INŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d v a n a e s t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini)

Transcript

1 INŽENJERSKA MATEMATIKA Tko je a poziciji vlasti o e treba praviti smisla. (Čarska poslovica.) P r e d a v a j a z a d v a a e s t u s e d m i c u a s t a v e (u akademskoj 009/00. godii) 5.9. Primjee diferecijalog račua a ispitivaje fukcija Mootoost fukcija U prethodim odjeljcima smo ustaovili da su diferecijabile fukcije sa eegativim izvodom u ekom itervalu eopadajuće a sa epozitivim izvodom erastuće. Dopuimo ovaj stav obratim. Stav Ako je diferecijabila reala fukcija f u itervalu (a b) ( R) eopadajuća (erastuća) oda je f '() 0 ( f '() 0) za svaki (a b). Dokaz: Pretpostavimo da je f eopadajuća a itervalu (a b). Neka je proizvolja tačka tog itervala. Tada je f( + h) f( ) 0 za + h (a b). h Odavde je f ( + h) f ( ) f '( ) = lim 0. h 0 h Sličo se pokazuje da je f '() 0 ako je f erastuća u itervalu (a b). Na osovu prethodih čijeica lako se zaključuje da se potrebi i dovolji uslovi stroge mootoosti fukcije za koju postoji izvod u razmaku a b mogu a ovaj ači izraziti: "Da bi fukcija f koja ima koača ili ili beskoača izvod u (a b) bila (strogo) rastuća (odoso strogo opadajuća) u itervalu (a b) potrebo je i dovoljo da za svaki (a b) vrijedi f '() 0 (odoso f '() 0) pri čemu rlacija f '() = 0 e može biti ispujea i u kom razmaku α β ( (a b)) ". 0 Primjeri Fukcija f () : = l (strogo) raste u itervalu e jer je f '() = l + > 0 za > e e i f '() < 0 za 0 < < e. a (strogo) opada u itervalu Fukcija f () : = ( ) e opada u itervalu (0 ) jer je f '() = ( ) 0 za (0 ). Primijetimo da je f '() = 0 o f () (strogo) raste u itervalu (0 ) Lokale ekstreme vrijedosti U prethodom je pokazao da je auliraje prvog izvoda diferecijabile fukcije f () u tački c potreba uslov za postojaje lokale ekstreme vrijedosti te fukcije u tački c. Navedimo sada i eke dovolje uslove za postojaje lokale ekstreme vrijedosti fukcije. 8

2 84 Stav *) Neka je f () eprekida fukcija u ekoj okolii U tačke c i diferecijabila u Ů. Tada je u tački c lokali ekstremum fukcije f () ako f '() mijeja zak kada prolazi kroz c. Ako f '() e mijeja zak kada prolazi kroz c oda u tački c fukcija f () ema ekstremu vrijedost. Pri tom: ako je f '() < 0 za U ( c ) i f '() > 0 za U (c ) oda je u tački c strogi lokali miimum; ako je f '() > 0 za U ( c ) i f '() < 0 za U (c ) oda je u tački c strogi lokali maksimum. Dokaz: Pretpostavimo da su ispujei uslovi. Prema Lagrageovoj teoremi o sredjoj vrijedosti za Ů imamo jedakost f (c) f () = f '(ξ )(c - ) gdje je ξ između c i. Bilo da je < c bilo da je > c važi f (c) f () < 0 tj. u tački = c fukcija f () ima strogi lokali miimum. Sličo se dokazuje stav i u ostalim avedeim slučajevima. Primjer Fukcija f () = 6 0 ima izvod svugdje osim za = 5. f '() = 5 6 za > 5 6 za < odakle se vidi da je f '() < 0 za < 5 i f '() > 0 za > 5. Dakle f () ima strogi lokali miimum u tački = 5 f 5 = 0. Primijetimo da u tački = 5 fukcija f () ema izvod. Stav Neka je fukcija f zajedo sa svojim prvim izvodom f ' eprekida u ekoj okolii tačke c i u toj tački postoji f ''. Pri tom je f '(c) = 0. Ako je f ''(c) < 0 ( f ''(c) > 0) oda fukcija f () u tački c ima strogi lokali maksimum (miimum). Dokaz: Po defiiciji je zbog f '(c) = 0 vrijedi f '( ) f '( c) f '( ) f ''( c) = lim = lim. c c c c Neka je a primjer f ''() < 0. Tada je prema pozatoj osobii limesa i izraz f '( ) c egativa samo ako je f '( ) dovoljo blizu tački c ali različit od je. Drugim riječima u ekoj okolii Ů tačke c je < 0. To zači da za c U i < c važi f '() > 0 a za i U i > c važi f '() < 0. Prema prethodom stavu slijedi da u tački c fukcija f () ima strogi lokali maksimum. Primjeom Taylorove formule lako se dokazuje da vrijedi: Stav Neka je fukcija f zajedo sa svojih izvoda eprekida u ekoj okolii tačke c i u toj okolii postoji f () (). Neka je pri tom f ' (c) = f '' (c) =... = f ( ) (c) f () (c) 0. *) Dovolja uslov za egzisteciju lokalog ekstremuma može se opštije ovako formulisati: Ako je fukcija f eprekida u ekoj okolii U( 0 ) tačke lijevo od tačke 0 e opada odoso e raste a deso od tačke 0 e raste odoso e opada oda je tačka 0 tačka lokalog maksimuma odoso miimuma.

3 85 Tada : ako je epara broj u tački c fukcije f ema ekstreme vrijedosti ; ako je para broj u tački c fukcija f ima lokali ekstremum. Pri tom ako je f () (c) > 0 u tački c je strogi lokali miimum a ako je f () (c) < 0 u tački c je strogi lokali maksimum. Primjeri Fukcija f () = l ima u tački = e lokali miimum f e = e. Naime rješeje jedačie f '() = l + = 0 je = e a drugi izvod f ''() = u tački e je pozitiva f '' e = e > 0. Ispitajmo tačku = 0 za fukciju f () = e + e + cos. Stavljajući u jedakostima f '() = e e si f ''() = e + e cos f '''() = e e + si f (4) () = e + e + cos = 0 imamo f '(0) = f ''(0) = f '''(0) = 0 f (4) (0) = 4. Dakle u tački = 0 je lokali miimum fukcije f. Za fukciju f () = e tj. f () (0) = 0 N. No f () f (0) = u tački = 0. 0 i f (0) = 0 lako se vidi da su svi izvodi u tački 0 jedaki uli e > 0 za 0 te fukcija f ima strogi lokali miimum Koveksost kokavost i prevoje tačke fukcija Defiicija Fukcija f : (a b) R aziva se koveksom ako za proizvolje (a b) važi f (λ + λ ) λ f ( ) + λ f ( ) gdje je λ + λ = λ 0 λ 0. Ako za i λ λ 0 umjesto važi zak < za fukciju f se kaže da je strogo koveksa. Ukoliko umjesto zaka vrijedi zak (odoso > ) za fukciju f se kaže da je kokava (odoso strogo kokava). Primjeri Fukcija f () : = a + b je koveksa (i kokava) a realoj pravoj jer je f (λ + λ ) = a (λ +λ ) + b = a (λ + λ ) + (λ + λ ) b = λ (a + b) + λ (a + b) = λ f ( ) + λ f ( ). Fukcija ϕ () : = je strogo koveksa a R što slijedi iz ϕ (λ + λ ) = λ + λ λ + λ = λ + λ λ λ ( ) < λ ϕ ( ) + λ ϕ ( ). Geometrijski se smisao koveksosti fukcije vidi iz sljedećih razmatraja. Neka je luk EF a slici grafik kovekse fukcije y : = f () u itervalu (a b). Uočimo proizvolje tačke (a b) ( < ) kao i ( ). Stavimo λ = λ = ozačimo f ( ) = y f ( ) = y A = ( y ) B = ( y ). Iz ejedakosti f () = f (λ + λ ) λ f ( ) + λ f ( ) = + y y i E y A D C a 0 b Slika B F

4 86 vidi se da tačka C( f ()) grafika ije izad tačke D ( λ + λ ) sječice povučee kroz A i B. Ako je f koveksa oda je tačka D izad tačke C. Napomeimo da je svojstvo koveksosti iteresato u matematici i jeim primjeama jer se pomoću tog svojstva može dobiti veliki broj korisih ejedakosti (pr. ejedakost između aritmetičke i geometrijske sredie). Stav Neka je fukcija f : (a b) R diferecijabila. Da bi f bila koveksa (strogo koveksa) u (a b) potrebo je i dovoljo da je f ' eopadajuća (strogo raste) u (a b). Dokaz: Dokažimo stav za slučaj koveksosti. Neka je f koveksa fukcija i proizvolje tačke iz (a b) takve da je < <. Napišimo u obliku = + Iz koveksosti fukcije f slijedi ejedakost f () f ( ) + f ( ) odakle se dobije f ( ) f( ) f( ) f( ). Pretpostavljajući u ovoj ejedakosti ajprije da a zatim da dobije se f ( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) lim = f '( ) f '( ) = lim. Obruto pretpostavimo da f ' raste i da su proizvolji brojevi iz itervala (a b) tako da je < <. Prema Lagrageovoj teoremi o sredjoj vrijedosti primijejeoj a fukciju f a segmetu [ ] odoso [ ] imat ćemo f( ) f( ) = f '( ξ ) < ξ < odoso f( ) f( ) = f '( ξ) < ξ <. Kako je f ' (ξ ) f ' (ξ ) to je f ( ) f( ) f( ) f( ) što zači da je fukcija f koveksa. Primijetimo da je f kokava (strogo kokava) fukcija u itervalu (a b) ako i samo ako je f ' erastuća (strogo opada) a (a b). Stav Neka fukcija f : (a b) R ima u svakoj tački (a b) drugi izvod. Da bi f bila koveksa (kokava) a (a b) potrebo je i dovoljo da bude f '' () 0 ( f '' () 0) za (a b). Dokaz: Kako je f ''() = ( f '())' to ovaj stav slijedi iz prethodog. Stav Ako su fukcije f i f ' defiirae i eprekide a fukcija f '' defiiraa i pozitiva (egativa) a (a b) oda je fukcija f strogo koveksa (kokava) a (a b). Primjeri Fukcija f () = l defiiraa u itervalu (0 ) strogo je koveksa u itervalu ( e ) a stogo kokava u itervalu (0 f ''() > 0 (odsoo f ''() < 0) za ( e e ) (odoso za (0 e )). ). Naime kako je f ''() = l + to je

5 Primjeom Lagrageove teoreme o sredjoj vrijedosti derivacije dokazuje se da vrijedi: Stav Diferecijabila fukcija u itervalu (a b) je koveksa (kokava) ako i samo ako tačke jeog grafika isu ispod (izad) tačaka jee tagete povučee u proizvoljoj tački itervala (a b). Fukcija je strogo koveksa (kokava) ako i samo ako su tačke jeog grafika izad (ispod) tačaka tagete povučee u proizvoljoj tački itervala (a b) e uključujući tačku dodira. Neka je fukcija f () defiiraa u ekoj okolii U tačke 0 i diferecijabila u Ů. Neka je dalje f eprekida u tački 0 i je grafik u toj tački ima tagetu. Tačka ( 0 f ( 0 )) aziva se prevojom tačkom *) krive y = f () ako je fukcija f strogo koveksa (kokava) u skupu { U > 0 } i strogo koakva (koveksa) u skupu { U < 0 }. Ako kriva y = f () ima prevoju tačku ( 0 f ( 0 )) i fukcija f ima eprekida drugi izvod u tački 0 oda je f ''( 0 ) = 0. Naime ako to e bi bilo oda bi u ekoj okolii U tačke 0 izvod f ''() bio pozitiva odoso egativa; tada bi prema stavu fukcija f () U bila koveksa odoso kokava. U prevojoj tački tageta siječe grafik fukcije f. Pomeimo eke dovolje uslove za postojaje prevojih tačaka. Stav Neka je fukcija f diferecijabila u ekoj okolii U tačke 0 i dvaput diferecijabila u Ů. Ako f '' mijeja zak pri prolazu argumeta kroz tačku 0 oda je ( 0 f ( 0 )) prevoja tačka krive y = f (). Dokaz : Ako f ''() mijeja zak kada prolazi kroz 0 oda je f '() s jede strae tačke 0 eopadajuća a s druge strae erastuća. Prema stavu tačka ( 0 f ( 0 )) je prevoja tačka krive y = f (). Stav Neka je f ''( 0 ) = 0 a f '''( 0 ) 0. Tada je ( 0 f ( 0 )) prevoja tačka krive y = f () Jeseova ejedakost Defiicija Reala fukcija f jede reale promjeljive aziva se J koveksa ili koveksa u Jeseovom smislu a razmaku (koačom ili beskoačom) a b ( R) ako za sve y a b vrijedi + y f ( ) + f ( y) f. Ako je pri tom za y + y f ( ) + f ( y) f < kažemo da je f strikto (strogo) J koveksa. Teorema Ako je f J koveksa a razmaku a b oda za svaki priroda broj > i za sve i a b (i =... ) vrijedi Jeseova *) ejedakost f ( ) + f ( ) + + f ( ) f. (5.9.) *) ili tačka ifleksije. Prevoja tačka se defiira i a ovaj ači: Neka je fukcija f defiiraa u ekom itervalu ( 0 h 0 + h) pri čemu je a itervalu ( 0 h 0 ) kokava a a itervalu ( h) koveksa ili obruto. Tada se kaže da je 0 prevoja tačka fukcije f (ili da je tačka ( 0 f ( 0 )) prevoja tačka grafika od f. **) J. L. W. V. Jese (859 95) daski matematičar po profesiji ižejer elektrotehike iz područja telefoije.

6 88 Ako je f strogo J koveksa oda jedakost vrijedi samo za = =... =. Dokaz : Nejedakost (5.9.) ćemo dokazati metodom regresive idukcije. Za = ejedakost (5.7.) vrijedi prema defiiciji J kovekse fukcije. Neka (5.9.) vrijedi za = k (k N). Dokažimo da tada (5.9.) vrijedi i za a + b. Tada je a b <. Sada je f + f + + f = f ( ) + f ( ) + + f ( ) + f ( + ) + + f ( ) = k+. Neka su *) j j < j+ pa je i f + za eki što zači da (5.9.) vrijedi za sve prirode brojeve oblika k (k =...) i za strogo J koveksu fukciju f jedakost vrijedi samo za = = =. + + Ako (5.9.) vrijedi za eki ( N) oda stavljajući : = [a b] dobijemo f ( ) + f ( ) + + f ( ) f pri čemu za strogo J koveksu fukciju f jedakost vrijedi samo za = = =. Time je dokaz teoreme završe. Primjer Za sve pozitive brojeve... vrijedi (*) i jedakost vrijedi samo za = =... =. (Nejedakost (*) je pozata ejedakost između aritmetičke i geometrijske sredie!) Dokaz : Kako je ( y ) 0 za sve y R to je + y y za sve y R. Logaritmirajući dobijemo da za sve pozitive reale brojeve y vrijedi l + l l + y. Dakle fukcija f () : = l je strogo J koveksa a (0 + ) te prema teoremi vrijedi l l l l odakle je l... l tj i jedakost vrijedi samo za = =... =. Primjedba Svaka koveksa fukcija je J koveksa ali obruto e vrijedi. Primjer fukcije koja je J koveksa ali ije koveksa ije elemetara (i izlazi iz okvira programskog sadržaja ovog kursa). Međutim vrijedi sljedeća teorema. *) Ovdje smo pretpostavili (što e utiče a općeitost) da tačke a b pripadaju ramaku a b.

7 89 Teorema Ako je reala fukcija f jede reale promjeljive eprekida a segmetu [a b] oda je oa koveksa a [a b] ako i samo ako je oa J koveksa a [a b]. Fukcija f je strogo koveksa a [a b] ako i samo ako je f strogo J koveksa a [a b]. Dokaz: Za λ = λ = uslov koveksosti (iz defiicije 5.9.) fukcije f svodi se a uslov + y f ( ) + f ( y) f pa koveksost (stroga) povlači J koveksost (strogu) / bez pretpostavke da je f eprekida/. Dokažimo sada da je svaka eprekida J koveksa fukcija a [a b] koveksa a [a b]. Zaista ako je α = p racioala broj oda je prema teoremi : p sabiraka ( p) sabiraka p p p+ ( p) y y+ y+ y f ( ) + f ( ) + + f ( ) + f ( y) + f ( y) + + f ( y) f ( α + β y) = f = f = p p = f ( ) + f ( y) = α f ( ) + β f ( y). Ako je α iracioala broj oda postoji iz (α i ) (0 < α i < ) racioalih brojeva takvih da je lim i α i = α. Ozačimo sa β i = α i ( i N ). Tada je f (α i + β i y) α i f () + β i f ( y) ( i N). Kako je f eprekida fukcija to lim i f (α i + β i y) postoji i jedak je f (α + β y) gdje je β : = lim i β i = = α. Dakle imamo lim i f (α i + β i y) lim i α i f () + lim i β i f ( y) odoso f (α + β y) α f () + β f ( y). Ostalo je još dokazati da stroga J koveksot povlači strogu koveksost eprekide fukcije f a [a b]. Pretpostavimo obruto. Tada za eki α i eke y [a b] y vrijedi f (α + β y) = α f () + β f ( y). No + y + y + y f + f ( y ). + y odakle je f () + f ( y) = + y f te f ije strogo J koveksa. α f () + β f ( y) = f (α + β y) = f α ( α) α ( α) Dakle f () + f ( y) f Zadaci a) Dokažite da ako su f i f J kovekse fukcije oda je i a f + a f za a > 0 a > 0 opet J koveksa. b) Dokažite da je kvadrat J kovekse eeagtive fukcije J koveksa a da proizvod dvije J kovekse fukcije e mora biti J koveksa fukcija. Zadatak Neka je f koveksa fukcija a razmaku a b ( R) i eka su λ i ( i =... ) pozitivi brojevi takvi da je λ + λ + + λ =. Dokažite da tada za sve iz a b vrijedi (poopštea) Jeseova ejedakost f λi i λ i f( i). i = i= Ako su i 0 α i 0 i α i = α ( > 0) dokazati težisku ejedakost između i= aritmetičke i geometrijske sredie α α α (... α ) ( α + α + + α ). α

8 Grafičko prikazivaje fukcija postupak ispitivaja toka i crtaja grafika *) Često je veoma koriso zbog što očigledijeg sagledavaja svojstava fukcije acrtati (skicirati) je grafik. U cilju crtaja (skiciraja) grafika fukcije zadae aalitičkim izrazom običo se koristi sljedeća ili joj sliča shema (za fukcije zadae eksplicito u pravouglom Dekartovom koordiatom sistemu): Odrediti oblast defiiraosti fukcije (u skladu sa kovecijom u vezi sa prirodim domeom reale fukcije jede reale promjeljive date aalitički). Ispitati specijala svojstva fukcije (parost periodičost...). Ispitati poašaje fukcije a rubu domea odoso u okoliama evetualih tačaka prekida; aći asimptote. Ispitati specijala svojstva fukcije (parost periodičost...). 4 Odrediti ule i zak fukcije. (Poekad je emoguće precizo odrediti položaj ula pa se u tom slučaju oe samo lokalizuju u ekom itervalu (a b) za koje je f (a) f (b) < 0 ili se cio ovaj problem odlaže do ispitivaja izvoda.) 5 Naći prvi i drugi izvod fukcije. (Prije prelaska a izvode može se skicirati prelimiari grafik koji će se često podudarati sa (fialim krajjim koačim) grafikom.) 6 Odrediti itervale mootoosti i ekstreme vrijedosti. 7 Ispitati koveksost i odrediti prevoje tačke. 8 Odrediti i sve ostale specifičosti grafika date fukcije a zatim skicirati taj grafik. (Ako je fukcija para ili epara dalje ispitivaje se ograičava a skup D( f ) [0 + ]. Ako je fukcija periodiča sa osovim periodom T oda se ispitivaje ograičava a razmak dužie T.) Ako prvi izvod posmatrae fukcije e postoji u ekoj tački jeog domea treba izračuati (ako postoje) lijevi i desi prvi izvod u toj tački kao i lijevu i desu graiču vrijedost prvog izvoda te fukcije u svakoj od evetualih jeih sigularih tačaka da bi se ustaovio ugao pod kojim grafik zadae fukcije "ulazi" i "izlazi" iz te tačke. U slučaju kada je f '_( 0 ) f ' + ( 0 ) pri čemu su f '_( 0 ) i f ' + ( 0 ) koači tačka ( 0 f ( 0 )) aziva se uglova (ili ugaoa tačka ili preloma tačka) dok u slučaju kada je f '_( 0 ) f ' + ( 0 ) i bar jeda od izvoda f '_( 0 ) i f ' + ( 0 ) je beskoača za tačku ( 0 f ( 0 )) kažemo da je povrata tačka (ili šiljak) grafika fukcije f (razlikuju se jedostrai i dvostrai šiljci). Za ovakve tačke kaže se još i da su špicevi grafika fukcije f. Lijevi izvod f '_( 0 ) predstavlja koeficijet pravca lijeve tagete (odoso lijeve polutagete) a desi izvod f ' + ( 0 ) koeficijet pravca dese tagete (odoso dese polutagete ako se umjesto odgovarajuće prave posmatra odgovarajuća poluprava). Kao rezultat ispitivaja (toka) fukcije treba acrtati grafik (u Dekartovom pravouglom koordiatom sistemu) a kome su azačee sve karakterističe (kritiče) tačke i asimptote (sve koje postoje). Često se grafik amjero "karikira" da bi se bolje vidjele karakterističe tačke (u čemu je predost ovakvog ačia ispitivaja ad kompjuterskim). Napomea I pored postojaja kompjuterskih programa pomoću kojih se mogu crtati grafici fukcija važo je zati da se pojedii aspekti poašaja fucija mogu uočiti jedio primjeom metoda matematičke aalize. Osim toga aalitičko ispitivaje fukcija (uz primjeu i derivacija fukcija) često ima i određei začaj u teorijskim istraživajima uutar i izva matematičkih auka. No pored praktiče ispitivaje fukcija ima i pedagošku vrijedost jer se kroz rješavaje jedog problema mora pokazati pozavaje elemetare matematike teorije realih brojeva i izova limesa izračuavaje derivacija a često i pozavaje Taylorove (i specijalo Maclauriove) formule te povezivaje svega toga u jedu cjeliu. *) Uputstvo koje se daje važi (u potpuosti) samo za slučaj kada je posmatraa fukcija dio po dio eprekida a itervalima jer samo tada možemo acrtati je grafik (e može se svaka fukcija grafički predstaviti pr. Dirichletova čak postoje i eprekide fukcije čiji se grafik e može acrtati!).

9 9 Primjeri a) Prikažimo grafički fukciju f () : = + arcsi 4 +. Rješeje: Dome (prirodi) : D( f ) = R jer je + za R. Poašaje fukcije a krajevima domea i evetuale tačke prekida: Kako je lim f ( ) =± to je fukcija f eograičea a krajevima svog domea (tj. u okoliama ± tačaka ± ) i ema horizotalih asimptota. Zadaa fukcija je očito elemetara fukcija pa je eprekida a svom prirodom domeu te ema i vertikalih asimptota. Simetrija grafika (parost / eparost periodičost i evetuala simetrija u odosu a eke tačke /različite od tačke (0 0)/ ili prave /različite od ose Oy / ): D( f ) je simetriča skup u odosu a 0 a i vrijedi f ( ) = arcsi = f () za 4 + D( f ) pa je f epara fukcija te je dovoljo vršiti ispitivaje samo za 0. Očito f ije periodiča fukcija. 4 Nule i zak : f () = 0 za = 0 (prosta ula!) f () < 0 za ( 0) f () > 0 za > 0. 5 Ekstremi i mootoost : Iz ( + ) ( ) f '( ) = + = + = 4 ( + ) 4 ( + ) ( ) > < < 4 + = 7 = < 0 ( < > ) 4 + 4( + ) slijedi da zadaa fukcija ima lokali miimum za = = 7 a lokali maksimum za = = 7; tačke ( π 4 ) i ( π 4 + ) su ugaoe (prelome) tačke grafika G( f ) (jer su u = = lijevi i desi izvodi od f koači i (međusobo) različiti). Zadaa fukcija f (strogo) raste u itervalima ( 7 ) ( ) i ( 7 + ) a opada (strogo) u ( 7 ) i ( 7). 6 Koveksost / kokavost / i prevoje tačke : 4 < < ( + ) f ''( ) = 4 < > ; ( + ) f ''() > 0 u ( 0) i ( + ) (kriva koveksa)

10 9 f ''() < 0 u itervalu ( ) i (0 ) (kriva kokava). Prevoje tačke su : ( π 4 ) (0 0) i ( π 4 + ). 7 Kosa asimptota : y = a + b f ( ) a = lim = b = lim [ f ( ) a] = 0 ± 4 ± tj. kosa asimptota je zadaa sa y = 4. 8 Grafik i slika Im ( f ): Prema ađeim podacima možemo acrtati grafik zadae fukcije f kao a slici 5.9. sa koje je očito Im ( f ) = R. y y = Slika b) Fukcija f () : = + defiiraa je za svaki R. Kako je 4 + = + = + + o ± 9 to kriva y = f () ima asimptotu y = + i približava joj se s gorje odoso doje strae kad odoso +. Vrijedosti fukcije su pozitive za > 0 a egative za <. Nule su joj u tačkama = 0 =. + 4 Iz f '() = 0 f '( ) = lim f '() = f ' ± (0) = lim f '() = ± ± 0 + ( ) 8 f ''() =... = 9 ( + ) ( + ) za svaki R\{ 0} zaključujemo da data fukcija (strogo) raste u itervalima ( 4 ) (0 + ) a (strogo) opada u itervalu ( 4 0). U tački ( 0) grafik y / y = + y = date fukcije ima vertikalu tagetu (datu jedačiom = ) a u tački (0 0) Slika 5.9..

11 vertikalu polutagetu (lijeva i desa polutageta su vertikale i poklapaju se pa je tačka (0 0) povrata tačka /šiljak/ grafika zadae fukcije dok je tačka ( 0) ugaoa /preloma/ tačka grafika fukcije f ). Tačka ( 4 4 ) je tačka lokalog maksimuma tačka (0 0) je tačka lokalog miimuma. Fukcija je koveksa u itervalu ( ) a kokava u itervalima ( 0) i (0 + ). Tačka ( 0) je prevoja tačka grafika zadae fukcije f (sl ). Sa grafika zadae fukcije f mogu se sagledati moga očigleda svojstva. Tako pr. imamo da je rag R( f ) jedak skupu R da preslikavaje f : R R f () = + ije ijekcija (pa i bijekcija) da grafik siječe svoju kosu asimptotu u samo jedoj tački da je grafik eprekida kriva (djelimičo glatka) itd. c) Na sl dat je grafik proizvolje reale fukcije f jede reale promjeljive i povučee su tageta i ormala u tački M( y). Duži LM MN LP PN azivamo respektivo: tageta ormala subtageta subormala. Sa sl slijedi da je y LP = S T = y ctg α = tg α = y y ' y tj. S T = y pa iz ΔLNM imamo: T = LM = y y + = ' y ' y y ' + y ' a iz ΔPNM je S N = PN = y tg α = y y ' N = MN = = y ( yy' ) + = y + y '. y M( y) y = f () 9 α L 0 P N Slika Veličie T S T N S N azivaju se i dodiri elemeti krive. Odrediti dodire elemete za slučaj grafika fukcije f u primjeru b) u tački M ( f ())! Primjer Ispitati fukciju zadauu polarom koordiatom sistemu formulom ρ = siϕ ϕ i acrtati je grafik. Rješeje: Pri kostrukciji grafika fukcije date sa ρ = f (ϕ ) gdje su ρ (poteg) i ϕ (polari ugao) polare koordiate tačke u ravi može se takođe skicirati jeda opšta shema što e zači da se u pojediim slučajevima ova kostrukcija e može izvesti i jedostavijim postupkom. Napomeimo da važije elemete te sheme čie sljedeći elemeti: Dome D( ρ ); simetrija grafika prema polu ( ako je ρ ( ϕ ) = ρ (ϕ ) ili ako je ρ (π + ϕ + kπ ) = ρ (ϕ ) za k Z ) i polaroj osi (ako je ρ ( ϕ + kπ ) = ρ (ϕ ) ili ako je ρ (π ϕ + kπ ) = ρ (ϕ ) za k Z ); lim ρ si( ϕ ϕ ) ; egzistecija asimptota (tj. odrediti sve ϕ 0 D( ρ ) za koje ρ + pa odrediti d : = [ ] jedačia asimptote je tada ρ si (ϕ ϕ 0 ) = d ) i položaj grafika prema asimptotama (a osovu proučavaja '' koveksosti /kokavosti/ kada ρ tj. a osovu proučavaja zaka izraza + kad ρ ± ρ ρ ρ tj. zaka od '' ρ ρ kad ρ ± jer ϕ ϕ0 0 kad ρ ± ) ; 4 egzistecija graa krive koje prolaze kroz ρ 0

12 94 pol; 5 koveksost (odoso kokavost) grafika prema polu (za luk krive zadae formulom ρ = f (ϕ ) kažemo da je koveksa (odoso kokava) prema polu O ako se pol i luk krive alaze u suprotim (odoso istim) oblastima prema tageti krive u proizvoljoj tački toga luka. Iz ove defiicije se lako dobije /za dva puta diferecijabilufukciju ρ (ϕ ) / da za svaku tačku koveksog (odoso kokavog) luka mora biti ispuje uslov '' + < 0 (odoso > 0 ) a u prevojoj tački jedak 0 ρ ρ ρ ) ; 6 tablica vrijedosti. U ašem slučaju dobije se grafik kao a sl jer vrijedi: D ( ρ ) = R \ {0}; ρ ( ϕ ) = ρ (ϕ ); ρ = 0 za ϕ = kπ k Z pa grafik eograiče broj puta "prolazi" kroz pol. Poteg e može eograičeo rasti te grafik zadae fukcije ema asimptota. Tačka A (0 ) pripada grafiku ako se defiira si ϕ ρ ( 0 ) : = lim =. ϕ 0 ϕ Slika ρ = siϕ ϕ A (0 ) Zadatak * Reala fukcija f jede reale promjeljive zadaa je formulom. f ( ) = + + a) Odredite prirodi dome Dom ( f ) a zatim ispitajte poašaje fukcije f a rubovima područja Dom ( f) i odredite jee evetuale asimptote. b) Ispitajte postojaje (jedozače) iverze fukcije i ako postoji odredite je (ekspliciti) aalitički oblik. c) Odredite evetuale tačke prekida i sigulariteta i klasificirajte ih za zadau fukciju f. d) Odredite itervale mootoosti i evetuale tačke lokalog i apsolutog ekstrema zadae fukcije f kao i evetuale prelome i povrate tačke jeog grafika. e) Ispitajte koveksost i kokavost i odredite evetuale prevoje tačke zadae fukcije f. f) Odredite rag R( f ) i acrtajte grafik zadae fukcije f te skicirajte grafik fukcije g zadae u c). G L A V A V I NEODREĐENI INTEGRAL 6.. Pojmovi primitive fukcije i eodređeog itegrala Pojam tače primitive fukcije koji smo uveli predstavlja jeda od važijih pojmova u matematičkoj aalizi.nadalje ćemo se ograičiti a reale fukcije koje su defiirae a razmaku a b u R. Važi sljedeća teorema koja glasi: Teorema 6... Svaka eprekida fukcija a razmaku ima taču primitivu fukciju (TPF) a tom razmaku. * ) Zadatak sa ispita iz Mat. I / IM.

13 Prethodu Teoremu 6... ćemo dokazati u sljedećem poglavlju. Pokazuje se da klasa eprekidih fukcija ije dovoljo široka u primjei. Zato treba poopštiti pojam tače primitive fukcije. Poopšteje se uvodi sljedećom defiicijom. Defiicija 6... Fukcija F : a b R aziva se primitiva fukcija (ili prvobita fukcija ili atiderivacija ) fukcije f : a b R ( a b R) (6..) a (koačom ili beskoačom) razmaku a b ako je fukcija F eprekida a razmaku a b i ima izvod F ' koji je jedak fukciji f a razmaku a b osim možda a prebrojivom skupu tačaka iz razmaka a b. Prema prethodoj defiiciji 6... fukcija f () : = sg za a a a R + ima za primitivu fukciju fukciju F() : = jer je fukcija F eprekida a razmaku a a i ima izvod F '() = sg za svaki a a \ {0} (a R + ). Iz defiicije 6... slijedi da ako fukcija f ima a razmaku a b za primitivu fukciju (PF) fukciju F oda je fukcija F primitiva fukcija i za fukciju ϕ koja je jedaka fukciji f a razmaku a b osim možda a prebrojivom skupu tačaka iz razmaka a b. Za ovako defiirau primitivu fukciju važi sljedeća teorema: Teorema 6... Neka je fukcija F primitiva fukcija fukcije f a razmaku a b. Tada se familija {Φ : Φ primitiva fukcija fukcije f a razmaku a b } podudara sa familijom fukcija {F + C : C proizvolja reala kostata C R}. Dokaz: Dokaz se izvodi aalogo kao i dokaz odgovarajuće teoreme za taču primitivu fukciju (avede u prethodom poglavlju). Defiicija 6... Neka fukcija f oblika (6..) ima a razmaku a b primitivu fukciju. Tada se eodređeim itegralom fukcije f a razmaku a b aziva skup {Φ : Φ primitiva fukcija fukcije f a razmaku a b } svih jeih primitivih fukcija a razmaku a b. Neodređei itegral (NI) fukcije f a razmaku a b ozačava se simbolom f ( )d kojeg čitamo eodređei itegral fukcije f (). Proizvod f() d aziva se poditegralim izrazom a fukcija f() poditegralom fukcijom Osova svojstva eodređeog itegrala. Izvod eodređeog itegrala fukcije f oblika (6..) postoji u svakoj tački a b sa isključejem možda prebrojivog skupa tačaka iz tog razmaka i pri tome važi jedakost d ( f ( )d ) d = f (). (6..) Zaista iz jedakosti f ( )d= F() + C gdje je F primitiva fukcija fukcije f slijedi d ( f ( )d) d d = ( F( ) + C) = F () = f (). d Ova jedakost važi za a b sa isključejem možda prebrojivog skupa tačaka tog razmaka.. Diferecijal eodređeog itegrala fukcije f oblika (6..) postoji u svakoj tački a b sa isključejem možda prebrojivog skupa tačaka iz tog razmaka i pri tome važi jedakost d ( f ( )d) = f () d. (6..)

14 Stvaro ako fukcija f ima fukciju F kao taču primitivu fukciju a razmaku a b tada jedakost (6..) važi za svaki a b jer iz jedakosti f ( )d= F() + C za a b slijedi da je d ( f ( )d ) = d (F() + C) = d F() = F ' () d = f () d za a b. Aalogo se dokaže avedeo svojstvo i u slučaju kada poditegrala fukcija f ima primitivu fukciju koja ije užo tača primitiva fukcija.. Ako je F diferecijabila fukcija a razmaku a b oda važi jedakost d F( ) = F() + C. (6..) Zaista iz defiicije pojma tače primitive fukcije fukcije f oblika (6..) a razmaku a b slijedi da je f ( )d= F() + C a tom razmaku. Sada a osovu jedakosti (6..) imamo f () d = d (F() + C ) = d F() za a b pa je f ( )d= d F( ) tj. d F( ) = F() + C što je i trebalo dokazati. Sljedeća defiicija je vezaa za defiiciju pojma eodređeog itegrala. Defiicija 6... Za dva izraza koji sadrže NI kažemo da su jedaki ako svaka fukcija koja je obuhvaćea jedim izrazom pripada skupu fukcija koje obuhvata drugi izraz. 4. Neka fukcije f i g oblika (6..) respektivo imaju fukcije F i F kao TPF a razmaku a b. Tada i fukcija λ f + λ g ima PF a razmaku a b i pri tome važi jedakost λ f ( ) + λ g( ) d = λ f( )d + λ g( )d [ ] pri čemu su λ i λ proizvolje reale kostate od kojih je bar jeda različita od ule. Zaista defiirajmo fukciju F formulom F() = λ F () + λ F () za a b. Fukcija F ima izvod a razmaku a b i pri tome važi jedakost F '() = λ f () + λ g () za a b. Sada slijedi po defiiciji pojma NI da je [ f ( ) + λ g( ) ] d = F( ) + C (6..4) gdje je C proizvolja reala kostata. S druge strae takođe po defiiciji pojma eodređeog itegrala imamo f ( )d = F () + C i g ( )d= F () + C (6..5) pri čemu su C i C proizvolje reale kostate. Možeći jedakost (6..5) prvu sa λ a drugu sa λ a zatim sabirajući dobijee jedakosti imamo λ f ( )d+λ g ( )d= λ F () + λ F () + λ C + λ C = F() + λ C + λ C. (6..6) Slijedi prema aprijed avedeoj defiiciji da svaka fukcija sadržaa u skupu fukcija sa dese strae jedakosti (6..6) pripada skupu fukcija sa dese strae jedakosti (6..4) jer je dovoljo uzeti C = λ C + λ C za zadae vrijedosti C i C. Obruto svaka fukcija sadržaa u skupu fukcija sa dese strae jedakosti (6..4) pripada skupu fukcija sa dese strae jedakosti (6..6) jer jedačia λ C + λ C 96

15 = C za zadao C ima kako zamo rješeja po C i C i to beskoačo mogo. Iz jedakosti (6..4) i (6..6) slijedi tačost avedeog svojstva. Napomeimo da je ovo svojstvo tačo i u slučaju kada izostavimo riječ tača ispred riječi primitive fukcije u formulaciji ovog svojstva pri čemu treba koristiti čijeicu koja am je pozata - da je uija dva prebrojiva skupa prebrojiv skup (vrijedi i opštije: uija od prebrojivo mogo prebrojivih skupova je prebrojiv skup). Posljedica 6... Ako fukcije f f f oblika (6..) imaju primitive fukcije a razmaku a b oda i fukcija λ i i f = i ima primitivu fukciju a razmaku a b i pri tome važi jedakost ( λ i ) = = i = i fi( ) d λi fi( )d pri čemu su λ λ... λ proizvolje reale kostate od kojih je bar jeda različita od ule. Specijalo je λ f ( )d = λ f ( )d ( λ 0); [ f ± f ] = f ± f ( ) ( ) d ( )d ( )d. Napomea 6... Ova apomea vezaa je za tehiku tražeja primitive fukcije za slučaj kada poditegrala fukcija ima prekid. Neka je 0 (a b) tačka prekida prvog reda fukcije f oblika (6..). Pretpostavimo da postoje PF F i F za restrikcije fukcije f a razmacima a 0 i 0 b uzetih bez tačke 0. Sada PF fukcije f a razmaku a b kao eprekidu fukciju a tom razmaku defiiramo formulom F( ) + C za < a 0 > \ { 0} F( ) = F( ) za < 0 b> \ { 0} F( 0) = F( 0 0) + C = F( 0 + 0) za = 0. Iz jedakosti F ( 0 0) + C = F ( 0 + 0) možemo izračuati kostatu C pa takvim jeim izborom fukcija f postaje eprekida a razmaku a b te po defiiciji oa može biti PF fukcije f a razmaku a b. Defiicija 6... Postupak alažeja NI fukcije F oblika (6..) a razmaku a b aziva se itegriraje (ili itegracija) fukcije f () a razmaku a b Neposredo itegriraje 6... Osova pravila itegriraja Osova pravila itegriraja slijede eposredo iz defiicija pojma eodređeog itegrala i pojma itegriraja fukcija pa u skladu sa osovim svojstvima eodređeog itegrala koja su izvedea u prethodom paragrafu 6. imamo sljedeća četiri osova pravila koja se koriste za eposredo itegriraje odgovarajućih realih fukcija jede reale promjeljive. ) Ako je F '() = f () oda je f ( )d = F() + C gdje je C po volji odabraa kostata (C R). gdje je α ( 0) kostata (α R \ {0}). ) α f ( )d = α f( )d ) [ f ( ) ± f ( )] d = f ( )d ± f ( )d.

16 Ovo (treće) osovo pravilo itegriraja proširuje se do sljedeće opšte metode razlagaja (metode dekompozicije) koja zajedo sa metodom uvođeja ovog argumeta metodom zamjee promjeljive i metodom parcijale itegracije čii skup osovih metoda itegracije. Ova metoda se primjejuje u slučaju kada fukciju f oblika (6..) možemo predstaviti u obliku koače sume fukcija f i oblika (6..) za i =... čije je primitive fukcije lako aći. Tada prema svojstvu 4. prethodog paragrafa 6.. imamo f ( )d= f ( )d i i =. 4) Ako je f ( )d= F() + C i u = ϕ () oda je f ( u)du= F(u) + C. Specijalo je f ( a + b )d = F(a + b) + C (a 0). a Ovo četvrto osovo pravilo itegriraja je pozato i kao metoda uvođeja ovog argumeta Tablica itegrala Tablica ajprostijih eodređeih itegrala formira se a osovu eposredog određivaja primitive fukcije iz formula u tablici izvoda iz odjeljka Naime polazeći od čijeice da iz df() = f () d slijedi f ( )d = F() + C lako se formira sljedeća tablica eodređeih itegrala. I. α + + C α α d α + = d = l + C α = ( 0); specijalo je : a) d= + C b) = d + C c) C = + d) II. a a d= + C = a loga e+ C (0 < a ); l a specijalo je: e d = e + C (gdje je e Eulerov broj). d = + C. III. a) si d= cos + C b) cos d= si + C (cos )' c) tg d= d= l cos + C cos (si )' d) ctg d = d = l si + C si IV. a) sh d = ch + C b) ch d = sh + C c) th d= l ch + C d) cth d = l sh + C. d V. a) tg C cos = + d b) ctg C si = +.

17 99 c) d = l tg + C = l cos ec ctg + C si d d) π = l tg + + C cos 4 = l tg + sec + C VI. a) d th C ch = + d b) cth C sh = +. VII. d arcsi + C = arccos + C ; d arcsi C a = a ( a 0) VIII. d arc tg + C d = ili opštije: + arc ctg + arc tg C C ; = + a + a a ( a 0). d + IX. a) = l + C ( = ar th + C ako je < ) d a+ ili opštije: = l + C ( a 0). a a a b) d d + = = l + C = l + C + ( ar cth C ako je ) = + >. d. + α X. = l + + α + C ( α 0) Napomea: U svim formulama I. X. C (a u formulama VII. i VIII. i C ) je proizvolja reala kostata. Ako je eka od avedeih poditegralih fukcija defiiraa a uiji disjuktih otvoreih itervala oda kostata C može biti različita a svakom od tih itervala Itegriraje prethodim svođejem a oblik diferecijala Osovo pravilo itegriraja «Ako je f ( )d= F() + C i u = ϕ () oda je f ( u)du= F(u) + C.» zato proširuje tablicu jedostavijih itegrala jer je a osovu tog pravila tablica itegrala primjeljiva eoviso o tome da li je varijabla itegriraja ezavisa varijabla ili diferecijabila fukcija. Primjer 6... u d = (9+ ) d(9+ ) = u = 9+ = u du = = (9 + ) + = C 9 C =

18 pri čemu smo se poslužili prethodim osovim pravilom itegriraja i itegralom I. d) iz tablice itegrala. d d( ) Primjer 6... = 4 l = + C ( ) + gdje smo prećuto (šutke) podrazumijevali da je u = te primijeili prethodo osovo pravilo itegriraja i itegral IX. b) Primjer 6... d = d( ) C 0 = + 0l (a osoovu gore avedeog osovog pravila itegriraja i itegrala II. iz tablice itegrala). Primijetimo da smo u primjerima prije primjee bilo koje formule iz tablice itegrala prethodo doveli zadai itegral u oblik f ( ϕ ( )) ϕ '( )d = f( ϕ ( ))d( ϕ ( )) = f( u)d( u ) ( u = ϕ ()). Takvu trasformaciju azivamo dovođeje pod zak diferecijala a izračuavaje eodređeog itegrala primjeom te trasformacije azivamo itegriraje prethodim svođejem a oblik diferecijala. Pri tome se često koriste sljedeće trasformacije diferecijala: ) d = d( a+ b) (a 0); ) d = a d ( ); ) α α + d = d( a + b) (a 0 α ); itd. a( α + ) 6.4. Metoda zamjee promjeljive u eodređeom itegralu Kako e postoji opšti metod pogoda za izračuavaje eodređeih itegrala prišlo se tražeju metoda koje omogućuju iako edovoljo efikaso izračuavaje itegrala u mogim specijalim slučajevima. Već smo se u 6.. upozali sa jedom takvom metodom metodom eposrede itegracije (metodom uvođeja ovog argumeta / itegracijom metodom prethodog svođeja a oblik diferecijala). U ovom paragrafu upozaćemo još dvije osove metode itegracije: metodu zamjee promjeljive i metodu parcijale itegracije. Neka je fukcija ϕ oblika (6..) eprekida a razmaku a b i diferecijabila u svakoj tački tog razmaka osim možda a prebrojivom skupu tačaka razmaka a b. Tada je kako zamo fukcija ϕ PF svake fuckije koja je defiiraa a razmaku a b i koja uzima vrijedosti jedake jeom izvodu u svakoj tački a b u kojoj je fukcija ϕ diferecijabila. Ozačimo prozvolju takvu fukciju sa ϕ '. Neka je fukcija g : a b R eprekida a razmaku a b pri čemu je ϕ( a b ) a b. Kako je eprekida fukcija eprekide fukcije je eprekida fukcija to slijedi da je a razmaku a b defiiraa složea eprekida fukcija g(ϕ ()). Prema teoremi avedeoj u prethodom poglavlju imamo da svaka eprekida fukcija ima taču primitivu fukciju pa fukcija g ima taču primitivu fukciju a razmaku a b koju ćemo ozačiti sa G. Za takvu fukciju G vrijedi da je G '(t) = g (t) za t a b. Kako je fukcija G defiiraa a razmaku a b to je zbog ϕ ( a b ) a b a razmaku a b defiiraa složea fukcija F() = G(ϕ ()) pri čemu je fukcija F eprekida a razmaku a b i ima izvod koji je 00

19 zada formulom F' () = G '(ϕ ()) ϕ '() = g (ϕ ()) ϕ '() u svim tačkama razmaka a b osim možda u tačkama prebrojivog skupa tačaka iz tog razmaka. Zato je fukcija G (ϕ ()) primitiva fukcija fukcije g (ϕ ()) ϕ '() pa je prema defiiciji pojma eodređeog itegrala g ( ϕ( ) ) ϕ'( ) d = G(ϕ ()) + C gdje je C R proizvolja kostata. Na taj ači imamo da ako je G tača primitiva fukcija fukcije g a razmaku a b oda je fukcija G(ϕ ()) primitiva fukcija fukcije g (ϕ ()) ϕ '() a razmaku a b pod učijeim pretpostavkama. Neka sada treba izračuati itegral f ( )d. Ako pomoću zamjee t = ϕ () dobijemo jedakost f () d = g (ϕ ()) ϕ '() d pri čemu se lako račua itegral gt ()dt= G(t) + C oda vrijedi jedakost f ( )d= g ( ϕ( ) ) ϕ'( )d= G(ϕ ()) + C (6.4.) gdje je C proizvolja reala kostata. Formula zadaa sa (6.4.) aziva se formula zamjee promjeljive u eodređeom itegralu. Napomeimo da je pri izračuavaju eodređeog itegrala f ( )d umjesto zamjee t = ϕ () često pogodije izvršiti zamjeu (smjeu) = ψ () t tako da umjesto formule (6.4.) imamo f ( )d = f( ψ()) t ψ'()d t t = gt ()dt= G (t) + C ( = ψ () t ) (6.4.) 0 odakle slijedi da je f ( )d = G( ψ ( )) + C ako fukcija ψ ima iverzu fukciju t: = ψ ( ). Primjer Izračuajmo eodređei itegral d a R \{ } + a 0. Rješeje: Primijetimo da je pogodo uvesti smjeu jer tada imamo Lako se utvrđuje da za poditegrali izraz vrijedi tako da je što je tabliči itegral X.

20 0 Primjer Nađimo itegral Rješeje: Kako je f ( ) d = d f ( ) to uvođejem smjee f ( ) = u dobijemo tj. (6.4.) Primjer Izračuajmo itegral Kako je ( ) = to prema (6. 4. ) (ili uvođejem smjee 5 u = ) imamo da je ( ) ( ) d Primjer Nađimo sljedeći itegral Očito je U avedeom postupku ismo uvodili smjeu u= e ali smo je imali a umu tako se običo i postupa (tj. itegriraje se vrši koristeći metodu prethodog svođeja a oblik diferecijala). Primjer Izračuajmo itegral a - d ( a> 0). Primijetimo da je pogodo uvesti smjeu = ψ ( u) = asi u π π ( u ). Poditegrala π π fukcija je defiiraa za a pa je zbog toga i moguća avedea smjea. Na segmetu aa.osim fukcija φ(u) ima izvod i sve vrijedosti poditegrale fukcije pripadaju segmetu [- ]

21 0 toga ta fukcija ima iverzu fukciju u = arcsi tako da su ispujei svi uslovi za primjeu a metode smjee promjeljive. Tada prema formuli (6. 4. ) vrijedi No kako je to je gdje jeu = arcsi. Kako je a to se koačo rezultat itegracije može apisati u obliku Posljedji itegral se često koristi pa ga je koriso zapamtiti. Primjer Izračuajmo Uvođejem smjee dobijemo Dakle pa je

22 04 Zadadak 6.4..** Za realu fukciju f jede reale promjeljive zadau formulom: f( ): = ( + ) ispitajte egzisteciju primitive fukcije a zatim dokažite da je f ( d ). f ( )d( ) = (sg )l( + + ) + C R \ [ 0]. Rješeje: Zadaa fukcija f je defiiraa za svaki reali broj za koji je + ( ) >0 tj. prirodi dome te fukcije je skup Dom ( f ) : = { R: > o < } = R \[ 0]. Fukcija f je očito elemetara pa je eprekida gdje je i defiiraa te kao takva oa ima primitivu fukciju (čak taču primitivu!) a svakom razmaku sadržaom u jeom domeu pa i a čitavom domeu Dom ( f ). Neodređei itegral zadae fukcije se može aći svođejem potkorijeog izraza a kaoski oblik kvadratog trioma i zatim uvođejem smjee + = t čime se taj itegral svodi a tabliči itegral oblika X. Međutim itegriraje zadae fukcije može se jedostavo izvršiti i prethodim svođejem a oblik diferecijala. Zaista za > 0 imamo ( ) + ( ) d d d = = = l( + + ) C ( + ) + + dok za + < 0 vrijedi ( ) + ( ) d d d = = = l( + ) C ( + ) + R \ [ 0] pa otuda slijedi jedakost f ( )d( ) = (sg )l( + + ) + C trebalo dokazati. koju je i Zadadak 6.4..** Za realu fukciju f jede reale promjeljive zadau formulom: a) ( + ) f ( ) : = ; b) + f ( ) : = ; c) f ( ) : = 4 ( + ) + + ispitajte egzisteciju primitive fukcije a zatim izračuajte eodređei itegral I ( ): = f( ) d. Rezultat i uputa: a) I ( ) = C ; b) I ( ) = arctg + + C; 5 7 d( ) ( ) arctg < 0 I = = + C 0 + c) C a iz uslova eprekidosti primitive fukcije π π slijedi I(0 -) = I(0 +) odakle je C = + C C = + C gdje je C proizvolja reala kostata te stavljajem I(0) = C dobijemo da je uslov I(0 -) = I(0 +) = I(0) ispuje a da se I() π može apisati u obliku I( ) = arctg + sg + C za 0 I(0) = lim I( ) ; 0

23 Metoda parcijale itegracije Neka su fukcije f i g oblika (6..) eprekide fukcije a razmaku a b i diferecijabile u svakoj tački tog razmaka osim možda u tačkama prebrojivog skupa tačaka iz razmaka a b. Tada su fukcije f i g primitive fukcije ekih fukcija koje ćemo obilježiti respektivo f ' i g ' a razmaku a b. Otuda slijedi da je fukcija f g eprekida (kao proizvod eprekidih fukcija) i da ima izvod a razmaku a b osim možda a prebrojivom skupu tačaka E a b i pri tome važi jedakost ( f g)'() = f '() g() + f () g '() za a b \ E. Tako je fukcija f g primitiva fukcija fukcije f ' g + f g ' a razmaku a b pa je [ '( ) ( ) ] f g + f ( g ) '( ) d = f () g() + C za a b. ( 6.5.) Polazeći od toga da fukcije f ' g i f g ' imaju primitive fukcije i koristeći svojstvo da je itegral zbira jedak zbiru itegrala posljedju jedakost možemo apisati u obliku f ( g ) '( )d= f () g() f '( g ) ( ) d koja važi za a b pri čemu se kostata C e piše eksplicito već se podrazumijeva da je sadržaa u itegralu f '( g ) ( ) d. Posljedja jedakost se aziva formulom za parcijalu itegraciju. Ako su fukcije f i g diferecijabile fukcije a pomeutom razmaku oda se pomeuta formula za parcijalu itegraciju piše u obliku f ( ) d g( ) = f () g() g ( )d f ( ) (6.5.) ili je često možemo aći u obliku f dg = f g gdf odoso u obliku udv = u v vdu (6.5.) gdje je u = f () v = g(). Primijetimo da formula za parcijalu itegraciju (6.5.) vrijedi ako su u = f () v = g() fukcije koje a datom razmaku imaju izvod i pri tome su takve da postoji itegral f ( g ) '( )d tj. itegral udv. Naime iz tih uslova i idetiteta duv ( )= udv+ vduslijedi da postoji i itegral v d u i pri tome vrijedi vdu= d( uv) udv = d( uv) ud v. [ ] No kako je d( uv ) = uv to je vdu = u v udv + C odakle slijedi formula (6.5.).

24 Primjea metode parcijale itegracije sastoji se u tome da se poditegrali izraz posmatra kao proizvod udv gdje su u v eke fukcije od ali tako odabrae da je itegral v d u lakše aći od početog itegrala udv. Pri tome za izračuavaje itegrala udv prethodo treba odrediti du i dv. v= Primjer Izračuajmo itegral 06 Neka je i d u = = dv. a Tada je i Nako primjee formule (6.5.) dobijemo Posljedji itegral izračuava se eposredo : ( a ) d= ( ) d ( ) ( ) +. a a = a C Koačo zadai itegral glasi Metoda parcijale itegracije često se koristi. Oa se uspješo primjejuje za izračuavaje itegrala kod kojih se poditegrala fukcija f može apisati u obliku f ( ) = g( ) h( ) gdje g algebarska a h trascedeta elemetara fukcija. U slučaju kada je izvod od h algebarska fukcija često se tada u formuli (6.5.) uzima da je h ( ) = u g ( ) d= dv a ako je pak izvod od h trascedeta fukcija uzima se da je g ( ) = u hd ( ) = dv. Navodimo ekoliko takvih primjera. Primjer Izračuajmo itegral Neka je

25 07 Tada je u= h( ) = arc tg dv= g( ) d= d. Korištejem formule (6.5.) dobijemo Primjer Izračuajmo itegral Za u= h( ) = dv= g( ) d= e d imamo Korištejem formule (6.5.) dobijemo Zadatak Izračuajte Uputa i rezultat. Primjeom metode parcijale itegracije uzimajući da je u= h( ) = dv= g( ) d= si d dobije se itegral koji je jedostaviji je od prethodog i a jega poovo primjejujući metod parcijale itegracije dobije se Primjer Izračuajmo itegral I = a + d ( a R ).

26 08 ) Za a = 0 imamo da je I = d= d = + C gdje je C proizvolja (reala) kostata. ) Za a 0 primijeimo metodu parcijale itegracije. Iz slijedi da je Primjeom formule (6.5.) dobijemo: Dakle dobili smo jedačiu po epozatoj I čijim rješavajem dobijemo Zadatak Izračuajte itegral Uputa i rezultat. Primjeom metode parcijale itegracije uzimajući da je dobije se za β 0 jedakost Dalje se može primijeiti metod parcijale itegracije a itegral e α cos βd uzimajući da je

27 09 i u tom se slučaju tražeje početog itegrala svodi a rješavaje jedačie po epozatoj I a može se poovo a zadai itegral I primijeiti metod parcijale itegracije uzimajući da je pa tako za α 0 dobiti jedakost Možeći lijevu i desu strau u prvodobijeoj jedakosti za itegral I sa α β pa sabirajem lijevih i desih straa tako dobijeih jedakosti dobije se β α a u drugodobijeoj sa odakle je Neposredo se možemo uvjeriti da taj rezultat vrijedi i ako je i β 0 ili ako je α 0 i β= 0 tj. posljedji rezultat vrijedi ako je bar jeda od parametara α β različit od ule. Za α = β = 0 zadai itegral se svodi a itegral I = 0 d = C gdje je C proizvolja reala kostata. Zadatak Za realu fukciju f jede reale promjeljive zadau formulom: a)* a α + α f ( ) : = e cos b ( a b R ); b)** f ( ): = (+ + l ) ( α R) ispitajte egzisteciju primitive fukcije a zatim izračuajte eodređei itegral I( ): = f( ) * ) Zadatak sa ispita iz Mat. I / IM i koji je bio zada za domaću zadaću iz IM. ** ) Zadatak sa ispita iz Mat. I i koji je (sa α = ) bio zada za domaću zadaću iz IM.