D. Čičin-Šain, viši pred. 1

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "D. Čičin-Šain, viši pred. 1"

Transcript

1 16. Monopolistička konkurencija i Predavanje iz Mikroekonomije Monopolistička konkurencija u mnogim industrijskim granama proizvodi su diferencirani iz nekog razloga, potrošači svaku marku proizvoda doživljavaju drukčijom od ostalih pa se tako na primjer, pasta za zube Crest doživljava drugačijom od Colgate, Sensodyn i brojnih drugih razlika je dijelom u okusu, dijelom u sastavu, a dijelom u ugledu potrošačevoj slici (točnoj ili netočnoj) relativne efikasnosti Cresta u prevenciji karijesa, a kao posljedica toga, neki potrošači (ali ne svi) platit će više za Crest budući da je tvrtka Procter & Gamble jedini proizvođač Cresta, ona ima monopolsku moć međutim, monopolska moć je ograničena jer u slučaju rasta cijena Cresta, potrošači lako mogu Crest supstituirati nekom drugom markom paste iako potrošači koji više vole Crest plaćaju za njega više novca, većina njih neće platiti puno više za većinu potrošača, pasta za zube je pasta za zube, a razlike među markama su male stoga je krivulja potražnje za zubnom pastom Crest prilično elastična, iako je opadajućeg nagiba (razumna procjena elastičnosti potražnje za Crestom je -7) zbog ograničene monopolske moći, Procter & Gamble naplaćivat će višu cijenu, ali ne znatno višu, od graničnog troška monopolistički konkurentno tržište ima dvije osnovne karakteristike: 1. poduzeća konkuriraju prodajom diferenciranih proizvoda koji su međusobno zamjenjivi, ali nisu savršeni supstituti (međucjenovna elastičnost potražnje je velika, ali ne bezgranična) 2. ulazak i izlazak na tržište je slobodan: novom poduzeću je relativno lako ući na tržište s vlastitim markama proizvoda, kao što i postojeća poduzeća mogu lako otići s tržišta ako njihovi proizvodi postanu neprofitabilni tržište zubne paste je monopolistički konkurentno, dok bi se automobilsko tržište bolje okarakteriziralo kao drugim poduzećima je relativno lako plasirati nove vrste zubne paste, a to ograničava profitabilnost proizvodnje Cresta ili Colgatea ako su profiti veliki, druga poduzeća troše neophodne količine novca (za razvoj, proizvodnju, oglašavanje i promociju) kako bi uvela nove vlastite marke, što smanjuje tržišni udio i profitabilnost Cresta i Colgatea automobilsko tržište također karakterizira diferencijacija j proizvoda, međutim, zbog velikih ekonomija obujma u proizvodnji, otežan je ulazak novih poduzeća do sredine 1970-ih, kada su japanski proizvođači postali važni konkurenti, tri najveća proizvođača automobila u SAD-u u velikoj su mjeri kontrolirala cijelo tržište na monopolistički konkurentnim tržištima prodaju se sapun, šampon, dezodoransi, paste za brijanje, sredstva protiv prehlade i mnogi drugi proizvodi slična je situacija s većinom proizvoda maloprodaje, jer se proizvodi prodaju u mnogo različitih trgovina koje međusobno konkuriraju diferencirajući svoje usluge prema lokaciji, raspoloživosti i stručnosti prodajnog osoblja, uvjetima kreditiranja, itd. ulazak je relativno lak pa će se, ako su u profiti u nekom dijelu grada visoki jer ima samo nekoliko trgovina, pojaviti i nove trgovine Kratkoročna i dugoročna ravnoteža g kao i monopolisti, monopolistička poduzeća imaju opadajuće krivulje potražnje monopolistička konkurencija je slična savršenoj konkurenciji: zbog slobodnog ulaza, potencijal za zaradu profita privlači nova poduzeća s konkurentnim markama proizvoda, snižavajući ekonomske profite do nule kako bi se ovo objasnilo, potrebno je istražiti ravnotežnu cijenu i razinu proizvodnje monopolistički konkurentnog poduzeća kratkoročno i dugoročno sljedeći graf (a) pokazuje kratkoročnu ravnotežu D. Čičin-Šain, viši pred. 1

2 budući da se proizvod poduzeća razlikuje od njegovih konkurenata, krivulja potražnje D SR ima negativan nagib (ovo je krivulja potražnje poduzeća, a ne tržišna krivulja potražnje, koja ima strmiji nagib) količina uz koju se postiže maksimalizacija profita, Q SR, nalazi se na presijeku krivulja graničnog prihoda i graničnog troška budući da pripadajuća cijena P SR premašuje prosječni trošak, poduzeće zarađuje profit, koji je prikazan osjenčanim pravokutnikom na grafu dugoročno, ulazak drugih poduzeća će smanjiti profit s uvođenjem konkurentnih marki proizvoda, poduzeće gubi udio na tržištu i u prodaji; njegova krivulja potražnje pomiče se prema dolje, kao na grafu (b) dugoročna krivulja potražnje D LR bit će tangenta krivulje prosječnog troška poduzeća maksimalan profit postiže se uz količinu Q LR i cijenu P LR to također povlači za sobom profit jednak nuli, jer je cijena jednaka prosječnom trošku poduzeće još uvijek ima monopolsku moć: njegova dugoročna krivulja potražnje ima padajući nagib jer je njegova marka proizvoda još uvijek posebna, međutim, ulazak i konkurencija drugih poduzeća sveli su profit na nulu Monopolistička konkurencija i ekonomska efikasnost sljedeći graf pokazuje da postoje dva izvora neefikasnosti monopolističkikonkurentne konkurentne industrije: 1. za razliku od savršene konkurencije, kod monopolističke konkurencije ravnotežna cijena premašuje granični trošak, a to znači da vrijednost dodatnih jedinica proizvoda za potrošače premašuje trošak proizvodnje tih jedinica; ako razina proizvodnje naraste do točke gdje se sijeku krivulja potražnje i krivulja graničnog troška, ukupni probitak mogao bi biti povećan za iznos prikazan žutim područjem na grafu 2. na grafu je vidljivo je da monopolistički konkurentna poduzeća posluju s viškom kapaciteta; njihova proizvodnja je ispod razine koja bi minimalizirala prosječni trošak; ulazak novih poduzeća svodi profit na nulu i na savršeno konkurentnim i na monopolistički konkurentnim tržištima; kod savršeno konkurentnog tržišta, svako poduzeće suočava se s vodoravnom krivuljom potražnje, tako da se točka u kojoj je profit jednak nuli javlja pri minimalnom prosječnom trošku, kao što prikazuje graf; kod monopolistički konkurentnog tržišta krivulja potražnje ima opadajući nagib, tako da je točka uz koju se profit svodi na nulu lijevo od minimalnogprosječnog troška;višak kapaciteta je neefikasan jer bi prosječni trošak bio niži u slučaju postojanja manjeg broja poduzeća ove neefikasnosti pogoršavaju položaj kupaca pa se postavlja pitanje je li zbog toga monopolistička konkurencija društveno nepoželjna tržišna struktura koja treba biti regulirana odgovor je, iz dva razloga, vjerojatno "ne": 1. na većini monopolistički konkurentnih tržišta, tržišna moć je mala, obično dovoljno poduzeća konkurira s markama koje su u dovoljnoj mjeri međusobno zamjenjive, tako da niti jedno poduzeće nema značajnu tržišnu moć; stoga će biti mali gubitak blagostanja koji proistječe iz tržišne moći; zbog toga što su krivulje potražnje poduzeća prilično elastične, višak kapaciteta bit će malen 2. svaku neefikasnost treba odvagnuti u odnosu na važne koristi koje pruža monopolistička konkurencija: raznovrsnost proizvoda; većina potrošača vrednuje mogućnost odabira među širokim rasponom konkurentnih proizvoda i maraka koji se razlikuju na razne načine; dobitak od raznolikosti proizvoda može biti velik i lako nadmašiti troškove neefikasnosti koji potječu od krivulja potražnje s padajućim nagibom Oligopol na ističkim tržištima proizvodi mogu, ali ne moraju, biti diferencirani bitno je da većina ili sva proizvodnja otpada na samo nekoliko poduzeća na nekim ističkim tržištima, neka ili sva poduzeća dugoročno zarađuju pozamašne profite jer prepreke ulasku otežavaju ili onemogućuju ulazak novih poduzeća je rasprostranjen oblik tržišne strukture, a primjeri ističkih industrija uključuju automobile, čelik, aluminij, naftne derivate, električnu opremu i računala pored prirodnih prepreka, postojeća poduzeća mogu poduzeti strateške radnje za sprečavanje ulaska mogu, na primjer, prijetiti da će u slučaju ulaska preplaviti tržište i sniziti cijene, a kako bi prijetnja dobila na težini, mogu izgraditi višak proizvodnih kapaciteta D. Čičin-Šain, viši pred. 2

3 budući da konkurira samo nekoliko poduzeća, svako od njih pažljivo mora uzeti u obzir na koji način će njegove akcije utjecati na protivnike te kako će protivnici vjerojatno reagirati pretpostavimo da Ford zbog slabe prodaje automobila razmatra sniženje cijena od 10% kako bi stimulirao potražnju treba dobro razmisliti o tome kako će reagirati GM (General Motors) i Chrvsler oni mogu uopće ne reagirati ili mogu neznatno sniziti cijene, a u tom slučaju bi Ford mogao doživjeti značajno povećanje prodaje, velikim dijelom na štetu svojih konkurenata oni se mogu uskladiti s Fordovim sniženjem cijena, a u tom slučaju će sva tri poduzeća pro dati više automobila, ali bi mogli zaraditi znatno niži profit, zbog nižih cijena druga mogućnost je da GM i Chrvsler snize svoje cijene više od Forda oni bi mogli sniziti cijene za 15% kako bi kaznili Ford, što bi moglo dovesti do rata cijena i drastičnog pada profita sva tri poduzeća Ford mora pažljivo odvagnuti sve tri mogućnosti zapravo, kod donošenja većine značajnih ekonomskih odluka određivanje cijene, definiranje razina proizvodnje, poduzimanje značajne promidžbene kampanje ili investiranja u nove proizvodne kapacitete poduzeće mora pokušati razlučiti kako će najvjerojatnije reagirati njegovi konkurenti Ravnoteža na ističkom tržištu na ističkom tržištu, poduzeće određuje cijenu ili razinu proizvodnje jednim dijelom na temelju strateškog razmatranja ponašanja svojih konkurenata istovremeno, odluke konkurenata ovise o prvoj odluci poduzeća kako je onda moguće zaključiti koja cijena i razina proizvodnje će biti u ravnoteži i hoće li uopće postojati ravnoteža? kako bi se odgovorilo na ova pitanja, potrebno je poznavati načelo za objašnjavanje ravnoteže kada poduzeća donose odluke koje eksplicitno uzimaju u obzir ponašanje drugih budući da će poduzeće poslovati najbolje što može uzevši u obzir ono što rade konkurenti, prirodno je pretpostaviti da će ti konkurenti poslo-vati najbolje što mogu uzevši u obzir što radi to poduzeće svako poduzeće uzima u obzir ponašanje svojih konkurenata i pretpostavlja da i konkurenti rade isto to na prvi pogled ovo se može činiti pomalo apstraktno, ali je logično i pruža osnovu za određivanje ravnoteže na ističkom tržištu ovaj j koncept prvi puta je objasnio matematičar John Nash te se prema njemu zove Nashova ravnoteža Nashova ravnoteža: Svako poduzeće posluje najbolje što može uzimajući u obzir što rade njegovi konkurenti jednostavnosti radi, analizirat će se najviše tržišta kod kojih dva poduzeća međusobno konkuriraju, odnosno duopol svako poduzeće ima samo jednog konkurenta kojeg treba uzeti u obzir pri donošenju svojih odluka, ali osnovni rezultati vrijedit će i za tržišta s više od dva poduzeća Cournotov model model duopola je prvi uveo francuski ekonomist Augustin Cournot pretpostavka je da poduzeća proizvode homogen proizvod i poznaju tržišnu krivulju potražnje svako poduzeće mora odlučiti koliko će proizvesti i oba donose svoje odluke u isto vrijeme pri donošenju svojih odluka o proizvodnji, svako poduzeće uzima u obzir svog konkurenta i ono zna da i konkurent također odlučuje o tome koliko proizvesti, a tržišna cijena će ovisiti o ukupnoj proizvodnji obaju poduzeća suština Cournotovog modela je da svako poduzeće smatra razinu proizvodnje svog konkurenta fiksnom veličinom i zatim odlučuje o tome koliko će samo proizvesti kako bi se objasnilo na koji način to funkcionira, razmotrit će se odluka o proizvodnji Poduzeća 1 Poduzeće 1 misli da Poduzeće 2 neće proizvesti ništa, a u tom slučaju, krivulja potražnje Poduzeća 1 je tržišna krivulja potražnje na sljedećem grafu to je prikazano kao D 1 (0), što označava krivulju potražnje za Poduzeće 1 pod pretpostavkom da Poduzeće 2 ne proizvodi ništa graf također pokazuje pripadajuću krivulju graničnog prihoda MR 1 (0) pretpostavili smo da je granični trošak MC 1 Poduzeća 1 konstanta kako prikazuje graf, razina proizvodnje uz koje Poduzeće 1 ostvaruje maksimalni profit je 50 jedinica, točka u kojoj MR 1 (0) presijeca MC 1 ukoliko Poduzeće 2 ne proizvodi ništa, Poduzeće 1 bi trebalo proizvesti 50 umjesto toga, pretpostavimo da Poduzeće 1 smatra da će Poduzeće 2 proizvesti 50 jedinica tada se krivulja potražnje Poduzeća 1 koja je i tržišna krivulja potražnje, pomiče ulijevo za 50 na grafu ova krivulja označena je sa D 1 (50), a pripadajuća krivulja graničnog prihoda označena je s MR 1 (50) proizvodnja pri kojoj Poduzeće 1 postiže maksimalni profit je sada 25 jedinica, u točki gdje MR 1 (50) = MC 1 D. Čičin-Šain, viši pred. 3

4 konačno, pretpostavimo da Poduzeće 1 misli da će Poduzeće 2 proizvesti 100 jedinica tada bi krivulje potražnje i graničnog prihoda Poduzeća 1 (koje nisu prikazana na grafu) presijecale svoju krivulju graničnog troška na okomitoj osi; ako Poduzeće 1 smatra da će Poduzeće 2 proizvesti 100 jedinica ili više, onda ono ne bi trebalo ništa proizvesti razina proizvodnje pri kojoj Poduzeće 1 ostvaruje maksimalni profit opadajući je raspored proizvodnje za koju misli da će proizvesti Poduzeće 2 ovaj raspored nazivamo reakcijskom krivuljom Poduzeća 1 i označavamo sa Q 1 *(Q 2 ) ova krivulja nacrtana je na sljedećem grafu gdje je svaka od četiriju gore navedenih kombinacija proizvodnje prikazana jednim x om možemo proći kroz istu analizu za Poduzeće 2, a ako se krivulja graničnog troška Poduzeća 2 razlikuje od krivulje Poduzeća 1, reakcijska krivulja će također imati drugačiji oblik pri ravnoteži, svako poduzeće određuje razinu proizvodnje prema vlastitoj reakcijskoj krivulji; ravnotežne razine proizvodnje se stoga nalaze na sjecištu reakcijskih krivulja rezultirajućiniz razina proizvodnje nazivamo Cournotovom ravnotežom, a pri ovoj ravnoteži, svako poduzeće ispravno predviđa koliko će konkurent proizvesti i u skladu s tim maksimalizira svoj profit Cournotova ravnoteža je jedan primjer Nashove ravnoteže kod Nashove ravnoteže svako poduzeće posluje najbolje što može uzevši u obzir akcije konkurencije, a kao posljedica toga, g, niti jedno poduzeće ne bi htjelo samostalno promijeniti svoje ponašanje kod Cournotove ravnoteže svaki duopolist proizvodi količinu koja maksimalizira njegov profit uzevši u obzir proizvodnju konkurenta, tako da nijedan ne želi promijeniti svoju razinu proizvodnje za primjer će se uzeti dva identična poduzeća s linearnom tržišnom krivuljom potražnje, a pomoću primjera objasnit će se Cournotova ravnoteža koju će se usporediti s konkurentnom ravnotežom te ravnotežom koja nastaje kao posljedica dogovora i suradnje u odabiru razina proizvodnje pretpostavimo da duopolisti imaju sljedeću tržišnu krivulju potražnje: P = 30 Q gdje Q označava ukupnu proizvodnju oba poduzeća (tj. Q = Q 1 + Q 2 ) također ćemo pretpostaviti da su granični troškovi oba poduzeća jednaki nuli: MC 1 = MC 2 = 0 sada je moguće odrediti reakcijsku krivulju Poduzeća 1 na sljedeći način kako bi se maksimalizirao profit, granični prihod izjednačava se s graničnim troškom, a ukupni prihod R 1 dobije se kao: granični prihod Poduzeća 1 MR 1 je dodatni prihod ΔR 1 koji potječe iz povećanja proizvodnje ΔQ 1 : MR 1 = ΔR 1 /ΔQ l = 30 2Q l Q 2 ako MR 1 izjednačimo s nulom (granični trošak poduzeća), dobijemo sljedeće: razine proizvodnje uz koje se postiže ravnoteža su Q 1 i Q 2 koje se nalaze na presjeku dviju reakcijskih krivulja to su razine koje rješavaju gornje jednadžbe ako Q 2 u prvoj jednadžbi zamijenimo desnom stranom druge jednadžbe ravnotežne razine proizvodnje su sljedeće: Cournotova ravnoteža: Q 1 =Q 2 = 10 stoga je ukupna proizvedena količina Q = Q 1 + Q 2 = 20, tako da je ravnotežna tržišna cijena P = 30 Q = 10 sljedeći graf prikazuje Cournotove reakcijske krivulje i Cournotovu ravnotežu reakcijska krivulja Poduzeća 1 pokazuje razinu proizvodnje Q 1 preko proizvodnje Q 2 Poduzeća 2 jednako tako, reakcijska krivulja Poduzeća 2 prikazuje Q 2 preko Q 1 (budući da su poduzeća identična, njihove reakcijske krivulje imaju isti oblik, one različito izgledaju jer jedna daje Q 1 pomoću Q 2, a druga Q 2 pomoću Q 1 ) Cournotova ravnoteža je na presjeku ovih dviju krivulja, u toj točki svako poduzeće maksimalizira svoj profit, uz zadani output konkurenta pretpostavili smo da ova dva poduzeća međusobno konkuriraju umjesto toga, pretpostavimo da postoje "labavi" antitrustovski zakoni i da se oni mogu tajno sporazumijevati i dogovarati poduzeća bi odredila razine proizvodnje tako da maksimaliziraju ukupni profit i pretpostavka je da bi ravnomjerno podijelili profit D. Čičin-Šain, viši pred. 4

5 ukupni profit se maksimalizira uz ukupnu proizvodnju Q kada je granični prihod jednak graničnom trošku, koji je u ovom primjeru nula ukupni prihod za ova dva poduzeća je: prema tome, granični prihod je: MR = ΔR/ΔQ= 30 2Q kada se MR izjednači s nulom, dobije se da se ukupni profit maksimalizira ki lii kada kd je Q = 15 bilo koja kombinacija razina proizvodnje Q 1 i Q 2 čiji zbroj iznosi 15 maksimalizira ukupni profit krivulja Q 1 + Q 2 = 15 naziva se krivulja tajnog sporazuma, a daje sve parove razina proizvodnje Q l i Q 2 koji maksimaliziraju ukupni profit ova krivulja je također prikazana na grafu ako se poduzeća dogovore da jednako dijele profit, svako će proizvesti polovicu ukupne proizvodnje Q 1 = Q 2 = 7,5 Poduzeće 2 donosi svoju odluku o proizvodnji nakon Poduzeća 1, pa ono uzima proizvodnju Poduzeća 1 kao fiksnu stoga se razina proizvodnje uz koju Poduzeće 2 postiže maksimalni profit dobiva iz Cournotove reakcijske krivulje koja je Poduzeće 2 donosi svoju odluku o proizvodnji nakon Poduzeća 1, pa ono uzima proizvodnju Poduzeća 1 kao fiksnu kada u jednadžbu za R 1 uvrstimo jednadžbu za reakcijsku krivulju Poduzeća 2 umjesto Q 2, dobivamo prihod Poduzeća 1 Poduzeće 1 za maksimalizaciju svog profita odabire Q 1 tako da je granični prihod jednak graničnom trošku koji je jednak nuli prisjetimo se da je prihod Poduzeća 1 budući da R 1 ovisi o Q 2, Poduzeće 1 mora predvidjeti koliko će Poduzeće 2 proizvesti Poduzeće 1 zna da će Poduzeće 2 izabrati Q 2 u skladu s reakcijskom krivuljom granični prihod je, prema tome kada postavimo da je MR 1 = 0, dobivamo Q 1 = 15, a iz reakcijske krivulje Poduzeća 2 dobivamo da je Q 2 = 7,5 Poduzeće 1 proizvodi dvostruko više od Poduzeća 2 i zarađuje dvostruko više profita Poduzeće 1 ima prednost što je bilo prvo iako se ovo može činiti protivno logici: izgleda da je štetno biti prvi koji će objaviti svoju razinu proizvodnje zašto je, onda, strateška prednost biti prvi? zato što onaj koji prvi objavi dovodi druge pred svršen čin; bez obzira na to što radi vaš konkurent, vaša proizvodnja bit će velika kako bi maksimalizirao profit, konkurent mora ovu veliku proizvodnju uzeti kao zadanu veličinu i odrediti nižu razinu proizvodnje za sebe (ako konkurent proizvede veliku količinu proizvoda, to će utjecati na snižavanje cijene i obojica ćete biti na gubitku,prema tome, ako vaš konkurent ne preferira "vraćanje milo za drago" u odnosu na ostvarivanje profita, bilo bi iracionalno da proizvede veliku količinu) za industrijsku granu koju čine otprilike slična poduzeća, od kojih niti ijedno nema velike poslovne prednosti iiliili vodeću ć poziciju, ij vjerojatno je najprikladniji Cournotov model s druge strane, u nekim industrijama dominira veliko poduzeće koje obično preuzima vodstvo u uvođenju novih proizvoda i određivanju cijene; jedan od primjera je tržište računalnih servera, u kojem je vodeći IBM tada će realističniji biti Stackelbergov model Cjenovna konkurencija u mnogim ističkim industrijama konkurencija nastaje i oko cijena na primjer, za GM, Ford i Daimler Chrvsler, cijena je ključna strateška varijabla i svako poduzeće odabire cijenu uzevši u obzir konkurente ovdje ćemo koristiti koncept Nashove ravnoteže za istraživanje cjenovne konkurencije, najprije u industriji koja proizvodi homogen proizvod, a zatim u industriji ijis određenim đ stupnjem diferencijacije proizvoda Bertrandov model Bertrandov model razvio je francuski ekonomist Joseph Bertrand, a poput Cournotovog modela, on vrijedi za poduzeća koja proizvode homogene proizvode i istovremeno donose odluke D. Čičin-Šain, viši pred. 5

6 u ovom slučaju, poduzeća odab ru cijene umjesto količina. Kao što ćemo vidjeti, ova promjena može dramatično utjecati na tržišni rezultat vratit ćemo se primjeru duopola, ali ovoga puta ćemo pretpostaviti da je granični trošak oba poduzeća 3 dolara: Cournotova ravnoteža za ovaj duopol, koja rezultira od toga što oba poduzeće istovremeno donose odluke o proizvodnji, iznosi Q 1 = Q 2 = 9 u Cournotovoj ravnoteži tržišna cijena 12 dolara, tako da svako poduzeće zarađuje profit od 81 dolara zbog toga što je proizvod homogen, potrošači će kupovati samo od proizvođača s najnižom cijenom prema tome, ako poduzeća naplaćuju različite cijene, poduzeće koje ima nižu cijenu snabdijevat će čitavo tržište, a poduzeće s višom cijenom neće prodati ništa ako oba poduzeća naplaćuju istu cijenu, potrošačima će biti svejedno od kojeg poduzeća će kupiti i svako poduzeće će snabdijevati polovinu tržišta u ovom slučaju, poduzeća odab ru cijene umjesto količina. Kao što ćemo vidjeti, ova promjena može dramatično utjecati na tržišni rezultat zbog poticaja za snižavanjem cijena, Nashova ravnoteža je konkurentni rezultat tj. oba poduzeća određuju cijenu jednaku graničnom trošku: P 1 = P 2 = 3 USD tada je ukupna proizvodnja 27 jedinica, od koje svako poduzeće proizvodi 13,5 jedinica budući da je cijena jednaka graničnom trošku, nijedno poduzeće ne zarađuje profit pretpostavimo da Poduzeće 1 podigne cijenu tada bi izgubilo svu svoju prodaju u korist Poduzeća 2 i stoga bi bilo na gubitku ako bi umjesto toga snizilo svoju cijenu, osvojilo bi čitavo tržište, ali bi izgubilo novac po svakoj proizvedenoj jedinici; ponovo bi bilo na gubitku stoga Poduzeće 1 (kao i Poduzeće 2) nema poticaja za promjenom; posluje najbolje što može kako bi maksimaliziralo profit, uzevši u obzir akcije konkurenta zbog čega ne bi postojala Nashova ravnoteža pri kojoj bi poduzeća naplaćivala istu cijenu, ali višu (recimo, 5 dolara), tako da svako poduzeće ostvaruje veći profit? zato jer u ovom slučaju, kada bi jedno poduzeće samo malo snizilo cijenu, moglo bi osvojiti cijelo tržište i gotovo udvostručiti svoj profit stoga bi svako poduzeće htjelo imati nižu cijenu od konkurencije i snižavanje cijena bi se nastavilo dok ne bi pala na 3 dolara u Cournotovom modelu, zato što oba poduzeća proizvode samo 9 jedinica, tržišna cijena je 12 dolara, a sada je tržišna cijena 3 dolara u Cournotovom modelu oba poduzeća zarađuju profit; u Bertrandovom modelu, cijene su jednake graničnom trošku i ne zarađuje se profit Bertrandov model može se kritizirati s nekoliko strana prvo, kada poduzeća proizvode homogen proizvod, prirodnije je da konkuriraju količinom, a ne cijenom drugo, pretpostavka je da će se prodaja jednako dijeliti među poduzećima, ali nema razloga zašto bi to morao biti slučaj Cjenovna konkurencija s diferenciranim proizvodima udjeli na tržištu nisu određeni samo cijenama, nego također i razlikama u dizajnu, izvedbi i trajnosti proizvoda svakog poduzeća, a u takvim slučajevima, prirodno je da poduzeća konkuriraju odabirom cijena, a na količina kako bismo shvatili na koji način funkcionira cjenovna konkurencija s diferenciranim proizvodima, uzet ćemo jednostavan primjer u kojem svaki od dva duopolista ima fiksne troškove od 20 dolara i nema varijabilnih troškova, a oba imaju iste krivulje potražnje: gdje su P 1 i P 2 cijene koje Poduzeća 1 i 2 naplaćuju, a Q 1 i Q 2 su rezultirajuće količine koje prodaju količina koju svako poduzeće može prodati smanjuje se s porastom vlastite cijene, ali se povećava kada konkurent naplaćuje veću cijenu ako oba poduzeća određuju cijene istovremeno, za određivanje ravnoteže možemo koristiti Cournotov model svako poduzeće odabire vlastitu cijenu, uzevši u obzir konkurentovu cijenu kao fiksnu profit Poduzeća 1 π 1 je prihod P 1 Q 1 umanjen za fiksni trošak od 20 dolara kada zamijenimo Q 1 iz krivulje potražnje Poduzeća 1 dobivamo pri kjj kojoj cijeni i P 1 se maksimalizira ki lii profit? odgovor ovisi o P 2 kojeg Poduzeće 2 smatra fiksnim, međutim, koju god cijenu naplaćuje Poduzeće 2, profit Poduzeća 1 maksimalizira se kada je dodatni profit od vrlo malog povećanja vlastite cijene jednak nuli uz pretpostavku da je P 2 fiksna, cijena uz koju Poduzeće 1 postiže maksimalni profit dobiva se iz ovu jednadžbu možemo preformulirati da dobijemo pravilo za određivanje cijene, ili reakcijsku krivulju Poduzeća 1 ona govori Poduzeću 1 koju cijenu da naplaćuje, uzevši u obzir cijenu P 2 koju je odredilo Poduzeće 2 na sličan način možemo doći i do pravila za određivanje cijene Poduzeća 2: reakcijske krivulje su prikazane na sljedećem grafu Nashova ravnoteža nalazi se utočki gdje se sijeku ove krivulje; može se provjeriti da u toj točki svako poduzećenaplaćuje cijenu od 4 dolara i zarađuje profit u iznosu od 12 dolara budući da u ovoj točki svako poduzeće posluje najbolje što može uzevši u obzir cijenu konkurenta, nijedno poduzeće nema poticaj da promijeni svoju cijenu D. Čičin-Šain, viši pred. 6

7 pretpostavimo sada da ova dva poduzeća imaju tajni sporazum; umjesto da neovisno određuju cijene, oba odluče naplaćivati istu cijenu, uz koju se maksimalizira njihov profit poduzeća bi sada naplaćivala 6 dolara i da bi bila na dobitku zbog dogovaranja, budući da svako od njih sada zarađuje 16 dolara profita konačno, pretpostavimo da Poduzeće 1 prvo određuje cijenu, a zatim Poduzeće 2 određuje svoju cijenu uzevši u obzir cijenu Poduzeća 1 za razliku od Stackelbergovog gmodela kod kojeg gpoduzeća najprije j određuju svoje količine, u ovom slučaju Poduzeće 1 bi bilo u lošijem položaju zbog prvog poteza (kako biste ovo vidjeli, izračunajte cijenu uz koju Poduzeće 1 maksimalizira svoj profit, uzevši u obzir reakcijsku krivulju Poduzeća 2) zašto prvi potez u ovom slučaju predstavlja nedostatak? zato jer onaj koji reagira drugi ima priliku neznatno sniziti cijenu i na taj način zadobiti veći udio na tržištu Konkurencija u odnosu na tajni sporazum: dilema zatvorenika Nashova ravnoteža je nekooperativna ravnoteža; svako poduzeće donosi odluku uz koju postiže maksimalan profit, uzevši u obzir akcije konkurenata, a rezultirajućiprofit koji zarađuje svako poduzeće viši je nego što bi bio kod savršene konkurencije, ali niži nego kad bi se poduzeća sporazumjela sporazum je, međutim, nezakonit i većina menadžera ne bi željela završiti u zatvoru, međutim, ako kooperacija može dovesti do viših profita, zašto poduzeća ne kooperiraju bez eksplicitnog sporazuma? ako vi i vaš konkurent obojica možete pronaći cijenu uz koju postižete maksimalni profit na koju biste pristali ako bi se dogovarali, zašto ne biste odredili tu cijenu u nadi da će konkurent učiniti isto? ako konkurent učini isto, obojica zarađujete više novca problem je da vaš konkurent vjerojatno neće izabrati cijenu na dogovornoj razini jer bi imao više koristi da odabere nizu cijenu, čak i kad bi znao da ćete vi odrediti cijenu na dogovornom nivou navedeno će se objasniti na prethodnom primjeru cjenovne konkurencije u kojem svako poduzeće ima fiksni trošak od 20 dolara, nema varijabilnog troška, a krivulje potražnje su im sljedeće: u Nashovoj ravnoteži svako poduzeće naplaćuje cijenu od 4 dolara i zarađuje profit od 12 dolara, dok, u slučaju sporazuma, oba poduzeća prodaju po 6 dolara i zarađuju profit od 16 dolara pretpostavimo da poduzeća nemaju tajni sporazum, nego da Poduzeće 1 naplaćuje 6 dolara, što je dogovorna cijena, u nadi da će Poduzeće 2 učiniti isto ako Poduzeće 2 učini isto, zaradit će profit od 16 dolara međutim, ako umjesto toga odredi cijenu od 4 dolara Poduzeće 2 zaradilo bi profit od: s druge strane, Poduzeće 1 zaradilo bi profit od samo: kod odlučivanja o cijeni, poduzeća igraju nekooperativnu igru; svako poduzeće neovisno posluje najbolje što može, uzimajući u obzir svog konkurenta sljedeća tablica je matrica isplata za ovu igru, jer pokazuje profit (ili isplate) svakog poduzeća uzevši u obzir njegovu odluku i odluku njegovog konkurenta prema tome, ako Poduzeće 1 naplaćuje 6 dolara, a Poduzeće 2 samo 4 dolara, profit Poduzeća 2 porast će na 20 dolara to će se dogoditi na štetu Poduzeća 1, čiji profit će pasti na samo 4 dolara očigledno je da Poduzeće 2 ima najbolje rezultate uz cijenu od 4 dolara slično, Poduzeće 1 također ima najbolje rezultate uz cijenu 4 dolara kad bi Poduzeće 2 naplaćivalo 6 dolara, a Poduzeće 1 4 dolara, Poduzeće 1 bi zaradilo 20 dolara profita, a Poduzeće 2 samo 4 dolara kooperacija znači da oba poduzeća naplaćuju 6 dolara umjesto 4 dolara i tako ostvaruju profit od 16 dolara umjesto 12 dolara problem je da svako poduzeće zarađuje više uz cijenu od 4 dolara, bez obzira na akcije konkurenta D. Čičin-Šain, viši pred. 7

8 kao što pokazuje matrica isplata, ako Poduzeće 2 naplaćuje 4 dolara, Poduzeće 1 najbolje prolazi ako naplaćuje 4 dolara sukladno tome, Poduzeće 2 uvijek najbolje posluje ako naplaćuje 4 dolara, bez obzira na to što radi Poduzeće 1 kao posljedica toga, osim ako poduzeća mogu potpisati obvezujući ugovor da oba naplaćuju 6 dolara, nijedno od njih ne može očekivati da će konkurent naplaćivati 6 dolara, te će oba naplaćivati cijenu od 4 dolara klasični primjer teorije igara, tzv. dilema zatvorenika, ilustrira problem s kojim se susreću istička poduzeća ona glasi ovako: dva zatvorenika optužena su za sudjelovanje u zločinu oni se nalaze u ćelijama i ne mogu međusobno komunicirati, a od svakog se traži priznanje ako oba priznaju, svaki će dobiti zatvorsku kaznu od pet godina, a ako nijedan ne prizna, optužba će teško dokazati zločin, tako da mogu očekivati nagodbu i dobiti kaznu od dvije godine s druge strane, ako jedan od zatvorenika prizna, a drugi ne onaj koji je priznao dobit će samo jednu godinu, dok će drugi ići u zatvor na deset godina ako Zatvorenik A ne prizna, on riskira da njegov bivši suučesnik to iskoristi dakle, bez obzira što učini Zatvorenik A, Zatvorenik B je na dobitku ako prizna jednako tako, Zatvorenik A uvijek je u prednosti ako prizna, tako da Zatvorenik B mora brinuti da će, ako ne prizna, biti iskorišten stoga će vjerojatno oba zatvorenika priznati i otići u zatvor na pet godina istička poduzeća često se nalaze u dilemi zatvorenika kao i zatvorenici, svako poduzeće ima poticaj da "zezne stvar" i spusti cijenu ispod cijene konkurenata, a svako od njih zna da konkurenti imaju isti poticaj koliko god da je kooperacija poželjna, svako od poduzeća s razlogom brine da bi, u slučaju da pasivno konkuriraju, konkurent mogao odlučiti agresivno konkurirati i osvojiti značajan dio na tržištu Implikacije dileme zatvorenika na ističko utvrđivanje cijene iako imaginarni zatvorenici imaju samo jednu priliku za priznanje, većina poduzeća određuje količinu i cijenu mnogo puta, uz stalni nadzor ponašanja konkurenata i prema tome, prilagođavanja vlastitog ponašanja to omogućava poduzećima da razviju ugled iz kojeg može proizaći povjerenje, j a kao posljedica toga, istička koordinacija i kooperacija ponekad nadvladaju na primjer, u industrijskoj grani koju čine tri ili četiri poduzeća koja koegzistiraju dugo vremena, menadžeri ovih poduzeća možda su se umorili od gubitka novca zbog ratova cijena, tako da može doći do implicitnog sporazuma po kojem sva poduzeća održavaju visoke cijene i niti jedno ne pokušava oduzeti tržišni udio svojih konkurenata iako bi svako poduzeće moglo doći u iskušenje da snizi cijenu ispod cijene konkurenata, menadžeri znaju da rezultirajućidobici neće biti dugog vijeka jer će se konkurenti će osvetiti, a posljedica će biti novi rat cijena i dugoročno niži profit ponekad menadžeri nisu zadovoljni s umjereno visokim profitima koji potječu od implicitnog dogovora i preferiraju agresivno konkuriranje kako bi povećali tržišni udio, a ponekad je teško postići implicitni dogovor na primjer, poduzeća s različitim troškovima i različitim procjenama tržišne potražnje mogu imati različite stavove o "ispravnoj" dogovornoj cijeni i poduzeće A može smatrati da je "ispravna" cijena 10 dolara, dok Poduzeće B smatra da je to 9 dolara kada ono odredi cijenu od 9 dolara, Poduzeće A to može shvatiti kao pokušaj snižavanja cijene ispod cijene Poduzeća A, te se osvetiti snižavanjem cijene na 8 dolara, a posljedica je rat cijena stoga je u mnogim industrijskim granama implicitno dogovaranje kratkog vijeka zbog toga, karakteristika ističkih industrijskih grana može biti otpornost cijene na promjene ili rigidnost cijena čak ni kada se promijene troškovi ili potražnja, poduzeća nisu sklona mijenjati cijenu ako troškovi padnu ili opadne tržišna potražnja, oni strahuju da bi niže cijene mogle poslati pogrešnu poruku konkurentima i pokrenuti novi krug rata cijena, a ako troškovi i potražnja porastu, nisu skloni podići cijene jer se boje da bi njihovi konkurenti mogli odbiti da podignu svoje cijene rigidnost cijena osnova je modela izlomljene krivulje potražnje a prema ovom modelu, svako poduzeće ima krivulju potražnje koja se prelama pri trenutačno prevladavajućoj cijeni P* što je prikazano na sljedećem grafu pri cijenama iznad P*, krivulja potražnje vrlo je elastična zbog toga što poduzeće vjeruje da ga, ako podigne cijenu iznad P*, druga poduzeća neće slijediti, te će izgubiti prodaju i veliki dio tržišnog udjela D. Čičin-Šain, viši pred. 8

9 sdruge strane, poduzeće vjeruje da će ga, ako snizi svoju cijenu ispod P*, druga poduzeća slijediti jer ne žele izgubiti svoje udjele na tržištu uovom slučaju, prodaja će porasti samo u mjeri u kojoj niža tržišna cijena povećava ukupnu tržišnu potražnju zbog izlomljenosti krivulje potražnje poduzeća, krivulja graničnog prihoda je prekinuta (donji dio krivulje graničnog prihoda odgovara manje elastičnom dijelu krivulje potražnje, što je prikazano punim crtama na objema krivuljama) kao posljedica toga, g,promijenit će se troškovi poduzeća bez rezultirajućepromjene u cijeni kako prikazuje graf, granični trošak mogao bi porasti, ali još uvijek biti jednak graničnom prihodu pri istoj razini proizvodnje, tako da cijena ostaje ista ovaj model je uglavnom koristan za opis otpornosti cijene na promjene, a ne za njezino objašnjenje objašnjenje otpornosti cijene potječe iz dileme zatvorenika i želje poduzeća da izbjegnu obostrano destruktivnu cjenovnu konkurenciju Cjenovno signaliziranje i cjenovno predvodništvo signaliziranje cijene oblik je implicitnog dogovora kojim se ponekad izbjegne problem koordinacije u utvrđivanju cijena između konkurenata na primjer, poduzeće može najaviti da je povisilo svoju cijenu (npr. objavom u novinama) u nadi da će njegovi konkurenti shvatiti ovu najavu kao signal da bi i oni trebali podići cijene ako konkurenti slijede primjer, sva poduzeća će zarađivati veći profit (barem kratkoročno) ponekad se uspostavlja model kod kojeg jedno poduzeće redovito najav juje promjenu cijene a druga poduzeća u toj industrijskoj grani slijede njegov primjer ovaj model naziva se cjenovno predvodništvo; jedno poduzeće je implicitno prepoznato kao "vođa", dok ostala poduzeća, "usklađivači cijene", prilagođavaju svoje cijene ovim ponašanjem rješava se problem koordinacije cijene; svatko jednostavno naplaćuje koliko i vođa u nekim industrijama veliko poduzeće može prirodno postati vođa, dok ostala poduzeća odluče da će najbolje proći ako se usklađuju s cijenama vođe, umjesto da pokušaju smiriti cijene ispod cijene vođe ili drugih jedan od primjera je automobilska industrija u SAD u, gdje je General Motors tradicionalno cjenovni predvodnik cjenovno predvodništvo također može služiti kao način na koji istička poduzeća rješavaju nesklonost promjeni cijena, koje proistječe iz straha da će netko spustiti cijenu ispod njihove ili "mutiti vodu" kako se mijenjaju troškovi i uvjeti potražnje, poduzeća mogu naglo osjetiti potrebu za promjenom cijene koja je neko vrijeme bila ista u tom slučaju očekuju od cjenovnog vođe da im signalizira kada i za koliko bi se trebala promijeniti cijena ponekad će veliko poduzeće prirodno djelovati kao vođa; ponekad će različita poduzeća s vremena na vrijeme djelovati kao vođe na nekim ističkim tržištima, jedno veliko poduzeće ima najveći dio ukupne prodaje, a grupa manjih poduzeća snabdijeva ostatak tržišta to veliko poduzeće se tada može ponašati kao dominantno poduzeće koje određuje cijenu s kojom maksimalizira vlastiti profit ostala poduzeća, koja samostalno ionako imaju vrlo malo utjecaja na cijenu, ponašaju se kao savršeni konkurenti; cijenu koju je odredilo dominantno poduzeće uzimaju kao zadanu i proizvode u skladu s tim kako bi maksimaliziralo profit, mora uzeti u obzir na koji način će proizvodnja drugih poduzeća ovisiti o cijeni koju ono odredi sljedeći graf pokazuje kako dominantno poduzeće određuje svoju cijenu D je tržišna krivulja potražnje, a S F je krivulja ponude (tj. agregat krivulja graničnog troška manjih poduzeća) dominantno poduzeće mora odrediti svoju krivulju potražnje D D kao što graf pokazuje, ova krivulja je razlika između tržišne potražnje i ponude manjih poduzeća na primjer, pri cijeni P 1 ponuda malih poduzeća jednaka je tržišnoj potražnji; prema tome, dominantno poduzeće pri ovoj cijeni ne može ništa prodati D. Čičin-Šain, viši pred. 9

10 pri cijeni P 2 ili manjoj, mala poduzeća neće uopće snabdijevati tržište, tako da dominantno poduzeće ima tržišnu krivulju potražnje pri cijenama između P 1 i P 2, dominantno poduzeće ima krivulju potražnje D.D. krivulja graničnog prihoda MR D dominantnog poduzeća odgovara krivulji D D MC D je krivulja njegova graničnog troška kako bi postiglo maksimalni profit, dominantno poduzeće proizvodi Q D na presjeku MR D i MC D iz krivulje potražnje D D dobivamo cijenu P* pri ovoj cijeni, mala poduzeća prodaju količinu Q F ; prema tome, ukupna prodaja je: Q T = Q D + Q F Karteli proizvođači u kartelu eksplicitno pristaju na dogovor o određivanju cijena i razina proizvodnje ne trebaju se svi proizvođači u industrijskoj grani pridružiti kartelu, a većina kartela uključuje samo podskup proizvođača međutim, ako se dovoljan broj proizvođača pridržava dogovora kartela te ako je tržišna potražnja dovoljno neelastična, kartel može povisiti cijene znatno iznad konkurentnih razina karteli su često internacionalnog tipa dok u SAD-u antitrustovski zakoni zabranjuju američkim tvrtkama tajno dogovaranje, zakoni u drugim zemljama su znatno slabiji i ponekad se loše provode nadalje, ništa ne sprečava države ili tvrtke u vlasništvu ili pod kontrolom stranih vlada da formiraju kartele, na primjer, kartel OPEC je međunarodni sporazum država proizvođača nafte koji već više od desetljeća uspješno podiže svjetske cijene nafte visoko iznad konkurentnih razina i drugi su međunarodni karteli bili uspješni u podizanju cijena sredinom 1970-ih IBA (International Bauxite Association - Međunarodno udruženje za boksit) je učetverostručilo cijene boksita, a tajni međunarodni kartel za uran podignuo je cijene urana neki karteli su bili uspješni duže vremena; od do ranih 1970-ih kartel pod nazivom Mercurio Europeo održavao je cijenu žive blizu monopolske razine, a jedan međunarodni kartel monopolizirao je tržište joda od do međutim, većina kartela nije uspjela povisiti cijene jedan međunarodni kartel za bakar još uvijek funkcionira, ali nikad nije imao značajniji utjecaj na cijene bakra pokušaji kartela da povise cijene aluminija, kave, čaja i kakaa također su propali dva su preduvjeta za uspjeh kartela prvo, mora biti formirana stabilna organizacija kartela čiji se članovi dogovaraju o cijeni i razinama proizvodnje i zatim pridržavaju dogovora za razliku od zatvorenika u dilemi zatvorenika, članovi kartela međusobno razgovaraju kako bi postigli sporazum međutim, to ne znači da je lako postići dogovor članovi mogu imati različite troškove, procjene tržišne potražnje, čak i ciljeve, te će prema tome htjeti odrediti različite cijene nadalje, svaki član kartela dolazi u iskušenje da "vara" malim snižavanjem cijene kako bi osvojio veći tržišni udio od onog koji mu je dodijeljen najčešće samo prijetnja dugoročnim povratom na razinu konkurentne cijene sprečava ovakvo varanje ako je profit od kartelizacije dovoljno velik, ova prijetnja može biti dovoljna drugi uvjet je potencijal za monopolsku moć jer neće biti puno prostora za podizanje cijena ako je krivulja potražnje veoma elastična određivanje cijene kod kartela se može analizirati korištenjem modela dominantnog poduzeća koji je već objašnjen, a analizirat će se dva kartela OPEC kartea za naftu i CIPEC kartel za bakar model će pomoći da shvatimo zašto je OPEC bio uspješan u podizanju cijena, dok CIPEC nije bio sljedeći graf prikazuje slučaj OPEC a ukupna potražnja TD je krivulja ukupne svjetske potražnje za sirovom naftom, a S c je konkurentna krivulja ponude (izvan OPECa) potražnja za naftom OPEC a, D OPEC razlika je između ukupne potražnje i konkurentne k ponude, a MR OPEC je pripadajuća ć krivulja graničnog prihoda MC OPEC je krivulja graničnog troška OPEC a; kao što se može vidjeti, OPEC ima znatno niže troškove proizvodnje od proizvođača izvan kartela granični prihod i granični trošak OPEC a jednaki su pri količini Q OPEC što predstavlja količinu koju će OPEC proizvesti iz OPEC ove krivulje potražnje vidljivo je da će cijena biti P*, pri kojoj je konkurentna ponuda Q c D. Čičin-Šain, viši pred. 10

11 pretpostavimo da zemlje izvoznice nafte nisu formirale kartel, nego konkurentno proizvode cijena bi se tada izjednačila s graničnim troškom stoga možemo odrediti konkurentnu cijenu iz točke gdje se sijeku OPEC ove krivulje potražnje i graničnog troška ta cijena, označena sa P c znatno je niža od kartelske cijene P* budući da su ukupna potražnja i nekartelska ponuda neelastične, potražnja za OPEC ovom naftom također je dosta neelastična; prema tome, kartel ima znatnu monopolsku moć krivulje ukupne potražnje i izvankartelske ponude na grafu vrijede za kratkoročnu ili srednjoročnu analizu dugoročno, i ponuda i potražnja bit će znatno elastičnije, što znači da će i OPEC ova krivulja potražnje biti puno elastičnija prema tome, moglo bi se očekivati da na dugi rok OPEC neće biti u mogućnosti zadržati cijenu tako visoko iznad konkurentske razine zbog čega su zapravo u periodu od do cijene nafte pale sljedeći graf daje sličnu analizu CIPEC a CIPEC tvore četiri zemlje proizvođača bakra: Čile, Peru, Zambija i Kongo (bivši Zair), na koje zajedno otpada manje od polovice svjetske proizvodnje bakra u ovim zemljama, troškovi proizvodnje su niži nego kod proizvođača izvan kartela, ali, osim u slučaju Čilea, nisu znatno niži na grafu CIPEC ova krivulja graničnog troška stoga je ucrtana samo malo ispod krivulje ponude izvan kartela CIPEC ova krivulja potražnje, D CIPEC, razlika je između ukupne krivulje potražnje TD i ponude izvan kartela S c CIPEC ove krivulje graničnog troška i graničnog prihoda sijeku se pri količini Q CIPEC S pripadajućom cijenom P* ponovo, konkurentsku cijenu P c dobivamo u točki gdje se CIPECova krivulja potražnje siječe s njegovom krivuljom graničnog troška ova cijena vrlo je blizu kartelske cijene P* kao što je prikazano na grafu, ukupna potražnja za bakrom elastičnija je nego za naftom čak i kratkoročno, proizvođači izvan kartela jednostavno mogu proširi ponudu ako cijene porastu (djelomično zbog raspoloživosti nabave od lomljenog metala) prema tome, potencijalna monopolska moć CIPEC a je mala D. Čičin-Šain, viši pred. 11

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

D. Čičin-Šain, viši pred. 1

D. Čičin-Šain, viši pred. 1 Tržišna moć: monopol i monopson Predavanje iz Mikroekonomije Monopol kao jedini proizvođač nekog proizvoda, monopolist ima jedinstvenu poziciju ako monopolist odluči povisiti cijenu proizvoda, ne treba

Διαβάστε περισσότερα

Analiza savršene konkurencije u kratkom roku

Analiza savršene konkurencije u kratkom roku Analiza savršene konkurencije u kratkom roku Jedanaesto predavanje, 11. svibnja 2016. godine Pripremljeno iz: Binger i Hoffman, Microeconomics with Calculus Maksimizacija profita poduzeća koje posluje

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Određivanje cijene i tržišna moć

Određivanje cijene i tržišna moć Osvajanje potrošačevog viška Određivanje cijene i tržišna moć Predavanje iz Mikroekonomije sve strategije za određivanje cijena imaju jednu stvar zajedničku: one su sredstvo za osvajanje potrošačevog viška

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Opća konkurencijska ravnoteža. Uvod u analizu monopola

Opća konkurencijska ravnoteža. Uvod u analizu monopola Opća konkurencijska ravnoteža. Uvod u analizu monopola Trinaesto predavanje 5. svibnja 06. godine Pripremljeno iz: Binger i Hoffman Microeconomics with Calculus Prisjetimo se...rivulja proizvodnih mogućnosti

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

7. Troškovi Proizvodnje

7. Troškovi Proizvodnje MIKROEKONOMIJA./. 7. Troškovi Proizvodnje Autori: Penezić Andrija Miković Ivana Pod vodstvom: Prof.dr. Đurđice Fučkan Prezentacije su napravljene prema : Pindyck, R.S./ Rubinfeld, D.L. () MIKROEKONOMIJA

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr

DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 (D)

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Tržišne strukture I: Savršena konkurencija

Tržišne strukture I: Savršena konkurencija Sveučilište u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i računarstva Inženjerska ekonomika (41251) Zagreb, 9. travnja 2013. Tržišne strukture I: Savršena konkurencija i monopol Bilješke s predavanja Dubravko Sabolić

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Maksimalizacija profita

Maksimalizacija profita Sveučilište u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i računarstva Inženjerska ekonomika (41251) Zagreb, 3. travnja 2013. Maksimalizacija profita Bilješke s predavanja Dubravko Sabolić Inzeko 2013; LN-5b 1. Uvod

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 4. Proizvodnja i organizacija poslovanja, analiza troškova

VJEŽBE 4. Proizvodnja i organizacija poslovanja, analiza troškova VJEŽBE 4. Proizvodnja i organizacija poslovanja, analiza troškova I SKUPINA ZADATAKA 1. Proizvodna funkcija predstavlja odnos između a) inputa i outputa b) troškova i radnika c) ukupnog proizvoda i graničnog

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Uvod Teorija odlučivanja je analitički i sistematski pristup proučavanju procesa donošenja odluka Bez obzira o čemu donosimo odluku imamo 6 koraka za

Uvod Teorija odlučivanja je analitički i sistematski pristup proučavanju procesa donošenja odluka Bez obzira o čemu donosimo odluku imamo 6 koraka za Osnovne teorije odlučivanja Uvod Teorija odlučivanja je analitički i sistematski pristup proučavanju procesa donošenja odluka Bez obzira o čemu donosimo odluku imamo 6 koraka za donošenje dobre odluke:

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens

Διαβάστε περισσότερα

MONOPOL, OLIGOPOL I PREDAVANJE 10. Prof.dr Jovo Jednak 1

MONOPOL, OLIGOPOL I PREDAVANJE 10. Prof.dr Jovo Jednak 1 NEPOTPUNA KONKURENCIJA: MONOPOL, OLIGOPOL I MONOPOLISTIČKA KONKURENCIJA PREDAVANJE 10 Prof. dr Jovo Jednak Prof.dr Jovo Jednak 1 Zašto postoji monopol? Osnovni uzrok monopola su barijere ulaska Vlasništvo

Διαβάστε περισσότερα

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A : PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Varijabilni. troškovi. Ukupni. troškovi. Granični troškovi

Varijabilni. troškovi. Ukupni. troškovi. Granični troškovi Ovisnost troškova o promjenama opsega proizvodnje Stalni troškovi Varijabilni troškovi Ukupni troškovi Granični troškovi Prosječni troškovi troškovi proizvodnje su različiti po: svom porijeklu (prirodnim

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Primijenjena mikroekonomija

Primijenjena mikroekonomija SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU EKONOMSKI FAKULTET U OSIJEKU Primijenjena mikroekonomija Prezentacijski materijali U Osijeku, 28. S A D R Ž A J Proizvodna funkcija 1 Analiza prihoda i učinkovitosti

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Osnove ekonomije. Poglavlje 0. Kako čitati dijagrame

Osnove ekonomije. Poglavlje 0. Kako čitati dijagrame Poglavlje 0. Kako čitati dijagrame 1) Kada je odnos dviju varijabli inverzan, grafički se taj odnos prikazuje krivuljom koja, a vrijednost nagiba je. a) opada, pozitivna b) raste, pozitivna c) opada, negativna

Διαβάστε περισσότερα

VELEPRODAJNO I MALOPRODAJNO POSLOVANJE - VJEŽBE 9 - Sveučilišni preddiplomski studij Ekonomika poduzetništva

VELEPRODAJNO I MALOPRODAJNO POSLOVANJE - VJEŽBE 9 - Sveučilišni preddiplomski studij Ekonomika poduzetništva VELEPRODAJNO I MALOPRODAJNO POSLOVANJE - VJEŽBE 9 - Sveučilišni preddiplomski studij Ekonomika poduzetništva 08.01.2013. Sadržaj 1. Cjenovna elastičnost potražnje 2. Izračunavanje marže, prodajne cijene

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

Ponuda i potražnja. Bilješke s predavanja. Dubravko Sabolić. 1. Uvod

Ponuda i potražnja. Bilješke s predavanja. Dubravko Sabolić. 1. Uvod Sveučilište u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i računarstva Inženjerska ekonomika (41251) Zagreb, 17. ožujka 2013. Ponuda i potražnja Bilješke s predavanja Dubravko Sabolić 1. Uvod Cilj ovog predavanja

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

NEPOTPUNA KONKURENCIJA: MONOPOL, OLIGOPOL I MONOPOLISTIČKA KONKURENCIJA

NEPOTPUNA KONKURENCIJA: MONOPOL, OLIGOPOL I MONOPOLISTIČKA KONKURENCIJA NEPOTPUNA KONKURENCIJA: MONOPOL, OLIGOPOL I MONOPOLISTIČKA KONKURENCIJA PREDAVANJE 10 Prof. dr Jovo Jednak Prof.dr Jovo Jednak 1 Definisanje monopola i uslovi privreñivanja na tržištima nesavršene konkurencije

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα