Κεφάλαιο 5 Φορείς με στοιχεία πεπερασμένης δυστένειας

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 5 Φορείς με στοιχεία πεπερασμένης δυστένειας"

Transcript

1 Κεφάλαιο Φορείς με στοιχεία πεπερασμένης δυστένειας Σύνοψη Οι ασκήσεις 0, και του κεφαλαίου αυτού αφορούν σε κινητούς ατενείς φορείς, οι οποίοι συμπεριλαμβάνουν μεταξύ άλλων και στοιχεία πεπερασμένης δυστένειας ΕΑ, δηλαδή στοιχεία που η μεταβολή του μήκους τους (μήκυνση, βράχυνση) δεν μπορεί να αγνοηθεί, αλλά πρέπει να ληφθεί υπόψη. Στην πράξη, τέτοια στοιχεία είναι συνήθως εντατήρες ή καλώδια, που προσομοιώνονται στο στατικό μοντέλο ως (αμφιαρθρωτές) ράβδοι. Για τις ράβδους αυτές αίρεται η παραδοχή της ατένειας ΕΑ, ενώ διατηρείται ως ρεαλιστική παραδοχή για τα υπόλοιπα στοιχεία (δοκούς, στύλους) του φορέα. Υπενθυμίζεται ότι, η παραδοχή της ατένειας στοχεύει στη μείωση του πλήθους των άγνωστων μετακινήσεων, δηλαδή στη μείωση του πλήθους των προς επίλυση εξισώσεων. Η μείωση αυτή είναι ιδιαίτερα σημαντική κατά τη «χειρωνακτική» επίλυση φορέων «με το χέρι». Εντούτοις, δεδομένου ότι στην πράξη όλοι οι υπολογισμοί διενεργούνται πλέον με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή και κατάλληλου λογισμικού, η μείωση των αγνώστων μέσω της παραδοχής της ατένειας (π.χ. για δοκούς ή/και στύλους) δεν είναι απαραίτητη, ακόμη κι αν η παραδοχή αυτή είναι ρεαλιστική. Προαπαιτούμενη γνώση Απαραίτητη είναι η προηγούμενη κατανόηση της θεωρίας της Μεθόδου μετακινήσεων (βλ. π.χ. []κεφ.) και οπωσδήποτε η μελέτη των ασκήσεων των προηγηθέντων κεφαλαίων,, και. Σε κάθε περίπτωση απαιτείται καλή γνώση της Στατικής των ισοστατικών φορέων, καθώς και επαρκής εξοικείωση με τη Μέθοδο των υπεραρίθμων δυνάμεων για υπερστατικούς φορείς (βλ. π.χ. [] και []κεφ., καθώς και λοιπή σχετική βιβλιογραφία της παραγράφου Ε).

2 Εκφώνηση Άσκηση 0 Ο φορέας του σχήματος 0.0, του οποίου το στοιχείο θεωρείται απολύτως στερεό, να επιλυθεί με τη ΜΜ. Να σχεδιαστούν τα διαγράμματα Μ, Q, Ν και η παραμορφωμένη κατάσταση του φορέα. ΔΕΔΟΜΕΝΑ Γεωμετρία Φόρτιση L L =.00m =00k L =.00m Απολύτως στερεό στοιχείο EI=0, GA S =0 L Οριζόντιες ράβδοι EA =ΕΑ=0 k EA =/(ΕΑ) EA =/(ΕΑ) L L EA =/(ΕΑ) Σχήμα 0.0 Δεδομένος Φορέας Γεωμετρία, υλικό, φόρτιση. Λύση Βήμα. Καθορισμός του ΓΚΣ Ο φορέας αποτελείται από το απολύτως στερεό στοιχείο και από τέσσερεις οριζόντιες ράβδους πεπερασμένης δυστένειας. Λόγω του γεγονότος ότι το στοιχείο στηρίζεται ακλόνητα μόνο κατά την κατακόρυφη διεύθυνση, οι βαθμοί ελευθερίας (ΒΕ) του, και άρα οι ΒΕ του δεδομένου φορέα, είναι η οριζόντια παράλληλη μετατόπισή του και η στροφή της χορδής του. Για τον καθορισμό του ΓΚΣ θα πρέπει, επομένως, να δεσμευτούν αυτοί οι δυο ΒΕ, π.χ., με έναν από τους δυο τρόπους του σχήματος 0.. Για την ακόλουθη επίλυση επιλέγεται το ΓΚΣ του σχήματος 0.(α). (α) (β) Σχήμα 0. Καθορισμός του ΓΚΣ φορέα: (α) με δέσμευση της οριζόντιας μετακίνησης του κόμβου και παγίωση της χορδής, (β) με δέσμευση των οριζοντίων μετακινήσεων των κόμβων και. Ο πρόβολος αφαιρείται για λόγους απλούστευσης και υποκαθίσταται από τα φορτία διατομής που δρούν στον κόμβο (βλ. Σχ. 0.). fl L Σχήμα 0. Υποκατάσταση του ισοστατικού τμήματος από τις αντιδράσεις του.

3 Βήμα. Υπολογισμός των μεγεθών έντασης/μετακίνησης της κατάστασης "0" Στην κατάσταση "0" οι κόμβοι και παραμένουν αμετατόπιστοι. Επομένως, οι τέσσερεις ράβδοι διατηρούν αμετάβλητο το μήκος τους και, άρα, παραμένουν άτονες. Όλη η εξωτερική φόρτιση παραλαμβάνεται από τους προστεθέντες συνδέσμους. Η ροπή L δημιουργεί, βεβαίως, καμπτική ένταση στο στοιχείο, το οποίο όμως εξ ορισμού δεν μπορεί να υποστεί καμπτική (ούτε και άλλη) παραμόρφωση. Κ 0 Κ 0 L,0,0 0 0,0,0 0 0 Σχήμα 0. Παραμόρφωση και ένταση του ΓΚΣ στην κατάσταση 0. Βήμα. Υπολογισμός μεγεθών έντασης/μετακίνησης των καταστάσεων ξ i = (i=,) Κ Κ ' m ξ = u = ξ L = m, Η ράβδος θλίβεται: u, EA, EA.k L Η ράβδος εφελκύεται:,, EA, u L 0, EA Σχήμα 0. Παραμόρφωση και ένταση του ΓΚΣ στην κατάσταση ξ =..k Οι ράβδοι και εφελκύονται, ενώ οι ράβδοι και θλίβονται: u =ξ =, u, =ξ = Κ ξ = ' ' Κ,,,, EA EA EA EA u L u L, u L, u L,, EA EA EA EA k. m EA k 8. m EA k 0 8 m EA k EA 00 m Σχήμα 0. Παραμόρφωση και ένταση του ΓΚΣ στην κατάσταση ξ =. Σημείωση: Υπενθυμίζεται ότι, για λόγους καλύτερης εποπτείας, η κλίμακα σχεδίασης των μετακινήσεων είναι, κατά κανόνα, διαφορετική από την κλίμακα σχεδίασης του φορέα. Έτσι, π.χ., η οριζόντια μετατόπιση του κόμβου στην κατάσταση "ξ =" είναι αριθμητικά ίση με L =m, όσο, δηλαδή, και το μήκος τoυ στοιχείου, σχεδιάστηκε, όμως, πολύ μικρότερη για να φαίνεται καλύτερα η παραμορφωμένη κατάσταση. Βήμα. Υπολογισμός των συντελεστών φορτίου Κ i0 και στιβαρότητας Κ i και Κ i (i=,) Οι συντελεστές Κ i0, Κ i και Κ i είναι οι αντιδράσεις της προστεθείσας δεσμικής ράβδου i στις καταστάσεις "0", "ξ =" και "ξ =" αντίστοιχα. Ο υπολογισμός τους θα γίνει με εφαρμογή της αρχής των δυνατών έργων (ΑΔΕ). Προς τούτο καταγράφονται τα δυνατά έργα που παράγει κάθε μία από τις εντασιακές καταστάσεις "0", "ξ =" και "ξ =" επί των δυνατών μετακινήσεων των δύο καταστάσεων "ξ = ν " (βλ. σχήματα 0. έως 0.) και "ξ = ν " (βλ. σχήματα 0. έως 0.) και τίθενται ίσα με το μηδέν.

4 Σημείωση: Στα έξι παρακάτω σχήματα η αρχική θέση του στοιχείου δίνεται σε ανοικτό γκρι χρώμα, ενώ η θέση του μετά την επιβολή της δυνατής μετακίνησης ("ξ = ν " και "ξ = ν ") σε μπλε χρώμα. Επίσης, σε ανοικτό γκρι χρώμα δίνονται τα εντασιακά μεγέθη στις θέσεις που δρούσαν πριν την επιβολή της δυνατής μετακίνησης, ενώ στις θέσεις που δρουν μετά την επιβολή της δυνατής μετακίνησης δίνονται σε κόκκινο χρώμα (φορτία διατομής και αντιδράσεις Κ mn ) ή σε μαύρο χρώμα (εξωτερικά φορτία). Τέλος, οι οριζόντιες ράβδοι, που μηκύνονται κατά την δυνατή μετακίνηση, δίνονται σε πράσινο, ενώ εκείνες που βραχύνονται σε μπλε χρώμα.,0 Κ ' L 0 L ξ =,0 K L 0 0,0,0 K K 0 00km Σχήμα 0. Υπολογισμός του συντελεστή Κ 0 με την ΑΔΕ., ', Κ ξ = K 0,, EA EA K 0 K K km Σχήμα 0. Υπολογισμός του συντελεστή Κ με την ΑΔΕ., ', Κ ξ = K 0,, EA EA K 0 K K km m Σχήμα 0. Υπολογισμός του συντελεστή Κ με την ΑΔΕ.

5 ,0 ',0 L L ξ = K 0 0,0,0,0,0 0 K K k Κ 0,0,0 Σχήμα 0. Υπολογισμός του συντελεστή Κ 0 με την ΑΔΕ. ', ', ξ = K 0,,,, EA EA K EA EA K K 0000k, Κ, ' Σχήμα 0. Υπολογισμός του συντελεστή Κ με την ΑΔΕ., ', ξ = K 0,,,, EA EA EA EA K 0 8 EA K 0 K 0k m, Κ, ' Σχήμα 0. Υπολογισμός του συντελεστή Κ με την ΑΔΕ. Βήμα. Κατάστρωση του συστήματος εξισώσεων ισορροπίας και υπολογισμός των ξ i Οι εξισώσεις ισορροπίας εκφράζουν τη συνθήκη μηδενισμού των αντιδράσεων πάκτωσης και παγίωσης Κ, Κ στον δεδομένο φορέα. Σύμφωνα με τα προηγηθέντα έχουμε: K K ξ Κ ξ Κ ξ Κ ξ Κ ξ0000 ξ ξ0 ξ 00 0 ξ 0.0 rad ξ 0.0 m Βήμα. Τελικά μεγέθη έντασης λόγω της δεδομένης φόρτισης Αξονικές δυνάμεις

6 Η αξονική δύναμη του κατακόρυφου στοιχείου είναι ίση με το μηδέν, διότι () το στοιχείο δεν φορτίζεται από κάποιο κατακόρυφο (αξονικό) εξωτερικό φορτίο, και () οι τέσσερεις οριζόντιες ράβδοι, που συνδέονται σε αυτό, έχουν μηδενικές τέμνουσες δυνάμεις. Οι τιμές των αξονικών δυνάμεων των τεσσάρων ράβδων του φορέα υπολογίζονται ακολούθως, με εφαρμογή της αρχής της επαλληλίας.,0,0,0,0,,,, ξ ξ ξ ξ,,,, ξ ξ 0. ξ 0 0 ξ 0 0.k k k k Ροπές κάμψης Ροπές κάμψης αναπτύσσονται μόνον στο απολύτως στερεό στοιχείο. Με γνωστές, πλέον, τις αξονικές δυνάμεις των ράβδων, ο υπολογισμός των Μ (όπως και των Q) του στοιχείου μπορεί να γίνει πολύ απλά με απόσπασή του από τον υπόλοιπο φορέα και εφαρμογή των συνθηκών ισορροπίας (βλ. Σχ. 0.). Η τιμή της ροπής στους κόμβους και είναι, προφανώς, ίση με το μηδέν, ενώ η τιμή της στον κόμβο προκύπτει από την κατάστρωση της εξίσωσης ισορροπίας των ροπών για το τμήμα ή : L 00 00km =00k Σχήμα 0. Υπολογισμός των Μ και Q του απολύτως στερεού στοιχείου. Παρατήρηση: Λόγω της άρθρωσης στον κόμβο, το άθροισμα των ροπών ως προς τον κόμβο αυτόν οφείλει να είναι μηδενικό ( ανεξάρτητος έλεγχος!). Πράγματι: Τέμνουσες δυνάμεις Οι τέμνουσες δυνάμεις του στοιχείου προκύπτουν με τη βοήθεια των συνθηκών ισορροπίας δυνάμεων κατά : x 0 για το τμήμα : Q 0 Q 00k x 0 για τον κόμβο : Q Q 0 Q k x 0 για τον κόμβο : Q 0 Q k Στο παρακάτω σχήμα 0.8 δίνονται τα διαγράμματα Μ, Q, Ν και η τελική παραμόρφωση του φορέα υπό το δεδομένο φορτίο.

7 [km] 00 Q [k] 00 [k]. 8. ξ = 0.0rad 0 ξ = 0.0m Σχήμα 0.8 Τα διαγράμματα Μ, Q, Ν και η παραμόρφωση του φορέα υπό την δεδομένη φόρτιση. Η ορθότητα των αποτελεσμάτων ελέγχεται μερικώς με τους ακόλουθους ισορροπιακούς ελέγχους. Βήμα. Έλεγχοι αποτελεσμάτων Ακολούθως διενεργούνται τρεις ισορροπιακοί έλεγχοι για ολόκληρο τον φορέα (βλ. Σχ. 0.9). 00 k F k x F 0 k z km Σχήμα 0.9 Ισορροπιακοί έλεγχοι σε ολόκληρο τον φορέα. Οι τρεις παραπάνω συνθήκες ισορροπίας ικανοποιούνται. Περαιτέρω ισορροπιακοί έλεγχοι, καθώς και οι έλεγχοι συμβιβαστού επαφίενται ως άσκηση στον αναγνώστη.

8 Εκφώνηση Άσκηση Για τον φορέα του σχήματος.0 να υπολογιστούν με τη βοήθεια της ΜΜ (α) η βύθιση z του κόμβου, (β) η αξονική δύναμη Ν της δοκού, και (γ) η ροπή πάκτωσης Μ..00 ΔΕΔΟΜΕΝΑ θ=. EI =00000 km.00 EΑ GA s =00 k θ c EΑ =00 k c =0000 km/rad Σχήμα.0 Δεδομένος φορέας Γεωμετρία, υλικό, φόρτιση. Λύση Βήμα. Καθορισμός του ΓΚΣ Λόγω της πεπερασμένης δυστένειας της ράβδου, ο κόμβος έχει δυνατότητα μετακίνησης κατά την έννοια του άξονα Ζ. Επιπλέον, η ύπαρξη του στροφικού ελατηρίου στον κόμβο, προσδίδει στον συγκεκριμένο κόμβο δυνατότητα ελαστικής στροφής. Σχήμα. Το ΓΚΣ του φορέα. Με βάση τα παραπάνω και με δεδομένη τη διαθεσιμότητα πινάκων μονόπακτης δοκού, το ΓΚΣ του δεδομένου φορέα προκύπτει με τη δικινητή πάκτωση του κόμβου και την παγίωση της στροφής της χορδής της δοκού (Σχ..). Βήμα. Οι καταστάσεις "0", "ξ =" και "ξ =" Στο ακόλουθο σχήμα. δίνονται η παραμόρφωση και τα αναπτυσσόμενα εντασιακά μεγέθη της κατάστασης εξωτερικής φόρτισης "0" και των δύο μοναδιαίων καταστάσεων μετακίνησης "ξ =" και "ξ =" στο ΓΚΣ. 8

9 Κατάσταση "0",0=0 a=.00 =00 k b=.00 Κ 0 c,0 00 a a L 8 0km,0,0,0 0 Κ 0 " ξ = " =0, Κ ξ = Κ E, c φ ξ, EI L 0 8 φ 00km, E, c 0000km " ξ = ",, 0 θ=. ' ' θ ξ = L,, Κ Κ, ' c ιάγραμμα Williot Ω, ', ' θ 8m ', L =8 sinθ=.,, EI L, EA ψ L L km k Σχήμα. Παραμόρφωση και ένταση του ΓΚΣ στις καταστάσεις "0", "ξ =", και "ξ =". Παρατηρήσεις:. Για τον συμβολισμό των στροφικών ελατηρίων και τη σχετική σύμβαση θετικών προσήμων για την αναπτυσσόμενη σε αυτά στρεπτική ροπή βλ. Άσκηση, Σχ... Σύμφωνα με αυτήν, η ροπή Μ Ε, που αναπτύσσεται στο στροφικό ελατήριο στην κατάσταση "ξ =" έχει αρνητικό πρόσημο, θεωρούμενη ως αντιστεκόμενη στη θετική καταναγκασμένη στροφή του κόμβου.. Υπενθυμίζεται, ότι για λόγους καλύτερης εποπτείας, η κλίμακα σχεδίασης των μετακινήσεων είναι, κατά κανόνα, διαφορετική από την κλίμακα σχεδίασης του φορέα. Έτσι, η βύθιση z, του κόμβου στην κατάσταση "ξ =" είναι αριθμητικά ίση με z, = 8m, όσο, δηλαδή, και το μήκος της δοκού, σχεδιάστηκε, όμως, πολύ μικρότερη για να φαίνεται καλύτερα η παραμορφωμένη κατάσταση. Παράλληλα, όμως, επισημαίνεται, ότι δεν πρέπει να ξενίζει το μεγάλο μέγεθος των μετακινήσεων που εμφανίζονται στις μοναδιαίες αυτές καταστάσεις, διότι δεν πρόκειται για πραγματικές καταστάσεις έντασης και παραμόρφωσης, αλλά για ενδιάμεσες βοηθητικές καταστάσεις στα πλαίσια της υπολογιστικής διαδικασίας. Για όλες αυτές τις μετακινήσεις ισχύουν οι κανόνες της απειροστής γεωμετρίας (μικρές μετακινήσεις, sinφ=φ, cosφ=, κτλ). 9

10 . Η αξονική δύναμη Ν, της ράβδου στην κατάσταση "ξ =" είναι θετική, διότι η ράβδος μηκύνεται και, άρα, εφελκύεται. Είναι σαφές ότι η αξονική αυτή δύναμη είναι σταθερή σε όλο το μήκος της ράβδου και, επομένως, για τα δύο άκρα της ισχύει Ν, =Ν,.. Οι αξονικές δυνάμεις Ν,0 και Ν, της ράβδου είναι, προφανώς, ίσες με το μηδέν, διότι στις καταστάσεις "0" και "ξ =" δεν αλλάζει το μήκος της ράβδου.. Υπενθυμίζεται ότι, εφόσον οι επιβαλλόμενες μοναδιαίες στροφές ξ =φ = και ξ =ψ = είναι αδιάστατες (Σημ.: Κανονικά οι στροφές μετιούνται σε [rad]), οι μονάδες μέτρησης των αναπτυσσόμενων στις καταστάσεις "ξ n =" (n=,) ροπών είναι όχι [km], αλλά [km/rad]. Αντίστοιχα, οι αναπτυσσόμενες δυνάμεις μετριούνται σε [k/rad]. Εντούτοις, όπως επανειλημμένα αναφέρθηκε σε προηγούμενες ασκήσεις (βλ. π.χ. σχετικές παρατηρήσεις στο βήμα της Άσκησης και της Άσκησης ), κατά κανόνα παραλείπεται το '/rad', οπότε οι ροπές δίνονται σε [km] και οι δυνάμεις σε [k]. Βήμα. Υπολογισμός των συντελεστών φορτίου Κ i0 και στιβαρότητας Κ ij (i, j =, ) Ο υπολογισμός των συντελεστών Κ 0, Κ, Κ, οι οποίοι εκφράζουν τη ροπήαντίδραση της δικινητής πάκτωσης του κόμβου, θα γίνει με τη βοήθεια των εξισώσεων ισορροπίας των ροπών στον συγκεκριμένο κόμβο για κάθε μία από τις τρεις καταστάσεις "0", "ξ =" και "ξ =". Με τη βοήθεια των δεδομένων του σχήματος. προκύπτουν: K K K 0,0 E,, 0 K, 0 K 0 0 K,,0 K E, K 0 0km, ( 0000) km 00km Ο υπολογισμός των συντελεστών Κ 0, Κ, Κ, οι οποίοι εκφράζουν τη ροπήαντίδραση της παγίωσης της χορδής της δοκού, θα γίνει με εφαρμογή της αρχής των δυνατών έργων. Προς τούτο, το ΓΚΣ μετατρέπεται κατ αρχάς σε κινηματική αλυσίδα με τέτοιο τρόπο, ώστε κατά τη θεωρούμενη δυνατή μετακίνηση να παράγεται έργο μόνο από τον εκάστοτε ζητούμενο συντελεστή Κ i. Η μετατροπή του ΓΚΣ σε κινηματική αλυσίδα απαιτεί αφενός την εισαγωγή μιας καμπτικής άρθρωσης* ) στον κόμβο και αφετέρου την εισαγωγή μιας αξονικής άρθρωσης** ) στη ράβδο, όπως φαίνεται στο σχήμα.. Ταυτόχρονα, προκειμένου να διατηρηθεί η εκάστοτε θεωρούμενη κατάσταση έντασης, θα πρέπει να προσαχθούν στις θέσεις των εισαγομένων αρθρώσεων οι εσωτερικές δυνάμεις/ροπές (ζεύγη δυνάμεων/ ροπών) που προϋπάρχουν στο ΓΚΣ στην εξεταζόμενη κατάσταση. Για τον υπολογισμό, π.χ., του συντελεστή Κ 0 αθροίζονται τα δυνατά έργα που εκτελούν οι εξωτερικές και οι εσωτερικές δυνάμεις/ροπές της κατάστασης 0 κατά τη δυνατή μετακίνηση "ξ = ". Θέτοντας, σύμφωνα με την αρχή των δυνατών έργων, το άθροισμα αυτό ίσο με το μηδέν, προκύπτει ο ζητούμενος συντελεστής Κ 0. Η διαδικασία υπολογισμού γίνεται με τη βοήθεια του σχήματος.. *) Η καμπτική άρθρωση δεν επιτρέπει τη μεταβίβαση καμπτικών ροπών, ενώ επιτρέπει τη μεταβίβαση τεμνουσών και αξονικών δυνάμεων. Παράλληλα, επιτρέπει τη διαφορετική στροφή στα άκρα των συντρεχουσών στην άρθρωση δοκών, δηλαδή την ανάπτυξη μιας διαφοράς στροφών φ ('γόνατο'). **) Η αξονική άρθρωση δεν επιτρέπει τη μεταβίβαση αξονικών δυνάμεων, ενώ επιτρέπει τη μεταβίβαση ροπών κάμψης και τεμνουσών δυνάμεων. Παράλληλα, επιτρέπει τη διαφορετική αξονική μετακίνηση των σημείων εκατέρωθεν αυτής, δηλαδή την ανάπτυξη μιας διαφοράς αξονικής μετατόπισης u= L ('χάσμα'). 0

11 ' L, =. 8.0m ' ξ = =0,0 = (8.0/) ' z Κ 0,0 c 8 W K 0 K K0 e 0,0 z Κ 0 0 0km ' L =., =0, E, Κ c 8.0m ξ = ' Κ, ' We K, 0 K 00 0 K 00km (Έλεγχος: Ο συντελεστής Κ προκύπτει, ως όφειλε, ίσος με τον συντελεστή Κ ) ' L =.,, Κ c 8.0m ' ξ = Κ, ' W K e K,, K L, 0 K 9900km Σχήμα. Υπολογισμός των συντελεστών Κ 0, Κ, Κ με την ΑΔΕ. Βήμα. Κατάστρωση των εξισώσεων ισορροπίας και υπολογισμός των ξ και ξ Ο υπολογισμός των υπεραρίθμων γεωμετρικών μεγεθών ξ, ξ επιτυγχάνεται μέσω της συνθήκης μηδενισμού των αντιδράσεων πάκτωσης Κ και παγίωσης Κ, οι εκφράσεις των οποίων προκύπτουν με εφαρμογή της αρχής της επαλληλίας: K ξ Κ ξ Κ 0 K ξ 00 ξ 0 0 ξ.80 0 rad K ξκ ξ Κ0 0 K 0 00 ξ 9900 ξ 0 0 ξ.8 0 rad

12 Βήμα. Υπολογισμός της βύθισης z, της αξονικής δύναμης Ν, και της ροπής Μ. Ο υπολογισμός της βύθισης z του κόμβου θα γίνει με εφαρμογή της αρχής της επαλληλίας: ξ ξ m.0 cm z z,0 z, z, z Με τον ίδιο τρόπο γίνεται ο υπολογισμός της ροπής πάκτωσης Μ :,0, 0 00 ξ, ξ,0, ξ, km ξ Τέλος, η αξονική δύναμη της δοκού υπολογίζεται από την κατάστρωση της συνθήκης ισορροπίας των οριζοντίων δυνάμεων του κόμβου : θ Q cosθ 0 Ν Ν cosθ Ν,0,,, Ν Ν Ν ξ Ν ξ 00 ξ Ν ξ 0..k

13 Εκφώνηση Άσκηση Έστω ο φορέας του σχήματος.0, ο οποίος προκύπτει από τον φορέα της Άσκησης 9 με την προσθήκη των διαγώνιων ράβδων και, οι οποίες θεωρούμε ότι έχουν πεπερασμένη δυστένεια και δεν συνδέονται στο σημείο διασταύρωσής τους. Να μελετηθεί η επιρροή των προστιθέμενων ράβδων σε όλα τα επί μέρους βήματα της διαδικασίας επίλυσης με τη ΜΜ, καθώς και στην τελική παραμορφωσιακή και εντασιακή κατάσταση του φορέα της Άσκησης 8 (μετακινήσεις κόμβων και διαγράμματα ροπών Μ και τεμνουσών Q).. ΔΕΔΟΜΕΝΑ L Γεωμετρία: L =.00m, L =.00m L L Φόρτιση: =0k Δοκοί/Στύλοι EI = EI =0 km EI = 0 km EA GA s L Ράβδοι: EΑ = EΑ =0 k Σχήμα.0 Δεδομένος φορέας Γεωμετρία, υλικό, φόρτιση. Λύση Τα σημεία διαφοροποίησης που προκύπτουν από την προσθήκη των διαγωνίων ράβδων και στον φορέα της Άσκησης 9, θα παρουσιαστούν ξεχωριστά για κάθε ένα από τα βήματα της διαδικασίας επίλυσης με τη ΜΜ. Βήμα. Καθορισμός του ΓΚΣ Η προσθήκη των διαγωνίων ράβδων δεν μεταβάλλει το ΓΚΣ του δεδομένου φορέα (βλ. Σχ..(α)) σε σχέση με το ΓΚΣ του φορέα της Άσκησης 9 (βλ. Σχ..(β)), διότι αυτές λόγω της πεπερασμένης τους δυστένειας δεν δεσμεύουν καμία από τις υφιστάμενες ελευθερίες κίνησης του πλαισίου. Σημειώνεται, ότι αν οι ράβδοι και ήταν ατενείς, ο φορέας θα μετατρεπόταν σε υπερπάγιο σύστημα, με αποτέλεσμα αφενός τη μείωση των αγνώστων γεωμετρικών μεγεθών σε δύο (στροφή κόμβου και στροφή κόμβου ) και αφετέρου την αδυναμία υπολογισμού των αξονικών του δυνάμεων. (α) (β) Σχήμα. Το ΓΚΣ (α) του δεδομένου φορέα και (β) του φορέα της Άσκησης 8.

14 Βήμα. Υπολογισμός μεγεθών έντασης/μετακίνησης των καταστάσεων "ξ i =" (i=,,) Οι μοναδιαίες καταστάσεις ξ = και ξ = δεν επηρεάζονται από την προσθήκη των δύο ράβδων, διότι λόγω της (εξ ορισμού) αρθρωτής σύνδεσης των τελευταίων στους κόμβους και, δεν αναπτύσσεται καμία επιπλέον αντίσταση κατά τον μοναδιαίο στροφικό καταναγκασμό των κόμβων αυτών. Αντίθετα, η προσθήκη των δύο ράβδων επηρεάζει την κατάσταση ξ = (βλ. Σχ..). Στην κατάσταση αυτή, η μετατόπιση των κόμβων και οδηγεί σε μεταβολή του μήκους των προστεθεισών ράβδων, στις οποίες, έτσι, αναπτύσσονται αξονικές δυνάμεις. Οι τελευταίες μεταβάλλουν μεν την εντασιακή κατάσταση του ΓΚΣ, χωρίς, όμως, να επηρεάζουν καθόλου τις καμπτικές ροπές των στύλων και του ζυγώματος, οι οποίες εξαρτώνται μόνον από τις οριζόντιες μετατοπίσεις των κόμβων και. Συνεπώς, οι συντελεστές Κ και Κ του μητρώου στιβαρότητας, που εξαρτώνται από τις επικόμβιες ροπές στην κατάσταση ξ =, παραμένουν ανεπηρέαστοι από την ύπαρξη των δύο διαγώνιων ράβδων. Αντίθετα, επηρεάζεται ο συντελεστής Κ, όπως θα φανεί πιο κάτω. ', 8m Κ Κ 8m ΙΑΓΡΑΜΜΑTA Williot ' 8m ', ' Ω, ', ', L,, L, =8 cos()=.m Κ ψ,, _ ' ξ =, _ ', 8m ', ' Ω, ', '. L, L = 8 cos(.)=.80m, ψ (Το αρνητικό πρόσημο του ΔL, οφείλεται στο γεγονός ότι η ράβδος θλίβεται),,,,, ξ,,,, EA EA ψ, EI L EI L L L L L x L ψ,, ψ,, x km.k m k 0..k 8.8 Σχήμα. Παραμόρφωση και ένταση του ΓΚΣ στην κατάσταση ξ =. Βιντεοπαρουσίαση του σχήματος.: Βήμα. Υπολογισμός των απαιτούμενων μεγεθών έντασης της κατάστασης "0" Στην κατάσταση 0 όλοι οι κόμβοι παραμένουν αμετακίνητοι και επομένως οι ράβδοι και παραμένουν άτονες. Άρα, η ένταση που αναπτύσσεται στο ΓΚΣ του φορέα του σχήματος.0 δεν διαφοροποιείται από την ένταση που αναπτύσσεται στο ΓΚΣ του φορέα της Άσκησης 9 (βλ. Σχ. 9.).

15 Βήμα. Υπολογισμός των συντελεστών στιβαρότητας και φόρτισης Συντελεστές στιβαρότητας Κ i, Κ i, K i (i=,,) Ήδη στο προηγούμενο βήμα συμπεράναμε ότι ο μόνος συντελεστής στιβαρότητας που επηρεάζεται από την προσθήκη των δύο διαγώνιων ράβδων είναι ο Κ. Ο υπολογισμός του Κ γίνεται με εφαρμογή της ΑΔΕ (βλ. Σχ..)., 8m L,, 8m Κ, ψ =., ψ =,, L,,, W 0 K K e K ψ, km,,,, ψ,, L,, L, Σχήμα. Κατάσταση "ξ = ν " με ένταση από την κατάσταση "ξ =" για τον υπολογισμό του Κ. Το προηγούμενο συμπέρασμα, ότι δηλαδή η προσθήκη των δύο διαγώνιων ράβδων μεταβάλλει μόνον τον συντελεστή στιβαρότητας Κ, μπορεί να τεκμηριωθεί και με διαφορετικό τρόπο ως εξής: Εφόσον, όπως προαναφέρθηκε, η προσθήκη των δύο ράβδων επηρεάζει μόνον την κατάσταση ξ =" αφήνοντας ανεπηρέαστες τις καταστάσεις ξ = και ξ =, οι μόνοι συντελεστές στιβαρότητας Κ ij που θα μπορούσαν να μεταβληθούν, είναι οι συντελεστές που αφορούν στην κατάσταση ξ =", δηλαδή οι Κ, Κ, και Κ. Λόγω, όμως, της συμμετρίας του μητρώου στιβαρότητας, προκύπτει το λογικό συμπέρασμα, ότι οι συντελεστές Κ, Κ δεν μεταβάλλονται από την προσθήκη των ράβδων, διότι είναι αντιστοίχως ίσοι με τους συντελεστές Κ, Κ, οι οποίοι υπολογίζονται από τις μοναδιαίες καταστάσεις ξ = και ξ = που παραμένουν αμετάβλητες. Επομένως, ο μόνος συντελεστής που μεταβάλλεται έναντι του φορέα της Άσκησης 8, είναι ο Κ. Συντελεστές φόρτισης Κ i0 (i=,,) Εφόσον η ένταση στην κατάσταση "0" παραμένει αμετάβλητη, οι φορτιστικοί όροι Κ i0 παραμένουν και αυτοί αμετάβλητοι. Επομένως, οι τιμές τους είναι ίδιες όπως και στην Άσκηση 8: K 0 K 0 0 K Βήμα. Επίλυση του συστήματος εξισώσεων και υπολογισμός των ξ i (i=,,) Το σύστημα των τριών επιλυουσών εξισώσεων ισορροπίας δίνεται παρακάτω. Από την επίλυσή του προκύπτουν οι τιμές των τριών αγνώστων μεγεθών μετακίνησης ξ i (i=,,), ενώ σε αγκύλες δίνονται τα αντίστοιχα μεγέθη της Άσκησης 9 (δηλ. του πλαισίου χωρίς τις διαγώνιες ράβδους): K 0 09 ξ000 ξ. ξ 0 0 ξ rad K ξ90000 ξ 0000 ξ 0 0 ξ rad K 0. ξ0000 ξ 0. ξ 0 ξ rad

16 Από τη σύγκριση προκύπτει ότι, η προσθήκη των δύο διαγώνιων ράβδων μειώνει δραστικά τη στροφή χορδής του στύλου (από. σε.9 [rad/0 ]) και, κατά συνέπεια, την οριζόντια μετατόπιση του πλαισίου, όπως άλλωστε ήταν και διαισθητικά αναμενόμενο. Παράλληλα, η μεν στροφή ξ του κόμβου μειώνεται επίσης, ενώ, αντίθετα, αυξάνει η στροφή ξ του κόμβου, γεγονός που δεν μπορεί να προβλεφθεί διαισθητικά με βεβαιότητα, αλλά απαιτεί υπολογισμό. Όσον αφορά στις αναμενόμενες μεταβολές των εντασιακών μεγεθών, μπορεί να ειπωθεί ότι, λόγω της μείωσης της οριζόντιας μετατόπισης, θα πρέπει να αναμένονται γενικώς μικρότερες ροπές, χωρίς, όμως, αυτό να αποκλείει την αύξηση των ροπών σε ορισμένους κόμβους του φορέα. Πράγματι, η γενική αυτή εκτίμηση επαληθεύεται από τους υπολογισμούς (βλ. ακόλουθο Βήμα, Σχ.. και Σχ..). Βήμα. Τελικά μεγέθη έντασης λόγω της δεδομένης φόρτισης Ακολουθώντας τη διαδικασία, που περιγράφηκε αναλυτικά στις προηγούμενες ασκήσεις, προκύπτουν τα διαγράμματα ροπών και τεμνουσών που δίνονται στο παρακάτω σχήμα.. [km] Q [k] Σχήμα. Διαγράμματα Μ και Q του δεδομένου φορέα (πλαίσιο με διαγώνιες ράβδους πεπερασμένης δυστένειας) υπό την δεδομένη φόρτιση (= φόρτιση α της Άσκησης 9). Για λόγους σύγκρισης παρατίθενται ακολούθως τα διαγράμματα του φορέα της Άσκησης 9 (χωρίς διαγώνιες ράβδους) του επόμενου κεφαλαίου: [km] Q [k] Σχήμα. Διαγράμματα Μ και Q του φορέα της Άσκησης 9 (πλαίσιο χωρίς διαγώνιες ράβδους) για την φόρτιση α. Με βάση τα παραπάνω μπορεί να ειπωθεί ότι, η τοποθέτηση διαγώνιων ράβδων οπωσδήποτε οδηγεί σε μείωση των οριζοντίων μετατοπίσεων (σύγκρ. τις τιμές της ξ ), ενώ η επίδραση στις ροπές και τις τέμνουσες των στύλων και του ζυγώματος του πλαισίου μπορεί να είναι, γενικώς, μειωτική, αν και όχι σε κάθε περίπτωση.

17 Βιβλιογραφικές αναφορές [] Αβραμίδης, Ι.Ε. (0). Στατική των Κατασκευών, Τόμος Ι: Θεμελιώδεις αρχές και ισοστατικοί φορείς. Θεσσαλονίκη: Αυτοέκδοση. [] Αβραμίδης, Ι.Ε., (0). Στατική των Κατασκευών, Τόμος ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς Κλασικές Μέθοδοι Ανάλυσης. Θεσσαλονίκη: Αυτοέκδοση.

Κεφάλαιο 2 Κινητοί ατενείς φορείς με ή χωρίς ελαστικές στηρίξεις/πακτώσεις

Κεφάλαιο 2 Κινητοί ατενείς φορείς με ή χωρίς ελαστικές στηρίξεις/πακτώσεις ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Κεφάλαιο Κινητοί ατενείς φορείς με ή χωρίς ελαστικές στηρίξεις/πακτώσεις Σύνοη Οι ασκήσεις έως 6 του κεφαλαίου αυτού, αφορούν σε κινητούς ατενείς φορείς. Στην Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Συγκριτική επίλυση φορέων με και χωρίς ατένεια

Κεφάλαιο 4 Συγκριτική επίλυση φορέων με και χωρίς ατένεια ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΗΣΕΙΣ εφάλαιο εφάλαιο Συγκριτική επίλυση φορέων με και χωρίς ατένεια Σύνοψη Η άσκηση 9, που περιέχεται στο κεφάλαιο αυτό, αφορά στον υπολογισμό ενός δίστυλου κινητού πλαισίου για

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.. 1. Σύνοψη των βημάτων επίλυσης φορέων με τη ΜΜ.. xiv. 2. Συμβάσεις προσήμων...

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.. 1. Σύνοψη των βημάτων επίλυσης φορέων με τη ΜΜ.. xiv. 2. Συμβάσεις προσήμων... ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.. iii. Σύνοψη των βημάτων επίλυσης φορέων με τη ΜΜ.. xi. Συμβάσεις προσήμων.... Τοπικό και καθολικό σύστημα αναφοράς. xiii. Συμβατικά θετικές φορές εξωτερικών εντασιακών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πάγιοι ατενείς φορείς υπό εξωτερικά φορτία και καταναγκασμούς

Κεφάλαιο 1 Πάγιοι ατενείς φορείς υπό εξωτερικά φορτία και καταναγκασμούς ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Κεφάλαιο Πάγιοι ατενείς φορείς υπό εξωτερικά φορτία και καταναγκασμούς Σύνοψη Οι ασκήσεις έως του κεφαλαίου αυτού αφορούν σε πάγιους ατενείς φορείς. Στην Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Κινητοί ατενείς φορείς με απολύτως στερεά τμήματα

Κεφάλαιο 3 Κινητοί ατενείς φορείς με απολύτως στερεά τμήματα ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Κεφάλαιο Κινητοί ατενείς φορείς με απολύτως στερεά τμήματα Σύνοη Οι ασκήσεις 7 και 8 του κεφαλαίου αυτού αφορούν σε κινητούς ατενείς φορείς, οι οποίοι συμπεριλαμβάνουν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Προσδιορισμός των βαθμών ελευθερίας

Κεφάλαιο 10 Προσδιορισμός των βαθμών ελευθερίας Κεφάλαιο 0 Προσδιορισμός των βαθμών ελευθερίας Σύνοψη Η άσκηση 0, που περιέχεται στο κεφάλαιο αυτό, αναφέρεται σε μία μεγάλη σειρά απλών και σύνθετων στατικών φορέων, για τους οποίους ζητείται ο προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος των Δυνάμεων

Μέθοδος των Δυνάμεων Μέθοδος των Δυνάμεων Εισαγωγή Μέθοδος των Δυνάμεων: Δ07-2 Η Μέθοδος των Δυνάμεων ή Μέθοδος Ευκαμψίας είναι μία μέθοδος για την ανάλυση γραμμικά ελαστικών υπερστατικών φορέων. Ανκαιημέθοδοςμπορείναεφαρμοστείσεπολλάείδηφορέων

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Ισοστατικά πλαίσια με συνδέσμους (α) (β) Στατική επίλυση ισοστατικών πλαισίων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΙΙI

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΙΙI ΤΕΙ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΤΡΙΚΑΛΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΙΙI ΓΡΗΓΟΡΙΟΣ ΜΑΝΟΥΚΑΣ Δρ. Πολιτικός Μηχανικός ΤΡΙΚΑΛΑ, ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΡΟΠΩΝ.... Η ΜΕΘΟΔΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Επίλυση υπερστατικών φορέων Για την επίλυση των ισοστατικών φορέων (εύρεση αντιδράσεων και μεγεθών έντασης) αρκούν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Δίνονται: = cm ΕΠΙΛΥΣΗ: Ερώτημα α. k = 6000kN m. Μέθοδος των Δυνάμεων:

ΘΕΜΑ 1 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Δίνονται: = cm ΕΠΙΛΥΣΗ: Ερώτημα α. k = 6000kN m. Μέθοδος των Δυνάμεων: ΔΕΔΟΜΕΝΑ: ΘΕΜΑ Στο φορέα του σχήματος ζητούνται: α) να χαραχθούν τα διαγράμματα, Q (2.5 μονάδες) β) να υπολογιστεί το μέτρο και η φορά της κατακόρυφης μετατόπισης στο μέσο του τμήματος (23) ( μονάδα) Δίνονται:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ Εισαγωγή Συστήματα συντεταγμένων. 7

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ Εισαγωγή Συστήματα συντεταγμένων. 7 Στατική των γραμμικών φορέων ix ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ σελ. 1. ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ. 1 1.1 Εισαγωγή.. 3 1.2 Συστήματα συντεταγμένων. 7 2. Η ΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ Η ΣΤΗΡΙΞΗ ΤΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΙΣ 13 2.1 Η κίνηση και η στήριξη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ Κ. Β. ΣΠΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ Καθηγητής ΕΜΠ Πορεία επίλυσης. Ευρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Cross. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Cross. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Cross Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Μέθοδος Cross Η μέθοδος Cross ή μέθοδος κατανομής των ροπών, χρησιμοποιείται για την επίλυση συνεχών δοκών και πλαισίων. Είναι παραλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΩΝ ΚΟΜΒΩΝ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΩΝ ΚΟΜΒΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΩΝ ΚΟΜΒΩΝ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια)

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια) Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια) Υποχωρήσεις Στηρίξεων Μέθοδος των Δυνάμεων: Οι υποχωρήσεις στηρίξεων, η θερμοκρασιακή μεταβολή και τα κατασκευαστικά λάθη προκαλούν ένταση στους υπερστατικούς φορείς. Η

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Επικόμβιων Μετατοπίσεων

Μέθοδος Επικόμβιων Μετατοπίσεων Μέθοδος Επικόμβιων Μετατοπίσεων Εισαγωγή Μέθοδος Επικόμβιων Μετατοπίσεων: Δ18-2 Τα περισσότερα προγράμματα Η/Υ έχουνωςθεμελιώδηβάση τους τη Μέθοδο Επικόμβιων Μετατοπίσεων. Στη Μέθοδο των Επικόμβιων Μετατοπίσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Α.Π.Θ.- ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙ - 19 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2008

Α.Π.Θ.- ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙ - 19 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2008 1 Α.Π.Θ.- ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙ - 19 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 008 ΘΕΜΑ 1o Για τον φορέα του σχήματος ζητούνται: Tο Γεωμετρικό Κύριο Σύστημα με τα ελάχιστα άγνωστα μεγέθη. Το μητρώο δυσκαμψίας Κ του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 17 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Δίνονται: = cm ΕΠΙΛΥΣΗ: Ερώτημα α. k = 6000kN m. Μέθοδος των Δυνάμεων:

ΑΣΚΗΣΗ 17 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Δίνονται: = cm ΕΠΙΛΥΣΗ: Ερώτημα α. k = 6000kN m. Μέθοδος των Δυνάμεων: ΑΣΚΗΣΗ 7 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Στο φορέα του σχήματος ζητούνται: α) να χαραχθούν τα διαγράμματα M, Q (2.5 μονάδες) β) να υπολογιστεί το μέτρο και η φορά της κατακόρυφης μετατόπισης στο μέσο του τμήματος (23) ( μονάδα)

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : , 12:00-15:00 ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : , 12:00-15:00 ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : --, :-: ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΩΝΥΜΟ :......... ΑΡ. ΜΗΤΡ :.......

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 2012 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 2012 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 202 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ( η περίοδος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ:

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : 8-9-, :-: ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΩΝΥΜΟ :......... ΟΝΟΜΑ :......

Διαβάστε περισσότερα

ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η

ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η Ανάλυση Ισοστατικών οκών και Πλαισίων Τρίτη,, 21, Τετάρτη,, 22 και Παρασκευή 24 Σεπτεµβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2005 ΘΕΜΑ 1

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2005 ΘΕΜΑ 1 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: ΘΕΜΑ 1 Στο φορέα του σχήματος ζητούνται: α) να χαραχθούν τα διαγράμματα Μ, Q, N (3.5 μονάδες) β) η κατακόρυφη βύθιση του κόμβου 7 λόγω της φόρτισης και μιας ομοιόμορφης μείωσης της θερμοκρασίας

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι των Μετακινήσεων

Μέθοδοι των Μετακινήσεων Μέθοδοι των Μετακινήσεων Εισαγωγή Μέθοδοι των Μετακινήσεων: Δ14-2 Στη Μέθοδο των Δυνάμεων (ή Ευκαμψίας), που έχουμε ήδη μελετήσει, επιλέγουμε ως άγνωστα υπερστατικά μεγέθη αντιδράσεις ή εσωτερικές δράσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατική ΙΙ 9 Φεβρουαρίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Μάθημα: Στατική ΙΙ 9 Φεβρουαρίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 9 Φεβρουαρίου 011 Διδάσκων:, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης :15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 24-27 Αρχή υνατών Έργων (Α Ε) Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 και Τρίτη, 9 Νοεµβρίου, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια)

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια) Μέθοδος των υνάμεων (συνέχεια) Παράδειγμα Π8-1 Μέθοδος των υνάμεων: 08-2 Να υπολογιστούν οι αντιδράσεις και να σχεδιαστεί το διάγραμμα ροπών κάθε μέλους του πλαισίου. [ΕΙ σταθερό] Το πλαίσιο στο σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια)

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια) Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια) Δοκοί σε Ελαστικές Στηρίξεις Μέθοδος των Δυνάμεων: Δ10-2 Οι στηρίξεις κάποιων φορέων είναι δυνατό να μετακινηθούν υπό την επίδραση της εξωτερικής φόρτισης. Για παράδειγμα,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Βιντεοπαρουσίαση: https://www.youtube.com/watch?v=nerkef27lgm&feature=youtu.be

Εισαγωγή Βιντεοπαρουσίαση: https://www.youtube.com/watch?v=nerkef27lgm&feature=youtu.be Βιντεοπαρουσίαση: https://www.youtube.com/watch?v=neref27lgm&feature=youtu.be Ε. Σύνοψη των βημάτων επίλυσης φορέων με τη ΜΜ q Δεδομένος φορέας και φόρτιση H EA Ø Z X L Βήμα : Καθορισμός του ΓΚΣ Προσθήκη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Υπολογισμός παραμορφωσιακών μεγεθών

Κεφάλαιο 3 Υπολογισμός παραμορφωσιακών μεγεθών ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Κεφάλαιο Υπολογισμός παραμορφωσιακών μεγεθών Σύνοψη Οι ασκήσεις του κεφαλαίου αυτού αφορούν τις μεθόδους υπολογισμού (α) μεμονωμένων μεγεθών παραμόρφωσης (Ομάδα Ι),

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Έλεγχος της κινηματικής ευστάθειας και υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης

Κεφάλαιο 1 Έλεγχος της κινηματικής ευστάθειας και υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης Κεφάλαιο Έλεγχος της κινηματικής ευστάθειας και υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης Σύνοψη Οι ασκήσεις του κεφαλαίου αυτού αφορούν τον έλεγχο της κινηματικής ευστάθειας, δηλαδή της στερεότητας, γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Φορείς με λοξά στοιχεία

Κεφάλαιο 6 Φορείς με λοξά στοιχεία Κεφάλαιο 6 Φορείς με λοξά στοιχεία Σύοη Η άσκηση, που περιέχεται στο κεφάλαιο αυτό, αφορά στο υπολογισμό εός κιητού πλαισίου με κεκλιμέους (λοξούς) στύλους για τέσσερεις διαφορετικές φορτίσεις: εξωτερικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15 1. Εισαγωγικές έννοιες... 17 1.1 Φορτία... 17 1.2 Η φέρουσα συμπεριφορά των βασικών υλικών... 22 1.2.1 Χάλυβας... 23 1.2.2 Σκυρόδεμα... 27 1.3 Η φέρουσα συμπεριφορά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ:

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : --, :-: ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΩΝΥΜΟ :......... ΟΝΟΜΑ :......

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Υπολογισμός γραμμών επιρροής

Κεφάλαιο 4 Υπολογισμός γραμμών επιρροής Κεφάλαιο Υπολογισμός γραμμών επιρροής Σύνοψη Οι ασκήσεις του κεφαλαίου αυτού αφορούν τις μεθόδους υπολογισμού (α) γραμμών επιρροής μεγεθών έντασης (Ομάδα Λ) και (β) γραμμών επιρροής μεγεθών παραμόρφωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 015 3. Δοκοί (φορτία NQM) Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής με τα διάφορα είδη φορτίων.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 9 - ΧΩΡΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

ΑΣΚΗΣΗ 9 - ΧΩΡΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 9 - ΧΩΡΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Να γίνει στατική επίλυση τoυ χωρικού πλαισίου από οπλισμένο σκυρόδεμα κατηγορίας C/, κάτοψη του οποίου φαίνεται στο σχήμα (α). Δίνονται: φορτίο επικάλυψης πλάκας gεπικ. KN/, κινητό

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, Πέτρος Κωµοδρόµος Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1

ιαλέξεις Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, Πέτρος Κωµοδρόµος Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1 ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 13-15 Εισαγωγή στις Παραµορφώσεις και Μετακινήσεις Τρίτη, 5, και Τετάρτη, 6 και Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΣΩΜΑ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΟΛΟΣΩΜΑ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΟΛΟΣΩΜΑ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Διάφοροι τύποι ολόσωμων ισοστατικών πλαισίων Ισορροπία κόμβων ΣF x = 0 N 1 + N 2 cosθ + Q 2 sinθ N 3

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Μεθόδου Μετακινήσεων

Ασκήσεις Μεθόδου Μετακινήσεων ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκήσεις Μεθόδου Μετακινήσεων Συγγραφή Ιωάννης Αβραμίδης Κωνσταντίνος Μορφιδης Κριτικός αναγνώστης Χρήστος Καρακώστας Συντελεστές έκδοσης ΓΛΩΣΣΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δήμητρα Κατσαρού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ:

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : --, :-: ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΩΝΥΜΟ :......... ΟΝΟΜΑ :......

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 5 Ιουνίου 1 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης :15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΡΑΠΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΦΟΡΕΑ. 3δ=3*6=18>ξ+σ=5+12=17. Άρα το αντίστιχο δικτύωμα είναι μια φορά κινητό.

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΦΟΡΕΑ. 3δ=3*6=18>ξ+σ=5+12=17. Άρα το αντίστιχο δικτύωμα είναι μια φορά κινητό. 1 Α.Π.Θ.- ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ - ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙ - ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2009 ΘΕΜΑ 1o Για τον φορέα του σχήματος, να υπολογιστούν και σχεδιαστούν τα πλήρη διαγράμματα Μ όλων των στοιχείων του φορέα, λόγω ταυτόχρονης

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι των δυνάµεων Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1

ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι των δυνάµεων Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1 ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι επίλυσης υπερστατικών φορέων: Μέθοδοι των δυνάµεων Τρίτη, 16, Τετάρτη, 17, Παρασκευή 19 Τρίτη, 23, και Τετάρτη 24 Νοεµβρίου 2004 Πέτρος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΧΩΡΙΚΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Περιεχόμενα. Εισαγωγή. Παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων Εισαγωγή Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων: Δ03-2 Οι ενεργειακές μέθοδοι αποτελούν τη βάση για υπολογισμό των μετακινήσεων, καθώς η μετακίνηση εισέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΠΙΠΕΔΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Περιεχόμενα. Εισαγωγή. Παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΠΙΠΕΔΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Περιεχόμενα. Εισαγωγή. Παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. ΘΕΜΑ 1 ο (35%) Να επιλυθεί ο υπερστατικός φορέας του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παραμορφώσεων.

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. ΘΕΜΑ 1 ο (35%) Να επιλυθεί ο υπερστατικός φορέας του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παραμορφώσεων. ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΟ ΕΚΠΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜ ΘΗΝΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΩΝ ΕΦΡΜΟΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 8 Φεβρουαρίου Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΤΩΝ ΡΠΤΗ ΕΞΕΤΣΗ ( η περίοδος χειμερινού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη): Δ02-2. Ισοστατικότητα

Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη): Δ02-2. Ισοστατικότητα Εισαγωγικές Έννοιες Ισοστατικότητα Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη): Δ02-2 Ισοστατικός (ή στατικά ορισμένος) λέγεται ο φορέας που ο προσδιορισμός της εντατικής του κατάστασης είναι δυνατός βάσει μόνο των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΕΠΕΞΗΓΗΜΑΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ... xvii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ... xviii 1. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΚΑΙ Η ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΤΟΥΣ ΕΞΕΛΙΞΗ... 1-1 1.1 Η πραγματική κατασκευή και η "Στατική Μελέτη" της... 1-3

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 6 - ΔΙΚΤΥΩΤΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

ΑΣΚΗΣΗ 6 - ΔΙΚΤΥΩΤΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΣΚΗΣΗ - ΔΙΚΤΥΩΤΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ Να γίνει πλήρης ανάλυση του μεταλλικού δικτυώματος του σχήματος. Ολες οι συνδέσεις των ράβδων στους κόμβους είναι αρθρωτού τύπου. Επί πλέον, ο ένας εκ των άνω κόμβων μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ:

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : 7--, 9:-: ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΩΝΥΜΟ :......... ΟΝΟΜΑ :......

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις του μαθήματος Μητρωϊκή Στατική

Σημειώσεις του μαθήματος Μητρωϊκή Στατική ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σημειώσεις του μαθήματος Μητρωϊκή Στατική Π. Γ. Αστερής Αθήνα, Μάρτιος 017 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 Ελατήρια σε σειρά... 1.1 Επιλογή μονάδων και καθολικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΧΩΡΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Περιεχόμενα. Εισαγωγή. Παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΠΙΠΕ ΟΙ ΙΚΤΥΩΤΟΙ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ-ΜΟΡΦΩΣΗ ΙΚΤΥΩΜΑΤΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΠΙΠΕ ΟΙ ΙΚΤΥΩΤΟΙ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ-ΜΟΡΦΩΣΗ ΙΚΤΥΩΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΠΙΠΕ ΟΙ ΙΚΤΥΩΤΟΙ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ-ΜΟΡΦΩΣΗ ΙΚΤΥΩΜΑΤΩΝ Στην Τεχνική Μηχανική Ι μελετώνται επίπεδα δικτυώματα. Τα δικτυώματα είναι φορείς που απαρτίζονται από ευθύγραμμες ράβδους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 - ΔΙΚΤΥΩΤH KATAΣΚΕΥΗ

ΑΣΚΗΣΗ 1 - ΔΙΚΤΥΩΤH KATAΣΚΕΥΗ ΑΣΚΗΣΗ - ΔΙΚΤΥΩΤH AAΣΚΕΥΗ Η αρθρωτή κατασκευή του σχήματος έπρεπε να απαρτίζεται από τρείς όμοιες μεταλλικές ράβδους, μήκους η κάθε μία με ΕΑ σταθ. και θεωρούμενες ως αβαρείς, οι οποίες να συναντώνται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. Στο φορέα του σχήματος ζητούνται να χαραχθούν τα διαγράμματα M, Q, N. (3 μονάδες)

ΘΕΜΑ 1. Στο φορέα του σχήματος ζητούνται να χαραχθούν τα διαγράμματα M, Q, N. (3 μονάδες) ΘΕΜΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Στο φορέα του σχήματος ζητούνται να χαραχθούν τα διαγράμματα M, Q, N. (3 μονάδες) ΕΠΙΛΥΣΗ: Ο φορέας χωρίζεται στα τμήματα Α και Β. Το τμήμα Α είναι τριαρθρωτό τόξο. Απομονώνοντας το Α και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 1 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

1. Ανασκόπηση Μεθόδων Ευκαμψίας (δυνάμεων)

1. Ανασκόπηση Μεθόδων Ευκαμψίας (δυνάμεων) ΠΠΜ 325: Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 1. Ανασκόπηση Μεθόδων Ευκαμψίας (δυνάμεων) Εαρινό εξάμηνο 2015 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www.eng.ucy.ac.cy/petros Πέτρος Κωμοδρόμος 1 Θέματα Μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων (συνέχεια)

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων (συνέχεια) Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων (συνέχεια) Παράδειγμα Π4-1 Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων: Δ04-2 Χρησιμοποιώντας την ΑΔΕ, να υπολογιστούν οι μετακινήσεις δ x και δ y του κόμβου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2016 A2. Δικτυώματα Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 1 Τι είναι ένα δικτύωμα Είναι ένα σύστημα λεπτών,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΙΙ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΙΙ ΤΕΙ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΤΡΙΚΑΛΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΙΙ ΓΡΗΓΟΡΙΟΣ ΜΑΝΟΥΚΑΣ Δρ. Πολιτικός Μηχανικός ΤΡΙΚΑΛΑ, ΑΠΡΙΛΙΟΣ 014 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ...3 1.1 Το στατικό πρόβλημα...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις προηγούμενων εξετάσεων ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις προηγούμενων εξετάσεων ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΚΑΙ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΟΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις προηγούμενων

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατική ΙΙ 6 Οκτωβρίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Μάθημα: Στατική ΙΙ 6 Οκτωβρίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 6 Οκτωβρίου 11 Διδάσκων:, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης :15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΠΙΠΕΔΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Περιεχόμενα. Εισαγωγή. Παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΙΙ. Δοκοί, Πλαίσια, Δικτυώματα, Γραμμές Επιρροής και Υπερστατικοί Φορείς

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΙΙ. Δοκοί, Πλαίσια, Δικτυώματα, Γραμμές Επιρροής και Υπερστατικοί Φορείς ΤΧΝΟΛΟΙΚΟ ΚΠΑΙΥΤΙΚΟ ΙΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΧΝΟΛΟΙΚΩΝ ΦΑΡΜΟΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής ΑΣΚΗΣΙΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΙΙ οκοί, Πλαίσια, ικτυώματα, ραμμές πιρροής και Υπερστατικοί Φορείς, Ph.D. Μάρτιος 11 Ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

2. Επίλυση Δικτυωμάτων με τις Μεθόδους Ευκαμψίας (ή Δυνάμεων)

2. Επίλυση Δικτυωμάτων με τις Μεθόδους Ευκαμψίας (ή Δυνάμεων) ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 2. Επίλυση Δικτυωμάτων με τις Μεθόδους Ευκαμψίας (ή Δυνάμεων) Εαρινό εξάμηνο 2015 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www.eng.ucy.ac.cy/petros Πέτρος Κωμοδρόμος,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ Πτυχιακή Εργασία Θέμα: Στατική Επίλυση Επίπεδων Ισοστατικών Δικτυωμάτων Φοιτητής: Γογοδώνης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 016 3. Διαγράμματα NQM Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής

Διαβάστε περισσότερα

1 η Επανάληψη ιαλέξεων

1 η Επανάληψη ιαλέξεων ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1 η Επανάληψη ιαλέξεων Στατική Ανάλυση Ισοστατικών Φορέων Τρίτη,, 28 Σεπτεµβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk ΠΠΜ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο (6.00 μον.) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ. Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ

ΘΕΜΑ 1 ο (6.00 μον.) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ. Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : -9-0, :00-:00 ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΩΝΥΜΟ :......... ΟΝΟΜΑ :......

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 017 3. Διαγράμματα NQM Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A. 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A. 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3 1.1 Κατασκευές και δομοστατική 3 1.2 Διαδικασία σχεδίασης κατασκευών 4 1.3 Βασικά δομικά στοιχεία 6 1.4 Είδη κατασκευών 8 1.4.1 Δικτυώματα 8

Διαβάστε περισσότερα

2.4 Επέκταση της ΜΠΣ σε επίπεδους πλαισιακούς φορείς

2.4 Επέκταση της ΜΠΣ σε επίπεδους πλαισιακούς φορείς Κεφάλαιο 2. Η ΜΠΣ ΩΣ ΑΚΡΙΒΗΣ ΜΕΘΟ ΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 2.4 Επέκταση της ΜΠΣ σε επίπεδους πλαισιακούς φορείς 2.4.1 Εισαγωγή Φορέας και φόρτιση Το βασικό σκεπτικό της ΜΠΣ και τα υπολογιστικά βήματα

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση 2ας. Προόδου & ιάλεξη 12 η. Τρίτη 5 Οκτωβρίου,,

Επίλυση 2ας. Προόδου & ιάλεξη 12 η. Τρίτη 5 Οκτωβρίου,, ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιάλεξη 12 η Επίλυση 2ας Προόδου & Εισαγωγή στις Παραµορφώσεις και Μετακινήσεις Τρίτη 5 Οκτωβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

Με βάση την ανίσωση ασφαλείας που εισάγαμε στα προηγούμενα, το ζητούμενο στο σχεδιασμό είναι να ικανοποιηθεί η εν λόγω ανίσωση:

Με βάση την ανίσωση ασφαλείας που εισάγαμε στα προηγούμενα, το ζητούμενο στο σχεδιασμό είναι να ικανοποιηθεί η εν λόγω ανίσωση: Με βάση την ανίσωση ασφαλείας που εισάγαμε στα προηγούμενα, το ζητούμενο στο σχεδιασμό είναι να ικανοποιηθεί η εν λόγω ανίσωση: S d R d Η εν λόγω ανίσωση εφαρμόζεται και ελέγχεται σε κάθε εντατικό μέγεθος

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατική ΙΙ 30 Ιουνίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Μάθημα: Στατική ΙΙ 30 Ιουνίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουνίου 11 Διδάσκων:, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης :15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (1

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης 5.1. Μορφές κάµψης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης Η γενική κάµψη (ή κάµψη), κατά την οποία εµφανίζεται στο φορέα (π.χ. δοκό) καµπτική ροπή (Μ) και τέµνουσα δύναµη (Q) (Σχ. 5.1.α).

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Ανάλυσης Απλών Δοκών & Πλαισίων (2)

Μέθοδοι Ανάλυσης Απλών Δοκών & Πλαισίων (2) Μέθοδοι Ανάλυσης Απλών Δοκών & Πλαισίων (2) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πλαστική Κατάρρευση Υπερστατικής Δοκού Πλαστική Κατάρρευση Συνεχούς Δοκού Η Εξίσωση Δυνατών Εργων Θεωρήματα Πλαστικής Ανάλυσης Θεωρία Μηχανισμών

Διαβάστε περισσότερα

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια)

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια) Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια) Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος: Επιρροή Μόνιμου Φορτίου Βαρύτητας Δ03-2 Μέχρι τώρα στη διατύπωση της εξίσωσης κίνησης δεν έχει ληφθεί υπόψη το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ Ι ΙΟΜΟΡΦΩΝ ΣΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ

ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ Ι ΙΟΜΟΡΦΩΝ ΣΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ Ι ΙΟΜΟΡΦΩΝ ΣΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ υναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων Μετακινήσεις στη μέθοδο επαλληλίας των ιδιομορφών,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Μανόλης Παπαδρακάκης Καθηγητής ΕΜΠ Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών 008-009 Μητρωικές Μέθοδοι Μετατοπίσεων και Δυνάμεων Ανάλυσης Κατασκευών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΕΛΕΓΧΟΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΕΛΕΓΧΟΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΕΛΕΓΧΟΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ 9.1 ΣΚΟΠΟΣ Βλ. Κεφ. 4, Παρ. 4.4, για την λογική των ελέγχων. 9.1.1 Το παρόν Κεφάλαιο περιλαµβάνει τα κριτήρια ελέγχου της ανίσωσης ασφαλείας, κατά την αποτίµηση ή τον ανασχεδιασµό,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών Ι

ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών Ι Πανεπιστήµιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών και Μηχανικών Περιβάλλοντος Γενικές οδηγίες: Ακαδηµαϊκό Έτος 2004 Χειµερινό Εξάµηνο ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών Ι 3 η Σειρά Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55

ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55 ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3.. Εισαγωγή Αναφέρθηκε ήδη στο ο κεφάλαιο ότι η αναπαράσταση της ταλαντωτικής

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων. Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης

Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων. Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης Εισαγωγή Παραμορφώσεις Ισοστατικών Δοκών και Πλαισίων: Δ22-2 Οι κατασκευές, όταν υπόκεινται σε εξωτερική φόρτιση, αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ έκδοση DΥΝI-DCMB_2016b Copyright

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 2 - ΔΙΚΤΥΩΤH KATAΣΚΕΥΗ

ΑΣΚΗΣΗ 2 - ΔΙΚΤΥΩΤH KATAΣΚΕΥΗ ΑΣΚΗΣΗ - ΔΙΚΤΥΩΤH KAAΣΚΕΥΗ Να επανεπιλυθεί η Ασκηση θεωρώντας και την επίδραση του ιδίου βάρους των ράβδων. Ε- στω ότι το ειδικό βάρος τους είναι γνωστό με τιμή γ, σε ΚΝ/m. Περαιτέρω, να σχεδιασθούν τα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 1: δυναμικά φορτία Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Π A N E Π I Σ T H M I O Θ E Σ Σ A Λ I A Σ TMHMA MHXANOΛOΓΩN MHXANIKΩN

Π A N E Π I Σ T H M I O Θ E Σ Σ A Λ I A Σ TMHMA MHXANOΛOΓΩN MHXANIKΩN EPΓΣTHPIO MHXNIKHΣ KI NTOXHΣ TΩN YΛIKΩN Λεωφόρος θηνών Πεδίον Άρεως 84 όλος Πρόβλημα Π N E Π I Σ T H M I O Θ E Σ Σ Λ I Σ TMHM MHXNOΛOΓΩN MHXNIKΩN MHXNIKH ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Ι Σειρά Ασκήσεων Διευθυντής: Kαθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι

ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι Πανεπιστήµιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών και Μηχανικών Περιβάλλοντος ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι Ακαδηµαϊκό Έτος 2004 Χειµερινό Εξάµηνο Τελική Εξέταση 8:30-11:30 π.µ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Οι γραμμικοί φορείς. 1.1 Εισαγωγή 1.2 Συστήματα συντεταγμένων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Οι γραμμικοί φορείς. 1.1 Εισαγωγή 1.2 Συστήματα συντεταγμένων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Οι γραμμικοί φορείς 1.1 Εισαγωγή 1.2 Συστήματα συντεταγμένων 2 1. Οι γραμμικοί φορείς 1.1 Εισαγωγή 3 1.1 Εισαγωγή Για να γίνει ο υπολογισμός μιας κατασκευής, θα πρέπει ο μελετητής μηχανικός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΓΚΟΥΝΤΑΣ Δ. ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΜΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΤΙΡΡΥΠΑΝΣΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης CreatveCommons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Περιεχόμενα.

Διαβάστε περισσότερα

Χ. ΖΕΡΗΣ Απρίλιος

Χ. ΖΕΡΗΣ Απρίλιος Χ. ΖΕΡΗΣ Απρίλιος 2016 1 Κατά την παραλαβή φορτίων στα υποστυλώματα υπάρχουν πρόσθετες παραμορφώσεις: Μονολιθικότητα Κατασκευαστικές εκκεντρότητες (ανοχές) Στατικές ροπές λόγω κατακορύφων Ηθελημένα έκκεντρα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 Β5. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΤΕΙ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΤΡΙΚΑΛΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Σημειώσεις για το μάθημα Αντοχή Υλικών ΓΡΗΓΟΡΙΟΣ ΜΑΝΟΥΚΑΣ Δρ. Πολιτικός Μηχανικός

Διαβάστε περισσότερα