναλλοίωτη ως προς την αλλαγή θ θ. Η σχέση 1.55 αποτελεί λοιπόν την λύση δύο σολιτονίων Breathers ( Πνοές ) Σε αυτήν την υποενότητα βρίσκουμε μέσω του Θεωρήματος Αντιμεταθετικότητας μια αναλυτική έκφραση για την λεγόμενη λύση breather. Breathers, είναι μια σημαντική υποκατηγορία παγιδευμένων περιοδικών λύσεων δύο-σολιτονίων. Είδαμε στην προηγούμενη υποενότητα ότι η λύση δύο-σολιτονίων Θ δίνεται από την σχέση 1.55, όπου ο λόγος των ημιτόνων που εμφανίζεται ισούται με τον λόγο β β 1 β β 1 των παραμέτρων Bäcklund β i tan ζ i Θ arctan β β 1 β β 1, για i 1, (βλ. σχέση 1.45). Συνεπώς, sinh χ 1 χ cosh χ 1 χ η οποία αποτελείται από λύσεις ενός σολιτονίου (σχέση 1.47), όπου χ i 1 β i ρ β i 1 x β i 1 y., (1.56) (1.57) Η τελευταία προκύπτει από την αντίστροφη διαδικασία που ακολουθήσαμε στην υποενότητα 1.4. για να δείξουμε τις σχέσεις Εκείνο όμως που θέλουμε να κατασκευάσουμε εδώ είναι περιοδικές λύσεις και για να συμβεί αυτό θα πρέπει οι παράμετροι Bäcklund να είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί. Θέτουμε λοιπόν, β 1 c i d, β c i d. Αντικαθιστώντας αρχικά τις σχέσεις 1.58 στις σχέσεις 1.57, οι τελευταίες δίνουν ή χ 1 χ 1 c i d ρ c i d 1 x c i d 1 y, 1 c i d ρ c i d 1 x c i d 1 y, (1.58) (1.59) 79

90 c i d χ 1 c d ρ c d i c d 1 x c d i c d 1 y, χ c i d c d ρ c d i c d 1 x c d i c d 1 y. Αντικαθιστώντας τις σχέσεις 1.60 στην σχέση 1.56, η τελευταία γράφεται ή όπου, Θ arctan c i d Θ arctan c sinh i d 1c d x1c d y c d ρ cosh c 1c d x1c d y c d ρ i d i sin d ξ c d ρ, c η cosh c d ρ ξ 1 c d x 1 c d y, η 1 c d x 1 c d y. Ισοδύναμα, (1.61) (1.6) (1.63) Θ arctan c d sin cosh d ξ c d ρ c η c d ρ. (1.64) Παρατηρούμε λοιπόν ότι η λύση Θ είναι πραγματική και εμφανίζεται περιοδικότητα ως προς την μεταβλητή ξ. θα δώσουν Αν απαιτήσουμε επιπλέον β 1 1, ή αλλιώς c d 1, τότε οι σχέσεις 1.63 και επομένως η λύση 1.64 γίνεται ή Θ arctan c d ξ y, η x, cosh Θ arctan c d sin y d ρ x c c d ρ sin y d ρ cosh x c ρ., (1.65) (1.66) (1.67) Παρατηρούμε ότι εμφανίζεται και εδώ περιοδικότητα ως προς τη μεταβλητή y. Αυτή η λύση είναι γνωστή ως στάσιμη πνοή (breather) διότι αν η μεταβλητή x θεωρηθεί η 80

91 χωρική μεταβλητή και y η χρονική, τότε δεν υπάρχει μετατόπιση καθώς μεταβάλλεται το y Επιφάνειες Στάσιμων Breathers Στην υποενότητα αυτήν βρίσκουμε αρχικά το διάνυσμα θέσης για ψευδοσφαιρικές επιφάνειες, οι οποίες αντιστοιχούν σε στάσιμες, περιοδικές λύσεις δύο σολιτονίων και παριστάνουμε γραφικά κάποιες λύσεις για συγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων που εμφανίζονται. Θυμίζουμε εδώ ότι η λύση θ 1 την οποία συναντήσαμε στην προηγούμενη υποενότητα μπορεί να παραχθεί είτε εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό Bäcklund στην λύση θ 1, δηλαδή συμβολικά B β θ 1, είτε εφαρμόζοντας τον στην λύση θ, δηλαδή B β1 θ. Συνεπώς, η σχέση 1.43 γίνεται ή r 1 r1 r1 ρ sin ζ cos θ 1 r 1,x sin θ 1 cos θ 1 sin θ 1 r r 1 r ρ sin ζ 1 cos θ 1 r,x sin θ 1 cos θ sin θ r 1,y, r,y, (1.68) διότι, r 1 r1 ρ sin ζ cos θ 1 r 1,x sin θ 1 cos θ 1 sin θ 1 r 1 r ρ sin ζ 1 cos θ 1 r,x sin θ 1 cos θ sin θ r 1 r 1 και θ 1 θ 1. r 1,y, r,y, (1.69) (1.70) Συνεπώς, προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις 1.69 προκύπτει η ακόλουθη συμμετρική αναπαράσταση r 1 1 r 1 r 1,x r,x r ρ cos θ 1 sin ζ sin ζ 1 cos θ 1 cos θ (1.71) r1,y r,y ρ sin θ 1 sin ζ sin ζ 1. sin θ 1 sin θ Ειδικότερα, για να βρούμε το διάνυσμα θέσης για στάσιμες λύσεις breather, θα πρέπει να λάβουμε υπ όψιν τις ακόλουθες σχέσεις sin ζ 1 sin ζ 1 c, χ 1 ρ c x i d y χ 1, r r 1, θ θ 1. (1.7) Για να προσδιορίσουμε λοιπόν το διάνυσμα θέσης 1.71 χρησιμοποιούμε την σχέση 1.8 για να βρούμε τα διανύσματα θέσης r 1 και r, δηλαδή 81

92 ρ sin ζ 1 sech χ 1 cos y ρ ρ sin ζ sech χ cos y ρ r 1 x, y ρ sin ζ 1 sech χ 1 sin y ρ, r x, y ρ sin ζ sech χ sin y ρ. (1.73) x ρ sin ζ 1 tanh χ 1 x ρ sin ζ tanh χ Αντικαθιστούμε στην συνέχεια τις σχέσεις 1.7 στις 1.73 και επιπλέον θέτουμε ρ 1, οπότε έχουμε 1 c c xi d y sech cos y 1 c c xi d y sech cos y r 1 x, y 1 c c xi d y sech sin y, r x, y 1 c c xi d y sech sin y. (1.74) x 1 c c xi d y tanh x 1 c c xi d y tanh Οι σχέσεις 1.74 θα μας δώσουν τις μερικές παραγώγους r 1,x, r,x, r 1,y και r,y που απαιτούνται σύμφωνα με την σχέση Αντικαθιστώντας λοιπόν τα παραπάνω στην 1.71 παίρνουμε το ζητούμενο διάνυσμα θέσης r breather όπου c 1 d. d c 0 0 x d c sin d y coshc x d cosh c x c sin d y coshc x d cosh c x c sin d y sin y cos y 0 cos y cos d y sin y cos d y sinh c x, (1.75) Για κάθε ρητό αριθμό d μεταξύ του μηδέν και του ένα αντιστοιχεί μία ψευδοσφαιρική στάσιμη επιφάνεια breather, η οποία όπως ήδη είδαμε παρουσιάζει περιοδικότητα ως προς την μεταβλητή y. Εάν θέσουμε d p q, όπου p και q είναι ακέραιοι πρώτοι μεταξύ τους με p q, τότε η περίοδος της λύσης breather είναι T π ω π d π q p. Στις επόμενες εικόνες παρουσιάζουμε τέσσερεις ψευδοσφαιρικές επιφάνειες τύπου breather για διάφορες τιμές της παραμέτρου d. 8

93 (α) Εικόνα 1.6: Ψευδοσφαιρικές στάσιμες breather επιφάνειες για: (α) p q 3 4, (β) p q 1. (β) (α) Εικόνα 1.6: Ψευδοσφαιρικές στάσιμες breather επιφάνειες για: (α) p q 1 4, (β) p q 1 5. Ολοκληρώνουμε αυτήν την υποενότητα σημειώνοντας ότι με επαναληπτική εφαρμογή της σχέσης 1.43 μπορούμε να πάρουμε το διάνυσμα θέσης για ψευδοσφαιρικές επιφάνειες που αντιστοιχούν σε N σολιτονικές λύσεις της εξίσωσης sine-gordon. Ένας παρόμοιος δηλαδή τρόπος με εκείνον της επαναληπτικής εφαρμογής του Θεωρήματος Αντιμεταθετικότητας. (β) 83

94 84

95 Β.. Σύνδεση των Εξισώσεων sine-gordon και mkdv με την Κίνηση Καμπυλών και Επιφανειών.1. Σύνδεση της Εξίσωσης sine-gordon με την Κίνηση Καμπυλών Σταθερής Στρέψης ή Καμπυλότητας Σε αυτήν την ενότητα παρουσιάζουμε τον τρόπο με τον οποίο η εξίσωση sine-gordon συνδέεται με μια ψευδοσφαιρική επιφάνεια που σαρώνει μια κινούμενη μη-εκτατή καμπύλη σταθερής στρέψης. Με r r s, t συμβολίζουμε το διάνυσμα θέσης του τυχαίου σημείου μιας καμπύλης C η οποία κινείται στον χώρο. Οι παράμετροι s και t παριστάνουν το μήκος τόξου και τον φυσικό χρόνο, αντίστοχα. Τα μοναδιαία διανύσματα της εφαπτόμενης, t, της κάθετης, n, και της δεύτερης κάθετης, b, μεταβάλλονται κατά μήκος της καμπύλης C σύμφωνα τις ακόλουθες γνωστές σχέσεις Serret-Frenet ts κ n, n s τ b κ t, b s τ n (.1) όπου κ η καμπυλότητα και τ η στρέψη. Η χρονική εξέλιξη της τριάδας t, n, b, η οποία παραμένει ορθοκανονική, περιγράφεται από τις εξισώσεις t t α n β b, n t α t γ b, b t β t γ n (.) Απαιτούμε στην συνέχεια η μερική παράγωγος της τριάδας t, n, b ως προς τον χρόνο να αντιμετατίθεται με την μερική παράγωγό της ως προς το μήκος τόξου. Αυτό σημαίνει ότι η καμπύλη C είναι μη εκτατή. Εφαρμόζοντας την παραπάνω συνθήκη συμβατότητας στα συστήματα πρώτης τάξης (.1) και (.), καταλήγουμε στις ακόλουθες σχέσεις: α s κ t β τ, β s κ γ τ α, γ s τ t κ β Η Κίνηση μιας Μη-Εκτατής Καμπύλης Σταθερής Στρέψης Από το σύστημα.3 προκύπτει ότι α β γ s α κ t γ τ t. (.3) (.4) 85

96 Ειδικότερα, εάν θέσουμε α 0 και τ t 0 (αφού μελετάμε καμπύλη σταθερής στρέψης), τότε η τελευταία μας δίνει Η.5 αμέσως ολοκληρώνεται και δίνει έτσι αν θέσουμε β γ s 0. β γ δ t βt δt sin σ, γt δt cos σ, (.5) (.6) (.7) τότε από την εξίσωση.3 1 προκύπτει για την χρονική εξέλιξη της καμπυλότητας η εξής σχέση Ακόμη η.3 θα μας δώσει Ισοδύναμα κ t δt sin σ τ. δt sin σ s κ δt cos σ σ s κ. Παραγωγίζοντας την.10 ως προς t και αντικαθιστώντας σε αυτήν την.8 παίρνουμε σ s t κ t δt sin σ τs. (.8) (.9) (.10) (.11) Εάν στην συνέχεια θέσουμε τ 1 ρ τ 0 και δ 1 ρ τότε η τελευταία ανάγεται στην εξίσωση sine-gordon υπό την εξής αντιστοιχία σ, s, t ω, u, v. Δηλαδή σ s t 1 sin σ. ρ (.1) Επιπλέον οι σχέσεις.1 και. ανάγονται στις ακόλουθες t 0 σ s 0 t σ s 0 1 ρ n 0 1 ρ 0 t n b t n b s ρ sin σ ρ cos σ 1 ρ sin σ 1 ρ cos σ 0 Η συνθήκη συμβατότητας για το παραπάνω σύστημα παράγει την εξίσωση sine-gordon. b t n b (.13) Στο προηγούμενο κεφάλαιο μελετώντας ψευδοσφαιρικές επιφάνειες καταλήξαμε στην εξίσωση sine-gordon ενώ μόλις παραπάνω συνδέσαμε την κίνηση μιας καμπύλης σταθερής στρέψης και με καμπυλότητα κ ω u με την εν λόγω εξίσωση. Είναι φυσικό λοιπόν να αναρωτηθούμε εάν υπάρχει σύνδεση των δύο παραπάνω περιπτώσεων. Ειδικότερα, εάν συγκρίνουμε τα γραμμικά συστήματα με τα συστήματα.13 παρατηρούμε ότι είναι ισοδύναμα υπό τις εξής αντιστοιχίες ω, u, v σ, s, t, A, B, C t, n, b. (.14) Συνεπώς, η καμπύλη σταθερής στρέψης, η οποία σχετίζεται με την εξίσωση sine- Gordon καθώς κινείται, σαρώνει μια ψευδοσφαιρική επιφάνεια και κάθε στιγμή αποτελεί 86

97 μια ασυμπτωτική γραμμή πάνω σε αυτήν. Το συμπέρασμα αυτό βρίσκεται σε συμφωνία με το κλασικό θεώρημα Beltrami-Enneper σύμφωνα με το οποίο οι ασυμπτωτικές γραμμές σε μια υπερβολική επιφάνεια με καμπυλότητα του Gauss K 1 ρ έχουν στρέψη μεγέθους 1 ρ. Από το προηγούμενο κεφάλαιο θυμόμαστε ότι r v sin ω B cos ω A. (.15) Χρησιμοποιώντας επομένως την αντιστοιχία.14 έχουμε την ακόλουθη έκφραση για την ταχύτητα rt της κινούμενης με σταθερή στρέψη καμπύλης r t cos σ t sin σ n (.16).1.. Η Κίνηση μιας Μη-Εκτατής Καμπύλης Σταθερής Καμπυλότητας Επανερχόμαστε στην εξίσωση.4 και θεωρούμε την εναλλακτική ειδίκευση γ 0 και κ t 0 (αφού εδώ μελετάμε μια καμπύλη σταθερής καμπυλότητας), δηλαδή α β s 0 Η τελευταία ολοκληρώνεται αμέσως, δηλαδή Αν θέσουμε στην συνέχεια όπου α β δ t. βt δt sin σ, αt δt cos σ, τότε η πρώτη από τις εξισώσεις.3 θα μας δώσει Ισοδύναμα Ακόμη η.3 3 θα μας δώσει δ t cos σ s δt sin σ τ. σ s τ. τ t κ δt sin σ (.17) (.18) (.19) (.0) (.1) (.) Παραγωγίζοντας την.1 ως προς t και αντικαθιστώντας σε αυτήν την. θα πάρουμε σ s t κ δt sin σ. (.3) Ακριβώς όπως και στην προηγούμενη υποενότητα έτσι και εδώ, εάν θέσουμε κ 1 ρ και δ 1 ρ, τότε η τελευταία ανάγεται στην εξίσωση sine-gordon σ s t 1 sin σ. ρ (.4) Συνοψίζοντας, αt 1 ρ cos σ, β t 1 ρ κ 1 ρ, τ σ s. sin σ, (.5) Επομένως, το γραμμικό μας σύστημα σε αυτήν την περίπτωση παίρνει την ακόλουθη μορφή 87

98 t n b t t n b s 0 1 ρ 0 1 ρ 0 σ s 0 σ s ρ cos σ 1 ρsin σ 1 ρ cos σ ρ sin σ 0 0 Συγκρίνοντας και εδώ το σύστημα.6 με την γραμμική αναπαράσταση προκύπτει η ακόλουθη αντιστοιχία ω, u, v σ, s, t, A, B, C b, n, t. t n b t n b (.7) Σε αντίθεση με την προηγούμενη περίπτωση, όπου η στρέψη ήταν σταθερή, η κινούμενη καμπύλη δεν σαρώνει την ψευδοσφαιρική επιφάνεια διότι t N t C 1 0 (.8).. Μια Γραμμική Αναπαράσταση για την Εξίσωση Sine- Gordon Μέχρι στιγμής καταλήξαμε στην εξίσωση sine-gordon με δύο τρόπους: Αρχικά οδηγηθήκαμε σε αυτήν από την συνθήκη συμβατότητας για το γραμμικό 3 3 σύστημα , το οποίο δημιουργήθηκε από τις εξισώσεις Weingarten που αντιστοιχούν σε ψευδοσφαιρικές επιφάνειες. Στη συνέχεια, φτάσαμε την εξίσωση sine-gordon ξεκινώντας από το γραμμικό 3 3 σύστημα.13, το οποίο περιγράφει την χρονική εξέλιξη της ορθοκανονικής τριάδας t, n, b μιας καμπύλη σταθερής στρέψης. Ήδη δείξαμε ότι αυτές οι δύο αναπαραστάσεις είναι ισοδύναμες. Στην ενότητα αυτή θα δούμε ότι μπορούμε να λάβουμε την εξίσωση sine-gordon ως τη συνθήκη συμβατότητας ενός γραμμικού συστήματος. Αυτό το γραμμικό σύστημα κατασκευάστηκε το 1973 από τους Ablowitz, Kaup, Newell και Segur (AKNS) και, εκτός από την εξίσωση sine-gordon, καλύπτει και αρκετές άλλες από τις κλασικές ολοκληρώσιμες μη-γραμμικές ΜΔΕ. Εδώ λοιπόν θα συνδέσουμε την γραμμική αναπαράσταση AKNS με την 3 3 γραμμική αναπαράσταση Αρχικά παρατηρούμε ότι το σύστημα είναι ισοδύναμο με το σύστημα όπου και S 0 ω u 0 ω u 0 1 ρ 0 1 ρ 0 Ψ u S Ψ,, T Ψ v T Ψ ρ sin ω ρ cos ω 1 ρ sin ω 1 ρ cos ω 0 (.9) (.30) 88

99 Ψ A 1 A A 3 B 1 B B 3 C 1 C C 3 (.31) όπου A i, B i και C i είναι οι συνιστώσες των μοναδιαίων διανυσμάτων A, B, C. Το γεγονός ότι η τριάδα A, B, C είναι ορθοκανονική και δεξιόστροφη συνεπάγεται ότι ο πίνακας Ψ είναι ειδικός (δηλαδή d e t Ψ 1) και ορθογώνιος (δηλαδή Ψ τ Ψ I). Το σύνολο αυτών των πινάκων αποτελούν μια ομάδα (Lie) με πράξη εσωτερικής σύνθεσης τον πολλαπλασιασμό, η οποία είναι γνωστή ως SO 3 (ειδική ορθογώνια ομάδα) και αποτελεί μια αναπαράσταση της ομάδας των στροφών στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο. Παραγωγίζοντας την.9 1 ως προς v, βρίσκουμε ότι Ψ u v S v Ψ S Ψ v. Αντικαθιστούμε στην τελευταία το Ψ v από την.9 κι έτσι καταλήγουμε στην Ψ u v S v Ψ S T Ψ. Ομοίως παραγωγίζονταςτην.9 ως προς u, βρίσκουμε ότι Ψ v u T u Ψ T Ψ u. Αν αντικαταστήσουμε το Ψ u από την.9 1, η.34 γίνεται Ψ v u T u Ψ T S Ψ. (.3) (.33) (.34) (.35) Συνεπώς, η συνθήκη συμβατότητας Ψ v u Ψ v u για το γραμμικό σύστημα.9 οδηγεί στην ακόλουθη εξίσωση: S v Ψ S T Ψ T u Ψ T S Ψ 0. Μάλιστα, αφού πρέπει να ισχύει για τυχαίο Ψ, η τελευταία είναι ισοδύναμη με την S v T u S, T 0, όπου η ποσότητα S, T S T T S δηλώνει τον αντιμεταθέτη των S, T. (.36) (.37) Χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία, οδηγείται τώρα κανείς στην ακόλουθη διαπίστωση: Αν ως πίνακες S, T πάρουμε τους.30, τότε η συνθήκη συμβατότητας.37 ανάγεται στην εξίσωση sine-gordon για την συνάρτηση ω. Γνωρίζουμε ότι σε μια ομάδα Lie αντιστοιχεί μια άλγεβρα Lie. Ο πολλαπλασιασμός δύο στοιχείων της άλγεβρας, δηλαδή η απεικόνιση V V V, συμβολίζεται, και ονομάζεται αγκύλη του Lie (Lie bracket). Αυτή η πράξη είναι διγραμμική, αντιμεταθετική (a, b b, a) και ικανοποιεί την ταυτότητα του Jacobi: a, b, c b, c, a c, a, b 0, a, b, c V (.38) Ειδικότερα, η άλγεβρα Lie της ομάδας των στροφών, SO3, η οποία συμβολίζεται με so3, αποτελεί έναν τρισδιάστατο διανυσματικό χώρο με βάση την τριάδα L 1, L, L 3, όπου L i, i 1,, 3, οι πίνακες 89

100 L , L , L (.39) Η αγκύλη του Lie αντιστοιχεί στον αντιμεταθέτη των αντίστοιχων πινάκων. Οι πίνακες L i, ειδικότερα, ικανοποιούν τις ακόλουθες αντιμεταθετικές σχέσεις L 1, L L 3, L, L 3 L 1, L 3, L 1 L (.40) Στην περίπτωσή μας λοιπόν, παρατηρούμε ότι οι S, T so3, διότι μπορεί να γραφούν ως εξής: S ω u L 3 1 ρ L 1, T 1 ρ cos ω L 1 1 ρ sin ω L. (.41) Για να μεταβούμε από την 3 3 αναπαράσταση των εξισώσεων Gauss-Weingarten στην αναπαράσταση AKNS θα βασιστούμε στο ότι οι άλγεβρες su και so3 είναι ισόμορφες. Ο ισομορφισμός αυτός μεταξύ αυτών των αλγεβρών Lie su και so3 αντικατοπτρίζεται στο επίπεδο των ομάδων από την ύπαρξη μιας 1 ομομορφικής απεικόνισης από την Lie ομάδα SU στην Lie ομάδα SO3. Θεωρούμε τους πίνακες όπου σ k οι πίνακες του Pauli e k σ k σ , σ 0 0, σ Οι τελευταίοι ικανοποιούν τις ακόλουθες αντιμεταθετικές σχέσεις σ 1, σ σ 3, σ, σ 3 σ 1, σ 3, σ 1 σ. (.4) (.43) (.44) Κατά συνέπεια, οι πίνακες e k παράγουν μέσω της αντιμεταθετικότητας της τριάδας e 1, e, e 3 την άλγεβρα Lie su(). Συγκρίνοντας τις σχέσεις.40 με τις.44 παρατηρούμε ότι η άλγεβρα Lie η οποία παράγεται από την αντιμεταθετικότητα της τριάδας e 1, e, e 3 είναι ισόμορφη με εκείνη που παράγεται από την τριάδα L 1, L, L 3 μέσω της αντιστοιχίας e k L k. Επομένως, εάν τα S s 1 L 1 s L s 3 L 3 και T t 1 L 1 t L t 3 L 3 είναι στοιχεία της so3, τέτοια ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη συμβατότητας.37, τότε και οι πίνακες θα ικανοποιούν την συνθήκη P s 1 e 1 s e s 3 e 3, Q t 1 e 1 t e t 3 e 3 P v Q u P, Q 0 (.45) (.46) Συμπερασματικά, η εξίσωση sine-gordon προκύπτει ως από τη συνθήκη συμβατότητας του γραμμικού συστήματος 90

101 όπου Φ u P Φ, P ω u e 3 1 ρ e 1 Φ v Q Φ Q 1 ρ cos ω e 1 1 ρ sin ω e ω u 1 ρ, 1 ρ ω u ρ 0 ω ω 0 Θεωρούμε στην συνέχεια τον μετασχηματισμό βαθμίδας όπου ο πίνακας G είναι Φ G Φ, G 1 1, Αυτός μετατρέπει το σύστημα στο ακόλουθο ισοδύναμο σύστημα: Φ u G Φ u G P Φ G P G 1 Φ ρ ω u ω u ρ Φ Φ v G Φ v G Q Φ G Q G 1 Φ Τέλος, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις ω ω, u u λ, ρ v λ v cos ω sin ω sin ω cos ω Φ. (.47) (.48) (.49) (.50) (.51) (.5) οι οποίες αφήνουν αναλλοίωτη την εξίσωση sine-gordon και ταυτόχρονα εισάγουν την πραγματική φασματική παράμετρο λ στο παραπάνω σύστημα, παράγουμε την AKNS γραμμική αναπαράσταση για την εξίσωση sine-gordon. Δηλαδή, σύμφωνα με τον παραπάνω μετασχηματισμό, έχουμε Ισοδύναμα Φ u Φ u u u Φ v v u, Φ u ρ ω u ω u ρ λ Φ, Φ v Φ v Φ u u v Φ v v v ρ Αν μετασχηματίσουμε και την ποσότητα ω u παίρνουμε ω u ω u u u ω v v u ω u λ. Τότε, το σύστημα.54 γράφεται ως εξής Φ u Ισοδύναμα Φ u 1 0 ω u ω u 0 ρ ω u λ ω u λ ρ λ Φ, Φ v λ ρ ρ cos ω sin ω Φ, Φ v λ ρ sin ω cos ω 1 λ Φ. cos ω sin ω 1 sin ω cos ω λ Φ. cos ω sin ω sin ω cos ω Φ (.53) (.54) (.55) (.56) (.57) Το τελευταίο σύστημα αποτελεί την γραμμική αναπαράσταση των AKNS για την 91

102 εξίσωση sine-gordon..3. Κίνηση Ψευδοσφαιρικών Επιφανειών Σε αυτήν την ενότητα θα μελετήσουμε κινούμενες ψευδοσφαιρικές επιφάνειες, οι οποίες σχετίζονται με σολιτονικές εξισώσεις. Θεωρούμε λοιπόν μια ψευδοσφαιρική επιφάνεια S, της οποίας η κίνηση περιγράφεται από την ομαλή διανυσματική συνάρτηση r ru, v, t, όπου u, v ασυμπτωτικές συντεταγμένες και t η παράμετρος του χρόνου. Αφού η S είναι ψευδοσφαιρική, κάθε χρονική στιγμή, t, η καμπυλότητα του Gauss είναι αρνητική και έχει την ίδια τιμή σε όλα της σημεία της επιφάνειας: K Kt 0. Θυμόμαστε ότι στο πρώτο κεφάλαιο μελετήσαμε ψευδοσφαιρικές επιφάνειες και με την βοήθεια της ορθοκανονικής βάσης A, B, C καταλήξαμε στις εξισώσεις Gauss- Weingarten στην ακόλουθη μορφή: A B C u 0 ω u 0 ω u 0 1 ρ 0 1 ρ 0 A B C A B C v ρ sin ω ρ cos ω 1 ρ sin ω 1 ρ cos ω 0 Εκείνο που θα προσθέσουμε εδώ είναι η χρονική εξάρτηση των παραμέτρων ρ ρ t και ω ωu, v, t. Συνεπώς, η χρονική εξέλιξη της τριάδας A, B, C που διατηρεί την ορθοκανονικότητα θα έχει την ακόλουθη μορφή A B C t 0 a b a 0 c b c 0 όπου οι a, b, c πραγματικές συναρτήσεις των u, v, t. A B C A B C (.58) Από την υπόθεση ότι οι συναρτήσεις που περιγράφουν την εξέλιξη της επιφάνειας S είναι ομαλές προκύπτουν οι ακόλουθες συνθήκες A t u A u t, A t v A v t, B t u B u t, B t v B v t, C t u C u t, C t v C v t. (.59) Αυτές οι συνθήκες συμβατότητας δίνουν το ακόλουθο γραμμικό, μη ομογενές σύστημα για τις συναρτήσεις a, b, c: 9

103 a b c v a b c u 0 1 ρ 0 1 ρ 0 ω u 0 ω u ρ cos ω 1 ρ sin ω 1 ρ cos ω ρ sin ω 0 0 a b c ω u 0 1 ρ t, a b c 0 1 ρ sin ω 1 ρ cos ω t Σημειώνουμε εδώ ότι, η συνθήκη συμβατότητας του τελευταίου συστήματος ταυτίζεται με την εξίσωση sine-gordon. Στην συνέχεια και με σκοπό να προσδιορίσουμε τις A t, B t και C t, συναρτήσει της τριάδας A, B, C, μας εξυπηρετεί να χρησιμοποιήσουμε και την ταχύτητα r t της επιφάνειας S. Η τελευταία είναι υποχρεωτικά της μορφής r t l A m B n C. Από την υπόθεση ότι η ru, v, t είναι ομαλή έπεται ότι r t u r u t. (.61) (.6) Υπενθυμίζουμε ότι A r u. Αρα, παραγωγίζοντας την.61 ως προς u, μπορούμε να γράψουμε την συνθήκη (.6) στη μορφή l u A l A u m u B m B u n u C n C u A t. Αντικαθιστώντας στην τελευταία τις A u, B u και C u από την σχέση 1.64, βρίσκουμε ότι (.63) A t l u A l ω u B m u B m ω u A 1 ρ C n u C n ρ B. (.64) Ισοδύναμα A t l u m ω u A l ω u m u n ρ B m ρ n u C. (.65) Ανάλογα, r t v r v t. (.66) Από την άλλη, cos ω A sin ω B r v. Παραγωγίζοντας λοιπόν την.61 ως προς v, γράφουμε την συνθήκη (.66) στη μορφή l v A l A v m v B m B v n v C n C v sin ω ω t A cos ω A t cos ω ω t B sin ω B t. (.67) Αν αντικαταστήσουμε τις A v, B v και C v από την σχέση 1.65, θα καταλήξουμε στην l v A l 1 ρ sin ω C m v B m 1 ρ cos ω C n v C n 1 ρ sin ω A 1 ρ cos ω B sin ω ω t A cos ω A t cos ω ω t B sin ω B t. (.68) Αντικαθιστώντας στην τελευταία τον τύπο (.65) για την A t και απλοποιώντας το αποτέλεσμα, βρίσκουμε ότι 93

104 B t l v cosec ω n ρ ω t l u m ω u cot ω A m v cosec ω ω t l ω u m u n ρ cot ω B l ρ n v cosec ω m ρ n u cot ω C. Τέλος, από την C AB έπεται ότι C t A t B AB t. (.70) Από αυτή τη σχέση και τις παραπάνω εκφράσεις για τις A t και B t καταλήγουμε στην C t m ρ n u A l ρ n v cosec ω m ρ n u cot ω B l u m ω u m v cosec ω ω t l ω u m u n ρ cot ω C. (.71) Στην αρχή της ενότητας απαιτήσαμε να ισχύουν οι συνθήκες.58, έτσι ώστε η τριάδα A, B, C να διατηρεί την ορθοκανονικότητα της. Ειδικότερα, θα πρέπει A t A 0, B t B 0, B t A A t B. (.7) Από τις αυτές τις συνθήκες και τις εκφράσεις που βρήκαμε παραπάνω για την χρονική παράγωγο των διανυσμάτων A, B και C αμέσως έπεται ότι l u m ω u 0 m v cosec ω ω t l ω u m u n ρ cot ω 0 (.73) l v cosec ω n ρ ω t l u m ω u cot ω l ω u m u n ρ ή l u m ω u 0 ω t l ω u m u n m v sec ω 0 ρ l v cos ω m v sin ω 0 Εναλλακτικά, σύμφωνα τις σχέσεις.58, (.74) a l ω u m u n ρ b m ρ n u (.75) c l ρ n v cosec ω m ρ n u cot ω Αυτό σημαίνει ότι οι συντελεστές a, b, c καθορίζονται από τους l, m, n. Από την άλλη, oι σχέσεις m l u, n ρ ω t l ω u m u m v sec ω ωu (.76) οι οποίες προκύπτουν από τους περιορισμούς.74, δείχνουν καθαρά ότι, οι συντελεστές 94

105 m και n καθορίζονται από τον l. Αρα, μένει να προσδιορίσουμε τον l. Αυτό είναι εφικτό με τον ακόλουθο τρόπο: Παραγωγίζουμε την.74 1 ως προς v και παίρνουμε l u v m v ω u m ω u v 0. (.77) Γνωρίζουμε όμως ότι η γωνία ω ικανοποιεί την εξίσωση sine-gordon. Συνεπώς, η.77 γίνεται l u v m v ω u m sin ω 0. ρ (.78) Ακόμη, αντικαθιστώντας την ποσότητα m v από την σχέση.74 3, καθώς επίσης και την ποσότητα m από την σχέση.74 1 έχουμε για την τελευταία l u v l v cot ω ω u 1 ρ sin ω l u ω u 0. (.79) Ισοδύναμα l u v l v cot ω ω u 1 ρ sin ω l u ω u. (.80) Αντικαθιστώντας τα a, b, c από τις σχέσεις.75 στις σχέσεις.60 θα προκύψουν επιπλέον δεσμοί για την κίνηση της επιφάνειας την οποία μελετάμε. Συγκεκριμένα, προκύπτει το ακόλουθο σύστημα n u u n u cot ω n v cosec ω ω u n ρ ρ m ω u cot ω m u, n v v n v cot ω n u cosec ω ω v n ρ sec ω m v m ω v cot ω, ρ n u v n ρ cos ω 1 sin ω. ρ t (.81) Συνοψίζοντας, εάν γνωρίζουμε τις συναρτήσεις a, b, c, δηλαδή τα A, B, C τότε οι σχέσεις.75 μας παρέχουν ένα γραμμικό μη ομογενές σύστημα για τις l, m, n. Οι τελευταίες με την σειρά τους μας δίνουν το διάνυσμα r t, δηλαδή την ταχύτητα υ της καμπύλης. Ας δούμε ένα παράδειγμα. Έστω ότι ρ 0. Τότε οι.60 ικανοποιούνται όταν οι συναρτήσεις a, b, c είναι της μορφής a, b, c ζt ρ ω u, δt sin ω, ζt δt cos ω, (.8) όπου οι ζt, δt αυθαίρετες συναρτήσεις, ενώ ταυτόχρονα ικανοποιείται και η βοηθητική γραμμική συνθήκη εξέλιξης ω t ρδt ω v ζt ω u, (.83) Συνεπώς, γνωρίζοντας τα παραπάνω μπορούμε να βρούμε λύση για τα l, m, n η οποία συνάδει με την κίνηση που εκτελεί η επιφάνεια μας, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις.81. Πιο συγκεκριμένα εδώ, παρατηρούμε ότι η τετριμένη λύση για την εξίσωση.81 3 είναι η n 0. Συνεπώς, χρησιμοποιώντας τις.75, σε συνδιασμό με τις τιμές των a, b, c από την.8, έχουμε 95

106 ζ t ρ ω u l ω u m u, δ t sin ω m, ρ ζ t δ t cos ω l m cot ω. ρ ρ (.84) Αν αντικαταστήσουμε στην συνέχεια το m από την.84 στην.84 3, τότε προκύπτει ότι ζ t δ t cos ω l δt cos ω. ρ (.85) Ισοδύναμα l ρ δt cos ω ζt. (.86) Συνοπτικά λοιπόν, l, m, n ρ δt cos ω ζt, ρ δt sin ω, 0 (.87) Η κίνηση αυτή αντιστοιχεί στην κίνηση μιας επιφάνειας η οποία έχει μηδενική μετατόπιση στην κάθετη κατεύθυνση Η Εξίσωση mkdv Σε αυτήν την υποενότητα θα συνδέσουμε την κίνηση μιας ψευδοσφαιρικής επιφάνειας με την συνεχή προσέγγιση ενός μη-αρμονικού μοντέλου πλέγματος. Για συγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων, η τελευταία οδηγεί στην εξίσωση mkdv (modifiedτροποποιημένη KdV). Ειδικότερα, ας γυρίσουμε στο παράδειγμα της προηγούμενης υποενότητας. Μια άλλη πιθανή λύση για την τριάδα των l, m, n προκύπτει ως εξής. Παρατηρούμε πως, αν θεωρήσουμε ότι n ω u, τότε η.81 3 ικανοποιείται, αφού η γωνία ω ικανοποιεί την εξίσωση sine-gordon. Όπως και στην προηγούμενη υποενότητα μπορούμε να βρούμε στην συνέχεια τα l, m από τις.75. Άρα όπου l, m, n ρ ω u 4 δt cos ω ζt, ρδt sinω ω u u, ω u ω t ρ ω u u u ρ 4 ω u 3 3 ρ ρ ζ t ω u δ t ρ ω v ω u v 1 ρ sin ω (.88) (.89) Το συζευγμένο μη γραμμικό σύστημα των εξισώσεων.89 αποτελεί την συνθήκη συμβατότητας για το σύστημα των εξισώσεων Εξαλείφουμε στην συνέχεια τον όρο ω v παραγωγίζοντας ως προς u την σχέση.89 1 : ω u t ρ ω u u u u 3 ρ 4 ω u ω u u 3 ρ ρ ζt ω u u δt ρ ω u v Αντικαθιστώντας στην τελευταία την.89, καταλήγουμε στην (.90) 96

107 ω u t ρ ω u u u u 3 ρ 4 ω u ω u u 3 ρ ρ ζt ω u u δt ρ sin ω (.91) Η σολιτονική εξίσωση.91, όταν δt 0 και ζt 3 ρ παρήχθη από τον Konno και τους συνεργάτες του ως το συνεχές όριο ενός μοντέλου κυματικής διάδοσης σε ένα μη αρμονικό πλέγμα. ρ 16 έχουμε Περιορίζοντας τις τιμές των δt, ζt έτσι ώστε δt 0, ζt 3 ρ και ω' ω u, ω' t 8 ω' u u u 1 ω' ω' u (.9) Τέλος, εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό ω' ω u, u' u, t' t, η.9 ανάγεται στην ω' t' ω' u' u' u' 6 ω' ω' u' 0 (.93) που είναι ακριβώς η εξίσωση mkdv, στην οποία αναφερθήκαμε παραπάνω. H εξίσωση mkdv, όπως και η KdV με την οποία συνδέεται μέσω του μετασχηματισμού Miura, έχει σημαντική φυσική σημασία και ειδικότερα εμφανίζεται στην θεωρία διάδοσης των κυμάτων Alfven καθώς επίσης και στην φυσική πλάσματος..3.. Το Σύστημα Weingarten Μια ακόμη κίνηση των ψευδοσφαιρικών επιφανειών, την οποία θα μελετήσουμε στην συνέχεια είναι η κάθετη κίνηση, στην οποία όμως επιτρέπουμε την εξάρτηση της καμπυλότητας του Gauss από τον χρόνο. Συνεπώς, οι εξισώσεις.74 θα μας δώσουν l, m, n 0, 0, ρ ω t. Αντικαθιστώντας τις τελευταίες στο σύστημα.81 προκύπτει ότι ω u u t ω u ω u t cot ω ω u ω v t cosec ω 1 ρ ω t ω v v t ω u ω v t cot ω ω v ω u t cosec ω 1 ρ ω t ω u v 1 ρ sin ω (.94) (.95) Σύμφωνα με τις σχέσεις.61 και.94, η ταχύτητα της κάθετης κίνησης είναι η εξής r t ρ θ t N, θ ω (.96) Επιπλέον, μετασχηματίζοντας το σύστημα.95 σε συντεταμένες καμπυλότητας x u v, y u v, προκύπτει το ακόλουθο ισοδύναμο σύστημα θ x y t θ x θ y t cot θ θ y θ x t tan θ 0, θ x t cos θ x 1 ρ 1 ρ sin θ t 1 sin θ θ y θ y t 0 θ y t 1 1 cos θ 1 θ x θ x t 0, θ x x θ y y 1 sin θ y ρ ρ t cos θ sin θ cos θ ρ (.97) Παρατηρούμε αρχικά ότι η.97 είναι συνέπεια της.97 4 και της.97 3 και αντίστροφα. Συνεπώς, μια εκ των δύο είναι περιττή και μπορεί να παραλειφθεί. 97

108 Επιπλέον, αφού η επιφάνεια S μετακινείται στην κάθετη προς αυτή κατεύθυνση, οι επιφάνειες οι οποίες σαρώνονται από τις παραμετρικές γραμμές καθώς μεταβάλλεται ο χρόνος, είναι κάθετες στην επιφάνεια S σε όλη τη διάρκεια της κίνησης. Όμως, γνωρίζουμε ότι οι γραμμές καμπυλότητας σε μια επιφάνεια είναι ορθογώνιες μεταξύ τους και συνεπώς η οικογένεια των επιφανειών, οι οποίες σαρώνονται από τις x-παραμετρικές γραμμές είναι ορθογώνια σε εκείνη η οποία σαρώνεται από τις y-παραμετρικές γραμμές. Επομένως, το σύστημα το οποίο αποτελείται από αυτές τις δύο οικογένειες μαζί με την οικογένεια της οποίας τα μέλη είναι οι ψευδοσφαιρικές επιφάνειες που σχηματίζονται κάθε χρονική στιγμή t αποτελεί ένα τριπλά ορθογώνιο σύστημα επιφανειών. Συνεπώς, το.97, δηλαδή ένα τριπλά ορθογώνιο σύστημα επιφανειών, στο οποίο τα μέλη της μιας του οικογένειας είναι ψευδοσφαιρικές επιφάνειες, καλείται σύστημα Weingarten Μετασχηματισμοί Bäcklund Στο κεφάλαιο είδαμε ότι εάν γνωρίζουμε το διάνυσμα θέσης μιας επιφάνειας S, τότε χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό Bäcklund μπορούμε να βρούμε το διάνυσμα θέσης μιας νέας ψευδοσφαιρικής επιφάνειας. Στην περίπτωση που μελετάμε, αφού η αρχική ψευδοσφαιρική επιφάνεια κινείται, τότε ο μετασχηματισμός Bäcklund θα μας δίνει μια νέα ψευδοσφαιρική επιφάνεια κάθε χρονική στιγμή t. Επιπλέον, επιδιώκουμε να βρούμε μια νέα ψευδοσφαιρική επιφάνεια για την οποία όμως διατηρούνται οι δεσμοί της κίνησης. Ειδικότερα, θα κατασκευάσουμε auto-bäcklund μετασχηματισμούς, οι οποίοι διατηρούν τους περιορισμούς της κίνησης και επίσης σχετίζονται με τις δύο τελευταίες περιπτώσεις κίνησης ψευδοσφαιρικών επιφανειών που μελετήσαμε στην προηγούμενη υποενότητα (δηλαδή το σύστημα Weingarten και τα συστήματα μη αρμονικού πλέγματος). Όπως εξηγήσαμε και στο πρώτο κεφάλαιο αυτοί οι μετασχηματισμοί μέσω του Θεωρήματος Αντιμεταθετικότητας, το οποίο αντιπροσωπεύει μια μη γραμμική αρχή υπέρθεσης, χρησιμοποιούνται για την παραγωγή νέων λύσεων. Ταυτόχρονα οι μετασχηματισμοί αυτοί επάγονται από τον μετασχηματισμό βαθμίδας, ο οποίος δρα στην γραμμική αναπαράσταση την οποία αναλύσαμε στην ενότητα.. Θα χρησιμοποιήσουμε επομένως το γραμμικό σύστημα.47, όπου τα P και Q δίνονται από τις σχέσεις.48 και για την περίπτωση που μελετάμε θα προσθέσουμε την αναπαράσταση χρονικής εξέλιξης, η οποία αντιστοιχεί στην αναπαράσταση.58. Με αυτό τον τρόπο, καταλήγουμε στο σύστημα Φ u P ω Φ Φ v Q ω Φ Φ t R ω Φ όπου πρέπει αρχικά να προσδιορίσουμε τον πίνακα R ω. (.98) Χρησιμοποιώντας τους πίνακες L 1, L, L 3, μπορούμε να γράψουμε τον πίνακα που περιγράφει την χρονική εξέλιξη της ορθοκανονικής τριάδας A, B, C στην ακόλουθη μορφή: 98

109 0 a b a 0 c b c 0 a L 3 b L c L 1 Επομένως, χρησιμοποιώντας την γνωστή αντιστοιχία e k L k έχουμε R ω 1 a b c b c a (.99) (.100) Εισάγουμε στην συνέχεια στις.98 τον μετασχηματισμό βαθμίδας Φ' H Φ και επομένως έχουμε Φ' u H u Φ H Φ u H u H 1 Φ' H P ω H 1 Φ' H u H P ω H 1 Φ', Φ' v H v Φ H Φ v H v H 1 Φ' H Q ω H 1 Φ' H v H Q ω H 1 Φ', Φ' t H t Φ H Φ t H t H 1 Φ' H R ω H 1 Φ' H t H R ω H 1 Φ'. Ισοδύναμα όπου Φ' u P' Φ', Φ' v Q' Φ', Φ' t R' Φ', P' H u H P H 1, Q' H v H Q H 1, R' H t H R H 1. (.101) (.10) (.103) Θεωρούμε έπειτα την ορθοκανονική τριάδα A', B', C'}, η οποία προκύπτει από τον μετασχηματισμό Bäcklund της επιφάνειας S στην επιφάνεια S', όπου A' r ' u, B' A'N ' και C' N ', και επομένως ισχύουν οι σχέσεις 1.78, 1.79, Εάν Ψ είναι ο πίνακας με γραμμές τα A, B, C και Ψ' ο αντίστοιχος πίνακας με γραμμές τα A', B', C', τότε προκύπτει ότι όπου Λ και φ ω ω'. Ψ' Λ Ψ 1 L ρ β sin φ L β ρ sin φ cos φ L ρ sin φ L ρ β sin φ cos φ 1 L ρ sin φ L β ρ cos φ L ρ cos φ L ρ cos φ 1 L β ρ (.104) (.105) Αφού οι πίνακες Ψ, Ψ' S O3, τότε και ο Λ S O3, δηλαδή είναι ορθογώνιος με ορίζουσα μονάδα. Γεωμετρικά, δύο δεξιοστροφες ορθοκανονικές τριάδες συνδέονται με έναν πίνακα στροφής. Γνωρίζουμε ότι οι άλγεβρες su και so3 είναι ισόμορφες. Επομένως μπορούμε να αντιστοιχίσουμε έναν πίνακα H στον πίνακα Λ. Πιο συγκεκριμένα, 99

110 H 1 β 1 1 β e φ β e φ 1 Συνοψίζοντας, έχουμε τον μετασχηματισμό βαθμίδας Φ' Hφ, β Φ,. (.106) (.107) όπου ο πίνακας H δίνεται από την σχέση.106 και δρα στην γραμμική αναπαράσταση Φ u P ω Φ, Φ v Q ω Φ, (.108) και μας δίνει Φ' u P ω' Φ', Φ' v Q ω' Φ'. (.109) Παρατηρούμε λοιπόν ότι οι πίνακες P' ω και Q' ω, οι οποίοι δίνονται από τις σχέσεις.103, μπορεί να υπολογιστούν αφού ο πίνακας H είναι πλέον γνωστός. Εύκολα επαληθεύεται ότι οι πίνακες αυτοί ταυτίζονται με τους πίνακες P και Q αν όπου ω αντικαταστήσουμε το ω'. Στην περίπτωση που μας απασχολεί έχουμε και χρονική εξέλιξη. Συνεπώς για τον πίνακα R' ω, ο οποίος δίνεται από την σχέση.103 3, έχουμε R' ω H t H 1 H R ω H 1 H t H H R ω H (.110) αφού ο πίνακας H S U. Εκτελώντας τις πράξεις που εμφανίζονται μεταξύ πινάκων, βρίσκουμε ότι R' ω 1 a' b' c' b' c a' (.111) όπου a' a β 1β βa φ t b cos φ c sin φ, b' b 1β βa φ t cos φ β sin φ β cos φb cos φ c sin φ, c' c 1β βa φ t sin φ β cos φ β sin φb cos φ c sin φ. (.11) Μπορούμε επομένως εάν γνωρίζουμε τα a, b, c για μια κινούμενη ψευδοσφαιρική επιφάνεια να βρούμε τα a', b', c'. Το Σύστημα Weingarten Στην προηγούμενη υποενότητα συναντήσαμε το σύστημα Weingarten, το οποίο περιγράφεται από τις εξισώσεις.95, όπου τα l, m, n δίνονται από την.94. Μπορούμε επομένως να βρούμε τα a, b, c από τις σχέσεις.75. Δηλαδή, a ω t, b ρ ω u t, c ρ ω v t cosec ω ω u t cot ω. (.113) Θέλουμε να ικανοποιείται η σχέση R' ω Rω'. Αν αντικαταστήσουμε τα 100

111 a, b, c από την τελευταία στην σχέση.11 1, προκύπτει ότι ω' t 1 β 1 β ω t ρ β 1 β cosec ω ω v t sin ω' ω ω u t sin ω' ω. (.114) Επιπλέον, η τελευταία σχέση μαζί με τον μετασχηματισμό Bäcklund 1.11 και τις υπόλοιπες σχέσεις από το σύστημα Weingarten.95,3, συνεπάγονται ότι οι σχέσεις.113,3 ικανοποιούνται εάν β β ρ ρ β 1 β 1. Η τελευταία μπορεί πολύ εύκολα να ολοκληρωθεί. Γράφοντάς την στη μορφή συμπεραίνουμε ότι β 1 1 ββ 1 β ρ ρ β 1 β ρ c, όπου c αυθαίρετη μη μηδενική σταθερά ολοκλήρωσης. Ισοδύναμα β ρ c β 1 0. Τελικά λοιπόν η παράμετρος β δίνεται από την παρακάτω σχέση (.115) (.116) (.117) (.118) βt k ρt1 1 1 k ρ t, (.119) όπου k c. Παρατηρούμε ότι η σχέση.119 προσδιορίζει την παράμετρο β του μετασχηματισμού Bäcklund σε κάθε χρονική στιγμή t, όταν φυσικά η καμπυλότητα του Gauss είναι K 1 ρ t 0. Επιπλέον, εάν θέσουμε k 1 L παρατηρούμε ότι η σχέση.119 ταυτίζεται με την σχέση 1.76 του πρώτου κεφαλαίου. Συνοψίζοντας, έχουμε τον ακόλουθο μετασχηματισμό Bäcklund για το σύστημα Weingarten: Θεώρημα: Το σύστημα Weingarten: ω u u t ω u ω u t cot ω ω u ω v t cosec ω 1 ρ ω t, ω v v t ω u ω v t cot ω ω v ω u t cosec ω 1 ρ ω t, ω u v 1 ρ sin ω. είναι αναλλοίωτο ως προς τον μετασχηματισμό Bäcklund: (.10) 101

112 ω' t 1β 1β ω t ρ β ω' u ω u β ρ ω' v ω v β ρ sin ω'ω ω'ω sin 1β cosec ω ω v t sin ω'ω ω u t sin ω'ω όπου, K 1 ρ t και η παράμετρος β βt σχετίζεται με την συνάρτηση ρt μέσω της σχέσης βt k ρt1 1 1 k ρ t. (.1) Θυμίζουμε σε αυτό το σημείο ότι έχουμε ήδη ανακαλύψει τις δύο πρώτες σχέσεις του μετασχηματισμού Bäcklund.11 στο πρώτο κεφάλαιο και στην μελέτη ψευδοσφαιρικών επιφανειών. Ένα Σύστημα μη Αρμονικού Πλέγματος Προηγουμένως καταλήξαμε στον μετασχηματισμό Bäcklund για το σύστημα Weingarten. Με όμοιο τρόπο το σύστημα.89, αλλά και οι l, m, n οι οποίες δίνονται από την.88, αν θέσουμε ζ 3 ρ, θα δώσουν και l, m, n ρ ω u 3 δt cos ω 4 ρ, ρδt sinω ω u u, ω u, ω t ρ ω u u u ρ 4 ω u 3 δ t ρ ω v, ω u v 1 ρ sin ω. Μπορούμε λοιπόν να προσδιορίσουμε τις a, b, c από τις σχέσεις.75. Συνεπώς a ω u ρ ω t δ ρ ω v, b ω u u c ω u 4 1 ρ δ sin ω, δ cos ω, (.13) (.14) (.15) όπου β ρ 0. Όπως λοιπόν και πριν, θα πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη R' ω Rω'. Αντικαθιστώντας τις a, b, c από τις.15 στην.11 1 προκύπτει ότι ω' t ω t β ρ ω u β ω u u cos ω' ω δ ρ ω v ρ β ω u β3 sin ω' ω ρ sin ω' ω καθώς επίσης και οι σχέσεις 1.11 που δίνουν τον μετασχηματισμό Bäcklund. Θεώρημα: Συνοψίζοντας επομένως, έχουμε το ακόλουθο θεώρημα:, (.16) 10

113 Το σύστημα ω t ρ ω u u u ρ 4 ω u 3 δ t ρ ω v, ω u v 1 ρ sin ω, είναι αναλλοίωτο ως προς τον μετασχηματισμό Bäcklund: ω' u ω u β ρ ω' v ω v β ρ ω' t ω t β ρ ω u β ω u u cos ω'ω δ ρ ω v ρ ω'ω sin, ω'ω sin, β ω u β3 ρ ω'ω sin, ω'ω sin (.17) (.18) όπου β ρ 0. Παρατηρούμε ότι τα χωρικά μέρη των παραπάνω μετασχηματισμών Bäcklund συμφωνούν με τις σχέσεις 1.11 που δίνουν τον μετασχηματισμό Bäcklund για την κλασική εξίσωση sine-gordon. Θα μπορούσαμε επομένως να εφαρμόσουμε και στα δύο παραπάνω συστήματα το θεώρημα αντιμεταθετικότητας Πράγματι, αυτή η μη γραμμική αρχή υπέρθεσης μπορεί να εφαρμοστεί σε όλα τα ολοκληρώσιμα συστήματα, τα οποία είναι συμβατά με την κλασική εξίσωση sine-gordon, με την προϋπόθεση ότι προέρχονται από επιτρεπτές κινήσεις ψευδοσφαιρικών επιφανειών. Ειδικότερα, για το σύστημα Weingarten, το θεώρημα αντιμεταθετικότητας συνεπάγεται οι χρονικά εξαρτώμενες πλέον παράμετροι του μετασχηματισμού Bäcklund δίνονται από τον τύπο β i t k i ρt1 1 1 k i ρ t. (.19) H Εξίσωση Potential mkdv Επιστρέφουμε στο σύστημα.89 και θέτουμε επιπλέον δ 0. Ετσι, προκύπτει το σύστημα ω t ρ ω u u u ρ 4 ω u 3, ω u v 1 ρ sin ω. Η πρώτη από τις τελευταίες καλείται εξίσωση potential mkdv. Επιπλέον, οι σχέσεις.18 1,3 δίνουν ω' u ω u β ρ ω' t ω t β ρ ω u β ω u u cos ω'ω ω'ω sin, β ω u β3 ρ ω'ω sin. (.130) (.131) Δηλαδή τον μετασχηματισμό Bäcklund για την εξίσωση potential mkdv. Πολυ-σολιτονικές λύσεις για την εξίσωση αυτή κατασκευάζονται ξανά μέσω του 103

114 θεωρήματος αντιμεταθετικότητας. Οι σχέσεις.88 για δ 0 γίνονται l, m, n ρ ω u 4 3 ρ, ρ ω u u, ω u. (.13) Συνεπώς, σύμφωνα με την σχέση.61, το διάνυσμα της ταχύτητας γι αυτήν την ψευδοσφαιρική επιφάνεια θα είναι υ r t ρ ω u 4 3 ρ A ρ ω u u B ω u C. (.133).4. Η Εξίσωση mkdv-ένα Σολιτονικό Σύστημα Weingarten Σε αυτήν την ενότητα θα δείξουμε αρχικά ότι η εξίσωση mkdv παράγεται μέσω της κίνησης μιας μη εκτατής καμπύλης μηδενικής στρέψης. Στην συνέχεια θα κατασκευάσουμε σολιτονικές επιφάνειες οι οποίες σχετίζονται με την εξίσωση mkdv καθώς επίσης και με το σύστημα Weingarten Η Εξίσωση mkdv Όπως προαναφέραμε στην υποενότητα αυτήν θα μελετήσουμε την κίνηση μιας καμπύλης μηδενικής στρέψης. Για την μελέτη αυτή επιστρέφουμε στην αρχή του κεφαλαίου και πιο συγκεκριμένα στο σύστημα.1. το οποίο δίνει τις σχέσεις Serret-Frenet αλλά και την χρονική εξέλιξη της ορθοκανονικής τριάδας t, n, b. Επιπλέον, θυμίζουμε ότι οι συνθήκη συμβατότητας του τελευταίου είναι το σύστημα.3. Θεωρούμε ως διάνυσμα της ταχύτητας μιας κινούμενης καμπύλης C το ακόλουθο υ r t λ t μ n ν b. Παραγωγίζοντας την τελευταία ως προς s έχουμε: r t s λ s t λ ts μ s n μ n s ν s b ν b s. (.134) (.135) Αντικαθιστούμε τις ποσότητες ts, n s και b s από το σύστημα.1 στην.135, η οποία γίνεται r t s λ s t λ κ n μ s n μτ b κ t ν s b ν τ n. (.136) Ισοδύναμα r t s λ s μ κ t λ κ μ s ν τ n μ τ ν s b. (.137) Επιπλέον, θυμίζουμε ότι στο πρώτο κεφάλαιο είχαμε r u A. Χρησιμοποιούμε τώρα την αντιστοιχία που σημειώσαμε στην υποενότητα.1.1, δηλαδή Σύμφωνα με την αντιστοιχία αυτήν, έχουμε r s t ω, u, v σ, s, t, A, B, C t, n, b. (.138) Παραγωγίζουμε την τελευταία ως προς t και αντικαθιστούμε την ποσότητα t t που 104

115 προκύπτει από την σχέση (.) t r s t tt α n β b. (.139) Επομένως, επιβάλλοντας την συνθήκη συμβατότητας r s t r t s, προκύπτει ότι λ s μ κ t λ κ μ s ν τ n μ τ ν s b α n β b (.140) Ισοδύναμα λ s μ κ 0, λ κ μ s ν τ α, μ τ ν s β. (.141) Στην συνέχεια επιχειρούμε να εκφράσουμε την χρονική εξέλιξη της καμπυλότητας κ και της στρέψης τ της καμπύλης C, με όρους τους συντελεστές της ταχύτητας λ, μ, ν. Αντικαθιστώντας επομένως τις.141,3 στις.3 1,3 έχουμε ή λ κ μ s ν τ s κ t μ τ ν s τ, γ s τ t κ μ τ ν s. κ t λ κ μ s ν τ s μ τ ν s τ, τ t γ s κ μ τ ν s. (.14) (.143) όπου η ποσότητα γ προσδιορίζεται ως εξής: αντικαθιστούμε στην.3 τις ποσότητες α και β από τις σχέσεις.141 και.141 3, αντίστοιχα. Δηλαδή Ισοδύναμα μ τ ν s s κ γ τ λ κ μ s ν τ. γ 1 κ μ τ ν s s τ λ κ μ s ν τ. (.144) (.145) Περιορίζουμε την κίνηση της μη εκτατής καμπύλης έτσι ώστε η στρέψη της να είναι μηδέν και μ κ s. Επομένως, η σχέση γίνεται λ s κ s κ. Η τελευταία αμέσως ολοκληρώνεται και δίνει λ κ c 1t, όπου c 1 t τυχαία συνάρτηση του χρόνου. Αν θέσουμε c 1 t 0, τότε (.146) (.147) λ κ. (.148) Σύμφωνα με τον παραπάνω περιορισμό για την καμπύλη που μελετάμε (δηλαδή τ 0 και μ κ s ), οι υπόλοιπες από τις σχέσεις.141 γίνονται α κ3 κ s s, β ν s, (.149) Απομένει να προσδιορίσουμε την ποσότητα γ. Επομένως, η σχέση.145 γίνεται γ 1 κ ν s s. (.150) Συνοψίζοντας λοιπόν έχουμε 105

116 ενώ α, β, γ κ3 κ s s, ν s, 1 κ ν s s, (.151) λ, μ, ν κ Τέλος, η σχέση θα μας δώσει, κ s, ν. (.15) Ισοδύναμα κ t κ3 κ s s (.153) κ t κ s s 3 κ κ s 0 (.154) Η σχέση.154 δείχνει ότι η καμπυλότητα της καμπύλης C ικανοποιεί την εξίσωση mkdv. Ακόμη, η.143 θέτει τον εξής περιορισμό 0 1 κ ν s s s κ ν s, (.155) ή ν s s κ κ ν s. s.4.. Η Κίνηση της Επιφάνειας Dini (.156) Σε αυτήν την υποενότητα θα κατασκευάσουμε επιφάνειες, οι οποίες σχετίζονται με σολιτονικές λύσεις της εξίσωσης potential mkdv. Στο τέλος της προηγούμενης ενότητας είδαμε ότι για δ 0 το σύστημα.89 και ειδικότερα η πρώτη εξίσωση είναι η εξίσωση potential mkdv. Συνεπώς, για να κατασκευάσουμε μια ψευδοσφαιρική επιφάνεια της οποίας η κίνηση να είναι σε συμφωνία με την potential mkdv, θα χρησιμοποιήσουμε την λύση του συστήματος.130, το οποίο θυμίζουμε ότι είναι το ακόλουθο ω t ρ ω u u u ρ 4 ω u 3, ω u v 1 sin ω. ρ Επιπλέον επιστρέφουμε στην ενότητα.3 και στην σχέση.89 η οποία για δt 0, ζt 3 ρ και ω' ω u μας δίνει ω' t ρ ω' u u u 3 ρ 4 ω' ω' u. (.157) Αν εφαρμόσουμε και τον μετασχηματισμό u' u, t' t, τότε η.157 ανάγεται στην τροποποιημένη KdV εξίσωση. Δηλαδή, 106

117 ω' t' ρ 16 ω' u' u' u' 3 ρ 8 ω' ω' u' 0. (.158) Αναζητούμε το διάνυσμα θέσης r r u, v, t για την κινούμενη ψευδοσφαιρική επιφάνεια. Η ορθοκανονική βάση A, B, C σύμφωνα με τον μετασχηματισμό που αναφέρουμε παραπάνω θα είναι A B C v A B C u' 0 ω' 0 ω' 0 1 ρ 0 1 ρ ρ sin ω ρ cos ω 1 ρ sin ω 1 ρ cos ω 0 A B C, A B C (.159) Επιπλέον, η χρονική εξέλιξη, η οποία δίνεται από την σχέση.58 μετασχηματίζεται ως εξής A B C t' 0 a b a 0 c b c 0 A B C (.160) Τα a, b, c που εμφανίζονται στο παραπάνω σύστημα δίνονται από τις σχέσεις.15 για δ 0 και εάν ταυτόχρονα εφαρμόσουμε σε αυτές τον μετασχηματισμό που αναφέρουμε παραπάνω θα πάρουμε a ω' ρ ω t, b ω' u' 4, c ω' 1 4 ρ (.161) Αν ακόμη αντικαταστήσουμε την ποσότητα ω t, η οποία εμφανίζεται στην από την σχέση.130 1, έχουμε a ω' ρ ρ ω u u u ρ 4 ω u 3. (.16) Εφαρμόζουμε και στην τελευταία τον παραπάνω μετασχηματισμό και παίρνουμε a ω' ρ ρ 8 ω' u' u' ρ 4 ω'3 Γ (.163) Συνοψίζοντας λοιπόν, a, b, c ω' ρ ρ 8 ω' u' u' ρ 4 ω'3, ω' u' 4, ω' 4 1 ρ. (.164) Επομένως, αφού προσδιορίσαμε τα a, b, c, τότε η.160 γίνεται 107

118 A B C t' 0 Γ ω' u' 4 Γ 0 ω' 4 ω' u' 4 ω' 4 1 ρ 0 1 ρ Θεωρούμε στην συνέχεια την μονοσολιτονική λύση της εξίσωσης.130, την οποία βρήκαμε στο πρώτο κεφάλαιο. Δηλαδή, όπου ω 4 arctanexp χ, A B C (.166) χ 1 ρ β u v β ξ. (.167) Σημειώνουμε εδώ ότι ρ β 0, όμως η ξ μπορεί να εξαρτάται από τον χρόνο t. Στην συνέχεια θα υπολογίσουμε τις απαιτούμενες μερικές παραγώγους της.166, ώστε να τις αντικαταστήσουμε στην εξίσωση Δηλαδή, και ω t ω u 4 χ 1 χ ξ 4 χ β 1 χ ρ. Παραγωγίζουμε μια φορά ακόμη ως προς u και βρίσκουμε ότι ω u u 4 β ρ χ 3 χ 1 χ. Παραγωγίζοντας ξανά ως προς u, προκύπτει ότι ω u u u 4 β3 ρ 3 χ 6 3 χ 5 χ 1 χ 3. (.168) (.169) (.170) (.171) Αντικαθιστώντας τις παραπάνω μερικές παραγώγους στην εξίσωση.130 1, καταλήγουμε στην ξ β3 ρ. Η τελευταία ολοκληρώνεται και μας δίνει ξ β3 ρ t ε, όπου ε αυθαίρετη σταθερά ολοκλήρωσης. Επομένως, αντικαθιστώντας την τελευταία στην.167, έχουμε (.17) (.173) 108

119 χ 1 ρ β u v β β3 ρ t ε. (.174) Θυμίζουμε σε αυτό το σημείο ότι, το διάνυσμα θέσης μιας ψευδοσφαιρικής επιφάνειας η οποία αντιστοιχεί στην μονοσολιτονική λύση της εξίσωσης sine-gordon δίνεται από το διάνυσμα θέσης 1.8 σε συντεταγμένες καμπυλότητας. Συνεπώς, λαβαίνοντας υπόψη ότι sin ζ β 1 β (κεφάλαιο 1), έχουμε r u, v, t ρ β uv 1β sech χ cos ρ ρ β uv 1β sech χ sin ρ u v ρ β 1β tanh χ (.175) όπου το χ δίνεται από την σχέση.174. Επομένως το παραπάνω διάνυσμα θέσης αντιπροσωπεύει μια κινούμενη επιφάνεια Dini. Θυμίζουμε ότι ζητάμε το διάνυσμα r r u, v, t το οποίο ικανοποιεί την απαραίτητη συνθήκη για την ταχύτητα. Δηλαδή, από τις σχέσεις.88, το διάνυσμα της ταχύτητας.61 γίνεται r t ρ ω u 4 3 ρ A ρ ω u u B ω u C. Το διάνυσμα θέσης που αναζητούμε μπορεί να γραφεί στη μορφή r Rt r s t, (.176) (.177) όπου ο πίνακας Rt αντιπροσωπεύει μια στροφή και το διάνυσμα s t μια μετατόπιση. Παραγωγίζοντας την τελευταία ως προς τον χρόνο t θα πάρουμε r t R t r Rt rt s t. (.178) Αντικαθιστούμε την.176 στην τελευταία, η οποία γίνεται ή ρ ω u 4 3 ρ A ρ ω u u B ω u C R t r Rt r t s t, R t r s t Rtρ ω u 4 3 ρ A ρ ω u u B ω u C r t, (.179) (.180) Παραγωγίζοντας στην συνέχεια το διάνυσμα.175 ως προς το χρόνο t και αντικαθιστώντας στην τελευταία παίρνουμε R t r s t Rt β ρ1β β ρ1β sech χ sin uv ρ sech χ cos uv ρ 3 ρ. (.181) 109

120 Ισοδύναμα Επομένως, R t r s t Rt R t Rt 0 1 ρ 0 1 ρ ρ 0 1 ρ r ρ 1 ρ Rt L 3, s t ρ (.18) (.183) Ένας πίνακας στροφής, ο οποίος ικανοποιεί το παραπάνω σύστημα διαφορικών εξισώσεων είναι ο ακόλουθος Rt Ακόμη η.183 ολοκληρώνεται και δίνει cos t ρ sin t ρ 0 sin t ρ cos t ρ s t 0 3 t ρ.. (.184) (.185) Αντικαθιστώντας τις δύο τελευταίες καθώς και την σχέση.175 στην σχέση.177 έχουμε το ακόλουθο διάνυσμα θέσης για την κινούμενη επιφάνεια Dini, η οποία συνδέεται με την μονο-σολιτονική λύση του συστήματος.130 r u, v, t ρ β uv 1β sech χ cos t ρ ρ ρ β uv 1β sech χ sin t ρ ρ u v ρ β 1β tanh χ 3 t ρ. (.186) Σημειώνουμε εδώ ότι εάν στο διάνυσμα θέσης θεωρήσουμε v σταθερό τότε θα πάρουμε το διάνυσμα θέσης το οποίο συνδέεται με την μονο-σολιτονική λύση της εξίσωσης potential mkdv (εξίσωση ). Παρουσιάζουμε τέλος μια τέτοια σολιτονική επιφάνεια για τις ακόλουθες τιμές των παραμέτρων ρ 1, β 1, ξ 0 και v

121 Εικόνα.1: Μια μονο-σολιτονική potential mkdv Επιφάνεια Ένα Τριπλά Ορθογώνιο Σύστημα Weingarten Στην υποενότητα αυτήν θα κατασκευάσουμε μια λύση για το σύστημα Weingarten.95, η οποία συνδέεται με την μονο-σολιτονική λύση της εξίσωσης sine-gordon που δίνεται από τις σχέσεις.166 και.167. Γνωρίζουμε ήδη ότι αντικαθιστώντας την σχέση.166 σε μια εκ των.95 1, τότε προκύπτει η σχέση.1, η οποία θυμίζουμε ότι είναι η εξής βt k ρt1 1 1 k ρ t Επομένως, η σχέση.167 σύμφωνα με την τελευταία θα γίνει χ 1 ρt k ρt k ρ t u k ρt 1 v 1 1 k ρ t ξ (.187) Σύμφωνα με το πρώτο κεφάλαιο και πιο συγκεκριμένα την σχέση 1.76 με k 1 L, χ k 1 Ισοδύναμα 1 1 k ρ v t u ξ 1 ρt k ρt k ρ t 1 (.188) 111

122 χ ku v u v 1 1 k ρ t ξ. (.189) Επιπλέον, το διάνυσμα θέσης της μονο-σολιτονικής επιφάνειας για την εξίσωση sine-gordon σύμφωνα με την σχέση 1.8 γράφεται ως εξής Διότι, r u, v, t 1 k 1 k sech χ cos uv ρt sech χ sin uv ρt u v 1 k tanh χ. (.190) ή ή Ισοδύναμα ρt β 1 β ρt k ρt1 1 1 k ρ t 1 k ρt1 1 1 k ρ t β ρt 1 β k ρ t1 1 1 k ρ t 1 k ρ t1 1 1 k ρ t 1 1 k ρ t β ρt 1 β k ρ t1 1 1 k ρ t 1 k ρ t 1 k ρ t 1 1 k ρ t (.191) (.19) (.193) ρt β 1 β k ρ t1 1 1 k ρ t k ρ t1 1 1 k ρ t 1 k. (.194) Στην συνέχεια θα υπολογίσουμε το διάνυσμα θέσης r r u, v, t το οποίο ικανοποιεί την ακόλουθη συνθήκη για την ταχύτητα r t ρ θ t N ρ ω t N. Όπως και στην προηγούμενη υποενότητα θεωρούμε το διάνυσμα r Rt r s t. (.195) (.196) Αν όμως ξ 0, τότε μπορούμε να πάρουμε r r. Επιπλέον αν χρησιμοποιήσουμε συντεταγμένες καμπυλότητας, δηλαδή x u v, y u v, τότε το διάνυσμα θέσης μετασχηματίζεται ως εξής (.197) 11

123 r u, v, t όπου σύμφωνα με την.189 έχουμε 1 k 1 k sech χ cos y ρt sech χ sin y ρt x 1 k tanh χ, χ kx y 1 1 k ρ t ξ, ξ σταθερά. (.199) Το παραπάνω διάνυσμα θέσης αντιστοιχεί στην μονο-σολιτονική λύση του συστήματος Weingarten.95. Οι επιφάνειες για t σταθερό είναι ψευδοσφαιρικές επιφάνειες τύπου Dini. Μπορούμε στην συνέχεια να εφαρμόσουμε στην μονο-σολιτονική λύση την μη γραμμική αρχή της υπέρθεσης, την οποία συναντήσαμε στο πρώτο κεφάλαιο. Επομένως, μπορούμε να πάρουμε τριπλά ορθογώνια συστήματα τα οποία αντιστοιχούν σε πολυ-σολιτονικές λύσεις του συστήματος Weingarten. Αυτές οι N σολιτονικές λύσεις αντιπροσωπεύουν μια μη γραμμική αρχή υπέρθεσης για τις μονο-σολιτονικές λύσεις.166, όπου το χ δίνεται από την.199. Το τριπλά ορθογώνιο σύστημα αποτελείται από δύο οικογένειες επιφανειών Dini (y σταθερά, t σταθερά και μια οικογένεια σφαιρών x σταθερά με διάνυσμα θέσης το ακόλουθο r u, v, t sech x y t cos y t sech x y t sin y t x tanh x y t. (.00) Εικόνα.: Ένα τριπλά ορθογώνιο σύστημα Weingarten. 113

124 114

125 Β.3. Η Μη-Γραμμική Εξίσωση Schrödinger (NLS) 3.1. Σύνδεση της Εξίσωσης NLS με την Κίνηση στην Διεύθυνση της Δεύτερης Καθέτου Η Μετατόπιση ενός Νήματος Δίνης - Οι Επιφάνειες Hasimoto Σε αυτήν την ενότητα θα καταλήξουμε στην εξίσωση NLS με έναν καθαρά γεωμετρικό τρόπο, ο οποίος όμως σχετίζεται με την τρισδιάστατη κίνησης μιας δίνης (vortex) σε ρευστό μηδενικού ιξώδους, όπως έδειξε ο Hasimoto. Πιο συγκεκριμένα, θα μελετήσουμε την κίνηση μιας απομονωμένης καμπύλης, η οποία καλείται νήμα δίνης (vortex filament), και η οποία διαδίδεται χωρίς να εκτείνεται. Το νήμα δίνης είναι μια καμπύλη με την ιδιότητα το διάνυσμα του στροβιλισμού των ταχυτήτων (vorticity) να είναι εφαπτόμενο σε κάθε σημείο της. Συνεπώς, αν r r s, t είναι το διάνυσμα θέσης του νήματος δίνης και υ r t η ταχύτητα της καμπύλης, τότε υ r t κ b (3.1) όπου κ η καμπυλότητα και b το δεύτερο κάθετο διάνυσμα. Δηλαδή, θεωρούμε ότι η καμπύλη διαδίδεται κατά την διεύθυνση του δεύτερου κάθετου διανύσματος. Με βάση λοιπόν τον συμβολισμό της ενότητας.4, όπου r t λ t μ n ν b, (3.) η παραπάνω υπόθεση συνεπάγεται ότι λ, μ, ν 0, 0, κ. (3.3) Επομένως το σύστημα των εξισώσεων.141, θα μας δώσει λ s μ κ 0, λ κ μ s ν τ α, μ τ ν s β, α κ τ, β κ s. (3.4) Επιπλέον οι συνθήκες συμβατότητας.3 και ειδικότερα η.3 θα μας δώσει β s κ γ τ α 115

126 κ s s κ γ τ κ. (3.5) Ισοδύναμα γ κ s s τ κ. κ Τέλος, οι εξισώσεις εξέλιξης για την καμπυλότητα και την στρέψη.143 κ t λ κ μ s ν τ s μ τ ν s τ, τ t γ s κ μ τ ν s. (3.6) δίνουν κ t κ τ s κ s τ τ t γ s κ κ s (3.7) ή κ t κ s τ κ τ s, τ t τ κ s s κ κ s. Οι συζευγμένες μη-γραμμικές εξισώσεις 3.8 αποτελούν το σύστημα Da Rios. Εισάγουμε στην συνέχεια τον μετασχηματισμό του Hasimoto q κ σ (3.8) (3.9) όπου s σ τξ, t ξ. s0 Παραγωγίζοντας την 3.9 ως προς s, βρίσκουμε ότι q s κ s σ σ s κ σ Παραγωγίζοντας ξανά ως προς s, καταλήγουμε στην q s s κ s s σ σ s κ s σ σ s s κ σ σ s κ σ Από την 3.10 έχουμε ότι σ s τs, t σ s s τ s s, t Συνεπώς, η 3.1 θα γίνει q s s κ s s τ κ s τ s κ τ κ σ (3.10) (3.11) (3.1) (3.13) (3.14) Επιστρέφουμε στην 3.9 και βρίσκουμε την παράγωγο ως προς την μεταβλητή t: q t κ t σ σ t κ σ (3.15) Από την 3.10 έπεται ότι σ t t s 0 s τξ, t ξ (3.16) Αφού η τ είναι φραγμένη, το τελευταίο ολοκλήρωμα συγκλίνει ομοιόμορφα. Κατά συνέπεια, 116

127 σ t s0 s τt ξ, t ξ (3.17) Αντικαθιστώντας την ποσότητα τ t από την σχέση 3.8 θα πάρουμε ή όπου σ t s0 s τ κ s s κ κ s ξ σ t τ κ s s κ κ Tt Tt τ κ s s κ κ s0 (3.18) (3.19) (3.0) Συνεπώς, αντικαθιστώντας αυτή την έκφραση για την Tt στην 3.15, παίρνουμε q t κ t κ τ κ s s κ κ σ Tt Από την άλλη, αντικαθιστώντας την σχέση στην τελευταία έχουμε (3.1) Ισοδύναμα q t κ s τ κ τ s κ τ κ s s κ κ σ Tt (3.) Επιπλέον q t κ s τ κ τ s κ τ κ s s κ3 σ κ Tt q q κ σ κ κ 3 σ. Με βάση αυτή τη σχέση και τις 3.9, 3.14, η (3.3) γίνεται q t q s s q q Tt q Σ αυτό το σημείο εισάγουμε την συνάρτηση q, θέτοντας q q 0 t Tt t Παραγωγίζουμε αρχικά ως προς το t και βρίσκουμε ότι q t q t 0 t Tt t q 0 t Tt t Tt Στην συνέχεια παραγωγίζουμε δύο φορές ως προς την μεταβλητή s. Δηλαδή ενώ q s s q s s 0 t Tt t q q (3.3) (3.4) (3.5) (3.6) (3.7) (3.8) (3.9) 117

128 Σύμφωνα με όλα τα παραπάνω και ειδικότερα αντικαθιστώντας τις 3.6, 3.7 και 3.8 στην 3.5 θα πάρουμε q t q Tt q s s q q q Tt (3.30) Ισοδύναμα (3.31) q t q s s 1 q q 0 (3.3) Η τελευταία αποτελεί την περίφημη εξίσωση NLS. Παρατηρούμε ότι, σύμφωνα με τις σχέσεις.1., αν Tt 0, τότε t s κ n t t α n β b n s τ b κ t, n t α t γ b b s τ n b t β t γ n όπου τα α, β, γ δίνονται από τις σχέσεις Συνεπώς, η εξίσωση 3.3 δέχεται την ακόλουθη γραμμική αναπαράσταση. t s κ n n s τ b κ t b s τ n, t t κ τ n κ s b n t κ τ t κ s s κ b t κ s t κ s s κ τ b τ n Οι τελευταίες γράφονται με την μορφή πινάκων, ως εξής: t 0 κ 0 t n κ 0 τ n b s 0 τ 0 b t n b t 0 κ τ κ s κ τ 0 κ s κs s κ κ s s κ τ 0 τ t n b (3.33) (3.34) Η επιφάνεια η οποία σαρώνεται από μια καμπύλη η οποία κινείται κατά την διεύθυνση του διανύσματος της δεύτερης καθέτου, της μορφής 3.1 καλείται επιφάνεια Hasimoto ή επιφάνεια NLS Η Μονο-Σολιτονική Επιφάνεια NLS Στην υποενότητα αυτήν θα μελετήσουμε κυματικές λύσεις της εξίσωσης NLS. Πιο συγκεκριμένα, η κυματική λύση που αναζητούμε αντιστοιχεί στην διάδοση ενός μοναχικού κύματος, το οποίο διαδίδεται με σταθερή ταχύτητα c κατά μήκος του νήματος της δίνης. Θα υποθέσουμε ότι, ασυμπτωτικά, δηλαδή καθώς η παράμετρος s, η καμπύλη μας (δηλαδή το νήμα της δίνης) γίνεται μια ευθεία γραμμή. Αυτό σημαίνει ότι 118

129 κ 0 καθώς το s. (3.35) Με κυματική λύση του συστήματος των εξισώσεων εξέλιξης 3.8, εννοούμε μια λύση της μορφής κ κξ και τ τξ, όπου ξ s c t, c σταθ. Σύμφωνα με την τελευταία υπόθεση οι 3.8 θα γίνουν c κ' κ' τ κ τ', c τ' τ κ'' κ κ '. Ολοκληρώνοντας την πρώτη από τις 3.36, παίρνουμε Ισοδύναμα ή 1 c τ τ 1 κ κ ln c τ ln κ c 1 c τ κ c 1. Εφαρμόζοντας την συνθήκη 3.35 στην τελευταία παίρνουμε Επομένως, η 3.39 γίνεται c 1 0 c τ κ 0 Παραλείποντας την τετριμμένη λύση κ 0, συμπεραίνουμε ότι, (3.36) (3.37) (3.38) (3.39) (3.40) (3.41) τ c τ 0 (3.4) Αυτό σημαίνει ότι, η στρέψη είναι σταθερή κατά μήκος του νήματος της δίνης και η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι διπλάσια της στρέψης. Απομένει να λύσουμε την 3.36 για την οποία θεωρούμε ότι κ'' κ 0. Επομένως χρησιμοποιώντας και την 3.4 θα πάρουμε 0 κ'' κ κ Ολοκληρώνοντας και λαβαίνοντας υπόψη τη συνθήκη κ'' κ 0, καταλήγουμε στην ή κ'' κ κ ε, κ'' κ3 ε κ 0, ' (3.43) (3.44) (3.45) όπου ε αυθαίρετη σταθερά. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι ε 0. Η εξίσωση 3.45 αποτελεί μια συνήθη μη γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης, η οποία λύνεται ως εξής: Αρχικά πολλαπλασιάζουμε με κ' και τα δύο μέλη της 119

130 εξίσωσης, για να πάρουμε κ'' κ' κ3 (3.46) κ' ε κ κ' 0 Αυτή ολοκληρώνεται αμέσως για να δώσει κ' 1 κ 4 κ ε 4 Α (3.47) όπου Α τυχαία σταθερή. Ομως, από τη συνθήκη 3.35 αμέσως έπεται ότι Α 0. Συνεπώς, κ' κ κ ε (3.48) Μπορούμε επομένως να ολοκληρώσουμε ξανά την τελευταία Ισοδύναμα 1 κ ε κ κ ξ 1 ε arcsech κ ε ξ Β (3.49) (3.50) όπου B τυχαία σταθερή, την οποία μπορούμε να θέσουμε μηδέν, χωρίς βλάβη της γενικότητας. Τελικά, λύνουμε την 3.50 ως προς την καμπυλότητα κ, δηλαδή κξ ε sech ε ξ (3.51) αφού σημειώσουμε ότι το πρόσημο είναι περιττό μιας και η συνάρτηση sech ε ξ είναι άρτια. Ακόμη Επομένως, η συνάρτηση q σύμφωνα με την σχέση 3.9 έχουμε q ε sech ε ξ σ (3.5) 3.10 σ s0 s τ0 ξ τ 0 s s 0 (3.53) Επομένως αντικαθιστώντας την τελευταία στην 3.5 έχουμε q ε sech ε ξ τ 0 ss 0 (3.54) Αντικαθιστώντας και το ξ θα πάρουμε q ε sech ε s c t τ 0 ss 0 (3.55) Τέλος, αντικαθιστούμε το c από την σχέση 3.4, άρα q ε sech ε s τ 0 t τ 0 ss 0 (3.56) Η τελευταία αποτελεί λύση της εξίσωσης 3.5 όπου Tt τ 0 ε σύμφωνα με την σχέση 3.0. Η μονο-σολιτονική λύση της NLS εξίσωσης 3.3 είναι η ακόλουθη 10

131 q ε sech ε s τ 0 t τ 0 ss 0 0 t τ0 ε t Ισοδύναμα q ε sech ε s τ 0 t τ 0 ss 0 τ 0 ε t (3.57) Ολοκληρώνουμε αυτήν την υποενότητα κατασκευάζοντας μια σολιτονική επιφάνεια η οποία σχετίζεται με την μονο-σολιτονική λύση της εξίσωσης NLS. Για να το επιτύχουμε, θα πρέπει να προσδιορίσουμε το διάνυσμα θέσης για την επιφάνεια αυτή. Γνωρίζουμε ότι κάθε κανονική καμπύλη καθορίζεται πλήρως από την καμπυλότητα και την στρέψη της, σύμφωνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα των Καμπυλών. Συνεπώς, το ζητούμενο διάνυσμα θέσης προσδιορίζεται μέσω της γραμμικής αναπαράστασης 3.34, όπου η καμπυλότητα κ δίνεται από την σχέση 3.51 και η στρέψη τ από την σχέση 3.4 και είναι r s, t s ε ε τ 0 tanh ε ξ ε ε τ 0 sech ε ξ cos τ 0 s ε τ 0 t ε ε τ 0 sech ε ξ sin τ 0 s ε τ 0 t (3.58) Συνεπώς, μπορούμε να παρουσιάσουμε αρχικά μια επιφάνεια η οποία σχετίζεται με στάσιμες μονο-σολιτονικές λύσεις (Εικόνα 3.1) και στην συνέχεια μια επιφάνεια η οποία σχετιζεται με κινούμενες μονο-σολιτονικές λύσεις (Εικόνα 3.). Εικόνα 3.1: Μια στάσιμη μονο-σολιτονική επιφάνεια NLS (τ τ 0 0). Εικόνα 3.: Μια κινούμενη μονο-σολιτονική επιφάνεια NLS (τ τ 0 0). 11

132 Γεωμετρικές Ιδιότητες των Επιφανειών Hasimoto Στην υποενότητα αυτή θα παρουσιάσουμε διάφορες ιδιότητες των επιφανειών Hasimoto (ή επιφανειών NLS). Θεωρούμε λοιπόν μια επιφάνεια S : r r s, t η οποία σαρώνεται από ένα κινητό νήμα της δίνης (καμπύλη). ή Υπολογίζουμε αρχικά την πρώτη θεμελιώδη μορφή: I d r d r r s d s r t d t r s d s r t d t t d s κ b d t t d s κ b d t I d s κ d t Επομένως, τα θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξης θα είναι E 1, F 0, G κ. (3.59) (3.60) Στην συνέχεια, υπολογίζουμε την δεύτερη θεμελιώδη μορφή. Για το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα έχουμε N r s r t r s r t t κ b t κ b κ n κ n (3.61) Συνεπώς, I I d r d N t d s κ b d t n s d s n t d t Αντικαθιστώντας τα n s και n t από τις σχέσεις 3.34, καταλήγουμε στην I I κ d s κ τ d s d t κ s s κ τ d t Δηλαδή, τα θεμελιώδη μεγέθη δεύτερης τάξης είναι τα ακόλουθα e κ, f κ τ, g κ s s κ τ. Η Καμπυλότητα του Gauss και η Μέση Καμπυλότητα (3.6) (3.63) Εκείνο που θα κάνουμε στην συνέχεια είναι να υπολογίσουμε την καμπυλότητα του Gauss καθώς και την μέση καμπυλότητα για την επιφάνεια Hasimoto. Σύμφωνα με τον ορισμό για την καμπυλότητα του Gauss έχουμε K e g f E G F κ κ s s κ τ κ κ τ κ s s κ Επομένως, η επιφάνεια NLS είναι ελλειπτική ή υπερβολική εάν κ s s κ αντίστοιχα. 0 ή κ s s κ Ας δούμε τώρα την μέση καμπυλότητα για μια επιφάνεια S : r r u, v, δηλαδή J div S N 3.61 n όπου ο τελεστής δίνεται από την ακόλουθη σχέση 1 H r u G u F v r v E v F u. (3.64) 0, (3.65) (3.66) 1

133 διότι Πιο συγκεκριμένα επομένως για τις επιφάνειες Hasimoto έχουμε J 1 κ r s κ s r t t n 1 κ t κ n H E G F κ s κ b n t Αντικαθιστώντας στην συνέχεια τα n s και n t από τις σχέσεις 3.34 η τελευταία θα είναι (3.67) (3.68) Ισοδύναμα J 1 κ κ t κ t τ b κ b κ τ t κ s s κ τ b (3.69) J 1 κ κ3 κ κ s s κ τ 1 κ κ κ s s κ τ Μια Γεωδαισιακή Ιδιότητα (3.70) Θυμίζουμε ότι η σχέση η οποία μας δίνει την γεωδαισιακή καμπυλότητα μιας καμπύλης είναι η ακόλουθη k g Γ 11 d u d s 3 Γ 1 Γ 1 11 d u d s d u d s d v d s d u d s d v d s Γ Γ 1 1 d u d s d v d s E G F d v d s 1 Γ d v d s 3 (3.71) Επιπλέον, κατά μήκος των u παραμετρικών γραμμών έχουμε v σταθερό. Δηλαδή, d v 0 και d u d s d s 1 E k g vσταθερό Γ 11. Επομένως η τελευταία θα γίνει d u d s 3 E G F Γ 11 E G F E E (3.7) Από το γεγονός ότι οι παραμετρικές γραμμές είναι ορθογώνιες, δηλαδή F 0, αμέσως έπεται ότι Αρα, η 3.7 γίνεται k g vσταθερό 1 Γ 11 1 E v G E E v G E G E E v E G (3.73) (3.74) Επομένως, η γεωδαισιακή καμπυλότητα κατά μήκος των t παραμετρικών γραμμών όπου έχουμε t σταθερό μηδενίζεται: E t k g tσταθερό E G 0 (3.75) Συνεπώς, οι γραμμές των συντεταγμένων v t σταθερό αποτελούν γεωδαισιακές για 13

134 την επιφάνεια NLS. Ομοίως, κατά μήκος των v παραμετρικών γραμμών έχουμε u σταθερό. Δηλαδή, d u d s 0 και d v d s 1 G. Επομένως η σχέση 3.71 θα γίνει 1 k g uσταθερό Γ d v d s 3 E G F 1 Γ E G F Και πάλι, το γεγονός ότι οι παραμετρικές γραμμές είναι ορθογώνιες συνεπάγεται ότι G G (3.76) Συνεπώς η 3.76 θα μας δώσει Γ 1 1 G u E (3.77) k g uσταθερό 1 G u E G E G G G u G E Δηλαδή στην περίπτωση που μελετάμε η τελευταία μας δίνει k g sσταθερό κ κ s κ κ s κ (3.78) (3.79) 3.. Η Γεωμετρία της Εξίσωσης NLS και ο Auto-Bäcklund Μετασχηματισμός της Σε αυτήν την ενότητα θα ακολουθήσουμε την μέθοδο των A.W. Marris και S.L. Passman [9] για να καταλήξουμε στην εξίσωση NLS. Οι Marris και Passman κατέληξαν στην συγκεκριμένη εξίσωση κατά την διάρκεια της μελέτης τους κάποιων υδροδυναμικών κινήσεων. Στη συνέχεια, θα κατασκευάσουμε τον μετασχηματισμό auto-bäcklund της εξίσωσης NLS, στο πλαίσιο των επιφανειών Hasimoto. Θα κλείσουμε, παρουσιάζοντας λύσεις της εξίσωσης NLS τύπου smoke-ring (δαχτυλίδι καπνού). Ξεκινάμε εισάγοντας τον συμβολισμό που υιοθέτησαν οι Marris και Passman. Θεωρούμε μια δέσμη ομαλών καμπυλών που καλύπτει μια περιοχή του R 3. Με s συμβολίζουμε την παράμετρο μήκους τόξου καθεμιάς από τις καμπύλες της δέσμης και ορίζουμε τις ακόλουθες κατά κατεύθυνση παραγώγους: δ δ s t grad, δ δ n n grad, δ δ b b grad, (3.80) Προφανώς, η πρώτη παριστάνει την παράγωγο στην κατεύθυνση της εφαπτόμενης μιας καμπύλης, η δεύτερη την παράγωγο στην κατεύθυνση της πρώτης κάθετης και η τρίτη την παράγωγο στην κατεύθυνση στην δεύτερης κάθετης της ίδιας καμπύλης. Με βάση τον παραπάνω συμβολισμό, η κλίση γράφεται σαν grad t δ δ s n δ δ n b δ και οι εξισώσεις Serret-Frenet παίρνουν την ακόλουθη μορφή: δ b (3.81) 14

135 δ δ s t n b 0 κ 0 κ 0 τ 0 τ 0 Ακόμη, ορίζουμε τις ποσότητες τις οποίες αρχικά εισήγαγε ο Bjørgum: θ n s n δ t, θ b s b δ t δ n t n b. δ b. (3.8) (3.83) Αρχικά, θα υπολογίσουμε την απόκλιση καθενός από τα διανσυματικά πεδία t, n και b, ξεκινώντας από την απόκλιση του πεδίου t: div t t δ δ s n δ δ n b δ δ b t t δ t δ s n δ t δ n b δ t δ b. Αντικαθιστώντας στην τελευταία τις ποσότητες δ t 3.83 παίρνουμε ή div t t n κ θ n s θ b s div t θ n s θ b s., δ t και δ t δ s δ n δ b Ανάλογα, η απόκλιση του πεδίου n γράφεται στη μορφή div n t δ δ s n δ δ n b δ δ b n t δ n δ s n δ n δ n b δ n δ b. Αντικαθιστούμε και εδώ την ποσότητα δ n ότι n δ n δ n 0, παίρνουμε Ομως, t b 0. Αρα, δ s div n t κ t τ b b δ n δ b, div n κ b δ n δ b. Τέλος, η απόκλιση του πεδίου b, θα είναι (3.84) από τις σχέσεις 3.8 και (3.85) (3.86) (3.87) από την σχέση 3.8 και, λαβαίνοντας υπόψη (3.88) (3.89) div b t δ δ s n δ δ n b δ δ b b t δ b δ s n δ b δ n b δ b δ b. Αντικαθιστούμε στην τελευταία την ποσότητα δ b αφού b δ b δ b 0. Τελικά, δ s div b t n τ n δ b από την σχέση 3.8, δ n (3.90) (3.91) 15

136 div b b δ n δ n, (3.9) διότι δ nb δ b n δ b δ n b δ n δ n 0. Αφού η τριάδα t, n, b είναι ορθοκανονική, οι παράγωγοί της στην διεύθυνση των n και b γράφονται στη μορφή t δ n δ n b και αντίστοιχα. δ δ b t n b 0 a b a 0 c b c 0 0 d e d 0 f e f 0 Επομένως, χρησιμοποιώντας την 3.93, παίρνουμε n δ t a, b δ t b, δ n δ n Άρα, σύμφωνα με τις και 3.9 προκύπτει ότι Ακόμη, από την 3.94 παίρνουμε ότι t n b t n b b δ n δ n c. a θ n s, b b δ t δ n, c div b. n δ t d, b δ t e, δ b δ b b δ n δ b f. Χρησιμοποιώντας ξανά την 3.83 καθώς επίσης και την 3.89 προκύπτει ότι Συνεπώς, οι θα γίνουν και δ δ b δ δ n t n b n δ t δ b d, e θ b s, f div n κ. t n b 0 θ n s b δ t δ n θ n s 0 div b b δ t δ n 0 n δ t δ b div b 0 θ b s n δ t δ b 0 div n κ θ b s div n κ 0 t n b t n b (3.93) (3.94) (3.95) (3.96) (3.97) (3.98) (3.99) (3.100) 16

137 αντίστοιχα. Στην συνέχεια θα υπολογίσουμε τον στροβιλισμό καθενός από τα διανσυματικά πεδία t, n και b. Για το πεδίο t, curl t grad t t δ δ s n δ δ n b δ δ b t t δ t δ s n δ t δ n b δ t δ b Αντικαθιστούμε τις ποσότητες δ t Ετσι, καταλήγουμε στην ή όπου Ω s, δ t και δ t δ s δ n δ b curl t t n κ nθ n s n b δ t Εναλλακτικά, δ n curl t κ b b δ t δ n curl t Ω s t κ b (3.101) από τις σχέσεις 3.8, 3.99 και δ t b b n t t n δ t δ b. Ω s t curl t b δ t δ n n δ t δ b η λεγόμενη ανωμαλία (abnormality) του πεδίου t. Ομοίως, δ b n θ b s b curl n gradn t δ δ s n δ δ n b δ δ b n t δ n δ s n δ n δ n b δ n δ b. Αντικαθιστούμε και εδώ τις ποσότητες δ n, δ n και δ n δ s δ n δ b Επομένως, ή curl n t κ t τ b nθ n s t div b b b n δ t Τελικά, (3.10) (3.103) (3.104) (3.105) (3.106) από τις σχέσεις 3.8, 3.99 και δ b curl n τ n θ n s b div b t n δ t δ b n. curl n div b t Ω n n θ n s b t div n κ b (3.107) (3.108) (3.109) όπου Ω n Ω n n curl n n δ t δ b τ t δ n δ b τ, (3.110) 17

138 η ανωμαλία του πεδίου n. Τέλος, για τον στροβιλισμό του πεδίου b, έχουμε curl b gradb t δ δ s n δ δ n b δ δ b b t δ b δ s n δ b δ n b δ b δ b. (3.111) Εδώ αντικαθιστούμε τις ποσότητες δ b, δ b δ s δ n Επομένως, ή curl b t τ n n b δ t Ισοδύναμα όπου Ω b δ n curl b τ b b δ t και δ b δ b από τις σχέσεις 3.8, 3.99 και t div b n bθ b s t div n κ n δ n b θ b s n div n κ t. curl b Ω b b θ b s n div n κ t (3.11) (3.113) (3.114) Ω b b curl b b δ t δ n τ t δ b δ n τ (3.115) η ανωμαλία του πεδίου b. Συνεχίζουμε χρησιμοποιώντας την γνωστή ταυτότητα curl grad φ 0. (3.116) Σύμφωνα με 3.81 για την κλίση μιας βαθμωτής συνάρτησης φ, η παραπάνω ταυτότητα παίρνει την ακόλουθη μορφή: curl t δ φ δ s n δ φ δ n b δ φ δ b 0. Από τις ιδιότητες του στροβιλισμού έπεται ότι η τελευταία γράφεται αναλυτικά ως εξής: δ φ δ s curlt grad δ φ δ s t δ φ δ φ curln grad δ n δ n n δ φ δ φ curlb grad δ b δ b b 0 (3.117) (3.118) Αντικαθιστώντας στην συνέχεια τις εκφράσεις για την κλίση, όπου αυτή εμφανίζεται, βρίσκουμε ότι δ φ δ n δ b δ φ δ b δ n t δ φ δ b δ s δ φ δ s δ b n δ φ δ s curlt δ φ δ n curln δ φ curlb 0, δ b δ φ δ s δ n δ φ δ n δ s b (3.119) 18

139 όπου δ φ δ n δ b δ δ n δ φ δ b (3.10) Αντικαθιστώντας και τους στροβιλισμούς από τις σχέσεις 3.104, και καταλήγουμε στην δ φ δ n δ b δ φ δ b δ n t δ φ δ b δ s δ φ δ s δ b n δ φ δ s δ n δ φ δ n δ s b δ φ δ s Ω s t κ b δ φ δ n div b t Ω n n θ n s b δ φ δ b Ω b b θ b s n div n κ t 0 (3.11) Τέλος, εξισώνοντας στην συνέχεια τους συντελεστές των διανυσμάτων t, n και b, καταλήγουμε στις τρεις ακόλουθες σχέσεις: δ φ δ φ δ φ Ω s δ φ div b δ φ div n κ, δ n δ b δ b δ n δ s δ n δ b δ φ δ φ δ φ Ω n δ φ θ b s, δ b δ s δ s δ b δ n δ b δ φ δ φ δ φ κ δ φ θ n s δ φ Ω b. δ s δ n δ n δ s δ s δ n δ b (3.1) Παρατηρούμε ότι οι μικτές παράγωγοι δεύτερης τάξης δεν αντιμετατίθενται. Με άλλα λόγια, οι συντεταγμένες s, n και b είναι ανολονομικές (nonholonomic). Αν στην συνέχεια χρησιμοποιήσουμε την συνθήκη συμβατότητας για το σύστημα των εξισώσεων , και χρησιμοποιώντας και το σύστημα 3.1, τότε θα προκύψει ένα σύνολο από εννέα συνθήκες για τις γεωμετρικές ποσότητες κ, τ, Ω s, Ω n, div n, div b, θ n s και θ b s. Δηλαδή, δ δ b θ n s δ δ n τ Ω n κ div n Ω s Ω n τ θ b s θ n s div b Ω s κ, δ δ b τ Ω n Ω s δ δ n θ b s κ div n θ n s θ b s Ω s Ω n τ div b, δ δ div b δ b δ n κ div n τ Ω n τ Ω n Ω s θ n s θ b s τ Ω s div b κ div n, δ δ s τ Ω n δ κ δ b Ω n θ n s τ Ω n θ b s, δ δ s θ b s θ b s κκ div n Ω n τ Ω n Ω s τ τ Ω n, δ δ τ κ div n δ s δ b Ω n div b θ b s κ div n, (3.13) (3.14) (3.15) (3.16) (3.17) (3.18) 19

140 δ δ κ δ n δ δ s θ n s κ θ n s τ Ω n 3 τ Ω n Ω s τ Ω n, δ s τ Ω n Ω s θ n s Ω n Ω s κ div b θ b s τ Ω n Ω s, δ τ δ n δ δ s div b κ Ω n Ω s θ n s div b κ div n τ Ω n Ω s. (3.19) (3.130) (3.131) Μπορούμε να σημειώσουμε ότι ένα ισοδύναμο με το παραπάνω σύστημα παρήγαγαν ανεξάρτητα οι Yin και Pipkin. Ολοκληρώνουμε αυτήν την ενότητα παρατηρώντας ότι από τις σχέσεις 3.105, και 3.115, προκύπτει ότι Ω s τ 1 Ω s Ω n Ω b (3.13) Αυτό το αποτέλεσμα καταγράφηκε και από τον Weatherburn στην διατριβή του η οποία εκδόθηκε το Σημειώνουμε ακόμη ότι η τελευταία σχέση περιλαμβάνει διάφορα σημαντικά θεωρήματα, όπως το θεώρημα του Dupin, το οποίο δηλώνει ότι οι καμπύλες τομής των επιφανειών ενός τριπλά ορθογώνιου συστήματος είναι γραμμές καμπυλότητας για αυτές τις επιφάνειες Η Εξίσωση NLS Σε αυτήν την υποενότητα, όπως αναφέρουμε και παραπάνω, θα καταλήξουμε στην εξίσωση NLS χρησιμοποιώντας την μελέτη των Marris και Passman. Σύμφωνα με τα όσα αναφέραμε παραπάνω επιβάλλουμε την ακόλουθη συνθήκη Ω n n curl n 0 Η τελευταία συνθήκη ισχύει εάν έχουμε την ακόλουθη απαίτηση για το διάνυσμα n n ψr grad Ur (3.133) (3.134) Η τελευταία συνθήκη αποτελεί μια ικανή και αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη μιας μονο-παραμετρικής οικογένειας καμπυλών Ur, στις οποίες το διάνυσμα n είναι κάθετο. Ακόμη η συνάρτηση ψr αποτελεί την συνάρτηση απόστασης για την οικογένεια των επιφανειών. Γνωρίζουμε ότι n b t (3.135) επομένως το εφαπτόμενο επίπεδο στην επιφάνεια Ur σταθερό παράγεται από τα t και b. Οι επιφάνειες δηλαδή Ur σταθερό περιέχουν τις s και b γραμμές. Η γεωδαισιακή καμπυλότητα μιας οικογένειας καμπυλών οι οποίες βρίσκονται σε μια επιφάνεια S και οι οποίες έχουν μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα T, δίνεται από την ακόλουθη σχέση κ g N curl S T (3.136) 130

141 Στην περίπτωση που μας απασχολεί αφού οι s και b γραμμές βρίσκονται στις επιφάνειες S, το n θα είναι κάθετο στην επιφάνεια S. Το ίδιο διάνυσμα είναι παράλληλο στο διάνυσμα N. Συνεπώς, σύμφωνα με την σχέση του Masotti 3.104, έχουμε N curl t N Ω s t κ b 0 (3.137) Συνεπώς, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις και 3.137, η γεωδαισιακή καμπυλότητα για τις s γραμμές, είναι κ g N curl S t N curl t 0 (3.138) Δηλαδή οι s γραμμές αποτελούν γεωδαισιακές σε κάθε επιφάνεια. Επιπλέον, οι ορθογώνιες τροχιές σε μια οικογένεια από γεωδαισιακές αποτελούν μια οικογένεια από παράλληλες καμπύλες. Επομένως, οι b γραμμές είναι απαραίτητα παράλληλες καμπύλες σε κάθε επιφάνεια. Η γεωδαισιακή καμπυλότητα των b γραμμών δίνεται από την ακόλουθη σχέση κ b g N curl b n curl b n Ωb b θ b s n div n κ t θ b s (3.139) δηλαδή, οι b γραμμές είναι γεωδαισιακές εάν θ b s 0. Όταν λοιπόν, θ b s 0, σε κάθε επιφάνεια Σ οι γεωδαισιακές είναι ορθογώνιες και οι επιφάνειες χαρακτηρίζονται αναπτυκτές (developables). Η καμπυλότητα του Gauss για τις επιφάνειες S, οι οποίες όπως ήδη αναφέραμε, περιέχουν τις s και b γραμμές δίνεται από την ακόλουθη σχέση όπου K N, curl S t, curl S b curl S t t δ δ s b δ δ b t t δ t δ s b δ t δ b. Αντικαθιστούμε στην τελευταία τις ποσότητες δ t 3.100, δηλαδή ή και ακόμη curl S t t n κ b n δ t curl S t κ b t n δ t δ b δ s και δ t δ b δ b n θ b s b Ωn τ t κ b curl S b t δ δ s b δ δ b b t δ b δ s b δ b δ b. Αντικαθιστούμε τις ποσότητες δ b και δ b δ s δ b (3.140) (3.141) από τις σχέσεις 3.8 και (3.14) (3.143) (3.144) από τις σχέσεις 3.8 και και παίρνουμε 131

142 curl S b t τ n bθ b s t div n κ n. Ισοδύναμα curl S b τ b θ b s n div n κ t. Επομένως, η καμπυλότητα του Gauss θα είναι (3.145) (3.146) K N curl S t curl S b n Ω n τ t κ bτ b θ b s n div n κ t. Εκτελώντας τις πράξεις έχουμε Ισοδύναμα K n τ Ω n τ n θ b s b θ b s κ t κ div n κ n. K τ Ω n τ κ div n κ Επιπλέον, η μέση καμπυλότητα θα είναι Ω n0 κ div n κ τ. J M div S N div N div n (3.147) (3.148) (3.149) (3.150) Επιστρέφουμε τώρα στις εξισώσεις συμβατότητας και αντικαθιστούμε σε αυτές την συνθήκη 3.133, επομένως δ δ s δ δ τ δ κ τ θ b s, δ s δ b θ b s θ δ s b s κ κ div n τ, κ div n δ τ δ b θ b s κ div n. (3.151) Οι παραπάνω εξισώσεις ενσωματώνουν τις εξισώσεις Gauss-Mainardi-Codazzi για κάθε επιφάνεια S. Ειδικότερα, η ενσωματώνει το Θεώρημα Egregium, δηλαδή μας δίνει μια έκφραση για την καμπυλότητα του Gauss η οποία εξαρτάται αποκλειστικά από την γεωδαισιακή καμπυλότητα των b γραμμών, δηλαδή από τις σχέσεις και προκύπτει ότι K δ. δ s θ b s θ b s (3.15) Προφανώς αν θ b s 0, τότε K 0 και επομένως οι επιφάνειες S καλούνται developables. Η μέση καμπυλότητα σύμφωνα με τις σχέσεις και είναι J M 1 κ δ δ s θ b s θ b s κ τ (3.153) Θεωρούμε ότι οι s και b γραμμές αποτελούν παραμετρικές γραμμές για τις επιφάνειες S. Τότε, η μετρική αποκτά την ακόλουθη γεωδαισιακή μορφή I S d s gs, b d b, ενώ η κλίση της κάθε επιφάνειας S θα είναι (3.154) grad S t δ δ s b δ δ b t s b g 1 b. (3.155) 13

143 Στην συνέχεια οι εξισώσεις του Gauss θα γίνουν t 0 κ 0 t n κ 0 τ n, s b 0 τ 0 b t 0 τ θ b s t g 1 n τ 0 div n κ n b b θ b s div n κ 0 b. (3.156) Ακόμη, η έκφραση θα μας δώσει τις ακόλουθες εκφράσεις για το διάνυσμα θέσης της επιφάνειας S r t r, (3.157) s b g1 b. Επιπλέον, παραγωγίζοντας την σχέση ως προς b και την σχέση ως προς s έχουμε r (3.158) b s t b, r b g1 s b s g1 b s Αντικαθιστώντας στην συνέχεια τις ποσότητες t προκύπτει το ακόλουθο σύστημα r Ισοδύναμα b s g1 τ n θ b s b, 1 g 1 r b s τ n θ b s b, r b και b s s b g1 τ n g1 s r s b g1 τ n g1 s Συνεπώς, από το τελευταίο σύστημα εξισώσεων συνεπάγεται ότι Ισοδύναμα θ b s 1 g θ b s g 1 g1 s. 1 g1 s s ln g1. από το σύστημα b. b. (3.159) (3.160) (3.161) (3.16) Οι εξισώσεις Gauss-Mainardi-Codazzi σύμφωνα με τα παραπάνω αποτέλεσματα θα γίνουν Ισοδύναμα τ 1 κ s g 1 τ ln b s g1, s s ln g1 s ln g1 κκ div n τ, s κ div n 1 g 1 τ b s ln g1 κ div n. (3.163) 133

144 ή ή 1 g 1 s g 1 s τ s 1 g 1 κ b τ 1 g 1 1 g 1 g s, 1 g 1 g 1 s τ b g1 g1 κ div n s s 1 g1 1 g 1 g s g 1 s 1 g 1 g 1 s τ 1 κ s g 1 τ 1 b g κκ div n τ, κ div n. g s, 1 g1 κκ div n τ, g s τ b s g1 κ div n κ g1. s g τ s τ g s g1 κ b 0. 1 g g1 s 1 g1 κκ div n τ, g s τ b s g1 κ div n κ g1. s Προκύπτει επομένως το ακόλουθο σύστημα g τ s g1 κ 0, b g 1 s g 1 κκ div n τ, τ b s g1 κ div n κ g1. s Αν απαλείψουμε τον όρο κ div n από τις 3.167,3, τότε Εάν θέσουμε ακόμη τ b s 1 κ g 1 s τ g 1 κ g1 s. g 1 λ κ (3.165) (3.166) (3.167) (3.168) (3.169) όπου η λ παράμετρος μεταβάλλεται μόνο κατά την διεύθυνση που είναι κάθετη στην εκάστοτε επιφάνεια S. Τότε, οι εξισώσεις και θα γίνουν s λ κ τ λ κ κ b 0, τ Εκτελώντας τις παραγωγίσεις έχουμε b s κ λ τ κ s κ λ τ s λ κ κ b 0, Ισοδύναμα τ 1 κ b s λ κ τ λ κ λ κ κ. s s 1 κ λ κ s τ λ κ λ κ κ s (3.170) (3.171) 134

145 κ b λ τ κ s κ λ τ s, τ b s λ κ κ s τ λ λ κ. Εάν θέσουμε και όπου λ b b', τότε το τελευταίο σύστημα θα γίνει λ κ b λ τ κ s κ λ τ s, λ τ b s Τελικά, το σύστημα μπορεί να γραφεί ως εξής λ κ κ s τ λ λ κ. (3.17) (3.173) κ b τ κ s κ τ s, τ b s 1 κ κ s τ κ (3.174) Το τελευταίο σύστημα που προέκυψε είναι το σύστημα Da Rios. Αν στην συνέχεια εισαγάγουμε τον μετασχηματισμό Hasimoto (τον οποίο συναντήσαμε και νωρίτερα), δηλαδή q κ σ, σ τ s, τότε το παραπάνω σύστημα θα μας δώσει την κλασική εξίσωση NLS, δηλαδή q b q s 1 q q Ο Μετασχηματισμός Auto-Bäcklund για την Εξίσωση NLS (3.175) (3.176) Σε αυτήν την τελευταία υποενότητα, αρχικά θα βρούμε τον auto-bäcklund μετασχηματισμό για την εξίσωση NLS. Θεωρούμε μια επιφάνεια S : r r s, b. Η επιφάνεια αυτή σχετίζεται με την εξίσωση NLS αν ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις r s 1, rs r b 0, rs s r b. (3.177) Θεωρούμε την ορθοκανονική τριάδα t, n, b η οποία αντιστοιχεί στις s παραμετρικές γραμμές. Τότε, με την βοήθεια των εξισώσεων Serret-Frenet έχουμε r s s ts n κ, συνεπώς, η θα μας δώσει r r b n n κ κ. s s Επομένως, η πρώτη θεμελιώδης μορφή θα έχει την ακόλουθη μορφή I d s κ d b. Επιπλέον, η συνθήκη 3.177, παραγωγίζοντας, θα μας δώσει r s s r b rs r b s 0 r s s rb 0, και επομένως η τελευταία, με την βοήθεια της 3.178, μας δίνει αφού όμως κ 0 τότε Ακόμη, η σχέση θα δώσει κ n r b 0, n r b 0. (3.178) (3.179) (3.180) (3.181) (3.18) (3.183) 135

146 t rb 0. Συνεπώς, από τις δύο τελευταίες συνεπάγεται ότι r b κ b. (3.184) (3.185) Οι σχέσεις 3.180, ορίζουν την κλάση των επιφανειών Hasimoto. Συνεπώς, κάθε αλλαγή η οποία αφήνει αναλλοίωτες τις σχέσεις αφήνει αναλλοίωτη και την εξίσωση NLS. Η μορφή του auto-bäcklund μετασχηματισμού για την παραπάνω επιφάνεια S θα είναι η ακόλουθη (σύμφωνα με τους Rogers και Schief) r ' r α t β n γ b, r' r σταθερό. (3.186) Θεωρούμε επομένως την ακόλουθη παραμέτρηση r ' r L cos θ t sin θ cos φ n sin θ sin φ b. (3.187) Χρησιμοποιώντας τώρα το γεγονός ότι οι είναι αναλλοίωτες ως προς τους μετασχηματισμούς, προκύπτει το ακόλουθο σύστημα θ b κ s sin φ κ τ cos φ φ b κ s s κ θ s κ cos φ 1cos χ sin θ, L φ s κ cot θ sin φ τ sin χ 1cos χ sin χ L sin θ κ L, τ κ s cos φ κ τ sin φ cot θ κ όπου χ είναι αυθαίρετη σταθερή. cos θ sin φ sin χ1cos χ cos φ L sin θ cos φ sin χ1cos χ sin φ cos θ, L 1cos χ cos χ L, (3.188) Στην συνέχεια μπορούμε να γραμμικοποιήσουμε το παραπάνω σύστημα μέσω της παρακάτω σχέσης ξ φ1 φ cot θ φ, όπου Φ φ 1, φ τ είναι λύση του ακόλουθου συστήματος Φ b 1 Φ s 1 τ λ κ κ s s κ τ λ κ s κ τ κ λ κ τ λ Φ, κ s κ τ κ λ κ s s κ τ λ Φ (3.189) (3.190) και sin χ 1 cos χ λ. L Μπορούμε επομένως να γράψουμε τον μετασχηματισμό Bäcklund ως εξής (3.191) 136

147 όπου Ακόμη, n 1 ξ 1 ξ 1 cos θ, n ξ ξ 1 r ' r λ λ n 1 t n n n 3 b, sin θ cos φ, n 3 ξ ξ 1 sin θ sin φ. (3.19) (3.193) κ' r ' b, τ' r ' s s r ' s b r ' s s (3.194) Με την βοήθεια των τελευταίων και παραγωγίζοντας κατάλληλα την τότε προκύπτουν οι παρακάτω σχέσεις για τα κ' και τ' όπου κ' κ 4 λ ξ ξ 1 τ' τ ln κ4 λ κ 4 λ ξ ξ ξ 1 ξ κ4 λ ξ 1 s. ξ 1, q' κ' τ' s q 4 λ ξ, ξ ξ τ s. 1 Η τελευταία αποτελεί τον μετασχηματισμό Bäcklund για την εξίσωση NLS. ξ (3.195) (3.196) Ακόμη, η τελευταία σχέση μας βοηθά να εισαγάγουμε τον ακόλουθο μετασχηματισμό βαθμίδας Ψ τ s 0 0 τ s Φ, ξ ψ1 ψ. (3.197) Στην συνέχεια παραγωγίζοντας κατάλληλα την και αντικαθιστώντας τις παραγώγους των φ 1 και φ από την γραμμική αναπαράσταση θα προκύψει το ακόλουθο Lax pair για την εξίσωση NLS Ψ b 1 Ψ s 1 1 q λ q s λ q λ q q λ Ψ, q s λ q 1 q λ Ψ. (3.198) Ας θεωρήσουμε ότι η αρχική μας επιφάνεια είναι κυλινδρική, δηλαδή κ σταθερό, τ 0, q κ κ t, τότε, οι εξισώσεις Serret-Frenet γράφονται ως εξής (3.199) 137

148 Ισοδύναμα s t n b 0 κ 0 κ t t s κ n, n s κ t, b s b. Παραγωγίζουμε την πρώτη ως προς s, ts s κ n s Αντικαθιστούμε την δεύτερη από τις 3.01 στην τελευταία, άρα t s s κ t, η οποία ολοκληρώνεται και μας δίνει t t0 cos κ s t1 sin κ s. Ομοίως, παραγωγίζουμε την δεύτερη από τις 3.01 ως προς s, n s s κ t s. Αντικαθιστούμε στην συνέχεια την στην τελευταία και επομένως έχουμε n s s κ n. Ομοίως, και αυτή ολοκληρώνεται και επομένως n n 0 cos κ s n 1 sin κ s. n b. (3.00) (3.01) (3.0) (3.03) (3.04) (3.05) (3.06) (3.07) Τα διανύσματα n και t συνδέονται μέσω της 3.01 συνεπώς χρησιμοποιώντας τις σχέσεις 3.04 και 3.07 θα πάρουμε Ισοδύναμα κ n 0 sin κ s κ n 1 cos κ s κ t 0 cos κ s t 1 sin κ s. n 1 t 0, t 1 n 0. Συνεπώς, οι 3.04 και 3.07 θα γίνουν t t 0 cos κ s n 0 sin κ s, n n 0 cos κ s t0 sin κ s. Για την τελευταία από τις 3.01 θα πάρουμε b b 0. Συνοψίζοντας, για την τριάδα t, n, b, έχουμε t t 0 cos κ s n 0 sin κ s Επομένως, οι σχέσεις n b n 0 cos κ s t 0 sin κ s b 0. r s t, r b κ b, σύμφωνα με τα παραπάνω αποτελέσματα θα γίνουν (3.08) (3.09) (3.10) (3.11) (3.1) 138

149 r s t0 cos κ s n 0 sin κ s, r b κ b 0. Και επομένως ολοκληρώνοντας παίρνουμε r 1 t 0 sin κ s 1 n 0 cos κ s c b, κ κ r κ b0 b d s. Άρα, εξισώνοντας τις τελευταίες 1 κ t 0 sin κ s 1 κ n 0 cos κ s c b κ b 0 b d s. (3.13) (3.14) (3.15) Δηλαδή, 1 r κ t 0 sin κ s 1 κ n 0 cos κ s κ b 0 b. (3.16) Ας δούμε τώρα την λύση της γραμμμικής αναπαράστασης 3.190, η οποία στην περίπτωση που μελετάμε γράφεται ως εξής Φ s 1 λ κ κ λ Φ, Φ b λ 1 Συνεπώς, η γενική λύση θα είναι της μορφής Φ Φz, z s λ b. Παραγωγίζουμε στην συνέχεια την ξ φ s 1 φ φ s φ 1 φ. λ κ κ λ Φ. Αντικαθιστούμε τις ποσότητες φ s 1 και φ s από τις σχέσεις 3.17, δηλαδή Ισοδύναμα ξ λ φ1 κ φ φ κ φ1 λ φ φ 1 ξ λ φ 1 φ κ κ φ. φ 1 φ λ Αντικαθιστούμε ακόμη το πηλίκο φ1 από την σχέση 3.189, άρα έχουμε φ ξ λ ξ κ κ ξ. Επομένως, προκύπτει η ακόλουθη εξίσωση Ricatti φ 1 φ. (3.17) (3.18) (3.19) (3.0) (3.1) ξ λ ξ κ 1 ξ. (3.) Για να λύσουμε την τελευταία παρατηρούμε ότι έχει σταθερούς συντελεστές και επομένως θα γίνει 139

150 κ d ξ ξ κ λ ξ 1 d z Για να ολοκληρωθεί η παραπάνω εξίσωση ο παρονομααστής γράφεται ως εξής Ισοδύναμα ή κ κ d ξ ξ λ κ λ κ 1 d z. d ξ 1 κ κ ξ λ λ κ κ λ κ d ξ κ ξ λ λ κ Μπορούμε λοιπόν να ολοκληρώσουμε, άρα 1 d z, d z, (3.3) (3.4) (3.5) (3.6) κ λ κ arctan κ ξ λ λ κ λ κ κ z (3.7) ή arctan κ ξ λ λ κ λ κ z. (3.8) Και λύνουμε ως προς ξ κ ξ λ λ κ tan λ κ z z 0, (3.9) ή ξ λ κ λ κ κ tan λ κ z z 0. (3.30) Τελικά λοιπόν ξ λ κ β tanμ z z 0 (3.31) όπου β λ κ κ, μ 1 κ β, (3.3) 140

151 και z 0 αυθαίρετη σταθερά ολοκλήρωσης. Σύμφωνα με τα παραπάνω και ειδικότερα τις σχέσεις 3.19, 3.11 θα πάρουμε το διάνυσμα θέσης r' για τις επιφάνειες S ', δηλαδή r ' r L n1 t 0 cos κ s n 0 sin κ s n n 0 cos κ s t0 sin κ s n 3 b 0 (3.33) Ισοδύναμα r ' r L n1 cos κ s n sin κ s t0 n 1 sin κ s n cos κ s n 0 n 3 b 0 (3.34) Μια ειδική περίπτωση για τις παραπάνω επιφάνειες την οποία αξίζει να αναφέρουμε είναι όταν λ κ 1 m n, 0 m n, m, n N. (3.35) Όταν η παράμετρος λ δίνεται από την τελευταία σχέση τότε το διάνυσμα θέσης r ' εμφανίζει περιοδικότητα ως προς την μεταβλητή s. Στην εικόνα που ακολουθεί παρουσιάζουμε δύο τέτοιες επιφάνειες για κ. (α) (β) Εικόνα 3.3: Επιφάνεια NLS smoke-ring για: (α) m 6, (β) m 10 n 7 n