ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗΣ ΣΧΕΔΙΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

Transcript

1 Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 21 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2008), σελ ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗΣ ΣΧΕΔΙΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Νίκος Φαρμάκης, Μαυρουδής Ελευθερίου Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Τμήμα Μαθηματικών, Τομέας Στατιστικής και Επιχειρησιακής Έρευνας ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η απαίτηση για ελαχιστοποίηση του κόστους εφαρμογής των σχεδίων συνεχούς δειγματοληψίας, οδήγησε στην ανάπτυξη καινοτόμων οικονομικών μοντέλων. Παρουσιάζονται τέσσερα οικονομικά μοντέλα εκ των οποίων τα δύο καινοτόμα, μελετώνται οι ιδιαιτερότητες των συνθηκών εφαρμογής καθενός εξ αυτών και παρατίθενται συνοπτικά τα χαρακτηριστικά τους στοιχεία. Προσομοιώσεις διεξάγονται για να αποκαλύψουν τα ειδικά χαρακτηριστικά των μοντέλων και να επιτρέψουν την εποπτεία τους σε οικονομική βάση, ακολουθώντας τις επιταγές της εποχής για ελαχιστοποίηση του κόστους. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το πρώτο σχέδιο συνεχούς δειγματοληψίας, ευρύτερα γνωστό ως CSP-1 επινοήθηκε από τον Dodge το 1941, και αποτέλεσε το εφαλτήριο μιας πραγματικής επανάστασης στον χώρο του δειγματοληπτικού ελέγχου ποιότητας. Ακολούθησε πλήθος μετασχηματισμών, επεκτάσεων και τροποποιήσεων του αρχικού σχεδίου, εκπορευόμενο από την ανάγκη προσαρμογής στις ραγδαία εξελισσόμενες απαιτήσεις της βιομηχανίας. Η σύγχρονη προσέγγιση των συνεχών σχεδίων δειγματοληψίας (Contnuou Samplng Plan ή συντομότερα CSP) έχει προσλάβει έντονα οικονομικό προσανατολισμό, ακολουθώντας τις επιταγές της εποχής. Το σύνολο σχεδόν των ερευνητικών προσπαθειών εστιάζονται στην ελαχιστοποίηση του κόστους εφαρμογής των CSP. Οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται δεν περιορίζονται πλέον στην εκτίμηση ποιοτικών παραμέτρων αλλά κατασκευάζονται νέα οικονομικά μοντέλα περισσότερo ρεαλιστικά. Σε αυτό το πνεύμα κινούμενοι παρουσιάζουμε μια σύντομη περιγραφή των τελευταίων εξελίξεων στην προσπάθεια ελαχιστοποίησης του κόστους εφαρμογής των CSP. Πιο συγκεκριμένα μελετάται το απλό οικονομικό μοντέλο του Caady (2000), όπου για πρώτη φορά εισάγονται τα τρία βασικά κόστη που θεωρούνται ικανά να περιγράψουν την σχεδόν πραγματική οικονομική συμπεριφορά των CSP. Περιγράφονται επίσης τρία ακόμη μοντέλα που αποτελούν τροποποιήσεις του προηγούμενου με σκοπό την καλύτερη προσαρμογή τους στις πραγματικές συνθήκες εφαρμογής των

2 CSP. Επισημαίνονται οι διαφορές των μοντέλων και μελετώνται τα βασικά τους χαρακτηριστικά τόσο ποσοτικά όσο και εποπτικά. 2. Το μοντέλο του Caady Σύμφωνα με τη καινοτόμα πρόταση του Caady (2000), το κόστος εφαρμογής ενός CSP διαμορφώνεται από τα ακόλουθα επιμέρους κόστη: α) το προκαθορισμένο κόστος επιθεώρησης ενός τεμαχίου (c ) που επιθεωρείται. Ως C ορίζουμε την τυχαία μεταβλητή κόστους επιθεώρησης ανά παραγόμενο τεμάχιο. Ισχύει η ακόλουθη σχέση: C c AFI p (1) όπου το AFI(p), είναι το μακροπρόθεσμα αναμενόμενο ποσοστό τεμαχίων που έχουν επιθεωρηθεί (Average Fracton Inpected) και p η εισερχόμενη ποιότητα που εκφράζει την πιθανότητα ενός τεμαχίου να είναι ελαττωματικό. β) το προκαθορισμένο κόστος αντικατάστασης ενός τεμαχίου που επιθεωρήθηκε και κρίθηκε ελαττωματικό (c r ). Το κόστος αυτό μπορεί να περιλαμβάνει το κόστος παραγωγής του προς αντικατάσταση τεμαχίου και το κόστος αποθήκευσης των ανταλλακτικών τεμαχίων. Επίσης, ορίζουμε ως C r την τυχαία μεταβλητή του κόστους αντικατάστασης (λόγω ελαττώματος) ανά παραγόμενο τεμάχιο. Τότε θα ισχύει: C c AFI p p (2) r r γ) το κόστος αποδοχής (χωρίς επιθεώρηση) ενός ελαττωματικού τεμαχίου (c α ). Το κόστος αυτό περιλαμβάνει κόστος εγγύησης, τεχνικής υποστήριξης, ελλιπούς αξιοπιστίας και απώλειας της εμπιστοσύνης του καταναλωτή λόγω εντοπισμού ελαττωματικού τεμαχίου μετά την έξοδο του προϊόντος από τη γραμμή παραγωγής και ελέγχου ποιότητας. Ομοίως, με τα προηγούμενα κόστη ορίζουμε ως C α την τυχαία μεταβλητή του κόστους αποδοχής ανά παραγόμενο τεμάχιο και έχουμε: C c 1AFIp p (3) Πρέπει να σημειωθεί ότι η ανάγκη για προσαρμογή σε πραγματικές συνθήκες αλλά και ο τρόπος ορισμού των μεταβλητών του κοστους που προηγήθηκε, οδηγεί στη διατύπωση της ακόλουθης σχέσης μεταξύ τους: c cr c. Στο μοντέλο του Caady όλα τα κόστη θεωρούνται σταθερά. Γίνεται εύκολα αντιληπτό ότι το συνολικό αναμενόμενο κόστος ανά παραγόμενο τεμάχιο (ουσιαστικά το μέσο κόστος) κατά την εφαρμογή ενός CSP θα είναι το ακόλουθο άθροισμα: E C E C E C E Cr (4) Για λόγους απλοποίησης όλα τα μοντέλα που παρουσιάζονται, θα έχουν βάση ε- φαρμογής το απλούστερο από τα CSP, δηλαδή το CSP-1, ενώ παράλληλα θα θεωρείται δεδομένη η κατάσταση στατιστικού ελέγχου, δηλαδή η πιθανότητα p να είναι ένα τεμάχιο ελαττωματικό θα είναι σταθερή

3 Στο CSP-1 γίνεται 100% επιθεώρηση, μέχρι να βρεθούν διαδοχικά μη ελαττωματικά τεμάχια. Τότε ξεκινά η φάση δειγματοληψίας με συχνότητα f η οποία διαρκεί μέχρι να εντοπιστεί ένα ελαττωματικό τεμάχιο. Αν ορίσουμε ως u τον αναμενόμενο αριθμό τεμαχίων που επιθεωρούνται κατά τη διάρκεια της φάσης 100% επιθεώρησης και ως v τον αναμενόμενο αριθμό τεμαχίων που περνούν (είτε έχουν επιθεωρηθεί είτε όχι) από τη φάση της δειγματοληψίας. Τότε (Duncan (1986)) τα u και v μπορούν να υπολογιστούν ως εξής: 1 q u pq 1 v (5) fp όπου q1p. Συνεπώς, το μακροπρόθεσμα μέσο ποσοστό επιθεωρούμενων τεμαχίων AFI(p), θα είναι: u fv f AFIp (6) u v f q 1f Έχοντας υπολογίσει το AFI(p), οι σχέσεις (1)-(3) με αντικατάσταση από τη σχέση (6) δίνουν τα επιμέρους κόστη ενώ η σχέση (4) δίνει το συνολικό αναμενόμενο κόστος ανά παραγόμενο τεμάχιο: cf c 1f pq cfp r EC (7) f 1f q 3. ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ ΕΠΙΘΕΩΡΗΣΗΣ Η σημαντικότερη διαφοροποίηση που επέρχεται στο οικονομικό μοντέλο που προτείνουν οι Chung-Ho και Chao-Yu (2002) είναι ότι το κόστος επιθεώρησης παύει να είναι σταθερό και μεταβάλλεται γραμμικά. Η ιδέα γεννήθηκε όταν οι εμπνευστές της παρατήρησαν ότι όταν απαιτείται η επιθεώρηση περισσότερων τεμαχίων, χρειάζονται δυσανάλογα περισσότερος εξοπλισμός, προσωπικό και χρόνος, γεγονός που οδηγεί στην αύξηση του κόστους επιθεώρησης. Η παρατήρηση αυτή μεταφράζεται εύκολα στην ακόλουθη μαθηματική έκφραση για το κόστος επιθεώρησης: c ab ufv, a,b 0, (8) όπου a είναι η σταθερά κόστους επιθεώρησης του γραμμικού μοντέλου, b είναι ο συντελεστής του πρωτοβάθμιου όρου του μοντέλου, ενώ οι ποσότητες u και v όπως στις σχέσεις (5). Αντικαθιστώντας τη σχέση (8) στην (7) προκύπτει η εξίσωση που δίνει το συνολικό αναμενόμενο κόστος ανά παραγόμενο τεμάχιο, στην περίπτωση του γραμμικά μεταβαλλόμενου κόστους επιθεώρησης:

4 E C afpq bf c 1f p q crfp q pq f 1f q (9) 4. ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ ΑΠΟΔΟΧΗΣ Το φυσικό επακόλουθο της εξέλιξης που πρότειναν οι Chung-Ho και Chao-Yu ήταν η γενίκευση της γραμμικής μεταβολής και στα υπόλοιπα κόστη. Οι Φαρμάκης και Ελευθερίου (2007) πρότειναν τη γραμμική μεταβολή του κόστους αποδοχής ως μια ακόμη προσπάθεια διαμόρφωσης ενός ρεαλιστικότερου οικονομικού μοντέλου. Πράγματι, το κόστος αποδοχής απεικονίζει μεταξύ των άλλων το μεταβαλλόμενο κόστος της απώλειας της εμπιστοσύνης του καταναλωτή (το οποίο εξαρτάται από το πλήθος των ελαττωματικών τεμαχίων), το κόστος απόσυρσης ελαττωματικών τεμαχίων από την αγορά και το κόστος διατήρησης της ανοχής της αγοράς. Λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω, μπορούμε να θεωρήσουμε το κόστος αποδοχής ενός ελαττωματικού τεμαχίου στη φάση της δειγματοληψίας, γραμμικά ανάλογο προς το μέσο πλήθος τεμαχίων που δεν επιθεωρούνται σε έναν κύκλο επιθεώρησης. Ως κύκλο επιθεώρησης ορίζουμε το τμήμα της γραμμής παραγωγής που αποτελείται από μια φάση 100% επιθεώρησης ακολουθούμενη από μια φάση δειγματοληψίας. Η μαθηματική έκφραση του γραμμικά μεταβαλλόμενου κόστους αποδοχής είναι η εξής: c 1f vp (10) όπου α είναι η σταθερά του κόστους αποδοχής του μοντέλου και β ο συντελεστής του πρωτοβάθμιου όρου του μοντέλου. Αντικαθιστώντας τη σχέση (10) στην εξίσωση (7), παίρνουμε την αναλυτική μορφή του συνολικού αναμενόμενου κόστους ανά παραγόμενο τεμάχιο: cf cfp r 1f pqbf1fpqa EC (11) f q 1f f 5. ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ ΑΠΟΔΟΧΗΣ Το επόμενο βήμα που μελετάται από τους Ελευθερίου και Φαρμάκη, είναι προσπάθεια για την ανάπτυξη ενός οικονομικού μοντέλου με δευτεροβάθμια μεταβαλλόμενο κόστος αποδοχής, καθώς το μοντέλο του γραμμικά μεταβαλλόμενου κόστους συχνά αποδεικνύεται ανεπαρκές. Η αναγκαιότητα του δευτεροβάθμιου μοντέλου μπορεί να ερμηνευθεί θεωρητικά, λαμβάνοντας υπόψη ότι κάθε καταναλωτής του υπό έλεγχο προϊόντος, αποτελεί εν δυνάμει πηγή κόστους αποδοχής, καθώς είναι πιθανό να βρει ένα ελαττωματικό προϊόν και κατά συνέπεια να χάσει την εμπιστοσύνη του σε αυτό. Παράλληλα, κάθε δυσαρεστημένος καταναλωτής επηρεάζει και δυσφημεί το προϊόν εσκεμμένα ή όχι στο ευρύτερο περιβάλλον του. Προφανώς όσο περισσότερα είναι τα ελαττωματικά προϊόντα που έχουν διαρρεύσει στην αγορά, τό

5 φάση δειγματοληψίας,, αναμένουμε να συναντήσουμε σο περισσότεροι είναι οι καταναλωτές που έμμεσα δέχονται τη δυσφήμιση για αυτά. Αυτό διαισθητικά ερμηνεύεται από το γεγονός ότι η διαρροή αυξημένου αριθμού ελαττωματικών προϊόντων συνοδεύεται και από πολλαπλάσιες αλληλεπιδράσεις μεταξύ των καταναλωτών. Εν γένει για m ελαττωματικά τεμάχια που περνούν από τη m m 1 /2 ζεύγη αλληλεπίδρασης, οπότε και η σημασία του δευτεροβάθμιου μοντέλου είναι προφανής. Στην προηγούμενη σχέση η ποσότητα m θα είναι ίση με: m 1 f pv (12) Με βάση την παραπάνω προσέγγιση το κόστος αποδοχής θα έχει την εξής μορφή: 0 m 0 c mm1 (13) m1 2 Η τιμή της παραμέτρου τ είναι θετική και συνήθως κοντά στην τιμή του c r.. Η παρουσία της διασφαλίζει ότι ο αριθμός των αλληλεπιδράσεων θα είναι διάφορος του μηδενός όταν η τιμή του m είναι πολύ κοντά στη μονάδα. Ιδιαίτερης σημασίας αναδεικνύεται ο προσδιορισμός του πεδίου τιμών της παραμέτρου τ, ώστε να επιτυγχάνεται η ρεαλιστική συμπεριφορά του μοντέλου. Απλή επεξεργασία του δεύτερου τμήματος της εξίσωσης (13) οδηγεί στον ακόλουθο περιορισμό: 1 cr (14) 8 Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (12) και (13) στην εξίσωση (7) παίρνουμε την εξής έκφραση του συνολικού αναμενόμενου κόστους ανά παραγόμενο τεμάχιο: E C f c 2pf cr p 1f q 13f 2f 1 2 2f f 1 q q (15) 6. ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ Η υλοποίηση των τεσσάρων μοντέλων που περιγράφηκαν παραπάνω ολοκληρώνεται με τον προσδιορισμό εκείνων των παραμέτρων του σχεδίου (στην περίπτωση μας του CSP-1) που ελαχιστοποιούν το συνολικό αναμενόμενο κόστος ανά παραγόμενο τεμάχιο όπως αυτό εκφράζεται από τις σχέσεις (7), (9), (11) και (15) για δεδομένη τιμή της AOQL. Η AOQL (Average Outgong Qualty Lmt) αποτελεί ουσιαστικά ένα άνω όριο που τίθεται κάθε φορά από τον καταναλωτή ή τον παραγωγό για την τιμή της παραμέτρου p, ώστε να διασφαλίζεται η αξιοπιστία της παραγωγής. Το καθένα λοιπόν από τα παραπάνω μοντέλα παίρνει τη μορφή: Ελαχιστοποίηση του Ε(C)

6 υπό τους όρους: max AOQ AOQL, 0,nteger 0 f 1 0p1 Ορίζοντας ως p l την τιμή του p για την οποία επιτυγχάνεται η AOQL, ο Dodge (1943) απέδειξε ότι: AOQL 1 pl (16) 1 l 1 1 p f AOQL 1p 1 l Προφανώς η εξίσωση (17) μας δίνει την τιμή του f (για δεδομένη τιμή του ) για την οποία επιτυγχάνεται η AOQL. (Stephen, 1979). Έτσι τα εκάστοτε μοντέλα θα παίρνουν την εξής μορφή: Ελαχιστοποίηση του Ε(C) (17) υπό τους όρους: 1 AOQL AOQL 1 AOQL 1 1 1, 0,nteger, 0 f 1 7. ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ Η σύγκριση των παραπάνω μοντέλων δεν είναι εύκολα εφικτή γιατί κάθε ένα από αυτά είναι προορισμένο να περιγράψει συγκεκριμένες καταστάσεις, όπου επικρατούν ειδικές συνθήκες και οι στόχοι διαφέρουν. Ωστόσο μπορούμε να πάρουμε μια ιδέα της διαφορετικότητας αλλά και των ομοιοτήτων των μοντέλων, παρατηρώντας τους παρακάτω πίνακες. Σε αυτούς για συγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων του μοντέλου (ανάλογα με τις ιδιαιτερότητες της γραμμής παραγωγής), και της εισερχόμενης ποιότητας p, υπολογίζεται το ελάχιστο κόστος ανά παραγόμενο τεμάχιο αλλά και οι τιμές των παραμέτρων για τις οποίες αυτό επιτυγχάνεται. Από τις σχέσεις (16) και (17) διαφαίνεται ότι δεν υπάρχει δυνατότητα εύκολης συγκριτικής εποπτείας των μοντέλων. Ωστόσο οι πίνακες που ακολουθούν αποτελούν μικρά παράθυρα που επιτρέπουν να φανούν κάποια χαρακτηριστικά των μοντέλων για εφικτούς συνδυασμούς των παραμέτρων και f. Στον πίνακα 1 παρατίθεται ένα παράθυρο της εισερχόμενης ποιότητας p κυμαινόμενο στο φάσμα Όλες οι παράμετροι του κόστους θεωρούνται σταθερές. Καθώς επιδεινώνεται η ποιότητα το ελάχιστο κόστος όπως είναι αναμενόμενο αυξάνεται ενώ παράλληλα μειώνεται η τιμή του για την οποία αυτό επιτυγχάνεται

7 Πίνακας 1. Το μοντέλο του Caady, c =1,c r =8,c a =16, p l =0.1% p f AFI E(C) Στον πίνακα 2 παρατίθεται ένα αντίστοιχο παράθυρο για τιμές της εισερχόμενης ποιότητας από έως και Εδώ τα κόστη αντικατάστασης και αποδοχής θεωρούνται σταθερά ενώ το κόστος επιθεώρησης γραμμικά μεταβαλλόμενο. Η επίδραση του μεταβαλλόμενου κόστους επιθεώρησης (συγκεκριμένα ελαττούμενου) είναι σημαντική και οδηγεί σε μείωση του μέσου κόστους επιθεώρησης αυξανομένου του p. Πίνακας 2. Το μοντέλο του γραμμικά μεταβαλλόμενου c, a=1, b=0.5, c r =8,c α =16, p l =0.1% p f AFI E(C) c Στους παρακάτω δύο πίνακες παρατηρούμε τον τρόπο που αυξάνεται το μέσο κόστος ανά παραγόμενο τεμάχιο στην περίπτωση που το κόστος αποδοχής είναι μεταβαλλόμενο. Η ραγδαία αύξηση του μέσου κόστους στην περίπτωση του δευτεροβάθμια μεταβαλλόμενου είναι εντυπωσιακή. Πίνακας 3. Το μοντέλο του γραμμικά μεταβαλλόμενου c α, a=1, b=8, c =1,c r =8, p l =0.1% p f AFI E(C) c α

8 Πίνακας 4. Το μοντέλο του δευτεροβάθμια μεταβαλλόμενου c α,, c =1,c r =8,c a =16, p l =0.1% p f AFI E(C) c α ABSTRACT The demand of mnmzng the mplementaton cot of CSP lead to the development of new economc model. In th paper, two economc model are revewed and two nnovatve are preented. We examne ther feature and the pecal condton for ther mplementaton and conduct mulaton and calculaton to reveal ther economc behavor. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Caady, C. R., Mallart, L. M., Rehmert, I. J. and Nachla, J. A. (2000). Demontratng Demng kp rule ung an economc model of the CSP-1. Qualty Engneerng, Vol. 12(3), pp Chung-Ho, C. and Chao-Yu, C. (2002). Economc degn of contnuou amplng plan under lnear npecton cot, Journal of Appled Stattc, Vol. 29, No. 7, pp Dodge, H.F. (1943). A Samplng Inpecton Plan for Contnuou Producton, The Annal of Mathematcal Stattc, Vol. 14, No 3, pp Duncan, A. J. (1986). Qualty Control and Appled Stattc, 5th edton. Irwn, Homewood. Farmak, N and Eleftherou, M. (2007). Contnuou Samplng Plan under an acceptance cot of lnear form, Recent Advance n Stochatc Modelng and Data Analy, Edt. Ch. H Skada, World Scentfc Stephen, K. S. (1979). How to perform Contnuou Samplng (CSP), AQQC Bac Reference n Qualty Control, Stattcal Technque, Amercan Socety for Qualty Control, Vol. 2, Mlwaukee, WI