Opća konkurencijska ravnoteža. Uvod u analizu monopola
|
|
- Ἀρίστων Ασπάσιος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Opća konkurencijska ravnoteža. Uvod u analizu monopola Trinaesto predavanje 5. svibnja 06. godine Pripremljeno iz: Binger i Hoffman Microeconomics with Calculus
2 Prisjetimo se...rivulja proizvodnih mogućnosti [ ] 0 0 ) ( ) ( ) ( ) (. ) ( max ) (. ) ( max * * * * * * > = = < = = = = = = = = + = + = λ λ λ MRT g f g f g f ogr uz g f ogr uz g Izvor: Binger i Hoffman Microeconomics with Calculus
3 Granična stopa transformacije MRT * * 0 )) ( ( ) ( MC MC MRT c c d d d d c c r w r w c r w c = = = + + = +
4 Maksimizacija korisnosti na krivulji proizvodnih mogućnosti Efikasna proizvodnja rješava samo jedan dio ekonomskog problema. Postoji beskonačno mnogo mogućih efikasnih kombinacija proizvoda u ekonomiji a to je svaka točka na krivulji proizvodnih mogućnosti. Izbor stvarne kombinacije proizvoda uključuje problem distribucije. ada smo analizirali efikasnost u raspodjeli bez proizvodnje konačna je raspodjela bila određena potrošačevim preferencijama i inicijalnom raspodjelom dobara. U ovom kontekstu tražimo raspodjelu koja je efikasna u proizvodnji Pareto optimalna (nijednog potrošača ne možemo dovesti u bolji položaj a da drugog ne dovedemo u gori) i Pareto superiorna u odnosu na početnu raspodjelu.
5 Robinson Crusoe i Pareto optimalnost ako bismo pronašli raspodjelu koja zadovoljava sva tri navedena svojstva započinjemo vrlo jednostavnu analizu u kojoj postoji jedan potrošač-proizvođač koji proizvodi dva dobra sa svojim faktorima proizvodnje za vlastitu potrošnju (Robinson Crusoe analiza). Uz dani rad i alate i tehnologiju skupljanja kokosa i ribe možemo konstruirati krivulju proizvodnih mogućnosti koja opisuje efikasne kombinacije kokosa i ribe koju Robinson može proizvesti. Pretpostavljamo da Robinson ima preferencije o potrošnji kokosa i ribe koje zadovoljavaju naše aksiome i koje se opisuju mapom krivulja indiferencije. Ako Robinson maksimizira korisnost izabire kombinaciju kokosa i ribe koja se nalazi na najudaljenijoj krivulji indiferencije u točki u kojoj je nagib krivulje indiferencije jednak nagibu krivulje proizvodnih mogućnosti. Ta je kombinacija proizvodno efikasna (na PPF-u je) Pareto optimalna (jedan je potrošač) i Pareto superiorna u odnosu na sve dostupne raspodjele uz dane resurse i tehnologiju. U toj je točku granična stopa transformacije jednaka graničnoj stopi supstitucije između dobara MRT=MRS. Izvor: Binger i Hoffman Microeconomics with Calculus
6 Maksimizacija korisnosti u potrošnji implicira da je granična stopa supstitucije između dobara jednaka odnosu cijena Implicitne cijene MRS = ada Robinson maksimizira korisnost na krivulji proizvodnih mogućnosti tangencija između krivulje indiferencije i krivulje proizvodnih mogućnosti implicira odnos cijena dobara takav da je granična stopa transformacije jednaka i odnosu cijena. Robinson ne treba tržišta da mu olakšaju odluke o potrošnji i proizvodnji ali sve važne cijene mogu se izvesti iz rješenja njegova problema odlučivanja. Ako efikasno proizvodi kokose i ribe dodir izokvanti implicira implicitni odnos cijena faktora proizvodnje. Ako maksimizira korisnosti dodir krivulje indiferencije i krivulje proizvodnih mogućnosti određuje implicitni odnos cijena proizvoda a stopa po kojoj se faktori proizvodnje transformiraju u proizvode određuje implicitni odnos cijena između faktora proizvodnje i proizvoda. Robinson može normalizirati cijene izjednačavajući jednu s jedinicom i Robinson potrošač bi plaćao Robinsonu proizvođaču za dobra a Robinson proizvođač bi plaćao Robinsonu koju mu nudi faktore proizvodnje za korištenje faktora. Ono što zaradi od svojih faktora proizvodnje bio bi mu dohodak za kupnju dobara. Postojala bi konkurencijska ravnoteža između Robinsona proizvođača i Robinsona potrošača. p p MRS = MRT = Izvor: Binger i Hoffman Microeconomics with Calculus p p
7 Pareto optimalnost s više od jednog potrošača U uvjetima kada postoji samo jedan potrošač maksimizacija korisnosti na krivulji proizvodnih mogućnosti implicira da je potrošačeva granična stopa supstitucije između dobara jednaka graničnoj stopi transformacije na krivulji proizvodnih mogućnosti. ada postoje dva potrošača Pareto optimalnost implicira jednakost graničnih stopa supstitucije između dobara za sve potrošače. U nastavku pokazujemo da su ta dva uvjeta nužna za proizvodnu efikasnost i Pareto optimalnost kad postoje dva potrošača.
8 Možemo fiksirati razinu korisnosti potrošača A i maksimizirati korisnost potrošača B na proizvodnom skupu. Na sve tri slike mali graf sa ishodištem na krivulji indiferencije potrošača A predstavlja mapu krivulja indiferencije za potrošača B i krivulju proizvodnih mogućnosti koja je na raspolaganju potrošaču B nakon što smo osigurali da potrošač A ima dovoljno dobara X i Y da bi zadržao fiksnu razinu korisnosti.
9 Izvor: Binger i Hoffman Microeconomics with Calculus
10 Izvor: Binger i Hoffman Microeconomics with Calculus
11 Implicitne cijene s dva potrošača Tangencijalnost između krivulje indiferencije potrošača B i krivulje proizvodnih mogućnosti određuje implicitni odnos cijena dobara X i Y koji je jednak graničnoj stopi transformacije i graničnoj stopi supstitucije između dobara. Desna slika pokazuje da je taj implicitni odnos cijena ujedno jednak i graničnoj stopi supstitucije između dobara za potrošača A. Prema tome uvjet za Pareto optimalnost s proizvodnjom zadovoljava uvjete za Pareto optimalnost u distribuciji. Izvor: Binger i Hoffman Microeconomics with Calculus
12 Opća ravnoteža u konkurencijskoj ekonomiji Stvarna razina korisnosti koju svaki potrošač može ostvariti i stvarna razina proizvodnje na krivulji proizvodnih mogućnosti ovisit će o početnoj raspodjeli faktora proizvodnje potrošačima. Pretpostavimo li da potrošači prihvaćaju cijene kao dane svoje faktore proizvodnje prodaju po tržišnim cijenama faktora proizvodnje generirajući dohodak kojim kupuju dobra po tržišnim cijenama proizvoda.
13 Opća i parcijalna ravnoteža Opća konkurencijska ravnoteža u ekonomiji je skup cijena faktora proizvodnje i proizvoda raspodjela faktora proizvodnje na poduzeća i raspodjela dobara na potrošače takve da je ponuda jednaka potražnji na svim tržištima proizvoda i faktora proizvodnje takva da potrošači maksimiziraju korisnost uz dana budžetska ograničenja koja su određena njihovim početnim raspodjelama vrednovanima po tržišnoj cijeni i takva da poduzeća makimiziraju profite za dane ravnotežne cijene. Ravnotežu na jednom tržištu koja zanemaruje učinke promjena na tom tržištu na druga tržišta nazivamo parcijalnom konkurencijskom ravnotežom. ada analiziramo jedno tržište bavimo se analizom parcijalne ravnoteže a kada analiziramo sva tržišta u isto vrijeme bavimo se analizom opće ravnoteže.
14 Grafička ilustracija opće konkurencijske ravnoteže Da bismo grafički ilustrirali kako se formira opća konkurencijska ravnoteža pretpostavimo da postoji aukcioner koji isklikne cijene koje potrošači i poduzeća prihvaćaju kao dane i koji ih prilagođava sve dok se ne uspostavi ravnoteža na svakom tržištu. Cijene ne možemo jedinstveno odrediti jer su Marshallove funkcije potražnje homogene funkcije stupnja homogenosti nula u cijenama i dohotku a funkcije uvjetne potražnje za radom i kapitalom su homogene stupnja nula u cijenama faktora proizvodnje. Stoga ćemo jednu od cijena proizvoda ili faktora proizvodnje izjednačiti s jedinicom i sve ostale cijene izraziti kao odnose cijena. Pretpostavimo da izaberemo cijenu kapitala i izjednačimo je s jedinicom a sve ostale cijene normaliziramo. Jesu li ti odnosi cijena ravnotežni ovisi o potrošačevoj potražnji za dane odnose cijena. Da bismo odredili potrošačevu potražnju odredit ćemo potrošačev dohodak za dani odnos cijena M M A B w = r w = r B i kapitala i tada odrediti budžetske pravce za dane odnose cijena proizvoda. Potrošači tada maksimiziraju korisnost uz dano budžetsko ograničenje i na krivulji * * * * proizvodnih mogućnosti vrijedi: ( xa + xb xa + xb ) = ( x ) Ekonomija je u ravnoteži pri tim cijenama. A + + A B p = x r p = x r A B p + r p + r A B
15 Budžetski pravac potrošača A ima odsječke M M A p i ~ p ~ ~ p p ~ = = p r I potrošač A maksimizira korisnost u točki (. Dodamo li budžetski pravac x * potrošača * A A) B zbroj budžetskih pravaca je tangenta na krivulju proizvodnih mogućnosti u točki ( X * Y * ) a to je ujedno točka u kojoj krivulja indiferencije potrošača B tangira krivulju proizvodnih mogućnosti. U tom je slučaju zbroj pojedinačnih količina dobara koje maksimiziraju korisnost oba potrošača jednak ekonomski efikasnoj proizvodnji tih dobara i ekonomija je u ravnoteži. p r A Izvor: Binger i Hoffman Microeconomics with Calculus
16 Cijene faktora proizvodnje Izbor ravnotežne kombinacije količina proizvoda implicira raspodjelu faktora proizvodnje na proizvode na efikasnom proizvodnom skupu i ravnotežnu cijenu rada. Ta se točka preslikava u točku dodira izokvanti za proizvodnju tih količina dobara u Edgeworthovom dijagramu u proizvodnji. Jednakost graničnih stopa tehničke supstitucije tada određuje normaliziranu nadnicu. Odnos između cijene proizvoda i faktora proizvodnje određen je izjednačavanjem normalizirane nadnice i normaliziranog graničnog prihoda rada. Izvor: Binger i Hoffman Microeconomics with Calculus
17 Osnovni teoremi ekonomike blagostanja onkurencijska ravnoteža u ekonomiji zadovoljava uvjete optimalne kombinacije proizvoda (granična je stopa supstitucije između dobara za oba potrošača jednaka graničnoj stopi transformacije). To se postiže pomoću relativnih cijena Time smo potvrdili važan rezultat da konkurencijska tržišta rješavaju probleme proizvodnje i distribucije uz dane početne raspodjele pretpostavljajući da potrošačeve preferencije i tehnologija zadovoljavaju sve naše pretpostavke. Taj je rezultat poznat kao:prvi osnovni teorem ekonomike blagostanja ako su potrošačeve preferencije potpune tranzitivne strogo monotone i striktno konveksne i ako nema eksternalija u potrošnji ako u proizvodnji granična stopa tehničke supstitucije između faktora proizvodnje opada i ako djeluju konstantni ili opadajući prinosi s obzirom na razmjer i ako nema eksternalija u proizvodnji tada je svaka opća konkurencijska ravnoteža efikasna u proizvodnji i Pareto optimalna. Drugi osnovni teorem ekonomike blagostanja uz iste pretpostavke svaka se raspodjela koja je efikasna u proizvodnji i Pareto optimalna može implementirati kao opća konkurencijska ravnoteža prikladnom preraspodjelom početne nadarbine potrošačima.
18 Uvod u analizu monopola
19 Monopol Monopolist je poduzeće koje je jedini prodavatelj proizvoda na tržištu. Pretpostavljamo da i dalje ima mnoštvo potrošača i da na tržištu faktora proizvodnje vlada savršena konkurencija. Monopolist se suočava s funkcijama troškova koje smo izveli u prethodnim poglavljima i slijedi pravilo za maksimizaciju profita proizvodeći onu količinu proizvodnje za koju je granični prihod od prodaje jednak graničnom trošku proizvodnje. No monopolist se suočava s opadajućom krivuljom potražnje dok se savršeno konkurentno poduzeće ponaša kao da je pojedinačna krivulja potražnje vodoravna. Sa stajališta opće ravnoteže učinak monopola je povećati relativnu cijenu dobra u usporedbi s dobrom koje je proizvedeno u uvjetima savršene konkurencije. Resursi se transferiraju iz proizvodnje monopoliziranog dobra u proizvodnju savršeno konkurentnog dobra. Ako ekonomija ostaje na krivulji proizvodih mogućnosti učinak je proizvodnja veće količine savršeno konkurentnog dobra i manje količine monopoliziranog dobra. U općoj konkurencijskoj ravnoteži granične su stope supstitucije između dobara za sve potrošače jednake i jednake su graničnoj stopi transformacije a u uvjetima monopola granične stope supstitucije nisu jednake graničnoj stopi transformacije što znači da iako ekonomija proizvodi na krivulji proizvodnih mogućnosti potrošače možemo dovesti u bolji položaj. Samo u uvjetima rastućih prinosa s obzirom na razmjer postoji mogućnost da monopolist koji maksimizira profit proizvodi više i zaračunava nižu cijenu od cijene od savršeno konkurentne industrije. Za monopolista koji ima rastuće prinose s obzirom na razmjer na određenom dijelu proizvodnje kažemo da ima prirodni monopol.
20 Razina proizvodnje koja maksimizira profit i odluke o faktorima proizvodnje ada smo se bavili modelom minimizacije troškova za zadanu razinu proizvodnje u izvođenju funkcije troškova nismo uvodili nikakve pretpostavke o okruženju u kojem poduzeće posluje jer svako poduzeće koje maksimizira profit minimizira troškove. Nadalje svako poduzeće proizvodi razinu proizvodnje za koju je granični prihod jednak graničnom trošku. Ono što razlikuje monopolista od savršeno konkurentnog poduzeća je činjenica da se monopolist suočava sa opadajućom krivuljom tržišne potražnje. U tom je slučaju granični prihod uvijek ispod krivulje potražnje pa su granični prihod i granični trošak kod monopola uvijek niži od cijene. dp Ukupni je prihod TR( ) = p ( ) a granični je prihod MR = + p d Izjednačavanjem graničnog troška i graničnog prihoda dobivamo dp MC( ) = MR( ) = + p d iz čega slijedi da je cijena veća od graničnog prihoda i graničnog troška dp dp p = MR( ) MC( ) 0. d > d <
21 Monopol i elastičnost potražnje Na slici pretpostavljamo da se monopolist suočava sa linearnom opadajućom krivuljom potražnje i konstantnim dugoročnim graničnim troškovima. Budući da industrija sa konstantnim prinosima na razmjer može biti konkurentna pretpostavljamo da jedno poduzeće može spriječiti ulazak potencijalnih konkurenata a razlog tome može biti patent. Sve dok je granični trošak pozitivan izjednačavanje pozitivnog graničnog troška i pozitivnog graničnog prihoda implicira da će monopolist uvijek proizvoditi na elastičnom dijelu svoje krivulje potražnje MC = MR = p ( + ) > 0 Ed <. E inearna krivulja potražnje može se podijeliti na dva segmenta ovisno o tome radi li se o elastičnoj ili neelastičnoj potražnji. Potražnja je elastična na gornjem dijelu gdje je granični prihod pozitivan jedinično elastična gdje je granični prihod jednak nuli i neelastična gdje je granični prihod negativan. S pozitivnim graničnim troškom razina proizvodnje koja maksimizira profit uvijek je na elastičnom dijelu krivulje potražnje. Primijetimo da monopolist nema krivulju ponude u smislu kao što konkurentno poduzeće ima. onkrentno poduzeće je prihvatitelj cijene koje izjednačava cijenu i granični trošak i krivulja graničnih troškova određuje količinu koju poduzeće nudi pri svakoj cijeni (krivulja ponude). Monopolist izabire cijenu i količinu koja maksimizira profit za danu krivulju potražnje i nema funkcije koja opisuje vezu između cijene i količine jer su cijena i količina određene odlukom o maksimizaciji profita. d Izvor: Binger i Hoffman Microeconomics with Calculus
22 Odluka o zatvaranja u kratkom roku Iako monopolist izabire cijenu i količinu kojom maksimizira profit jednostavno postojanje monopolske moći ne garantira da će poduzeće ostvariti pozitivan ekonomski profit. Suočen s poduzećem koje nema pozitivan profit manager donosi odluku o zatvaranju na isti način kao i savršeno konkurentno poduzeće-u kratkom roku monopolist koji proizvodi nastavlja proizvoditi sve dok cijena nije manja od kratkoročnih prosječnih varijabilnih troškova. U dugom roku monopolist nastavlja proizvoditi sve dok cijena nije manja od prosječnih dugoročnih troškova. Izvor: Binger i Hoffman Microeconomics with
23 Potražnja za faktorima proizvodnje monopolista Odluku o faktorima proizvodnji u kratkom roku monopolista možemo usporediti s odlukom savršeno konkrentnog poduzeća. Ako pretpostavimo da na tržištu faktora proizvodnje vlada savršena konkurencija monopolist prihvaća cijene rada i kapitala kao dane u svojim odlukama o njihovom angažiranju. No imajmo na umu da cijena proizvoda više nije parametar pa se monopolistovi granični prihodi rada i kapitala razlikuju od savršeno konkurentnog. Monopolist upošljava onu razinu rada za koju je granični prihod rada jednak graničnom trošku rada što je isto kao i u savršenoj konkurenciji. No granični prihod proizvoda je jednak cijeni u savršenoj konkurenciji i razina rada u onom kontekstu izjednačava cijenu rada i umnožak cijene i graničnog proizvoda rada. Za monopolista je granični prihod uvijek manji od cijene na opadajućoj tržišnoj krivulji potražnje pa njegova krivulja graničnog prihoda rada leži ispod onog u savršenoj konkurenciji. To implicira da će za istu količinu fiksnog kapitala i za dane cijena faktora monopolist angažirati manje rada od savršeno konkurentnog poduzeća. Za dani granični proizvod rada koji je određen tehnologijom i količinom kapitala koja je fiksna monopolistov granični prihod je manji od onog od savršene konkurencije za svaku količinu rada. Pri danoj nadnici konkurentna industrija upošljava više rada od monopolista. Model maksimizacije profita: max π ( ) = p f ( ) f( ) w r FOC dπ dp = f + pf w = 0 d d dp w = f( + p ) = MP MR = MRP. d Izvor: Binger i Hoffman Microeconomics with Calculus
24 Elastičnost potražnje na linearnim i nelinearnim krivuljama potražnje-podsjetnik a x= a p b x Izvor: Binger i Hoffman Microeconomics with Calculus
25 Izvor: Binger i Hoffman Microeconomics with Calculus
26 Funkcija potražnje s konstantnom elastičnošću potražnje Općeniti funkcionalni oblik funkcije potražnje s konstantnom elastičnošću potražnje
27 Elastičnost i ukupni prihod Izvor: Binger i Hoffman Microeconomics with Calculus
28 Gubitak društva zbog monopola (DW-dead weight loss from monopol) ada je industrija organizirana u obliku monopola umjesto u obliku mnoštva konkurentnih poduzeća dio potrošačeva i proizvođačeva probitka se gubi. Pretpostavimo da nema učinka dohotka jer u tom slučaju nema razlike između uobičajene i kompenzirane krivulje potražnje. Dio se izgubljenog probitka transferira monopolistu u obliku profita ali dio je izgubljen. Na desnoj gornjoj slici je grafički predočen gubitak blagostanja zbog monopola u uvjetima konstantnih graničnih troškova. Ako su granični troškovi rastući kao na donjoj desnoj slici uspoređuje se razina proizvodnje monopolista i razina proizvodnje koja bi se proizvela kada bi cijena bila jednaka graničnom trošku. Dodatak. Možemo profit poduzeća mjeriti kao zbroj profita koji se ostvaruje za svaku jedinicu. Ako poduzeće kao u savršenoj konkurenciji prodaje sve jedinice po jednoj cijeni profit za svaku dodatnu jedinicu jednak je razlici između cijene i graničnog troška proizvodnje te jedinice. Ukupni profit jednak je integralu između graničnog troška pri razini proizvodnje nula i tržišne cijene. U uvjetima savršene konkurencije mjereno na krivulji tržišne ponude profit na taj način se obično zove proizvođačev probitak. Izvor: Binger i Hoffman Microeconomics with Calculus
29 Monopol u analizi opće ravnoteže Gubitak društva zbog monopola implicira da je monopolska razina proizvodnje neefikasna. Monopolist ostvaruje pozitivan ekonomski profit u dugom roku. To mijenja distribuciju kupovne moći u ekonomiji u odnosu na opću konkurencijsku ravnotežu.
Analiza savršene konkurencije u kratkom roku
Analiza savršene konkurencije u kratkom roku Jedanaesto predavanje, 11. svibnja 2016. godine Pripremljeno iz: Binger i Hoffman, Microeconomics with Calculus Maksimizacija profita poduzeća koje posluje
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 4. Proizvodnja i organizacija poslovanja, analiza troškova
VJEŽBE 4. Proizvodnja i organizacija poslovanja, analiza troškova I SKUPINA ZADATAKA 1. Proizvodna funkcija predstavlja odnos između a) inputa i outputa b) troškova i radnika c) ukupnog proizvoda i graničnog
Διαβάστε περισσότεραOsnove ekonomije. Poglavlje 0. Kako čitati dijagrame
Poglavlje 0. Kako čitati dijagrame 1) Kada je odnos dviju varijabli inverzan, grafički se taj odnos prikazuje krivuljom koja, a vrijednost nagiba je. a) opada, pozitivna b) raste, pozitivna c) opada, negativna
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραD. Čičin-Šain, viši pred. 1
Tržišna moć: monopol i monopson Predavanje iz Mikroekonomije Monopol kao jedini proizvođač nekog proizvoda, monopolist ima jedinstvenu poziciju ako monopolist odluči povisiti cijenu proizvoda, ne treba
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραTržišne strukture I: Savršena konkurencija
Sveučilište u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i računarstva Inženjerska ekonomika (41251) Zagreb, 9. travnja 2013. Tržišne strukture I: Savršena konkurencija i monopol Bilješke s predavanja Dubravko Sabolić
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραOdređivanje cijene i tržišna moć
Osvajanje potrošačevog viška Određivanje cijene i tržišna moć Predavanje iz Mikroekonomije sve strategije za određivanje cijena imaju jednu stvar zajedničku: one su sredstvo za osvajanje potrošačevog viška
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα7. Troškovi Proizvodnje
MIKROEKONOMIJA./. 7. Troškovi Proizvodnje Autori: Penezić Andrija Miković Ivana Pod vodstvom: Prof.dr. Đurđice Fučkan Prezentacije su napravljene prema : Pindyck, R.S./ Rubinfeld, D.L. () MIKROEKONOMIJA
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραMikroekonomija. Vježbe 1. Uvod u mikroekonomiju. 1. Pogledajte slijedeći dijagram i odgovorite koji od njih se može predstaviti pravcemy=20+x:
Vježbe 1. Uvod u mikroekonomiju I. skupina zadataka 1. Pogledajte slijedeći dijagram i odgovorite koji od njih se može predstaviti pravcemy=20+x: a) A b) B c) C d) D 2. Pogledajte slijedeći dijagram i
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραDUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr
DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 (D)
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραPITANJA IZ MIKROEKONOMIJE, školska 2014/2015
PITANJA IZ MIKROEKONOMIJE, školska 2014/2015 1. Šta se označava izrazima oskudno dobro (rijetko dobro, scarce good), slobodno dobro i ekonomsko dobro? 2. U čemu se ogledaju prednosti slobodne tržišne alokacije
Διαβάστε περισσότεραD. Čičin-Šain, viši pred. 1
16. Monopolistička konkurencija i Predavanje iz Mikroekonomije Monopolistička konkurencija u mnogim industrijskim granama proizvodi su diferencirani iz nekog razloga, potrošači svaku marku proizvoda doživljavaju
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραTROŠKOVI PROIZVODNJE. Copyright 2004 South-Western/
TROŠKOVI PROIZVODNJE Šta su troškovi? Mikroekonomija se bavi ponudom, tražnjom i tržišnom ravnotežom. Prema zakonu ponude preduzeća su spremna da proizvedu i prodaju veću količinu nekog dobra kada je cena
Διαβάστε περισσότεραMaksimalizacija profita
Sveučilište u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i računarstva Inženjerska ekonomika (41251) Zagreb, 3. travnja 2013. Maksimalizacija profita Bilješke s predavanja Dubravko Sabolić Inzeko 2013; LN-5b 1. Uvod
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραOSNOVE EKONOMIJE 1.
OSNOVE EKONOMIJE 1 Bok, Drago nam je što si odabrao/la upravo Referadu za pronalazak materijala koji će ti pomoći u učenju! Materijali koje si skinuo/la s naše stranice nisu naše autorsko djelo, već samo
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραPrimijenjena mikroekonomija
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU EKONOMSKI FAKULTET U OSIJEKU Primijenjena mikroekonomija Prezentacijski materijali U Osijeku, 28. S A D R Ž A J Proizvodna funkcija 1 Analiza prihoda i učinkovitosti
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
Διαβάστε περισσότεραOsnovni pojmovi iz teorije proizvodnje
Sveučilište u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i računarstva Inženjerska ekonomika (41251) Zagreb, 10. travnja 2013. Osnovni pojmovi iz teorije proizvodnje Bilješke s predavanja Dubravko Sabolić Inzeko
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραПроизводна функција. Тематска целина. 6.1 Производња, производна функција и гранична стопа техничке супституције
1 Производна функција Радна недеља 6 Тематска целина 6. Производна функција Тематска јединица 6.1 Производња, производна функција и гранична стопа техничке супституције 6.2 Укупан, просечан и граничан
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραVVR,EF Zagreb. November 24, 2009
November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNA KONKURENCIJA I MAKSIMIRANJE PROFITA
POTPUNA KONKURENCIJA I MAKSIMIRANJE PROFITA PREDAVANJE 9 Prof. dr Jovo Jednak Prof.dr Jovo Jednak 1 Ekonomski, računovodstveni i normalni ili nulti ekonomski profit i maksimiranje profita Profit ekonomski,
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα1.1 Funkcije dvije i više promjenljivih
11 Funkcije dvije i više promjenljivih Funkcije dvije i više promjenljivih Zamislimo situaciju u kojoj dva proizvodaa i B i njihove potražnje zavise o cijenamap A i p B Q A je potražnja za proizvodoma,
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραPonuda i potražnja. Bilješke s predavanja. Dubravko Sabolić. 1. Uvod
Sveučilište u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i računarstva Inženjerska ekonomika (41251) Zagreb, 17. ožujka 2013. Ponuda i potražnja Bilješke s predavanja Dubravko Sabolić 1. Uvod Cilj ovog predavanja
Διαβάστε περισσότεραТржиште, цене и конкуренција
1 Тржиште, цене и конкуренција Радна недеља Тематска целина Циљ 8. Тржиште, цене и конкуренција Стицање знања о функционисању тржишног механизма, формирању цена и конкуренцији. 8 Тематска јединица 8.1
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότερα2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije
Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost
Διαβάστε περισσότεραVarijabilni. troškovi. Ukupni. troškovi. Granični troškovi
Ovisnost troškova o promjenama opsega proizvodnje Stalni troškovi Varijabilni troškovi Ukupni troškovi Granični troškovi Prosječni troškovi troškovi proizvodnje su različiti po: svom porijeklu (prirodnim
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραBIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
Διαβάστε περισσότερα2 Elastičnost funkcije Elastičnost funkcija u ekonomiji Formula za koeficijent elastičnosti funkcije zadane algebarski
Sadržaj 1 Diferencijalni račun funkcija više varijabli 2 1.1 Funkcije više varijabli....................... 2 1.1.1 Parcijalni i ukupni prirast funkcije više varijabli.... 3 1.1.2 Parcijalne derivacije...................
Διαβάστε περισσότεραТржиште, цене и конкуренција
1 Тржиште, цене и конкуренција Радна недеља Тематска целина Циљ 6. Тржиште, цене и конкуренција Стицање знања о функционисању тржишног механизма, формирању цена и конкуренцији. 6 Тематска јединица 6.1
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότερα