Εισαγωγή στην Τοπολογία

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή στην Τοπολογία"

Transcript

1 Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών

2 Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

3 Περιεχόµενα ενότητας 9 Συµπάγεια Συµπαγείς Χώροι Καρτεσιανά γινόµενα συµπαγών χώρων Το Θεώρηµα Tychonoff Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

4 9 Συµπάγεια 9.1 Συµπαγείς Χώροι Ηδη από τη µελέτη της τοπολογίας της ευθείας των πραγµατικών αριθµών, είχε γίνει ϕανερό πως τα κλειστά διαστήµατα είχαν µία συγκεκριµένη ιδιότητα, η οποία ήταν ουσιαστική για την απόδειξη ισχυρών ϑεωρηµάτων του Απειροστικού Λογισµού, όπως το Θεώρηµα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιµής 1 ή το Θεώρηµα Οµοιόµορφης Συνέχειας 2. Οµως για πολύ καιρό δεν ήταν σαφές το πώς αυτή η ιδιότητα ϑα µπορούσε να διατυπωθεί στο αφηρηµένο περιβάλλον µελέτης των τοπολογικών χώρων. Μία αρχική προσέγγιση ϑα ήταν να εστιάσει κανείς σε µία ιδιαίτερα σηµαντική ιδιότητα των κλειστών διαστηµάτων, η οποία είναι µάλιστα ισοδύναµη µε το ϑεώρηµα Bolzano-Weierstrass 3 : Κάθε άπειρο υποσύνολο ενός κλειστού διαστήµατος διαθέτει τουλάχιστον ένα οριακό σηµείο. Οµως αργά ή γρήγορα ϑα γίνει εµφανές πως δεν είναι αυτή η ιδιότητα που ϐρίσκεται στην καρδιά του Ϲητήµατος. Στην πραγµατικότηα χρειάζεται µία ισχυρότερη διατύπωση, η οποία περνά µέσα από την έννοια του ανοικτού καλύµµατος. Ορισµός Ενας τοπολογικός χώρος καλείται συµπαγής αν κάθε ανοικτό κάλυµµα {U i : i I} του X έχει πεπερασµένο υποκάλυµµα, δηλαδή αν υπάρχει J I πεπερασµένο, ώστε X = U i. Ενα F X καλείται συµπαγές σύνολο, αν ο υπόχωρος F είναι συµπαγής τοπολογικός χώρος. Παρατηρήσεις (α) Κάθε πεπερασµένος τοπολογικός χώρος είναι συµπαγής. Πράγµατι, αν X = {x 1, x 2,..., x n } = U i, όπου κάθε U i είναι ανοικτό, τότε για κάθε k = 1,2...,n υπάρχει i k I ώστε x k U ik. Τότε X = n U ik. (ϐ) Ενας τοπολογικός χώρος X είναι συµπαγής αν και µόνο αν κάθε ϐασικό ανοικτό κάλυµµα του X (δηλαδή κάθε ανοικτό κάλυµµα του X που αποτελείται από ϐασικά ανοικτά σύνολα) έχει πεπερασµένο υποκάλυµµα (γιατί;). i J Το να εξετάσει κανείς κατά πόσο ένας τοπολογικός χώρος είναι συµπαγής είναι µία διαδικασία εξαιρετικά δύσκολη, στη γενική περίπτωση. Για το λόγο αυτό, ϑα αποδείξουµε κάποιες αρχικές προτάσεις που µας δείχνουν πώς να κατασκευάσουµε συµπαγείς τοπολογικούς χώρους από ήδη υπάρχοντες, αλλά και κάποια κεντρικά κριτήρια συµπάγειας ενός τοπολογικού χώρου. Πρόταση Εστω X τοπολογικός χώρος και F X. Τότε το F είναι συµπαγές σύνολο αν και µόνο αν για κάθε ανοικτό κάλυµµα {U i : i I} του F στο X (δηλαδή για κάθε οικογένεια {U i : i I} ανοικτών υποσυνόλων του X µε F U i ) έχει πεπερασµένο υποκάλυµµα. Απόδειξη: Η απόδείξη είναι άµεση και αφήνεται ως άσκηση. 1 Κάθε συνεχής συνάρτηση f : [a, b] R λαµβάνει µέγιστη κι ελάχιστη τιµή, δηλαδή υπάρχουν x 1, x 2 [a, b] τέτοια ώστε f (x 1 ) f (x) f (x 2 ), για κάθε x [a, b]. 2 Κάθε συνεχής συνάρτηση είναι οµοιόµορφα συνεχής στα κλειστά διαστήµατα του πεδίου ορσιµού της. 3 Κάθε ϕραγµένη ακολουθία (πραγµατικών αριθµών) έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

5 Πρόταση Αν X είναι συµπαγής τοπολογικός χώρος και F X κλειστό, τότε το F είναι συµπαγές. Απόδειξη: Εστω (U i ) ένα κάλυµµα του F από ανοικτά υποσύνολα του X. Η οικογένεια (U i ) {X \F} είναι ένα ανοικτό κάλυµµα του (συµπαγούς) X. Αρα υπάρχουν i 1,... i k I ώστε X = U i1 U ik X\F. Τότε F U i1 U ik, εποµένως το F είναι συµπαγές σύνολο. Μπορούµε να διατυπώσουµε ένα διαφορετικό κριτήριο για τη συµπάγεια ενός τοπολογικού χώρου, το οποίο εστιάζει στα κλειστά σύνολα αντί των ανοικτών. Πρόταση Ενας τοπολογικός χώρος X είναι συµπαγής αν και µόνο αν για κάθε οικογένεια (F i ) κλειστών υποσυνόλων του X µε την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής ισχύει ότι F i. Απόδειξη: Ο X είναι συµπαγής αν και µόνο αν για κάθε οικογένεια ανοικτών συνόλων (U i ) του X µε X = U i, υπάρχει πεπερασµένο J I µε X = U i. Ισοδύναµα (ϑέτοντας F i = Ui c για κάθε i J i I) για κάθε οικογένεια (F i ) κλειστών υποσυνόλων του X µε F i =, υπάρχει J I πεπερασµένο µε F i =. ηλαδή, για κάθε οικογένεια (F i ) κλειστών υποσυνόλων του X µε την ιδιότητα της i J πεπερασµένης τοµής, ισχύει ότι F i. Κατά τη µελέτη της τοπολογίας µετρικών χώρων, µπορεί κανείς να αποδείξει ένα εύχρηστο κριτήριο συµπάγειας µέσω ακολουθιών. Συγκεκριµένα, ένας µετρικός χώρος είναι συµπαγής αν και µόνο αν κάθε ακολουθία έχει συγκλίνουσα υπακολουθία στο χώρο. Η ακόλουθη πρόταση αποτελεί το ανάλογο του κριτηρίου αυτού στην κλάση των τοπολογικών χώρων. Πρόταση Ενας τοπολογικός χώρος X είναι συµπαγής αν και µόνο αν καθε δίκτυο στο X έχει οριακό σηµείο (ή ισοδύναµα, κάθε δίκτυο στο X έχει συγκλίνον υποδίκτυο). Απόδειξη: ( ) Εστω (x λ ) λ Λ δίκτυο στο X. Για κάθε µ Λ ορίζουµε το κλειστό σύνολο F µ = {x λ : λ µ}. Κάθε F µ είναι µή κενό και F µ1 F µ2 αν µ 2 µ 1. Εποµένως, η οικογένεια (F µ ) µ Λ έχει την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής, αφού αν µ 1, µ 2,..., µ n Λ, υπάρχει µ Λ µε µ µ 1,..., µ n, άρα F µ n F µi. Επειδή ο X είναι συµπαγής χώρος, από την Πρόταση 9.1.5, έχουµε ότι υπάρχει x F µ. i=1 Το x είναι οριακό σηµείο του (x λ ). Πράγµατι, αν U N x και µ Λ, τότε έχουµε ότι U {x λ : λ µ} (αφού x F µ ), δηλαδή υπάρχει λ µ ώστε x λ U. ( ) Εστω (F i ) οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του X, µε την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής. Από την Πρόταση 9.1.5, αρκεί να δείξουµε ότι F i. Για κάθε πεπερασµένο σύνολο H I έχουµε ότι υπάρχει x H F i. Θέτουµε Λ = {H I : H πεπερασµένο} και ορίζουµε στο Λ τη σχέση i H H 1 H 2 H 1 H 2. Τότε, το (Λ, ) είναι κατευθυνόµενο σύνολο και το (x H ) H Λ δίκτυο στο X. Από την υπόθεση, υπάρχει x X, οριακό σηµείο του (x H ). Εστω ένα i 0 I και U N x. Αφού το x είναι οριακό σηµείο του δικτύου (x H ), υπάρχει πεπερασµένο σύνολο H {i 0 } ώστε x H U. Εχουµε τότε ότι x H i H F i F i0. µ Λ Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

6 Αρα, x H F i0 U κι εποµένως F i0 U.Συνεπώς x F i0 = F i0 (αφού το F i0 είναι κλειστό). Οµως, αυτό ισχύει για κάθε i 0 I, άρα x F i. ηλαδή, F i κι έτσι ο X είναι συµπαγής χώρος. Ενα άµεσο πόρισµα της Πρόταασης είναι το ακόλουθο Πόρισµα, του οποίου η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση. Πόρισµα Εστω X ένας συµπαγής τοπολογικός χώρος και (x λ ) λ Λ ένα δίκτυο στο χώρο X µε ακριβώς ένα οριακό σηµείο. Τότε το δίκτυο (x λ ) συγκλίνει. Απο άποψης διαχωριστικών αξιωµάτων, η συµπάγεια προσδίδει στο χώρο ουσιαστικά πλουσιότερη δοµή. Συγκεκριµένα, στους Hausdorff τοπολογικούς χώρους τα συµπαγή υποσύνολα έχουν τις ίδιες διαχωριστικές ιδιότητες µε τα σηµεία, όπως γίνεται ϕανερό από την ακόλουθη Πρόταση. Πρόταση Εστω X τοπολογικός χώρος και K X συµπαγές. (i) Αν F X ώστε για κάθε x K τα x και F διαχωρίζονται από ανοικτά σύνολα, τότε τα K και F διαχωρίζονται από ανοικτά σύνολα. (ii) Αν ο X είναι χώρος Hausdorff και ένα L X είναι συµπαγές και ξένο µε το K, τότε τα K και L διαχωρίζονται από ανοικτά σύνολα. (iii) Αν ο X είναι κανονικός χώρος και ένα F X είναι κλειστό και ξένο µε το K, τότε τα K και F διαχωρίζονται από ανοικτά σύνολα. Απόδειξη: (i) Εχουµε ότι για κάθε x K υπάρχουν ξένα, ανοικτά σύνολα U x,v x ώστε x U x και F V x. Τότε η οικογένεια (U x ) x K αποτελεί ένα ανοικτό κάλυµµα του συµπαγούς συνόλου K. Εποµένως, υπάρχουν x 1,..., x n K ώστε K n U xi. Θέτουµε: i=1 U = U xi και V = i=1 V xi. Τότε τα U,V είναι ανοικτά, K U και F V. Αρκεί να δείξουµε ότι U V =. Αυτό όµως είναι εµφανές, αφού αν x U, τότε υπάρχει i {1,2,... n} ώστε x U xi και x V xi. Αρα U V = κι εποµένως τα F, K διαχωρίζονται από ανοικτά σύνολα. i=1 (ii) Για κάθε x K και y L έχουµε x y και, αφού ο X είναι χώρος Hausdorff, τα x, y διαχωρίζονται από ανοικτά σύνολα.αφού το σύνολο L είναι συµπαγές, από το (i), έχουµε ότι για κάθε x K, τα x και L διαχωρίζονται από ανοικτά σύνολα. Αφού το K είναι συµπαγές, πάλι από το (i), έχουµε ότι τα K και L διαχωρίζονται από ανοικτά σύνολα. (iii) Για κάθε x K, τα x, F διαχωρίζονται από ανοικτά σύνολα, αφού x F και ο χώρος X είναι T 3. Συνεπώς, από το (i) έχουµε ότι τα K και F διαχωρίζονται από ανοικτά σύνολα. Πόρισµα Εστω X ένας Hausdorff χώρος. (i) Αν ο X είναι συµπαγής, τότε είναι ϕυσιολογικός. (ii) Κάθε συµπαγές υποσύνολο του X είναι κλειστό. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

7 Απόδειξη: (i) Εστω F 1, F 2 X ξένα και κλειστά υποσύνολα του X. Τότε, τα F 1 και F 2 είναι συµπαγή (Πρόταση 9.1.4) και εποµένως, από την Πρόταση 9.1.8(ii), έχουµε ότι τα F 1, F 2 διαχωρίζονται από ανοικτά σύνολα. Αρα ο χώρος X είναι ϕυσιολογικός. (ii) Εστω K X συµπαγές και x X \ K. Τότε τα {x} και K είναι ξένα συµπαγή υποσύνολα του X. Αρα από την Πρόταση 9.1.8(ii), έχουµε ότι διαχωρίζονται από ανοικτά σύνολα. ηλαδή, υπάρχουν ξένα ανοικτά σύνολα U και V, ώστε x U X \ V X \ K. Επεται ότι X \ K N x, για κάθε x X \ K. Αρα το X \ K είναι ανοικτό σύνολο και κατά συνέπεια, το K είναι κλειστό σύνολο. Παρατήρηση Από το Πόρισµα και την Πρόταση έπεται ότι σε ένα συµπαγή Hausdorff χώρο, τα συµπαγή υποσύνολα είναι ακριβώς τα κλειστά υποσύνολα του χώρου. Στη συνέχεια εξετάζουµε τη συµπεριφορά των συνεχών συναρτήσεων που είναι ορισµένες σε συµπαγείς τοπολογικούς χώρους. Πρόταση Εστω X ένας συµπαγής τοπολογικός χώρος και Y ένας τοπολογικός χώρος. Αν υπάρχει συνεχής και επί συνάρτηση f : X Y, τότε και ο χώρος Y είναι συµπαγής. ηλαδή, η συνεχής εικόνα ενός συµπαγούς τοπολογικού χώρου είναι συµπαγής χώρος. Απόδειξη: Εστω συνεχής και επί συνάρτηση f : X Y κι έστω (V i ) ένα ανοικτό κάλυµµα του Y. Αφού η f είναι συνεχής, η οικογένεια { f 1 (V i ) : i I} αποτελεί ανοικτό κάλυµµα του X. Ο X είναι συµπαγής τοπολογικός χώρος, εποµένως υπάρχουν i 1,i 2,...,i k I, ώστε X = f 1 (V i1 ) f 1 (V i2 ) f 1 (V ik ). Οµως η συνάρτηση f είναι επί, άρα Y = V i1 V i2 V ik. Συνεπώς, ο Y είναι συµπαγής τοπολογικός χώρος. Σηµαντικές συνέπειες αυτής της Πρότασης είναι το Θεώρηµα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιµής (Πόρισµα ) αλλά και ένα κριτήριο, το οποίο µας επιτρέπει να ελέγξουµε αν µία απεικόνιση είναι οµοιοµορφισµός τοπολογικών χώρων (Θεώρηµα ). Πόρισµα Εστω X συµπαγής τοπολογικός χώρος και µία συνεχής συνάρτηση f : X R. Τότε η f είναι ϕραγµένη και µάλιστα παίρνει µέγιστη και ελάχιστη τιµή. Απόδειξη: Από την Πρόταση , έπεται ότι το f (X) R είναι συµπαγές. Αρα το f (X) είναι ϕραγµένο κι εποµένως, η συνάρτηση f είναι ϕραγµένη. Συνεπώς υπάρχει το sup f (X) R και sup f (X) f (X). Αφού όµως το f (X) είναι συµπαγές, είναι και κλειστό στο R. ηλαδή sup f (X) f (X) = f (X) (sup f (X) = max f (X)). Εποµένως η f παίρνει µέγιστη τιµή. Για την ελάχιστη τιµή εργαζόµαστε ανάλογα. Θεώρηµα Εστω X ένας συµπαγής τοπολογικός χώρος και Y ένας χώρος Hausdorff. Αν f : X Y είναι µία συνεχής, 1 1 και επί συνάρτηση, τότε και η f 1 είναι συνεχής (εποµένως η f είναι οµοιοµορφισµός). Απόδειξη: Αρκεί να δείξουµε ότι η f είναι κλειστή απεικόνιση. Εστω ένα F X κλειστό. Αφού ο X είναι συµπαγής, ϑα είναι και το F συµπαγές. Από την Πρόταση , έχουµε ότι το f (F) Y είναι συµπαγές και, αφού ο Y είναι χώρος Hausdorff, έχουµε ότι το f (F) είναι κλειστό υποσύνολο του Y. ηλαδή η f είναι κλειστή απεικόνιση. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

8 9.2 Καρτεσιανά γινόµενα συµπαγών χώρων Στην προηγούµενη παράγραφο δε µελετήσαµε τη συµπεριφορά της έννοιας της συµπάγειας ως προς το γινόµενο τοπολογικών χώρων, όχι λόγω αµέλειας αλλά επειδή τα καρτεσιανά γινόµενα συµπαγών χώρων παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον, όπως ϑα γίνει εµφανές παρακάτω. Πρώτος µας στόχος είναι να αποδείξουµε το εξαιρετικά εύχρηστο Λήµµα του Σωλήνα και µέσω αυτού να συµπεράνουµε ότι το πεπερασµένο γινόµενο συµπαγών τοπολογικών χώρων είναι επίσης συµπαγής τοπολογικός χώρος. Παράλληλα, ϑα εξάγουµε µερικά ακόµη ενδιαφέροντα Πορίσµατα. Λήµµα (Λήµµα του Σωλήνα). Εστω X τοπολογικός χώρος και Y συµπαγής τοπολογικός χώρος. Αν x 0 X και U είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του X Y, µε {x 0 } Y U, τότε υπάρχει µία ανοικτή περιοχή V του x 0 ώστε {x 0 } Y V Y U 4. Απόδειξη: Για κάθε y Y, έχουµε ότι (x 0, y) U, άρα υπάρχει ϐασικό ανοικτό σύνολο V y W y του X Y µε (x 0, y) V y W y U. Οµως ο χώρος {x 0 } Y είναι συµπαγής, αφού είναι οµοιοµορφικός µε το χώρο Y, εποµένως το ανοικτό κάλυµµά του, (V y W y ) y Y, έχει πεπερασµένο υποκάλυµµα. ηλαδή υπάρχουν y 1, y 2,... y k Y ώστε {x 0 } Y V y1 W y1 V y2 W y2 V yk W yk U. Θέτουµε V = V y1 V yk. Εχουµε ότι το V είναι µία ανοικτή περιοχή του x 0 και επιπλέον {x 0 } Y V Y U. Πράγµατι, αν (x, y) V Y, τότε υπάρχει i {1,2,..., k} ώστε (x 0, y) V yi W yi. Συνεπώς (x, y) V W yi V yi W yi U. Παράδειγµα Είναι σαφές ότι το Λήµµα του Σωλήνα δεν αληθεύει κατ ανάγκη αν ο χώρος Y δεν είναι συµπαγής. Για παράδειγµα, αν X = Y = R και { } N = (x, y) R 2 1 : x < y 2, + 1 τότε το N είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του R 2 που περιέχει το «ϕλοιό» {0} R, αλλά προφανώς δεν περιέχει κανένα «σωλήνα» περί το {0} R. Οπως είχαµε δει στην Προταση (iv), αν (X i ) είναι µία οικογένεια τοπολογικών χώρων και X = X i µε την καρτεσιανή τοπολογία, τότε η συνάρτηση προβολής στην i-συντεταγµένη είναι (συνεχής) ανοικτή απεικόνιση, αλλά όχι αναγκαία και κλειστή απεικόνιση. Η ακόλουθη Πρόταση µας δείχνει ότι στην περίπτωση του γινοµένου δύο τοπολογικών χώρων, η συµπάγεια µπορεί να εξασφαλίσει την κλειστότητα των προβολών. Πρόταση Εστω X τοπολογικός χώρος και Y συµπαγής τοπολογικός χώρος. Η προβολή (στην πρώτη συντεταγµένη) π 1 : X Y X είναι κλειστή συνάρτηση. Απόδειξη: Εστω F ένα κλειστό υποσύνολο του X Y. Θα δείξουµε ότι το σύνολο π 1 (F) είναι κλειστό, ή ισοδύναµα ότι το σύνολο X \ π 1 (F) είναι ανοικτό. Εστω x X \ π 1 (F). Τότε ({x} Y ) F =, δηλαδή {x} Y (X Y ) \ F. Το σύνολο (X Y ) \ F είναι ανοικτό, εποµένως από το Λήµµα του Σωλήνα, υπάρχει ανοικτή περιοχή V του x, µε {x} Y V Y (X Y ) \ F. Τότε x V X \ π 1 (F). Αρα το X \ π 1 (F) είναι ανοικτό σύνολο. 4 Το σύνολο V Y συχνά καλείται «σωλήνας» περί το «ϕλοιό» x 0 Y. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

9 Πρόταση Εστω X τοπολογικός χώρος και Y ένας συµπαγής χώρος Hausdorff. f : X Y είναι συνεχής αν και µόνο αν το γράφηµα Μία συνάρτηση της f είναι κλειστό υποσύνολο του X Y. Gr( f ) = {(x, f (x)) : x X} Απόδειξη: ( ) Εστω ένα δίκτυο (x λ, f (x λ )) λ Λ από στοιχεία του Gr( f ), τέτοιο ώστε (x λ, f (x λ )) (x, y) X Y. Τότε, έχουµε προφανώς ότι x λ x και f (x λ ) y. Οµως η f είναι συνεχής, άρα f (x λ ) f (x), και αφού ο Y είναι χώρος Hausdorff, έπεται ότι y = f (x). ηλαδή (x, y) = (x, f (x)) X Y. Ετσι έχουµε ότι το Gr( f ) είναι κλειστό σύνολο. 5 ( ) Εστω ότι το γράφηµα Gr( f ) της f είναι κλειστό σύνολο. Τότε αν F Y είναι ένα κλειστό σύνολο, αφού η προβολή στη δεύτερη συντεταγµένη π 2 : X Y Y είναι συνεχής απεικόνιση, έχουµε ότι το σύνολο π2 1 (F) είναι κλειστό υποσύνολο του X Y, άρα και το Gr( f ) π 1 2 (F) είναι κλειστό σύνολο. Τώρα, από την Πρόταση 9.2.3, η προβολή στην πρώτη συντεταγµένη π 1 είναι κλειστή απεικόνιση, άρα το σύνολο π 1 (Gr( f ) π2 1 (F)) είναι κλειστό υποσύνολο του X. Οµως εύκολα διαπιστώνει κανείς ότι π 1 (Gr( f ) π2 1(F)) = f 1 (F) (ελέγξτε το). Εποµένως η f αντιστρέφει κλειστά σύνολα σε κλειστά σύνολα, συνεπώς είναι συνεχής. Πρόταση Εστω X,Y συµπαγείς χώροι. Τότε ο χώρος X Y µε την καρτεσιανή τοπολογία είναι συµπαγής χώρος. Επαγωγικά, το καρτεσιανό γινόµενο πεπερασµένου πλήθους συµπαγών χώρων, µε την καρτεσιανή τοπολογία, είναι συµπαγής χώρος. Απόδειξη: Εστω U = (U i ) ένα ανοικτό κάλυµµα του X Y. Για κάθε x 0 X, έχουµε ότι ο «ϕλοιός» {x 0 } Y είναι συµπαγής χώρος που καλύπτεται από το ανοικτό κάλυµµα U, επόµενως υπάρχει πεπερασµένο υποκάλυµµα U x0 U που να καλύπτει το «ϕλοιό» {x 0 } Y, δηλαδή {x 0 } Y U x0. Από το Λήµµα του Σωλήνα, υπάρχει ανοικτή περιοχή V x0 του x 0, ώστε {x 0 } Y V x0 Y U x0. Ετσι, για κάθε x X έχουµε επιλέξει µία ανοικτή περιοχή V x του x, τέτοια ώστε ο «σωλήνας» V x Y να καλύπτεται από πεπερασµένα στο πλήθος στοιχεία του καλύµµατος U. Η οικογένεια V = (V x ) x X αποτελεί ένα ανοικτό κάλυµµα του χώρου X, ο οποίος είναι συµπαγής. Αρα η V έχει πεπερασµένο υποκάλυµµα, δηλαδή υπάρχουν στοιχεία x 1, x 2,..., x k X, τέτοια ώστε X = V x1 V xk. Αφού τα αντίστοιχα υποκαλύµµατα U x1,u x2,...,u xk του U είναι πεπερασµένα, η υποοικογένεια του U U 0 = {U U : U U xi για κάποιο i = 1,2..., k} = U x1 U xk είναι πεπερασµένη και αποτελέι κάλυµµα του X Y, αφού k k X Y Y = (V xi j Y ) j=1 V xi j j=1 k ( ) Uxi = U j 0. j=1 Ετσι, το κάλυµµα U έχει πεπερασµένο υποκάλυµµα, άρα ο X Y είναι συµπαγής χώρος. Σε αυτό το σηµείο είναι ϕυσιολογικό να αναρωτηθεί κανείς αν ισχύει το ανάλογο της Πρότασης για άπειρες οικογένειες συµπαγών χώρων. Η απάντηση είναι ϑετική, αλλά η απόδειξη αυτού του εξαι- ϱετικά σηµαντικού αποτελέσµατος δεν είναι εύκολη. Για την απόδειξη του ανάλογου αποτελέσµατος για 5 Παραρατηρούµε ότι για αυτή την κατεύθυνση του ισχυρισµού δεν απαιτείται η υπόθεση της συµπάγειας του Y. ηλαδή ισχύει γενικά ότι αν µία συνάρτηση παίρνει τιµές σε ένα χώρο Hausdorff, το γράφηµά της είναι κλειστό σύνολο. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

10 συνεκτικούς χώρους (Θεώρηµα ), η περίπτωση του αυθαίρετου γινοµένου ανάγεται µε ένα απλό επιχείρηµα στο γινόµενο πεπερασµένου πλήθους συνεκτικών χώρων. Οµως η τεχνική αυτή καθίσταται ανέφικτη όταν κανείς καλείται να αποδείξει ότι το καρτεσιανό γινόµενο µίας αυθαίρετης οικογένειας συ- µπαγών χώρων είναι συµπαγής χώρος. Εποµένως, κρίνεται αναγκαία η χρήση διαφορετικών µεθόδων επίλυσης του προβλήµατος αυτού. Στην ακόλουθη παράγραφο παρουσιάζουµε δύο τέτοιες µεθόδους. 9.3 Το Θεώρηµα Tychonoff Παρατήρηση Εστω (X i ) µία οικογένεια τοπολογικών χώρων, τέτοια ώστε ο χώρος X = X i να είναι συµπαγής. Τότε κάθε χώρος X i είναι συµπαγής (αφού η αντίστοιχη προβολή π i : X X i είναι συνεχής και επί). Λήµµα Εστω X ένας µη συµπαγής τοπολογικός χώρος. Τότε υπάρχει ανοικτό κάλυµµα U 0 του X, χωρίς πεπερασµένο υποκάλυµµα, µε την ιδιότητα Αν n N και V 0,V 1,... V n k {1,...,n} ώστε V k U 0. X ανοικτά, ώστε V k V 0 και V 0 U 0, τότε υπάρχει Απόδειξη: Θεωρούµε το σύνολο Σ = {U : U ανοικτό κάλυµµα του X χωρίς πεπερασµένο υποκάλυµµά} Τότε Σ, αφού ο X δεν είναι συµπαγής. Προφανώς το (Σ, ) είναι ένα διατεταγµένο σύνολο. Θα δείξουµε ότι ικανοποιείται η υπόθεση του Λήµµατος του Zorn, δηλαδή ότι κάθε αλυσίδα στο Σ έχει µέγιστο στοιχείο. Εστω µία µη κενή αλυσίδα C = {U j : j J} Σ. Θέτουµε U = j J U j. Τότε, προφανώς το U είναι ένα ανω ϕράγµα της αλυσίδας, συνεπώς αρκεί να δείξουµε ότι U Σ. Προφανώς το U είναι ένα ανοικτό κάλυµµα του X κι επιπλέον αν {U 1,U 2,... U n } U τότε υπάρχει ένα ανοικτό κάλυµµα U j0 C µε {U 1,U 2,... U n } U j0 (γιατί;) και αφού U j0 Σ, έχουµε ότι το {U 1,U 2,... U n } δεν είναι ένα (πεπερασµένο) κάλυµµα του X. Αρα το ανοικτό κάλυµµα U δεν έχει πεπερασµένο υποκάλυµµα κι εποµένως U Σ. Ετσι, από το Λήµµα του Zorn έχουµε ότι η οικογένεια Σ έχει ένα µεγιστικό στοιχείο, έστω U 0. Ισχυρισµός. Αν έχουµε ένα U X ανοικτό µε U U 0, τότε υπάρχει n N και U 1,... U n U 0 ώστε X = (U 1 U n ) U. Πράγµατι, έχουµε ότι το {U} U 0 είναι ένα ανοικτό κάλυµµα του X, γνήσια µεγαλύτερο από το U 0. Από τη µεγιστικότητα του U 0, έπεται ότι U 0 {U} Σ, δηλαδή ότι το ανοικτό κάλυµµα {U} U 0 έχει πεπερασµένο υποκάλυµµα. Συνεπώς, υπάρχουν n N και U 1,... U n U 0 ώστε X = (U 1 U n ) U. είχνουµε τώρα ότι το U 0 έχει την επιθυµητή ιδιότητα. Εστω n N και V 0,V 1,...,V n X ανοικτά σύνολα, µε V k V 0. Υποθέτουµε ότι V k U 0 για k = 1,... n και ϑα αποδείξουµε ότι V 0 U 0. Αφού V k U 0, από τον ισχυρισµό έχουµε ότι υπάρχει n k N και U1 k,... U n k k U 0, ώστε X = (U1 k U n k k ) V k, για k = 1,... n. Τότε (εξηγήστε γιατί): ( ) X = (U1 k Un k k ) V k = (U1 k Un k k ) V 0. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 10

11 Αφού U1 k,... U n k k U 0 για k = 1,... n, και το ανοικτό κάλυµµα U 0 δεν έχει πεπερασµένο υποκάλυµµα, έπεται ότι V 0 U 0. Λήµµα Εστω (X i ) οικογένεια τοπολογικών χώρων κι έστω ότι ο χώρος X = X i δεν είναι συµπαγής. Τότε, υπάρχει i 0 I, ώστε X i0 = {W X i0 : W ανοικτό στο X i0 και π 1 i 0 (W ) U 0 }, όπου U 0 είναι ένα ανοικτό κάλυµµα του X, όπως περιγράφεται στο Λήµµα Απόδειξη: Εστω, προς άτοπο, ότι το Ϲητούµενο δεν ισχύει. Τότε, για κάθε i I, υπάρχει ένα y i X \ {W X i0 : W ανοικτό στο X i0 και πi 1 0 (W ) U 0 }. Ετσι ορίζεται ένα στοιχείο y = (y i ) X. Αφού το U 0 είναι ένα ανοικτό κάλυµµα του X, υπάρχει ανοικτό σύνολο V U 0, µε y V. Αφού το V είναι ανοικτό σύνολο, υπάρχει ϐασικό ανοικτό σύνολο B (από την κανονική ϐάση της καρτεσιανής τοπολογίας), ώστε y B V. Εχουµε λοιπόν ότι: B = π 1 i k (W k ), όπου κάθε W k είναι ανοικτό στο X ik, για k = 1... n, άρα πi 1 k (W k ) V. Επιπλέον, τα σύνολα πi 1 k (W k ) (για k = 1,... n), V είναι ανοικτά και V U 0. Αρα από την επιλογή του καλύµµατος U 0, έπεται ότι υπάρχει ένα k {1,...,n} ώστε πi 1 k (W k ) U 0. Εποµένως, y B y πi 1 k (W k ) y ik W k, πράγµα που έρχεται σε αντίφαση µε την επιλογή του y ik. Θεώρηµα (Tychonoff). Αν (X i ) είναι µία οικογένεια συµπαγών τοπολογικών χώρων, τότε ο χώρος X = X i είναι συµπαγής. Απόδειξη: Θα δείξουµε ισοδύναµα ότι αν ο χώρος X δεν είναι συµπαγής, τότε υπάρχει i 0 I ώστε ο χώρος X i0 να µην είναι συµπαγής. Αφού ο X δεν είναι συµπαγής, από το Λήµµα 9.3.3, έχουµε ότι υπάρχει ένα i 0 I, ώστε η οικογένεια να είναι ανοικτό κάλυµµα του X i0. W = {W X i0 : W ανοικτό στο X i0 και π 1 i 0 (W ) U 0 } Αν W 1,...,W n είναι στοιχεία αυτού του καλύµµατος, τότε πi 1 0 (W 1 ),..., πi 1 0 (W n ) U 0 κι επειδή το U 0 δεν έχει πεπερασµένο υποκάλυµµα, έχουµε ότι ( ) X πi 1 0 (W k ) = πi 1 0 W k. Αρα W k X i0, αφού η προβολή π i0 : X X i0 είναι επί. Εποµένως το ανοικτό κάλυµµα W δεν έχει πεπερασµένο υποκάλυµµα, συνεπώς ο χώρος X i0 δεν είναι συµπαγής. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 11

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Μετρικοποιησιµότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό 81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν. 93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν 3 4.3 Τελείως κανονικοί χώροι ( ). 3 2 Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysoh, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν κανονικός χώρος, x και κλειστό ώστε x. Υπάρχει τότε συνεχής συνάρτηση f :, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ii

ii Σημειώσεις Γενικής Τοπολογίας Σημειώσεις Μ. Γεραπετρίτη από τις παραδόσεις (διορθώσεις, 2016) Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 ii Περιεχόμενα 1 Τοπολογικοί Χώροι 3 1.1 Ανοικτά σύνολα,

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Νιάχος ιονύσιος Χώροι Συναρτήσεων (Function Spaces) Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Πατρών

Νιάχος ιονύσιος Χώροι Συναρτήσεων (Function Spaces) Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Πατρών Νιάχος ιονύσιος Χώροι Συναρτήσεων (Functon Spaces) Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Πατρών 2 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ UNIVERSITY OF PATRAS ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Ας θυμηθούμε από την περασμένη φορά ότι ένα σύνολο M σε έναν μετρικό χώρο (X, d είναι συμπαγές όταν: αν έχουμε οποιαδήποτε ανοικτά σύνολα που καλύπτουν

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 31 6. Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση 6.1. Ταυτόχρονη

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Ο Ευκλείδειος χώρος R n 1.1 Αλγεβρική δοµή Ο Ευκλείδειος χώρος R n είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemnn και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήρθατε στην Τοπολογία! http://eclass.uoa.gr/courses/math451/ Χειμερινό Εξάμηνο 2015-16 Υπενθύμιση: Η τοπολογία της ομοιόμορφης σύγκλισης Εστω K ένα σύνολο (π.χ. K = [a,b]) και f n,f : K R φραγμένες

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Χαρακτηρισµοί Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 233 4. Χαρακτηρισµοί

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Ακραία σηµεία - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Ακραία σηµεία - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ακραία σηµεία - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ισοµετρίες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 78 12 Ισοµετρίες 121 Χαρακτηρισµός Ισοµετριών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο Γινοµένου Πινάκων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 4 Μέρος 1. Η οµή Ενός

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και 8.3 Σχετική τοπολογία και υπόχωροι. Ορισμός.37. Έστω X, τ.χ. Αν U : U X, τότε η οικογένεια είναι μια τοπολογία στο σύνολο, η οποία ονομάζεται η σχετική ( ή επαγόμενη ) τοπολογία του. Ο χώρος, ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Κεφάλαιο 1 Μέτρο Lebesgue 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Θα ϑέλαµε να ορίσουµε το «µήκος» κάθε υποσυνόλου A του R, δηλαδή να αντιστοιχίσουµε σε κάθε A R έναν µη αρνητικό αριθµό λ(a) (ή το + ). Είναι λογικό

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης του Π.Α.Τ.: y = f ( x, y), y( x ) (Θεώρημα Picard) ' Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard.

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard. Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, ipschitz, Picard. Νίκος Σταµάτης nstam84@gmail.com 7 Φεβρουαρίου 212 Περίληψη Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουµε µια αναλυτική απόδειξη του ϑεωρήµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t) Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m.

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m. Σηµειώσεις Συναρτησιακής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Το ϑεώρηµα κατηγορίας του Baire 4 2. Χώροι Banach 5 3. Φραγµένοι γραµµικοί τελεστές 8 4. Χώροι πεπερασµένης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης

Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Μετρικοί χώροι 5 Σύγκλιση ακολουθιών 7 Ανοιχτά και κλειστά σύνολα 9 Συνεχείς συναρτήσεις 13 Κλειστότητα, σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 10: Ισοδυναμία ντετερμινιστικών και μη ντετερμινιστικών αυτομάτων Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I. δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ. ɛ > 0, δ > 0 : ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής.

Πρόταση. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I. δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ. ɛ > 0, δ > 0 : ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I ɛ > 0, δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ f(x) ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής ɛ > 0, δ > 0 : x, ξ I, x ξ < δ f(x) f(ξ) ɛ f(x) συνεχής στο [a, b] f(x) ομοιόμορφα συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Τοπολογικοί Χώροι - Βάσεις - Υποβάσεις 4 2. Κλειστότητα και Εσωτερικό 7 3. Σύγκλιση 10 4. Συνέχεια 13 5.

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Εφαρµογές της Κανονικής Μορφής Jordan Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 46 8 Εφαρµογές της Κανονικής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ονομάζεται τότε χώρος πηλίκο. διατηρεί τα συμπληρώματα συνόλων, ένα σύνολο F είναι είναι κλειστό στον.

ονομάζεται τότε χώρος πηλίκο. διατηρεί τα συμπληρώματα συνόλων, ένα σύνολο F είναι είναι κλειστό στον. 67 2.3 Χώροι πηλίκο και τοπολογία πηλίκο Στην παρούσα παράγραφο θα δείξουμε πως μπορούμε μέσω μιας απεικόνισης ενός δεδομένου τοπολογικού χώρου επί ενός συνόλου να εισαγάγουμε τοπολογία στο σύνολο, την

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΤΜΗΜΑ 1β. 2n + 1 n(n + 1) xn. n=1. 2n + 1 ln(1 x)(1 + x) + x. a n = 2n + 1 n(n + 1) = 1 n + 1. a n+1 x n+1 a n x n.

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΤΜΗΜΑ 1β. 2n + 1 n(n + 1) xn. n=1. 2n + 1 ln(1 x)(1 + x) + x. a n = 2n + 1 n(n + 1) = 1 n + 1. a n+1 x n+1 a n x n. ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΤΜΗΜΑ β 4 Ιανουαρίου 005 Τα ϑέµατα,, και 4 είναι υποχρεωτικά. Από τα ϑέµατα 5 και 6 ϑα επίλέξετε ϑέµα. ηλαδή ϑα γράψετε ΜΟΝΟ 5 ϑέµατα. ΘΕΜΑ o.5 + 0.5 = ϐ.) α) Να αποδειχθεί ότι η δυναµοσειρά

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση. Πέτρος Βαλέττας

Πραγµατική Ανάλυση. Πέτρος Βαλέττας Πραγµατική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα I Μετρικοί χώροι 1 1 Μετρικοί χώροι 3 1.1 Ορισµός και παραδείγµατα.......................... 3 1.2 Χώροι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση ( ) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3

Πραγµατική Ανάλυση ( ) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3 Πραγµατική Ανάλυση (2015-16) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3 Οµάδα Α 1. Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #7: Μονοτονία- Ακρότατα-Αντιγραφή Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

2 n N: 0, 1,..., n A n + 1 A

2 n N: 0, 1,..., n A n + 1 A Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 5: Τεχνικές απόδειξης & Κλειστότητα Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα