12. PRIMJENE DERIVACIJA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "12. PRIMJENE DERIVACIJA"

Transcript

1 Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike. PRIMJENE DERIVACIJA INTERVALI MONOTONOSTI Podsjetimo se što zači da je ukija mootoa a ekom itervalu I ( ab : Neka je : I R I ( ab R. Ako vrijedi I < ( < ( je strogo rastuća ukija; I < ( ( je rastuća ukija; I < ( > ( je strogo padajuća ukija; I < je padajuća ukija. ( ( Za ukiju kažemo da je mootoa ako je rastuća ili padajuća odoso strogo mootoa ako je strogo rastuća ili strogo padajuća ukija. Fukija je po dijelovima mootoa ako se svaki koači iterval iz domee može rastaviti a koačo mogo itervala a kojima je ukija mootoa. Teorem Neka je ukija derivabila a itervalu ( ab I i eka ima isti predzak za svaki I. Tada je ukija mootoa a itervalu I. Dokaz Neka su I. Lagrageov teorem postoji točka ( tako da vrijedi ( ( tj. ( ( (. (* Iz (* slijedi: ( > ( ( ( & < tj. ukija je rastuća. ( > ( ( ( & < tj. ukija je padajuća. Dakle a itervaa gdje je prva derivaija pozitiva (egativa ukija je rastuća (padajuća. > < >

2 Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike 6 Primjer: Odrediti itervale mootoosti ukije Slijede itervali mootoosti:. ± a itervaa ( / ] & [ / / / a itervalu [ ] što su itervali rasta a što je iterval pada ukije. > < > EKSTREMNE VRIJEDNOSTI FUNKCIJE U poglavlju smo deiirali pojam ekstrema (miimuma i maksimuma ukije. Sad ćemo se baviti jegovom egzisteijom. Teorem (Nuža uvjet za ekstrem Fermatov teorem Neka ukija : [ ab] R ima ekstrem u točki ( ab. Ako postoji. Podsjetimo se apomea izeseih uz Fermatov teorem: oda je Napomea Fermatov teorem am kazuje da ćemo točke ekstrema ukije alaziti među rješejima jedadžbe koja azivamo staioarim ili kritičim točkama. Napomea Pretpostavka ovog teorema jest da postoji derivaija u promatraoj točki. Naime ukija može imati ekstrem u ekoj točki a da u joj ema derivaiju. Na primjer ukija u točki ima miimum ali e i derivaiju. Osim toga postoje slučajevi kad je derivaija jedaka uli u ekoj točki a da u joj ije ekstrem ukije. Na primjer za ukiju je ( staioara točka ali e i točka ekstrema. To zači da uvjet ije dovolja za postojaje ekstrema.

3 Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike Teorem (Dovolja uvjet za ekstrem pomoću prve derivaije Ako pri prijelazu kroz staioaru točku derivaija eprekide ukije mijeja predzak oda je u točki ekstrem ukije i to: - u točki je maksimum ako se predzak derivaije mijeja sa plus a mius; - u točki je miimum ako se predzak derivaije mijeja sa mius a plus. Dokaz Neka je O gdje je O okolia točke. Lagrageov teorem postoji točka O tako da vrijedi tj. ( (. (* Pretpostavimo da derivaija prolazom kroz točku mijeja predzak s plusa a mius. Iz (* slijedi: < > ( < & ( ( > & ( > < < < tj. u je maksimum. Pretpostavimo da derivaija prolazom kroz točku mijeja predzak s miusa a plus. Iz (* slijedi: < > ( < & ( ( > & ( < > > > tj. u je miimum. Primjer: Skia ukije si jee prve i druge derivaije. si os si - π π π π

4 Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike Teorem (Dovolja uvjet za ekstrem pomoću druge derivaije Ako u kritičoj točki ukija ima eprekidu drugu derivaiju i vrijedi ukija ima ekstrem u toj točki i to: - u točki je maksimum ako je < ; - u točki je miimum ako je >. oda Dokaz Neka je O gdje je O Lagrageov teorem postoji točka. okolia točke O tako da vrijedi tj. ( (. (* > prva derivaija prolazi kroz točku rastući: HL H L Iz (* slijedi: < < > & ( ( > & ( Aalogo se dokazuje za maksimum. < > > > tj. u je miimum. Teorem (Dovolja uvjet za ekstrem pomoću -te derivaije Ako u kritičoj točki ukija ima eprekidu derivaiju tog reda i vrijedi ( L i oda ukija ima ekstrem u toj točki i to: ( ( ( < ( >. - u točki je maksimum ako je - u točki je miimum ako je Dokaz Neka je gdje je O O ( okolia točke Talorov teorem ; L. 4

5 Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike ( < < θ θ!!! L! θ (** ( > je rastuća ukija tj. ( prolazi kroz točku rastući: H L H L H L HL Iz (** slijedi: > > > > < < < < & & θ θ > > tj. u je miimum. Aalogo se dokazuje za maksimum. Primjeri:. Odrediti ekstreme ukije koristeći drugu derivaiju ± su kritiče točke za ekstrem 6 > <. M M 9 to miimum i je u 9 to maksimum i je u. U polukrugu radijusa r upisati jedakokrača trapez maksimale površie tako da mu je osovia jedaka promjeru polukruga. 5

6 Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike r v P a ( a r v a v r v 4 v P ( v v( 4 v v v 4 v a P ( v v 4 v 4 v P ( v v 4 v 4 v jedio pozitivo riješeje različito od 4 4 ule v ma Pma. L HOSPITALOVA PRAVILA Guillame Fraçois Atoie de l Hospital (66-74 rauski matematičar L Hospitalova pravila se primjejuju kod tražeja graiče vrijedosti (esa ukije. Najjedostavije izračuavaje esa je izračuavaje esa ukije u točki u kojoj je oa eprekida. Tada je (. Promatrat ćemo slučajeve kod kojih ije moguće direkto primijeiti teorem o esu produkta kvoijeta itd. Radi se o takozvaim eodređeim obliima kad kojih e možemo oijeiti da li graiča vrijedost postoji ili e. Naodređei oblii su:. Metode rješavaja spomeutih oblika koje se temelje a derivaijama zovu su L Hospitalova pravila. Prvo pravilo ćemo ormulirati za slučaj određivaja desog esa: 6

7 Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike Teorem (oblik Neka su ukije i g deiirae a itervalu ( a b]. Neka je g a a i eka a itervalu ( a b] postoje derivaije i g A a g oda postoji i es kvoijeta i vrijedi g A. a g a g. Ako postoji Dokaz U svrhu dokaza teorema deiirajmo: ( a g( a. Sada prema pretpostavkama teorema i a zaključujemo: - ukije i g su postale eprekide u točki a - postoje derivaije g u itervalu ( a b] i vrijedi g. Time su ispujee pretpostavke poopćeog teorema sredje vrijedosti za svaki iterval [ a] ( ab]. Dakle a tako da vrijedi Cauhjev teorem postoji točka g ( a g( a ( (. g g Zbog a < < ako teži prema a mora i težiti prema a. Kako po pretpostavi prema A tj. ima es slijedi a g a g ( ( A čime je teorem dokaza. Napomee uz teorem: - dozvoljeo je da A bude epravi es tj. da bude A ili A - aalogi teorem vrijedi za slučaj određivaja lijevog esa - aalogi teorem vrijedi za eodređei oblik g teži - l Hospitalovo pravilo se e primjejuje a račuaje esa izova - l Hospitalovo pravilo se može primijeiti više puta uzastope ako su ispujei uvjeti teorema. 7

8 Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike Primjeri: si si 4 si os os.. π si si π 4 si os os. 6 6 si os si os 6 6 Postupi koji se primjejuju za ostale eodređee oblike Oblik Oblik & g [ g ] a a a Trasormaijom g g se oblik a g 6.. svodi a & g [ g ] a Trasormaijom g se oblik svodi a a g g g ili.. ili. Oblii Pojavljuju se prilikom račuaja g( Postupak je sljedeći: a g l g l e l l. Prelaskom a es slijedi a a g ( g ( l ( g l a e e a čime u ekspoetu dobivamo eki od već razmatraih eodređeih oblika.. Primjeri: l. l (. 8

9 Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike l. ( si. si l l LL. ( l l l si si l si e e si l si l si l e si l ( LL si e. KONKAVNOST KONVEKSNOST I TOČKE INFLEKSIJE U ovom smo poglavlju već odgovorili a pitaje koje je začeje stalosti predzaka prve derivaije ukije a ekom itervalu. Sad ćemo se baviti začejem predzaka druge derivaije. Za pretpostaviti je da će se pojaviti eke aalogije. Deiiija (kokavost koveksost Za gra derivable ukije ( kažemo da je koveksa (kokava u itervalu I ( ab ako se o alazi izad (ispod tagete u bilo kojoj točki tog itervala. Uvjeti kokavosti i koveksosti dai aalitički T T I : Jedadžba tagete krivulje s diralištem u točki ( ( - ordiata do tagete. - ordiata do krivulje Uvedimo ukiju g kao razliku ordiata do krivulje i do tagete: g. Gra Γ je koveksa (izad tagete ako je ispujeo g. Gra je kokava (ispod tagete ako je ispujeo Γ g. 9

10 Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike Teorem Neka ukija : I R I ( ab ima drugu derivaiju u svakoj točki itervala I. Gra ukije je koveksa u itervalu I ako je ( > I odoso gra ukije je kokava u itervalu I ako je Dokaz Neka je I. Talorova ormula za ukiju u točki ( ( < I. ( θ( < θ <.!! i g zapisujemo u obliku Uz raije deiirae ukije Iz (* slijedi: ( ( θ g ( θ ( tj.. (* 44 > g < g gra je koveksa u I gra je kokava u I. Deiiija (ileksija Točka ileksije ili pregiba graa ukije je točka u kojoj gra mijeja kokavost u koveksost (ili obrato. kokavo < I > kovekso Nako deiiije ileksije bavit ćemo se jeom egzisteijom kako smo to radili kod ekstrema. Teorem (Nuža uvjet za ileksiju Ako ukija : I R ima eprekidu drugu derivaiju u točki I i ako ima ileksiju u toj točki oda je. 4

11 Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike Dokaz Pretpostavimo suproto tvrdji teorema tj. eka je u točki I ispujeo. Pretpostavimo kao prvo da je > ( > O. Iz (* slijedi: < ( < ( > & > g > > ( > ( > & > ukija je koveksa u okolii točke. Dakle prolazom kroz točku ukija e mijeja kokavost-koveksost tj. ije točka ileksije što je suproto pretpostavi teorema. Aalogo bi se dokazalo sa <. Napomea Ovaj am teorem kazuje da ćemo točke ileksije ukije alaziti među rješejima jedadžbe koja azivamo staioarim ili kritičim točkama za ileksiju. Napomea Pretpostavka ovog teorema jest da postoji ileksija u promatraoj točki. Naime postoje slučajevi kad je druga derivaija jedaka uli u ekoj točki a da to ije točka ileksije. Na 4 primjer za ukiju je staioara točka ali e i točka ileksije. To zači da uvjet ije dovolja za postojaje točaka ileksije. Teorem (Dovolja uvjet za ileksiju pomoću druge derivaije Ako pri prijelazu kroz kritiču točku druga derivaija ukije mijeja predzak oda je točka točka ileksije. Dokaz Neka je gdje je O O. okolia točke i Talorova ormula u točki : ( ( ( θ( < θ <. Pretpostavimo da mijeja predzak sa mius a plus prolazom kroz točku. Od raije imamo deiirau ukiju g ( ( ( θ. (* Iz (* slijedi: < < > & θ < g < tj. ukija je kokava. 4

12 Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike θ > > > & > g > tj. ukija je koveksa. Dakle prolazom kroz točku ukija mijeja kokavost-koveksost tj. ima ileksiju u točki. Aalogo za slučaj da mijeja predzak sa plus a mius. Teorem (Dovolja uvjet za ileksiju pomoću -te derivaije Ako u kritičoj točki ukija ima eprekidu derivaiju ( og reda i vrijedi L i oda gra ukije ima ileksiju u. Dokaz Neka je gdje je O O okolia točke Talorov teorem ( ( L. ( (! ( ( L ( θ( < θ < ( ( ( ( ( θ.! Za ukiju g sada imamo ( (! g θ. (** Postoje dvije mogućosti: ( > je rastuća ukija tj. Iz (** slijedi: ( ( ( prolazi kroz točku rastući. Slika! ( ( θ < < > & < g < ( ( θ ( tj. ukija je kokava. > > > & > g > tj. ukija je koveksa. Dakle prolazom kroz točku gra ukije prelazi s jede a drugu strau tagete tj. ima ileksiju u točki. Za < se dokazuje aalogo prethodom slučaju. Primjeri:. Odrediti točke ileksije ukije 6 6 i itervale a kojima je oa kokava odoso koveksa je kritiča točka za ileksiju 4

13 Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike 6 6 u točki ( Itervali kokavosti i koveksosti: < a itervalu ( ukija je kokava a > a itervalu ( ukija je koveksa. 5. Odrediti točke ileksije ukije je kritiča točka za ileksiju 6 iv iv v v u točki ( ukija ima ileksiju. ukija ima ileksiju. ASIMPTOTE Deiiija Prava a b zovemo asimptotom ukije ako udaljeost točke krivulje (graa Γ od prava teži k uli kad teži u beskoačost. Slika! Razlikujemo: - horizotale asimptote - vertikale asimptote i - kose asimptote. Horizotale asimptote Prava b zovemo horizotalom asimptotom ako mu se gra ukije približava kad ( tj. ako je ili. b b Napomea Raioala ukija ima horizotalu asimptotu ako je stupaj polioma u brojiku jedak ili maji od stupja polioma u aziviku. Primjer:. 5 4

14 Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike 5 je horizotala asimptota. Vertikale asimptote Prava bilo slijeva ili sdesa tj. ako je ± ili. je vertikala asimptota ukije ± ako je es te ukije epravi kad Napomea Raioala ukija ima vertikale asimptote u ultočkama azivika uz uvjet da to isu ujedo i ultočke brojika. Primjeri:. D ( R \{} je horizotala asimptota je ultočka polioma u aziviku i to eparog reda je vertikala asimptota.. D ( R \{} je horizotala asimptota je ultočka polioma u aziviku i to parog reda 44

15 Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike je vertikala asimptota. Slika uz primjer Slika uz primjer Kose asimptote Kose asimptote su oblika a b pa je za jihovo određivaje potrebo zati vrijedosti a i b. U tu svrhu ozačimo: - ordiata po krivulji - ordiata po asimptoti. Prema deiiiji asimptote razlika - teži prema uli kad teži u beskoačost tj. a b. Fukiju [ ] & možemo tada prikazati u obliku a b α α tj. a b α & α. (* Odredimo a: Podijeo li (* s dobivamo b a α a. Odredimo b: α ( [ a b] b [ a]. Zaključimo: Ako ukija ima kosu asimptotu a b oda je a i b [ a]. 45

16 Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike Primjer:. Naći asimptote ukije 5 D ( R Horizotalu asimptotu ema jer je stupaj polioma u brojiku veći od stupja polioma u aziviku. Vertikale asimptote ema jer poliom u aziviku ema realih ultočaka. Kosa asimptota: a L & b [ ] L 5 5. HL 5 CRTANJE GRAFA FUNKCIJE. Ispitati ukiju 4 i artati je gra. a Domea: D R \ {} b Parost eparost: ( ukija ije para ( ukija ije epara. Nul točke: Presjei s osi : D

17 Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike d Ekstremi: 4 ( ( M P ' - e Ileksija: P - prekid ukije m - miimum ikije M - maksimum ukije M ( 4 4 ( 8 4 ema točaka ileksije 4 Asimptote: 4 4 / : Vertikala asimptota: ± / : ± 4 4 k 4 4 [ ( k ] l Kosa asimptota: g Gra: Γ

18 Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike. Ispitati ukiju l a Domea: > > 6 i artati je gra. > > > > > ili < < < < < ( D b Parost i eparost: Fukija ije i para i epara (domea ije simetriča s obzirom a ishodište. Nul točke: l jedadžba ema realih rješeja tj. 6 ema točaka presjeka s osi Presjei s osi : D ema točaka presjeka s osi d Ekstremi: 6 6 ( M P m ' - - 6l 5 ( ( 6l M ( m (

19 Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike e Ileksija: ( ( ( 6 ( ( ( 6 ( ( ( ( 6 ( ( 6 ( D ema točaka ileksije Asimptote: 6l 6l 6l Vertikale asimptote: ( 6l k 6 l k ( k l l 6 l Kosa asimptota: g Gra: Γ - 49

20 Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike. Aalizirati ukiju a Domea: D R b Nul točke: Presjei s osi : i skiirati je gra. ( ( Parost eparost: Fukija ije para i epara. ± d Ekstremi: ( ( & ± tageta paralela s osi ( - M m ' - 4 ( M 4 ( m ( e Asimptote: ± ± ± k ± ± ( k ( ± ( Kosa asimptota: Nema horizotale asimptote: ± ± L l 5

21 Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike Gra: Γ - 4. Naći domeu presjeke s koordiatim osima ekstreme asimptote i skiirati gra ukije 4 e. a Domea: 4 4 D R\{- -} b Parost eparost: Fukija ije para i epara (domea ije simetriča prema ishodištu. Nul točke: e ema ul točaka Presjei s osi : e e d Ekstremi: ( 4 4 e ( P M P ' (- e M ma e 5

22 Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike e Asimptote: ( e 4 e 4 e 4 e ( e e e e e 4 4 e e e ( ( e 4 e 4 e e 4 e Vertikale asimptote: Horizotala asimptota: Gra: Γ - 5. Odrediti domeu presjeke s koordiatim osima ekstreme asimptote i skiirati gra ukije. 4 a Domea: 4 & 4 ( D R \ ] [ 5

23 Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike b Parost eparost: Fukija ije i para i epara. Nul točke: Presjei s osi : d Ekstremi: 4 ( 4 ( 4 - / P M ' - maksimum M e Asimptote: / : ± / : 4 Horizotale asimptote: ± 4 4 Nema kose asimptote. Gra 4 4 5

24 Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike 6. Ispitati ukiju e i artati je gra. a Domea: D R \ {} b Parost eparost: ( ukija ije para ukija ije epara Nul točke: Presjei s osi : D d Ekstremi: e e e Jedadžba ( ema realih rješeja tj. ukija ema lokalih ekstrema. > ukija raste a ijeloj domei. e Ileksija: e e e K 4 4 Jedadžba Asimptote: ema realih rješeja tj. ukija ema točaka ileksije. e e e l Vertikala asimptota sdesa: k [ ] k l e l Kosa asimptota: 54

25 Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike g Gra: Γ 55

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )

( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( ) Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

6. poglavlje (korigirano) PRIMJENA DERIVACIJA

6. poglavlje (korigirano) PRIMJENA DERIVACIJA 6 Primjea derivacija (sa svim korekcijama) 6 poglavlje (korigirao) PRIMJENA DERIVACIJA U ovom poglavlju: Tageta i ormala Stacioare točke ukcije Tablica mootoosti, ekstremi, koveksost i kokavost, ileksije

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA

II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA II

MATEMATIČKA ANALIZA II MATEMATIČKA ANALIZA II primjeri i zadaci Ilja Gogić, Ate Mimica 6. siječja. Sadržaj Derivacija 5. Tehika deriviraja............................... 5. Derivacija iverzih i implicito zadaih fukcija..............

Διαβάστε περισσότερα

Niz i podniz. Definicija Svaku funkciju a : N S zovemo niz u S. Za n N pišemo a(n) = a n i nazivamo n-tim članom niza.

Niz i podniz. Definicija Svaku funkciju a : N S zovemo niz u S. Za n N pišemo a(n) = a n i nazivamo n-tim članom niza. 2. NIZOVI 1 / 78 Niz i podiz 2 / 78 Niz i podiz Defiicija Svaku fukciju a : N S zovemo iz u S. Za N pišemo a() = a i azivamo -tim člaom iza. Ozaka za iz je (a ) N ili (a ) ili samo (a ). Kodomea iza može

Διαβάστε περισσότερα

Definicija: Beskonačni niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Umjesto zapisa a(1), a(2),,a(n), može se koristiti zapis a 1,

Definicija: Beskonačni niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Umjesto zapisa a(1), a(2),,a(n), može se koristiti zapis a 1, Defiicija: Beskoači iz realih brojeva je fukcija a : N R i Umjesto zapisa a(), a(),,a(), može se koristiti zapis a, a,,a, Broj a zove se opći čla iza, a cijeli iz se kratko ozačuje (a ). Niz je : -rastući

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije

Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Osnovni teoremi diferencijalnog računa L Hospitalovo pravilo Derivacije višeg reda Derivacija

Διαβάστε περισσότερα

Izrada Domaće zadaće 4

Izrada Domaće zadaće 4 Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehički fakultet Predmet: Ižejerska matematika I Daa: 76006 Izrada Domaće zadaće Zadatak : Izračuajte : si( ) (cos( )) L 0 a) primjeom L'Hospitalovog pravila; b) izravom upotrebom

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješenja 1. kolokvija (16. studenog 2015.)

DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješenja 1. kolokvija (16. studenog 2015.) DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješeja 1. kolokvija (16. studeog 2015.) Zadatak 1 (20 bodova) Neka je fukcija d: R 2 R 2 R daa formulom { x 1 + y d(x, y) = 1, ako je x y, 0, ako je

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupo 8 bodova) MJERA I INTEGRAL završi ispit 4. srpja 216. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte p za ekspoete p [1, +. (b) (6 bodova) Dokažite da

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115

4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115 4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115 2 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Povijesno su dva po prirodi različita

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Nizovi. Definicija. Niz je funkcija. a: R. Oznake: (a n ) ili a n } Zadatak 2.1 Napišite prvih nekoliko članova nizova zadanih općim članom:

Nizovi. Definicija. Niz je funkcija. a: R. Oznake: (a n ) ili a n } Zadatak 2.1 Napišite prvih nekoliko članova nizova zadanih općim članom: Nizovi Defiicija Niz je fukcija Ozake: (a ) ili a } a: R Zadatak Napišite prvih ekoliko člaova izova zadaih općim člaom: a = a = ( ) (c) a = Zadatak Odredite opće člaove izova: 3 5 7 9 ; 3 7 5 3 ; (c)

Διαβάστε περισσότερα

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum 16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Teorem o prostim brojevima

Teorem o prostim brojevima Sveučilište u Rijeci - Odjel za matematiku Preddiplomski sveučiliši studij Matematika Zlatko Durmiš Teorem o prostim brojevima Završi rad Rijeka, 22. Sveučilište u Rijeci - Odjel za matematiku Preddiplomski

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Centralni granični teorem i zakoni velikih brojeva

Centralni granični teorem i zakoni velikih brojeva Poglavlje 8 Cetrali graiči teorem i zakoi velikih brojeva 8.1 Cetrali graiči teorem Lema 8.1 Za 1/ x 1 vrijedi Dokaz: Stavimo log1 + x x x. fx := log1 + x x, x [ 1/, 1]. Očito f0 = 0. Nadalje, po teoremu

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

1 FUNKCIJE. Pretpostavljamo poznavanje prirodnih brojeva N = {1, 2, 3,... },

1 FUNKCIJE. Pretpostavljamo poznavanje prirodnih brojeva N = {1, 2, 3,... }, FUNKCIJE Pretpostavljamo pozavaje prirodih brojeva N = {,, 3,... }, cijelih brojeva Z = {...,,, 0,,,... }, racioalih brojeva Q = { m : m Z, N}. Nećemo defiirati reale brojeve R jer bi as to odvelo previše

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije 9 1. Trigoometrijske fukcije 1.1. Ako je α + β π,izračuaj 1 + tg α)1 + tg β). 4 1.. Izračuaj zbroj log a tg 1 + log a tg +...+ log a tg 89. 1.3. Izračuaj 40 0 si 0 bez uporabe tablica ili račuala. 1.4.

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

REALNA FUNKCIJA realnom funkcijom n realnih nezavisno-promjenljivih

REALNA FUNKCIJA realnom funkcijom n realnih nezavisno-promjenljivih REALNA FUNKCIJA Fukciju f čiji je skup vrijedosti V podskup skupa R realih brojeva zovemo realom fukcijom. Ako je, pritom, oblast defiisaosti D eki podskup skupa R uređeih -torki realih brojeva, kažemo

Διαβάστε περισσότερα

INŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d e s e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini) G L A V A 5

INŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d e s e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini) G L A V A 5 INŽENJERSKA MATEMATIKA NOTA BENE Dobro zapamti. Imaj a umu. Ne zaboravi. P r e d a v a j a z a d e s e t u s e d m i c u a s t a v e (u akademskoj 9/. godii) G L A V A 5 DIFERENCIJALNI RAČUN REALNIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

( ) δ = δ ε ) tako da vrijedi ( ) Predavanja iz predmeta Matematika za ekonomiste: IV dio

( ) δ = δ ε ) tako da vrijedi ( ) Predavanja iz predmeta Matematika za ekonomiste: IV dio Predavaja iz predmeta Matematika za ekoomiste: IV dio U okviru četvrtog dijela predavaja predviđeo je da studeti savladaju slijedeće programske sadržaje:. Graiča vrijedost fukcije.. Neprekidost fukcije.

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

INŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d v a n a e s t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini)

INŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d v a n a e s t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini) INŽENJERSKA MATEMATIKA Tko je a poziciji vlasti o e treba praviti smisla. (Čarska poslovica.) P r e d a v a j a z a d v a a e s t u s e d m i c u a s t a v e (u akademskoj 009/00. godii) 5.9. Primjee diferecijalog

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

1 Neprekidne funkcije na kompaktima

1 Neprekidne funkcije na kompaktima Neprekide fukcije a kompaktima.. Teorem. Neka je K kompakta podskup metričkog prostora X, a f : X Y eprekido preslikavaje u metrički prostor Y. Tada je slika f(k) kompakta skup u Y..2. Zadatak. Neka su

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:

Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom: Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:

Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se: 4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni teoremi diferencijalnog računa

Osnovni teoremi diferencijalnog računa Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tena Pavić Osnovni teoremi diferencijalnog računa Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

PRVI IZVOD. f x0 x f x0. y x. ) lim lim ( ) ( ) x. Neka je y f(x) funkcija definisana na intervalu [a,b], x 0

PRVI IZVOD. f x0 x f x0. y x. ) lim lim ( ) ( ) x. Neka je y f(x) funkcija definisana na intervalu [a,b], x 0 . y PRVI IZVOD Neka je y f() funkcija definisana na intervalu [a,b], 0 unutrašnja tačka tog intervala, Δ ( 0) priraštaj argumenta i Δy odgovarajući priraštaj funkcije. Ako postoji granična vrijednost količnika

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα