Linear Equations Direct Methods

Transcript

1 Lier Equtios Direct ethods Πέμπτη, Μαΐου 5 :8 πμ 5.5. Σελίδα

2 5.5. Σελίδα

3 5.5. Σελίδα 3

4 5.5. Σελίδα 4

5 5.5. Σελίδα 5

6 Lier Equtios - Direct ethods Δευτέρα, 5 Μαΐου 5 5:5 μμ Σελίδα

7 5.5.5 Σελίδα

8 5.5.5 Σελίδα 3

9 5.5.5 Σελίδα 4

10 5.5.5 Σελίδα 5

11 5.5.5 Σελίδα 6

12 5.5.5 Σελίδα 7

13 HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΌΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

14 Υλοποίηση Guss στον υπολογιστή. Αποτελείται από 3 φωλιασμένα forloop. Για την αποθήκευση των νέων τιμών δεν χρειαζόμαστε επιπλέον θέσεις μνήμης. Οι πολλαπλασιαστές αποθηκεύονται στο κάτω τριγωνικό κομμάτι του Α που η απαλοιφή το μετατρέπει σε. Tα νέα στοιχεία του Α στις αντίστοιχες θέσεις στο άνω τριγωνικό, αφού οι παλιότερες τιμές δεν χρειάζονται στα επόμενα βήματα. for k for i ed m for j ed ed,..., - ik k,..., k ij k ik k kk k,..., k ij m βήματα ik γραμμές κάτω από τον οδηγό στήλες δεξιά από τον οδηγό k kj 6 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yot@if.uth.gr

15 παλοιφή Guss. Οπισθοδρόμηση: Eπίλυση ισοδύναμου άνω τριγωνικού συστήματος βλ. διαφάνεια 3. Πολυπλοκότητα Αλγόριθμου - Πλήθος πράξεων: Τριγωνοποίηση: Οπισθοδρόμηση: Σύνολο: O i i i... yot@if.uth.gr O υπολογισμός στοιχείων υποπινάκων υπολογισμός πολλαπλασιαστών υπολογισμός δεξιού μέρους

16 LU παραγοντοποίηση. Κατά την απαλοιφή Guss η τριγωνοποίηση του Α μπορεί να γραφεί σε μορφή πινάκων:..., b b m m b b b b yot@if.uth.gr ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 8

17 LU παραγοντοποίηση συνέχεια. Αποδεικνύεται αφήνεται ως άσκηση ότι: m m m m m m L L LU U yot@if.uth.gr ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 m m

18 LU παραγοντοποίηση. Αλγόριθμος για τον υπολογισμό των στοιχείων των πινάκων L και U: for i,..., for j,...,i ed L ii U ed ed L ij for j i,..., ij ij ij j k U i k jj L L ik ik U U kj kj 3 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yot@if.uth.gr

19 LU παραγοντοποίηση. Αν κατά την απαλοιφή Guss χρειαστεί να κάνουμε μερική οδήγηση τότε η τριγωνοποίηση του Α μπορεί να γραφεί σε μορφή πινάκων: P LU όπου Ρ ο πίνακας μεταθέσεων. 3 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yot@if.uth.gr

20 Πίνακες μεταθέσεων.. Ένας πίνακας Ρ λέγεται πίνακας μεταθέσεων ανν προκύπτει από τον μοναδιαίο με εναλλαγή γραμμών ή στηλών.. Πολλαπλασιάζοντας από αριστερά ένα πίνακα, του μεταθέτει τις γραμμές. P 3. Πολλαπλασιάζοντας από δεξιά ένα πίνακα του μεταθέτει τις στήλες. ij P ij j i I i στήλη j i, I P ij j στήλη I j j i σειρά j σειρά i i 3 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yot@if.uth.gr

21 Απαλοιφή Guss & Πεπερασμένη Αριθμητική. Πρόβλημα: , Απαλοιφή Guss σε υπολογιστή με β =, t = 3, U = -L = : m b fl fl 4 m fl fl 4 4 b m b fl δηλαδή λύνουμε το σύστημα: , 33 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yot@if.uth.gr

22 Απαλοιφή Guss. Τριγωνοποίηση στο k βήμα: Ο οδηγός πρέπει να είναι μεγάλος αριθμός οδηγός k γραμμή k στήλη 34 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yot@if.uth.gr

23 Απαλοιφή Guss - Οδήγηση. Το πρόβλημα υπήρξε πριν γιατί ο πολλαπλασιαστής ήταν πολύ μεγάλος σε σύγκριση με τα στοιχεία της δεύτερης σειράς, δηλαδή ο οδηγός α ήταν πολύ μικρός σε σχέση με τα στοιχεία της δεύτερης σειράς. Απαλοιφή Guss με μερική οδήγηση ή οδήγηση κατά γραμμές: αφού 4 m b fl fl 4 m fl fl b m b fl fl ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yot@if.uth.gr

24 παλοιφή Guss - Oδήγηση. Στην απαλοιφή Guss με μερική οδήγηση, όταν απαλείφουμε τον k άγνωστο, δηλαδή στο k βήμα, ανταλλάσσουμε την k γραμμή με αυτήν που έχει το μεγαλύτερο κατά απόλυτη τιμή στοιχείο στην k στήλη. Το επιπλέον κόστος είναι: ος άγνωστος: - πράξεις για τις συγκρίσεις ος άγνωστος: - πράξεις... -ος άγνωστος: πράξη άρα συνολικά i i O κόστος της τριγωνοποίησης Απαλοιφή Guss με μερική οδήγηση με στάθμιση ή ολική οδήγηση, όπου οδηγός γίνεται το μέγιστο κατά απόλυτη τιμή στοιχείο του υποπίνακα προς επεξεργασία. Αυτό επιτυγχάνεται με εναλλαγή γραμμών και στηλών του πίνακα. 36 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yot@if.uth.gr

25 Νόρμες διανυσμάτων. Ορισμός: Μία απεικόνιση. : XR λέγεται νόρμα, αν ικανοποιεί τις ιδιότητες: Παραδείγματα: /,,. : m,,. :,,. : i i i i i i R R R y y X y X R X,, yot@if.uth.gr ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 37

26 Νόρμες διανυσμάτων. Ο μοναδιαίος κύκλος σε κάθε νόρμα: : R,., i i - : R,., m i i - : R,., i i / 38 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yot@if.uth.gr

27 Νόρμες διανυσμάτων. Ορισμός: Δύο νόρμες,. και., λέγονται ισοδύναμες αν υπάρχουν σταθερές m και τ.ω.: X m ' Πρόταση: Όλες οι νόρμες στον R είναι ισοδύναμες. Ορισμός: Έστω., μια νόρμα στον R, τότε η απεικόνιση:. : R R, λέγεται φυσική νόρμα πινάκων ή νόρμα πινάκων παραγόμενη από την.. sup R 39 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yot@if.uth.gr

28 Νόρμες πινάκων. Παραδείγματα: Αποδείξτε τις εκφράσεις για κάθε νόρμα. : : : R R R,.,.,. R R R,.,.,.,,, m j m i i j ij ij T / 4 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yot@if.uth.gr

29 Δείκτης κατάστασης πίνακα. Ορισμός: Γενικά αν Α αντιστρέψιμος τότε ο δείκτης κατάστασης το Α ως προς τη νόρμα. ορίζεται: cod m R R Πρόταση: ν η. είναι φυσική νόρμα πινάκων, τότε ισχύει: mi cod Επίσης ισχύουν:. cod, για κάθε πίνακα Α.. codi =, I o μοναδιαίος πίνακας. 3. codγ = cod, όπου γ σταθερά. 4. codd = m d i /mi d i, όπου D = digd i. 4 ΗΥ3, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας yot@if.uth.gr