Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
|
|
- Ἰουλία Αντωνοπούλου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 4 Βασικοί γεωµετρικοί τόποι Ανισοτικές σχέσεις Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Βασικοί γεωµετρικοί τόποι Γεωµετρικός τόπος είναι ένα σύνολο σηµείων του επιπέδου τα οποία έχουν µια κοινή ιδιότητα.τρείς από τους βασικότερους γεωµετρικούς τόπους είναι : κύκλος Ο κύκλος Είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου που ισαπέχουν από σταθερό σηµείο. Ο Η µεσοκάθετος ευθύγραµµου τµήµατος Είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τα άκρα του ευθύγραµµου τµήµατος. Η διχοτόµος γωνίας Είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας. Ο Α μεσοκάθετος Β Ο Α διχοτόμος Συµµετρικά σχήµατα Β Έστω Ο σηµείο του επιπέδου. Για κάθε σηµείο Α του επιπέδου, διαφορετικό του Ο, υπάρχει ένα µοναδικό σηµείο Β τέτοιο ώστε το Ο να είναι µέσο του ΑΒ. Τα Α και Β λέγονται συµµετρικά σηµεία ως πρός κέντρο συµµετρίας το Ο και ειδικότερα το Β λέγεται συµ- Α Ο Β µετρικό του Α. Προφανώς και το Α είναι συµµετρικό του Β.
2 56. Βασικοί γεωµετρικοί τόποι - Ανισοτικές σχέσεις Κεντρική συµµετρία. ύο σχήµατα Σ, Σ λέγονται συµµετρικά ως προς ένα ση- µείο Ο, αν και µόνο αν κάθε σηµείο του Σ είναι συµµετρικό Ó ενός σηµείου του Σ ως προς το Ο. Το σηµείο Ο λέγεται 180 o κέντρο συµµετρίας του σχήµατος, που αποτελείται απο τα συµµετρικά ως προς το Ο σχήµατα Σ και Σ. ηλαδή ένα σηµείο Ο λέγεται κέντρο συµµετρίας ενός σχήµατος, όταν για κάθε σηµείο Α του σχήµατος το συµµετρικό του Α, ως Ó προς το Ο, είναι επίσης σηµείο του σχήµατος. Ένα σχήµα µε κέντρο συµµετρίας λέµε οτι παρουσιάζει κεντρική συµ- 180 o µετρία. Αν στρέψουµε ένα σχήµα Σ, µε κέντρο συµµετρίας το Ο, κατά 180 ο γύρω από το Ο, θα πάρουµε ένα σχήµα που θα συµπίπτει µε το αρχικό. Αξονική συµµετρία. ύο σχήµατα Σ, Σ λέγονται συµµετρικά ως προς την ευθεία ε, αν και µόνο αν κάθε σηµείο του Σ είναι συµµετρικό ενός σηµείου του Σ ως προς την ε. Η ευθεία ε λέγεται άξονας συµµετρίας του σχήµατος που αποτελείται από τα σχήµατα Σ και Σ. ηλαδή µια ευθεία ε λέγεται άξονας συµµετρίας ενός σχήµατος, όταν για κάθε σηµείο Α του σχήµατος το συµµετρικό του Α, ως προς την ε, είναι επίσης σηµείο του σχήµατος. Ένα σχήµα µε άξονα συµµετρίας λέµε ότι παρουσιάζει αξονική συµµετρία. Αν ένα σχήµα έχει ως άξονα συµµετρίας µια ευθεία ε, τότε η ε χωρίζει νοητά το σχήµα σε δύο µέρη µε τέτοιο τρόπο, ώστε, αν διπλώσουµε το επίπεδο του σχήµατος κατά µήκος της ε, τα µέρη αυτα θα ταυτιστούν. Ó å Á å Ó
3 Βασικοί γεωµετρικοί τόποι - Ανισοτικές σχέσεις 57. Ανισοτικές σχέσεις Σχέση εξωτερικής και απέναντι γωνίας. Θεώρηµα Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι µεγαλύτερη από κάθε µια από τις απέναντι εσωτερικές. Πoρίσµατα ύο γωνίες ενός τριγώνου έχουν άθροισµα µικρότερο από 180 ο. Ένα τρίγωνο δεν µπορεί να έχει πάνω από µία ορθή ή αµβλεία γωνία. åî åî Â Θεώρηµα Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες γωνίες βρίσκονται οµοίως άνισες πλευρές και αντίστροφα. Πoρίσµατα Απέναντι από τη µεγαλύτερη γωνία ενός τριγώνου βρίσκεται η µεγαλύτερη πλευρά. Ένα τρίγωνο µε δύο ίσες γωνίες είναι ισοσκελές και µε τρείς ίσες γωνίες είναι ισόπλευρο. ã â Τριγωνική ανισότητα Κάθε πλευρά ενός τριγώνου είναι µεγαλύτερη από την διαφορά των δύο άλλων και µικρότερη από το άθροισµά τους. Πόρισµα Κάθε χορδή κύκλου είναι µικρότερη ή ίση από τη διάµετρο του κύκλου. â ã<á<â+ã Παρατήρηση Η τριγωνική ανισότητα για τυχαία σηµεία Α,Β,Γ του επιπέδου εκφράζεται από τη σχέση ΑΓ ΒΓ Γ + ΒΓ. Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες και τις περιεχόµενες γωνίες άνισες, τότε και οι τρίτες πλευρές είναι όµοια άνισες και αντίστροφα. ã â Κάθετες και πλάγιες ευθείες Θεώρηµα Από ένα σηµείο εκτός ευθείας φέρουµε το κάθετο και δύο πλάγια τµήµατα: Αν τα δύο πλάγια τµήµατα είναι ίσα µεταξύ τους τότε
4 58. Βασικοί γεωµετρικοί τόποι - Ανισοτικές σχέσεις τα ίχνη τους ισαπέχουν από το ίχνος της καθέτου και αντίστροφα. Αν τα δύο πλάγια τµήµατα είναι άνισα µεταξύ τους τότε οι αποστάσεις των ιχνών τους από το ίχνος της καθέτου είναι οµοιοτρόπως άνισες και αντίστροφα. Το κάθετο τµήµα είναι µικρότερο από οποιοδήποτε πλάγιο τµήµα. Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου Έστω κύκλος (Ο,ρ) και ΟΣ η απόσταση του σηµείου Ο απο την ευθεία ε. Ó Αν ισχύει ΟΣ > ρ τότε η ευθεία δεν έχει κανένα κοινό σηµείο µε τον κύκλο και λέγεται εξωτερική του κύκλου. å Αν ισχύει ΟΣ = ρ τότε η ευθεία έχει ένα κοινό σηµείο µε τον κύκλο και λέγεται εφαπτόµενη του κύκλου και είναι µοναδική για το συγκεκριµένο σηµείο επαφής. Η ακτίνα που καταλήγει στο σηµείο επαφής είναι κάθετη στην Ó å εφαπτόµενη. Ó Αν ισχύει ΟΣ < ρ τότε η ευθεία έχει δύο κοινά σηµεία µε τον å κύκλο και λέγεται τέµνουσα του κύκλου. Εφαπτοµένη κύκλου Μια ευθεία που έχει µόνο ένα κοινό σηµείο µε τον κύκλο λέγεται εφαπτοµένη του κύκλου Η εφαπτοµένη: Είναι κάθετη στην ακτίνα που καταλήγει στο σηµείο επαφής. Σε κάθε σηµείο του κύκλου είναι µοναδική.
5 Βασικοί γεωµετρικοί τόποι - Ανισοτικές σχέσεις 59. Θεώρηµα Μια ευθεία και ένας κύκλος έχουν το πολύ δύο κοινά σηµεία. Πόρισµα Τρια σηµεία ενός κύκλου δεν µπορεί να είναι συνευθειακά. ιακεντρική ευθεία ιακεντρική ευθεία σηµείου Σ λέγεται η ευθεία ΣΟ η οποία διέρχεται από το σηµείο Σ και το κέντρο Ο του κύκλου. Έστω κύκλος µε κέντρο Ο και ακτίνα R, Σ σηµείο εκτός του κύκλου και ΣΑ, ΣΒ τα εφαπτόµενα τµήµατα από το Σ ö ö ù ù Ó προς τον κύκλο. Τα τρίγωνα ΣΟΑ και ΣΟΒ είναι ίσα, εποµενως τα εφαπτόµενα τµήµατα ΣΑ, ΣΒ είναι ίσα. Τότε η διακεντρική ευθεία: είναι µεσοκάθετος της χορδής ΑΒ διχοτοµεί τη γωνία διχοτοµεί τη γωνία ˆ ΑΟΒ ˆ ΑΣΒ Σχετικές θέσεις δύο κύκλων Έστω κύκλοι (Ο, R) και (Κ, ρ) µε R > ρ. Το ευθύγραµµο τµήµα ΚΟ που ενώνει τα κέντρα των δύο κύκλων λέγεται διάκεντρος. Έστω ΚΟ = δ. Αν ισχύει δ > R + ρ τότε οι κύκλοι βρίσκονται ο ένας εκτός του άλλου. K K Αν ισχύει δ = R + ρ τότε οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά στο σηµείο τοµής τους µε τη διάκεντρο. K Αν ισχύει R ρ < δ < R + ρ τότε οι κύκλοι έχουν δύο κοινά σηµεία. Αν ισχύει δ = R - ρ τότε οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά στο σηµείο τοµής τους µε τη διάκεντρο.α. Αν ισχύει R ρ > δ τότε οι κύκλοι βρίσκονται ο ένας εντός του άλλου. K K
6 60. Βασικοί γεωµετρικοί τόποι - Ανισοτικές σχέσεις Γεωµετρικές κατασκευές Η κατασκευή ενός σχήµατος µε τη βοήθεια αποκλειστικά του κανόνα και του διαβήτη ονοµάζεται γεωµετρική κατασκευή. Η διαδικασία που ακολουθείται παρουσιάζεται σε τέσσερα βήµατα. Βήµα 1 ο Η ανάλυση Προσδιορίζουµε όλες τις ιδιότητες και τις συνθήκες που ισχύουν στο πρόβληµα που µελετάµε. Όταν η κατασκευή του σχήµατος είναι φανερή τότε παραλείπουµε αυτό το βήµα. Βήµα ο Η κατασκευή Περιγράφουµε όλες τις απαραίτητες ενέργειες για την κατασκευή του σχήµατος. Βήµα 3 ο Η απόδειξη Επιβεβαιώνουµε ότι το κατασκευασµένο σχήµα πληροί τις συνθήκες και τις ιδιότητες του προβλήµατος όπως περιγράφτηκαν στο Βήµα 1 ο. Βήµα 4 ο Η διερεύνηση Καταγράφουµε όλες τις αναγκαίες συνθήκες για τις οποίες το πρόβληµα έχει λύση καθώς και το πλήθος των λύσεων του προβλήµατος.
7 Βασικοί γεωµετρικοί τόποι - Ανισοτικές σχέσεις 61. Β. ΜΕΘΟΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μέθοδος 1 Για τη λύση ενός προβλήµατος γεωµετρικού τόπου ακολουθούµε τα εξής βήµατα: Θεωρούµε τυχαίο σηµείο του γεωµετρικού τόπου και προσδιορίζουµε την γραµµή στην οποία βρίσκεται µε βάση την χαρακτηριστική του ιδιότητα. Κατασκευάζουµε την γραµµή του γεωµετρικού τόπου µε κανόνα και διαβήτη. Θεωρούµε ένα δεύτερο τυχαίο σηµείο της γραµµής που κατασκευάσαµε και αποδεικνύουµε ότι έχει την ίδια χαρακτηριστική ιδιότητα. Μέθοδος Για να αποδείξουµε µια σχέση ανισότητας µεταξύ δύο γωνιών ή δύο ευθυγράµµων τµηµάτων: Αν είναι στοιχεία του ίδιου τριγώνου χρησιµοποιούµε τις ανισοτικές σχέσεις τριγώνων. Αν δεν είναι στοιχεία του ίδιου τριγώνου τότε τα εξισώνουµε µε κατάλληλα µεγέθη (πλευρές ή γωνίες ) ώστε να τα µεταφέρουµε στο ίδιο τρίγωνο και χρησιµοποιούµε τις ανισοτικές σχέσεις τριγώνων. Αν δεν µπορεί να γίνει το δεύτερο βήµα τα συγκρίνουµε µε ένα τρίτο µέγεθος και µε τη µεταβατική ιδιότητα καταλήγουµε στο ζητούµενο. Γ. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων (Κ, ρ) που εφάπτονται εξωτερικά µε κύκλο (Ο, ρ). Επίσης να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων των κύκλων (Κ, ρ) που έχουν µέγιστη απόσταση από το Ο. Έστω Α ένα τυχαίο σηµείο του γεωµετρικού τόπου. Τότε επειδή οι κύκλοι (Α,ρ) και (Ο,ρ) εφάπτονται εξωτερικά ισχύει ΑΟ = ρ + ρ = 3ρ. Άρα τα σηµεία του γεωµετρικού τόπου ισαπέχουν από το σηµείο Ο απόσταση ίση µε 3ρ άρα ανήκουν στον κύκλο (Ο,3ρ). Αντίστροφα έστω τυχαίο σηµείο Σ του κύκλου (Ο,3ρ). Με κέντρο το σηµείο Σ κατασκευάζουµε κύκλο ακτίνας ίσης µε ρ και µε κέντρο το σηµείο Ο κατασκευάζουµε κύκλο ακτίνας ίσης µε ρ. Τότε ισχύει ΣΟ = ρ + ρ άρα οι κύκλοι (Σ,ρ) και
8 6. Βασικοί γεωµετρικοί τόποι - Ανισοτικές σχέσεις (Ο,ρ) εφάπτονται εξωτερικά.οµοίως ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων των κύκλων (Κ,ρ) που έχουν µέγιστη απόσταση από το Ο είναι ο κύκλος (Ο,5ρ). Άσκηση Έστω κύκλος (Ο,ρ) και χορδή ΑΒ. Αν ΜΝ είναι µία διάµετρος που δεν τέµνει την ΑΒ δείξτε ότι το συµµετρικό του ΑΒ ως προς τη διάµετρο είναι επίσης χορδή του κύκλου. Έστω Α, Β τα συµµετρικά των Α,Β ως πρός τη διάµετρο ΜΝ. Αρκεί να δείξουµε ότι τα Α και Β ανήκουν και αυτά στον κύκλο Â (Ο,ρ). Συγκρίνουµε τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΝΑ και ΟΝΑ. Έχουµε: ΝΑ = ΝΑ (απο συµµετρία) ΟΝ κοινή πλευρά τρ.ονα = τρ.ο Ν Α ΟΑ = ΟΑ = ρ Ì Í Á Άρα το Α ανήνει στον κύκλο (Ο,ρ). Οµοίως αποδεικνύεται ότι και το Β ανήκει επίσης στον κύκλο (Ο,ρ) Άσκηση 3 ( ) Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ Α 90 ο = η διχοτόµος της γωνίας Γ τέµνει την πλευρά ΑΒ στο. είξτε ότι Α < Β. Από το σηµείο φέρνουµε Ε ΒΓ και συγκρίνουµε τα ορθογώνια τρίγωνα ΕΓ και ΑΓ. Έχουµε: ( ό ) ΓΕ=ΓΑ Γ διχοτ µος ΕΓ=ΑΓ Ε=Α (1) Γ κοινή πλευρά Â Å Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΕ η πλευρα Β είναι υποτείνουσα άρα (1) ισχύει Β > Ε Β > Α Άσκηση 4 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ > ΑΓ και οι διχοτόµοι ΒΕ και ΓΖ τέµνονται στο Σ. Να δείξετε ότι ΣΒ > ΣΓ. Έχουµε ΑΓΒ ΑΒΓ > Γ ΑΓΒ> ΑΒΓ > ΣΓΒ > ΣΒΓ ΣΒ > ΣΓ Å Ó Æ Â
9 Βασικοί γεωµετρικοί τόποι - Ανισοτικές σχέσεις 63. Άσκηση 5 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ<ΑΓ και ΑΜ διάµεσος αυτού. Να δείξετε ότι: β γ β + γ i. ΜΑΒ > ΜΑΓ ii. < µ α < ι. Στην προέκταση της ΑΜ θεωρούµε ΜΑ =ΑΜ και συγκρίνουµε τα τρίγωνα ΜΑΒ και ΜΑ Γ. Έχουµε: ΜΓ = ΜΒ ΜΑ = ΜΑ Οπότε Μ Α Β = Μ Α Γ ΑΜΒ Α ΜΓ = ΜΑΒ = ΜΑ Γ και συνεπώς ΑΒ = Α Γ Από υπόθεση ΑΒ < ΑΓ Α Γ < ΑΓ ΜΑΓ < ΜΑ Γ ΜΑΓ < ΜΑΒ ιι. Στο τρίγωνο ΑΆΓ έχουµε ΑΓ > Α Γ και από τριγωνική ανισότητα ΑΓ Α Γ < ΑΑ < ΑΓ + Α Γ ΑΓ ΑΒ < ΑΜ < ΑΓ + ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΓ + ΑΒ β γ β + γ < ΑΜ < < µ α < Άσκηση 6 Να αποδείξετε ότι το µέσο Μ τόξου ισαπέχει από τις ακτίνες που αντιστοιχούν στα άκρα του τόξου και µάλιστα απόσταση ίση µε το µισό της αντίστοιχης χορδής. ΑΒ Φέρουµε ΜΕ ΟΑ, ΜΖ ΟΒ. Θα δείξουµε ότι: ΜΕ = ΜΖ =. Η ακτίνα ΟΜ είναι διχοτόµος της ΑΟΒ ˆ, αφού ΑΟΜ ˆ = ΒΟΜ ˆ, διότι Μ = ΜΒ και σε ίσα τόξα του ίδιου κύκλου αντιστοιχούν ίσες επίκεντρες γωνίες. Άρα τα ορθογώνια τρίγωνα ΕΟΜ και ΖΟΜ είναι ίσα, διότι έχουν: ΟΜ = ΟΜ (κοινή) ΕΟΜ ˆ = ΖΟΜ ˆ (το αποδείξαµε παραπάνω). Συνεπώς ΜΕ = ΜΖ (1) Επειδή το Μ είναι µέσο του, ως γνωστόν ισχύει ΟΜ ΑΒ και αν είναι το σηµείο τοµής των ΟΜ και ΑΒ, το είναι µέσο του ΑΒ. Å Â Ì Ì Z Á
10 64. Βασικοί γεωµετρικοί τόποι - Ανισοτικές σχέσεις Τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΑ, ΟΜΕ έχουν: ΟΑ = ΟΜ (ως ακτίνες του κύκλου) ΑΟ ˆ = ΕΟΜ ˆ (κοινή) Άρα τα τρίγωνα ΟΑ και ΟΜΕ είναι ίσα, οπότε είναι: ΑΒ ΜΕ = Α ΜΕ = (). ΑΒ Από τις (1) και () παίρνουµε: ΜΕ = ΜΖ =. Άσκηση 7 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και τυχαίο σηµείο της ΒΓ. Αν Ε,Ζ είναι τα ίχνη των καθέτων από το στις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα να δείξετε ότι η ΕΖ είναι µικρότερη από την πλευρά ΒΓ. Στο ορθογώνιο ΕΒ η Β είναι υποτείνουσα άρα Β > Ε (1). Οµοίως στο ορθογώνιο ΖΓ η Γ είναι υποτείνουσα άρα Γ > Ζ (). Προσθέτουµε κατά µέλη τις (1) και () και έχουµε : Β + Γ > Ε + Ζ ΒΓ > Ε + Ζ (3) Από τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΕΖ ισχύει: Ε + Ζ > ΕΖ (4) Â Å Æ Αρα (4) (3) ΒΓ > ΕΖ Άσκηση 8 Σε τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούµε τυχαίο σηµείο Κ της πλευράς ΒΓ. Να δείξετε ότι: τ α < ΑΚ < τ. Από τα τρίγωνα ΑΒΚ, ΑΓΚ, έχουµε: ΑΒ < ΒΚ + ΑΚ (1) ΑΓ < ΓΚ + ΑΚ () Προσθέτουµε τις (1) και () κατά µέλη και έχουµε: ΑΒ + ΑΓ < ( ΒΚ + ΓΚ) + ΑΚ γ + β < α + ΑΚ ã á Ê â
11 Βασικοί γεωµετρικοί τόποι - Ανισοτικές σχέσεις 65. ( γ+ β) α< ΑΚ τ α α < ΑΚ τ α < ΑΚ ( τ α) < ΑΚ τ α< ΑΚ (3) Επίσης από τα ίδια τρίγωνα έχουµε: ΑΚ < ΑΒ + ΒΚ (4) ΑΚ < ΑΓ + ΚΓ (5) Προσθέτουµε τις (4), (5) κατά µέλη και έχουµε: ΑΚ < ΑΒ + ΑΓ + ( ΒΚ + ΚΓ) ΑΚ < γ + β+ α ΑΚ < τ ΑΚ < τ (6) Από (3) και (6) έχουµε: τ α < ΑΚ < τ Άσκηση 9 Πάνω σε χαρτί χαράζουµε ένα κύκλο µε τη βοήθεια ενός νοµίσµατος. Να βρείτε το κέντρο του κύκλου. Αναζητούµε το κέντρο ενός κύκλου. Επειδή από τρία µη συνευθειακά σηµεία σηµεία του επιπέδου διέρχεται µοναδικός κύκλος αρκεί να βρούµε ένα σηµείο που να ισαπέχει από τρία σηµεία του κύκλου. Φέρνουµε τις διαδοχικές χορδές ΑΒ και ΒΓ. Κατασκευάζου- µε τη µεσοκάθετο της χορδήςαβ και τη µεσοκάθετο της χορδής ΒΓ οι οποίες τέµνονται στο σηµείο Ο που είναι και το ζητούµενο σηµείο. Â Πράγµατι το σηµείο Ο ανήκει στην µεσοκάθετο της χορδής ΑΒ οπότε ΟΑ = ΟΒ και στην µεσοκάθετο της χορδής ΒΓ οπότε ΟΒ = ΟΓ. ηλαδή ισχύει ΟΑ = ΟΒ = ΟΓ. Το σηµείο Ο υπάρχει διότι διαφορετικά οι µεσοκάθετοι θα ήταν παράλληλοι άρα τα Α, Β, Γ θα ήταν συνευθειακά (που είναι άτοπο). Επίσης το σηµείο Ο είναι µοναδικό σαν σηµείο τοµής δύο ευθειών. Σηµείωση: Η γεωµετρική κατασκευή της µεσοκαθέτου ευθυγράµµου τµήµατος θεωρήθηκε δεδοµένη. Άσκηση 10 Έστω δύο κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) µε R > ρ, που δεν τέµνονται. Φέρουµε τις κοινές εξωτερικές εφαπτόµενες τους. Να δείξετε ότι: α. τέµνονται σε σηµείο της διακέντρου. β. οι µεσοκάθετοι των κοινών εξωτερικών εφαπτόµενων τµηµάτων τέµνονται σε σηµείο της διακέντρου.
12 66. Βασικοί γεωµετρικοί τόποι - Ανισοτικές σχέσεις α. Στον (Κ, R) η διάκεντρος ΟΚ διχοτοµεί τη γωνία ˆ των εφαπτοµένων τµηµάτων. Οµοίως στον (Λ, ρ) η ΟΛ διχοτοµεί την ΓΟ ˆ. Επειδή όµως η διχοτόµος γωνίας είναι µοναδική, συµπεραίνουµε ότι οι ευθείες ΟΚ και ΟΛ ταυτίζονται. Άρα το Ο ανήκει στην διάκεντρο ΚΛ. β. Έστω Ζ το σηµείο τοµής της διακέντρου ΚΛ και της µεσοκαθέτου του ΑΓ. Τότε ΑΖ = ΖΓ (1). Αρκεί να δείξουµε ότι το Ζ ανήκει στην µεσοκάθετο Ì του Β, δηλαδή αρκεί να δείξουµε ότι: ΖΒ = Ζ. Τα τρίγωνα ΖΟΓ ΟΖ = ΟΖ (κοινή) και ΖΟ έχουν: ΟΓ = Ο (εφαπτόµενα τµήµατα) Ο ˆ = Οˆ (ΟΛ διχοτόµος της ΓΟ ˆ ) 1 Άρα ΖΟΓ = ΖΟ (ΠΓΠ), οπότε: ΖΓ = Ζ () Οµοίως αποδεικνύεται ότι ΖΟΑ = ΖΟΒ, οπότε ΖΑ = ΖΒ (3) Η (1) δια µέσου των () (3) γίνεται ΖΒ = Ζ. Ê Z N Ë 1. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. α. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ και ισοσκελές τρίγωνο ΑΓ µε ΑΓ = Α. Να δείξετε ότι τα σηµεία Β,Γ και δεν είναι συνευθειακά. β. Να βρεθεί το κέντρο του κύκλου που διέρχεται από τις κορυ- φές τριγώνου ΑΒΓ.. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να δειχθεί ότι: υα δ α µ α ã â õ á ä á ì á H M 3. Στις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ µε ΑΒ < ΑΓ παίρνουµε αντίστοιχα τα τµήµατα Β = ΓΕ. Να αποδειχθεί ότι ΒΕ > Γ. E
13 Βασικοί γεωµετρικοί τόποι - Ανισοτικές σχέσεις Σε κύκλο (Ο,ρ) η χορδή ΑΒ είναι διπλάσια µιας χορδής ΑΓ. είξτε ότι το κυρτογώνιο τόξο ΑΒ είναι µεγαλύτερο του διπλάσιου του κυρτογώνιου τόξου ΑΓ. 5. Στο τρίγωνο ΑΒΓ, είναι ΑΒ < ΑΓ. Αν η Α είναι η διχοτόµος της γωνίας Α, να δειχθεί ότι Β < Γ. 6. Σε τρίγωνο ΑΒΓ, είναι ˆΓ< Α/ ˆ. ˆΒ 90 ο < και ΑΓ = ΑΒ. Να αποδειχθεί ότι 7. Στην πλευρά ΑΒ του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ, παίρνουµε τυχαίο E σηµείο και στην προέκταση της ΑΓ το τµήµα ΓΕ = Β. Να δειχθεί ότι Ε > ΒΓ. E 8. Στην πλευρά ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ παίρνουµε σηµείο. Να δειχθεί ότι: α. β. ΑΒ + ΑΓ + ΒΓ Α < ΑΒ + ΑΓ - ΒΓ Α > γ. Α < ΑΒ + ΑΓ 9. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των κορυφών Α των τριγώνων ΑΒΓ µε σταθερή πλευρά ΒΓ και µε ύψος υ α γνωστού µήκους.
14 68. Βασικοί γεωµετρικοί τόποι - Ανισοτικές σχέσεις 10. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και πάνω στο ύψος Α τυχαίο σηµείο Ρ. Αν οι ΒΡ και ΓΡ τέµνουν τις ΑΓ και ΑΒ στα Ε και Ζ αντίστοιχα να δείξετε ότι ΒΕ = ΓΖ. Æ Ñ E 11. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και τυχαίο σηµείο της πλευράς ΑΓ. Αποδείξτε ότι το συµµετρικό του τριγώνου ΑΒΓ ως προς είναι τρίγωνο ίσο µε το ΑΒΓ. 1. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ = α και ΒΓ > α. Για τυχαίο εσωτερικό σηµείο Σ του τριγώνου δείξτε ότι ΒΣΓ > ΣΒΓ και ΒΣΓ > ΣΓΒ. 13. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και µ α η διάµεσος της κορυφής Α. Να δείξετε ότι: ι) β + γ α β+ γ α+ β+ γ < µ α < ιι) < µ α + µ β + µ γ < α + β + γ 14. Έστω κύκλοι (Κ,ρ) και (Ο,R) οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά στο σηµείο Α. ι. Υπάρχει κύκλος που εφάπτεται εξωτερικά στους δύο προηγούµενους και έχει το κέντρο του πάνω στην κοινή τους εφαπτόµενη; ιι. Η διάκεντρος και οι κοινές τους εφαπτόµενες διέρχονται από το ίδιο σηµείο; Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. 15. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΓ > ΑΒ και ΑΜ διάµεσος. Να δείξετε ότι: ι. Αν Σ τυχαίο σηµείο της ΑΜ τότε ΣΓ > ΣΒ. ιι. Ισχύει ΒΑΜ > ΜΑΓ ιιι. Η γωνία ΑΜΓ είναι αµβλεία. 16. Ένας γεωργός θέλει να περιφράξει µε συρµατόπλεγµα ένα χωράφι τριγωνικού σχή- µατος. Καθώς βρισκόταν µέσα στο χωράφι είπε στο γιο του: Από τη µία κορυφή απέχουµε 40m και από τις άλλες δύο 60m. Μην αγοράσεις πάνω από 30m συρµατόπλεγµα. Πως ήξερε ότι θα ήταν αρκετό; Ε. ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και τα ύψη υ α, υ β και υ γ. Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα α+ β+ γ < υα + υβ + υγ < α + β + γ
Ôñßãùíá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 3 θα πρέπει να είναι σε θέση:
ÊåöÜëáéï 3 ï Ôñßãùíá Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 3 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει και να εφαρµόζει τα κριτήρια ισότητας τριγώνων και ορθογωνίων τριγώνων. Να γνωρίζει τις ιδιότητες
Διαβάστε περισσότεραΟµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Ηµιεπίπεδο Κάθε ευθεία ε επιπέδου Π χωρίζει τα σηµεία του επιπέδου που δεν ανήκουν στην ε σε δύο σηµειοσύνολα Π 1
2 Η γωνία - Ο κύκλος Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ηµιεπίπεδο Κάθε ευθεία ε επιπέδου Π χωρίζει τα σηµεία του επιπέδου που δεν ανήκουν στην ε σε δύο σηµειοσύνολα Π 1, Π 2 τα οποία ονοµάζονται ηµιεπίπεδα
Διαβάστε περισσότερα1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:
Διαβάστε περισσότεραΤάξη A Μάθημα: Γεωμετρία
Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα
Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A
1 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A Οξυγώνιο τρίγωνο, όλες οι γωνίες οξείες B A µβλυγώνιο τρίγωνο,
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι
Διαβάστε περισσότεραΤρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)
Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα
Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι
Διαβάστε περισσότερα1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ.
1. Στο σχήµα που ακολουθεί, η Αx είναι εφαπτοµένη του κύκλου (Ο, ρ) σε σηµείο του Α και επιπλέον ισχύουν ΓΑ x =85 0 και BA =40 0. α) Να αποδείξετε ότι ˆΒ 1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 2. Στο ακόλουθο
Διαβάστε περισσότεραΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι
Διαβάστε περισσότερα1 Εγγεγραµµένα σχήµατα
Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.
Διαβάστε περισσότεραΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία
Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού
Διαβάστε περισσότερα2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ
1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας
Διαβάστε περισσότεραΚύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.
ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές
Διαβάστε περισσότερα6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.
1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΒ.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες
Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Πρόλογος... 7 Περιεχόµενα... 9 Κεφάλαιο ο (του σχολικού βιβλίου) Μάθηµα 1 ο : Βασικά γεωµετρικά σχήµατα... 11 Μάθηµα ο : Γωνίες - κύκλος... 3 Κεφάλαιο 3 ο Μάθηµα 3
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις ανάπτυξης 1. ** 2. ** 3. ** 4. ** 5. ** 6. **
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνονται επίπεδο p και τρία µη συνευθειακά σηµεία του Α, Β και Γ καθώς και ένα σηµείο Μ, που δεν συµπίπτει µε το Α. Αν η ευθεία ΑΜ τέµνει την ευθεία ΒΓ, να δείξετε ότι το Μ είναι
Διαβάστε περισσότερα2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.
1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα
Διαβάστε περισσότεραA λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )
A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος
3. 3.9 ΘΕΩΡΙ. Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 2. Είδη τριγώνων Ως προς τις πλευρές : Σκαληνό, ισοσκελές, ισόπλευρο. Ως προς τις γωνίες
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο
ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΘΕΜΑ 1 ο (α) Να αποδειχθεί ότι στον ίδιο ή σε ίσους κύκλους, ίσα αποστήµατα αντιστοιχούν σε ίσες χορδές. (β) Να αποδειχθεί ότι κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός ευθύγραµµου τµήµατος ισαπέχει
Διαβάστε περισσότεραΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες
Διαβάστε περισσότεραΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν µε κατάλληλη µετατόπιση, το ένα συµπίπτει µε το άλλο. Β. Κριτήρια ισότητας τριγώνων Πρώτο κριτήριο Αν όλες οι πλευρές του ενός τριγώνου
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις
Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων
Διαβάστε περισσότεραα) Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων Β Ε γ) Να υπολογίσετε τη γωνία ΕΖ.
1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=ΑΓ είναι Â =80. Παίρνουµε τυχαίο σηµείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σηµεία και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε Β =ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε τις
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει
Διαβάστε περισσότερα2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.
1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος
Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι
Διαβάστε περισσότερα2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης
η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου
Διαβάστε περισσότεραΤο τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.
5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ
Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ
Διαβάστε περισσότερα3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα
3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα 4 η διδακτική ενότητα : Ισότητα τριγώνων Ερωτήσεις κατανόησης 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις : α) Υπάρχουν σημεία του επιπέδου που
Διαβάστε περισσότεραΚαλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...
Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 011 ΘΕΜΑ 1 Ο Να αποδείξετε ότι, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του ισούται µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της στην
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΠΝΠΤΙΣ ΣΣΙΣ > 90. 1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο µε = και 0 πό την κορυφή φέρνουµε τις ηµιευθείες x κάθετη στην πλευρά και y κάθετη στην πλευρά που τέµνουν την στα σηµεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε α)
Διαβάστε περισσότερα5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.
5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου
Διαβάστε περισσότεραΑπέναντι πλευρές παράλληλες
5. 5.5 ΘΩΡΙ. Παραλληλόγραµµο πέναντι πλευρές παράλληλες. Ιδιότητες παραλληλογράµµου πέναντι πλευρές ίσες πέναντι γωνίες ίσες Οι διαγώνιοι διχοτοµούνται Το σηµείο τοµής των διαγωνίων είναι κέντρο συµµετρίας
Διαβάστε περισσότεραΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;
1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που
Διαβάστε περισσότεραµ =. µονάδες 12+13=25
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β 1 ΓΕΝΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε α=7, β=5, γ=4. Να βρείτε: 1. το είδος του τριγώνου. την προβολή της β πάνω στη γ 3. το µήκος της διαµέσου ΒΜ 4. την προβολή
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ
1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου
Διαβάστε περισσότεραΚόλλιας Σταύρος 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:
Κόλλιας Σταύρος http://users.sch.gr/stkollias 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ
Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη 014 στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Άσκηση 1 η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και. Με διάμετρο τη διαγώνιο ΑΓ γράφουμε κύκλο με κέντρο Ο που τέμνει τη ΓΔ στο
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 5 ï. Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση:
ÊåöÜëáéï 5 ï Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει τις ιδιότητες του παραλληλογράµµου, ορθογωνίου, ρόµβου, τετραγώνου, τραπεζίου.
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2013 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΩΝ ΑΝΑΡΓΥΡΩΝ ΤΑΞΗ Α ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ B Κ 1.1 ΕΝΟΤΗΤΑ : Βασικές Γεωμετρικές ένοιες Τάξη : A Γυμνασίου. Καθ. Χρήστος Μουρατίδης
Διαβάστε περισσότερα4 o ìüèçìá. Ôñßãùíá Ï B. 3 ÊåöÜëáéï. Âáóéêïß ãåùìåôñéêïß ôüðïé - ÁíéóïôéêÝò ó Ýóåéò
3 o ìüèçìá Ôñßãùíá Â Ï Á o 3 ÊåöÜëáéï 4 o ìüèçìá Âáóéêïß ãåùìåôñéêïß ôüðïé - ÁíéóïôéêÝò ó Ýóåéò O 3 Τρίγωνα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός - Κύρια στοιχεία τριγώνου Τρίγωνο ονοµάζεται ένα πολύγωνο
Διαβάστε περισσότεραΟνοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ)
3. Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ). Εξίσωση παραβολής p, όπου
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων
εωμετρία και Λυκείου ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜA Ορισμός Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. ηλαδή το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, όταν // και //. Ιδιότητες παραλληλογράμμων
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και
Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου
Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 31. Ύλη: Τρίγωνα
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 31 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Τρίγωνα 02-12-12 Θέμα 1 ο : Α. Να αποδείξετε ότι δυο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσα. (7 μον.) Β. Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΑΒ ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) και σηµείο Μ της πλευράς του Α ώστε =. Από το
1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=ΑΓ, Â =36o και η διχοτόµος του Β. α) Να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα Β Γ και ΑΒΓ είναι όµοια. ii) A 2 =ΑΓ Γ β) Αν θεωρήσουµε το ΑΓ ως µοναδιαίο τµήµα (ΑΓ=1), να υπολογίσετε
Διαβάστε περισσότερα1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του.
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. 2. ** Υπάρχει κανονικό πολύγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας
Διαβάστε περισσότεραΘέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
Διαβάστε περισσότεραΓενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α
ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
8 Παραβολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Παραβολή είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από µια σταθερή ευθεία (δ) που λέγεται διευθετούσα της παραβολής και από
Διαβάστε περισσότερα1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι:
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι: α) ΑΜ = 1 2 ( ΑΒ + ΑΓ ) β) ΜΝ = 1 2 ΒΑ 2. ** ίνονται τα διανύσµατα ΑΒ και Α Β. Αν Μ και Μ
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10
ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09
Διαβάστε περισσότερα6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών
6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη
Διαβάστε περισσότεραΟρισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου.
6.5 6.6 ΘΩΡΙ. Ορισµοί Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιµο σε κύκλο, όταν µπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται
Διαβάστε περισσότεραΓ ε ω μ ε τ ρ ι α. A Λ υ κ ε ι ο υ. Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς
ε ω μ ε τ ρ ι α A Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς ε ω μ ε τ ρ ι α A Λ υ κ ε ι ο υ ασικα εωμετρικα Σχηματα Τριγωνα Παραλληλες Ευθειες Παραλληλογραμμα - Τραπεζια Εγγεγραμμενα
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53
Διαβάστε περισσότερα3.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας
3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 A Οµάδας. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συµµετρίας τον άξονα σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : (i) Όταν
Διαβάστε περισσότεραα Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M
Απαντήσεις 51 5. Εφαρµογές των παραλληλογράµµων α Εφαρµογές στα τρίγωνα α.1 Στο τρίγωνο AB Γ είναι Ε // (1) Επίσης Ζ, ΕΗ, άρα Ζ // ΕΗ () Από τις (1), () έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. α. Στο
Διαβάστε περισσότεραΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 6/ 11/ 2016
εν είναι δυνατή η προβολή αυτής της εικόνας αυτή τη στιγµή. ΕΠΩΝΥΜΟ:... ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΤΣΙΜΙΣΚΗ &ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 - Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ: 919113 949422 www.syghrono.gr ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:...
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ
ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η
Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα
Διαβάστε περισσότερα24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ
ÊåöÜëáéï 7 ï Åõèýãñáììá ó Þìáôá âéâëéïììüèçìá : -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ âéâëéïììüèçìá 3: -Åìâáäü ôñéãþíïõ -Åìâáäü
Διαβάστε περισσότεραΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»
1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.
Διαβάστε περισσότεραΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΣχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2
A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:
Διαβάστε περισσότερα3.1. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας
3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 87 89 Οµάδας. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου µε κέντρο την αρχή των αξόνων σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : (i) Όταν διέρχεται από το σηµείο Α(, 3 ) (ii)
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 34 1ο ΣΧΕ ΙΟ ιδακτική ενότητα: Πυθαγόρειο Θεώρηµα ΘΕΜΑ 1ο Α. (1,5 µονάδες) Αν στο διπλανό σχήµα το Α είναι ύψος του τυχαίου τριγώνου ΑΒΓ και Ε ΑΒ,
Διαβάστε περισσότεραΣε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόµος της γωνίας της κορυφής είναι και διάµεσος και ύψος.
ΙΩΝΙΣΜ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΥΚΕΙΟΥ 3/0/0 ΕΝΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜ ο ) Να αποδείξετε ότι δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και µόνο αν τα αποστήµατά τους είναι ίσα. Θεωρία, σελίδα 46 σχολικού βιβλίου Θεώρηµα III
Διαβάστε περισσότεραβ. Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την κορυφή του ισοσκελούς τριγώνου καλείται βάση.
1 Τρίγωνα 11 Στοιχεία και είδη τριγώνων 111 Κύρια στοιχεία τριγώνου Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου Συγκρίνοντας τις πλευρές του τριγώνου μεταξύ τους προκύπτουν
Διαβάστε περισσότεραΑ λ γ ε β ρ Λ υ κ ε ι ο υ Γ ε ω μ ε τ ρ ι α Α Λ υ κ ε ι ο υ
Κ Κ α α ι ι τ τ ο ο Λ Λ υ υ σ σ α α ρ ρ ι ι............ λ λ λ λ ι ι ω ς ς!!!!!! λ γ ε β ρ Λ υ κ ε ι ο υ ε ω μ ε τ ρ ι α Λ υ κ ε ι ο υ π ι μ ε λ ε ι α Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς w w w. d r m a t h s
Διαβάστε περισσότεραΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Αν α είναι η απόσταση ευθείας ε από το κέντρο του κύκλου (Ο, ρ) τότε: αν α > ρ η ε λέγεται εξωτερική του κύκλου αν α = ρ η ε λέγεται τέμνουσα του
Διαβάστε περισσότερα4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης
4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και Μ το µέσο του. Η Μ τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i ΟΜ = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ και Μ έχουν Μ =
Διαβάστε περισσότερα2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ
ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα Πλευρές ΑΒ ή ΒΑ ή γ ΑΓ ή ΓΑ ή β ΒΓ ή ΓΒ ή α Γωνίες ˆ ή ˆ ή ˆ ˆ ή ˆ ή ˆ ˆ ή ˆ ή ˆ μ α δ α υ α Διάμεσος ΑΜ ή μ α Διχοτόμος ΑΔ ή δ α Ύψος
Διαβάστε περισσότεραΣωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα
Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα
Διαβάστε περισσότερα1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης
η εκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο µε υποτείνουσα την και ɵ = 30 ο. Έστω διάµεσος του και, Ζ, Η τα µέσα των, και αντίστοιχα. Στην προέκταση του Ζ παίρνουµε τµήµα ΖΚ= Ζ. Να δείξετε ότι
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 05-6 (version 3--06) Σημειώστε με μονές, διπλές ή και τριπλές γραμμούλες τα κατάλληλα ίσα κύρια στοιχεία ώστε τα τρίγωνα αυτά να είναι ίσα σύμφωνα με καθένα από τα 3 κριτήρια
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν Α ΒΓ, Ε ΑΒ τότε το τρίγωνο
Διαβάστε περισσότεραΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ
Διαβάστε περισσότερα