Analiza datelor de marketing utilizand S.P.S.S. - analiza predictiva -
|
|
|
- Ἀναίτις Μαρκόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Analiza datelor de marketing utilizand S.P.S.S. - analiza predictiva -
2 Analiza predictiva Presupune realizarea de estimari asupra evolutiei viitoare a fenomenelor de marketing, utilizand ca metode de lucru: Analiza seriilor dinamice (univariata) Regresia (bivariata sau multivariata) liniara; logistica; hiperbolica; Modelarea.
3 Criterii de clasificare ale analizei predictive Gradul de cuprindere la care se face previziunea: nivel de produs (marca); nivel de grup de produse (linie sau gama); nivel de unitate economica; nivel de ramura de activitate; nivelul economiei nationale (previzune macro-economica); Aria geografica inclusa in procesul de previziune: nivel local; nivel regional; nivel national; nivel international.
4 Criterii de clasificare ale analizei predictive Orizondul de previziune poate fi: scurt (o perioada/1 an); mediu (pana la 5 perioade/ani); lung (peste 5 perioade/ani); Alte criterii: Precizia rezultatelor (previziuni cantitative si calitative); Tipul de date utilizate; Considerarea influentelor unor factori perturbatori (metode endogene si exogene);
5 Lanturile Markov Metoda lanturilor Markov reprezinta o modalitate de previziune cu utilitate limitata, ce nu presupune nici existenta unei serii cronologice, nici existenta unei asocieri. Proprietatea Markov: starea viitoare depinde doar de starea prezenta si de o matrice a probabilitatilor de schimbare a starii (starea viitoare nu depinde de stari trecute) viitorul este conditional independent de trecut. Probabilitatea unei anumite stari de a depinde de starile anterioare: P( sik si 1, si2, K, sik 1) P( sik sik 1)
6 Lanturile Markov Probabilitatea unei stări poate fi calculată cu ajutorul următoarei formule: Pentru a defini lanţul Markov trebuie specificate : probabilitatea de tranziţie: probabilitatea iniţială: ))P(ss P(s)s )P(ss P(s)s,,s,)P(ss P(s)s,,s,)P(ss,,s,s P(s)s,,s,P(si1i1i22ik1ik1ikik1iki2i11ikik1iki2i11iki2i1ikiki2i1K K K K K K )s P(sajiij ) ( i i s P π
7 Lanturile Markov Matricea probabilitatilor de tranzitie este alcatuita pe baza probabilitatile de transformare (schimbare a starii) a fiecarei variabile: Exemplu: utilizarea clasica in marketing evolutia cotei de piata (matricea probabilitatii de tranzitie este alcatuita pe baza unui indicator de loialitate / tranzitie a respondentilor pentru o anumita marca). Pe piaţa şampoanelor dermato-cosmetice există trei produse (2007): Selegel, T-gel şi Nizoral, cu cotele de piata: Selegel Ducray Nizoral 25% 35% 40%
8 Lanturile Markov Indicele de loialitate. Selegel Ducray Nizoral 0,85 0,75 0,8 Probabilitatile de tranzitie (cumparatori care isi vor schimba samponul in luna urmatoare): Produsul Reorietări părăsit Selegel Ducray Nizoral Selegel x Ducray 0.15 x 0.10 Nizoral x
9 Se0,5Lanturile Markov Matricea probabilitatilor de tranzitie. 0, , ,8 Cotele de piata la t 1 : ge250,85350,1040*0,053lel Selegel Ducray Nizoral 30,5% 32,75% 36,75%
10 Analiza seriilor dinamice Cunoscuta in literatura de specialitate si sub denumirea de analiza seriilor de timp. Presupun utilizarea unor date istorice (inregistrari ale evolutiei unui fenomen in timp). Reprezinta cea mai facila metoda (logistic si matematic) de realizare a previziunilor. Previziunea naiva: in perioada urmatoare variabila investigata isi va pastra nivelul actual:typt1
11 Metoda modificarii procentuale Metoda modificării procentuale (MMP) urmăreşte să evalueze schimbarea procentuală a variabilei între perioade succesive de timp. PtPY t1t0 unde: MMP t reprezinta media modificării procentuale pentru primele t perioade, iar Y 0 este valoarea observată din prima perioada a variabilei previzionate. MM
12 Metoda modificarii procentuale Exemplu: Presupunand un volum al desfacerilor (vanzari) pentru berea Tuborg in primele 6 luni ale anului conform tabelului de mai jos, se vor estima vanzarile din luna iulie. Luna Vanzari (hl) Ianuarie Februarie Martie Aprilie Mai Iunie 15000
13 Metoda modificarii procentuale Exemplu: Presupunand un volum al desfacerilor (vanzari) pentru berea Tuborg in primele 6 luni ale anului conform tabelului de mai jos, se vor estima vanzarile din luna iulie. 1nYYMMP0tt MMP )(712000Yiulie
14 Metoda modificarii procentuale mobile Metoda modificării procentuale mobile (MMPM) are un grad mai mare de precizie decat MMP si este utilizata in cazul in care se observa tendinte (trend-uri) in date. MMPM presupune calculul prealabil al indicilor care exprimă modificarea procentuală a variabilei de la o perioadă la alta. De asemenea, presupune calculul prealabil al mediilor mobile ale schimbarilor procentuale (MPM), dupa formula: YMPMY YY Y tt1t1 Yt1t2 n2 t. Y 2Y Y11t
15 (Metoda modificarii procentuale mobile Metoda modificării procentuale mobile (MMPM) presupune utilizarea formulei de previziune: np1 1 PP Y mnm nn n MM Pentru perioada m care urmeaza celor n perioade observate (date istorice), formula se transforma dupa: )P nynmmy
16 Metoda mediilor mobile Metoda mediilor mobile (MM) este utilizata atunci cand se doreste acordarea unei importante (greutati) superioare observatiilor recente dintr-un set de date istorice, fata de cele de la inceputul setului. Previziunile se fac asupra unui set de valori ajustate (teoretice), care inlocuiesc termenii initiali ai seriei cronologice, determinate cu ajutorul formului: Yˆ L12 Li 2-1tt-L presupunea alegerea unui interval de referinta L (L < n), la nivelul caruia se vor raporta calculele pentru determinarea mediilor mobile. Se recomanda ca L < 8. Yt
17 Metoda mediilor mobile Pentru o serie de aplicatii, se pot utiliza si date viitoare, metoda fiind centrata pe o anumita valoare. In acest fel, metoda nu prevede evolutia ulterioara a fenomenului, ci valorile asteptate, conform trend-urilor presupuse de valoarile observate. Metoda se bazeaza pe propritatea mediei aritmetice de compensare a erorilor, diminuand astfel influenta oscilatiilor periodice. Sirul obtinut reprezinta trendul si reflecta tendinta comuna, generala a seriei cronologice.
18 Metoda mediilor mobile Exemplu: analiza vanzarilor (milioane EURO) lunare ale URBB Bucuresti. Metoda de calcul: Perioada Valori observate ,5 7,2 6,8 6,3 6 6,6 7,4 7,8 Valori previzionate (L5) - - 6,5 6,9 7,1 6,8 6,6 6,6 6,6 6, it36,56,5)786(551Y51P 62it46,97,2)6,578(651Y51P 73it57,16,8)7,26,57(851Y51P
19 Metoda mediilor mobile Previziunea se face asupra setului de date ajustat, utilizand metode de analiza a seriilor dinamice la alegere (MMP, MMPM, etc.). Media mobila a schimbarilor procentuale (MPM) pentru setul de valori ajustate dupa metoda mediilor mobile este: nYYY.YYYYYYMPM1122t2t1t1t1ttt 6.692Y 3Y MMPP ˆ ˆ
20 ()Metoda nivelarii exponentiale Metoda nivelarii exponentiale este mai precisa decat metodele anterioare. La randul ei, creaza posibilitatea ca cele mai recente observatii sa fie luate în calcul cu ponderi mai mari. Pt1 αyt1 presupunea alegerea unui coeficient de nivelare α (0 < α < 1), valoarea acestuia fiind stabilita fie prin utilizarea mediilor mobile, fie prin incercari, urmata de evaluarea acuratetei seriilor de valori previzionate (suma patratelor valorilor reziduale). α Pt
21 ()Metoda nivelarii exponentiale Exemplu: analiza vanzarilor (milioane EURO) lunare ale URBB Bucuresti. Vom analiza trei coeficienti: P2 α 0,5; α 0,33; α 0,25; 6,965Perioada Valori observate ,5 7,2 6,8 6,3 6 6,6 7,4 7,8 Previziune (α0,5) 5 5,5 6,75 6,9 6,7 6,9 6,9 6,6 6,3 6,4 7,4 Previziune (α0,33) 5 5,33 6,22 6,48 6,49 6,73 6,75 6,6 6,4 6,47 6,78 7,12 0,5610,5
22 Metoda nivelarii exponentiale Valorile asteptate pentru perioada urmatoare: 7,6 milioane (α 0,5); 7,34 milioane (α 0,33); 7,18 milioane (α 0,25); Pe care o vom alege? 7,67,40,5)(17,80,5P13 7,347,120,33)(17,80,33P13 7,186,960,25)(17,80,25P13
23 Metoda nivelarii exponentiale Metoda nivelarii exponentiale duble (Metoda Brown) este recomandabila atunci cand seria dinamica poseda în configuratia sa o tendinta liniara. Necesita doar un minim de 3 valori istorice pentru a fi implementate (insa acuratetea ei este influentata direct de dimensiunea seriei istorice utilizate). presupunea utilizarea a doi vectori de nivelare dinamica α i si β i (0 < α i, β i <1).
24 Metoda nivelarii exponentiale Pentru previzionarea unei valori ulterioare k momentului actual (t), se utilizeaza formula: Pα tkttk1 unde: a2ppt t t t iar ( tt) βp-α1βpp α ( 1α ) P 1 P αx t t t ( 1α ) P 1 P α P t t t
25 Metoda nivelarii exponentiale Metoda nivelarii exponentiale cu doi parametrii (Metoda Holt) este mai flexibilitata decat metoda Brown, intrucat permite nivelarea tendintei folosind un parametru diferit de cel al seriei dinamice iniţiale. Necesita doar un minim de 3 valori istorice pentru a fi implementate (insa acuratetea ei este influentata direct de dimensiunea seriei istorice utilizate). presupunea utilizarea a 3 coeficient de nivelare dinamici α, β si γ (0 < α, β, γ <1). Metoda este utilizata pentru a determina trend-ul evolutiei fenomenului, iar pe baza acestuia nivelul ulterior al variabilei previzionate.
26 (())Metoda nivelarii exponentiale Seriile asociate metodei Holt au forma: ttttγp-p1 t-1t-2 unde α reprezinta o constanta subunitara asociata nivelului initial al seriei, β este un indice asociat trend-ului seriei, iar ε t este asociat erorilor (influentelor) aleatorii. T t reprezinta trend-ul (evolutia) asociat seriei de valori istorice observate, calculat dupa formula: TtPαβTε ( ) 1tγP
27 ()(Metoda nivelarii exponentiale Previziunea valorilor, conform metodei Holt, presupune utilizarea formulei: PαY1t t t1 In cazul in care in setul de date este inclus si un factor de sezonalitate, se utilizeaza metode nivelarii exponentiale sezoniere a lui Winters. Previziunea cu ajutorul acestei metode se bazeaza pe formula: )α( P b m) S t t tl m P t m PTt
28 Metoda nivelarii exponentiale Sezonalitatea in modelul Winters este estimata cu ajutorul formulei: unde ( ) 1ttttSβ1PYβS ( ) ( ) 1t1tttTγ1PPγT ( )( ) 1t1t1tttTPα1TYαP
29 ()Alegerea metodei de previziune adecvata Selectia modelului de previziune adecvat este realizata prin compararea valorilor reziduale (denumite si variatia neexplicata), dupa formula: SSEi1 n MAi1 ˆnn daca metoda utilizata este perfecta, atunci SS E 0. Alternativ, se poata utiliza abaterea medie absoluta (AMA) asociata fiecarei metode de previziune: yy 2iiyA y ˆ ii
30 Alegerea metodei de previziune adecvata Exemplu: previziunea vanzarilor pentru a 11-a perioada: MMP Brown Holt Winters Anul X i Y i ε i Y i ε i Y i ε i Y i ε i Ian 2 1,8 0, ,3-0,3 - - Feb 2,5 2,3 0,2 2,7-0,2 2,8-0,3 2,5 0 Mar 3,2 2,8 0,4 3,3-0,1 3,4-0,2 3,1 0,1 Apr 3,0 2,9 0,1 3,1-0,1 3,2-0,2 3,1-0,1 Mai 4,0 3,8 0,2 3,8 0,2 3,8 0,2 3,7 0,3 Iun 4,5 4,6-0,1 4,6-0,1 4,4 0,1 4,4 0,1 Iul 5,0 5,2-0,2 4,8 0,2 4,8 0,2 5,0 0 Aug 4,8 5,0-0,2 5,3-0,5 5,0-0,2 5,1-0,3 Sep 5,3 5,5-0,2 5,5-0,2 5,1 0,2 5,2 0,1 Oct 6,0 5,7-0,3 5,6 0,4 5,8 0,2 5,5 0,5
31 i1()alegerea metodei de previziune adecvata Suma patratelor valorilor reziduale, respectiv nabaterea medie absoluta: yyii 2EnSyyAMA i1 ˆ iˆ i MMP Brown Holt Winters SS E 0,51 0,6 0,47 0,47 AMA 2,1 0,2 0,21 0,17
32 ()Modele autoregresive (AR) Modelele autoregresive reprezinta o varianta univariata a regresiei liniare, in care valoarea curenta este estimata utilizand una sau mai multe valori anterioare ale seriei δ(serii αycronologice). αy.αyε Modelul AR: ˆ t1t-12t-2pt-pt unde p reprezinta ordinul de autoregresie (nivelarea exponentiala reprezinta un model AR de ordin 1), δ este un indice asociat trend-ului seriei, iar ε t este asociat erorilor (influentelor) aleatorii. 1 i1δy αiy
33 Modele autoregresive (AR) Box & Jenkins au demonstrat ca una dintre cele mai eficiente modalitate de rezolvare a modelelor autoregresive este prin utilizarea mediilor mobile (Moving Averages MA). Variantele metodei Box-Jenkins: ARMA utilizat pentru serii stationare (serii cu proprietatea ca media si variatia nu se modifica semnificativ in timp practic, o serie de tip Brown, in care nu exista trend si sezonalitate). ARIMA utilizat pentru serii dinamice ( I vine de la Integrate).
34 Modele autoregresive (AR) Metoda Box-Jenkins presupune trecerea prin 3 faze pentru determinarea modelului utilizat in previziune: 1. Identificarea modelului 2. Estimarea parametrilor modelului 3. Validarea modelului In general, pentru realizarea unei autoregresii eficiente, sunt recomandate serii cronologice lungi unii autori recomanda minim 50 de observatii, alti chiar 100.
35 Modele autoregresive (AR) Identificarea modelului: Dinamicitatea unei serii (modelul ARMA sau ARIMA) este determinata utilizand un grafic de autocorelatie, care va prezenta sezonalitate in cazul in care graficul este continuu
36 ()()Modele autoregresive (AR) Identificarea modelului: Graficul de autocorelatie reprezinta pe abcisa trecerea timpului, iar pe ordonata coeficientul de auto-corelatie corespunzator, calculat dupa formula: Ri1h 1nNhh 2 Liniile (valorile) de demarcatie pentru autocorelatie sunt calculate dupa formula (α corespunde tprobabilitatii de garantare a rezultatelor): αty σ ± ny1 2YYt
37 Modele autoregresive (AR) Identificarea modelului: Modelul ARMA (fara sezonalitate si trend): Modelul ARIMA (serii dinamice): q1itiitp1iii)εlβ(1y)lα(1 q1itiitdp1iii)εlβ(1yl)-(1)lα(1
38 Modele autoregresive (AR) Identificarea modelului: estimarea parametrilor α i si β i - in intervalul [-1;1] se realizeaza prin aproximare (recomandabil cu un program statistic, gen SPSS); L i reprezinta vectorul primilor i parametrii estimati pentru o serie cronologica simpla sau care include sezonalitate (operatorul de lag). Estimarea parametrilor modelului: parametrii p si q sunt estimati cu ajutorul graficului de autocorelatie (valoarea maxima a lui α (probabilitatea de garantare a rezultatelor) pentru care coeficientii de autocorelatie nu depasesc valoarea-prag). parametrii α i sunt estimati prin aproximare, folosind metoda celor mai mici patrate (recomandabil cu un program statistic, gen SPSS);
39 Modele autoregresive (AR) Validarea parametrilor modelului: Se realizeaza prin testarea ipotezei nule ca valorile reziduale sunt independente, vectorul acestora avand o medie si o varianta nediferite semnificativ statistic in timp. In cazul in care parametrii nu sunt validati, trebuie revenit la pasul 1. Valoarea testul Student asociat αparametrilor modelului este: iz sc -Z t Z c Z t : se accepta ipoteza nula (parametrul NU este valid); altfel, se accepta ipoteza alternativa (parametrul este valid);iα
40 Modele autoregresive (AR) Exemplu: previziunea vanzarilor pentru a 11-a perioada: Anul Y i (Vanzari mil. $) Ian 10 Feb 12 Mar 11 Apr 14 Mai 14,5 Iun 15 Iul 16 Aug 18,5 Sep 19 Oct 20
41 Modele autoregresive (AR) YδαYαY.αYεˆ t 1t-12t-2pt-pt Valoarea coeficientilor de grad 3, estimata de catre SPSS: δ -0,934 α 1 0,534 α 2-0,398 α 3 1,062 Ecuatia de autoregresie devine astfel: ˆ Y-0Y0Y1Yt0,934,534 t-1,398 t-2, 062 t3-
42 Modele autoregresive (AR) Pentru perioada 11 vom avea: Testarea semnificatiei parametrilor: pentru α0,05 z t 1,96 > z c > z t > ipoteza alternativa va fi acceptata (parametrul este valid) 21,818,51,062190,398200,534-0,934Y11 ˆ 3,218 0,333 1,062 3α3csαz
43 Modele autoregresive (AR) Testarea semnificatiei parametrilor: αα20,398 z1c sc 1,005 s αα120,396 z 0,534 1, 684 0,317 pentru α0,05 z t 1,96 > -z t (-0,96) z c (-1,005) z t (1,96) > ipoteza nula va fi acceptata (parametrul NU este t-1yˆ Y-0,9341,06218valid)1Y 0,934, 062,5ˆ 8,711 t-3
44 Analiza autocorelatiei Testul Durbin-Watson necesita calculul parametrului d, dupa formula: T 2 ( Uˆ t Uˆ t1) t2 d T 2 Uˆ t 1 Daca d<d L sau d>d T, atunci este acceptata ipoteza nula (d L si d T sunt luate din tabelele asociate testului Durbin-Watson). Testul Geary este de natura neparametrica si are ca punct de plecare calculul numarului schimbarilor de semn in seria valorilor reziduale δ. Daca δ min < δ < δ max (tabelate), atunci ipoteza nula este acceptata. t
45 Regresia Regresia reprezinta o clasa semnificativa de metode de previziune, in care valoarea unei variabile (denumita dependenta) este previzionata folosind valorile altor variabile (independente), de ale carei valori depinde. Dependenta variabilei previzionate trebuie demonstrata, utilizand un coeficient de corelatie (corelatia trebuie sa fie cel putin medie, dar se recomanda utilizarea corelatiilor puterice sau foarte puternice).
46 Regresia Formele regresiei: in functie de numarul de variabile utilizate: bivariata (o singura variabila independenta); multivariata (doua sau mai multe variabile independente); in functie de forma relatiei dintre variabile (identificata cu ajutorul analizei grafice): liniara; logistica; polinomiala; trigonometrica;
47 Regresia liniara Regresia liniara bivariata: ya bx
48 Regresia liniara Parametrii regresiei (metoda celor mai mici patrate): panta (b): termenul liber (a): 2n1iin1i2n1iin1iin1iii)x(xn)y)(x(yxnbi xbya
49 Metoda regresiei multiple Permite analiza relatiei liniare dintre o variabila dependenta si una sau mai multe variabile indepentende Obiectiv: explicarea si previziunea variatiei variabilei dependente in functie de covarianta ei cu variabilele independente. YαβXˆ βxˆ ˆ ii Parametrii β sunt estimati utilizand metoda celor mai mici patrate (un model cu n variabile va avea nevoie de n perechi de date istorice pentru scrierea unui sistem de n ecuatii). Exemplu: cererea de bunuri/servicii (dependenta) in functie de factori determinanti (venituri, cifra de afaceri, pret, etc.).βxˆ.βxˆ nn
50 Metoda regresiei multiple Metoda celor mai mici patrate pentru o regresie liniara de gradul 2: n1i2i2i1n1i2i2n1i2i1n1ii2i1n1ii2in1i22in1iii11)xx(-xx)xx()y(x-x)y(xβ2n1ii2i1n1i2i2n1i2i1n1ii2i1n1iii1n1i2i1n1iii22)xx(-xx)xx()y(x-x)y(xβ 2211xβxβyα
51 Metoda regresiei multiple Estimarea semnificatiei statistice a parametrilor este utilizata pentru a se verifica faptul ca variatia variabilei dependente nu este datorata intamplari (evenimentelor aleatoare), ci este rezultatul variatiei uneia sau mai multor variabile independente. Realizata cu ajutorul testului Student, in care numarul de grade de libertate al valorii teoretice (tabelate) se determina cu conform: Nivelul de semnificatie (1-nivelul de confidenta)/2
52 Metoda regresiei multiple Testarea semnificatiei (reprezentativitatii) parametrilor de regresie: βtic sβ ± s t j ˆ β T, j j βi Eroarea standard a unui parametru estimat arata cu cat poate sa varieze acesta in jurul valorii sale ca urmare a erorii aleatoare.
53 Metoda regresiei multiple Testul F este utilizat pentru a determina semnificatia (reprezentativitatea) variatiei variabilei dependente explicata de variatia variabilelor independente considerate. Utilizeaza formula: 1)(k)YY(1)k(n)YY(Fn1i2in1iic ˆ ˆ
54 x,metoda regresiei multiple Coeficientul (raportul) de corelaţie multiplă R reprezinta gradul in care variabilele independente, per ansamblu, explica variatia variabilei dependente. Utilizeaza formula: ˆ i1x,.,x n12k ( ) i ( i ) 1 nyy2ry,yy2i
55 Metoda regresiei multiple Pentru a putea caracteriza proporţia variaţiei variabilei dependente datorată variaţiei setului de variabile variabile independente ale modelului se calculează coeficientul de determinare multiplă R 2 (pătratul raportului de corelaţie multiplă), care arată proporţia din variaţia totală a variabilei Y care este explicată de variabilele independente X 1, X 2,...X k. În afara coeficienţilor de corelaţie multiplă, în analiza corelaţiei dintre variabile se mai pot calcula şi coeficienţii de corelaţie parţială, ce caracterizează intensitatea legăturii dintre două variabile, în ipoteza că celelalte variabile rămân constante
56 Metoda regresiei multiple Exemplu: Estimarea nivelului vanzarilor de telefoane mobile plecand de la suprafata comerciala a magazinului si numarul de asistenti de vanzare. Vânzări (bucăţi) Număr vânzători (persoane) Suprafaţa comercială
57 Metoda regresiei multiple Sistemul de 3 ecuaţii simultane cu 3 necunoscute, pentru determinarea estimatorilor α, β 1 şi β 2 este. i2i2i222i1i12ii1i2i1i21i211ii2i21i1iyxxβxxβxβyxxxβxβxαyxβxβnα β2672β1368α β4321β175α β175β10α
58 Metoda regresiei multiple Dupa rezolvarea ecuatiei vom obtine: β 1 0, ; β 2 0, ; α 4, ; Ŷ 4,703 0,97X 1i 0,104X 2i Coeficientul de corelatie multipla este: ( ) ( ) 0,989085yyyyRn1i2in1i2ix,.,x,xy,k21 ˆ
59 Metoda regresiei multiple Valorile reziduale: Y i ŷ yi ε yi - ŷ (yi- ŷ) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
60 Metoda regresiei multiple Validitatea valorilor previzionate: Valoarea tabelata a lui F pentru o probabilitate de garantare a rezultatelor de 95% si 52 de grade de libertate: 3,23 > F c 157,71 > F t 3,23 > se accepta ipoteza alternative (valoarea coeficientului de corelatie multipla este semnificativ diferita de zero), deci regresia este valida. 6157, )(k)YY(1)k(n)YY(Fn1i2in1iic ˆ ˆ
61 Analiza multicoliniaritatii Coliniaritatea reprezinta relatia liniara dintre doua variabile independente ale unui model. Prezenta sa poate duce la distorsiuni serioase ale parametrilor modelului. Sugerata de prezenta erorilor standard mari sau de sensitivitatea exagerata a parametrilor. Evidentiata utilizandu-se cele trei teste Farrar si Glauber.
62 (())Primul test Farrar si Glauber Se bazeaza pe compararea matricei de corelatie a modelului cu matricea unitate, cu ajutorul testului χ 2 162m2T c Daca χ 2 > χ 2, atunci se concluzioneaza ca exista multicoliniaritate la nivelul modelului (regresiei) analizate.z Valoarea teoretica a lui χ 2 se regaseste in tabelele statistice ale repartitiei χ 2, considerandu-se 1/2(m-1)(m-2) grade de libertate. 15lndet[Z]χn1
63 ()(())Al doilea test Farrar si Glauber Permite identificarea variabilelor cel mai afectate de coliniaritate Se bazeaza pe compararea matricei de corelatie a modelului cu matricea unitate, cu ajutorul testului Fisher. nm1ri1 cm F Daca F c > F t, atunci se concluzioneaza ca ipoteza ortogonalitatii intre variabilele independente nu este acceptata.2 Valoarea teoretica a lui F se regaseste in tabelele statistice ale repartitiei Fisher, considerandu-se n-m1 si m-2 grade de libertate.
64 Al treilea test Farrar si Glauber Permite stabilirea semnificatiei statistice a coeficientilor de corelatie Coeficientii de corelatie partiala intre X i si X j se determina pe baza formului: Apoi se calculeaza valoarea testului Student dupa formula: Daca t ij > t t, atunci se concluzioneaza ca ipoteza nula este respinsa.jiijijrrrr )r(11)(mnrt2ijijij
65
66 Analiza erorii medii patratice a valorilor reziduale Masura sintetica a acuratetii modelului si o metoda de evidentiere a erorilor de previziune. 1 T 2 2 ( Pt At ) ( P A) ( SP S A) 2(1 r) SPS A T t 1 (P-A) 2 indica tendinta medie a modelului de a supraestima sau subestima valorile reale. (S P -S A ) 2 indica sensitivitatea modelului la modificarea valorilor independente. 2(1-r)S P S A indica marimea erorii datorate lipsei corelatiei perfecte dintre valorile previzionate si cele actuale.
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
MARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Analiza bivariata a datelor
Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele
9 Testarea ipotezelor statistice
9 Testarea ipotezelor statistice Un test statistic constă în obţinerea unei deducţii bazată pe o selecţie din populaţie prin testarea unei anumite ipoteze (rezultată din experienţa anterioară, din observaţii,
Subiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
PROIECT ECONOMETRIE. Profesori coordinatori: Liviu-Stelian Begu și Smaranda Cimpoeru
PROIECT ECONOMETRIE Profesori coordinatori: LiviuStelian Begu și Smaranda Cimpoeru Proiect realizat de?, grupa?, seria? FACULTATEA DE RELAȚII ECONOMICE INTERNAȚIONALE, ASE, BUCUREȘTI 2015 CUPRINS Înregistrați
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
ESTIMAREA PARAMETRILOR STATISTICI. Călinici Tudor
ESTIMAREA PARAMETRILOR STATISTICI Călinici Tudor 1 Obiective educaţionale Înţelegerea procesului de estimare Însuşirea limbajului specific pentru inferenţa statistică Enumerarea estimatorilor fără bias
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1
Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
riptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Elemente de bază în evaluarea incertitudinii de măsurare. Sonia Gaiţă Institutul Naţional de Metrologie Laboratorul Termometrie
Elemente de bază în evaluarea incertitudinii de măsurare Sonia Gaiţă Institutul Naţional de Metrologie Laboratorul Termometrie Sonia Gaiţă - INM Ianuarie 2005 Subiecte Concepte şi termeni Modelarea măsurării
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Msppi. Curs 3. Modelare statistica Exemplu. Studiu de caz
Msppi Curs 3 Modelare statistica Exemplu. Studiu de caz Introducere Poluarea reprezintã una dintre cãile cele mai importante de deteriorare a capitalului natural (Botnariuc și Vãdine 1982, Vãdineanu 1998
Mihai Orzan joi, 19:30, sala 1406
Analiza datelor de marketing utilizand S.P.S.S. - curs introductiv - Mihai Orzan mihai.orzan@ase.ro joi, 19:30, sala 1406 Chestiuni organizatorice Nota: Examen final (1 iunie): 40% Test seminar: 60% http://orzanm.ase.ro/spss
Analiza datelor de marketing utilizand S.P.S.S. - analiza diferentiala -
Analiza datelor de marketing utilizand S.P.S.S. - analiza diferentiala - Analiza diferentiala a datelor Utilizata pentru stabilirea reprezentativitatii statistice a diferentelor constatate intre: o valoare
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Recapitulare - Tipuri de date
Recapitulare - Tipuri de date Date numerice vârsta, greutatea, talia, hemoglobina, tensiunea arterială, calcemia, glicemia, colesterolul, transaminazele etc. valori continue sau discrete numere întregi
10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
![Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].](/thumbs/72/67648751.jpg "Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].")
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Statisticǎ - curs 3. 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2. 2 Teorema limitǎ centralǎ 5. 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7
Statisticǎ - curs 3 Cuprins 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2 2 Teorema limitǎ centralǎ 5 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7 4 Estimarea punctualǎ a unui parametru; intervalul
PRELEGEREA XII STATISTICĂ MATEMATICĂ
PRELEGEREA XII STATISTICĂ MATEMATICĂ I. Teste nonparametrice Testele nonparametrice se aplică variabilelor măsurate la nivel nominal sau ordinal. Ele se aplică pe eşantioane mici, nefiind nevoie de presupuneri
Regresie si corelatie
Regresie si corelatie Contet Statistica dispune de o seamă de metode de studiere a dependenţelor dintre două sau mai multe variabile. Printre acestea sunt şi cele cuprinse în "analiza de regresie şi corelaţie".
Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy
Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,
prin egalizarea histogramei
Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o
Subiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Statistică descriptivă Distribuția normală Estimare. Călinici Tudor 2015
Statistică descriptivă Distribuția normală Estimare Călinici Tudor 2015 Obiective educaționale Enumerarea caracteristicilor distribuției normale Enumerarea principiilor inferenței statistice Calculul intervalului
EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili
Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru
Criptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Folosirea pachetului MathCad în analiza statistică
Folosirea pachetului MathCad în analiza statistică George Daniel Mateescu * Corina Saman * Mihai Buneci * Rezumat MathCad-ul ne oferă posibilitatea de a face o analiză a datelor şi de a testa modele posibile
Exemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni
Problema 1. Se dă circuitul de mai jos pentru care se cunosc: VCC10[V], 470[kΩ], RC2,7[kΩ]. Tranzistorul bipolar cu joncţiuni (TBJ) este de tipul BC170 şi are parametrii β100 şi VBE0,6[V]. 1. să se determine
Sisteme liniare - metode directe
Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K
POPULAŢIE NDIVID DATE ORDINALE EŞANTION DATE NOMINALE
DATE NUMERICE POPULAŢIE DATE ALFANUMERICE NDIVID DATE ORDINALE EŞANTION DATE NOMINALE Cursul I Indicatori statistici Minim, maxim Media Deviaţia standard Mediana Cuartile Centile, decile Tabel de date
RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
CURS: METODE EXPERIMENTALE ÎN FCS
Cunoaşterea în fizică se bazează pe experimente şi măsurători. Pentru verificarea oricărei teorii => experiment => măsurători. Toate măsurătorile sunt afectate de erori. Nu putem măsura ă ceva cu exactitate
Măsurări în Electronică şi Telecomunicaţii 4. Măsurarea impedanţelor
4. Măsurarea impedanţelor 4.2. Măsurarea rezistenţelor în curent continuu Metoda comparaţiei ceastă metodă: se utilizează pentru măsurarea rezistenţelor ~ 0 montaj serie sau paralel. Montajul serie (metoda
CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
NOTIUNI DE BAZA IN STATISTICA
NOTIUNI DE BAZA IN STATISTICA INTRODUCERE SI DEFINITII A. PARAMETRI SI STATISTICI Parametru valoare sau caracteristica asociata unei populatii constante fixe notatie - litere grecesti: media populatiei
7 Distribuţia normală
7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea
Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Ecuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.
Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg
Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Stabilizator cu diodă Zener
LABAT 3 Stabilizator cu diodă Zener Se studiază stabilizatorul parametric cu diodă Zener si apoi cel cu diodă Zener şi tranzistor. Se determină întâi tensiunea Zener a diodei şi se calculează apoi un stabilizator
6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale
Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere
T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
VII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI
V. POL S FLTE ELETE P. 3. POL ELET reviar a) Forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolilor si parametrii fundamentali: Prima forma fundamentala: doua forma fundamentala: b) Parametrii fundamentali au urmatoarele
Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
FENOMENE TRANZITORII Circuite RC şi RLC în regim nestaţionar
Pagina 1 FNOMN TANZITOII ircuite şi L în regim nestaţionar 1. Baze teoretice A) ircuit : Descărcarea condensatorului ând comutatorul este pe poziţia 1 (FIG. 1b), energia potenţială a câmpului electric
Modul de calcul al prețului polițelor RCA
Modul de calcul al prețului polițelor RCA Componentele primei comerciale pentru o poliță RCA sunt: Prima pură Cheltuieli specifice poliței Alte cheltuieli Marja de profit Denumită și primă de risc Cheltuieli
1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Principiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp
apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine
Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare. Cuprins. Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina
Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice,