ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ"

Transcript

1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 5. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Στα προηγούμενα κεφάλαια παρουσιάσαμε την έννοια της συνάρτησης συστήματος για αναλογικά και ψηφιακά συστήματα, και τη χρησιμοποιήσαμε για να υπολογίσουμε την απόκριση τους σε οιαδήποτε είσοδο. Για τον καθορισμό αυτής της συνάρτησης πήραμε τις διαφορικές ή τις αναδρομικές εξισώσεις, και τις επιλύσαμε με τεχνικές μετασχηματισμού. Έτσι η ανάλυση άρχισε από υποθέσεις στο πεδίο του χρόνου. Σε αυτό το τμήμα θεωρούμε ως βασικούς αγνώστους, όχι τις αποκρίσεις του συστήματος, αλλά τους μετασχηματισμούς τους, και εξάγουμε τις εξισώσεις του συστήματος απ ευθείας από το πεδίο μετασχηματισμού. Αυτό οδηγεί σε ένα σύνολο αλγεβρικών εξισώσεων, των οποίων η λύση τους είναι οι μετασχηματισμοί των επιθυμητών σημάτων. Πρέπει να σημειώσουμε ότι, για ηλεκτρικά δίκτυα, οι εξισώσεις στο πεδίο των μετασχηματισμών είναι όμοιες με τις γνωστές εξισώσεις των AC κυκλωμάτων, αν η μεταβλητή μετατραπεί σε jω. Έτσι, μπορούμε να εκμεταλλευθούμε τα πλεονεκτήματα των τεχνικών ανάλυσης της θεωρίας κυκλωμάτων, όπως οι έννοιες αντίστασης και αγωγιμότητας, παράλληλοι και σειριακοί συνδυασμοί και ανάλυση με τις μεθόδους κόμβων και βρόγχων. Παρ όλα αυτά πρέπει να δώσουμε έμφαση στο γεγονός ότι οι βασικές έννοιες των AC κυκλωμάτων, χρησιμοποιούνται απλώς για να καθορίσουν τις αποκρίσεις σταθερής κατάστασης με ημιτονοειδή είσοδο, ενώ οι τεχνικές μετασχηματισμού μας δίδουν αποκρίσεις για οιονδήποτε εισόδους. Όπως και στο προηγούμενο κεφάλαιο, θα υποθέσουμε ότι όλες οι αρχικές συνθήκες είναι μηδενικές. Αν δεν είναι μηδενικές, τότε μπορούμε να βρούμε ξεχωριστά την απόκριση μηδενικής εισόδου, ξεκινώντας συνήθως από τις εξισώσεις στο πεδίο του χρόνου, προσθέτοντάς τη στην απόκριση μηδενικής κατάστασης που παράγεται από τεχνικές αυτού του κεφαλαίου. Η ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ. Στα προηγούμενα κεφάλαια, ορίσαμε σαν αρχική κατάσταση ενός συστήματος, την κατάσταση στην οποία t = (ή = για ψηφιακά συστήματα), υποθέτοντας ότι όλες οι είσοδοι ήταν μηδέν για χρόνο πριν του t =. Αυτός ο περιορισμός θα αρθεί. Εφεξής θα δεχόμαστε και εισόδους που εφαρμόζονται σε χρόνο t = t, όπου t <. Αυτό γίνεται για τον ακόλουθο λόγο. Ας υποθέσουμε ότι ενδιαφερόμαστε για τη μορφή της απόκρισης πολύ μετά την εφαρμογή της εισόδου και ειδικότερα στην ασυμπτωτική Μπορούμε να γράψουμε τις εξισώσεις του συστήματος απ ευθείας στο πεδίο μετασχηματισμού, ακόμα και αν το σύστημα δεν είναι σε μηδενική κατάσταση. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε αρχικά όλες τις ενεργές αρχικές συνθήκες με κατάλληλες πηγές τάσης ή ρεύματος.(βλέπε Πρόβλημα.)

2 συμπεριφορά της καθώς το t τείνει στο άπειρο (μόνιμη κατάσταση). Τότε είναι πιο εύκολο να επιλέξουμε ως αρχή του χρόνου ένα σημείο στην περιοχή του ενδιαφέροντος και να μετατοπίσουμε το χρόνο t της εφαρμογής της εισόδου προς τα αριστερά. Αυτό οδηγεί στη θεώρηση σημάτων που εφαρμόζονται σε χρόνο t = και σε εξισώσεις συστήματος που ισχύουν για κάθε t. ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Σ αυτό το κεφάλαιο επικεντρωνόμαστε στην ιδέα της συνάρτησης συστήματος. Άν το σύστημα έχει εισόδους και r εξόδους, τότε η συνάρτηση συστήματος είναι ένας r πίνακας, τα στοιχεία του οποίου είναι λόγοι οριζουσών που προέρχονται από την επίλυση των εξισώσεων συστήματος στο πεδίο μετασχηματισμού. Στην περίπτωσή μας βέβαια, θεωρούμε κυρίως συστήματα μιας εισόδου και μιας εξόδου. Αυτό μας επιτρέπει να αναπτύξουμε την κύρια ιδέα ανάλυσης συστημάτων με έναν απλό τρόπο, αποφεύγοντας τις συμβολικές δυσκολίες που παρουσιάζουν οι πίνακες. Η επέκταση στο πρόβλημα των πολλών εισόδωνπολλών εξόδων δεν παρουσιάζει ιδιαίτερες εννοιολογικές δυσκολίες. Αναλογικά συστήματα Όπως δείξαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, η έξοδος y(t) ενός αναλογικού συστήματος ισούται με τη συνέλιξη της εισόδου x(t) με την κρουστική απόκριση h(t): Επειδή h(t) = για t <, η (5.) δίνει y () t = x() t h() t (5.) y ( t) = x( t τ ) h( τ) dτ = x( τ) h( t τ) dτ t (5.) Αυτή η θεμελιώδης σχέση είναι συνέπεια της γραμμικότητας και της χρονικής αμεταβλητότητας του συστήματος. Η απόδειξη έγινε υπό την προϋπόθεση ότι η είσοδος x(t) εφαρμόζεται σε χρόνο t =. Όμως, η απόδειξη ισχύει ακόμα και αν η x(t) εφαρμοστεί σε χρόνο t =. Αν η x(t) = και h(t) = για t <, τότε t y ( t) = x( t τ ) h( τ) dτ = x( τ) h( t τ) dτ t (5.3) Η βηματική απόκριση του συστήματος είναι η έξοδος y(t) = r(t), όταν η είσοδος είναι η μοναδιαία βηματική συνάρτηση x(t) = U(t). Βάζοντάς τη στην (5.3), έχουμε t rt () = h( τ ) dτ (5.4) Επίσης μπορεί να δειχτεί, ότι η απόκριση y(t) σε μία αυθαίρετη είσοδο x(t) ισούται με τη συνέλιξη της r(t) με την παράγωγο της x(t) (δες και πρόβλημα 6.7). Ο μετασχηματισμός Laplace H() της h(t), είναι εξ ορισμού η συνάρτηση συστήματος (Σχ. 5.). Εφαρμόζοντας το θεώρημα της συνέλιξης στην (5.), έχουμε Y() = H() X() (5.5) όπου X() και Y() είναι οι αμφίπλευροι μετασχηματισμοί Laplace της εισόδου x(t) και της εξόδου y(t) αντίστοιχα. Η συνάρτηση συστήματος είναι γνωστή και ως συνάρτηση μεταφοράς. 5. 8//8

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Η απόκριση y(t) σε μία αυθαίρετη είσοδο x(t) μπορεί να καθοριστεί είτε από την (5.) είτε από την (5.5). Για να βρούμε την y(t) από την (5.), βρίσκουμε τη συνέλιξη του αντίστροφου μετασχηματισμού h(t) της H() και της εισόδου x(t). Για να βρούμε την y(t) από την (5.5), βρίσκουμε το μετασχηματισμό X() της x(t), σχηματίζουμε το γινόμενο H()X() και υπολογίζουμε το αντίστροφό του y(t). Η δεύτερη προσέγγιση είναι απλούστερη αν η X() είναι ρητή συνάρτηση του. x(t) y () t = x( t τ ) h( τ) dτ Y( ) = H( ) X( ) ΣΧΗΜΑ 5. Έτσι, έχουμε δύο ερμηνείες της συνάρτησης συστήματος.. Είναι ο μετασχηματισμός Laplace της κρουστικής απόκρισης h(t). Είναι ο λόγος t H( ) = h( t) e dt (5.6) Y( ) H( ) = (5.7) X( ) του μετασχηματισμού Laplace της εισόδου x(t) και της εξόδου y(t). Στην επομένη ενότητα θα δοθεί και μία τρίτη ερμηνεία βασισμένη στη έννοια της απόκρισης συχνότητας. Σύνδεση συστημάτων. Η έννοια της συνάρτησης συστήματος απλοποιεί την περιγραφή συστημάτων που πραγματοποιούνται από τη σύνδεση άλλων ήδη γνωστών συστημάτων. Στο Σχ. 5. δίνονται δύο παραδείγματα. Στο πρώτο παράδειγμα, δύο συστήματα είναι συνδεδεμένα σε σειρά και η συνάρτηση συστήματος που υλοποιείται με τέτοιο τρόπο είναι το γινόμενο Αυτό συνεπάγεται από την (5.7) διότι και h(t) H() y(t) H() = H () H () (5.8) Y() Y () Y() H() = = X() X() Y () Y () Y() H () = H() = X() Y () Στο δεύτερο παράδειγμα, τα συστήματα συνδέονται παράλληλα και η καινούργια συνάρτηση συστήματος είναι το άθροισμα διότι H() = H() H () (5.9) 8//8 5.3

4 Y() Y() Y() = X() X() X() Y () H () X() H () Y () H () Y() X() Y() H() = H () H () H() = H () H () (α) ΣΧΗΜΑ 5. (β) Άλλες συνδέσεις μπορούν να περιγραφούν παρόμοια. Στο Σχήμα.5.3, φαίνεται το παράδειγμα ενός συστήματος με ανάδραση, του οποίου η συνάρτηση συστήματος δίνεται από την X() H () Y() H H() = () H () H () H () Y () (5.) H () H () H() = H () H () ΣΧΗΜΑ 5.3 Πράγματι, όπως φαίνεται από το διάγραμμα, είναι Y() = H ()X () Y () = H ()Y() X () = X() Y () απ όπου η (5.) βγαίνει εύκολα. Θα συνεχίσουμε με την ανάλυση συστημάτων και δικτύων που περιλαμβάνουν διαφοριστές και ολοκληρωτές. Κυκλώματα και δίκτυα. Σ ένα ηλεκτρικό δίκτυο, η είσοδος και η έξοδος είναι τάσεις ή ρεύματα. Γι αυτό το λόγο η τελική συνάρτηση συστήματος είναι μία αντίσταση ή μία αγωγιμότητα ή λόγος τάσεων ή ρευμάτων. Η συνάρτηση συστήματος καθορίζεται από τις εξισώσεις του δικτύου. Θα δείξουμε ότι αυτές οι εξισώσεις, γραμμένες στο πεδίο του μετασχηματισμού, είναι ίδιες με τις εξισώσεις των AC ή DC κυκλωμάτων, κατάλληλα διαμορφωμένες. Αυτή η ομοιότητα βασίζεται στην παρακάτω γενίκευση της γνωστής έννοιας της αντίστασης. Η σύνθετη αντίσταση Laplace (Laplacia ipedace) ενός δικτύου δύο ακροδεκτών είναι ο λόγος 5.4 8//8

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ V() Z () = (5.) I () όπου V() είναι η τάση εισόδου και I() το ρεύμα εισόδου (Σχ.5.4). Έμφαση πρέπει να δοθεί στο γεγονός ότι γι αυτόν τον ορισμό το δίκτυο βρίσκεται σε μηδενική κατάσταση, δηλαδή όλες οι αρχικές συνθήκες είναι μηδέν. V() I() Z( Αντίσταση Laplace Αγωγιμότητα Laplace V() Z () = I () I () Y() = V() ΣΧΗΜΑ 5.4 Στη συνέχεια θα ορίσουμε την σύνθετη αντίσταση (ipedace) των στοιχείων R, L και C. ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΠΗΝΙΟ ΠΥΚΝΩΤΗΣ u(t) = Ri(t) V() = RI() Z() = R u(t) = L di () t dt i(t) = C dv () t dt V() = LI() Z() = L I() = CV() Z() = C Έτσι, στο πεδίο μετασχηματισμού οι τάσεις εξόδου των στοιχείων του κυκλώματος είναι ανάλογες των ρευμάτων, όπως και στην περίπτωση των κυκλωμάτων AC ή DC. Η ομοιότητα αποδεικνύεται, δείχνοντας ότι οι νόμοι του Kirchoff ισχύουν. Αυτό είναι συνέπεια της γραμμικότητας των μετασχηματισμών Laplace. [βλέπε Εξ.(.3)] ΝΟΜΟΣ ΤΑΣΕΩΝ Αν v (t)... v (t) = τότε V ()... V () = ΝΟΜΟΣ ΡΕΥΜΑΤΩΝ Αν i (t)... i (t) = τότε I ()... I () = Από τα παραπάνω, βλέπουμε ότι οι αντιστάσεις Laplace υπόκεινται στους ίδιους νόμους που χρησιμοποιούμε και για τις κοινές ωμικές αντιστάσεις. Για παράδειγμα, αν δύο κυκλώματα συνδέονται σε σειρά, όπως στο Σχήμα 5.5α, τότε η αντίσταση του ολικού κυκλώματος θα είναι το άθροισμα Z () = Z() Z () (5.) Η σύνθετη αγωγιμότητα Laplace (Laplacia adittace) ορίζεται παρόμοια 8//8 5.5

6 I () Y () = V() και για παράλληλη σύνδεση (Σχήμα 5.5β) είναι Y() = Y() Y () (5.3) Z( Z () Z () Y() Y () Y () Z () = Z() Z () Y() = Y() Y () (α) ΣΧΗΜΑ 5.5 Παράδειγμα 5.. Η είσοδος του κυκλώματος του Σχ.5.6 είναι η πηγή τάσης E(). Χρησιμοποιώντας την έννοια της σύνθετης αντίστασης, θα καθορίσουμε το ρεύμα εισόδου I() και την τάση του πυκνωτή V(). Από την (5.) έχουμε ότι η αντίσταση εισόδου είναι το άθροισμα Έτσι, θα έχουμε Z ()= R LS C E () C I () = = E () Z () LC RC I () V() = = E () C LC RC (β) E( R I() L C Z ()= R LS C ΣΧΗΜΑ 5.6 Παράδειγμα 5.. Η είσοδος του κυκλώματος του Σχ.5.7 είναι η πηγή έντασης I g (). Θα καθορίσουμε τις τάσεις V () και V (). Από τις (5.) και (5.3), έχουμε ότι η αγωγιμότητα εισόδου Y() είναι το άθροισμα Έτσι, θα έχουμε Y()= C R L 5.6 8//8

7 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ I g () R L V () = = I g () Y() LC RC V () V () I g V () () = L Y() I g ( C R V () R V () = R L Y()= C R L ΣΧΗΜΑ 5.7 Για να βρούμε τη V (), εφαρμόζουμε το νόμο του διαιρέτη τάσης V () R R V () = = I g () R L LC RC (5.4) Από τα προηγούμενα καταλήγουμε στο ότι οι γενικές εξισώσεις δικτύου στο πεδίο μετασχηματισμού (κατάστασης, κόμβων, βρόγχων) είναι της ίδιας μορφής με τις εξισώσεις των κυκλωμάτων AC. Γι αυτό το λόγο μπορούν να επιλυθούν με ήδη γνωστές τεχνικές των AC. Αυτό φαίνεται στα επόμενα δύο παραδείγματα. Παράδειγμα 5.3. Θα αναλύσουμε το κύκλωμα του Σχ.5.8α χρησιμοποιώντας εξισώσεις κατάστασης και κόμβων. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΟΜΒΩΝ. Από την (5.5) έχουμε ότι ( G CV ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) L V V I = g [ ( ) ( )] ( ) ( ) L V V G CV = Θεωρώντας τις αγωγιμότητες των κόμβων y() = y () = G C L y() = L μπορούμε να γράψουμε τη (5.6) σε κανονική μορφή Λύνοντας ως προς την τάση V (), έχουμε y () V () y () V () = I () y () V () y () V () = y() V y y y I () = g () () () () g (5.6) (5.7) (5.8) V () I() I g ) G C L C 8//8 5.7 G V ()

8 H() G = C = L = V () I () = g (α) E( (β) H()= 3 I ( G V() I ( Πεδίο 3 L I() C Re() L G H() / R = L = C = I () = E () r(t) h(t) (γ) ΣΧΗΜΑ 5.8 (δ) 5 t ΕΙΔΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ. Αν είναι G =, C = και L = τότε η (5.8) γίνεται V ( ) H( ) = = 3 I ( ) g (5.9) Επειδή όμως 3 = ( )( ), συμπεραίνουμε ότι η H() έχει τρεις πόλους =,3 = α±jβ α = β = 3 που βρίσκονται πάνω στο μοναδιαίο κύκλο, όπως φαίνεται στο Σχ.5.8γ. Στο ίδιο σχήμα φαίνεται επίσης η κρουστική απόκριση [βλέπε (.8)] t át h() t = e e coât i ât U () t 3 και η βηματική απόκριση [βλέπε(.9)] 5.8 8//8

9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Σημειώνεται ότι [βλέπε(5.4)] át át rt () = e e i âtut () 3 r( ) = h( t) dt = H( ) = Παράδειγμα 5.4. Θα αναλύσουμε το κύκλωμα του Σχ.5.8β χρησιμοποιώντας εξισώσεις κατάστασης και βρόγχων. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ. Το κύκλωμα έχει τρεις μεταβλητές κατάστασης, τα δύο ρεύματα πηνίων I () και I (), και η τάση του πυκνωτή V(). Όπως βλέπουμε από το σχήμα, έχουμε ( R L) I( ) [ I( ) I ( ) ] = E( ) C ( R L) I ( ) V( ) = (5.) I ( ) I ( ) = CV( ) Οι δύο πρώτες εξισώσεις βγαίνουν από το νόμο τάσης του Kirchoff. Η τρίτη εξίσωση είναι συνέπεια της έννοιας της αντίστασης. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΒΡΟΓΧΩΝ. Από την (5.) προκύπτει ότι Θεωρώντας τις βρογχικές αντιστάσεις ( R L) I ( ) [ ( ) ( )] ( ) C I I E = [ ( ) ( )] ( ) ( ) C I I R L I = z ( ) = z( ) = R L C z( ) = C μπορούμε να γράψουμε την (5.) σε κανονική μορφή z( ) I ( ) z( ) I ( ) = E( ) z( ) I ( ) z( ) I ( ) = Επιλύνοντας ως προς το ρεύμα I (), έχουμε z( ) I z z z E ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ΕΙΔΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ. Αν R =, L = και C =, τότε η (5.3) δίνει (5.) (5.) (5.3) I ( ) H( ) = = 3 E( ) (5.4) Διαφοριστές και ολοκληρωτές. Στη συνέχεια θα αναλύσουμε συστήματα που αποτελούνται από πολλαπλασιαστές, διαφοριστές και ολοκληρωτές. Αυτά τα στοιχεία παρουσιάζονται ως block διαγράμματα, των οποίων οι συναρτήσεις συστήματος ισούνται με α, και / αντίστοιχα. 8//8 5.9

10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΣΤΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΗΣ y () t = áx() t Y() = áx() H ()= á yt () = x () t Y() = X() H ()= t yt () = xôdô ( ) X() Y() = H()= Στο Σχ.5.9 φαίνονται δύο συστήματα που αποτελούνται από πολλαπλασιαστές και διαφοριστές. Εκφράζοντας με H a (), H b () και Η c () τις αντίστοιχες συναρτήσεις συστήματος, συμπεραίνουμε από το σχήμα ότι είναι H ( ) = b b b á Hb ( ) = á á b b b Ç c ( ) = á á (5.5) X() X() X() X() b b b Y() α α Y() Y() Y() Y() = ( b b b ) X() (α) Y() = X() á Y() á Y() (β) X() α α W ( ) W() = X() ( á á ) W() Y() = ( b b b ) W() b b b Y() (γ) ΣΧΗΜΑ //8

11 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Στο Σχ.5. φαίνεται ένα σύστημα που αποτελείται από πολλαπλασιαστές και ολοκληρωτές. Όπως συμπεραίνουμε από το σχήμα είναι Y( ) b b b H( ) = = X( ) á á (5.6) Η γενικευμένη περίπτωση μπορεί να αναλυθεί παρόμοια. Όπως και στην περίπτωση των δικτύων, οδηγεί σε μία ρητή συνάρτηση συστήματος N() b b b H() = = D () á á á Η αντίστοιχη κρουστική απόκριση h(t) είναι ένα άθροισμα δυνάμεων t i ht () = ce U() t i = i (5.7) (5.8) όπου i είναι οι πόλοι της H(). Σημειώνουμε εδώ ότι, αν όλοι οι πόλοι i έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος, τότε καθώς το t η h() t. Τότε το σύστημα είναι ευσταθές. Χρησιμοποιώντας την (5.7), θα δείξουμε ότι η έξοδος y(t) κάθε δικτύου ή αναλογικού συστήματος αποτελούμενου από διαφοριστές ή ολοκληρωτές, ικανοποιεί μία διαφορική εξίσωση της οποίας το δεξί μέρος είναι άθροισμα της εισόδου x(t) και των παραγώγων της. Πράγματι, επειδή Y() = H()X(), από την (5.7) έχουμε ότι ( ) = ( ) á á á Y () b b b X () Παίρνοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό και στα δύο μέρη, έχουμε ( ) ( ) á y () t áy () t áy() t = bx () t bx () t b x() t (5.9) X() W() α / α / b b b W() W() á á W() = X() W() b b Y() = b W() Y() ΣΧΗΜΑ 5. Παράδειγμα 5.5. Στο Σχ.5. έχουμε ένα κύκλωμα, όπως και στο παράδειγμα 5., ένα σύστημα με δύο διαφοριστές, και ένα σύστημα με δύο ολοκληρωτές. Εισάγοντας τις κατάλληλες σταθερές στις (5.5) και (5.6), συμπεραίνουμε ότι και τα τρία συστήματα έχουν την ίδια συνάρτηση συστήματος V() R L H() = = I () LC RC 8//8 5.

12 και γι αυτό το λόγο είναι τελικά ισοδύναμα. Όπως βλέπουμε από την (5.9), η έξοδός τους u(t) ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση LCu () t RCu () t u() t = Li () t Ri () t I(t) C L R u(t) i(t) i(t) LC RC /LC R/L / / L R u(t) R/LC /C u(t) H()= R L LC RC LCu () t RCu () t u() t = Li () t Ri () t ΣΧΗΜΑ 5. Ψηφιακά και δειγματοληπτικά συστήματα Όπως δείξαμε στο τελευταίο κεφάλαιο, η έξοδος y[] ενός ψηφιακού συστήματος ισούται με την διακριτή συνέλιξη της εισόδου x[] με την κρουστική απόκριση h[]. Επειδή όμως για < η h[] =, έχουμε y[ ] = x[ ] h[ ] (5.3) y [ ] = x [ khk ] [ ] = xkh [ ] [ k] k = k = (5.3) Αν για < η x[] =, τότε y [ ] = x[ k] h[ k] = x[ k] h[ k] (5.3) k= k= Η βηματική απόκριση του συστήματος είναι η έξοδος y[] = r[], όταν η είσοδος είναι η μοναδιαία βηματική συνάρτηση x[] = U[]. Εισάγοντάς τη στην (5.3), έχουμε r [ ] = xk [ ] k= (5.33) 5. 8//8

13 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ο μετασχηματισμόςz H(z) της h[] είναι εξ ορισμού η συνάρτηση συστήματος. Εφαρμόζοντας το θεώρημα της συνέλιξης στην (5.3), έχουμε Y( z) = X( z) (5.34) όπου X(z) και Y(z) είναι οι αμφίπλευροι μετασχηματισμοί z της εισόδου x[] και της εξόδου y[], αντίστοιχα (Σχ. 5.α). Έτσι, η απόκριση y[] σε μία αυθαίρετη είσοδο x[] μπορεί να καθοριστεί από την (5.3) ή από την (5.34). Στην πρώτη περίπτωση, βρίσκουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό h[] της H(z) και παίρνουμε τη συνέλιξή του με την είσοδο x[]. Στη δεύτερη περίπτωση, βρίσκουμε το μετασχηματισμό X(z) της x[], σχηματίζουμε το γινόμενο H(z)X(z) και υπολογίζουμε το αντίστροφό του y[]. h[ ] H ( z ) x[] y[ (α) h[ ] H ( z ) y [ ] = x [ khk ] [ ] k= Y( z) = X( z) x[ H ( (β) h [ ] = h[ ] h[ ] = H ( z) H ( z) ΣΧΗΜΑ 5. Έτσι έχουμε δύο ερμηνείες της συνάρτησης συστήματος. Είναι ο μετασχηματισμός z της κρουστικής απόκρισης h[]. Είναι ο λόγος = h[ ] z = (5.35) Y( z) = X( z) των μετασχηματισμών z της εισόδου x[] και της εξόδου y[]. Στην επόμενη ενότητα θα δώσουμε και μία τρίτη ερμηνεία, βασιζόμενη στην έννοια της απόκρισης συχνότητας. Οι κανόνες σύνδεσης των αναλογικών συστημάτων ισχύουν και για τα ψηφιακά συστήματα. Σαν παράδειγμα, φαίνονται στο Σχ. 5.β δύο συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά. Η συνάρτηση συστήματος του ολικού συστήματος είναι το γινόμενο = H ( z) H ( z) (5.36) Στη συνέχεια, βρίσκουμε τις εξισώσεις στο πεδίο του μετασχηματισμού διαφόρων ψηφιακών συστημάτων. Η ανάλυση βασίζεται στους κανόνες διασύνδεσης και στις ιδιότητες εισόδουεξόδου δύο ψηφιακών στοιχείων. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΗΣ H ( y[ 8//8 5.3

14 y[] = αx[] Y(z) = αx(z) H(z) = α ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗΣ y[] = x[] Y(z) = z X(z) H(z) = z Παράδειγμα 5.6. (α) Στο Σχ. 5.3α έχουμε ένα μη αναδρομικό σύστημα με ένα στοιχείο καθυστέρησης. Όπως φαίνεται από το σχήμα: Άρα, Y( z) = X( z) z X( z) = z h [ ] = ä [ ] ä [ ] Η έξοδος y[] αυτού του συστήματος είναι η πρώτη διαφορά της εισόδου x[]: y[ ] = Äx [ ] = x[ ] x[ ] (β) Συνδέοντας δύο τέτοια συστήματα σε σειρά, έχουμε ένα σύστημα όπως αυτό του Σχ. 5.3β. Από την (5.36) συνεπάγεται ότι η συνάρτηση συστήματος του τελικού συστήματος δίνεται από την: Έτσι, = ( z ) = z z h[ ] = ä[ ] ä[ ] ä[ ] Η τελική έξοδος y[] είναι η δεύτερη διαφορά της εισόδου x[]: = z y [ ] = Äx [ ] = x [ ] x [ ] x [ ] = ( z ) = z z X(z ) Y(z ) X(z ) Y (z) y [] Y(z ) z Y ( z) = X( z) z X( z) z z δ[] h[] δ[] h [] h[ (α) (β) ΣΧΗΜΑ 5.3 Παράδειγμα 5.7. (α) Η έξοδος y(t) του συστήματος του Σχ. 5.4α δίνεται από την: Έτσι, Y( z) = X( z) 3z X( z) = 3z h [ ] = ä [ ] 3ä [ ] Το σύστημα είναι μη αναδρομικό, και η κρουστική του απόκριση h[] έχει πεπερασμένο αριθμό όρων. Μηαναδρομικό h[] = δ[] 3 δ[] Αναδρομικό h[] = (.5) U[] 5.4 8//8

15 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 / /4 X(z) H(z) = 3 z z = 5. z z X(z) X(z) X(z).5z Y(z) (α) 3 Y(z) z Y(z) / z Y(z) Έτσι, (β) (β) Στο σύστημα του Σχ. 5.4β ΣΧΗΜΑ 5.4 Y( z) = X( z) 5. z Y( z) = 5. z h [ ] = U[ ] Το σύστημα είναι αναδρομικό, και η κρουστική του απόκριση h[] έχει άπειρους όρους. Παράδειγμα 5.8. (α) Το σύστημα του Σχ. 5.5α δημιουργείται συνδέοντας τα δύο συστήματα του Σχ. 5.4 στη σειρά. Πολλαπλασιάζοντας την αντίστοιχες συναρτήσεις συστήματος, έχουμε (β) Στο σύστημα του Σχ. 5.5β, Έτσι, 4 3z = 5. z W( z) = X( z) 5. z W( z) Y( z) = W( z) 3z W( z) Y( z) 3z = = X( z) 5. z / h[ X(z) 8//8 5.5 / z W(z) z W(z)

16 X(z) z 3 / z Y(z) 3z = 5. z (α) (β) ΣΧΗΜΑ 5.5 Αυτό δείχνει ότι παραπάνω δύο συστήματα είναι ισοδύναμα. Σημειώνουμε ότι: ( 5. z ) Y( z) = ( 3z ) X( z ) Ο αντίστροφος μετασχηματισμός της παραπάνω δίνει: y[ ] 5. y[ ] = x[ ] 3x[ ] Τα προηγούμενα παραδείγματα είναι ειδικές περιπτώσεις των τριών συστημάτων του Σχ Στο σύστημα του Σχ. 5.6α, Δηλαδή, Στο σύστημα του Σχ. 5.6β, Δηλαδή, Στο σύστημα του Σχ. 5.6γ, Y( z) = ( b b z b z ) X( z) b bz = bz Y( z) = X( z) ( á z á z ) Y( z) = áz á z W( z) = X( z) ( áz áz ) W( z) Y( z) = ( b b z b z ) W( z) (5.37) (5.38) X(z) z X(z) z z z z X(z) = b b z b z b b b Y(z) (α) X(z) 5.6 8//8 α α α

17 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ = áz á z (β) X(z) α α α z W(z) z z W(z) b bz bz = áz á z b b b b (γ) Y(z) ΣΧΗΜΑ 5.6 Έτσι, b bz bz = áz á z (5.39) Από τα τρία παραπάνω συστήματα, το πρώτο είναι μη αναδρομικό ή traveral γιατί η έξοδός του y[] μπορεί να εκφραστεί απ ευθείας με όρους της εισόδου x[] και των τελευταίων τιμών της: y [ ] = bx [ ] bx [ ] bx [ ] (5.4) Η συνάρτηση συστήματός του είναι ένα πολυώνυμο του z, και η κρουστική του απόκριση h[] έχει πεπερασμένο αριθμό όρων: h [ ] = bä [ ] bä [ ] bä [ ] Γι αυτό το λόγο το σύστημα καλείται και σύστημα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης (Fiite Ipule RepoeFIR). Το δεύτερο και τρίτο σύστημα είναι αναδρομικά. Η έξοδος y[] ικανοποιεί την αναδρομική εξίσωση y [ ] áy [ ] áy [ ] = x [ ] (5.4) της οποίας το δεξιό μέλος ισούται με την είσοδο x[]. Το τρίτο σύστημα ικανοποιεί την αναδρομική εξίσωση 8//8 5.7

18 y [ ] áy [ ] áy [ ] = bx [ ] bx [ ] (5.4) της οποίας το δεξιό μέλος είναι γραμμικός συνδυασμός της εισόδου x[] και των τελευταίων τιμών της. Οι εξισώσεις (5.4) και (5.4) είναι ειδικές περιπτώσεις. Ο μετασχηματισμός της (5.4) δίνει ( áz áz ) Y( z) = ( b bz bz ) X( z) (5.43) Αυτό δείχνει ότι η συνάρτηση συστήματος του συστήματος του Σχ. 5.6γ είναι πράγματι το κλάσμα της (5.39). Παράδειγμα 5.9. Στο σύστημα του Σχ. 5.7, W( z) = X( z) z W( z) Y( z) = cw [ ( z) z W( z)] Δηλαδή, z = c z και όπως στην (5.4) y[ ] y[ ] = cx[ ] cx[ ] z = c z Όπως φαίνεται στην παράγραφο 5.3, το παραπάνω σύστημα χρησιμοποιείται σαν προσομοίωση ενός διαφοριστή αν c = /T (βλέπε επίσης Πρόβλημα 4.3). X(z) z W(z) c Y(z) ΣΧΗΜΑ 5.7 Γι αυτό, η συνάρτηση συστήματος ενός ψηφιακού συστήματος είναι ο λόγος δύο πολυωνύμων του z: N( z) b bz bz = = (5.44) Dz ( ) áz áz και η αντίστοιχη κρουστική απόκριση είναι το άθροισμα των γεωμετρικών ακολουθιών όπου z i είναι οι πόλοι της H(z). h [ ] = czu[ ] i = i i (5.45) 5.8 8//8

19 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Σημειώνουμε ότι αν όλοι οι πόλοι z i βρίσκονται εντός του μοναδιαίου κύκλου, δηλαδή z i <, τότε καθώς το η h[ ]. Το σύστημα είναι τότε ευσταθές. Δειγματοληπτικά συστήματα. Ένα δειγματοληπτικό σύστημα αποτελείται από πολλαπλασιαστές και αναλογικά στοιχεία καθυστέρησης. ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗΣ y T (t) = x(tt) Y T () = e T X() H T () = e T Ένα δειγματοληπτικό σύστημα είναι ένα σύστημα αναλογικό του οποίου η είσοδος και η έξοδος είναι σήματα συνεχούς χρόνου. Παρουσιάζεται όμως εδώ, γιατί έχει στενή σχέση με τα ψηφιακά συστήματα. Για να δείξουμε αυτή τη σχέση, δίνουμε δύο παραδείγματα. Παράδειγμα 5.. Στο Σχ. 5.8α φαίνεται ένα δειγματοληπτικό σύστημα L T, αποτελούμενο από ένα στοιχείο καθυστέρησης και δύο πολλαπλασιαστές. Αντικαθιστώντας το στοιχείο καθυστέρησης με ένα ψηφιακό στοιχείο καθυστέρησης και αφήνοντας τα υπόλοιπα ίδια, παίρνουμε το ψηφιακό σύστημα L d του Σχ. 5.8β. Όπως βλέπουμε από το σχήμα οι αντίστοιχες έξοδοι δίνονται από τις y T () t = x() t 3x( t T) y [ ] = x [ ] 3x [ ] (5.46) Στο πεδίο μετασχηματισμού, Y T ( ) = X( ) 3e T X( ) Y( z) = X( z) 3z X( z) Αναλογικό δειγματοληπτικό h T (t) = δ(t) 3 δ(tt) 3 Ψηφιακό h[] = δ[] 3 δ[] 3 T t H T () = 3e T H(z) = 3z Δηλαδή, x(t) x(tt) e T 3 L T y T (t) y T (t) = x(t) 3x(tT) (α) x[] y[] y[] = x[] 3x[] (β) ΣΧΗΜΑ 5.8 H ( ) = 3e T T = 3z x[] z 3 L d 8//8 5.9

20 Έτσι αν στη συνάρτηση συστήματος HT() του δειγματοληπτικού συστήματος LT, αντικαταστήσουμε τον όρο et με τον όρο z, βρίσκουμε τη συνάρτηση συστήματος H(z) του αντίστοιχου ψηφιακού συστήματος Ld. Σημειώνουμε ότι αν η είσοδος x[] του Ld ισούται με τα δείγματα x(t) της εισόδου x(t) του LT, τότε η τελική έξοδος y[] ισούται με τα δείγματα yt(t) της εξόδου yt(t) του LT [βλέπε (5.46)]. Παράδειγμα 5.. Στο Σχ. 5.9 φαίνεται ένα δειγματοληπτικό σύστημα L T και το αντίστοιχο ψηφιακό σύστημα που επιτυγχάνεται αντικαθιστώντας το αναλογικό στοιχείο καθυστέρησης με ένα ψηφιακό. Όπως βλέπουμε από το σχήμα, yt () t = x() t 5. y( t T) y [ ] = x [ ] 5. y [ ] T Y () = X() 5. e Y() Y( z) = X( z) 5. z Y( z) Επειδή όμως, T T k kt HT() = T. e. e = e k k = =. z. z z ät ( kt) e kt ä [ k] z k συμπεραίνουμε ότι οι κρουστικές αποκρίσεις των συστημάτων L T και L d αντίστοιχα, δίνονται από τις k ht () t = ät () 5. ät ( T) 5. ät ( T) k h [ ] = ä [ ] 5. ä [ ] 5. ä [ k] Επισημαίνουμε ξανά ότι αν x[] = x(t), τότε y[] = y T (T). / /4 h T (t) / /4 h[] T t HT () = 5. e x(t) T T = 5. z x[] y T (tt) / L T e T y T (t) = x(t).5y T (tt) (α) y T (t) y[] y[] = x[].5y[] (β) ΣΧΗΜΑ 5.9 Η γενική περίπτωση οδηγεί σε δύο παρόμοια συμπεράσματα: Δοθέντος ενός δειγματοληπτικού συστήματος L T με συνάρτηση συστήματος Η Τ (), αντικαθιστούμε όλα τα αναλογικά στοιχεία καθυστέρησης του με ψηφιακά. Εκφράζοντας με H(z) την συνάρτηση / L d z y[] 5. 8//8

21 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ συστήματος του ψηφιακού συστήματος L d που προκύπτει (Σχ. 5.), συμπεραίνουμε, όπως και στα παραδείγματα, ότι T H () = H( e ) (5.47) T γιατί οι αποκρίσεις των δύο συστημάτων υπακούν στις ίδιες εξισώσεις στο πεδίο μετασχηματισμού, αφού πρώτα η e T έχει αντικατασταθεί με z. Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση συστήματος ενός δειγματοληπτικού συστήματος, είναι γενικά ο λόγος δύο πολυωνύμων του e T T T b be be HT ()= T T (5.48) áe áe Αν ο παρονομαστής είναι μια σταθερά, τότε το σύστημα ονομάζεται tapped delay lie. Όπως ξέρουμε η συνάρτηση συστήματος ενός ψηφιακού συστήματος L d είναι το άθροισμα = h[ ] z = του οποίου οι όροι είναι οι τιμές της κρουστικής του απόκρισης. Εισάγοντας το στην (5.47), βρίσκουμε την H T () συναρτήσει δυνάμεων του e T. T T kt HT () = he [ ] = h[] h[] e hke [ ] (5.49) = Αναλογικό δειγματοληπτικό Ψηφιακό x(t) L T H Τ () y T (t) T H () = H( e ) T x(t) L d H() y T (T) h T (t) h[] δ(t) δ[] t T t ΣΧΗΜΑ 5. Το αντίστροφο δίνει την κρουστική απόκριση h T (t) του δειγματοληπτικού συστήματος L T : h () t = h[ ] ä() t h[] ä( t T) h[ k] ä( t kt) (5.5) T Αυτό είναι ένα σήμα διακριτού χρόνου, αποτελούμενο από μια ακολουθία κρουστικών παλμών που ισαπέχουν, και των οποίων οι όροι h[] ισούνται με τις κρουστικές αποκρίσεις του ψηφιακού συστήματος L d. Η είσοδος του L Τ είναι ένα σήμα συνεχούς χρόνου x(t), και η έξοδος y T (t) είναι ένα άθροισμα με συντελεστές βάρους, της x(t) και των καθυστερήσεων της: y () t = h[ ] x() t h[] x( t T_) h[ k] x( t kt) (5.5) T 8//8 5.

22 Η είσοδος του L d είναι ένα σήμα διακριτού χρόνου, και η έξοδος y[] είναι ένα άθροισμα με συντελεστές βάρους, της x[] και των καθυστερήσεων της: Γι αυτό το λόγο, y [ ] = h[] x [ ] h[] x [ ] hkx [ ] [ k] (5.5) αν x[ ] = x( T ) τότε y [ ] = y ( T) (5.53) Αυτό δείχνει ότι το σύστημα L d είναι η ψηφιακή προσομοίωση του συστήματος L T (βλέπε Παράγραφο.3). Η προσομοίωση είναι ακριβής και ισχύει για κάθε είσοδο. Στην Παράγραφο 5.3 ορίζουμε την απόκριση στο πεδίο της συχνότητας, των συστημάτων L T και L d. Παράδειγμα 5.. Θα θέλαμε τώρα να αναλύσουμε το δειγματοληπτικό σύστημα του Σχ. 5.α. Αντικαθιστώντας τα αναλογικά στοιχεία καθυστέρησής του με ψηφιακά, έχουμε το ψηφιακό σύστημα L d του Σχ. 5.β. Αυτό είναι ειδική περίπτωση του συστήματος του Σχ. 56γ, και η συνάρτηση συστήματός του είναι ο λόγος δύο δευτεροβάθμιων πολυωνύμων b bz bz = áz áz που βγαίνει από την (5.39) για =. Αντικαθιστώντας στην (5.47), έχουμε T b be be HT ()= T áe áe T T T x(t) L T x[] L d α α α α e T e T z z b b b y T (t) b b b y[] T b be be HT ()= T áe áe (α) T T b bz bz = áz áz (β) ΣΧΗΜΑ //8

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 3 η Τα Συστήματα στις Τηλεπικοινωνίες

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Μετασχηματισμός Laplace και ΓΧΑ Συστήματα Συνάρτηση μεταφοράς αιτιατών και ευσταθών συστημάτων Συστήματα που περιγράφονται από ΔΕ Διαγράμματα Μπλοκ Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα:

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα: ΦΙΛΤΡΑ 6.. ΦΙΛΤΡΑ Το φίλτρο είναι ένα σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας παίρνει σημαντικές τιμές μόνο για συγκεκριμένες ζώνες του άξονα συχνοτήτων. Στο Σχήμα 6.6 δείχνουμε την απόκριση συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε το Μετασχηµατισµό Laplace (ML) και το Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace (MML) και να περιγράψουµε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

5.2 (α) Να γραφούν οι εξισώσεις βρόχων για το κύκλωμα του σχήματος Π5.2α. (β) Να γραφούν οι εξισώσεις κόμβων για το κύκλωμα του σχήματος Π5.

5.2 (α) Να γραφούν οι εξισώσεις βρόχων για το κύκλωμα του σχήματος Π5.2α. (β) Να γραφούν οι εξισώσεις κόμβων για το κύκλωμα του σχήματος Π5. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 5. (α) Να βρεθεί η τιμή της σύνθετης αντίστασης Ζ(s) των τριών κυκλωμάτων στο σχήμα Π5. (β) Να βρεθούν οι πόλοι και τα μηδενικά της Ζ(s). (γ) Να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 11: Η ημιτονοειδής διέγερση Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) Άσκηση 1. Α) Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος την χρονική στιγμή t=0 sec ο διακόπτης κλείνει. Βρείτε τα v c και i c. Οι πυκνωτές είναι αρχικά αφόρτιστοι. Β)

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου v 3 (t) - i 2 (t)

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου v 3 (t) - i 2 (t) Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου 2015 ΘΕΜΑ 1 Ο (6,0 μονάδες) Δίνεται το κύκλωμα του σχήματος, όπου v 1 (t) είναι η είσοδος και v 3 (t) η έξοδος. Να θεωρήσετε μηδενικές αρχικές συνθήκες. v 1

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 5: Θεωρήματα κυκλωμάτων Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 8: Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 4: Συστηματικές μέθοδοι επίλυσης κυκλωμάτων Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου 204 5 (Ιούνιος 205) ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος. α. Να προσδιοριστούν οι τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 12: Ανάλυση κυκλωμάτων ημιτονοειδούς διέγερσης Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Καταστατικές Εξισώσεις Επιμέλεια: Πέτρος Π. Γρουμπός, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016 ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 016 Θέμα 1. α) (Μον.1.5) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

i C + i R i C + i R = 0 C du dt + u R = 0 du dt + u RC = 0 0 RC dt ln u = t du u = 1 RC dt i C = i R = u R = U 0 t > 0.

i C + i R i C + i R = 0 C du dt + u R = 0 du dt + u RC = 0 0 RC dt ln u = t du u = 1 RC dt i C = i R = u R = U 0 t > 0. Α. Δροσόπουλος 6 Ιανουαρίου 2010 Περιεχόμενα 1 Κυκλώματα πρώτης τάξης 2 1.1 Εκφόρτιση κυκλωμάτων RC πρώτης τάξης.................................. 2 1.2 Εκφόρτιση κυκλωμάτων RL πρώτης τάξης...................................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Εργαστηριακοί Συνεργάτες: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ, Α. ΟΙΚΟΝΟΜΙΔΗΣ,

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα Στοιχεία Κυκλωμάτων και Εξισώσεις Καθηγητής Χ. Χαμζάς ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ένα αναλογικό κύκλωμα ή δίκτυο είναι ένας συνδυασμός στοιχείων συνδεδεμένων

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητα #8: Χώρος Κατάστασης: Μεταβλητές, Εξισώσεις, Κανονικές Μορφές Δημήτριος Δημογιαννόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 2: Συστήματα διακριτού χρόνου Συστήματα διακριτού χρόνου Σύστημα διακριτού χρόνου: Μετασχηματισμός Τ που μετατρέπει το σήμα εισόδου x[] στο σήμα

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική Ενέργεια. Ηλεκτρικό Ρεύμα

Ηλεκτρική Ενέργεια. Ηλεκτρικό Ρεύμα Ηλεκτρική Ενέργεια Σημαντικές ιδιότητες: Μετατροπή από/προς προς άλλες μορφές ενέργειας Μεταφορά σε μεγάλες αποστάσεις με μικρές απώλειες Σημαντικότερες εφαρμογές: Θέρμανση μέσου διάδοσης Μαγνητικό πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 23/06/2016 ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΦΟΙΤΗΤΕΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 23/06/2016 ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΦΟΙΤΗΤΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: /6/6 ΘΕΜΑ ο (5 μονάδες Για τον ενισχυτή του παρακάτω σχήματος δίνονται: =, = 6 kω, = kω και = = Ε = = kω, ενώ για το τρανζίστορ δίνονται: = 78, β

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1

[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΛΙΞΗ 4.. ΣΥΝΕΛΙΞΗ Στην προηγούµενη παράγραφο εισαγάγαµε την ιδέα της συνέλιξης από τα συµφραζόµενα των γραµµικών συστηµάτων. Σ' αυτήν την παράγραφο ορίζουµε τη συνέλιξη σαν µια πράξη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 8: Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και R Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις ικτύων. t t 0, τότε µπορούµε να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις του για κάθε t t 0.

Εξισώσεις ικτύων. t t 0, τότε µπορούµε να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις του για κάθε t t 0. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τα ηλεκτρικά στοιχεία είναι εξιδανικευµένα µοντέλα των φυσικών διατάξεων, παθητικών ή ενεργών, που καθορίζονται µέσω των αντίστοιχων

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 6: Έννοια της συνάρτησης μεταφοράς Παραδείγματα εφαρμογής σε φυσικά συστήματα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 6: Έννοια της συνάρτησης μεταφοράς Παραδείγματα εφαρμογής σε φυσικά συστήματα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 6: Έννοια της συνάρτησης μεταφοράς Παραδείγματα εφαρμογής σε φυσικά συστήματα Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 3: Συνδυασμός αντιστάσεων και πηγών Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + +

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + + Μετασχηματισμός aplace ορίζεται ως εξής : t X() [x( t)] xte () dt = = Ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : t x(t) = [ X()] = X() e dt π j c C είναι μία καμπύλη που

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Φώτης Πλέσσας

Εισαγωγή Φώτης Πλέσσας Ανάλυση Κυκλωμάτων Εισαγωγή Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Δομή Παρουσίασης Εισαγωγικές Κυκλωμάτων Έννοιες Ανάλυσης Φυσικά και μαθηματικά μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ θεωρία και ασκήσεις. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ θεωρία και ασκήσεις. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ θεωρία και ασκήσεις Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ένα ηλεκτρικό κύκλωμα αποτελείται από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 7: Μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ Ι, ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ i 1 i 2

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ Ι, ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ i 1 i 2 ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ Ι, 007008 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 008 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΕ ΑΥΤΟ ΤΟ ΧΡΩΜΑ ΘΕΜΑ. [0%] Για το κύκλωμα δεξιά, ένα λογισμικό ανάλυσης κυκλωμάτων έδωσε τα παρακάτω αποτελέσματα:

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο Μετασχηματισμός Ζ Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο μετασχηματισμός Z (Ζ-Τransform: ZT) χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο για την ανάλυση των διακριτών σημάτων και συστημάτων αποτελεί ό,τι ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 16: Απόκριση συχνότητας Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος. Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος. Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος Άνοιξη 2008 Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ηλεκτρικό ρεύμα Το ρεύμα είναι αποτέλεσμα της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ασκήσεις Πράξης

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ασκήσεις Πράξης ΑΝΩΤΑΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Καθηγητς: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθ. Εφαρμ: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Μέθοδοι ανάλυσης κυκλωμάτων

Κεφάλαιο 8 Μέθοδοι ανάλυσης κυκλωμάτων Κεφάλαιο 8 Μέθοδοι ανάλυσης κυκλωμάτων 8 Μέθοδοι ανάλυσης κυκλωμάτων ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Συστήματα εξισώσεων στην ανάλυση κυκλωμάτων Η μέθοδος των ρευμάτων βρόχων Η μεθοδος των ρευμάτων των κλάδων 2

Διαβάστε περισσότερα

1. Μεταβατικά φαινόμενα Κύκλωμα RC

1. Μεταβατικά φαινόμενα Κύκλωμα RC . Μεταβατικά φαινόμενα.. Κύκλωμα RC Το κύκλωμα του Σχήματος είναι το απλούστερο κύκλωμα Α τάξης και αποτελείται από μια πηγή συνεχούς τάσης, που είναι η διέγερσή του, εν σειρά με μια αντίσταση και έναν

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015 Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 20 ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες). Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς / του συστήματος που περιγράφεται από το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα. (2,0

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικά στοιχεία των Κυκλωμάτων

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικά στοιχεία των Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 1 ο Βασικά στοιχεία των Κυκλωμάτων Ένα ηλεκτρικό/ηλεκτρονικό σύστημα μπορεί εν γένει να παρασταθεί από ένα κυκλωματικό διάγραμμα ή δικτύωμα, το οποίο αποτελείται από στοιχεία δύο ακροδεκτών συνδεδεμένα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 6: Παθητικά στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής. Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής. Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z

Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Ο μετασχηματισμός αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τίτλος Μαθήματος Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο.

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο. Υπενθυμίζουμε ότι αν ένα σύστημα είναι ευσταθές, τότε η απόκριση είναι άθροισμα μίας μεταβατικής και μίας μόνιμης. Δηλαδή, αν το σύστημα είναι ευσταθές όπου και Είθισται, σε ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 13. Θεωρήματα Δικτύων

Άσκηση 13. Θεωρήματα Δικτύων Άσκηση Θεωρήματα Δικτύων. Θεώρημα Βρόχων ΣΚΟΠΟΣ Πειραματική επαλήθευση της μεθόδου των βρογχικών ρευμάτων. ΘΕΩΡΙΑ Με τη μέθοδο των βρογχικών ρευμάτων, η επίλυση ενός κυκλώματος στηρίζεται στον υπολογισμό

Διαβάστε περισσότερα

περιεχομενα Πρόλογος vii

περιεχομενα Πρόλογος vii Πρόλογος vii περιεχομενα ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: Κυκλώματα Συνεχούς Ρεύματος... 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 3 1.1 Εισαγωγή...4 1.2 Συστήματα και Μονάδες...5 1.3 Φορτίο και Ρεύμα...6 1.4 Δυναμικό...9 1.5 Ισχύς

Διαβάστε περισσότερα

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΩΜΑ RC ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΚΥΚΛΩΜΑ RC ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑ ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΙΕΓΕΡΣΗ Εννοούμε την απόκριση ενός γραμμικού, χρονικά αμετάβλητου κυκλώματος σε μια μοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ() εφαρμοζόμενη στον χρόνο = 0 (απόκριση μηδενικής κατάστασης). Η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transfer function) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Laplace

Μετασχηματισμοί Laplace Μετασχηματισμοί Laplace Ιδιότητες μετασχηματισμών Laplace Βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace f(t) F(s) δ(t) 1 u(t) 1 / s t 1 / s 2 t n n! / s n1 e αt, α>0 1 / (s α) te αt, α>0 1 / (s α) 2 ημωt ω / (s

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 1. Υπολογίστε την σχέση των δύο αντιστάσεων, ώστε η συνάρτηση V

ΘΕΜΑ 2 1. Υπολογίστε την σχέση των δύο αντιστάσεων, ώστε η συνάρτηση V Θέµατα εξετάσεων Θ. Κυκλωµάτων & Σηµάτων Σας προσφέρω τα περισσότερα θέµατα που έχουν τεθεί στις εξετάσεις τα τελευταία χρόνια ελπίζοντας ότι θα ασχοληθείτε µαζί τους κατά την προετοιµασία σας. Τα θέµατα

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης Ψηφιακός Έλεγχος Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Έστω γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα διακριτού χρόνου: ( + ) = + x k Ax k Bu k Εφαρμόζουμε γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Να σχεδιαστεί ένας ενισχυτής κοινού εκπομπού (σχ.1) με τα εξής χαρακτηριστικά: R 2.3 k,

Να σχεδιαστεί ένας ενισχυτής κοινού εκπομπού (σχ.1) με τα εξής χαρακτηριστικά: R 2.3 k, Να σχεδιαστεί ένας ενισχυτής κοινού εκπομπού (σχ) με τα εξής χαρακτηριστικά: 3 k, 50, k, S k και V 5 α) Nα υπολογιστούν οι τιμές των αντιστάσεων β) Να επιλεγούν οι χωρητικότητες C, CC έτσι ώστε ο ενισχυτής

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Ε. Μ. Πολυτεχνείο Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Γ. ΠΑΠΑΝΑΝΟΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : Συναρτήσεις Δικτύων Βασικοί ορισμοί Ας θεωρήσουμε ένα γραμμικό, χρονικά

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Διδάσκων: Γεώργιος Μήτσης, Λέκτορας, Τμήμα ΗΜΜΥ Γραφείο: 401 Πράσινο Άλσος Ώρες γραφείου: Οποτεδήποτε (κατόπιν επικοινωνίας) Ηλ. Ταχ.: : gmitsis@ucy.ac.cy Ιωάννης Τζιώρτζης

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικοί Ενισχυτές

Διαφορικοί Ενισχυτές Διαφορικοί Ενισχυτές Γενικά: Ο Διαφορικός ενισχυτής (ΔΕ) είναι το βασικό δομικό στοιχείο ενός τελεστικού ενισχυτή. Η λειτουργία ενός ΔΕ είναι η ενίσχυση της διαφοράς μεταξύ δύο σημάτων εισόδου. Τα αρχικά

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές και Θεωρήματα Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Αρχές και Θεωρήματα Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Κυκλωμάτων Αρχές και Θεωρήματα Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Αρχή της επαλληλίας Θεώρημα της αντικατάστασης Εισαγωγή Θεωρήματα Thevenin και Norton Μετατόπιση των πηγών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κ. Ψυχαλίνος Πάτρα 005 . METAΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Ορισμοί Μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου (Ιούνιος 2014)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου (Ιούνιος 2014) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικς περιόδου χειμερινού εξαμνου 201314 (Ιούνιος 2014) ΘΕΜΑ 1 Ο (2,0 μονάδες) Να σχεδιαστεί το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα του για τον ηλεκτρικό θερμοσίφωνα του σχματος. Είσοδος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform)

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου

Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 3, Ενότητες 3. 3.8 Παρασκευόπουλος [5]:

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Ιουνίου 2003 στο μάθημα Σήματα και Συστήματα και Λύσεις

Θέματα Εξετάσεων Ιουνίου 2003 στο μάθημα Σήματα και Συστήματα και Λύσεις Θέματα Εξετάσεν Ιουνίου 00 στο μάθημα Σήματα και Συστήματα και Λύσεις ΘΕΜΑ. μονάδες Έστ το αιτιατό σύστημα d y t y t x t d t όπου x t η είσοδος και y t η έξοδος του συστήματος. α Να υπολογιστεί η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

HMY 102 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

HMY 102 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων HMY Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Μέρος Α Ωμικά Κυκλώματα (Διαλέξεις 6) Δρ. Σταύρος Ιεζεκιήλ ezekel@ucy.ac.cy Green Park, Γραφείο Τηλ. 899 Διάλεξη 7 Εισαγωγή στη μεταβατική ανάλυση Βασικά στοιχεία κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ AC-DC. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΞΑΡΤΗΜΑΤΑ - ΑΠΛΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ AC-DC. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΞΑΡΤΗΜΑΤΑ - ΑΠΛΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ AC-DC ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΞΑΡΤΗΜΑΤΑ - ΑΠΛΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Βασικά στοιχεία κυκλωμάτων Ένα ηλεκτρονικό κύκλωμα αποτελείται από: Πηγή ενέργειας (τάσης ή ρεύματος) Αγωγούς Μονωτές

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #5 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier (Συνέχεια) Παραδείγματα Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier Χρονική κλιμάκση j xt () X( j) xat ( ) X( ) a a xate ( ) τ=at

Διαβάστε περισσότερα

1. Φάσμα συχνοτήτων 2. Πεδίο μιγαδ

1. Φάσμα συχνοτήτων 2. Πεδίο μιγαδ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ 5 ο Κεφάλαιο Γ. Τσιατούχας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Διάρθρωση. Φάσμα συχνοτήτων. Πεδίο μιγαδικής μγ συχνότητας Πόλοι & μηδενικά

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 3: Συνδυασμός αντιστάσεων και πηγών Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 13: Ανάλυση ΓΧΑ συστημάτων (Ι) Περιγραφές ΓΧΑ συστημάτων Έχουμε δει τις παρακάτω πλήρεις περιγραφές ΓΧΑ συστημάτων: 1. Κρυστική απόκριση (impulse

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Θεωρία Δικτύων

Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 7-8, 5ο Εξάμηνο Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Ανάλυση Ευσταθείας Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτρ.

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος... i ΑΝΑΦΟΡΕΣ ΓΙΑ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΜΕΛΕΤΗ... 77

Πρόλογος... i ΑΝΑΦΟΡΕΣ ΓΙΑ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΜΕΛΕΤΗ... 77 Περιεχόµενα Πρόλογος............................................ i 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 1.1 Επισκόπηση του κειµένου............................... 2 1.2 Η σχέση ανάµεσα στην ανάλυση κυκλωµάτων και στην µηχανολογία........

Διαβάστε περισσότερα

Τελεστικοί Ενισχυτές

Τελεστικοί Ενισχυτές Τελεστικοί Ενισχυτές Ενισχυτές-Γενικά: Οι ενισχυτές είναι δίθυρα δίκτυα στα οποία η τάση ή το ρεύμα εξόδου είναι ευθέως ανάλογη της τάσεως ή του ρεύματος εισόδου. Υπάρχουν τέσσερα διαφορετικά είδη ενισχυτών:

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 4: Συστηματικές μέθοδοι επίλυσης κυκλωμάτων Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 978-960-93-7110-0 κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 7: Μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία R, L, C στο AC

Στοιχεία R, L, C στο AC Στοιχεία R, L, C στο AC Εμπέδηση (περιγραφή, υπολογισμός για κάθε στοιχείο) Νόμος OHM στο AC Στόχοι μαθήματος Προηγούμενο Εύρεση phasors αρμονικών συναρτήσεων Πράξεις (Πρόσθεση/αφαίρεση κλπ) ημιτονοειδών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER. e ω. Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER. e ω. Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER x(t+kτ) = x(t) = π/ω f = / x(t) = = 8 c j t e ω c = (a-jb ) Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c. Αυτός γίνεται κατορθωτός αν

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια συστημάτων

Ευστάθεια συστημάτων 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια συστημάτων Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό να έχουμε ευσταθή

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Σύστημα ονομάζουμε ένα σύνολο στοιχείων κατάλληλα συνδεδεμένων μεταξύ τους για να επιτελέσουν κάποιο έργο Είσοδο ονομάζουμε τη διέγερση, εντολή ή αιτία η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 8: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Εφαρμογή σε απόκριση συστήματος: Σύστημα 1 ης τάξης

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 8: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Εφαρμογή σε απόκριση συστήματος: Σύστημα 1 ης τάξης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 8: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Εφαρμογή σε απόκριση συστήματος: Σύστημα 1 ης τάξης Δ. Δημογιαννόπουλος,

Διαβάστε περισσότερα