No 5 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου. ( 4 x 2 3 ) 3 x 4 ) 2 x 3 ) 6 ( 4 x 2 3 ) x 2. = 8 x ( 1. = 24 x 20 x x 2. 3 x 4 ) 12 ( 2 x 2 1 ) x 3

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "No 5 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου. ( 4 x 2 3 ) 3 x 4 ) 2 x 3 ) 6 ( 4 x 2 3 ) x 2. = 8 x ( 1. = 24 x 20 x 4 + 9 x 2. 3 x 4 ) 12 ( 2 x 2 1 ) x 3"

Transcript

1 Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα, Λυµένες Ασκήσεις, Βοήθεια στη λύση Εργασιών. Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: Ασκήσεις παραγώγισης γινοµένου No Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( 4 x 3 ) ( 3 x 3 ( 4 x 3 ) ( 3 x 3 ) + ( 4 x 3 ) ( 3 x 3 ) 8 x ( 3 x 3 ) 3 ( 4 x 3 ) x 4 x 0 x x No Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( 3 x 3 ) ( 5 3 x 4 ( 3 x 3 ) ( 5 3 x 4 ) + ( 3 x 3 ) ( 5 3 x 4 ) 6 x ( 5 3 x 4 ) ( 3 x 3 ) x 3 30 x 54 x x 3 No 3 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( x ) ( 3 x 4 ( x ) ( 3 x 4 ) + ( x ) ( 3 x 4 ) 4 x ( 3 x 4 ) ( x ) x 3 8 x 36 x 5 + x 3 No 4 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( 4 x 3 ) ( x 3 ( 4 x 3 ) ( x 3 ) + ( 4 x 3 ) ( x 3 ) 8 x ( x 3 ) 6 ( 4 x 3 ) x 8 x 40 x x No 5 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου

2 ( ( 3 x 4 ) ( 5 x ( 3 x 4 ) ( 5 x ) + ( 3 x 4 ) ( 5 x ) 6 x ( 5 x ) 0 ( 3 x 4 ) x 46 x 60 x 3 No 6 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( 5 x 4 ) ( 4 x 3 ( 5 x 4 ) ( 4 x 3 ) + ( 5 x 4 ) ( 4 x 3 ) 0 x ( 4 x 3 ) 3 ( 5 x 4 ) x 40 x 5 x 4 + x No 7 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( x 3 ) ( 3 x 4 ( x 3 ) ( 3 x 4 ) + ( x 3 ) ( 3 x 4 ) x ( 3 x 4 ) ( x 3 ) x 3 x 8 x x 3 No 8 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( x ) ( x 3 ( x ) ( x 3 ) + ( x ) ( x 3 ) 4 x ( x 3 ) 3 ( x ) x 4 x 0 x x No 9 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( 3 x 4 ) ( 4 5 x 3 ( 3 x 4 ) ( 4 5 x 3 ) + ( 3 x 4 ) ( 4 5 x 3 ) 6 x ( 4 5 x 3 ) 5 ( 3 x 4 ) x 4 x 75 x x No 0 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( x 4 ) ( x 4 ( x 4 ) ( x 4 ) + ( x 4 ) ( x 4 )

3 x ( x 4 ) 4 ( x 4 ) x 3 x 6 x x 3 No Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( x ) ( 5 3 x ( x ) ( 5 3 x ) + ( x ) ( 5 3 x ) 4 x ( 5 3 x ) 6 ( x ) x 6 x 4 x 3 No Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( 5 x ) ( 4 x 4 ( 5 x ) ( 4 x 4 ) + ( 5 x ) ( 4 x 4 ) 0 x ( 4 x 4 ) 4 ( 5 x ) x 3 40 x 30 x x 3 No 3 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( 3 x 5 ) ( 5 3 x 4 ( 3 x 5 ) ( 5 3 x 4 ) + ( 3 x 5 ) ( 5 3 x 4 ) 6 x ( 5 3 x 4 ) ( 3 x 5 ) x 3 30 x 54 x x 3 No 4 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( x 4 ) ( x ( x 4 ) ( x ) + ( x 4 ) ( x ) x ( x ) 4 ( 4 ) x x 8 x 8 x 3 No 5 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( x 5 ) ( 3 x ( x 5 ) ( 3 x ) + ( x 5 ) ( 3 x ) 3

4 x ( 3 x ) 6 ( 5 ) x x 3 x x 3 No 6 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( x 3 ) ( 3 5 x 3 ( x 3 ) ( 3 5 x 3 ) + ( x 3 ) ( 3 5 x 3 ) x ( 3 5 x 3 ) 5 ( x 3 ) x 6 x 5 x x No 7 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( 5 x ) ( 4 x ( 5 x ) ( 4 x ) + ( 5 x ) ( 4 x ) 0 x ( 4 x ) 8 ( 5 x ) x 6 x 80 x 3 No 8 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( 5 x 5 ) ( 5 x ( 5 x 5 ) ( 5 x ) + ( 5 x 5 ) ( 5 x ) 0 x ( 5 x ) 0 ( 5 x 5 ) x 70 x 00 x 3 No 9 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( 4 x ) ( 5 x 3 ( 4 x ) ( 5 x 3 ) + ( 4 x ) ( 5 x 3 ) 8 x ( 5 x 3 ) 6 ( 4 x ) x 40 x 40 x 4 + x No 0 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( x ) ( x 4 ( x ) ( x 4 ) + ( x ) ( x 4 ) x ( x 4 ) 4 ( x ) x 3 4

5 x 6 x x 3. Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα, Λυµένες Ασκήσεις, Βοήθεια στη λύση Εργασιών. Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: Ασκήσεις παραγώγισης πηλίκου No Άσκηση παραγώγισης πηλίκου x + x+ 5 x x + ( x + x+ 5 ) ( x x + ) ( x + x+ 5 ) ( x x + ) ( x x + ) ( x+ ) ( x x + ) ( x + x+ 5 ) ( 4 x 3 + x ) ( x x + ) x5 3 x 4 0 x 3 6 x 58 x + ( x x + ) No Άσκηση παραγώγισης πηλίκου 5 x + x+ 5 8 x + ( 5 x + x+ 5 ) ( 8 x + ) ( 5 x + x+ 5 ) ( 8 x + ) ( 8 x + ) ( 0 x+ ) ( 8 x + ) 6 ( 5 x + x+ 5) x ( 8 x + ) 5

6 8 x 60 x + 4 ( 4 x + ) No 3 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου x + 3 x+ 7 x ( x + 3 x+ ) ( 7 x ) ( x + 3 x+ ) ( 7 x ) ( 7 x ) ( 4 x+ 3 ) ( 7 x ) ( x + 3 x+ ) x ( 7 x ) 4 x4 4 x 3 x + 6 x + ( 7 x ) No 4 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου x + x+ 4 7 x 3 + x + ( x + x+ 4 ) ( 7 x 3 + x + ) ( x + x+ 4 ) ( 7 x 3 + x + ) ( 7 x 3 + x + ) ( 4 x+ ) ( 7 x 3 + x + ) ( x + x+ 4 ) ( x + x ) ( 7 x 3 + x + ) 4 x4 8 x 3 86 x 4 x + ( 7 x 3 + x + ) No 5 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου x + 5 x+ 5 8 x 3 + ( x + 5 x+ 5 ) ( 8 x 3 + ) ( x + 5 x+ 5 ) ( 8 x 3 + ) ( 8 x 3 + ) 6

7 ( 4 x+ 5 ) ( 8 x 3 + ) 4 ( x + 5 x+ 5) x ( 8 x 3 + ) 6 x4 80 x 3 0 x + 4 x + 5 ( 8 x 3 + ) No 6 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου x + 5 x+ 5 7 x 4 + x + ( x + 5 x+ 5 ) ( 7 x 4 + x + ) ( x + 5 x+ 5 ) ( 7 x 4 + x + ) ( 7 x 4 + x + ) ( 4 x+ 5 ) ( 7 x 4 + x + ) ( x + 5 x+ 5 ) ( 8 x 3 + x ) ( 7 x 4 + x + ) 8 x5 05 x 4 40 x 3 5 x 6 x + 5 ( 7 x 4 + x + ) No 7 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου 5 x + x+ 6 x 4 + x + 4 ( 5 x + x+ ) ( 6 x 4 + x + 4 ) ( 5 x + x+ ) ( 6 x 4 + x + 4 ) ( 6 x 4 + x + 4) ( 0 x+ ) ( 6 x 4 + x + 4 ) ( 5 x + x+ ) ( 4 x 3 + x ) ( 6 x 4 + x + 4) 60 x5 36 x 4 48 x 3 x + 36 x + 8 ( 6 x 4 + x + 4) No 8 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου 7

8 4 x + 4 x+ 5 7 x ( 4 x + 4 x+ 5 ) ( 7 x ) ( 4 x + 4 x+ 5 ) ( 7 x ) ( 7 x ) ( 8 x+ 4 ) ( 7 x ) 8 ( 4 x + 4 x+ 5) x 3 ( 7 x ) 56 x5 84 x 4 40 x x + ( 7 x ) No 9 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου x + 3 x+ x x ( x + 3 x+ ) ( x x ) ( x + 3 x+ ) ( x x ) ( x x ) ( x+ 3 ) ( x x ) ( x + 3 x+ ) ( 4 x 3 + x ) ( x x 3 + 4) x5 3 x 4 3 x 3 4 x + 8 x + ( x x 3 + 4) No 0 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου 4 x + x+ 4 x x + ( 4 x + x+ 4 ) ( x x + ) ( 4 x + x+ 4 ) ( x x + ) ( x x + ) ( 8 x+ ) ( x x + ) ( 4 x + x+ 4 ) ( 4 x 3 + x ) ( x x + ) 8 x5 6 x 4 6 x 3 x 3 x + 4 ( x x + ) 8

9 No Άσκηση παραγώγισης πηλίκου 5 x + 5 x+ 4 8 x 3 + ( 5 x + 5 x+ 4 ) ( 8 x 3 + ) ( 5 x + 5 x+ 4 ) ( 8 x 3 + ) ( 8 x 3 + ) ( 0 x+ 5 ) ( 8 x 3 + ) 4 ( 5 x + 5 x+ 4) x ( 8 x 3 + ) 40 x4 80 x 3 96 x + 0 x + 5 ( 8 x 3 + ) No Άσκηση παραγώγισης πηλίκου 4 x + 5 x+ 3 4 x 3 + ( 4 x + 5 x+ 3 ) ( 4 x 3 + ) ( 4 x + 5 x+ 3 ) ( 4 x 3 + ) ( 4 x 3 + ) ( 8 x+ 5 ) ( 4 x 3 + ) ( 4 x + 5 x+ 3) x ( 4 x 3 + ) 6 x4 40 x 3 36 x + 8 x + 5 ( 4 x 3 + ) No 3 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου 5 x + 3 x+ 5 x 4 + ( 5 x + 3 x+ ) ( 5 x 4 + ) ( 5 x + 3 x+ ) ( 5 x 4 + ) ( 5 x 4 + ) ( 0 x+ 3 ) ( 5 x 4 + ) 0 ( 5 x + 3 x+ ) x 3 ( 5 x 4 + ) 50 x5 45 x 4 0 x x + 3 ( 5 x 4 + ) 9

10 No 4 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου 4 x + 3 x+ 3 3 x 4 + x + 4 ( 4 x + 3 x+ 3 ) ( 3 x 4 + x + 4 ) ( 4 x + 3 x+ 3 ) ( 3 x 4 + x + 4 ) ( 3 x 4 + x + 4) ( 8 x+ 3 ) ( 3 x 4 + x + 4 ) ( 4 x + 3 x+ 3 ) ( x 3 + x ) ( 3 x 4 + x + 4) 4 x5 7 x 4 36 x 3 3 x + 6 x + ( 3 x 4 + x + 4) No 5 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου 5 x + 4 x+ 4 x 4 + x ( 5 x + 4 x+ ) ( 4 x 4 + x ) ( 5 x + 4 x+ ) ( 4 x 4 + x ) ( 4 x 4 + x 3 + 4) ( 0 x+ 4 ) ( 4 x 4 + x ) ( 5 x + 4 x+ ) ( 6 x x ) ( 4 x 4 + x ) 40 x5 53 x 4 4 x 3 3 x + 40 x + 6 ( 4 x 4 + x 3 + 4) No 6 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου 3 x + x+ 4 x x 3 + ( 3 x + x+ 4 ) ( x x 3 + ) ( 3 x + x+ 4 ) ( x x 3 + ) ( x x 3 + ) ( 6 x+ ) ( x x 3 + ) ( 3 x + x+ 4 ) ( 4 x x ) ( x x 3 + ) 0

11 6 x5 5 x 4 8 x 3 36 x + x + 4 ( x x 3 + ) No 7 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου x + 5 x+ 6 x 3 + x + ( x + 5 x+ ) ( 6 x 3 + x + ) ( x + 5 x+ ) ( 6 x 3 + x + ) ( 6 x 3 + x + ) ( x+ 5 ) ( 6 x 3 + x + ) ( x + 5 x+ ) ( 8 x + x ) ( 6 x 3 + x + ) 6 x4 60 x 3 4 x x + 5 ( 6 x 3 + x + ) No 8 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου 4 x + x+ 5 6 x + ( 4 x + x+ 5 ) ( 6 x + ) ( 4 x + x+ 5 ) ( 6 x + ) ( 6 x + ) ( 8 x+ ) ( 6 x + ) ( 4 x + x+ 5) x ( 6 x + ) x 44 x ( 3 x + ) No 9 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου 3 x + 4 x+ x x ( 3 x + 4 x+ ) ( x x ) ( 3 x + 4 x+ ) ( x x ) ( x x 3 + 5)

12 ( 6 x+ 4 ) ( x x ) ( 3 x + 4 x+ ) ( 4 x 3 + x ) ( x x ) 6 x5 33 x 4 60 x 3 x + 30 x + 0 ( x x 3 + 5) No 0 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου 5 x + x+ x x 3 + ( 5 x + x+ ) ( x x 3 + ) ( 5 x + x+ ) ( x x 3 + ) ( x x 3 + ) ( 0 x+ ) ( x x 3 + ) ( 5 x + x+ ) ( 4 x x ) ( x x 3 + ) 0 x5 8 x 4 4 x 3 8 x + 0 x + ( x x 3 + ). Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα, Λυµένες Ασκήσεις, Βοήθεια στη λύση Εργασιών. Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: Ασκήσεις σύνθετης παραγώγισης I (παρένθεση άθροισµα) No Άσκηση σύνθετης παραγώγισης [ ln ( t ( + ) + 8) ] t + 8 t 8 t t + 8

13 No Άσκηση σύνθετης παραγώγισης [ ln ( 9 t ( 9 t + 4 ) + 4) ] 9 t t 9 t + 4 No 3 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης [ ln ( t ( t + 7 ) + 7) ] t t t + 7 No 4 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης [ ln ( 3 t ( 3 t + 3 ) + 3) ] 3 t t 3 t + 3 No 5 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης [ ln ( 4 t ( 4 t + 3 ) + 3) ] 4 t t 4 t + 3. Θ. Χριστόπουλος, 007, Tηλ.: No 6 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης e ( 6 t+ 7 ) ( ) e ( + ) 6 t 7 ( 6 t + ) 7 3

14 e ( 6 t+ 7 ) ( t ) t e ( 6 t+ 7 ) No 7 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης e ( 4 t+ 3 ) ( ) e ( + ) 4 t 3 ( 4 t + ) 3 e ( 4 t+ 3 ) ( 8 t ) 8 t e ( 4 t+ 3 ) No 8 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης e ( 4 t+ 9 ) ( ) e ( + ) 4 t 9 ( 4 t + ) 9 e ( 4 t+ 9 ) ( 8 t ) 8 t e ( 4 t+ 9 ) No 9 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης e ( 8 t+ 8 ) ( ) e ( + ) 8 t 8 ( 8 t + ) 8 e ( 8 t+ 8 ) ( 6 t ) 6 t e ( 8 t+ 8 ) No 0 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης e ( 5 t+ 6 ) ( ) e ( + ) 5 t 6 ( 5 t + ) 6 e ( 5 t+ 6 ) ( 0 t ) 0 t e ( 5 t+ 6 ) 4

15 . Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: No Άσκηση σύνθετης παραγώγισης ( 6 t + 6 ) 4 (( 6 t + 6 ) -4 ) (-4) ( 6 t + 6 ) -4- ( 6 t + 6 ) (-4) ( 6 t + 6 ) -5 ( t ) 48 t ( 6 t + 6 ) t ( 6 t + 6) 5 No Άσκηση σύνθετης παραγώγισης ( 8 t + 6 ) 3 (( 8 t + 6 ) -3 ) (-3) ( 8 t + 6 ) -3- ( 8 t + 6 ) (-3) ( 8 t + 6 ) -4 ( 6 t ) 48 t ( 8 t + 6 ) t ( 8 t + 6) 4 No 3 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης 9 t + 7 ( ( 9 t + 7) - ) 5

16 (-) ( 9 t + 7 ) -- ( 9 t + 7 ) (-) ( 9 t + 7 ) - ( 8 t ) 8 t ( 9 t + 7 ) - 8 t ( 9 t + 7) No 4 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης ( 7 t + 5 ) 5 (( 7 t + 5 ) -5 ) (-5) ( 7 t + 5 ) -5- ( 7 t + 5 ) (-5) ( 7 t + 5 ) -6 ( 4 t ) 70 t ( 7 t + 5 ) t ( 7 t + 5) 6 No 5 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης ( 3 t + 3 ) (( 3 t + 3 ) - ) (-) ( 3 t + 3 ) -- ( 3 t + 3 ) (-) ( 3 t + 3 ) -3 ( 6 t ) t ( 3 t + 3 ) -3 6

17 t ( 3 t + 3) 3. Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: No 6 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης / 4 ( ( 4 t + 6 ) ( ) ) 4 ( 4 t+ 6 ) ( / 4 ) ( 4 t + 6 ) 4 ( 4 t+ 6 ) -3 4 [ 8 t] [ t ] ( 4 t + 6) -3 4 t ( 4 t + 6 ) ( 3/ 4 ) No 7 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης / 6 ( ( 3 t + 6 ) ( ) ) 6 ( 3 t+ 6 ) ( / 6 ) ( 3 t + 6 ) 6 ( 3 t+ 6 ) -5 6 [ 6 t] [ t ] ( 3 t + 6) -5 6 t ( 3 t + 6 ) ( 5/ 6 ) No 8 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης / 7 ( ( t + 8 ) ( ) ) 7 ( t+ 8 ) ( / 7 ) ( t + ) 8 7

18 7 ( t+ 8 ) -6 7 [ t] t ( t + 8 ) t 7 ( t + 8 ) ( 6/ 7 ) No 9 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης / 6 ( ( t + 9 ) ( ) ) 6 ( t+ 9 ) ( / 6 ) ( t + ) 9 6 ( t+ 9 ) -5 6 [ t] t 3 ( t+ 9 ) -5 6 t 3 ( t + 9 ) ( 5/ 6 ) No 0 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης / 6 ( ( 4 t + 8 ) ( ) ) 6 ( 4 t+ 8 ) ( / 6 ) ( 4 t + 8 ) 6 ( 4 t+ 8 ) -5 6 [ 8 t] 4 t ( 4 t + 8 ) t 3 ( 4 t + 8 ) ( 5/ 6 ) 8

19 Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα, Λυµένες Ασκήσεις, Βοήθεια στη λύση Εργασιών. Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: Ασκήσεις σύνθετης παραγώγισης II No Άσκηση σύνθετης παραγώγισης [ arctan ( 8 t 3 ( 8 t ) + 8) ] + ( 8 t 3 + 8) 4 t + ( 8 t 3 + 8) No Άσκηση σύνθετης παραγώγισης [ arctan ( 8 t 3 ( 8 t ) + 7) ] + ( 8 t 3 + 7) 4 t + ( 8 t 3 + 7) No 3 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης [ arctan ( 5 t 5 ( 5 t ) + 6) ] + ( 5 t 5 + 6) 5 t 4 + ( 5 t 5 + 6) No 4 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης ( 7 t+ 5 ) [ arctan ( 7 t+ 5 )] + ( 7 t+ 5) 9

20 7 + ( 7 t+ 5 ) No 5 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης [ arctan ( 6 t 4 ( 6 t ) + 5) ] + ( 6 t 4 + 5) 4 t 3 + ( 6 t 4 + 5). Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: No 6 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης ( 9 t+ 5 ) [ arcsin ( 9 t+ 5 )] ( 9 t+ 5 ) t 90 t No 7 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης [ arcsin ( 9 t 5 ( 9 t ) + 5) ] ( 9 t ) 45 t t 0 90 t 5 No 8 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης [ arcsin ( t 4 ( t ) + 9) ] ( t ) 4 t 3 0 t 8 9 t 4 No 9 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης 0

21 ( 3 t+ 4 ) [ arcsin ( 3 t+ 4 )] ( 3 t+ 4 ) t 4 t No 0 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης [ arcsin ( 9 t 5 ( 9 t ) + 9) ] ( 9 t ) 45 t t 0 6 t 5. Θ. Χριστόπουλος, 007, Tηλ.: No Άσκηση σύνθετης παραγώγισης arctan 7 t t ( 7 t 3 + 9) t ( 7 t ) 49 t t ( 7 t ) t 49 t t No Άσκηση σύνθετης παραγώγισης

22 arctan 6 t t+ 5 ( 6 t+ 5) 6 ( 6 t+ 5 ) ( 8 t + 30 t+ 3) ( 6 t+ 5 ) 3 8 t + 30 t+ 3 No 3 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης arctan t+ 3 + t+ 3 ( t+ 3) ( t+ 3 ) ( t + 6 t+ 5) ( t+ 3 ) t + 6 t+ 5 No 4 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης arctan 3 t t ( 3 t 3 + 9)

23 9 t ( 3 t ) 9 t t ( t ) 9 t 9 t t No 5 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης arctan 9 t t 4 + ( 9 t 4 + ) 36 t 3 ( 9 t 4 + ) 8 t t ( 9 t 4 + ) 36 t 3 8 t t Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: No 6 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης arcsin t t ( t ) 3

24 6 t ( t 3 + 5) ( t ) 3 t ( t ) t t No 7 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης arcsin 3 t t + 3 ( 3 t + 3 ) 6 t ( 3 t + 3) ( 3 t + 3 ) t ( t + ) 9 t t + 8 No 8 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης arcsin t + 7 t + 7 ( t + 7 ) t ( t + 7) ( t + 7 ) 4

25 t ( t + 7 ) t t + 48 No 9 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης arcsin 6 t t + 4 ( 6 t + 4 ) t ( 6 t + 4) ( 6 t + 4 ) t 3 ( 3 t + ) t t + 5 No 0 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης arcsin 5 t t ( 5 t ) 5 t ( 5 t 3 + 8) ( 5 t ) 5 t ( 5 t ) 5 t t

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

3. Η µερική παράγωγος

3. Η µερική παράγωγος 1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 1 Μερική παραγώγιση παράγωγος µιας συνάρτησης µερική παράγωγος ( ( µιας µεταβλητής ορίζεται ως d d ( ( (1 Για συναρτήσεις δύο

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΤΣΑΚΛΑΝΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ΕΠΑΛ Α )

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΤΣΑΚΛΑΝΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ΕΠΑΛ Α ) ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΤΣΑΚΛΑΝΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ΕΠΑΛ Α ) ΘΕΜΑ Εξετάζουµε τις αθµολογίες ενός δείγµατος φοιτητών σε κάποιο διαγώνισµα και πήραµε τον πίνακα Χ i (αθ.) ν i f i % N i F i % 4

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω προτάσεις :

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω προτάσεις : ΓΥΜΝΑΣ Ο ΕΞΑΠ ΑΤΑΝΟΥ ΣχολK Έτος: OMNM-OMNN Τάξη: Α Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙ Α Ημερομηνία : 30/05/2011 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN Θέμα 1 ο (ΘΕΩΡ Α) Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ 1.6 Συνθέτουν και αναλύουν αριθμούς μέχρι το 100 με βάση την αξία θέσης ψηφίου, χρησιμοποιώντας αντικείμενα, εικόνες, και σύμβολα. Αρ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Δυνάμεις φυσικών αριθμών Δύναμη ονομάζουμε το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων Πχ: 8 8= 64, 4 4 4= 64, 3 3 3 3= 81. Έτσι, το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις 2 ου βαθμού

Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Η εξίσωση της μορφής αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 λύνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Δ = β 2 4αγ Η εξίσωση αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 αν Δ>0 αν Δ=0 αν Δ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις ανισότητες

Εισαγωγή στις ανισότητες Σελίδα 1 από ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ Εισαγωγή στις ανισότητες Μπάμπης Στεργίου, 004 Το άρθρο αυτό είχε την τύχη να ολοκληρωθεί σε βιβλίο, το οποίο κυκλοφορεί με τον τίτλο : Μπάμπης Στεργίου Νίκος Σκομπρής

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Χριστουγέννων Β Λυκείου

Επαναληπτικό Χριστουγέννων Β Λυκείου Επαναληπτικό Χριστουγέννων Β Λυκείου 1.Ποιά από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή ; Σύµφωνα µε τον 1ο θερµοδυναµικό νόµο το ποσό της θερµότητας που απορροφά η αποβάλει ένα θερµοδυναµικό σύστηµα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω.

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω. η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 200 Χρόνος: 60 λεπτά ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ Ο πενταψήφιος αριθμός 45Β7Α, στον οποίο τα ψηφία των μονάδων και των εκατοντάδων είναι σημειωμένα με Α και Β, διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περιέχει: Όλη την ύλη της Γ Λυκείου, σύμφωνα με το αναλυτικό πρόγραμμα του Υπουργείου Παιδείας σε () ΒΙΒΛΙΟμαθήματα που το καθένα περιέχει: Α. Απαραίτητες

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 25 Μαΐου 2015

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 25 Μαΐου 2015 Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 5 Μαΐου 5 Απαντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο σελ. 94

Διαβάστε περισσότερα

TI - 40 Collège II. Επιστημονική αριθμομηχανή. Γενικές πληροφορίες 40CII/OM/1L2/A. 1999-2002 Texas Instruments Incorporated

TI - 40 Collège II. Επιστημονική αριθμομηχανή. Γενικές πληροφορίες 40CII/OM/1L2/A. 1999-2002 Texas Instruments Incorporated 40CII/OM/1L2/A TI - 40 Collège II Επιστημονική αριθμομηχανή 1999-2002 Texas Instruments Incorporated Γενικές πληροφορίες Παραδείγματα: Τα παραδείγματα πληκτρολόγησης τα οποία αφορούν τις πολλαπλές λειτουργίες

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Αρνητικοί αριθμοί Μια διδακτική παρέμβαση στα Μαθηματικά της Α Γυμνασίου

Αρνητικοί αριθμοί Μια διδακτική παρέμβαση στα Μαθηματικά της Α Γυμνασίου Αρνητικοί αριθμοί Μια διδακτική παρέμβαση στα Μαθηματικά της Α Γυμνασίου εμινάριο Εφαρμοσμένης Διδακτικής των Μαθηματικών: Παραδοσιακές και σύγχρονες μέθοδοι διδασκαλίας των Μαθηματικών. Ιστορική εξέλιξη

Διαβάστε περισσότερα

B. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ

B. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ Τα Μαθηματικά παίζουν κυρίαρχο ρόλο σε όλους τους χώρους της σύγχρονης κοινωνίας. Όλα σχεδόν τα επιτεύγματα της τεχνολογίας και της ε- πιστήμης στηρίζονται στην ανάπτυξη των Μαθηματικών. Αλλά και τα προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress.

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress. 3-4 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ttp://cutemats.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η παρούσα εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΝΕΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΟ ΝΕΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΝΕΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ποια μαθήματα διδάσκονται οι μαθητές της Α Λυκείου; Ποια από τα μαθήματα ανήκουν στους ίδιους κλάδους μαθημάτων; Ο παρακάτω πίνακας περιέχει όλους τους κλάδους των μαθημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική Λογιστική Κοστολόγηση συνεχούς παραγωγής. Δημήτρης Μπάλιος

Διοικητική Λογιστική Κοστολόγηση συνεχούς παραγωγής. Δημήτρης Μπάλιος Διοικητική Λογιστική Κοστολόγηση συνεχούς παραγωγής Δημήτρης Μπάλιος ΘΕΩΡΙΑ Κοστολόγηση συνεχούς παραγωγής Η επιχείρηση παράγει πολλά τεμάχια ενός μοναδικού προϊόντος (τυποποιημένο προϊόν) για μεγάλο χρονικό

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

EΞΩΤΕΡΙΚΑ ΑΡΧΕΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ

EΞΩΤΕΡΙΚΑ ΑΡΧΕΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ EΞΩΤΕΡΙΚΑ ΑΡΧΕΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ηµιουργία ενός m-αρχείου Εισαγωγή των δεδοµένων στο αρχείο Αποθήκευση του αρχείου Καταχώρηση των δεδοµένων του αρχείου από το λογισµικό Matlab, γράφοντας απλά το όνοµα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.)

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση είναι ένας έτοιμος τύπος ο οποίος δέχεται σαν είσοδο τιμές ή συνθήκες και επιστρέφει ένα αποτέλεσμα, το οποίο μπορεί να είναι μια τιμή αριθμητική, αλφαριθμητική, λογική, ημερομηνίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ VIII. Οδηγός Πτυχιακής Εργασίας

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ VIII. Οδηγός Πτυχιακής Εργασίας ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ VIII Οδηγός Πτυχιακής Εργασίας ΣΚΟΠΟΣ Η προδιαγραφή από εκδοτική άποψη των τεχνικών χαρακτηριστικών των πτυχιακών εργασιών που εκπονούνται στο Τµήµα µε στόχο την επίτευξη οµοιοµορφίας και την

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Μαθήματα Κλάδοι Ώρες Εξεταζόμενο Γενική Παιδεία Αρχαία Ελληνική Γλώσσα και Γραμματεία 5 ΝΑΙ Ελληνική Γλώσσα

Α Τάξη Μαθήματα Κλάδοι Ώρες Εξεταζόμενο Γενική Παιδεία Αρχαία Ελληνική Γλώσσα και Γραμματεία 5 ΝΑΙ Ελληνική Γλώσσα Α Τάξη Μαθήματα Κλάδοι Ώρες Εξεταζόμενο Γενική Παιδεία Αρχαία Ελληνική Γλώσσα και Γραμματεία 5 ΝΑΙ Ελληνική Γλώσσα Νέα Ελληνική Γλώσσα 2 ΝΑΙ Λογοτεχνία 2 ΝΑΙ Μαθηματικά Άλγεβρα 3 ΝΑΙ Γεωμετρία 2 ΝΑΙ Φυσική

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών ΑΡ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011.

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ /ΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Να διατηρηθεί µέχρι... Βαθµός Ασφαλείας...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΙΚΟ ΔΕΛΤΙΟ

ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΙΚΟ ΔΕΛΤΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΘΕΣΜΟΣ» ΑΘΗΝΑ ΒΕΡΑΝΖΕΡΟΥ 4 4 ος Όροφος ΠΕΙΡΑΙΑΣ ΑΓ. ΚΩΝ/ΝΟΥ 11 5 ος Όροφος ΜΑΡΟΥΣΙ-ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΡΑΛΛΗ 3 1 Όροφος ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΙΚΟ ΔΕΛΤΙΟ ΓΕΝΙΚΑ 1. Στο μηχανογραφικό δελτίο αναγράφονται όλα τα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

Μέχρι σήµερα πολλά έχουν αλλάξει στο Ελληνικό εκπαιδευτικό σύστηµα και κυρίως στο τρόπο των εξετάσεων, χωρίς όµως κάποια ουσιαστική αλλαγή.

Μέχρι σήµερα πολλά έχουν αλλάξει στο Ελληνικό εκπαιδευτικό σύστηµα και κυρίως στο τρόπο των εξετάσεων, χωρίς όµως κάποια ουσιαστική αλλαγή. 1 Ε ι σ α γ ω γ ή Μέχρι σήµερα πολλά έχουν αλλάξει στο Ελληνικό εκπαιδευτικό σύστηµα και κυρίως στο τρόπο των εξετάσεων, χωρίς όµως κάποια ουσιαστική αλλαγή. Όλα τα εκπαιδευτικά συστήµατα είχαν πάντα εξετάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 2. Σ' ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τις διαμέσους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ (που διέρχονται από το ίδιο σημείο Θ). Πόσες γωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΞΑΝΘΗ 2013, 2 ο ΣΕΚ ΞΑΝΘΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr ΑΠΡΙΛΙΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 Τι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθμική & Δομές Δεδομένων- Γλώσσα Προγραμματισμού Ι (PASCAL) Βασικές αλγοριθμικές δομές

Αλγοριθμική & Δομές Δεδομένων- Γλώσσα Προγραμματισμού Ι (PASCAL) Βασικές αλγοριθμικές δομές Αλγοριθμική & Δομές Δεδομένων- Γλώσσα Προγραμματισμού Ι (PASCAL) Βασικές αλγοριθμικές δομές Βασικές Αλγοριθμικές Δομές 2 Εισαγωγή Οι αλγοριθμικές δομές εκφράζουν διαφορετικούς τρόπους γραφής ενός αλγορίθμου.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Ι ΕΠΑ. Λ. ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΑΝΔΡΟΜΑΧΗ ΣΚΟΥΦΑ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Ι ΕΠΑ. Λ. ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΑΝΔΡΟΜΑΧΗ ΣΚΟΥΦΑ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Ι ΕΠΑ. Λ. Επιμέλεια: ΑΝΔΡΟΜΑΧΗ ΣΚΟΥΦΑ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr Κεφάλαιο 1:Περιγραφική Στατιστική Εισαγωγικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Η/Υ Ι (Χρήση της C) 6 η Θεωρία ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Προγραμματισμός Η/Υ Ι (Χρήση της C) 6 η Θεωρία ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Προγραμματισμός Η/Υ Ι (Χρήση της C) 6 η Θεωρία ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Σκοπός του μαθήματος Σκοπός του παρόντος μαθήματος είναι να μάθετε να κάνετε εισαγωγή δεδομένων σε πίνακες και περαιτέρω επεξεργασία

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Α ΑΘΗΝΑΣ ΓΑΛΑΤΣΙΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΕΥΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗ ΣΕ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Α ΑΘΗΝΑΣ ΓΑΛΑΤΣΙΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΕΥΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗ ΣΕ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Α ΑΘΗΝΑΣ http://1kesyp-a-athin.att.sch.gr ΓΑΛΑΤΣΙΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΕΥΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗ ΣΕ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΟΓΗ

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ I ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΠΑΛ 2010-2011

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ I ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΠΑΛ 2010-2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ I ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΠΑΛ 2010-2011 ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Β Τηλ: 210 344 2478 FAX:

Διαβάστε περισσότερα

APA EI MA 1. B ÛÈÎ ÛËÌ ıâˆú. Πολλές φορές είναι απαραίτητο να συγκρίνουµε δύο µεγέθη και να µελετήσουµε

APA EI MA 1. B ÛÈÎ ÛËÌ ıâˆú. Πολλές φορές είναι απαραίτητο να συγκρίνουµε δύο µεγέθη και να µελετήσουµε 30 Λόγος δύο µεγεθών B ÛÈÎ ÛËÌ ıâˆú Πολλές φορές είναι απαραίτητο να συγκρίνουµε δύο µεγέθη και να µελετήσουµε τη σχέση τους. Tο αποτέλεσµα της σύγκρισης των δύο µεγεθών που εκφράζεται ως κλάσµα ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΑ ΡΕΥΜΑΤΑ

ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΑ ΡΕΥΜΑΤΑ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΑ ΡΕΥΜΑΤΑ Ένα ρεύµα ονοµάζεται εναλλασσόµενο όταν το πλάτος του χαρακτηρίζεται από µια συνάρτηση του χρόνου, η οποία εµφανίζει κάποια περιοδικότητα. Το συνολικό ρεύµα που διέρχεται από µια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ Θέμα Διδασκαλίας Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων (Κεφάλαιο 23 ο ) Σχολείο: 2 ο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: Αδαμόπουλος Λεωνίδας, Δαμιανού Χαράλαμπος Σβέρκος Ανδρέας Επ Σύμβουλος Παιδαγωγικού Ινστιτούτου Αναπλ Καθηγητής Παν/μίου Αθηνών Σχολικός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

στοιχεία Βιο-μηχανική:

στοιχεία Βιο-μηχανική: : ορισμός Ως δύναμη ορίζεται η επίδραση, η οποία ασκούμενη σε ένα σώμα προκαλεί είτε μεταβολή στην κινητική του κατάσταση, είτε ταυτόχρονα και μεταβολή στην μορφή του. επιταχύνουν ή/και παραμορφώνουν σώματα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Νέο γενικό λύκειο. Σύνολο διακριτών μαθημάτων 15. Σύνολο διδακτικών ωρών 35. Ομάδες μαθημάτων 3. Μεμονωμένα μαθήματα 7

Νέο γενικό λύκειο. Σύνολο διακριτών μαθημάτων 15. Σύνολο διδακτικών ωρών 35. Ομάδες μαθημάτων 3. Μεμονωμένα μαθήματα 7 ΤΑΞΗ Α Σύνολο διακριτών μαθημάτων 15. Σύνολο διδακτικών ωρών 35. Ομάδες μαθημάτων 3. Μεμονωμένα μαθήματα 7 Α ομάδα μαθημάτων Ελληνική Γλώσσα Β ομάδα μαθημάτων Μαθηματικά Γ ομάδα μαθημάτων Φυσικές Επιστήμες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΠΡΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗ ΧΟΡΗΓΗΣΗ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΟΣ ΧΡΗΣΗΣ ΡΑΔΙΟΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΑΣΥΡΜΑΤΗΣ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ

ΔΗΜΟΠΡΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗ ΧΟΡΗΓΗΣΗ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΟΣ ΧΡΗΣΗΣ ΡΑΔΙΟΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΑΣΥΡΜΑΤΗΣ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΔΗΜΟΠΡΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗ ΧΟΡΗΓΗΣΗ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΟΣ ΧΡΗΣΗΣ ΡΑΔΙΟΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΑΣΥΡΜΑΤΗΣ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ Διαγραμματική απεικόνιση των σχέσεων του αιτούντος με Επιχειρήσεις, οι οποίες έχουν Ειδική Άδεια Σταθερής Ασύρματης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

κανένα από τα παραπάνω

κανένα από τα παραπάνω Το παρακάτω ερωτηµατολόγιο απευθύνεται σε προπτυχιακούς φοιτητές µη µαθηµατικών τµηµάτων και έχει ως στόχο να καταγράψει τις µαθηµατικές γνώσεις που απαιτούνται για την παρακολούθηση ενός εισαγωγικού µαθήµατος

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Αν χ και y μεταβλητές με τιμές 5 και 10 αντίστοιχα να εξηγηθούν οι ακόλουθες εντολές εξόδου.

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Αν χ και y μεταβλητές με τιμές 5 και 10 αντίστοιχα να εξηγηθούν οι ακόλουθες εντολές εξόδου. 2.1 Αν χ και y μεταβλητές με τιμές 5 και 10 αντίστοιχα να εξηγηθούν οι ακόλουθες εντολές εξόδου. 1) Η τιμή του χ είναι,χ Ητιμή του χ είναι 5 Ηεντολή εμφανίζει ότι υπάρχει στα διπλά εισαγωγικά ως έχει.

Διαβάστε περισσότερα

Μεταβατικές καταστάσεις - Φόρτιση πυκνωτή

Μεταβατικές καταστάσεις - Φόρτιση πυκνωτή H5 Μεταβατικές καταστάσεις - Φόρτιση πυκνωτή 1. Σκοπός Σε µια µεγάλη ποικιλία φυσικών φαινοµένων, που εξελίσσονται ήπια, ο στιγµιαίος ρυθµός µετάβασης από τη την αρχική κατάσταση προς την τελική εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΔΕΛΤΙΟΥ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΔΕΛΤΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΔΕΛΤΙΟΥ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΥΞΗΜΕΝΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΑ ΕΙΔΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΓΙΑ ΕΚ ΗΛΩΣΗ ΕΝ ΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ του Τομέα Ηλεκτρονικής ιακυβέρνησης του ΕΑΙΤΥ

ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΓΙΑ ΕΚ ΗΛΩΣΗ ΕΝ ΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ του Τομέα Ηλεκτρονικής ιακυβέρνησης του ΕΑΙΤΥ ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΓΙΑ ΕΚ ΗΛΩΣΗ ΕΝ ΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ του Τομέα Ηλεκτρονικής ιακυβέρνησης του ΕΑΙΤΥ Το Ερευνητικό Ακαδημαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών (ΝΠΙ, μη κερδοσκοπικού χαρακτήρα, εποπτευόμενο από τον Υπουργό

Διαβάστε περισσότερα