Χάος στην Κλασική Μηχανική και στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας

Transcript

1 Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχολή Θετικών Επιστηµών Τµήµα Φυσικής Γεώργιος Λούκες-Γερακόπουλος Χάος στην Κλασική Μηχανική και στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας ιδακτορική ιατριβή Αθήνα 010

2 i Η παρούσα διδακτορική διατριβή του Γεωργίου Λούκες Γερακόπουλου µε τίτλο «Χάος στην Κλασική Μηχανική και στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας» εξετάστηκε και εγκρίθηκε από την ακόλουθη Επταµελή Εξεταστική Επιτροπή: Γ. Κοντόπουλος, Ακαδηµαϊκός και Οµότιµος Καθηγητής Τµήµα Φυσικής Πανεπιστήµιο Αθηνών Α. Πινότσης, Επίκουρος Καθηγητής Τµήµα Φυσικής Πανεπιστήµιο Αθηνών Ξ. Μουσάς, Αναπληρωτής Καθηγητής Τµήµα Φυσικής Πανεπιστήµιο Αθηνών Π. Νιάρχος, Καθηγητής Τµήµα Φυσικής Πανεπιστήµιο Αθηνών Τ. Καλβουρίδης, Καθηγητής Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Εθνικό Μετσόβειο Πολυτεχνείο Χ. Ευθυµιόπουλος, Ερευνητής Β Κέντρο Ερευνών Αστρονοµίας και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Ακαδηµία Αθηνών Θ. Αποστολάτος, Επίκουρος Καθηγητής Τµήµα Φυσικής Πανεπιστήµιο Αθηνών

3 ii

4 iii Στη µνήµη του Νικόλαου Βόγλη, που δίδασκε ότι: «Ο ορθολογικός άνθρωπος είναι ηθικός άνθρωπος.»

5 iv c 010 Γεώργιος Λούκες-Γερακόπουλος

6 Ευχαριστίες Στην πορεία µου κατά την εκπόνηση της διατριβής συνέβαλαν αποφασιστικά ο- ϱισµένοι άνθρωποι και ϕορείς τους οποίους οφείλω να ευχαριστήσω. Καταρχάς, στον κύριο επιβλέποντα της διατριβής Οµότιµο Καθηγητή και Ακαδη- µαϊκό Γεώργιο Κοντόπουλο εκφράζω τις ϑερµότερες ευχαριστίες για την πολύτιµη επιστηµονική καθοδήγηση που µου προσέφερε όλα τα χρόνια της εκπόνησης της διατριβής. Βίωσα το προνόµιο να εργάζοµαι δίπλα του και να µου µεταδίδει την εµπειρία του και τις γνώσεις του, ιδιαίτερα στο χώρο των µη γραµµικών δυναµικών συστηµάτων και της Γενικής ϑεωρίας της Σχετικότητας. Τον ευχαριστώ επίσης για όλη την υλικοτεχνική υποδοµή που µου προσέφερε µέσω του Κέντρου Ερευνών Α- στρονοµίας και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών (ΚΕΑΕΜ) της Ακαδηµίας Αθηνών που εποπτεύει και για τη συµµετοχή µου σε ερευνητικά προγράµµατα στα οποία ήταν επιστηµονικός υπεύθυνος. Ευχαριστώ ϑερµά τα µέλη της τριµελούς επιτροπής Επίκουρο Καθηγητή Αντώνιο Πινότση και Αναπληρωτή Καθηγητή Ξενοφώντα Μουσά για τη στήριξη που µου προσέφεραν και τις εύστοχες παρατηρήσεις τους, οι οποίες συνέβαλλαν στη ϐελτίωση της διατριβής. Ευχαριστώ επίσης το πρώην µέλος της τριµελούς επιτροπής Αναπλη- ϱωτή Καθηγητή Ιωάννη Κωνσταντόπουλο για τη στήριξη που µου προσέφερε µέχρι τη συνταξιοδότησή του. Θέλω να εκφράσω την ευγνωµοσύνη µου στον Ερευνητή Β ϐαθµίδας Χρήστο Ευθυµιόπουλο στον οποίο οφείλω πολλά ως ερευνητής και ως άνθρωπος. Τον ευχα- ϱιστώ για όλα αυτά που µε δίδαξε από τις προπτυχιακές σπουδές µου µέχρι σήµερα, για το χρόνο που πάντα έβρισκε όποτε χρειαζόµουν τη συµβουλή του και για τις ατέλειωτες συζητήσεις που είχαµε όλα αυτά τα χρόνια. Τέλος τον ευχαριστώ για την καθοριστική συµβολή του στη διαµόρφωση της παρούσας διατριβής. Ευχαριστώ ϑερµά τον Ερευνητή Β ϐαθµίδας Σπύρο Βασιλάκο και τον Επίκου- ϱο Καθηγητή Θεοχάρη Αποστολάτο µε τους οποίους συνεργάστηκα στενά κατά την εκπόνηση της διατριβής. Τους ευχαριστώ για τις διαφορετικές οδούς ερευνητικής σκέψης και µεθοδολογίας που µου έδειξαν, για την εµπιστοσύνη τους και για τη συνολικά άψογη συνεργασία που είχα µαζί τους. Ευχαριστώ όλο το προσωπικό του ΚΕΑΕΜ που µε συντρόφεψε όλα τα χρόνια της εκπόνησης της διατριβής και µου προσέφερε ένα περιβάλλον όπου µπορούσα να εργαστώ ελεύθερα και απρόσκοπτα. Ιδιαίτερα ευχαριστώ τον ιευθύνοντα του Κέντρου Ερευνητή Α ϐαθµίδας Παναγιώτη Πάτση, τον Ερευνητή Β ϐαθµίδας Ιωάννη Κοντόπουλο, τον Ερευνητή Γ ϐαθµίδας Ηλία Βαγενά, τους διδάκτορες Μιρέλλα Χαρσούλα, Κωνσταντίνο Καλαποθαράκο και Χαράλαµπο Σκόκο για την επιστηµονική και πρακτική ϐοήθεια που µου προσέφεραν όποτε χρειάστηκε. Ιδιαίτερα ευχαριστώ, επίσης, τους συναδέλφους υποψήφιους διδάκτορες Παναγιώτη Τσούτση, Ιωάννη Σταυρόπουλο, Νικόλαο ελή, Ματθαίο Κατσανίκα, Ευαγγελία Τσιγαρίδη και Ελένη Ρουµελιώτη για την καθηµερινή τους πρακτική συµπαράσταση, συνεργασία και ϕιλία. Τέλος, ιδιαίτερα ευχαριστώ τον παρασκευαστή Μανώλη Ζούλια για την υλικοτεχνική υπο-

7 vi στήριξη που µου παρείχε και τις τεχνικές συµβουλές που µου έδωσε. Ευχαριστώ το Ιδρυµα Κρατικών Υποτροφιών (Ι.Κ.Υ.) για την οικονοµική υποστή- ϱιξη που µου προσέφερε µέσω υποτροφίας στην ειδίκευση της «Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας», κατά την περίοδο 1/11/004 έως 30/4/008. Ευχαριστώ πάνω από όλα τη µητέρα µου για την πολυεπίπεδη και συνεχή στήριξη που µου προσέφερε την ευχαριστώ γιατί µε γαλούχησε µε το ιδανικό πως «σηµασία δεν έχει τι κάνουν οι άλλοι, αλλά τι είναι το σωστό να γίνει». Η διατριβή είναι αφιερωµένη στη µνήµη του δασκάλου µου Νικόλαου Βόγλη, ο οποίος µε ενέπνευσε ως προπτυχιακό ϕοιτητή να ασχοληθώ µε τον κλάδο των δυναµικών συστηµάτων. Ο Ν. Βόγλης µε καθοδήγησε από τις προπτυχιακές µου σπουδές έως και τις µεταπτυχιακές, υπήρξε ο κύριος επιβλέπων της διατριβής µέχρι το ϑάνατό του και ήταν αυτός που καθόρισε το ϑέµα της.

8 Πρόλογος Η κεντρική ιδέα στην οποία ϐασίζεται η παρούσα διατριβή είναι η αναζήτηση µεθόδων εντοπισµού και ποσοτικοποίησης του χάους σε συστήµατα σύγχρονου ϕυσικού ενδιαφέροντος. Τα συστήµατα αυτά αντλούνται από το χώρο αφενός της Κλασικής Μηχανικής και αφετέρου της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Η αναζήτηση και η ποσοτικοποίηση του χάους πραγµατοποιείται µέσα από δείκτες χαοτικότητας. Στόχος είναι ο έλεγχος όχι µόνο της ευαισθησίας ενός δείκτη στον εντοπισµό χαοτικών περιοχών στο χώρο των ϕάσεων, αλλά και της δυνατότητάς του να ξεχωρίζει τις δοµές του χώρου των ϕάσεων όπου εµφανίζεται το χάος. Η σύγχρονη επιστηµονική αντίληψή για το τι είναι χάος, ποιες οι εκφάνσεις και ποια η ϕαινοµενολογία του, έχει µια ιστορία που ξεκινά από τα τέλη του 19ου αιώνα και αναπτύχθηκε κυρίως στα πλαίσια µελέτης των κλασικών δυναµικών συστηµάτων. Η απαρχή της συστηµατικής επιστηµονικής µελέτης του χάους µπορεί να αποδοθεί στο έργο του Poincaré την περίοδο Μεγάλη ώθηση στη µελέτη του χάους δόθηκε µε τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών. Το πρώτο αριθµητικό πείραµα σε ηλεκτρονικό υπολογιστή 1 στόχευε στον έλεγχο των εκφάνσεων του χάους σε ένα σύστηµα κλασικών συζευγµένων ταλαντωτών. Στην παρούσα διατριβή εξετάζεται πρώτα το χάος στα πλαίσια της κλασικής µηχανικής, όπου το χάος έχει ϑεµελιωθεί επιστηµονικά, προτού η µελέτη του χάους επεκταθεί και επικεντρωθεί στα πλαίσια της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Συγκεκριµένα η διατριβή χωρίζεται στα ακόλουθα µέρη: Στο µέρος I εισάγονται στο κεφάλαιο 1 ϐασικά στοιχεία των δυναµικών συστη- µάτων, η έννοια του χάους και οι τρόποι που το χάος ανιχνεύεται και ποσοτικοποιείται στην κλασική µηχανική. Ακολούθως, στο κεφάλαιο αναλύεται πώς το χάος σχετίζεται µε την έννοια της εντροπίας. Η µελέτη εστιάζεται στη συσχέτιση χαοτικών δεικτών µε τη λεγόµενη εντροπία κατά Τσάλλη (Tsallis, 1988), η οποία έχει προκαλέσει έντονο ερευνητικό ενδιαφέρον τα τελευταία χρόνια. Βάσει της συσχέτισης αυτής ορίζεται ένας καινούργιος δείκτης χαοτικότητας, εφαρµογές του οποίου αναπτύσσονται στα πλαίσια κλασικών δυναµικών συστηµάτων στο κεφάλαιο 3. Στο µέρος II γίνεται στο κεφάλαιο 4 µια συνοπτική εισαγωγή στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας και παρουσιάζονται µέθοδοι που έχουν αναπτυχθεί για τη µελέτη του χάους σε σχετικιστικά συστήµατα. Η µελέτη του χάους στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας µπορεί να χωρισθεί σε δύο διακριτά ερευνητικά πεδία: Το πρώτο πεδίο εξετάζει τη γεωδαισιακή κίνηση, δηλαδή τις τροχιές, σε συγκεκριµένα χωροχρονικά υπόβαθρα. 1 ιεξάχθηκε από τους Fermi, Pasta, Ulam, Tsingou το 1955

9 viii Το δεύτερο πεδίο εξετάζει περιπτώσεις λύσεων των εξισώσεων πεδίου του Einstein σε κοσµολογικά πρότυπα. Στη διατριβή εξετάζονται και οι δύο αυτές περιπτώσεις. Στην αρχή στο κεφάλαιο 5 εξετάζεται η κίνηση σε χωροχρονικό υπόβαθρο που έχει σχηµατιστεί γύρω από ένα αστρικό αντικείµενο µεγάλης µάζας. Η εξέταση αυτή αποσκοπεί στη µελέτη των συχνοτήτων των ϐαρυτικών κυµάτων που εκπέµπονται κατά τη σπειροειδή κίνηση ενός µικρού αντικειµένου γύρω από µία µεγάλη µάζα. Το κυριότερο συµπέρασµα που προκύπτει από τη µελέτη αυτή είναι ότι ϕαινόµενα που συνδέονται µε το χάος αναδεικνύονται σε κριτήριο που µπορεί να χρησιµοποιηθεί από τους ανιχνευτές ϐαρυτικών κυµάτων για την ταυτοποίηση της ϕύσης του κεντρικού αντικειµένου µεγάλης µάζας. Μετά στο κεφάλαιο 6 εξετάζονται οι εξισώσεις πεδίου του Einstein κατά τη σύ- Ϲευξη της µετρικής Robertson Walker µε ϐαθµωτό πεδίο. Η σύζευξη αυτή πραγ- µατοποιείται για να διερευνηθεί αν τα συστήµατα της µορφής αυτής µπορούν να απαντήσουν σε ϐασικά κοσµολογικά ερωτήµατα, ενώ υπάρχουν ενδείξεις ϐασισµένες στους δείκτες χαοτικότητας για την παρουσία χάους στα συστήµατα αυτά. Τέλος, στο τέλος της διατριβής παρατίθενται τα κυριότερα συµπεράσµατα και προτείνονται κάποιες νέες ερευνητικές κατευθύνσεις.

10 Περιεχόµενα Ευχαριστίες Πρόλογος v vii I Χάος στην Κλασική Μηχανική 1 1 Εισαγωγικά στοιχεία µη γραµµικής δυναµικής υναµικά συστήµατα Χαοτικά δυναµικά συστήµατα Λαγκρανζιανή και Χαµιλτονιανή περιγραφή Ολοκληρωσιµότητα Κανονικός µετασχηµατισµός Μεταβλητές γωνίας δράσης Η κίνηση πάνω στους τόρους Εφαπτοµενικός χώρος Η διατήρηση των όγκων Μέθοδοι ανίχνευσης του χάους Εποπτική: Τοµή Poincaré Ανάλυση συχνοτήτων είκτες ϐασισµένοι στα διανύσµατα απόκλισης Η εντροπία Τσάλλη και το χάος 9.1 Εντροπία και η εξέλιξη των διανυσµάτων απόκλισης Η εντροπία Τσάλλη και ο χαοτικός δείκτης APLE Η χρονική εξέλιξη του APLE σε ασθενώς χαοτικές τροχιές και η εµφάνιση της «µετασταθούς» κατάστασης Αριθµητικές εφαρµογές του APLE ιαχωριστικό στρώµα στη διδιάστατη Τυπική Απεικόνιση Το APLE ως χαοτικός δείκτης που µετρά τον εντροπικό q-δείκτη. Σύγκριση µε FLI και MEGNO Περιοχές κολλητικότητας Ο ιστός Arnold για τετραδιάστατες απεικονίσεις Συµπεράσµατα II Χάος στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας 57 4 Μελέτη του χάους στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Στοιχεία της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας Ανίχνευση του χάους στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας

11 x 5 Η µη γραµµική δυναµική του χωροχρονικού υποβάθρου Manko Novikov Η µετρική Kerr Η µετρική Manko Novikov Η εξωτερική περιοχή επιτρεπτής γεωδαισιακής κίνησης Η εσωτερική περιοχή επιτρεπτής γεωδαισιακής κίνησης Ενωση της εξωτερικής και της εσωτερικής επιτρεπτής περιοχής Ανάλυση µη γεωδαισιακών τροχιών Συµπεράσµατα 5ου κεφαλαίου υναµική και χάος στην κοσµολογία ενοποιηµένου ϐαθµωτού πεδίου Εισαγωγικά στοιχεία της κοσµολογίας Σύζευξη κοσµολογίας FRW µε ϐαθµωτό πεδίο Η αναλυτική λύση της επίπεδης κοσµολογίας UDM είκτες χαοτικότητας σε συστήµατα µε χαοτική σκέδαση Αριθµητική µελέτη της κλειστής κοσµολογίας UDM Περίπτωση c < Συµπεράσµατα 6ου κεφαλαίου Ανακεφαλαίωση Συµπερασµάτων και Ερευνητικές Προοπτικές 11 Κατάλογος ηµοσιεύσεων Υποψηφίου 15 Abstract 17

12 Μέρος I Χάος στην Κλασική Μηχανική

13

14 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Εισαγωγικά στοιχεία µη γραµµικής δυναµικής 1.1 υναµικά συστήµατα Με τον όρο δυναµικά συστήµατα εννοούµε γενικά τη µαθηµατική διατύπωση των κανόνων που διέπουν τη χρονική εξέλιξη ενός συστήµατος το οποίο περιγράφεται ποσοτικά από ένα πλήθος µεταβλητών. Ανάλογα µε το αν η περιγραφή της εξέλιξης γίνεται µε συνεχή ή διακριτό τρόπο, τα δυναµικά συστήµατα χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: τα συνεχή και τις απεικονίσεις. Συνεχή αποκαλούνται τα δυναµικά συστήµατα τα οποία υπακούουν σε ένα σύνολο διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης της µορφής: dx dt = f(x, t) (1.1) όπου x είναι ένα διάνυσµα που ανήκει σε ένα µετρικό χώρο X, f είναι µια διανυσµατική συνάρτηση του χώρου αυτού και t είναι µια συνεχής µεταβλητή ως προς την οποία το σύστηµα εξελίσσεται. Η µεταβλητή t στα συνήθη ϕυσικά συστήµατα αντιστοιχεί στο χρόνο. Στη µηχανική οι εξισώσεις (1.1) αποκαλούνται εξισώσεις κίνησης και η χρονική εξέλιξη της λύσης της (1.1) για συγκεκριµένες αρχικές συνθήκες ονοµάζεται τροχιά. Απεικονίσεις αποκαλούνται τα δυναµικά συστήµατα τα οποία περιγράφονται από εξισώσεις διαφορών της µορφής: x m+1 = f(x m, m) (1.) όπου x m είναι ένα διάνυσµα, f είναι µια διανυσµατική συνάρτηση και m N είναι το διακριτό ϐήµα µέσω του οποίου το σύστηµα εξελίσσεται. Μια απεικόνιση της µορφής (1.) περιγράφει τη διακριτή εξέλιξη του συστήµατος από τη ϑέση x m στη ϑέση x m+1. Η ακολουθία των απεικονίσεων x m = f(x m 1, m 1) = f(f(x m, m )) =... = f m (x 0, 0) όπου x 0 µια αρχική συνθήκη, ορίζει την τροχιά της απεικόνισης. Ονοµάζουµε ϕασικό χώρο S το χώρο στον οποίο εξελίσσεται η τροχιά ενός δυναµικού συστήµατος. Η διάσταση του ϕασικού χώρου καθορίζεται από τη διάσταση του διανύσµατος x, αν αναφερόµαστε σε συνεχή δυναµικά συστήµατα, ή του διανύσµατος x m, αν αναφερόµαστε σε απεικονίσεις. Εστω αρχικός όγκος V 0 στο N-διάστατο ϕασικό χώρο, ο οποίος περικλείεται από

15 4 Εισαγωγικά στοιχεία µη γραµµικής δυναµικής µια κλειστή επιφάνεια N 1 διαστάσεων, και έστω ότι εξελίσσουµε τα σηµεία του V 0 υπό την επίδραση είτε των εξισώσεων (1.1) είτε των (1.). Το δυναµικό σύστηµα καλείται διατηρητικό αν ο όγκος που καταλαµβάνουν τα σηµεία είναι ίσος µε τον V 0 σε κάθε τιµή της παραµέτρου εξέλιξης. Σε αντίθετη περίπτωση το δυναµικό σύστηµα καλείται µη διατηρητικό. υναµικά συστήµατα τα οποία δεν εξαρτώνται ϱητά από τη µεταβλητή µέσω της οποίας εξελίσσονται καλούνται αυτόνοµα. 1 Μια ενδιαφέρουσα κατηγορία δυναµικών συστηµάτων είναι αυτά που ικανοποιούν τη συµπλεκτική συνθήκη. Εστω x = x(x 0, t) η γενική λύση ενός συνεχούς δυναµικού συστήµατος N διαστάσεων (x = (x 1,..., x N )) εξαρτώµενη από τις N αρχικές συνθήκες x 0 = (x 1,0,..., x N,0 ). Ονοµάζουµε το συνεχές δυναµικό σύστηµα συµπλεκτικό αν ο Ιακωβιανός πίνακας: M(t) = x = x 0 ικανοποιεί τη συµπλεκτική συνθήκη : x 1 x 1 x N,0 x 1, x N x 1,0... x N x N,0 (1.3) M T (t) J N M(t) = J N (1.4) όπου M T (t) είναι ο ανάστροφος πίνακας του M(t) και ο J N είναι ο N N πίνακας: [ ] 0N I J N = N (1.5) I N 0 N όπου ο I N είναι ο N N ταυτοτικός (µοναδιαίος) πίνακας και ο 0 N ο N N µηδενικός πίνακας. Αντίστοιχα συµπλεκτική ονοµάζουµε µία απεικόνιση N διαστάσεων (f(x m ) = (f 1,..., f N ), x m = (x 1,m,..., x N,m )) της οποίας ο Ιακωβιανός πίνακας: A = f(x m) = x m f 1 f 1 x N,m x 1,m f N x 1,m... f N x N,m (1.6) ικανοποιεί τη συµπλεκτική συνθήκη (1.4) αν στη ϑέση του πίνακα M(t) αντικαταστήσουµε τον A. Μια άλλη κατηγοριοποίηση των δυναµικών συστηµάτων είναι αυτή των γραµµικών ή µη γραµµικών. Ενα δυναµικό σύστηµα (X,f) καλείται γραµµικό αν: 1. Ισχύει η υπέρθεση. Αν δύο σηµεία x 1,x ανήκουν στο X, τότε f(x 1 + x ) = f(x 1 ) + f(x ).. Η f διαθέτει οµοιογένεια πρώτου ϐαθµού. Αν x ανήκει στο X και α ένα ϐαθµωτό µέγεθος του χώρου, τότε f(αx) = αf(x). Οποιο δυναµικό σύστηµα δεν ικανοποιεί τις ιδιότητες του παραπάνω ορισµού καλείται µη γραµµικό. Η πλειονότητα των δυναµικών συστηµάτων στη ϕύση είναι 1 Οι διαφορικές εξισώσεις ενός αυτόνοµου συνεχούς δυναµικού συστήµατος είναι: dx dt οι εξισώσεις των διαφορών µιας αυτόνοµης απεικόνισης είναι: x m+1 = f(x m ) = f(x) και

16 1. Χαοτικά δυναµικά συστήµατα 5 µη γραµµικά. Αν και η µη γραµµικότητα είναι αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη χάους, δεν είναι ικανή συνθήκη, καθώς υπάρχουν συστήµατα µη γραµµικά στα οποία δεν εµφανίζεται χάος. Ωστόσο, λόγω του αναγκαίου της συνθήκης συνηθίζεται να ονοµάζουµε τα δυναµικά συστήµατα που παρουσιάζουν χάος ως µη γραµµικά και την επιστήµη που ασχολείται µε το χάος ως επιστήµη των µη γραµµικών δυναµικών συστηµάτων. 1. Χαοτικά δυναµικά συστήµατα Συνήθως ως χάος περιγράφεται η χαρακτηριστική ιδιότητα ορισµένων δυναµικών συστηµάτων να εξελίσσονται µε πολύ διαφορετικό τρόπο όταν διαφοροποιηθούν, έ- στω και κατά ελάχιστο, οι αρχικές συνθήκες. Αν και η ιδιότητα αυτή είναι ϐασικό χαρακτηριστικό του χάους, δε συνιστά ωστόσο ορισµό του. Ενας αυστηρός µαθηµατικός ορισµός που να καλύπτει όλες τις εκφάνσεις του χάους δεν έχει δοθεί µέχρι σήµερα. Η πιο επιτυχής, ίσως, απόπειρα απόδοσης ορισµού ανήκει στο Devaney και διατυπώθηκε το 1986 (Devaney, 1989): Εστω (X,f) δυναµικό σύστηµα, όπου X µετρικός χώρος και f : X X συνεχής διανυσµατική συνάρτηση. Το δυναµικό σύστηµα (X, f) καλείται χαοτικό αν: 1. είναι τοπολογικά µεταβατικό,. τα περιοδικά του σηµεία είναι πυκνά στο X, 3. εµφανίζει ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες. Τοπολογικά µεταβατικό ονοµάζεται ένα συνεχές δυναµικό σύστηµα (X, f) αν, για κάθε δυάδα ανοιχτών συνόλων U 1, U του χώρου X, υπάρχει χρόνος t τέτοιος ώστε η εικόνα U 3 των σηµείων του U 1 ϐάσει της (1.1) για το χρονο t, να έχει τοµή µε το U η οποία να είναι µη κενό σύνολο. Αντίστοιχα για τις απεικονίσεις (X,f) υπάρχει m οστή απεικόνιση µε m N, τέτοια ώστε η τοµή U µε U 3 = f m (U 1 ) να είναι µη κενό σύνολο. Περιοδικό σηµείο ενός συνεχούς δυναµικού συστήµατος καλείται ένα σηµείο x p αν υπάρχει πεπερασµένος χρόνος T τέτοιος ώστε µετά από το πέρας του χρόνου αυτού η τροχιά της (1.1) µε αρχική συνθήκη x p (t) να επανέρχεται στο σηµείο αυτό x p (t) = x p (t + T). Αντίστοιχα δίνεται ο ορισµός στις απεικονίσεις αν υπάρχει m N τέτοιο ώστε f m (x p ) = x p. Πυκνό ονοµάζεται ένα υποσύνολο U του X αν σε οσοδήποτε µικρή απόσταση δ > 0 γύρω από τυχόν σηµείο του X περιέχεται τουλάχιστον ένα στοιχείο του U. Τέλος, ένα συνεχές δυναµικό σύστηµα εµφανίζει ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες, αν υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε σηµείο x 1,0 και για κάθε ε > 0 (οσοδήποτε µικρό), υπάρχει σηµείο x,0 τέτοιο ώστε η απόστασή του d(x 1,0,x,0 ) να είναι µικρότερη του ε και ταυτόχρονα υπάρχει t ( m N αντίστοιχα για τις απεικονίσεις) τέτοιος ώστε οι λύσεις της (1.1) x 1 (t),x (t) στο χρόνο t µε αρχικές συνθήκες τα x 1,0,x,0 αντίστοιχα να είναι τέτοιες ώστε d(x 1 (t),x (t)) δ (για τις απεικονίσεις d(f m (x 1,0 ),f m (x,0 )) δ). Η απόσταση µεταξύ των δύο σηµείων τα οποία ανήκουν σε χαοτικές τροχιές αυξάνεται είτε εκθετικά είτε ακολουθώντας ένα νόµο δύναµης, όπως ϑα αναλυθεί στο κεφάλαιο της διατριβής. transitive

17 6 Εισαγωγικά στοιχεία µη γραµµικής δυναµικής Ο ορισµός του Devaney καλύπτει ένα σηµαντικό πλήθος δυναµικών συστηµάτων, η µελέτη ορισµένων από αυτά παρουσιάζεται στα κεφάλαια έως 5. Ωστόσο υπάρχουν συστήµατα τα οποία δεν καλύπτονται από τον ορισµό αυτό. Μια κατηγορία τέτοιων συστηµάτων είναι αυτά που παρουσιάζουν χαοτική σκέδαση 3. Τέτοια συστήµατα δεν είναι τοπολογικά µεταβατικά. Ο χώρος X όπου εµφανίζεται το χάος είναι ένα υποσύνολο του ϕασικού χώρου X S. Συγκεκριµένα υπάρχουν µόνο εντοπισµένες διακριτές περιοχές X στο S όπου υπάρχει χάος και στις οποίες ο ορισµός του Devaney ενδέχεται να ισχύει κατά προσέγγιση. Σε ένα σύστηµα χαοτικής σκέδασης, για να εµφανίσουν χάος οι τροχιές πρέπει πρώτα να προσεγγίσουν µια περιοχή X. Οσο οι τροχιές ϐρίσκονται στο X αποκτούν χαοτική συµπεριφορά για ένα εν γένει πεπερασµένο χρονικό διάστηµα µέχρι να διαφύγουν από την περιοχή του X. ιαφεύγοντας οι τροχιές παύουν να εµφανίζουν χάος. Ως δυναµικό σύστηµα που παρουσιάζει χαοτική σκέδαση εξετάζεται το κοσµολογικό πρότυπο που παρουσιάζεται στο κεφάλαιο 6. Στην υποενότητα 6.. αναπτύσσουµε περαιτέρω το ϑέµα της χαοτικής σκέδασης. 1.3 Λαγκρανζιανή και Χαµιλτονιανή περιγραφή Οι εξισώσεις κίνησης σε πολλά δυναµικά συστήµατα µπορούν να παραχθούν από την αρχή της ελάχιστης δράσης. ράση ονοµάζεται η ποσότητα: S = t t 1 L(q, q, t)dt (1.7) η οποία είναι ένα συναρτησοειδές των χρονικών συναρτήσεων q(t) διαµέσου της συνάρτησης Lagrange L(q, q, t). Ο αριθµός n των ανεξάρτητων ποσοτήτων q i οι οποίες πρέπει να καθορισθούν ώστε να ορίζεται µονοσήµαντα η ϑέση q = (q 1,.., q n ) ενός συστήµατος ονοµάζεται πλήθος των ϐαθµών ελευθερίας του συστήµατος. Τα q i ονοµάζονται γενικευµένες συντεταγµένες ϑέσης, ενώ τα q i = dq i /dt του διανύσµατος q = ( q 1,.., q n ) γενικευµένες ταχύτητες. Σύµφωνα µε την αρχή της ελάχιστης δράσης το σύστηµα ακολουθεί µια διαδροµή µεταξύ δύο ϑέσεων q(t 1 ), q(t ) τέτοια ώστε η δράση να λαµβάνει µια στάσιµη τιµή 4. Από την αρχή της ελάχιστης δράσης µέσω του λογισµού των µεταβολών (δs = 0) προκύπτουν οι εξισώσεις Euler Lagrange: ( ) d L L = 0 (i = 1,..., n) (1.8) dt q i q i οι οποίες δίνουν τις εξισώσεις κίνησης στη Λαγκρανζιανή περιγραφή. Από τη συνάρτηση Lagrange L(q, q, t) µπορούµε να µεταβούµε στη συνάρτηση Hamilton H(q,p, t), µέσω του µετασχηµατισµού Legendre: H(q,p, t) = q p L (1.9) όπου p = (p 1,..., p n ) ( L q 1,..., L q n ) αρκεί p q 0. Τα p i ονοµάζονται συζυγείς ορµές των q i ή γενικευµένες ορµές. Ο χώρος που σχηµατίζεται από τις γενικευµένες ϑέσεις και τις γενικευµένες ορµές είναι ο χώρος των ϕάσεων S. Από την αρχή της 3 chaotic scattering 4 Οχι κατά ανάγκη ελάχιστη

18 1.3 Λαγκρανζιανή και Χαµιλτονιανή περιγραφή 7 ελάχιστης δράσης και αντικαθιστώντας τη (1.9) στη (1.7) προκύπτουν οι εξισώσεις Hamilton: q i = H, ṗ i = H (i = 1,..., n) (1.10) p i q i οι οποίες δίνουν τις εξισώσεις κίνησης στη Χαµιλτονιανή περιγραφή. Οι µεταβλητές q, p που ακολουθούν τις εξισώσεις (1.10) ονοµάζονται κανονικές. Τα Χαµιλτονιανά δυναµικά συστήµατα είναι συνεχή συµπλεκτικά δυναµικά συστήµατα. Η λύση των εξισώσεων Hamilton µε αρχική συνθήκη x 0 = x(q 0,p 0, t 0 ) ορίζει µια ϱοή x = Fl t (x 0 ) στο χώρο των ϕάσεων Fl t : S S. Παραγωγίζοντας τη ϱοή x ως προς τις αρχικές συνθήκες x 0, προκύπτει µια Ιακωβιανή της µορφής M(t) (σχέση (1.3) ) η οποία ικανοποιεί τη συµπλεκτική συνθήκη (1.4) Ολοκληρωσιµότητα Αν αναπτύξουµε την ολική παράγωγο της συνάρτησης Hamilton ως προς το χρόνο λόγω των εξισώσεων Hamilton (1.10) καταλήγουµε στην ακόλουθη σχέση: dh dt = H t. (1.11) Αν το δυναµικό σύστηµα που περιγράφει η συνάρτηση Hamilton είναι αυτόνοµο, τότε dh/dt = 0. Εποµένως, η συνάρτηση Hamilton είναι σταθερή ως προς το χρόνο και η τιµή της, έστω Ε, εξαρτάται µόνο από τις αρχικές συνθήκες. Συνεχείς και διαφορίσιµες συναρτήσεις f(q, p) στη Χαµιλτονιανή περιγραφή (ή αντίστοιχα οι f(q, q) στη Λαγκραντζιανή περιγραφή) ενός αυτόνοµου συστήµατος για τις οποίες ισχύει df/dt = 0 σε όλο το ϕασικό χώρο S ονοµάζονται ολοκληρώµατα της κίνησης. Αν ένα αυτόνοµο δυναµικό σύστηµα διαθέτει τόσα ανεξάρτητα ολοκληρώµατα της κίνησης όσο το πλήθος των ϐαθµών ελευθερίας του και τα ολοκληρώµατα αυτά είναι σε ενέλιξη, τότε ονοµάζουµε το δυναµικό σύστηµα ολοκληρώσιµο κατά Liouville. Τα ολοκληρώµατα f 1, f,..., f n είναι ανεξάρτητα εάν: f 1 q 1... f q f n q 1... f 1 q n... f q n..... f n q n... f 1 p 1... f p f n p 1... f 1 p n f p n. f n p n 0. (1.1) Στην Χαµιλτονιανή περιγραφή δύο ποσότητες f 1 (q,p), f (q,p) είναι σε ενέλιξη όταν: n ( f1 f f ) f 1 = 0. (1.13) q i p i q i p i i=1 Για να υπάρχει χάος σε ένα δυναµικό σύστηµα, το σύστηµα δεν πρέπει να είναι ολοκληρώσιµο Κανονικός µετασχηµατισµός Εφόσον ισχύει η (1.9), οι εξισώσεις Euler Lagrange και οι εξισώσεις Hamilton οδηγούν στην περιγραφή του ίδιου συστήµατος, δηλαδή στις ίδιες εξισώσεις κίνη-

19 8 Εισαγωγικά στοιχεία µη γραµµικής δυναµικής σης. Είναι χαρακτηριστικό ότι οι ίδιες εξισώσεις κίνησης µπορεί να προκύψουν από διαφορετικές συναρτήσεις Lagrange, όπως και από διαφορετικές συναρτήσεις Hamilton. Στη Χαµιλτονιανή περιγραφή του συστήµατος ένας αντιστρέψιµος µετασχηµατισµός: q = q (q,p), p = p (q,p) (1.14) που οδηγεί από τις κανονικές µεταβλητές q, p σε ένα νέο σύνολο κανονικών µετα- ϐλητών q,p ονοµάζεται κανονικός εάν µια συνάρτηση Hamilton H(q,p, t) µετά το µετασχηµατισµό της H(q(q,p ),p(q,p ), t) = H (q,p, t) παράγει τέτοιες εξισώσεις κίνησης µέσω νέων εξισώσεων Hamilton: q i = H p i, ṗ i = H q i (i = 1,..., n) (1.15) ώστε αυτές να σχηµατίζουν το ίδιο σύστηµα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης µε τις (1.10), όταν οι (1.10) εκφραστούν µέσω των νέων µεταβλητών q, p, δηλαδή πρέπει: n ( ) q q i = i q j + q i ṗ j = q j=1 j p j n ( ) p ṗ i = i q j + p i ṗ j = q j p j j=1 n j=1 n ( ) q i H q i H = H q j p j p j q j p i ( ) p i H p i H = H q j p j p j q j j=1 q i. (1.16) Ενας µετασχηµατισµός είναι κανονικός ανεξάρτητα από τη συνάρτηση Hamilton πάνω στην οποία εφαρµόζεται. ηλαδή σε οποιαδήποτε συνάρτηση Hamilton H και να εφαρµόσουµε έναν κανονικό µετασχηµατισµό η νέα προκύπτουσα συνάρτηση Hamilton H ικανοποιεί τις εξισώσεις Hamilton σύµφωνα µε τις (1.16). Στην περίπτωση ενός κανονικού µετασχηµατισµού (1.14), η αντίστοιχη νέα συνάρτηση Lagrange L = q p H υπακούει την αρχή της ελάχιστης δράσης και διαφέρει από την παλαιά L κατά ένα ολικό διαφορικό µιας συνάρτησης F, η οποία ονοµάζεται γεννήτρια συνάρτηση. Η γεννήτρια συνάρτηση F = F(q,p,q,p, t) έχει τη γενική µορφή: df dt = q p q p + (H H). (1.17) Οµως, ανάλογα µε το µετασχηµατισµό που ϑέλουµε να εφαρµόσουµε µπορούµε να επιλέξουµε η γεννήτρια συνάρτηση να είναι συνάρτηση µόνο των q ή των p και αντίστοιχα µόνο των q ή των p. Παράδειγµα ενός τέτοιου µετασχηµατισµού εξετάζεται στην ενότητα Μεταβλητές γωνίας δράσης Οι µεταβλητές γωνίας δράσης έχουν ιδιαίτερη χρησιµότητα στην κατανόηση των δυναµικών συστηµάτων, όπως ϑα δούµε στο κεφάλαιο. Το είδος της γεννήτριας συνάρτησης που χρειάζεται για να προκύψουν οι µεταβλητές αυτές από µια συνάρτηση Hamilton είναι της µορφής F = F (q,p, t) q p. Η εύρεση, ωστόσο, των µετα- ϐλητών γωνίας δράσης για ένα δυναµικό σύστηµα είναι εν γένει µια µη τετριµµένη διαδικασία πλην ορισµένων περιπτώσεων. Για αυτό εξετάζεται πρώτα µια ειδική περί-

20 1.4 Μεταβλητές γωνίας δράσης 9 πτωση ενός αυτόνοµου ολοκληρώσιµου συστήµατος, προτού παρουσιασθεί η γενική περιγραφή. Αναπτύσσοντας την ολική παράγωγο της F στη σχέση (1.17) έχουµε ότι: n [( ) F q i ṗ i + i=1 p i ( ) ] F p i q i + F q i t = H H και απαιτώντας οι συντελεστές των q i, ṗ i να µηδενίζονται προκύπτει: p i = F q i, (1.18) q i = F p i H (q,p, t) = H(q,p, t) + F t (i = 1,..., n), (1.19). (1.0) Αν τώρα αντικαταστήσουµε στη (1.0) τις ορµές µέσω της (1.18), και αναζητήσου- µε τη µορφή της συνάρτησης F έτσι ώστε η H να έχει την ειδική µορφή H = 0, η (1.0) γράφεται: H(q, F q, t) + F t = 0 (1.1) όπου F = q ( F q 1,..., F q n ). Η εξίσωση (1.1) ονοµάζεται εξίσωση Hamilton Jacobi 5. Στην περίπτωση ενός αυτόνοµου συστήµατος, λόγω της (1.1), η F µπορεί να έχει το πολύ µια γραµµική εξάρτηση από το χρόνο της µορφής F (t) = F,0 E t. Η (1.1) γράφεται πλέον ως: H(q, F q ) = E (1.) και αποκαλείται χρονο-ανεξάρτητη εξίσωση Hamilton Jacobi. Αν η (1.) είναι επιλύσιµη, δηλαδή αν η συνάρτηση F µπορεί να ϐρεθεί αναλυτικά µέσω της (1.), τότε το αυτόνοµο δυναµικό σύστηµα είναι ολοκληρώσιµο, καθώς από τις (1.15), δεδοµένου ότι H = 0, προκύπτει άµεσα ότι οι νέες γενικευµένες ορµές p είναι ολοκληρώµατα τις κίνησης. Τα n ολοκληρώµατα p είναι ανεξάρτητα και σε ενέλιξη. Τέτοια n ολοκληρώµατα ορίζουν µία n διάστατη πολλαπλότητα M f. Η πολλαπλότητα M f είναι οµαλή και αναλλοίωτη στη Χαµιλτονιανή ϱοή µέσα στο ϕασικό χώρο. Αν επιπλέον η πολλαπλότητα M f είναι συµπαγής 6 και συνεκτική 7, τότε σύµφωνα µε το ϑεώρηµα Liouville Arnold (Arnold, 1989) η M f είναι διαφοροµορφική 8 ως προς ένα n διάστατο τόρο T n. Ενας n διάστατος τόρος 5 Η εξίσωση Hamilton Jacobi προκύπτει άµεσα από τη δράση (1.7) και δεν απαιτεί τον ορισµό γεννήτριας συνάρτησης (Landau and Lifshitz, 1960). Μέσω του λογισµού των µεταβολών της δράσης S ο ορισµός της ορµής οδηγεί στη σχέση p i = S q i και συγκρίνοντας το ανάπτυγµα της ολικής παραγώγου της δράσης ως προς το χρόνο ds dt = L µε τη (1.9) προκύπτει η (1.1) µε τη δράση στη ϑέση της F. Σηµειώνεται ότι η εξίσωση Hamilton Jacobi προηγήθηκε ιστορικά της συνάρτησης Hamilton. 6 Συµπαγής ονοµάζεται ένας χώρος X αν για κάθε τυχαία συλλογή A ανοιχτών υποσυνόλων U α ({U α } α A ) του X τέτοιο ώστε X = α A U α, υπάρχει ένα πεπερασµένο υποσύνολο B του A τέτοιο ώστε X = i B U i. 7 Μια πολλαπλότητα M f είναι συνεκτική εάν για κάθε δύο σηµεία x 1 και x της M f υπάρχει ένα τµήµα καµπύλης από το x 1 στο x το οποίο ανήκει στην M f 8 Εστω. δύο πολλαπλότητες M 1 και M, µία 1 1 και επί απεικόνιση f από το M 1 στο M είναι

21 10 Εισαγωγικά στοιχεία µη γραµµικής δυναµικής T n είναι το καρτεσιανό γινόµενο n µη αναγώγιµων 9 κύκλων C T n = C } {{... C. } n Παράδειγµα T τόρου δίνεται στο σχήµα 1.1. Πάνω στον τόρο ϕαίνονται οι δύο µη αναγώγιµοι κύκλοι C 1, C. ΤΡoΧΙΆ C 1 Θ 1 Θ C Σχήµα 1.1: Μια τροχιά πάνω σε έναν τόρο T. καθορίζεται πλήρως από τις γωνίες θ 1, θ. Η ϑέση του κάθε σηµείου της τροχιάς Επίσης, σύµφωνα µε το ϑεώρηµα Liouville Arnold µπορούµε να εκφράσουµε τη συνάρτηση Hamilton H µέσω ενός συστήµατος κανονικών µεταβλητών στο οποίο οι ϑέσεις θ = (θ 1,..., θ n ) είναι οι γωνιακές συντεταγµένες στον τόρο T n και οι συζυγείς τους ορµές J = (J 1,..., J n ) ολοκληρώµατα της κίνησης. Τα (θ,j) ονοµάζονται κανονικές µεταβλητές γωνίας δράσης. Στο σχήµα 1.1 παρουσιάζονται οι γωνιακές συντεταγµένες θ 1, θ πάνω στον T. Η µεταβλητή δράσης J i ορίζεται από το κλειστό επικαµπύλιο ολοκληρώµα: J i = 1 π C i n p k dq k (i = 1,..., n) (1.3) πάνω στο µη αναγώγιµο κύκλο C i του τόρου T n. Επειδή η (1.18) δίνει ότι p i = p i (q,p ) από τη (1.3) προκύπτει ότι: k=1 J i = J i (p ) (i = 1,..., n). (1.4) Ο διαφοροµορφισµός µας λέει ότι η (1.4) αντιστρέφεται και άρα έχουµε ότι: p i = p i(j) (i = 1,..., n). (1.5) διαφοροµορφική αν η f : M 1 M και η αντίστροφή της f 1 : M M 1 είναι διαφορίσιµες. 9 ύο καµπύλες είναι µη αναγώγιµες όταν δεν υπάρχει συνάρτηση η οποία µε συνεχή τρόπο µπορεί να µετασχηµατίσει τη µία καµπύλη στην άλλη.

22 1.4 Μεταβλητές γωνίας δράσης 11 Εποµένως µπορούµε να ορίσουµε µια καινούργια γεννήτρια συνάρτηση: F (q,j) = F (q,p ), (1.6) στην οποία αντικαθιστούµε τις ορµές p µε τις µεταβλητές δράσης J µέσω των (1.5). Κατά αναλογία µε τη (1.19) οι συζυγείς γωνίες θ i στις µεταβλητές δράσης J i δίνονται από τη: θ i = F J i (i = 1,..., n). (1.7) Οταν ολοκληρωθεί η µεταβλητή γωνία θ i κατά µήκος µιας κλειστής διαδροµής πάνω στον αντίστοιχο µη αναγώγιµο κύκλο C i έχουµε ότι: C i θ i = π. (1.8) Η καινούργια συνάρτηση Hamilton K που προκύπτει από τη γεννήτρια συνάρτηση F είναι συνάρτηση µόνο των µεταβλητών δράσης J. Οι εξισώσεις Hamilton δίνουν: J i = K/ θ i = 0 (1.9) θ i = K = ω i (J) (i = 1,..., n) J i (1.30) όπου ω i (J) σταθερές και άρα οι θ i εξελίσσονται γραµµικά ως προς το χρόνο. Ο- λοκληρώνοντας τη διαφορική εξίσωση (1.30) κατά µήκος µιας κλειστής διαδροµής πάνω στη C i για χρόνο T i, λόγω της (1.8) προκύπτει ότι ω i T i = π. Εποµένως οι ω i (J) είναι γωνιακές συχνότητες της κίνησης και T i είναι οι αντίστοιχες περίοδοι. Εν γένει, µία αυτόνοµη συνάρτηση Hamilton H = H(θ,J) : R n R ονοµά- Ϲεται εκπεφρασµένη σε µεταβλητές γωνίας δράσης σε ένα ανοικτό υποσύνολο U του πεδίου ορισµού της, αν η H στο U είναι περιοδική συνάρτηση καθεµίας από τις θ = (θ 1,..., θ n ) µε µέγιστη περίοδο π. Στο U οι µεταβλητές θ ονοµάζονται γωνίες και οι µεταβλητές J δράσεις. Συνεπώς, υπάρχει η δυνατότητα ένα Χαµιλτονιανό σύστηµα να εκφραστεί σε κατάλληλες ως προς το υπό εξέταση πρόβληµα µεταβλητές γωνίας δράσης µόνο τοπικά, δηλαδή µόνο σε ένα ανοικτό υποσύνολο U του πεδίου ορισµού της H. 10 Στο συµπλη- ϱωµατικό υποσύνολο του U στο πεδίο ορισµού της H οι µεταβλητές θ, J παραµένουν κανονικές, όµως δεν έχουν εν γένει το νόηµα των µεταβλητών γωνίας δράσης, δηλαδή τα θ i δεν είναι γωνιακές συντεταγµένες πάνω σε µη αναγώγιµους κύκλους και τα J i δεν ορίζονται από τη (1.3) Η κίνηση πάνω στους τόρους Στην προηγούµενη υποενότητα είδαµε ότι, στην περίπτωση που µια αυτόνοµη συνάρτηση Hamilton n ϐαθµών ελευθερίας εκφράζεται µέσω των µεταβλητών γωνίας δράσης, η κίνηση πραγµατοποιείται πάνω σε n-διάστατους τόρους T n. Παράδειγµα εξέλιξης µιας τροχιάς πάνω σε τόρο T = C 1 C ενός συστήµατος δύο ϐαθµών ελευ- ϑερίας παρουσιάζεται στο σχήµα 1.1. Η ϑέση της τροχιάς πάνω στον τόρο καθορίζεται 10 Η δυνατότητα αυτή µας επιτρέπει να ορίζουµε κατάλληλα τοπικά συστήµατα µεταβλητών γωνίας δράσης και στα µη ολοκληρώσιµα συστήµατα (ϐλ. π.χ. (Morbidelli, 00)).

23 1 Εισαγωγικά στοιχεία µη γραµµικής δυναµικής πλήρως από τις γωνίες θ 1, θ. Σχήµα 1.: Ενα ϕύλλωµα T τόρων για µια σταθερή τιµή της συνάρτησης Hamilton. Οι τιµές των ολοκληρωµάτων κίνησης που αντιστοιχούν στις µεταβλητές δράσεις J καθορίζουν τον τόρο πάνω στον οποίο γίνεται η κίνηση. Σε ένα σύστηµα δύο ϐαθµών ελευθερίας, για µία δοσµένη τιµή της συνάρτησης Hamilton H = E, καθορίζοντας την τιµή µίας από τις δύο δράσεις, έστω J 1, καθορίζουµε και την τιµή της δεύτερης. Μεταβάλλοντας λοιπόν την τιµή της J 1 δηµιουργείται ένα ϕύλλωµα T τόρων όπως παρουσιάζεται στο σχήµα 1.. εδοµένων των τιµών των δράσεων J είναι δεδοµένες και οι τιµές των κυκλικών συχνοτήτων ω i = ω i (J) (σχέση (1.30) ). Για να µεταβάλλονται οι κυκλικές συχνότητες από τόρο σε τόρο ϑα πρέπει: ω J = ω 1 J ω n J 1... ω 1 J n. ω n J n 0. (1.31) Η (1.31) ονοµάζεται συνθήκη µη εκφυλισµού της συνάρτησης Hamilton. Η κίνηση πάνω στους τόρους T n ονοµάζεται ηµιπεριοδική 11, αν δεν υπάρχει συνθήκη συντονισµού: n k i ω i = 0, k i Z, k = i=1 n k i 0. (1.3) i=1 Μια ηµιπεριοδική τροχιά δε επιστρέφει ποτέ στο σηµείο από το οποίο ξεκίνησε, αλλά καλύπτει πυκνά σε άπειρο χρόνο την επιφάνεια του τόρου T n οµοιόµορφα. Αν τώρα υπάρχει µία συνθήκη συντονισµού (1.3), τότε η τροχιά γεµίζει πυκνά την επιφάνεια µιας υποπολλαπλότητας του τόρου T n η οποία είναι τόρος T n 1. Οµοίως, αν υπάρχουν δύο γραµµικά ανεξάρτητες συνθήκες συντονισµού της µορφής (1.3), τότε η τροχιά γεµίζει πυκνά την επιφάνεια µιας υποπολλαπλότητας που είναι τόρος T n. Γενικά µε j > n 1 γραµµικά ανεξάρτητες συνθήκες συντονισµού η τροχιά καλύπτει την επιφάνεια µιας υποπολλαπλότητας που είναι τόρος T n j. Για j = n 1 γραµµικά ανεξάρτητες συνθήκες συντονισµού το γραµµικό σύστηµα λύνεται ως προς µία συχνότητα, έστω ω 1, και όλες οι υπόλοιπες συχνότητες ω i µπορούν να 11 quasiperiodic

24 1.5 Εφαπτοµενικός χώρος 13 εκφρασθούν ως προς τη συχνότητα αυτή σχηµατίζοντας µαζί της ϱητό λόγο ω i ω 1 = r i, r i Q (i =,..., n). (1.33) Επιπλέον, υπάρχει µία ελάχιστη συχνότητα Ω τέτοια ώστε: ω i l i = Ω l i 0 Z (i = 1,..., n). (1.34) Σε αυτή την περίπτωση ο τόρος καλύπτεται από περιοδικές τροχιές περιόδου π/ω. Μια περιοδική τροχιά επιστρέφει µετά από χρόνο π/ω στο σηµείο από το οποίο ξεκίνησε. Σε ένα µη εκφυλισµένο σύστηµα ϐαθµών ελευθερίας (σχήµα 1.) υπάρχουν µόνο περιοδικές και ηµιπεριοδικές τροχιές. Οι τόροι χωρίζονται σε τόρους λίκνισης και σε τόρους περιστροφής. Αν τα Ϲεύγη p i, q i εκφράζονται ως περιοδικές συναρτήσεις του χρόνου µε την ίδια περίοδο T i έχουµε τόρο λίκνισης, ενώ αν τα p i εκφράζονται ως περιοδικές συναρτήσεις των µη περιοδικών συναρτήσεων q i µε περίοδο q i,0 έχουµε τόρο περιστροφής. Το απλό µαθηµατικό εκκρεµές είναι παράδειγµα συστήµατος ενός ϐαθµού ελευθερίας που εκτελεί, ανάλογα µε την αρχική του ενέργεια, είτε λίκνιση είτε περιστροφή. Το εκκρεµές περιγράφεται από την εξής συνάρτηση Hamilton: H = p cos(q). Οταν H < 1 έχουµε λίκνιση, καθώς τα p και q είναι περιοδικές συναρτήσεις του χρόνου µε την ίδια περίοδο, ενώ όταν H > 1 έχουµε περιστροφή, καθώς το p εκφρά- Ϲεται ως περιοδική συνάρτηση του q µε περίοδο π, δηλαδή p(q) = p(q + kπ) όπου k N. 1.5 Εφαπτοµενικός χώρος Ο χώρος των ϕάσεων S, αν και είναι ο χώρος ο οποίος ορίζεται από όλες τις δυνατές καταστάσεις ενός συστήµατος, δεν επαρκεί για να εισαχθούν ορισµένες ποσότητες οι οποίες µας ϐοηθούν στη δυναµική ανάλυση του συστήµατος. Οι ποσότητες αυτές αφορούν το διάνυσµα απόκλισης ξ το οποίο συνοδεύει µια τροχιά στο ϕασικό χώρο εξελισσόµενο σε ένα χώρο που ονοµάζεται εφαπτοµενικός T S x S T xs. Ο εφαπτοµενικός χώρος T x S ορίζεται σε κάθε σηµείο x του S. Η χρονική εξέλιξη του ξ δίνεται από το γραµµικό τελεστή D t : T x S T Flt(x)S, που ορίζεται από τη σχέση: ξ(t) = D t ξ(t 0 ) (1.35) όπου ξ(t 0 ) είναι το διάνυσµα απόκλισης τη χρονική στιγµή t 0. Το διάνυσµα απόκλισης ξ(t) µπορεί να ερµηνευτεί ως η γραµµική απόκλιση δύο γειτονικών λύσεων x(t), y(t) ενός συνεχούς δυναµικού συστήµατος (1.1) y(t) = x(t) + ξ(t). (1.36) Αντικαθιστώντας τη (1.36) στη (1.1) και αναπτύσσοντας σε σειρά Taylor µέχρι όρους

25 14 Εισαγωγικά στοιχεία µη γραµµικής δυναµικής πρώτης τάξης ως προς ξ(t) καταλήγουµε στις εξισώσεις: ξ(t) = f (x(t))ξ(t) (1.37) x οι οποίες αποκαλούνται εξισώσεις µεταβολών και καθορίζουν την εξέλιξη του διανύσµατος απόκλισης ξ(t) στον εφαπτοµενικό χώρο T S. Για τις απεικονίσεις, το διάνυσµα απόκλισης ξ m στο σηµείο x m δίνεται απο την εφαπτοµενική απεικόνιση ξ m+1 = f x (x m)ξ m := M m ξ m. (1.38) Η εξέλιξη ενός αρχικού διανύσµατος ξ 0 απόκλισης δίνεται από τη σχέση: ξ m+1 = M m M m 1... M 0 ξ 0. (1.39) Η διατήρηση των όγκων Σύµφωνα µε το ϑεώρηµα του Liouville στα Χαµιλτονιανά δυναµικά συστήµατα η ϱοή διατηρεί τον όγκο αναλλοίωτο στο χώρο των ϕάσεων. Η διατήρηση των όγκων είναι συνέπεια της συµπλεκτικότητας. Ο Ιακωβιανός πίνακας M(t) (1.3) µπορεί να ερµηνευθεί ως η σύνθεση των n στηλών του, οι οποίες αντιστοιχούν στα διανύσµατα: ξ k (t) = x 1 x k,0. x n x k,0 (k = 1,..., n) (1.40) όπου k συµβολίζει τον αύξοντα αριθµό της στήλης. Τα διανύσµατα ξ k (t) είναι λύσεις των εξισώσεων µεταβολών (1.37), δηλαδή είναι διανύσµατα απόκλισης. 1 Η ορίζουσα της συµπλεκτικής συνθήκης (1.4) δίνει ότι M(t) = 1. Επειδή για t = t 0 x i / x k,0 = δ ik, όπου δ ik το δέλτα του Kronecker, δ ik = { 1 i = k 0 i k (1.41) M(t 0 ) = I n, άρα M(t) = M(t 0 ) = 1. (1.4) Τα διανύσµατα ξ k (t) ορίζουν έναν όγκο n διαστάσεων από γειτονικές λύσεις της x(t). Η ορίζουσα του πίνακα M(t) καθορίζει την τιµή αυτού του n διαστάσεων όγκου. Λόγω της (1.4) συνεπάγεται ότι οι όγκοι αυτοί διατηρούνται σταθεροί µε την πάροδο του χρόνου, άρα τα συνεχή συµπλεκτικά δυναµικά συστήµατα είναι διατηρητικά. Οι όγκοι διατηρούνται και για τις συµπλεκτικές απεικονίσεις. Η απόδειξη είναι παρόµοια µε αυτή των συµπλεκτικών συνεχών δυναµικών συστηµάτων (ϐλ. π.χ. (Meiss, 199)). 1 Παραγωγίζοντας τη (1.1) ως προς τις αρχικές συνθήκες x 0 καταλήγουµε στο σύστηµα d x dt x k,0 = f x x x, το οποίο είναι ταυτόσηµο µε το σύστηµα των εξισώσεων µεταβολών (1.37). k,0

26 1.6 Μέθοδοι ανίχνευσης του χάους Μέθοδοι ανίχνευσης του χάους Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται µέθοδοι µε τις οποίες το χάος ανιχνεύεται και ποσοτικοποιείται. Οι µέθοδοι αυτές είναι ποικίλες αλλά µπορούν να χωρισθούν σε τρεις ϐασικές κατηγορίες: 1. την εποπτική,. την ανάλυση συχνοτήτων, 3. τους δείκτες χαοτικότητας Εποπτική: Τοµή Poincaré Στον τελευταίο τόµο του τρίτοµου έργου του ο Poincaré ( ) εισήγαγε µία απεικόνιση που µας επιτρέπει να έχουµε εποπτεία των ϐασικών τοπολογικών ιδιοτήτων ενός αυτόνοµου Χαµιλτονιανού συστήµατος δύο ϐαθµών ελευθερίας πάνω σε µια κατάλληλα ορισµένη διδιάστατη επιφάνεια. Εστω H(q 1, q, p 1, p ) αυτόνοµη συνάρτηση Hamilton, όπου q 1, q οι συντεταγµένες ϑέσης και p 1, p οι αντίστοιχες συζυγείς ορµές. Για µια καθορισµένη τιµή της συνάρτησης Hamilton, H = E, η µια από τις τέσσερις µεταβλητές, έστω p, µπορεί να εκφρασθεί ως συνάρτηση των τριών άλλων µεταβλητών p = p (q 1, q, p 1 ; E). Η ϱοή είναι περιορισµένη πάνω σε µία επιφάνεια 3 διαστάσεων εµβαπτισµένη στον 4-διάστατο ϕασικό χώρο. Επιπλέον, επιλέγουµε µια τοµή της 3-διάστατης επιφάνειας, η οποία αποκαλείται επιφάνεια τοµής (π.χ. q =σταθερό), και καταγράφουµε τις διαδοχικές τοµές µιας τροχιάς µε την επιφάνεια αυτή όταν η τροχιά έχει τον κατάλληλο προσανατολισµό, έστω p > 0. Με αυτή τη µέθοδο ανάγουµε το 4-διάστατο Χαµιλτονιανό σύστηµα σε µια -διάστατη απεικόνιση. Αν οι τοµές επαναλαµβάνονται µέσα σε συγκεκριµένο πεπερασµένο χρονικό διάστηµα, η επιφάνεια τοµής ονοµάζεται επιφάνεια Poincaré και τα διαδοχικά σηµεία της τροχιάς πάνω στη τοµή x 0, x 1,... ορίζουν την απεικόνιση Poincaré. Η απεικόνιση Poincaré είναι συµπλεκτική απεικόνιση. Η τοµή Poincaré ενός T τόρου (σχήµα 1.1) είναι µια µονοδιάστατη καµπύλη, τοπολογικά ισοδύναµη µε κύκλο, η οποία αποκαλείται αναλλοίωτη (ή αµετάβλητη) καµπύλη 13. Η αναλλοιότητα αναφέρεται στο ότι οι καµπύλες αυτές έχουν ως εικόνα Poincaré τον εαυτό τους. Πάνω στην επιφάνεια τοµής ενός ολοκληρώσιµου συστή- µατος µπορούν να παρατηρηθούν δύο είδη αναλλοίωτων καµπυλών: οι αναλλοίωτες καµπύλες λίκνισης και περιστροφής (ϐλ. ενότητα 1.4.1). Σε ένα µη εκφυλισµένο ολοκληρώσιµο Χαµιλτονιανό σύστηµα δύο ϐαθµών ε- λευθερίας, το οποίο µπορεί να εκφρασθεί σε µεταβλητές γωνίας δράσης, για κάθε τόρο T ορίζονται δύο το πολύ διαφορετικές συχνότητες ω 1, ω, έστω ω 1 ω. Σε αντιστοιχία µε τους T τόρους, οι αναλλοίωτες καµπύλες των οποίων οι συχνότητες ϐρίσκονται σε άρρητο λόγο ονοµάζονται ηµιπεριοδικές, ενώ, αν οι συχνότητες ϐρίσκονται σε ϱητό λόγο, ονοµάζονται συντονισµένες ω 1 ω = i j µε i, j N. Μια τροχιά της απεικόνισης µε αρχική συνθήκη πάνω σε ηµιπεριοδική καµπύλη καλύπτει σε άπειρο χρόνο πυκνά όλη την καµπύλη. Μια τροχιά της απεικόνισης µε αρχική συν- ϑήκη πάνω σε καµπύλη συντονισµού απεικονίζεται µόνο σε ένα πεπερασµένο αριθµό σηµείων πάνω στην καµπύλη. Ο αριθµός είναι ίσος µε το j και ονοµάζεται περίοδος της τροχιάς της απεικόνισης ή πολλαπλότητα της περιοδικής τροχιάς. Αν αλλάξουµε 13 invariant curve

27 16 Εισαγωγικά στοιχεία µη γραµµικής δυναµικής ΗΜΙΠΕΡΙo ΙΚΉ ΣΥΝΤoΝΙΣΜΈΝΗ Σχήµα 1.3: Σχηµατική αναπαράσταση µιας τοµής Poincaré ενός ολοκληρώσιµου συστήµατος στην οποία διακρίνονται ηµιπεριοδικές αναλλοίωτες καµπύλες (συνεχείς καµπύλες) και µία συντονισµένη αναλλοίωτη καµπύλη (διακεκοµµένη καµπύλη). Πάνω στην αναλλοίωτη καµπύλη συντονισµού έχουν σχεδιασθεί σύνολα 3 σηµείων (γκρίζα και µαύρα σηµεία) τα οποία αντιστοιχούν σε διαφορετικές περιοδικές τροχιές περιόδου 3. την αρχική συνθήκη πάνω στην ίδια συντονισµένη αναλλοίωτη καµπύλη, ώστε η αρχική συνθήκη να µην αντιστοιχεί σε κάποια από τα προηγούµενα j σηµεία, τότε ϑα εµφανισθούν πάλι j διαφορετικά σηµεία πάνω στην ίδια καµπύλη. Σχηµατική αναπαράσταση των προαναφερθέντων δίνεται µέσω του σχήµατος 1.3 όπου εµφανίζονται ηµιπεριοδικές αναλλοίωτες καµπύλες και µία συντονισµένη αναλλοίωτη καµπύλη πάνω στην οποία σχεδιάστηκαν διαφορετικές τροχιές περιόδου j = 3. Σταθερό σηµείο x s µιας απεικόνισης f(x) ονοµάζεται το σηµείο για το οποίο ισχύει ότι: f(x s ) = x s (1.43) Για κάθε περιοδικό σηµείο f j (x p ) = x p πολλαπλότητας j µπορεί να ορισθεί µια νέα απεικόνιση h(x) = f j (x) για την οποία ισχύει ότι h(x p ) = x p. Εποµένως αναφερόµενοι σε ιδιότητες των σταθερών σηµείων x s καλύπτουµε και τις ιδιότητες των περιοδικών σηµείων x p. Εστω απεικόνιση Poincaré x i+1 = f(x i ). Για να µελετηθεί η ευστάθεια της απεικόνισης στη γειτονιά ενός σταθερού σηµείου, ϑεωρούµε µια γραµµική προσέγγιση x i = x s +δx i της απεικόνισης γύρω από αυτό το σταθερό σηµείο. Αυτή η προσέγγιση δίνει: δx i+1 = f δx i x i xi =x s Ο Ιακωβιανός πίνακας A της (1.6): A = f(x) x (1.44) x=xs ονοµάζεται µονόδροµος πίνακας του σταθερού σηµείου x s. Για να ορίσουµε το µονόδροµο πίνακα σε ένα περιοδικό σηµείο x p πολλαπλότητας j χρησιµοποιούµε στην (1.44) την απεικόνιση h(x) = f j (x) αντί της f(x). Λόγω του ότι η απεικόνιση Poincaré ικανοποιεί τη συµπλεκτική συνθήκη αποδει-

28 1.6 Μέθοδοι ανίχνευσης του χάους 17 κνύεται ότι A = 1 και οι ιδιοτιµές του µονόδροµου πίνακα σχηµατίζουν ένα Ϲεύγος αντίστροφων τιµών της µορφής (λ 1, λ ) = (λ, λ 1 ) (ϐλ. π.χ (Meiss, 199)). Εύκολα προκύπτει ότι: λ 1, = Tr(A) ± (Tr(A)) 4 (1.45) όπου Tr(A) το ίχνος του µονόδροµου πίνακα A. ΑΣΤΑΘΈς Α ΙΆΦoΡo ΕΥΣΤΑΘΈς Σχήµα 1.4: Σχηµατικές αναπαραστάσεις του ϕασικού χώρου γύρω από ένα ευσταθές, ένα αδιάφορα ευσταθές και ένα ασταθές σταθερό σηµείο. Το σταθερό σηµείο παριστάνεται σε κάθε σχήµα από µία έντονη µαύρη κουκκίδα. Αν Tr(A) < τότε οι ιδιοτιµές είναι µιγαδικές και µπορούν να γραφούν στη µορφή λ 1, = e ±iθ, όπου θ = cos 1 (Tr(A)/). Το σηµείο x s σε αυτή την περίπτωση καλείται ευσταθές (ή ελλειπτικό). Σηµεία στη γειτονιά του x s πραγµατοποιούν µια περιστροφή µε γωνιακή ταχύτητα περιστροφής ίση µε θ. Αν Tr(A) = τότε, ανάλογα µε το πρόσηµο του Tr(A), ισχύει λ 1 = λ = 1 ή 1. Σε αυτή την περίπτωση το σηµείο x s καλείται αδιάφορα ευσταθές. Τα περιοδικά σηµεία πάνω σε µια συντονισµένη αναλλοίωτη καµπύλη ενός ολοκληρώσιµου συστή- µατος είναι αδιάφορα ευσταθή. Το ιδιοδιάνυσµα αδιάφορα ευσταθούς περιοδικού σηµείου έχει διεύθυνση παράλληλη σε αυτή της εφαπτοµένης στην καµπύλη συντονισµού στη ϑέση που ϐρίσκεται το περιοδικό σηµείο. Η ϱοή του ϕασικού χώρου γύρω από τη ϑέση του αδιάφορα ευσταθούς περιοδικού σηµείου πραγµατοποιείται κατά µήκος της διεύθυνσης που ορίζει το ιδιοδιάνυσµα. Αν Tr(A) > τότε οι ιδιοτιµές είναι πραγµατικές και αντιστοιχούν σε δύο ιδιοδιανύσµατα που καθορίζουν αντίστοιχες ιδιοδιευθύνσεις πάνω στην τοµή Poincaré. Η µία ιδιοτιµή, έστω λ 1, είναι κατά απόλυτη τιµή µεγαλύτερη της µονάδας και ορίζει την ασταθή ιδιοδιεύθυνση, ενώ η άλλη λ είναι κατά απόλυτη τιµή µικρότερη της µονάδας, και ορίζει την ευσταθή ιδιοδιεύθυνση. Το σηµείο x s καλείται ασταθές (ή υπερβολικό). Εστω αρχικό σηµείο x 0 σε πολύ µικρή απόσταση d 0 από το x s. Αν το x 0 ϐρίσκεται πάνω στην ασταθή ιδιοδιεύθυνση και εξελίξουµε το x 0 κατά την ανάδροµη ϕορά του χρόνου 14, τότε στην επόµενη απεικόνιση του σηµείου πάνω στην τοµή Poincaré η απόσταση της εικόνας του x 0 από το x s ϑα είναι ίση µε d 0 / λ 1 < d 0. Μετά από m απεικονίσεις του σηµείου x 0 πάνω στην τοµή Poincaré κατά την ανάδροµη ϕορά του χρόνου η απόσταση ϑα ισούται µε d 0 / λ 1 m. ηλαδή οι απεικονίσεις της αρχικής συνθήκης κατά την ανάδροµη ϕορά του χρόνου τείνουν προς το σηµείο x s. 14 Κατά την ανάδροµη ϕορά του χρόνου η τιµή του χρόνου γίνεται όλο και πιο µικρή.

29 18 Εισαγωγικά στοιχεία µη γραµµικής δυναµικής Αν το x 0 ϐρίσκεται πάνω στην ευσταθή ιδιοδιεύθυνση και εξελίξουµε το x 0 κατά την ορθή ϕορά του χρόνου, τότε στην επόµενη απεικόνιση του σηµείου πάνω στην τοµή Poincaré η απόσταση της εικόνας του x 0 από το x s ϑα είναι ίση µε d 0 / λ 1 = d 0 λ. Μετά από m απεικονίσεις του σηµείου x 0 πάνω στην τοµή Poincaré η απόσταση ϑα ισούται µε d 0 λ m. ηλαδή οι απεικονίσεις της αρχικής συνθήκης κατά την ορθή ϕορά του χρόνου τείνουν προς το σηµείο x s. Σύµφωνα µε το ϑεώρηµα της ευσταθούς πολλαπλότητας 15 εάν υπάρχει ένα αστα- ϑές σταθερό σηµείο x s, τότε υπάρχουν δύο αναλλοίωτες πολλαπλότητες W U και W S, των οποίων τα σηµεία σε µια τουλάχιστον από τις διευθύνσεις του χρόνου συσσω- ϱεύονται στο σηµείο x s (Meiss, 199). Η αναλλοίωτη πολλαπλότητα W U ονοµάζεται ασταθής και ορίζεται από το σύνολο των σηµείων που κατά την ανάδροµη ϕορά του χρόνου τείνουν στο σηµείο x s. Η αναλλοίωτη πολλαπλότητα W S ονοµάζεται ευστα- ϑής και ορίζεται από το σύνολο των σηµείων που κατά την ορθή ϕορά του χρόνου τείνουν στο σηµείο x s. Σύµφωνα µε το ϑεώρηµα Hartman Grobman (Grobman, 1959 Hartman, 1960) η συµπεριφορά των W U και W S στη γειτονιά του σηµείου x s είναι τοπολογικά ι- σοδύναµη µε αυτή της γραµµικής προσέγγισης του µονόδροµου πίνακα. ηλαδή η αρχική διεύθυνση της W U, καθώς η W U εκπορεύεται από το σηµείο x s, ορίζεται από την ασταθή ιδιοδιεύθυνση και αντίστοιχα η αρχική διεύθυνση της W S ορίζεται από την ευσταθή ιδιοδιεύθυνση. Πάνω στην τοµή Poincaré, κοντά σε ένα ασταθές σηµείο x s η απεικόνιση των τροχιών, οι οποίες στο ϕασικό χώρο εξελίσσονται πάνω στις αναλλοίωτες πολλαπλότητες 16 W U και W S, σχηµατίζει κατά προσέγγιση υπερβολικές καµπύλες των οποίων οι ασύµπτωτες καθορίζονται από την ευσταθή και την ασταθή ιδιοδιεύθυνση του ση- µείου x s. Για αυτό οι απεικονίσεις των W U και W S πάνω στην τοµή Poincaré αποκαλούνται ασυµπτωτικές καµπύλες. Συγκεκριµένα η απεικόνιση της W U καλείται ασταθής ασυµπτωτική καµπύλη, ενώ της W S ευσταθής ασυµπτωτική καµπύλη. Εάν σε ένα ολοκληρώσιµο σύστηµα υπάρχουν ασταθή σηµεία, τότε η ευσταθής και η ασταθής ασυµπτωτική καµπύλη κάθε ασταθούς σηµείου ενώνονται οµαλά σχηµατίζοντας µια ενιαία καµπύλη η οποία ονοµάζεται διαχωριστική 17. ιαταράσσουµε τώρα το προηγούµενο σύστηµα ϐαθµών ελευθερίας έτσι ώστε να αρθεί η ολοκληρωσιµότητά του. Τα δύο ϐασικά ϑεωρήµατα της µη γραµµικής δυναµικής που µας περιγράφουν πως ϑα διαφοροποιηθεί η τοπολογία πάνω στην επιφάνεια τοµής είναι το ϑεώρηµα KAM 18 (Arnold, 1989) και το ϑεώρηµα Poincaré Birkhoff (Birkhoff, 197). Σύµφωνα µε το ϑεώρηµα KAM αν διαταράξουµε ένα µη εκφυλισµένο ( ω J 0) ολοκληρώσιµο Χαµιλτονιανό σύστηµα H 0 (J) n ϐαθµών ελευθερίας, το οποίο είναι εκπεφρασµένο σε µεταβλητές γωνίας δράσης J, θ, τότε στο νέο Χαµιλτονιανό σύστη- µα: H(J, θ) = H 0 (J) + ǫh 1 (J, θ) (1.46) για αρκούντως µικρό παράγοντα διαταραχής ǫ οι τόροι οι οποίοι ικανοποιούν τη 15 stable manifold theorem 16 Επισηµαίνεται ότι οι αναλλοίωτες πολλαπλότητες W U και W S είναι ένα σύνολο τροχιών και όχι µια τροχιά. 17 separatrix 18 Kolmogorov Arnold Moser

30 1.6 Μέθοδοι ανίχνευσης του χάους 19 διοφαντική συνθήκη: n k i ω i > i=1 O(ǫ) k n i N (1.47) ( k i ) d i=1 δε ϑα καταστραφούν αλλά ϑα παραµορφωθούν. Στη συνθήκη (1.47) ο όρος O(ǫ) είναι ϑετική σταθερά της τάξης του ǫ για την οποία ισχύει ότι O(0) = 0 και ο εκθέτης d > n 1 εξαρτάται από το πλήθος των ϐαθµών ελευθερίας. Η συνθήκη (1.47) εξασφαλίζει ότι ο τόρος είναι «αρκετά» µακριά από τη συνθήκη συντονισµού (1.3): n k i ω i = 0. (1.48) i=1 Οι παραµορφωµένοι τόροι πάνω στους οποίους κινούνται οι ηµιπεριοδικές τροχιές στο διαταραγµένο σύστηµα ονοµάζονται τόροι KAM. Οι τοµές των ηµιπεριοδικών αυτών τροχιών πάνω σε µια επιφάνεια Poincaré σχηµατίζουν τις καµπύλες KAM, που αναλογούν στις ηµιπεριοδικές αναλλοίωτες καµπύλες του αδιατάρακτου συστήµατος. Το ϑεώρηµα Poincaré Birkhoff υποδεικνύει την τύχη των τόρων που ικανοποιούν τη συνθήκη συντονισµού (1.3) σε ένα Χαµιλτονιανό σύστηµα H 0 (J) δύο ϐαθµών ε- λευθερίας όταν επιβληθεί µια µικρή διαταραχή και προκύψει µια µη ολοκληρώσιµη Χαµιλτονιανή (1.46). Σύµφωνα µε το ϑεώρηµα Poincaré Birkhoff όταν σε µια διδιάστατη απεικόνιση Poincaré, η οποία αντιστοιχεί στο H 0 (J), επιβληθεί µια διαταραχή, τότε από τα άπειρα περιοδικά σηµεία, τα οποία σχηµάτιζαν µια συντονισµένη αναλλοίωτη καµπύλη, και ανήκαν σε περιοδικές τροχιές περιόδου j, αποµένει µόνο ένα άρτιο (πολλαπλάσιο του j) πλήθος περιοδικών σηµείων. Από τα περιοδικά σηµεία που απέµειναν τα µισά είναι ευσταθή και τα υπόλοιπα ασταθή. Η διάταξη των περιοδικών σηµείων είναι τέτοια ώστε εκατέρωθεν ενός ευσταθούς σηµείου να ϐρίσκονται ασταθή σηµεία και αντίστροφα. Η διάταξη αυτή ονοµάζεται αλυσίδα Birkhoff. Γύρω από τα ευσταθή σηµεία σχηµατίζονται οι νησίδες ευστάθειας, οι οποίες αποτελούνται κυρίως από κλειστές καµπύλες KAM που περικλείουν τα ευσταθή σηµεία. Εάν το ευσταθές σηµείο είναι το σταθερό σηµείο x s το οποίο είναι η απεικόνιση της κεντρικής περιοδικής τροχιάς ενός ϕυλλώµατος τόρων πάνω σε µια επιφάνεια τοµής, τότε ο σχηµατισµός των καµπυλών KAM γύρω από το x s ονοµάζεται κύρια νησίδα ευστάθειας 19. Αν και µετά από µια µικρή διαταραχή οι περισσότερες ηµιπεριοδικές αναλλοίωτες καµπύλες διατηρούνται, σύµφωνα µε το ϑεώρηµα KAM, ωστόσο κάποιες από αυτές διαλύονται. Οι ηµιπεριοδικές καµπύλες που διαλύονται είναι κοντά σε συντονισµούς. Ο χώρος γύρω από κάθε συντονισµό, για αρκούντως µικρή διαταραχή, οριοθετείται από ένα Ϲεύγος καµπυλών KAM, όπως παριστάνεται σχηµατικά στο σχήµα 1.5. Ο χώρος γύρω από το συντονισµό που απελευθερώθηκε από τις ηµιπεριοδικές καµπύλες του αδιατάρακτου καταλαµβάνεται στο διαταραγµένο σύστηµα από µια αλυσίδα Birkhoff. Γύρω από τα ευσταθή περιοδικά σηµεία της αλυσίδας Birkhoff, όπως έχει ήδη αναφερθεί, σχηµατίζονται οι νησίδες ευστάθειας. Ενώ από τα ασταθή περιοδικά σηµεία εκπορεύονται οι ασυµπτωτικές αναλλοίωτες καµπύλες που γεµίζουν το χώρο µεταξύ των καµπυλών KAM και των νησίδων ευστάθειας της αλυσίδας Birkhoff. Ο ασταθής κλάδος µιας ασυµπτωτικής καµπύλης δε µπορεί να τµήσει τον εαυτό του ή άλλο ασταθή κλάδο ασυµπτωτικής καµπύλης και η ίδια α- 19 main island of stability

31 0 Εισαγωγικά στοιχεία µη γραµµικής δυναµικής Σχήµα 1.5: Σχηµατική αναπαράσταση µιας τοµής Poincaré ενός µη ολοκληρώσιµου συστή- µατος δύο ϐαθµών ελευθερίας. παγόρευση ισχύει για τις ευσταθείς ασυµπτωτικές καµπύλες. Ως αποτέλεσµα, οι ασυµπτωτικές καµπύλες αναδιπλώνονται και περιελίσσονται µεταξύ τους δηµιουργώντας περίπλοκες δοµές στο χώρο που καλύπτουν. Ωστόσο, οι ασταθείς και οι ευσταθείς ασυµπτωτικές καµπύλες τέµνονται. Για αρκούντως µικρή διαταραχή έ- χουµε τοµές των ασυµπτωτικών καµπύλων της ίδιας ασταθούς περιοδικής τροχιάς. Οι τοµές σε µια τέτοια περίπτωση ονοµάζονται οµοκλινικές. Κάθε τροχιά µε αρχικές συνθήκες πάνω σε µια ασυµπτωτική καµπύλη απεικονίζεται µε ϕαινοµενικά ακανόνιστο τρόπο. Λόγω αυτής της ακανόνιστης απεικόνισης οι τροχιές εµφανίζουν χάος. Το χάος, στην περίπτωση που υπάρχουν οµοκλινικές τοµές, ονοµάζεται οµοκλινικό. Αυξάνοντας τη διαταραχή διαλύονται όλο και περισσότερες καµπύλες KAM, ειδικότερα δε οι καµπύλες KAM που εµποδίζουν την επικοινωνία µεταξύ γειτονικών συντονισµών. Σε ορισµένη κρίσιµη τιµή της διαταραχής διαλύεται και η τελευταία καµπύλη KAM µεταξύ δύο συντονισµών. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα να µπορούν να τµηθούν και οι ασταθείς µε τις ευσταθείς ασυµπτωτικές καµπύλες που προέρχονται από διαφορετικές περιοδικές τροχιές. Τέτοιες τοµές ονοµάζονται ετεροκλινικές. Στην περίπτωση του σχήµατος 1.5, ετεροκλινικές τοµές ϑα υπάρξουν όταν σπάσουν όλες οι καµπύλες KAM µεταξύ του συντονισµού µε περίοδο 3 και αυτού µε περίοδο. Στην περίπτωση αυτή ο χώρος που καθορίζεται από τον κάθε συντονισµό δεν είναι πλέον διακριτός. Το ϕαινόµενο αυτό ονοµάζεται επικάλυψη συντονισµών 0 (Rosenbluth et al., 1966 Contopoulos, 1967 Chirikov, 1979). Το χάος, όταν υπάρχουν ετεροκλινικές τοµές, ονοµάζεται ετεροκλινικό. Εποµένως, παρατηρώντας τις απεικονίσεις µιας τροχιάς πάνω σε µια επιφάνεια 0 resonance overlap

32 1.6 Μέθοδοι ανίχνευσης του χάους 1 ΧΑoΤΙΚΉ oργανωμένη Σχήµα 1.6: Σχηµατική αναπαράσταση των απεικονίσεων µιας οργανωµένης (µαύρα σηµεία) και µιας χαοτικής (γκρίζα σηµεία) τροχιάς πάνω σε µια τοµή Poincaré. τοµής µπορούµε να καταλάβουµε τη ϕύση της τροχιάς. Αν η τροχιά εµφανίζεται ακανόνιστη πάνω στην τοµή είναι χαοτική, ενώ αν εµφανίζεται να ακολουθεί κάποια κανονικότητα συµπεραίνουµε ότι είναι οργανωµένη (σχήµα 1.6). Η εποπτική µέ- ϑοδος, αν και απλή, εµπεριέχει το υποκειµενικό κριτήριο της κανονικότητας. Για το λόγο αυτό αναπτύχθηκαν επιπλέον εργαλεία τα οποία αποσκοπούν στη διάκριση των χαοτικών τροχιών από τις οργανωµένες τροχιές. Τα εργαλεία αυτά ϑα εξετάσουµε στις δύο επόµενες ενότητες Ανάλυση συχνοτήτων Στην ενότητα 1.4 αναφέρθηκε ότι όταν ένα µη εκφυλισµένο ολοκληρώσιµο σύστηµα µπορεί να εκφρασθεί σε µεταβλητές γωνίας δράσης, τότε κάθε τροχιά του συστήµατος έχει τόσες συχνότητες ω i όσοι είναι και οι ϐαθµοί ελευθερίας του. Οι συχνότητες αυτές υπολογίζονται αριθµητικά εφαρµόζοντας ανάλυση κατά Fourier σε µία τροχιά µιας αναλλοίωτης καµπύλης. 1 Σε ένα µη ολοκληρώσιµο σύστηµα, όπου συνυπάρχει χάος και τάξη, οι καµπύλες KAM διατηρούν την ιδιότητα να αντιστοιχούν σε τροχιές των οποίων το ϕάσµα συντίθεται από διακριτές συχνότητες. Αντίθετα, οι χαοτικές τροχιές δε διαθέτουν εν γένει διακριτές συχνότητες, αλλά συνεχές ϕάσµα συχνοτήτων (ϑόρυβο). ιακριτές συχνότητες που ενδέχεται να παρατηρηθούν στο ϕάσµα των χαοτικών τροχιών οφείλονται στο γεγονός ότι οι χαοτικές τροχιές για πεπερασµένο χρόνο µπορούν να προσκολληθούν σε παρακείµενες καµπύλες KAM. Η µέθοδος διαχωρισµού των τροχιών σε χαοτικές και οργανωµένες µέσω του ϕάσµατος των συχνοτήτων χρησιµοποιήθηκε αρχικά στη ϕυσικοχηµεία (Noid et al., 1977) και αργότερα στην αστρονοµία (Binney and Spergel, 198). Σηµαντική ϐελτίωση 1 Αν f(t) : R C είναι µια ολοκληρώσιµη συνάρτηση, τότε το ϕάσµα των συχνοτήτων ω δίνεται από τη συνάρτηση: ω R. 1 S(ω) = lim T T T T f(t)e iωt dt

33 Εισαγωγικά στοιχεία µη γραµµικής δυναµικής της µεθόδου πραγµατοποιήθηκε από το Laskar (1993) και λίγο αργότερα από τους Sidlichovsky και Nesvorny (1996). Μια µέθοδος ανίχνευσης του χάους σε συστήµατα δύο ϐαθµών ελευθερίας, η οποία ϐασίζεται στην προηγουµένη περιγραφή χωρίς ωστόσο να εφαρµόζει άµεσα ανάλυση κατά Fourier των τροχιών, είναι αυτή του αριθµού περιστροφής (Contopoulos, 1967, 1971). Ο αριθµός περιστροφής ν θ είναι η µέση τιµή των γωνιών περιστροφής θ i κατά µήκος µιας αναλλοίωτης καµπύλης, κανονικοποιηµένη στη µονάδα: 1 N ν θ = lim θ i. (1.49) N 0 πn Για να υπολογισθούν οι γωνίες περιστροφής ϐρίσκουµε πρώτα το σταθερό σηµείο x s γύρω από το οποίο έχει σχηµατισθεί η κύρια νησίδα. Σε πολλές περιπτώσεις το x s είναι κοντά στο γεωµετρικό κέντρο της κύριας νησίδας. Ορίζοντας το διάνυσµα ϑέσης R i = x i x s του σηµείου x i ως προς το x s στην επιφάνεια τοµής, υπολογίζουµε τις γωνίες θ i angle(r i+1,r i ) µεταξύ διαδοχικών απεικονίσεων µιας τροχιάς πάνω στην επιφάνεια τοµής. Στις οργανωµένες τροχιές ο αριθµός περιστροφής εκφράζει το λόγο των δύο συχνοτήτων ω 1, ω : i=1 ν θ = ω 1 ω. (1.50) Σε ένα ολοκληρώσιµο σύστηµα εν γένει οι συχνότητες ω i είναι συναρτήσεις µόνο των δράσεων (ϐλ. σχέση (1.30) ) και ο αριθµός περιστροφής ν θ είναι συχνά µονότονη συνάρτηση της απόστασης από το κέντρο x s. Η συνάρτηση αυτή ονοµάζεται καµπύλη περιστροφής 3. Οι συχνότητες ω 1, ω ορίζονται µόνο για τις οργανωµένες τροχιές. Σε µη ολοκλη- ϱώσιµα συστήµατα, το ϑεώρηµα KAM προβλέπει ότι οι χαοτικές Ϲώνες που ορίζονται από ασταθείς περιοδικές τροχιές αλυσίδων Birkhoff καλύπτουν πυκνά την επιφάνεια τοµής στο εσωτερικό µιας νησίδας ευστάθειας, παρά το γεγονός ότι το µέτρο τους είναι µικρό σε σχέση µε το µέτρο των καµπύλων KAM, Άρα σε µη ολοκληρώσιµα συστήµατα δε µπορεί να ορισθεί αυστηρά µία καµπύλη περιστροφής. Οµως, σε περιοχές της επιφάνειας τοµής όπου οι οργανωµένες τροχιές κυριαρχούν, οι τι- µές των ν θ ως συνάρτηση της απόστασης από το κέντρο της κύριας νησίδας ορίζουν προσεγγιστικά µια λεία καµπύλη, οπότε µπορούµε να ορίσουµε την καµπύλη πε- ϱιστροφής κατά προσέγγιση. Η προσεγγιστική καµπύλη περιστροφής είναι γνησίως µονότονη για τις καµπύλες KAM που περικλείουν το κέντρο της νησίδας, στις οποίες ο ν θ λαµβάνει άρρητες τιµές. Στις δύο διαστάσεις ο όρος περικλείει ισοδυναµεί µε την έκφραση ότι η περικλείουσα τροχιά είναι µια κλάση υψηλότερη από ότι είναι η περικλειόµενη. Μία τροχιά κλάσης (i+1) είναι αυτή που περιστρέφεται γύρω από µια περιοδική τροχιά κλάσης i µε κάποια συγκεκριµένη συχνότητα (Meiss, 1986). Η γνησίως µονότονη εξέλιξη της καµπύλης περιστροφής διακόπτεται από νησίδες ευσταθών περιοδικών τροχιών οι οποίες περικλείουν το κέντρο x s. Η τιµή του ν θ στις περιπτώσεις αυτές είναι ϱητή και σταθερή για όλες τις οργανωµένες τροχιές που ανήκουν στη νησίδα, δηµιουργώντας έτσι «πλατώ» στην καµπύλη περιστροφής (Laskar et al., 199 Voglis and Efthymiopoulos, 1998 Contopoulos, 00). Επιπλέον, οι περιοχές όπου κυριαρχεί το χάος χαρακτηρίζονται από στοχαστική διακύµανση των rotation number 3 rotation curve

34 1.6 Μέθοδοι ανίχνευσης του χάους 3 τιµών του ν θ, όπως αυτές υπολογίζονται από τη (1.49). Στις περιοχές αυτές γίνεται εµφανές ότι η καµπύλη περιστροφής δεν είναι λεία. Συνοπτικά, ο αριθµός περιστροφής µπορεί να διακρίνει a) τις καµπύλες KAM (γνησίως µονότονη εξέλιξη της καµπύλης περιστροφής), b) τις νησίδες, που περικλείουν το κέντρο της κύριας νησίδας x s (πλατώ) και c) τις χαοτικές τροχιές (στοχαστική διακύµανση των τιµών του ν θ ). a 0.85 b y 0. y x c x d c ΝΦ 0.35 c1 ΝΦ 0.31 c c x x Σχήµα 1.7: ((a) Η τυπική απεικόνιση (3.1) για K = 3.5. Η ευθεία συµπαγής γραµµή αντιστοιχεί σε ευθύγραµµο τµήµα πάνω στην ευθεία y = x 1. (b) Εστίαση σε τµήµα του διαγράµµατος (a) από όπου περνά η ευθεία y = x 1. (c) Ο αριθµός στροφής ν φ συναρτήσει του x για σάρωση που πραγµατοποιήθηκε κατά µήκος της y = x 1. Το c1 υποδεικνύει το σχηµατισµό U µιας κλάσης 1 νησίδας. d) Εστίαση στο διάγραµµα (c) στην περιοχή του c1. Τα c υποδεικνύουν τις ϑέσεις νησίδων κλάσης. Ο αριθµός περιστροφής είναι ένας εξαιρετικά χρήσιµος δείκτης και χρησιµοποιείται στο κεφάλαιο 5, ωστόσο δεν επαρκεί προκειµένου να αποκαλυφθεί όλη η πολυπλοκότητα του ϕασικού χώρου ενός συστήµατος δύο ϐαθµών ελευθερίας. Η λεπτοµερέστερη δοµή του χώρου αποκαλύπτεται µε τη µέθοδο του αριθµού στροφής 4 (Voglis and Efthymiopoulos, 1998). Ο αριθµός στροφής ν φ είναι η µέση τιµή των 4 twist number

35 4 Εισαγωγικά στοιχεία µη γραµµικής δυναµικής γωνιών στροφής φ i κανονικοποιηµένη στη µονάδα: 1 ν φ = lim N 0 πn N φ i. (1.51) i=1 Αν ϑεωρήσουµε τα διανύσµατα απόκλισης ξ i, ξ i+1 δύο διαδοχικών απεικονίσεων µιας τροχιάς πάνω σε µια επιφάνεια τοµής, τότε ως γωνία στροφής ορίζεται η γωνία φ i που σχηµατίζουν τα δύο αυτά διανύσµατα. Οι τιµές του αριθµού περιστροφής και του αριθµού στροφής για τις καµπύλες KAM που περιβάλλουν το κέντρο x s µιας νησίδας ταυτίζονται (Voglis and Efthymiopoulos, 1998). Για τις χαοτικές περιοχές, αν και η συµπεριφορά τόσο των γωνιών στροφής όσο και των γωνιών περιστροφής είναι στοχαστική, οι τιµές που λαµβάνουν οι δύο δείκτες εν γένει διαφέρουν. Η ϐασική διαφορά των δύο δεικτών εµφανίζεται όταν αυτοί εφαρµοστούν στις νησίδες που περι- ϐάλλουν το κέντρο x s. Αντί για το πλατώ που χαρακτηρίζει τον αριθµό περιστροφής στην περιοχή µιας αλυσίδας νησίδων, ο αριθµός στροφής εµφανίζει, ως συνάρτηση της απόστασής του από το κέντρο, σχήµατα που ονοµάζονται «σχηµατισµοί U» 5 (Voglis and Efthymiopoulos, 1998). Ενας σχηµατισµός U περιέχει µέσα του και άλλους σχηµατισµούς U από νησίδες που έχουν σχηµατιστεί γύρω από περιοδικές τροχιές υψηλότερης κλάσης. Οι δευτερεύοντες σχηµατισµοί U εµπεριέχουν τριτεύοντες σχηµατισµούς και ούτω καθεξής. Εποµένως, το πλεονέκτηµα του αριθµού στροφής είναι ότι µας επιτρέπει να διακρίνουµε τη λεπτοµερή δοµή µέσα στις νησίδες, όπως ϕαίνεται στο σχήµα 1.7d. Βλέπουµε ότι κυριαρχεί ένας σχηµατισµός U µε τα κοίλα προς τα άνω, ο οποίος αντιστοιχεί σε µια από τις 3 νησίδες που σχηµατίζονται γύρω από την ευσταθή περιοδική τροχιά κλάσης 1 (c1) περιόδου 3. Τη ϑέση της εν λόγω νησίδας στο ϕασικό χώρο τη διακρίνουµε στο σχήµα 1.7a, όπου η νησίδα τέµνεται από το ευθύγραµµο τµήµα της ευθείας y = x 1. Η νησίδα ευστάθειας έχει αναπτυχθεί γύρω από την ευσταθή περιοδική τροχιά κλάσης 1 περιόδου 3. Σα- ϱώνοντας την ευθεία y = x 1 για την εύρεση του αριθµού στροφής ν φ παράγουµε το σχήµα 1.7c, στο οποίο µε c1 σηµειώνεται η ϑέση της νησίδας. Εστιάζοντας στη ϑέση c1 προκύπτει το σχήµα 1.7d στο οποίο εκτός από τη c1 διακρίνονται πλέον και σχηµατισµοί U µε τα κοίλα προς τα κάτω οι οποίοι αντιστοιχούν σε νησίδες γύρω α- πό περιοδικές τροχιές κλάσης (c). Οι νησίδες γύρω από τις κλάσης περιοδικές τροχιές ϕαίνονται στο σχήµα 1.7b, στο οποίο παρουσιάζεται σε µεγέθυνση ο ϕασικός χώρος γύρω από την ευθεία σάρωσης στην περιοχή της c1. Οµοίως, εστιάζοντας σε µία από τις c µπορούµε να ϐρούµε νησίδες που ανήκουν σε περιοδικές τροχιές κλάσης 3. Ο αριθµός στροφής, όπως είδαµε, ϐασίζεται τόσο στις ιδιότητες των τροχιών στο χώρο των συχνοτήτων, αλλά και στις ιδιότητες του εφαπτοµενικού χώρου των τροχιών. Με αυτό τον τρόπο καθίσταται ένας συνδετικός κρίκος για να µεταβούµε στην επόµενη υποενότητα, όπου ϑα παρουσιαστούν δείκτες χαοτικότητας οι οποίοι ϐασίζονται στις ιδιότητες των διανυσµάτων απόκλισης είκτες ϐασισµένοι στα διανύσµατα απόκλισης Τα διανύσµατα απόκλισης είναι µικρές γραµµικές διαταραχές των τροχιών ενός δυναµικού συστήµατος (ϐλ. ενότητα 1.5). Η συρρίκνωση και η διαστολή των διανυσµάτων απόκλισης σχετίζεται µε την ευστάθεια των τροχιών. Η ιδιότητα αυτή των 5 Οι σχηµατισµοί U (U shape) µπορούν να έχουν τα κοίλα προς τα άνω ή προς τα κάτω

36 1.6 Μέθοδοι ανίχνευσης του χάους 5 διανυσµάτων απόκλισης µελετήθηκε για πρώτη ϕορά από το Lyapunov (189). Επιπλέον, όπως αναλύεται στο κεφάλαιο της διατριβής, η συρρίκνωση και η διαστολή των διανυσµάτων αυτών σχετίζεται µε την εντροπία και την απώλεια πληροφορίας σε συστήµατα που παρουσιάζουν χάος. Οι δείκτες που δείχνουν τη µέση συρ- ϱίκνωση ή διαστολή των διανυσµάτων απόκλισης είναι οι χαρακτηριστικοί εκθέτες Lyapunov (LCE) 6. Ο Oseledec (1968) ϑεµελίωσε τη ϑεωρία των LCE µέσω του ο- µώνυµου ϑεωρήµατος 7 του, αλλά ο τρόπος αριθµητικού υπολογισµού των LCE, ο οποίος παρουσιάζεται στην ενότητα.1, δόθηκε από τους Benettin et al. (1980). Ενα κλασικό εργαλείο για την ανίχνευση του χάους είναι ο χαρακτηριστικός αριθµός Lyapunov (LCN) 8 ο οποίος ορίζεται ως: όπου: LCN = lim t sup χ(t), (1.5) χ(t) = 1 t ln ξ(t) ξ(0) (1.53) είναι ο LCN πεπερασµένου χρόνου (FLCN) 9. Στη σχέση (1.53) συµβολίζουµε µε ξ(t) το µέτρο του διανύσµατος απόκλισης στο χρόνο t και µε ξ(0) στο χρόνο t = 0. Οι τροχιές µε LCN > 0 καλούνται χαοτικές, ενώ οι τροχιές µε LCN = 0 καλούνται οργανωµένες. Σε χαοτικές τροχιές ο LCN αντιστοιχεί στο µέγιστο LCE. Σε αριθµητικούς υπολογισµούς ο µέγιστος LCE προκύπτει από το FLCN υπολογισµένο για αρκούντως µεγάλο χρονικό διάστηµα, ώστε να έχει επιτευχθεί στην πράξη η σύγκλιση στο όριο (1.5). Μια ποσότητα, η οποία µετρά τη µέση τοπική διαστολή (ή αντίστοιχα συστολή) των διανυσµάτων απόκλισης κατά µήκος µιας τροχιάς, είναι ο αριθµός διαστολής 30 (Voglis and Contopoulos, 1994), καλούµενος και χαρακτηριστικός δείκτης Lyapunov 31 (Froeschlé et al., 1993): sn(t) = ln ξ(t + t) ξ(t) (1.54) όπου t µικρό πεπερασµένο χρονικό διάστηµα. Η µέση τιµή του αριθµού διαστολής κατά µήκος µιας τροχιάς για άπειρο χρόνο ισούται µε το LCN και για πεπερασµένο χρόνο µε το FLCN (Voglis and Contopoulos, 1994). Εποµένως, η µέση τιµή του αριθµού διαστολής για τις χαοτικές τροχιές τείνει σε µια συγκεκριµένη αυστηρά ϑετική τιµή, ενώ για τις οργανωµένες τείνει στο 0. Η µέγιστη τιµή του αθροίσµατος των αριθµών διαστολής κατά µήκος µιας τροχιάς σε ένα πεπερασµένο χρόνο ορίζει την αναθεωρηµένη µορφή του ταχέως δείκτη Lyapunov (FLI) 3 (Froeschlé and Lega, 000). 33 Η αναθεωρηµένη µορφή του FLI 6 Lyapunov Characteristic Exponents 7 Το ϑεώρηµα Oseledec είναι γνωστό και ως Multiplicative Ergodic Theorem 8 Lyapunov Characteristic Number 9 Finite time Lyapunov Characteristic Number 30 stretching number 31 Lyapunov characteristic indicator 3 Fast Lyapunov Indicator 33 Η πρώτη µορφή του FLI εµφανίσθηκε στη ϐιβλιογραφία στο άρθρο (Froeschlé et al., 1997)

37 6 Εισαγωγικά στοιχεία µη γραµµικής δυναµικής δίνεται από τη σχέση: FLI = sup{ln ( ξ(t)/ξ(0) ), 0 t T }. (1.55) Στην περίπτωση µιας οργανωµένης τροχιάς οι αποκλίσεις µεγαλώνουν γραµµικά έτσι ώστε ln ( ξ(t)/ξ(0) ) ln t, ενώ σε χαοτικές τροχιές που οι αποκλίσεις µεγαλώνουν εκθετικά ln ( ξ(t)/ξ(0) ) t. Στην πράξη µπορεί να τεθεί ένα κατώφλι στην τιµή του FLI, για παράδειγµα FLI 0 (T) = ln 10 + ln T, το οποίο αντιστοιχεί σε ένα διάνυσµα απόκλισης µεγαλύτερο κατά ένα παράγοντα 10 από ένα διάνυσµα απόκλισης το οποίο ακολουθεί µία γραµµική αύξηση έως το χρόνο t = T. Εάν FLI > FLI 0 η τροχιά χαρακτηρίζεται χαοτική, διαφορετικά χαρακτηρίζεται οργανωµένη. Ο FLI εξετάζεται στη ενότητα 3. µαζί µε το δείκτη µέσης εκθετικής εξέλιξης γειτονικών τροχιών (MEGNO) 34 (Cincotta and Simó, 000). Ο ορισµός του MEGNO για συνεχή συστήµατα είναι: Y (T) = T T 0 ξ(t) tdt (1.56) ξ(t) όπου στην περίπτωση των απεικονίσεων το ξ(t) αντικαταστάται από την πεπερασµένη διαφορά των αποκλίσεων ξ στα διαδοχικά χρονικά ϐήµατα. Η µέση τιµή < Y > για οργανωµένες τροχιές συγκλίνει ασυµπτωτικά στην τιµή, ενώ για χαοτικές τροχιές, αν οι αποκλίσεις ξ(t) αυξάνουν εκθετικά, η τιµή του < Y > µεγαλώνει γραµµικά µε το χρόνο ενώ αν οι αποκλίσεις ακολουθούν κατά µέσο όρο ένα νόµο δύναµης ξ(t) t p στο διάστηµα 0 t T, η εξίσωση (1.56) αποδίδει τη µέση τιµή του MEGNO < Y >= p. Μια ακόµα ενδιαφέρουσα εφαρµογή του αριθµού διαστολής, η οποία λειτουργεί ως δείκτης χαοτικότητας σε δυναµικά συστήµατα που έχουν από δύο ϐαθµούς ελευθερίας και πάνω, είναι η ϕασµατική απόσταση 35 (Voglis et al., 1998). Ως κατανοµή S(sn) του ϕάσµατος του αριθµού διαστολής sn ορίζουµε το πλήθος dn(sn) των σηµείων µια τροχιάς των οποίων οι αριθµοί διαστολής λαµβάνουν τιµές εντός του πεδίου [sn, sn + dsn) προς το συνολικό πλήθος σηµείων που εξετάστηκαν, N, διαιρεµένο µε το απειροστό διάστηµα dsn S(sn) = dn(sn) Ndsn. (1.57) Ως ϕασµατική απόσταση ορίζουµε το τετράγωνο της διαφοράς δύο κατανοµών του ϕάσµατος διαστολής µιας τροχιάς, όταν οι κατανοµές διαφέρουν ως προς την επιλογή της αρχικής διεύθυνσης του αρχικού διανύσµατος απόκλισης ξ 0. Συγκεκριµένα, αν η προκύπτουσα κατανοµή ϕάσµατος για αρχικά διανύσµατα απόκλισης ξ 0,1, ξ 0, είναι S 1 (sn) και S (sn) αντίστοιχα, ως ϕασµατική απόσταση DS ορίζεται η ποσότητα: DS sn = snmax sn min (S (sn) S 1 (sn)) dsn (1.58) όπου τα άκρα της ολοκλήρωσης ορίζονται από τα άκρα του πεδίου τιµών [sn min, sn max ] µέσα στο οποίο κυµαίνονται οι τιµές του αριθµού διαστολής. Υπολογίζοντας τη ϕα- 34 Mean Exponential Growth of Nearby Orbits 35 Spectral Distance

38 1.6 Μέθοδοι ανίχνευσης του χάους 7 σµατική απόσταση ως συνάρτηση του χρόνου για τις χαοτικές τροχιές, παρατηρούµε ότι DS sn 0 µε ένα µέσο ϱυθµό που είναι ανάλογος του t, ενώ για τις οργανω- µένες τροχιές η τιµή του DS sn µετά από ένα πεπερασµένο χρόνο σταθεροποιείται σε µια τιµή διάφορη του µηδενός (Voglis et al., 1999). Η παραπάνω συµπεριφορά οφείλεται στις ακόλουθες ιδιότητες του διανύσµατος απόκλισης: Εστω οργανωµένη τροχιά που εξελίσσεται πάνω σε τόρο τουλάχιστον διάστασης. Ανεξάρτητα από την επιλογή του αρχικού διανύσµατος ξ 0, το διάνυσµα απόκλισης τείνει να γίνει εφαπτο- µενικό στον τόρο. Εν γένει, δύο διαφορετικά αρχικά διανύσµατα απόκλισης ξ 0,1, ξ 0, τείνουν να γίνουν εφαπτοµενικά σε δύο διαφορετικές διευθύνσεις πάνω στον τόρο. Οι παραγόµενες ακολουθίες διανυσµάτων απόκλισης από τα αρχικά διανύσµατα ξ 0,1, ξ 0, διαφέρουν και εποµένως διαφέρουν και τα δυναµικά ϕάσµατα του αριθµού διαστολής. Αντίθετα, στις χαοτικές τροχιές, ανεξαρτήτως διάστασης, το διάνυσµα α- πόκλισης τείνει να γίνει εφαπτοµενικό προς τον πιο ασταθή κλάδο της πλησιέστερης πολλαπλότητας µιας ασταθούς περιοδικής τροχιάς και εποµένως παράγονται τα ίδια ϕάσµατα του αριθµού διαστολής (Voglis et al., 1998) ανεξάρτητα από τις διευθύνσεις των ξ 0,1, ξ 0,. Σε συστήµατα δύο διαστάσεων, όπως οι διδιάστατες απεικονίσεις, οι οργανωµένες τροχιές είναι µονοδιάστατες καµπύλες, εποµένως µετά από µία µικρή µεταβατική περίοδο δύο διανύσµατα απόκλισης που διαφέρουν ως προς την αρχική τους διεύθυνση τείνουν να γίνουν εφαπτοµενικά προς την αναλλοίωτη καµπύλη µε παράλληλη είτε αντιπαράλληλη κατεύθυνση, χωρίς όµως αυτό το γεγονός να επη- ϱεάζει τις τιµές του αριθµού διαστολής, και εποµένως η ϕασµατική απόσταση τείνει και αυτή στο µηδέν (Voglis et al., 1998). Στις παραπάνω ιδιότητες ϐασίζεται και ο δείκτης της µικρότερης ευθυγράµµισης (SALI) 36 (Skokos, 001), ή απλά δείκτης ευθυγράµµισης (AI) 37 (Voglis et al., 00). Αν ξ 1 (t), ξ (t) είναι η χρονική εξέλιξη δύο αρχικών διανυσµάτων απόκλισης ξ 0,1, ξ 0,, ο δείκτης SALI λαµβάνει την τιµή του µέτρου της διαφοράς των δύο διανυσµάτων απόκλισης ξ 1, ξ, αν τα δύο διανύσµατα απόκλισης τείνουν να γίνουν πα- ϱάλληλα, και το µέτρο του αθροίσµατος, αν αυτά τείνουν να γίνουν αντιπαράλληλα. Ο δείκτης SALI, εφαρµοζόµενος σε συστήµατα µε τουλάχιστον δύο ϐαθµούς ελευ- ϑερίας, τείνει στο µηδέν για τις χαοτικές τροχιές, ενώ για τις οργανωµένες τροχιές, µετά από συγκεκριµένο χρόνο, τείνει εν γένει να σταθεροποιηθεί µε µια κύµανση γύρω από µία µη µηδενική τιµή. Οι Skokos et al. (007) γενίκευσαν το δείκτη ευθυγράµµισης χρησιµοποιώντας περισσότερα από δύο διανύσµατα απόκλισης (GALI) 38. Το ϐασικό πλεονέκτηµα του γενικευµένου δείκτη GALI είναι ότι σε πολυδιάστατα δυναµικά συστήµατα ϐρίσκει τη διάσταση του τόρου πάνω στον οποίο εξελίσσεται µια οργανωµένη τροχιά. Ολοι οι παραπάνω δείκτες έχουν ορισθεί στα πλαίσια της κλασικής µηχανικής. Οπως ϑα δούµε στο κεφάλαιο 4, για να ανιχνεύσουµε το χάος στα πλαίσια της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας πρέπει οι δείκτες αυτοί να τροποποιηθούν κατάλληλα ώστε να είναι αναλλοίωτοι κάτω από χωρικούς και χρονικούς µετασχηµατισµούς. Στην ενότητα 4. παρουσιάζονται κάποιες από τις µεθόδους που έχουν προταθεί έως τώρα, µαζί µε τα προβλήµατα που συναντάµε στη γενίκευση αυτή. 36 Smaller Alignment Index 37 Alignment Index 38 Generalized Alignment Index

39 8 Εισαγωγικά στοιχεία µη γραµµικής δυναµικής

40 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο Η εντροπία Τσάλλη και το χάος.1 Εντροπία και η εξέλιξη των διανυσµάτων απόκλισης Στην ενότητα αυτή ϑα δούµε ότι οι λύσεις των εξισώσεων µεταβολών ενός δυνα- µικού συστήµατος σχετίζονται όχι µόνο µε την ανίχνευση και ποσοτικοποίηση του χάους, όπως είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο, αλλά επίσης και µε την έννοια της εντροπίας. Η συσχέτιση αυτή γίνεται εύκολα κατανοητή µέσα από ένα σχηµατικό παράδειγµα ενός συστήµατος µε διδιάστατο ϕασικό χώρο (σχήµα.1). Σε όλα τα διαγράµµατα του σχήµατος.1 η αρχή Ο (0, 0) παριστά ένα ασταθές σηµείο ισορ- ϱοπίας. Για απλότητα, τα ιδιοανύσµατα του µονόδροµου πίνακα στο Ο, τα οποία αντιστοιχούν σε µια απεικόνιση της τροχιακής ϱοής µετά από περίοδο χρόνου T, ϑεωρούνται ορθογώνια, µε ιδιοτιµές λ 1 (T), λ (T) πραγµατικές και ϑετικές. Οι άξονες είναι παράλληλοι στα ορθογώνια ιδιοανύσµατα. Ας ϑεωρήσουµε αρχικά µια µη-διατηρητική περίπτωση στην οποία λ 1 (T) και λ (T) είναι µεγαλύτερα της µονάδας π.χ. σχήµα.1a, όπου έχουν τεθεί λ 1 (T) = 3, λ (T) =. Εστω επιπλέον µια διαµέριση του ϕασικού χώρου στη γειτονία του Ο σε έναν αριθµό τετράγωνων κελίων µε πλευρά δ. Η τιµή του δ µπορεί να αντιπροσωπεύει ένα όριο όσο αφορά τη γνώση µας για τη ϑέση της τροχιάς λόγω πειραµατικής, αριθµητικής ή άλλης πηγής αβεβαιότητας. Το γκρίζο κελίο, επιφάνειας V 0 = δ, αντιπροσωπεύει ένα σύνολο αρχικών συνθηκών οι οποίες είναι στη «γειτονία» της αρχικής συνθήκης x(0) µέσα στο κελίο. Στο χρόνο T, η τροχιά και οι γειτονικές τροχιές απεικονίζονται αντίστοιχα στο µαύρο σηµείο και στα έξι γκρίζα κελία που παρουσιά- Ϲονται στο σχήµα.1b. ιερωτώµενοι εάν η τροχιά είναι στην πάνω ή κάτω, αριστερή ή δεξιά οµάδα κελίων, καταλήγουµε, µετά από 3 ερωτήσεις της εν λόγω µορφής και απαντήσεις της δυαδικής µορφής «ναι ή όχι», στο να εντοπίσουµε επακριβώς σε ποίο κελίο το κινούµενο σηµείο είναι τοποθετηµένο. Με αυτό τον τρόπο µπορεί να αποκτηθεί η µέγιστη δυνατή πληροφορία για τη ϑέση του κινούµενου σηµείου στο ϕασικό χώρο δοθέντος του ορίου ακριβείας δ. Ο αριθµός των ερωτήσεων που απαιτούνται για να αποκτηθεί η πληροφορία ονοµάζεται εντροπία κατά Shannon (Schuster, 1995). Ασυµπτωτικά (στο όριο των πολλών κελίων), η εντροπία Shannon δίνεται από το λογάριθµο της ποσότητας d = V (T)/V (0), όπου V (T) είναι το συνολικό εµβαδό (όγκος) των κατειληµµένων (γκρίζων) κελίων στο χρόνο T και V (0) είναι το εµβαδό (όγκος) του αρχικού κελίου στο χρόνο 0. Η σχέση αυτή µπορεί να συνδεθεί µε τις ιδιοτιµές του µονόδροµου πίνακα στο Ο µέσω της σχέσης V (T) = λ 1 (T)λ (T)δ, έτσι ώστε S shan = ln d = ln(v (T)/V (0)) = ln λ 1 (T) + ln λ (T). Εάν τα κελία ερ- µηνευτούν σαν µικροκαταστάσεις, η εντροπία Shannon ισοδυναµεί µε τη συνήθη εντροπία Boltzmann Gibbs S BG = ln d. Ο µέσος ϱυθµός αύξησης της εντροπίας

41 30 Η εντροπία Τσάλλη και το χάος 4 a 4 b x c 4 d x Σχήµα.1: Σχηµατική αναπαράσταση της ανάπτυξης των τροχιών στη γειτονία ενός υπερβολικού σταθερού σηµείου (αρχή των αξόνων) στην περίπτωση ενός µη διατηρητικού διδιάστατου δυναµικού συστήµατος (a,b), και ενός διατηρητικού συστήµατος (c,d) (δείτε το κείµενο για λεπτοµέρειες). Οι αριθµητικές τιµές στους άξονες συντεταγµένων είναι πολλαπλάσια του δ. Boltzmann Gibbs δίνεται από τη σχέση: S BG T S Shan T = 1 T ln λ 1(T) + 1 T ln λ (T) = 1 T ( ln(ξ1 (T)/ξ 1 (0)) + ln(ξ (T)/ξ (0)) ) (.1) όπου ξ 1 (T),ξ (T) είναι οι απεικονίσεις σε χρόνο T των δύο αρχικών διανυσµάτων απόκλισης ξ 1 (0) = (δ, 0), ξ (0) = (0, δ). Εάν, τώρα, ϑεωρήσουµε την ειδική περίπτωση ενός διατηρητικού συστήµατος, στην οποία οι ιδιοτιµές λ 1 (T) και λ (T) είναι εξ ορισµού αντίστροφες, τότε η απεικόνιση του συνόλου των τροχιών του αρχικού γκρίζου κελίου (σχήµα.1c, στο οποίο τέθηκε λ 1 (T) = 3, λ (T) = 1/3) είναι η πιο σκούρη γκρίζα περιοχή του παραλληλογράµµου που παρουσιάζεται στο σχήµα.1d. Οµως, η κατακόρυφη πλευρά του παραλληλογράµµου είναι τώρα µικρότερη από την ακρίβεια δ. Εποµένως, εάν

42 .1 Εντροπία και η εξέλιξη των διανυσµάτων απόκλισης 31 τεθούν οι ερωτήσεις ώστε να εντοπιστούν τα κελία στα οποία η τροχιά έχει ϐρεθεί, η α- νίχνευση περιορίζεται σε ένα µικρότερο αριθµό κελίων d = 3. Σε αυτή την περίπτωση προκύπτει ότι: S BG = ln d = ln λ 1 (T) S BG T = 1 T ln λ 1(T) = 1 T ln(ξ 1(T)/ξ 1 (0)). (.) Στο όριο του µεγάλου T η ποσότητα (1/T) lnλ k (T) = (1/T) ln(ξ k (T)/ξ k (0)), k = 1, αποδίδει το ϕάσµα, δηλαδή όλες τις δυνατές τιµές, του χαρακτηριστικού εκθέτη Lyapunov των τροχιών (στη γειτονία του O). Παρατηρείται ότι και στις δύο περιπτώσεις, είτε αυτής της εξίσωσης (.1) είτε αυτής της εξίσωσης (.), ο ϱυθµός αύξησης της εντροπίας Boltzmann Gibbs S BG /T δίνεται από το άθροισµα των ϑετικών χαρακτηριστικών εκθετών Lyapunov των τροχιών, το οποίο, σύµφωνα µε το ϑεώρηµα του Pesin (1977), ισούται µε την εντροπία Kolmogorov Sinai της τροχιακής ϱοής στη γειτονία του Ο. Αυτό σηµαίνει ότι η εντροπία Kolmogorov Sinai είναι, στην πραγµατικότητα, ένα µέτρο του ϱυθµού αύξησης της εντροπίας και όχι ένα µέτρο καθαυτής της εντροπίας. Ας δώσουµε τώρα µια πιο αυστηρή ϑεµελίωση της παραπάνω σχηµατικής περιγραφής. Εστω διαµέριση του n διάστατου ϕασικού χώρου M ενός διατηρητικού συστήµατος σε ένα µεγάλο αριθµό στοιχειωδών n διάστατων κύβων δ n µε µήκος ακµής δ > 0. Εστω x(0) είναι η αρχική συνθήκη µιας τροχιάς που ανήκει σε στοιχειώδη όγκο V 0 = ξ 01 ξ 0...ξ 0n, όπου ξ 0k, k = 1,..., n είναι η γραµµική διάσταση του V 0 σε ένα τοπικό ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων στη γειτονία του x(0). Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας τίθενται όλες οι αρχικές τιµές του ξ 0k ίσες, δηλαδή δ V 1/n 0 = ξ 0k, k. Ολες οι τροχιές µε αρχική συνθήκη εντός του V 0 ονοµάζονται «γειτονικές» στη τροχιά x(t) µε αρχική συνθήκη x(0). Λόγω της διατήρησης των όγκων, η τροχιακή ϱοή ορίζεται ως η απεικόνιση V 0 V (t) του αρχικού όγκου V 0 σε ίσους όγκους V (t) για κάθε χρονική στιγµή t. Ο στόχος είναι να ϐρεθεί µια εκτίµηση της χρονικής εξέλιξης της επικάλυψης των κελίων του M από τους όγκους V (t) µέσω των εξισώσεων µεταβολών της κίνησης. Για το σκοπό αυτό χρησιµοποιούµε το διάνυσµα ξ(t) = D t ξ 0, (.3) όπως στη (1.35), το οποίο είναι η λύση των εξισώσεων µεταβολών για ένα αρχικό διάνυσµα απόκλισης ξ 0. Ο γραµµικός τελεστής εξέλιξης D t εξαρτάται µόνο από την τροχιά x(t). Εστω ξ k(t) είναι η απεικόνιση του ξ 0k (k = 1,,..., n), υπό τη δράση του τελεστή D t, όπου τα ξ 0k ϑεωρούνται τοποθετηµένα κατά τη διεύθυνση k. Τα διανύσµατα {ξ k (t)} διαµορφώνουν µια πλήρη ϐάση του εφαπτοµενικού χώρου του M στο σηµείο x(t) εάν και µόνο εάν τα {ξ 0k } διαµορφώνουν µια πλήρη ϐάση του εφαπτοµενικού χώρου του M στο σηµείο x(0) και η τάξη του πίνακα D t είναι rank(d t ) = n. 1 Τα {ξ k (t)} δεν είναι κατ ανάγκη ορθογώνια ϐάση. Ωστόσο, από τα {ξ k(t)} είναι δυνατή η κατασκευή µιας νέας ορθογώνιας ϐάσης {ξ k (t)} µέσω της µεθόδου Gramm Shmidt (Benettin et al., 1980). Η καινούργια ϐάση δοµείται από 1 Π.χ. Strang (1988).

43 3 Η εντροπία Τσάλλη και το χάος την αναδροµική σχέση: ξ 1 (t) = ξ 1(t) k 1 ξ k (t) = ξ k(t) ν=1 (ξ k(t) ξ ν (t)) ξ ν(t) [ξ ν (t)]. (.4) Ο όγκος V (t) τώρα δίνεται από τη σχέση V (t) = ξ 1 (t)ξ (t)...ξ n (t). Εστω ότι V c (t) είναι µια αδροµερής εκτίµηση του όγκου V (t), έτσι ώστε ο όγκος V c (t) να καθορίζεται µόνο από εκείνα τα διανύσµατα των οποίων τα µήκη είναι µεγαλύτερα ή ίσα του δ, ενώ για τα υπόλοιπα διανύσµατα το µήκος αντικαθίσταται από την «ελάχιστη» τιµή δ, δηλαδή: V c (t) = ξ 1 (t)ξ (t)...ξ m (t)δ n m (.5) όπου το m ορίζεται µέσω της συνθήκης m = sup{m : ξ k (t) δ για κάθε k = 1,..., m }, δηλαδή m είναι το πλήθος των ξ k (t) που είναι µεγαλύτερα ή ίσα του δ. Οταν t = 0, τότε ξ 0k = δ άρα m = n και V c (0) = V (0) = δ n. Η εντροπία Boltzmann Gibbs ορίζεται ως S BG (t) ln W(t) = ln V c(t) V c (0) (.6) όπου το W(t) = ξ 1(t)ξ (t)...ξ m (t) δ m (.7) αποδίδει τον αριθµό των κελίων («µικροκαταστάσεων») που έχουν καταληφθεί από τον όγκο V c (t). Ο ϱυθµός αύξησης της εντροπίας (.6) για ένα σύνολο γειτονικών τροχιών συσχετίζεται µε το ϕάσµα των χαρακτηριστικών εκθετών Lyapunov της τροχιάς αναφοράς x(t). Οι χαρακτηριστικοί εκθέτες Lyapunov δίνονται από τη σχέση: 1 λ k lim t t ln ξ k(t) ξ k (0) = lim 1 t t ln ξ k(t) δ (.8) για όλα τα k = 1,...,n, εφόσον το όριο υπάρχει. Εστω ότι λ 1, λ,...λ m, 0 m n/ είναι το σύνολο των ϑετικών εκθετών του ϕάσµατος (.8). Σύµφωνα µε το ϑεώρηµα του Pesin (1977), το άθροισµα τους είναι ίσο µε την εντροπία Kolmogorov Sinai S KS της ϱοής των τροχιών που είναι γειτονικές στο x(t) (Kolmogorov, 1958 Sinai, 1968), δηλαδή: S KS = λ 1 + λ λ m. (.9) Ο µέσος ϱυθµός αύξησης της Boltzmann Gibbs εντροπίας έως το χρόνο t δίνεται από τη σχέση S BG (t)/t. Βάσει της εξίσωσης (.7), το όριο του ϱυθµού αυτού, για t είναι S BG lim t t 1 = lim t m t ln W = λ k = S KS. (.10) Εποµένως, στο όριο t η εντροπία Kolomogorov Sinai είναι ίση µε την ασυµπτωτική τιµή του µέσου ϱυθµού αύξησης της εντροπίας Boltzmann Gibbs. Ακριβή αριθµητικά παραδείγµατα της σχέσης αυτής έχουν δοθεί σε απεικονίσεις λίγων διαστάσεων (Latora and Baranger, 1999 Latora et al., 000). k=1

44 . Η εντροπία Τσάλλη και ο χαοτικός δείκτης APLE 33. Η εντροπία Τσάλλη και ο χαοτικός δείκτης APLE Θα στρέψουµε τώρα την προσοχή µας σε ένα άλλο είδος εντροπίας που έχει ορισθεί τα τελευταία χρόνια: την εντροπία Τσάλλη (Tsallis, 1988), η οποία χαρακτηρίζει δυναµικά συστήµατα µε «µετασταθή» συµπεριφορά, η οποία αποκλίνει σηµαντικά από την απλή περιγραφή της προηγούµενης παραγράφου. Η χρονική εξέλιξη της λεγόµενης q εντροπίας (Tsallis, 1988) για ένα σύνολο τροχιών µε αρχικές συνθήκες µέσα στον όγκο V 0 ορίζεται από τη σχέση: S q (t) = W(t)1 q 1 1 q. (.11) Σε αυτή την εξίσωση το q είναι µια σταθερή παράµετρος, γνωστή ως «εντροπικός δείκτης» q. Η χρησιµότητα της q-εντροπίας στο χαρακτηρισµό των στατιστικών ποσοτήτων της µη γραµµικής δυναµικής έχει παρουσιασθεί σε πλειάδα κατατοπιστικών παραδειγ- µάτων στη ϐιβλιογραφία (για µια περιεκτική επισκόπηση ϐλ. Tsallis et al. (00)). Παρακάτω ϑα αναφερθούµε σε συγκεκριµένες ιδιότητες της q-εντροπίας, οι οποίες πρωτοπαρουσιάσθηκαν στις δηµοσιεύσεις (Tsallis et al., 1997 Costa et al., 1997) και εξετάσθηκαν περαιτέρω στις (Lyra and Tsallis, 1998 Baranger et al., 000 Latora et al., 000). Οι συγγραφείς αυτοί έδειξαν ότι όταν ένα µη γραµµικό δυνα- µικό σύστηµα ϐρίσκεται σε περιοχή της αποκαλούµενης «παρυφής του χάους» ο ϱυθµός αύξησης της q-εντροπίας παραµένει σταθερός για αρκετά µεγάλο χρονικό διάστηµα. Η έννοια της παρυφής του χάους αναφέρεται στη χαοτική περιοχή που ϐρίσκεται στο όριο που διαχωρίζει τις οργανωµένες τροχιές από τις χαοτικές. Στην «παρυφή του χάους» εµφανίζεται ασθενές χάος, το οποίο χαρακτηρίζεται από τροχιές των οποίων οι χαρακτηριστικοί αριθµοί Lyapunov είναι πολύ µικροί. Οι Tsallis et al. (1997) υποστήριξαν ότι η συµπεριφορά της q-εντροπίας σχετίζεται µε την εµφάνιση ενός µεταβατικού νόµου δύναµης ξ(t) t p κατά τη χρονική εξέλιξη των αποκλίσεων γειτονικών τροχιών στην περιοχή του ασθενούς χάους, αντί της εκθετικής αύξησης ξ(t) e λt. Στην περίπτωση των διατηρητικών συστηµάτων, οι Baranger et al. (000) ϐρήκαν σταθερό ϱυθµό αύξησης της συνήθους εντροπίας Boltzmann Gibbs σε ισχυρά χαοτικά συστήµατα. Ωστόσο, όταν το χάος είναι ασθενές, εµφανίζεται ένα µεταβατικό χρονικό διάστηµα στο οποίο η q-εντροπία, αντί της εντροπίας Boltzmann Gibbs, παρουσιάζει σταθερό ϱυθµό αύξησης. Το ϕαινόµενο αυτό ϐρέθηκε αριθµητικά σε απεικονίσεις µικρού αριθµού διαστάσεων όταν το q λάµβανε συγκεκριµένη τιµή (π.χ. q 0.3 (Baldovin et al., 003, 004), q 0.1 (Añaños et al., 005)), και ονοµάστηκε «µετασταθής κατάσταση ισορροπίας» (Baldovin et al., 003). Οι προαναφερθέντες υπολογισµοί ϐασίζονται κυρίως στη µέθοδο «καταµέτρησης κελίων» 3. Ο ϕασικός χώρος χωρίζεται σε ένα αριθµό κελίων και η κατά µέσο ό- ϱο κάλυψη των κελίων υπολογίζεται µέσω της παρακολούθησης «πολλών ιστοριών» (Baldovin et al., 003), της εξέλιξης δηλαδή µιας µεγάλης συλλογής τροχιών, των οποίων οι αρχικές συνθήκες λαµβάνονται µέσα σε µια πολύ µικρή περιοχή (λόγου χάρη σε ένα κελίο µήκους ακµής 10, αν ο όγκος του ϕασικού χώρου περιγρά- ϕεται από ένα κύβο µε µήκος ακµής της τάξης της µονάδας). Η ευαισθησία των αρχικών συνθηκών ελέγχεται παρακολουθώντας γειτονικές τροχιές µε µικρή µεταξύ edge of chaos 3 Για µια εισαγωγή στη µέθοδο καταµέτρησης κελίων (box counting) ϐλ. Ott (1993)

45 34 Η εντροπία Τσάλλη και το χάος τους αρχική απόσταση, (π.χ ή 10 1 ). Στο τέλος η τιµή του q για την οποία η q-εντροπία εξελίσσεται γραµµικά µε το χρόνο ϐρίσκεται εµπειρικά µέσω της δοκιµής διαφορετικών τιµών του q. Η «µετασταθής» αυτή συµπεριφορά, όπως ορίζεται από τους Tsallis et al. (1997) µπορεί να ϐρεθεί πιο απλά, εάν, αντί της λήψης µιας µέσης τιµής από πολλές τροχιές, υπολογιστεί η χρονική εξέλιξη του διανύσµατος απόκλισης ξ, όπως προκύπτει από τις εξισώσεις µεταβολών που αντιστοιχούν στις εξισώσεις κίνησης ενός συνόλου των τροχιών που ανήκουν σε µια ασθενώς χαοτική περιοχή. Συγκεκριµένα, διαιρώντας το S q µε το t/t 1, όπου t 1 ένας αρχικός µεταβατικός χρόνος της εξέλιξης της τροχιάς, και αντικαθιστώντας το W από τη (.7), ο µέσος ϱυθµός εξέλιξης του S q δίνεται από τη σχέση: S q t/t 1 = 1 (t/t 1 )(1 q) [(ξ 1ξ...ξ m δ m ) 1 q 1]. (.1) Για κάθε ξ k, k = 1,,...m, ορίζουµε το Μέσο Εκθέτη Νόµου ύναµης APLE 4 p k ϐάσει της σχέσης: ξ k (t) = ξ k (t 1 )( t t 1 ) p k, k = 1,,...m. (.13) Ολοι οι δείκτες p k είναι εν γένει συναρτήσεις του χρόνου t, και η τιµή του κάθε p k (t) δίνει τη µέση λογαριθµική κλίση (ή τον εκθέτη του νόµου δύναµης) της εξέλιξης του ξ(t) k στο χρονικό διάστηµα από το χρόνο t 1 έως το χρόνο t. Περαιτέρω, σε διατηρητικά συστήµατα ισχύει ότι p 1 + p p m 0, αφού, από τη διατήρηση των όγκων, οι συνιστώσες ξ k (t) δε µπορούν να είναι όλες ϕθίνουσες συναρτήσεις του χρόνου. Βάσει του ορισµού (.13), η εξίσωση (.1) παίρνει τη µορφή: S q t/t 1 = 1 (( t ) (p1 +p +...p m)(1 q) 1 ). (.14) (t/t 1 )(1 q) t 1 Στο όριο t η ποσότητα Sq t/t 1 τείνει σε µια µη µηδενική πεπερασµένη τιµή µόνο εάν α) τα p i λαµβάνουν σταθερές οριακές τιµές, και ϐ) ο εντροπικός δείκτης ικανοποιεί τη σχέση (p 1 + p +...p m )(1 q) = 1. Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις, τείνει είτε στο µηδέν είτε στο άπειρο. Εάν οι αποκλίσεις ξ k (t) αυξάνουν ασυµπτωτικά σαν νόµοι δύναµης, η συνθήκη (α) ικανοποιείται και ο µέσος ϱυθµός αύξησης της εντροπίας Τσάλλη Sq t/t 1 τείνει στο άθροισµα των ϑετικών APLE lim t για την τιµή του q που δίνεται από τη σχέση: S q t/t 1 S q t/t 1 = p 1 + p +...p m (.15) q = 1 1 p 1 + p +...p m. (.16) Σε αυτή την περίπτωση, αν p 1 είναι εξ ορισµού το µέγιστο όλων των APLE, τότε αυτός ο εκθέτης µπορεί να χρησιµοποιηθεί σαν το κατώτατο ϕράγµα του ορίου του Sq t/t 1, δηλαδή: S q lim p 1. (.17) t t/t 1 4 Average Power Law Exponent

46 .3 Η χρονική εξέλιξη του APLE σε ασθενώς χαοτικές τροχιές και η εµφάνιση της «µετασταθούς» κατάστασης 35 Στην πράξη µπορούν να χρησιµοποιηθούν οι εξισώσεις (.15), (.16), ή (.17) για µεγάλο, αλλά πεπερασµένο χρόνο t, ώστε, να εκτιµηθεί η µέση τιµή του q-εκθέτη στο διάστηµα από t 1 έως και t, δεδοµένου ότι η τιµή του είναι σχεδόν σταθερή για αυτό το χρονικό διάστηµα. Επίσης, ο λόγος των τετραγώνων των µηκών των m διανυσµάτων απόκλισης ξ (t) = ξk (t) στο χρόνο t, προς ξ (t 1 ) στο χρόνο t 1, k=1 µπορεί να υπολογισθεί από την εξίσωση: ξ m (t) ξ (t 1 ) = k=1 ξk (t) m ξ (t 1 ) = όπου χρησιµοποιήθηκε η εξίσωση (.13) και η k=1 β k ( t t 1 ) p k (.18) β k = ξ k (t 1) ξ (t 1 ) (.19) µε m n k=1 Η εξίσωση (.18) µπορεί επίσης να γραφεί ως ξ (t) ξ (t 1 ) = ( t t 1 ) p 1 [β 1 + m β k 1. (.0) k= β k ( t t 1 ) (p 1 p k ) ]. (.1) Εφόσον p 1 p k είναι ϑετικά για k m, το άθροισµα µέσα στις αγκύλες στην τελευταία έκφραση τείνει ασυµπτωτικά στο 0 για t t 1. Εποµένως: APLE = p = ξ(t) ln ξ (t 1 ) ln [β 1 ln t = p m k= β k ( t t 1 ) (p 1 p k ) ] t 1 ln t (.) t 1 δηλαδή στο όριο t ο APLE τείνει στο p 1. Στις διδιάστατες απεικονίσεις ή πάνω σε µια τοµή Poincaré διδιάστατων Χαµιλτονιανών συστηµάτων έχουµε m = 1, άρα υπάρχει µόνο ένας ϑετικός εκθέτης p 1 ο οποίος είναι το όριο του APLE, και ϑα συµβολίζεται εφεξής ως p. Σε αυτές τις περιπτώσεις ο APLE p είναι ταυτόχρονα και το όριο του µέσου ϱυθµού αύξησης της εντροπίας Τσάλλη S q µε q = 1 1/p σύµφωνα µε την εξίσωση (.16)..3 Η χρονική εξέλιξη του APLE σε ασθενώς χαοτικές τροχιές και η εµφάνιση της «µετασταθούς» κατάστασης Στην παρούσα ενότητα ϑα εστιάσουµε στη συµπεριφορά του διανύσµατος απόκλισης ξ(t) για τροχιές που ανήκουν στο σύνορο µιας περιοχής απλού συντονισµού ενός µη γραµµικού Χαµιλτονιανού συστήµατος n ϐαθµών ελευθερίας. Στην ολοκλη- ϱώσιµη προσέγγιση αυτό το σύνορο έχει τη µορφή της διαχωριστικής καµπύλης. Η

47 36 Η εντροπία Τσάλλη και το χάος. a 3.5 b p 1. p log 10 t log 10 t Σχήµα.: Η χρονική εξέλιξη του p ως συνάρτηση του log 10 t για (a) οργανωµένες τροχιές και (b) για ασθενώς χαοτικές, όπου J r και φ εξελίσσονται σύµφωνα µε το απλουστευµένο υπόδειγµα της εξίσωσης (.31). Στο (a) παρουσιάζονται οι περιπτώσεις (1) ξ = J r + φ και ξ 0 = 1, a = 0.5, ǫ 0, () ξ 0 = 1, a =, ǫ 0, και (3) ξ = 1 + J r + φ µε ξ 0 = 10, a =, ǫ 0. Στη (b) παρουσιάζονται οι περιπτώσεις (1) ξ όπως στη (a) µε ξ 0 = 1, a = 0.5, ǫ = Ο εκθέτης Lyapunov και ο µέγιστος χρόνος µετάβασης είναι λ 10 3,t c 10 3 ) () ξ 0 = 1, a = 3, ǫ = 10 6 (λ 10 3,t c 10 3 ), (3) ξ 0 = 1, a = 3, ǫ = 10 8 (λ 10 4,t c 10 4 ), (4) ξ 0 = 1, a = 5, ǫ = 10 8 (λ 10 4,t c 10 4 ). συνάρτηση Hamilton σε κανονική µορφή 5 έχει την εξής διατύπωση (ϐλ. π.χ. (Morbidelli, 00)): H = J ψ ω 0 cosψ + H 0 (J,...,J n ) (.3) σε µεταβλητές γωνίας δράσης (J ψ, J,...,J n ) και (ψ, φ,...φ n ). Οι µεταβλητές συντονισµού (J ψ, ψ), J ψ R, ψ ( π, π] υπακούουν τη δυναµική του εκκρεµούς. Το σηµείο ψ = π ορίζει ένα ϕύλλωµα απλών υπερβολικών (n 1) διάστατων αναλλοίωτων τόρων της (.3), καθένας από τους οποίους χαρακτηρίζεται από µια σταθερή τιµή των J i, i =,..., n. Συγκεκριµένα, όταν n = 1 οι τόροι είναι µηδενικής διάστασης, δηλαδή ασταθή σηµεία ισορροπίας. Ενώ εάν n =, τότε οι τόροι είναι µονοδιάστατοι, δηλαδή συνιστούν µια οικογένεια ασταθών περιοδικών τροχιών, κ.ο.κ. Οταν το µέτρο του διανύσµατος απόκλισης ξ(t) ϐρίσκεται πάνω σε έναν τόρο εν γένει µεγαλώνει γραµµικά µε το χρόνο ξ(t) ξ 0 + A t, όπου το A είναι το µέτρο της διαφοράς συχνοτήτων µεταξύ τροχιών πάνω σε παρακείµενους τόρους. Ας υποθέσουµε ότι οι παράγωγοι των ω i / J j H 0 / J i J j είναι ϕραγµένες εκ των άνω για όλα τα i, j =,..., n. Αυτό, ωστόσο, δε µπορεί να αληθεύει για συχνότητες που σχετίζονται είτε µε τόρους λίκνισης είτε µε τόρους περιστροφής στο επίπεδο (J ψ, ψ), εφόσον η παράγωγος της συχνότητας είτε λίκνισης είτε περιστροφής ως προς τη δράση συν- 5 Η κανονική µορφή Birkhoff προκύπτει από κανονικούς σχεδόν ταυτοτικούς µετασχηµατισµούς της µορφής: J o = J n + F 1 (J n, φ n ), φ o = φ n + F (J n, φ n ), όπου J o, φ o και J n, φ n είναι οι παλαιές και νέες αντίστοιχα συντεταγµένες γωνίας δράσης. Οι F 1, F είναι περιοδικές ως προς φ n και lim Jn 0 F 1 = lim Jn 0 F = 0

48 .3 Η χρονική εξέλιξη του APLE σε ασθενώς χαοτικές τροχιές και η εµφάνιση της «µετασταθούς» κατάστασης 37 τονισµού τείνει στο άπειρο, καθώς η δράση τείνει στην οριακή τιµή της πάνω στη διαχωριστική, δηλαδή: lim ω r (J r ) J r J r,separatrix J r = (.4) όπου παραδείγµατος χάρη για τον τόρο λίκνισης J r (E) = ψmax(e) ψ min (E) J ψ (E, ψ)dψ (.5) είναι η δράση µιας τροχιάς ενέργειας E = J ψ / ω 0 cosψ και τα ψ min (E), ψ max (E) είναι οι οριακές τιµές της γωνίας ψ για τις οποίες η τελευταία εξίσωση έχει λύση. Επιπρόσθετα έχουµε ω r (J r ) = E/ J r, και J r,separatrix = J r (E = ω 0). Παρόµοια έκφραση προκύπτει στην περίπτωση του τόρου περιστροφής, αλλά µε διαφορετικά όρια ολοκλήρωσης της (.5). Κοντά στη διαχωριστική, ϑεωρώντας στη γραµµική προσέγγιση ότι το µήκος των διανυσµάτων απόκλισης αυξάνει γραµµικά, η τιµή του A καθορίζεται κυρίως από την τιµή της παραγώγου a = ω r (J r )/ J r, η οποία, αν και πεπερασµένη, είναι µεγάλη. Εποµένως, η αύξηση καθορίζεται κυρίως από την προβολή του διανύσµατος απόκλισης πάνω στο επίπεδο (J r, φ r ), όπου φ r είναι η συζυγής γωνία της δράσης J r σύµφωνα µε τον προηγούµενο ορισµό. Οι εξισώσεις µεταβολών του ξ ( J r, φ r ) είναι J r = 0, φ r = ω r J r J r (.6) και παράγουν τη λύση J r (t) = C =σταθερό, φ r (t) = φ r (0) + C a t. Αν C = 0 τα διανύσµατα απόκλισης παραµένουν σταθερά ξ(t) = φ r (0), ενώ αν C 0 µεγαλώνουν γραµµικά µε το χρόνο. Σε αριθµητικές εφαρµογές επιλέγεται συνήθως ένας τυχαίος προσανατολισµός για το ξ 0. Στο παράδειγµά µας ένας αρχικός λόγος κ = φ r (0)/ J r (0) φ r (0)/C µεταξύ των δύο συνιστωσών J r, φ r του διανύσµατος απόκλισης ορίζει τον προσανατολισµό του ξ 0 = C(1, κ). Από το µέτρο του αρχικού διανύσµατος απόκλισης προκύπτει ότι C = ξ 0 (1 + κ ) 1/. Επιλέγουµε λοιπόν ένα τέτοιο κ, έτσι ώστε εν γένει το C να είναι της τάξης µεγέθους C = O(ξ 0 ) 0 και ξ(t) ξ 0 (1+at). Η χρονική συµπεριφορά του APLE για ένα διάνυσµα απόκλισης που ακολουθεί τη σχέση ξ(t) ξ 0 (1+at) παρουσιάζεται στο σχήµα.a, όταν a < 1 (καµπύλη (1)), ή a > 1 (καµπύλη ()). Στην πραγµατικότητα, όταν ο t είναι µεγάλος και C = O(ξ 0 ) προκύπτει ξ(t) ξ 0 a t, µε αποτέλεσµα p = ln(ξ(t)/ξ 0) ln t 1 (ln a + ln t). (.7) ln t Εάν a < 1, τότε ln a < 0 και το p τείνει στη τιµή p = 1 από µικρότερες τιµές. Από την άλλη, όταν a > 1, τότε ln a > 0 και το p τείνει στην τιµή p = 1 από µεγαλύτερες τιµές. Εποµένως, µακριά από τη διαχωριστική η χρονική εξέλιξη του p είναι όπως της καµπύλης (1) του σχήµατος.a, ενώ κοντά στη διαχωριστική είναι όπως της καµπύλης () του ίδιου σχήµατος. Αριθµητικά παραδείγµατα αυτής της συµπερι- ϕοράς δίνονται στο κεφάλαιο 3. Ανεξάρτητα της απόστασης από τη διαχωριστική, εάν το αρχικό διάνυσµα απόκλισης ξ 0 είναι σχεδόν εφαπτόµενο στην αναλλοίωτη καµπύλη, προκύπτει ότι C ξ 0. Στην περίπτωση αυτή ισχύει ότι ξ(t) ξ 0 και p 0 για t < 1/C, ενώ για t > 1/C το p αυξάνεται προσεγγίζοντας ασυµπτωτικά

49 38 Η εντροπία Τσάλλη και το χάος την τιµή 1 από µικρότερες τιµές, ανεξάρτητα της τιµής του a (σχήµα.a, καµπύλη (3)). Αριθµητικά, προκύπτει ότι αυτή η συµπεριφορά µπορεί να πραγµατοποιηθεί µόνο όταν η γωνία µεταξύ του ξ 0 και της εφαπτοµένης της αναλλοίωτης καµπύλης είναι µικρή (ϐλ. κεφάλαιο 3). Στην περίπτωση αυτή, παρατηρούµε αριθµητικά µια συνεχή µετάβαση, σε ένα µικρό διάστηµα των τιµών του φ, από τη συµπεριφορά της ϑεωρητικής καµπύλης (3) σε εκείνη της καµπύλης (). Πρακτικά, όταν ο αρχικός προσανατολισµός είναι τυχαίος, στην πλειονότητα των περιπτώσεων συναντώνται οργανωµένες τροχιές µόνο των περιπτώσεων (1) και () του σχήµατος.a. Θα εξετάσουµε τώρα τη χρονική εξέλιξη του APLE στην περίπτωση στην οποία εισάγεται µια Χαµιλτονιανή διαταραχή, της µορφής: H = J ψ ω 0 cosψ + H 0(J,...,J n ) + ǫh 1 (J, φ; ǫ) = H r (J r ) + H 0 (J,...,J n ) + ǫh 1 (J, φ; ǫ). (.8) Στην εξίσωση (.8) υποθέτουµε ότι, ξεκινώντας από µια γενική Χαµιλτονιανή της µορφής H = H 0 (J) + ǫh 1 (J, φ; ǫ), έχουµε µετασχηµατίσει το πρόβληµα στην πε- ϱιοχή ενός απλού συντονισµού µέσω της λεγόµενης κανονικής µορφής Birkhoff (ϐλ. π.χ. (Morbidelli, 00)). Αυτό σηµαίνει ότι οι µεταβλητές γωνίας δράσης στη (.8) προκύπτουν µέσω ενός σχεδόν ταυτοτικού µετασχηµατισµού, από τις αρχικές µεταβλητές γωνίας δράσης της αδιατάρακτης συνάρτησης Hamilton. Επιπλέον, στην περιοχή ισχύος του καθεστώτος Nekhoroshev το µέγεθος της διαταραχής ǫ στην ε- ξίσωση (.8) είναι εκθετικά µικρό ως προς 1/ǫ, όπου το ǫ είναι της τάξης O(ω 0 ), δηλαδή ǫ = O(exp( 1/ǫ )) (ϐλ. π.χ. (Morbidelli, 00)). Το καθεστώς Nekhoroshev περιγράφει µια κατάσταση κατά την οποία τροχιές που ανήκουν σε µια ασθενώς χαοτική περιοχή ενός συστήµατος, του οποίου ο όρος διαταραχής ϐρίσκεται κάτω από ένα κρίσιµο όριο, παραµένουν στην περιοχή αυτή για εκθετικά µεγάλους χρόνους. Αγνοώντας τους µικρούς συντελεστές του διανύσµατος απόκλισης κάθετα στο επίπεδο συντονισµού (J r, φ r ), οι νέες εξισώσεις µεταβολών της κίνησης έχουν τη µορφή: d( J r ) dt d( φ) dt ǫ ( H 1 J r + H 1 ) φ r J r φ r J r φ r ǫ ( H 1 φ r + H 1 ) H r J r + J J r φ r r. (.9) J r Αν και µια λεπτοµερής έρευνα της λύσης των εξισώσεων (.9) µπορεί να γίνει µόνο εφόσον τα H 0 και H 1 είναι γνωστά, µπορεί να ερευνηθεί η ϐασική συµπε- ϱιφορά της λύσης κοντά στο όριο της διαχωριστικής µέσω της ακόλουθης ευχρηστικής αναλυτικής προσέγγισης. Κοντά στη διαχωριστική ισχύει ότι H r / J r = ω r / J r >> 1, ενώ ω r / J r < 0. Υποθέτοντας ότι όλες οι µερικές παράγωγοι του H 1 στις (.9) έχουν µέσες τιµές της τάξης του Ο(1), καθ όλη τη διάρκεια της κίνησης, η συµπεριφορά των συντελεστών του διανύσµατος απόκλισης στο συντονισµό περιγράφεται ικανοποιητικά από το ακόλουθο απλουστευµένο υπόδειγµα εξισώσε-

50 .3 Η χρονική εξέλιξη του APLE σε ασθενώς χαοτικές τροχιές και η εµφάνιση της «µετασταθούς» κατάστασης 39 ων: d( J r ) dt d( φ r ) dt = ǫ( J r + φ r ) = ǫ( J r + φ r ) a J r (.30) για a > 1 και ǫ 1. Για ǫ = 0, οι εξισώσεις (.30) λαµβάνουν τη µορφή των εξισώσεων (.6) της ολοκληρώσιµης περίπτωσης. Αν επιλεγούν αρχικές συνθήκες κάθετες στην αναλλοίωτη καµπύλη του H r, τότε, ϑέτοντας J r (0) = C = ξ 0, φ r (0) = 0, η λύση του (.30) γράφεται ως: ( J r (t) = ξ 0 cosh((aǫ) 1/ t) ( ) ǫ) 1/ sinh((aǫ) 1/ t) a ( ( ǫ ) 1/ φ r (t) = ξ 0 ( ) a) 1/ sinh((aǫ) 1/ t). (.31) a ǫ Η ασυµπτωτική ανάλυση των εξισώσεων (.31) καθιστά προφανή το λόγο για τον οποίο παρατηρείται η «µετασταθής» συµπεριφορά στην εξέλιξη των διανυσµάτων α- πόκλισης. Συγκεκριµένα, αν ǫ 1, τότε, για το χρονικό διάστηµα t < (aǫ) 1/, τα ǫ και (aǫ) 1/ t µπορούν να ϑεωρηθούν ως µικρές ποσότητες. Εποµένως, η πρώτη εξίσωση των εξισώσεων (.31) διαθέτει ένα σχεδόν σταθερό όρο J r ξ 0 + O(ǫt), ενώ η δεύτερη εξίσωση παράγει µια γραµµική συµπεριφορά φ r ξ 0 ǫ a t. Η µορφή των λύσεων είναι τότε παρόµοια µε την περίπτωση της οργανωµένης τροχιάς. Ετσι, προκύπτει µια συµπεριφορά παρόµοια µε της καµπύλης () του σχή- µατος.a. Ωστόσο, όταν t > (aǫ) 1/ η εκθετική συµπεριφορά γίνεται κυρίαρχη J r φ exp((aǫ) 1/ t), µε εκθέτη Lyapunov λ = (aǫ) 1/. Αυτή η συµπεριφορά παρουσιάζεται στο σχήµα.b στο οποίο σχεδιάστηκε η ξ(t) = ( J r (t)+ φ r (t)) 1/, µε τα J r (t), φ r (t) να δίνονται από την εξίσωση (.31), για διαφορετικές τιµές του a και του ǫ. Είναι εµφανές ότι ο συνδυασµός ενός γραµµικού και ενός εκθετικού νόµου παράγει ένα «πλατώ» µιας σχεδόν σταθερής τιµής p µεταξύ ενός αρχικού χρόνου t 1c 10 και ενός δεύτερου χρόνου t c ο οποίος ουσιαστικά δίνεται από τη σχέση t c λ 1. Αυτοί οι χρόνοι ονοµάζονται εφεξής «χρόνοι µετάβασης». Στο διάστηµα t 1c t t c το διάνυσµα απόκλισης ξ(t) µεγαλώνει ακολουθώντας σχεδόν ένα νόµο δύναµης ξ(t) t p για µια σχεδόν σταθερή τιµή του p > 1. Ας σηµειωθεί εδώ ότι ο πραγµατικός νόµος εξέλιξης ξ(t) at + exp(λt), ο οποίος προκύπτει κατά προσέγγιση από τις εξισώσεις (.31), είναι µαθηµατικά διαφορετικός από ένα νόµο δύναµης ξ(t) t q, και ότι η οµοιότητα προς ένα νόµο δύναµης για ορισµένο q-εκθέτη παρατηρείται αριθµητικά µόνο για τα συγκεκριµένα χρονικά διαστήµατα. Οπως ϕαίνεται από το σχήµα.b, η διάρκεια των «µετασταθών» συµπεριφορών µειώνεται όταν το λ αυξάνει, ενώ η τιµή στην οποία το p σταθεροποιείται στο διάστηµα t 1c < t < t c αυξάνει όταν το a αυξάνει. Μια αναλυτική εκτίµηση του πλατώ (για µικρούς και µεγάλους χρόνους) προκύπτει από την παρατήρηση ότι οι κυρίαρχοι όροι οι οποίοι περιγράφουν την εξέλιξη του ξ(t) µέσω των εξισώσεων (.31) αποδίδονται µε καλύτερη ακρίβεια µέσω της σχέσης ξ(t) 1 + at/ + (a/λ) ( e λt 1 ). Υποθέτοντας ότι p ln ξ/ ln t, η περιβάλλουσα της συνάρτησης p(t) στη γειτονιά του χαρακτηριστικού χρόνου t 0 = 1/λ δίνεται ϐάσει των ακόλουθων εκτιµήσεων της πρώτης και της

51 40 Η εντροπία Τσάλλη και το χάος δεύτερης παραγώγου του p (για λ 1): ( dp + 1/e dt λ + lnλ ) ln(λ + ae/) (ln λ) ( d p 1 /e 1/e dt 1 + ln(a/) /e λ + + ln(ae/) ) > 0. lnλ (ln λ) lnλ 3 Η δεύτερη από τις παραπάνω εξισώσεις συνεπάγεται ότι η συνάρτηση p(t) έχει αρκούντως µικρή κυρτότητα έως το χρονικό σηµείο t 0 = 1/λ, ώστε οι ϱυθµοί µετα- ϐολής του p σε διαστήµατα t γύρω από το t 0 να είναι ϕραγµένοι σε προσέγγιση τάξης O(λ/ lnλ ), όπως αυτό προκύπτει από την εκτίµηση που έγινε για τις τιµές της πρώτης παραγώγου του p, συγκεκριµένα: ( + 1/e p λ lnλ + ln(λ + ae/) (lnλ) ) t. (.3) Για παράδειγµα, αν λ = 10 6, µια µεταβολή της τάξης του 1% στην τιµή του APLE p = 0.01 µπορεί µόνο να εµφανιστεί για χρονικό διάστηµα t 0.01 lnλ /λ, ή t Αυτή η τιµή του t οριοθετεί ουσιαστικά τη χρονική έκταση του πλατώ, η οποία παρατηρούµε ότι αντιστοιχεί σε ένα σηµαντικό ποσοστό του χρόνου t 0 1/λ. Η τιµή του p καθ ολη τη διάρκεια του πλατώ εκτιµάται από την εξίσωση: p plateau 1 + ln(ae/) ln λ (.33) Οπως ϑα δούµε αριθµητικά σε παραδείγµατα του κεφαλαίου 3 (π.χ. σχήµα 3.), η εκτίµηση (.33) έχει καλή συµφωνία µε τις τιµές του p που ϐρίσκουµε αριθµητικά. Ανακαλώντας ότι το a είναι ουσιαστικά ένα µέτρο της παραγώγου της συχνότητας ω r / J r, αναµένεται ότι σε µια χαοτική Ϲώνη, που προσοµοιάζει µια διαχωριστική καµπύλη (µε κάποιο πάχος) το p αυξάνει όταν προσεγγίζουµε το κέντρο της Ϲώνης, καθώς το a αυξάνει απότοµα, ενώ αντίθετα το p είναι µικρότερο κοντά στα άκρα της Ϲώνης, όπου το a είναι µικρό. Ολες οι παραπάνω προβλέψεις επιβεβαιώνονται από τα αριθµητικά πειράµατα, όπως αναλύεται στο κεφάλαιο 3. Περαιτέρω, αν ορισθεί µία µέση τιµή < p > για όλη τη χαοτική Ϲώνη, αυτή υποδεικνύει µια µέση τιµή του εντροπικού δείκτη q = 1 1/< p > που αντιστοιχεί στη µετασταθή συµπεριφορά των τροχιών µέσα στη χαοτική Ϲώνη.

52 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 Αριθµητικές εφαρµογές του APLE Στο παρόν κεφάλαιο παρατίθενται παραδείγµατα αριθµητικών υπολογισµών του APLE p σε διακριτά διατηρητικά συστήµατα. Σκοπός είναι να ελεγχθεί η η α- ποτελεσµατικότητα του νέου δείκτη, και να συγκριθούν οι αναλυτικές προβλέψεις του προηγούµενου κεφαλαίου µε τα αποτελέσµατα αριθµητικών προσοµοιώσεων. Σηµειώνεται ότι, στην περίπτωση των απεικονίσεων, ο χρόνος t στην εξίσωση (.) λαµβάνει διακριτές τιµές t = 1,,... Για να αποφευχθεί η σηµειακή ανωµαλία του p όταν t = 1, τίθεται t 1 = και υπολογίζεται το p για t t 1, µε p = 0 όταν t = t ιαχωριστικό στρώµα στη διδιάστατη Τυπική Α- πεικόνιση Η χρονική εξέλιξη του p για τροχιές στη γειτονιά ή εντός της περιοχής του ασθενούς χάους είναι ιδιαιτέρως ενδιαφέρουσα. Ενα ϐασικό παράδειγµα δίνεται από τη διδιάστατη τυπική απεικόνιση 1 (Chirikov, 1979): y n+1 = y n + K sin (πx π n) mod (1), x n+1 = x n + y n+1 mod (1), (3.1) όπου x n, y n ανάγονται κατάλληλα, µέσω της αφαίρεσης του ακέραιου µέρους, στα διαστήµατα [0,1) και [-0.5,0.5) αντίστοιχα. Τα σχήµατα 3.1a,d παρουσιάζουν το ϕασικό πορτραίτο της απεικόνισης (3.1) για K = 10 1 (σχήµα 3.1a) και K = 10 (σχήµα 3.1d). Οι λεπτές συνεχείς γραµµές σε αυτά τα σχήµατα είναι οι ασταθείς ασυµπτωτικές πολλαπλότητες οι οποίες αναφύονται από την ασταθή περιοδική τροχιά P U (0, 0). Οι πολλαπλότητες υπολογίζονται µε τη λήψη πολλών αρχικών συνθηκών σε ένα µικρό ευθύγραµµο τµήµα µήκους 10 8 κατά µήκος της ασταθούς ιδιοδιεύθυνσης, όπως αυτή προκύπτει από το µονόδροµο πίνακα στο σηµείο P U. Και τα δύο ϕασικά πορτραίτα δείχνουν τη ϐασική δοµή της τυπικής απεικόνισης για µικρά K. ιακρίνουµε ένα λεπτό διαχωριστικό στρώµα ασθενούς χάους το οποίο διαχωρίζει την περιοχή λίκνισης από αυτήν της περιστροφής. Οταν το K είναι µικρό οι προαναφερθείσες περιοχές γεµίζουν σχεδόν πλήρως από αναλλοίωτες καµπύλες. Τα σχήµατα 3.1b,e παρουσιάζουν τη χρονική εξέλιξη του APLE για διάφορες οργανωµένες ή χαοτικές τροχιές της τυπικής απεικόνισης. Η εστιγµένη καµπύλη δίνει τη χρονική εξέλιξη του APLE για µια οργανωµένη τροχιά µέσα σε περιοχή λίκνισης (αρχικές συνθήκες (x 0, y 0 ) = (0.0, 0.), κοντά στην ευσταθή περιοδική τροχιά στο (0, 0.5)) για K = 10 1, στο σχήµα 3.1b, και K = 10 στο σχήµα 3.1e. Το αρχικό 1 standard map

53 4 Αριθµητικές εφαρµογές του APLE Σχήµα 3.1: (a) Το ϕασικό πορτραίτο της τυπικής απεικόνισης για K = 10 1 (b) Η χρονική εξέλιξη του APLE για οργανωµένες τροχιές από την περιοχή λίκνισης του (a), και για χαοτικές τροχιές του λεπτού διαχωριστικού στρώµατος µε αρχικές συνθήκες κατά µήκος της ασταθούς πολλαπλότητας της περιοδικής τροχιάς (0,0). (c) Η χρονική εξέλιξη του αριθµού Lyapunov πεπερασµένου χρόνου log 10 χ(t) για τις ίδιες τροχιές. Τα (d,e,f) είναι τα ίδια µε τα (a,b,c) για K = 10. διάνυσµα απόκλισης ξ(0) και στα δύο σχήµατα επιλέχθηκε να είναι σχεδόν κάθετο στην αναλλοίωτη καµπύλη που περνά από το (x 0, y 0 ). Η παροδική συµπεριφορά του APLE (εστιγµένη καµπύλη) στα σχήµατα 3.1b,e, δείχνει ότι το APLE µεγαλώνει τείνοντας ασυµπτωτικά από µικρότερες τιµές προς το p = 1 (όπως η ϑεωρητική καµπύλη (1) του σχήµατος.a). Η συµπεριφορά αυτή του APLE είναι τυπική για τις οργανωµένες τροχιές. Οι ταλαντώσεις του p γύρω από την τοπική του µέση τιµή προκαλούνται από τις ταλαντώσεις της τοπικά εφαπτόµενης προς τις ασυµπτωτικές καµπύλες συνιστώσας του διανύσµατος απόκλισης ξ(t). Εάν προσεγγίσουµε τη µορφή της αναλλοίωτης καµπύλης µε µία έλλειψη, τότε µπορεί να δειχθεί ότι το πλάτος της ταλάντωσης του p εξαρτάται από το λόγο των αξόνων της έλλειψης. Η απόδειξη του παραπάνω γεγονότος ϐασίζεται αφενός στο ότι όταν η τροχιά περάσει το άκρο του µικρού άξονα και πλησιάζει το άκρο του µεγάλου άξονα ο λόγος του µέτρου δύο διαδοχικών διανυσµάτων απόκλισης είναι µικρότερος της µονάδος και άρα από τη σχέση (.) συνεπάγεται ότι το p ϕθίνει, και αφετέρου όταν η τροχιά περάσει το άκρο του µεγάλου άξονα και πλησιάζει το άκρο του µικρού άξονα ο λόγος του µέτρου δύο διαδοχικών διανυσµάτων απόκλισης είναι µεγαλύτερος της µονάδος και άρα από τη σχέση (.) συνεπάγεται ότι το p αυξάνει. Εποµένως, όσο µεγαλύτερος ο λόγος των αξόνων της έλλειψης, τόσο µεγαλύτερο το πλάτος των ταλαντώσεων του p. Μια αναλυτική εκτί-

54 3.1 ιαχωριστικό στρώµα στη διδιάστατη Τυπική Απεικόνιση 43 µηση ϐρίσκεται από το ακόλουθο απλουστευµένο παράδειγµα απεικόνισης: ( y n y n = C y sin( πn N ) x n = C x cos( πn N ) (3.) ) + ( ) x η οποία παριστά την έλλειψη n C y C x = 1. Το N είναι η περίοδος της τροχιάς πάνω στην έλλειψη. Αν ϑεωρήσουµε µια γειτονική τροχιά στη (3.) πάνω στην ίδια έλλειψη, τότε η απεικόνιση της τροχιάς αυτής είναι: y n = C y sin( πn N + φ) x n = C x cos( πn N + φ) (3.3) όπου φ είναι µία πολύ µικρή διαφορά ϕάσης µεταξύ των δύο τροχιών, δηλαδή φ 0. Οι εξισώσεις µεταβολών είναι δy n = y n y n και δx n = x n x n άρα το µήκος του C ( y cos πn + ) φ N + C x sin ( πn + φ N ). διανύσµατος απόκλισης είναι ξ n = sin φ Εποµένως: ξ n cos ( = πn + φ N ξ 0 Επειδή φ 0, ξn ξ 0 cos ( πn N cos ( φ ) ( ) ( + C x C y sin πn + ) φ N ) ) ( ) ( + C x C y sin φ ) ( ) ( ) + C x C y sin πn N 1 + προσέγγιση πρώτης τάξης log(1 + x) x και αν C y > C x έχουµε: p 1 ( Cx C y ) sin ( ) πn N log n. ( ) ( ) C x C y sin πn N. Σε δηλαδή η τιµή του APLE ϕράσσεται από µια ϕθίνουσα ταλάντωση της οποίας το πλάτος εξαρτάται από το λόγο των αξόνων της έλλειψης. Επιστρέφοντας στο αριθµητικό παράδειγµα του σχήµατος 3.1, στο διάγραµµα του αριθµού Lyapunov πεπερασµένου χρόνου (1.53) χ(t) = 1 t ln ξ(t) ξ(0) για τις ίδιες τροχιές (σχήµα 3.1c,f, εστιγµένες γραµµές) ϕαίνεται η αναµενόµενη συµπεριφορά των οργανωµένων τροχιών, δηλαδή το χ(t) πέφτει ασυµπτωτικά σαν t 1 για µεγάλα t. Από την άλλη πλευρά, η λεπτή συνεχής καµπύλη στα σχήµατα 3.1b,e, δείχνει τη συµπεριφορά του APLE για χαοτικές τροχιές µέσα στη διαχωριστική Ϲώνη των σχηµάτων 3.1a,d. Σε αυτή την περίπτωση ελήφθησαν αρχικές συνθήκες πάνω στην ασταθή πολλαπλότητα του P U, γεγονός που εξασφαλίζει ότι όλα τα επακόλουθα σηµεία των χαοτικών τροχιών ϑα ϐρίσκονται στην ίδια πολλαπλότητα. Το αρχικό διάνυσµα απόκλισης επιλέχθηκε έτσι ώστε να είναι κάθετο στην ασταθή πολλαπλότητα. Η διαφορά στη χρονική εξέλιξη του APLE για τις δύο τροχιές γίνεται άµεσα αντιληπτή. Στην πε- ϱίπτωση της συνεχούς καµπύλης του σχήµατος 3.1e (K = 10 ), το APLE µεγαλώνει

55 44 Αριθµητικές εφαρµογές του APLE τέµνοντας για πρώτη ϕορά την τιµή p = 1 σε ένα σχετικά µικρό χρόνο µετάβασης t 1c = 5. Ωστόσο, µετά από αυτή τη µετάβαση, το APLE διαγράφει ένα αριθµό ταλαντώσεων γύρω από µία µέση τιµή, η οποία παραµένει συστηµατικά πάνω από τη µονάδα, έως το δεύτερο χρόνο µετάβασης t c = , στον οποίο αρχίζει η εκθετική αύξηση του p. Στο χρονικό διάστηµα t 1c t t c ϐρέθηκε ότι < p >= 1.9. Οπως ϕαίνεται από το σχήµα 3.1f, η τιµή στην οποία ο αριθµός Lyapunov πεπερασµένου χρόνου χ(t) σταθεροποιείται είναι LCN λ = Εποµένως ϕαίνεται ότι ο χρόνος µετάβασης t c δίνεται στην πράξη από τη σχέση t c λ 1. Αντίθετα, στην περίπτωση της συνεχούς καµπύλης του σχήµατος 3.1b (K = 10 1 ), το APLE µεγαλώνει από την αρχή απεριόριστα, όπως αναµένεται για µία εκθετική αύξηση του διανύσµατος απόκλισης, χωρίς να υπάρχει µια ορατή µεταβατική συµπεριφορά στη χρονική εξέλιξη του p. Σε αυτή την περίπτωση ο αριθµός Lyapunov (σχήµα 3.1c) είναι αρκετά µεγάλος λ = 10, και ο αντίστοιχος χρόνος µετάβασης t c 10 είναι της ίδιας τάξης µεγέθους µε το t 1c, δηλαδή το χρονικό διάστηµα µεταξύ των δύο χρόνων µετάβασης είναι εξαιρετικά µικρό, πρακτικά t c t 1c 0, για να παραχθεί κάποιο παρατηρήσιµο ϕαινόµενο. Οπως στην περίπτωση των οργανωµένων τροχιών, οι ταλαντώσεις του APLE γύρω από µία τοπική µέση τιµή στα σχήµατα 3.1b,e οφείλονται στην ταλαντωτική συµπερι- ϕορά της συνιστώσας του διανύσµατος απόκλισης, η οποία είναι τοπικά εφαπτόµενη στη ϑεωρητική διαχωριστική που περνά από το κέντρο της διαχωριστικής χαοτική Ϲώνης. Σε αυτήν την περίπτωση, παρατηρήθηκε αριθµητικά ότι η πρώτη µέγιστη τιµή του p στα σχήµατα 3.1b,e εµφανίζεται όταν η τροχιά περνά κοντά στην πρώτη οµοκλινική τοµή της ασταθούς πολλαπλότητας, η οποία πηγάζει από το P U, µε την ευσταθή πολλαπλότητα, η οποία πηγάζει από την εικόνα του P U στο (1, 0). Για να ελεγχθεί η εξάρτηση της χρονικής εξέλιξης του APLE από τον αρχικό προσανατολισµό του διανύσµατος ξ(0), ο οποίος, όπως είδαµε στη ϑεωρητική ανάλυση της ενότητας.3, αντιστοιχεί στην τιµή της σταθεράς C, πραγµατοποιήθηκε ο ακόλουθος αριθµητικός έλεγχος: Αρχίζοντας από έναν τυχαίο αρχικό προσανατολισµό του διανύσµατος απόκλισης ξ(0), η τροχιά και οι εξισώσεις µεταβολών ολοκληρώνονται για µεγάλο χρονικό διάστηµα t = T. Γνωρίζουµε ότι (ϐλ. υποενότητα 1.6.3) το διάνυσµα απόκλισης ξ(t) εξελίσσεται κατά τέτοιο τρόπο ώστε τείνει να γίνει εφαπτόµενο στην αναλλοίωτη καµπύλη, στην περίπτωση των οργανωµένων τροχιών, ή παράλληλο στη διεύθυνση µιας κοντινής ασταθούς ασυµπτωτικής καµπύλης, στην περίπτωση των χαοτικών τροχιών. Εστω (x T, y T ) η ϑέση της τροχιάς στο χρόνο t = T και (dx T, dy T ) οι συνιστώσες του διανύσµατος απόκλισης στον ίδιο χρόνο. Λαµβάνοντας το T αρκετά µεγάλο, ώστε το διάνυσµα ξ να έχει γίνει εφαπτόµενο στην αναλλοίωτη καµπύλη µέσα στα όρια υπολογιστικής ακρίβειας, τα (x T, y T ) και (dx T, dy T ) χρησιµοποιούνται ως αρχικές συνθήκες µιας δεύτερης τροχιάς και των εξισώσεων µεταβολών της. Μετά συγκρίνεται η χρονική εξέλιξη του APLE του παραπάνω διανύσµατος απόκλισης µε ένα δεύτερο διάνυσµα απόκλισης το οποίο σχετίζεται µε την ίδια τροχιά, αλλά µε διεύθυνση η οποία σχηµατίζει γωνία φ µε το (dx T, dy T ). Η πρώτη οµοκλινική τοµή ορίζεται ως εξής: Εστω s i,i+1 η απόσταση µεταξύ δύο διαδοχικών τοµών (i, i + 1) κατά µήκος της ευσταθούς ασυµπτωτικής καµπύλης και s i+1,i η απόσταση µεταξύ των δύο διαδοχικών οµοκλινικών τοµών (i + 1, i) κατά µήκος της ασταθούς ασυµπτωτικής καµπύλης (i N). Εστω ότι το i = 1 αντιστοιχεί στην πρώτη οµοκλινική τοµή, τότε: a) αν εξελίξουµε το σύστηµα κατά την ορθή ϕορά του χρόνου η απόσταση s,1 είναι η µέγιστη από όλη τη µετέπειτα ακολουθία, δηλαδή s,1 > s i+1,i i >, και b) αν εξελίξουµε το σύστηµα κατά την ανάδροµη ϕορά του χρόνου η απόσταση s 1, είναι η µέγιστη από όλη τη µετέπειτα ακολουθία, δηλαδή s 1, > s i,i+1 i >.

56 3.1 ιαχωριστικό στρώµα στη διδιάστατη Τυπική Απεικόνιση 45 p p a 0 o log 10 t d 0 o log 10 t p p b o log 10 t e o log 10 t p p c 90 o log 10 t f 90 o log 10 t Σχήµα 3.: Η χρονική εξέλιξη του p κατά µήκος µιας οργανωµένης τροχιάς µε αρχικές συνθήκες (x 0,y 0 ) = ( , ), για K = 0.1 και 3 δια- ϕορετικά αρχικά διανύσµατα απόκλισης τα οποία σχηµατίζουν µια αρχική γωνία (a) 0 0, (b) 0, (c) 90 0 µε την εφαπτοµένη της αναλλοίωτης καµπύλης. Η αντίστοιχη εξέλιξη για χαοτική τροχιά µε αρχική συνθήκη ( , ) παρουσιάζεται στα (d f), για K = 0.1. Η έντονη γκρίζα διακεκοµµένη γραµµή στο (d) είναι η ϑεωρητική λύση που αντιστοιχεί σε έναν εκθετικό νόµο ξ(t)/ξ 0 = e λt µε λ = , ενώ στα (e),(f) υπερτίθεται σε αυτόν το νόµο ένας γραµµικός όρος at µε a =, όπως προβλέπεται στην ενότητα.3. Το σχήµα 3. παρουσιάζει παραδείγµατα της εξάρτησης του APLE από τον αρχικό προσανατολισµό για τρεις διαφορετικούς προσανατολισµούς, συγκεκριµένα φ 0, φ = o και φ = 90 o, στην περίπτωση µιας οργανωµένης τροχιάς µε K = 0.1 (πρώτη γραµµή του σχήµατος 3.) και για την περίπτωση µιας χαοτικής τροχιάς µε K = 0.1 (δεύτερη γραµµή του σχήµατος 3.). Είναι εµφανές ότι η εξέλιξη του APLE είναι ευαίσθητη στο φ µόνο για µικρές τιµές του φ. Για παράδειγµα, στην περίπτωση µιας οργανωµένης τροχιάς, όταν φ 0 (σχήµα 3.a) τότε J = C 0 και ο αντίστοιχος όρος της εξίσωσης (.6) τείνει στο µηδέν. Εποµένως το ξ(t) πραγµατοποιεί απλά ταλαντώσεις γύρω από µία µέση τιµή < ξ(t) >= ξ(0) και το APLE παραµένει κοντά στην τιµή µηδέν ακόµα και µετά από t = T = 10 9 επαναλήψεις. Αντίθετα, όταν το φ είναι ίσο µε µόνο φ = o η χρονική εξέλιξη του APLE γίνεται ήδη παρόµοια µε την τυπική συµπεριφορά του, όπως προκύπτει από τη σύγκριση µε την περίπτωση φ = 90 o, η οποία αντιστοιχεί σε ένα αρχικό διάνυσµα απόκλισης κάθετο στη αναλλοίωτη καµπύλη. Το ίδιο ϕαινόµενο ισχύει και στην περίπτωση µιας ασθενούς χαοτικής τροχιάς όπως αυτή που παρουσιάζεται στη δεύτερη γραµµή του σχήµατος 3.. Σε αυτή την περίπτωση η ασυµπτωτική συµπεριφορά του APLE και για τις τρεις τιµές της αρχικής γωνίας φ αντιστοιχεί στα αναµενόµενα από την εκθετική αύξηση του αντίστοιχου διανύσµατος απόκλισης που οδηγεί σε ένα σταθερό όριο του αριθµού Lyapunov λ Οταν φ 0, εµφανίζεται «µετασταθής» συµπεριφορά στη

57 46 Αριθµητικές εφαρµογές του APLE χρονική εξέλιξη του APLE, πριν από την τελική ϕάση της εκθετικής αύξησης. Ωστόσο, η εν λόγω συµπεριφορά δεν εµφανίζεται όταν φ = 0. Η µετασταθής συµπεριφορά στα σχήµατα 3.e,f διαρκεί µέχρι το χρόνο µετάβασης t c 10 7 > = 1/λ. Οντως, απεικονίζοντας τη ϑεωρητική λύση (.31) η οποία αντιστοιχεί σε µια επιλογή φ = 90 0 ϕαίνεται ότι η λύση αυτή συνάδει µε τα αριθµητικά αποτελέσµατα τόσο για φ = 0 όσο και για φ = Το APLE ως χαοτικός δείκτης που µετρά τον εντροπικό q-δείκτη. Σύγκριση µε FLI και MEGNO 4 a b p log 10 Ξ t Ξ log 10 t log 10 t 0 Σχήµα 3.3: (a) Ενα ϑεωρητικό παράδειγµα της εξέλιξης του APLE όταν προστεθεί στη λύση (.31) ένας ταλαντωτικός όρος, συγκεκριµένα ξ = Jr + φ (1+cos 0.1t) µε J r, φ r να δίνονται από την εξίσωση (.31) και ξ 0 = 1, a = 30, ǫ = (b) Η εξέλιξη του log 10 ( ξ(t) ξ(0) ) συναρτήσει του log 10 t για το ίδιο παράδειγµα. Η διακεκοµµένη γραµµή αντιστοιχεί στο γραµµικό νόµο ln ξ(t) = ln a + ln t + ln 10, ενώ η συνεχής υποδεικνύει το νόµο δύναµης ξ(t) t p µε p = 1.4, δηλαδή όπως προκύπτει από το προσεγγιστικό πλατώ του (a). Στη ϑεωρία, ο τρόπος χρήσης του APLE ως «χαοτικού δείκτη» στο να ξεχωρίζει οργανωµένες από χαοτικές τροχιές είναι σαφής. Στην περίπτωση των οργανωµένων τροχιών η τιµή του APLE τείνει στο p = 1 καθώς το t, ενώ για τις χαοτικές τροχιές το p καθώς t. Στην πράξη, όµως, ο υπολογισµός του p γίνεται για πεπερασµένο χρόνο ολοκλήρωσης T και ένας αριθµητικός δείκτης ϑεωρείται αξιόλογος όταν ο χρόνος αυτός είναι µικρός. Ενα παράδειγµα αξιόλογου χαοτικού δείκτη ο οποίος χρησιµοποιείται ευρύτατα στη ϐιβλιογραφία είναι ο FLI (ϐλ. υποενότητα 1.6.3). Οπως εξηγήθηκε ήδη στην υποενότητα σύµφωνα µε τους Froeschlé και Lega (Froeschlé and Lega, 000) για να χαρακτηριστεί µια τροχιά ως χαοτική ϑα πρέπει ο FLI να είναι µεγαλύτερος από ένα όριο FLI 0 = ln 10 + ln T. Η τιµή ln10 παρέχει ένα κατώφλι ασφαλείας για τη διάκριση οργανωµένων από χαοτικές τροχιές. Ωστόσο, το κατώφλι αυτό είναι κάπως αυθαίρετο. Παραδείγµατος χάρη, εάν µια τροχιά είναι κοντά στο σύνορο

58 3. Το APLE ως χαοτικός δείκτης που µετρά τον εντροπικό q-δείκτη. Σύγκριση µε FLI και MEGNO 47 ενός διαχωριστικού χαοτικού στρώµατος, τότε ξ(t) = ξ 0 (1 + a t) για τις οργανωµένες τροχιές, µε a >> 1 (ενότητα.3). Συνεπώς ln ( ξ(t)/ξ(0) ) ln a + ln t. Εάν το κατώφλι FLI 0 επιλεγεί όπως προαναφέρθηκε, τότε, για a > 10, µια οργανωµένη τροχιά µπορεί εσφαλµένα να χαρακτηριστεί ως χαοτική. Εποµένως µπορούµε να ορίσουµε µια ϐελτιωµένη συνθήκη για το κατώφλι ως εξής FLI 0 (T) = ln 10 + ln a + ln T όπου η τιµή του a µπορεί να εκτιµηθεί από την τιµή ξ(t 1c ) στο χρόνο 1 t 1c T, αφού εάν a 1, τότε ισχύει ότι ξ(t 1c ) ξ 0 at 1c. Προφανώς η τροχιά χαρακτηρίζεται ως χαοτική εάν FLI > FLI 0 στο χρόνο T. Εστω τώρα ότι τροχιά ασθενώς χαοτική, για την οποία υπάρχει µια «µετασταθής» συµπεριφορά κατά την οποία ξ(t) ξ(t 1c )(t/t 1c ) p, µε p > 1 (σχήµα 3.3a), στο οποίο εµφανίζεται πλατώ γύρω στο p = 1.4, από t 1c = 10 3 έως t c = 10 5 ). Οπως ϕαίνεται στο σχήµα 3.3b, η τιµή του ln ( ξ(t)/ξ(t 1c ) ) τέµνει τη γραµµή του FLI 0 (t) (συνεχής ευθεία γραµµή) περίπου στον ίδιο χρόνο (T = 10 5 ) στον οποίο η καµπύλη του APLE (σχήµα 3.3a) τέµνει προς τα άνω την τιµή p = 1.4, δηλαδή t c T. Αυτό σηµαίνει ότι το APLE χαρακτηρίζει την τροχιά ως χαοτική τη χρονική στιγµή t c, που είναι της ίδιας τάξης µεγέθους µε τον ελάχιστο χρόνο T που χρειάζεται το FLI για τον ίδιο χαρακτηρισµό. Ουσιαστικά για t > T η εκθετική αύξηση των αποκλίσεων κυριαρχεί και η κλίση του ln ( ξ(t)/ξ(0) ) ως συνάρτηση του ln t τείνει τάχιστα στο άπειρο. 5 a b c pmax y p log 10 t log 10 Χ t log 10 t Σχήµα 3.4: (a) Η µέγιστη τιµή p max στο χρονικό διάστηµα < t 10 3 ως συνάρτηση της αρχικής συνθήκης y 0 της τροχιάς σε ένα ευθύγραµµο τµήµα κατά µήκος της γραµµής x 0 = 0.5, το οποίο διασχίζει τη διαχωριστική περιοχή του σχήµατος 3.1a. Η µέγιστη τιµή των p max αντιστοιχεί στην τροχιά µε αρχικές συνθήκες (x 0,y 0 ) = (0.5, ), και σε αρχικό διάνυσµα απόκλισης ξ 0 = ( 1 1, ). Η εξέλιξη των APLE και log 10 χ(t) για την ίδια τροχιά παρουσιάζεται ως συνεχείς µαύρες καµπύλες στα (b) και (c) αντίστοιχα. Η εστιγµένη µαύρη και η γκρίζα καµπύλη στα ίδια διαγράµµατα ανήκουν στις τροχιές µε αρχικές συνθήκες (0.5, ), (0.5, ) αντίστοιχα. Η ϑέση του λεπτού χαοτικού στρώµατος σε συντονισµούς µπορεί να καθορισθεί µέσω του APLE µε τρόπο ανάλογο της εξίσωσης (1.55), ορίζοντας δηλαδή τη µέγιστη τιµή: p max = sup { p = ln(ξ(t)/ξ(t 1)), t 1 < t T }. (3.4) ln(t/t 1 ) Με στόχο να διερευνηθεί αριθµητικά η ευαισθησία του p max στα λεπτά χαοτικά στρώ- µατα, στο σχήµα 3.4a παρουσιάζεται η µεταβολή της τιµής του p max, για < t

59 48 Αριθµητικές εφαρµογές του APLE T = 10 3, κατά µήκος ενός ευθύγραµµου τµήµατος της γραµµής µε αρχικές συνθήκες x 0 = 0.5 το οποίο περνά µέσα από το διαχωριστικό ασθενώς χαοτικό στρώµα του σχήµατος 3.1a. Παρατηρούµε ότι, καθώς προσεγγίζεται το κέντρο του συντονισµού, η τιµή του p max αυξάνει απότοµα και η µέγιστη τιµή οριοθετεί καθαρά το κέντρο του χαοτικού στρώµατος. Η µέγιστη τιµή του p ανήκει σε µια τροχιά µε αρχικές συνθήκες (x 0, y 0 ) (0.5, ) (τα αρχικά διανύσµατα απόκλισης τέθηκαν ξ 0 = ( 1, 1 )). Εφόσον το χαοτικό στρώµα είναι πολύ λεπτό, η συµπεριφορά του APLE µέσα σε ένα λεπτό στρώµα, συµπεριλαµβανόµενης και της προαναφερθείσας τροχιάς, είναι εξαιρετικά ευαίσθητη στις αρχικές συνθήκες. Παραδείγµατος χάρη, η κεντρική τροχιά έχει αριθµό Lyapunov LCN 10, (σχήµα 3.4c), και επιδεικνύει µόνο ένα µικρό πλατώ στις τιµές του p, µε p 3.5 για περίπου 900 περιόδους από t = 10 έως t = 10 3 (σχήµα 3.4b). Ωστόσο, αν αλλάξει η αρχική τιµή y 0, αποκόπτοντας µόνο το τελευταίο δεκαδικό ψηφίο, (x 0, y 0 ) (0.5, ), η καινούργια τροχιά έχει πολύ µικρότερο αριθµό Lyapunov, LCN 10 7, και το APLE επιδεικνύει ένα καλοσχηµατισµένο πλατώ στο p 1.5, το οποίο διαρκεί για 10 7 περιόδους. Επιπλέον, αν αποκοπεί ένα ακόµα ψηφίο από το y 0, (x 0, y 0 ) (0.5, ), η νέα τροχιά δε δίνει κανένα σηµάδι χάους έως το χρόνο t = 10 9, αν και το πλατώ που σχηµατίζεται από τις τιµές του APLE (γκρίζα καµπύλη στο σχήµα 3.4b) έχει τιµή p > 1, µια ένδειξη ότι η τροχιά µπορεί τελικά να είναι χαοτική. Επισηµαίνεται ότι αυτά τα αποτελέσµατα εξαρτώνται από την ακρίβεια της υπολογιστικής µηχανής. ιαφορετικοί υπολογισµοί από διαφορετικές υπολογιστικές µηχανές ή επίπεδα ακρίβειας διατηρούν ποιοτικά την ίδια εικόνα όπως στο σχήµα 3.4, αλλά για λίγο διαφορετικές αρχικές συνθήκες. Το σχήµα 3.5a συγκρίνει τις ίδιες τροχιές µε αυτές του σχήµατος 3.4 ως προς τη συµπεριφορά του δείκτη FLI. Είναι εµφανές ότι και οι δύο µέθοδοι διαθέτουν παρόµοια ευαισθησία, δηλαδή T t c = 10 8 για τη µαύρη εστιγµένη καµπύλη του σχήµατος 3.5a. Το σχήµα 3.5b δείχνει τη συµπεριφορά για τις ίδιες τροχιές ενός ακόµα δείκτη χαοτικότητας, του MEGNO (Cincotta and Simó, 000). Στην υποενότητα επισηµάνθηκε ότι αν οι αποκλίσεις ακολουθούν κατά µέσο όρο ένα νόµο δύναµης ξ(t) t p σε κάποιο χρονικό διάστηµα η µέση τιµή του MEGNO < Y (T) >, όπως αυτή προκύπτει από τον ορισµό του (1.56), είναι ίση µε p. Οµως, αυτό δεν ισχύει όταν ο νόµος δύναµης είναι παροδικός και προσεγγιστικός, στη συγκεκριµένη περίπτωση όταν προέρχεται από το συνδυασµό ξ(t) a t + e λt. Στην πράξη, κατά τη διάρκεια της µετασταθούς συµπεριφορά ξ(t) 1 + a t αφού λt 1 και άρα από τη (1.56) προκύπτει ότι Y (T) = (1 ln(1 + at)/(at)). Εποµένως η µέση τιµή < Y (T) >< για T > 1/a ακόµα και αν a >> 1, που σηµαίνει ότι το MEGNO δε µπορεί να αποδώσει έναν εκθέτη δύναµης p > 1. Επιπλέον, η αριθµητική συµπεριφορά του MEGNO επιδεικνύει διακυµάνσεις οι οποίες είναι µια τάξη µεγέθους µεγαλύτερες από αυτές του APLE σε όλη τη διάρκεια της «µετασταθούς» συµπερι- ϕοράς της τροχιάς. Για παράδειγµα, το σχήµα 3.5b αναφέρεται στις ίδιες τροχιές µε αυτές των σχηµάτων 3.4 και 3.5a. Η ταχεία ταλάντωση του MEGNO, µε πλάτος Y 10, εµφανιζόµενη στο σχήµα 3.5b συντελεί στο ότι ενώ η µέγιστη τιµή του Y είναι ϑετική και πάνω από το κατώφλι του Y =, η ελάχιστη τιµή είναι αρνητική. Η µέση τιµή < Y > κατά τη διάρκεια του µεταβατικού διαστήµατος διατηρείται κάτω του. Από το άλλο µέρος, οι αντίστοιχες τιµές του APLE (σχήµα 3.4b) όχι µόνο είναι πάντα ϑετικές, αλλά είναι ξεκάθαρα άνω του κατωφλίου p = 1 καθόλη τη διάρκεια του διαστήµατος 0 t T. Συνεπώς, η ανίχνευση της µετασταθούς συµπεριφοράς είναι πολύ πιο διακριτή µέσω του APLE παρά µέσω του MEGNO.

60 3.3 Περιοχές κολλητικότητας 49 0 a b log 10 Ξ t Ξ Y log 10 t log 10 t 10 Σχήµα 3.5: (a) Η χρονική εξέλιξη του log 10 ( ξ(t) ξ(0) ), και (b) η χρονική εξέλιξη του MEGNO (Y ) για τις ίδιες τροχιές (γκρίζα και µαύρη εστιγµένη γραµµή) όπως στο σχήµα 3.4b,c. Περαιτέρω το APLE µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την ποσοτική εκτίµηση, µέσω του < p >, του εντροπικού δείκτη q = 1 1/ < p > της εντροπίας Τσάλλη (ενότητα.3). Αυτή η εκτίµηση παρουσιάζεται στο σχήµα 3.6, το οποίο αποδίδει τη µέση τιµή του < p >, κατά µήκος µιας τροχιάς στο διάστηµα 0 t T = 10 4, ως συνάρτηση των αρχικών συνθηκών της τροχιάς για όλες τις τροχιές κατά µήκος της σάρωσης ενός ασθενώς χαοτικού στρώµατος όπως του σχήµατος 3.4. Η γενική δοµή αυτού του διαγράµµατος παρουσιάζεται στο σχήµα 3.4a. Ωστόσο, µόνο ένα υποσύνολο από αυτές τις τροχιές διαθέτουν < p > µεγαλύτερο από µονάδα. Αυτές οι τροχιές δίνουν µια µέση τιµή των < p > ίση µε < p > = 1.07, η οποία αντιστοιχεί στην εκτίµηση q = για τον εντροπικό δείκτη Τσάλλη. 3.3 Περιοχές κολλητικότητας Μια περίπτωση ιδιαίτερου ενδιαφέροντος, στην οποία εµφανίζεται ασθενές χάος, είναι η περιοχή κολλητικότητας στα όρια µιας νησίδας ευστάθειας. Το ϕαινόµενο της κολλητικότητας αναφέρεται στη µακρόχρονη παραµονή µιας χαοτικής τροχιάς σε περιοχή ασθενούς χάους προτού η τροχιά διαφύγει σε περιοχή ισχυρότερου χάους. Ο όρος κολλητικότητα εισήχθηκε από τον Karney (1983), αλλά οι συνέπειες του ϕαινόµενου είχαν παρατηρηθεί νωρίτερα (Contopoulos, 1971). Η κολλητικότητα µιας τροχιάς οφείλεται στην ύπαρξη ενός ή περισσότερων σηµειοσυνόλων γνωστών στη ϐιβλιογραφία µε τον όρο cantori (π.χ. (Meiss, 199)). Τα cantori προκύπτουν από την καταστροφή των τόρων KAM (Mather, 198 Aubry and Daeron, 1983). Σύµ- ϕωνα µε το κριτήριο του Greene 3 (Greene, 1979 MacKay, 199), αυτή συµβαίνει όταν ευσταθείς περιοδικές τροχιές, των οποίων οι αριθµοί περιστροφής δηµιουργούν ακολουθίες που το όριο τους είναι ίσο µε τον αριθµό περιστροφής ενός τόρου, γίνουν ασταθείς (ϐλ. π.χ. (Laskar et al., 199 Contopoulos et al., 1987 Froeschlé and Lega, 1996 Efthymiopoulos et al., 1997 Kandrup, 1998 Contopoulos et al., 1999a 3 residue criterion

61 50 Αριθµητικές εφαρµογές του APLE p y0 Σχήµα 3.6: Οπως στο σχήµα 3.4 αλλά για τις µέσες τιµές < p > υπολογισµένες σε ένα διάστηµα 10 4 επαναλήψεων για κάθε τροχιά. Efthymiopoulos et al., 1999) για αριθµητικά παραδείγµατα). Εφόσον η δυναµική σε αυτό το όριο είναι πολύ κοντά στο να γίνει ασταθής, αναµένεται η ασθενής χαοτική τροχιά στην περιοχή κολλητικότητας να παρουσιάσει µια µεταβατική µετασταθή συµπεριφορά για χρόνο της τάξης µεγέθους του χρόνου κολλητικότητας. Για να µελετηθεί αυτό το ϕαινόµενο, επιλέγονται αρχικές συνθήκες στα όρια της νησίδας ευστάθειας όπως στο σχήµα 7 των Contopoulos et al. (1997), συγκεκριµένα λαµβάνονται αρχικές συνθήκες πάνω σε ένα ευθύγραµµο τµήµα µε y 0 = 0.36 και x Ο χρόνος κολλητικότητας είναι ιδιαίτερα µεγάλος (µπορεί να είναι µεγαλύτερος από 10 6 περιόδους) όταν x 0 > Ολοκληρώνοντας αρκετές χαοτικές τροχιές στην περιοχή αυτή, προκύπτουν τρεις διαφορετικοί τρόποι συµπεριφοράς στη χρονική εξέλιξη του APLE, όπως ϕαίνεται στα σχήµατα 3.7a,b,c αντίστοιχα: (a) Μια τροχιά µπορεί να µη σχηµατίσει καθόλου πλατώ πάνω από το p = 1 µέχρι να διαφύγει στη µεγάλη χαοτική ϑάλασσα έξω από τη Ϲώνη κολλητικότητας. (b) Μια τροχιά µπορεί να σχηµατίσει ένα πλατώ που διαρκεί για χρόνο της τάξης µεγέθους του χρόνου κολλητικότητας, π.χ. η τροχιά του σχήµατος 3.7b επιδεικνύει µια ξεκάθαρη µετασταθή συµπεριφορά, µε p 1.3 για 7000 t 5000, ενώ η τροχιά διαφεύγει µετά από 10 5 περιόδους. (c) Μια τροχιά µπορεί να σχηµατίσει πάνω από ένα πλατώ προτού διαφύγει. Η τροχιά στο σχήµα 3.7c σχηµατίζει δύο µεγάλα πλατώ για p 1.5 και p 3, τα οποία διαρκούν για 10 4 και 10 5 περιόδους αντίστοιχα, ενώ ο χρόνος κολλητικότητας είναι της τάξης των περιόδων. Αυτού του είδους η συµπεριφορά των τροχιών είναι εξαιρετικά ευαίσθητη στην επιλογή των αρχικών συνθηκών, γεγονός που συνάδει µε τη µορφοκλασµατική 4 δοµή του ϕασικού χώρου κοντά στα cantori (π.χ. (Greene et al., 1981 Shenker and Kadanoff, 198)). Βασικές εκφάνσεις µιας µορφοκλασµατικής δοµής είναι η ύπαρξη λεπτοµερούς δο- µής σε αυθαίρετα µικρές κλίµακες και η αυτοοµοιότητα, δηλαδή η οµοιότητα των µικρότερων δοµών µε τις µεγαλύτερες. Παράδειγµα µιας τέτοιας δοµής είναι η ύ- παρξη διαφόρων κλάσεων στις τροχιές που περιγράφηκε στην ενότητα 1.6. µέσω 4 fractal

62 3.4 Ο ιστός Arnold για τετραδιάστατες απεικονίσεις 51 3 a b c p 1 1 p p log 10 t log 10 t log 10 t 0 Σχήµα 3.7: Η χρονική εξέλιξη του APLE για µερικές τροχιές οι οποίες ανήκουν στην πε- ϱιοχή κολλητικότητας µιας νησίδας ευστάθειας της τυπικής απεικόνισης για K = 5 (ϐλ. Contopoulos et al. (1997)). Οι αρχικές συνθήκες των τροχιών αυτών είναι: (a) (x 0,y 0 ) = ( ,0.36), (b) (x 0,y 0 ) = ( ,0.36) και (c) (x 0,y 0 ) = ( ,0.36). του αριθµού περιστροφής (σχήµα 1.7). Αυτό που χαρακτηρίζει όµως περισσότερο από όλα τις µορφοκλασµατικές δοµές είναι το γεγονός ότι η διάσταση τους είναι µη ακέραια και η διάσταση των cantori είναι µη ακέραια Ο ιστός Arnold για τετραδιάστατες απεικονίσεις Οι χαοτικοί δείκτες χρησιµοποιούνται ευρύτατα για να απεικονισθεί το δίκτυο των συντονισµών σε πολυδιάστατα διατηρητικά συστήµατα (ιστός Arnold). Στα αριθµητικά παραδείγµατα που ακολουθούν χρησιµοποιείται η τετραδιάστατη συµπλεκτική (Froeschlé et al., 005): x j+1 sin (x j + y j ) = x j ǫ (cos (x j + y j ) + cos(z j + t j ) + 4) y j+1 = y j + x j (modπ) z j+1 sin (z j + t j ) = z j ǫ (cos (x j + y j ) + cos(z j + t j ) + 4) (3.5) t j+1 = t j + z j (modπ) έτσι ώστε να µελετηθεί η συµπεριφορά του APLE στο χαοτικό όριο της περιοχής ενός απλού συντονισµού. Σε αυτήν την απεικόνιση τα (x j, z j ) είναι µεταβλητές δράσης και (y j, t j ) είναι οι συζυγείς τους γωνίες. Οταν ǫ = 0 οι δράσεις x j+1 = x j = x, z j+1 = z j = z έχουν σταθερή τιµή. Οι τιµές των δράσεων καθορίζουν και τις συχνότητες, καθώς ισούνται µε την ανά ϐήµα αλλαγή των γωνιών. Οι γραµµές m 1 x+m z, µε m 1, m να είναι ακέραιοι, δίνουν τον ιστό Arnold των συχνοτήτων στην επιφάνεια των δράσεων. Η χαοτική κίνηση κατά µήκος των ορίων του συντονισµού, όταν ǫ 0, µελετήθηκε λεπτοµερώς από τους Guzzo et al. (004) Froeschlé et al. (005). Ι- διαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι χαοτικές κινήσεις όταν ǫ είναι µικρότερο από ένα κατώφλι ǫ < ǫ 0 το οποίο σηµατοδοτεί την απαρχή της ισχύος του καθεστώτος Nekhoroshev (Nekhoroshev, 1977) (ϐλ. Guzzo et al. (004)). Σε αυτήν την περίπτωση η χαοτική κίνηση αναγνωρίστηκε ως το ϕαινόµενο που αποκαλείται «διάχυση 5 Για µια συνοπτική εισαγωγή στις µορφοκλασµατικές δοµές ϐλ. Ott (1993).

63 5 Αριθµητικές εφαρµογές του APLE Arnold» (Arnold, 1964) (ϐλ. Cincotta (00) για επισκόπηση), δηλαδή η εκθετικά αργή διάχυση των χαοτικών τροχιών µέσω του ιστού Arnold. Αριθµητικά διαγράµµατα του ιστού Arnold στο χώρο των δράσεων σχηµατίζονται µε την έγχρωµη ή διαβαθµιζόµενη γκρίζα σχεδίαση των τιµών ενός χαοτικού δείκτη ως συνάρτηση των αρχικών συνθηκών των τροχιών στο χώρο των δράσεων. ιαγράµµατα αυτού του είδους, για διαφορετικά πολυδιάστατα Χαµιλτονιανά συστήµατα ή απεικονίσεις, έχουν παρουσιασθεί µέσω διαφορετικών δεικτών από τους Laskar (1993) Kaneko and Konishi (1994) Froeschlé and Lega (000) Froeschlé et al. (005) Cincotta et al. (003) Giordano and Cincotta (004). Εδώ χρησι- µοποιήθηκε ο δείκτης APLE p max, για T = 10 4 περιόδους, ώστε να παραχθεί το διάγραµµα του ιστού Arnold για την απεικόνιση (3.5) µε ǫ = Οι αρχικές συν- ϑήκες τέθηκαν έτσι ώστε οι γωνίες να είναι y 0 = t 0 = 0 και ο χώρος των δράσεων (x 0, z 0 ) να καλύπτεται από ένα πλέγµα σηµείων. Για όλες τις τροχιές το αρχικό διάνυσµα απόκλισης είναι (dx 0, dy 0, dz 0, dt 0 ) = ( 1, 0, 0, 1 ). Τα αποτελέσµατα παρουσιάζονται στο σχήµα 3.8a. Η χρωµατική διαβάθµιση αντιστοιχεί σε τιµές του p max που καλύπτουν το διάστηµα 0.6 p max 1.4, ενώ, εάν η υπολογιζόµενη τιµή του p max για µια τροχιά δεν είναι εντός του παραπάνω διαστήµατος, το σχετικό χρώ- µα στο διάγραµµα αντικαθίσταται µε το αντίστοιχο του κατώτατου ορίου 0.6 ή του ανώτατου ορίου 1.4. Το δίκτυο των συντονισµών διακρίνεται καθαρά στο διάγραµµα του σχήµατος 3.8a και είναι παρόµοιο µε αυτό των διαγραµµάτων του ίδιου συστήµατος που παράχθηκαν από τους Froeschlé et al. (005) µε το δείκτη FLI. Οι παραπάνω συγγραφείς µελέτησαν λεπτοµερώς τη διάχυση των χαοτικών τροχιών στο χώρο των δράσεων στην περιοχή του χαοτικού ορίου ενός απλού συντονισµού. Οταν το ǫ είναι αρκετά µικρό, το σύστηµα εµπίπτει στο «καθεστώς Nekhoroshev», στο οποίο ο συντελεστής διάχυσης είναι εκθετικά µικρός και αντίστροφος της διαταραχής, δηλαδή D exp ( (ǫ 0 /ǫ) b) για έναν ϑετικό εκθέτη b ο οποίος υπολογίστηκε από τους Froeschlé et al. (005) να είναι b 0.8. Εφόσον οι διαχεόµενες τροχιές είναι εν γένει πολύ ασθενώς χαοτικές, εκτιµάται ότι µερικές από αυτές ϑα επιδείξουν µετασταθή συµπεριφορά η οποία διαρκεί όσο ο σταθερός ϱυθµός παραγωγής της q εντροπίας κατά Τσάλλη. Πράγµατι, αυτό συµβαίνει για µερικές από τις τροχιές που διερευνήθηκαν από τους Froeschlé et al. (005). Πραγµατοποιώντας µια µεγέθυνση του σχήµατος 3.8a στη γειτονία του χαοτικού ορίου του συντονισµού x z = 0 προκύπτει το σχήµα 3.8b. Οι τροχιές που µελετήθηκαν από τους Froeschlé et al. (005) αντιστοιχούν σε αρχικές συνθήκες (x 0, y 0, z 0, t 0 ) = ( , 0, ,0) (στίγµα (1)), ( , 0, , 0) (στίγµα ()) και ( , 0, , 0) (στίγµα (3)). Το στίγµα (3) ϐρίσκεται κοντά στο κέντρο της χαοτικής Ϲώνης του σχήµατος 3.8b, ενώ τα άλλα δύο ϐρίσκονται στα άκρα της ίδιας Ϲώνης. Στο σχήµα 3.9a ϕαίνεται η χρονική εξέλιξη του APLE p ως συνάρτηση του log 10 t για αυτές τις τροχιές. Στην περίπτωση του στίγµατος (3) στο σχήµα 3.8b, η προκύπτουσα τροχιά δε ϕαίνεται να επιδεικνύει µετασταθή συµπεριφορά, ενώ η µετασταθής συµπεριφορά εµφανίζεται για τις άλλες δύο τροχιές των οποίων οι αρχικές συνθήκες ϐρίσκονται πάνω στο χαοτικό όριο. Επιπλέον, ο υπολογισµός του εκθέτη Lyapunov λ για τις τροχιές των Froeschlé et al. (005) δείχνει ότι ο εκθέτης της τροχιάς (3) είναι της τάξης του λ 10, ενώ των άλλων δύο είναι λ Εποµένως, ακόµα και αν το σύστηµα εµπίπτει στο «καθεστώς Nekhoroshev», µόνο ορισµένες χαοτικές τροχιές εκδηλώνουν τη µετασταθή συµπεριφορά που

64 3.4 Ο ιστός Arnold για τετραδιάστατες απεικονίσεις 53 Σχήµα 3.8: (a) Ενα διάγραµµα της γεωγραφίας των συντονισµών στο χώρο των δράσεων της τετραδιάστατης απεικόνισης (3.5) για ǫ = 0.05 µέσω του δείκτη p max. Το p max είναι υπολογισµένο για T = 10 4 επαναλήψεις ανά τροχιά. Οι αρχικές συνθήκες είναι κατανε- µηµένες σε ένα οµοιόµορφο πλέγµα σηµείων και το αρχικό διάνυσµα απόκλισης για κάθε τροχιά είναι ξ = ( 1 1,0,0, ). Κάθε σηµείο είναι χρωµατισµένο σύµφωνα µε την τιµή του p max στο πεδίο τιµών 0.6 p max 1.4. (b) Μια µεγέθυνση του (a) γύρω από το συντονισµό x j z j =, η οποία παράγεται από ένα σύνολο αρχικών συνθηκών και µε το ίδιο αρχικό διάνυσµα ξ όπως του (a). Η χρωµατική διαβάθµιση για το p max καλύπτει το πεδίο τιµών 1.5 p max. Τα µαύρα στίγµατα αντιστοιχούν σε πέντε αρχικές συνθήκες διαφορετικών τροχιών, συγκεκριµένα (x 0,y 0,z 0,t 0 ) = ( , 0, , 0) (στίγµα (1)), ( , 0, , 0) (στίγ- µα ()), ( , 0, , 0) (στίγµα (3)), ( , 0, ,0) (στίγµα (4)), ( ,0, ,0) (στίγµα (5)).

65 54 Αριθµητικές εφαρµογές του APLE σχετίζεται µε το σταθερό ϱυθµό παραγωγής q εντροπίας, συγκεκριµένα µόνο αυτές των οποίων οι αρχικές συνθήκες είναι κοντά στο σύνορο του χαοτικού ορίου το οποίο διαχωρίζει τις περιοχές συντονισµού από τις περιοχές µη συντονισµού. Για να τεκµηριωθεί περισσότερο το παραπάνω συµπέρασµα, το σχήµα 3.9b δείχνει την τιµή του p max για T = 10 4 ως συνάρτηση της αρχικής ϑέσης της τροχιάς x 0 κατά µήκος γραµµής σάρωσης που περνά κάθετα προς την ευθεία του υπό µελέτη συντονισµού. Παρατηρείται ότι, καθώς η σάρωση πλησιάζει το κέντρο της χαοτικής Ϲώνης, η τιµή του p max αυξάνεται απότοµα. Αυτό το διάγραµµα είναι παρόµοιο µε το αντίστοιχο διάγραµµα του σχήµατος 3.4a, που αφορούσε τη σάρωση του λεπτού χαοτικού στρώµατος στη διδιάστατη τυπική απεικόνιση. Το γεγονός αυτό είναι α- ναµενόµενο, καθώς η δυναµική κοντά στο χαοτικό όριο της περιοχής ενός απλού συντονισµού αποδίδεται ποιοτικά από µία απεικόνιση διαχωριστικής µορφής 6 (Chirikov, 1979 Kuznetsov and Zaslavsky, 1997). Επίσης, το σχήµα 3.9b δείχνει καθαρά ότι οι σχετικά µικρές τιµές του APLE (άνω της µονάδας), οι οποίες οδηγούν σε µεγάλης διάρκειας µετασταθείς συµπεριφορές των τροχιών, αναµένεται να απαντηθούν µόνο κοντά στις αιχµές των χαοτικών ορίων των συντονισµών. Για το λόγο αυτό, λαµβάνοντας δύο αρχικές συνθήκες κατά µήκος της γραµµής σάρωσης του σχήµατος 3.9b (στίγµατα (4) και (5) στο σχήµα 3.8b), και συγκρίνοντας τους χρόνους µετασταθούς συµπεριφοράς (σχήµα 3.9c), προκύπτει ότι ο χρόνος αυτός είναι µεγαλύτερος για την τροχιά (4), που είναι πιο κοντά στα όρια του χαοτικού στρώ- µατος, από την τροχιά (5), που είναι πιο κοντά στο κέντρο του στρώµατος. Ωστόσο, οι δύο τροχιές (4) και (5) είναι σχετικά πιο κοντά στο κέντρο του στρώµατος από ότι οι τροχιές (1) και (). Εποµένως, είναι αναµενόµενο ότι τα µετασταθή χρονικά διαστήµατα που αντιστοιχούν στις τροχιές (4) και (5) είναι πιο σύντοµα από αυτά που αντιστοιχούν στις τροχιές (1) και () (σχήµα 3.9a). Τέλος, το σχήµα 3.10 δείχνει τη µέση τιµή < p > για ένα διάστηµα 0 t 10 4 για τις ίδιες αρχικές συνθήκες όπως αυτές του σχήµατος 3.9b. Αυτές οι τροχιές έχουν < p > άνω της µονάδος, και η µέση τιµή των < p > κατά µήκος της γραµµής της σάρωσης είναι < p > = 1.7, που αντιστοιχούν σε έναν εντροπικό δείκτη q = Συµπεράσµατα Στα κεφάλαια και 3 µελετήθηκε η σχέση µεταξύ της παραγωγής της q εντροπίας κατά Τσάλλη και της συµπεριφοράς των εξισώσεων µεταβολών της κίνησης για ασθενώς χαοτικές τροχιές σε διατηρητικά δυναµικά συστήµατα. Τα ϐασικά συµπεράσµατα αυτών των κεφαλαίων µπορούν να συνοψισθούν ως εξής: 1. Η λύση των εξισώσεων µεταβολών παρουσιάζει µια εκτεταµένη χρονικά µετα- ϐατική συµπεριφορά κατά την οποία το µήκος του διανύσµατος απόκλισης αυξάνεται σχεδόν σαν νόµος δύναµης. Αυτό επιτρέπει να ορισθεί ένας σχεδόν 6 Η απεικόνιση διαχωριστικής µορφής (separatrix like map) προκύπτει από ένα Χαµιλτονιανό σύστηµα H(x, p, t) = H 0 (x, p) + ǫv (x, t) που µπορεί να εκφρασθεί σε µεταβλητές γωνίας δράσης. H 0 (x, p) = E είναι το αδιατάρακτο ολοκληρώσιµο Χαµιλτονιανό σύστηµα, V (x, t) = V (x, t + T) είναι ένα περιοδικό δυναµικό και ǫ η παράµετρος διαταραχής. Αποδεικνύεται (Kuznetsov and Zaslavsky, 1997) ότι το Χαµιλτονιανό σύστηµα H(x, p, t) ανάγεται σε απεικόνιση της µορφής: E n+1 = E n + E n (τ n ), τ n+1 = τ n +π/ω(e n+1 ), όπου E n (τ n ) = ǫ οι συχνότητες ω είναι συναρτήσεις των ενεργειών E. τn+π/ω(e n) τ n π/ω(e n) H 0 p V dt και x

66 3.5 Συµπεράσµατα a b c p pmax p log 10 t x log 10 t 0 Σχήµα 3.9: (a) Η χρονική εξέλιξη του APLE για τις τρεις τροχιές µε αρχικές συνθήκες όπως ϕαίνονται στο σχήµα 3.8ϐ, µαύρη εστιγµένη καµπύλη για το στίγµα (1), γκρίζα καµπύλη για το στίγµα () και λεπτή µαύρη καµπύλη για το στίγµα (3) (b) Η τιµή του p max µετά από T = 10 4 επαναλήψεις ως συνάρτηση των αρχικών συνθηκών x 0 ενός συνόλου τροχιών πάνω στο ευθύγραµµο τµήµα που τέµνει κάθετα την ευθεία συντονισµού του σχήµατος 3.8a. (c) Η χρονική εξέλιξη του p για δύο τροχιές από το ίδιο κάθετο τµήµα µε αρχικές συνθήκες όπως ϕαίνεται στο σχήµα 3.8b, συγκεκριµένα η µαύρη εστιγµένη καµπύλη αντιστοιχεί στο στίγµα (4) (τροχιά κοντά στο χαοτικό όριο του συντονισµού) και η λεπτή συνεχής καµπύλη στο στίγµα (5) (τροχιά κοντά στο κέντρο του χαοτικού στρώµατος του συντονισµού) p x0 Σχήµα 3.10: Οπως στο σχήµα 3.8a, αλλά για τις µέσες τιµές < p > υπολογισµένες για 10 4 επαναλήψεις ανά τροχιά.

67 56 Αριθµητικές εφαρµογές του APLE σταθερός κατά µέση τιµή εκθέτης νόµου δύναµης (APLE) καθ όλο το µεταβατικό χρονικό διάστηµα.. Αυτή η «µετασταθής» συµπεριφορά αιτιολογείται ϑεωρητικά. είξαµε ότι οφείλεται στη χρονική εξέλιξη του διανύσµατος απόκλισης ξ(t) εντός µιας διαχω- ϱιστικού τύπου λεπτής χαοτικής Ϲώνης. Η εξέλιξη είναι της µορφής ξ(t) at + e λt, µε a >> 1 και λ << 1. Ο τελευταίος νόµος εµφανίζεται σχεδόν σαν νόµος δύναµης ξ(t) t p για χρονικά διαστήµατα που διαρκούν έως και t c λ Η µέση τιµή του APLE εντός ενός χαοτικού στρώµατος µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να ορισθεί µια µέση τιµή του εντροπικού δείκτη q για τον οποίο η εντροπία κατά Τσάλλη παρουσιάζει σταθερό ϱυθµό αύξησης. 4. Από τη σκοπιά της αριθµητικής ανάλυσης η µέθοδος των εξισώσεων µεταβολών υπερέχει αυτής των «πολλών ιστοριών» (Baldovin et al., 003, 004 Añaños et al., 005), καθώς, όταν ο ϕασικός χώρος είναι συµπαγής, οι εξισώσεις µετα- ϐολών διατηρούν τον τοπικό ϱυθµό της εξέλιξης των αποκλίσεων µιας τροχιάς για αυθαίρετα µεγάλο χρόνο ολοκλήρωσης, ενώ ο υπολογισµός που ϐασίζεται σε πολλές γειτονικές τροχιές, δηλαδή στις «πολλές ιστορίες», ϕτάνει στο όριο του κορεσµού µέσα σε πεπερασµένο χρόνο, όταν οι τροχιές απλωθούν τόσο ώστε όλη η περιοχή του επιτρεπτού σε αυτές ϕασικού χώρου να έχει καλυφθεί. 5. Ο APLE µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας αποτελεσµατικός αριθµητικός δείκτης διάκρισης οργανωµένων από ασθενώς χαοτικές τροχιές. Υπό αυτή την οπτική γωνία, είναι εξίσου αποτελεσµατικός µε άλλους καθιερωµένους δείκτες, όπως ο FLI και ο MEGNO. Το πλεονέκτηµα του APLE σε σχέση µε άλλους δείκτες είναι ότι δίνει την επιπλέον πληροφορία για τη µέση τιµή του εντροπικού δείκτη q εντός ασθενώς χαοτικού στρώµατος. 6. Αριθµητικές εφαρµογές του APLE δίνονται σε χαµηλοδιάστατες συµπλεκτικές απεικονίσεις. Ο APLE υπολογίζεται µέσα σε ασθενώς χαοτικά στρώµατα και σε περιοχές κολλητικότητας νησίδων ευστάθειας της τυπικής απεικόνισης. Χρησιµοποιήθηκε επίσης στην απεικόνιση του ιστού Arnold, καθώς και στον υπολογισµό του εντροπικού δείκτη q στο χαοτικό όριο µιας περιοχής απλού συντονισµού µιας τετραδιάστατης απεικόνισης.

68 Μέρος II Χάος στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας

69

70 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4 Μελέτη του χάους στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας 4.1 Στοιχεία της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας Στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας (ΓΘΣ) η κίνηση πραγµατοποιείται στο χω- ϱόχρονο, ο χρόνος δηλαδή δεν είναι πλέον µια ξεχωριστή ποσότητα από τις χωρικές συντεταγµένες, όπως στην κλασική µηχανική. Η ϑέση στο χωρόχρονο προσδιορίζεται µέσω του τετραδιανύσµατος ϑέσης x µ. 1 Το στοιχείο x 0 = c t του τετραδιανύσµατος περιγράφει τη χρονική συνιστώσα, όπου c η ταχύτητα του ϕωτός στο κενό και t ο χρόνος του συστήµατος συντεταγµένων που επιλέξαµε. Ενώ, τα x 1, x, x 3 περιγράφουν τις χωρικές συνιστώσες, π.χ. σε ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων x 1 = x, x = y, x 3 = z. Η µορφή ενός τετραδιανύσµατος ϑέσης είναι ένας πίνακας στήλη (4 1): x µ = x 0 x 1 x x 3. (4.1) Η µορφή του χωροχρόνου περιγράφεται στα πλαίσια της ΓΘΣ από µία τανυστική ποσότητα 3 g µν, η οποία ονοµάζεται µετρική και όπου οι δείκτες µ, ν µπορούν να λάβουν τις τιµές 0, 1,, 3. Ο τανυστής g µν µπορεί να γραφεί στη µορφή ενός 4 4 πίνακα που έχει την ακόλουθη µορφή: g µν = g 00 g 01 g 0 g 03 g 10 g 11 g 1 g 13 g 0 g 1 g g 3 g 30 g 31 g 3 g 3. (4.) Κάθε στοιχείο της µετρικής g µν είναι µια συνάρτηση των στοιχείων του τετραδιανύσµατος ϑέσης x µ. Παρατηρούµε ότι, σε αντίθεση µε τη µετρική g µν η οποία έχει τους δείκτες κάτω, το τετραδιάνυσµα ϑέσης x µ έχει το δείκτη πάνω. Η διαφορά αυτή αφορά τον τρόπο 1 Στη διατριβή ακολουθούµε τη συνήθη σύµβαση: οι δείκτες που συµβολίζονται µε ελληνικούς µικρούς χαρακτήρες λαµβάνουν τις τιµές 0, 1,, 3, ενώ αυτοί που συµβολίζονται µε λατινικούς µικρούς χαρακτήρες µόνο τις τιµές 1,, 3. coordinate time 3 Τανυστής είναι µια ανεξάρτητη από συντεταγµένες γεωµετρική οντότητα, που εκφράζεται σε ένα συγκεκριµένο σύστηµα συντεταγµένων ως µία συλλογή στοιχείων µε ορισµένες ιδιότητες µετασχηµατισµού.

71 60 Μελέτη του χάους στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας που οι δύο ποσότητες µετασχηµατίζονται από ένα σύστηµα συντεταγµένων σε ένα άλλο. Εστω λοιπόν ότι έχουµε δύο συστήµατα συντεταγµένων, (x 0, x 1, x, x 3 ) και (x 0, x 1, x, x 3 ), τα οποία µετασχηµατίζονται µέσω των συναρτήσεων x µ = f µ (x 0, x 1, x, x 3 ). Ενα τετραδιάνυσµα A µ, το οποίο µετασχηµατίζεται σύµφωνα µε τον κανόνα A µ = xµ x ν A ν, (4.3) ονοµάζεται ανταλλοίωτο, ενώ ένα τετραδιάνυσµα A µ,το οποίο µετασχηµατίζεται σύµ- ϕωνα µε τον κανόνα A µ = x µ x ν A ν, (4.4) ονοµάζεται συναλλοίωτο. Στις σχέσεις (4.3), (4.4) ακολουθείται η σύµβαση Einstein για την άθροιση, δηλαδή ένας δείκτης που επαναλαµβάνεται σε µια έκφραση ως κάτω και άνω δείκτης υπονοεί άθροιση ως προς το δείκτη αυτό. Το x µ είναι ανταλλοίωτο µέγεθος, ενώ το g µν συναλλοίωτο 4. Η ανταλλοίωτη µορφή της µετρικής συνδέεται µε τη συναλλοίωτη µέσω της σχέσης: g µν g νλ = δ λ µ (4.5) όπου δµ λ είναι το δέλτα του Kronecker, το οποίο σε µορφή πίνακα είναι ο ταυτοτικός 4 4 πίνακας. Ο g µν είναι ο αντίστροφος του g µν. Αν έχουµε µια ποσότητα A µν και µια ποσότητα B νκ οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση A µν B νκ = δµ λ τότε οι A µν, B νκ είναι αντίστροφοι ο ένας του άλλου. Ποσότητες όπως το δµ λ, οι οποίες έχουν και πάνω και κάτω δείκτη ονοµάζονται µικτές. Για να κατεβάσουµε ένα δείκτη µιας τανυστικής ποσότητας την πολλαπλασιάζουµε µε g µν, π.χ. x µ = g µν x ν, ενώ για να ανεβάσουµε ένα δείκτη πολλαπλασιάζουµε την ποσότητα µε g µν, π.χ. x µ = g µν x ν. Η µετρική προσδιορίζει τον τρόπο µε τον οποίο µετράµε την απόσταση µεταξύ δύο χωροχρονικών σηµείων. Αν δύο σηµεία είναι πολύ κοντά το ένα στο άλλο, έτσι ώστε να ϑεωρήσουµε ότι τα τετραδιανύσµατα ϑέσης τους x ν και x ν + dx ν διαφέρουν απειροελάχιστα, τότε η απόσταση µεταξύ των σηµείων δίνεται από το στοιχειώδες µήκος 5 ds του χωροχρόνου µέσω της σχέσης: ds = g µν dx µ dx ν. (4.6) Το στοιχειώδες µήκος είναι µια αναλλοίωτη ποσότητα, δεν εξαρτάται δηλαδή από το σύστηµα συντεταγµένων που επιλέγουµε. Εν γένει κάθε εσωτερικό γινόµενο δύο τετραδιανυσµάτων A µ και B µ είναι αναλλοίωτο A µ B µ = A µ B µ. Αν δύο χωροχρονικά σηµεία απέχουν µόνο ως προς τη χρονική συνιστώσα, δηλαδή dx i = 0 και dx 0 0, τότε: ds = g 00 (dx 0 ) = c dτ. (4.7) Ο χρόνος τ = 1 g00dx 0 ονοµάζεται ιδιόχρονος και είναι ο χρόνος που µετρά c ένας παρατηρητής µεταξύ δύο γεγονότων που συνέβησαν στο ίδιο µε αυτόν χωρικό σηµείο. Λόγω της (4.7) µπορούµε στη ϑέση του στοιχειώδους µήκους ds να χρησιµοποιούµε το στοιχειώδη ιδιόχρονο dτ, καθώς οι δύο ποσότητες είναι ανάλογες, 4 g µν = x µ x ν x g κ x λ 5 κλ line element

72 4.1 Στοιχεία της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας 61 εποµένως από (4.7) και (4.6) έχουµε ότι c dτ = g µν dx µ dx ν ή: c = g µν ẋ µ ẋ ν (4.8) όπου η ποσότητα ẋ µ = dx µ /dτ ονοµάζεται τετραταχύτητα. Στη ΓΘΣ η (4.8) ταυτίζεται ουσιαστικά µε τη συνάρτηση Lagrange για δοκιµαστικά σωµατίδια που έχουν µη µηδενική µάζα ηρεµίας 6 m 0. Ως δοκιµαστικό σωµατίδιο περιγράφεται στο σηµείο αυτό ένα σωµατίδιο µε πολύ µικρή µάζα ηρε- µίας ή µε µηδενική µάζα ηρεµίας m = 0, έτσι ώστε να µην αλλοιώνει το σωµατίδιο τη δοµή του χωροχρόνου. Επιπλέον ϑεωρούµε ότι το δοκιµαστικό αυτό σωµατίδιο δεν έχει ηλεκτρικό ϕορτίο ή άλλη ιδιότητα η οποία ϑα του επέτρεπε να αλληλεπιδρά µέσου άλλου τύπου αλληλεπίδρασης πλην της ϐαρυτικής. Συγκεκριµένα, η συνάρτηση Lagrange L που περιγράφει την κίνηση ενός δοκιµαστικού σωµατιδίου στο χωρόχρονο δεδοµένης µίας µετρικής g µν δίνεται από τη σχέση: L = 1 g µνẋ µ ẋ ν. (4.9) Η συνάρτηση Lagrange για σωµατίδια µη µηδενικής µάζας ηρεµία έχει τιµή ίση µε c /, ενώ για σωµατίδια µηδενικής µάζας ηρεµίας 7, όπως τα ϕωτόνια, L = 0. Οι εξισώσεις κίνησης που προκύπτουν από τις εξισώσεις Euler Lagrange για τη συνάρτηση Lagrange (4.9) είναι της µορφής: Dẋ λ Dτ ẍλ + Γ λ µνẋµ ẋ ν = 0. (4.10) Οι σχηµατιζόµενες από τις (4.10) τροχιές στο χωρόχρονο ονοµάζονται γεωδαισιακές καµπύλες. Οι ποσότητες: Γ λ µν = 1 ( gκµ gλκ x + g κν ν x g ) µν µ x κ (4.11) ονοµάζονται σύµβολα Christoffel και το τετραδιάνυσµα ẍ λ είναι η τετραεπιτάχυνση. Συγκρίνοντας τις (4.10) µε το δεύτερο νόµο του Νεύτωνα F = ma, όπου F η δύναµη και a η επιτάχυνση, µπορούµε να αποκαλέσουµε την ποσότητα mγ λ µνẋ µ ẋ ν τετραδύναµη. Για να περάσουµε σε Χαµιλτονιανή περιγραφή ορίζουµε τη συζυγή ορµή p µ του x µ : p µ = L ẋ = g µνẋ ν µ (4.1) από όπου είναι ϕανερό ότι p µ = ẋ µ. Οπως στην κλασική µηχανική, µέσω του µετασχηµατισµού Legendre: H = p µ ẋ µ L (4.13) 6 Μάζα ηρεµίας ενός σωµατιδίου είναι η µάζα m που µετρά ένας παρατηρητής που κινείται στο σύστηµα αναφοράς του σωµατιδίου. 7 Στην περίπτωση σωµατιδίων µηδενικής µάζας ηρεµίας ds = 0, η σχέση (4.6) γράφεται 0 = g µν dx µ dx ν και οι σχέσεις (4.7), (4.8) δεν ισχύουν. Αντί της (4.8) έχουµε 0 = g µν ẋ µ ẋ ν όπου το τ, όµως, δεν είναι ο ιδιόχρονος, αλλά µια παράµετρος ως προς την οποία παραµετροποιούµε τη συνάρτηση Lagrange, έτσι ώστε L = 0.

73 6 Μελέτη του χάους στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας µπορούµε να µεταβούµε από τη συνάρτηση Lagrange στη συνάρτηση Hamilton: Οι εξισώσεις Hamilton είναι: H = 1 gµν p µ p ν. (4.14) ẋ µ = H p µ, ṗ µ = H x µ. (4.15) Οι εξισώσεις (4.10) ή οι (4.15) περιγράφουν αµφότερες την κίνηση πάνω στις γεωδαισιακές και οι περιγραφές είναι ισοδύναµες. Αν στο χωρόχρονο υπάρχει ένα µη ϐαρυτικό πεδίο, όπως το ηλεκτροµαγνητικό, και ένα σωµατίδιο µικρής µάζας δια- ϑέτει κάποια ιδιότητα η οποία του επιτρέπει να αλληλεπιδρά µε αυτό το πεδίο (π.χ. ηλεκτρικό ϕορτίο) τότε η κίνηση του σωµατιδίου δεν πραγµατοποιείται πάνω στις γεωδαισιακές (4.10), αλλά σε τροχιές οι οποίες καθορίζονται από εξισώσεις της µορφής Dẋ λ Dτ = A λ 0. Η µορφή της µετρικής προσδιορίζεται από τις εξισώσεις πεδίου του Einstein: R µν 1 g µνr = 8πG c 4 T µν. (4.16) Στο αριστερό µέλος της (4.16) ο τανυστής Ricci R µν και η ϐαθµωτή καµπυλότητα R είναι ποσότητες που προέρχονται από δύο διαδοχικές συστολές 8 του τανυστή Riemann: R λ µκν = Γλ νµ x Γλ κµ + Γ λ κ x κσγ σ ν νµ Γ λ νσγ σ κµ. (4.17) Η πρώτη συστολή του τανυστή Riemann δίνει τον τανυστή Ricci και είναι η εξής: R µν = R κ µκν = Γκ νµ x κ Γκ κµ x ν + Γ κ κσ Γσ νµ Γκ νσ Γσ κµ, (4.18) ενώ η δεύτερη δίνει τη ϐαθµωτή καµπυλότητα: R = g µν R µν. (4.19) Στο δεξιό µέλος της (4.16) η ποσότητα G είναι η σταθερά της παγκόσµιας έλξης. Η τανυστική ποσότητα T µν, η οποία ονοµάζεται τανυστής ενέργειας ορµής, είναι η ποσότητα µέσω της οποίας υπεισέρχονται στη ΓΘΣ η ύλη και τα άλλα πεδία που ενδέχεται να υπάρχουν, πλην της ϐαρύτητας. Το στοιχείο T 00 αντιστοιχεί στη σχετικιστική πυκνότητα µάζας 9. Τα στοιχεία T 0i = T i0, αντιστοιχούν στην πυκνότητα ορµής κατά µήκος της i διεύθυνσης ή ισοδύναµα στη ϱοή της σχετικιστικής µάζας διαµέσου της επιφάνειας x i. Τα στοιχεία T ik αντιστοιχούν στη ϱοή της i συνιστώσας της ορµής διαµέσου της επιφάνειας x k. 10 Οι εξισώσεις Einstein (4.16) έχουν στη ΓΘΣ τον ίδιο ϱόλο όπως η εξίσωση Poisson 11 στην κλασική µηχανική. 8 Η συστολή ενός µικτού τανυστή πραγµατοποιείται όταν αντικαταστήσουµε έναν άνω δείκτη του και έναν κάτω δείκτη του µε το ίδιο γράµµα και αθροίσουµε ακολουθώντας τη σύµβαση Einstein. 9 Η πυκνότητα ενέργειας διά του τετραγώνου της ταχύτητας του ϕωτός c στο κενό. 10 Αν η ϱοή είναι ίδια προς όλες τις διευθύνσεις, τότε οι διαγώνιοι όροι T ik µε i = k αντιστοιχούν στην πίεση. 11 V = 4πGρ, όπου V το ϐαρυτικό δυναµικό που προκύπτει από µια κατανοµή µάζας ρ.

74 4. Ανίχνευση του χάους στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Ανίχνευση του χάους στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας Το χάος στα πλαίσια της ΓΘΣ µπορεί να προκύψει τόσο κατά τη µελέτη της γεωδαισιακής κίνησης (4.10) (αυτού του είδους µελέτη πραγµατοποιείται στο κεφάλαιο 5 της διατριβής), όσο και κατά τη µελέτη των εξισώσεων πεδίου (4.16), όπως στο κεφάλαιο 6 της διατριβής. Οι µέθοδοι ανίχνευσης του χάους στα πλαίσια της ΓΘΣ συνήθως προέρχονται από κατάλληλη τροποποίηση αντίστοιχων µεθόδων της κλασικής µηχανικής. Αν και το ϑεώρηµα του Oseledec (1968) εξασφαλίζει ότι οι LCE υπάρχουν και είναι ανεξάρτητοι από την επιλογή της µετρικής του ϕασικού χώρου, η εν λόγω τροποποίηση δεν είναι τετριµµένη και ένα από τα ϐασικά Ϲητούµενα στη ΓΘΣ είναι η αναλλοιότητα των δεικτών χαοτικότητας κάτω από µετασχηµατισµούς χωροχρονικών συντεταγµένων. 1 Η έλλειψη ενός αναλλοίωτου τρόπου ανίχνευσης του χάους µπορεί να οδηγήσει στην εσφαλµένη εντύπωση ότι το χάος στη ΓΘΣ εξαρτάται από το σύστηµα συντεταγµένων 13. Στα πλαίσια της διερεύνησης του ερωτήµατος κατά πόσο υπάρχει αναλλοίωτος τρόπος ανίχνευσης του χάους στη ΓΘΣ, στην περίπτωση της µελέτης κίνησης πάνω στις γεωδαισιακές, προτάθηκε από τους Wu et al. (006) η χρήση του µέτρου του τετραδιανύσµατος της γεωδαισιακής απόκλισης ξ µ και του ιδιόχρονου τ για την εύρεση του LCN. Το τετραδιάνυσµα της γεωδαισιακής απόκλισης ξ µ (τ) είναι ένα απειροστά µικρό τετραδιάνυσµα το οποίο συνδέει δύο σηµεία δύο γειτονικών γεωδαισιακών τη στιγµή τ. 14 Η εξέλιξη των ξ µ περιγράφεται από τη σχέση: D ξ µ Dτ = Rµ νκλ ξκ ẋ ν ẋ λ. (4.0) Ο LCN ορίζεται σύµφωνα µε τους Wu et al. (006) ως εξής: 1 ξ(τ) LCN = lim log τ τ ξ(0) (4.1) όπου ξ(τ) = g µν ξ µ ξ ν. Οσοι δείκτες χαοτικότητας στην κλασική µηχανική πε- ϱιέχουν στον ορισµό τους το λόγο του µέτρου ενός διανύσµατος απόκλισης σε µια χρονική στιγµή προς το µέτρο του διανύσµατος απόκλισης σε µια προηγούµενη χρονική στιγµή, επεκτείνονται στη ΓΘΣ ϑέτοντας στον ορισµό, αντί του µέτρου του διανύσµατος απόκλισης, το µέτρο του τετραδιανύσµατος της γεωδαισιακής απόκλισης. Παραδείγµατα αυτού του είδους δεικτών είναι ο αριθµός διαστολής και ο FLI (ϐλ. υποενότητα 1.6.3). Ενα άλλο αναλλοίωτο εργαλείο ανίχνευσης του χάους στην περίπτωση της κίνησης πάνω στις γεωδαισιακές είναι η ανάλυση συχνοτήτων ως προς τον ιδιόχρονο. Αυτή η µέθοδος έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον στη ΓΘΣ καθώς, όπως παρουσιάζεται στο 1 Για παράδειγµα το µέτρο του διανύσµατος απόκλισης ξ µιας χαοτικής τροχιά ακολουθεί έναν εκθετικό νόµο ξ e λt, εφαρµόζοντας όµως το χρονικό µετασχηµατισµό t = e λt, προκύπτει ότι ξ t και η τροχιά συµπεριφέρεται πλέον ως οργανωµένη. 13 Το κοσµολογικό πρότυπο του Mixmaster είναι ένα παράδειγµα που δείχνει πόσο σηµαντική είναι αναλλοιότητα των χαοτικών δεικτών στη ΓΘΣ, καθώς µέχρι και σήµερα συζητάται αν το πρότυπο Mixmaster είναι χαοτικό ή όχι. Για µία αναδροµή πάνω στο πρόβληµα του Mixmaster ϐλ. Montani et al. (008). 14 Τα τετραδιανύσµατα γεωδαισιακής απόκλισης είναι για την κίνηση πάνω στις γεωδαισιακές καµπύλες ό,τι τα διανύσµατα απόκλισης για τις τροχιές στην κλασική µηχανική.

75 64 Μελέτη του χάους στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας κεφάλαιο 5, σχετίζεται µε την πειραµατική ανίχνευση της δοµής του χωροχρόνου γύ- ϱω από σώµατα µεγάλης µάζας µέσω ϐαρυτικών κυµάτων. Η ανάλυση του σήµατος των ϐαρυτικών κυµάτων κατά Fourier δίνει το ϕάσµα των συχνοτήτων, από το οποίο, όπως είδαµε στην υποενότητα 1.6., µπορεί να προκύψει άµεσα η πληροφορία για τη χαοτικότητα ή µη της τροχιάς. Επιπλέον, µε τη χρήση του αριθµού περιστροφής (ϐλ. υποενότητα 1.6.) και της σχέσης (1.50) είναι δυνατή η µελέτη της δοµής του χωροχρόνου γύρω από την κεντρική µάζα, καθώς ο αριθµός περιστροφής είναι κατάλληλος για την ανίχνευση των ϐασικών συντονισµών, των καµπυλών KAM και των χαοτικών περιοχών. Περισσότερα πάνω στο ϑέµα αναπτύσσονται στο κεφάλαιο 5. Οπως περιγράψαµε στην υποενότητα 1.6.1, η µέθοδος των επιφανειών τοµής µας δίνει µια άµεση αίσθηση για τη δοµή του ϕασικού χώρου των δυναµικών συστηµάτων. Η δοµή του ϕασικού χώρου σε χαοτικά συστήµατα είναι στενά συνδεδεµένη µε την ύπαρξη µορφοκλασµατικών συνόλων. Η εποπτική ανίχνευση της µορφοκλασµατικής δοµής και η εύρεση της µορφοκλασµατικής διάστασης είναι µέθοδοι οι οποίες χρησιµοποιούνται για την ανίχνευση του χάους τόσο στη µελέτη της γεωδαισιακής κίνησης (4.10), π.χ. γύρω από µελανές οπές (Contopoulos, 1990 Dettmann et al., 1995 de Moura and S.Letelier, 000 Contopoulos and Harsoula, 005 Alonso et al., 008), όσο και στη µελέτη των εξισώσεων πεδίου (4.16), όπως αυτές που πε- ϱιγράφουν διάφορα κοσµολογικά πρότυπα (Cornish and Levin, 1996, 1997a,b). Η µορφοκλασµατική δοµή ενός συστήµατος είναι γεωµετρικό χαρακτηριστικό του ϕασικού χώρου και είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του συστήµατος συντεταγµένων. Μια επίσης ενδιαφέρουσα γεωµετρική µέθοδος µελέτης του χάους είναι η γεωµετροδυναµική προσέγγιση 15 (GDA, Cipriani and di Bari (1998)), η οποία ανάγει ένα σύστηµα σε ένα χώρο Riemann για να ανιχνεύσει το χάος µέσω των καµπυλοτήτων του χώρου (Arnold, 1989 Szydlowski, 1993 Pettini, 1993 Cipriani and di Bari, 1998). Συγκεκριµένα, έστω ότι έχουµε µια συνάρτηση Lagrange µε τετραγωνικό κινητικό όρο: dq I dq J L = a IJ dt dt V (4.) όπου V είναι ένα δυναµικό που εξαρτάται µόνο από τις ϑέσεις q I. Οι κεφαλαίοι λατινικοί δείκτες λαµβάνουν τιµές 1,,.., N, όπου N είναι το πλήθος των ϐαθµών ελευθερίας του συστήµατος. Ο αντίστοιχος χώρος Riemann περιγράφεται από τη µετρική: g IJ = (E V )a IJ (4.3) όπου E είναι το ολοκλήρωµα που προκύπτει εφόσον το σύστηµα (4.) είναι αυτόνοµο. 16 Η ανίχνευση του χάους στη GDA, για µια τροχιά πάνω σε µια γεωδαισιακή, γίνεται συνήθως µέσω των εξής δύο δεικτών: R1 = 1 N(N 1)T όπου R η ϐαθµωτή καµπυλότητα (4.19), και R = 1 NT T 0 T 0 R IJ dq I dt Rdt, (4.4) q J dt (4.5) dt 15 geometrodynamical approach 16 Σε περίπτωση που το σύστηµα (4.) δεν είναι αυτόνοµο µπορεί να αναχθεί σε αυτόνοµο αυξάνοντας κατά ένα τους ϐαθµούς ελευθερίας (ϐλ. π.χ. (Lichtenberg and Lieberman, 199).

76 4. Ανίχνευση του χάους στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας 65 όπου R IJ ο τανυστής Ricci. Οπως ϕαίνεται από τις (4.4), (4.5) οι δείκτες R1, R είναι η µέση τιµή της ϐαθµωτής καµπυλότητας και του τανυστή Ricci αντίστοιχα. Αν τα R1, R είναι αρνητικά τότε µια τροχιά χαρακτηρίζεται ως χαοτική. Ωστόσο στα άρθρα (Pettini, 1993 Cipriani and di Bari, 1998) γίνεται αναφορά για ύπαρξη χάους και σε περιπτώσεις που τα R1, R είναι ϑετικά. Αν και σε αρκετές περιπτώσεις οι R1, R δίνουν ικανοποιητικά αποτελέσµατα, ποια είναι ακριβώς η τιµή των R1, R που δηλώνει την ύπαρξη χάους παραµένει ακόµα ανοιχτό ϑέµα (Cipriani and di Bari, 1998). Είναι επίσης ενδιαφέρον να αναφερθεί ότι, στα πλαίσια της GDA, οι di Bari and Cipriani (1998) όρισαν και ένα δείκτη παρόµοιο µε αυτόν των Wu et al. (006) (4.1) για N = 4, χωρίς ωστόσο να τον ταυτοποιήσουν ως το LCN της ΓΘΣ. Τέλος σε ορισµένες περιπτώσεις, όπως αυτή που εξετάζεται στο κεφάλαιο 6, η επίλυση των ίδιων των εξισώσεων πεδίου (4.16) µας οδηγεί σε δυναµικά συστήµατα µε ιδιαιτερότητες ως προς την ανίχνευση του χάους. Για αυτές τις περιπτώσεις οι Contopoulos et al. (1999b) πρότειναν µια προσέγγιση η οποία προσφέρει ενδείξεις για την ύπαρξη του χάους. Η προσέγγιση των Contopoulos et al. (1999b) παρουσιάζεται και εφαρµόζεται στο κεφάλαιο 6 της διατριβής στα πλαίσια της µελέτης ενός ενδιαφέροντος κοσµολογικού προτύπου.

77 66 Μελέτη του χάους στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας

78 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5 Η µη γραµµική δυναµική του χωροχρονικού υποβάθρου Manko Novikov Ενα από τα ϐασικά πεδία εφαρµογής της ΓΘΣ είναι η µελέτη του χωροχρόνου γύρω από συµπαγή αστροφυσικά αντικείµενα. Ως συµπαγή ϑεωρούµε αντικείµενα των οποίων η µέση πυκνότητα ξεπερνά τα 10 9 kg/m 3. Τέτοιου είδους αντικείµενα είναι οι λευκοί νάνοι, οι αστέρες νετρονίων και οι µελανές οπές. Η µάζα των λευκών νάνων κυµαίνεται από 0. ηλιακές µάζες περίπου (M kg) µέχρι τις 1.4M, όπου είναι το όριο σχηµατισµού των αστέρων νετρονίων. Η µάζα των αστέρων νετρονίων µπορεί να ϕτάσει τις 3M. Ενώ η µάζα των µελανών οπών ξεπερνά τις 3M και µπορεί να ϕθάσει την τάξη µεγέθους πολλών εκατοµµυρίων ηλιακών µαζών. Για να µελετήσουµε το χωροχρονικό υπόβαθρο γύρω από ένα συµπαγές αντικείµενο, πρέπει µέσα στο υπόβαθρο αυτό να υπάρχει ένα άλλο αστροφυσικό αντικείµενο που παίζει το ϱόλο δοκιµαστικού σωµατιδίου διαγράφοντας τροχιές που συµπίπτουν πρακτικά µε τις γεωδαισιακές τροχιές του υποβάθρου (ϐλ. π.χ. (Misner et al., 1973)). Η µάζα του δοκιµαστικού σωµατιδίου στην πράξη αρκεί να είναι αµελητέα σε σχέση µε τη µάζα του αντικειµένου που δηµιουργεί το χωροχρονικό υπόβαθρο, έτσι ώστε το υπόβαθρο να µην αλλοιώνεται από το ϐαρυτικό πεδίο του δοκιµαστικού σωµατιδίου. Ενδιαφερόµαστε για συστήµατα δύο συµπαγών αντικειµένων στα οποία ο λόγος µαζών των αντικειµένων είναι ακραίος. Τέτοια συστήµατα ονοµάζονται συστήµατα σπειροειδούς προσέγγισης ακραίου λόγου µάζας (EMRI) 1. Για παράδειγµα, ένα EMRI αποτελείται από µια µελανή οπή πολύ µεγάλης µάζας, της τάξης των 10 4 M, και µια µικρότερη µελανή οπή της τάξης µερικών ηλιακών µαζών, η οποία κινείται στο χωροχρονικό υπόβαθρο της µεγάλης µελανής οπής. Οταν ένα συµπαγές αντικείµενο κινείται γύρω από ένα άλλο συµπαγές αντικεί- µενο, η ΓΘΣ προβλέπει ότι το σύστηµα των δύο αντικειµένων χάνει ενέργεια και στροφορµή. Η πρόβλεψη αυτή επιβεβαιώθηκε από την παρατήρηση του Ϲεύγους α- στέρων νετρονίων PSR το οποίο ανακάλυψαν οι Taylor και Hulse το 1974 (Hulse and Taylor, 1975). Οπως έχει αποδειχθεί, η απόσταση µεταξύ των αστέρων νετρονίων του Ϲεύγους PSR µειώνεται µε τρόπο συµβατό µε τις προβλέψεις της ΓΘΣ. Η ΓΘΣ προβλέπει συγκεκριµένα ότι η ενέργεια και η στροφορµή χάνονται από το σύστηµα µέσω ϐαρυτικών κυµάτων. Τα ϐαρυτικά κύµατα είναι διακυµάνσεις της καµπυλότητας του χωροχρονικού υποβάθρου στο οποίο διαδίδονται σαν κύµα καθώς αποµακρύνονται από το αίτιο που τα προκάλεσε. Τέτοιο αίτιο είναι η επιταχυνόµενη κίνηση συµπαγών αντικειµένων µέσα σε χωροχρονικό υπόβαθρο. Σε ένα σύστηµα EMRI η σπειροειδής κίνηση του µικρού αντικειµένου είναι σε καλή προσέγγιση µια πολύ αργή (αδιαβατική) µετάβαση από γεωδαισιακή σε γεω- 1 Extreme Mass Ratio Inspiral

79 68 Η µη γραµµική δυναµική του χωροχρονικού υποβάθρου Manko Novikov δαισιακή τροχιά (ϐλ. π.χ. (Hughes et al., 005)). Οι συχνότητες των ϐαρυτικών κυµάτων εξαρτώνται άµεσα από τις συχνότητες στις οποίες αναλύεται αυτή η σπει- ϱοειδής κίνηση του αντικειµένου. Οι συχνότητες αυτές αναµένεται να καταγραφούν από τη διάταξη ανίχνευσης ϐαρυτικών κυµάτων LISA (Bender et al., 1998). Οποιαδήποτε πληροφορία για το χωροχρονικό υπόβαθρο ενός συµπαγούς αντικειµένου ϑα προέλθει από τη µελέτη των συχνοτήτων των καταγραφόµενων ϐαρυτικών κυµάτων. Για αυτό η µελέτη της γεωδαισιακής κίνησης γύρω από συµπαγή αντικείµενα ως προσέγγιση συστηµάτων EMRI παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον τα τελευταία χρόνια (ϐλ. π.χ. (Glampedakis and Babak, 006 Drasco and Hughes, 006 Gair et al., 008 Levin and Perez Giz, 009)). 5.1 Η µετρική Kerr Το χωροχρονικό υπόβαθρο γύρω από αστροφυσικά αντικείµενα πολύ µεγάλης µάζας καθορίζεται πλήρως µέσω µιας µετρικής η οποία είναι λύση των εξισώσεων πεδίου του Einstein (4.16) για κενό χωρόχρονο, δηλαδή για χωρόχρονο όπου τα στοιχεία του τανυστή ενέργειας ορµής είναι όλα µηδενικά σε κάθε σηµείο του χωροχρόνου πλην του σηµείου όπου ϐρίσκεται το µαζικό αντικείµενο. Μια τέτοια λύση είναι η µετρική Kerr, η οποία περιγράφει το χωρόχρονο γύρω από ένα περιστρεφόµενο συµπαγές σώµα µάζας M και ιδιοστροφορµής χm. Τη χ που είναι η αδιάστατη παράµετρος της ιδιοστροφορµής την αποκαλούµε στη συνέχεια, για απλότητα, ιδιοστροφορµή. Το στοιχειώδες µήκος της µετρικής Kerr γράφεται συνήθως στο σύστηµα συντεταγµένων Boyer Lindquist και έχει την ακόλουθη µορφή: ds = g tt dt + g rr dr + g θθ dθ + g φφ dφ + g tφ dt dφ (5.1) όπου: g tt = (1 Mr ) (r +(χm cos θ) ) g rr = (r +(χm cos θ) ) r Mr+(χM) g θθ = (r + (χm cosθ) ) g φφ = ( ) r + (χm) Mr(χM sin θ) + sin θ (r +(χm cos θ) ) (5.) g tφ = 4χM r sin θ (r +(χm cos θ) ) όπου (r, θ, φ) είναι το συνηθισµένο σφαιρικό σύστηµα συντεταγµένων. Στο σηµείο r = 0 ϐρίσκεται το µαζικό αντικείµενο που παράγει το χωροχρονικό υπόβαθρο. Για M = 0 η µετρική 5.1 είναι ο επίπεδος χωρόχρονος γραµµένος σε σφαιρικό σύστηµα συντεταγµένων. Σε επίπεδο χωρόχρονο καταλήγουµε και στο ασυµπτωτικό όριο r. Τα δύο παραπάνω όρια είναι απαραίτητα για κάθε µετρική που ϑέλουµε να περιγράφει το χωρόχρονο γύρω από αστροφυσικό αντικείµενο µάζας M. Η µετρική Kerr έχει ιδιαίτερη σηµασία στη ΓΘΣ, καθώς, σύµφωνα µε ϑεωρητικές προβλέψεις, ο χωρόχρονος γύρω από στατικές 3 µελανές οπές, δηλαδή µελανές οπές Laser Interferometer Space Antenna 3 stationary

80 5. Η µετρική Manko Novikov 69 οι οποίες έχουν καταλήξει σε µια «τελική» κατάσταση ισορροπίας, περιγράφεται σε πολύ καλή προσέγγιση από τη µετρική Kerr. Η µετρική Kerr γύρω από µία ηλεκτρικά ουδέτερη µελανή οπή ικανοποιεί το ϑεώρηµα ότι οι µελανές οπές δεν έχουν τρίχες 4 (Misner et al., 1973), διότι ο χωρόχρονος που περιγράφεται από τη µετρική Kerr καθορίζεται µονοσήµαντα από τη µάζα M και την ιδιοστροφορµή χ της µελανής οπής. Συγκεκριµένα, οι πολυπολικές ϱοπές 5 του χωροχρόνου που περιγράφεται από τη µετρική Kerr (π.χ. (Thorne, 1980)) δίνονται από την ακόλουθη σχέση: M (K) l + ıs (K) l = M(ıχM) l l N, ı = 1 (5.3) από την οποία ϕαίνεται ότι όλες οι πολυπολικές ϱοπές εξαρτώνται µόνο από τη µάζα M και την ιδιοστροφορµή χ της µελανής οπής. Γύρω από κάθε µελανή οπή υπάρχει µια επιφάνεια µέσα από την οποία κανένα σήµα δε µπορεί να ϕτάσει σε ένα εξωτερικό παρατηρητή. Αυτή η επιφάνεια ονοµάζεται ορίζοντας γεγονότων 6. Στη µετρική Kerr ο ορίζοντας γεγονότων είναι η ε- πιφάνεια που ορίζεται από τον απειρισµό της ακτινικής συνιστώσας g rr της µετρικής. Ο απειρισµός της g rr πραγµατοποιείται όταν r r h = M(1 + 1 χ ). (5.4) Η εξίσωση (5.4) ορίζει µια σφαίρα ακτίνας r h. Μια άλλη ενδιαφέρουσα περιοχή γύρω από µία µελανή οπή τύπου Kerr είναι η εργόσφαιρα. Η περιοχή της εργόσφαιρας εκτείνεται µεταξύ του ορίζοντα γεγονότων και του λεγόµενου «στατικού ορίου 7». Το στατικό όριο ορίζεται από το µηδενισµό της χρονικής συνιστώσας g tt της µετρικής. Η συνιστώσα g tt είναι µηδέν όταν: r r s = M(1 + 1 (χ cosθ) ). (5.5) Είναι προφανές ότι r h r s και ότι το στατικό όριο εφάπτεται µε τον ορίζοντα γεγονότων για cos θ = ±1. Ο Penrose (1969) ανακάλυψε ότι είναι δυνατό να αντλήσουµε ενέργεια από µια µελανή οπή µέσω της εργόσφαιρας της. Σύµφωνα µε τους µηχανισµούς που πρότεινε ο Penrose (1969), η απώλεια ενέργειας στη µελανή οπή προέρχεται από τη µείωση της ιδιοστροφορµής της χ. Εποµένως, από µία µελανή οπή µπορούµε να αντλούµε ενέργεια µέχρι να µηδενιστεί η ιδιοστροφορµή της. Οταν χ = 0 η εργόσφαιρα χάνεται και η µετρική που περιγράφει το χωρόχρονο γύρω από τη µελανή οπή ανάγεται στη µετρική Schwarzschild. 5. Η µετρική Manko Novikov Αν µεταβάλουµε το χωρόχρονο Kerr προσθέτοντας έναν επιπλέον τετραπολικό όρο M 3 q στη M (K), έτσι ώστε οι πρώτες πολυπολικές ϱοπές του καινούργιου χωροχρόνου 4 no hair theorem 5 Οι πολυπολικές ϱοπές περιγράφουν ένα στατικό, ασυµπτωτικά επίπεδο, κενό χωροχρονικό υπό- ϐαθρο ορίζονται ως τανυστικές ποσότητες σε σηµείο που ϐρίσκεται στο άπειρο σε σχέση µε το σώµα που παράγει το υποβαθρο. Υπάρχουν δύο είδη πολυπολικών ϱοπών, οι πολυπολικές ϱοπές µάζας M l και οι πολυπολικές ϱοπές ϱεύµατος µάζας S l. Στο νευτώνειο όριο οι πολυπολικές ϱοπές αυτές ταυτίζονται µε τις συνήθεις πολυπολικές ϱοπές ενός νευτώνειου δυναµικού (Hansen, 1974). 6 event horizon 7 static limit

81 70 Η µη γραµµική δυναµική του χωροχρονικού υποβάθρου Manko Novikov να έχουν την ακόλουθη µορφή (Gair et al., 008): M 0 = M, S 0 = 0, M 1 = 0, S 1 = χm, M = M 3 (χ + q), S = 0, M 3 = 0, S 3 = M 4 (χq + χ 3 ) (5.6) οι πολυπολικές ϱοπές (5.6) περιγράφουν µια µετρική, η οποία ονοµάστηκε από τους Gair et al. (008) «µετρική του ανώµαλου χωροχρόνου µελανής οπής 8». Η µετρική αυτή είναι µια ειδική περίπτωση από τη γενικότερη κατηγορία µετρικών που αναπτύχθηκαν από τους Manko και Novikov (199). Η ειδική αυτή µορφή της µετρικής Manko Novikov (MN) είναι ϐολικό να περιγραφεί στο επίµηκες σφαιροειδές 9 σύστηµα συντεταγµένων Weyl Papapetrou. Η µετάβαση από το σφαιρικό σύστη- µα συντεταγµένων Boyer Lindquist (t, r, θ, φ) στο επίµηκες σφαιροειδές σύστηµα συντεταγµένων Weyl Papapetrou (t, x, y, φ) γίνεται µέσω του ακόλουθου µετασχη- µατισµού: r = xm(1 + 1 χ ), (5.7) cosθ = y. Στο επίµηκες σφαιροειδές σύστηµα συντεταγµένων Weyl Papapetrou το στοιχειώδες µήκος της µετρικής MN γράφεται: ds = g tt dt + g xx dx + g yy dy + g φφ dφ + g tφ dt dφ. (5.8) Τα στοιχεία της µετρικής είναι συναρτήσεις των επιµήκων σφαιροειδών µεταβλητών x, y: όπου: g tt = f, g xx = k e γ (x y ) f(x 1) g yy = k e γ (x y ) f(1 y ) g φφ = ( k (x 1)(1 y ) fω ), f = ω f g φt 8 bumpy black hole spacetime 9 prolate spheroidal,, (5.9) f = e ψ A B, (5.10) ω = ke ψc A 4k α 1 α, (5.11) e γ = e A γ (x 1)(1 α ), (5.1)

82 5. Η µετρική Manko Novikov 71 A = (x 1)(1 + a b) (1 y )(b a), (5.13) B = [x (x 1)a b] + [(1 + y)a + (1 y)b], (5.14) C = (x 1)(1 + a b)[b a y(a + b)] + (1 y )(b a)[1 + a b + x(1 a b)], (5.15) ψ = β P R3, (5.16) γ x = ln 1 x y + 3β R 6(P 3 P ) ( ) x y + ( 1) l (x + y) + β P R l+1 l, (5.17) l=0 a = α exp b = α exp [ [ β β ( ( l=0 l=0 (x y)p l R l+1 )] ( 1) 3 l (x + y)p l R l+1, (5.18) )], (5.19) R = x + y 1, (5.0) = P l ( x y R ), P l(w) = 1 ( ) l d (w 1) l l (5.1) l! dw P l Τα k, α και β είναι παράµετροι οι οποίες καθορίζονται από τις πολυπολικές ϱοπές και έχουν την ακόλουθη µορφή: α = χ χ, k = M 1 α 1 + α, β = q ( ) 1 + α 3. (5.) 1 α Συγκρίνοντας την πολυπολική ϱοπή M της µετρικής MN (5.3) µε την αντίστοιχη της µετρικής Kerr (5.3) M (K) = M 3 χ προκύπτει ότι q (M M (K) )/M 3. Για q = 0, η µετρική (5.8) περιγράφει την ίδια µορφή χωροχρόνου γύρω από το σώµα µάζας M µε τη (5.1), δηλαδή χωρόχρονο Kerr. Είναι ϕανερό από τη µορφή του µετασχηµατισµού (5.7) ότι στις επιµήκεις σφαι- ϱοειδείς συντεταγµένες Weyl Papapetrou το ϱόλο της ακτινικής απόστασης r τον έχει η συντεταγµένη x. Για να ϐρούµε, λοιπόν, τον ορίζοντα των γεγονότων στη µετρική MN αναζητούµε την επιφάνεια πάνω στην οποία απειρίζεται η συνιστώσα g xx της (5.8). Αυτό συµβαίνει όταν x = 1 και y k, δηλαδή ο ορίζοντας γεγονότων στη µετρική MN ταυτίζεται µε αυτόν της µετρικής Kerr. Ωστόσο, ο ορίζοντας της µετρικής MN διακόπτεται από µια σηµειακή ανωµαλία x = 1, y = 0 στο σύστηµα συντεταγµένων Weyl Papapetrou, η οποία αντιστοιχεί σε µια κυκλική καµπύλη ακτίνας r h για θ = π/ στο σύστηµα συντεταγµένων Boyer Lindquist. Ετσι, η µετρική MN ικανοποιεί την απαίτηση του ϑεωρήµατος του ότι «οι µελανές οπές δεν έχουν τρίχες», διότι, αν και περιέχει την τετραπολική απόκλιση q στις πολυπολικές ϱοπές της, ο ορίζοντας γεγονότων δεν καλύπτει την ανωµαλία στη ϑέση x = 1, y = 0 (Gair et al., 008). Ενας άλλος λόγος που η µετρική MN ικανοποιεί το εν λόγω ϑεώρηµα είναι ότι η πε-

83 7 Η µη γραµµική δυναµική του χωροχρονικού υποβάθρου Manko Novikov ϱιοχή όπου υπάρχουν κλειστές χρονοειδείς 10 καµπύλες 11 είναι έξω από τον ορίζοντα των γεγονότων (Gair et al., 008). Στη µετρική MN (5.8) η περιοχή αυτή εµφανίζεται όπου g φφ < 0. Η ονοµασία των κλειστών χρονοειδών καµπυλών προκύπτει από το γεγονός ότι σωµατίδια που κινούνται πάνω στις καµπύλες αυτές ξαναγυρνούν στο χωροχρονικό σηµείο από το οποίο ξεκίνησαν, επιτρέποντας κατά αυτόν τον τρόπο το ταξίδι πίσω στο χρόνο. Για αυτό και οι κλειστές χρονοειδείς καµπύλες ϑεωρείται ότι δεν έχουν ϕυσική υπόσταση. Για την περαιτέρω µελέτη του χωροχρόνου MN καταλληλότερη είναι η χρήση κυλινδρικών συντεταγµένων ρ και z, οι οποίες συνδέονται µε τις επιµήκεις σφαιροειδείς συντεταγµένες x και y µέσω των ακολούθων σχέσεων: ρ = k (x 1)(1 y ), z = kxy. (5.3) Στις νέες συντεταγµένες η συνάρτηση Lagrange που αντιστοιχεί στη µετρική MN έχει την ακόλουθη µορφή: L = 1 ( f(ṫ ω φ) [ ] + f 1 e γ ( ρ + ż ) + ρ φ ) (5.4) όπου µε συµβολίζουµε την παραγώγιση ως προς τον ιδιόχρονο τ. Η συνάρτηση Lagrange (5.4) δεν εξαρτάται ϱητά από τον ιδιόχρονο τ, το χρόνο t και τη γωνία φ. Εποµένως, ένα δοκιµαστικό σωµατίδιο µάζας µ που κινείται πάνω στις γεωδαισιακές, που καθορίζονται από τη µετρική MN, υπακούει σε τρία ολοκλη- ϱώµατα της κίνησης. Το ένα είναι η ίδια η συνάρτηση Lagrange, η οποία εκφράζει τη διατήρηση της µάζας µ. Ενώ, η στατικότητα της µετρικής συνεπάγεται τη διατήρηση της ενέργειας ανά µάζα µ: E = L ṫ = f(ṫ ω φ) (5.5) και η αξονική συµµετρία τη διατήρηση της z-συνιστώσας της στροφορµής ανά µάζα µ: L z = L φ = fω(ṫ ω φ) + ρ φ/f. (5.6) Τις ποσότητες E, L z αποκαλούµε στη συνέχεια, για απλότητα, ενέργεια και στρο- ϕορµή αντίστοιχα. Η ενέργεια και η στροφορµή είναι ανεξάρτητα ολοκληρώµατα σε ενέλιξη, εποµένως από σύστηµα τεσσάρων ϐαθµών ελευθερίας, το σύστηµα περιο- ϱίζεται στους δύο. Στην περίπτωση που q = 0 εµφανίζεται ένα ακόµα ολοκλήρωµα που ονοµάζεται σταθερά του Carter (1968). Η ύπαρξη της σταθεράς Carter στην περίπτωση της µετρικής Kerr συνεπάγεται την ολοκληρωσιµότητα του συστήµατος για q = 0. Για q 0 το σύστηµα είναι ϐαθµών ελευθερίας και µη ολοκληρώσιµο, καθώς όπως ϑα δείξουµε στη συνέχεια αφενός υπάρχουν γεωδαισιακές τροχιές οι οποίες είναι χαοτικές και αφετέρου στη ϑέση των συντονισµένων τόρων εµφανίζονται Ϲώνες συντονισµού που χαρακτηρίζονται από την εναλλαγή νησίδων ευστάθειας µε περιοχές τοπικού χάους. 10 Οταν µια καµπύλη είναι χρονοειδής το τετράγωνο του στοιχειώδους µήκους είναι αρνητικό ds < closed timelike curves

84 5.3 Η εξωτερική περιοχή επιτρεπτής γεωδαισιακής κίνησης 73 και Συνδυάζοντας τα ολοκληρώµατα (5.5), (5.6) παίρνουµε: ṫ = φ = f(l z ωe) k (x 1)(1 y ), (5.7) ωf(l z ωe) k (x 1)(1 y ) + E f. (5.8) Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις (5.7), (5.8) στη Λαγκρανζιανή προκύπτει ότι: 1 ( ρ + ż ) + V eff (ρ, z) = 0, (5.9) όπου: [ V eff (ρ, z) = f 1 E e γ f + f ( ) ] Lz ωe ρ (5.30) έχει το ϱόλο ενός διδιάστατου νευτώνειου δυναµικού. Είναι ϕανερό από τη (5.9) ότι γεωδαισιακές κινήσεις µπορούν να πραγµατοποιηθούν µόνο όταν V eff 0. Το όριο της περιοχής όπου η γεωδαισιακή κίνηση είναι επιτρεπτή καθορίζεται από την καµπύλη µηδενικής ταχύτητας, δηλαδή από τη συνθήκη V eff = 0. Για να αποκτήσουµε µια πρώτη εποπτική αντίληψη της δοµής του χωροχρόνου MN σχεδιάζουµε για ένα συγκεκριµένο σύνολο παραµέτρων (E = 0.95, L z = 3, M = 1, χ = 0.9, q = 0.95) πάνω στο επίπεδο (ρ, z) τις ακόλουθες καµπύλες: (a) την καµπύλη της µηδενικής ταχύτητας, (b) το στατικό όριο, (c) το όριο που εµφανίζονται οι κλειστές χρονοειδείς καµπύλες, όπως ϕαίνεται στο σχήµα (5.1). Οι περιοχές επιτρεπτής γεωδαισιακής κίνησης (σχήµα 5.1) στην εξεταζόµενη περίπτωση είναι επτά, ωστόσο αυτές που ϑα µας απασχολήσουν στη συνέχεια είναι µόνο δύο, στις οποίες η κίνηση των γεωδαισιακών τροχιών είναι δέσµια. Στις υπόλοιπες πέντε περιοχές το σύστηµα εµφανίζει διαφυγές, καθώς οι γεωδαισιακές τροχιές περνούν τον ορίζοντα κινούµενες προς τη σηµειακή κεντρική ανωµαλία. Οι δύο περιοχές δέσµιας κίνησης εκτείνονται κατά µήκος του άξονα ρ η µία ανήκει στο πεδίο τιµών.3 ρ 14 την οποία ονοµάζουµε «εξωτερική περιοχή» και η άλλη στο πεδίο τιµών 0.7 ρ. την οποία ονοµάζουµε «εσωτερική περιοχή» ακολουθώντας την ορολογία των Gair et al. (008). Η υπέρθεση των τριών καµπυλών (σχήµα 5.1d) δείχνει ότι το στατικό όριο τέµνει την καµπύλη µηδενικής ταχύτητας της εσωτερικής περιοχής και εποµένως γεωδαισιακές τροχιές που ανήκουν στην εσωτερική περιοχή µπορούν να εισέρχονται και να εξέρχονται από την εργόσφαιρα της MN. Η περιοχή των κλειστών χρονοειδών καµπυλών δεν τέµνεται µε την καµπύλη µηδενικής ταχύτητας τουλάχιστον σε όσες περιπτώσεις εξετάσαµε άρα οι τροχιές στις επιτρεπτές για τη γεωδαισιακή κίνηση περιοχές έχουν ϕυσική υπόσταση, καθώς καµία από αυτές δεν είναι κλειστή χρονοειδής καµπύλη. 5.3 Η εξωτερική περιοχή επιτρεπτής γεωδαισιακής κίνησης Εχουµε ήδη δει (σχήµα 5.1) ότι για καθορισµένο σύνολο παραµέτρων στη µετρική MN εµφανίζονται δύο χωριστές περιοχές, η εσωτερική και η εξωτερική, όπου υπάρχουν δέσµιες γεωδαισιακές τροχιές. Στην ενότητα αυτή ϑα ασχοληθούµε µε τις

85 74 Η µη γραµµική δυναµική του χωροχρονικού υποβάθρου Manko Novikov 4 a 1 b z 0 z Ρ c Ρ 1 d z 0 z Ρ Ρ Σχήµα 5.1: Η δοµή του χωροχρόνου MN πάνω στο επίπεδο (ρ, z) για τις παραµέτρους E = 0.95, L z = 3, M = 1, χ = 0.9, q = (a) Η µαύρη καµπύλη είναι η καµπύλη της µηδενικής ταχύτητας. (b) Η σκούρα γκρίζα καµπύλη είναι το στατικό όριο. (c) Η ανοιχτόχρωµη γκρίζα καµπύλη εσωκλείει την περιοχή όπου ϐρίσκονται οι κλειστές χρονοειδείς καµπύλες (d) Οι καµπύλες a, b, c όταν υπερτεθούν.

86 5.3 Η εξωτερική περιοχή επιτρεπτής γεωδαισιακής κίνησης a b Ρ Ρ vθ Ρ Σχήµα 5.: (a) Η επιφάνεια τοµής z = 0 στο επίπεδο (ρ, ρ) της εξωτερικής περιοχής επιτρεπτής κίνησης για το σύνολο παραµέτρων E = 0.95, L z = 3, χ = 0.9, q = 0.95, M = 1. (b) Ο αριθµός περιστροφής ως συνάρτηση του ρ σε ένα ευθύγραµµο τµήµα κατά µήκος της ευθείας ρ = 0 πάνω στην επιφάνεια τοµής του διαγράµµατος (a). Το ένθετο διάγραµµα στο σχήµα (b) απεικονίζει την καµπύλη περιστροφής γύρω από το συντονισµό /3 σε µεγέθυνση. δυναµικές ιδιότητες της εξωτερικής περιοχής µελετώντας την επιφάνεια τοµής z = 0 (ż > 0) πάνω στο επίπεδο (ρ, ρ) όπως παρουσιάζεται στο σχήµα 5.a. Η επιφάνεια τοµής µοιάζει να είναι πυκνά κατειληµµένη από καµπύλες KAM. Μόνο δύο διαφο- ϱετικά σύνολα ευσταθών νησίδων είναι εµφανή και κανένα άλλο σηµάδι δε δηλώνει την ύπαρξη χάους. Ωστόσο, η ύπαρξη των δύο αλυσίδων Birkhoff (ϐλ. υποενότητα 1.6.1), της µίας µε περίοδο και της άλλης µε περίοδο 3, υποδεικνύει τη µη ολοκληρωσιµότητα του συστήµατος και την παρουσία του χάους. Στην πραγµατικότητα νησίδες άλλων αλυσίδων Birkhoff γεµίζουν πυκνά το ϕασικό χώρο, όµως η ανίχνευσή τους απαιτεί µια πολύ λεπτοµερή σάρωση της επιφάνειας τοµής. Ακόµα και οι δύο αλυσίδες από νησίδες που ϐρέθηκαν ϑα απαιτούσαν µια αρκετά επίπονη εργασία αν δε χρησιµοποιούσαµε τον αριθµό περιστροφής για να αναδείξουµε λεπτοµέρειες του ϕασικού χώρου οι οποίες παραβλέφθηκαν από τους Gair et al. (008) στην πρώτη προσπάθεια µελέτης της µετρικής (5.8). Οπως έχει εξηγηθεί στην υποενότητα 1.6., ο αριθµός περιστροφής είναι κατάλληλος δείκτης για ανίχνευση νησίδων ευστάθειας περιοδικών τροχιών κλάσης 1, οι οποίες ϐρίσκονται γύρω από κέντρο κύριας νησίδας. Οι καµπύλες KAM που ανήκουν σε µια αλυσίδα τέτοιων νησίδων χαρακτηρίζονται από µία κοινή ϱητή τιµή του αριθµού περιστροφής. Για να ϐρούµε τις νησίδες, λοιπόν, αρκεί να σαρώσουµε την επιφάνεια τοµής του σχήµατος 5.a κατά µήκος της ευθείας ρ = 0 υπολογίζοντας τον αριθµό περιστροφής και να αναζητήσουµε τις αρχικές συνθήκες οι οποίες αντιστοιχούν σε συντονισµούς. Η καµπύλη περιστροφής που προκύπτει από τη σάρωση (σχήµα 5.b) εµφανίζεται ως µια ϕθίνουσα συνάρτηση της απόστασης από το κέντρο της κύριας νησίδας (ρ 8.35). Μάλιστα, η καµπύλη περιστροφής µοιάζει να είναι γνησίως µονότονη εκτός από ένα πλατώ ο οποίο εµφανίζεται κοντά στο ρ = 4. Αυτό το πλατώ πραγµατοποιείται στο ϱητό αριθµό περιστροφής ν θ = /3 και αντιστοιχεί

87 76 Η µη γραµµική δυναµική του χωροχρονικού υποβάθρου Manko Novikov στη νησίδα περιόδου 3 που ϕαίνεται στο σχήµα 5.a. Το σχήµα 5.b περιέχει έ- να µικρότερο διάγραµµα το οποίο είναι µια µεγέθυνση της καµπύλης περιστροφής γύρω από το πλατώ ν θ = /3 και στο οποίο ϕαίνεται καλύτερα το εν λόγω πλατώ. 0.1 a b Ρ ΝΘ Ρ Ρ Σχήµα 5.3: (a) Μία από τις νησίδες του συντονισµού 1/ (b) Η καµπύλη περιστροφής κατά µήκος της ευθείας ρ = 0.05 στην περιοχή που αυτή τέµνει τη νησίδα του διαγράµµατος (a). Η εµφάνιση του πλατώ στην καµπύλη περιστροφής του σχήµατος 5.b στην πε- ϱίπτωση του συντονισµού ν θ = /3 δηµιουργεί την προσδοκία ότι υπάρχει και ένα πλατώ για το συντονισµό ν θ = 0.5, αφού η καµπύλη περιστροφής περνά και από το συντονισµό αυτόν. Ωστόσο, το αναµενόµενο πλατώ ν θ = 0.5 δεν εµφανίζεται στο σχήµα 5.b. Αυτό συµβαίνει διότι πάνω στην ευθεία ρ = 0 ϐρίσκεται µια ασταθής περιοδική τροχιά της αλυσίδας Birkhoff του συντονισµού 1/. Για να δούµε το πλατώ πάνω στην καµπύλη περιστροφής σαρώνουµε κατά µήκος της ευθείας ρ = 0.05, διότι, όπως ϕαίνεται από το σχήµα 5.3a, η νησίδα έχει µεγαλύτερο µέγεθος στη διεύθυνση αυτή. Τα αποτελέσµατα της σάρωσης ϕαίνονται στο σχήµα 5.3b στο οποίο εµφανίζεται το αναµενόµενο πλατώ ν θ = 1/. Αναζητώντας το τι συµβαίνει στις ϑέσεις συντονισµών µικρής πολλαπλότητας στην εξωτερική περιοχή γεωδαισιακής κίνησης της µετρικής MN, δείξαµε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο αλυσίδες Birkhoff για ένα σύνολο παραµέτρων όπου q 0. Η ύ- παρξη των νησίδων υποδεικνύει τη µη ολοκληρωσιµότητα της µετρικής MN. Αντίθετα υπενθυµίζουµε ότι το δυναµικό σύστηµα που περιγράφεται από τη µετρική Kerr είναι ολοκληρώσιµο (q = 0). Στην περίπτωση q = 0 υπάρχει µόνο η εξωτερική περιοχή επιτρεπτής κίνησης (Gair et al., 008). Η καµπύλη περιστροφής στην περίπτωση αυτή είναι µια γνησίως µονότονη συνάρτηση της απόστασης από το κέντρο της κύριας νησίδας καθώς πάνω στην καµπύλη περιστροφής δεν εµφανίζονται πλατώ. Εποµένως, επειδή η MN µπορεί να ϑεωρηθεί ότι αντιπροσωπεύει µια ευρύτερη οικογένεια µετρικών οι οποίες είναι µη ολοκληρώσιµες διαταραχές της µετρικής Kerr δύο ϐαθµών ελευθερίας, η ύπαρξη των πλατώ σταθερού ϱητού λόγου συχνοτήτων στη µετρική MN είναι ένα τουλάχιστον ποιοτικό δεδοµένο που ϑεωρητικά µπορεί να χρησιµοποιηθεί στην ανάλυση σήµατος ϐαρυτικών κυµάτων για να διαπιστωθεί εάν ο χωρόχρονος γύρω από συµπαγή σώµατα πολύ µεγάλης µάζας είναι αυτός της Kerr ή κάποιας µη ολοκληρώσιµης διαταραχής της.

88 5.3 Η εξωτερική περιοχή επιτρεπτής γεωδαισιακής κίνησης 77 w a L z c w b E d w w q Χ Σχήµα 5.4: Το εύρος w της περιόδου 3 νησίδας ευστάθειας κατά µήκος της γραµµής ρ = 0 για διαφορετικά σύνολα παραµέτρων E, L z, q, χ. (a) Το w ως συνάρτηση της στροφορµής L z όταν E = 0.95, q = 0.95, χ = 0.9, M = 1. (b) Το w ως συνάρτηση της ενέργειας E όταν L z = 3, q = 0.95, χ = 0.9, M = 1. (c) Το w ως συνάρτηση της τετραπολικής απόκλισης q όταν L z = 3, E = 0.95, χ = 0.9, M = 1. (d) Το w ως συνάρτηση της ιδιοστροφορµής χ όταν L z = 3, E = 0.95, q = 0.95, M = 1.

89 78 Η µη γραµµική δυναµική του χωροχρονικού υποβάθρου Manko Novikov Οι νησίδες που αντιστοιχούν στους συντονισµούς ν θ = /3 και ν θ = 1/ υπάρχουν για ένα σύνολο τιµών των παραµέτρων E, L z, χ, q, οι διαστάσεις όµως των νησίδων εξαρτώνται από τις ακριβείς τιµές των παραµέτρων. Για παράδειγµα, για να ελέγξουµε πως αλλάζει η διάσταση της νησίδας /3 πάνω στην επιφάνεια τοµής /3 µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το εύρος w της νησίδας του συντονισµού /3 κατά µήκος της ευθείας ρ = 0. Το εύρος w της νησίδας µπορεί να υπολογιστεί από το µήκος του πλατώ ν θ = /3 της καµπύλης περιστροφής. Για να κατανοήσου- µε την εξάρτηση του w από τις παραµέτρους E, L z, χ, q, µεταβάλλουµε την τιµή µόνο µίας από τις τέσσερις παραµέτρους κρατώντας τις υπόλοιπες σταθερές. Συγκεκριµένα για να ελέγξουµε κατά ποιο τρόπο εξαρτάται η w από τη L z, µειώνουµε την τιµή της στροφορµής L z από L z = 3.15 και διατηρούµε τις τιµές της τριάδας E = 0.95, χ = 0.9, q = 0.95 σταθερές. Πάνω από την τιµή L z = 3.15 ο συντονισµός /3 ϐγαίνει εκτός επιτρεπτής περιοχής κίνησης, όπως αναλύεται σε επόµενη παράγραφο. Οπως µπορούµε να δούµε από το σχήµα 5.4a, ενώ η τιµή της στροφορµής ϕθίνει προς L z το εύρος της νησίδας αυξάνει µέχρι να ϕθάσει το µέγιστο πλάτος της w 0.. Οµως, στη συνέχεια για L z η µείωση της τιµής της στροφορµής έχει ως αποτέλεσµα τη συρρίκνωση της νησίδας. Αν τώρα µειώσουµε την τιµή της ενέργειας E από E = 1 διατηρώντας τις τιµές της τριάδας L z = 3, χ = 0.9, q = 0.95 σταθερές και µετρήσουµε τα πλάτη w, από το σχήµα 5.4b ϐλέπουµε ότι το w ϕθίνει έως την τιµή E = Κάτω από αυτή την τιµή της ενέργειας ο συντονισµός /3 είναι εκτός της επιτρεπτής περιοχής, όπως ϑα δείξουµε σε επόµενη παράγραφο. Οι παράµετροι E, L z είναι σταθερές που εξαρτώνται από τις αρχικές συνθήκες της γεωδαισιακής τροχιάς, ενώ τα χ, q είναι εγγενείς παράµετροι του χωροχρόνου MN, εποµένως αλλάζοντάς τις αλλάζουµε τη µορφή του χωροχρόνου MN µέσα στον οποίο πραγµατοποιείται η κίνηση. Η µείωση της τιµής της απόκλισης της τετραπολικής ϱοπής q, ενώ η τριάδα E = 0.95, L z = 3, χ = 0.9 διατηρείται σταθερή, επιφέρει µείωση του πλάτους της νησίδας όπως ϕαίνεται στο σχήµα 5.4c. Η µείωση αυτή είναι αναµενόµενη καθώς για q = 0 το σύστηµα είναι ολοκληρώσιµο και εποµένως όλα τα πλάτη των νησίδων έχουν µηδενικό εύρος. Τέλος, αν µειώσουµε την ιδιοστροφορµή από την τιµή χ = 0.9 το w πάλι µειώνεται (σχήµα 5.4d). Για όλο το εύρος τιµών του σχήµατος 5.4 η νησίδα του συντονισµού /3 συνυπάρχει µαζί µε νησίδες άλλων αλυσίδων Birkhoff. Γενικά, όταν ο χωρόχρονος Kerr διαταραχθεί έστω και ελάχιστα, έτσι ώστε να καταστραφεί η σταθερά Carter, στη ϑέση των συντονισµένων τόρων εµφανίζονται αλυσίδες Birkhoff σύµφωνα µε το ϑεώρηµα Poincaré Birkhoff (ϐλ. υποενότητα 1.6.1). Στο χωρόχρονο MN το ϱόλο της διαταραχής τον έχει η µη µηδενική τιµή της τετραπολικής απόκλισης q. Εκτός του ότι αλλάζουν οι διαστάσεις των νησίδων, αλλάζουν και οι ϑέσεις τους πάνω στην επιφάνεια τοµής ως συνάρτηση των τεσσάρων παραµέτρων E, L z, χ, q. Οι δύο αυτές αλλαγές είναι αλληλένδετες, όπως ϑα δούµε εξετάζοντας τη µεταβολή της ϑέσης έξι σηµείων ιδιαίτερης σηµασίας κατά µήκος της γραµµής ρ = 0 της επι- ϕάνειας τοµής z = 0 ενώ διαφοροποιούµε την τιµή των παραµέτρων E, L z, q, χ. Τα έξι αυτά σηµεία είναι: 1) Το όριο της εξωτερικής περιοχής µε το µεγαλύτερο ρ (λευκό τρίγωνο στο σχήµα 5.5). ) Το κέντρο της κύριας νησίδας της εξωτερικής περιοχής (λευκός ϱόµβος). 3) Το κέντρο µιας από τις 3 νησίδες ευστάθειας που αντιστοιχούν στο συντονισµό /3 (µαύρο τετράγωνο). 4) Το όριο της εξωτερικής περιοχής µε το µικρότερο ρ (λευκός κύκλος). 5) Το όριο της εσωτερικής περιοχής µε το µεγαλύτερο ρ (µαύρος κύκλος). 6) Το όριο της εσωτερικής περιοχής µε το µικρότερο ρ (µαύρο τρίγωνο). ιατηρώντας τα E, χ, q σταθερά, µειώνουµε την τιµή της στροφορµής L z,

90 5.3 Η εξωτερική περιοχή επιτρεπτής γεωδαισιακής κίνησης 79 0 a 0 b Ρc 10 Ρc L z c E d Ρc 8 Ρc q Χ Σχήµα 5.5: Οι ϑέσεις ρ c έξι διαφορετικών σηµείων ιδιαίτερης σηµασίας κατά µήκος της γραµµής ρ = 0 της επιφάνειας τοµής για διαφορετικά σύνολα παραµέτρων E, L z, q, χ. Το πιο απόµακρο ως προς το ρ = 0 όριο της εξωτερικής περιοχής σηµειώνεται µε λευκό τρίγωνο, το κέντρο της κύριας νησίδας της εξωτερικής περιοχής σηµειώνεται µε λευκό ϱόµβο, το κέντρο της νησίδας ευστάθειας /3 µε µαύρο τετράγωνο, το πλησιέστερο ως προς το ρ = 0 όριο της εξωτερικής περιοχής σηµειώνεται µε λευκό κύκλο, το πιο απόµακρο ως προς το ρ = 0 όριο της εσωτερικής περιοχής σηµειώνεται µε µαύρο κύκλο και το πλησιέστερο ως προς το ρ = 0 όριο της εσωτερικής περιοχής σηµειώνεται µε µαύρο τρίγωνο. (a) Τα ρ c ως συνάρτηση της στροφορµής L z όταν E = 0.95, q = 0.95, χ = 0.9, M = 1. (b) Τα ρ c ως συνάρτηση της ενέργειας E όταν L z = 3, q = 0.95, χ = 0.9, M = 1. (c) Τα ρ c ως συνάρτηση της τετραπολικής απόκλισης q όταν L z = 3, E = 0.95, χ = 0.9, M = 1. (d) Τα ρ c ως συνάρτηση της ιδιοστροφορµής χ όταν L z = 3, E = 0.95, q = 0.95, M = 1.

91 80 Η µη γραµµική δυναµική του χωροχρονικού υποβάθρου Manko Novikov τα αποτελέσµατα δίνονται στο σχήµα 5.5a. Για L z > 3, 15 ο συντονισµός /3 είναι εκτός της περιοχής επιτρεπτής κίνησης. Μειώνοντας το L z, ο συντονισµός εµφανίζεται στην εξωτερική περιοχή, ενώ η εσωτερική και η εξωτερική περιοχή διευρύνονται τείνοντας να ενωθούν, ώσπου για L z < 3 η εξωτερική και η εσωτερική περιοχή τελικά ενώνονται σε µία περιοχή επιτρεπτής κίνησης (σχήµα 5.5a). Ο χώρος επιτρεπτής κίνησης αυξάνει όχι µόνο από την ένωση των δύο περιοχών, αλλά και από το γεγονός ότι το όριο της εξωτερικής περιοχής (λευκό τρίγωνο) ϕτάνει σε όλο και µεγαλύτερα ρ. Περισσότερος χώρος επιτρεπτής κίνησης σηµαίνει ότι υπάρχει περισσότερος χώρος που µπορούν να καταλάβουν οι νησίδες ευστάθειας που αντιστοιχούν στο συντονισµό /3, για αυτό και στο σχήµα 5.4a το εύρος w της νησίδας αυξάνει. Παράλληλα όµως το κέντρο της κύριας νησίδας (λευκός ϱόµβος) πλησιάζει προς το ρ = 0, ενώ το κέντρο της νησίδας /3 (µαύρο τετράγωνο) πλησιάζει το κέντρο της κύριας νησίδας αποµακρυνόµενο από το ρ = 0. Η προσέγγιση της νησίδας /3 στο κέντρο της κύριας νησίδας έχει ως αποτέλεσµα τη συρρίκνωση των διαστάσεων της /3 (σχήµα 5.4a). Οι τροχιές, χάνοντας στροφορµή, τείνουν να γίνουν κυκλικές, εποµένως ο ϕασικός χώρος που καταλαµβάνουν οι τροχιές που ανήκουν σε νησίδες αναµένεται να συρρικνωθεί µέχρι να καταλήξουν οι νησίδες στο κέντρο της κύριας νησίδας, δηλαδή να εκφυλιστούν σε µία µοναδική κεντρική περιοδική τροχιά. Αντίθετα µε την αρχική αύξηση του w της νησίδας /3 στην περίπτωση της µείωσης της στροφορµής (σχήµα 5.4a), στην περίπτωση της µείωσης της ενέργειας είδαµε ότι το w µειώνεται διαρκώς (σχήµα 5.4b). Αυτό συµβαίνει αφενός λόγω του ότι µε την πτώση της ενέργειας µειώνεται η περιοχή επιτρεπτής κίνησης (σχήµα 5.5b) και αφετέρου λόγω του ότι το κέντρο της νησίδας /3 πλησιάζει το κέντρο της κύριας νησίδας καθώς αυτό τείνει προς ρ = 0. ηλαδή, όπως στην περίπτωση της µείωσης της στροφορµής, έτσι και στην περίπτωση της µείωσης της ενέργειας, οι τροχιές τείνουν να γίνουν κυκλικές και να εκφυλιστούν πλησιάζοντας το κέντρο της κύριας νησίδας. Η εσωτερική και η εξωτερική περιοχή παύουν να ανήκουν στην ίδια περιοχή επιτρεπτής κίνησης όταν E < και εµφανίζονται οι κύκλοι στο σχήµα 5.5b. Μάλιστα ο ϱυθµός µε τον οποίο το όριο επιτρεπτής κίνησης της εξωτερικής περιοχής πλησιάζει το συντονισµό /3 ως συνάρτηση του E είναι µεγαλύτερος από το ϱυθµό µε τον οποίο ο συντονισµός /3 πλησιάζει το κέντρο της κύριας νησίδας. Για αυτό ο συντονισµός /3 ϐγαίνει εκτός επιτρεπτής περιοχής κίνησης για L z < Μεταβάλλοντας τώρα τα στοιχεία που επηρεάζουν τη µορφή του χωροχρόνου µειώνουµε την τετραπολική απόκλιση q (σχήµα 5.5c). Τότε ο εσωτερικός και ο εξωτερικός χώρος της επιτρεπτής κίνησης µειώνονται και ταυτόχρονα το κέντρο της νησίδας /3 κινείται προς τα όρια της εξωτερικής περιοχής, µε αποτέλεσµα το w να συρρικνώνεται. Στην περίπτωση που µειώσουµε την ιδιοστροφορµή χ (σχήµα 5.5d) ο χώρος επιτρεπτής κίνησης διευ- ϱύνεται, όµως η νησίδα /3 πλησιάζει το κέντρο της κύριας νησίδας και οι τροχιές της /3 τείνουν να εκφυλιστούν πάλι, όπως συµβαίνει στις περιπτώσεις των σχηµάτων 5.5a,c όπου µειώσαµε τις τιµές των L z, E. Ο εντοπισµός των ϑέσεων ρ c των έξι σηµείων του σχήµατος 5.5 πραγµατοποιήθηκε µε τους ακόλουθους τρόπους. Ο υπολογισµός των ορίων της επιτρεπτής κίνησης έγινε µέσω της εύρεσης των ϱιζών της V eff για z = 0. Οι ϑέσεις των κέντρων της κύριας νησίδας της εξωτερικής περιοχής υπολογίστηκαν µέσω των επιφανειών τοµής. Ενώ, για τον εντοπισµό του κέντρου της νησίδας /3 χρησιµοποιήθηκε η καµπύλη περιστροφής. Σχετικά µε την ακρίβεια των αριθµητικών υπολογισµών σηµειώνουµε ότι για να παραχθούν οι γεωδαισιακές τροχιές πάνω στις οποίες ϐασίζονται τα σχήµατα 5.,

92 5.4 Η εσωτερική περιοχή επιτρεπτής γεωδαισιακής κίνησης , 5.4, 5.5 µειώθηκαν οι ϐαθµοί ελευθερίας του συστήµατος από 4 σε χρησι- µοποιώντας τα ολοκληρώµατα της κίνησης E, L z. Συγκεκριµένα αντικαταστάθηκαν οι σχέσεις (5.7), (5.8) στις εξισώσεις κίνησης για να απαλειφθούν τα φ, ṫ. Στο ανηγµένο σε δύο ϐαθµούς ελευθερίας σύστηµα εφαρµόστηκε µέθοδος ολοκλήρωσης Runge Kutta έκτης τάξης µε σταθερό ϐήµα ολοκλήρωσης ds = 10 1, εκτός από τις ϕορές που οι τροχιές πλησίαζαν την επιφάνεια τοµής, οπότε και το ϐήµα ολοκλήρωσης µειώνονταν σταδιακά µέχρι ds = 10 8 για να έχουµε καλύτερη προσέγγιση της επιφάνειας τοµής z = 0. Για να ελέγχεται η ακρίβεια του ολοκληρωτικού σχήµατος που χρησιµοποιήθηκε, σε κάθε ϐήµα ολοκλήρωσης υπολογίζονταν η σταθερά που αντιστοιχεί στη συνάρτηση Lagrange L s και το σχετικό σφάλµα L/L = (L s L)/L. Το σχετικό σφάλµα µετά από 10 3 τοµές είναι της τάξης L/L = Το σχετικό σφάλµα µειώνεται στην τάξη των L/L = µετά από 10 3 τοµές αν κατεβάσουµε κατά µία τάξη µεγέθους το ϐήµα ολοκλήρωσης (ds = 10 ), ωστόσο η ολοκλήρωση γίνεται χρονοβόρα χωρίς να προσφέρει κάποια αξιόλογη επιπλέον πληροφορία, για αυτό προτιµήθηκε ως ϐήµα ολοκλήρωσης το ds = Η εσωτερική περιοχή επιτρεπτής γεωδαισιακής κίνησης 3 a 0.3 b Ρ 0 Ρ Ρ Ρ Σχήµα 5.6: (a) Η επιφάνεια τοµής z = 0 της εσωτερικής περιοχής για το σύνολο παραµέτρων E = 0.95, L z = 3, χ = 0.9, q = 0.95, M = 1. (b) Μια λεπτοµέρεια του διαγράµµατος (a) η οποία δείχνει νησίδες ευστάθειας οι οποίες έχουν σχηµατισθεί γύρω από µια περιοδική τροχιά περιόδου 3. Σε αντίθεση µε την εξωτερική περιοχή, η οποία ϕαίνεται να περιέχει κατά κύριο λόγο οργανωµένες τροχιές, η επιφάνεια τοµής της εσωτερικής περιοχής έχει µια πιο περίπλοκη δοµή (σχήµα 5.6). Στα αριστερά του σχήµατος 5.6a υπάρχει µια περιοδική τροχιά απλής περιόδου, η οποία αποτελεί το κέντρο µιας κύριας νησίδας, και στο µέσο του ίδιου διαγράµµατος εµφανίζονται 3 νησίδες περιόδου 3 (ϐλ. σχήµα 5.6b). Ο υπόλοιπος ϕασικός χώρος της µέσα περιοχής ϕαίνεται να καταλαµβάνεται

93 8 Η µη γραµµική δυναµική του χωροχρονικού υποβάθρου Manko Novikov από χαοτικές τροχιές. ηλαδή στο σχήµα 5.6a έχουµε µια χαοτική ϑάλασσα γύρω από µια κύρια νησίδα ευστάθειας. Για να παραχθεί το σχήµα 5.6 εφαρµόστηκε πάλι η µέθοδος Runge Kutta έκτης τάξης, αλλά αυτή τη ϕορά χρησιµοποιήθηκε ένα προσαρµοζόµενο ϐήµα ολοκλήρωσης. Το ϐήµα ολοκλήρωσης κυµαινόταν από ds = 10 4 έως ds = 10 8 µε τέτοιο τρόπο ώστε το σχετικό σφάλµα να µην ξεπερνά το L/L = 10 8 για το µέγιστο δυνατό ϐήµα ολοκλήρωσης. Για την αποφυγή απειρισµών όταν οι τροχιές διασχίζουν ή προσεγγίζουν το στατικό όριο f = 0 (5.10), το οποίο συνεπάγεται A = 0 (5.13), απαλείψαµε τη συνάρτηση A από τα στοιχεία g µν της µετρικής όπου ο όρος A εµ- ϕανίζονταν στον παρανοµαστή. Συγκεκριµένα, όπου παρουσιάζεται το γινόµενο ωf (εξισώσεις (5.10), (5.11) ) αντικαθίσταται από τη σχέση: ωf = k C B 4kα 1 α A B eψ, (5.31) ενώ όπου παρουσιάζεται ο λόγος eγ (εξισώσεις (5.1), (5.10) ) αντικαθίσταται από f τη σχέση: e γ f = e γ e ψ B. (x 1)(1 α ) (5.3) Τέλος η παράσταση (x 1)(1 y )B 4C αντικαθίσταται (εξισώσεις (5.13), (5.14), A (5.15) ) από τη σχέση: (x 1)(1 y )B 4C A = ab(x 1)(1 y )(x y ) b (x 1)(1 y) 4 +(1 + x) 4 (1 y ) + a b (x 1) 4 (1 y ) a (x 1)(1 + y) 4 (5.33) Σηµειώνουµε ότι η επιφάνεια τοµής του σχήµατος 5.6 υποδεικνύει ένα πιθανό σφάλµα στους υπολογισµούς των Gair et al. (008). Συγκεκριµένα, η περιοχή η οποία στο σχήµα 5.6 καταλαµβάνεται από οργανωµένες τροχιές της κύριας νησίδας ευστάθειας, στο σχήµα 7 των Gair et al. (008) ϕαίνεται να είναι περιοχή στην οποία µπορούν να εισβάλουν χαοτικές τροχιές προερχόµενες από τη χαοτική ϑάλασσα. Ωστόσο, σε ένα σύστηµα δύο ϐαθµών ελευθερίας, χαοτικές τροχιές που περικλείουν µια νησίδα ευστάθειας δε µπορούν να εισέλθουν στην περιοχή της νησίδας, διότι οι τόροι KAM της νησίδας σε ένα τέτοιο σύστηµα ϕράσσουν τοπολογικά οποιαδήποτε τέτοια είσοδο. Εποµένως, το σχήµα 7 των Gair et al. (008) είναι πιθανόν µια προβολή χαοτικών τροχιών πάνω στο επίπεδο (ρ, ρ), παρά µια απεικόνιση της επιφάνειας τοµής z = 0, όπως αναγράφεται από τους συγγραφείς. Μελετώντας την κίνηση των τροχιών µέσα στο πηγάδι του δυναµικού V eff στην εσωτερική περιοχή επιτρεπτής κίνησης εµφανίζεται µια ενδιαφέρουσα διαφορά µεταξύ των οργανωµένων τροχιών και των τροχιών της χαοτικής ϑάλασσας. Οι χαοτικές τροχιές (σχήµα 5.7a) κινούνται καθόλο το ϐάθος του πηγαδιού, δηλαδή κινούνται κοντά στο χείλος του V eff = 0 (ϐλ. το ένθετο διάγραµµα του σχήµατος 5.7b), αλλά και πολύ ϐαθιά µέσα σε αυτό (σχήµα 5.7b). Στο σχήµα 5.7b ϕαίνεται µόνο το πάνω κοµµάτι του πηγαδιού, συγκεκριµένα η τροχιά του σχήµατος 5.7a ϕτάνει σε ϐάθος V eff Από την άλλη µεριά οι οργανωµένες τροχιές, οι οποίες ανήκουν στην

94 5.4 Η εσωτερική περιοχή επιτρεπτής γεωδαισιακής κίνησης 83 Σχήµα 5.7: Στην πρώτη στήλη απεικονίζονται οι προβολές 3 τυπικών τροχιών της εσωτερικής περιοχής επιτρεπτής κίνησης (ϐλ. σχήµα 5.6) πάνω στο επίπεδο(ρ, z). Οι τροχιές αυτές είναι: (a) µια χαοτική τροχιά, (c) µια τροχιά της εσωτερικής κυρίως νησίδας, (e) µια οργανωµένη τροχιά του συντονισµού /3. Στη δεύτερη στήλη παρουσιάζονται οι αντίστοιχες προβολές των τροχιών στον άξονα ρ, καθώς οι τροχιές κινούνται µέσα στο πηγάδι του ενεργού δυναµικού V eff. Το ένθετο διάγραµµα στο σχήµα (b) εστιάζει στο άνω χείλος του δυναµικού (V eff = 0).