DIMENZIJE EGIPČANSKIH PIRAMID
|
|
- Αμφιτρίτη Κοντόσταυλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 DIMENZIJE EGIPČANSKIH PIRAMID BORUT JURČIČ ZLOBEC 1. Uvod Soočili se bomo z večkrat ponovljeno trditvijo, da sta v dimenzijah Keopsove piramide zakodirani števili φ (razmerje zlatega reza) in število π (razmerje med premerom in obsegom krožnice), kljub temu, da razmerje zlatega reza v Egiptu ni bilo nikjer omenjeno in tudi števila π niso poznali tako natančno, kot ga najdemo zakodiranega v dimenzijah Keopsove piramide. Ali so graditelji piramid poznali dejstva, ki niso zgodovinsko izpričana, ali pa je to čisto naključje? Pokazali bomo, da je naključno sovpadanje mnogo bolj verjetno, kot se zdi na prvi pogled. Poskušali bomo razložiti, kako so graditelji določali dimenzije in zakaj so te takšne, kakršne so. Predvsem se bomo posvetili razmerju stranic v trikotniku, ki ga tvorijo polovica roba osnovne ploskve piramide, višina piramide in višina njene stranske ploskve. Glej sliko 2a. Naša predpostavka bo, da je mere piramid določala predvsem pragmatičnost, kompromis med fizikalnimi lastnostmi materiala, preprostim zapisom mer v navodilih za gradnjo in seveda omejenost sredstev. 2. Zlati rez v literaturi Razmerje zlatega reza ima mnogo zanimivih lastnosti. Vendar pa se mu zelo rado pripisuje mnogo več, kot jih ima v resnici. Menim, da tega ne potrebuje, ker je že samo po sebi dovolj zanimivo. Razmerje zlatega reza je iracionalno in je v nekem smislu najbolj iracionalno število od vseh iracionalnih števil. Ta lastnost razmerja je odločilna, da naletimo nanj v naravi. Srečamo ga na primer pri proučevanju optimalne porazdelitve listov okoli stebla rastlin (filotaksa) in razporeditve semen v sončničnem cvetu. Manj prepričljivo je povezovanje razmerja zlatega reza s sebi podobnimi spiralnimi strukturami v naravi, kot je spiralna struktura nautilusove hišice in spiralne strukture galaksij. Odločilna lastnost spirale pri nautilusovi hišici je njena sebi podobnost. Kot se je izrazil Jacob Bernoulli ( ) eadem mutata resurgo (raste, vendar ostaja vedno enaka). Sebi podobnost v naravi je pogost pojav. Verjetno zaradi ekonomičnosti genskega zapisa. Vendar pa sebi podobne spirale pripadajo razredu logaritemskih spiral, kjer je zlata spirala le poseben primer. Po drugi strani se nastanek spiral v galaksijah podreja drugačnim zakonom in v splošnem niso niti logaritemske. Najbolj problematično pa je iskanje razmerja zlatega reza v glasbi, arhitekturi, slikarstvu, umetnosti in filozofiji nasploh. Pripisuje se mu močan pomenski naboj, ki velikokrat vodi v pretiravanje in napačne interpretacije. Vedno je bilo predmet mistifikacij, tako v starem veku, pri grških filozofih, kot tudi v srednjem veku, in je Date: 25. september
2 2 BORUT JURČIČ ZLOBEC tudi v današnjem času. Poglejmo enega od sodobnih opisov zlatega reza. Zlato razmerje pomeni vrata do razumevanja življenja. To razmerje imenujemo Zlato oziroma Božansko razmerje, ker predstavlja vrata za globlje razumevanje lepote, čudežnosti in duhovnosti življenja. Je skoraj neverjetno, da ima eno samo število tolikšen vpliv v naravi, človeški zgodovini, znanosti, umetnosti in v vsemirju v celoti. Profesor računalniških znanosti univerze v Maine, George Markowsky je preveril nekatere najbolj znane trditve na temo zlatega reza, zapisane v šolskih učbenikih, člankih, itd. Presenečen je opazil, kako malo resnice je v teh trditvah. O svojih izkušnjah je napisal članek z naslovom Misconceptions about the Golden Ratio, ki ga lahko dobite na naslovu: 3. Razmerje zlatega reza, zlati pravokotnik in zlati trikotnik To poglavje je namenjeno spoznavanju razmerja zlatega reza, zlatega pravokotnika in zlatega trikotnika. Definicija 1 (Razmerje zlatega reza). Razdelimo daljico na dva neenaka dela tako, da je razmerje med večjim in manjšim delom enako razmerju med celotno daljico in večjim delom. To razmerje imenujemo razmerje zlatega reza. V našem sestavku bomo razmerje zlatega reza označili s črko φ, v čast grškega filozofa in matematika Fidesa ( ), ki je prvi omenil to razmerje. Če vzamemo, da je dolžina prvotne daljice enaka φ in dolžina večjega dela je enaka 1, potem gornjo definicijo lahko zapišemo v matematični obliki takole: (1) 1 φ 1 = φ 1, od tod dobimo zvezo: φ2 φ 1 = 0. Pozitivna rešitev enačbe je enaka: (2) φ = , Pravokotnik z razmerjem stranic, ki je enako razmerju zlatega reza, ima naslednjo lastnost: če mu odstranimo kvadrat s stranico, enako krajši stranici, ostane pravokotnik, katerega razmerje stranic je ravno tako enako razmerju zlatega reza. Tak pravokotnik bomo imenovali zlati pravokotnik. Na sliki 1a je prikazan postopek za načrtanje zlatega pravokotnika. (1) Najprej načrtamo kvadrat, nato razpolovimo eno od stranic. (2) Izberemo enega od nasprotnih oglišč, nato načrtamo krožnico s središčem v razpolovišču in izbranim ogliščem na obodu. (3) Presečišče krožnice z nosilko razpolovljene daljice je eno od oglišč zlatega pravokotnika. (4) Ostalo preberemo iz slike 1a. Prepričajmo se, da je to res zlati pravokotnik. Naj bo dolžina stranice kvadrata enaka 1. Po Pitagorovem izreku je polmer krožnice enak 1 + 1/4 = 5/2. Daljša stranica pravokotnika meri (1 + 5)/2 = φ. Razmerje stranic je resnično enako razmerju zlatega reza. V geometriji poznamo še en lik, ki je tesno povezan z razmerjem zlatega reza, to je
3 DIMENZIJE EGIPČANSKIH PIRAMID 3 (a) Zlati pravokotnik (b) Zlati trikotnik Slika 1 zlati trikotnik. V knjigi Mysterium Cosmographicum (Skrivnosti sveta) Johannes Kepler ( ) omenja razmerje zlatega reza v stavku: V geometriji najdemo dva velika zaklada: eden je Pitagorov izrek, drugi je razmerje zlatega reza. Keplerjev trikotnik, včasih tudi zlati trikotnik, povezuje oboje. To je pravokotni trikotnik z razmerjem stranic 1 : φ : φ. Slika 1b prikazuje kako načrtamo zlati trikotnik. (1) Najprej načrtamo zlati pravokotnik in si izberemo eno od oglišč. (2) Načrtamo krožnico s središčem v izbranem oglišču in polmerom, enakim daljši stranici. (3) Ostalo je razvidno iz slike 1b. Prepričajmo se, da smo res načrtali zlati trikotnik. Vzemimo, da je dolžina daljše stranice pravokotnika enaka φ in dolžina krajše enaka 1. V trikotniku označimo neznano kateto z x. Po Pitagorovem izreku je φ 2 1 = x 2. Iz enačbe (1) sledi, da je x 2 = φ oziroma x = φ. 4. Zlati rez, zapisan v merah Keopsove piramide Sledi ena od najpogosteje citiranih neresničnih zgodb v zvezi z dimenzijami egipčanskih piramid, ki jo pripisujejo grškemu zgodovinopiscu Herodotu ( ). Zgodba pravi, da je ob neki priliki egipčanski svečenik zaupal Herodotu skrivnost Keopsove piramide v Gizi. Svečenik: Dimenzije Velike piramide so izbrane tako, da je površina kvadrata s stranico, enako višini piramide, enaka površini stranske ploskve. Egipčanske piramide so pokončne, pri večini od njih je osnovna ploskev kvadrat. Taka je tudi Keopsova piramida. Glej sliko 2a. Označimo višino piramide s h, stranico osnovnega kvadrata z b in višino stranske ploskve z s. Preprost račun nam da h 2 = b s 2, s2 = h 2 + b2 4.
4 4 BORUT JURČIČ ZLOBEC Delimo zadnjo enačbo z b 2 /4 in dobimo ( ) 4 ( ) 2 ( ) 2 2h 2h 2h = + 1, označimo r = b b b in dobimo r 2 r 1 = 0. Edina pozitivna rešitev gornje enačbe je r = φ = (1 + 5)/2. Od tod sledi, da je 2h/b = φ. Trikotnik (b/2, h, s) je zlati trikotnik dolžine njegovih stranic so v razmerju 1 : φ : φ. V resnici pa je v Herodotovi knjigi Zgodovina en sam odstavek, ki govori o veliki piramidi (glej zgoraj omenjeni članek Georgea Markowskega), ta pa se glasi: Herodot:Veliko piramido so gradili dvajset let. Stranica osnovnega kvadrata meri osemsto čevljev, njena višina meri ravno tako osemsto čevljev, površina je bila pokrita z gladkimi ploščami, ki so se natanko prilegale druga drugi. Kamniti bloki, iz katerih je narejena, merijo vsak od njih več kot trideset čveljev v dolžino. Herodot je napisal te vrstice dva tisoč let po izgradnji piramide. Mere, ki jih je podal, ne ustrezajo dejanskemu stanju. Z nekaj domišljije lahko zaslutimo, kako s prevračanjem besed iz gornjega odstavka pridemo do trditve o zvezi med kvadratom višine in ploščino stranske ploskve. Tu imamo ključne besede kvadrat, višina in površina, ostalo pa naredi domišljija in želja, da bi našli razmerje zlatega reza. Pri Keopsovi piramidi je razmerje med višino in polovico osnovnega roba enako 14/11, kar je zelo blizu vrednosti φ. To naj bi napeljevalo, da je v teh piramidah zakodirano razmerje zlatega reza. Po drugi strani pa je vrednost 4/ φ zelo blizu vrednosti π, zato nekateri trdijo, da je v egipčanskih piramidah zakodirano tudi število π oziroma njegova približna vrednost 22/7, ki pa je natančnejša, kot so jo poznali v tistem času. V skoraj tisoč let mlajšem dokumentu je omenjena vrednost 256/81, kot približek za π. 5. Merjenje kotov in dolžin v starem Egiptu Razmerje dimenzij egipčanskih piramid bomo bolje razumeli, če si ogledamo njihov merski sistem. Osnova za merjenje dolžine je bil kraljevi komolec, ki je imel vlogo našega metra. Kraljevi komolec je meril 28 palcev. Dolžina enega palca ni bila natanko določena. S časom se je nekoliko spreminjala in se je gibala med 18.7 mm in 18.8 mm, tako se je dolžina kraljevega komolca gibala med cm in cm. Poleg kraljevega komolca so uporabljali še (navaden) komolec, ki pa je meril 24 palcev. Kote so merili v stopinjah, vendar pa so v gradbeništvu in zemljemerstvu kote izražali v sekedih. Seked kota je enak dolžini kotu priležne katete v pravokotnem trikotniku, merjene v palcih, če je dolžina nepriležne katete en kraljevi komolec (glej sliko 2b). Pri pisanju sestavka nisem imel na razpolago enako natančnih mer za vse piramide. V literaturi in na internetu se mere piramid niso vedno ujemale. Razlike so bile tudi do 50 cm. Pri pretvarjanju mer piramid iz metrov v komolce sem upošteval načelo, da so dolžine osnovnih robov piramid, izražene v komolcih zaokrožene. To je smiselno, ker so navodila za gradnjo tako preprostejša. Mere piramid sem izbral v mejah, ki sem jih našel v literaturi, ki so najbolj ustrezale gornjemu načelu.
5 DIMENZIJE EGIPČANSKIH PIRAMID 5 (a) Trikotnik v piramidi (b) Seked Slika 2. Središčni pravokotni trikotnik piramide in seked 6. Dimenzije egipčanskih piramid Pri proučevanju dimenzij egipčanskih piramid se bomo omejili na razmerje stranic trikotnika, ki ga tvorijo polovični osnovni rob piramide, njena višina in višina stranske ploskve. Ker bomo ta trikotnik še velikokrat omenili, mu bomo dali delovno ime središčni pravokotni trikotnik piramide, glej sliko 2a. Pričakujemo, da so graditelje iz estetskega vidika privlačile piramide, ki imajo dodatne geometrijske simetrije. Gradili so pokončne piramide. Večinoma je osnovna ploskev imela kvadratno obliko. Izjema je piramida 3 v tabeli 1. Med piramidami, ki imajo dodatne simetrije, izstopajo piramide, katerih središčni pravokotni trikotnik ima stranice v razmerju 3 : 4 : 5 (pitagorejska trojica). V tabeli 1 so te piramide označene z znakom, to so piramide 5, 8, 9 in od 11 do 15. Naklonski kot stranskih ploskev teh piramid je Naslednji primer so piramide, katerih stranske ploskve so enakostranični trikotniki. Naklonski kot teh piramid je Pri teh piramidah je razmerje med višino in robom osnovne ploskve iracionalno. Temu se najbolj približata piramidi 18 in 22, z nekoliko slabšo natančnostjo na 1 jima sledita še piramidi 10 in 16. V tabeli sta prvi dve označeni z znakom. Drugi dve z slabšim ujemanjem pa smo označili s. V tabeli ni piramide, katere osni presek bi bil enakostranični trikotnik, to je piramide z naklonskim kotom 60. Najbolj pa burijo domišljijo piramide 1, 4 in 7, katerih razmerje stranic v središčnem pravokotnem trikotniku se približa zlatemu trikotniku. Pogojno štejemo mednje tudi piramido 3, pogojno zato, ker nima kvadratnega tlorisa, vendar se dva od naklonskih kotov stranskih ploskev približata kotu , ki je značilen za ostale tri. V tabeli so te piramide označene z znakom. V začetku so gradili stopničaste piramide, nato so na prehodu med III. in IV. dinastijo začeli graditi piramide z ravnimi stranskimi ploskvami. Snefrujevo lomljeno piramido štejemo za prehodno piramido med obema načinoma gradnje (glej sliko 3a). Pri tej piramidi so postavili temelje za naklonski kot 60. Zelo verjetno se je izkazalo, da bi bila v tem primeru piramida preveč strma, konstrukcija ne bi vzdržala, verjetno bi bil problem pritrditve tlaka za stranske ploskve. Takoj po začetku gradnje so kot popravili na Ta kot je zelo blizu kota, ki ga ima piramida z enakostraničnimi stranskimi ploskvami. Nekje na sredini gradnje so naklonski kot še enkrat popravili, to pot na Ta kot se še enkrat ponovi pri Rdeči piramidi, ki je bila ravno
6 6 BORUT JURC IC ZLOBEC (a) Lomljena piramida v Dahshurju. (c) Keopsova piramida v Gizi (b) Rdec a piramida v Dahshurju. (d) Kefrenova piramida v Gizi Slika 3. Piramide tako zgrajena v c asu vladanja faraona Snefruja (glej sliko 3b). V tabeli najdemo s e eno piramido z naklonskim kotom blizu 45, to je piramida 21, njen naklonski kot je 42. Ta piramida je med vsemi piramidami v tabeli 1 najbolj poloz na. Najvec ji naklonski kot ima piramida 17. Njen naklonski kot je in spada med srednje visoke piramide. Pri vis jih piramidah bi moral biti kot manjs i, da bi konstrukcija vzdrz ala. Seveda pa kot ni smel biti premajhen, po eni strani zaradi videza, strma piramida deluje mogoc no, po drugi strani pa zaradi kolic ine materiala, ki bi ga potrebovali za gradnjo. Naklonski koti stranskih ploskev piramid so v mejah od 42 do 56, to so meje, ki jih zasledimo pri lomljeni piramidi. V nadaljevanju si bomo ogledali s e en kriterij pri izbiri dimenzij, ki je c isto praktic en. Kako zapisati c im bolj preprosta navodila za gradnjo? Videli bomo, kako so egipc anske dolz inske enote in merjenje kotov vplivali na doloc anje dimenzij. 7. Naklonski koti v egipc anskih piramidah Keopsova piramida ima izjemno natanc no doloc ene dimenzije. Stranice osnovne ploskve se razlikujejo le za nekaj centimetrov. Tudi koti med robovi osnovne ploskve se razlikujejo od pravih za najvec 20. Seked naklonskega kota pri Keopsovi piramidi je enak 22 palcev, odstopanje je manj kot 10. Tudi druga najvec ja (Kefrenova) piramida v Gizi ima natanc no doloc ene dimenzije. Seked naklonskega kota pri tej piramidi je 21 palcev, odstopanje pa je ravno tako manj kot 10. V tabeli. 1 so zapisane dimenzije 22 piramid. V sedmem stolpcu tabele 1 je zapisano razmerje med polovic nim robom in vis ino piramide v idealiziranem primeru. C e je
7 DIMENZIJE EGIPČANSKIH PIRAMID 7 Tabela 1. Dimenzije egipčanskih piramid Piramida dimenzije (b/2)/h, napaka št. faraon mesto b h b s/q ɛ 1 Snefru Maidum / Snefru Dahshur / Mikerin Giza / Mikerin Giza / Keops Giza / Kefren Giza / Sahure Abusir / Niuserre Abusir / Neferirkare Abusir / Userkaf Sakkara / Unas Sakkara / Izezi Sakkara / Teti Sakkara / Pepi I Sakkara / Merenre Sakkara / Pepi II Sakkara / Senwosret III Dahshur / Amenemhat III Dahshur / Amenemhat I El-Lisht / Senusret I El-Lisht / Amenemhat III Hawara / Senusret II El-Lahun / Khendjer Sakkara / Pomen oznak je opisan v razdelkih 6 in 7 Rdeča piramida glej sliko 3b b Osnovni rob izražen v kraljevih komolcih. Pri piramidi 7 je osnovni rob izražen v navadnh komolcih. Piramida 3 nima kvadratnega tlorisa. imevalec enak 28 je števec enak sekedu. V osmem stolpcu je zapisana razlika med kotom, ki ga dobimo z idealiziranim razmerjem in razmerjem, ki je izračunamo iz podatkov v četrtem in petem stolpcu. Iz tabele 1 preberemo, da ima 16 od 22 piramid celoštevilčni seked. Pri nadaljnjih treh piramidah dobimo dobro ujemanje, če v definiciji za seked kraljevi komolec, ki meri 28 palcev, nadomestimo z navadnim komolcem, ki meri 24 palcev. Vidimo, da so v tabeli le štiri piramide, katerih seked kota se v nobenem primeru ne izraža celoštevilčno. To so piramide 2, 3, 20 in 21. V tabeli smo jih označili z znakom. Za piramido 3 vemo, da nima kvadratnega tlorisa. Piramide s celoštevilčnim sekedom, ki ne spadajo v nobeno od teh kategorij, smo označili z znakom. 8. Zakaj meri seked naklonskega kota Keopsove piramide 22 palcev? Pri sekedu 22 palcev se razmerje stranic v središčnem pravokotnem trikotniku približa razmerju stranic zlatega trikotnika. Ker zlati rez v zgodovini Egipta ni bil nikoli omenjen, ne smemo podleči skušnjavi, da bi trdili, da je bil zlati trikotnik
8 8 BORUT JURČIČ ZLOBEC namerno izbran. Seked 21 palcev bi bil razumljiv, ker je v mejah, v katerih se da varno graditi piramide; poleg tega je razmerje stranic središčnega pravokotnega trikotnika enako 3 : 4 : 5 (pitagorejska trojica). Pitagorejske trojice so uporabljali za določanje pravih kotov pri gradnji piramid. Glej sliko 4. Pitagorov izrek so v Egiptu (a) = 12 (b) 3 : 4 : 5 Slika 4. Konstrukcija pravega kota poznali, vendar ga v tistem času niso imenovali tako, ker je moralo preteči več kot 1500 let, da je Pitagora ugledal luč sveta. Celoštevilčni sekedi naklonskih kotov piramid merijo 18, 20, 21, 22 in 24 palcev. V poštev pri gradnji velike piramide prideta sekeda 21 in 22 palcev, manjši so preveč tvegani, večji pa preveč potratni, kar se tiče gradbenega materiala. Vidimo, da izbira ni bila velika. Do začetka gradnje Keopsove piramide ni bilo uspešno dograjene večje piramide s sekedom, manjšim od 22 palcev. Lahko rečemo, da graditelji Keopsove piramide, vedoč, da gradijo največjo piramido doslej, niso hoteli tvegali in so izbrali seked 22 palcev. Šele po uspehu Keopsove piramide so pri gradnji Kefrenove tvegali seked 21 palcev. 9. Zaključek Želeli smo poudariti, da so graditelji piramid izbirali dimenzije tako, da večinoma ustrezajo celoštevilčnemu sekedu, če upoštevamo, da je pri nekaterih potrebno kraljevi komolec nadomestiti z navadnim. Tudi pri piramidah, pri katerih seked ni celoštevilčen, se razmerje med višino in osnovnim robom izraža s kvocientom majhnih celih števil. Celoštevilčne podatke je preprosteje zapisati v navodila graditeljem. Izbor celoštevilčnega sekeda pri upoštevanju robnih pogojev, kot sta varčnost pri uporabi materiala in varnost, je zelo omejen. In lahko rečemo, da niso izbrali sekeda 22 palcev zaradi skritega zlatega trikotnika, ampak ker se nahaja v zlati sredini kompromisa med varnostjo in varčevanjem. V resnici je graditelje bolj privlačil seked 21 palcev, ker v sebi skriva pitagorejsko trojico, ki so jo brez dvoma poznali.
Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραGimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραKotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni izrek.
DN#3 (januar 2018) 3A Teme, ki jih preverja domača naloga: Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραSEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x)
FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Praktična Matematika-VSŠ(BO) Komuniciranje v matematiki SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x) Avtorica: Špela Marinčič Ljubljana, maj 2011 KAZALO: 1.Uvod...1 2.
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότερα3.letnik - geometrijska telesa
.letnik - geometrijska telesa Prizme, Valj P = S 0 + S pl S 0 Piramide, Stožec P = S 0 + S pl S0 Pravilna -strana prizma P = a a + av 1 Pravilna -strana prizma P = a + a a Pravilna 6-strana prizma P =
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK
GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK 2 1 Geometrija v ravnini 1.1 Osnove geometrije Točka je tisto, kar nima delov. Črta je dolžina brez širine. Ploskev je tisto, kar ima samo dolžino in širino. Osnovni zakoni,
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike uvod
Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραPOROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL
POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL Izdba aje: Ljubjana, 11. 1. 007, 10.00 Jan OMAHNE, 1.M Namen: 1.Preeri paraeogramsko praio za doočanje rezutante nezporedni si s skupnim prijemaiščem (grafično)..dooči
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραVEKTORJI. Operacije z vektorji
VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,
Διαβάστε περισσότεραNEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE
NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 06/7 Vaje iz MATEMATIKE. Vektorji Vektorji: Definicija: Vektor je usmerjena daljica. Oznake: AB, a,... Enakost vektorjev: AB = CD: če lahko vektor AB vzporedno premaknemo
Διαβάστε περισσότεραKunci, jabolka in zlatnina
Kunci, jabolka in zlatnina Marko Razpet, PeF UL Kunci Matematik Fibonacci ali Leonardo iz Pise (r okoli 70, u okoli 240) je znan po svojih delih Liber Abaci, Practica Geometriae, Flos in Liber Quadratorum
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραMatematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija
Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a
Διαβάστε περισσότεραSlika 5: Sile na svetilko, ki je obešena na žici.
4. poglavje: Sile 5. Cestna svetilka visi na sredi 10 m dolge žice, ki je napeta čez cesto. Zaradi teže svetilke (30 N) se žica za toliko povesi, da pride sredina za 30 cm niže kot oba konca. Kako močno
Διαβάστε περισσότερα1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότεραFakulteta za matematiko in fiziko Jadranska Ljubljana SEMINAR II ZLATI REZ
Fakulteta za matematiko in fiziko Jadranska 19 1000 Ljubljana SEMINAR II ZLATI REZ Rok Lipnik 4.letnik, pedagoška matematika Celje, 15.10.2006 1 Uvod Kaj naredi število tako popularno, da se z njim ukvarjajo
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότεραdiferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Διαβάστε περισσότεραKOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko KOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS Seminarska naloga pri predmetu Komuniciranje v matematiki Avtor: Zalka Selak Mentor: prof. dr. Tomaţ Pisanski KAZALO:
Διαβάστε περισσότεραPONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότερα1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου...
ΑΠΟΖΗΜΙΩΣΗ ΘΥΜΑΤΩΝ ΕΓΚΛΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΛΟΒΕΝΙΑ 1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... 3 1 1. Έντυπα αιτήσεων
Διαβάστε περισσότεραDeljivost naravnih števil
Deljivost naravnih števil. D = {,,, 4, 6, }, V = {, 4, 6, 48, 60 }. (A) in (E). a) S številom so deljiva števila:, 0, 0 in 060. S številom so deljiva števila: 0, 460, 000 in 46. c) S številom 4 so deljiva
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραPONOVITEV SNOVI ZA NPZ
PONOVITEV SNOVI ZA NPZ ENAČBE 1. naloga : Ugotovi ali sta dani enačbi ekvivalentni! 5x 5 = 2x 2 in 5 ( x - 1 ) = 2 ( x 1 ) da ne 2. naloga : Reši linearni enačbi in napravi preizkusa! a) 5 4x = 2 3x PR:
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραMatematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.
1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότερα1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
Διαβάστε περισσότερα1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem
Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo
Διαβάστε περισσότεραLJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA
LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA Matematika za drugi letnik srednjega strokovnega izobraževanja -interno gradivo- Avtor: Samo Žerjal Nova Gorica, februar 016 KAZALO 1 Potenčna funkcija... 1.1 Kvadratna
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραSpoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.
Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih
Διαβάστε περισσότεραAlgebraične strukture
Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice
Διαβάστε περισσότεραLetnik 0, številka 5
Brihtnež Elektronska revija za mlade matematike Letnik 0, številka 5 c Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije http://www.dmfa.si/brihtnez/brihtnezindex.html Vsebina Vsebina Olimpijski kotiček:
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραTransformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II
Transformator Transformator je naprava, ki v osnovi pretvarja napetost iz enega nivoja v drugega. Poznamo vrsto različnih izvedb transformatorjev, glede na njihovo specifičnost uporabe:. Energetski transformator.
Διαβάστε περισσότεραPOSEBNI PITAGOREJSKI TRIKOTNIKI
Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo Katedra za algebro in analizo Marko Razpet POSEBNI PITAGOREJSKI TRIKOTNIKI Študijsko gradivo Matematične teme z didaktiko
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijski program: Matematika in tehnika. Heronova formula DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijski program: Matematika in tehnika Heronova formula DIPLOMSKO DELO Mentor: dr. Marko Razpet Kandidatka: Ana Malavašič Ljubljana, februar 013 Zahvala Iskreno
Διαβάστε περισσότεραLinearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραK U P M Metka Jemec. Konferenca o učenju in poučevanju matematike, M a r i b o r, 2 3. i n 2 4. avgusta
U K 20 P K U P M 2 0 1 2 ROZETA 12 M Metka Jemec Konferenca o učenju in poučevanju matematike, M a r i b o r, 2 3. i n 2 4. avgusta 2 0 1 2 Kaj je rozeta? Rozeta je oblika vzorca, narejena v obliki simetrične
Διαβάστε περισσότεραInverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότεραD f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,
Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga
Διαβάστε περισσότερα3. VAJA IZ TRDNOSTI. Rešitev: Pomik v referenčnem opisu: u = e y 2 e Pomik v prostorskem opisu: u = ey e. e y,e z = e z.
3. VAJA IZ TRDNOSTI (tenzor deformacij) (pomiki togega telesa, Lagrangev in Eulerjev opis, tenzor velikih deformacij, tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji) NALOGA 1: Gumijasti
Διαβάστε περισσότεραFrekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič
Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότεραFazni diagram binarne tekočine
Fazni diagram binarne tekočine Žiga Kos 5. junij 203 Binarno tekočino predstavljajo delci A in B. Ti se med seboj lahko mešajo v različnih razmerjih. V nalogi želimo izračunati fazni diagram take tekočine,
Διαβάστε περισσότεραEmilija Krempuš. Osnovne planimetrijske konstrukcije. Priročnik
Emilija Krempuš Osnovne planimetrijske konstrukcije Priročnik 2 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE Osnovne planimetrijske konstrukcije Priročnik Priročnik Osnovne planimetrijske konstrukcije je nastal
Διαβάστε περισσότεραMatrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1
Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραp 1 ENTROPIJSKI ZAKON
ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραLastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Διαβάστε περισσότεραTRDNOST (VSŠ) - 1. KOLOKVIJ ( )
TRDNOST (VSŠ) - 1. KOLOKVIJ (17. 12. 03) Pazljivo preberite besedilo vsake naloge! Naloge so točkovane enakovredno (vsaka 25%)! Pišite čitljivo! Uspešno reševanje! 1. Deformiranje telesa je podano s poljem
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko
Linearna algebra Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko 23. februar 205 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 52.64(075.8)(0.034.2) OREL, Bojan
Διαβάστε περισσότεραII. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Διαβάστε περισσότεραŠTEVILO PI SANJA ZAMIDA
ŠTEVILO PI SANJA ZAMIDA ŠTEVILo PI π je enak razmerju med obsegom kroga in njegovim premerom π je matematična konstanta π je ploščina kroga s polmerom 1 π imenujemo jo tudi Arhimedova konstanta ali Ludolfovo
Διαβάστε περισσότεραPOLINOMI ČETRTE STOPNJE IN ZLATI REZ
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Smer (Matematika UN-BO) - 1. stopnja Belma Delić POLINOMI ČETRTE STOPNJE IN ZLATI REZ Delo seminarja 1 Mentor: prof. dr. Milan Hladnik Ljubljana,
Διαβάστε περισσότεραPravokotni koordinatni sistem; ravnina in premica
Pravokotni koordinatni sistem; ravnina in premica 1. Razmisli, v kakšnih legah so lahko v prostoru: (a) premica in ravnina (b) dve ravnini (c) dve premici.ugotovitve zapiši.. 2. Ali sta premici v prostoru,
Διαβάστε περισσότεραStatistična analiza. doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za farmacijo
Statistična analiza opisnih spremenljivk doc. dr. Mitja Kos, mag. arm. Katedra za socialno armacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za armacijo Statistični znaki Proučevane spremenljivke: statistični znaki
Διαβάστε περισσότεραSkripta za matematiko v 2. letniku srednjega poklicnega, srednjega strokovnega in poklicno tehniškega izobraževanja INTERNO GRADIVO
Srednja poklicna in strokovna šola Bežigrad - Ljubljana Ptujska ulica 6 1000 Ljubljana Slovenija Nikolaj Lipič in Mojca Rožič 1. naloga: Poimenujte geometrijske like in telesa: pravokotnik romb trikotnik
Διαβάστε περισσότεραŠOLSKI CENTER NOVO MESTO
ŠOLSKI CENTER NOVO MESTO Srednja elektro šola in tehniška gimnazija M A T E M A T I K A USTNA VPRAŠANJA S PRIMERI ZA POKLICNO MATURO 006/007 NARAVNA ŠTEVILA Katera števila imenujemo naravna števila? Naštejte
Διαβάστε περισσότερα