= = = A X = B X = A B=

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "= = = A X = B X = A B="

Λαυρέντιος Μακρής
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Επίλυση γραµµικών συστηµάτων µε αντίστροφο πίνακα Αν ο ν ν πίνακας A είναι αντιστρέψιµος το γραµµικό σύστηµα που γράφεται µε τη µορφή A X = B έχει µοναδική λύση X = A B A είναι ο πίνακας συντελεστών των αγνώστων X είναι ο πίνακας των αγνώστων B είναι ο πίνακας των σταθερών όρων Παράδειγµα = = 8 A= 5 6 A = = 6 5= X = B= 28 Το σύστηµα ισοδυνάµως γράφεται A X = B X = A B= 5 = 8 2 Παράδειγµα = 3 + = = 2 2 A= A 2 = 3 = A 3 2 = X = B= 2 2 Το σύστηµα ισοδυνάµως γράφεται = = = 2 3 A X B X A B Παράδειγµα = = + 3= Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών

2 3 0 A= A = 2 4 = X = B= Το σύστηµα ισοδυνάµως γράφεται A X = B X = A B= = Επίλυση γραµµικών συστηµάτων µε ορίζουσες Έστω ν ν γραµµικό σύστηµα που γράφεται µε τη µορφή A X = B Αν A 0 το σύστηµα έχει µοναδική λύση = = κοκ Αν A = 0 το σύστηµα είναι αδύνατο ή αόριστο Παράδειγµα 2 3= 3+ 2= = = = = = = Άρα 26 = = = 2 και 3 3 = = = 3 Παράδειγµα = 5 = = 2 3 = = = 0 = = 0 = = 0 = Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών 2

3 Άρα 6 = = = 6 6 = = = 6 2 = = = 2 6 Παράδειγµα = = = = 2 2= = 7 6 = 28 8= 0 0 Α ΥΝΑΤΟ 3 4 Στο ίδιο συµπέρασµα καταλήγοµε και από 3 7 = = 9 4= Παράδειγµα 4 + 3= = 4 3 = = 6 6= = = 2 2= = = 4 4= Από = = = 0 έπεται ότι το σύστηµα είναι αόριστο Παρατηρούµε ότι η δεύτερη εξίσωση προκύπτει αν πολλαπλασιάσοµε την πρώτη επί δύο Άρα + 3= = 2 = = 4 = 2 3 όπου R Συνεπώς ( ) ( ) Παράδειγµα = = = 0 = = 0 = = 0 = = 0 = Άρα ( ) 0 9 = = Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών 3

4 Παράδειγµα ω= = 3 + 2ω = ω = 7 = = 42 = 206 = = 68 Άρα ( ) ω ω = = ( 2 3 3) ω Παράδειγµα 7 ( λ+2) + 7( λ 3) = 35 + ( λ 3) = λ λ+2 7( λ 3) = = λ 3 λ+2 7 = λ 3 λ+2 7 = λ 3 λ 5 λ 3 ( ) ( )( ) ( )( ) ( λ ) = = 35 7 = = λ λ 3 λ ( λ 3) ( λ 3)( 35 7λ) 7( λ 3)( λ 5) λ+2 35 = = = λ 5 λ+7 λ 2 λ λ Αν 0 λ 3 και λ 5 ( )( ) είναι ( ) Αν λ= 3το σύστηµα γίνεται Αν λ= 5το σύστηµα γίνεται 7 λ+ = = 7 λ = 35 5= 35 Α ΥΝΑΤΟ + 0= 3 = = = 5 ΑΟΡΙΣΤΟ + 2= 5 Παράδειγµα = 2 3= = = = = = = 0 4 Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών 4

5 Άρα ( ) = = = ( 40) Επίλυση οµογενούς γραµµικού συστήµατος ν ν a+ b= Το γραµµικό 2 2σύστηµα ποτέ δεν είναι αδύνατο καθόσον c+ d= 0 έχει ως προφανή λύση τη µηδενική Το σύστηµα έχει και µη µηδενικές λύσεις a b = a d b c 0 c d = = a b Αν = a d b c 0 c d = τότε το σύστηµα έχει ως µόνη λύση την προφανή Να λυθεί το οµογενές σύστηµα Παράδειγµα + 2= 2+ 4= 0 2 = = 4 4= 0 Άρα έχει και άλλες λύσεις εκτός της προφανούς 2 4 Αποδεικνύεται ότι αυτή είναι η ( ) = ( 0 5) Παράδειγµα = Να λυθεί το οµογενές 3 3 σύστηµα = 0 + 3= 0 µηδενικής 2 = 3 = 22 0 άρα το σύστηµα δεν έχει άλλη λύση πλην της 3 Να λυθεί το οµογενές σύστηµα Παράδειγµα 3 + = 3 = 0 2 = 0 Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών 5

6 = 0 3 = 0 άρα υπάρχει και µη µηδενική λύση 2 Υπολογισµός της µη µηδενικής λύσεως ( ) ( ) = 0 = ( ) = 0 = = = όπου R Άρα ( ) Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών 6

Σχετικά έγγραφα

f g µε ( ) ( ) { } gof f ( x ) g( f(x)) A 1 { }

f g µε ( ) ( ) { } gof f ( x ) g( f(x)) A 1 { } ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ίνονται οι συναρτήσεις, R D Σύνθεση της µε τη ονοµάζεται µία νέα συνάρτηση οποίο ισχύει ότι D µε { } Σ= o η οποία είναι ορισµένη D για το και της οποίας η τιµή για κάθε τέτοιο ισούται