BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar"

Transcript

1 BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15

2 Sadržaj Čisto pravo savijanje 1 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje 2 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet 3 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka

3 Sadržaj Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje 1 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje 2 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet 3 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka

4 Slobodno i vezano dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Dimenzionisanje poprečnog preseka podrazumeva usvajanje oblika i dimenzija poprečnog preseka, uključujući i kvalitet betona, kao i vrstu, kvalitet, količinu i raspored armature u preseku, kako podužne, tako i poprečne (uzengija) Jednostruko armirani pravougaoni preseci Problem dimenzionisanja obuhvata dva osnovna slučaja: Slobodno dimenzionisanje preseka Vezano dimenzionisanje preseka

5 Slobodno i vezano dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Slobodno dimenzionisanje podrazumeva usvajanje oblika i dimenzija betonskog preseka, kao i određivanje potrebne količine armature Projektant slobodno bira vrstu loma preseka, odn. usvaja vrednosti dilatacija u betonu i armaturi Vezano dimenzionisanje podrazumeva određivanje potrebne količine armature za poznate dimenzije poprečnog preseka (iz nekih drugih uslova su poznate dimenzije preseka) Kod vezanog dimenzionisanja veličina dilatacija u betonu i armaturi je uslovljena geometrijskim i mehaničkim karakteristikama

6 Slobodno dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci U slučaju slobodnog dimenzionisanja poznate su vrednosti momenata savijanja M i za odgovarajuća eksploataciona opterećenja (i = g, p, ). Broj nepoznatih veličina b, d, A a je veći od broja jednačina (dva uslova ravnoteže) Zbog toga se usvaja širina preseka b Za uobičajene dimenzije AB greda, širina poprečnog preseka se bira u granicama cm, obično se usvaja b = 30cm Izbor širine zavisi od uslova pravilnog smeštanja armature

7 Slobodno dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Dilatacije u betonu i zategnutoj armaturi ε b, ε a biraju se slobodno, uz uslov da barem jedna od njih dostigne graničnu vrednost: (1) ε b = 3.5 i 3.0 ε a < 10 (2) 0 ε b < 3.5 i ε a = 10 (3) ε b = 3.5 i ε a = 10 Ne vodi se (formalno, u pisanju) računa o znacima napona i dillatacija Od izbora dilatacija zavisi visina poprečnog preseka d

8 Slobodno dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Na primer, ako se usvoji manja dilatacija u armaturi (ε a < 10 ), a maksimalna u betonu (ε b = 3.5 ), povećava se s, odn. visina pritisnute zone u betonu x Time se dobija i veća sila pritiska u betonu D bu, a iz uslova ravnoteže normalnih sila, veća je i sila u zategnutoj armaturi Z au = D bu Kako je M u zadata veličina, a unutrašnje sile sprega su veće, onda mora da bude manji krak sprega unutrašnjih sila z Time dolazi i do smanjenja visine preseka

9 Slobodno dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Na taj način, izborom različitih dilatacija ε b i ε a, preseci različitih visina imaju istu graničnu nosivost Konstantan spoljašnji granični momenat savijanja može da se prihvati presecima različitih visina Ipak, smanjenje visine preseka, na račun povećanja armature bitno utiče na granična stanja upotrebljivosti (na veličnu ugiba, pojavu prslina) Ako ima više zategnute armature u preseku, postoje i problemi oko smeštaja armature i pravilnog ugrađivanja Za dilatacije ε a [7 10] dobijaju se tehnički i ekonomski opravdane dimenzije preseka i količine armature

10 Slobodno dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci U zavisnosti od izabranih dilatacija određuju se parcijalni koeficijenti sigurnosti, pa se računa granični momenat savijanja: izabrana ε a γ ui M u = i γ ui M ui Usvaja se kvalitet materijala: marka betona i vrsta čelika poznate su računske čvrstoće f B i σ v Za usvojene dilatacije ε b i ε a iz tablica se određuju koeficijenti k i µ

11 Tablice - lom po betonu ε b = 3.5 Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje

12 Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Tablice - lom po armaturi ε a = 10.0

13 Slobodno dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Potrebna statička visina h se određuje iz izraza: M u h = k b f B Potrebna površina armature se određuje iz izraza: A a = µ b h = µ b h σ v f B

14 Slobodno dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Na osnovu sračunate površine armature A a bira se prečnik i broj profila Raspored armature se vrši tako što se poštuje minimalan razmak između šipki, koji omogućava dobro ugrađivanje betona i odgovarajuće zaštitne slojeve, uključujući i usvojene uzengije Izračuna se rastojanje a težišta zategnute armature do zategnute ivice preseka i dobija se ukupna visina preseka d = h + a Konačna dimenzija d se usvaja zaokruživanjem (na gore!) na cele santimetre (odn. na okruglu cifru )

15 Slobodno dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Mehanički koeficijent armiranja µ zavisi samo od dilatacija u betonu i čeliku: µ = α b s Takođe, iz uslova ravnoteže normalnih sila dobija se µ = α b s = A a1 b h σ v f B = µ σ v f B gde je µ geometrijski koeficijent armiranja: µ = A a1 b h

16 Slobodno dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Za grede je definisan minimalan koeficijent armiranja µ min : µ = A { a1 0.25% GA b h µ min gde je µ min = 0.20% RA Ni u jednom preseku AB grednog nosača ne sme da bude manje armature od minimalno propisane

17 Slobodno dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 1 Odrediti visinu preseka i potrebnu količinu armature za presek pravougaonog oblika na koji deluju momenti savijanja usled stalnog (M g ) i povremenog (M p ) opterećenja. Dati su podaci: - momenti savijanja... M g = 60 knm, M p = 80 knm - širina poprečnog preseka... b = 25 cm - kvalitet materijala... MB 30, GA 240/360

18 Slobodno dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 1 Granični momenat savijanja M u = = 240 knm Za usvojeni materijal betona i čelika je: MB 30 f B = 2.05 kn/cm 2 RA 240/360 σ v = 24.0 kn/cm 2 Usvojene dilatacije u betonu i čeliku (simultani lom) ε b /ε a1 = 3.5/10 k = 2.311, µ = %, ζ b = 0.892

19 Slobodno dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 1 Potrebna statička visina preseka M u h = k = = 50.0 cm b f B Potrebna količina zategnute armature A a = µ b h f B = = cm2 100 σ v

20 Slobodno dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 1 Alternativno, potrebna površina armature je A a = M u z σ v = M u ζ b h σ v = Usvojena armatura: 6Φ22 (22.80 cm 2 ) = cm Za širinu grede b=25cm ova armatura ne može da se smesti u jedan red

21 Usvojene dimenzije grede - primer 1 Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje

22 Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Alternativne dimenzije za različita granična stanja

23 Vezano dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Vezano dimenzionisanje podrazumeva određivanje potrebne količine armature za poznate dimenzije poprečnog preseka Kod vezanog dimenzionisanja veličina dilatacija u betonu i armaturi je uslovljena geometrijskim i mehaničkim karakteristikama Znači, kod vezanog dimenzionisanja poznato je: - momenti savijanja od eksploatacionih opterećenja M i - dimenzije poprečnog preseka b, d - usvojen kvalitet materijala f B, σ v Nepoznato je: - količina armature u preseku A a - stanje dilatacija u preseku s

24 Vezano dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Pretpostavlja se da je dilatacija u armaturi između 3 i 10 (naravno, zatezanje), pa se izračuna granični momenat savijanja M u (usvajaju se minimalne vrednosti γ ui ) Pretpostavlja se veličina a (rastojanje težišta zategnute armature od zategnute ivice preseka)... uobičajeno je a 0.1 d, pa se odredi statička visina h = d a Sa određenom statičkom visinom h izračunava se koeficijent k: k = h Mu iz tablica µ b f B

25 Vezano dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Iz tabela za dimenzionisanje se, na osnovu izračunatog k odredi mehanički koeficijent armiranja µ, pa se očitaju dilatacije ε b, ε a Kontroliše se da li su usvojene odgovarajuće vrednosti parcijalnih koeficijenata sigurnosti (provera da li je ε a > 3 ) Određuje se potrebna količina zategnute armature iz izraza: A a = µ b h f B σ v ili A a = M u z σ v = M u ζ b h σ v

26 Vezano dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Usvaja se prečnik armature i dobijeni broj profila se raspoređuje u poprečnom preseku, vodeći računa o pravilnom rasporedu Sračunava se stvarni položaj težišta zategnute armature a, a time i stvarna statička visina h, pa se poredi sa pretpostavljenom U slučaju većeg odstupanja, proračun se ponavlja U slučju da je dilatacija u armaturi ε a < 3, presek se dvojno armira

27 Vezano dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 2 Odrediti potrebnu površinu armature za presek zadatog pravougaonog oblika na koji deluje granični momenat savijanja M u. Dati su podaci: - granični momenat savijanja... M u = 300 knm - dimenzije poprečnog preseka... b/d = 40/60 cm - kvalitet materijala... MB 30, RA 400/500

28 Vezano dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 2 Za usvojeni materijal betona i čelika je: MB 30 f B = 2.05 kn/cm 2 RA 240/360 σ v = 24.0 kn/cm 2 Za pretpostavljeno rastojanje težišta zategnute armature do zategnute ivice a 1 = 7cm, statička visina preseka je h = d a 1 = 60 7 = 53 cm

29 Vezano dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 2 Koeficijent k je dat sa: k = h Mu b f B = = Iz tablica se dobija: za ε a = 10, najbliža vrednost za k=2.711 je k=2.765, što odgovara dilataciji u betonu ε b = Za te dilatacije se očitava i µ = %, kao i ζ b = 0.924

30 Vezano dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 2 Potrebna količina zategnute armature A a = µ b h f B = = cm2 100 σ v Alternativno, potrebna površina armature je A a = M u z σ v = M u ζ b h σ v = Usvojena armatura: 6RΦ19 (17.01 cm 2 ) = cm

31 Usvojena armatura grede - primer 2 Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje

32 Sadržaj Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje 1 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje 2 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet 3 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka

33 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvostruko armirani preseci U pritisnutu zonu betonskog preseka uvek se postavlja montažna (konstruktivna) armatura Smisao pritisnute armature je da poveže uzengije i da poveća žilavost pritisnute zone betona Prema tome, i jednostruko armirani preseci, sa računskom armaturom samo u zategnutoj zone preseka, imaju armaturu i u pritisnutom delu Međutim, pritisnuta konstruktivna armatura je relativno manjih preseka, pa se, i pored ove armature, preseci tretiraju kao jednostruko armirani

34 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvostruko armirani pravougaoni preseci Dvostruko (dvojno) armiranje se primenjuje u slučajevima kada jednostruko armiran presek nije u stanju da prihvati granični momenat savijanja sa dilatacijom u armaturi ε a 3 Kod dvostruko armiranih preseka, osim armature u zategnutoj zoni A a = A a1, računa se i armatura A a2 u pritisnutoj zoni Računska armatura u pritisnutoj zoni zahteva i dodatnu zategnutu armaturu A a1 kako bi uslovi ravnoteže bili zadovoljeni

35 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvostruko armirani pravougaoni preseci Granična vrednost momenta nosivosti preseka na savijanje pri punom iskorišćenju nosivosti jednostruko armiranog preseka, odn. nosivost preseka pri dilatacijama ε b = 3.5 i ε a = 3 je označena sa M bu : M bu = ( ) h 2 k b f B Vrednosti k i µ 1 određuju se iz tablica za dilatacije koje želimo da zadržimo: ε b = 3.5 i ε a = 3

36 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvostruko armirani pravougaoni preseci Ako je granični momenat savijanja spoljašnjih sila M u veći od momenta nosivosti jednostruko armiranog preseka M bu : M u = M u M bu > 0 onda je potrebno dvojno armiranje Razlika momenata M u se prihvata spregom unutrašnjih sila D au i Z au, odn. pritisnutom i dodatnom zategnutom armaturom

37 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvostruko armirani pravougaoni preseci Usvaja se da su obe armature ušle u prag tečenja: ε a2 ε q σ a2 = σ q = σ v ε a1 ε v σ a1 = σ v Čelik se ponaša praktično isto i pri zatezanju i pri pritisku

38 Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dijagram napon - dilatacija za armaturni čelik

39 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvostruko armirani pravougaoni preseci Prema tome, zategnuta armatura koja odgovara momentu nosivosti jednostruko armiranog preseka sa punim iskorišćenjem je data sa A a1 = µ 1 b h f B σ v ili A a1 = M bu z σ v = M bu ζ b h σ v gde je M bu momenat nosivosti jednostruko armiranog preseka M bu = ( ) h 2 k b f B Vrednosti k, µ 1, kao i ζ b ε b = 3.5 i ε a = 3 određuju se iz tablica za dilatacije

40 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvostruko armirani pravougaoni preseci Razlika momenata M u = M u M bu se prihvata spregom unutrašnjih sila D au i Z au, odn. pritisnutom i dodatnom zategnutom armaturom: M u = D au (h a 2 ) D au = M u (h a 2 ) Prema tome, potrebna površina pritisnute armature A a2 je data sa A a2 = D au M u = σ q σ v (h a 2 )

41 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvostruko armirani pravougaoni preseci Kako je, iz uslova ravnoteže unutrašnjih sila D au = Z au, to je potrebna dodatna zategnuta armatura data sa A a1 = M u σ v (h a 2 ) Prema tome, ukupna površina zategnute armature kod dvojno armiranog pravougaonog preseka je data sa A a1 = A a1 + A a1 = µ 1 b h f B + M u σ v σ v (h a 2 )

42 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvostruko armirani pravougaoni preseci Alternativno, ukupna zategnuta armatura može da se odredi i prema izrazu A a1 = M bu ζ b h σ v + M u σ v (h a 2 ) Potrebna pritisnuta armatura je A a2 = M u σ v (h a 2 )

43 Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvostruko armirani pravougaoni preseci

44 Sadržaj Čisto pravo savijanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet 1 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje 2 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet 3 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka

45 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet AB elementi opterećeni ekscentričnom normalnom silom pritiska, sa napadnom tačkom u osi simetrije, nalaze se u oblasti velikog ekscentriciteta ako se neutralna linija nalazi unutar preseka Znači, jedan deo preseka je zategnut, a drugi je pritisnut To je složeno savijanje, odn. istovremeni uticaj normalnih sila i momenata savijanja Normalna sila može da bude sila pritiska ili sila zatezanja

46 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Potrebne veličine za dimenzionisanje pravougaonih preseka određuju se iz uslova ravnoteže na isti način kao i u slučaju čistog pravog savijanja Poznati su eksploatacioni uticaji M i i N i (i = g, p, ), odn. momenti savijanja i normalne sile za posmatrane slučajeve opterećenja Sile u preseku M i i N i su određene proračunom nosača na standardni način, pri čemu je osa nosača geometrijsko mesto težišta poprečnih preseka Odrede se granični uticaji (parcijalni koeficijenti su za ε a 3 ): M u = γ ui M i N u = γ ui N i

47 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Ekscentrično pritisnuti elementi - proračunski model

48 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Postavljaju se dva uslova ravnoteže, spoljašnjih sila M u i N u, kao i unutrašnjih sila D bu i Z au (rezultanta napona pritisaka u betonu i napona zatezanja u armaturi) Za redukcionu tačku u ravnoteži spregova bira se težište zategnute armature: N = 0 : Dbu Z au N u = 0 Ma1 = 0 : D bu z M au = 0 pri čemu je momenat spoljašnjih sila za težište zategnute armature dat sa ( ) d M au = M u + N u 2 a 1 (1)

49 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Transformisanjem jednačina (1) na isti način kao i za slučaj čistog savijanja, dolazi se do analognih izraza Razlika je u tome što se umesto M u u svim izrazima kod složenog savijanja javlja M au Sve tabele koje se koriste za dimenzionisanje u slučaju čistog savijanja koriste se i u slučaju složenog savijanja Kao i kod čistog savijanja, u dimenzionisanju preseka za slučaj složenog savijanja javljaju se slučajevi - slobodnog dimenzionisanja - vezanog dimenzionisanja

50 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Međutim, postupak slobodnog dimenzionisanja je iterativan, jer se u izrazu za M au pojavljuje i nepoznata visina preseka d Širina poprečnog preseka se, u uobičajenim slučajevima, usvaja u granicama od 30 do 50cm Za usvojene dilatacije u betonu i armaturi iz tabela se očitaju vrednosti koeficijenta k i mehaničkog procenta armiranja µ 1 Pošto visina preseka d nije poznata, usvaja se, u prvoj iteraciji, da je M au = M u

51 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Potrebna statička visina u prvoj iteraciji h (1) određuje se iz izraza h (1) M u = k b f B Da bi se odredila visina preseka u prvoj iteraciji, prema relaciji d (1) = h (1) + a 1, pretpostavlja se da je rastojanje težišta zategnute armature do zategnute ivice preseka a 1 približno a d Prema tome, visina preseka u prvoj iteraciji je d (1) = h (1) d (1) d (1) 1.1 h (1)

52 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Sa tom visinom se određuje momenat spoljašnjih sila za težište zategnute armature: ( ) d (1) M au = M u + N u 2 a 1 Sa ovim se određuje statička visina preseka u drugoj iteraciji: h (2) M au = k d (2) = h (2) + a 1 b f B Ukoliko se dobijena vrednost d (2) razlikuje od prethodne vrednosti d (1) za više od 1cm, postupak se ponavlja do konvergencije

53 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Kada se postigne zadovoljavajuća tačnost za visinu preseka d, potrebna površina armature se određuje iz izraza A a1 = µ 1 b h f B σ v N u σ v ili A a1 = M au z σ v N u σ v (2) Mehanički koeficijent armiranja µ 1 dobijen je iz tablica, kao i koeficijent k, za usvojene dilatacije ε a i ε b Prvi član u izrazu za armaturu A a1 identičan je kao i izraz za potrebnu armaturu u slučaju čistog savijanja Drugi član u izrazu za armaturu N u /σ v pretstavlja smanjenje površine zategnute armature zbog napona pritisaka koje normalna sila pritiska N u unosi u presek

54 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet U slučaju vezanog dimenzionisanja poznato je: - statički uticaji (M i, N i )... sračunato je - kvalitet materijala (f B, σ v )... usvojeno je - dimenzije poprečnog preseka (b, d) Nepoznato je: - površina armature (A a ) - stanje dilatacija (s) Na osnovu procenjenog rastojanja težišta zategnute armature a 1 određuje se statička visina preseka h i sračunava granični momenat savijanja za težište zategnute armature M au

55 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Sa određenim M au i statičkom visinom h, izračunava se koeficijent k: k = h M au ε b, ε a1, µ 1 b σ v Potrebna površina armature se određuje iz izraza (2): A a1 = µ 1 b h f B σ v N u σ v ili A a1 = M au z σ v N u σ v gde je z = ζ b h 0.9 h krak unutrašnjih sila D bu i Z au

56 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Na osnovu dobijene potrebne površine zategnute armature usvoji se prečnik i broj šipki i raspoređuje se u poprečnom preseku, vodeći računa o pravilnom rasporedu Odredi se stvarni položaj težišta zategnute armature i stvarna statička visina Stavrna statička visina se poredi sa pretpostavljenom i u slučaju odstupanja (većeg od 5-10%) proračun se ponavlja sa tačnijom statičkom visinom

57 Sadržaj Čisto pravo savijanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet 1 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje 2 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet 3 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka

58 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armiranje preseka Ako se dobije da je ε a < 3, presek se dvojno armira, isto kao i u slučaju čistog savijanja Za usvojene dilatacije u betonu i armaturi ε b = 3.5 i ε a1 = 3 iz tablica se očitaju vrednosti k i µ 1 Sa ovim se izračunava moment nosivosti jednostruko armiranog preseka M abu : M abu = ( ) h 2 k b f b

59 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armiranje preseka Granični momenat koji treba da prihvate pritisnuta i dodatna zategnuta armatura M au je dat sa M au = M au M abu Ukupna površina zategnute armature (osnovne, koja odgovara nosivosti jednostruko armiranog preseka i dodatne) je data sa A a1 = µ 1 b h f B + M au σ v σ v (h a 2 ) N u σ v

60 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armiranje preseka Alternativno, ukupna površina zategnute armature je data sa A a1 = M au + M au z σ v σ v (h a 2 ) N u σ v Potrebna površina pritisnute armature je data sa A a2 = M au σ v (h a 2 )

61 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Ekscentrično pritisnuti elementi - dvojno armiranje

62 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armiranje preseka - usvajanje armature U zavisnosti od dobijenih površina pritisnute i ukupne zategnute armature: 1 A a2 A a1... i zategnuta i pritisnuta armatura se usvajaju u skladu sa dobijenim površinama 2 A a1 A a2 1.5 A a1... obe zone se armiraju simetrično sa srednjom vrednošću zbira površina 3 A a2 > 1.5 A a1... presek se armira simetrično, ali se površina armature određuje primenom dijagrama interakcije M N

63 Vezano dimenzionisanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet - primer 3 Odrediti potrebnu površinu armature za presek zadatog pravougaonog oblika na koji deluju sile u preseku usled stalnog i povremenog opterećenja. Dati su podaci: - stalno opterećenje... M g = 485 knm, N g = 600 kn - povremeno opterećenje... M p = 680 knm, N p = 800 kn - dimenzije poprečnog preseka... b/d = 40/90 cm - kvalitet materijala... MB 40, RA 400/500

64 Vezano dimenzionisanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet - primer 3 Za usvojeni materijal betona i čelika je: MB 40 f B = 25.5 MP a = 2.55 kn/cm 2 RA 400/500 σ v = 400 MP a = 40.0 kn/cm 2 Granični uticaji M u i N u (u odnosu na težište) M u = 1.6 M g M p = 2000 knm N u = 1.6 N g N p = 2400 kn

65 Vezano dimenzionisanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet - primer 3 Za pretpostavljeno rastojanje težišta zategnute armature do zategnute ivice a 1 = 8cm, statička visina preseka je h = d a 1 = 90 8 = 82 cm Granična vrednost spoljašnjeg momenta savijanja u odnosu na težište zategnute armature: ( ) d M au = M u + N u 2 a 1 = 2888 knm

66 Vezano dimenzionisanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet - primer 3 Bezdimenzionalni koeficijent k je k = h = Mau b f B = Iz tablica se za k = očitava: ε b = 3.5, kao i ε a = 1.10 Kako je ε a = 1.10 < 3.0, presek se dvojno armira Iz tablica se, za ε b = 3.5 i ε a = 3.0, očitava: k = i µ = %

67 Vezano dimenzionisanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet - primer 3 Granična nosivost jednostruko armiranog preseka za ε b = 3.5 i ε a = 3.0 tako da se dobija M abu = M abu = ( ) h 2 k bf B ( ) = 2321 knm 1.719

68 Vezano dimenzionisanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet - primer 3 Razlika u graničnim momentima: M au = M u M abu = = 567 knm se pokriva spregom pritisnute i dodatne zategnute armature Uz pretpostavku da je rastojanje težišta pritisnute armature do pritisnute ivice preseka jednako a 2 = 5cm, pritisnuta armatura je A a2 = M au = = cm2 σ v (h a 2 ) 40 (82 5)

69 Vezano dimenzionisanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet - primer 3 Ukupna površina zategnute armature je odnosno, A a1 = µ 1 b h f B + M au σ v σ v (h a 2 ) N u σ v A a1 = = cm2 Prema tome, površine pritisnute i ukupne zategnute armature su: A a2 = cm 2 A a1 = cm 2

70 Vezano dimenzionisanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet - primer 3 Kako je A a2 < A a1, obe zone se armiraju prema izračunatim površinama armature Usvaja se sledeća armatura: zategnuta armatura: A a1 = cm 2... usvojeno 8RΦ28 (49.26 cm 2 ) pritisnuta armatura: A a2 = cm 2... usvojeno 3RΦ28 (18.47 cm 2 )

71 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Usvojeno armiranje dvojno armiranog preseka

72 Sadržaj Čisto pravo savijanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet 1 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje 2 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet 3 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka

73 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet U slučaju ekscentričnog zatezanja važe svi izrazi kao i za slučaj ekscentričnog pritiska Umesto pozitivne sile pritiska N u prikazane relacije sila zatezanja Z se unosi sa negativnim znakom Tako, na primer, granični momenat za težište zategnute armature, za ekscentrično zatezanje, dat je sa ( ) d M au = M u Z u 2 a 1

74 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Statička visina preseka se određuje iz relacije M au h = k b f B dok se potrebna površina zategnute armature odrđuje iz izraza A a1 = µ 1 b h f B σ v + Z u σ v ili iz relacije A a1 = M au z σ v + Z u σ v

75 Vezano dimenzionisanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Veliki ekscentricitet (sila zatezanja) - primer 4 Odrediti potrebnu površinu armature za presek zadatog pravougaonog oblika na koji deluju granični momenat M u i sila zatezanja Z u. Dati su podaci: - granični uticaji... M u = 770 knm, Z u = 720 kn - dimenzije poprečnog preseka... b/d = 35/70 cm - kvalitet materijala... MB 30, RA 400/500

76 Vezano dimenzionisanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Veliki ekscentricitet (sila zatezanja) - primer 4 Za usvojeni materijal betona i čelika je: MB 30 f B = 20.5 MP a = 2.05 kn/cm 2 RA 400/500 σ v = 400 MP a = 40.0 kn/cm 2 Pretpostavlja se rastojanje težišta zategnute armature do zategnute ivice: a 1 = 0.1 d = 7 cm Statička visina preseka h = d a 1 = 70 7 = 63 cm

77 Vezano dimenzionisanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Veliki ekscentricitet (sila zatezanja) - primer 4 Granični momenat u odnosu na težište zategnute armature: M au = M u Z u ( d ( ) a 1) = Dobija se M au = knm Koeficijent k je jednak: k = h = Mau b f B = 2.238

78 Vezano dimenzionisanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Veliki ekscentricitet (sila zatezanja) - primer 4 Za k = iz tablica se očitava ε b /ε a = 3.5/9.05, kao i µ 1 = % i ζ b = Potrebna površina zategnute armature Zamenom vrednosti se dobija A a1 = A a1 = µ 1 b h f B σ v + Z u σ v = cm2 40

79 Vezano dimenzionisanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Veliki ekscentricitet (sila zatezanja) - primer 4 Alternativno, potrebna površina zategnute armature može da se odredi iz izraza A a1 = M au z σ v + Z u σ v = Usvaja se 9RΦ25 (44.18 cm 2 ) = cm2 40

80 Prikaz usvojenog armiranja Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet

81 Sadržaj Čisto pravo savijanje Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka 1 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje 2 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet 3 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka

82 Grede T preseka Čisto pravo savijanje Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T preseka - opšte napomene U betonskim konstrukcijama, posebno u zgradarstvu, veoma česte su grede T ili Γ preseka Tipičan primer su AB ploče oslonjene na AB grede (monolitno izvedene) Uobičajeno je da su ploče iznad greda (mada ploče mogu da budu i okačene o grede) Takvi elementi se izvode u isto vreme i pretstavljaju monolitnu celinu Ukoliko su ploča i neki deo grede ispod ploče u pritisnutoj oblasti, onda se greda i odgovarajući deo ploče posmatraju kao grede T preseka

83 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T preseka - opšte napomene Ukoliko je neki deo grede ispod ploče u pritisnutoj oblasti, onda se greda posmatra kao standardna greda pravougaonog preseka Kod tavanica koje čine AB ploče oslonjene na sistem greda, obično u dva ortogonalna pravca, na mestu ukrštanja greda nalaze se AB stubovi Delovi greda u polju, dakle u srednjim zonama između oslonačkih stubova, pretstavljaju grede T preseka (zategnuta je donja zona) Delovi istih greda u zonama iznad stubova pretstavljaju grede pravougaonog preseka (zategnuta je gornja zona)

84 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T preseka - opšte napomene Ivične grede u tavanici (ploča je samo sa jedne strane grede) su grede Γ preseka Grede između ivičnih su grede T preseka Ako je debljina ploče označna sa d pl, a x je visina pritisnute zone preseka, za T preseke mora da bude ispunjen uslov x > d pl (neutralna osa mora da bude u gredi, odn. u rebru) Ako je x d pl u pitanju je greda pravougaonog preseka B/d (širina je jednaka širini ploče b ili B, a visina je jednaka d - visina ploče i rebra ispod)

85 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T preseka - opšte napomene Odgovarajući deo ploče levo i desno od grede, koji se tretira kao deo grede T preseka, naziva se računska aktivna širina ploče B Monolitnost veze između ploče i rebra obezbeđuju naponi smicanja na spoju ploče i rebra Osim toga, monolitnost veze ploče i rebra se obezbeđuje i odgovarajućom armaturom u ploči upravno na pravac rebra (grede) Raspodena normalnih napona na delu ploče, levo i desno od rebra, je krivolinijska Intenzitet normalnih napona u ploči se smanjuje sa udaljenjem od rebra

86 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Aktivna širina ploče grede T preseka

87 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Aktivna širina ploče grede T preseka

88 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Aktivna širina ploče grede T preseka

89 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Aktivna širina ploče kod greda T preseka

90 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T preseka - opšte napomene Nosači T preseka proračunavaju se kao pravougaoni preseci u slučajevima kada se 1 neutralna linija nalazi u ploči x d pl 2 neutralna linija nalazi u rebru, ali se ploča nalazi u zategnutoj zoni preseka (npr. iznad oslonaca kod kontinualnih nosača) U drugim slučajevima, kada je neutralna osa u rebru, a ploča je pritisnuta, dimenzionsanje se vrši kao za T presek U zavisnosti od odnosa računske aktivne širine ploče B i širine rebra b, postoje različiti pristupi proračunu 1 za B/b > 5... uprošćeni postupak proračuna 2 za B/b 5... tačniji postupak proračuna

91 Sadržaj Čisto pravo savijanje Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka 1 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje 2 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet 3 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka

92 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Dimenzionisanje greda T preseka Kada je ispunjen uslov B/b > 5, grede T preseka se dimenzionišu po uprošćenom postupku Osnovna pretpostavka uprošćenog postupka je zanemarivanje nosivosti rebra: ukupna sila pritiska u preseku je sila pritiska u ploči D bu = D bpu Dodatna pretpostavka je da je napon pritiska po debljini ploče konstantan i jednak naponu u sredini debljine ploče σ bp (uprosečeni su naponi pritisaka po debljini ploče) Na osnovu toga, krak untrašnjih sila je poznat i iznosi z = h d p /2

93 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Dimenzionisanje greda T preseka Greška koja se čini u uprošćenom proračunu je relativno mala, a proračun je jednostavniji Kada je B/b > 5, ili još više, zanemarena pritisnuta površina betona na delu rebra je relativno mala u odnosu na površinu pritisnute ploče Osim toga, u zoni pritisnutog rebra su i naponi σ b mali (blizina neutralne ose)

94 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Dimenzionisanje greda T preseka Druga pretpostavka je osrednjavanje stvarnog dijagrama napona pritisaka u ploči na pravougaoni oblik Ordinata pravougaonog dijagrama napona je jednaka naponu σ bp ili σ bs u vlaknu na sredini debljine ploče (kome odgovara dilatacija u betonu ε bp = ε bs )

95 Uprošćeni proračun T preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka

96 Uprošćeni proračun T preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka

97 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Zbog relativno velike pritisnute površine betona, dilatacije u betonu retko prelaze vrednosti ε b Zbog toga, T preseci (po pravilu) dostižu granično stanje loma po armaturi ε a = 10 Kao i kod običnih pravougaonih preseka, dimenzionisanje preseka u slučaju čistog ili složenog savijanja svodi se na - slobodno dimenzionisanje - vezano dimenzionisanje

98 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Veličine potrebne sa slobodno dimenzionisanje T preseka dobijaju se iz dva uslova ravnoteže (kao i za dimenzionisanje pravougaonih preseka) Granična sila pritiska u ploči i granična sila zatezanja u armaturi su D bu = D bpu = B d p σ bp Z au = A a σ v Uslov ravnoteže normalnih spoljašnjih i unutrašnjih sila (za slučaj čistog pravog savijanja) je: N = o : B dp σ bp A a σ v = 0 (3)

99 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Krak unutrašnjih sila, odn. krak sile pritiska do težišta zategnute armature je z = h d p /2 Uslov ravnoteže momenata spoljašnjih i unutrašnjih sila za težište zategnute armature M a1 = 0 je: D bpu z M u = 0 (4) ili, unošenjem izraza za D bp, kao i za krak sila B d p σ bp (h d p 2 ) = M u (5)

100 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Ako se napon u sredini ploče σ bp unapred usvoji, onda se iz (5) dobija nepoznata staticka visina preseka: h = M u + d p σ bp B d p 2 (6) Napon u sredini ploče najčešće se bira u granicama 0.3 f B σ bp 0.75 f B Ove granice za napon u sredini ploče daju ekonomične i tehnički opravdane dimenzije preseka Veće iskorišćenje napona pritiska u betonu dalo bi manju visinu preseka, ali i veću količinu zategnute armature

101 Uprošćeni proračun T preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka

102 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Položaj neutralne ose u odnosu na srednju ravan ploče x 0 može da se odredi iz sličnosti trouglova i izrazi preko dilatacija u betonu i armaturi (videti prethodnu sliku) x h 0 = ε bp ( x 0 + dp 2 ε a ) odakle se dobija ε bp x 0 = ε bp + ε a ( h d ) ( p = s 0 h d ) p 2 2 (7)

103 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Osim toga, potrebno je da se proveri da li je zadovoljen uslov maksimalne dilatacije u pritisnutom vlaknu betona: ε b = ε bp x 0 + dp 2 x (8) Napon pritiska u sredini ploče σ bp se usvaja u nekom iznosu, obično u intervalu 0.3 f B σ bp 0.75 f B Time je, takođe, usvojena i dilatacija ε bp u sredini debljine ploče, zbog veze σ ε za beton: σ b = { fb4 (4 ε b ) ε b za 0 ε b 2 f B za 2 ε b 3.5 (9)

104 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Naime, rešavanjem veze (9) po ε b dolazi se do kvadratne jednačine po ε b : ε 2 b 4 ε b + 4 σ b f B = 0 Rešenja ove jednačine su ε 1,2 b = 2(1 ± 1 σ b f B ) Samo znak ima smisla, tako da je za usvojen napon u sredini ploče σ bp odgovarajuća dilatacija ε bp data sa ε bp = 2(1 1 σ bp ) (10) f B

105 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Tako, na primer, za neke vrednosti napona σ bp u uobičajenom intervalu dobija se - za σ bp = 0.30 f B ε bp = za σ bp = 0.50 f B ε bp = za σ bp = 0.75 f B ε bp = 1.000

106 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Ako se neutralna osa nalazi u ploči, x 0 d p /2, presek se proračunava kao pravougaoni, širine B Ako je neutralna osa u rebru x 0 > d p /2, potrebna površina zategnute armature se određuje iz uslova ravnoteže normalnih sila: A a = B d p σ bp σ v ili A a = M u σ v ( ) h dp 2

107 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak U slučaju vezanog dimenzionisanja poznato je: - statički uticaji za posmatrane kombinacije opterećenja (M i ) - geometrija poprečnog preseka (veličine B, b, d, d p ) - mehaničke karakteristike (MB, σ v ) Nepoznato je, odn. potrebno je da se odredi: - površina potrebne armature (A a ) - položaj neutralne linije, odn. napon u sredini ploče (σ bp )

108 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Sračunaju se granični statički uticaji M u = γ ui M i Pretpostavi se rastojanje težišta zategnute armature do zategnute ivice a 1, pa se odredi statička visina h = d a 1 Iz uslova ravnoteže momenata (5) se odredi napon pritiska u sredini ploče: M u σ bp = ( ) B d p h dp 2

109 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak U slučaju da se dobije da je σ bp > f B, postupak se prekida i vrši se tačniji proračun (sa uzimanjem u obzir i nosiosti rebra) Iz veze σ ε, prema relaciji (10), odredi se dilatacija u sredini ploče: ε bp = 2(1 1 σ bp ) ε a = 10 s 0 f B Položaj neutralne ose u odnosu na sredinu ploče je dat sa (7): x 0 = ε ( bp h d ) ( p = s 0 h d ) p ε bp + ε a 2 2

110 Uprošćeni proračun T preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka x 0 se upoređuje sa polovinom debljine ploče: ako je x 0 > d p /2 neutralna osa je ispod ploče (u rebru)

111 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Dilatacija na gornjoj pritisnutoj ivici ploče mora da zadovolji uslov (8): x 0 + dp 2 ε b = ε bp 3.5 x 0 Naravno, ako je neutralna linija u ploči (x 0 d p /2), presek se dimenzioniše kao pravougaoni dimenzija B d Ako je neutralna linija u rebru, odn. za x 0 > d p /2, potrebna površina armature se određuje iz relacije (uslov ravnoteže normalnih sila) M u A a = ( ) σ v h dp 2

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA - PRAVOUGAONI PRESEK Moment loma za pravougaoni presek prikazan na skici odrediti za slučajeve:. kada

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I 4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I Čisto pravo savijanje Pod čistim savijanjem grede podrazumeva se naprezanje pri kome su sve komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta

Διαβάστε περισσότερα

1. Dimenzionisanje poprečnog preseka nosača. Pretpostavlja se poprečni presek HEB 600. Osnovni materijal S235 f y 235MPa f u 360MPa

1. Dimenzionisanje poprečnog preseka nosača. Pretpostavlja se poprečni presek HEB 600. Osnovni materijal S235 f y 235MPa f u 360MPa a. zadatak Sračuna i konstruisa montažni nastavak nosača izrađenog od vruce valjanog profila prema zadam presečnim silama:ved = 300 kn MEd = 1000 knm. Za nosač usvoji odgovarajući HEB valjani profil. Nastavak

Διαβάστε περισσότερα

Konvencija o znacima za opterećenja grede

Konvencija o znacima za opterećenja grede Konvencija o znacima za opterećenja grede Levo od preseka Desno od preseka Savijanje Čisto savijanje (spregovima) Osnovne jednačine savijanja Savijanje silama Dimenzionisanje nosača izloženih savijanju

Διαβάστε περισσότερα

Proračun nosivosti elemenata

Proračun nosivosti elemenata Proračun nosivosti elemenata EC9 obrađuje sve fenomene vezane za stabilnost elemenata aluminijumskih konstrukcija: Izvijanje pritisnutih štapova; Bočno-torziono izvijanje nosača Izvijanje ekscentrično

Διαβάστε περισσότερα

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program BETONSKE KONSTRUKCIJE Program Zagreb, 009. Ime i prezime 50 60 (h) 16 (h0) (A) (A) 600 (B) 600 (B) 500 (A) 500 (A) SADRŽAJ 1. Tehnički opis.... Proračun ploče POZ 01-01...3.1. Analiza opterećenja ploče

Διαβάστε περισσότερα

FUNDIRANJE (TEMELJENJE)

FUNDIRANJE (TEMELJENJE) 1/11/013 FUNDIRANJE 1 FUNDIRANJE (TEMELJENJE) 1. Projektovanje temelja se vrši prema graničnom stanju konstrukcije i tla ispod ojekta sa osvrtom na ekonomski faktor u pogledu utroška materijala, oima radova

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE 0 4 0 1 Lanci za vešanje tereta prema standardu MSZ EN 818-2 Lanci su izuzetno pogodni za obavljanje zahtevnih operacija prenošenja tereta. Opseg radne temperature se kreće

Διαβάστε περισσότερα

6. Plan armature prednapetog nosača

6. Plan armature prednapetog nosača 6. Plan armature prednapetog nosača 6.1. Rekapitulacija odabrane armature Prednapeta armatura odabrano:3 natege 6812 Uzdužna nenapeta armatura. u polju donji rub nosača (mjerodavna je provjera nosivosti

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A Psmen spt z OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga ABC se oslanja pomoću dvje špke BD CE kao na slc desno. Špka BD, dužne 0.5 m, zrađena je od čelka (E AB 10 GPa) ma poprečn presjek od 500 mm.

Διαβάστε περισσότερα

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Matrična analiza linijskih

Διαβάστε περισσότερα

SPREGNUTE KONSTRUKCIJE

SPREGNUTE KONSTRUKCIJE SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Prof. dr. sc. Ivica Džeba Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu SPREGNUTI NOSAČI 1B. DIO PRIJENJIVO NA SVE KLASE POPREČNIH PRESJEKA OBAVEZNA PRIJENA ZA KLASE PRESJEKA 3 i 4

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG 1 PRAVILNIK BAB 87

PRILOG 1 PRAVILNIK BAB 87 PRILOG 1 PRAVILNIK BAB 87 PRILOG 1.1 PRAVILNIK O TEHNIČKIM NORMATIVIMA ZA BETON I ARMIRANI BETON I OPŠTE ODREDBE 1 Ovim pravilnikom propisuju se uslovi i zahtevi koji moraju biti ispunjeni pri projektovanju,

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNA STANJA NOSIVOSTI BETONSKIH KONSTRUKCIJA SADRŽAJ

GRANIČNA STANJA NOSIVOSTI BETONSKIH KONSTRUKCIJA SADRŽAJ GRANIČNA STANJA NOSIVOSTI BETONSKIH KONSTRUKCIJA SADRŽAJ 1 FIZIKALNO-MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA... 2 1.1 Beton... 2 1.1.1 Računska čvrstoća betona... 6 1.1.2 Višeosno stanje naprezanja... 6 1.1.3 Razred

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA / VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ SADRŽAJ. SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. NESTACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. STACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI.

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI. 1 O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI Ljubiša Nešić, Odsek za fiziku, PMF, Niš http://www.pmf.ni.ac.yu/people/nesiclj/ Uvod Kao što je poznato, fizičke veličine mogu da imaju dimenzije ili pak da budu bezdimenzionalne.

Διαβάστε περισσότερα

A. STATIČKI PRORAČUN POLUMONTAŽNE STROPNE KONSTRUKCIJE "YTONG STROP" strana

A. STATIČKI PRORAČUN POLUMONTAŽNE STROPNE KONSTRUKCIJE YTONG STROP strana S A D R Ž A J OPĆI DIO: Izvadak iz sudskog registra o registraciji Rješenje o upisu u imenik ovlaštenih inženjera građevinarstva Izvješće o kontroli Tipskog projekta glede mehaničke otpornosti i stabilnosti

Διαβάστε περισσότερα

Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu/ Mašinski elementi 1/ Predavanje 3. Slika1.1 Primeri nepokretne i obrtne osovine

Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu/ Mašinski elementi 1/ Predavanje 3. Slika1.1 Primeri nepokretne i obrtne osovine ašinski fakultet Univerziteta u Beogradu/ ašinski elementi 1/ Predavanje.1 OSOVINE I VRATILA.1.1. Uvod Vratila i osovine, kao osnovni elementi obrtnog kretanja, moraju uvek biti preko kliznih i kotrljajnih

Διαβάστε περισσότερα

Proračun toplotne zaštite

Proračun toplotne zaštite Proračun toplotne zaštite za objekat Stambeni objekat urađen prema JUS U.J5.600 iz 1998 i JUS U.J5.510 iz 1987 godine. Sadržaj - analiza konstrukcija - analiza linijskih gubitaka - proračun toplotnih transmisionih

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

1 RАVANSKE REŠETKE (1.2)

1 RАVANSKE REŠETKE (1.2) 1 RАVNSKE REŠETKE Rešetkasti nosači predstavljaju sistem sačinjen od lakih krutih štapova međusobno zglobno vezanih svojim krajevima. Zglobne veze krajeva štapova se nazivaju čvorovi. Rešetke su opterećene

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

PROJEKAT BETONSKE MEŠAVINE Redosled postupaka

PROJEKAT BETONSKE MEŠAVINE Redosled postupaka Redosled postupaka - Izbor komponentnih materijala (na osnovu vrste konstrukcije, sredine u kojoj se gradi i ekonomskih aktora) - Određivanje nominalno najvećeg zrna agregata (D) (na osnovu planova oplate

Διαβάστε περισσότερα

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA Izmeriti neku veličinu u fizici znači naći brojni odnos merene fizičke veličine prema vrednosti iste fizičke veličine, koja je dogovorno izabrana za jedinicu.

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

S A D R Ž A J. 1.1 Opšti podaci Čelik za prednaprezanje Kotve i kablovi Oprema Gubici sile prednaprezanja...

S A D R Ž A J. 1.1 Opšti podaci Čelik za prednaprezanje Kotve i kablovi Oprema Gubici sile prednaprezanja... 1 1 S A D R Ž A J 1.0 OPIS SISTEMA 1.1 Opšti podaci... 2 1.2 Čelik za prednaprezanje... 2 1.3 Kotve i kablovi... 2 1.4 Oprema... 3 1.5 Gubici sile prednaprezanja... 3 1.5.1 Uvlačenje klina... 4 1.5.2 Elastično

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

unutrašnja opterećenja

unutrašnja opterećenja * Ravnoteža u deformabilnom tijelu Koncentrisana sila (idealizacija) Površinska sila Spoljašnja opterećenja: površinske i zapreminske sile Reakcije oslonaca Jednačine ravnoteže Linearna raspodjela opterećenja

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Str

Str Str. Testiranje statističkih hipoteza Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama (najčešće

Διαβάστε περισσότερα

Predavanje br 3 TRANSPORT I LOGISTIKA 2006/2007 OSNOVE ZA DIMENZIONISANJE ČELIČNIH KONSTRUKCIJA

Predavanje br 3 TRANSPORT I LOGISTIKA 2006/2007 OSNOVE ZA DIMENZIONISANJE ČELIČNIH KONSTRUKCIJA ANALIZA NOSEĆIH STRUKTURA 11 Predavanje br TRANSPORT I LOGISTIKA 006/007 OSNOVE ZA DIMENZIONISANJE ČELIČNIH KONSTRUKCIJA Dimenzionisanje čeličnih konstrukcija se izvodi na bazi poznavanja rasporeda spoljašnjih

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Otvorene mreže. Zadatak 1

Otvorene mreže. Zadatak 1 Otvorene mreže Zadatak Na slici je data otvorena mreža u kojoj je rocesor centralni server. Prosečan intenzitet ulaznog toka rocesa u sistem iznosi X rocesa/sec. Posle rocesorske obrade, roces u % slučajeva

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja Glava 2 Kinematika Gde god da pogledamo oko nas, možemo da uočimo tela u kretanju (u fizici je uobičajeno a se kaže u stanju kretanja ). Čak i kada smo u stanju mirovanja, naše srce kuca i na taj način

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два

Διαβάστε περισσότερα

PRIKAZ STANDARDA SCS ISO 13370:2006 Toplotne karakteristike zgradaprenošenje toplote preko tla- Metode proračuna -u pogledu određivanja U-vrednosti-

PRIKAZ STANDARDA SCS ISO 13370:2006 Toplotne karakteristike zgradaprenošenje toplote preko tla- Metode proračuna -u pogledu određivanja U-vrednosti- PRIKAZ STANDARDA SCS ISO 13370:2006 Toplotne karakteristike zgradaprenošenje toplote preko tla- Metode proračuna -u pogledu određivanja U-vrednosti- Prenos toplote preko poda (temelja) koji je u kontaktu

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

SRĐAN PODRUG ELEMENTI STROJEVA

SRĐAN PODRUG ELEMENTI STROJEVA S V E U Č I L I Š T E U S P L I T U FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE U SPLITU SRĐAN PODRUG ELEMENTI STROJEVA Predavanja za stručni studij BRODOGRADNJE za šk. god. 2006/2007. Split, 2006.

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu I Definisanje frekventnih karakteristika Dinamički modeli sistema se definišu u vremenskom, Laplace-ovom

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11.

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11. OSNOVE EEKTOTEHNKE Vježba... Za redno rezonantno kolo, prikazano na slici. je poznato E V, =Ω, =Ω, =Ω kao i rezonantna učestanost f =5kHz. zračunati: a) kompleksnu struju u kolu kao i kompleksne napone

Διαβάστε περισσότερα

MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA

MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA 1 Merenje Svaki eksperimentalni rad u fizici praćen je merenjem neke fizičke veličine. Izmeriti neku fizičku veličinu znači uporediti je sa standardnom

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

CIGLA - tehnički priručnik

CIGLA - tehnički priručnik CIGLA - tehnički priručnik SADRŽAJ TERMO PROGRAM KLASIČNI PROGRAM STROPNI PROGRAM TROŠKOVNIK ZA UGRADNJU PROIZVODA 04 13 16 21 Proizvodi Građevinska fizika Prednosti termo bloka Proizvodi Proizvodi Tehničke

Διαβάστε περισσότερα

ЈЕДНОСТЕПЕНИ РЕДУКТОР

ЈЕДНОСТЕПЕНИ РЕДУКТОР Средња машинска школа РАДОЈЕ ДАКИЋ ЈЕДНОСТЕПЕНИ РЕДУКТОР Милош Мајсторовић 9 4 4 40 0 4 0 0 9 0 0 0 4 4 St.iz. Izmene Datum Ime Datum bradio 0.09.04 Milos dobrio Masa: Jednostepeni reduktor znaka: JR.00.00

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

1. Skicirati sledeće površi i ispitati njihovu regularnost:

1. Skicirati sledeće površi i ispitati njihovu regularnost: Geometrija 3, drgi kolokvijm Prezime i ime, broj indeksa, grpa Skicirati sledeće površi i ispitati njihov reglarnost: a f, v sh cos v, sh sin v,,, v [ π, π]; b g, v, 3, v,, v R a b Rešenje a Iz oblika

Διαβάστε περισσότερα

FIZIČKO-TEHNIČKA MERENJA: MERENJE BRZINE I UBRZANJA

FIZIČKO-TEHNIČKA MERENJA: MERENJE BRZINE I UBRZANJA : MERENJE BRZINE I UBRZANJA UVOD Iako brzina predstavlja prvi, a ubrzanje drugi izvod, ne preporučuje se njihovo određivanje preko izvoda, jer usled šuma greška može biti velika. Može se koristi sledeća

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE I. Predavanja

BETONSKE KONSTRUKCIJE I. Predavanja BETONSKE KONSTRUKCIJE I Predavanja Zagreb, 010. Igor Gukov SADRŽAJ 1. UVOD...3. FIZIKALNO-MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA...6.1. Beton...7.1.1 Računska čvrstoća betona...11.1. Višeosno stanje naprezanja...11.1.3

Διαβάστε περισσότερα

UPRAVLJANJE TROŠKOVIMA

UPRAVLJANJE TROŠKOVIMA UPRAVLJANJE TROŠKOVIMA Troškovi Predstavljaju novčano izražena trošenja sredstava i rada. Postoji više različitih klasifikacija troškova, u zavisnosti od aspekta posmatranja. Vrste troškova U zavisnosti

Διαβάστε περισσότερα

Tehnologija bušenja II

Tehnologija bušenja II INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak Vul[V] Vul[V]

Zadatak Vul[V] Vul[V] Zadatak 11.1. a) Projektovati kolo A/D konvertora sa paralelnim komparatorima koji ulazni napon u opsegu 0 8V kovertuje u 3 bitni binarni broj prema karakteristici sa Slike 11.1.1. a). U slučaju kada je

Διαβάστε περισσότερα

STVARANJE VEZE C-C POMO]U ORGANOBORANA

STVARANJE VEZE C-C POMO]U ORGANOBORANA STVAAJE VEZE C-C PM]U GAAA 2 6 rojne i raznovrsne reakcije * idroborovanje alkena i reakcije alkil-borana 3, Et 2 (ili TF ili diglim) Ar δ δ 2 2 3 * cis-adicija "suprotno" Markovnikov-ljevom pravilu *

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković Devizno tržište Devizni urs i devizno tržište Devizni urs - cena jedne valute izražena u drugoj valuti Promene deviznog ursa utiču na vrednost ative i pasive oje su izražene u stranoj valuti Devizni urs

Διαβάστε περισσότερα

3. ATMOSFERSKI PRITISAK

3. ATMOSFERSKI PRITISAK 3. ATMOSFERSKI PRITISAK NASTAVNA PITANJA: 1. Pojam atmosferskog pritiska 2. Vertikalna raspodjela vazdušnog pritiska 3. Horizontalna raspodjela vazdušnog pritiska 4. Barometarski gradijent LITERATURA:

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

Personalni računar II deo. MEMORIJE Operativna memorija Spoljašnje memorije Keš memorija

Personalni računar II deo. MEMORIJE Operativna memorija Spoljašnje memorije Keš memorija Personalni računar II deo MEMORIJE Operativna memorija Spoljašnje memorije Keš memorija Memorije Memorija služi za čuvanje programa i podataka. U personalnom računaru postoje tri vrste memorijskih jedinica:

Διαβάστε περισσότερα

Termofizika. Glava Temperatura

Termofizika. Glava Temperatura Glava 7 Termofizika Toplota je jedan od oblika energije sa čijim transferom sa tela na telo se svakodnevno srećemo. Tako nas na primer, leti Sunce zagreva tokom dana dok su vedre letnje noći često prilično

Διαβάστε περισσότερα

RAZLIKA U CIJENI RAZLIKE U CIJENI U TRGOVINI UKUPNA RAZLIKA U CIJENI UKUPNA RAZLIKA U CIJENI

RAZLIKA U CIJENI RAZLIKE U CIJENI U TRGOVINI UKUPNA RAZLIKA U CIJENI UKUPNA RAZLIKA U CIJENI RAZLIKA U CIJENI RAZLIKE U CIJENI U TRGOVINI Služi za pokriće troškova poslovanja i ostvarenje dobiti; Troškovi poslovanja: materijalni troškovi; amortizacija; troškovi rada; ostali troškovi; Razlikujemo

Διαβάστε περισσότερα

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem.

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. 1.OSNOVNI POJMOVI TOPLOTA Primjeri * KALORIKA Nauka o toploti * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. * TD SISTEM To je bilo koje makroskopsko tijelo ili grupa tijela,

Διαβάστε περισσότερα

Rad, energija, snaga. Glava Rad

Rad, energija, snaga. Glava Rad Glava 4 Rad, energija, snaga Pojam energije je jedan od najvažnijih u nauci i tehnici ali se koristi i u svakodnevnom životu. U našoj svakodnevnici taj pojam se obično odnosi na gorivo za pokretanje automobila

Διαβάστε περισσότερα

Kontrola kvaliteta betona Projekat betona

Kontrola kvaliteta betona Projekat betona Kontrola kvaliteta betona Projekat betona Predavanje, 08.01.2013. Pripremili: Doc.dr. Merima Šahinagić-Isović Asis. Marko Ćećez SADRŽAJ Kontrola kvaliteta betona: Opće postavke Partije betona Kontrola

Διαβάστε περισσότερα