ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

Transcript

1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 5. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Στα προηγούμενα κεφάλαια παρουσιάσαμε την έννοια της συνάρτησης συστήματος για αναλογικά και ψηφιακά συστήματα, και τη χρησιμοποιήσαμε για να υπολογίσουμε την απόκριση τους σε οιαδήποτε είσοδο. Για τον καθορισμό αυτής της συνάρτησης πήραμε τις διαφορικές ή τις αναδρομικές εξισώσεις, και τις επιλύσαμε με τεχνικές μετασχηματισμού. Έτσι η ανάλυση άρχισε από υποθέσεις στο πεδίο του χρόνου. Σε αυτό το τμήμα θεωρούμε ως βασικούς αγνώστους, όχι τις αποκρίσεις του συστήματος, αλλά τους μετασχηματισμούς τους, και εξάγουμε τις εξισώσεις του συστήματος απ ευθείας από το πεδίο μετασχηματισμού. Αυτό οδηγεί σε ένα σύνολο αλγεβρικών εξισώσεων, των οποίων η λύση τους είναι οι μετασχηματισμοί των επιθυμητών σημάτων. Πρέπει να σημειώσουμε ότι, για ηλεκτρικά δίκτυα, οι εξισώσεις στο πεδίο των μετασχηματισμών είναι όμοιες με τις γνωστές εξισώσεις των AC κυκλωμάτων, αν η μεταβλητή μετατραπεί σε jω. Έτσι, μπορούμε να εκμεταλλευθούμε τα πλεονεκτήματα των τεχνικών ανάλυσης της θεωρίας κυκλωμάτων, όπως οι έννοιες αντίστασης και αγωγιμότητας, παράλληλοι και σειριακοί συνδυασμοί και ανάλυση με τις μεθόδους κόμβων και βρόγχων. Παρ όλα αυτά πρέπει να δώσουμε έμφαση στο γεγονός ότι οι βασικές έννοιες των AC κυκλωμάτων, χρησιμοποιούνται απλώς για να καθορίσουν τις αποκρίσεις σταθερής κατάστασης με ημιτονοειδή είσοδο, ενώ οι τεχνικές μετασχηματισμού μας δίδουν αποκρίσεις για οιονδήποτε εισόδους. Όπως και στο προηγούμενο κεφάλαιο, θα υποθέσουμε ότι όλες οι αρχικές συνθήκες είναι μηδενικές. Αν δεν είναι μηδενικές, τότε μπορούμε να βρούμε ξεχωριστά την απόκριση μηδενικής εισόδου, ξεκινώντας συνήθως από τις εξισώσεις στο πεδίο του χρόνου, προσθέτοντάς τη στην απόκριση μηδενικής κατάστασης που παράγεται από τεχνικές αυτού του κεφαλαίου. Η ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ. Στα προηγούμενα κεφάλαια, ορίσαμε σαν αρχική κατάσταση ενός συστήματος, την κατάσταση στην οποία t = (ή = για ψηφιακά συστήματα), υποθέτοντας ότι όλες οι είσοδοι ήταν μηδέν για χρόνο πριν του t =. Αυτός ο περιορισμός θα αρθεί. Εφεξής θα δεχόμαστε και εισόδους που εφαρμόζονται σε χρόνο t = t, όπου t <. Αυτό γίνεται για τον ακόλουθο λόγο. Ας υποθέσουμε ότι ενδιαφερόμαστε για τη μορφή της απόκρισης πολύ μετά την εφαρμογή της εισόδου και ειδικότερα στην ασυμπτωτική Μπορούμε να γράψουμε τις εξισώσεις του συστήματος απ ευθείας στο πεδίο μετασχηματισμού, ακόμα και αν το σύστημα δεν είναι σε μηδενική κατάσταση. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε αρχικά όλες τις ενεργές αρχικές συνθήκες με κατάλληλες πηγές τάσης ή ρεύματος.(βλέπε Πρόβλημα.)

2 συμπεριφορά της καθώς το t τείνει στο άπειρο (μόνιμη κατάσταση). Τότε είναι πιο εύκολο να επιλέξουμε ως αρχή του χρόνου ένα σημείο στην περιοχή του ενδιαφέροντος και να μετατοπίσουμε το χρόνο t της εφαρμογής της εισόδου προς τα αριστερά. Αυτό οδηγεί στη θεώρηση σημάτων που εφαρμόζονται σε χρόνο t = και σε εξισώσεις συστήματος που ισχύουν για κάθε t. ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Σ αυτό το κεφάλαιο επικεντρωνόμαστε στην ιδέα της συνάρτησης συστήματος. Άν το σύστημα έχει εισόδους και r εξόδους, τότε η συνάρτηση συστήματος είναι ένας r πίνακας, τα στοιχεία του οποίου είναι λόγοι οριζουσών που προέρχονται από την επίλυση των εξισώσεων συστήματος στο πεδίο μετασχηματισμού. Στην περίπτωσή μας βέβαια, θεωρούμε κυρίως συστήματα μιας εισόδου και μιας εξόδου. Αυτό μας επιτρέπει να αναπτύξουμε την κύρια ιδέα ανάλυσης συστημάτων με έναν απλό τρόπο, αποφεύγοντας τις συμβολικές δυσκολίες που παρουσιάζουν οι πίνακες. Η επέκταση στο πρόβλημα των πολλών εισόδωνπολλών εξόδων δεν παρουσιάζει ιδιαίτερες εννοιολογικές δυσκολίες. Αναλογικά συστήματα Όπως δείξαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, η έξοδος y(t) ενός αναλογικού συστήματος ισούται με τη συνέλιξη της εισόδου x(t) με την κρουστική απόκριση h(t): Επειδή h(t) = για t <, η (5.) δίνει y () t = x() t h() t (5.) y ( t) = x( t τ ) h( τ) dτ = x( τ) h( t τ) dτ t (5.) Αυτή η θεμελιώδης σχέση είναι συνέπεια της γραμμικότητας και της χρονικής αμεταβλητότητας του συστήματος. Η απόδειξη έγινε υπό την προϋπόθεση ότι η είσοδος x(t) εφαρμόζεται σε χρόνο t =. Όμως, η απόδειξη ισχύει ακόμα και αν η x(t) εφαρμοστεί σε χρόνο t =. Αν η x(t) = και h(t) = για t <, τότε t y ( t) = x( t τ ) h( τ) dτ = x( τ) h( t τ) dτ t (5.3) Η βηματική απόκριση του συστήματος είναι η έξοδος y(t) = r(t), όταν η είσοδος είναι η μοναδιαία βηματική συνάρτηση x(t) = U(t). Βάζοντάς τη στην (5.3), έχουμε t rt () = h( τ ) dτ (5.4) Επίσης μπορεί να δειχτεί, ότι η απόκριση y(t) σε μία αυθαίρετη είσοδο x(t) ισούται με τη συνέλιξη της r(t) με την παράγωγο της x(t) (δες και πρόβλημα 6.7). Ο μετασχηματισμός Laplace H() της h(t), είναι εξ ορισμού η συνάρτηση συστήματος (Σχ. 5.). Εφαρμόζοντας το θεώρημα της συνέλιξης στην (5.), έχουμε Y() = H() X() (5.5) όπου X() και Y() είναι οι αμφίπλευροι μετασχηματισμοί Laplace της εισόδου x(t) και της εξόδου y(t) αντίστοιχα. Η συνάρτηση συστήματος είναι γνωστή και ως συνάρτηση μεταφοράς. 5. 8//8

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Η απόκριση y(t) σε μία αυθαίρετη είσοδο x(t) μπορεί να καθοριστεί είτε από την (5.) είτε από την (5.5). Για να βρούμε την y(t) από την (5.), βρίσκουμε τη συνέλιξη του αντίστροφου μετασχηματισμού h(t) της H() και της εισόδου x(t). Για να βρούμε την y(t) από την (5.5), βρίσκουμε το μετασχηματισμό X() της x(t), σχηματίζουμε το γινόμενο H()X() και υπολογίζουμε το αντίστροφό του y(t). Η δεύτερη προσέγγιση είναι απλούστερη αν η X() είναι ρητή συνάρτηση του. x(t) y () t = x( t τ ) h( τ) dτ Y( ) = H( ) X( ) ΣΧΗΜΑ 5. Έτσι, έχουμε δύο ερμηνείες της συνάρτησης συστήματος.. Είναι ο μετασχηματισμός Laplace της κρουστικής απόκρισης h(t). Είναι ο λόγος t H( ) = h( t) e dt (5.6) Y( ) H( ) = (5.7) X( ) του μετασχηματισμού Laplace της εισόδου x(t) και της εξόδου y(t). Στην επομένη ενότητα θα δοθεί και μία τρίτη ερμηνεία βασισμένη στη έννοια της απόκρισης συχνότητας. Σύνδεση συστημάτων. Η έννοια της συνάρτησης συστήματος απλοποιεί την περιγραφή συστημάτων που πραγματοποιούνται από τη σύνδεση άλλων ήδη γνωστών συστημάτων. Στο Σχ. 5. δίνονται δύο παραδείγματα. Στο πρώτο παράδειγμα, δύο συστήματα είναι συνδεδεμένα σε σειρά και η συνάρτηση συστήματος που υλοποιείται με τέτοιο τρόπο είναι το γινόμενο Αυτό συνεπάγεται από την (5.7) διότι και h(t) H() y(t) H() = H () H () (5.8) Y() Y () Y() H() = = X() X() Y () Y () Y() H () = H() = X() Y () Στο δεύτερο παράδειγμα, τα συστήματα συνδέονται παράλληλα και η καινούργια συνάρτηση συστήματος είναι το άθροισμα διότι H() = H() H () (5.9) 8//8 5.3

4 Y() Y() Y() = X() X() X() Y () H () X() H () Y () H () Y() X() Y() H() = H () H () H() = H () H () (α) ΣΧΗΜΑ 5. (β) Άλλες συνδέσεις μπορούν να περιγραφούν παρόμοια. Στο Σχήμα.5.3, φαίνεται το παράδειγμα ενός συστήματος με ανάδραση, του οποίου η συνάρτηση συστήματος δίνεται από την X() H () Y() H H() = () H () H () H () Y () (5.) H () H () H() = H () H () ΣΧΗΜΑ 5.3 Πράγματι, όπως φαίνεται από το διάγραμμα, είναι Y() = H ()X () Y () = H ()Y() X () = X() Y () απ όπου η (5.) βγαίνει εύκολα. Θα συνεχίσουμε με την ανάλυση συστημάτων και δικτύων που περιλαμβάνουν διαφοριστές και ολοκληρωτές. Κυκλώματα και δίκτυα. Σ ένα ηλεκτρικό δίκτυο, η είσοδος και η έξοδος είναι τάσεις ή ρεύματα. Γι αυτό το λόγο η τελική συνάρτηση συστήματος είναι μία αντίσταση ή μία αγωγιμότητα ή λόγος τάσεων ή ρευμάτων. Η συνάρτηση συστήματος καθορίζεται από τις εξισώσεις του δικτύου. Θα δείξουμε ότι αυτές οι εξισώσεις, γραμμένες στο πεδίο του μετασχηματισμού, είναι ίδιες με τις εξισώσεις των AC ή DC κυκλωμάτων, κατάλληλα διαμορφωμένες. Αυτή η ομοιότητα βασίζεται στην παρακάτω γενίκευση της γνωστής έννοιας της αντίστασης. Η σύνθετη αντίσταση Laplace (Laplacia ipedace) ενός δικτύου δύο ακροδεκτών είναι ο λόγος 5.4 8//8

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ V() Z () = (5.) I () όπου V() είναι η τάση εισόδου και I() το ρεύμα εισόδου (Σχ.5.4). Έμφαση πρέπει να δοθεί στο γεγονός ότι γι αυτόν τον ορισμό το δίκτυο βρίσκεται σε μηδενική κατάσταση, δηλαδή όλες οι αρχικές συνθήκες είναι μηδέν. V() I() Z( Αντίσταση Laplace Αγωγιμότητα Laplace V() Z () = I () I () Y() = V() ΣΧΗΜΑ 5.4 Στη συνέχεια θα ορίσουμε την σύνθετη αντίσταση (ipedace) των στοιχείων R, L και C. ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΠΗΝΙΟ ΠΥΚΝΩΤΗΣ u(t) = Ri(t) V() = RI() Z() = R u(t) = L di () t dt i(t) = C dv () t dt V() = LI() Z() = L I() = CV() Z() = C Έτσι, στο πεδίο μετασχηματισμού οι τάσεις εξόδου των στοιχείων του κυκλώματος είναι ανάλογες των ρευμάτων, όπως και στην περίπτωση των κυκλωμάτων AC ή DC. Η ομοιότητα αποδεικνύεται, δείχνοντας ότι οι νόμοι του Kirchoff ισχύουν. Αυτό είναι συνέπεια της γραμμικότητας των μετασχηματισμών Laplace. [βλέπε Εξ.(.3)] ΝΟΜΟΣ ΤΑΣΕΩΝ Αν v (t)... v (t) = τότε V ()... V () = ΝΟΜΟΣ ΡΕΥΜΑΤΩΝ Αν i (t)... i (t) = τότε I ()... I () = Από τα παραπάνω, βλέπουμε ότι οι αντιστάσεις Laplace υπόκεινται στους ίδιους νόμους που χρησιμοποιούμε και για τις κοινές ωμικές αντιστάσεις. Για παράδειγμα, αν δύο κυκλώματα συνδέονται σε σειρά, όπως στο Σχήμα 5.5α, τότε η αντίσταση του ολικού κυκλώματος θα είναι το άθροισμα Z () = Z() Z () (5.) Η σύνθετη αγωγιμότητα Laplace (Laplacia adittace) ορίζεται παρόμοια 8//8 5.5

6 I () Y () = V() και για παράλληλη σύνδεση (Σχήμα 5.5β) είναι Y() = Y() Y () (5.3) Z( Z () Z () Y() Y () Y () Z () = Z() Z () Y() = Y() Y () (α) ΣΧΗΜΑ 5.5 Παράδειγμα 5.. Η είσοδος του κυκλώματος του Σχ.5.6 είναι η πηγή τάσης E(). Χρησιμοποιώντας την έννοια της σύνθετης αντίστασης, θα καθορίσουμε το ρεύμα εισόδου I() και την τάση του πυκνωτή V(). Από την (5.) έχουμε ότι η αντίσταση εισόδου είναι το άθροισμα Έτσι, θα έχουμε Z ()= R LS C E () C I () = = E () Z () LC RC I () V() = = E () C LC RC (β) E( R I() L C Z ()= R LS C ΣΧΗΜΑ 5.6 Παράδειγμα 5.. Η είσοδος του κυκλώματος του Σχ.5.7 είναι η πηγή έντασης I g (). Θα καθορίσουμε τις τάσεις V () και V (). Από τις (5.) και (5.3), έχουμε ότι η αγωγιμότητα εισόδου Y() είναι το άθροισμα Έτσι, θα έχουμε Y()= C R L 5.6 8//8

7 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ I g () R L V () = = I g () Y() LC RC V () V () I g V () () = L Y() I g ( C R V () R V () = R L Y()= C R L ΣΧΗΜΑ 5.7 Για να βρούμε τη V (), εφαρμόζουμε το νόμο του διαιρέτη τάσης V () R R V () = = I g () R L LC RC (5.4) Από τα προηγούμενα καταλήγουμε στο ότι οι γενικές εξισώσεις δικτύου στο πεδίο μετασχηματισμού (κατάστασης, κόμβων, βρόγχων) είναι της ίδιας μορφής με τις εξισώσεις των κυκλωμάτων AC. Γι αυτό το λόγο μπορούν να επιλυθούν με ήδη γνωστές τεχνικές των AC. Αυτό φαίνεται στα επόμενα δύο παραδείγματα. Παράδειγμα 5.3. Θα αναλύσουμε το κύκλωμα του Σχ.5.8α χρησιμοποιώντας εξισώσεις κατάστασης και κόμβων. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΟΜΒΩΝ. Από την (5.5) έχουμε ότι ( G CV ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) L V V I = g [ ( ) ( )] ( ) ( ) L V V G CV = Θεωρώντας τις αγωγιμότητες των κόμβων y() = y () = G C L y() = L μπορούμε να γράψουμε τη (5.6) σε κανονική μορφή Λύνοντας ως προς την τάση V (), έχουμε y () V () y () V () = I () y () V () y () V () = y() V y y y I () = g () () () () g (5.6) (5.7) (5.8) V () I() I g ) G C L C 8//8 5.7 G V ()

8 H() G = C = L = V () I () = g (α) E( (β) H()= 3 I ( G V() I ( Πεδίο 3 L I() C Re() L G H() / R = L = C = I () = E () r(t) h(t) (γ) ΣΧΗΜΑ 5.8 (δ) 5 t ΕΙΔΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ. Αν είναι G =, C = και L = τότε η (5.8) γίνεται V ( ) H( ) = = 3 I ( ) g (5.9) Επειδή όμως 3 = ( )( ), συμπεραίνουμε ότι η H() έχει τρεις πόλους =,3 = α±jβ α = β = 3 που βρίσκονται πάνω στο μοναδιαίο κύκλο, όπως φαίνεται στο Σχ.5.8γ. Στο ίδιο σχήμα φαίνεται επίσης η κρουστική απόκριση [βλέπε (.8)] t át h() t = e e coât i ât U () t 3 και η βηματική απόκριση [βλέπε(.9)] 5.8 8//8

9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Σημειώνεται ότι [βλέπε(5.4)] át át rt () = e e i âtut () 3 r( ) = h( t) dt = H( ) = Παράδειγμα 5.4. Θα αναλύσουμε το κύκλωμα του Σχ.5.8β χρησιμοποιώντας εξισώσεις κατάστασης και βρόγχων. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ. Το κύκλωμα έχει τρεις μεταβλητές κατάστασης, τα δύο ρεύματα πηνίων I () και I (), και η τάση του πυκνωτή V(). Όπως βλέπουμε από το σχήμα, έχουμε ( R L) I( ) [ I( ) I ( ) ] = E( ) C ( R L) I ( ) V( ) = (5.) I ( ) I ( ) = CV( ) Οι δύο πρώτες εξισώσεις βγαίνουν από το νόμο τάσης του Kirchoff. Η τρίτη εξίσωση είναι συνέπεια της έννοιας της αντίστασης. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΒΡΟΓΧΩΝ. Από την (5.) προκύπτει ότι Θεωρώντας τις βρογχικές αντιστάσεις ( R L) I ( ) [ ( ) ( )] ( ) C I I E = [ ( ) ( )] ( ) ( ) C I I R L I = z ( ) = z( ) = R L C z( ) = C μπορούμε να γράψουμε την (5.) σε κανονική μορφή z( ) I ( ) z( ) I ( ) = E( ) z( ) I ( ) z( ) I ( ) = Επιλύνοντας ως προς το ρεύμα I (), έχουμε z( ) I z z z E ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ΕΙΔΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ. Αν R =, L = και C =, τότε η (5.3) δίνει (5.) (5.) (5.3) I ( ) H( ) = = 3 E( ) (5.4) Διαφοριστές και ολοκληρωτές. Στη συνέχεια θα αναλύσουμε συστήματα που αποτελούνται από πολλαπλασιαστές, διαφοριστές και ολοκληρωτές. Αυτά τα στοιχεία παρουσιάζονται ως block διαγράμματα, των οποίων οι συναρτήσεις συστήματος ισούνται με α, και / αντίστοιχα. 8//8 5.9

10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΣΤΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΗΣ y () t = áx() t Y() = áx() H ()= á yt () = x () t Y() = X() H ()= t yt () = xôdô ( ) X() Y() = H()= Στο Σχ.5.9 φαίνονται δύο συστήματα που αποτελούνται από πολλαπλασιαστές και διαφοριστές. Εκφράζοντας με H a (), H b () και Η c () τις αντίστοιχες συναρτήσεις συστήματος, συμπεραίνουμε από το σχήμα ότι είναι H ( ) = b b b á Hb ( ) = á á b b b Ç c ( ) = á á (5.5) X() X() X() X() b b b Y() α α Y() Y() Y() Y() = ( b b b ) X() (α) Y() = X() á Y() á Y() (β) X() α α W ( ) W() = X() ( á á ) W() Y() = ( b b b ) W() b b b Y() (γ) ΣΧΗΜΑ //8

11 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Στο Σχ.5. φαίνεται ένα σύστημα που αποτελείται από πολλαπλασιαστές και ολοκληρωτές. Όπως συμπεραίνουμε από το σχήμα είναι Y( ) b b b H( ) = = X( ) á á (5.6) Η γενικευμένη περίπτωση μπορεί να αναλυθεί παρόμοια. Όπως και στην περίπτωση των δικτύων, οδηγεί σε μία ρητή συνάρτηση συστήματος N() b b b H() = = D () á á á Η αντίστοιχη κρουστική απόκριση h(t) είναι ένα άθροισμα δυνάμεων t i ht () = ce U() t i = i (5.7) (5.8) όπου i είναι οι πόλοι της H(). Σημειώνουμε εδώ ότι, αν όλοι οι πόλοι i έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος, τότε καθώς το t η h() t. Τότε το σύστημα είναι ευσταθές. Χρησιμοποιώντας την (5.7), θα δείξουμε ότι η έξοδος y(t) κάθε δικτύου ή αναλογικού συστήματος αποτελούμενου από διαφοριστές ή ολοκληρωτές, ικανοποιεί μία διαφορική εξίσωση της οποίας το δεξί μέρος είναι άθροισμα της εισόδου x(t) και των παραγώγων της. Πράγματι, επειδή Y() = H()X(), από την (5.7) έχουμε ότι ( ) = ( ) á á á Y () b b b X () Παίρνοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό και στα δύο μέρη, έχουμε ( ) ( ) á y () t áy () t áy() t = bx () t bx () t b x() t (5.9) X() W() α / α / b b b W() W() á á W() = X() W() b b Y() = b W() Y() ΣΧΗΜΑ 5. Παράδειγμα 5.5. Στο Σχ.5. έχουμε ένα κύκλωμα, όπως και στο παράδειγμα 5., ένα σύστημα με δύο διαφοριστές, και ένα σύστημα με δύο ολοκληρωτές. Εισάγοντας τις κατάλληλες σταθερές στις (5.5) και (5.6), συμπεραίνουμε ότι και τα τρία συστήματα έχουν την ίδια συνάρτηση συστήματος V() R L H() = = I () LC RC 8//8 5.

12 και γι αυτό το λόγο είναι τελικά ισοδύναμα. Όπως βλέπουμε από την (5.9), η έξοδός τους u(t) ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση LCu () t RCu () t u() t = Li () t Ri () t I(t) C L R u(t) i(t) i(t) LC RC /LC R/L / / L R u(t) R/LC /C u(t) H()= R L LC RC LCu () t RCu () t u() t = Li () t Ri () t ΣΧΗΜΑ 5. Ψηφιακά και δειγματοληπτικά συστήματα Όπως δείξαμε στο τελευταίο κεφάλαιο, η έξοδος y[] ενός ψηφιακού συστήματος ισούται με την διακριτή συνέλιξη της εισόδου x[] με την κρουστική απόκριση h[]. Επειδή όμως για < η h[] =, έχουμε y[ ] = x[ ] h[ ] (5.3) y [ ] = x [ khk ] [ ] = xkh [ ] [ k] k = k = (5.3) Αν για < η x[] =, τότε y [ ] = x[ k] h[ k] = x[ k] h[ k] (5.3) k= k= Η βηματική απόκριση του συστήματος είναι η έξοδος y[] = r[], όταν η είσοδος είναι η μοναδιαία βηματική συνάρτηση x[] = U[]. Εισάγοντάς τη στην (5.3), έχουμε r [ ] = xk [ ] k= (5.33) 5. 8//8

13 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ο μετασχηματισμόςz H(z) της h[] είναι εξ ορισμού η συνάρτηση συστήματος. Εφαρμόζοντας το θεώρημα της συνέλιξης στην (5.3), έχουμε Y( z) = X( z) (5.34) όπου X(z) και Y(z) είναι οι αμφίπλευροι μετασχηματισμοί z της εισόδου x[] και της εξόδου y[], αντίστοιχα (Σχ. 5.α). Έτσι, η απόκριση y[] σε μία αυθαίρετη είσοδο x[] μπορεί να καθοριστεί από την (5.3) ή από την (5.34). Στην πρώτη περίπτωση, βρίσκουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό h[] της H(z) και παίρνουμε τη συνέλιξή του με την είσοδο x[]. Στη δεύτερη περίπτωση, βρίσκουμε το μετασχηματισμό X(z) της x[], σχηματίζουμε το γινόμενο H(z)X(z) και υπολογίζουμε το αντίστροφό του y[]. h[ ] H ( z ) x[] y[ (α) h[ ] H ( z ) y [ ] = x [ khk ] [ ] k= Y( z) = X( z) x[ H ( (β) h [ ] = h[ ] h[ ] = H ( z) H ( z) ΣΧΗΜΑ 5. Έτσι έχουμε δύο ερμηνείες της συνάρτησης συστήματος. Είναι ο μετασχηματισμός z της κρουστικής απόκρισης h[]. Είναι ο λόγος = h[ ] z = (5.35) Y( z) = X( z) των μετασχηματισμών z της εισόδου x[] και της εξόδου y[]. Στην επόμενη ενότητα θα δώσουμε και μία τρίτη ερμηνεία, βασιζόμενη στην έννοια της απόκρισης συχνότητας. Οι κανόνες σύνδεσης των αναλογικών συστημάτων ισχύουν και για τα ψηφιακά συστήματα. Σαν παράδειγμα, φαίνονται στο Σχ. 5.β δύο συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά. Η συνάρτηση συστήματος του ολικού συστήματος είναι το γινόμενο = H ( z) H ( z) (5.36) Στη συνέχεια, βρίσκουμε τις εξισώσεις στο πεδίο του μετασχηματισμού διαφόρων ψηφιακών συστημάτων. Η ανάλυση βασίζεται στους κανόνες διασύνδεσης και στις ιδιότητες εισόδουεξόδου δύο ψηφιακών στοιχείων. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΗΣ H ( y[ 8//8 5.3

14 y[] = αx[] Y(z) = αx(z) H(z) = α ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗΣ y[] = x[] Y(z) = z X(z) H(z) = z Παράδειγμα 5.6. (α) Στο Σχ. 5.3α έχουμε ένα μη αναδρομικό σύστημα με ένα στοιχείο καθυστέρησης. Όπως φαίνεται από το σχήμα: Άρα, Y( z) = X( z) z X( z) = z h [ ] = ä [ ] ä [ ] Η έξοδος y[] αυτού του συστήματος είναι η πρώτη διαφορά της εισόδου x[]: y[ ] = Äx [ ] = x[ ] x[ ] (β) Συνδέοντας δύο τέτοια συστήματα σε σειρά, έχουμε ένα σύστημα όπως αυτό του Σχ. 5.3β. Από την (5.36) συνεπάγεται ότι η συνάρτηση συστήματος του τελικού συστήματος δίνεται από την: Έτσι, = ( z ) = z z h[ ] = ä[ ] ä[ ] ä[ ] Η τελική έξοδος y[] είναι η δεύτερη διαφορά της εισόδου x[]: = z y [ ] = Äx [ ] = x [ ] x [ ] x [ ] = ( z ) = z z X(z ) Y(z ) X(z ) Y (z) y [] Y(z ) z Y ( z) = X( z) z X( z) z z δ[] h[] δ[] h [] h[ (α) (β) ΣΧΗΜΑ 5.3 Παράδειγμα 5.7. (α) Η έξοδος y(t) του συστήματος του Σχ. 5.4α δίνεται από την: Έτσι, Y( z) = X( z) 3z X( z) = 3z h [ ] = ä [ ] 3ä [ ] Το σύστημα είναι μη αναδρομικό, και η κρουστική του απόκριση h[] έχει πεπερασμένο αριθμό όρων. Μηαναδρομικό h[] = δ[] 3 δ[] Αναδρομικό h[] = (.5) U[] 5.4 8//8

15 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 / /4 X(z) H(z) = 3 z z = 5. z z X(z) X(z) X(z).5z Y(z) (α) 3 Y(z) z Y(z) / z Y(z) Έτσι, (β) (β) Στο σύστημα του Σχ. 5.4β ΣΧΗΜΑ 5.4 Y( z) = X( z) 5. z Y( z) = 5. z h [ ] = U[ ] Το σύστημα είναι αναδρομικό, και η κρουστική του απόκριση h[] έχει άπειρους όρους. Παράδειγμα 5.8. (α) Το σύστημα του Σχ. 5.5α δημιουργείται συνδέοντας τα δύο συστήματα του Σχ. 5.4 στη σειρά. Πολλαπλασιάζοντας την αντίστοιχες συναρτήσεις συστήματος, έχουμε (β) Στο σύστημα του Σχ. 5.5β, Έτσι, 4 3z = 5. z W( z) = X( z) 5. z W( z) Y( z) = W( z) 3z W( z) Y( z) 3z = = X( z) 5. z / h[ X(z) 8//8 5.5 / z W(z) z W(z)

16 X(z) z 3 / z Y(z) 3z = 5. z (α) (β) ΣΧΗΜΑ 5.5 Αυτό δείχνει ότι παραπάνω δύο συστήματα είναι ισοδύναμα. Σημειώνουμε ότι: ( 5. z ) Y( z) = ( 3z ) X( z ) Ο αντίστροφος μετασχηματισμός της παραπάνω δίνει: y[ ] 5. y[ ] = x[ ] 3x[ ] Τα προηγούμενα παραδείγματα είναι ειδικές περιπτώσεις των τριών συστημάτων του Σχ Στο σύστημα του Σχ. 5.6α, Δηλαδή, Στο σύστημα του Σχ. 5.6β, Δηλαδή, Στο σύστημα του Σχ. 5.6γ, Y( z) = ( b b z b z ) X( z) b bz = bz Y( z) = X( z) ( á z á z ) Y( z) = áz á z W( z) = X( z) ( áz áz ) W( z) Y( z) = ( b b z b z ) W( z) (5.37) (5.38) X(z) z X(z) z z z z X(z) = b b z b z b b b Y(z) (α) X(z) 5.6 8//8 α α α

17 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ = áz á z (β) X(z) α α α z W(z) z z W(z) b bz bz = áz á z b b b b (γ) Y(z) ΣΧΗΜΑ 5.6 Έτσι, b bz bz = áz á z (5.39) Από τα τρία παραπάνω συστήματα, το πρώτο είναι μη αναδρομικό ή traveral γιατί η έξοδός του y[] μπορεί να εκφραστεί απ ευθείας με όρους της εισόδου x[] και των τελευταίων τιμών της: y [ ] = bx [ ] bx [ ] bx [ ] (5.4) Η συνάρτηση συστήματός του είναι ένα πολυώνυμο του z, και η κρουστική του απόκριση h[] έχει πεπερασμένο αριθμό όρων: h [ ] = bä [ ] bä [ ] bä [ ] Γι αυτό το λόγο το σύστημα καλείται και σύστημα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης (Fiite Ipule RepoeFIR). Το δεύτερο και τρίτο σύστημα είναι αναδρομικά. Η έξοδος y[] ικανοποιεί την αναδρομική εξίσωση y [ ] áy [ ] áy [ ] = x [ ] (5.4) της οποίας το δεξιό μέλος ισούται με την είσοδο x[]. Το τρίτο σύστημα ικανοποιεί την αναδρομική εξίσωση 8//8 5.7

18 y [ ] áy [ ] áy [ ] = bx [ ] bx [ ] (5.4) της οποίας το δεξιό μέλος είναι γραμμικός συνδυασμός της εισόδου x[] και των τελευταίων τιμών της. Οι εξισώσεις (5.4) και (5.4) είναι ειδικές περιπτώσεις. Ο μετασχηματισμός της (5.4) δίνει ( áz áz ) Y( z) = ( b bz bz ) X( z) (5.43) Αυτό δείχνει ότι η συνάρτηση συστήματος του συστήματος του Σχ. 5.6γ είναι πράγματι το κλάσμα της (5.39). Παράδειγμα 5.9. Στο σύστημα του Σχ. 5.7, W( z) = X( z) z W( z) Y( z) = cw [ ( z) z W( z)] Δηλαδή, z = c z και όπως στην (5.4) y[ ] y[ ] = cx[ ] cx[ ] z = c z Όπως φαίνεται στην παράγραφο 5.3, το παραπάνω σύστημα χρησιμοποιείται σαν προσομοίωση ενός διαφοριστή αν c = /T (βλέπε επίσης Πρόβλημα 4.3). X(z) z W(z) c Y(z) ΣΧΗΜΑ 5.7 Γι αυτό, η συνάρτηση συστήματος ενός ψηφιακού συστήματος είναι ο λόγος δύο πολυωνύμων του z: N( z) b bz bz = = (5.44) Dz ( ) áz áz και η αντίστοιχη κρουστική απόκριση είναι το άθροισμα των γεωμετρικών ακολουθιών όπου z i είναι οι πόλοι της H(z). h [ ] = czu[ ] i = i i (5.45) 5.8 8//8

19 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Σημειώνουμε ότι αν όλοι οι πόλοι z i βρίσκονται εντός του μοναδιαίου κύκλου, δηλαδή z i <, τότε καθώς το η h[ ]. Το σύστημα είναι τότε ευσταθές. Δειγματοληπτικά συστήματα. Ένα δειγματοληπτικό σύστημα αποτελείται από πολλαπλασιαστές και αναλογικά στοιχεία καθυστέρησης. ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗΣ y T (t) = x(tt) Y T () = e T X() H T () = e T Ένα δειγματοληπτικό σύστημα είναι ένα σύστημα αναλογικό του οποίου η είσοδος και η έξοδος είναι σήματα συνεχούς χρόνου. Παρουσιάζεται όμως εδώ, γιατί έχει στενή σχέση με τα ψηφιακά συστήματα. Για να δείξουμε αυτή τη σχέση, δίνουμε δύο παραδείγματα. Παράδειγμα 5.. Στο Σχ. 5.8α φαίνεται ένα δειγματοληπτικό σύστημα L T, αποτελούμενο από ένα στοιχείο καθυστέρησης και δύο πολλαπλασιαστές. Αντικαθιστώντας το στοιχείο καθυστέρησης με ένα ψηφιακό στοιχείο καθυστέρησης και αφήνοντας τα υπόλοιπα ίδια, παίρνουμε το ψηφιακό σύστημα L d του Σχ. 5.8β. Όπως βλέπουμε από το σχήμα οι αντίστοιχες έξοδοι δίνονται από τις y T () t = x() t 3x( t T) y [ ] = x [ ] 3x [ ] (5.46) Στο πεδίο μετασχηματισμού, Y T ( ) = X( ) 3e T X( ) Y( z) = X( z) 3z X( z) Αναλογικό δειγματοληπτικό h T (t) = δ(t) 3 δ(tt) 3 Ψηφιακό h[] = δ[] 3 δ[] 3 T t H T () = 3e T H(z) = 3z Δηλαδή, x(t) x(tt) e T 3 L T y T (t) y T (t) = x(t) 3x(tT) (α) x[] y[] y[] = x[] 3x[] (β) ΣΧΗΜΑ 5.8 H ( ) = 3e T T = 3z x[] z 3 L d 8//8 5.9

20 Έτσι αν στη συνάρτηση συστήματος HT() του δειγματοληπτικού συστήματος LT, αντικαταστήσουμε τον όρο et με τον όρο z, βρίσκουμε τη συνάρτηση συστήματος H(z) του αντίστοιχου ψηφιακού συστήματος Ld. Σημειώνουμε ότι αν η είσοδος x[] του Ld ισούται με τα δείγματα x(t) της εισόδου x(t) του LT, τότε η τελική έξοδος y[] ισούται με τα δείγματα yt(t) της εξόδου yt(t) του LT [βλέπε (5.46)]. Παράδειγμα 5.. Στο Σχ. 5.9 φαίνεται ένα δειγματοληπτικό σύστημα L T και το αντίστοιχο ψηφιακό σύστημα που επιτυγχάνεται αντικαθιστώντας το αναλογικό στοιχείο καθυστέρησης με ένα ψηφιακό. Όπως βλέπουμε από το σχήμα, yt () t = x() t 5. y( t T) y [ ] = x [ ] 5. y [ ] T Y () = X() 5. e Y() Y( z) = X( z) 5. z Y( z) Επειδή όμως, T T k kt HT() = T. e. e = e k k = =. z. z z ät ( kt) e kt ä [ k] z k συμπεραίνουμε ότι οι κρουστικές αποκρίσεις των συστημάτων L T και L d αντίστοιχα, δίνονται από τις k ht () t = ät () 5. ät ( T) 5. ät ( T) k h [ ] = ä [ ] 5. ä [ ] 5. ä [ k] Επισημαίνουμε ξανά ότι αν x[] = x(t), τότε y[] = y T (T). / /4 h T (t) / /4 h[] T t HT () = 5. e x(t) T T = 5. z x[] y T (tt) / L T e T y T (t) = x(t).5y T (tt) (α) y T (t) y[] y[] = x[].5y[] (β) ΣΧΗΜΑ 5.9 Η γενική περίπτωση οδηγεί σε δύο παρόμοια συμπεράσματα: Δοθέντος ενός δειγματοληπτικού συστήματος L T με συνάρτηση συστήματος Η Τ (), αντικαθιστούμε όλα τα αναλογικά στοιχεία καθυστέρησης του με ψηφιακά. Εκφράζοντας με H(z) την συνάρτηση / L d z y[] 5. 8//8

21 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ συστήματος του ψηφιακού συστήματος L d που προκύπτει (Σχ. 5.), συμπεραίνουμε, όπως και στα παραδείγματα, ότι T H () = H( e ) (5.47) T γιατί οι αποκρίσεις των δύο συστημάτων υπακούν στις ίδιες εξισώσεις στο πεδίο μετασχηματισμού, αφού πρώτα η e T έχει αντικατασταθεί με z. Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση συστήματος ενός δειγματοληπτικού συστήματος, είναι γενικά ο λόγος δύο πολυωνύμων του e T T T b be be HT ()= T T (5.48) áe áe Αν ο παρονομαστής είναι μια σταθερά, τότε το σύστημα ονομάζεται tapped delay lie. Όπως ξέρουμε η συνάρτηση συστήματος ενός ψηφιακού συστήματος L d είναι το άθροισμα = h[ ] z = του οποίου οι όροι είναι οι τιμές της κρουστικής του απόκρισης. Εισάγοντας το στην (5.47), βρίσκουμε την H T () συναρτήσει δυνάμεων του e T. T T kt HT () = he [ ] = h[] h[] e hke [ ] (5.49) = Αναλογικό δειγματοληπτικό Ψηφιακό x(t) L T H Τ () y T (t) T H () = H( e ) T x(t) L d H() y T (T) h T (t) h[] δ(t) δ[] t T t ΣΧΗΜΑ 5. Το αντίστροφο δίνει την κρουστική απόκριση h T (t) του δειγματοληπτικού συστήματος L T : h () t = h[ ] ä() t h[] ä( t T) h[ k] ä( t kt) (5.5) T Αυτό είναι ένα σήμα διακριτού χρόνου, αποτελούμενο από μια ακολουθία κρουστικών παλμών που ισαπέχουν, και των οποίων οι όροι h[] ισούνται με τις κρουστικές αποκρίσεις του ψηφιακού συστήματος L d. Η είσοδος του L Τ είναι ένα σήμα συνεχούς χρόνου x(t), και η έξοδος y T (t) είναι ένα άθροισμα με συντελεστές βάρους, της x(t) και των καθυστερήσεων της: y () t = h[ ] x() t h[] x( t T_) h[ k] x( t kt) (5.5) T 8//8 5.

22 Η είσοδος του L d είναι ένα σήμα διακριτού χρόνου, και η έξοδος y[] είναι ένα άθροισμα με συντελεστές βάρους, της x[] και των καθυστερήσεων της: Γι αυτό το λόγο, y [ ] = h[] x [ ] h[] x [ ] hkx [ ] [ k] (5.5) αν x[ ] = x( T ) τότε y [ ] = y ( T) (5.53) Αυτό δείχνει ότι το σύστημα L d είναι η ψηφιακή προσομοίωση του συστήματος L T (βλέπε Παράγραφο.3). Η προσομοίωση είναι ακριβής και ισχύει για κάθε είσοδο. Στην Παράγραφο 5.3 ορίζουμε την απόκριση στο πεδίο της συχνότητας, των συστημάτων L T και L d. Παράδειγμα 5.. Θα θέλαμε τώρα να αναλύσουμε το δειγματοληπτικό σύστημα του Σχ. 5.α. Αντικαθιστώντας τα αναλογικά στοιχεία καθυστέρησής του με ψηφιακά, έχουμε το ψηφιακό σύστημα L d του Σχ. 5.β. Αυτό είναι ειδική περίπτωση του συστήματος του Σχ. 56γ, και η συνάρτηση συστήματός του είναι ο λόγος δύο δευτεροβάθμιων πολυωνύμων b bz bz = áz áz που βγαίνει από την (5.39) για =. Αντικαθιστώντας στην (5.47), έχουμε T b be be HT ()= T áe áe T T T x(t) L T x[] L d α α α α e T e T z z b b b y T (t) b b b y[] T b be be HT ()= T áe áe (α) T T b bz bz = áz áz (β) ΣΧΗΜΑ //8