Slika 4.1: Tipičan odskočni odziv relaksiranog sistema

Transcript

1 9. Karakterizacija kotiualih sistema u prelazom režimu Postoji veći broj parametara koji karakterišu poašaje sistema u prelazom režimu. Ovi parametri pripadaju različitim prostorima u kojima se sistemi mogu aalizirati (vremeski, frekvecijski ili kompleksi). U okviru ovog izlagaja biće defiisaa većia ovih parametara i biće objašjea priroda jihovog uticaja a karakter prelazog režima, dok će a kraju ovog odeljka biti izvedea fukcioala veza za eke od jih. Karakterističi parametri iz vremeskog domea Kada se karakteriše prelazi režim sistema, uobičajeo je da se posmatra jediči odskoči odziv relaksiraog sistema, dakle sistema čiji su svi početi uslovi bili jedaki uli. Jeda takav, karakterističa odskoči odziv prikaza je a slici 4.. y( t) y Π y ( ).9y ( ).4y.5y ( ).y ( ) t. t.5 t.9 Pod pretpostavkom da smo sa t Π Slika 4.: Tipiča odskoči odziv relaksiraog sistema y() t T s t [ sec] ozačili jediiči odskoči odziv sistema, moguće je uočiti eke karakterističe tačke a dijagramu prikazaom a slici 4.. Prvo, sa je ozačea vredost odziva sistema u stacioarom staju. Dalje, sa t Π je ozače vremeski treutak u kome odskoči odziv ima svoj maksimum a sa je ozače vredost tog maksimuma: t y Π ( tπ ) = max y( t) yπ Π y = t< y( ) : (4.) Na osovu ovog parametra moguće je defiisati prvu važu karakteristiku prelazog režima u sistemu koja se aziva preskok. Preskok se obeležava sa Π, običo se izražava u procetima a defiiše a sledeći ači: y Π = Π y( ) ( ) y % Jaso je da je prilikom projektovaja sistema cilj da preskok bude što je moguće maji, jer je o idikator velikih, eželjeih iako prigušeih oscilacija u sistemu. Vredost preskoka za stabile sisteme može uzeti vredosti u itervalu [,) %, pri čemu već preskok os % idicira da je sistem a graici stabilosti, o čemu će biti reči kasije. Takođe, veći preskok ima za posledicu i (4.)

2 veću brziu sistema, što je dobra osobia, tako da se prilikom projektovaja sistema upravljaja mora tražiti kompromis između ova opreča zahteva. Druga važa karakteristika prelazog režima, a koja se uočava a osovu vremeskog odziva sistema, jeste vreme kašjeja. Vreme kašjeja sistema se običo obeležava sa t.5 ili Tk, u literaturi a ašem jeziku, i predstavlja treutak kada odskoči odziv sistema dostige 5% svoje vredosti u stacioarom staju: ( T ) =. y( ) Tk : y k 5 (4.3) Sledeća važa karakteristika sistema jeste vreme uspoa sistema koje se običo defiiše kao vreme koje proteke od treutka kad odziv dostige % do treutka kada dostige 9% svoje vredosti u stacioarom staju. Običo se obeležava sa Tr u literaturi a egleskom ili Tu u literaturi a ašem jeziku i formalo se defiiše a sledeći ači: ( t ) =.y( ), y( t ) =. ( ) T u = t.9 t. ; y.. 9 9y (4.4) Vreme kašjeja i vreme uspoa su dva parametra koja su direkto vezaa za brziu odziva sistema i obruto su proporcioala preskoku. Što je preskok veći to su ove dve vremeske kostate maje i obruto. Na slici 4. su prikazaa jediiča odskoča odziva dva različita sistema. Slika 4.: Odzivi sistema sa različitim preskocima i vremeima uspoa Precizim izračuavajima treutaka t, t t..5,.9 i tπ za ove sisteme dobija se da je vreme uspoa za sistem a T ua =, 66s a za sistem b T =. s, da su vremea kašjeja T ka =. 9s i T kb =. 3s, ub dok su odgovarajući preskoci Π a = 6.3% i Π b = 5.6%. Dobijei rezultati zaista potvrđuju da je za sisteme sa većim preskokom karakterističa brži odziv, dakle kraće su vremeske kostate uspoa i kašjeja. Vrlo često se koristi jeda ižejerska aproksimacija koja kaže da je proizvod vremea uspoa i učestaosti propusog opsega sistema kostata veličia između.3 i.4: T u f.3.4 (4.5) Dakle, za sistem a bi propusi opseg bio oko.hz, dok bi propusi opseg sistema b izosio oko.9hz. Naravo, ovo su samo aproksimative vredosti, a aalitički postupak za izračuavaje propusog opsega sistema biće objašje kasije. Sledeći važa parametar koji se koristi za opisivaje rada sistema u prelazom režimu jeste vreme smireja T s. Vreme smireja jeste vremeski treutak iza koga oscilacije odziva oko stacioare vredosti e prelaze % (poekada se koristi prag 5%) te stacioare vredosti. Na slici 4..su prikazae dve isprekidae liije, paralele sa vremeskom osom, a vredosti od.98 i. y. Vreme smireja je treutak kada odziv sistema uđe u ovako defiisae y

3 gabarite i više e preseca avedee prave. Egzakta defiicija vremea smireja je da je to ajmaja vremeska kostata koja zadovoljava sledeće svojstvo: ( t T ) y( t) y( ). y( ) Ts : s (4.6) Postoje još dva vremeska pokazatelja poašaja sistema u prelazom režimu, i oa se ajbolje mogu sagledati a osovu vremeskog odziva prikazaog a slici 4.3. ( σ ) + a exp at τ ( σ ) a exp at Slika 4.3: Odskoči odziv sistema i odgovarajuće avelope Odzivi sistema a odskoči sigal imaju formu kakva je prikazaa a slici 4.3. Ta je forma takva da se jedostavo mogu postaviti ekspoecijale avelope koje obuhvataju odziv sa gorje i doje strae. Aalitički oblici avelopa su dati a slici 4.3 a reciproča vredost parametra σ a ima začaju ulogu u karakterizaciji poašaja sistema i aziva se domiata vremeska kostata u ozaci T d : T d = (4.7) σ Domiata vremeska kostata sistema je običo tri do pet puta maja od vremea smireja. Koačo, u odzivu sistema se uobičajeo pojavljuju prigušee oscilacije, čija je perioda τ prikazaa a slici 4.. Ovaj parametar se aziva periodom prigušeih oscilacija i takođe se poekada koristi za karakterizaciju sistema. Karakterističi parametri iz frekvecijskog domea Sledeći skup parametara koji se koristi za opisivaje poašaja sistem u vremeskom domeu geeriše se iz frekvecijskih karakteristika. Ukoliko am je pozata fukcija preosa sistema G s, smeom jω G jω koja ima svoj moduo i svoju fazu: () s = dobija se fukcija ( ω) ( ω) a arg{ G( jω )} j G j = G j e (4.8) Dijagrami a kojima se prikazuju zavisosti modula i faze od učestaosti ω azivaju se amplitudskom i fazom frekvecijskom karakteristikom. Na slikama 4.4.a i 4.4.b su prikazae amplitudska i faza frekvecijska karakteristika jedog sistema NF (iskofrekvetog) tipa. Frekvecijske karakteristike koje se ajčešće sreću u teoriji sistema i upravljaja i jesu iskofrekvetog tipa. Ne treba zaboraviti šta je fizičko začeje frekvecijskih karakteristika. Oe am govore o tome kako se sistem poaša ako se a jegov ulaz dovede prostoperiodiči sigal određee učestaosti. Primera radi, ako posmatramo sistem čija je fukcija preosa G ( jω) = /( jω + 4) i ako a jegov ulaz dovedemo prostoperiodiči sigal x() t = 3si( 7t), posle

4 prelazog režima a izlazu sistema će se geerisati takođe prostoperiodiči sigal y t = Y 7t +ϕ Y 3G 7 j ϕ = arg G 7 j. () si, pri čemu je = i { } Takođe, posle ovog primera je jedostavo zaključiti da frekvecijske karakteristike imaju smisla ukoliko je sistem stabila, jer iače prelazi režim ikada e prestaje, pa i fizičko tumačeje začeja frekvecijskih karakteristika e postoji. Slika 4.4: Amplitudska i faza frekvecijska karakteristika iskofrekvecijskog tipa Prvi parametar koji je izuzeto važa za poašaje sistema, a čita se sa frekvecijskih karakteristika, jeste propusi opseg sistema. Zaviso od toga da li su frekvecijske karakteristike crtae u fukciji učestaosti ili kruže učestaosti, propusi opseg se obeležava sa f ili ω i izražava u Hercima ili radijaima u sekudi. Za sisteme NF tipa propusi opseg se defiiše kao oa učestaost a kojoj je amplitudska karakteristika puta maja u odosu a jeu vredost a ultoj učestaosti: ω : G ( jω ) = G( j) (4.9) Propusi opseg (u ekim udžbeicima se obeležava sa B od egleske reči badwidth) je izuzeto važa osobia sistema. O am govori o brzii odziva sistema. Ako želimo da aproksimativo, bez aalitičkog račua, proceimo koliki je propusi opseg jedog sistema, treba da se zapitamo koliko puta je taj sistem u staju da u jedoj sekudi promei smer kretaja fizičkih veličia u jemu. Najbrži su optički i optoelektroski sistemi čiji propusi opsezi dosežu vredosti gigaherza ( 9 Hz), zatim su tu elektroski sistemi pa mehaički. Među mehaičkim sistemima ajbrži su peumatski i hidrauliči a ajsporiji temperaturi i sistemi koji regulišu ivo tečosti. Njihovi propusi opsezi se mere desetim delovima herca. Sledeći parametar koji se može očitati sa faze frekvecijske karakteristike sistema jeste vremesko kašjeje koje se defiiše a sledeći ači: T k T k d = arg{ G( jω )} (4.) dω Posledja relacija zahteva kometar. Prvo, e treba mešati ovako defiisao vremesko kašjeje sa vremeom kašjeja defiisaim relacijom (4.3), mada ova dva parametra isu ezavisa. Sa povećajem jedog povećava se i drugo i obruto. Drugi važa kometar veza za relaciju (4.) je da izraz a desoj strai ije kostata već fukcija učestaosti ω, u opštem slučaju. Samo kada je faza karakteristika lieara fukcija tražei izvod će biti kostata. Međutim, ako u opštem

5 slučaju želimo da odredimo ovaj parametar, uobičajeo je da se faza karakteristika u posmatraom opsegu učestaosti aproksimira liearim segmetom, i za jega se potraži agib. Sada posmatrajmo sistem koji je realizova kao sistem sa jediičom egativom povratom spregom (slika 4.5). Moguće je skicirati frekvecijske karakteristike fukcije povratog preosa W s. Amplitudska i faza frekvecijska karakteristika takvog sistema prikazae su a slici 4.6. r() t et ct W ( s) + Slika 4.5: Sistem sa jediičom egativom povratom spregom W ( jω ) { ( jω )} arg W ω /d ω π ω ω π Φ pf Slika 4.6: Amplitudska i faza frekvecijska karakteristika sistema u otvoreoj sprezi U želji da defiišemo dva vrlo važa parametra koja opisuju poašaje sistema koji ima strukturu jediiče egative povrate sprege, potrebo je prvo defiisati učestaost ω, koja se aziva preseča učestaost pojačaja, a koja predstavlja učestaost a kojoj amplitudska karakteristika ima vredost : ω : W jω = (4.) Zatim se za ovako određeu vredost učestaosti očita vredost faze karakteristike, i a osovu je se defiiše pretek faze, ili faza margia a sledeći ači: { } Φ = 8 + arg (4.) pf W jω Poekada se faza margia ili pretek faze ozačavaju ozakom PM (Phase Margi) i može se izražavati ili u stepeima ili u radijaima (u ovom drugom slučaju u relaciji (4.) umesto 8 treba da stoji π rad). Pretek faze je začaja karakteristika sistema jer oa predstavlja meru jegove relative stabilosti. Ako je sistem u otvoreoj sprezi bio stabila, potreba i dovolja uslov da sistem u zatvoreoj sprezi bude stabila je da pretek faze bude veći od ule. Dokaz ovog tvrđeja će biti izvede kasije, u poglavlju o stabilosti sistema. Takođe, preterao veliki pretek faze ozačava

6 tromost sistema, dok mala pozitiva vredost preteka faze ukazuje a veliku osetljivost sistema u prisustvu poremećaja. Grafički prikaz određivaja preteka faze dat je a slici 4.6. Drugi začaja parametar koji ukazuje a osobie poašaja sistema jeste pretek pojačaja ili amplitudska margima koju ćemo ozačavati kao d ili AM (Amplitude Margi) a defiiše se a osovu sledeće relacije: d = (4.3) W ( ω ) pri čemu je sa ω π ozačea takozvaa preseča učestaost faze a to je oa učestaost a kojoj faza karakteristika ima vredost 8, odoso j π π rad : { ( π )} ω : arg W jω = π (4.4) π Pretek pojačaja je takođe mera relative stabilosti sistema, i može se dokazati da je, pod pretpostavkom da je sistem u otvoreoj sprezi bio stabila, potreba i dovolja uslov da i sistem u zatvoreoj sprezi bude stabila, da pretek pojačaja bude veći od. Vrlo često se vredosti amplitudske karakteristike ekog sistema izražavaju u decibelima: ( ω) ( ω) pa se relacije (4.) i (4.3) mogu apisati u sledećoj formi: W j = log W j (4.5) db ω : W jω = db (4.6) db ( ω ) ddb W j π = (4.7) db Karakterističi parametri iz kompleksog domea Treći skup parametara koji opisuje poašaje sistema u prelazom režimu se mogu formirati a osovu aalize sistema u kompleksom domeu. Ako pođemo od pretpostavke da je sistem opisa fukcijom preosa, pri čemu je fukcija preosa reala racioala fukcija: m G s = K = K ( µ )( µ ) ( µ m ) ( λ )( λ ) ( λ ) P s s s s Q s s s s (4.8) tada se ova fukcija preosa a jedozača ači može opisati pomoću svog pojačaja K i položaja ula µ i, i =,..., m i polova λ i, i =,...,. Uobičajeo je da se ovaj raspored ula i polova prikaže u kompleksoj s ravi, pri čemu se za poziciju polova koristi marker ' ' a za poziciju ula marker 'o'. Primer takvog prikaza sistema sa pet polova i dve ule je dat a slici 4.7. o Im{ s} Re{ s} o Slika 4.7: Prikaz pozicije polova i ula sistema u kompleksoj ravi

7 Pri tome e treba zaboraviti da se za reale sisteme, polovi i ule ili mogu pojavljivati kao reale kostate ili se moraju pojaviti u kojugovao kompleksim parovima. Takođe, treuto ćemo aalizirati samo stabile sisteme, dakle podrazumeva se da sistem ema polova u desoj poluravi s ravi. Pojam koji je vrlo važa i koji ćemo sada defiisati jeste pojam domiatih polova sistema. Naime, sistemi često imaju veliki broj polova, mogu biti visokog reda, međutim uticaj mogih od jih je ezata ili bezačaja i može se zaemariti, dok je uticaj eki drugih polova vrlo začaja pa se takvi polovi azivaju domiatim. Da bismo ilustrovali ovo tvrđeje možemo izvesti sledeću jedostavu simulaciju. Pretpostavimo da posmatramo sistem petog reda opisa sledećom fukcijom preosa: G ( s) = 64 s + 6 ( s + s+ 4)( s+ 8)( s + 8s+ 4) Dalje, posmatrajmo sistem fukcije preosa G (4.9) s koji će od pet polova prethodog sistema zadržati samo kojugovao komplekse polove koji su ajbliži imagiaroj osi, ule i odgovarajuće pojačaje (takvo da statičko pojačaje u oba sistema bude jedako, odoso G = G ): G ( s) =. s s s+ 4 Posmatrajmo odzive ova dva sistema a jediiču odskoču pobudu (slika 4.8). (4.) Slika 4.8: Odziv sistema petog reda i odziv redukovaog sistema drugog reda Puom liijom a slici 4.8 je prikaza odskoči odziv sistema petog reda, dok je isprekidaom G s. Sa slike se vidi da je razlika između ova liijom prikaza odziv sistema fukcije preosa dva odziva ezata, i isti bi se zaključak mogao izvesti da je bilo kakav sigal dovede kao pobuda za ova dva sistema. Pri tome, redukcija reda sistema sa pet a dva ije izvršea slučajo. Dva kojugovao kompleksa pola koja se alaze ajbliže imagiaroj osi (u levoj poluravi s G s oi predstavljaju domiate ravi) su dobar reprezet poašaja sistema i za sistem kojugovao komplekse polove. Ovaj bi se zaključak mogao i geeralizovati a sledeći ači: Za stabile sisteme pod parom domiatih kojugovao kompleksih polova se smatraju kojugovao kompleksi polovi koji su ajbliži imagiaroj osi, odoso to su polovi čiji je reali deo ajveći. Ovaj zaključak ima ekoliko izuzetaka i ovi se izuzeci mogu kategorisati a sledeći ači:

8 . Ako sistem ima isključivo reale polove, takav sistem aravo ema par domiatih kojugovao kompleksih polova, već se reali pol ajbliži imagiaroj osi smatra domiatim realim polom.. Ako sistem ima par kojugovao kompleksih polova, ali postoji reala pol koji je bliži imagiaroj osi, koji će od jih biti proglaše domiatim zavisi od prirode sistema i jegove amee. Ukoliko se od sistema očekuje da prevashodo bude brz uz izvese dozvoljive preskoke u odzivu, reala pol se može smatrati domiatim. U suprotom, ukoliko se isistira a malom ili ikakvom preskoku po ceu smajeja brzie odziva, par kojugovao kompleksih polova se može smatrati domiatim parom. 3. Ukoliko sistem ima dva para kojugovao kompleksih polova koji su približo jedako udaljei od imagiare ose, oda se posmatra i jihov imagiari deo. Ukoliko su imagiari delovi jedog para kojugovao kompleksih polova začajo veći od imagiarih delova drugog para kojugovao kompleksih polova, tada se oi proglašavaju domiatim polovima, bez obzira a to koji od jih je bliži imagiaroj osi. Sada, pošto smo defiisali šta su domiati kojugovao kompleksi polovi, pretpostavimo da je eki proizvolji sistem dovoljo dobro aproksimira svoji domiatim kojugovao kompleksim polovima i predstavlje fukcijom preosa drugog reda: G s = K ( s s )( s s ) Uobičajeo je da se poliom u imeiocu predstavi u sledećoj formi: (4.) s s s s = s + ζω s+ ω (4.) pri čemu se parametar ζ aziva faktorom relativog prigušeja para domiatih kojugovao kompleksih polova a parametar ω eprigušeom prirodom učestaošću para domiatih kojugovao kompleksih polova. Tražejem ula polioma (4.) dobija se položaj domiatih polova: = ± ω (4.3) s, ζω j ζ Im{ s} s ω ζ ω arccos( ζ ) = Θ Re{ s} ζω s ζ ω Slika 4.9: Položaj domiatih kojugovao kompleksih polova

9 Parametri ζ i ω jedozačo određuju položaj domiatih polova. Na slici 4.9 su u s ravi prikazai ovi polovi, i a osovu slike se lako zaključuje da se domiati polovi alaze a kružici poluprečika ω a da je kosius ugla koji zaklapa poteg od koordiatog početka do domiatog pola sa egativim delom reale ose jedak parametru ζ. Ukoliko se reali deo kojugovao kompleksih polova ζω apiše u formi / Td, dobija se domiata vremeska kostata koja je već defiisaa kao parametar koji defiiše brziu promea gorje i doje avelope u odskočom odzivu sistema: T d = (4.4) ζω Dva, od tri avedea parametra: faktor relativog prigušeja, eprigušea priroda učestaost i domiata vremeska kostata, mogu jedozačo da odrede položaj domiatih polova. Na kraju treba reći da i faktor relativog prigušeja i eprigušea priroda učestaost mogu uzeti vredosti iz skupa [, ). Zbog svoje prirode (poluprečik kruga a kome se alaze domiati polovi) ema fizičkog smisla da eprigušea priroda učestaost bude egativa, a egativa vredost za faktor relativog prigušeja bi začila da su polovi u desoj poluravi dese ravi, odoso da je sistem estabila. Ukoliko je faktor prigušeja iz itervala [,) polovi su kojugovao kompleksi, za vredost ζ = u pitaju je dvostruki reala pol, dok za ζ > sistem ima dva različita reala pola. Na slici 4. su prikazae različite pozicije domiatih polova i pored jihovih pozicija su prikazai odskoči odzivi koje takvi domiati polovi geerišu Slika 4.: Različite lokacije domiatih polova i odskoči odzivi koji oi geerišu

10 Slici 4.. je potrebo dodati eke kometare koji će objasiti zašto parametri ζ i ω imaju imea koja imaju. Naime, primetimo da su za slučaj () polovi sistema a imagiaroj osi što odgovara slučaju ζ =. U tom slučaju je odziv sistema prostoperiodiča, dakle epriguše. Kako se polovi sistema pomeraju u levo (slučajevi () i (3)) faktor relativog prigušeja se povećava od ule ka vredosti i odzivi sistema su sve prigušeiji do slučaja kada faktor prigušeja postaje veći od. Tada se polovi sistema alaze a realoj osi, i odziv postaje aperiodiča. Drugim rečima, faktor ζ zaista predstavlja meru prigušeja sistema. Otuda i osi ime faktor relativog prigušeja. Sa druge strae, kada je sistem epriguše, dakle kada je ζ =, polovi sistema su a imagiaroj osi, i tada je odziv sistema prostoperiodiča sa periodom poavljaja ω. Dakle, ova učestaost predstavlja periodu oscilovaja sistema u slučaju ultog prigušeja i pri tome će se ovakav oblik pojaviti ezaviso od toga kakva je pobuda a ulazu sistema. Dolazimo do zaključka da je ova učestaost sakrivea u sistemu, oa je ugrađea u jega, jemu priroda, i zato se aziva eprigušea priroda učestaost.