Για παράδειγµα έστω ότι σε κάθε ανεξάρτητη πραγµατοποίηση

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Για παράδειγµα έστω ότι σε κάθε ανεξάρτητη πραγµατοποίηση"

Transcript

1 Μέθοδοι Monte Carlo Οι µέθοδοι Monte Carlo είναι µια κλάση από υπολογιστικούς αλγόριθµους που βασίζονται στην επαναλαµβανόµενη τυχαία δειγµατοληψία για τον υπολογισµό αποτελεσµάτων. Συχνά χρησιµοποιούντα στην προσοµοίωση φυσικών και µαθηµατικών συστηµάτων και προβληµάτων. Επειδή τέτοιοι αλγόριθµοι εξαρτώνται από την χρήση τυχαίων ή ψευδοτυχαίων αριθµών, οι αλγόριθµοι Monte Carlo ονοµάζονται και στοχαστικοί αλγόριθµοι και πρακτικά χρησιµοποιούνται στην περίπτωση που το µοντέλο µας για κάποιο σύστηµα είναι τόσο πολύπλοκο που η παραγωγή αναλυτικών λύσεων, είτε η χρήση αιτιοκρατικών (deterministic) αλγορίθµων είναι αδύνατη. Στην ουσία µε την χρήση στοχαστικών αλγορίθµων θέλουµε να αναπαραστήσουµε ένα στοχαστικό φαινόµενο στον υπολογιστή όσο πολύπλοκο και αν είναι κάνοντας τον µικρότερο δυνατό αριθµό απλουστεύσεων, δηµιουργώντας έτσι ρεαλιστικά µοντέλα. Εάν καταφέρουµε να δηµιουργήσουµε ένα υπολογιστικό µοντέλο που είναι πολύ κοντά στο αντίστοιχο φυσικό σύστηµα, δεν χρειάζεται να περιµένουµε το φαινόµενο να πραγµατοποιηθεί µε φυσικό τρόπο είτε γιατί χρειάζεται µεγάλο χρονικό διάστηµα για την επανάληψη του, είτε λόγω κόστους δεν µπορούµε να έχουµε µεγάλο αριθµό από πραγµατικές εργαστηριακές πραγµατοποιήσεις. Για παράδειγµα έστω ότι σε κάθε ανεξάρτητη πραγµατοποίηση X j, j =, K, n του υπολογιστικού µοντέλου ενδιαφερόµαστε για την πραγµατοποίηση ενδεχοµένου A. Τότε ο νόµος των µεγάλων αριθµών µας εξασφαλίζει ότι ( X j A) E ( X A) = P{ X A, n n j= n Παρατηρώντας λοιπόν χιλιάδες είτε ακόµα και εκατοµµύρια πραγµατοποιήσεις της στοχαστικής προσοµοίωσης µπορούµε να εξάγουµε συµπεράσµατα για το πραγµατικό σύστηµα. Παραγωγή (ψευδο)τυχαίων αριθµών Σπύρος Ι. Χατζησπύρος Σηµειώσεις στην Υπολογιστική Στατιστική µέρος Α

2 iid Έστω ότι Ui ~ U (,) τότε µια πεπερασµένη πραγµατοποίηση της ακολουθίας { U K U είναι µια ακολουθία τυχαίων αριθµών.,, n Στην πραγµατικότητα όµως µόνο να προσοµοιώσουµε µια τέτοια ακολουθία µπορούµε µέσα σε ένα υπολογιστή για αυτό και λέµε ότι µε έναν υπολογιστή µπορούµε να παράγουµε ακολουθία ψευδοτυχαίων αριθµών που όµως έχουν κοινά χαρακτηριστικά µε ακολουθίες πραγµατικά τυχαίων αριθµών. Ψευδοτυχαίες ακολουθίες { U j συνήθως παράγονται µε την χρήση linear congruencies, δηλαδή µη στοχαστικών, γραµµικών αναδροµικών σχέσεων της µορφής (linear congruencies) ( ) ( ) Xi = C Xi = axi + b mod m, i, για δοθέν X (seed), θέτουµε τότε Ui Xi / m Η τριάδα ( abm,, ) ζητάµε να είναι τέτοια ώστε: = όπου x mod m= m( x/ m x/ m ). { () i Η περίοδος του X να είναι µεγάλη δηλαδή το min i: C ( X) = X να είναι της τάξης του m. Η ψευδοτυχαία ακολουθία να περνάει αρκετούς από τους γνωστούς ελέγχους τυχαιότητας (tests for randomness). Για παράδειγµα το information entropy test, autocorrelation test, Kolmogorov Smirnov test κλπ. Παρατήρηση Η χρησιµοποιεί τον αλγόριθµο Mersenne Twister για δειγµατοληψία από την U (,). Η µέθοδος Mersenne Twister βασίζεται σε matrix linear congruence σχέσεις και Mersenne πρώτους. Για παράδειγµα εάν θέλουµε να θέσουµε νέο seed στην > set.seed() Για να πάρουµε δείγµα από την U (,) > runif() Σπύρος Ι. Χατζησπύρος Σηµειώσεις στην Υπολογιστική Στατιστική µέρος Α 2

3 [] Εάν στην συνέχεια θέσουµε και πάλι το ίδιο seed η ακολουθία των δειγµάτων από την οµοιόµορφη επαναλαµβάνεται > set.seed() > runif() [] ## script για τη δηµιουργία ψευδοτυχαίας ακολουθίας αριθµών ## στο (,), για δοθείσα τριάδα ( abm,, ) και αρχική συνθήκη X. myrng<-function(xseed=42, SS=4, a=5, b=7, m=2){ x<-xseed v<-ull for(i in :SS){ x<- (a*x+b) %% m v<-append(v, x/m) return(v) Ας δούµε µια περίπτωση που η περίοδος είναι µικρή για ( abm,, ) = ( 5,7,2) και x = 42 v<-myrng( ); v [] [9] [7] [25] [33] hist(v, breaks=2,main="a=5, b=7, m=2", col="black") Σπύρος Ι. Χατζησπύρος Σηµειώσεις στην Υπολογιστική Στατιστική µέρος Α 3

4 (ADU) Το linear congruence ( abm,, ) = ( ,,2 3 ) χρησιµοποιήθηκε από την IBM στις αρχές τι δεκαετίας του 7. Το 963 όµως ανακαλύφθηκε ότι ισχύει η σχέση xn+ 2 6xn+ + 9xn = κ όπου κ { 5, 4, K,9. Αυτό σηµαίνει ότι συνεχόµενες τριάδες ( un, un+, un+ 2) µε ui = xi / m βρίσκονται αποκλειστικά σε 5 επίπεδα του µοναδιαίου κύβου (, ) 3. ηλαδή η συσχέτιση µεταξύ των ( un, un+, un+ 2) είναι πολύ µεγάλη και δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την παραγωγή ψευδοτυχαίων αριθµών. Χρήση της ADU για προσοµοίωση οδηγεί σε εσφαλµένα συµπεράσµατα. Σπύρος Ι. Χατζησπύρος Σηµειώσεις στην Υπολογιστική Στατιστική µέρος Α 4

5 Μια καλή επιλογή είναι η τριάδα ( abm,, ) = ( 7 5,,2 32 ) v<-myrng(3,, 7^5-,, 2^32-) hist(v, breaks=2,main="a=7^5-, b=, m=2^32-", col="black") # To variance της X ~ U ( ab, ) είναι ( b a) 2 /2 εδώ /2 =.8333 > var(v) [] χρήση του random number generator της v<-runif(, min=, max=) hist(v, breaks=2,main=" Mersenne Twister ", col="black") > var(v) [] Σπύρος Ι. Χατζησπύρος Σηµειώσεις στην Υπολογιστική Στατιστική µέρος Α 5

6 Άσκηση 6 3 Να δειχθεί ότι εάν (,, ) ( 2 3,,2 ) abm = + τότε un+ 2 6un+ + 9un = κ όπου κ Z = ( + ) + = ( + ) = ( + + ) ( ) xn ( ) xn xn+ xn x 2 3 x mod2 2 3 x mod x mod n n n n ( ) ( ) = mod 2 = mod 2 = 6 9 mod 2 ή ότι x 6x + 9x = κ 2 u 6u + 9u = κ 3 n+ 2 n+ n n+ 2 n+ n Άσκηση είξτε µε προσοµοίωση ότι το κ στην προηγούµενη σχέση µπορεί να πάρει µόνο τιµές στο σύνολο { 5, 4, K,9. Σπύρος Ι. Χατζησπύρος Σηµειώσεις στην Υπολογιστική Στατιστική µέρος Α 6

7 ## THE ADU POBLEMATIC ACOM UMBE GEEATO randudecode<-function(v){ u<-ull for(i in :length(v)-2){ x<-v[i+2]-6*v[i+]+9*v[i] u<-append(u, x) return(u) getsampledistr<-function(sample){ D<- ULL P<- ULL L<-sample while(length(l)!=){ D<-append(D, L[]) L<-L[L!=L[]] for(i in :length(d)){ x<-d[i] counter<- for(j in :length(sample)) if(x==sample[j]) counter<-counter+ P<-append(P, counter/length(sample)) v<-c(d, P) return(v) > u<-myrng(3,, 2^6+3,, 2^3) > u [] e e e e e-2 [6] e e e e e-2 [] e e e e e- [6] e e e e e- [2].87852e e e e e- [26] e e e e e- [3] e e e-.2963e e- [36].88273e e e e e- [4] e-.844e e e e- [46] e e e e e- [5] e e e e-.65e- [56] e e e e e- Σπύρος Ι. Χατζησπύρος Σηµειώσεις στην Υπολογιστική Στατιστική µέρος Α 7

8 [6] e e e e e- [66] 7.249e e e e e- [7] e e-.9824e e e-2 [76] e e-.289e e e- [8] e e e- 6.84e e- [86] e e e e e- [9] 5.423e e e e e- [96] e e e e e- > mysample<-randudecode(u) > mysample [] [26] [5] [76] > v<-getsampledistr(mysample) > v [] [7] [3] [9] [25] > D<-v[:(length(v)/2)] > D [] > P<-v[(length(v)/2+):length(v)] > P [] [] >plot(d, P, type="h", lwd=2, col="red", ylim=c(,.3)) >points(d, P, pch=6, cex=, col="black") Σπύρος Ι. Χατζησπύρος Σηµειώσεις στην Υπολογιστική Στατιστική µέρος Α 8

9 Ολοκλήρωση Monte Carlo Έστω ότι θέλουµε να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα I = g( x) dx. Συµβολίζουµε την χαρακτηριστική συνάρτηση του διαστήµατος (, ) ( a< x< b) που είναι όταν x ( ab, ) και όταν x ( ab, ). Τότε το ολοκλήρωµα I µπορεί να γραφεί ε τον εξής τρόπο ab µε I = g( x) ( < x< ) dx= g( x) U( x, ) dx= E g( u), u ~ U (,). iid Από τον ισχυρό νόµο των µεγάλων αριθµών έχουµε ότι εάν ui ~ U (,) και E g( u i ) <, τότε ( ) = E ( ) = ( ) n lim i n i= n g u g u g x dx Μια εκτίµηση του I θα είναι Iˆ = g( ui), iid u ~ (, ) i U για µεγάλο, επειδή ( Iˆ ) i= var g( u) = όταν var b Εάν έχουµε να υπολογίσουµε ολοκληρώµατα της µορφής g ( x ) dx είτε a ( ) g x dx b a ( ) ( ) ( ) ( ) gy % ( ) ( ) g x dx= b a g a+ b a y dy, x= a+ b a y ( ) ( ) gy % ( ) g x dx= y g / y dy, x= / y ( ) ( ) ( ) ( ) gy % ( ) ( ) 2 a g x dx= a y g a y dy, x= a y Για πολλαπλά ολοκληρώµατα της µορφής = ( ) έχουµε k E g( u, K, u ) = L g( x, K, x ) U ( x,) dx L dx k k k i= i k I L g x, K, xk dx L dxk θα Σπύρος Ι. Χατζησπύρος Σηµειώσεις στην Υπολογιστική Στατιστική µέρος Α 9

10 k (,, ) ( ) (,, ) L g x K x k k x i dx i Ldx g x x x xk k dx dx = L = K L = k = < < = ενώ n i i lim (,, ) = E (,, ) (,, ) i n = n = x = x k = Μια εκτίµηση του I, για µεγάλο, θα είναι ˆ i i I g( u,, uk) g u K u g u K u L g x K x dx L dx i iid u j ~ U (,) για j k και i k k k k. ## Υπολογισµός του εκτιµητή I ˆ για το I = g( x) dx MCIntegral<-function(, g) { sum<- for(i in :) sum=sum+g(runif()) return(sum/) ## ( ) log x dx= > MCIntegral(, log) [] ## ( ) ( ( )) Exp x 5 dx = 5x exp 5 / x dx = = K, όπου i= myfun<-function(x) return(x^(-2)*5*exp(-5*(x^(-)-))) > MCIntegral(, myfun) [].9865 ##################################################### ## Υπολογισµός του εκτιµητή I ˆ για το I = 2 exp (( x + y ) ) dxdy =;s= for(i in :) { x<-runif();y<-runif() Σπύρος Ι. Χατζησπύρος Σηµειώσεις στην Υπολογιστική Στατιστική µέρος Α

11 s=s/ s<-s+exp((x+y)^2) > s [] #Με αριθµητική ολοκλήρωση ## Το διάνυσµα v περιέχει το running average trajectory. =;s=;v<-c() for(i in :) { x<-runif();y<-runif() s<-s+exp((x+y)^2) if(i>2) v<-append(v, s/i) s=s/ > s [] plot(v, type='l', pch=".") #plot the running average of the MC integration abline(4.9,, ylim=c(2, )) # add the line y=4.9 Σπύρος Ι. Χατζησπύρος Σηµειώσεις στην Υπολογιστική Στατιστική µέρος Α

12 Άσκηση είξτε ότι η συνάρτηση h( x, y) την πολλαπλασιάσουµε µε το 8, δηλαδή ( ) script που να υπολογίζει το ολοκλήρωµα (, ) xy < x < y < = γίνεται πυκνότητα εάν αλλου 8 h x, y dxdy =. Να γραφτεί 2 h x y dxdy y (, ) = ( < < < ) = y= { x= h x y dxdy xy x y dxdy xydx dy y = dy = y= 2 8 Για το script έχουµε ( ) ( ) E ( ) xy < x < y < dxdy = xy x y dxdy XY X Y < = < g X Y όπου X και Y ανεξάρτητες (,) 2 (, ) U τυχαίες µεταβλητές. i Από τον ισχυρό νόµο των µεγάλων αριθµών έχουµε ότι εάν u j iid ~ U (,) τότε i i g u u E XY X Y i= (, 2) ( < ) =;s= for(i in :) { x<-runif();y<-runif() if(x<y) s<-s+x*y s=s/ > s [] Σπύρος Ι. Χατζησπύρος Σηµειώσεις στην Υπολογιστική Στατιστική µέρος Α 2

13 Άσκηση Να υπολογιστεί το εµβαδόν του µοναδιαίου κύκλου µε ολοκλήρωση Monte Carlo. Εάν ( ) {, : D= x y x + y τότε D 2 x 2 2 dxdy = dy dx = x dx = x dx x= y= x ( ) π /2 π /2 2 + cos 2ϑ = 4 cos ( ϑ) dϑ = 4 dϑ 2 ϑ sin( 2ϑ) = π ( ( ) ( )) /2 = 2 ϑ + sin ϑ cos ϑ = π π /2 Για την ολοκλήρωση Monte Carlo έχουµε D 2 2 ( ) ( ) ( ) dxdy = x + y < x < dx < y < dy x= y= ( x y ) ( x ) dx ( y ) dy ( X Y ) x= U U E y= = 4 +,, = 4 + όπου X και Y ανεξάρτητες U (,) τυχαίες µεταβλητές. g u i u i E g X Y u i iid ~ U i= (, 2) (, ) j (,) (, ) g X Y =;s= for(i in :) { x<- -+2*runif(); y<- -+2*runif() if(x^2+y^2<) s<-s+ s=s/ > 4*s [] Σπύρος Ι. Χατζησπύρος Σηµειώσεις στην Υπολογιστική Στατιστική µέρος Α 3

14 Παρατήρηση Το συγκεκριµένο ολοκλήρωµα δίνει εκτίµηση του π = 3.459K, δηλαδή ˆ π i i i iid = ( ( u) + ( u2) < ) u (,) i j ~ U = U ( ab, ) = d a+ ( b a) U (,) Η βελόνα του Buffon Χωρίζουµε το επίπεδο µε παράλληλες ευθείες που έχουν απόσταση t και πετάµε µε τυχαίο τρόπο βελόνες µήκους l < t. Η θέση κάθε βελόνας ως προς την κοντινότερη σε αυτήν ευθεία καθορίζεται από την απόσταση του κέντρου της βελόνας από την ευθεία και από την γωνία που σχηµατίζει η βελόνα µε την ευθεία σύµφωνα µε το σχήµα Έστω ότι πετάµε n βελόνες και m από αυτές τέµνουν κάποια από τις ευθείες τότε µια εκτίµηση του π είναι 2l n ˆn π = t m l Πράγµατι η βελόνα τέµνει την ευθεία όταν x sin ( ϑ ). Εµφανώς 2 PX ( dx) = U ( x, t/2) dx και PΘ ( dϑ ) = U ( ϑ, π /2) dϑ ενώ X Θ έτσι το από κοινού µέτρο είναι PX, Θ ( dx, dϑ ) = U( x, t/2 ) U ( ϑ, π /2) dxdϑ. Θα βρούµε την πιθανότητα του ενδεχοµένου { ( ) { X l ( Θ ) = ω Ω X ( ω) l Θ ( ω) sin / 2 : sin / 2 { sin ( Θ )/ 2 = E { sin ( Θ) / 2 Θ P{ X lsin ( )/ 2 ϑ PΘ( dϑ) ( x lsin ( ϑ) / 2) P X ( dx) PΘ( dϑ) P X l P X l = Θ Θ= = ϑ ϑ X Σπύρος Ι. Χατζησπύρος Σηµειώσεις στην Υπολογιστική Στατιστική µέρος Α 4

15 ηλαδή { ( ) ( ϑ) ϑ X ( ) X ( ) Θ ( ϑ) E ( ( ) ) P X lsin Θ / 2 = x lsin / 2 P dx P d = X lsin Θ / 2 και ϑ π /2 l sin ( ϑ) /2 2 2 ( x l sin ( ϑ )/2) PX ( dx) PΘ ( dϑ) = dx dϑ ϑ= x= t π X 2l 2l sin ( ϑ) dϑ = tπ tπ π /2 ϑ= έτσι 2l = < sin, ~ U, /2 ~ U, /2 t ˆ π n i= ( xi l ( ϑi) ) xi ( t ) ϑi ( π ) m ## The script for the Buffon needle estpi<- function(n, l=, t=2) { m <- for (i in :n) { x <- runif() theta <- runif(, min=, max=pi/2) if (x < l/2 * sin(theta)) m <- m + return(2*l*n/(t*m)) > estpi() [] > estpi() [] > estpi() [] > estpi() [] > estpi() [] Σπύρος Ι. Χατζησπύρος Σηµειώσεις στην Υπολογιστική Στατιστική µέρος Α 5

16 Buffon s needle animation Πρώτα θα πρέπει να κάνουµε download το package animation και στην συνέχεια να δώσουµε τον αριθµό των επαναλήψεων nmax για την ολοκλήρωση Monte Carlo. Το option interval= δίνει µέγιστη ταχύτητα στο animation > ani.options(nmax = 2, interval = ) animation option 'nmax' changed: --> 2 Στην συνέχεια καλούµε την συνάρτηση buffon.needle() όπου l =.8 είναι το µήκος της βελόνας και d = η απόσταση των παράλληλων ευθειών buffon.needle(l =.8, d =, redraw = TUE, mat = matrix(c(, 3, 2, 3), 2), heights = c(3, 2), col = c("lightgray", "red", "gray", "red", "blue", "black", "red"), expand =.4, type = "l") το αποτέλεσµα είναι Για να βρούµε περισσότερες πληροφορίες για την συνάρτηση buffon.needle() χρησιµοποιούµε το query >?ani.options starting httpd help server... done Σπύρος Ι. Χατζησπύρος Σηµειώσεις στην Υπολογιστική Στατιστική µέρος Α 6

17 Άσκηση n ίνεται η στοχαστική διαδικασία{ Kt t [,] µε Kt = inf { n: u i i > t =, όπου για κάθε i τα u i είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές από την U (,). είξτε ότι E ( K ) t t = e, t. Γράψτε script για την εκτίµηση της µέσης τιµής E ( K t ). Γράψτε script που να προσοµοιώνει ω - τροχιές της διαδικασίας { Kt t [,] () = E( t) = E{ E[ t ] = E[ t = ] (, ) = E[ t = ] mt K K u K u yu y dy K u ydy. Επειδή [ t ] ( ) ( t y) { ( ) E K u = y = y > t + + E K y t θα έχουµε { ( ) () = ( > ) + ( ) + E t y t t t E( t y) E ( t y) mt y tdy K y tdy = dy + dy + K dy = + K dy t και έτσι t () = + ( ). mt mt ydy Παραγωγίζοντας και τα δύο µέλη της προηγούµενης σχέσης έχουµε t () = ( ) + ( ) m t m t m t y dy Θέτοντας u = t y παίρνουµε ( ) = ( ) + t ( ) = ( ) + ( ) ( ) = ( ) m t m m u du m m t m m t Ολοκληρώνοντας την προηγούµενη εξίσωση έχουµε ( ()) ( ( )) log mt log m = t Σπύρος Ι. Χατζησπύρος Σηµειώσεις στην Υπολογιστική Στατιστική µέρος Α 7

18 και επειδή { ( ) ( ) t P K = = m = m t = e. Kestimation<-function(x=, =) { est<- for(i in :) { s<- counter= while(s<x){ s<-s+runif(); counter<-counter+ est<-est+counter return(est/) > Kestimation() [] 2.69 > Kestimation(=) [] > Kestimation(=) [] > Kestimation(x=2) [] 4.65 > Kestimation(x=2, =) [] Παρατήρηση Στην προηγούµενη άσκηση κάναµε χρήση του τύπου του Leibnitz t () bt () at bt () f ( t, x) dx = b () t f ( b() t, x) a () t f ( a() t, x) + f ( t, x) dx at () t. orbit<-function(dx=., M=) { orbit <- c(); X <- c(); x<- for(j in :M) { x<-x+dx; X<-append(X, x) s<-; counter <- while(s<x) {s<-s+runif(); counter <- counter + orbit<-append(orbit, counter) plot(x, orbit, type='l', pch=".") Σπύρος Ι. Χατζησπύρος Σηµειώσεις στην Υπολογιστική Στατιστική µέρος Α 8

19 orbit(dx=., M=25) Σπύρος Ι. Χατζησπύρος Σηµειώσεις στην Υπολογιστική Στατιστική µέρος Α 9

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo ΦΥΣ 145 - Διαλ.09 Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo Χρησιμοποίηση τυχαίων αριθμών για επίλυση ολοκληρωμάτων Η μέθοδος Monte Carlo δίνει μια διαφορετική προσέγγιση για την επίλυση ενός ολοκληρώμτατος Τυχαίοι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Προσοµοίωση. Κεφάλαιο 6. 6.1 Ο Ασθενής Νόµος των Μεγάλων Αριθµών. X = 1 n

Προσοµοίωση. Κεφάλαιο 6. 6.1 Ο Ασθενής Νόµος των Μεγάλων Αριθµών. X = 1 n Κεφάλαιο 6 Προσοµοίωση Αυτό το κεφάλαιο συµπληρώνει το προηγούµενο κεφάλαιο το οποίο αναφερόταν στο πώς µπορεί να γίνει απλός προγραµµατισµός στην R. Θα χρησιµοποιηθούν οι έννοιες του προγραµµατισµού για

Διαβάστε περισσότερα

Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 2001-02 «Αριθµητική Ανάλυση» -

Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 2001-02 «Αριθµητική Ανάλυση» - Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» -. ΕΙΣΑΓΩΓΗ.... ΤΙ ΕΙΝΑΙ MOTE CARLO.... ΠΟΥ ΕΦΑΡΜΟΖΕΤΑΙ....3 ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ Η ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ ΤΗΣ....4 ΓΙΑΤΙ ΤΗΝ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΜΕ....5 ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ Η ΑΠΛΟΥΣΤΕΡΗ ΜΟΡΦΗ ΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015 Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 215 Άσκηση 1: (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (ax+b)(x 2 +1) αν το a είναι ϑετικός αριθµός. (ϐ) Το µεσηµέρι, ένα σαλιγκάρι που ϐρίσκεται στο κέντρο ενός

Διαβάστε περισσότερα

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Περιεχόμενα Μαθήματος Εισαγωγή στο Πρόβλημα. Monte Carlo Εκτιμητές. Προσομοίωση. Αλυσίδες Markov. Αλγόριθμοι MCMC (Metropolis Hastings & Gibbs Sampling).

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Κεφ. I Εισαγωγή.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Η ανάγκη µαθηµατικής περιγραφής και µοντελοποίησης συστηµάτων τα οποία εξελίσσονται χρονικά κατά τρόπο που περιέχει, σε µικρό ή µεγάλο βαθµό, τυχαιότητα,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ηµιουργία αρχείου στον matlab editor Πληκτρολόγηση ακολουθίας εντολών

ηµιουργία αρχείου στον matlab editor Πληκτρολόγηση ακολουθίας εντολών Προγραµµατισµός Αρχεία εντολών (script files) Τυπικό hello world πρόγραµµα σε script ηµιουργία αρχείου στον matlab editor Πληκτρολόγηση ακολουθίας εντολών disp( ( 'HELLO WORLD!'); % τυπική εντολή εξόδου

Διαβάστε περισσότερα

n i P(x i ) P(X = x i ) = lim

n i P(x i ) P(X = x i ) = lim Κεϕάλαιο 2 Πιθανότητες και Τυχαίες Μεταβλητές Μπορούµε να καταλάβουµε την έννοια της πιθανότητας από τη σχετική συχνότητα εµϕάνισης n i κάποιας τιµής x i µιας διακριτής τ.µ. X. Αν είχαµε τη δυνατότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη στατιστική ανάλυση δεδοµένων

Εισαγωγή στη στατιστική ανάλυση δεδοµένων Εισαγωγή στη στατιστική ανάλυση δεδοµένων Α. Η στατιστική περιγραφή της µέτρησης φυσικών µεγεθών. Ο στοχαστικός χαρακτήρας της µέτρησης Στη διαδικασία µέτρησης ενός φυσικού µεγέθους η πραγµατική του τιµή

Διαβάστε περισσότερα

Κατανομές Απώλειας. Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος

Κατανομές Απώλειας. Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Κατανομές Απώλειας Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Απαγορεύεται η αναδημοσίευση, η αναπαραγωγή, ολική ή περιληπτική του περιεχομένου αυτού με οποιονδήποτε τρόπο χωρίς προηγούμενη γραπτή άδεια του

Διαβάστε περισσότερα

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28 Perieqìmena Συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011.

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ /ΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Να διατηρηθεί µέχρι... Βαθµός Ασφαλείας...

Διαβάστε περισσότερα

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Αριστοτέλης Μακρίδης Μαθηµατικός, Επιµορφωτής των Τ.Π.Ε Αποσπασµένος στην ενδοσχολική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 13 1.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων

ΜΑΘΗΜΑ 13 1.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων ΜΑΘΗΜΑ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων Θεωρία Σχόλια Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Έστω οι συναρτήσεις : A R, :Β R Το τυχαίο A, µε την A. αντιστοιχίζεται στην τιµή Αν η τιµή αυτή ( ) B θα αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θέμα: «Γραμμικά μοντέλα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει µια διαδικασία αποµάκρυνσης µη επιθυµητών στοιχείων Απότολατινικόόροfelt : το υλικό για το φιλτράρισµα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση

1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση ,Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Καραδηµητρίου Ε. Μιχάλης http://perifysikhs.wordpress.com mixalis.karadimitriou@gmail.com Πρόχειρες Σηµειώσεις 2011-2012 1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση 1.1 Περιοδικά Φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η8. Πηγές µαγνητικού πεδίου

Κεφάλαιο Η8. Πηγές µαγνητικού πεδίου Κεφάλαιο Η8 Πηγές µαγνητικού πεδίου Μαγνητικά πεδία Τα µαγνητικά πεδία δηµιουργούνται από κινούµενα ηλεκτρικά φορτία. Μπορούµε να υπολογίσουµε το µαγνητικό πεδίο που δηµιουργούν διάφορες κατανοµές ρευµάτων.

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Μη Παραµετρικοί Έλεγχοι

Μη Παραµετρικοί Έλεγχοι Μη Παραµετρικοί Έλεγχοι Επιστηµονική Επιµέλεια: ρ. Γεώργιος Μενεξές Τοµέας Φυτών Μεγάλης Καλλιέργειας και Οικολογίας Εργαστήριο Γεωργίας Viola adorata Καταρχήν Μη Παραµετρικοί Έλεγχοι εν απαιτούν κανονικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελ 9 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ // - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Ο είκτης Συσχέτισης. Υπάρχουν πολλές οι έρευνες στις οποίες µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν υπάρχει ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ µεταξύ δύο µεταβλητών

Ο είκτης Συσχέτισης. Υπάρχουν πολλές οι έρευνες στις οποίες µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν υπάρχει ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ µεταξύ δύο µεταβλητών Κεφάλαιο 8 Ο είκτης Συσχέτισης 1 Η έννοια της Αλληλεξάρτησης Υπάρχουν πολλές οι έρευνες στις οποίες µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν υπάρχει ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ µεταξύ δύο µεταβλητών ηλαδή, µας ενδιαφέρει να

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτού χρόνου Τυχαίες ιαδικασίες

ιακριτού χρόνου Τυχαίες ιαδικασίες ιακριτού χρόνου Τυχαίες ιαδικασίες Τα σήµατα ταξινοµούνται σε δύο ευρείες κατηγορίες: 1. Αιτιοκρατικά (deterministic): Αναπαράγονται ακριβώς ίδια µε επαναλαµβανόµενες διαδικασίες. Παράδειγµα το µοναδιαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(n), Ω(n), Θ(n) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων

Διαβάστε περισσότερα

= P = P. = P [ X 0 = x 0, X 1 = x 1,..., X k = x k. Xn = x 0. Xn+1 = x 1 X n = x 0. Xn+k = x k X n+k 1 = x k 1 = π 0 (x 0 )p(x 0, x 1 ) p(x k 1, x k )

= P = P. = P [ X 0 = x 0, X 1 = x 1,..., X k = x k. Xn = x 0. Xn+1 = x 1 X n = x 0. Xn+k = x k X n+k 1 = x k 1 = π 0 (x 0 )p(x 0, x 1 ) p(x k 1, x k ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI. ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Οι αναλλοίωτες κατανομές είναι κατά κάποιο τρόπο οι φυσικές καταστάσεις μιας μαρκοβιανής αλυσίδας. Αν μια αλυσίδα ξεκινήσει από μια αναλλοίωτη κατανομή της θα παραμείνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων 1. Αναζήτηση των κατάλληλων δεδοµένων. 2. Έλεγχος µεταβλητών και κωδικών για συµβατότητα. 3. Αποθήκευση σε ηλεκτρονική µορφή (αρχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

Ανακατασκευή εικόνας από προβολές

Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Μέθοδος ανακατασκευής με χρήση χαρακτηριστικών δειγμάτων προβολής Αναστάσιος Κεσίδης Δρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός Θέματα που θα αναπτυχθούν Εισαγωγή στις τομογραφικές μεθόδους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο T3. Ηχητικά κύµατα

Κεφάλαιο T3. Ηχητικά κύµατα Κεφάλαιο T3 Ηχητικά κύµατα Εισαγωγή στα ηχητικά κύµατα Τα κύµατα µπορούν να διαδίδονται σε µέσα τριών διαστάσεων. Τα ηχητικά κύµατα είναι διαµήκη κύµατα. Διαδίδονται σε οποιοδήποτε υλικό. Είναι µηχανικά

Διαβάστε περισσότερα

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους.

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους. Να βρεθεί ΠΓΠ ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος µεταφοράς (το πρόβληµα βασίζεται σε αυτό των Aarik και Randolph, 975). Λύση: Για κάθε δυϊλιστήριο i (i=, 2, ) και πόλη j (j=, 2,, 4), θεωρούµε την µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων;

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων; ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ Είδαµε ότι η φυσική κίνηση ενός σωµατιδίου σε συντηρητικό πεδίο ικανοποιεί την αρχή ελάχιστης δράσης του Hamilton µε Λαγκρανζιανή, όπου η κινητική ενέργεια του

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών»)

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών») Πρώτοι αριθµοί: Τι µας λέει στο βιβλίο (σελ.25-26): 1. Μου αρέσουν οι πρώτοι αριθµοί, γι αυτό αρίθµησα µε πρώτους τα κεφάλαια. Οι πρώτοι αριθµοί είναι αυτό που αποµένει όταν αφαιρέσεις όλα τα στερεότυπα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

http://kesyp.didefth.gr/ 1

http://kesyp.didefth.gr/ 1 248_Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης, Ηράκλειο Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σκοπός του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών είναι η εκαπαίδευση επιστηµόνων ικανών όχι µόνο να υπηρετήσουν και να

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεµηµένα Συστήµατα 1, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων

Κατανεµηµένα Συστήµατα 1, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Κατανεµηµένα Συστήµατα 1, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Απόστολος Φίλιππας Τµήµα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής 10 Ιανουαρίου, 2011 Κατανεµηµένα Συστήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010 ΕΠΩΝΥΜΟ:........................ ΟΝΟΜΑ:........................... ΤΜΗΜΑ:........................... ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 919113 949422 www.syghrono.gr

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

3. Η µερική παράγωγος

3. Η µερική παράγωγος 1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 1 Μερική παραγώγιση παράγωγος µιας συνάρτησης µερική παράγωγος ( ( µιας µεταβλητής ορίζεται ως d d ( ( (1 Για συναρτήσεις δύο

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2: Υπέρφωτες κινήσεις σε πίδακες αερίων Φύλλο Φοιτητή

Ενότητα 2: Υπέρφωτες κινήσεις σε πίδακες αερίων Φύλλο Φοιτητή 1 Ενότητα 2: Υπέρφωτες κινήσεις σε πίδακες αερίων Φύλλο Φοιτητή Σκοπός της ενότητας αυτής: Πολλοί ενεργοί γαλαξιακές πυρήνες έχουν πίδακες αερίων οι οποίοι εκπεµπουν σε όλο ουσιαστικά το ηλεκτροµαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

Λογικά Διανύσματα. >>x = -3/2*pi : pi/100 : 3/2*pi; >>y = tan(x); >>plot(x, y)

Λογικά Διανύσματα. >>x = -3/2*pi : pi/100 : 3/2*pi; >>y = tan(x); >>plot(x, y) Λογικά Διανύσματα Τα λογικά διανύσματα του Matlab είναι πολύ χρήσιμα εργαλεία. Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να κάνουμε την γραφική παράσταση της tan(x) στο διάστημα από -3π/2 μέχρι 3π/2. >>x

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η κανονική κατανομή ανακαλύφθηκε γύρω στο 720 από τον Abraham De Moivre στην προσπάθειά του να διαμορφώσει Μαθηματικά που να εξηγούν την τυχαιότητα. Γύρω στο 870, ο Βέλγος

Διαβάστε περισσότερα

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία.

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία. . ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ. Υπολογισµός συντελεστών συσχέτισης Προκειµένου να ελέγξουµε την ύπαρξη γραµµικής σχέσης µεταξύ δύο ποσοτικών µεταβλητών, χρησιµοποιούµε συνήθως τον παραµετρικό συντελεστή συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ. Σηµειώσεις µαθήµατος. Βασίλης Σ. Κουϊκόγλου. Σεπτέµβριος 2002

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ. Σηµειώσεις µαθήµατος. Βασίλης Σ. Κουϊκόγλου. Σεπτέµβριος 2002 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Σηµειώσεις µαθήµατος Βασίλης Σ. Κουϊκόγλου Σεπτέµβριος 2002 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΛΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ...5.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ...5.2. ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ...7.3. YBΡΙ ΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα