ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΦΟΡΕΑ. 3δ=3*6=18>ξ+σ=5+12=17. Άρα το αντίστιχο δικτύωμα είναι μια φορά κινητό.

Transcript

1 1 Α.Π.Θ.- ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ - ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙ - ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2009 ΘΕΜΑ 1o Για τον φορέα του σχήματος, να υπολογιστούν και σχεδιαστούν τα πλήρη διαγράμματα Μ όλων των στοιχείων του φορέα, λόγω ταυτόχρονης δράσης των q, P και t 5-6. Eπιπλέον να γίνουν ένας ισορροπιακός έλεγχος κατά x και το σκαρίφημα της ελαστικής γραμμής. Δίδονται: ΕΑ GA q=30kn/m, P=50kN, t 5-6=30 0 C, a t=10-5 / 0 C, L=3,0m ΕΙ=10 5 knm 2 σε όλο το φορέα Λύση: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΦΟΡΕΑ Κατασκευάζω το αντίστοιχο δικτύωμα του φορέα μου και ελέγχω αν είναι κινητό ή όχι. αριθμός δίσκων δ=6 αριθμός εσωτερικών αντιδράσεων σ=12 αριθμός εξωτερικών αντιδράσεων ξ=5 ΕΛΕΓΧΟΣ: 3δ=3*6=18>ξ+σ=5+12=17. Άρα το αντίστιχο δικτύωμα είναι μια φορά κινητό. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΦΟΡΕΑ tanφ= 3 3 φ=45ο (βλέπε αντίστοιχο δικτύωμα του φορέα) tanθ= 3 3 θ=45ο (βλέπε αντίστοιχο δικτύωμα του φορέα) l 36= l 65= = 18 Επειδή ο αρχικός φορέας μου έχει καταναγκασμό(t) και το αντίστοιχο δικτύωμα του είναι κινητό η επίλυση του φορέα θα γίνει σε δύο βήματα:

2 2 1ο ΒΗΜΑ: Παγιώνω τον μεταφορικό βαθμό ελευθερίας του φορέα μου και κάνω στατική επίλυση μόνο για εξωτερικό αίτιο τον καταναγκασμό. Σκοπός μας είναι να βρούμε την δύναμη της παγίωσης. Έτσι ο προς επίλυση φορέας φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Εφόσον έχω παγιώσει τον μεταφορικό βαθμό ελευθερίας το αντίστοιχο δικτύωμα του φορέα μου από κινητό μετατρέπεται σε πάγιο. Έτσι ο μοναδικός άγνωστος για την επίλυση του διπλανού φορέα είναι η στροφή του στερεού κόμβου 6, δηλαδή η φ 6. ΕΥΡΕΣΗ ΑΡΧΙΚΩΝ ΡΟΠΩΝ ΜΕΛΩΝ ΦΟΡΕΑ Το μόνο εξωτερικό αίτιο είναι η ομοιόμορφη αύξηση της θερμοκρασίας που υφίσταται το μέλος 5-6. Για να βρω τις αρχικές ροπές λόγω του προαναφερόμενου αιτίου παίρνω το αντίστοιχο δικτύωμα του φορέα και κατασκευάζω την παραμορφωμένη κατάσταση λόγω της t 5-6. Δl t,(56)=α tlt= *30 Δl t,(56)=127,28*10-5 m Με βάση την παραμορφωμένη κατάσταση γίνεται εύκολα κατανοητό ότι αρχικές ροπές στον παγιωμένο φορέα δημιουργούνται μόνο στο τμήμα 6-3. Έτσι θα έχουμε: Μ ο 63 = 3ΕΙ 127, l 2 δ=3 105 Μ ο ( 18) 2 63 =21,213kNm 1 ΕΥΡΕΣΗ ΤΕΛΙΚΩΝ ΡΟΠΩΝ ΜΕΛΩΝ ΦΟΡΕΑ Μ t 65 = 2ΕΙ (1,5φ l 6) Μt 65 = 3ΕΙ 65 φ6 Μ 65 t 18 =0,7071ΕΙφ 6 2 Μ t 63 = 2ΕΙ (1,5φ l 6)+ o Μ 1 t 63 Μ 63 = 3ΕΙ φ6+21,213 Μ 63 t =0,7071ΕΙφ 6+21,

3 3 Οι υπόλοιπες ροπές δηλαδή: Μ t t 13,Μ 25 είναι μηδέν ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΟΜΒΟΥ 6 ΣΜ=0 Μ 63 ΕΙφ 6=-15 4 t +Μ t 65 =0 2,3 0,7071ΕΙφ 6+21,213+0,7071ΕΙφ 6=0 ΤΕΛΙΚΕΣ ΡΟΠΕΣ (ΠΡΟΣΗΜΑΣΜΕΝΕΣ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ) Η 2 4 Μ t 65 =0,7071(-15) Μ t 65 =-10,607kNm Η 3 4 Μ t 63 =0,7071(-15)+21,213 Μ t 63 =10,607kNm ΤΕΛΙΚΕΣ ΡΟΠΕΣ ( ΠΡΟΣΗΜΑΣΜΕΝΕΣ ΜΕ ΙΝΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ) Μ t 65 =-10,607kNm Μ t 63 =-10,607kNm ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΡΟΠΩΝ [knm]

4 4 ΕΥΡΕΣΗ ΤΕΜΝΟΥΣΩΝ Q 63=Q 36= 10,607 0 =-2,50kN 18 Q 65=Q 56= 0 ( 10,607) =2,50kN 18 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ ΚΟΜΒΩΝ Kόμβος 6 ΣF x=0 Ν 63cos45-Ν 65cos45+2,5sin45-2,5sin45=0 Ν 63=Ν 65 5 ΣF y=0 Ν 63sin45+Ν 65sin45+2,5*2cos45=0 Ν 63+Ν 65+5=0 6 Η 6 5 2Ν 65+5=0 Ν 65=-2,50kN=N 56 7 Η 6 5 Ν 63=-2,50kN Ν 36 8 Kόμβος 3 ΣF x=0 Ν 34=2,50*2*0,7071 Ν 34=3,5355kN Δεν απατείται να βρω το Ν 31 γι'αυτό και δεν παίρνω την εξίσωση ΣF y=0 για τον κόμβο 3. Επίσης Ν 43=Ν 45=Ν 54=Ν 34=3,5355kN Kόμβος 5 ΣF x=0 (5x)+3,5355-2*2,50*0,7071=0 (5x)=0

5 5 2ο ΒΗΜΑ: Επιλύω τον αρχικό φορέα μου με την διαφορά ότι αντί για την ομοιόμορφη αύξηση της θερμοκρασίας στο ζύγωμα 5-6 βάζω στον φορέα μου την τιμή της αντίδρασης που βρήκα στην 1ο ΒΗΜΑ. Τα εξωτερικά φορτία μένουν ως έχουν. Δηλαδή ο προ επίλυση φορέας θα είναι ο αρχικός χωρίς τον καταναγκασμό του οποίου στην θέση του μπαίνει η αντίδραση της κύλισης που παγίωσε τον μεταφορικό βαθμό ελευθερίας. Οι άγνωστοι μου είναι η στροφή στον στερεό κόμβο 6(φ 6) και η οριζόντια μετακίνηση δ του ζυγώματος 345. ΕΥΡΕΣΗ ΑΡΧΙΚΩΝ ΡΟΠΩΝ Μ ο 65 =- 90cos45 18 ( 18)2 Μ 8 65 ο =-33,75kNm 9 ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟ ΔΙΚΤΥΩΜΑ y 13=y 25= δ 3,60 10 y 34=y 45=y 63=y 56=0 11 ΕΥΡΕΣΗ ΤΕΛΙΚΩΝ ΡΟΠΩΝ ΜΕΛΩΝ ΦΟΡΕΑ p 2EI Μ 13= (1,5φ 10 p 2EI l 1-1,5y 13) Μ = (0-1,5 δ )=-0,2315EIδ 12 3,6 3,60 Μ p 25 = 2EI (1,5φ l 2-1,5y 25) 10 Μ p = 2EI (0-1,5 δ )=-0,2315EIδ 13 3,6 3,60 Μ p 65 = 2EI (1,5φ l 6-1,5y 65)+Μο ,11 p Μ 65 = 2EI 18 (1,5φ6-0)-33,75=0,7071EIφ6-33,75 14

6 6 p 2EI Μ 63= (1,5φ 11 p 2EI l 6-1,5y 63) Μ = 18 (1,5φ6-0)=0,7071EIφ6 15 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΟΜΒΟΥ 6 ΣΜ=0 Μ p 63 +Μ p 65 =0 0,7071EIφ 6+0,7071EIφ 6-33,75=0 EIφ 6=23, ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΔΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ p p ΣW=0 Μ 10,12,13 13y13+Μ 25y25+ΣΡ iδ ι=0 2(-0,2315ΕΙδ δ )+50δ=0 3,60-0,1286ΕΙδ+50=0 ΕΙδ=388,77 17 ΤΕΛΙΚΕΣ ΡΟΠΕΣ (ΠΡΟΣΗΜΑΣΜΕΝΕΣ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ) Η p p Μ 13=-0,2315*388,77 Μ13=-90kNm Η Μ p 25 =-0,2315*388,77 Μ p 25 =-90kNm Η Μ p 65 =0,7071*23,865-33,75 Μ p 65 =-16,875kNm Η p p Μ 63=0,7071*23,865 Μ63=16,875kNm ΟΛΙΚΕΣ ΤΕΛΙΚΕΣ ΡΟΠΕΣ (ΠΡΟΣΗΜΑΣΜΕΝΕΣ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ) Μ 13 =Μ t p 13 +Μ 13=0+(-90)=-90kNm Μ 25 =Μ t p 25 +Μ 25=0+(-90)=-90kNm Μ 65 =Μ t p 65 +Μ 65=-10,607-16,875=-27,482kNm Μ 63 =Μ t 63 +Μ p 65 =10,607+16,875=27,482kNm

7 7 ΟΛΙΚΕΣ ΤΕΛΙΚΕΣ ΡΟΠΕΣ (ΠΡΟΣΗΜΑΣΜΕΝΕΣ ΜΕ ΙΝΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ) Μ 13 =-90kNm Μ 65 =-27,482kNm Μ 25 =90kNm Μ 63 =-27,482kNm a) ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΡΟΠΩΝ(Μ) f 1 = 15 ( 18)2 8 = 33,75 b) ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΤΑ x Πρέπει καταρχάς να βρω τις τέμνουσες στις θέσεις 1 και 2. Q 13= 0 ( 90) 3,60 =25kN Q 25= ,60 =25kN ΕΛΕΓΧΟΣ : ΣF x=0 25*2-50=0 0=0 ικανοποιείται.

8 8 c) ΣΚΑΡΙΦΗΜΑ ΕΛΑΣΤΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΗΣ

9 9 ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2009-ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ-Α.Π.Θ. ΘΕΜΑ 2o Για τον φορέα του σχήματος, να υπολογιστούν και σχεδιαστούν τα πλήρη διαγράμματα Μ όλων των στοιχείων του φορέα, λόγω ταυτόχρονης δράσης των q, P και w. Eπιπλέον να γίνει ένας ισορροπιακός έλεγχος όλων των ροπών των δυνάμεων ως προς το σημείο 3. Δίδονται: ΕΑ GA (εκτός της ράβδου ΕΑ 3-7=200000kN) q=20kn/m, P=40kN, w 2=2cm, L=3m ΕΙ=10 5 knm 2 σε όλο το φορέα Λύση: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΦΟΡΕΑ Κατασκευάζω το αντίστοιχο δικτύωμα του φορέα μου και ελέγχω αν είναι κινητό ή όχι. αριθμός δίσκων δ=6 αριθμός εσωτερικών αντιδράσεων σ=12 αριθμός εξωτερικών αντιδράσεων ξ=5 Η ράβδος (7,3) δεν λαμβάνεται υπόψη αφού έχει πεπερασμένο ΕΑ. ΕΛΕΓΧΟΣ: 3δ=3*6=18>ξ+σ=5+12=17. Άρα το αντίστοιχο δικτύωμα είναι μια φορά κινητό. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΦΟΡΕΑ tanφ= 3,6 1,5 φ=67,38ο l 73= 1, ,6 2 =3,9m

10 10 Επειδή ο αρχικός φορέας μου έχει καταναγκασμό (w) και το αντίστοιχο δικτύωμα του είναι κινητό η επίλυση του φορέα θα γίνει σε δύο βήματα: 1ο ΒΗΜΑ: Παγιώνω τον μεταφορικό βαθμό ελευθερίας του φορέα μου και κάνω στατική επίλυση μόνο για εξωτερικό αίτιο τον καταναγκασμό. Σκοπός μας είναι να βρούμε την δύναμη της παγίωσης. Έτσι ο προς επίλυση φορέας φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Εφόσον έχω παγιώσει τον μεταφορικό βαθμό ελευθερίας το αντίστοιχο δικτύωμα του φορέα μου από κινητό μετατρέπεται σε πάγιο. Έτσι ο μοναδικός άγνωστος για την επίλυση του διπλανού φορέα είναι η στροφή του στερεού κόμβου 6, δηλαδή η φ 6. ΕΥΡΕΣΗ ΑΡΧΙΚΩΝ ΡΟΠΩΝ ΜΕΛΩΝ ΦΟΡΕΑ Το μόνο εξωτερικό αίτιο είναι η υποχώρηση στήριξης στην θέση 2. Για να βρω τις αρχικές ροπές λόγω του προαναφερόμενου αιτίου παίρνω το αντίστοιχο δικτύωμα του φορέα και κατασκευάζω την παραμορφωμένη κατάσταση λόγω του w. Με βάση την παραμορφωμένη κατάσταση γίνεται εύκολα κατανοητό ότι αρχικές ροπές στον παγιωμένο φορέα δημιουργούνται μόνο στο τμήμα 6-5. Έτσι θα έχουμε: Μ ο 65 = 3ΕΙ l2 δ= ο 0,02 Μ 3, =-666,67kNm 1

11 11 ΕΥΡΕΣΗ ΤΕΛΙΚΩΝ ΡΟΠΩΝ ΜΕΛΩΝ ΦΟΡΕΑ Μ w 65 = 3ΕΙ 3 φ6-666,671 Μ w 65 = EIφ 6-666,67 2 Μ w 64 = 3ΕΙ 3 φ6 Μ 64 w =EIφ 6 3 0ι υπόλοιπες ροπές δηλαδη οι Μ w w 13, Μ 24 είναι μηδέν. ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΟΜΒΟΥ 6 ΣΜ=0 Μ w 65 +Μ w 64 =0 EIφ 6-666,67+EIφ 6=0 EIφ 6=333,33 4 ΤΕΛΙΚΕΣ ΡΟΠΕΣ (ΠΡΟΣΗΜΑΣΜΕΝΕΣ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ) Μ w 65 = 333,33-666,67=-333,33kNm Μ w 64 =333,33kNm ΤΕΛΙΚΕΣ ΡΟΠΕΣ ( ΠΡΟΣΗΜΑΣΜΕΝΕΣ ΜΕ ΙΝΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ) Μ w 65 =333,333kNm Μ w 64 =333,333kNm ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΡΟΠΩΝ

12 12 ΕΥΡΕΣΗ ΤΕΜΝΟΥΣΩΝ Q 46=Q 64= 0 333,33 =-111,11kN 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΟΜΒΟΥ 4 ΣF x=0 (4x)=111,11kN 2ο ΒΗΜΑ: Επιλύω τον αρχικό φορέα μου με την διαφορά ότι αντί για την υποχώρηση στήριξης στην θέση 2 βάζω στον φορέα μου την τιμή της αντίδρασης που βρήκα στην 1ο ΒΗΜΑ. Τα εξωτερικά φορτία μένουν ως έχουν. Δηλαδή ο προ επίλυση φορέας θα είναι ο αρχικός χωρίς τον καταναγκασμό του οποίου στην θέση του μπαίνει η αντίδραση της κύλισης που παγίωσε τον μεταφορικό βαθμό ελευθερίας. Οι άγνωστοι μου είναι η στροφή στον στερεό κόμβο 6(φ 6) και η οριζόντια μετακίνηση δ του ζυγώματος 34. ΕΥΡΕΣΗ ΑΡΧΙΚΩΝ ΡΟΠΩΝ Μ ο 65 = 20 3,02 Μ ο 8 65 =22,5kNm 5 ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟ ΔΙΚΤΥΩΜΑ y 13=y 24= δ 3,60 =0,2778δ 6 y 53=y 64= δ 3,0 =-0,333δ 7 y 56=y 34=0 8

13 13 ΕΥΡΕΣΗ ΤΕΛΙΚΩΝ ΡΟΠΩΝ ΜΕΛΩΝ ΦΟΡΕΑ Μ p 13 = 2EI 3,6 (1,5φ1-1,5y13)6 Μ p 13 = 2EI (-1,5*0,2778δ) Μ13=-0,2315EIδ 9 3,6 p 2EI Μ 24= 3,6 (1,5φ2-1,5y24)6 p 2EI Μ 24 = (-1,5*0,2778δ) Μ24=-0,2315EIδ 10 3,6 Μ p 65 = 2EI 3,0 (1,5φ6-1,5y56)+22,55,8 Μ p 65 =ΕΙφ 6+22,5 11 Μ p 64 = 2EI (1,5φ6-1,5y64) Μ p 7 3,0 64=ΕΙφ 6-ΕΙy 64 p Μ64 =ΕΙφ 6+0,333EIδ 12 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΟΜΒΟΥ 6 ΣΜ=0 11,12 Μ p 65 +Μ p 64 =0 ΕΙφ 6+22,5+ ΕΙφ 6+0,333ΕΙδ=0 2ΕΙφ 6+0,333ΕΙδ=-22,5 13 ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΔΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ p p p p Μ 6,7,8,9,10,12 13y13+Μ 24y24+Μ 64y64+Μ 65y65+R 1δ 1+F ελατδ ελατ=0 (-0,2315ΕΙδ*0,2778δ)+ +(-0,2315ΕΙδ*0,2778δ)+(ΕΙφ 6+0,333ΕΙδ)(-0,333δ)+0-(111,11-40)δ-(Κ ελατ δ ελατ)δ ελατ=0 14 Κ ελατ= ΕΑ l = =51.282,05kN/m 15 3,9 δ ελατ=δσυνφ 16 φ=67, Η 14 15,16,17-0,2397ΕΙδ-0,333ΕΙφ 6-71, ,18δ=0 18 Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων 13, 18θα έχουμε : ΕΙφ 6=31,886 δ=-2,5908* ΤΕΛΙΚΕΣ ΡΟΠΕΣ (ΠΡΟΣΗΜΑΣΜΕΝΕΣ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ) Η 9 19 p Μ 13=-0,2315*10 5*(-2,5908*10 3 )=59,977 knm Η Μ p 24 =-0,2315*10 5 *(-2,5908*10 3 )=59,977 knm Η Μ p 65 =31,886+22,5=54,386kNm

14 14 Η p Μ 64=31,886+0,333*10 5(-2,5908*10-3 )=-54,386 knm ΟΛΙΚΕΣ ΤΕΛΙΚΕΣ ΡΟΠΕΣ (ΠΡΟΣΗΜΑΣΜΕΝΕΣ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ) Μ 13 =Μ w 13 +Μ p 13 =0+59,977=59,977 knm Μ 24 =Μ w 24 +Μ p 24 =0+59,977=59,977 knm Μ 65 =Μ w 65 +Μ p 65 =-333,33+54,386=-278,944 knm Μ 64 =Μ w 64 +Μ p 64 =333,33+(-54,386)=+278,944 knm ΟΛΙΚΕΣ ΤΕΛΙΚΕΣ ΡΟΠΕΣ (ΠΡΟΣΗΜΑΣΜΕΝΕΣ ΜΕ ΙΝΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ) Μ 13 =59,977 knm Μ 24 =-59,977 knm Μ 65 =+278,944 knm Μ 64 =+278,944 knm a) ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΡΟΠΩΝ(Μ)

15 15 b) ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ 3 Πρέπει καταρχάς να βρω τις τέμνουσες και τις αξονικές στις θέσεις 1 και 2, καθώς και την αντίδραση της κύλισης στην θέση ,977 Q 13=Q 31 =-16,66kN 3,60 Q 24= 59,977 0 =-16,66kN=Q 42 3,60 Q 65= 278, ,0 =62,98kN 3,0 2,0 Q 64=Q 46= 0 278,944 =-92,98kN 3,0 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΟΜΒΟΥ 6 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΟΜΒΟΥ 5 ΣF x=0 N ,98=0 N 65=132,98kN=N 56 ΣF x=0 (5x)=132,98kN ΣF y=0 N 64=62,98kN=N 46 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΟΜΒΟΥ 4 ΣF y=0 N 42-62,98+30=0 N 42=32,98kN=N 24

16 16 ΕΛΕΓΧΟΣ: ΣΜ (3)=0 60*1,5*2-132,98*3+40*3+2*59,977-2*16,66*3,6+32,98*3=0 0=0 ικανοποιείται.