f g µε ( ) ( ) { } gof f ( x ) g( f(x)) A 1 { }

Transcript

1 ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ίνονται οι συναρτήσεις, R D Σύνθεση της µε τη ονοµάζεται µία νέα συνάρτηση οποίο ισχύει ότι D µε { } Σ= o η οποία είναι ορισµένη D για το και της οποίας η τιµή για κάθε τέτοιο ισούται µε την τιµή της συναρτήσεως στο σηµείο ( ) Οι τιµές της Σ = ( o ) δίνονται από τον τύπο Σ = ( ) θέτω στη θέση του της συναρτήσεως, τον τύπο της, δηλαδή ( ) o ( ) Αν, δύο συναρτήσεις µε πεδία ορισµού Α, Β αντιστοίχως, ορίζω ως σύνθεση της µε τη, και συµβολίζω ως ο, τη συνάρτηση µε τύπο ( o ) = ( ) A (A) () B (B) ( ()) A Σχήµα Σχήµα Το πεδίο ορισµού της o περιέχει όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισµού της για τα οποία το ( ) ανήκει στο πεδίο ορισµού της ηλαδή είναι το σύνολο { } A = A: B (σχήµα ) Στέφανος Ι Καρναβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd), Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών

2 A, δηλαδή αν ( Α) Η o ορίζεται αν σχήµατος, δεν ορίζεται η συνάρτηση o B Στην περίπτωση του Σχήµα Σχήµα 4 Στην περίπτωση του σχήµατος, η συνάρτηση ο ορίζεται D Στην περίπτωση του σχήµατος 4, η συνάρτηση ο ορίζεται για όσα D η εικόνα τους µέσω της πάει στο D( ) και επειδή ανήκει και στο R( ) η εικόνα ( ) ανήκει στην τοµή του R( ) µε το D( ) Έστω οι συναρτήσεις Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισµού το (, ) i) Για να ορίζεται η ( ), έπεται ότι Παράδειγµα = ln, = Βρείτε τις συναρτήσεις: o, o Λύση D = + και η το D = [, + ) πρέπει: D και D δηλαδή, > > >, άρα πρέπει ln o = = ln = ln, [ + ) Συνεπώς ορίζεται η o και = ln o ( ) = ln Στέφανος Ι Καρναβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd), Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών

3 ii) Για να ορίζεται η ( ) πρέπει D και D δηλαδή, > > > >, άρα πρέπει > Συνεπώς ορίζεται η o και o = = = ln, (, + ) = o ( ) = ln Παρατηρήσεις Στην παραπάνω εφαρµογή παρατηρούµε ότι o o Γενικά αν, είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι o και o αυτές δεν είναι υποχρεωτικά ίσες Αν,, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η ( ho) o και ισχύει ότι ho( o) ( ho) o ho o, τότε ορίζεται η = Η συνάρτηση αυτή ονοµάζεται σύνθεση των, και h και τη συµβολίζοµε ως hoo Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες από τρεις συναρτήσεις () (()) h((())) Στέφανος Ι Καρναβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd), Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών

4 4 Η σύνθεση δυο αρτίων συναρτήσεων, είναι άρτια συνάρτηση Η σύνθεση δυο περιττών συναρτήσεων, είναι περιττή συνάρτηση Η σύνθεση µίας άρτιας και µίας περιττής συναρτήσεως, είναι άρτια συνάρτηση Αν, δυο συναρτήσεις µε κοινό πεδίο ορισµού, τότε η συνάρτηση o o = o αντιστρέφεται και ισχύει ότι: Στο σύνολο των συναρτήσεων : R R µε = a, a R, ισχύει ότι o = o Παράδειγµα Έστω οι συναρτήσεις D =, 6 και = + µε = + µε ( ] D( ) =R Βρείτε τις συναρτήσεις : o, o, o, o Ορισµός της συναρτήσεως o ( ) o = = = + = + 6 { } ( ] { } ( ] o = D : D =, 6 : R =, 6 = ( ) = ( ) + + Ορισµός της συναρτήσεως o o = = + = + + = + 5 { : } { R : (, 6] } { R : 6 } { R : 6 } { R : 4} { R :( )( ) } = { R : [, ] } = [, ] o = D D = + = < + = + = = Στέφανος Ι Καρναβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd), Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών

5 5 Ορισµός της συναρτήσεως o { : } { (, 6 ]: (, 6] } { (, 6 ]: 6} { (, 6 ]: 4 } (, ] o = D D = = < + = < = o = = = + = 6 = o = + Ορισµός της συναρτήσεως o { : } { : } o = D D = R + R = R o 4 4 = = + = + + = = Στέφανος Ι Καρναβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd), Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών

6 6 = + o ( ) = + Έστω οι συναρτήσεις o, o Παράδειγµα = Βρείτε τις συναρτήσεις: = και Ορισµός της συναρτήσεως o ( ) = = = o { : } { R : } R :( )( ) =,, + o= D D = = { } ( ] [ ) Ορισµός της συναρτήσεως o o = = = = = { } [ ) { } [ ) o = D : D =, + : R =, + Έστω οι συναρτήσεις o, o Παράδειγµα 4 = και o = = = Ορισµός της συναρτήσεως o = Βρείτε τις συναρτήσεις: o, Στέφανος Ι Καρναβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd), Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών

7 7 { : } { [, ) : (, ] } { : } = { : } = { : } = o = D D = + = { :( )( ) } { : } [, ] + = = Ορισµός της συναρτήσεως o 4 ( ) o = = = = { } { } ( ] { και } = (, ] o = D : D =, : = Ορισµός της συναρτήσεως o o = = = { : } { και } { και } { και } = [, ] o = D D = = = Έστω συνάρτηση h ( ) Έστω συναρτήσεις πολυωνυµικές Παράδειγµα 5 = + Βρείτε δυο συναρτήσεις, έτσι ώστε h Είναι Λύση = και = + µε D D ( + ) ( + ) { : } { : } o = = = Επίσης είναι o = D D = R + R = R Έστω συνάρτηση h ( sin) Έστω συναρτήσεις Παράδειγµα 6 = Βρείτε δυο συναρτήσεις, έτσι ώστε h Λύση = και sin = µε D D Είναι ( ) sin sin Επίσης είναι o = = = = sin = =R { : } { : } o = D D = R sin R = R = o = =R ως = o Παράδειγµα 7 Να ορισθούν οι συναρτήσεις: o, o, o, o αν Είναι D( ) = R { } και D( ) = { 4} R Ορισµός της συναρτήσεως o =, + 5 = + 4 Στέφανος Ι Καρναβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd), Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών

8 o = = + = = o = { D : D } = R { 4 } : R { } = και = { 4 και 6,5} = R { 4, 6, 5} 4 ( ) Είναι Ορισµός της συναρτήσεως o 5 5 o = = = = o = { D : D } = R { } : R { 4} = 9 και 4 = και = R {,,8} 5 Ορισµός της συναρτήσεως o + ( ) o = = = + = + 5 o = { D : D } = R { } : R { } = 5 5 και = και = R, Ορισµός της συναρτήσεως o o = = = = o = { R { 4 } : R { 4} } = 4 και 4 = και 4 = 4 και = R, ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να ορισθούν οι συναρτήσεις o, o αν = και = + Στέφανος Ι Καρναβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd), Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών

9 9 Να ορισθούν οι συναρτήσεις o, o αν = και + = >,, Οµοίως αν 4 Οµοίως αν ( ],, =, =,, + = sin και και 4 5 Να ορισθεί η συνάρτηση o αν = = sin και ( ],, =, =,, = 6 Να ορισθεί η συνάρτηση o αν = και = 7 Να ορισθεί η συνάρτηση o αν = + και = 8 Να ορισθεί η συνάρτηση o αν, =, > και, =, > Στέφανος Ι Καρναβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd), Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών