Εισαγωγή στην Τοπολογία

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή στην Τοπολογία"

Transcript

1 Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών

2 Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

3 Περιεχόµενα ενότητας 9 Συµπάγεια Συµπαγείς Χώροι Καρτεσιανά γινόµενα συµπαγών χώρων Το Θεώρηµα Tychonoff Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

4 9 Συµπάγεια 9.1 Συµπαγείς Χώροι Ηδη από τη µελέτη της τοπολογίας της ευθείας των πραγµατικών αριθµών, είχε γίνει ϕανερό πως τα κλειστά διαστήµατα είχαν µία συγκεκριµένη ιδιότητα, η οποία ήταν ουσιαστική για την απόδειξη ισχυρών ϑεωρηµάτων του Απειροστικού Λογισµού, όπως το Θεώρηµα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιµής 1 ή το Θεώρηµα Οµοιόµορφης Συνέχειας 2. Οµως για πολύ καιρό δεν ήταν σαφές το πώς αυτή η ιδιότητα ϑα µπορούσε να διατυπωθεί στο αφηρηµένο περιβάλλον µελέτης των τοπολογικών χώρων. Μία αρχική προσέγγιση ϑα ήταν να εστιάσει κανείς σε µία ιδιαίτερα σηµαντική ιδιότητα των κλειστών διαστηµάτων, η οποία είναι µάλιστα ισοδύναµη µε το ϑεώρηµα Bolzano-Weierstrass 3 : Κάθε άπειρο υποσύνολο ενός κλειστού διαστήµατος διαθέτει τουλάχιστον ένα οριακό σηµείο. Οµως αργά ή γρήγορα ϑα γίνει εµφανές πως δεν είναι αυτή η ιδιότητα που ϐρίσκεται στην καρδιά του Ϲητήµατος. Στην πραγµατικότηα χρειάζεται µία ισχυρότερη διατύπωση, η οποία περνά µέσα από την έννοια του ανοικτού καλύµµατος. Ορισµός Ενας τοπολογικός χώρος καλείται συµπαγής αν κάθε ανοικτό κάλυµµα {U i : i I} του X έχει πεπερασµένο υποκάλυµµα, δηλαδή αν υπάρχει J I πεπερασµένο, ώστε X = U i. Ενα F X καλείται συµπαγές σύνολο, αν ο υπόχωρος F είναι συµπαγής τοπολογικός χώρος. Παρατηρήσεις (α) Κάθε πεπερασµένος τοπολογικός χώρος είναι συµπαγής. Πράγµατι, αν X = {x 1, x 2,..., x n } = U i, όπου κάθε U i είναι ανοικτό, τότε για κάθε k = 1,2...,n υπάρχει i k I ώστε x k U ik. Τότε X = n U ik. (ϐ) Ενας τοπολογικός χώρος X είναι συµπαγής αν και µόνο αν κάθε ϐασικό ανοικτό κάλυµµα του X (δηλαδή κάθε ανοικτό κάλυµµα του X που αποτελείται από ϐασικά ανοικτά σύνολα) έχει πεπερασµένο υποκάλυµµα (γιατί;). i J Το να εξετάσει κανείς κατά πόσο ένας τοπολογικός χώρος είναι συµπαγής είναι µία διαδικασία εξαιρετικά δύσκολη, στη γενική περίπτωση. Για το λόγο αυτό, ϑα αποδείξουµε κάποιες αρχικές προτάσεις που µας δείχνουν πώς να κατασκευάσουµε συµπαγείς τοπολογικούς χώρους από ήδη υπάρχοντες, αλλά και κάποια κεντρικά κριτήρια συµπάγειας ενός τοπολογικού χώρου. Πρόταση Εστω X τοπολογικός χώρος και F X. Τότε το F είναι συµπαγές σύνολο αν και µόνο αν για κάθε ανοικτό κάλυµµα {U i : i I} του F στο X (δηλαδή για κάθε οικογένεια {U i : i I} ανοικτών υποσυνόλων του X µε F U i ) έχει πεπερασµένο υποκάλυµµα. Απόδειξη: Η απόδείξη είναι άµεση και αφήνεται ως άσκηση. 1 Κάθε συνεχής συνάρτηση f : [a, b] R λαµβάνει µέγιστη κι ελάχιστη τιµή, δηλαδή υπάρχουν x 1, x 2 [a, b] τέτοια ώστε f (x 1 ) f (x) f (x 2 ), για κάθε x [a, b]. 2 Κάθε συνεχής συνάρτηση είναι οµοιόµορφα συνεχής στα κλειστά διαστήµατα του πεδίου ορσιµού της. 3 Κάθε ϕραγµένη ακολουθία (πραγµατικών αριθµών) έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

5 Πρόταση Αν X είναι συµπαγής τοπολογικός χώρος και F X κλειστό, τότε το F είναι συµπαγές. Απόδειξη: Εστω (U i ) ένα κάλυµµα του F από ανοικτά υποσύνολα του X. Η οικογένεια (U i ) {X \F} είναι ένα ανοικτό κάλυµµα του (συµπαγούς) X. Αρα υπάρχουν i 1,... i k I ώστε X = U i1 U ik X\F. Τότε F U i1 U ik, εποµένως το F είναι συµπαγές σύνολο. Μπορούµε να διατυπώσουµε ένα διαφορετικό κριτήριο για τη συµπάγεια ενός τοπολογικού χώρου, το οποίο εστιάζει στα κλειστά σύνολα αντί των ανοικτών. Πρόταση Ενας τοπολογικός χώρος X είναι συµπαγής αν και µόνο αν για κάθε οικογένεια (F i ) κλειστών υποσυνόλων του X µε την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής ισχύει ότι F i. Απόδειξη: Ο X είναι συµπαγής αν και µόνο αν για κάθε οικογένεια ανοικτών συνόλων (U i ) του X µε X = U i, υπάρχει πεπερασµένο J I µε X = U i. Ισοδύναµα (ϑέτοντας F i = Ui c για κάθε i J i I) για κάθε οικογένεια (F i ) κλειστών υποσυνόλων του X µε F i =, υπάρχει J I πεπερασµένο µε F i =. ηλαδή, για κάθε οικογένεια (F i ) κλειστών υποσυνόλων του X µε την ιδιότητα της i J πεπερασµένης τοµής, ισχύει ότι F i. Κατά τη µελέτη της τοπολογίας µετρικών χώρων, µπορεί κανείς να αποδείξει ένα εύχρηστο κριτήριο συµπάγειας µέσω ακολουθιών. Συγκεκριµένα, ένας µετρικός χώρος είναι συµπαγής αν και µόνο αν κάθε ακολουθία έχει συγκλίνουσα υπακολουθία στο χώρο. Η ακόλουθη πρόταση αποτελεί το ανάλογο του κριτηρίου αυτού στην κλάση των τοπολογικών χώρων. Πρόταση Ενας τοπολογικός χώρος X είναι συµπαγής αν και µόνο αν καθε δίκτυο στο X έχει οριακό σηµείο (ή ισοδύναµα, κάθε δίκτυο στο X έχει συγκλίνον υποδίκτυο). Απόδειξη: ( ) Εστω (x λ ) λ Λ δίκτυο στο X. Για κάθε µ Λ ορίζουµε το κλειστό σύνολο F µ = {x λ : λ µ}. Κάθε F µ είναι µή κενό και F µ1 F µ2 αν µ 2 µ 1. Εποµένως, η οικογένεια (F µ ) µ Λ έχει την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής, αφού αν µ 1, µ 2,..., µ n Λ, υπάρχει µ Λ µε µ µ 1,..., µ n, άρα F µ n F µi. Επειδή ο X είναι συµπαγής χώρος, από την Πρόταση 9.1.5, έχουµε ότι υπάρχει x F µ. i=1 Το x είναι οριακό σηµείο του (x λ ). Πράγµατι, αν U N x και µ Λ, τότε έχουµε ότι U {x λ : λ µ} (αφού x F µ ), δηλαδή υπάρχει λ µ ώστε x λ U. ( ) Εστω (F i ) οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του X, µε την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής. Από την Πρόταση 9.1.5, αρκεί να δείξουµε ότι F i. Για κάθε πεπερασµένο σύνολο H I έχουµε ότι υπάρχει x H F i. Θέτουµε Λ = {H I : H πεπερασµένο} και ορίζουµε στο Λ τη σχέση i H H 1 H 2 H 1 H 2. Τότε, το (Λ, ) είναι κατευθυνόµενο σύνολο και το (x H ) H Λ δίκτυο στο X. Από την υπόθεση, υπάρχει x X, οριακό σηµείο του (x H ). Εστω ένα i 0 I και U N x. Αφού το x είναι οριακό σηµείο του δικτύου (x H ), υπάρχει πεπερασµένο σύνολο H {i 0 } ώστε x H U. Εχουµε τότε ότι x H i H F i F i0. µ Λ Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

6 Αρα, x H F i0 U κι εποµένως F i0 U.Συνεπώς x F i0 = F i0 (αφού το F i0 είναι κλειστό). Οµως, αυτό ισχύει για κάθε i 0 I, άρα x F i. ηλαδή, F i κι έτσι ο X είναι συµπαγής χώρος. Ενα άµεσο πόρισµα της Πρόταασης είναι το ακόλουθο Πόρισµα, του οποίου η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση. Πόρισµα Εστω X ένας συµπαγής τοπολογικός χώρος και (x λ ) λ Λ ένα δίκτυο στο χώρο X µε ακριβώς ένα οριακό σηµείο. Τότε το δίκτυο (x λ ) συγκλίνει. Απο άποψης διαχωριστικών αξιωµάτων, η συµπάγεια προσδίδει στο χώρο ουσιαστικά πλουσιότερη δοµή. Συγκεκριµένα, στους Hausdorff τοπολογικούς χώρους τα συµπαγή υποσύνολα έχουν τις ίδιες διαχωριστικές ιδιότητες µε τα σηµεία, όπως γίνεται ϕανερό από την ακόλουθη Πρόταση. Πρόταση Εστω X τοπολογικός χώρος και K X συµπαγές. (i) Αν F X ώστε για κάθε x K τα x και F διαχωρίζονται από ανοικτά σύνολα, τότε τα K και F διαχωρίζονται από ανοικτά σύνολα. (ii) Αν ο X είναι χώρος Hausdorff και ένα L X είναι συµπαγές και ξένο µε το K, τότε τα K και L διαχωρίζονται από ανοικτά σύνολα. (iii) Αν ο X είναι κανονικός χώρος και ένα F X είναι κλειστό και ξένο µε το K, τότε τα K και F διαχωρίζονται από ανοικτά σύνολα. Απόδειξη: (i) Εχουµε ότι για κάθε x K υπάρχουν ξένα, ανοικτά σύνολα U x,v x ώστε x U x και F V x. Τότε η οικογένεια (U x ) x K αποτελεί ένα ανοικτό κάλυµµα του συµπαγούς συνόλου K. Εποµένως, υπάρχουν x 1,..., x n K ώστε K n U xi. Θέτουµε: i=1 U = U xi και V = i=1 V xi. Τότε τα U,V είναι ανοικτά, K U και F V. Αρκεί να δείξουµε ότι U V =. Αυτό όµως είναι εµφανές, αφού αν x U, τότε υπάρχει i {1,2,... n} ώστε x U xi και x V xi. Αρα U V = κι εποµένως τα F, K διαχωρίζονται από ανοικτά σύνολα. i=1 (ii) Για κάθε x K και y L έχουµε x y και, αφού ο X είναι χώρος Hausdorff, τα x, y διαχωρίζονται από ανοικτά σύνολα.αφού το σύνολο L είναι συµπαγές, από το (i), έχουµε ότι για κάθε x K, τα x και L διαχωρίζονται από ανοικτά σύνολα. Αφού το K είναι συµπαγές, πάλι από το (i), έχουµε ότι τα K και L διαχωρίζονται από ανοικτά σύνολα. (iii) Για κάθε x K, τα x, F διαχωρίζονται από ανοικτά σύνολα, αφού x F και ο χώρος X είναι T 3. Συνεπώς, από το (i) έχουµε ότι τα K και F διαχωρίζονται από ανοικτά σύνολα. Πόρισµα Εστω X ένας Hausdorff χώρος. (i) Αν ο X είναι συµπαγής, τότε είναι ϕυσιολογικός. (ii) Κάθε συµπαγές υποσύνολο του X είναι κλειστό. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

7 Απόδειξη: (i) Εστω F 1, F 2 X ξένα και κλειστά υποσύνολα του X. Τότε, τα F 1 και F 2 είναι συµπαγή (Πρόταση 9.1.4) και εποµένως, από την Πρόταση 9.1.8(ii), έχουµε ότι τα F 1, F 2 διαχωρίζονται από ανοικτά σύνολα. Αρα ο χώρος X είναι ϕυσιολογικός. (ii) Εστω K X συµπαγές και x X \ K. Τότε τα {x} και K είναι ξένα συµπαγή υποσύνολα του X. Αρα από την Πρόταση 9.1.8(ii), έχουµε ότι διαχωρίζονται από ανοικτά σύνολα. ηλαδή, υπάρχουν ξένα ανοικτά σύνολα U και V, ώστε x U X \ V X \ K. Επεται ότι X \ K N x, για κάθε x X \ K. Αρα το X \ K είναι ανοικτό σύνολο και κατά συνέπεια, το K είναι κλειστό σύνολο. Παρατήρηση Από το Πόρισµα και την Πρόταση έπεται ότι σε ένα συµπαγή Hausdorff χώρο, τα συµπαγή υποσύνολα είναι ακριβώς τα κλειστά υποσύνολα του χώρου. Στη συνέχεια εξετάζουµε τη συµπεριφορά των συνεχών συναρτήσεων που είναι ορισµένες σε συµπαγείς τοπολογικούς χώρους. Πρόταση Εστω X ένας συµπαγής τοπολογικός χώρος και Y ένας τοπολογικός χώρος. Αν υπάρχει συνεχής και επί συνάρτηση f : X Y, τότε και ο χώρος Y είναι συµπαγής. ηλαδή, η συνεχής εικόνα ενός συµπαγούς τοπολογικού χώρου είναι συµπαγής χώρος. Απόδειξη: Εστω συνεχής και επί συνάρτηση f : X Y κι έστω (V i ) ένα ανοικτό κάλυµµα του Y. Αφού η f είναι συνεχής, η οικογένεια { f 1 (V i ) : i I} αποτελεί ανοικτό κάλυµµα του X. Ο X είναι συµπαγής τοπολογικός χώρος, εποµένως υπάρχουν i 1,i 2,...,i k I, ώστε X = f 1 (V i1 ) f 1 (V i2 ) f 1 (V ik ). Οµως η συνάρτηση f είναι επί, άρα Y = V i1 V i2 V ik. Συνεπώς, ο Y είναι συµπαγής τοπολογικός χώρος. Σηµαντικές συνέπειες αυτής της Πρότασης είναι το Θεώρηµα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιµής (Πόρισµα ) αλλά και ένα κριτήριο, το οποίο µας επιτρέπει να ελέγξουµε αν µία απεικόνιση είναι οµοιοµορφισµός τοπολογικών χώρων (Θεώρηµα ). Πόρισµα Εστω X συµπαγής τοπολογικός χώρος και µία συνεχής συνάρτηση f : X R. Τότε η f είναι ϕραγµένη και µάλιστα παίρνει µέγιστη και ελάχιστη τιµή. Απόδειξη: Από την Πρόταση , έπεται ότι το f (X) R είναι συµπαγές. Αρα το f (X) είναι ϕραγµένο κι εποµένως, η συνάρτηση f είναι ϕραγµένη. Συνεπώς υπάρχει το sup f (X) R και sup f (X) f (X). Αφού όµως το f (X) είναι συµπαγές, είναι και κλειστό στο R. ηλαδή sup f (X) f (X) = f (X) (sup f (X) = max f (X)). Εποµένως η f παίρνει µέγιστη τιµή. Για την ελάχιστη τιµή εργαζόµαστε ανάλογα. Θεώρηµα Εστω X ένας συµπαγής τοπολογικός χώρος και Y ένας χώρος Hausdorff. Αν f : X Y είναι µία συνεχής, 1 1 και επί συνάρτηση, τότε και η f 1 είναι συνεχής (εποµένως η f είναι οµοιοµορφισµός). Απόδειξη: Αρκεί να δείξουµε ότι η f είναι κλειστή απεικόνιση. Εστω ένα F X κλειστό. Αφού ο X είναι συµπαγής, ϑα είναι και το F συµπαγές. Από την Πρόταση , έχουµε ότι το f (F) Y είναι συµπαγές και, αφού ο Y είναι χώρος Hausdorff, έχουµε ότι το f (F) είναι κλειστό υποσύνολο του Y. ηλαδή η f είναι κλειστή απεικόνιση. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

8 9.2 Καρτεσιανά γινόµενα συµπαγών χώρων Στην προηγούµενη παράγραφο δε µελετήσαµε τη συµπεριφορά της έννοιας της συµπάγειας ως προς το γινόµενο τοπολογικών χώρων, όχι λόγω αµέλειας αλλά επειδή τα καρτεσιανά γινόµενα συµπαγών χώρων παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον, όπως ϑα γίνει εµφανές παρακάτω. Πρώτος µας στόχος είναι να αποδείξουµε το εξαιρετικά εύχρηστο Λήµµα του Σωλήνα και µέσω αυτού να συµπεράνουµε ότι το πεπερασµένο γινόµενο συµπαγών τοπολογικών χώρων είναι επίσης συµπαγής τοπολογικός χώρος. Παράλληλα, ϑα εξάγουµε µερικά ακόµη ενδιαφέροντα Πορίσµατα. Λήµµα (Λήµµα του Σωλήνα). Εστω X τοπολογικός χώρος και Y συµπαγής τοπολογικός χώρος. Αν x 0 X και U είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του X Y, µε {x 0 } Y U, τότε υπάρχει µία ανοικτή περιοχή V του x 0 ώστε {x 0 } Y V Y U 4. Απόδειξη: Για κάθε y Y, έχουµε ότι (x 0, y) U, άρα υπάρχει ϐασικό ανοικτό σύνολο V y W y του X Y µε (x 0, y) V y W y U. Οµως ο χώρος {x 0 } Y είναι συµπαγής, αφού είναι οµοιοµορφικός µε το χώρο Y, εποµένως το ανοικτό κάλυµµά του, (V y W y ) y Y, έχει πεπερασµένο υποκάλυµµα. ηλαδή υπάρχουν y 1, y 2,... y k Y ώστε {x 0 } Y V y1 W y1 V y2 W y2 V yk W yk U. Θέτουµε V = V y1 V yk. Εχουµε ότι το V είναι µία ανοικτή περιοχή του x 0 και επιπλέον {x 0 } Y V Y U. Πράγµατι, αν (x, y) V Y, τότε υπάρχει i {1,2,..., k} ώστε (x 0, y) V yi W yi. Συνεπώς (x, y) V W yi V yi W yi U. Παράδειγµα Είναι σαφές ότι το Λήµµα του Σωλήνα δεν αληθεύει κατ ανάγκη αν ο χώρος Y δεν είναι συµπαγής. Για παράδειγµα, αν X = Y = R και { } N = (x, y) R 2 1 : x < y 2, + 1 τότε το N είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του R 2 που περιέχει το «ϕλοιό» {0} R, αλλά προφανώς δεν περιέχει κανένα «σωλήνα» περί το {0} R. Οπως είχαµε δει στην Προταση (iv), αν (X i ) είναι µία οικογένεια τοπολογικών χώρων και X = X i µε την καρτεσιανή τοπολογία, τότε η συνάρτηση προβολής στην i-συντεταγµένη είναι (συνεχής) ανοικτή απεικόνιση, αλλά όχι αναγκαία και κλειστή απεικόνιση. Η ακόλουθη Πρόταση µας δείχνει ότι στην περίπτωση του γινοµένου δύο τοπολογικών χώρων, η συµπάγεια µπορεί να εξασφαλίσει την κλειστότητα των προβολών. Πρόταση Εστω X τοπολογικός χώρος και Y συµπαγής τοπολογικός χώρος. Η προβολή (στην πρώτη συντεταγµένη) π 1 : X Y X είναι κλειστή συνάρτηση. Απόδειξη: Εστω F ένα κλειστό υποσύνολο του X Y. Θα δείξουµε ότι το σύνολο π 1 (F) είναι κλειστό, ή ισοδύναµα ότι το σύνολο X \ π 1 (F) είναι ανοικτό. Εστω x X \ π 1 (F). Τότε ({x} Y ) F =, δηλαδή {x} Y (X Y ) \ F. Το σύνολο (X Y ) \ F είναι ανοικτό, εποµένως από το Λήµµα του Σωλήνα, υπάρχει ανοικτή περιοχή V του x, µε {x} Y V Y (X Y ) \ F. Τότε x V X \ π 1 (F). Αρα το X \ π 1 (F) είναι ανοικτό σύνολο. 4 Το σύνολο V Y συχνά καλείται «σωλήνας» περί το «ϕλοιό» x 0 Y. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

9 Πρόταση Εστω X τοπολογικός χώρος και Y ένας συµπαγής χώρος Hausdorff. f : X Y είναι συνεχής αν και µόνο αν το γράφηµα Μία συνάρτηση της f είναι κλειστό υποσύνολο του X Y. Gr( f ) = {(x, f (x)) : x X} Απόδειξη: ( ) Εστω ένα δίκτυο (x λ, f (x λ )) λ Λ από στοιχεία του Gr( f ), τέτοιο ώστε (x λ, f (x λ )) (x, y) X Y. Τότε, έχουµε προφανώς ότι x λ x και f (x λ ) y. Οµως η f είναι συνεχής, άρα f (x λ ) f (x), και αφού ο Y είναι χώρος Hausdorff, έπεται ότι y = f (x). ηλαδή (x, y) = (x, f (x)) X Y. Ετσι έχουµε ότι το Gr( f ) είναι κλειστό σύνολο. 5 ( ) Εστω ότι το γράφηµα Gr( f ) της f είναι κλειστό σύνολο. Τότε αν F Y είναι ένα κλειστό σύνολο, αφού η προβολή στη δεύτερη συντεταγµένη π 2 : X Y Y είναι συνεχής απεικόνιση, έχουµε ότι το σύνολο π2 1 (F) είναι κλειστό υποσύνολο του X Y, άρα και το Gr( f ) π 1 2 (F) είναι κλειστό σύνολο. Τώρα, από την Πρόταση 9.2.3, η προβολή στην πρώτη συντεταγµένη π 1 είναι κλειστή απεικόνιση, άρα το σύνολο π 1 (Gr( f ) π2 1 (F)) είναι κλειστό υποσύνολο του X. Οµως εύκολα διαπιστώνει κανείς ότι π 1 (Gr( f ) π2 1(F)) = f 1 (F) (ελέγξτε το). Εποµένως η f αντιστρέφει κλειστά σύνολα σε κλειστά σύνολα, συνεπώς είναι συνεχής. Πρόταση Εστω X,Y συµπαγείς χώροι. Τότε ο χώρος X Y µε την καρτεσιανή τοπολογία είναι συµπαγής χώρος. Επαγωγικά, το καρτεσιανό γινόµενο πεπερασµένου πλήθους συµπαγών χώρων, µε την καρτεσιανή τοπολογία, είναι συµπαγής χώρος. Απόδειξη: Εστω U = (U i ) ένα ανοικτό κάλυµµα του X Y. Για κάθε x 0 X, έχουµε ότι ο «ϕλοιός» {x 0 } Y είναι συµπαγής χώρος που καλύπτεται από το ανοικτό κάλυµµα U, επόµενως υπάρχει πεπερασµένο υποκάλυµµα U x0 U που να καλύπτει το «ϕλοιό» {x 0 } Y, δηλαδή {x 0 } Y U x0. Από το Λήµµα του Σωλήνα, υπάρχει ανοικτή περιοχή V x0 του x 0, ώστε {x 0 } Y V x0 Y U x0. Ετσι, για κάθε x X έχουµε επιλέξει µία ανοικτή περιοχή V x του x, τέτοια ώστε ο «σωλήνας» V x Y να καλύπτεται από πεπερασµένα στο πλήθος στοιχεία του καλύµµατος U. Η οικογένεια V = (V x ) x X αποτελεί ένα ανοικτό κάλυµµα του χώρου X, ο οποίος είναι συµπαγής. Αρα η V έχει πεπερασµένο υποκάλυµµα, δηλαδή υπάρχουν στοιχεία x 1, x 2,..., x k X, τέτοια ώστε X = V x1 V xk. Αφού τα αντίστοιχα υποκαλύµµατα U x1,u x2,...,u xk του U είναι πεπερασµένα, η υποοικογένεια του U U 0 = {U U : U U xi για κάποιο i = 1,2..., k} = U x1 U xk είναι πεπερασµένη και αποτελέι κάλυµµα του X Y, αφού k k X Y Y = (V xi j Y ) j=1 V xi j j=1 k ( ) Uxi = U j 0. j=1 Ετσι, το κάλυµµα U έχει πεπερασµένο υποκάλυµµα, άρα ο X Y είναι συµπαγής χώρος. Σε αυτό το σηµείο είναι ϕυσιολογικό να αναρωτηθεί κανείς αν ισχύει το ανάλογο της Πρότασης για άπειρες οικογένειες συµπαγών χώρων. Η απάντηση είναι ϑετική, αλλά η απόδειξη αυτού του εξαι- ϱετικά σηµαντικού αποτελέσµατος δεν είναι εύκολη. Για την απόδειξη του ανάλογου αποτελέσµατος για 5 Παραρατηρούµε ότι για αυτή την κατεύθυνση του ισχυρισµού δεν απαιτείται η υπόθεση της συµπάγειας του Y. ηλαδή ισχύει γενικά ότι αν µία συνάρτηση παίρνει τιµές σε ένα χώρο Hausdorff, το γράφηµά της είναι κλειστό σύνολο. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

10 συνεκτικούς χώρους (Θεώρηµα ), η περίπτωση του αυθαίρετου γινοµένου ανάγεται µε ένα απλό επιχείρηµα στο γινόµενο πεπερασµένου πλήθους συνεκτικών χώρων. Οµως η τεχνική αυτή καθίσταται ανέφικτη όταν κανείς καλείται να αποδείξει ότι το καρτεσιανό γινόµενο µίας αυθαίρετης οικογένειας συ- µπαγών χώρων είναι συµπαγής χώρος. Εποµένως, κρίνεται αναγκαία η χρήση διαφορετικών µεθόδων επίλυσης του προβλήµατος αυτού. Στην ακόλουθη παράγραφο παρουσιάζουµε δύο τέτοιες µεθόδους. 9.3 Το Θεώρηµα Tychonoff Παρατήρηση Εστω (X i ) µία οικογένεια τοπολογικών χώρων, τέτοια ώστε ο χώρος X = X i να είναι συµπαγής. Τότε κάθε χώρος X i είναι συµπαγής (αφού η αντίστοιχη προβολή π i : X X i είναι συνεχής και επί). Λήµµα Εστω X ένας µη συµπαγής τοπολογικός χώρος. Τότε υπάρχει ανοικτό κάλυµµα U 0 του X, χωρίς πεπερασµένο υποκάλυµµα, µε την ιδιότητα Αν n N και V 0,V 1,... V n k {1,...,n} ώστε V k U 0. X ανοικτά, ώστε V k V 0 και V 0 U 0, τότε υπάρχει Απόδειξη: Θεωρούµε το σύνολο Σ = {U : U ανοικτό κάλυµµα του X χωρίς πεπερασµένο υποκάλυµµά} Τότε Σ, αφού ο X δεν είναι συµπαγής. Προφανώς το (Σ, ) είναι ένα διατεταγµένο σύνολο. Θα δείξουµε ότι ικανοποιείται η υπόθεση του Λήµµατος του Zorn, δηλαδή ότι κάθε αλυσίδα στο Σ έχει µέγιστο στοιχείο. Εστω µία µη κενή αλυσίδα C = {U j : j J} Σ. Θέτουµε U = j J U j. Τότε, προφανώς το U είναι ένα ανω ϕράγµα της αλυσίδας, συνεπώς αρκεί να δείξουµε ότι U Σ. Προφανώς το U είναι ένα ανοικτό κάλυµµα του X κι επιπλέον αν {U 1,U 2,... U n } U τότε υπάρχει ένα ανοικτό κάλυµµα U j0 C µε {U 1,U 2,... U n } U j0 (γιατί;) και αφού U j0 Σ, έχουµε ότι το {U 1,U 2,... U n } δεν είναι ένα (πεπερασµένο) κάλυµµα του X. Αρα το ανοικτό κάλυµµα U δεν έχει πεπερασµένο υποκάλυµµα κι εποµένως U Σ. Ετσι, από το Λήµµα του Zorn έχουµε ότι η οικογένεια Σ έχει ένα µεγιστικό στοιχείο, έστω U 0. Ισχυρισµός. Αν έχουµε ένα U X ανοικτό µε U U 0, τότε υπάρχει n N και U 1,... U n U 0 ώστε X = (U 1 U n ) U. Πράγµατι, έχουµε ότι το {U} U 0 είναι ένα ανοικτό κάλυµµα του X, γνήσια µεγαλύτερο από το U 0. Από τη µεγιστικότητα του U 0, έπεται ότι U 0 {U} Σ, δηλαδή ότι το ανοικτό κάλυµµα {U} U 0 έχει πεπερασµένο υποκάλυµµα. Συνεπώς, υπάρχουν n N και U 1,... U n U 0 ώστε X = (U 1 U n ) U. είχνουµε τώρα ότι το U 0 έχει την επιθυµητή ιδιότητα. Εστω n N και V 0,V 1,...,V n X ανοικτά σύνολα, µε V k V 0. Υποθέτουµε ότι V k U 0 για k = 1,... n και ϑα αποδείξουµε ότι V 0 U 0. Αφού V k U 0, από τον ισχυρισµό έχουµε ότι υπάρχει n k N και U1 k,... U n k k U 0, ώστε X = (U1 k U n k k ) V k, για k = 1,... n. Τότε (εξηγήστε γιατί): ( ) X = (U1 k Un k k ) V k = (U1 k Un k k ) V 0. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 10

11 Αφού U1 k,... U n k k U 0 για k = 1,... n, και το ανοικτό κάλυµµα U 0 δεν έχει πεπερασµένο υποκάλυµµα, έπεται ότι V 0 U 0. Λήµµα Εστω (X i ) οικογένεια τοπολογικών χώρων κι έστω ότι ο χώρος X = X i δεν είναι συµπαγής. Τότε, υπάρχει i 0 I, ώστε X i0 = {W X i0 : W ανοικτό στο X i0 και π 1 i 0 (W ) U 0 }, όπου U 0 είναι ένα ανοικτό κάλυµµα του X, όπως περιγράφεται στο Λήµµα Απόδειξη: Εστω, προς άτοπο, ότι το Ϲητούµενο δεν ισχύει. Τότε, για κάθε i I, υπάρχει ένα y i X \ {W X i0 : W ανοικτό στο X i0 και πi 1 0 (W ) U 0 }. Ετσι ορίζεται ένα στοιχείο y = (y i ) X. Αφού το U 0 είναι ένα ανοικτό κάλυµµα του X, υπάρχει ανοικτό σύνολο V U 0, µε y V. Αφού το V είναι ανοικτό σύνολο, υπάρχει ϐασικό ανοικτό σύνολο B (από την κανονική ϐάση της καρτεσιανής τοπολογίας), ώστε y B V. Εχουµε λοιπόν ότι: B = π 1 i k (W k ), όπου κάθε W k είναι ανοικτό στο X ik, για k = 1... n, άρα πi 1 k (W k ) V. Επιπλέον, τα σύνολα πi 1 k (W k ) (για k = 1,... n), V είναι ανοικτά και V U 0. Αρα από την επιλογή του καλύµµατος U 0, έπεται ότι υπάρχει ένα k {1,...,n} ώστε πi 1 k (W k ) U 0. Εποµένως, y B y πi 1 k (W k ) y ik W k, πράγµα που έρχεται σε αντίφαση µε την επιλογή του y ik. Θεώρηµα (Tychonoff). Αν (X i ) είναι µία οικογένεια συµπαγών τοπολογικών χώρων, τότε ο χώρος X = X i είναι συµπαγής. Απόδειξη: Θα δείξουµε ισοδύναµα ότι αν ο χώρος X δεν είναι συµπαγής, τότε υπάρχει i 0 I ώστε ο χώρος X i0 να µην είναι συµπαγής. Αφού ο X δεν είναι συµπαγής, από το Λήµµα 9.3.3, έχουµε ότι υπάρχει ένα i 0 I, ώστε η οικογένεια να είναι ανοικτό κάλυµµα του X i0. W = {W X i0 : W ανοικτό στο X i0 και π 1 i 0 (W ) U 0 } Αν W 1,...,W n είναι στοιχεία αυτού του καλύµµατος, τότε πi 1 0 (W 1 ),..., πi 1 0 (W n ) U 0 κι επειδή το U 0 δεν έχει πεπερασµένο υποκάλυµµα, έχουµε ότι ( ) X πi 1 0 (W k ) = πi 1 0 W k. Αρα W k X i0, αφού η προβολή π i0 : X X i0 είναι επί. Εποµένως το ανοικτό κάλυµµα W δεν έχει πεπερασµένο υποκάλυµµα, συνεπώς ο χώρος X i0 δεν είναι συµπαγής. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 11

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Ο Ευκλείδειος χώρος R n 1.1 Αλγεβρική δοµή Ο Ευκλείδειος χώρος R n είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemnn και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard.

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard. Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, ipschitz, Picard. Νίκος Σταµάτης nstam84@gmail.com 7 Φεβρουαρίου 212 Περίληψη Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουµε µια αναλυτική απόδειξη του ϑεωρήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m.

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m. Σηµειώσεις Συναρτησιακής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Το ϑεώρηµα κατηγορίας του Baire 4 2. Χώροι Banach 5 3. Φραγµένοι γραµµικοί τελεστές 8 4. Χώροι πεπερασµένης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης

Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Μετρικοί χώροι 5 Σύγκλιση ακολουθιών 7 Ανοιχτά και κλειστά σύνολα 9 Συνεχείς συναρτήσεις 13 Κλειστότητα, σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Τοπολογικοί Χώροι - Βάσεις - Υποβάσεις 4 2. Κλειστότητα και Εσωτερικό 7 3. Σύγκλιση 10 4. Συνέχεια 13 5.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 2 Απριλίου 2013 Το παρόν κείµενο

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 11

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 11 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 11 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 26 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Να

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος: Συμπάγεια, Θεωρήματα Σταθερού Σημείου, και Εφαρμογές στην Οικονομική Θεωρία

Τίτλος: Συμπάγεια, Θεωρήματα Σταθερού Σημείου, και Εφαρμογές στην Οικονομική Θεωρία ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Δ.Π.Μ.Σ. «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ σε ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» ΚΤΙΡΙΟ Α, ος ΟΡΟΦΟΣ, ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥΠΟΛΗ ΖΩΓΡΑΦΟΥ,

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Κεφάλαιο 0 Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Στο παρόν εισαγωγικό Κεφάλαιο, υπενθυµίζουµε, κατά κύριο λόγο χωρίς αποδείξεις, ϐασικές γνώσεις από : τη στοιχειώδη ϑεωρία συνόλων και απεικονίσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Η τροχιά του δυναµικού συστήµατος µε αρχική συνθήκη X γράφεται

Η τροχιά του δυναµικού συστήµατος µε αρχική συνθήκη X γράφεται Απόδειξη Θεωρήµατος Poincare-Bendixson Το δυναµικό σύστηµα είναι στο επίπεδο, προσδιορίζεται από το διάνυσµατικό πεδίο ταχυτήτων v(x), και οι τροχιές ικανοποιούν την δυνα- µική: ẋ = v(x). Η τροχιά του

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Sunarthsiak Anˆlush. Shmei seic gia metaptuqiakì mˆjhma

Sunarthsiak Anˆlush. Shmei seic gia metaptuqiakì mˆjhma Sunarthsiak Anˆlush Shmei seic gia metaptuqiakì mˆjhma Μ. Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης νοιξη 2004 2 Perieqìmena 1 Εισαγωγικά 7 1.1 Διατάξεις............................... 7 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

Συσχετισµός ϑεµελιώδους οµάδας και πρώτης οµάδας οµολογίας

Συσχετισµός ϑεµελιώδους οµάδας και πρώτης οµάδας οµολογίας Συσχετισµός ϑεµελιώδους οµάδας και πρώτης οµάδας οµολογίας Εργασία στο πλαίσιο τού µαθήµατος Αλγεβρική Τοπολογία - Οµολογία µε κωδ. αρ. Γ 21 Χειµερινό Εξάµηνο 2007-2008 Μιχαήλ Γκίκας Περίληψη Σκοπός αυτής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R

Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Μαρία Μαστροθεοδώρου και Αγγελική Χαντζηθάνου Περίληψη Το κεντρικό αποτέλεσµα της εργασίας είναι ότι µια συνάρτηση f είναι απόλυτα συνεχής στο [, b] αν και µόνο

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες πραγματικών αριθμών

Ακολουθίες πραγματικών αριθμών ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ακολουθίες πραγματικών αριθμών Όταν διαδοχικές τιµές που παίρνει µία μεταβλητή προσεγγίζουν απεριόριστα µία συγκεκριµένη τιµή έτσι ώστε τελικά να διαφέρουν από αυτήν λιγότερο από όσο επιθυµεί

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης Ιωάννινα, 13.1.2013 Σηµείωση : Οι παρούσες σηµειώσεις δηµιουργούνται κατά την διάρκεια της διδασκαλίας του µαθήµατος Απειροστικός Λογισµός ΙΙΙ σε ϕοιτητές του τρίτου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Μερικά πρώτα παραδείγµατα συστηµάτων διακριτού χρόνου

Μερικά πρώτα παραδείγµατα συστηµάτων διακριτού χρόνου ΣΥΣΗΜΑΑ ΙΑΚΡΙΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Από αυστηρά µαθηµατικής απόψεως σαν σύστηµα διακριτού χρόνου ορίζεται ένας οποιοσδήποτε µετασχηµατισµός ή τελεστής (operator) ο οποίος δρα σε µία ακολουθία x [ που συνήθως θεωρείται

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης Ιωάννινα, 13112012 Σηµείωση : Οι παρούσες σηµειώσεις δηµιουργούνται κατά την διάρκεια της διδασκαλίας του µαθήµατος Απειροστικός Λογισµός ΙΙΙ σε ϕοιτητές του τρίτου

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

Θεµέλια των Μαθηµατικών. Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό. Φεβρουάριος 2014

Θεµέλια των Μαθηµατικών. Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό. Φεβρουάριος 2014 Θεµέλια των Μαθηµατικών Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό Επιµέλεια: Νίκος Σκούταρης, nskoutaris@gmail.com Φεβρουάριος 2014 ii Θεµέλια των Μαθηµατικών Το κείµενο αυτό περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Ενότητα: Επαναληπτικά θέματα Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών x Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Το Αξίωµα τής Πληρότητας 5 Ασκήσεις 9

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

. (iii) Μόνο οι εκφράσεις που σχηµατίζονται από τα i,ii είναι προτασιακοί τύποι.

. (iii) Μόνο οι εκφράσεις που σχηµατίζονται από τα i,ii είναι προτασιακοί τύποι. Boolean Logic Ορισµός: Προτασιακοί τύποι είναι οι εκφράσεις που ορίζονται επαγωγικά ως εξής: (i) Τα σύµβολα προτάσεων είναι προτασιακοί τύποι. (ii) Αν φ και ψ είναι προτασιακοί τύποι τότε οι ( φ ψ ),(

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αστικά υδραυλικά έργα

Αστικά υδραυλικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα