No 5 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου. ( 4 x 2 3 ) 3 x 4 ) 2 x 3 ) 6 ( 4 x 2 3 ) x 2. = 8 x ( 1. = 24 x 20 x x 2. 3 x 4 ) 12 ( 2 x 2 1 ) x 3

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "No 5 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου. ( 4 x 2 3 ) 3 x 4 ) 2 x 3 ) 6 ( 4 x 2 3 ) x 2. = 8 x ( 1. = 24 x 20 x 4 + 9 x 2. 3 x 4 ) 12 ( 2 x 2 1 ) x 3"

Transcript

1 Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα, Λυµένες Ασκήσεις, Βοήθεια στη λύση Εργασιών. Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: Ασκήσεις παραγώγισης γινοµένου No Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( 4 x 3 ) ( 3 x 3 ( 4 x 3 ) ( 3 x 3 ) + ( 4 x 3 ) ( 3 x 3 ) 8 x ( 3 x 3 ) 3 ( 4 x 3 ) x 4 x 0 x x No Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( 3 x 3 ) ( 5 3 x 4 ( 3 x 3 ) ( 5 3 x 4 ) + ( 3 x 3 ) ( 5 3 x 4 ) 6 x ( 5 3 x 4 ) ( 3 x 3 ) x 3 30 x 54 x x 3 No 3 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( x ) ( 3 x 4 ( x ) ( 3 x 4 ) + ( x ) ( 3 x 4 ) 4 x ( 3 x 4 ) ( x ) x 3 8 x 36 x 5 + x 3 No 4 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( 4 x 3 ) ( x 3 ( 4 x 3 ) ( x 3 ) + ( 4 x 3 ) ( x 3 ) 8 x ( x 3 ) 6 ( 4 x 3 ) x 8 x 40 x x No 5 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου

2 ( ( 3 x 4 ) ( 5 x ( 3 x 4 ) ( 5 x ) + ( 3 x 4 ) ( 5 x ) 6 x ( 5 x ) 0 ( 3 x 4 ) x 46 x 60 x 3 No 6 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( 5 x 4 ) ( 4 x 3 ( 5 x 4 ) ( 4 x 3 ) + ( 5 x 4 ) ( 4 x 3 ) 0 x ( 4 x 3 ) 3 ( 5 x 4 ) x 40 x 5 x 4 + x No 7 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( x 3 ) ( 3 x 4 ( x 3 ) ( 3 x 4 ) + ( x 3 ) ( 3 x 4 ) x ( 3 x 4 ) ( x 3 ) x 3 x 8 x x 3 No 8 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( x ) ( x 3 ( x ) ( x 3 ) + ( x ) ( x 3 ) 4 x ( x 3 ) 3 ( x ) x 4 x 0 x x No 9 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( 3 x 4 ) ( 4 5 x 3 ( 3 x 4 ) ( 4 5 x 3 ) + ( 3 x 4 ) ( 4 5 x 3 ) 6 x ( 4 5 x 3 ) 5 ( 3 x 4 ) x 4 x 75 x x No 0 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( x 4 ) ( x 4 ( x 4 ) ( x 4 ) + ( x 4 ) ( x 4 )

3 x ( x 4 ) 4 ( x 4 ) x 3 x 6 x x 3 No Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( x ) ( 5 3 x ( x ) ( 5 3 x ) + ( x ) ( 5 3 x ) 4 x ( 5 3 x ) 6 ( x ) x 6 x 4 x 3 No Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( 5 x ) ( 4 x 4 ( 5 x ) ( 4 x 4 ) + ( 5 x ) ( 4 x 4 ) 0 x ( 4 x 4 ) 4 ( 5 x ) x 3 40 x 30 x x 3 No 3 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( 3 x 5 ) ( 5 3 x 4 ( 3 x 5 ) ( 5 3 x 4 ) + ( 3 x 5 ) ( 5 3 x 4 ) 6 x ( 5 3 x 4 ) ( 3 x 5 ) x 3 30 x 54 x x 3 No 4 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( x 4 ) ( x ( x 4 ) ( x ) + ( x 4 ) ( x ) x ( x ) 4 ( 4 ) x x 8 x 8 x 3 No 5 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( x 5 ) ( 3 x ( x 5 ) ( 3 x ) + ( x 5 ) ( 3 x ) 3

4 x ( 3 x ) 6 ( 5 ) x x 3 x x 3 No 6 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( x 3 ) ( 3 5 x 3 ( x 3 ) ( 3 5 x 3 ) + ( x 3 ) ( 3 5 x 3 ) x ( 3 5 x 3 ) 5 ( x 3 ) x 6 x 5 x x No 7 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( 5 x ) ( 4 x ( 5 x ) ( 4 x ) + ( 5 x ) ( 4 x ) 0 x ( 4 x ) 8 ( 5 x ) x 6 x 80 x 3 No 8 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( 5 x 5 ) ( 5 x ( 5 x 5 ) ( 5 x ) + ( 5 x 5 ) ( 5 x ) 0 x ( 5 x ) 0 ( 5 x 5 ) x 70 x 00 x 3 No 9 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( 4 x ) ( 5 x 3 ( 4 x ) ( 5 x 3 ) + ( 4 x ) ( 5 x 3 ) 8 x ( 5 x 3 ) 6 ( 4 x ) x 40 x 40 x 4 + x No 0 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου ( ( x ) ( x 4 ( x ) ( x 4 ) + ( x ) ( x 4 ) x ( x 4 ) 4 ( x ) x 3 4

5 x 6 x x 3. Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα, Λυµένες Ασκήσεις, Βοήθεια στη λύση Εργασιών. Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: Ασκήσεις παραγώγισης πηλίκου No Άσκηση παραγώγισης πηλίκου x + x+ 5 x x + ( x + x+ 5 ) ( x x + ) ( x + x+ 5 ) ( x x + ) ( x x + ) ( x+ ) ( x x + ) ( x + x+ 5 ) ( 4 x 3 + x ) ( x x + ) x5 3 x 4 0 x 3 6 x 58 x + ( x x + ) No Άσκηση παραγώγισης πηλίκου 5 x + x+ 5 8 x + ( 5 x + x+ 5 ) ( 8 x + ) ( 5 x + x+ 5 ) ( 8 x + ) ( 8 x + ) ( 0 x+ ) ( 8 x + ) 6 ( 5 x + x+ 5) x ( 8 x + ) 5

6 8 x 60 x + 4 ( 4 x + ) No 3 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου x + 3 x+ 7 x ( x + 3 x+ ) ( 7 x ) ( x + 3 x+ ) ( 7 x ) ( 7 x ) ( 4 x+ 3 ) ( 7 x ) ( x + 3 x+ ) x ( 7 x ) 4 x4 4 x 3 x + 6 x + ( 7 x ) No 4 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου x + x+ 4 7 x 3 + x + ( x + x+ 4 ) ( 7 x 3 + x + ) ( x + x+ 4 ) ( 7 x 3 + x + ) ( 7 x 3 + x + ) ( 4 x+ ) ( 7 x 3 + x + ) ( x + x+ 4 ) ( x + x ) ( 7 x 3 + x + ) 4 x4 8 x 3 86 x 4 x + ( 7 x 3 + x + ) No 5 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου x + 5 x+ 5 8 x 3 + ( x + 5 x+ 5 ) ( 8 x 3 + ) ( x + 5 x+ 5 ) ( 8 x 3 + ) ( 8 x 3 + ) 6

7 ( 4 x+ 5 ) ( 8 x 3 + ) 4 ( x + 5 x+ 5) x ( 8 x 3 + ) 6 x4 80 x 3 0 x + 4 x + 5 ( 8 x 3 + ) No 6 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου x + 5 x+ 5 7 x 4 + x + ( x + 5 x+ 5 ) ( 7 x 4 + x + ) ( x + 5 x+ 5 ) ( 7 x 4 + x + ) ( 7 x 4 + x + ) ( 4 x+ 5 ) ( 7 x 4 + x + ) ( x + 5 x+ 5 ) ( 8 x 3 + x ) ( 7 x 4 + x + ) 8 x5 05 x 4 40 x 3 5 x 6 x + 5 ( 7 x 4 + x + ) No 7 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου 5 x + x+ 6 x 4 + x + 4 ( 5 x + x+ ) ( 6 x 4 + x + 4 ) ( 5 x + x+ ) ( 6 x 4 + x + 4 ) ( 6 x 4 + x + 4) ( 0 x+ ) ( 6 x 4 + x + 4 ) ( 5 x + x+ ) ( 4 x 3 + x ) ( 6 x 4 + x + 4) 60 x5 36 x 4 48 x 3 x + 36 x + 8 ( 6 x 4 + x + 4) No 8 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου 7

8 4 x + 4 x+ 5 7 x ( 4 x + 4 x+ 5 ) ( 7 x ) ( 4 x + 4 x+ 5 ) ( 7 x ) ( 7 x ) ( 8 x+ 4 ) ( 7 x ) 8 ( 4 x + 4 x+ 5) x 3 ( 7 x ) 56 x5 84 x 4 40 x x + ( 7 x ) No 9 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου x + 3 x+ x x ( x + 3 x+ ) ( x x ) ( x + 3 x+ ) ( x x ) ( x x ) ( x+ 3 ) ( x x ) ( x + 3 x+ ) ( 4 x 3 + x ) ( x x 3 + 4) x5 3 x 4 3 x 3 4 x + 8 x + ( x x 3 + 4) No 0 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου 4 x + x+ 4 x x + ( 4 x + x+ 4 ) ( x x + ) ( 4 x + x+ 4 ) ( x x + ) ( x x + ) ( 8 x+ ) ( x x + ) ( 4 x + x+ 4 ) ( 4 x 3 + x ) ( x x + ) 8 x5 6 x 4 6 x 3 x 3 x + 4 ( x x + ) 8

9 No Άσκηση παραγώγισης πηλίκου 5 x + 5 x+ 4 8 x 3 + ( 5 x + 5 x+ 4 ) ( 8 x 3 + ) ( 5 x + 5 x+ 4 ) ( 8 x 3 + ) ( 8 x 3 + ) ( 0 x+ 5 ) ( 8 x 3 + ) 4 ( 5 x + 5 x+ 4) x ( 8 x 3 + ) 40 x4 80 x 3 96 x + 0 x + 5 ( 8 x 3 + ) No Άσκηση παραγώγισης πηλίκου 4 x + 5 x+ 3 4 x 3 + ( 4 x + 5 x+ 3 ) ( 4 x 3 + ) ( 4 x + 5 x+ 3 ) ( 4 x 3 + ) ( 4 x 3 + ) ( 8 x+ 5 ) ( 4 x 3 + ) ( 4 x + 5 x+ 3) x ( 4 x 3 + ) 6 x4 40 x 3 36 x + 8 x + 5 ( 4 x 3 + ) No 3 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου 5 x + 3 x+ 5 x 4 + ( 5 x + 3 x+ ) ( 5 x 4 + ) ( 5 x + 3 x+ ) ( 5 x 4 + ) ( 5 x 4 + ) ( 0 x+ 3 ) ( 5 x 4 + ) 0 ( 5 x + 3 x+ ) x 3 ( 5 x 4 + ) 50 x5 45 x 4 0 x x + 3 ( 5 x 4 + ) 9

10 No 4 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου 4 x + 3 x+ 3 3 x 4 + x + 4 ( 4 x + 3 x+ 3 ) ( 3 x 4 + x + 4 ) ( 4 x + 3 x+ 3 ) ( 3 x 4 + x + 4 ) ( 3 x 4 + x + 4) ( 8 x+ 3 ) ( 3 x 4 + x + 4 ) ( 4 x + 3 x+ 3 ) ( x 3 + x ) ( 3 x 4 + x + 4) 4 x5 7 x 4 36 x 3 3 x + 6 x + ( 3 x 4 + x + 4) No 5 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου 5 x + 4 x+ 4 x 4 + x ( 5 x + 4 x+ ) ( 4 x 4 + x ) ( 5 x + 4 x+ ) ( 4 x 4 + x ) ( 4 x 4 + x 3 + 4) ( 0 x+ 4 ) ( 4 x 4 + x ) ( 5 x + 4 x+ ) ( 6 x x ) ( 4 x 4 + x ) 40 x5 53 x 4 4 x 3 3 x + 40 x + 6 ( 4 x 4 + x 3 + 4) No 6 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου 3 x + x+ 4 x x 3 + ( 3 x + x+ 4 ) ( x x 3 + ) ( 3 x + x+ 4 ) ( x x 3 + ) ( x x 3 + ) ( 6 x+ ) ( x x 3 + ) ( 3 x + x+ 4 ) ( 4 x x ) ( x x 3 + ) 0

11 6 x5 5 x 4 8 x 3 36 x + x + 4 ( x x 3 + ) No 7 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου x + 5 x+ 6 x 3 + x + ( x + 5 x+ ) ( 6 x 3 + x + ) ( x + 5 x+ ) ( 6 x 3 + x + ) ( 6 x 3 + x + ) ( x+ 5 ) ( 6 x 3 + x + ) ( x + 5 x+ ) ( 8 x + x ) ( 6 x 3 + x + ) 6 x4 60 x 3 4 x x + 5 ( 6 x 3 + x + ) No 8 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου 4 x + x+ 5 6 x + ( 4 x + x+ 5 ) ( 6 x + ) ( 4 x + x+ 5 ) ( 6 x + ) ( 6 x + ) ( 8 x+ ) ( 6 x + ) ( 4 x + x+ 5) x ( 6 x + ) x 44 x ( 3 x + ) No 9 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου 3 x + 4 x+ x x ( 3 x + 4 x+ ) ( x x ) ( 3 x + 4 x+ ) ( x x ) ( x x 3 + 5)

12 ( 6 x+ 4 ) ( x x ) ( 3 x + 4 x+ ) ( 4 x 3 + x ) ( x x ) 6 x5 33 x 4 60 x 3 x + 30 x + 0 ( x x 3 + 5) No 0 Άσκηση παραγώγισης πηλίκου 5 x + x+ x x 3 + ( 5 x + x+ ) ( x x 3 + ) ( 5 x + x+ ) ( x x 3 + ) ( x x 3 + ) ( 0 x+ ) ( x x 3 + ) ( 5 x + x+ ) ( 4 x x ) ( x x 3 + ) 0 x5 8 x 4 4 x 3 8 x + 0 x + ( x x 3 + ). Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα, Λυµένες Ασκήσεις, Βοήθεια στη λύση Εργασιών. Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: Ασκήσεις σύνθετης παραγώγισης I (παρένθεση άθροισµα) No Άσκηση σύνθετης παραγώγισης [ ln ( t ( + ) + 8) ] t + 8 t 8 t t + 8

13 No Άσκηση σύνθετης παραγώγισης [ ln ( 9 t ( 9 t + 4 ) + 4) ] 9 t t 9 t + 4 No 3 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης [ ln ( t ( t + 7 ) + 7) ] t t t + 7 No 4 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης [ ln ( 3 t ( 3 t + 3 ) + 3) ] 3 t t 3 t + 3 No 5 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης [ ln ( 4 t ( 4 t + 3 ) + 3) ] 4 t t 4 t + 3. Θ. Χριστόπουλος, 007, Tηλ.: No 6 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης e ( 6 t+ 7 ) ( ) e ( + ) 6 t 7 ( 6 t + ) 7 3

14 e ( 6 t+ 7 ) ( t ) t e ( 6 t+ 7 ) No 7 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης e ( 4 t+ 3 ) ( ) e ( + ) 4 t 3 ( 4 t + ) 3 e ( 4 t+ 3 ) ( 8 t ) 8 t e ( 4 t+ 3 ) No 8 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης e ( 4 t+ 9 ) ( ) e ( + ) 4 t 9 ( 4 t + ) 9 e ( 4 t+ 9 ) ( 8 t ) 8 t e ( 4 t+ 9 ) No 9 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης e ( 8 t+ 8 ) ( ) e ( + ) 8 t 8 ( 8 t + ) 8 e ( 8 t+ 8 ) ( 6 t ) 6 t e ( 8 t+ 8 ) No 0 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης e ( 5 t+ 6 ) ( ) e ( + ) 5 t 6 ( 5 t + ) 6 e ( 5 t+ 6 ) ( 0 t ) 0 t e ( 5 t+ 6 ) 4

15 . Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: No Άσκηση σύνθετης παραγώγισης ( 6 t + 6 ) 4 (( 6 t + 6 ) -4 ) (-4) ( 6 t + 6 ) -4- ( 6 t + 6 ) (-4) ( 6 t + 6 ) -5 ( t ) 48 t ( 6 t + 6 ) t ( 6 t + 6) 5 No Άσκηση σύνθετης παραγώγισης ( 8 t + 6 ) 3 (( 8 t + 6 ) -3 ) (-3) ( 8 t + 6 ) -3- ( 8 t + 6 ) (-3) ( 8 t + 6 ) -4 ( 6 t ) 48 t ( 8 t + 6 ) t ( 8 t + 6) 4 No 3 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης 9 t + 7 ( ( 9 t + 7) - ) 5

16 (-) ( 9 t + 7 ) -- ( 9 t + 7 ) (-) ( 9 t + 7 ) - ( 8 t ) 8 t ( 9 t + 7 ) - 8 t ( 9 t + 7) No 4 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης ( 7 t + 5 ) 5 (( 7 t + 5 ) -5 ) (-5) ( 7 t + 5 ) -5- ( 7 t + 5 ) (-5) ( 7 t + 5 ) -6 ( 4 t ) 70 t ( 7 t + 5 ) t ( 7 t + 5) 6 No 5 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης ( 3 t + 3 ) (( 3 t + 3 ) - ) (-) ( 3 t + 3 ) -- ( 3 t + 3 ) (-) ( 3 t + 3 ) -3 ( 6 t ) t ( 3 t + 3 ) -3 6

17 t ( 3 t + 3) 3. Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: No 6 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης / 4 ( ( 4 t + 6 ) ( ) ) 4 ( 4 t+ 6 ) ( / 4 ) ( 4 t + 6 ) 4 ( 4 t+ 6 ) -3 4 [ 8 t] [ t ] ( 4 t + 6) -3 4 t ( 4 t + 6 ) ( 3/ 4 ) No 7 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης / 6 ( ( 3 t + 6 ) ( ) ) 6 ( 3 t+ 6 ) ( / 6 ) ( 3 t + 6 ) 6 ( 3 t+ 6 ) -5 6 [ 6 t] [ t ] ( 3 t + 6) -5 6 t ( 3 t + 6 ) ( 5/ 6 ) No 8 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης / 7 ( ( t + 8 ) ( ) ) 7 ( t+ 8 ) ( / 7 ) ( t + ) 8 7

18 7 ( t+ 8 ) -6 7 [ t] t ( t + 8 ) t 7 ( t + 8 ) ( 6/ 7 ) No 9 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης / 6 ( ( t + 9 ) ( ) ) 6 ( t+ 9 ) ( / 6 ) ( t + ) 9 6 ( t+ 9 ) -5 6 [ t] t 3 ( t+ 9 ) -5 6 t 3 ( t + 9 ) ( 5/ 6 ) No 0 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης / 6 ( ( 4 t + 8 ) ( ) ) 6 ( 4 t+ 8 ) ( / 6 ) ( 4 t + 8 ) 6 ( 4 t+ 8 ) -5 6 [ 8 t] 4 t ( 4 t + 8 ) t 3 ( 4 t + 8 ) ( 5/ 6 ) 8

19 Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα, Λυµένες Ασκήσεις, Βοήθεια στη λύση Εργασιών. Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: Ασκήσεις σύνθετης παραγώγισης II No Άσκηση σύνθετης παραγώγισης [ arctan ( 8 t 3 ( 8 t ) + 8) ] + ( 8 t 3 + 8) 4 t + ( 8 t 3 + 8) No Άσκηση σύνθετης παραγώγισης [ arctan ( 8 t 3 ( 8 t ) + 7) ] + ( 8 t 3 + 7) 4 t + ( 8 t 3 + 7) No 3 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης [ arctan ( 5 t 5 ( 5 t ) + 6) ] + ( 5 t 5 + 6) 5 t 4 + ( 5 t 5 + 6) No 4 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης ( 7 t+ 5 ) [ arctan ( 7 t+ 5 )] + ( 7 t+ 5) 9

20 7 + ( 7 t+ 5 ) No 5 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης [ arctan ( 6 t 4 ( 6 t ) + 5) ] + ( 6 t 4 + 5) 4 t 3 + ( 6 t 4 + 5). Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: No 6 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης ( 9 t+ 5 ) [ arcsin ( 9 t+ 5 )] ( 9 t+ 5 ) t 90 t No 7 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης [ arcsin ( 9 t 5 ( 9 t ) + 5) ] ( 9 t ) 45 t t 0 90 t 5 No 8 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης [ arcsin ( t 4 ( t ) + 9) ] ( t ) 4 t 3 0 t 8 9 t 4 No 9 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης 0

21 ( 3 t+ 4 ) [ arcsin ( 3 t+ 4 )] ( 3 t+ 4 ) t 4 t No 0 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης [ arcsin ( 9 t 5 ( 9 t ) + 9) ] ( 9 t ) 45 t t 0 6 t 5. Θ. Χριστόπουλος, 007, Tηλ.: No Άσκηση σύνθετης παραγώγισης arctan 7 t t ( 7 t 3 + 9) t ( 7 t ) 49 t t ( 7 t ) t 49 t t No Άσκηση σύνθετης παραγώγισης

22 arctan 6 t t+ 5 ( 6 t+ 5) 6 ( 6 t+ 5 ) ( 8 t + 30 t+ 3) ( 6 t+ 5 ) 3 8 t + 30 t+ 3 No 3 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης arctan t+ 3 + t+ 3 ( t+ 3) ( t+ 3 ) ( t + 6 t+ 5) ( t+ 3 ) t + 6 t+ 5 No 4 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης arctan 3 t t ( 3 t 3 + 9)

23 9 t ( 3 t ) 9 t t ( t ) 9 t 9 t t No 5 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης arctan 9 t t 4 + ( 9 t 4 + ) 36 t 3 ( 9 t 4 + ) 8 t t ( 9 t 4 + ) 36 t 3 8 t t Θ. Χριστόπουλος, Tηλ.: No 6 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης arcsin t t ( t ) 3

24 6 t ( t 3 + 5) ( t ) 3 t ( t ) t t No 7 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης arcsin 3 t t + 3 ( 3 t + 3 ) 6 t ( 3 t + 3) ( 3 t + 3 ) t ( t + ) 9 t t + 8 No 8 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης arcsin t + 7 t + 7 ( t + 7 ) t ( t + 7) ( t + 7 ) 4

25 t ( t + 7 ) t t + 48 No 9 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης arcsin 6 t t + 4 ( 6 t + 4 ) t ( 6 t + 4) ( 6 t + 4 ) t 3 ( 3 t + ) t t + 5 No 0 Άσκηση σύνθετης παραγώγισης arcsin 5 t t ( 5 t ) 5 t ( 5 t 3 + 8) ( 5 t ) 5 t ( 5 t ) 5 t t

Υπολογίζουµε την πρώτη παράγωγο: f ' ( x ) = 3 x 2 6 x. Βρίσκουµε τα διαστήµατα µονοτονίας: Στο τριώνυµο είναι: = β 2 4 aγ. άρα οι ρίζες είναι: x 1,2

Υπολογίζουµε την πρώτη παράγωγο: f ' ( x ) = 3 x 2 6 x. Βρίσκουµε τα διαστήµατα µονοτονίας: Στο τριώνυµο είναι: = β 2 4 aγ. άρα οι ρίζες είναι: x 1,2 ================================================= Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα, Λυµένες Ασκήσεις, Βοήθεια στη λύση Εργασιών. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 79 21 251 Ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..: Κανόνες Παραγώγισης του

Διαβάστε περισσότερα

Πακέτο Επιχειρησιακή Έρευνα #02 ==============================================================

Πακέτο Επιχειρησιακή Έρευνα #02 ============================================================== Πακέτο Επιχειρησιακή Έρευνα #0 www.maths.gr www.facebook.com/maths.gr Tηλ.: 69790 e-mail: maths@maths.gr Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα Λυµένες Ασκήσεις Βοήθεια στη λύση Εργασιών ==============================================================

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΜΑΣ: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ:. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: 5 d d csc cot d (β) Απάντησεις: C (β) ln C C. Να υπολογιστούν τα ορισμένα ολοκληρώματα: d csc( ) C C d d (β) /5

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνάρτηση : R, όπου Δ διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0 ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ -4 Λύσεις Θέμα ο α) H f παραγωγίσιμη στο (,) ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f() για κάθε (,). Αφού η f είναι συνεχής στο (,) και f() για κάθε (,) είναι γνησίως αύξουσα στο (,) άρα

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη μαθηματική εισαγωγή

Σύντομη μαθηματική εισαγωγή Σύντομη μαθηματική εισαγωγή (ή πώς να γίνουν ομοιογενείς 250 φοιτητές από 130 διαφορετικά Σχολεία δύο διαφορετικούς δασκάλους ο καθένας) με δύο http://www.cc.uoa.gr/~ctrikali http://eclass.uoa.gr Α. Καραμπαρμπούνης,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

όπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x)

όπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x) ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στην παράγραφο αυτή θα εξετάσουµε την ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων, δηλαδή συναρτήσεων της µορφής p f ( ( q(, όπου p( και q ( είναι πολυώνυµα µιας µεταβλητής του µε συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο Α. Ένα από τα βασικότερα προβλήματα της Μαθηματικής Ανάλυσης είναι ο προσδιορισμός μιας συνάρτησης F/ A με F = f για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 6: Παράγωγοι Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet:

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet: Κεφάλαιο: Συναρτήσεις Γραφική παράσταση συνάρτησης Γράφημα μιας συνάρτησης ( ) ονομάζουμε το σύνολο των σημείων G( ) (, ( ) ) / A που είναι υποσύνολο του. Το γράφημα αυτό { } συνήθως παριστάνεται πάνω

Διαβάστε περισσότερα

Οι εντολές του MaLT+

Οι εντολές του MaLT+ Έλεγχος του χαρακτήρα Οι εντολές του MaLT+ Ελληνική Εντολή Αγγλική Εντολή Περιγραφή Παράδειγμα Κίνηση του χαρακτήρα Μπροστά/μ Πίσω/π fw/fd/forward bw/bk/backward προχωράει μπροστά τόσα βήματα όσο ο προχωράει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Δευτέρα 25-5-2015 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ. Α4.) α) Λάθος, β) Σωστό, γ) Λάθος, δ) Σωστό, ε) Σωστό

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Δευτέρα 25-5-2015 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ. Α4.) α) Λάθος, β) Σωστό, γ) Λάθος, δ) Σωστό, ε) Σωστό ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 5-5-5 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α.) Θεωρία σελ. 94 Α.) Θεωρία σελ.88 Α3.) Θεωρία σελ. 59 Α4.) α) Λάθος, β) Σωστό, γ) Λάθος, δ) Σωστό, ε) Σωστό

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Θεωρία Συνόλων, Συναρτήσεις Πραγματικής Μεταβλητής, Όριο και Συνέχεια Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not deined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 4: Συναρτήσεις Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ (ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων ( και ( με ( 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα ( και (, τέτοια ώστε : ( ( όπου το ( ή είναι το μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ- ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ- ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ- ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Η Συγκριτική Στατική Ανάλυση ασχολείται με την σύγκριση διαφόρων καταστάσεων ισορροπίας οι οποίες συνδέονται με διαφορετικά σύνολα τιμών των παραμέτρων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 4: Ανατοκισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x β. τo σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε x Α. = f (x)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x β. τo σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε x Α. = f (x) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..3: Κανόνες Παραγώγισης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα 8 Θεµελίωση έννοιας αορίστου ολοκληρώµατος Στο 7 0 Κεφάλαιο ορίσαµε την έννοια της αντιπαραγώγου µιας συνάρτησης f σ ένα κλειστό και φραγµένο διάστηµα Γενικότερα Ορισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Θέμα: Τεχνικές Ολοκλήρωσης Εισηγητής: Κων/νος Λ. Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ηράκλειο 7-8 Μαρτίου 014 ΠΕΚ A. Ολοκλήρωση ρητής συνάρτησης Έστω μία ρητή συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Τι θα μάθουμε σήμερα: -AND, OR, NOT. -Ενσωματωμένες συναρτήσεις. -Μαθηματικοί τελεστές -ΤΕΛΕΣΤΕΣ DIV ΚΑΙ MOD. -Προτεραιότητα πράξεων

Κεφάλαιο 1. Τι θα μάθουμε σήμερα: -AND, OR, NOT. -Ενσωματωμένες συναρτήσεις. -Μαθηματικοί τελεστές -ΤΕΛΕΣΤΕΣ DIV ΚΑΙ MOD. -Προτεραιότητα πράξεων Κεφάλαιο 1 Αρχή ήμισυ παντός. Πλάτων, 427-347 π.χ., Φιλόσοφος Τι θα μάθουμε σήμερα: -AND, OR, NOT -Ενσωματωμένες συναρτήσεις -Μαθηματικοί τελεστές -ΤΕΛΕΣΤΕΣ DIV ΚΑΙ MOD -Προτεραιότητα πράξεων 1 Λογικές

Διαβάστε περισσότερα

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο,. Μαθηματικά κατεύθυνσης f(), όπου R, α) Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. β) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f()

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Γράφημα της συνάρτησης f( x), αν p x< 0 F( x) = f( x), αν 0 x p και F( x+ 2 p) = F( x), x R (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται στους

Διαβάστε περισσότερα

Τομέας Mαθηματικών "ρούλα μακρή"

Τομέας Mαθηματικών ρούλα μακρή Τομέας Mαθηματικών "ρούλα μακρή" ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Πρότυπου Εκπαιδευτικού Οργανισμού ρούλα μακρή ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

1. Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού

1. Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού α Θεώρημα Rolle Αν μία συνάρτηση f είναι: Συνεχής στο κλειστό διάστημα [ αα ] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( αα ) και f( α) = f( ) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ( α )

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών :

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου- Μαθηματικός Περιηγητής ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακά Μαθηματικά

Επιχειρησιακά Μαθηματικά Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά () ΑΘΗΝΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 1 Τηλ:10.93.4.450 Πεδίο Ορισμού Οικονομικών Συναρτήσεων Οι οικονομικές συναρτήσεις (συνάρτηση Ζήτησης, συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 19/05/2010 ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Απαντήσεις στα Θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 19/05/2010 ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Απαντήσεις στα Θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 9/5/ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Απαντήσεις Πανελλαδικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης -

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπα κλειστά τμήματα «ΜΕΘΟΔΟΣ» 2.6. ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. Υποδείξεις Απαντήσεις Ασκήσεων. Προσδιορισμός παραμέτρων ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle

Πρότυπα κλειστά τμήματα «ΜΕΘΟΔΟΣ» 2.6. ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. Υποδείξεις Απαντήσεις Ασκήσεων. Προσδιορισμός παραμέτρων ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle Σελ.414 Πρότυπα κλειστά τμήματα «ΜΕΘΟΔΟΣ».6. ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Υποδείξεις Απαντήσεις Ασκήσεων.344. α. Σωστό β. Λάθος γ. Λάθος δ. Σωστό ε. Σωστό στ. Σωστό ζ. Λάθος η. Σωστό θ. Σωστό ι. Λάθος ια. Σωστό ιβ. Σωστό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Β'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της B Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν βάση των µαθηµατικών του

Διαβάστε περισσότερα

2 1, x < 2. f(x) = 3x + 1, x 2. lim. f(x) = lim. x 2. x 1, x < 1. 3x 2 x > 1

2 1, x < 2. f(x) = 3x + 1, x 2. lim. f(x) = lim. x 2. x 1, x < 1. 3x 2 x > 1 ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Καρράς Ιωάννης Μαθηματικός οὐκ οἴεται θεοὺς εἶναι ὁ ἄθεος, ὁ δὲ δεισιδαίμων οὐ βούλεται, πιστεύει δ ἄκων φοβεῖται γὰρ ἀπιστεῖν. gkarras@gmail.com 2 2 o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

3Νο. ασκήσεις Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο. Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ( ) ( 0)

3Νο. ασκήσεις Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο. Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ( ) ( 0) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π Δ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) 3Νο ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 Να μελετήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4 - Σημειώσεις

Διάλεξη 4 - Σημειώσεις Διάλεξη 4 - Σημειώσεις Απροσδιόριστες μορφές και ο κανόνας l'hôpital Έστω ότι ζητούμε το όριο () της συνάρτησης () = () () η οποία δίνεται ως το πηλίκο δύο συναρτήσεων (), (). Τότε, () () () = () = ()

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Έννοια συνάρτησης Παραγώγιση Ακρότατα Ασκήσεις Βασικές έννοιες Στην Οικονομία, τα περισσότερα από τα μετρούμενα μεγέθη, εξαρτώνται από άλλα μεγέθη. Π.χ η ζήτηση από την τιμή,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Θέμα: Τεχνικές Ολοκλήρωσης. Εισηγητής: Κων/νος Λ. Κωνσταντόπουλος. Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

ΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Θέμα: Τεχνικές Ολοκλήρωσης. Εισηγητής: Κων/νος Λ. Κωνσταντόπουλος. Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Θέμα: Τεχνικές Ολοκλήρωσης Εισηγητής: Κων/νος Λ. Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ρέθυμνο 0 Φεβρουαρίου 05 Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Ρεθύμνου A. Ολοκλήρωση ρητής συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης

Διαβάστε περισσότερα

Να εξετάσετε αν είναι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας, κι αν είναι να υπολογίσετε τη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας F x (x).

Να εξετάσετε αν είναι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας, κι αν είναι να υπολογίσετε τη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας F x (x). Κεφάλαιο 2, άσκηση 1: Δίνονται οι συναρτήσεις: α) 2, β), Να εξετάσετε αν είναι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας, κι αν είναι να υπολογίσετε τη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας F x (x). Λύση : Για να είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις wwwzitigr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις ομάδες προσανατολισμού: ç Θετικών σπουδών ç Οικονομίας και Πληροφορικής Αναπτύσσονται διεξοδικά τα κεφάλαια:

Διαβάστε περισσότερα

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim. Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο :.2 -.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1(ΑΝΑΛΥΣΗ)

ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1(ΑΝΑΛΥΣΗ) ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ (ΑΝΑΛΥΣΗ) Ι. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τους. Η συνάρτηση = sin. Η συνάρτηση sin : -, [,], = sin είναι, αφού (sin ) = cos >, για κάθε -,. Άρα

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

Εντολές της «Χελωνόσφαιρας»

Εντολές της «Χελωνόσφαιρας» Εντολές της «Χελωνόσφαιρας» Πίνακας 1: Εντολές ελέγχου της οντότητας Ελληνική Εντολή Αγγλική Εντολή Περιγραφή Παράδειγμα Κίνηση της οντότητας Μπροστά/μ Πίσω/π Forward/ fw/fd/ number Backward/bw/bk/ number

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 4 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Παράγωγος Συνάρτησης 4.1 Έννοια Παραγώγου Ορισμός f(x) f(x 0 ) Μια συνάρτηση f ονομάζεται παραγωγίσιμη στο x 0 Df αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.07: Εκθετικές και Λογαριθμικές Συναρτήσεις Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 1: Κεφαλαιοποίηση Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

3. Η µερική παράγωγος

3. Η µερική παράγωγος 1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 1 Μερική παραγώγιση παράγωγος µιας συνάρτησης µερική παράγωγος ( ( µιας µεταβλητής ορίζεται ως d d ( ( (1 Για συναρτήσεις δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α α 3y β 5 (1) Αν το (Σ) : 3 αy 5β τους α,β έχει λύση την (, y) = (1, ) να βρείτε () Να λυθούν τα συστήματα : y 4 3 y 5 6 5 6

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΛΥΣΕΩΝ: ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΚΠΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΛΥΣΕΩΝ: ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΚΠΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΛΥΣΕΩΝ: ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΚΠΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΕΣ ΠΕΡΙΟΔΟΙ: ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 009 & ΙΟΥΛΙΟΣ 013 ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

(α) Από τους κανόνες σύνθετης παραγώγισης δύναμης συναρτήσεως και λογαρίθμου συναρτήσεως:

(α) Από τους κανόνες σύνθετης παραγώγισης δύναμης συναρτήσεως και λογαρίθμου συναρτήσεως: http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΔΕΟ -: Άσκηση I. (α) Από τους κανόνες σύνθετης παραγώγισης δύναμης συναρτήσεως και λογαρίθμου συναρτήσεως:

Διαβάστε περισσότερα

Λυμένες ασκήσεις. Ο κ. Πέτρος αγόρασε ένα βαρέλι κρασί. Γέμισε δύο μπουκάλια. Το πρώτο μπουκάλι χώρεσε το 1 5

Λυμένες ασκήσεις. Ο κ. Πέτρος αγόρασε ένα βαρέλι κρασί. Γέμισε δύο μπουκάλια. Το πρώτο μπουκάλι χώρεσε το 1 5 23 ο Κεφάλαιο 44 Λυμένες ασκήσεις εκτός βιβλίου Ο κ. Πέτρος αγόρασε ένα βαρέλι κρασί. Γέμισε δύο μπουκάλια. Το πρώτο μπουκάλι χώρεσε το 1 5 του βαρελιού, ενώ το δεύτερο χώρεσε το 0,3 του βαρελιού. Άδειασε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ ) 5 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ημερομηνία Ανάρτησης Μαρτίου 4 Ημερομηνία Παράδοσης της εργασίας από τον Φοιτητή Απριλίου 4 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδα μέτρησης του ηλεκτρικού φορτίου στο Διεθνές Σύστημα (S.I.) είναι το προς τιμήν του Γάλλου φυσικού Charles Augustin de Coulomb.

Μονάδα μέτρησης του ηλεκτρικού φορτίου στο Διεθνές Σύστημα (S.I.) είναι το προς τιμήν του Γάλλου φυσικού Charles Augustin de Coulomb. Βασικές έννοιες Τα σώματα μπορούν να αλληλεπιδράσουν ηλεκτρικά. Ο Θαλής ο Μιλήσιος παρατήρησε πρώτος την έλξη μικρών αντικειμένων από ήλεκτρο, αφού πρώτα τριφτεί σε ξηρό ύφασμα. Το φαινόμενο αυτό ονομάστηκε

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διαφορικός Λογισμός Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 1 Σκοποί ενότητας 4

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στις συναρτήσεις, όρια και παράγωγο

Ασκήσεις στις συναρτήσεις, όρια και παράγωγο Ασκήσεις στις συναρτήσεις, όρια και παράγωγο Σπύρος Γλένης, Μαθηματικός Εάν α) 0,, β) να βρείτε τα παρακάτω: t,,, Να βρείτε το ( h) ( ) για τις παρακάτω συναρτήσεις: h i) ii) iii), ρητός 0, άρρητος Δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ưƪƶƭʈƪƶ ƩƭƧĭƳƵƭƮƪƶ ƪƲƭƶƻƶƪƭƶ & ưƭīƨʃƭʈƪƶ ƶƹʊƨƶʒƭƶƪƭƶ:

ưƪƶƭʈƪƶ ƩƭƧĭƳƵƭƮƪƶ ƪƲƭƶƻƶƪƭƶ & ưƭīƨʃƭʈƪƶ ƶƹʊƨƶʒƭƶƪƭƶ: & i iii & :, 2016 Πρόλογος vii Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγική προσέγγιση στη θεωρία των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων και των Μιγαδικών Συναρτήσεων. Στις μέρες μας οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

lim y < inf B + ε = x = +. f(x) =

lim y < inf B + ε = x = +. f(x) = ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηματική Ανάλυση Ι ΟΜΑΔΑ: Α 8 Μαρτίου, 0 Θέμα. (αʹ) Εστω A, B μη κενά σύνολα πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε x y, για

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT [Ενότητες Η Έννοια του Τοπικού Ακροτάτου Προσδιορισμός των τοπικών Ακροτάτων πλην του Θεωρήματος Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων

Διαβάστε περισσότερα

Af(x) = και Mf(x) = f (x) x

Af(x) = και Mf(x) = f (x) x ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι. Λύσεις 9 Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 5' (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f() έχει το παραπλεύρως γράφημα με πλάγια ασύμπτωτο. Να δοθούν, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγοι. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ Κατεύθυνση Κεφάλαιο 1. Kglykos.gr. 359 ασκήσεις σε 19 σελίδες. εκδόσεις.

Παράγωγοι. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ Κατεύθυνση Κεφάλαιο 1. Kglykos.gr. 359 ασκήσεις σε 19 σελίδες. εκδόσεις. Παράγωγοι Κώστας Γλυκός ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις σε 9 σελίδες Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr / 6 / 0 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Α. Αν α>0 με α, τότε για οποιουσδήποτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log (θ θ ) log θ log θ Μονάδες 8 α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127 Α - Β Γυμνασίου η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 0. Αν = M = 60, η τιμή του M + N είναι: 5 45 N Α. Β. 9 Γ. 45 Δ. 05 Ε.. Ένα τετράγωνο και ένα τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Το μήκος των τριών

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.03: Μέθοδοι Ολοκλήρωσης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 6. Μονοψήφια διαίρεση Προβλήματα αναλογίας

ΕΝΟΤΗΤΑ 6. Μονοψήφια διαίρεση Προβλήματα αναλογίας Μονοψήφια διαίρεση Προβλήματα αναλογίας ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και εκτίμηση Αρ2.13 Αναπτύσσουν και εφαρμόζουν αλγόριθμους της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού με τριψήφιους

Διαβάστε περισσότερα