ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ MORLEY. Σχ.1 Όµοια ορίζεται και η τριχοτόµος Οτ που είναι προσκείµενη στην γωνία Οψ.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ MORLEY. Σχ.1 Όµοια ορίζεται και η τριχοτόµος Οτ που είναι προσκείµενη στην γωνία Οψ."

Ἰοκάστη Ταμτάκος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ MORLEY Ένα από τα ποιο εκπληκτικά θεωρήµατα της στοιχειώδους Γεωµετρίας ανακαλύφτηκε γύρω στο 899 από τον Morley, ο οποίος το ανέφερε στους φίλους του κι εκείνοι το διέδωσαν σ όλο τον κόσµο µε την µορφή «µαθηµατικού κουτσοµπολιού». Μετά από δέκα χρόνια µια τριγωνοµετρική απόδειξη δόθηκε από τον Μ Satyanarayana και µια στοιχειώδης απόδειξη από τον M.T. Naraniengar. Ορισµός. Έστω γωνία χοψ. Ονοµάζουµε τριχοτόµο προσκείµενη στην πλευρά Οχ, την εσωτερική ηµιευθεία Οτ της χοψ για την οποία ισχύει χο τ = χο ψ (σχ.) Σχ. Όµοια ορίζεται και η τριχοτόµος Οτ που είναι προσκείµενη στην γωνία Οψ. Παρατήρηση : Κάθε γωνία έχει δυο τριχοτόµους, µια προσκείµενη στην µια πλευρά της και µια προσκείµενη στην άλλη. Γενικά οι τριχοτόµοι δεν µπορούν να κατασκευαστούν µε κανόνα και διαβήτη, µπορούν όµως να κατασκευαστούν µε άλλους τρόπους (π.χ. µε νεύση) Στην εργασία αυτή θα παρουσιάσουµε τρεις αποδείξεις της παρακάτω πρότασης που στη διεθνή βιβλιογραφία αποκαλείται θεώρηµα Morley: Οι τριχοτόµοι που είναι προσκείµενες στις πλευρές ενός τριγώνου, τέµνονται ανα δυο, ορίζοντας ισόπλευρο τρίγωνο.

2 Το θεώρηµα Morley Οι τριχοτόµοι που είναι προσκείµενες στις πλευρές ενός τριγώνου, τέµνονται ανα δυο, ορίζοντας ισόπλευρο τρίγωνο. Απόδειξη η ( τριγωνοµετρική ) Λήµµα : Για κάθε χ R ισχύει: x π + χ 2π + χ 4ηµ ηµ ηµ = ηµχ Απόδειξη x π + χ 2π + χ χ π + χ 2π + χ ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ 4 = 2 (2 ) = χ π + χ 2π χ π + χ+ 2π + χ 2 ηµ [ συν συν ] = χ π 2χ χ 2χ 2 ηµ [ συν συν ( π + )] = 2 ηµ [ + συν ] = 2 χ χ 2χ χ χ+ 2χ χ 2χ ηµ + 2ηµ συν = ηµ + ηµ + ηµ = χ χ ηµ + ηµχ ηµ = ηµχ Λήµµα 2: Αν Α+Β+Γ=π τότε ηµ π + ηµ π 2ηµ π ηµ π συν = ηµ Απόδειξη +Β +Γ +Β +Γ Α Α π +Β π +Γ π +Β π +Γ Α + = 2π + 2Β 2π +Γ π +Β π +Γ Α [ συν + συν ] 2ηµ ηµ συν = 2 2π + 2Β 2π 2Γ Β Γ 2π +Β+Γ Α [2 συν συν ] [ συν συν ] συν = 2 2π + 2Β 2π + 2Γ Β Γ Α 2π +Β+Γ Α [ συν συν συν συν + συν συν = 2 2 Β Γ+Α Β Γ Α Α Α [ συν + συν ] + συν ( π ) συν = 2 2π + 2Β 2π + 2Γ π 2Γ 2Β π Α Α συν ( ) συν ( ) συν ( ) συν ( ) + συν ( π ) συν = ηµ ηµ 2ηµ ηµ συν

3 Α 2Α Α Α Α Α [ ( ) ( )] ( ) συν π + συν π = + συν π συν = συν = ηµ. Περνάµε τώρα στην απόδειξη του θεωρήµατος Στο τρίγωνο ΑΒ από τον νόµο των ηµιτόνων έχουµε: Άρα Β Β ΑΒηµ 2Rηµ Γηµ Α ΑΒ = Α = Α = Β Α+Β 2π +Γ 2π +Γ ηµ ηµ ( π ) ηµ ( ) ηµ Γ π +Γ 2π +Γ Β 8Rηµ ηµ ηµ ηµ Γ π +Γ Β Α = και τελικά Α = 8Rηµ ηµ ηµ 2π +Γ ηµ Οµοίως βρίσκουµε: Β π +Β Γ ΑΕ= 8Rηµ ηµ ηµ Α π +Γ Γ Β = 8Rηµ ηµ ηµ Β π +Α Α ΓΖ= 8Rηµ ηµ ηµ

4 Γ π +Α Α ΒΖ= 8Rηµ ηµ ηµ Α π +Β Β ΓΕ= 8Rηµ ηµ ηµ Από τον νόµο των συνηµιτόνων στο τρίγωνο Α Ε έχουµε: Ε 2 =Α 2 +ΑΕ 2-2Α ΑΕ συν Α άρα Γ 2Β 2π +Γ 2 2 Γ 2Β 2π +Β 2 2 Γ Β π +Β π +Γ Α Ε = 4Rηµ ηµ ηµ + 4Rηµ ηµ ηµ 28Rηµ ηµ ηµ ηµ συν 2 2 Γ 2 Β 2π +Γ 2π +Β π +Γ π +Β Α = 4 Rηµ ηµ [ ηµ + ηµ 2 ηµ ηµ συν ] Γ Β Α κι έτσι τελικά θα έχουµε: = 4Rηµ ηµ ηµ Γ Β Α Ε=8Rηµ ηµ ηµ Η παραπάνω έκφραση είναι συµµετρική ως προς Α,Β,Γ άρα µένει αµετάβλητη κατά τον υπολογισµό των Ζ, ΕΖ και Ε. Συνεπώς το τρίγωνο ΕΖ είναι ισόπλευρο.

5 2 η απόδειξη Πολλές µαθηµατικές αποδείξεις (όπως η παραπάνω) είναι µακροσκελείς και πολύπλοκες. Άλλες πάλι είναι µικρές αλλά πολύ έξυπνα κατασκευασµένες. Τέτοιου είδους είναι η δεύτερη απόδειξη που θα δώσουµε για το θεώρηµα Morley. Η βασική ιδέα είναι να ξεκινήσουµε αντίστροφα από ένα ισόπλευρο τρίγωνο και να κατασκευάσουµε ένα άλλο τρίγωνο όµοιο προς το αρχικό τρίγωνο ΑΒΓ. Πάνω στις πλευρές ΕΖ,Ε, Ζ κατασκευάζουµε ισοσκελή τρίγωνα ΚΕΖ,ΜΕ,ΛΖ ώστε οι γωνίες των βάσεών τους να ικανοποιούν τις σχέσεις α+β+γ=20 0 και α<0 0,β<0 0,γ<0 0. Προεκτείνουµε τις πλευρές αυτών των ισοσκελών κάτω από τις βάσεις τους µέχρι να συναντηθούν στα σηµεία Α,Β,Γ. Αφού α+β+γ+0 0 =80 0 αναφερόµενοι στο παραπάνω σχήµα µπορούµε να υπολογίσουµε κάποιες γωνίες ακόµη όπως πχ ΚΕΑ =γ, ΕΑΖ =0 0 -α, ΓΖ =0 0 -γ, ΕΒ =0 0 -β. Επίσης ΑΖΓ =80 0 -β= β= ΑΜΓ 2. Η ΜΖ (ως διάµεσος των ΜΕ,Ε Ζ) ΑΜΓ 2 0 είναι διχοτόµος της ΑΜΓ και αφού ΑΖΓ= 90 + το Ζ θα είναι έγκεντρο του τριγώνου ΑΜΓ. Όµοια τα σηµεία Ε, είναι τα έγκεντρα των τριγώνων ΒΛΑ και ΒΓΚ. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε µια απο τις κορυφές Α,Β,Γ οι τρεις µικρές γωνίες που σχηµατίζονται είναι ίσες µεταξύ τους. ΕΑΒ= Α= α =ΕΑΖ=ΕΖΑ 0 Έτσι 0

6 ΑΖΓ= Γ=ΖΓ = ΓΒ, ΒΓ= Β= ΒΕ=ΕΒΑ α = 0 Α, β = 0 0 Β, γ = 0 0 Γ Άρα 0 ιαλέγοντας για τις α,β,γ τις παραπάνω τιµές και κάνοντας την παραπάνω κατασκευή, καταλήγουµε σε τρίγωνο προφανώς όµοιο µε το δοσµένο αρχικό τρίγωνο ΑΒΓ. η απόδειξη Θεωρούµε σηµείο Η του τµήµατος ΚΓ τέτοιο ώστε ΚΗ=ΚΒ και µια ευθεία Γψ//ΒΗ. Προβάλουµε τα σηµεία Ε και Η στην Γψ και το σηµείο στην ΒΗ και στην Γψ. Τότε από τα όµοια τρίγωνα ΒΧ, ΕΟΓ και ΗΙΓ θα έχουµε: Χ ΕΟ ΗΙ ΕΟ ΗΙ Χ = = = = Β ΕΓ ΗΓ ΕΓ ΗΓ ΕΗ Εποµένως θα έχουµε ΕΗ= Β κι έτσι από τη σχέση ΚΒ=ΚΗ προκύπτει ότι ΚΕ=Κ. Το Ζ είναι το έγκεντρο του τριγώνου ΒΓΚ οπότε τα τρίγωνα ΚΖ και ΚΕΖ θα είναι ίσα, άρα Ζ =ΖΕ. Οµοίως µπορούµε να δείξουµε ότι Ζ= Ε. Βιβλιογραφία. H. S. M. COXETER Introduction to Geometry Second Edition 2. ΑΡΙΣΤΕΙ ΟΥ Φ ΠΑΛΛΑ Μεγάλη Τριγωνοµετρία.

Σχετικά έγγραφα

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο